Metoda Proste Iteracije

METODA PROSTE ITERACIJE

Metoda proste iteracije sastoji se u sljedećem. Prvo se jednačina  f ( x) = 0 zamjeni sa njoj ekvivalentnom jednačinom

 x = g ( x ) ,  što se može obaviti na mnogo mnogo načina od kojih svi nisu podjednako pogodni. Rekurzivna formula za generisanje sukcesivnih aproksimacija je aproksimacija  je

 xn

1 =

+

g ( xn )

(n=0,1,2...)

gdje je:

 x n 1 - tekuća aproksimacija, +

 xn - prethodna aproksimacija g ( xn )  - vrijednost funkcije funkcije u  x n Početna aproksimacija se uzima proizvoljno. Metoda proste iteracije konvergira linearno. I mada ova metoda konvergira približno tri puta pu ta brže od metode polovljenja intervala, njena prednost nije u brzini konvergencije, jer ona ne konvergira uvijek. Prednost ove metode je ta da je nju lako generalisati na rješavanje sistema jednačina. Zadatak 1 Za zavareni sastavak sastavak na slici opterećenom silom F  i obrtnim momentom  M 0 potrebno je: Odrediti standardni prečnik d  i debljinu ugaonog zavara a na bazi statičkog proračuna ako je

d / a = 4, F=10kN=konst, M 0 = 0 − 250 kNcm , materijal dijelova je Č.0645

čija je granica

= 215MPa , a statički stepen iznosi vs = 4 , a koeficijent

razvlačenja τ v sigurnosti

ξ  z

=

0,6 0, 6 . 1

Var je opterećen na smicanje i uvijanje:

τ s = τ u =

F

F 

=

=

       d         O

M0

 A d π a  M 0 W 0

F a    

M 0

2 4 π 4 π   d d a 2 − − ( ) d   32 32 

Ukupni napon je τ

=

τ s + τ u

Obzirom da je d/a=4 jednačina za izračunavanje ukupnog napona izgleda: izgleda:

τ =

F d π 

d 

4

+

 M 0 4 2 π   4  d     d −  d − 2   d  32  4   

τ doz , z = τ doz ⋅ ξ z =

τ v vs

⋅ξ z = 

215 4

=

4 F  d 2π

+

256M 0 15π d 3

≤ τ doz, z

⋅ 0,6 = 32,25 MPa

odakle je

1

 Nedžad Rep čić, Adil Muminović, Hazim Bašić, Amir Šteta, Zbirka zadataka iz mašinskih konstrukcija, Mašinski fakultet Sarajevo, Sarajevo, 1996, str. 33. Zadatak 11.

4

 +

2 

4 ∙ 10 2 

+

2560  = 3,225 15 3

256 ∙ 250

= 3,225

15 3

3

 − 3,95 ∙  − 421,2 = 0

Prečnik odrediti metodom proste iteracije! Rješenje: Našu funkciju ćemo napisati u sljedećem o bliku:

 x = g ( x ) Pa dobivamo:

d

=

1 3,95

d 3 −

421, 2 3, 95

Rečeno je da se to može uraditi na više načina od kojih nisu svih podjednako pogodni. Pa sad pravimo rekurzivnu formulu za naš slučaj: 1 421,2 3 +1  =  − 3,95 3,95 Početna aproksimacija se uzima proizvoljno: 0  = 0

A ostale se računaju: 1

1  =

3

3,95 1

2  =

0 −

421,2

3

3,95

1 −

3,95 421,2 3,95

I tako dalje, dok se ne konvergira, ako postoji konvergencija. Metoda proste iteracije ne konvergira za ovaj slučaj.

Zadatak 2 Metodom proste iteracije naći korijen jednačine  f ( x ) = e

−x

Rješenje: Jedan od načina izbora funkcije g ( x ) je:

g ( x) = e

−x

Pa se dobiva sljedeća rekurzivna formula:  x

n +1

= e

−  x n

−x.

Broj iteracija Počet aproksim 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

x 0,0000

g(x)  1

Greška

1,0000 0,3679 0,6922 0,5005 0,6062 0,5454 0,5796 0,5601 0,5711 0,5649 0,5684 0,5664 0,5676 0,5669 0,5673 0,5671 0,5672 0,5671 0,5672 0,5671 0,5671 0,5671 0,5671 0,5671 0,5671 0,5671

0,367879 0,692201 0,500474 0,606244 0,545396 0,579612 0,560115 0,571143 0,564879 0,568429 0,566415 0,567557 0,566909 0,567276 0,567068 0,567186 0,567119 0,567157 0,567135 0,567148 0,567141 0,567145 0,567142 0,567144 0,567143 0,567143

100,0000 171,8282 46,8536 38,3091 17,4468 11,1566 5,9034 3,4809 1,9308 1,1089 0,6244 0,3556 0,2012 0,1143 0,0648 0,0367 0,0208 0,0118 0,0067 0,0038 0,0022 0,0012 0,0007 0,0004 0,0002 0,0001

Metoda proste iteracije konvergira u ovom slučaju. Metoda proste iteracije

1,5 1      x            )         )      x            (         ^       e         (      =         )      x         (         f

0,5

x g(x)

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,5

1,4

f(x)

-1 -1,5

Sa dijagrama vidimo da funkcija  f ( x) ima nulu ondje gdje se sijeku funkcije  y

= x  i  y = g ( x ) .