methode_coupures

Cours de - mécanique -

_______________________________________________

METHODE DES FORCES ou METHODE DES COUPURES

SOMMAIRE

1.

GÉNÉRALITÉS SUR LA MÉTHODE DES FORCES (dite aussi méthode des coupures) ___________________ 3 1.1. LES BASES DU CALCUL .............................................................................................................................3 1.2. PRINCIPE DE LA MÉTHODE ........................................................................................................................3 1.2.1. EXEMPLE 1: POUTRE À TRAVÉE UNIQUE ENCASTRÉE EN A ET SIMPLEMENT APPUYÉE EN B 3

( )

1.2.2. EXEMPLE 2 : POUTRE CONTINUE CONSTITUÉE DE 2 TRAVÉES. NOTÉE S 0 1.2.3. RAPPEL DE LA DÉFINITION DU DEGRÉ D'HYPERSTATICITÉ : L 1.2.4. ANALYSE DES COUPURES

2.

5 8 8

APPLICATION DU THÉORÈME DE MÉNABRÉA À LA DÉTERMINATION DES INCONNUES HYPERSTATIQUES_______ 11 2.1. FORMULATION GÉNÉRALE.......................................................................................................................11

3.

THÉORÈME DE PASTERNAK _________________________________________________________ 14 3.1. ENONCÉ ................................................................................................................................................14 3.2. DÉMONSTRATION ...................................................................................................................................15

4.

ETUDE DES STRUCTURES GÉOMÉTRIQUEMENT SYMÉTRIQUES __________________________________ 16 4.1. DÉCOMPOSITION D’UNE STRUCTURE À GÉOMÉTRIE SYMÉTRIQUE, SOUMISE À UN SYSTÈME D’ACTIONS APPLIQUÉ QUELCONQUE, EN UN SYSTÈME D'ACTIONS SYMÉTRIQUES ET UN SYSTÈME D'ACTIONS ANTISYMÉTRIQUES. ................................................................................................................................16 4.2. PROPRIÉTÉS DES STRUCTURES CHARGÉES SYMÉTRIQUEMENT ET CHARGÉES ANTISYMÉTRIQUEMENT .......17 4.3. CAS DES PORTIQUES À TRAVÉES MULTIPLES ...........................................................................................19

( )

4.3.1. ETUDE DES STRUCTURES À GÉOMÉTRIE ET CHARGEMENT SYMÉTRIQUES S sym

19

(

4.3.2. ETUDE DES STRUCTURES À GÉOMÉTRIE SYMÉTRIQUE ET CHARGEMENT ANTISYMÉTRIQUE S antisym

)

21

5. CHAMP D'APPLICATION DE LA MÉTHODE DES COUPURES, AVANTAGES SUR LA MÉTHODE DES ROTATIONS ET PLUS GÉNÉRALEMENT LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS _____________________________________________24 6.

APPLICATIONS _________________________________________________________________24

1.

GENERALITES SUR LA METHODE DES FORCES (dite aussi méthode des coupures) 1.1.

Les bases du calcul



•

Les déplacements seront déterminés par l'utilisation du théorème

•

Le principe de superposition

de Muller-Breslau

C'est donc une méthode dite du premier ordre (les instabilités élastiques sont exclues), utilisée dans le cadre de la théorie des poutres.

1.2.

Principe de la méthode

Nous allons commencer par étudier des structures hyperstatiques simples pour nous représenter physiquement les différentes étapes de la méthode que nous allons utiliser.

1.2.1.

Exemple 1: poutre à travée unique encastrée en A et simplement appuyée en B Soit

p

une poutre hyperstatique constituée

0

d'une travée AB, encastrée en A et simplement appuyée en B, chargée uniformément par p. Le degré d'hyperstaticité est égal à 1.

B

A

(S )

EI Gz = cte

L Choisissons YB comme inconnue hyperstatique (coordonnée de l'action de contact en B / repère global). Nous pouvons visualiser cette action en éliminant le dispositif d'appui. Nous constatons que cette opération a transformé la structure initiale hyperstatique en une console (poutre isostatique) soumise à la charge répartie p connue ainsi qu'à l'inconnue hyperstatique YB . Soit

( S ) cette 0 0B

nouvelle structure.

(S ) ⇔ (S )

y

0 0B

0

x

p

L'équivalence

L

(

coordonnée YB de S

B

A

mécanique 0 0B

la

0

( S ) est nul. 0 0B

0 0B

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

si

Il est équivalent de dire que le déplacement de B dans

YB Y

0

( S ) = ( S ) = ( S ) + Y .( S ) 0

effective

) est identique à celle de ( S ) .

(S ) ⇔ (S ) Appliquons le principe de superposition

sera

0 0B

0 0

B

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0 B

avec

∆0B = 0 ∆0B = 0

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( )

y

0

Système S 0

p

x

Le déplacement du point B sera noté

∆

0 B0

B

A

∆0B0

L

( ) 0

Système Y B . S B

Le déplacement du point B sera noté

YB .δ 0BB

y

δ BB .Y 0

x

B

A

YB Y

L

En appliquant le principe de superposition

∆B = ∆ = ∆ 0 B

0 B0

+ YB .δ

0 BB

Pour généraliser la méthode on préfère recourir à des nombres pour les indices. Le point B devient 1.

y x

=0

∆0B 0 YB = − 0 δ BB

p

∆ 10 0

B

A

( ) 0

Le système ci-contre sera noté S 0

L y

δ11 0

x

B

A L

( S ) = ( S ) = ( S ) + X .( S ) 0

0 01

0 0

1

0 1

( ) 0

Le système ci-contre sera noté S1

1 ∆ 1 = ∆ = ∆ + X1 .δ = 0 0 1

0 10

0 11

∆010 X1 = − 0 δ11

X1 = YB

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Les déplacements

0 ∆010 ; δ11 seront cherchés dans un formulaire ou calculés par application du théorème de

Muller-Breslau. En négligeant la déformation due à l'effort tranchant, déduisons que : X 1 =

1.2.2.

∆010 = −

pL4 0 L3 , δ 11 = , Nous en 8EI Gz 3EI Gz

3 pL avec X 1 = YB . 8

( )

Exemple 2 : poutre continue constituée de 2 travées. notée S 0

EI Gz = cte

p 0

1

2

L1

L2 si le déplacement du point 1 est nul

∆01 = 0 1

p 0

alors

( )

la structure ci-contre ⇔ S 0

1

Y X

X1 Y

L1

2

ici X 1 = Y1

L2

( )

la structure ci-contre ⇔ S 0

p 0

2 1

Y X

X1 Y L2

L1

si le déplacement du point 2 est nul

∆01 = 0 2

ici X 1 = Y2

( )

la structure ci-contre ⇔ S 0

p

0 X1 Y

si le déplacement du point 0 est nul

1

Y X

L1

2

∆01 = 0 3

X1 = Y0

L2

Pour les 3 structures précédentes, l'inconnue hyperstatique est une action de contact extérieure. Il serait plus intéressant de prendre comme inconnue hyperstatique une grandeur telle que le moment de flexion sur l'appui 1 par exemple.

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M1 Z Y X

0

p

( S ) la (S ) ⇔ (S ) 0 01

Soit

M1 Z

0 01

2

1

0

structure ci-contre, si M1 correspond

au moment de flexion sur l'appui 1

( )

de S 0 .

L1

X1 Y X

0

L2

X1

Z

p

(S ) 0 01

Z

L1

Y X

0

avec X 1 = M1

2

1

L2

∆

0 0e 0w 10 = θ1 − θ1

p

2

1

Lorsque nous traversons l'appui 1, de la travée 1 à la travée 2, la variation de rotation de la section 0e 0w droite s'exprime par θ1 − θ1 On remarque que

θ

0w 1

car

θ

0e 1

∆01 est

mesuré sur les couples

( ), ∆ 0

L1

unitaires de S1

L2

θ10e − θ10w = − ∆010 0 10

>0

( ) 0

système S 0

0

Y X

1

1

1

L1 0 01

0 0

1

( ) 0

2

système S1

Nous avons toujours δ 11 > 0 , et la variation de rotation en traversant l'appui 1 est négative 0

L2

( S ) = ( S ) = ( S ) + X .( S ) 0

δ

0 11

0 ∆ 1 = ∆01 = ∆010 + X1 .δ11 =0

0 1

∆ 1 = ∆01 signifie qu'avant la coupure (mise en place de l'articulation sur l'appui 1) la variation de la rotation à travers l'appui 1 était nulle, la rotation de la section droite variait continûment sur cet appui, la tangente à la ligne moyenne déformée était identique de chaque coté de l'appui.

M1 = X1 = −

∆010 0 δ11

L + L2 δ = 1 3EI Gz

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0 11

∆ = 0 10

p( L13 + L32 ) 24 EI Gz

X1 = −

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p( L13 + L32 )

8( L1 + L2 )

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Remarque : autre représentation des inconnues hyperstatiques Disposons, sur l'appui 1, les 2 couples notés X 1 , remarquons que la représentation de ces couples n'est plus vectorielle. X 1 est une intensité algébrique, sa valeur est positive pour le sens indiqué. X 1 et sa représentation sont intrinsèquement liés. Ici X 1 = − M1 : X 1 est l'opposé du moment de flexion

X1 0

Y X

p

X1 2

1 L1

L2

∆ 10 = θ 0

0

Y X

p

0e 1

− θ1

0w

2

1 θ1

0w

θ1

0e

0

Y X

δ11 0

1

1

1

2

On peut interpréter le résultat en disant que si X 1 > 0 , les couples à appliquer de chaque coté de l'appui 1 doivent être de même sens que les couples unitaires et inversement. Dans notre exemple ci-dessus, on trouvera effectivement X 1 > 0 ; d’où un moment de flexion M1 < 0 car

M1 = − X1 .

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1.2.3.

Rappel de la définition du degré d'hyperstaticité : L

On décompose la structure en b barres, soit i le nombre d'inconnues de liaison,

L = i − 3b 1.2.4.

pour les structures planes

Analyse des coupures

Les coupures permettent de transformer une structure hyperstatique en une structure isostatique. Nous nous plaçons dans le cadre des structures planes à plan moyen de symétrie, chargée dans ce plan. Dans une

⎧N ⎪ section droite, le torseur de cohésion est de la forme G ( x ) {T } = ⎨V y ⎪0 G( x) ⎩

0 ⎫ ⎪ 0 ⎬ M z ⎪⎭

Les coupures à l'intérieur d'une structure sont de 3 types •

coupure simple permettant de libérer une sollicitation Soit un tronçon de poutre

X1

X1

X1

X1

X1

X1

X1 X1

X1 X1

X1

X1

X1

X1 •

coupure double permettant de libérer 2 sollicitations

•

coupure totale permettant de libérer les 3 sollicitations

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Placer une rotule ou articulation en un point permet de libérer le moment de flexion. Pour rétablir la continuité, on exerce 2 couples qui peuvent s'exprimer en fonction du moment de flexion en ce point. Cette coupure permet de libérer l'effort normal; pour rétablir la continuité, on exerce 2 forces qui peuvent s'exprimer en fonction de l'effort normal en ce point. Cette coupure permet de libérer l'effort tranchant; pour rétablir la continuité, on exerce 2 forces qui peuvent s'exprimer en fonction de l'effort tranchant.

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Exemple : Soit le portique bi-encastré, cette structure hyperstatique est de degré 3. Pour obtenir une structure isostatique, nous devons pratiquer soit 3 coupures simples, soit 1 coupure simple et une coupure double ou bien une coupure totale.

E

B

Y

C

X Z Soit le repère global

( )

Soit S

A

D

X2

E

B

C

X2

B

X2

E

C

X2 X3 X1

A

(S ) X 01

1

X3 D

(S ) X

= M Aenc , X 2 = M B , X 3 = M Denc

X2 B

X1

A 02

1

D

= M A , X 2 = M E , X 3 = M Denc

X2

X2 C

E

B

C

E

X2

X1

X3

A

(S ) X

X1 D

03

1

= M Aenc , X 2 = V yE , X 3 = M Denc

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X3

A

(S ) X

D

04

1

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= M Aenc , X 2 = N E , X 3 = M Denc

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E

B

X2 X3

B

C

X3

E

C

X2

X3

A

(S ) X

X1

X2

X1

A

D

D

05

1

(S ) X

= M Aenc , X 2 = X D , X 3 = M Denc

06

1

= M Aenc , X 2 = V yE , X 3 = M E

X2 E

B

X3

C

B

E

X3 X1 X2

C

X2

A 07

1

A

D

X1

(S ) X

X3 X1

(S ) X

= X A , X 2 = M Aenc , X 3 = YA

D

08

1

= N E , X 2 = V yE , X 3 = M E

Remarque: Soit A un noeud rigide (on dit aussi indéformable), point de concours de n barres. Si on place en ce point une articulation, on abaisse le degré d'hyperstaticité de n − 1 .

A

A

A

X1

A X1 +X2+X3

X2

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Dans l'exemple ci-contre, nous apparaître 3 inconnues hyperstatiques.

faisons

X3

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2.

APPLICATION DU THEOREME DE MENABREA A LA DETERMINATION DES INCONNUES HYPERSTATIQUES 2.1.

Formulation générale

( ) k

Soit S i

l'exposant k représente l'état géométrique de la structure étudiée.

L'indice i représente l'état mécanique, les actions appliquées sur la structure. Soit

(S ) k i

le surlignage représente l'application d'un facteur sollicitant unitaire. Celui-ci peut être

une force unitaire ou un torseur couple unitaire ou un couple (ou doublet ou binôme) d'actions unitaires réciproques. Soit la structure étudiée S , de degré d'hyperstaticité n, soumise à un système d'actions (le chargement sera

( )

représenté par l'indice 0): S 0 . Dans la mesure où les équations de la statique ne permettent pas de calculer les efforts ou les sollicitations dans la structure hyperstatique, on va commencer par la rendre isostatique. 0

On associe donc à S une structure isostatique S en supprimant n liaisons externes ou internes. On

( ) la structure rendue 0

effectue n coupures dans la structure S . Sous l'effet des charges appliquées S 0

isostatique va se déformer et des déplacements vont se produire, en particulier, là où des liaisons ont été supprimées: déplacements effectifs au droit des liaisons externes supprimées, déplacements relatifs des lèvres de la coupure au droit des liaisons internes supprimées. Or, dans la structure hyperstatique initiale, ces déplacements aux points j sont nuls. Il faut donc appliquer des actions (forces, couples,...), qui constituent les inconnues du problème (inconnues hyperstatiques), au droit des points où des liaisons ont été supprimées et les valeurs de ces actions correspondront aux actions et sollicitations réelles dans la structure initiale si elles annulent les déplacements en question. Le principe du calcul en découle. Etant donné une structure hyperstatique, on la rend isostatique par suppression de liaisons et on applique des efforts ou des systèmes d'efforts au droit des liaisons supprimées. On introduit les composantes des actions de liaison (qui peuvent s'exprimer par les sollicitations) pour les coupures externes et au droit des liaisons internes supprimées, on introduit des sollicitations réciproques. Le choix du système isostatique associé ou (de référence) est important. Si le degré hyperstatique de la structure initiale est n, il convient de supprimer n liaisons surabondantes, en veillant à ne pas la transformer en mécanisme (même localement). On calcule ensuite l'énergie potentielle de déformation élastique dans la structure rendue isostatique, en fonction des charges appliquées et des efforts inconnus introduits. A l'aide du théorème de Castigliano, on exprime alors que les déplacements (absolus ou relatifs) au droit des liaisons supprimées sont nuls. Ce théorème prend alors le nom de théorème de Ménabréa.

∂We = 0. ∂X i

On peut aussi traduire ce théorème par: Dans un système constitué d'un matériau élastique, les valeurs que prennent les actions hyperstatiques correspondant aux liaisons internes et externes surabondantes rendent stationnaire le potentiel élastique

We .

Les valeurs des inconnues hyperstatiques qui

correspondent à l'équilibre du système rendent minimum le potentiel We exprimé dans le système isostatique associé.

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Soit X i

(X

1

, X 2 ,..., X i ,..., X n ) les actions de liaison ou sollicitations supprimées, on les appelle aussi

les facteurs sollicitants;

(S ) = (S ) + ∑ X (S ) n

D'après le principe de superposition

∆j

Les déplacements

0 0

0

i =1

i

0 i

(déplacements relatifs s'il s'agit d'une liaison interne supprimée,

déplacements absolus s'il s'agit des liaisons extérieures supprimées) au niveau de chacune des coupures j dans S sont nuls (théorème de Ménabréa). Le matériau étant élastique linéaire, les déplacements

∆j

sont des fonctions linéaires des charges

appliquées et des facteurs sollicitants X i . Ils peuvent s'exprimer par:

∆ j = 0 = ∆0j 0 + X1δ 0j1 + X 2 δ 0j 2 + ... + X i δ 0ji + ... X nδ 0jn δ 0ji

0

s'interprète comme étant le déplacement au droit de la liaison j de la structure isostatique associée S ,

dans la direction de l'action X j , provoqué par une action X i = 1 appliquée au droit de la coupure i.

( ) (

Les facteurs sollicitants inconnus X i = X 1 , X 2 ,..., X i ,..., X n

) sont solution d'un système linéaire de n

équations à n inconnues de la forme n

∆0j 0 + ∑ X i δ 0ji = 0 i =1

On peut aussi démontrer cette relation à partir du théorème de Ménabréa et du théorème de Muller-Breslau

M . M j0

∫

∆j =

EI Gz

structure

∆j =

M . M j0

∫ structure

EI Gz

(S ) = (S ) + ∑ X (S ) 0

∫ structure

M 00 . M j0 EI Gz

i =1

au niveau de la coupure j

dx

dx = 0

n

0 0

∆j = 0

0 i

i

n

dx + ∑ X i i =1

n

M = M 00 + ∑ X i . M i0 en remplaçant dans l'intégrale i =1

∫ structure

M i0 . M j0 EI Gz

dx = 0

n

∆0j 0 + ∑ X i δ 0ji = 0 i =1

n

pour simplifier la notation nous écrirons

∆ j 0 + ∑ X i δ ji = 0 i =1

On peut écrire ce système sous forme matricielle

δ ji . X i = − ∆ j 0

Ces n équations traduisent la fermeture simultanée des lèvres des n coupures choisies. La matrice du système

δ ji

est appelée matrice de souplesse, elle est symétrique car d'après le théorème de

réciprocité de Maxwell-Betti:

δ 0ji = δ 0ij . Les δ ji

ne dépendent que des caractéristiques géométriques et

mécaniques de la structure, cette matrice est indépendante du chargement et sera donc à déterminer une seule fois pour la structure. R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

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∆ j0

matrice colonne d'ordre n composée éléments

∆ j0

qui correspondent aux déplacements

absolus ou relatifs des lèvres des n coupures dans la structure isostatique associée soumise aux charges extérieures. Elle dépend donc du chargement. Le déterminant de la matrice

δ ji

ne peut pas être nul, sinon cela voudrait dire que tous les

déplacements ne sont pas indépendants et que la structure aurait été mal rendue isostatique. La matrice

δ ji

est inversible. Ses coefficients dépendent du choix de la structure isostatique associée.

Le système résolvant peut aussi s'écrire

X i = − δ ji

−1

. ∆ j0 .

δ ji

−1

est

appelée

matrice

de

raideur

X i matrice colonne des facteurs

δ ji . X i = − ∆ j 0

sollicitants inconnus ou inconnues hyperstatiques

[X ] i

⎡δ 11 δ 12 ⎢δ ⎢ 21 δ 22 ⎢ .. .. ⎢ ⎢δ i1 δ i 2 ⎢ .. .. ⎢ ⎢δ j1 δ j 2 ⎢ .. .. ⎢ ⎢⎣δ n1 δ n2

⎡ X1 ⎤ ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ Xi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢⎣ X n ⎥⎦

.. .. .. .. .. .. .. ..

δ 1i δ 2i ..

δ ii ..

δ ji ..

δ ni

.. .. .. .. .. .. .. ..

δ1j δ2j ..

δ ij ..

δ jj ..

δ nj

.. .. .. .. .. .. .. ..

δ 1n ⎤ ⎡ X 1 ⎤ δ 2 n ⎥⎥ ⎢ X 2 ⎥

⎡ − ∆10 ⎤ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ − ∆ 20 ⎥ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ in ⎥ ⎢ X i ⎥ ⎢ − ∆ i 0 ⎥ = .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ jn ⎥ ⎢ X j ⎥ ⎢ − ∆ j 0 ⎥ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ δ nn ⎥⎦ ⎢⎣ X n ⎥⎦ ⎢⎣− ∆ n0 ⎥⎦

Une fois les X i obtenus, l'application du Principe de Superposition permet d'obtenir les différentes sollicitations dans la structure S . n

M = M 00 + ∑ X i . M i0 i =1

n

N = N 00 + ∑ X i . N i0 i =1

n

V y = V y00 + ∑ X i .V yi0 i =1

On peut aussi, après avoir recherché les actions de liaison, utiliser la méthode classique basée sur la définition des sollicitations.

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3.

THEOREME DE PASTERNAK 3.1.

Enoncé

C'est un théorème analogue à celui de Muller-Breslau, il permet de déterminer le déplacement d'un point quelconque d'une structure. L

théorème de Muller-Breslau

∆j = ∫ 0

M .M j EI Gz

dx , avec M j moment dans la structure initiale hyperstatique.

La difficulté réside dans le fait que ce moment est à déterminer dans la structure hyperstatique. Il faut donc résoudre, de nouveau une structure hyperstatique soumise à une action unitaire appliquée en j. En fait, point n'est besoin de lever deux fois l'indétermination statique. Le théorème de Pasternak est plus intéressant, son énoncé est contenu dans l'expression suivante: L

∆j = ∫

M . M j0 EI Gz

0

∆j =

∫ structure

dx

M z . M zj0 EI Gz

dx +

∫ structure

N . N j0 EA

dx + ...

M j0 représente les sollicitations dans une des structures isostatiques associées. La structure choisie peut être différente du système isostatique qui a permis de déterminer les inconnues hyperstatiques. On pourrait la caractériser de virtuelle.

M représente les sollicitations dans la structure hyperstatique réelle initiale.

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3.2.

Démonstration L

Partons du théorème de Muller-Breslau

∆j = ∫ 0

M .M j EI Gz

dx

M j moment dans la structure initiale hyperstatique n

n

M j = M j0 + ∑ X k . M k0

M = M 00 + ∑ X i . M i0

k =1

i =1

⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ 0 n 0 0 M . M j = M .⎜ M j + ∑ X k . M k ⎟ = M . M j + M .⎜ ∑ X k . M k0 ⎟ ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1

L

∆j = ∫ 0

⎛ n ⎞ M . M + M .⎜ ∑ X k . M k0 ⎟ ⎝ k =1 ⎠ dx EI Gz 0 j

⎛ n ⎞ ⎛ 0 n ⎞ ⎛ n ⎞ 0 0 M .⎜ ∑ X k . M k ⎟ = ⎜ M 0 + ∑ X i . M i ⎟ .⎜ ∑ X k . M k0 ⎟ ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k =1 i =1 n n ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n n ⎞ = M 00 . ∑ X k . M k0 + ⎜ ∑ X i . M i0 ⎟ . ⎜ ∑ X k . M k0 ⎟ = ∑ X k . M 00 M k0 + ⎜ ∑ ∑ X k . M k0 . X i . M i0 ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ k =1 ⎝ i =1 k = 1 ⎠ k =1

L

∫ 0

n n n ⎛ n ⎞ 0 0 0 0 M .⎜ ∑ X k . M k0 ⎟ X M M . L ∑ ∑ X k .Mk . X i .Mi L ∑ k k 0 ⎝ k =1 ⎠ dx = ∫ k =1 dx + ∫ i =1 k =1 dx EI Gz EI Gz EI Gz 0 0 L

L

n n M 00 . M k0 M k0 . M i0 = ∑ X k .∫ dx + ∑ X k . ∑ X i ∫ dx EI Gz EI Gz k =1 k =1 i =1 0 0 n

n

= ∑ X k .∆

0 k0

k =1

n

n

+ ∑ X k . ∑ X i .δ k =1

i =1

L

n

or

∆ + ∑ X i .δ = 0 ⇒ ∫ 0 k0

0 kj

i =1

0

L

d'où

∆j = ∫ 0

M . M j0 EI Gz

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n ⎛ 0 ⎞ = ∑ X k .⎜ ∆ k 0 + ∑ X i .δ kj0 ⎟ ⎝ ⎠ k =1 i =1 n

0 kj

⎛ n ⎞ M .⎜ ∑ X k . M k0 ⎟ ⎝ k =1 ⎠ dx = 0 EI Gz

dx

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4.

ETUDE DES STRUCTURES GEOMETRIQUEMENT SYMETRIQUES 4.1.

Décomposition d’une structure à géométrie symétrique, soumise à un système d’actions appliqué quelconque, en un système d'actions symétriques et un système d'actions antisymétriques

Hypothèse : la géométrie est symétrique.

( ).

Le système des actions appliqué sur cette structure est quelconque. Soit S

On peut toujours décomposer un système d'actions quelconques en un système d'actions symétriques et un système d'actions antisymétriques. Pour cela, considérons un système nommé

(S ) '

obtenu à partir de

( ) des actions opposées.

(S )

en appliquant aux points

symétriques de ceux sollicités en S

La structure proposée en exemple est hyperstatique d'ordre 3.

(S ) F

(S ) '

B

B

B'

B'

I

F

I

A

A

A'

A'

( ) = 21 ( S ) + 21 ( S ) + 21 ( S ) − 21 ( S ) '

Nous pouvons écrire S

'

( ) = ⎡⎢⎣ 21 ( S ) + 21 ( S )⎤⎥⎦ + ⎡⎢⎣ 21 ( S ) − 21 ( S )⎤⎥⎦

soit en regroupant les termes S

'

'

Remarque: Ce procédé est à rapprocher de celui utilisé en mathématique pour décomposer une fonction quelconque en une fonction paire plus une fonction impaire

1 1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ f ( x ) = ⎢ f ( x ) + f ( − x )⎥ + ⎢ f ( x ) − f ( − x )⎥ 2 2 ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

f ( x ) = p( x ) + i ( x )

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fonction paire

1 ⎡1 ⎤ p( x ) = ⎢ f ( x ) + f ( − x )⎥ 2 ⎣2 ⎦

p( x ) = p( − x )

fonction impaire

1 ⎡1 ⎤ i ( x ) = ⎢ f ( x ) − f ( − x )⎥ 2 ⎣2 ⎦

i( − x ) = − i( − x )

On peut toujours décomposer un système quelconque en un système d'actions symétriques et un système d'actions antisymétriques. On a transformé le problème à résoudre en deux problèmes mais de résolution plus simple.

(S ) = (S ) + (S sym

( S ) = 21 [( S ) + ( S )] '

4.2.

) = 21 [( S ) − ( S )] '

antisym

)

ce système d'actions est symétrique

sym

(S

antisym

ce système d'actions est antisymétrique

Propriétés des structures antisymétriquement

chargées

symétriquement

(S )

(S

sym

F 2 B

F 2

B'

antisym

A

A'

→

•

translation dans ce plan de symétrie, le point I' ∈ • au plan de symétrie, la rotation du noeud I, si elle existe, est un vecteur • orthogonal au plan de symétrie.

Il en résulte que:

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

A'

Etude de la structure antisymétriquement chargée

Le déplacement du noeud I ∈ plan de symétrie se définit comme suit:

II'

F B' 2 I

Etude de la structure symétriquement chargée

•

chargées

)

F 2 B

I

A

et

Le déplacement du noeud I ∈ plan de symétrie se définit comme suit: →

II' translation orthogonale au plan de symétrie,

la rotation du noeud I, si elle existe, est un vecteur ∈ plan de symétrie.

Il en résulte que:

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Nous pouvons étudier la demi structure

F 2 B

F 2 B

I

I X2 B

I

B A

I

A

X1

X3 Le noeud I se comporte comme un encastrement mobile ou déplaçable en translation dans le plan de symétrie uniquement, la liaison ne peut pas transmettre des forces // au plan de symétrie. Nous avons deux inconnues hyperstatiques X 1 , X 2 , le degré d'hyperstaticité a diminué, ici de 1.

Propriétés des diagrammes des sollicitations: Soit s une abscisse curviligne, dont l'origine serait en I

N est symétrique M z est symétrique

N ( s) = N ( − s) M z ( s) = M z ( − s)

V y est antisymétrique V y ( s ) = −V y ( − s ) V y (0) = V y ( I ) = 0

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

Le noeud I se comporte comme un appui simple, la liaison ne peut que transmettre des forces qui sont // au plan de symétrie. Nous avons une inconnue hyperstatique X 3 , le degré d'hyperstaticité a diminué, ici de 2.

Propriétés des diagrammes des sollicitations:

N est antisymétrique N ( s ) = − N ( − s ) M z est antisymétrique M z ( s ) = − M z ( − s ) V y est symétrique

V y ( s) = V y ( − s)

N (0) = N ( I ) = 0

M z (0) = M z ( I ) = 0

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4.3.

Cas des portiques à travées multiples

Pour des structures à géométrie symétrique plus complexes,

(S ) =

(S )

F2

F2 2

F1

F1 2

p

(S

+

sym

F2 2

)

F2 2 F1 2

p 2

antisym

F1 2

p 2

F2 2

F1 2

p 2

4.3.1.

Etude des structures à géométrie et chargement symétriques

(S ) sym

• Lorsque le nombre de travées est pair, le plan moyen est confondu avec des barres verticales centrales de la structure, comme nous négligeons les déformations dues à l'effort normal et tranchant, les longueurs des barres sont invariantes. Les noeuds ∈ au plan de symétrie sont fixes. Ici le noeud étant rigide (ou indéformable) on peut étudier la demi structure en le considérant comme un encastrement parfait fixe.

F2 2 F1 2

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

F2 2 p 2

F2 2 F1 2

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F1 2

p 2

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• Lorsque le nombre de travées est impair, les noeuds I, J ∈ au plan de symétrie se comportent comme des encastrements mobiles ou déplaçables en translation dans le plan de symétrie uniquement.

F2 2 F1 2

I

F2 2

F2 2 F1 2

p 2 J

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

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F1 2

I p 2 J

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4.3.2.

Etude des structures à géométrie symétrique et chargement antisymétrique

(S

antisym

)

• Lorsque le nombre de travées est pair, le plan moyen est confondu avec des barres verticales centrales de la structure. On montre que l'étude de la demi structure exige de prendre les caractéristiques géométriques, pour les sections droites des barres ∈ au plan de symétrie, égales à la moitié de celles de la structure réelle. (inertie et aire de la section droite) Pour les barres centrales, les sollicitations obtenues pour les 2 demi structures doivent être additionnées, ce qui revient à multiplier par 2, les sollicitations obtenues pour une demi structure.

F2 2 F1 2

F2 2 p 2 Ip2

Ip1

F2 2

F1 2

F1 2

p 2

p 2

Ip2 2

Ip2 2

Ip1 2

Ip1 2

F2 2

F1 2

p 2

• Structure comportant un nombre impair de travées. Les noeuds I, J se comportent comme des appuis simples.

F2 2 F1 2

F2 2

I p 2

J

F2 2

F1 2

F1 2

I p 2 J

p 2

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

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Exemple d'une structure géométriquement symétrique. Résolution en étudiant la structure complète.

Si on étudie la structure complète, la structure isostatique associée doit être choisie symétrique hyperstatiques (en les groupant si nécessaire) de façon à n'étudier la structure

(S ) 0

(S ) 0

. On définit les inconnues

que sous des chargements

( S ) symétriques ou 0 i

antisymétriques.

(S)

0

(S )

1 1

0

1

1

0

(S1 )

1

0

(S2 )

(S3 )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

(S4 ) pour i = 1,2 ,3,4 pour

i = 5,6

(S5 ) 1 1

0

(S6 )

( S ) correspond à un chargement symétrique 0 i

(S )

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

0 i

correspond à un chargement antisymétrique

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i = 1,2 ,3,4

on en déduit que pour

( )( ) 0

0

Dans S1 , S 2

δ 0i 5 = δ 0i 6 = 0

les sollicitations sont nulles dans la partie de la structure correspondant à l'étage située

au dessus des articulations appartenant aux montants verticaux. 0 δ 023 = δ13 =0

⎛ δ 110 ⎜ 0 ⎜ δ 12 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ δ 13 ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0

δ 120 0 δ 22

δ 0ji . X i = − ∆0j 0

0 δ 24

0 δ 33 0 δ 34

δ 130 0 δ 24 0 δ 34 0 δ 44

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

δ 550 δ 560

0

0 0

⎞ ⎛ X1 ⎞ ⎛ ∆010 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ X2 ⎟ ⎜ ∆ 20 ⎟ ⎟ ⎜X ⎟ ⎜ ∆0 ⎟ 3 ⎟ .⎜ ⎟ = −⎜ 030 ⎟ ⎟ ⎜ X4 ⎟ ⎜ ∆ 40 ⎟ ⎜ ∆0 ⎟ 0 ⎟ ⎜ δ 56 ⎟ X 5 ⎟ ⎜⎜ 50 ⎟⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ δ 66 ⎠ ⎝ X6⎠ ⎝ ∆060 ⎠ 0 0 0 0

Si les charges appliquées sur la structure

j = 5,6

d'où pour

⎛ δ 110 ⎜ 0 ⎜ δ 12 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ δ 13 ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0

δ 120 0 δ 22

∆

0 j0

0 δ 24

0 δ 33 0 δ 34

δ 130 0 δ 24 0 δ 34 0 δ 44

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

δ 550 δ 560

0

0 0

= 0⇒ ∆

0 50

(S)

=∆

0 60

sont symétriques,

(S ) 0 0

sera un chargement symétrique,

=0

⎞ ⎛ X1 ⎞ ⎛ ∆010 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜ X2 ⎟ ⎜ ∆ 20 ⎟ ⎟ ⎜X ⎟ ⎜ ∆0 ⎟ ⎟ .⎜ 3 ⎟ = −⎜ 030 ⎟ ⎟ ⎜ X4 ⎟ ⎜ ∆ 40 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ δ 56 ⎟ X 5 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ δ 66 ⎝ 0 ⎠ ⎠ ⎝ X6⎠ 0 0 0 0

X5 = X 6 = 0 Si les charges appliquées sur la structure antisymétrique, d'où pour j = 1, 2 , 3, 4

⎛ δ 110 ⎜ 0 ⎜ δ 12 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ δ 13 ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0

δ 120 0 δ 22 0 δ 24

0 δ 33 0 δ 34

δ 130 0 δ 24 0 δ 34 0 δ 44

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

δ 550 δ 560

0

0 0

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures).

(S)

sont antisymétriques,

(S ) 0 0

sera un chargement

∆0j 0 = 0 ⇒ ∆010 = ∆020 = ∆030 = ∆040

⎞ ⎛ X1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ X2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ ⎜X ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ .⎜ 3 ⎟ = −⎜ ⎟ X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = 0 ⎟ ⎜ X4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ∆0 ⎟ δ 560 ⎟⎟ ⎜ X 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 050 ⎟ 0 ⎟ X ⎝ ∆ 60 ⎠ δ 66 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 0 0 0 0

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5.

CHAMP D'APPLICATION DE LA METHODE DES COUPURES, AVANTAGES SUR LA METHODE DES ROTATIONS ET PLUS GENERALEMENT LA METHODE DES DEPLACEMENTS • L'usage de la méthode des forces s'impose, dès que le nombre d'inconnues hyperstatiques d'une structure est inférieur au nombre d'inconnues cinématiques (nombre de déplacements indépendants des noeuds de la structure). • Il est souvent intéressant d'utiliser la méthode des forces lorsque le cas de chargement est antisymétrique, la structure est alors à noeuds déplaçables. • Le fait de tenir compte des déformations dues à l'effort normal (variation de longueur des barres) n'apporte aucune inconnue supplémentaire (elle est donc intéressante pour l'étude des structures à tirants) • Le traitement de structures, à poutres droites inclinées ou courbes, dans le plan ou dans l'espace, est souvent beaucoup plus simple.

•

Orientation sur le choix des inconnues hyperstatiques.

Si le degré d'hyperstaticité de la structure initiale est n, il convient donc de supprimer n liaisons surabondantes, en veillant à ne pas la transformer en un mécanisme. On doit rechercher à obtenir le maximum 0 de déplacements δ ji nuls, aussi bien pour éviter de les calculer que pour faciliter la résolution du système d'équations

∆ j 0 + X i δ ji = 0 . Il y a tout intérêt à utiliser au maximum les propriétés de symétrie de la structure,

en décomposant éventuellement le chargement donné en la somme d'un chargement symétrique et d'un chargement antisymétrique. Il est facile de montrer que, dans une structure symétrique, rendue isostatique en respectant cette symétrie, et sollicitée par un chargement symétrique, les facteurs sollicitants antisymétriques sont nuls. De même si le chargement est antisymétrique, ce sont les facteurs sollicitants symétriques qui seront nuls. Dans une structure symétrique symétriquement chargée, les diagrammes de N, M z sont symétriques et celui de V y est antisymétrique. Dans une structure symétrique antisymétriquement chargée, le diagramme de

V y est symétrique et ceux de N , M z sont antisymétriques. L'idéal étant d'obtenir une matrice diagonale pour

δ ji

• Pour une poutre continue, le choix des moments sur appuis aboutit à un système beaucoup plus simple que le choix des actions de contact (réactions d'appuis ou actions aux appuis). Cependant pour les poutres continues, la formule des 3 moments est la plus efficace. • Les équations de la méthode des forces se généralisent facilement lorsque la structure est soumise à des déplacements imposés (par exemple des déplacements d'appuis) En effet lorsque l'on écrit n

∆ j 0 + ∑ X i δ ji = 0

on écrit simplement que le déplacement au droit de la liaison n° j supprimée est nul (

i =1

déplacement dans la direction X j ). Rien n'empêche, s'il y a lieu, de considérer que

∆ j 0 est un déplacement dû

au chargement initial plus un déplacement dans la direction de X j , résultant du système de déplacements imposés à la structure rendue isostatique. • Lorsque la structure comporte des liaisons élastiques, on peut opérer de deux façons différentes: ou bien on peut pratiquer une coupure sans toucher aux liaisons élastiques, ou bien on peut pratiquer une coupure entre la liaison élastique et le reste de la structure, ou encore entre l'appui élastique et le milieu extérieur, mais dans les deux cas , les liaisons élastiques doivent faire partie intégrante de l'ensemble de la structure pour calculer son énergie potentielle élastique de déformation.

6.

APPLICATIONS

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