Metode Energi
August 19, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Metode Energi...
Description
[Metode Energi Regangan]
XIII. METODE ENERGI REGANGAN 13.1. Konsep Energi Regangan Konsep energi regangan dijelaskan sebelumnya pada bab batang yang terkena beban normal dan puntir. Konsep-konsep tersebut akan dipakai pada lenturan balok. Hanya balok yang mempunyai sifat elastis linier akan dibahas, sehingga, material harus mengikuti hukum Hooke dan lendutan serta rotasi harus kecil. Ketika suatu batang dibebani, panjangnya bertambah secara berangsurangsur sehingga pada akhirnya tercapai suatu harga pemanjangan maksimum.
13.2. Energi Regangan untuk Batang Lurus yang Dikenai Gaya Tarik P
Gambar 13.1. Balok Dikenai Gaya Tarik
173
[Metode Energi Regangan]
U
P 2 L 2 AE
Dimana,
atau U
L
0
P 2 dx 2 AE
U = Energi regangan (Nm) L = Panjang batang (m) A = Luas penampang batang (m2) P = Gaya (N) E = Modulus y young oung (N/m2)
13.3. Energi Regangan untuk Batang Melingkar
U
T 2 L 2GJ
Dimana,
atau U
L
0
T 2 dx 2GJ
T = Torsi (Nm) G = Modulus geser (N/m2) J =M Momen omen inersia ku kutub tub ((m m4)
13.4. Energi Regangan untuk Batang yang Dikenai Momen Lentur
U
174
M 2 L 2 EI
atau
U
L
0
M 2 dx 2 EI
[Metode Energi Regangan] Dimana,
M = Momenlentur I = Momenarea Momenareakedua kedua
Persamaan di atas dipakai apabila momen lenturnya diketahui. Bila momen lentur M bervariasi sepanjang balok, maka bisa mendapatkan energi regangan dengan menggunakan persamaan di atas yang kedua pada elemen balok dan mengintegrasi mengintegr asi untuk seluruh panjangnya.
13.5. Teori Castigliano Defleksi
di
bawah
titik
gaya
P
dapat
dicari
dengan
teorema
Castigliano. Pada bahan 3 dimensi yang mendapatkan gaya P1, P2,…Pn. P2,…Pn.
U
P 1 2
1
P 2
... ...
2
2
sehingga sehi ngga n
U P n
Karena
U
M 2 dx 2 EI
U M
Mdx
jadi
M M P dx
EI
EI
175
[Metode Energi Regangan]
Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya 1. Carilah defleksi yang terjadi pada balok karena gaya yang diberikan seperti gambar berikut menggunakan menggunakan teori Castigliano. x
P
L
Jawab:
M Px x L
U
0
M 2 dx 2 EI
M P L
2
Px
dx
2 EI
2
L
P x P L 6 EI EI 6 2
3
2
3
0
Menurut teori Castigliano
U P L
M
0
M Px x
M dx P EI
M P
L
sehingga sehing ga
0
Px xdx EI
3
L
Px 3 EI 0
3
PL 3 EI
2. Sebuah cincin tipis seperti gambar, mendapat gaya yang berlawanan arah pada A dan B, carilah carilah momen len lentur tur dan pe pertambahan rtambahan diame diameter ter cincin.
176
[Metode Energi Regangan]
Jawab: Berdasarkan teori Castigliano pada bagian (0 /2) didapatkan rumus: rumus:
P
R R cos
M M A
dengan
2
M M A
1
Rotasi sudut 0o pada A didapatkan : / 2
0
M
M M A
M P R R cos 1 Rd A 2 EI
0
PR 2 2
/ 2
EI
0
M A
Rd
M
PR 2
2
PR 2
1 cos
M R 2 R 1 cos 2 P 2 Maka pertambahan diameter CD adalah:
U 4 P
/ 2
PR 2 PR 1 cos R 2 R 1 cos Rd 2 2 2 2 EI
0
3
PR EI
2
3
8 0.149 PR EI
4
3. Sebuah poros pejal berbentuk tirus dengan nilai-nilai a = 20 mm, b = 30 mm, panjangnya 2 m menahan beban torsi sebesar 2 kNm. Bila G = 100 GN/m 2, berapa sudut puntir sepanjang poros tersebut. (a dan b adalah jari-jari kedua ujung poros tersebut).
177
Diketahui: A = 20 mm
[Metode Energi Regangan]
G = 100 GN/m2
B = 30 mm
T = 2 kNm
L=2m Ditanya: Jawab: J J
32
4
32
r x a
D 4 r
b a L
b a x a L 2
d T dx GJ
x 4
T
b a x G a L
4
dx
2
L
T
0
G
2
b a x a L
4
dx
2T
L
dx
G 0
b a x a L
4
Misal :
b a x u a L du b a L dx du dx L ba L 2T L u du u G ba G b a
2T
L
0
4
L
1 3
2TL 1 3G b a b a x a L
178
3
0
2TL 1 1 0.075rad 3G b a b a L
3
3
0
3
[Metode Energi Regangan] 4. Kerucut pejal dengan penampang lingkaran tergantung secara vertikal (bagian lancip di bawah) terkena beban beratnya sendiri, memiliki tinggi 2 m, diameter 1 m dan berat jenis 10 4 N/m3. Tentukan energi regangan yang tersimpan di dalam benda tersebut. tersebut. E = 250 GN/m2.
D=1m
L=2m
Diketahui: D=1m
L=2m
4
3
= 10 N/m
2
E = 250 GN/m
Ditanya: U Jawab:
Perubahan diameter
x L
D D
D
xD L
Luas dasar
2
x A D 4 L Berat kerucut
179
P Q
1
3 4
[Metode Energi Regangan] 2
x D L
x
P 1 Q
2
dU
P dx 2 AE
2
L x 2 D L
Q
1
x 1
D x
3 4
2
dx
E
2
4
4
x D x L L U x 2 D E L 2
1
2
3
2
2
4
2
0
4
L
U
1
18 4
x 2 D 2 / L2 x 2 2 E
0
2
2
L
dx
2
U D 2 x dx 72 EL 0 4
2
3
D L 2.79 10 Nm 5
360 E
5. Tentukan defleksi yang terjadi dari soal no. 4 Jawab: U
P 2
2 AE dU
U L Q
2 P
0
P dx Q
AE
L P
P dx Q AE
0
2
Q
1
3 4
x D x 1dx L Q 0 AE
L
0
x D x dx L x D E L 2
1
3 4
2
4
L
xdx 3 E x 3 E 1
2
0
180
2
L 0
L2 6 E
2 .67 10 m 8
[Metode Energi Regangan] 6. Tentukan energi regangan dalam sebuah batang prismatik yang salah satu ujungnya digantung, jika disamping beratnya sendiri, ia menyangga pula sebuah beban W pada ujung bawahnya. Jawab: Gaya aksial P yang bekerja:
P A L x W L
U
L
2
P dx
2 EA 0
U
A L x W
2
2 EA
0
2 AL3 WL2
6 E
dx
2 E
W 2 L 2 EA
7. Sebuah batang bundar AB yang salah satu ujungnya dijepit sedangkan yang lainnya bebas, dibebani sebuah momen puntir yang tersebar dalam intensitas konstan q per panjang satuan yang arahnya adalah sepanjang sumbu batang. Hitunglah energi regangan untuk harga-harga numerik berikut: L = 8 m, J = 120 x 10-6 m4, q = 5 kNm/m dan G = 78 GPa.
Jawab: Momen puntir T yang bekerja pada jarak x dari ujung batang yang bebas: T = qx L
U
T 2 dx
2GJ 0
2
U
6GJ
2GJ
L
qx
2
dx
0
5 8 2
3
q L
1
3
Nm 228
6
6 78 120 10
181
[Metode Energi Regangan]
8. Tentukan energi regangan elastis yang disebabkan oleh lenturan pada balok berpenampang berpenamp ang siku empat yang dibebani secara merat merata a sederhana.
Jawab:
wx
M x
L
U
2
M x dx L
1
2
2 EI
w x
0
U U
2 EI
0
U
L x
2
L
1
2 EI 2
4
L
2
2
M x dx
0
2 Lx x
L
w2
L x 2
8
2
2 Lx x 3
4
2
dx
dx
EI 0 2 5 L w L 1
1 1 8 EI 3 2 5 0
wL h U 8 30 EI 16 I 2
5
2
w L
2
16
2
bh3
L
12
h
2
8
30 E
maks 2 E
2
8 AL 45
9. Suatu batang kantilever panjangnya 4 m dibebani oleh sebuah momen besar Mo = 30 kNm pada ujung kantilever tersebut. Gunakan E = 200 GN/m 2 dan
I=
25 x 10-6 mm4. a) Tentukan besarnya energ energii regangan b) Dengan
menggunakan
teorema
Castigliano,
tentukan
besarnya
lendutan pada ujung kantilever kantil ever
Q
Diketahui: L = 4 m Mo = 30 kNm E = 200 GN/m2 I = 25 x 10-6mm4 Ditanya: a) U
182
b)
4m
Mo
[Metode Energi Regangan] Jawab: a. Besar energi regangan L
U
0
U
2
M dx 2 EI
M o 2 L 2 EI
M dx M o x o EI 2 EI 2 2
L
2
L
0
0
30 10 4 360 Nm 2200 10 25 10 3
2
9
6
b. Besar lendutan pada ujung kantilever
dU dQ
dU dM dM dQ
M Qx M o
M x Q M L M Q dx L Qx M o xdx 0
EI
EI
0
Gunakan Q 0
L
M xdx M o x M o L 30 10 4 48mm o EI 2 EI 2200 10 25 10 2 EI L
2
2
3
9
0
2
6
0
10. Suatu kantilever tersusun dari dua bahan yang berbeda jenis dan ukurannya.
Bahan pertama pertama adal adalah ah baja panjangnya 2 m mempunyai modulus elastisitas
E
= 200 GPa dan momen inersia I = 50 x 10 6 mm4. Sedangkan bahan kedua adalah besi tuang yang panjangnya 1 m, mempunyai E = 150 GPa dan I = 80 x 106 mm4.
P
1m
2m
Tentukan: a) Besarnya energi regangan yang tersimpan b) Besarnya defleksi pada ujung kantilever (gunakan teorema Castigliano)
183
Diketahui:
[Metode Energi Regangan]
P = 20 kN
Ditanya:
E1 = 150 Gpa
E2 = 200 GPa
I1 = 80 x 10 6mm4
I2 = 50 x 106mm4
a) U b)
Jawab: a. Besarnya energi regangan L
U
0 2
U
0
I 2 E 2 2 3
3
dx
6 E 2 I 2
6 E 2 I 2
Px
2
2
dx
I 2 E 1 1
I 2 E 1 1
P x 2
27 P
6 E 1 I 1
3
dx
6 E 1 I 1
2
8 P
3
P 2 x 2 dx
2
0
dx
I 2 E 2 2
2
2
U
2
Px
0
P 2 x 2 dx
P x
2 EI
2
U
2
M 2 dx
3
2
2
8 P
6 E 1 I 1
13.3 37.5 11.1 39.7 Nm
b. Besar defleksi pada ujung kantilever 2
0
Px 2 dx E 2 I 2
3
2
Px 2 dx E I 1 1
2
3
Px Px 3 E I 3 E I 8 P 27 P 8 P 2.7 10 7.5 10 2.2 10 8mm 3
2
2
0
3
1
1
2
3
3 E 2 I 2
3 E 1 I 1
3
3
3 E 1 I 1
11. Carilah defleksi yang terjadi karena gaya yang diberikan seperti gambar berikut dengan menggunakan teori Castigliano. Casti gliano.
184
[Metode Energi Regangan]
Jawab: L
U
M 2 dx 2 EI
0
L / 2
U
2
Px
dx
2 EI 1
0
2
Px dx 2 E 2 I L
0
1
Menurut teori Castigliano
U P
L
M
0
M dx M P M Px x P EI
sehingga sehi ngga L / 2
0
12. Bandingkanlah
Px xd xdx x EI 1
Px xd xdx x E 2 I L
L / 2
1
3
9 PL
48 EI 1
energi regangan pada ke ketiga tiga batang seperti gamb gambar ar berikut
nilai P = 150 MPa.
185
[Metode Energi Regangan]
Jawab:
A L 2
U
2 AE
A 2 L 2 E
Untuk batang pertama: 2
U 1
3
1000150 5 10 122.5 MNm 2 E
2 E
Untuk batang kedua:
100075 2.5 10 500150 2.5 10 42.2 MNm 2
U 2
3
2
2 E
3
2 E
2 E
Untuk batang ketiga:
500150 5 10 56.25 MNm 2
U 3
3
2 E
2 E
maka perbandingan energi energi regangannya adalah 8 : 3 : 4 13. Baja memiliki G = 80 GN/m 2 memiliki torsi sebesar 5 kN, torsi pada sambungan adalah sebesar 8 kN dan bekerja berlawanan arah, carilah total energi regangan dalamnya.
Jawab: Untuk bagian bawah:
J
186
4 D
32
75
32
4
3.1 10
6
mm 4
[Metode Energi Regangan] Untuk bagian atas:
J
4 D
32
4
100
32
9.81 10
6
mm 4
Maka didapatkan energi regangan sebesar:
U
T 2 L 2GJ 1
T 2 L 2GJ 2
5000 1 10 3
U
2 80 10
3
10 3000 1 10 10 56 .1kNm 3.1 10 280 10 9.81 10 3
3
6
2
3
3
3
3
2
6
187
[Metode Energi Regangan]
Latihan Soal 1.
Buktikan bahwa energi regangan elastis yang disebabkan oleh lenturan untuk balok siku empat yang dibebani secara merata sederhana adalah (σ 2maks /2E) (8/45 AL ) dimana σmaks adalah tegangan lentur maksimum, A adalah luas penampang sedang L merupakan panjang balok.
2.
Dengan menggunakan teorema Castigliano, tentukanlah defleksi titik tangkap gaya P pada balok yang penampangn penampangnya ya berukuran diameter 50 mm dan 30 mm seperti terlihat pada gambar di bawah ini. P
1m 3.
2m
Dengan menggunakan teorema castigliano, tentukanlah persamaan defleksi maksimum untuk sebuah balok sederhana yang dibebani secara merata yang mempunyai EI yang yang konstan, dalam bentuk-bentuk w, L, dan EI .
4. Suatu batang kantilever panjangnya 3 m dan ukuran penampangnya 50 × 30 mm dibebani oleh sebuah momen besar Mo = 35 kNm pada ujung kantilever tersebut. Gunakan E = 200 GN/m2
a) Tentukan besarnya energi regangan b) Dengan menggunakan teorema Castigliano, tentukan besarnya lendutan pada ujung kantilever
Q
3m
188
Mo
[Metode Energi Regangan] 5. Batas elastik suatu baja tertentu 250 GN/m 2 dan modulus elastisitasnya E sama dengan 200 GN/m2. Berapakah besarnya energi mampu kembali yang dapat disimpan pada setiap kubik bahan tersebu tersebut? t?
Kerjakan untuk duniamu seperti akan hidup abadi, kerjakan untuk akheratmu seakan-akan besok pagi akan mati. (Sahabat Ali RA)
189
View more...
Comments
