Metodo Analitico Series de Fourier

Las series de Fourier son un instrumento indispensable en el análisis de ciertos fenómenos periódicos (tales como vibraciones, movimientos ondulatorios y planeta-rios) que son estudiados en Física e Ingeniería.



El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T  pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier 

f(t) = ½ a0 + a1cos(w 0t) + a 2cos(2w 0t) + ... + b1 sen(w 0t) + b 2 sen(2w 0t) + ... Donde w 0 = 2p  /T se denomina frecuencia fundamental.

 f  (t )  12 a0 



 [a n 1

n

cos(nw 0t )  bn sen(nw 0t )]

Como la función  sen(nw 0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw 0t) es una función par para todo n, es de esperar que: 

Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.



Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.

Una función es par  si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir  f(t) = f(-t)

f(t)

t

f(t)

t

una función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, -f(t) = f(-t)

Se dice que las funciones del conjunto {f k(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera f m(t), f n(t) de dicho conjunto cumplen:

0 a  f  m(t)f  n(t)dt   r n b

 para m  n  para m  n

Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2p  /w 0.

 f  (t )  12 a0 



 [a

n

cos(nw 0t )  bn sen (nw 0t )]

n 1

Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:

cos(nw 0t )  (e 1 2

 sen(nw 0t ) 

1 2i

inw 0t 

(e

e

inw 0t 

 inw 0t 

e

)

inw 0t 

)

Sustituyendo:

 f  (t )  12 a0 



 n 1

[an 12 (e

inw 0t 

 e in t  )  bn w 

0

1 2i

(e

inw 0t 

 e in t  )] w 

0

Y usando el hecho de que 1/i = -i:

 f  (t )  12 a0 



 n 1

Y definiendo: c0

[ 12 ( an  ibn )e



1 2

a0 , cn



1 2

inw 0 t 

 12 (an  ibn )e in t  ]

(an  ibn ),

w 

0

c n





 f  (t ) 

c e n

n  

inw 0t 

w 

0



1 2

(an  ibn )

2p   T

A la expresión obtenida



 f  (t ) 

c e

inw 0 t 

n

n  

se le llama forma compleja de la serie de Fourier  y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an , bn como ya se dijo, o bien: T 

cn 

1 T 



 f  (t )e

0

Para n = 0, 1, 2, 3 ,...

inw 0t 

dt 

Una función periodica de periodo T se dice  simétrica de media onda, si cumple la propiedad

 f  (t   12 T )    f  (t ) Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo: f(t)

t

Funciones Simetría

Coeficientes

en la serie

T/2

Ninguna

an 

2 T

 f (t) cos(nw t)dt 0

T/2

bn 

2 T

T / 2

 f (t)sen(nw t)dt 0

T / 2

únicamente cosenos

T/2

Par 

an 

4 T

senos y cosenos

 f (t) cos(nw t)dt

bn= 0

0

0

T/2

Impar 

an= 0

bn 

4 T

 f (t)sen(nw t)dt 0

únicamente senos

0

Media onda

n par  0 Senos y n par  0    T/2  T/2 cosenos an   4 bn   4 f (t) cos(nw0 t)dt n impar  f (t)sen(nw0 t)dt n impar  impares T  T    0  0