Metode elemen hingga Elemen Beam

ELEMEN BEAM

Oleh: Dr.Eng Moch. Agus Choiron Teknik Mesin Universitas Brawijaya Malang 

APLIKASI LENDUTAN Dalam perencanaan suatu bagian mesin atau struktur selain perhitungan tegangan yang terjadi akibat beban yang bekerja, besarnya lenturan seringkali harus diperhitungkan. Kerusakan serius pada bagian mesin akibat besar lenturan yang melebihi batas yang diijinkan berupa : a. Keretakan pada bahan b. Bantalan pada poros yang berputar cepat rusak. c. Bidang kontak antara roda-roda gigi menjadi tidak sempurna. Besarnya lenturan yang terjadi tergantung pada beberapa faktor : a. Sifat kekakuan bahan (modulus elastisitas) b. Posisi batang terhadap beban dan dimensi batang (momen inertia batang). c. Besarnya beban yang diterima

PEMODELAN LENDUTAN DENGAN METODE ELEMEN HINGGA Lendutan batang dijelaskan dalam elemen beam sebagai fungsi perpindahan v(x) :  2

node  4 perpindahan (v1, 1, v2 dan 2 )

y, v 1

EI

2

1

x, u

L

v1

2

v2

Solusi pendekatan yang dipilih adalah fungsi polinomial cubic

v(x) = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3 v/x

………… (1)

=  (x) = a2 + 2 a3 x + 3 a4 x2 ………… (2)

Persamaan kondisi batas pada node v = v1  dan v/x = 1 pada x = 0 v = v2  dan v/x = 2 pada x = L v     v  

1

1

2

2

     

1 0  1  0

0

0

1

0

L 

2

L 

1

2L 

 a 1    0 a  2    3 L   a  3    2 3L   a    4 0

………… (3)

a 1  a   1  2     L a  3   a  4  

3

 L 3 0  3 0 L    3L   2L 2  L   2

0 0 3L 

2

  0   L 2   L   0

v  1      1   v  2   2 

Dimasukkan kembali pada fungsi polinomial cubic (1) sehingga :

v(x) = N1(x) v1 + N2(x) 1 + N3(x) v2 + N4(x) 2 dengan : Shape Function

………… (4)

Persamaan stiffness dari elemen beam didapat dengan menggunakan teorema Castigliano yaitu : U  Fi = q i

………… (5)

Dengan : Fi = nodal force/moment U = strain energy q = perpindahan/rotasi nodal i = jumlah dof

Carlo Alberto Castigliano

Strain energy elemen beam dengan uniform cross section : U=

E I  2

2

  v    x   dx ………… (6) L

2

2

0

Sehingga dibutuhkan differensial terhadap shape function untuk memenuhi persamaan (6)

 v = N1’’(x) v1 + N2’’(x) 1 + N3’’(x) v2 + N4’’(x) 2 …… (7)  x 2

2

dengan :

Dengan memasukkan persamaan (7) ke dalam teorema castigliano, maka diperoleh :

Contoh untuk menghitung k11 :

Dengan prosedur yang sama untuk M1, Y2, M2 dan dapat dihitung masing-masing nilai knya sehingga dapat dirumuskan persamaan stiffness :

atau dalam simbol :

{F} = [K] {q}

Contoh kasus : Hitung displacement di titik 2 pada kasus struktur beam di bawah ini.

Model Elemen Hingga dapat digambarkan sebagai berikut :

Persamaan

{F} = [K] {q} didefinisikan sesuai informasi kasus :

Masukkan Harga pembebanan (Y2 = -P, M2 = PL dan M3= 0) ; Harga displacement kondisi batasnya (v1 = 1 = v3 = 0),

Dihitung [k] lokal masing-masing elemen

 [k]1 dan

[k]2

Assembly [k]1 dan [k]2 menjadi elemen kekakuan global [K] G

Simetri

Dimasukkan ke persamaan {F} = [K] {q} sehingga:

Simetri Teknik partisioning  ukuran matriknya berkurang menjadi 3 x 3

Dapat dihitung displacement di titik 2 :

TERIMA KASIH