Metode Monte Carlo

 Analisa data dan Keandalan Keandalan untuk Geoteknik 

Analisa Stability lereng l ereng dengan dengan pendekatan statistik dan probability Mila Kusuma W. Putu Tantri K.S.

Metode Fractile A. Pengenalan Metode Fractile adalah suatu metode sederhana yang cocok (menurut kami) untuk diaplikasikan dalam bidang Geoteknik. Dimana data tanah yang diperoleh adalah sangat sedikit padahal belum tentu data tanah yang diperoleh tersebut sudah mewakili kondisi tanah sebenarnya dilapangan. Sehingga dilakukan pemilihan nilai data lain dengan beberapa asumsi yang digunakan. Asumsi yang dipilih dalam aplikasi perhitungan geoteknik adalah dimana data tersebut memiliki kegagalan pendesainan antar 0% - 15%. Sehingga nantinya akan terdapat lebih dari 1 nilai yang digunakan sebagai acuan pertimbangan dalam pendesainan. Dalam buku  Analyzing Uncertainty in civil engineering engineering   juga sedikit mengulas  penggunaan metode Fractile untuk menganalisa data tanah yang minim untuk mengetahui slope stability  melalui nilai sudut geser dalam tanah dan nilai c pada tanah. Selain untuk aplikasi di bidang Teknik Sipil, metode ini juga dilakukan untuk bidang ekonomi karena dianggap memiliki estimasi yang lebih teliti dan bila fungsi regresi yang akan dianalisa dianggap sulit pada saat covariates untuk dua populasi memiliki distribusi yang berbeda. ( On  Fractile Regression, univ.of univ.of Michigan and Indian Indian Statistical Institute) Institute) Selain itu metode ini  juga digunakan untuk mensimulasi Non-Gaussian Procces dengan menggunakan distribusi Fractile (Kok-Kwang Phoon,Ser-Tong Quek, Hongwei Huang (2003). Penulis belum memperoleh gambaran jelas tentang definisi Fractile method karena selain bidang bahasan yang ditemukan melalui literature search engine internet sangat minim kususnya untuk  bidang Geoteknik, juga disebabkan lebih banyaknya kata-kata Fractal metode yang sering dibahas secara terperinci sedangkan penulis belum bisa memastikan apakah Fractal adalah sama dengan Fractile method.

Metode Monte Carlo B. Pengenalan Metode Monte Carlo   adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai  perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Metode Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari perhitungan kromodinamika

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 1

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik 

kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radians, sehingga metode ini digunakan dalam perhitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus d alam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya. Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan perhitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo  adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi problem matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang susah dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya. Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik . Penggunaan nama  Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pad a sebuah kasino. Dalam autobiografinya  Adventures of a  Mathematician, Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis. Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada t ahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium  Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi.  Rand Corporation]]an Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan  penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan pseudoacak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel  bilangan acak untuk sampling statistik. (disadur dari website :http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_Monte_Carlo) C. Aplikasi dalam bidang Geoteknik (Monte Carlo) Suatu timbunan dengan dimensi seperti terlihat pada Gambar 1, akan dibangun diatas tanah lunak. Adapun data tanah dapat dilihat pada Lampiran 1. Dari data-data yang ada kemudian diminta untuk melakukan analisa stabilitas lereng dengan metode statistik dan  probabilitas dengan menggunakan metode Monte Carlo.

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 2

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik 

50 meter

1:2

6 meter

Sesuai data yang ada

Gambar 1. Dimensi Timbunan yang akan di bangun. Terdapat 3 data tanah dengan masing-masing kedalaman bervariasi. Untuk mengetahui apakah data tersebut perlu diolah secara individual atau bisa diolah sebagai satu data yang sama, terlebih dahulu dilakukan penzonaan. Penzonaan kali ini hanya dilakukan dengan mempertimbangkan nilai N-SPT saja karena data tanah yang diketahui hanyalah NSPT selain nilai Cu. Hasil penzonaan nilai N-SPT dapat dilihat pada Gambar 2. Dari Gambar tersebut pada kedalaman 1 sampai 20 meter memiliki nilai N-SPT yang sama, namun tidak  bisa dikategorikan sebagai 1 zona yang sama karena berdasarkan data sondir jenis tanah pada kedalaman tersebut adalah berbeda. Sedangkan nilai N-SPT pada kedalaman diatas 20 adalah  berbeda, sehingga tidak b isa dikategorikan sebagai 1 zona yang sama. Untuk itu perhitungan selanjutnya dilakukan secara terpisah, yaitu B1,B2 dan B3.

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 3

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik 

Grafik hub antara N-SPT dan Kedalaman 0

10

20

30

40

0

5

10

15

B-1

20

B-2 B-3

25

30

35

40

45

Gambar 2. Korelasi hubungan N-SPT dengan kedalaman Dalam menganalisa stabilitas lereng, nilai Cu tanah dasar merupakan data yang penting untuk digunakan. langkah-langkah analisa data yang dilakukan adalah: a. Lakukan test statistik untuk mengetahui apakah data tersebut masih mengikuti distribusi normal ataukah lainnya. Bila masih mengikuti distrib usi normal maka untuk  perhitungan probabilistik selanjutnya juga berdasarkan distribusi normal. Dalam tugas ini, perhitungan distribusi normal dilakukan dengan menggunakan metode chi square. Adapun hasil analisa data dapat dilihat pada Tabel 1, 2 dan 3.

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik  Tabel 1. Analisa Distribusi normal dengan metode Chi square pada titik B1 B1 (jumlah data 28) Tabel lapisan

SPSS

df

Komentar 5%

2%

Lapis 1

16.28571

9

16.919

19.679

Lapis 2

9.142857

1

3.841

5.421

Lapis 3

Normal tdk Normal Normal

Normal karena nilai data sama

Lapis 4

Normal

Tabel 2. Analisa Distribusi normal dengan metode Chi square pada titik B2 B2 (jumlah data 28) Tabel lapisan

SPSS

df

Komentar 5%

2%

Lapis 1

10.5

6

12.592

15.033

Normal

Lapis 2

9.285714286

8

15.507

18.168

Normal

Lapis 3

2.285714286

1

3.841

5.421

Normal

Lapis 4

7

1

3.841

5.421

tdk normal

Lapis 5

3.428571429

4

9.488

11.668

Normal

Tabel 3. Analisa Distribusi normal dengan metode Chi square pada titik B3 B3 (jumlah data 28) Tabel lapisan

SPSS

df

Komentar 5%

2%

Lapis 1

7

1

3.841

5.421

Lapis 2

0.214285714

4

9.488

11.668

Normal

Lapis 3

3.714285714

3

7.815

9.8 37

Normal

Lapis 4

2.285714286

1

3.841

5.4 21

Normal

Lapis 5 Lapis 6

Normal karena nilai data sama 11.21428571

8

15.507

tdk normal

Normal 18.168

Normal

Dari hasil Tabel 1, 2 dan 3 dapat dilihat bahwa hampir semua data nilai Cu merupakan data Normal sehingga dapat dianalisa mengikuti distribusi normal. Namun ada 3 data yang tidak Normal yang disebabkan oleh rentang nilai data yang terlalu  jauh sehingga untuk menormalkan data tersebu t maka dilakukan pembagian data lagi sehingga pada Lapis 2 titik B1 dibagi menjadi 2 bagian, begitu juga pada Lapis 4 titik B2 dan Lapis 1 Titik B3. Namun pada tugas ini, data tersebut diasumsikan normal mengingat hanya sebagian kecil data saja yang tidak mengikuti distribusi normal. Hasil perhitungan analisa distribusi Normal dengan program bantu SPSS dapat dilihat  pada Lampiran 2.  b. Ambil Harga-harga Cu secara acak (random) untuk masing-masing lapisan tanah. Diasumsikan disini nilai-nilai cu adalah betul-betul “independent” atau tidak  bergantung dari lapis satu ke lapis lainnya. Hitung safety Factor   sejumlah data. Dari data yang ada,terdapat sedikit masalah dengan jumlah data dimana untuk perhitungan monte carlo. Dimana jumlah data monte carlo yang diijinkan adalah lebih besar dari

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 5

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik 

20, namun pada kenyataannya data yang ada hanya memiliki nilai Cu yang kurang dari 20. Untuk itu, nilai Cu dibuat setiap 1 meteran dengan mengambil nilai cu mengikuti grafik yang ada pada data tanah tersebut sehingga jumlah data yang ada akan lebih besar dari 20. Selain itu, nilai Cu yang ada pada data tanah tersebut tidak sampai kedalaman tanah yang ada sehingga nilai Cu diperoleh dengan melakukan korelasi dengan nilai N-SPT. Adapun korelasi nilai Cu terhadap nilai N-SPT dapat dilihat pada Gambar 3 berikut ini.

Gambar 3. Korelasi Nilai Cu terhadap N- SPT Dengan menggunakan harga Cu tiap lapisan yang sudah ada, kemudian dengan  program bantu Xstabel dilakukan perhitungan nilai Safety factor (SF). Masing masing titik memiliki jumlah layer yang berbeda namun nilai data Cu pada masing-masing layer diseragamkan yaitu 28 data. pada titik B1 terdapat 4 layer, titik B2 terdapat 5 layer dan titik B3 terdapat 6 layer. Jumlah layer ditentukan berdasarkan jenis tanah yang ada. Hasil dari perhitungan nilai SF dengan program Xstable dapat dilihat pada Lampiran 3 . c. Setelah memperoleh nilai SF seperti pada poin b, maka kemudian lakukan analisa distribusi harga-harga SF min yang diperoleh dengan menggunakan metode chi square, dan selanjutnya dapat dihitung kemungkinan terjadinya longsor. Hasil dari analisa distribusi harga Sfmin dapat dilihat pada Tabel 4 berikut ini. Tabel 4. Analisa Distribusi Harga SF Tabel Titik

SPSS

df

Komentar 5%

2%

B1

15.714

11

19.675

22.618

Normal

B2

4.857

19

30.144

33.687

Normal

B3

20.217

4

7.815

9.837

tdk Normal

Dari Hasil analisa pada Tabel 4, titik B2 bukan merupakan data Normal sehingga tidak bisa dihitung menggunakan distribusi Normal. Namun dalam tugas ini, data tersebut diasumsikan normal sehingga perhitungan Peluang kelongsoran dengan menggunakan hukum Normal. Adapun rumusan Failure Probability adalah sebagai  berikut. Pr 

 Pr ob

SF   1

 SF   SF  1   SF     Pr ob    SF        SF 

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik 

Dimana : SF = mean data

SF = Standard deviasi data. Hasil dari perhitungan peluang kelongsoran dapat dilihat pada Tabel 5. Tabel 5. Hasil analisa Perhitungan Probability Failure. Titik

Mean

Standar Deviasi

 1   SF       SF  

Hasil Tabel

(1- hasil tabel)

B1

0.73

0.1846927

1.46188747

0.9279

0.0721

B2

0.678429

0.2691698

1.19467853

0.883

0.117

B3

0.713214

0.0361994

7.92238781

0.9999997

3E-07

Dari hasil perhitungan pada Tabel 5, diketahui nilai Prosentase terjadinya keruntuhan  pada timbunan. Timbunan yang dibangun diatas tanah area B1 memiliki prosentase keruntuhan sebesar 7.21 %, pada area B2 11.7 % dan Pada B3 memiliki prosentase keruntuhan yang sangat kecil sekali. Hasil analisa distribusi Normal terhadap nilai SFmin dengan menggunakan program bantu SPSS dapat dilihat pada Lampiran 4. D. Aplikasi dalam bidang Geoteknik (Fractile) Seperti halnya pada poin C, dengan data dan kondisi dimensi timbunan yang sama kemudian dilakukan analisa statistik dengan menggunakan metode Fractile. Disini kita menghitung kestabilan dari sebuah timbunan dengan menggunakan kombinasi dari harga-harga rata-ratanya dan standard deviasi, untuk undraine cohesion (Cu). Sebelum dilakukan analisa statistik terlebih dahulu dilakukan  pengolahan data Cu, dimana dalam tugas ini data Cu diambil pada tiap 1 meter kedalaman. Karena masing-masing titik memiliki kedalaman tanah lunak sebesar 40 meter, maka masing-masing titik memiliki data Cu sebanyak 40. Namun, untuk  perhitungan dengan metode ini dilakukan perlayer sesuai dengan jenis tanahnya. Sehingga data Cu yang diolah adalah nilai Cu rata-rata perlayer/per jenis tanah yang sama. Perhitungan rata-rata nilai Cu untuk setiap jenis tanahnya pada masing-masing titik bor dapat dilihat pada Lampiran 5. Pada metode ini, perhitungan nilai SF dilakukan dengan beberapa kombinasi nilai Cu. Adapun kombinasi yang dilakukan adalah: Cu tanpa dikombinasi,

 

untuk (t) = 85 %,

Cu – (1.28     )

untuk (t) = 90 %,

 

untuk (t) = 95 %,  

Cu -

Cu – (1.65

 Nilai Cu yang akan diolah untuk memperoleh nilai SF dengan metode ini dapat dilihat  pada Tabel 6, 7 dan 8. Dimana Tabel 6 merupakan nilai Cu yang akan diolah untuk Titik B1, Tabel 7 untuk Titik B2 dan Tabel 8 Untuk titik B3.

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 7

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik  Tabel 6. Nilai Cu yang akan diolah untuk memperoleh nilai SF pada titik B1. B1 Kedalaman

cu

Cu

Cu- cu

Cu- 1.28cu

Cu- 1.65cu

1 - 28 meter

1.389286

0.393784

0.995501

0.885241708

0.739541488

29-33 meter

18.5

3.354102

15.1459

14.20674948

12.96573176

34-35 meter

20

0

20

20

20

36-37 meter

20

0

20

20

20

Tabel 7. Nilai Cu yang akan diolah untuk memperoleh nilai SF pada titik B2. B2 Kedalaman

cu

Cu

Cu- cu

Cu- 1.28cu

Cu- 1.65cu

1.3

0.634429

0.665571

0.487931037

0.253192353

10-21 meter

3.85

1.24645

2.60355

2.254544636

1.79335832

22-24 meter

1.8

0.173205

1.626795

1.578297497

1.514211617

25-28 meter

1.775

0.05

1.725

1.711

1.6925

29-41 meter

7.325

3.959522

3.365478

2.2568 12158

0.79178911

1-9 meter

Tabel 8. Nilai Cu yang akan diolah untuk memperoleh nilai SF pada titik B3 . B3 Kedalaman

cu

Cu

Cu- cu

Cu- 1.28cu

Cu- 1.65cu

1-4 meter

1.05

0.1

0.95

0.922

0.885

5-9 meter

2.34

0.626897

1.713103

1.537571685

1.305619751

10-15 meter

3.216667

0.116905

3.099762

3.067028882

3.02377421

16-18 meter

3.666667

0.23094

3.435727

3.371063329

3.285615489

3.8

3.8

3.8

7.235097

6.364196983

5.213364719

3.8

19 20-41 meter

0

10.34545

3.110357

Data yang ada dalam Tabel 6, 7 dan 8 tersebut kemudian diolah untuk mendapatkan nilai safety factor dengan menggunakan program Xstabel. Running/ proses pengolahan data Xstabel untuk satu nilai Cu dilakukan secara berulang-ulang untuk memperoleh nilai safety factor yang tersendah dari data tanah tersebut. Hasil running program Xstabel dapat diliha  pada Tabel Tabel 9. Nilai Safety factor dari masing-masing titik bor. B1 Cu

Cu- cu

Cu- 1.28cu

Cu- 1.65cu

0.728

0.54

0.491

0.411

B2 Cu

Cu- cu

Cu- 1.28cu

Cu- 1.65cu

0.69

0.376

0.287

0.155

B3 Cu

Cu- cu

Cu- 1.28cu

Cu- 1.65cu

0.687

0.636

0.546

0.604

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 8

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik 

Dari Tabel diatas diketahui hasil bahwa pada Titik B1 nilai SF minimal adalah 0.411 sedangkan nilai SF maksimal adalah 0.728. Maksudnya adalah untuk pendesaian perkuatan kita boleh mengasumsikan SF adalah 0.411 dengan kurang lebih 5% terjadi sliding tetapi dengan konsekuensi biaya pemasangan perkuatannya relatif lebih mahal. Boleh juga kita mengasumsikan SF adalah 0.491 dengan prosentase terjadinya keruntuhan 10%, atau SF adalah 0.54 dengan prosentase terjadinya keruntuhan adalah 15%. Sedangkan untuk menekan  biaya desain p erkuatan boleh juga mengasumsikan SF= 0.728 dengan prosentase keruntuhan adalah lebih dari 15%. Kesimpulan yang serupa juga dilakukan pada titik B2 dan B3 sesuai dengan nilai SF yang ada di Tabel. Untuk pemilihan penggunaan nilai SF untuk pendesaian  perkuatan adalah tergantung dari keberanian dan pertimbangan lain-lain dari perencana. Metode ini digunakan sebagai ukuran dalam mempertimbangkan suatu desain perkuatan.

Kesimpulan Terdapat banyak perbedaan antara metode Fractile dan Metode Monte Carlo, baik dilihat dari langkah-langkah perhitungan hingga hasil-hasil yang diperoleh. Dilihat dari langkah perhitungan:  Metode Fractile menggunakan hanya 4 data Cu dengan prosentase kegagalan sudah ditentukan terlebih dahulu yaitu 5%,10%,15% dan >15% sedangkan metode Monte Carlo menggunakan lebih dari 20 data dimana hasil akhirnya yang berupa SFmin tersebut dirata-rata baru kemudian dihitung prosentase kegagalan yang terjadi dengan nilai rata-rata Sfmin yang diperoleh tersebut.

 Proses perhitungan dengan metode Fractile lebih cepat dan mudah jika dibandingkan dengan metode Monte Monte Carlo karena pada metode Monte Carlo perlu dilakukan analisa Distribusi terhadap data Cu dan data Sfminimum. Dilihat dari hasil analisa:

 Jika dilihat dari nilai SF mak dan SF min. Hasil perbandingan nilai SF min dan maks dari kedua metode yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 10. Dari perbandingan tersebut dapat dilihat bahwa ternyata nilai SF faktor dengan Metode Fractile baik SF min maupu n SF mak adalah lebih kecil jika dibandingkan dengan metode Monte Carlo. Sehingga dapat disimpulkan bahwa  penggunaan metode Fractile dianggap lebih aman untuk pendesainan perkuatan pada  pelaksanaan dilapangan. Namun dengan metode ini akan meningkatkan biaya anggaran proyek. Lain halnya dengan metode Monte Carlo, dengan metode ini biaya  pelaksanaan pemasangan perkuatan akan lebih murah jika dibandin dengan metode Fractile tetapi konsekuensinya akan lebih tidak aman. Kesimpulan tersebut dapat digunakan sebagai salah satu pertimbangan dalam perencanaan desain.

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 9

 Analisa data dan Keandalan untuk Geoteknik  Tabel 10. Perbandingan nilai SF min dan Mak pada metode Fractile dan Monte Carlo

TITIK

SF

KET Monte Carlo Mak

B1

B2

B3

Fractile 0.921

0.728

…

0.54

…

0.491

Min

0.452

0.411

Mak

1.155

0.69

…

0.376

…

0.287

Min

0.435

0.155

Mak

0.756

0.687

…

0.636

…

0.546

Min

0.679

0.604

 Dilihat dari prosentase kegagalan(kegagalan disini maksudnya adalah kegagalan desain perkuatan sehingga terjadi sliding) Metode Monte Carlo hanya memiliki 1 nilai SF sehingga memiliki 1 nilai prosentase kegagalan,sedangkan metode Fractile memiliki 4 nilai SF dan 4 nilai prosentase kegagalan. Tabel 11. Perbandingan prosentase kegagalan pada metode Fractile dan Monte Carlo

Monte Carlo

Titik

SF

B1

B2

B3

0.73

0.678

0.713

%gagal

7.21

11.7

sangat kecil

Fractile SF

%gagal

0.728

>15

0.54

15

0.491

10

0.411

5

0.69

>15

0.376

15

0.287

10

0.155

5

0.687

>15

0.636

15

0.546

10

0.604

5

Dari Tabel 11 dapat dilihat bahwa terdapat nilai prosentase kegagalan yang berbeda antara 2 metode yang digunakan. Metode Monte Carlo cenderung mengganggap  prosentase kegagalan lebih kecil dibandingkan metode Fractile pada saat nilai SF yang sama. Hal tersebut menyimpulkan bahwa metode Fractile akan lebih aman untuk  pendesaian perkuatan dibandingkan metode Monte Carlo tapi akan lebih mahal.

Metode Fractile dan Monte Carlo

Page 10