metod sila

Dodtatak 1-Metoda sila

201

DODATAK 1 METODA SILA D1.1 Osnovni sustav u svjetlu statičke neodreñenosti Početni korak u primjeni metode sila je provjera kinematičke stabilnosti i odreñivanje stupnja statičke neodreñenosti. Primjerice konstrukcija na crtežu D1.1 ima s = 1 × 3 − 2 × 3 = −3 (D1.1) stupnjeva slobode, odnosno sustav je kinematički stabilan i tri puta statički neodreñen jer ima tri prekobrojne veze. Nakon potvrde kinematičke stabilnosti i stupnja statičke neodreñenosti pristupa se kreiranju osnovnog sustava. Osnovni sustav nastaje modifikacijom polaznog sustava tako da se odbaci onoliko veza koliko ih je prekobrojnih tako da osnovni sustav postaje statički odreñen i kinematički stabilan. Općenito je to moguće učiniti na više, a ponekada i na beskonačno mnogo načina. Bira se onaj koji daje kraći proračun U konkretnom primjeru to je prikazano na crtežu D1.2.

≡

Crtež D1.1 Zadani sustav

Crtež D1.2 Osnovni sustav

Polazni sustav u cjelosti nadomještamo osnovnim sustavom na koji djeluju : (1) redom nepoznate sile na mjestu odbačenih veza sada kao vanjske sile prikazane na crtežima D1.3 D1.5, (2) vanjske sila odnosno opterećenje zadano kao i na polaznom sustavu, prikazane na crtežima D1.6.Odbacivanjem prekobrojnih veza fiktivno se pojavljuje diskontinuitet pomaka na mjestu i u smjeru odbačene veze. Jednadžbe neprekinutosti Odgovor osnovnog sustava može se prikazati kao superpozicija svih djelovanja

O x = o x1 x1 + + o xi x i + +o xn x n + O xo

(D1.2) Rješenje se može postaviti i za pomake na bilo kojem mjestu pa tako i za pomake na mjestu i u smjeru obačenih veza. U linearnoj kombinaciji (D1.2) može se postaviti zahtjev očuvanja neprekinutosti upravo na tim mjestima što daje sustav jednadžbi neprekinutosti

p11 x1 + + p1i x i + + p1n x n + p 1o = 0 p i1 x1 + + p ii x i + + p in x n + p oi = 0

(D1.3)

p n1 x1 + + p ni x i + + p nn x n + p on = 0 Mihanović, Trogrlić

Grañevna statika II

202

1. Neodreñeni punostijeni nosači

ili skaraćeno

Px = p o

(D1.4)

koji osigurava traženo rješenje. U jednadžbi (D1.3 je : (1) p ij relativni pomak na mjesti i u o

smjeru djelovanja jedinične sile i usljed djelovanja jednične sile x j = 1, (2) p i relativni pomak na mjesti i u smjeru sile i usljed djelovanja zadanog opterećenja. Matrica P je zapravo matrica pomaka. Još ju se naziva matrica deformabilnosti a u slučaju deformiranja samo savijanjem može se nazvati savojnom matricom. ^im je osnovni sustav odabran kao kinematički stabilan, matrica pomaka je regularna i simetrična. Ukratko, načelo metode sila je da se iz lineare kombinacije uravnoteženih stanja (D1.3) bira ono koja još daje i kontinuitet na mjestima odbačenih veza, čime je zapravo postignuto rješenje statičke zadaće na polaznom sustavu. U praktičnoj provedbi metode potrebno je odrediti rezne sile za pojedinčna djelovanja jediničnih, dakle nepoznatnih sila, i zadanog opterećenja, a pomoću njih i relativne pomake na mjestima prekinutih veza. Odgovor osnovnog sustava na opterećenja jediničnih sila Opterećenje silom x1 = 1 Dijagrami rezni sila i kao i skica polja pomaka prikazani su na crtežu D1.3.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Crtež D1.3 Odgovor osnovnog sustava na prvu jedičnu sila

Opterećenje silom x 2 = 1 Dijagrami rezni sila i kao i skica polja pomaka prikazani su na crtežu D1.4. Grañevna statika II

Mihanovć, Trogrlić

Dodtatak 1-Metoda sila

203

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Crtež D1.4 Odgovor osnovnog sustava na drugu (i-tu) jediničnu silu

Opterećenje silom x 3 = 1 Dijagrami rezni sila i kao i skica polja pomaka prikazani su na crtežu D1.5.

(a)

Mihanović, Trogrlić

(b)

Grañevna statika II

204

1. Neodreñeni punostijeni nosači (d)

(c)

(e)

Crtež D1.5 Odgovor osnovnog sustava na treću (n-tu) jediničnu silu

Odgovor osnovnog sustava na zadano opterećenje Dijagrami rezni sila i kao i skica polja pomaka prikazani su na crtežu D1.6.

(a)

(b)

(c)

(d)

Crtež D1.6 Odgovor osnovnog sustava na zadano opterećenje

Odreñivanje relativnih pomaka načelom virtualnog rada. Relativne pomake u metodi sila odreñuje se načelom virtualnog rada. Sukladno izrazu (D1.xx) u bilo kojem presjeku štapa u ravnini deformacije su izražene kao:

{

ε = {du / dx, dv p / dx, d 2 v s / dx 2 } = u ′, v ′p , v s T

″

}

T

(D1.5)

dok je veličina reznih sila u presjeku sukladno (D1.94) , (D1.95) dana kao

 N x   EAx   Q =  T x  =  0 M   0  x 

0 GA y 0

0  u ′    0  v ′p  EI   v ′s′ 

(D1.6)

Izjednačenjem rada vanjskih i unutrašnjih sila, sukladno relaciji (D1.xy) izlazi:

Grañevna statika II

Mihanovć, Trogrlić

Dodtatak 1-Metoda sila

205

p ij = ∫ (n xi n xj / EAx + t xi t xj / GA y + m xi m xj / EI )dx L

(

)

(D1.7)

p = ∫ n xi N xo / EAx + t xi T xo / GAy + m xi M xo / EI dx o i

L

gdje se integracija vrši po svim dijelovima konstrukcije. U praktičnoj provedbi relacija (D1.7) integracija se obavlja od štapa do štapa koristeći principe numeričke integracije, Gaussove i ostale. Ako se neka od deformacija može izostaviti jer je njen utjecaj malen, obično deformacija poprečne sile, a često i uzdužne sile, tada se postupak integracije bitno pojednostavnjuje. o

U nastavku se prikazuje izračun koeficijenata p11 , p1 za konkretne vrijednosti mehaničkih veličina za okvir s crteža D1.1 visine 4.0 m poprečnog presjeka 40/40 cm, zatim prečka raspona 8.0 m poprečnog presjeka 80/40, te modul materijala E=30 GPa. Prvi koeficijent deformabilnosti se može prikazati kao

p11 = I 1 + 2 I 2 + I 3 gdje je: 1 × 4  2 1 2  0 .5 × 4  1  I1 = ∫ ε D ε dx = 0.5 2 × 4 / 4800 + 0.5 2 × 4 / 2400 +   1 + 0 .5  +  1 + 0.5   / 64 = 3 2 3 3    2 3 h

= 0.000208 + 0.000417 + 0.036458 = 0.0371[MNm]

Vidljivo je da se utjecaj uzdužnog i poprečnog deformiranja u odnosu na savijanje može zanemariti.

I2 =

∫ε

x1

0.5 × 4 1 0.5 / 512 = 0.000325[MNm] 2 3

Dε x1 dx =

l /2

I 3 = ∫ ε x1 Dε x1 dx = h

0.5 × 4 1 0.5 / 64 = 0.00264[MNm] 2 3

p11 = 0.0371 + 2 × 0.000325 + 0.00264 = 0.0404[MNm] Drugi koeficijent imati će veličinu:

p1o = I1 + 2 I 2 + I 3 gdje je:  0.02 × 4  1 1 2  0.08 × 4  1  I1 = ∫ ε x1 Dε xo dx =   1 + 0.5   / 64 = 0.00307[MNm ]  1 + 0 .5  + 2 / 3 2 2 2 3 3      h

I2 =

∫ε l /2

x1

Dε xo dx =

0.08 × 4 1 0.5 / 512 = 0.000052[MNm] 2 3

0.08 × 4 1  0.02 × 4 1  I 3 = ∫ ε x1 Dε xo dx =  0 .5 + 0.5  / 64 = 0.000885[MNm ] 2 3  2/3 2  h

p1o = 0.00307 + 2 × 0.000052 + 0.000885 = 0.00400[MNm] Mihanović, Trogrlić

Grañevna statika II

206

1. Neodreñeni punostijeni nosači

Cjeloviti sustav jednadžbi neprekinutosti za promatrani primjer ima oblik

40.4 0.65 − 21.48  x1  − 4.0      −3  57.29 0.65 10  x 2  =  0 10 −3   x   4.0   sim. 40.4   3   Čije je rješenje

x1 = −0.0647 MNm, x 2 = 0, x3 = 0.0647 MNm Primjer obostrano uklještene grede Analizira se obostrano uklještena greda prikazana na crtežu D1.7. Osnovni sustav je odabran kako je prikazano su na crtežu D1.8. Opterećenja jediničnim silama i zadanim opterećenja te pripadni dijagrami prikazani su na crtežu D1.9.

Crtež D1.7 Zadani sustav

Crtež D1.8 Osnovni sustav

Crtež D1.9 Opterećenja i rezne sile osnovnog sustava

Redom su koeficijenti matrice pomaka

p11 =

1× l 2 1× l 1.0 / EI , p12 = 2 3 2 o p 22 = p11 , p 2,3 = 0, p 2 =

ql 2 2 1 1 1.0 / EI , p1,3 = 0, p1o = l / EI 3 8 3 2 p1o , p33 = 1 × l × 1.0 / EA, p3o = 0

Jednadžba neprekinutosti glasi

− ql 3 / 24 0   x1  l / 3 l / 6 1    x  = 1 − ql 3 / 24 l / 3 0    2  EI  EI       sim.  l A/I  x 3  0   s rješenjem :

x1 = − ql 2 / 12, x 2 = − ql 2 / 12, x3 = 0

Grañevna statika II

Mihanovć, Trogrlić

Dodtatak 1-Metoda sila

207

Primjer mosta s popuštanjem oslonaca Prati se nosač preko tri oslonca prikazan na crtežu D1.10 kojem je popustio srednji oslonac. Traži se odgovor sustava metodom sila. Izbor osnovnog sustava, opterećenja i pripadni dujagrami prikazani su na crtežu D1.11.

Crtež D1.10 Opterećenja i rezne sile osnovnog sustava

(a)

(b)

Crtež D1.11 Osnovni sustav, opterećenja, rezne sile i pomaci osnovnog sustava

Crtež D1.12 Osnovni sustav, opterećenja, rezne sile i pomaci osnovnog sustava

Jednadžba neprekinutosti ima oblik

p11 = 2

p11 x1 = − p1o , gdje je

1× l 2 1.0 / EI , p1o = −2δ / l , te je traženo rješenje x1 = 3EIδ / l 2 . 2 3

Pripadajući dijagrami momenata savijanja i poprečnih sila prkazani sun a crtežu D1.12.

Mihanović, Trogrlić

Grañevna statika II

208

1. Neodreñeni punostijeni nosači

D1.2 LITERATURA [D1.A1] Anñelić M., Statika neodreñenih štapnih konstrukcija, DHGK Zagreb 1933. [D1.Đ1] Đurić M. i Jovanović P., Teorija okvirnih konstrukcija, Grañevinska knjiga Beograd, 1977. [D1.N1] Noris C. D., Wilbur J. B. and Utku S., Elementary Structural Analysis, McGrawHill, New York 1976. [D1.P3] Prokofjev I.P. i Smirnov A. F., Teorija konstrukcija III, Grañevinska knjiga, Beograd 1961. [D1.S1] Schreyer., Ramm H. und Wagner W., Prakticshe Baustatik Teil 2, Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1960.

Grañevna statika II

Mihanovć, Trogrlić