Método 3 Momentos

 

CLASE IV - ESTRUCTURAS I

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS

La ecuación de los tres momentos fue desarrollado por el Ingeniero francés Clapeyron  (1799  1864) en  1857.  –

Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los apoyos.

Por aplicación sucesivas de esta ecuación a segmentos de la viga, se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden re ressolverse simult sim ultáne áneame amente nte para para los moment momentos os intern internos os descon desconoci ocidos dos en los apoyos. .

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN:

a)   Cargas en la VViga iga Real

b)   Deformada .

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN:

c)   .

Una forma general de la ecuación de tres momentos puede obtenerse al considerar un segmento de una viga continua figura del punto C. que pasa sobre los soportes izquierdo, central y derecho (Mn−1 ,   Mn ,   Mn+1 ). Además, la parte izquierda de la viga tiene propiedades geométricas  In y  L n ; la parte derecha tiene las propiedades geométricas   In+1 y  L n+1 . Se supone en esta primera demostración que los apoyos no sufren asentamientos. .

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN: Consid Cons ider eran ando do la pe pendi ndien ente te de la el elas astitici cida dadd en un apoy apoyoo in inte term rmed edio io cu cual alqui quier era, a, de la semejanza de los triángulos formados en la figura del punto b, se obtiene: ab Ln →

=

cd Ln+1

  ab Ln+1   =  cd Ln

 

(I)

Los momentos internos en n, n+1,  que actúan en las direcciones definidas como positivas sobre la viga en la figura figura del punto C, la derivación derivación se basará en el segundo segundo teorema teorema del área de momentos. .   …

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN: Es importante tener en cuenta los signos. En la figura del punto C, se pres pr esen enta tann sepa separa rado doss los los tram tramos os resp respec ectitivo voss de viga vigass simp simple leme ment nte e apoyados con momentos redundantes en sus extremos.

.

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN:

d)

  Diagramas de momentos.

En caso general, los diagramas de momentos debido a las cargas aplicadas tendrán áreas     y  +1  con sus centroides localizados como se indica en la figura del punto d.

.

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN: A continuación se dibujan los diagramas correspondientes a los momentos en los apoyos, los signos empleados son los correspondientes a momentos internos de las vigas.

e)

.

  Momentos en los apoyos

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN: Aplicando el segundo teorema del área de momentos, se obtiene:

       =      −1





2

3

   



2

2

3

(II)     +1   = +1 +1     +1 2

.

2+1   +1 +1 2 3

+1 3

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN:

Si la viga(I)tiene inercia constante en todas las luces, al reemplazar los valores de (II) en la ecuación y simplificando tenemos:

     +1   −1

=  +1 +1     

 6



  +1   

+1 3





 

   +1

3



  +1

+1 6



 



 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS DEMOSTRACIÓN:    +1 : Dividiendo ambos lados por  

−1

  +1 +1     +1 +1             +1   = 6 3 3 +1 6 

Finalmente, al multiplicar todos los términos por seis se obtiene:

−1       2      +1    +1   +1   = 

6  



6+1 +1 +1

La cual constituye la ecuación de los tres momentos mom entos para vigas continuas de sección constante.

(III)

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS

El procedimiento consiste, entonces, en tomar porciones de viga formadas por dos tramos consecutivos y aplicarles la ecuación (III) ecuación (III).. Resulta, así, un sistema de ecuaciones cuya solución da los momentos en los apoyos. Los té Los térm rmin inos os de la de dere rech chaa de la ec ecua uaci ción ón   (III)   son son sim simple plemen mente te las reacciones de las vigas conjugadas correspondientes, multiplicadas por EI.

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS Queda entonces:

−1       2      +1    +1   +1   = 6 α

  

6 α

+ +1 1

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS Cuando los extremos de las vigas son apoyados simples o están en voladizo, se empieza por  establecer los valores de los momentos correspondientes; por el contrario, en un extremo empotrado no se puede determinar a priori el valor del momento. En este caso, dado que la condición geométrica requerida es que la pendiente en dicho apoyo debe ser cero, se puede añadir una luz imaginaria adyacente al empotramiento de cualquier longitud Lo, Simplemente apoyada en el apoyo opuesto de inercia infinita, como se observa observa en la siguiente figura:

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS Aplicando la ecuación en el tramo tramo Ao A  B tenemos:  –





 –

1

 ∞    2 ∞        

1

61 1

   =  1

Y al tener en cuenta que     = 0 y    Τ  ∞ = 0, se reduce a: 2   1       1   = 

61 1 1

La misma ecuación resulta si se considera que la luz imaginaria tiene longitud cero.

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS

La ecuación de los tres momentos se puede extender para incluir el efecto de asenta ase ntamie miento ntoss difer diferen encia ciale less de los los apoy apoyos, os, llega llegand ndoo a la siguie siguient nte e forma forma general:

 

ECUACIÓN ECUA CIÓN DE LOS T TRES RES MOMENTOS

1 1   1 1        2       =  6   6   6ℎ  6ℎ 1 1   1 1   1 

 

ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS

Valores de  α1 y   α

 

ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS

Valores de  α1 y   α