Methodes Sismiques. Comportement Élastique Des Roches

Cours de prospection sismique COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROCHES By Djeddi Mabrouk

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Mabrouk .Cours

de

prospection

sismique

(Comportement

élastique

des

roches).Département de Géophysique de la FHC.Université M’Hamed Bougara de Boumerdes Algérie 03/2016.

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METHODES SISMIQUES. COMPORTEMENT ELASTIQUE DES ROCHES Introduction La géophysique est une branche des sciences de la terre qui consiste à étudier les propriétés physiques du globe terrestre.Elle englobe plusieurs disciplines tel que le géomagnétisme, l’electrométrie ,la gravimétrie, la sismologie , la radiométrie , l’electromagnétisme et la méthode sismique d’exploration. Cette dernière se divise principalement en deux grandes familles - La sismique réflexion - La sismique réfraction Les deux méthodes se basent sur la propagation des ondes acoustiques(sismiques) dans le sous-sol. Caracteristiques élastiques des roches Nous nous contenterons de rappeler très succintemenet la théorie d’élasticité qui est à la base de la bonne comprehension de la propagation des ondes élastiques (sismiques) en effet, La théorie de l’élasticité des materiaux est à la base de la transmission des ondes acoustiques(sismiques) et donc les méthodes d’exploration sismique et la sismologie tirent profit de cette théorie. Il est donc utile de rappeler succinctement certains paramètres ou modules élastiques pour un corps homogène et isotrope soumis à une contrainte sans subir une déformation permanente.

Il n’existe pas de solides qui ne se déforment pas. Tout corps soumis à de très faibles contraintes (forces par unité de surface) se déforme , il subit un comportement élastique appelé domaine d’élasticité. On dit qu’il est élastique au sens général du terme .Par la suite on considère que tout materiau homogène et isotrope se trouvant à des températures et des presssions relativement faibles peut être consideré parfaitement élastique , à condition que les déformations dont il était l’objet , soient petites. Dans ces conditions, on observe deux propriétés : -

Une relation linéaire entre la contrainte appliquée et la déformation du materiau.

- Une reversibilité de la déformation .Lorsque la contrainte appliquée cesse d’agir, le corps retrouve son état initial. Lorsqu’un corps est soumis à une force 𝑭 appliquée sur une petite surface , il subit trois(3) types de déformation -

Des déformations de compression

- Des déformations de tensioqui sont de même nature que les déformations de compression.Dans les deux cas ce sont des déformations longitudinales.

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-Des déformations de cisaillement .La force appliquée est parallèle à la surface et la déformation est de nature angulaire . Les propriétés élastiques des materiaux sont regies par la loi de Robert Hooke (physicien anglais 1635-1703) qui exprime une relation de proportionnalité entre contraintes et déformations, relation que l’on peut établir par les constantes ou modules élastiques.Ils caracterisent les propriétés élastiques des materiaux. Rappel succint des contraintes et deformations Contraintes Lorsqu’une roche (solide) est soumise à des faibles contraintes, elle se déforme et reprend sa forme initiale quand la contrainte cesse .La déformation est réversible, c’est un comportement élastique. La contrainte se définit comme étant une force appliquée à une certaine unité de surface. C’est une propriété ponctuelle(un tenseur) .On distingue deux types de contraintes fig 1 (a). - Les contraintes normales 𝝈 - Les contraintes de cisaillement 𝝉

a Fig 1 :(a) type de contrainte𝑠,

b (b) nombre de composantes de contrainte sur un petit cube

Il existe 9 composantes de contrainte sur un petit cube (fig1.b)dont - 3 contraintes normales 𝝈𝒙𝒙 , 𝝈𝒚𝒚 , 𝝈𝒛𝒛 - 6 contraintes tengentielles(contraintes de cisaillement) 𝝉xy , 𝝉yx , 𝝉xz , 𝝉zx , 𝝉yz, 𝝉zy Les contraintes de cisaillement qui se correspondent sont égales

𝝉xy = 𝝉yx = 𝝉xz = 𝝉zx = 𝝉yz = 𝝉zy 3

On peut donc representer les composantes des contraintes à l’aide d’une matrice .

𝜎𝑥𝑥 |𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 | 𝜎𝑧𝑧

Déformations Les déformations sont des déplacements par unité de longueur causées par les contraintes . La relation entre déformation et contrainte est souvent linéaire et la transmission des ondes sismiques dans le sous –sol est permise par cette propriété élastique des roches. Les déformations dans la direction de contrainte entrainent toujours des déformations dans les autres directions. La figure 2 montre le domaine d’élasticité linéaire 𝑂𝐴 de la courbe contrainte déformation .Il se caracterise par : -Une relation de proportionnalité entre la contrainte appliquée et la déformation du materiau -une reversibilité de la déformation lorsqu’on relâche la force, le materiau revient à son état initial Pour de très petites déformations, la courbe contrainte–déformation est linéaire, avec une pente 𝑬 (module d’Young).La relation de proportionnalité 𝑬 entre la contrainte 𝜹 et la déformation 𝜺 est :

𝜹 = 𝑬. 𝜺 𝑬 s’appelle module d’Young .Il représente la pente de la courbe 𝑶𝑨 dans le domaine d’élasticité L’unité du module d’Young 𝑬 est la même que celle d’une contrainte(force par unité de surface,𝑭/𝑺).Comme les déformations sont sans unité,alors l’unité en système international d’une pression est le Pascal (𝑃𝑎 = 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛/𝑚2 ). Il ya également d’autres unités tel que : le 𝑚é𝑔𝑎 − 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 ( 1𝑀𝑃𝑎 = 106 𝑃𝑎) le 𝑔𝑖𝑔𝑎 − 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 (1𝐺𝑃𝑎 = 109 𝑃𝑎 ) le 𝑘𝑔𝑓/ 𝑚𝑚2 = 9.81 𝑁/𝑚𝑚2 le 𝑝𝑜𝑢𝑛𝑑 𝑝𝑒𝑟 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑐ℎ ( 𝑝𝑠𝑖 = 6.895. 103 𝑃𝑎)

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fig2 :comportement des materiaux soumis à des efforts

Constantes élastiques des roches 1-

Module d’Young

Les propriétés élastiques des materiaux sont definies par des constantes élastiques permettant d’établir une relation entre la contrainte qui leur est appliquée et la déformation engendrée.En 1676, le physicien anglais Robert Hooke(1635- 1703) a établi une relation linéaire de proportionnalité entre les contraintes et les déformations , relation que l’on peut exprimer par les constantes élastiques determinées comme suit : Tout materiau isotrope soumis à une faible contrainte (force appliquée par unité de surface, 𝑭/𝑺𝟎 ) subit un raccourcissement (ou un allongement) fig 3 (a,b) Le module d’Young 𝑬 s’exprime par la relation :

𝑬 =

𝑭 𝑆0 ∆𝒍 𝑙𝑜

=

𝜹

Si l’échantillon ∆𝒍 𝒍𝒐

=

𝟏 𝑬

.

𝑭 𝑺𝟎

soit

𝜺

=

𝜹 = 𝑬. 𝜺

de section 𝑺𝟎 possède un diamètre 𝒅𝟎 , on aura : 𝟏 𝑬

.

𝑭 𝝅𝒓𝟐

𝟏

= .

𝟒.𝑭

𝑬 𝝅𝒅𝟐𝟎

𝑭 ∶ force appliquée 𝑺𝟎 :section initiale ∆𝒍 ∶ Allongement (ou raccourcissement) du materiau sous l’action de la traction ou de la compression 𝒍𝟎 ∶ longueur initiale 𝑬 : module d’Young 𝜹 : contrainte 5

𝜺 : déformation 𝑭 𝑺 ∆𝒍 𝒍𝒐

∶ Contrainte par unité de surface : allongement ou raccourcissement par unité de longueur.

Ainsi, une tension 𝑻 appliquée sur les faces perpendiculaires d’un parallélépipède rectangle produit un allongement ∆𝒍 des arêtes parallèles à l’axe de la tension 𝑻 .Le rapport Tension/Allongement par unité de longueur 𝒍 est le module d’allongement ou module d’Young 𝑬 defini par :

𝑬 =

𝑻 ∆𝒍 𝒍𝒐

Fig 3 :

2-

(a) déformation de compression ,

(b) déformation de tension T

COEFFICIENT DE POISSON

C’est le mahématicien français Siméon Denis Poisson(1781-1840) qui a mis en evidence analytiquement ce paramètre caractérisant comme le coefficient d’Young , une propriété intrinsèque du materiau, appelé depuis le coefficient de Poisson. La tension qui provoque l’allongement ∆𝒍 s’accompagne d’une contraction relative

∆𝒅 𝒅𝒐

des arêtes perpendiculaires à la direction de la tension fig3(a,b).Le rapport de la contraction latérale à la dilatation longitudinale est le coefficient de Poisson 𝝑.Celui-ci est defini par : 𝝑=

∆𝒅 𝒅𝒐 ∆𝒍 𝒍𝒐

,

∆𝒅 𝒅𝒐

: variation des dimensions transverses

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Etant donné que

𝜺=

∆𝒍 𝒍𝒐

, on a

∆𝒅 𝒅𝒐

=

∆𝒍 𝒍𝒐

.𝝑 = 𝜺. 𝝑

∆𝒅 ∶ retrécissement (ou allongement de l’épaisseur(diamètre). 𝒅𝒐 : epaisseur initiale (diametre initial). Le tableau 1 renferme les valeurs du module d’Young et du coefficient de Poisson pour quelques roches (Mestat 1993). Il ressort que les roches tendres se caracterisent par le module d’Young faible notamment pour la marne et le calcaire alors que les roches dures comme le granite et le marbre possèdent des valeurs assez elévées. Le coefficient de Poisson est sans unité,dans la plupart des cas il est égal à 0.25 Le coefficient de Poisson est defini par le rapport entre le retrécissement latéral et l’allongement longitudinal quand un materiau est soumis à une force de traction (dans le domaine élastique).Ainsi, il permet de caracteriser le retrécissement du materiau perpendiculairement à la direction de l’éffort appliqué. Le coefficient de Poisson (grandeur sans unité) est théoriquement égal à 0.25 pour un materiau parfaitement isotrope.Il est habituellement compris entre 0.20 et 0.30 et ne depasse pas 0.50. Il est toujours inferieur ou égal à 0.50.S’il est égal à 0.50, le materiau est parfaitement incompressible.Il existe des materiaux dits « auxétiques » qui ont un coefficient de Poisson négatif.Ces materiaux deviennent plus épais dans la direction perpendiculaire à la traction.

Materiau Granite Basalte Quartzite Gneiss Schiste Calcaire très compact Calcaire compact Calcaire peu compact Calcaire tendre Marne Grès Molasse Marbre Gypse

Module de Young E(GPa)

Coefficient de Poisson 𝝑

10-80 20-70 30-90 10-60 7 - 50 60-80 30-60 10-30 2- 10

0.25-0.35 0.25-0.35 0.12-0.15 0.25-0.35 0.15-0.20 0.25-0.35 0.25-0.35 0.25-0.35 0.25-0.35

0.05-1 5-60 1.5-5 80-110 2-6.5

0.25-0.35 0.25-0.35 0.25-0.35 0.27-0.30 0.27-0.30

Tableau 1

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DETERMINATION DU COEFFICIENT DE POISSON Le module d’Young et le coefficient de Poisson sont les deux paramètres de déformabilité caracterisant les propriétés élastiques des roches qui sont directement accessibles par les mesures experimentales.Ces deux paramètres physiques sont étroitement liés à la nature pétrographique, à la parosité , au degré de saturation des formations géologiques et bien d’autres . La détermination du coefficient de Poisson s’effectue par la mesure des paramètres acoustiques tel que : -

La mesure du temps de transit(ou la lenteur ∆𝒕 ) dans la formation géologique entre deux récepteurs à partir des données des diagraphies acoustiques (PSV, cross-hole etc..)

-

La deduction des vitesses 𝑽𝒑 et

-

La vitesse 𝑽𝒑

𝑽𝒑 (

𝒑𝒊𝒆𝒅 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆

)=

𝑽𝒔 des ondes longitudinales et transversales

est deduire à l’aide de la relation de Corbier(1983) comme suit :

𝟏𝟎𝟔 ∆𝒕 (

𝝁𝒔 ) 𝒑𝒊𝒆𝒅

La densité 𝒅 des formations géologiques est deduite la sonde de diagraphie gamma-gamma).

sur le log de densité (à l’aide de

Le coefficient de Poisson est calculé directement à l’aide du rapport

𝑽𝒑 /𝑽𝒔

comme

suit : 𝐕𝐩 𝐕𝐬

= √

𝟐(𝟏−𝝑) 𝟏−𝟐𝝑

, soit

𝝑=

𝟐 𝟏 (𝐕𝐩 /𝐕𝐬 ) −𝟐 𝟐 (𝐕𝐩 /𝐕𝐬 )𝟐 −𝟏

Cas d’un milieu isotrope

Pour un milieu isotrope le coefficient de Poisson 𝝑 peut varier entre 0 et 0.5 le rapport 𝑽𝒑 /𝑽𝒔

, car

varie entre √𝟐 et l’infini.

Cas d’un milieu anisotrope

Pour un milieu anisotrope le rapport 𝑽𝒑 /𝑽𝒔 peut être inferieur à √𝟐. Il peut descendre jusqu’à 1.3 pour une roche saturée en gaz. Les travaux de Vasil’ev et al(1962) sur le coefficient de Poisson montrent

que :

- Les roches compactes de rapport 𝑽𝒑 /𝑽𝒔 compris entre 1.6 et 2 se caracterisent par un coefficient de Poisson oscillant entre 0.20 et 0.35

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- les roches déconsolidées de rapport 𝑽𝒑 /𝑽𝒔 compris entre 2 et 5 se caracterisent par un coefficient de Poisson oscillant entre 0.35 et 0.48 Les travaux de Domenico (1977) effectués dans les sables d’Ottawa fournissent les valeurs suivantes : -Pour les sables imprégnés de gaz 𝝑 = 𝟎. 𝟏𝟎 − 𝟎. 𝟏𝟓 -Pour les sables imprégnés d’eau 𝝑 ≈ 𝟎. 𝟒𝟎

Fig :4 Rapport des vitesses des ondes longitudinales et transversales et coefficient de Poisson des roches usuelles (document :IFP)

Il ressort que les sediments déconsolidés et saturés en eau se caracterisent par le rapport 𝑽𝒑 /𝑽𝒔 >2 et par 𝝑 > 𝟏/𝟑 Les sediments consolidés ou les sables imprégnés d’hydrocarbures ont plutôt 𝑽𝒑 /𝑽𝒔