MÉTODO-AITKEN.docx

 ANÁLISIS NUMÉRICO NUMÉRICO – MÉTODO MÉTODO AITKEN

ÍNDICE OBJETIVO ....................................................................................................................3  ANTECEDENTES ...........................................................................................................4 CONVERGENCIA  ACELERADA ................. .......................... .................. .................. .................. .................. ...................................7 ..........................7 2

MÉTODO DE ∆  AITKEN..........................................................................................11  ALGORITMO DE AITKEN................. .......................... ................. ................. .................. .................. ..........................................16 .................................16 BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................17

2

 ANÁLISIS NUMÉRICO – MÉTODO AITKEN

OBJETIVO Sabem! "#e e$ m%&' 'e (&e)a*(+, 'e -#,& (/ *,0e)e $(,ea$me,&e ba/ *(e)&a! *,'(*(,e! 2*#a,'  e! ba!&a,&e !#a0e 

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3

 ANÁLISIS NUMÉRICO – MÉTODO AITKEN

ANTECEDENTES Diferencias progresivas de primer y segundo órdenes de una sucesión  A *,&(,#a*(+,8 !e 'e!*)(b()9, *,*e-&! a#5($(a)e! b)e0e! ,e*e!a)(! -a)a $a +)m#$a 'e A(&e,.

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( ∆ x )n= x n+ − xn ( n≥ 0 ) . 1

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0

∆x ∆ ( ¿)

¿ ¿ ¿

( ∆  x )n=( ∆ x )n+ −( ∆ x )n 2

1

E! 9*($ 0e) "#e

4

 ANÁLISIS NUMÉRICO – MÉTODO AITKEN

( ∆  x )n= x n + −2 x n + + xn 2

2

1

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( ∆ x )n   e! ma! *))e*&a -)"#e e$ 0a$) 'e  x n

'e-e,'e , !$ 'e #, e$eme,& ∞

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∆



( ∆ x )n

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∆ xn

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( ( ∆ x )n )  x^ n := x n− ( ∆  x )n

2

2

∞ C,0e)e a - *, ma) )a-('e> "#e { x n }n= e, e$ !e,&(' 'e "#e 0

lim n →∞

 x^ n− p  x n− p

7

 ANÁLISIS NUMÉRICO – MÉTODO AITKEN

CONVE'(ENCIA  ACE)E'ADA *+TODOS DE ,N -,NTO

S( e, a$#, 'e $! m%&'! 0(!&! !e &(e,e "#e $a !#*e!(+, 5 ?8 5 18 5 @8...8 *,0e)e m# $e,&ame,&e a $a )a b#!*a'a8 -#e'e, &ma)!e8 e,&)e &)a!8 $a! !(#(e,&e! 'e*(!(,e!=

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lim i→∞

∈i+1 ∈i

= g ' (´ x )

2E*. 1

8

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9

 ANÁLISIS NUMÉRICO – MÉTODO AITKEN

D+,'e= ϵ( 5(   x´  e! e$ e))) e, $a (%!(ma (&e)a*(+,. a)a 0a$)e! (,(&! 'e (8 $a e*#a*(+, 1 -#e'e e!*)(b()!e *m=

∈i + 1 ∈i

≈ g ' (´  x )

  x i+1− x´ ≈ g ' ( x´ )( x i− x´ )

2E*. @

 x i+2− x´ ≈ g ' ( x´ )( x i+1− x´ )

2E*. 3

O &amb(%,=

Re!&a,' $a e*#a*(+, @ 'e $a 3 !e &(e,e=

 x i+2− x i+1 ≈ g ' ( x´ )( x i+1 − x´ )

De ','e=

g ' (´  x ) ≈

 xi +2− x i+1  x i+1− xi

2E*. 4

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De!-e/a,' 5 'e $a e*#a*(+, @

 x ´≈

 ´ ) x i  xi +1− g ' ( x 1− g ' ( x´ )

S#!&(&#e,' $a e*#a*(+, 4 e, $a $&(ma e*#a*(+,8 !e $$ea a=

2

( x i+ − x i )  x´ ≈ x i−  xi + −2 xi + + xi 1

2

1

H#e 'a a-)5(ma*(,e! a  x´  a -a)&() 'e $! 0a$)e! a b&e,('! e, a$#,a !#*e!(+,. L$9me!e a e!&a ,#e0a !#*e!(+, 5 ?8 518 5@...

2

( x i+ − x i)  x ' i= x i−  x i + −2 x i + + x i 1

2

2E*. 

1

) e/em-$8 5 ? )e"#(e)e 'e 5?8 518 5@8 a "#e

2

( x − x )  x '  = x −  x −2 x + x 1

0

0

0

2

1

0

11

 ANÁLISIS NUMÉRICO – MÉTODO AITKEN

 51 'e 518 5@8 538 -#e!

2

( x − x )  x '  = x −  x −2 x + x 2

1

1

1

3

2

1

 a!< !#*e!(0ame,&e. E!&e -)*e! *,'#*()98 e, $a ma)