Metode Lagrange

METODE LAGRANGE Metode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya. Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimim relatif atau minimum relative dari fungsi f(x,y) yang dipengaruhi oleh fungsi persyaratan g((x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong. F(x,y F(x,y,, ) = f(x,y) f(x,y) + g(x,y g(x,y))

dengan persyaratan :

=0,

= 0,

=0

yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minimum relative. Parameter  yang tidak tergantung pada x, dan y disebut pengali lagrange.

1.Kasus Dengan Satu Pengali Lagrange Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter  sebagai pengali sebagai pengali lagrange. lagrange. Jika f(x,y) merupakan suatu fungsi yang akan ditentuka nilai maksimum atau minimum relatifnya dan g((x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya  berbentuk  F(x,y F(x,y,, ) = f(x,y) f(x,y) + g(x,y g(x,y))

Fungsi penolong penolong F(x,y, F(x,y, ) ini ini adalah adalah fungsi fungsi dari dari tiga variabel variabel x,y dan dan . Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah  juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(x,y) f(x,y) dengan persyaratan g((x,y) = 0

Maka harus dipenuhi persyaratan:

=

+

=0

=

+

=0

= g(x,y) = 0 Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f(x,y).

Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy dengan syarat : g(x,y) = x + y – 16 = 0  jawab : F(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) = xy +

(x + y - 16)

=y+

=0

y=

=x+

=0

x=

= x + y – 16

 – 16 = 0 = 16 = -8

karena

= -8, maka : x = x=8

y= y=8

titik kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai minimum f(x,y) = xy = 8.8 =16 ( nilai minimum)

Contoh 2 :

Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi ongkos gabungan adalah : 2

C(x,y) = x + 3xy – 6y Untuk meminimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harus diproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin. Jawab :  persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42, ditulis : g(x,y) = x + y – 42 = 0 fungsi penolongnya : F(x,y, ) = C(x,y) + g(x,y) 2

= (x + 3xy – 6y) + (x + y – 42)

= 2x + 3y +

= 3x – 6 +

=0

=0

= x + y – 42 = 0 Penyelesaian dari sistem di atas memeberikan x = 33

y=9

=

maka biaya minimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x dan 9 mesin y.

2.Kasus Dengan Dua Pengali Lagrange Metode pengali lagrange diperluas untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan lebih dari suatu persyaratan. Untuk masalah seperti ini, digunakan dua parameter, yaitu

dan

atau

lebih, yang tidak tergantung pada x dan y. Metode lagrange ini juga dapat diperluas untuk  menyelesaikan fungsi yang melibatkan tiga variabel atau lebih. Untuk memperoleh nilai relatif maksimum atau minimum dari fungsi F(x,y,z) dengan  persyaratan

( x,y,z) = 0, dibentuk fungsi pembantu. G(x,y,z, ) = F(x,y,z) +

Yang harus memenuhi persyaratan:

( x,y,z)

=0

=0

=0

=0

Metode ini dapat diperluas jika kita ingin menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum dari fungsi dengan beberapa variabel dan beberapa fungsi syarat. Misalkan kita ingin mencari nilai-nilai maksimum dan minimum fungsi F(x1, x2, x3,…., xk ) yang harus memenuhi kendala

1

(x1, x2,…, xn) = 0,

dibentuk fungsi penolong G(x1, x2,…, xn,

2

1,…….

(x1, x2,…, xn) = 0 ……… k )

=F+

1+

2+

…

k  (x1,

k

x2,…, xn) = 0

k 

Yang memenuhi persyaratan

=0, Dengan

1,

2, ….

k tidak

= 0 , ….

= 0,

= 0,

=0

tergantung pada x1, x2 . . . ,xn dan disebut pengali lagrange.

Contoh 3 Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari fungsi f(x,y,z) = xy + xz dan titik (x,y,z) terletak pada 2

2

 perpotongan antara permukaan antara permukaan x + z = 2 dan yz = 2.

Jawab : Fungsi penolongnya : 2

2

F(x,y,z, , ) = (xz + yz) + (x + z  – 2) + (yz – 2)

=z+2 x =0

=z+ z=0

=

1, z = 0 (tak berlaku)

=x+y+2 z+ z=0

2

2

= x + z  – 2 = 0

= yz – 2

= – 

subsitusikan ke : x + y + 2 z + z = 0 x + y + 2 ( –  2

) z + ( – 1)y = 0

x + y – 

 – y = 0

2

diperoleh x = z subsitusikan kedua persamaan terakhir menghasilkan: 2

2x  – 2 = 0

2

atau x = 1

x

Dari masing-masing nilai x diperoleh dua nilai z, yaitu z =1 dan z = – 1. Persamaan yz – 2 = 0 memberikan y =2 jika z = 1 dan y = – 2 jika z = – 1. Diperoleh kelompok   penyelesaian

x=1,

y=2,

z = 1,

= – 

,

x=1,

y = – 2,

z = – 1,

=

,

x = – 1

y=2,

z=1

=

x = – 1

y = – 2,

z=1

= – 

= – 1

= – 1

= – 1

= – 1

kelompok penyelesaian pertama dan keempat menghasilkan f(x,y,z) = 3, dan kelompok kedua dan ketiga memberikan f(x,y,z) = 1. Maka f(x,y,z) mempunyai nilai maksimum relatif = 3 dan minimum relatif = 1

Contoh 4 Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x,y,z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan 2

2

 potongan tabung x + y = 2 dan bidang y + z = 1

Jawab : 2

2

F(x,y,z, , ) = (x + 2y + 3z) + (x + y  – 2) + (y + z – 2)

1)

=1+2 x=0

3)

=3+

=0

2)

=2+2 y+

=0

4)

5) Dari persamaan 3) diperoleh :

2

2

= x + y  – 2 = 0

= y + z – 1 = 0

= – 3

Persamaan 1) 1 + 2 x = 0

Persamaan 2) 2 + 2 y +

x=-

=0

2 + 2 y – 3 = 0

y= 2

2

subsitusikan ke persamaan 4) = x + y  – 2 = 0

=(-

)2 + (

)2 = 2

=

untuk

=

x = -1

y= 1

z=0

maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z = -1 + 2(1) + 0 = 1 (nilai minimum) Untuk

=

x=1

y = -1

z=2

Maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z = 1 + 2(-1) + 3(2) = 5 (nilai maksimum)

Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P0 dan P1. Karena di titik- titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (mempunyai garis singgung yang sama dan mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi disebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradien

∇f

tegak lurus terhadap kurva ketinggian,

dan dengan cara serupa ∇g tegak lurus terhadap kurva kendala.jadi, ∇f dan ∇g sejajar di Po dan  juga P1. Yaitu: ∇f(Po)

= λ 0 ∇g (P0)

dan

∇f(P1)

= λ 1 ∇g (P1)

λ adalah Multiplier konstanta yang tidak diketahui, diperlukan karena besarnya dari dua gradien mungkin berbeda. Andaikan f (x,y) dimaksimisasi atau diminimisasi dengan batasan g (x,y) = 0. Maka bentuk  fungsi objektifnya adalah;

F ( x, y, λ ) = f (x,y) – λ . g (x, y) Diferensiasikan F ( x, y, λ ) secara Parsial terhadap x, y dan λ dan dinyatakan hasilnya sama de ngan nol.

=

- λ  = 0

=

- λ  = 0

= g (x, y) = 0 Jadi, bila batasan terpenuhi g (x, y) = 0, yang berarti λ  g (x, y) = 0 ( terlepas nilai λ  ). Dalam hal ini fungsi obyektif menjadi fungsi f (x,y) tanpa batasan. Sehingga kemungkinan maksima atau minima memenuhi kendala. Untuk ttik kritis x = a, y = b, maka :



Bila

= 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan Bila

Δ* =

= 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan

=

Maka bila



 Δ* > 0 → max pada x = a, y = b. Bila

< 0 dan



 Δ* > 0 → max pada x = a, y = b. Bila

> 0 dan



 Δ* ≤ 0 → maka tes gagal sehingga harus diuji sekitar x = a,  y = b

2

Perhatikan :



Bila Δ < 0,berarti titik krisis bukanlah merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima tanpa kendala)



Bila Δ* < 0 titik krisis dapat merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima berkendala).

Hal ini berhubungan dengan kenyataan bahwa suatu titik dapat merupakan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kendala walaupun bukan merupakan maksima atau minima fungsi tanpa kendala ( Kondisi yang perlu untuk mencari nilai kritis adalah : Fx = 0, Fy = 0)

Adapun Cara yang mudah untuk menentukan nilai maksima atau minima dengan kendala 2 1. Fxx . Fyy – F xy > 0 maka



Maksimum bila Fxx < 0, dan Fyy < 0



Minimum bila Fxx > 0, dan Fyy > 0

2. Fxx . Fyy – F2xy ≤ 0 maka tes gagal sehingga harus diuji untuk nilai sekitar nilai kritis. Catatan :

 Metode lagrange ini dapat diperluasuntuk fungsi dan variabel n f ( x1 , x2,  x3,.....,  xn ) dengan kendala g ( x1 , x2, x3,....., xn ) = 0 Contoh : 2

2

1. Carilah maksima atau minima untuk  f (x, y) = x +3 y - xy dengan kendala x + y = 1. Penyelesaian: 2

2

F ( x, y, λ ) = x +3 y  – xy – λ . (x + y – 1)

= 2 x – y – λ  = 6y – x – λ 

=  x + y – 1 Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka 2 x – y – λ = 0 6y – x – λ = 0  x + y – 1 = 0 dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =

,y=

,λ =

Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

=2 =6 = -1 2

Δ* = (2) (6) – (-1) = 13

> 0 dan Maka titik  ( 2.

> dan juga Δ* > 0 ,

) adalah minimum dari f (x ,y) 2

2

Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = 3x  – xy + 4y terhadap kendala 2 x +y = 21 Penyelesaian: 2

2

F ( x, y, λ ) = 3x  – xy + 4y  – λ ( 2 x +y – 21)

= 6x – y  – 2λ  = - x + 8y – λ  = 2 x +y – 21 Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka

6x - y  – 2λ = 0 - x + 8y – λ = 0 2 x +y – 21 = 0 dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x = 8,5 , y =

, λ  = 35. Kemudian,

 persamaan tadi, diturunkan lagi

=6 =8 = -1 2

Δ* = (6) (8) – (-1)

> 0 dan Maka titik  (

= 47

> dan juga Δ* > 0 ) adalah minimum dari f (x ,y) 2

2

3. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = x y – x  – y terhadap kendala x + y = 20 Penyelesaian: 2

2

F ( x, y, λ ) = xy – x  – y

 – λ (x + y = 20)

= -2x + y  – λ  = x - 2y – λ  = x + y = 20 Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka -2x + y  – λ = 0 x - 2y – λ = 0 x + y - 20 = 0

dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-10 , y =

,λ = 80

Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

= -2 = -2 =1 2

Δ* = (-2) (-2) – (1)

< 0 dan

< 0 dan juga Δ* > 0

Maka titik  ( 4.

=3

) adalah maksimum dari f (x ,y)

Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan 2

2

fungsi f (x,y) = 3x + y  –  xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 10, sehingga fungsi kendalanya x + y = 10 Penyelesaian 2

2

F ( x, y, λ ) = 3x + y  – xy  – λ (x + y = 10)

= 6x - y  – λ  = 2y – x – λ  = x + y = 10 Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka 6x - y  – λ = 0 2y – x – λ = 0 x + y - 10 = 0 dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-3 , y = Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi

=6

,λ =11

=2 = -1 2

Δ* = (6) (2) – (-1)

= 11

> 0 dan Maka titik  (

> 0 dan juga Δ* > 0 ) adalah minimum dari f (x ,y)

Latihan

1.

2

2

Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = xy – 3x  – 4 y dengan kendala x + y = 14 2

2

2. Carilah maksima atau minima untuk  f (x, y) = 6x + y  – xy dengan kendala 3x – 2y =15 3.

Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis sepeda x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan 2

2

fungsi f (x,y) = 2x + 10y  – xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 26 !