Metodo Analitico, Numerico y Grafico

 

 

Transferencia de calor ´Investigación U3´ Rodrigo Méndez Barbosa Omar Sebastián Martínez Esteban Gerardo Jardiel Bustamante Ortiz Docente: Ing. José Ángel Domínguez López. “Con Tecnología y Espíritu una Patria Forjaré”  

Miércoles 13 de Octubre de 2021

 

Introducción Existe una gran variedad de problemas de conducción en estado estable donde la transferencia de calor se lleva a cabo en más de una dimensión. Tal es el caso de gasoductos u oleoductos cuyas líneas de transmisión están enterradas, en superficies extendidas de espesor considerable, en la intersección de paredes de hornos y chimeneas, etc. En todos esos casos la temperatura depende de más de una coordenada. Hay en general varias técnicas o métodos para resolver un problema de conducción en estado estable donde la temperatura es función de dos y hasta de tres coordenadas. Normalmente estos métodos se clasifican, de acuerdo con su naturaleza, en analíticos, numéricos y gráficos. En este documento se describen brevemente brevemente estos métodos.

 

Métod Mé tod o analítico  

En la transferencia de calor estudia los procesos equilibrio y desequilibro de la energía. Por medio de la transferencia de calor podemos determinar la relación con respecto al tiempo, de energía transferida producida por una diferencia de temperatura. La ecuación de conducción del calor con el régimen permanente, en coordenadas rectangulares rectangula res y en dos dimensiones es:

            0    La solución de la ecuación anterior se obtiene, suponiendo que la distribución de temperatura se puede expresar como el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de las fronteras a una temperatura temperatura determinada independiente, es decir que:

X(x)es únicamente función de x    Y (y)es únicamente función de y   

Sustituyendo este valor en la ecuación diferencial de partida y ordenando la expresión resultante se tiene:

                →               

 

Como cada miembro de esta ecuación depende solo de una variable, los dos miembros tienen que ser iguales a una constante (2  )

   1     1            



     

Resultando dos ecuaciones diferenciales siguientes:

             0              0  

Por tanto, la distribución de temperatura es:

  {ℎ( y)   cosh( y)}{( x)   cos( y)}

 









 

Se tiene que (λ) y las (β), son constantes que hay que determinar mediante las condiciones de contorno. Las siguientes condiciones de contornos párale sistema mostrado son:

x   0 T    0 ;  x    a  T    0 y    0 T    0 ;  y    b  T    f  (x)       )          ∫  (1        (    (−) (    1)  +   ;   1,2,2,3            (−) + ;1,2,3       (  )    

 

 

 

 

 

 



Solución final

∞

     2 ∑      



=

  ) ℎ(    1     ℎ(    )

(1)+  1

 

 

 

VENTAJAS DEL METODO ANALITICO  Una vez encontrada solucionconsiderada. proporcionan la temperatura y el flujo del calor exactos en cualquier punto de la la geometria DESVENTAJAS DEL METODO ANALITICO Las expresiones matematicas obtenidad obtenidad aun en los casos mas sencillos, son suficientem suficientemente ente complicadas, como para justificar que en la practica para solucionar problemas de conduccion de calor en configuraciones configuracion es sea preferible usar los metodos numericos.

 

Método numérico Muchos problemas que se encuentran en la práctica comprenden configuraciones geométricas complicadas, con condiciones de frontera complejas o propiedades variables, y no se pueden resolver analíticamente. Se pueden obtener soluciones aproximadas suficientemente exactas por medio de computadoras utilizando un método numérico. Métodos numéricos en la conducción de calor Los métodos numéricos se basan en el reemplazo de la ecuación diferencial por un conjunto de n ecuaciones algebra algebraicas icas para las temperaturas desconocidas en n puntos seleccionados y la solución simultánea de estas ecuaciones conduce a valores de la temperatura en esos puntos discretos.

[]    Existen varias maneras de obtener la formulación numérica de un problema de conducción de calor, como los métodos de las diferencias finitas, de elementos finitos, de elementos frontera, elementos finitos de partículas.

¿POR QUÉ LOS MÉTODOS NUMÉRICOS?

Los métodos analíticos de solución se limitan a problemas fuertemente simplificados en configuraciones geométricas simples. La configuración geométrica debe ser tal que toda su superficie se pueda describir matemáticamente en un sistema de coordenadas al igualar las variables a constantes. Es decir, deben ajustarse a la perfección a un sistema de coordenadas con nada que se introduzca o sobresalga. Las configuraciones simples los problemas de transferencia de calor no se pueden resolver en forma analítica si las condiciones térmicas no son suficientemente simples (la consideración de la variación de la conductividad térmica con la temperatura) Los problemas de ingeniería a menudo requieren estudios paramétricos extensos con el fin de entender la influencia de algunas variables sobre la solución y así elegir el conjunto correcto de variables y dar respuesta a algunas preguntas de “¿qué sucede si...?”.  

MÉTODO NUMÉRICO

 

  Para tales casos es más fructífero el uso de técnicas de diferencias finitas, cuyos principios básicos veremos a continuaci c ontinuación, ón, además con el desarrollo de súper computadoras computadoras es posible obtener soluciones numéricas de muchos problemas que a la fecha se pensaban imposibles DIFERENCIAS FINITAS En este método se considera que el sistema está constituido por elementos muy pequeños de volumen, pero finitos al hacer el tamaño de estos elementos cada vez más pequeños se obtiene mayor exactitud. Para el caso de la conducción bidimensional de aplica el principio de



la conservación de la energía, se considera un elemento de profundidad unitaria de ancho ∆  



y de altura ∆  como se muestra en la figura

Esquema que ilustra la nomenclatura utilizada en el análisis numérico bidimensional de conducción de calor:

Se le llama nodo y se supone en el análisis que la temperatura de este representa la temperatura de todo el volumen.

FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Reemplazar las derivadas por diferencias Derivadas Derivada:

 

  es la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto La derivada se puede aproximar como:

FORMULACIÓN EN DIFERENCIAS FINITAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Considere ahora la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana de espesor L, con generación de calor. La pared se subdivide en M secciones de espesor igual Δx = L/M, en la dirección x, separadas por planos que pasan por los M+1 puntos 0, 1,

2,...,m-1,m, m + 1, . . . , M, llamados nodos o puntos nodales . L a coordenada x de cualquier punto m es simplemente xm = mx y la temperatura en ese punto es simplemente T(xm) =Tm.

 

Método grafico  En varias circunstancias sólo se requiere calcular la distribución de la temperatura y el flujo de calor en un sistema donde las condiciones de frontera son isotérmicas o adiabáticas. Tal estimación puede incluso ser útil para empezar la solución numérica de un conjunto de ecuaciones en diferencias finitas donde se requiere una solución más precisa. Puesto que el flujo de calor en cualquier punto de un sistema es perpendicular a las líneas isotermas, como se muestra en la figura siguiente.

El método gráfico consiste básicamente en construir una red formada por líneas isotermas y líneas de flujo de calor constante que se intersecan en ángulos rectos.   El sistema que se muestra en la figura siguiente con dos superficies isotérmicas y dos adiabáticas sirve para ilustrar esto. El flujo de calor a través del elemento mostrado es

∆   ∆(1) ∆ 

 

Este flujo es el mismo a lo largo del dueto formado por las líneas de calor constante en donde se localiza el elemento. Si por construcción diferencia de temperatura

 ∆  ∆, tal flujo de calor es proporcional a la

∆ a través del elemento.

∆  ∆   donde N es el número de incrementos de temperatura entre las superficies isotermas interior y exterior del sistema. Si en la red existen M duetos por donde fluye el calor.

   ∆    (  )  La expresión anterior permite calcular el calor total transferido por unidad de profundidad entre las superficies isotermas TI y T2 siempre que se conozca el cociente M/N. Este cociente se denota con la letra S y se conoce como el factor de forma de conducción. En términos de este parámetro la expresión anterior puede escribirse como

  (  )  La exactitud del método gráfico depende por completo de la habilidad que se tenga para construir la red formada por las líneas isotermas y las de calor constante, cuidando que se corten en forma perpendicular y que

Ejemplo

∆ ≈ ∆.

 

Un tubo de 6 cm de diámetro se encuentra enterrado a una profundidad de 30 cm. La conductividad térmica de la tierra puede suponerse de 0.35 W/m°C. Si la temperatura en la superficie exterior del tubo es igual a 200 °C y la de la tierra es de 40 °C, determine el. calor disipado por el tubo. Solución

En la figura f igura siguiente se muestran las diferentes líneas isotermas y de calor constante.

De esa figura se obtiene que

  188   2.25  En consecuencia

´  (  )  (0.35)(2.25)(20 2000  40)  126 /