Metatheoria Volumen 7 Numero 2. Homenaje a Mario Bunge

Revista de Filosofía e Historia de la Ciencia | Journal of Philosophy and History of Science | Revista de Filosofia e História da Ciência Volumen temático: Homenaje a Mario Bunge | Thematic Volumen: Tribute to Mario Bunge | Volume tematico: Homenagem a Mario Bunge

Artículos | Articles | Artigos Gustavo E. Romero y Pablo M. Jacovkis, Imagen de Mario Bunge Pablo M. Jacovkis, The Concept of Existence in Mathematics Gustavo E. Romero, Truth and Relevancy Aldana D’Andrea, Sobre la relevancia de la tesis de Turing María Esther Burgos, La Mecánica Cuántica Ortodoxa: una teoría tan exitosa como incoherente Luciano Combi y Gustavo E. Romero, Sobre la inconsistencia de la interpretación de Everett de la mecánica cuántica Federico G. Lopez Armengol y Gustavo E. Romero, Interpretation Misunderstandings about Elementary Quantum Mechanics

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Metatheoria | Volumen 7, Número 2, Abril 2017

Metatheoria | Volumen 7, Número 2, Abril 2017 | ISSN 1853-2322

Volumen 7, Número 2 Abril 2017 ISSN 1853-2322

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Índice | Index | Índice

Volumen temático: Homenaje a Mario Bunge | Thematic Volumen: Tribute to Mario Bunge | Volume tematico: Homenagem a Mario Bunge

Introducción | Introduction | Introdução Pablo Lorenzano .......................................................................................................................................................... 1

Artículos | Articles | Artigos Gustavo E. Romero y Pablo M. Jacovkis, Imagen de Mario Bunge ............................................................................... 3 Pablo M. Jacovkis, The Concept of Existence in Mathematics ................................................................................ 17 Gustavo E. Romero, Truth and Relevancy ................................................................................................................. 25 Aldana D’Andrea, Sobre la relevancia de la tesis de Turing .................................................................................... 31 María Esther Burgos, La Mecánica Cuántica Ortodoxa: una teoría tan exitosa como incoherente ....................... 39 Luciano Combi y Gustavo E. Romero, Sobre la inconsistencia de la interpretación de Everett de la mecánica cuántica..................................................................................................................................................................... 47 Federico G. Lopez Armengol y Gustavo E. Romero, Interpretation Misunderstandings about Elementary Quantum Mechanics................................................................................................................................................ 55

Introducción Pablo Lorenzano† El Primer Encuentro Latinoamericano de Filosofía Científica, en Homenaje a Mario Bunge, se realizó desde el 23 al 26 de septiembre de 2015 en el Centro Cultural Paco Urondo de la Facultad de Filosofía de la Universidad de Buenos Aires (UBA). Este volumen temático recoge en su mayoría las ponencias presentadas en dicho encuentro que fueran sometidas a su publicación en Metatheoria, de acuerdo con la modalidad de evaluación conocida como “referato doble ciego”. La excepción a ello, además de esta “Introducción”, lo constituye el trabajo con el que abre el volumen Homenaje a Mario Bunge propiamente dicho, a cargo de los editores invitados, Pablo M. Jacovkis y Gustavo E. Romero. En él, “Imagen de Mario Bunge”, presentan, a partir de un profundo conocimiento y aprecio tanto de su extensa obra como de su multifacética persona, una suerte de breve biografía intelectual, pero anclada en las diversas circunstancias histórico-político-sociales que le ha tocado vivir en su larga y prolífica vida, destacándose el carácter pionero en muchos de sus emprendimientos y abordajes así como también la calidad de su obra, que le ha valido el reconocimiento internacional del que goza. El primero de los artículos que fueron presentados con ocasión del Primer Encuentro Latinoamericano de Filosofía Científica, en Homenaje a Mario Bunge, y comentados y discutidos por éste en dicha oportunidad, es “The Concept of Existence in Mathematics”, de Pablo M. Jacovkis. En él, se defiende un punto de vista pragmático, de acuerdo con el cual los matemáticos, tanto puros como aplicados, así como también cualquier especialista que use a las matemáticas como instrumento de su trabajo, considera a los objetos matemáticos, consciente o inconscientemente, como entidades reales, provistas de propiedades concretas, que “existen”, en un sentido muy similar a la noción de existencia defendida por Bunge (p.e. en su Treatise on Basic Philosophy, Vol. 7: Epistemology and Methodology III: Philosophy of Science and Technology Part I, Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1985). En el siguiente artículo, “Truth and Relevancy”, Gustavo E. Romero, luego de presentar la teoría de la verdad semántica, tanto formal como factual, de Bunge (que se puede encontrar, entre otros sitios, en sus Treatise on Basic Philosophy I. Sense and Reference, Treatise on Basic Philosophy II. Interpretation and Truth, Dordrecht: Kluwer, 1974, y “The Correspondence Theory of Truth”, Semiotica 188 (2012): 65-76), se centra en esta última, señalando algunos problemas que ésta presenta y que lo llevan a complementarla, a fines de su solución, con una teoría de la relevancia; el trabajo concluye con una breve discusión sobre la naturaleza de las proposiciones y el problema de la verdad en las teorías científicas a la luz de las consideraciones semánticas realizadas. En “Sobre la relevancia de la tesis de Turing”, Aldana D’Andrea intenta dar cuenta de la mayor relevancia de la tesis de Turing respecto de la tesis de Church en relación con el Entscheidungsproblem de Hilbert, esto es, intenta dar cuenta del hecho de que, a pesar de que ambas tesis son extensionalmente equivalentes y proporcionan, por lo tanto, una misma solución –negativa– a dicho problema, reina cierto acuerdo en considerar que la formulación de Turing es más satisfactoria o más convincente que la de Church. Los tres últimos trabajos abordan diversos aspectos filosóficos de la física cuántica caros al pensamiento de Bunge. En el primero, “La Mecánica Cuántica Ortodoxa: una teoría tan exitosa como incoherente”, de María E. Burgos, luego de señalar lo exitosa que resulta ser desde un punto de vista experimental dicha teoría –la mecánica cuántica en la llamada “interpretación de Copenhagen”–, se presentan cuatro de sus problemas conceptuales: su conflicto con el determinismo, su admisión de †

Centro de Estudios de Filosofía e Historia de la Ciencia (CEFHIC), Universidad Nacional de Quilmes (UNQ)/Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected]. Metatheoria 7(2)(2017): 1-2. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina.

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alguna forma de acción a distancia, su incompatibilidad con algún tipo de realismo y su incoherencia, sugiriendo un modo de solución a dichos problemas, solución que tiene como punto de partida el realismo crítico de Bunge (tal como se lo presenta en Filosofía de la Física, Barcelona: Editorial Ariel, 1978). En el segundo, “Sobre la inconsistencia de la interpretación de Everett de la Mecánica Cuántica”, por su parte, Luciano Combi y Gustavo E. Romero discuten otra interpretación muy extendida de la mecánica cuántica, a saber: la proporcionada por Everett (“The Relative State Formulation of Quantum Mechanics”, Reviews of Modern Physics 29 (1957): 454-462), que se supone realista y libre de los problemas que aquejan a la llamada “interpretación de Copenhagen”, mostrando los problemas semántico-ontológicos que implican las formulaciones actuales de esta interpretación, en particular respecto de las cantidades conservadas y las simetrías subyacentes al modelo de espacio-tiempo adoptado, problemas que desembocan en su inconsistencia. En el tercero, “Interpretation Misunderstandings about Elementary Quantum Mechanics”, Federico G. Lopez Armengol y Gustavo E. Romero, basándose fundamentalmente en Foundations of Physics (New York: Springer, 1967) de Bunge, presentan una interpretación realista de la mecánica cuántica, con la intención de aclarar algunos malentendidos sobre temas de interpretación relativos al carácter determinista de la teoría, los así llamados principios de incertidumbre, el “colapso” de la función de onda, la paradoja Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) y su ontología, surgidos a partir de la más aceptada y difundida interpretación de la mecánica cuántica, la llamada “interpretación de Copenhagen”. Para finalizar, quisiera agradecer a los dos editores invitados, con quienes compartí la ardua tarea de hacer cumplir responsablemente la evaluación y selección de trabajos enviados, así como también a todos los que nos ayudaron en dicho proceso, y, last but not least, al propio Mario Bunge, por todos sus aportes, contribuciones y enseñanzas a lo largo de ya más de seis décadas, a quien le dedicamos este volumen.

Imagen de Mario Bunge Gustavo E. Romero† Pablo M. Jacovkis‡ El siglo XVII no sólo fue el de la consolidación de la revolución científica iniciada en el siglo anterior por Nicolás Copérnico, Tycho Brahe y Johannes Kepler, entre otros, sino que además fue el siglo de los grandes sistemas filosóficos acordes a los avances de la ciencia. Descartes, Leibniz y Spinoza desarrollaron vastos programas filosóficos que contemplaban todos los aspectos del pensamiento filosófico, incluyendo la metafísica, la teoría del conocimiento, la ética e incluso la estética. Una característica de estos sistemas es que estaban informados por la ciencia de la época, con la que eran compatibles. Esta tendencia se acentuó en el siglo XVIII con la Ilustración y el movimiento enciclopédico. Quizás la manifestación más acabada de un sistema integral de filosofía científica en este período fue el Système de la Nature (Sistema de la Naturaleza), publicado en 1770 por Paul Henri Thiry, barón de Holbach. Con la Revolución Francesa y luego el advenimiento del Romanticismo surge una contra-Ilustración que terminaría llevando al Idealismo alemán de Fichte y Hegel, y luego desembocaría en los irracionalismos del siglo XX. Como reacción a la filosofía extremadamente oscura del Idealismo, se produce el nacimiento de una filosofía científica de naturaleza crítica y enemiga de la especulación metafísica. El Positivismo Lógico primero y luego la filosofía analítica anglosajona dominaron la academia durante buena parte del siglo XX. Sobre este panorama de fragmentación y dedicación al análisis de la filosofía académica en el siglo pasado se destacan las figuras de dos pensadores que han logrado una obra de unidad notable y enorme alcance: Bertrand Russell y Mario Bunge. En Bunge, en particular, el sistema filosófico ha resurgido como una propuesta que, al igual que en los grandes ejemplos de la Antigüedad, abarca desde la semántica hasta la ética, pasando por la ontología y la epistemología. Bunge es hoy, en pleno siglo XXI, una rara avis filosófica: autor de un sistema de filosofía materialista forjado a la luz de los más recientes avances de la ciencia contemporánea, se ha dedicado incansablemente a resolver problemas filosóficos en forma directa y clara, con propuestas no sólo audaces e innovadoras, sino también contrastables a la luz del cuerpo total de nuestro conocimiento científico. Mario Bunge nació en Florida Oeste, a 17 km de la ciudad de Buenos Aires, Argentina, el 21 de septiembre de 1919. Hijo de un médico y diputado socialista de familia patricia, el Dr. Augusto Bunge, el joven Mario vivió siempre en un ambiente de libertad intelectual y compromiso social. Su madre, de origen alemán, era Marie Müser, quien había sido enfermera de la Cruz Roja en China. El joven Mario pronto se sintió atraído por la filosofía. En 1936 comenzó a realizar lecturas más o menos sistemáticas de tópicos filosóficos, pero pronto se convenció de que si quería hacer filosofía seriamente debía primero conocer a fondo la ciencia. Se inscribió en la carrera de física de la Universidad Nacional de La Plata en 1938, donde fue estudiante hasta 1944; más tarde se doctoró en 1952 con una tesis sobre la cinemática del electrón relativista. Su mentor de física fue Guido Beck (1903-1988), quien había sido asistente de Heisenberg en Leipzig. En 1944 Bunge publicó su primer artículo de física, en la revista Nature, sobre las secciones eficaces de las interacciones nucleares. En ese mismo año participó de la fundación de la Asociación Física Argentina. Pero ya antes Bunge había incursionado en la filosofía, publicando en 1939 un trabajo titulado “Introducción al estudio de los grandes pensadores”. En 1944 †

Instituto Argentino de Radioastronomía (IAR, CONICET), C.C. No. 5, 1894 Villa Elisa, Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected]. ‡ Universidad Nacional de Tres de Febrero y Universidad de Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected] Metatheoria 7(2)(2017): 3-16 ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina.

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fundó la revista de filosofía Minerva, donde se publicaron artículos de varios de los pensadores más prestigiosos de Latinoamérica. El propio Bunge escribió varios artículos para la revista, que duró un año. Uno de esos artículos, “¿Qué es la epistemología?”, es quizás el primer artículo de filosofía de la ciencia escrito en castellano. En 1952 Bunge publicó su primer artículo en inglés, “What is Chance?”, donde proponía una interpretación objetiva del cálculo de probabilidades y afirmaba que lo que a un nivel ontológico era azar, podía ser causalidad en otro. Durante la segunda mitad de los años 1950 Bunge, ahora profesor de física en la Universidad de La Plata y de física y filosofía en la de Buenos Aires, continuó publicando artículos de temas diversos de epistemología y ontología en revistas de habla inglesa. En 1959 aparece su libro Causality, publicado por Harvard University Press y re-editado en forma revisada por Dover en 1979. En 1963 deja Argentina definitivamente y viaja primero a Estados Unidos y luego a Alemania con una beca Humboldt. En Freiburg completa su impresionante Foundations of Physics, libro riguroso y singular, aún hoy no superado en su especialidad. En el capítulo 2 de esa obra feliz Bunge traza un programa de filosofía científica al que luego se dedicará en forma exhaustiva por casi 20 años. Foundations of Physics ve la luz en 1967. Ese mismo año aparece su tratado Scientific Research, en dos volúmenes. Ese libro, editado luego en castellano, se transformaría en un clásico en el mundo hispanoparlante. A comienzos de los años 1970, ya establecido como profesor en McGill University en Montreal, Canadá (a donde llegó en 1966), Bunge se impone desarrollar un sistema completo de filosofía que incluya desde la semántica hasta la ética. Se propone construir una filosofía científica, sistémica, materialista y realista, y se aboca a resolver problemas filosóficos concretos con herramientas formales y exactas. El resultado fue el monumental Treatise of Basic Philosophy, publicado entre 1974 y 1989 por Reidel (ahora Kluwer) en 8 tomos y 9 volúmenes. En este siglo esta obra está siendo traducida al castellano por Rafael González del Solar para la editorial española Gedisa. El Treatise es uno de los grandes hitos filosóficos del siglo XX. Desde la Ilustración que no se veía en Occidente un emprendimiento filosófico de tal envergadura. Bunge luego completaría y actualizaría esta obra asombrosa con una serie de libros complementarios publicados en la primera década del nuevo siglo. Los más importantes de éstos son Emergence and Convergence, Chasing Reality y Mind and Matter. Luego de completar su tratado, Bunge se dedicó durante más de 10 años al estudio de los fundamentos y las implicaciones filosóficas de las ciencias sociales. Entre sus libros en este tema, se destacan Finding Philosophy in Social Sciences y Social Science under Debate, libros polémicos y estimulantes. Publicó, asimismo, una gran cantidad de artículos sobre ciencias sociales durante esa década. Bunge no sólo ha descollado en producir vastos análisis de grande áreas de la filosofía, sino que ha sido un incansable filósofo de ciencias especiales, habiendo publicado extensamente sobre filosofía de la física, de la mente, de la psicología, de la economía, de las matemáticas, así como sobre pseudociencia e ideología. En años recientes ha incursionado en filosofía práctica y política con sus obras Medical Philosophy y Political Philosophy. Actualmente, a los 97 años, se encuentra trabajando sobre aspectos filosóficos de la práctica científica. A lo largo de más de 70 años de actividad académica Mario Bunge ha producido una obra de más de 80 volúmenes y cientos de artículos que no tiene precedentes en el panorama filosófico contemporáneo. Ningún otro filósofo de origen hispánico ha tenido una repercusión similar a la suya. Y sin embargo, en el mundo anglosajón su obra es relativamente ignorada. La razón, nos atrevemos a conjeturar, es doble. Por un lado, Bunge es una personalidad polémica que no se calla las críticas, lo cual muchas veces es recibido con desagrado en ámbitos académicos no habituados al debate científico. Por otro, la amplitud y profundidad del trabajo de Bunge, así como su tendencia a tratar de problemas filosóficos sin preocuparse por las modas pasajeras, hacen que su obra no sea del paladar de los filósofos analíticos contemporáneos, más proclives a la ultra-especialización y a ignorar la ciencia en función de los juegos lógicos y semánticos.

Imagen de Mario Bunge | 5

Es posible que una completa apreciación de la obra de Mario Bunge deba esperar aún mucho tiempo. Su trabajo no es para el lector casual o para quien teme adentrarse en terrenos difíciles. Tampoco para quien, preocupado por los temas de moda, evita plantearse preguntas fundamentales. Sin embargo, como todo lo que es compatible con la ciencia, su obra terminará imponiéndose. No es de extrañar que sean precisamente los científicos los primeros en reconocer su extraordinaria importancia. Una gran edición crítica de sus obras es aún una terea esencial…y pendiente. Podríamos concluir aquí esta reseña de la extraordinaria creatividad, importancia y rigor de Mario Bunge como filósofo, en la que su paso previo por la ciencia tuvo un papel esencial (¡y qué papel!: no abundan en el mundo los estudiantes de doctorado residentes en un país lejano y sin tradición científica que publican un artículo en Nature o Physical Review, y como ¡único autor!) y habríamos dejado en claro por qué se destaca tanto. Pero vale la pena analizar el contexto argentino en el cual se formó, y en cual participa pese a que hace más de cincuenta años que no reside en el país, para describir no sólo la extraordinaria fuerza de voluntad que llevó a un autodidacta en filosofía a ser conocido y respetado en el mundo académico internacional antes de radicarse en el primer mundo, sino también el compromiso que siempre tuvo con su época y su sociedad. En 1938, siendo un flamante estudiante de física en la Universidad de La Plata, Bunge creó la Universidad Obrera Argentina (OUA), que daba clases a obreros sindicalizados. Independientemente de que, en algún sentido, la UOA puede considerarse un antecedente de la Universidad Obrera Nacional, institución oficial creada durante el gobierno de Perón con el objeto de formar ingenieros surgidos de la clase obrera –que subsiste, con el nombre de Universidad Tecnológica Nacional, pero convertida en una universidad “normal”, diferenciada de las otras universidades nacionales solamente por el hecho de que su estructura administrativa es distinta, con facultades distribuidas por todo el país– el esfuerzo de Bunge, ayudado por algunos amigos, de dar clases a nivel universitario a obreros (y de llevar adelante toda la gestión administrativa y contable, además de afrontar personalmente erogaciones no desdeñables) fue realmente notable. A pesar de la desconfianza y vigilancia policial (en esa época Bunge era un marxista confeso) en la UOA dieron clases personalidades relevantes (o de futura relevancia) como Arturo Frondizi, que llegó a Presidente de la Nación, y Juan Atilio Bramuglia, que fue Ministro de Relaciones Exteriores durante la primera presidencia de Perón. Bunge renunció a la dirección de la UOA en agosto de 1943, debido a la muerte de su padre, y la UOA lo sobrevivió muy poco tiempo: a fin de ese año la dictadura militar que había destituido al presidente conservador (fraudulento) Ramón Castillo en junio de 1943 disolvió la UOA y la policía allanó su local y se robó todo, como lo relata en sus memorias (Bunge, 2014b). La UOA tenía en esa época más de mil alumnos, lo cual indica el éxito que había obtenido. Y todo esto siendo Bunge simultáneamente estudiante universitario y debiendo mantener una familia (ya estaba casado y tenía dos hijos pequeños cuando cerró la OUA). Estudiante de grado y luego de doctorado, trabajando de lo que pudiere (con muchas puertas cerradas, pues ya estaba fichado como comunista por la dictadura militar) se las arregló también para editar y administrar la ya mencionada revista de filosofía Minerva, para la cual además escribió varios artículos. Minerva llegó a publicar seis números (Horacio Tarcus logró recuperar la colección, que está archivada en el Centro de Documentación e Investigación de la Cultura de Izquierdas en Argentina, CEDINCI; es posible que haya otra colección en algún archivo de la Policía Federal). Pero al término de la agotadora aventura de Minerva, ganándose la vida esencialmente dando clases particulares (con un cargo de auxiliar docente en física en Buenos Aires desde septiembre de 1948 hasta marzo de 1953, en que su contrato no fue renovado debido –al menos así lo supone él– a que se negó a que le descontaran el 10% de su sueldo para la Fundación Eva Perón o a que no se afilió al Partido Peronista), sumamente aislado (al disentir con el Partido Comunista muchos de sus militantes también le hicieron el vacío), con un director de tesis radicado en Córdoba –y en esa época no había Internet para tener comunicación instantánea– e incluso con un corto período detenido por la policía y una breve interrupción de su relación estudiante-director con Beck, felizmente superada, pudo defender su tesis de doctorado, lo cual, como él comenta en sus memorias, al principio no le sirvió para conseguir trabajo, al no gozar de los favores del gobierno. Sobrevivió mediante alumnos particulares, alguna beca

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y estadías cortas en Brasil, Bolivia y Chile. Y fue justamente durante el gobierno de Perón, antes de su derrocamiento en 1955, cuando Bunge formó parte de uno de esos típicos grupos de estudio que se armaban entre intelectuales que tenían el acceso vedado a la universidad; en este caso, el grupo (el Círculo Filosófico de Buenos Aires) fue particularmente brillante e interdisciplinario: sus integrantes eran, aparte del propio Bunge, el matemático Manuel Sadosky, figura señera y uno de los “padres fundadores” de la informática en Argentina; Gregorio Weinberg, hombre de la cultura y humanista; Hernán Rodríguez Campoamor, quien tradujo al castellano varios libros de Bunge; Federico “Pipo” Westerkamp, físico; Hersch “Coco” Gerschenfeld, neurobiólogo de nivel internacional; y Enrique Mathov, médico. Bunge indica en el prólogo de Causality que el contenido de dicho libro había sido discutido en 1954 por los entonces integrantes del Círculo (todos los mencionados, con excepción de Gerschenfeld), lo cual da una idea de la calidad de las discusiones (y de los discutidores). De los participantes mencionados, Bunge terminó radicado en Montreal, Rodríguez Campoamor en Nueva York y Ginebra, y Gerschenfeld en París; esas emigraciones son una pequeña muestra del costo intelectual para Argentina de sus avatares políticos. A la caída de Perón, derrocado por un golpe militar en 1955 en el contexto de una sociedad terriblemente polarizada entre sus partidarios y sus enemigos, se produjo un hecho único en la larga y lamentable historia de los golpes militares en Argentina: dado que la mayor parte de los estudiantes universitarios, y numerosos intelectuales y académicos, eran manifiestamente antiperonistas, las nuevas autoridades universitarias integraron las cátedras de las universidades con prestigiosos académicos y jóvenes intelectuales que, o bien habían sido echados de la universidad durante el gobierno anterior, o bien directamente nunca habían podido acceder a cargos para los cuales estaban perfectamente capacitados. Entre ellos, por supuesto, Mario Bunge. De alguna manera Bunge repartió al principio su actividad académica en la Universidad de Buenos Aires entre sus “dos amores”: la física y la filosofía, mediante cargos de profesor en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y la Facultad de Filosofía y Letras, respectivamente. En 1958 decidió priorizar uno de los dos amores, el de la filosofía, y se quedó con un cargo de profesor con dedicación exclusiva en Filosofía y Letras. Su estilo era excesivamente frontal para la cultura imperante en dicha facultad en el área de filosofía; además, pocos meses después del derrocamiento mediante un golpe militar del presidente Arturo Frondizi se produjo un sangriento enfrentamiento entre dos fracciones de las Fuerzas Armadas, que eran los verdaderos dueños del poder en el país, el cual gobernaban a través del presidente interino José María Guido, que dependía absolutamente de ellas (además, el Congreso había sido disuelto y las provincias intervenidas). Tanto la situación profesional de Bunge como la situación política del país lo llevaron a tomar la decisión de radicarse en el exterior con Marta Cavallo, su segunda esposa, a principios de 1963; y desde 1966 residen ininterrumpidamente, como ya se mencionó (salvo un breve período en México), en Montreal, donde actualmente ambos son profesores eméritos, Mario de filosofía y Marta de matemáticas, en McGill University. Sin embargo, si bien Bunge vive fuera de Argentina desde hace más de medio siglo, nunca se desentendió de los problemas de su país, y sus opiniones e intervenciones escritas y orales, siempre polémicas, tanto sobre política como sobre temas académicos, son un aporte enriquecedor en las áreas en las cuales se insertan. En algunos casos, sus opiniones, por escrito o a través de reportajes, se circunscriben a la Argentina, como en su artículo de Ciencia Nueva (Bunge, 1972a), que provocó fuertes discusiones (Ciencia Nueva fue durante el período en que se publicó –1970-1974– una muy interesante y valiosa fuente de discusiones sobre ciencia y política, en particular de Argentina), y en otros casos se refiere a la actualidad en general, en particular la realidad latinoamericana, como en su valioso artículo sobre la investigación científica en los países en desarrollo (Bunge, 1968c) reproducido después parcialmente en una compilación de Jorge Sabato. En los últimos años, con una vitalidad extraordinaria, Bunge comenzó ¡a los noventa años! a coordinar (y participar activamente en) un seminario de filosofía de la ciencia en la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires, seminario que se ofreció ininterrumpidamente durante un mes entre 2010 y 2015, con un éxito notable. Es decir, con Bunge pasando un mes en Buenos Aires cada uno de esos años como profesor visitante de dicha facultad. Es

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realmente admirable no sólo verlo exponer, sino instando a los asistentes a que le hagan preguntas, a fin de contestarlas, rebatirlas o aceptarlas. Por último, como puede observarse perfectamente en la bibliografía de sus obras indicada más abajo, dos características de Bunge llaman la atención: por un lado, casi toda su obra es producto individual de él: hay muy pocos trabajos en colaboración, y cuando los hay, en general, no son sobre los temas académicos en los cuales está interesado sino sobre temas políticos o más generales (sobre los cuales, por supuesto, también está interesado). Y, por otro lado, que desde muy joven decidió “jugar en primera”: recordemos las ya mencionadas contribuciones a Nature y a Physical Review. En los años 1950 vendrían The Americal Journal of Physics, The Bristish Journal for the Philosophy of Science y muchos más. Bunge no solamente tenía desde muy joven ideas propias originales, sino que era plenamente consciente de su valor y, a diferencia de muchos científicos de países subdesarrollados que no se animan a enviar sus trabajos a revistas importantes internacionales sin el apoyo y la animación de alguna figura muy respetada, estaba dispuesto desde temprano a competir en la arena internacional. Y lo hizo. Y triunfó.

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The Concept of Existence in Mathematics El concepto de existencia en matemáticas Pablo M. Jacovkis†

Resumen Afirmamos que, desde un punto de vista pragmático, los matemáticos tratan los objetos matemáticos como si fueran reales. Si una teoría es consistente, los teoremas se descubren (a veces con análisis no necesariamente diferentes de los aplicados en ciencias naturales) y las demostraciones se inventan; la tecnología moderna no puede existir sin aceptar la ley del tercero excluido; una demostración constructiva puede suministrar nuevas ideas o métodos pero, desde el punto de vista matemático, una demostración no constructiva es tan sólida como una constructiva. En consecuencia, ningún matemático, puro o aplicado, prescinde del axioma de elección; por otra parte, aunque según se acepte o no la hipótesis del continuo pueden aparecer distintos teoremas y objetos, no existe –al menos hasta ahora– ningún teorema importante aplicable al mundo real que dependa de aceptar o no dicha hipótesis. Los objetos matemáticos construidos por matemáticos aplicados son a menudo tan útiles como los objetos físicos, incluso aquellos objetos que fueron creados mediante métodos computacionales o probabilísticos. Palabras clave: existencia matemática - descubrimiento matemático - invención matemática

Abstract We assert that, from a pragmatic point of view, mathematicians treat mathematical objects as if they were real. If a theory is consistent, theorems are discovered (sometimes with analyses not necessarily different from those applied in sciences) and proofs are invented; modern technology cannot exist without accepting the law of excluded middle; a constructive proof may provide new ideas or methods but, from a mathematical point of view, a non-constructive proof is as sound as a constructive one. Accordingly, no mathematician, pure or applied, gets by without the axiom of choice; on the other hand, although different theorems and objects may appear depending on the acceptance or not of the continuum hypothesis, no important theorem applicable to the real world exists – at least until now – which depends on accepting or not this hypothesis. Mathematical objects built by applied mathematicians are often as useful as physical objects, even those objects created via computer-assisted or probabilistic methods. Keywords: mathematical existence - mathematical discovery - mathematical invention

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Recibido: 16 de Febrero 2016. Aceptado con revisiones: 19 Septiembre 2016. Universidad Nacional de Tres de Febrero y Universidad de Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor escribir a: [email protected]. Metatheoria 7(2)(2017): 17-23. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina. †

18 | Pablo M. Jacovkis

1. Introduction This work is focused from a pragmatic point of view, that is, we shall try to show and to exemplify how an applied mathematician – or a computer scientist, a physicist, an engineer or any specialist who uses mathematics as a tool of his or her work – consciously or unconsciously considers the mathematical objects as real entities that “exist”, provided with concrete properties; in that sense, the concept of existence is very similar to the notion of existence defined by Mario Bunge, for instance in Bunge (1985). Anyway, there is a caveat; as Bunge very clearly explains in Bunge (1997), he discusses pure mathematics, from the viewpoint of moderate mathematical fictionism; some of his assertions are very clear in that sense: “fictionism is […] quite true of pure mathematics” (p. 51), “pure mathematics is not about the real world or about experience” (p. 51), “pure mathematics is ontologically neutral and, more precisely, a great (though not arbitrary) fiction” (p. 57), “[p]ure mathematics, then, is not about concrete or material things such as photons or societies. It is about conceptual or ideal objects” (p. 59). By the way, this was the idea that Cantor had of mathematical objects when he created the set theory. In the first paragraph of his seminal work, Cantor (1895) says that “by an ‘aggregate’ we are to understand any collection […] of definite and separate objects of our intuition or our thought” (unsrer Anschauung oder unseres Denkens). Therefore, as well as we define concrete and abstract nouns, we may define real and conceptual objects. Furthermore, for most pure mathematicians, the situation is the same: for the daily work in mathematics, pure or applied, the difference between real and conceptual objects is vague, practically inexistent. In mathematics – as in the other sciences – two powerful forces move research and researchers: on the one hand, curiosity and thirst for knowledge – a feeling that in a sense could be compared to the famous answer of the great mountaineer George Mallory to the question “Why climb Mount Everest?”: “Because it’s there”; on the other hand the wish to apply the results obtained. We adopt the point of view of the applied mathematicians, that is, the mathematicians inspired by this second force. In the end, mathematics is an incredibly powerful tool to solve concrete problems and – except for issues with philosophical or epistemological interest, or studies in foundations of mathematics, or for theories introducing new potentially enriching approaches – in the long run the filter which separates lively from dying theories is their usefulness. Even the theory of numbers, originally studied only because of its fascination, is now (to the despair of G. H. Hardy, if he were alive) crucial in cryptography. And among the branches of mathematics currently studied without a potentially clear application, it remains to be seen which of them will survive in the future. Kolmogorov’s theory of probability is stunningly beautiful but, had it not been so useful, it would have been abandoned long ago.

2. Discovery and invention Let us assume that all the theories which we discuss are consistent, including those whose consistency has not been proved. For, if a theory is inconsistent, and leads to contradictions, no mathematical object exists in it. And we assume, besides, that the law of excluded middle holds, and our approach is not constructivist, in the sense that knowing that a mathematical object exists does not mean that we can show or locate it. Given that all modern technology is influenced by computer science, it is worth remembering that the conjunction between logic based in the law of excluded middle and electrical engineering permitted the creation of modern electronic computers: the outstanding Shannon (1940) dissertation where he established the correspondence between propositional logic and electric circuits is clear: electrons flow in an electric circuit depending on the truthfulness of falsehood of a proposition. (This does not mean that one should abandon other logics, as one does not abandon nonEuclidean geometries: in other contexts they may be useful.) As a first approximation, then, when a (consistent) mathematical theory is formulated, all the theorems deducible from it are automatically established. The task of the mathematician consists in “discovering” these theorems, not in inventing them. A shorter, more elegant, proof may be invented; but the theorem “exists” independently of the proof. Anyway, this division is perhaps too categorical:

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Gowers (2011), when analysing whether mathematics is discovered or invented – and, more generally, when analysing the concept of discovery and the concept of invention –, defines a more diffuse boundary between what is discovered and what is invented in mathematics: essentially, he says, the feature that distinguishes what is invented from what is discovered is “the control that we have over what is produced”. Of course, no mathematician formulates a new theory “to see what happens”. When a new theory is created, its creators have in mind what the theory is useful for, or that the theory is necessary to demonstrate some results whose intuitive idea they already have conceived, and formalization is necessary. And along the process of proving theorems new mathematical objects are being created, which (conceptually) exist. As a matter of fact, those objects, although without material existence, are not comparable to the imaginary objects (or characters) created by, say, a writer: they are subject to very strict conditions (some of them perhaps unknown to us). When the Banach spaces were “created”, they could not have arbitrary characteristics. They had to behave in a certain way; we could not, with a stroke of imagination, force them to have properties they cannot have; in fact, outstanding mathematicians have investigated those spaces and “discovered” a lot of fascinating properties. Du Sautoy (2011) tells that one of his “proudest moments as a mathematician was constructing a new symmetrical object whose subgroup structure is related to counting the number of solutions modulo p of an elliptic curve”. Although du Sautoy says that he did not build it “physically”, it is clear that the object lives “in the abstract world of mathematics” (that is what du Sautoy says): for all practical purposes (and du Sautoy is a pure mathematician), inside mathematics the object exists.

3. Constructive and non-constructive proofs The proof of a theorem may be “constructive”, like the proof of the theorem of existence and unicity of an ordinary differential equation under reasonable hypotheses, or may be non-constructive (for instance, a proof by reductio ad absurdum), like the traditional proof that the square root of two is irrational. Does the concept of existence depend on the type of demonstration used? According to the criterion followed in this work, it does not. Why? During many centuries any proof of the irrationality of the square root of two was by reductio ad absurdum. Nevertheless, that non-constructive proof allows us to claim that the set of irrational numbers is non-void, and so to affirm (non-constructively) that this set exists. Interestingly, nobody can work efficiently in mathematics without accepting the existence of the real numbers (the rational plus the irrational) as a non-countable set, although only a countable subset of it may be exhibited (the rational, the algebraic, and some transcendental numbers). Of course a constructive proof is often better in the sense that it is more directly useful to have an object “of flesh and blood” (for instance, the constructive proof of the theory of existence and unicity of a solution of an ordinary differential equation suggests the explicit Euler method for its numerical solution), but that does not mean that something obtained by means of a non-constructive proof exists “less” than something obtained by means of a constructive proof. By the way, objects created with non-constructive proofs existed often before the corresponding constructive proofs, and sometimes no constructive proof of a theorem has yet been found; for instance, no constructive proof exists of the fact that (l∞)* contains properly l1. Besides, non-constructive proofs may be useful “in a constructive way” for other reasons: suppose that by means of a non-constructive proof the existence and unicity of the solution of a general problem are guaranteed, and suppose that in a particular case a numerical solution approximates a solution: we know that that solution is the solution searched, because we know (thanks to the nonconstructive proof) that the solution is unique. With this approach, the situation is not particularly different to the situation of the professor who, in front of his or her students, asserts that one of them has more hairs than the others; obviously, no one can know who this student is. Or to the situation of the observer of a demonstration in which

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500,000 citizens have participated, who says that there exists one demonstrator who has more hairs than the others. Although for the mathematical object built with a non-constructive proof the impossibility of exhibiting it is absolute, and for the examples with hair the impossibility is technical, in fact the boundary between both is diffuse: it does not seem likely (at least in a not too distant future) that we find the way (and the necessity) of computing exactly the number of hairs of a crowd of 500,000… Besides, from our pragmatic point-of-view, for instance Maheara (1984) invented an extremely clear and elegant non-constructive proof of the Jordan curve theorem. Assuming that no constructive proofs could be found of this theorem, probably no mathematician would be willing to get by without this theorem. And, more generally, mathematics would be much poorer without using the axiom of choice, which is non-constructive.

4. Completeness and independence Now, from Gödel’s incompleteness theorem we know that – in the underlying theory – there are propositions p that are true (or their negations ~p are true) but that cannot be proved with the tools of the theory. For instance, if Andrew Wiles had not proved Fermat’s last theorem, it is possible that some mathematicians would have begun to think that perhaps that theorem were a concrete example of Gödel’s theorem: that the theorem were true (or false) but the theory needed to be “reinforced” to be able to find a proof. This situation happens with many conjectures. For instance, with the Goldbach’s conjecture: every integer greater than two can be expressed as the sum of two primes. We are sure that the conjecture is true or false, but perhaps we cannot prove its truthfulness or falsehood inside the theory. Other situation is also possible: that a proposition is independent of the rest of the theory, and the proposition (or some variant of its negation) may be incorporated to the theory as a new axiom, so that the broadened theory continues being consistent. That is what happened, of course, with geometry and Euclid’s fifth postulate: if we do not accept it, we have a non-Euclidean geometry instead of the traditional Euclidean one. And that is what happens with the axiom of choice and with the continuum hypothesis. Regarding the axiom of choice, there are no practical problems: except the constructivists, all mathematicians accept it, because the mathematics obtained including it is so much richer than the mathematics obtained without accepting it, that it is almost impossible to resist the temptation of using it, that is, of creating mathematical objects that exist only thanks to the axiom of choice or some of its equivalent propositions, such as Zorn’s lemma. With the Zermelo-Fraenkel set theory plus the axiom of choice (the ZFC set theory) the mathematical theories built are not only extraordinarily beautiful and rich, but also extraordinarily useful and applicable. Elegance and pragmatism go hand in hand. But with the continuum hypothesis (CH), the situation is more ambiguous. Since Paul Cohen showed that CH is independent of the ZFC theory, we may accept CH, and then we have a theory, with its theorems and its objects, or may not accept it, having then new theories with their theorems and their new existing objects (among them, of course, a set whose cardinality is greater than ‫ﬡ‬0 and less than c). But, until now, no important theorems applicable to the real world exist which depend on accepting or not CH. Anyway, be they useful or not, be they important or not, different theorems exist accepting or not CH, and the mathematical objects created exist (conceptually). This commentary, naturally, does not underestimate the enormous importance of the studies and analysis of CH in the foundations of mathematics. Simply, until now, real life mathematical models do not take into account whether this hypothesis holds or does not hold, but nothing forbids that, in the future, important and useful models may appear based in CH or in some variant of its negation. We may claim that this discussion is posed for objects whose cardinality is infinity, due to the fact that all is (or seems) simpler with finite objects. But, on the one hand, the sets of natural and real

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numbers are infinite objects which we accept unreservedly; and, on the other hand, the Fischer-Griess monster, the finite group M with 246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 = 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368.000,000,000 ≈ 8×1053

elements, is probably much more difficult to visualise mentally, except for some specialist in finite groups, than the real numbers. It is interesting to comment, with regard to the Fischer-Griess monster, that Borcherds (2002) says that “[t]he monster was originally predicted to exist by B. Fischer and by R. L. Griess in the early 1970s. Griess constructed it a few years later in an extraordinary tour de force” and Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group) remarks that Fischer, Conway, Norton and Thompson discovered other groups as subquotients. Wikipedia employs the verb “discover”: the groups were “there”, it was necessary simply to find them; the construction by Griess seems more a discovery than an invention. And regarding the prediction of its existence, it would be worth analyzing in detail whether there is any difference between the reasoning leading to its prediction, and then to its exhibition, and the reasoning leading to the prediction, and then to the localization, of the planet Neptune.

5. Existence in applied mathematics Focusing now our interest specifically in applied mathematics, we may mention the Lax equivalence theorem: for a consistent finite difference method for solving a well-posed linear initial value problem of partial differential equations, the method is convergent if and only if it is stable (Lax and Richtmyer, 1956). Lax’s proof has a non-constructive part. No applied mathematician stopped using (and using successfully) the theorem due to the non-constructive part. Furthermore, one of the most attractive areas of applied mathematics is, in the field of numerical solution of partial differential equations, the finite element theory, due to its elegant theoretical basis as well as to its powerful applications. And, according to the type of numerical problem to solve, different finite elements are “invented”: the Argyris triangular elements, the Lagrange elements, the Hermite elements, the Morley elements; quadrangular finite elements, and so on. Each finite element invented, or constructed, is a mathematical object, and so it is real (conceptually); when one runs on a computer a (correct) program including the finite element (correctly) chosen, the program gives back exactly what it should, with exactly the accuracy required.

6. Experimental mathematics In their 1953 seminal work (Fermi et al., 1955), Fermi, Pasta, Ulam and Tsingou performed numerical simulations with a system of near-neighbour coupled equations, which included weak nonlinear quadratic or cubic terms, simulating vibrating strings. They observed that, contrary to the thermalization that intuition suggested, the computer results showed a very complicated quasi-periodic behaviour. Some years later, this strange phenomenon could be related to the soliton theory and the Korteweg-de Vries equation (Zabusky & Kruskal, 1965). That is, it was possible to associate the existence of a mathematical object (the already known Korteweg-de Vries equation) to a physical phenomenon observed for the first time by the computer (“in silico”). Similarly, many years later, the Feigenbaum constant that appears in chaos theory was detected, as if it were a physical object, before its existence could be mathematically proved. In fact, Feigenbaum (1979) found this constant in 1976 and Landford (1982) invented a computer-assisted proof to show that it was indeed a constant. And it is not yet known whether Feigenbaum constant is a transcendental number or not. But it is clear that

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either it is transcendental or not; somebody will “discover” that the constant is transcendental, or that it is not transcendental.

7. “Probability” of existence An additional discussion deserves the following case: Glimm (1965) proved that, under certain conditions, for a system of hyperbolic conservation laws it is possible to construct, by means of a probabilistic algorithm, a succession of approximate solutions which converge, with probability one, to the only theoretical solution of the system. That is, the solution of the system exists, and is unique, with probability one. What assurance we have then of the actual existence (in the conceptual sense) of this solution? In other words, when we are working with a particular system of hyperbolic conservation laws, and we want to be sure that the solution exists and is unique, how do we know that we have not had bad luck and the system belongs to the set (of probability zero) without solution? In practice, this alternative does not happen: using Glimm’s theorem Chorin (1976) designed a probabilistic numerical method (the random choice method) to solve nonlinear hyperbolic systems of conservation laws, and the method works and is applied.

8. Conclusion Summing up: focusing the discussion about the existence of mathematical objects from a pragmatic point of view, point of view which is adopted by any mathematician who works in problems of physical (or economic, or social) reality, mathematical objects may be treated as very concrete objects, whose existence and properties are guaranteed. In many senses objects not totally known may be studied as if the mathematician were an explorer. Most pure mathematicians, and all applied mathematicians, are Platonic, like it or not.

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Truth and Relevancy Verdad y relevancia Gustavo E. Romero†

Resumen Hay varios tipos de verdades. En este artículo me centro en las verdades semánticas, y dentro de estas en las fácticas. Estas verdades se atribuyen a enunciados. Repasaré la teoría de la verdad de Bunge y discutiré algunos problemas que la misma presenta. Sugeriré que una teoría de la verdad de los enunciados fácticos debe ser complementada con una teoría de la relevancia, y propondré los postulados básicos de la misma. Finalmente, discutiré brevemente la naturaleza de las proposiciones y el problema de la verdad en las teorías científicas a la luz de las consideraciones semánticas presentadas. Palabras clave: semántica - Bunge - ciencia - verdad - relevancia

Abstract There are several types of truths. In this paper I focus on semantic truths, and within these on factual truths. These truths are attributed to statements. I review the theory of the truth proposed by Bunge and discuss some problems that it presents. I suggest that a theory of truth of factual statements should be complemented by a theory of relevance, and propose the basic tenets of it. Finally, I briefly discuss the nature of propositions and the problem of scientific truth in the light of the presented semantic theory. Keywords: semantics - Bunge - science - truth - relevancy

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Recibido: 16 de Febrero 2016. Aceptado con revisiones: 19 Septiembre 2016. Instituto Argentino de Radioastronomía (IAR, CONICET), C.C. No. 5, 1894 Villa Elisa, Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected]. Metatheoria 7(2)(2017): 25-30. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina. †

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1. Introduction “Truth” is a polysemic word. We can differentiate at least two kinds of truths: ontological and semantic. Ontological truth is the adequacy of thought to reality. More specifically is a matching of the processes in the brain of a knowing subject to processes in the world. The latter are series of changes that can occur either in the physical environment or in the body, including the brain itself. Ontological truth is then a fact-to-fact correspondence, and should be studied by science, in particular by the neurosciences. Semantic truth, on the contrary, is the adequacy of a conceptual object such as a proposition to reality. A proposition asserting the occurrence of an event e is said to be true if e happens. Semantic truth is attributed to propositions according to some theory of truth. Truth is not a property of the proposition if the proposition is factual: there is no analysis of the proposition alone that might reveal whether it is true or not. Since we can separate propositions into formal (i.e. those of logic and mathematics) and factual ones (i.e. those that refer to facts), semantic truths can also be divided into formal and factual ones. The elucidation of the concept and criterion of semantic truth corresponds to philosophical semantics. A truth criterion should specify a truth valuation function that maps propositions into truthvalues. This function is a partial function since not all propositions have truth-value. It should be reminded that we are those who attribute values to propositions; so, if we do not do the ascription, the propositions remain neither true nor false. Examples of propositions that lack of truth-value are nontested hypotheses, undecidable propositions in some formal systems, and untestable propositions such as propositions about singular events inside black holes (e.g. “Dr. Spock smiled after crossing the event horizon”). Note that the same proposition might have truth value for some individuals while not having a definite value for others (as it is the case with the above proposition about Spock: for the people falling along with Spock into the black hole, if any, the proposition has a well-defined truth value; for those remaining outside the event horizon it is impossible to assign a truth value to the proposition). In short: truth and falsity are not intrinsic properties to factual propositions, but attributes assigned to then on the basis of some evidence. There is no reason to maintain that there is only one theory of truth that can succeed. If formal and factual truths are of different nature, then we can expect that different theories might apply to formal and factual propositions. In what follows, I present theories for formal and factual truth. Most of what I have to say is based on Bunge (1974a, b) and Bunge (2012), whose work I review and expand. I refer those readers interested in other theories to the current literature. Particularly useful reviews with updated references are given by Mosteller (2014), Burgess and Burgess (2011), and Kirkham (1995). Those interested in degrees of truth will find some outstanding material in Smith (2008).

2. Formal truth Let L be some formal system and p a proposition of L. We say that the truth-value VL(p) of p in L is 1 iff p is a theorem in L: L ⊢ p. An abstract formula 𝜑(x) in L has truth value 1 in L iff there is a model of 𝜑(x). If a formal proposition or formula has truth-value 1, we say that they are true in L. If a formal proposition or an abstract formula is not true we say that they are false in L and we assign them truthvalue 0. Examples: • The proposition ‘3+5=8’ is true in arithmetic of integer numbers. • The formula ‘AB - BC = 0’ is true in the arithmetic of integer numbers, but not in the arithmetic of matrices.

Truth and Relevancy | 27

The function VL(p): ℬ → {0, 1} assign values of 0 or 1 to the set ℬ ⊂ L of decidable propositions of L. Notice that undecidable propositions do not have truth value in L, although they might be true or false in a different formal system L'. In short, formal truth equals either satisfiability or theoremhood. This is essentially Tarski's theory of truth, which is considered sometimes as a theory of correspondence. Actually, it is a theory for the satisfiability of propositions in formal languages.

3. Factual truth Factual truth is an attribute of propositions concerning facts. We assign a truth-value to a proposition p on the strength of empirical tests such as a run of observations. The assignment is done through a new proposition in the metalanguage: p has a truth value VE(p) with respect to evidence E. The truth-values can change if the evidence changes. The evidence E is formed by a set of propositions that express empirical determinations of some property M whose value according to p is 𝜇. Then EM = e + 𝜖, where e is the measured value of M and 𝜖 is the corresponding error. Then, p is true with evidence E if |𝜇 - e | < 𝜖 If we have two different pieces of evidence E and E we should assign a truth value with the strength corresponding to the evidence of smaller error. Total truth is rarely known in science. Hence it is desirable to introduce a truth valuation function admitting truth-values others than 0 and 1. We adopt a valuation function of partial truth V: P →[0,1] that applies a set of propositions to the unit real interval. The function V is determined by the following postulates (Bunge 2012):

A1- If p is a quantitative proposition that has been found to be true with the relative error 𝜖, then V(p) = 1 - 𝜖. Example: p = “Blumina is 9 years old'”. The actual age is, say, 10 years old. Then 𝜖 = 1/10 and V(p) = 9/10.

A2- If p ≠ ¬q for some q, V(¬p) = 0 iff V(p) = 1 and V(¬p) = 1 iff V(p) < 1. If p = ¬q for some q → V(¬p) = V(q).

A3- For any two propositions p and q, if p  q, then V(p) = V(q). A4- If p ≠ ¬q, then V(p ∧ q) = [V(p) + V(q)]/2, and if p = ¬q, then V(p ∧ q) = 0. This can be generalised to any number of propositions pi, i = 1, 2,…, n: 1

V (⋀𝑛𝑖=1 𝑝I ) = 𝑛 ∑ni=1 V(pi) . As I discuss below, this is correct only if all propositions have the same relevancy.

A5- For any two propositions p and q, such as p ≠ ¬q: V(p ∨ q) = max {V(p), V(q)}. Otherwise, V(p ∨ q) = V(q ∧ ¬q) = 1.

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Notice that in the proposed system meaning precedes test since only when we understand a proposition we can test it. In turn, the result of a test leads to an assignation of truth-value. Hence, truth depends on meaning and not the other way around (Bunge 1974b).

4. Relevancy The theory of factual truth outlined above was developed by Bunge (2010, 2012). It is not free of problems. Let us come back to the example we used to illustrate the axiom A1: p = “Blumina is 9 years old”. If Blumina is actually 10, this statement about the age of Blumina has truth-value of 0.9, i.e. it is approximately true. Let us now consider the following statement, which is almost false: “Blumina is 1 year old”. Its truth-value is 0.1. On the contrary, the statement “Blumina is younger than the age of the solar system” is completely true, with a value V = 1. The statement is also completely irrelevant to solve the issue of the age of Blumina, despite it refers to Blumina and her age. We can now draw upon A4 to arrive at some awkward results. If p0 = “Blumina is 1 year old”, p1 = “Blumina is younger than the solar system plus 1 second”, p2 = “Blumina is younger than the solar system plus 1/2 seconds”,…, pn = “Blumina is younger than the solar system + 1/n seconds”, then we have V(p0) = 0.1, and V(pi) = 1, i = 1,…, n. Thus: V(⋀𝑛𝑖=0 𝑝𝑖 ) = ∑𝑛𝑖=0

𝑉(𝑝𝑖) 𝑛+1

,

and, 𝑛 V(⋀∞ 𝑖=0 𝑝𝑖 ) = lim ∑𝑖=0 𝑛→∞

𝑉(𝑝𝑖 ) 𝑛+1

= 0 + lim

𝑛

𝑛→∞ 𝑛+1

= 1.

Therefore, the value of the molecular statement is 1, i.e. it is true despite p0 was false. With a relevant false statement and a large number of irrelevant true statements we have constructed a true statement. All statements have the same reference. This result suggests that we should take into account the relevancy of the different statements when we are evaluating their contribution to a specific problem. To this goal I define a relevancy bi-valued function Rel: P → {0,1}. Given a problem F, and a statement p with the same reference as the problem, the relevancy function assigns a value 1 (relevant) or 0 (irrelevant) to p according to: 1. If p expresses a sharp value 𝜇, then Rel p =1. 2. If Rel p ≠ 1 then Rel p = 0. Then, we can reformulate the postulate A4 as: 1

VF (⋀𝑛𝑖=0 𝑝𝑖 ) = 𝑛 ∑𝑛𝑖=0 Rel 𝑝𝑖 . 𝑉(𝑝𝑖 ). So now VF is 0 in our example. In principle we can propose a generalised relevancy function: RelF : P → [0,1]. This is a function that assigns to each statement a relevancy between 0 and 1 with respect to a problem F. Its explicit form is not general but depends on the specific problematic and the sense of the various statements.

5. Truth bearers and theories When discussing “the problem of truth”, analytical philosophers use to distinguish two different problems: the nature of truth bearers and the truth conditions. I have elaborated above about the truth

Truth and Relevancy | 29

conditions for both formal and factual truth. I shall now make some remarks on the objects to which we attribute truth values. Ontological truth is attributed to thoughts and other processes in the brain. The brain is a physical system that can undergo changes that correlate with changes in the external world or other parts of the brain. Semantic truth, conversely, is attributed to statements and propositions. I have used these two words interchangeably, but now we will differentiate them. A statement is an illocutionary act that expresses an assertive sentence. The statement is a physical object, either a written sentence that express some state of affairs or an utterance. Now, different statements can express the same fact. For instance, the following true statements share the same meaning: ‘The show is white’. ‘La nieve es blanca’. ‘The colour of the snow is white’. All these statements refer to snow and all say the same: that it is white. Adopting a specific semantic theory of meaning (Bunge 1974a, b), we can form a concept, a class, with all physical statements of identical meaning. I call such a class a proposition: p = {x: x Syn s}, where s is some concrete statement and Syn is the operation that assigns to s all its synonymous statements s’: s Syn s ⟷ R(s), S(s) = R(s), S(s), where R and S are the reference and sense of s (Bunge 1974a). A proposition is then an equivalence class of statements. Synonymy is the corresponding equivalence relation.1 Notice that 1) p is a concept, not a physical object, 2) strictly, p can be defined only when sense and reference can be consistently calculated, i.e. when s belongs to a formalised interpreted language or theory, and 3) that this definition is not that proposed by Bunge (1974a,b), who considers propositions as equivalence classes of thoughts. I do not follow Bunge because it is far from clear to me what is a class of thoughts or which is the equivalence relation between thoughts. Now, with our definition of proposition we can attribute truth to any statement, and the truth value will be inherited by the corresponding propositions, since statements with the same meaning have the same truth value. ∀x(x Syn s) → V(x) = V(s). Beliefs are psychological attitudes of attachment to some propositions or systems of propositions. There is not direct link between the truth-value of propositions and that we might attribute to beliefs: anybody can believe false statements and consider as false actually true propositions. The believing brain should be studied by the neurosciences and not by philosophical semantic. Belief should not have any place in neither science nor philosophy2. Another important question is whether theories can be true. Theories are hypothetical-deductive systems that are constructed to represent some aspect of reality (e.g. Bunge 1967). Any theory involves an infinite number of statements, in the form of theorems entailed by the axioms plus some complementary assumptions and conditions. Hence, it is not possible to establish the truth value of a 1 2

For an early attempt in this direction, see Russell (1940). The reader can already foresee that I reject the usual definition of knowledge as true belief.

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theory from the truth values of the entailed statements. Simply, there is no way to test all statements of a theory since actual infinities do not exist, or, if they exist, supertasks are impossible (Romero 2014). However, it is perfectly possible to determine whether some theory T is truer than other theory T that refers to the same facts. We say that T is truer than T if the finite number of statements S of T has an average truth value and a lower mean error than the corresponding set S of T. For example, Special Relativity is truer than Newtonian mechanics and General Relativity is truer than Special Relativity plus Newton's gravitation theory.

6. Conclusion Summing up: only some brain processes and statements can be true, false, or something in between. Propositions are constructs that inherit the truth value of the statements from which they are abstracted. A truth-value cannot be assigned to a theory or to a worldview. A theory, however, can be truer that another. The same holds for worldviews. Science thrives for finding theories ever truer and more relevant about the world and the problems it poses to us.

References Bunge, M. (1967), Foundations of Physics, Berlin-Heidelberg: Springer. Bunge, M. (1974a), Treatise on Basic Philosophy I. Sense and Reference, Dordrecht: Kluwer. Bunge, M. (1974b), Treatise on Basic Philosophy II. Interpretation and Truth, Dordrecht: Kluwer. Bunge, M. (2010), Mind and Matter, Heidelberg: Springer. Bunge, M. (2012), “The Correspondence Theory of Truth”, Semiotica 188: 65-76. Burgess, A.G. and J.P. Burgess (2013), Truth, Princeton: Princeton University Press. Kirkham, R.L. (1995), Theories of Truth, Cambridge, MA: The MIT Press. Mosteller, T.M. (2014), Theories of Truth, New York and London: Bloomsbury Academic. Romero, G.E. (2014), “The Collapse of Supertasks”, Foundations of Science 19: 209-2016. Russell, B. (1940), Inquiry into Meaning and Truth, New York: W.W. Norton. Smith, N.J.J. (2008), Vagueness and Degrees of Truth, Oxford: Oxford University Press.

Sobre la relevancia de la tesis de Turing On the Relevance of Turing’s Thesis Aldana D’Andrea†

Resumen En este artículo intentamos dar cuenta de la relevancia de la tesis de Turing sobre el concepto de cálculo efectivo en relación con la tesis de Church sobre el mismo tema. Si bien ambas tesis son extensionalmente equivalentes y proporcionan, por lo tanto, una misma solución al Entscheidungsproblem de Hilbert, hay una especie de acuerdo en considerar que la formulación de Turing es la más satisfactoria o la más convincente. La pregunta es por qué se da tal acuerdo. En respuesta a esta pregunta destacamos la complejidad del Entscheidungsproblem e indagamos en qué medida las propuestas de Church y Turing captan dicha complejidad. Palabras clave: tesis de Turing - cálculo efectivo - Entscheidungsproblem

Abstract In this paper we seek to explain the relevance of Turing’s thesis about the concept of effective calculation in relation to Church’s thesis about the same topic. Even though both theses are equivalent extensionally and provide therefore the same solution to Hilbert’s Entscheidungsproblem, there is a kind of agreement in considering that Turing’s formulation is the most satisfactory or the most convincing. The question is why such an agreement exists. In response to this question particular attention is given to the complexity of the Entscheidungsproblem and to the extent to which Church and Turing’s proposals catch that complexity. Keywords: Turing’s thesis - effective calculation - Entscheidungsproblem



Recibido: 16 de Febrero de 2016. Aceptado: 19 de Septiembre de 2016. Universidad Nacional de Río Cuarto (UNRC)/Universidad Nacional de Córdoba (UNC)/ Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina. Para contactar a la autora, por favor, escribir a: [email protected]. Metatheoria 7(2)(2017): 31-39. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina. †

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1. El problema fundamental de la lógica matemática Para la matemática el siglo XX no empezó sino hasta que Hilbert pronunció sus ya 23 famosos problemas y su característico optimismo: en matemáticas no hay ignorabimus (Hilbert 1902). La forma en que la matemática accedería a tal privilegio cognoscitivo sería desarrollada en lo que conocemos como el programa de Hilbert. De acuerdo a éste, todo el conocimiento matemático debería ser expresado en un sistema axiomático formal completo, consistente y decidible; para asegurar estas condiciones críticas Hilbert desarrolló su punto de vista finito, el cual, en principio, aportaría pruebas constructivas de las propiedades metamatemáticas de los sistemas formales. La matemática de las primeras décadas del siglo XX estuvo signada así por las preocupaciones epistemológicas de Hilbert y su escuela de Göttingen, en particular, por las exigencias metodológicas finitistas y por la necesidad de asegurar el concepto de demostrabilidad en un sistema formal. Como parte del desarrollo del mismo programa se presenta un desafío particular, el Entscheidungsproblem, el cual plantea el problema del cálculo efectivo, o sea, el problema de hallar un procedimiento general o algorítmico de decisión. El Entscheidungsproblem puede ser definido equivalentemente en términos de validez y satisfabilidad (Hilbert & Ackermann 1950) y también en términos de demostrabilidad en un sistema formal: ¿existe un método efectivo para determinar si una fórmula de Lógica de Primer Orden (LPO) dada es válida o, alternativamente, satisfacible? ¿Existe un método efectivo para determinar si, dadas ciertas fórmulas de LPO consideradas como premisas y dada una fórmula considerada como conclusión, esa conclusión es demostrable desde las premisas utilizando las reglas de prueba de LPO? Ya Hilbert y Ackermann señalaban en 1928 que la equivalencia entre la pronunciación en términos de validez o satisfabilidad no es problemática en absoluto; por definición una fórmula A es válida si y sólo si ¬A no es satisfacible, mientras que la última equivalencia referida a la demostrabilidad recién pudo probarse luego de que Gödel definiera la noción de consecuencia lógica en términos de validez en medio del desarrollo de su teorema de completud (1929). Dado el programa de axiomatización formal y finita de las teorías y la presunción de la completud de Principia Mathematica de Russell y Whitehead –la obra monumental del logicismo– podría pensarse en los axiomas de la teoría como las premisas de una inferencia y constatar que esta última pronunciación del problema en términos de validez señala que una solución positiva del Entscheidungsproblem habilitaría, al menos en principio, a la reducción de toda la matemática a un cálculo mecánico: “The very day on which the undecidability does not obtain any more, mathematics as we now understand it would cease to exist; it would be replaced by an absolutely mechanical prescription” (Gandy 1988, p. 62). Se entiende así que Hilbert y Ackermann hayan caracterizado al Entscheidungsproblem como “the main problem of mathematical logic” (Hilbert & Ackermann 1950, p. 113). Este problema dejó planteado no sólo un problema lógico matemático sino también, y sobre todo, una cuestión filosófica que inquieta a muchos y que, como observó Hilbert, afecta la esencia misma del pensamiento matemático (Hilbert 2005, p. 113): o bien el conocimiento matemático se desarrolla en un ámbito que trasciende los métodos efectivos, o bien puede ser desarrollado por una máquina y no hay nada esencialmente humano y creativo en él.

1.1. El problema conceptual y la tesis de Church Para poder resolver el problema lógico matemático planteado por el Entscheidungsproblem bastaría con encontrar un problema de LPO o matemático algorítmicamente insoluble; de ello se seguiría, evidentemente, una respuesta negativa al problema general de la decisión. Sin embargo, cualquier abordaje del problema lógico matemático requeriría de una previa aclaración conceptual: ¿qué es un cálculo efectivo? o, equivalentemente y en términos más familiares, ¿qué es un cálculo algorítmico? Si bien el término algoritmo fue empleado durante más de 2000 años en la historia de la matemática, su manejo fue enteramente práctico; la comprensión del término se restringió así a ejemplos de

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procedimientos de cálculo que habían sido aceptados como algorítmicos, pero sin contar con una formulación exacta y general de lo que un algoritmo es y cuál es la extensión precisa de la clase de procedimientos algorítmicos. Por consiguiente, el planteo del Entscheidungsproblem puso en evidencia la necesidad conceptualizar con rigurosidad lo que hasta el momento era sólo una noción intuitiva, informal y vaga, aunque funcionalmente práctica. Quizá debido a la agudeza con la que Hilbert y su escuela habían planteo su programa finitista y por la relevancia del carácter decidible adjudicado al ideal de prueba formal, una de las primeras aproximaciones a la caracterización de lo efectivo se dio mediante la noción de recursividad adoptada por Hilbert para identificar su punto de vista finito: “The method of search for the recursions required is in essence equivalent to that reflection by which one recognizes that the procedure used for the given definition is finitary” (Hilbert 1967, p. 388). De acuerdo a esta propuesta, un entendimiento adecuado del concepto de procedimiento finito demandaría una formalización de dicha noción a la luz de la recursividad. Restaba, por supuesto, un esclarecimiento de la noción metamatemática intuitiva de finitud -tal como la empleaba Hilbert- y una precisión sobre cuál es el alcance de la recursión, o sea, una determinación de la clase de funciones recursivas. Gödel, siguiendo las restricciones finitistas de la metamatemática hilbertiana, fue quien primero aportó una definición precisa de lo que actualmente llamamos la clase de funciones recursivas primitivas y la utilizó en la resolución de su teorema de incompletud (1931). Unos pocos años después, Gödel, siguiendo los resultados de Herbrand, extendió la noción de recursividad para caracterizar una clase más amplia de funciones, las funciones recursivas generales o funciones recursivas HerbrandGödel (1934). La recursión se presentaba entonces como un candidato posible para caracterizar no tan sólo la noción de finitud propia de la metamatemática sino también la noción de efectividad reclamada para la solución del Entscheidungsproblem. La tesis según la cual las funciones recursivas ofrecerían el marco formal necesario para caracterizar los procedimientos de decisión finita no fue, sin embargo, la tesis sostenida por el mismo Gödel, sino que fue una propuesta que Church le hizo a Gödel en una carta personal en el año 1934, propuesta que por otra parte Gödel consideró como “completely unsatisfactory” (véase Davis 1982). La tesis de Church no surgió, sin embargo, a partir del interés en las discusiones en fundamentos de la matemática, sino que el impulso inicial estuvo dado por el interés en la elaboración de un nuevo sistema lógico. Durante 1931 y 1934 Church había estado trabajando en la presentación de un nuevo sistema formal, un sistema lógico absolutamente sintáctico del cual se esperaba que fuera adecuado para representar la aritmética elemental mediante la noción central de función. El sistema entero resultó ser inconsistente. Esto fue un resultado demostrado por Kleene y Rosser; pese a ello pudo extraerse un subsistema consistente, el -cálculo, cuya potencialidad era todavía insospechada. Al interior de este nuevo sistema Church y Kleene desarrollaron el concepto de función -definible, estableciendo que una función es -definible si los valores de la función pueden ser calculados por un proceso de sustitución repetida. En un principio el abordaje de Church y Kleene sobre estos asuntos no estaba directamente relacionado con los problemas de metamatemática, pero gradualmente Church empezó a considerar la posibilidad de que la noción formal de -definibilidad capturara la idea informal de cálculo efectivo mediante la efectividad que parecía observarse en el proceso de sustitución, pues para Church resultaba intuitivamente claro que la sustitución se realiza de acuerdo a un algoritmo. Finalmente, en 1935 Church ataca directamente el problema del cálculo efectivo: The purpose of the present paper is to propose a definition of effective calculability which is thought to correspond satisfactorily to the somewhat vague intuitive notion in terms of which problems of this class are often stated, and to show by means of an example, that not every problem of this class is solvable. (Church 1965a, p. 90)

Church dio una solución negativa al problema lógico matemático de la decisión, encontrando un problema de lógica de primer orden que no es algorítmicamente soluble. Respecto del problema conceptual del cálculo efectivo, ofreció la primera tesis oficial, la tesis de Church (aunque él la llamó

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definición) pero no en términos de su formalismo, sino en términos de uno con mayor aceptación y trayectoria en los ámbitos fundacionales de la matemática: We now define the notion, already discussed, of an effectively calculable function of positive integers by identifying it with the notion of a recursive function of positive integers (or of a -definable function of positive integers) (Church 1965a, p. 100).

Kleene logró demostrar en 1936 la equivalencia formal del concepto de función recursiva de HerbrandGödel con el de función -definible y, en consecuencia, Church sostuvo dos argumentos de interés: lo que Gandy (1988, p. 72) llama el argumento paso a paso donde se estipula que los pasos de cualquier procedimiento efectivo deben ser recursivos (con lo cual cualquier aproximación a la noción de efectividad depende en última instancia de la noción de recursividad) y el argumento por confluencia según el cual la equivalencia entre la recursividad y la -definibilidad da mayor soporte a la tesis según la cual estos dos conceptos matemáticamente precisos caracterizan la noción general de cálculo efectivo. Claramente, Church estaba en lo cierto, tenía la tesis correcta, en el sentido que ésta es la tesis que actualmente fundamenta gran parte de la teoría de la computabilidad, de acuerdo a ésta las funciones recursivas y -definibles son precisamente las funciones efectivamente calculables. Sin embargo, las razones para definir una noción vaga e intuitiva en términos de nociones formales precisas no resultaron ser tan decisivas ni convincentes; había allí un problema epistemológico: ¿cómo justificar la conexión entre el empleo intuitivo de una noción y su contraparte formal? Church mismo da cuenta de esta dificultad: This definition is thought to be justified by the considerations which follow, so far as positive justification can ever be obtained for the selection of a formal definition to correspond to an intuitive notion (Church 1965a, p. 100).

El problema de identificar lo intuitivo con un formalismo específico evidenció otra dimensión del problema conceptual, una dimensión epistemológica que sólo podría surgir con el desarrollo de las teorías formales y los intentos por conceptualizar el estudio metateórico de tales teorías. Es en este punto donde la tesis de Turing parece cobrar fuerzas y asumir una relevancia relativa con respecto a la tesis de Church; como ha observado Gandy (1988, p. 72), pese a los intentos de Church y Kleene de fundamentar su definición de cálculo efectivo, el argumento más contundente resultó ser finalmente el análisis de Turing.

1.2. El análisis de Turing En 1936, el mismo año en que Church hizo pública su tesis y su resultado de indecidibilidad recursiva para la teoría formal de números (Church 1965b), Turing desarrolló independientemente otra propuesta para abordar el Entscheidungsproblem de Hilbert. Al igual que Church, Turing buscó un problema algorítmicamente insoluble del cual se siguiera la solución negativa al problema general de la decisión; pero su enfoque fue completamente distinto en cuanto a la apuesta conceptual y epistemológica. Su pregunta fundamental para caracterizar lo que sea un cálculo efectivo se dirigió a una cuestión mucho más elemental, e intuitiva, que las funciones recursivas y, sin lugar a dudas, que el lambda-cálculo: “What are the possible processes which can be carried out in computing a number?” (Turing 1965, p. 135). El interés de Turing por los procesos de cálculo se focaliza en lo que él llama los números computables, a los cuales define como aquellos números reales cuyos decimales pueden ser calculados por medios finitos (Turing 1965, p. 116). Es claro que con esta definición Turing vinculó su trabajo a la propuesta metamatemática de Hilbert, pues su uso del término finito refiere al método y no a la longitud del proceso de determinar los dígitos, un método finito será aquel que involucre un algoritmo o un cálculo efectivo, o sea, un método que consiga dirimir un proceso de decisión. Con estas preocupaciones iniciales Turing se propuso esclarecer la noción vaga de cálculo efectivo en términos del análisis de un proceso que pueda ser desarrollado por un calculador humano dispuesto con lápiz,

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papel y un conjunto finito de instrucciones que rigen, de un modo determinista, cada paso del cálculo. Contando con un proceso de cálculo tal Turing restablece los ideales epistemológicos de la metamatemática finitista, de acuerdo a los cuales la aplicación del proceso predeterminado asegura que el cálculo se desarrolle en un número finito de pasos, que se arribe al resultado deseado si se aplica sin errores y que no sea necesario el entendimiento, el ingenio o la intuición por parte del humano que desarrolla el proceso. Es de apreciar que en la determinación del tipo de proceso de cálculo que a Turing le interesa, además del concepto hilbertiano de finitud, aparece una segunda idea que es la de máquina, así establece que “a number is computable if its decimal can be written down by a machine” (Turing 1965, p. 116). Lo llamativo aquí es que Turing está utilizando un concepto de máquina absolutamente novedoso para su tiempo, pues no existía en su momento ninguna máquina que pudiera realizar esto mismo que Turing requería; si bien Babbage había diseñado el Motor Analítico alrededor de 1840, muchos acuerdan en que el trabajo de Turing de 1936 no estuvo influenciado en absoluto por las concepciones o la terminología de Babbage (véase Petzold 2008, p. 65; Copeland 2004, p. 29; Gandy 1988, p. 55). Pero incluso más llamativo que esta anticipación tecnológica es que la perspectiva técnica o ingenieril que el concepto de máquina introduce no parece ser directamente ventajoso para resolver el Entscheidungsproblem y, sin embargo, resulta ser el rasgo distintivo de la propuesta de Turing. De acuerdo a lo dicho, los números computables que interesaron a Turing son números que un humano calcula por medios finitos (lo que Turing llama una computadora) o, equivalentemente, una máquina lo hace por los mismos medios: “we may compare a man in the process of computing a real number to a machine” (Turing 1965, p. 117). Esta es la apuesta central y característica del análisis de Turing: la asociación entre un cálculo humano efectivo y un cálculo mecánico, es decir, entre un humano siguiendo un método algorítmico y un cálculo que puede ser desarrollado por una automaticmachine (una máquina de Turing). A tal punto es relevante esta asociación de Turing que resulta ser, de hecho, una identificación; Church en una revisión del trabajo de Turing escribirá: “a human calculator, provided with pencil and paper and explicit instructions, can be regarded as a type of Turing machine” (Church 2013, p. 119). En el trabajo de Turing, entonces, se encuentra el modelo de un proceso mecánico surgido a partir del análisis del cálculo humano regido por reglas. En este punto es preciso advertir que una máquina de Turing no es precisamente una máquina física, sino una idealización o modelo matemático de una persona que calcula siguiendo un método sistemático, el cual no demanda ni entendimiento ni ingenio. Como ha apuntado Gandy, el concepto de computabilidad de Turing es dependiente de su modelo mecánico de cálculo humano: “Turing’s analysis makes no reference whatsoever to calculating machines. Turing machines appear as a result, as a codification, of his analysis of calculation by humans” (Gandy 1988, p. 77). Si bien en la descripción del proceso mecánico Turing importa una terminología fisicalista que hace pensar en una máquina calculadora, y en este sentido hay una ambigüedad en el uso de los términos máquina y mecánico, todas las restricciones de finitud impuestas sobre el proceso de cálculo están fundamentadas sobre la finitud de la memoria humana y de los estados mentales, de manera que parece ser claro que su análisis versa sobre un proceso de cálculo humano que puede ser descrito como mecánico en virtud de la efectividad del método aplicado. La tesis de Turing a este respecto será que un cálculo es efectivo si puede ser desarrollado mecánicamente (o realizado por una máquina de Turing) donde la utilización los términos mecánico y máquina refieren más a las condiciones sintácticas, formales y algorítmicas del ideal finitista de Hilbert que a la utilización más extendida del término en tanto mecanismo físico. Ahora bien, vincular la idea metamatemática de lo efectivo con lo mecánico no es algo absolutamente novedoso del trabajo de Turing; más bien se trata de una idea intuitiva y ampliamente difundida en aquel contexto según la cual la naturaleza misma de un proceso de cálculo efectivo es que éste sea aplicado mecánicamente, esto es, un proceso regido por reglas y que no implique pensamiento. Con lo cual podemos sostener que Turing se sirvió de la identificación entre lo mecánico y lo efectivo latente en lo que caracterizamos como el planteo filosófico tras el Entscheidungsproblem: si la indecidibilidad deja de estar presente y la matemática se reduce a un cálculo efectivo, entonces

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podemos prescindir del pensamiento humano reemplazándolo por una prescripción absolutamente mecánica. Siguiendo esta identificación no rigurosa entre lo efectivo y lo mecánico de la que ya se había dado cuenta en las discusiones fundacionales, Turing ofreció un modelo mecánico del cálculo humano efectivo y elaboró su concepto de computabilidad en términos de las posibles operaciones que puede realizar un computador humano si actúa mecánicamente. Como consecuencia, una forma de la tesis de Turing es: “the ‘computable’ numbers include all the numbers which would naturally be regarded as computable” (Turing 1965, p. 135), donde los números que pueden ser naturalmente considerados como computables no son otros sino aquellos para los cuales existe un método finito de cálculo, es decir, un algoritmo o un proceso que puede ser desarrollado por una máquina de Turing. Lo que Turing demostró en su trabajo es que no todos los números reales son computables, arribó a este resultado mostrando que existen problemas de decisión muy simples que ninguna de sus máquinas puede resolver (por ejemplo, el problema de si otra máquina imprimirá en algún momento el dígito 0), de lo cual concluye “the Entscheidungsproblem cannot be solved” (Turing 1965, p. 148). Esto es, en esencia, el mismo resultado al cual ya había arribado Church. Resolver el problema fundamental de la lógica matemática es, sin lugar a dudas uno de los resultados más interesantes a los cuales se puede arribar, mostrar además que distintos planteos dan una misma respuesta negativa y delimitan una misma clase de procesos efectivos o funciones efectivamente calculables fue la próxima meta de Turing. Así, en un apéndice a su artículo de 1936 Turing demostró que su concepto de computabilidad es formalmente equivalente a la -definibilidad de Church y a la recursividad de Herbrand Gödel, en el sentido que cada función lambda-definible es computable (por una máquina de Turing) y cada función computable (por una máquina de Turing) es general recursiva. Con el análisis del concepto de computabilidad y esta demostración de equivalencia Turing no sólo aportó un nuevo formalismo para tratar el problema lógico matemático de la decisión, sino que también ofreció las condiciones para generalizar el concepto de cálculo efectivo y convertirlo en un concepto estable y robusto; al mismo tiempo su análisis conceptual se convierte en un modelo sobre cómo abordar el problema epistemológico de identificar una noción intuitiva con un concepto formal (aunque claramente no clausuró el debate). Mientras que los intentos previos habían atacado directamente la pregunta matemática acerca de qué son las funciones computables, el enfoque de Turing se dirigió a una cuestión más elemental vinculada a los procesos básicos que llevamos a cabo los humanos cuando calculamos con lápiz y papel, así logró que su concepto de computabilidad, pese a la precisión matemática, conservara su simplicidad y aproximación a nuestros conceptos intuitivos sobre lo que por siglos hemos hecho cuando calculamos mediante un algoritmo.

2. La relevancia de la tesis de Turing El Entscheidungsproblem de Hilbert, el problema fundamental de la lógica matemática, fue resuelto entre 1935 y 1936. Ya sea que abordemos el problema desde funciones recursivas, -cálculo o máquinas de Turing, la respuesta lógica matemática es la misma: no existe tal cálculo efectivo para dar respuesta a la validez, satisfabilidad o deductibilidad de una fórmula en LPO. La primera respuesta al problema lógico matemático vino por parte de Church, quien debió sostener una tesis respecto de qué es un cálculo efectivo. La tesis de Church, aunque publicada en 1935, fue sostenida al menos desde 1934 y aunque resultó ser correcta, parecía no ser lo suficientemente convincente. Turing aportó una segunda tesis, y esta sí fue considerada lo suficientemente satisfactoria como para abordar concluyentemente el problema del cálculo efectivo. Así Gödel refirió la definición de Turing como la más satisfactoria (Gödel 1995, p. 304) y aportando evidencias más allá de toda duda (Gödel 1995, p. 168) y Church apuntó que la identificación de la computabilidad de Turing con la noción de efectividad es inmediatamente evidente (Church 2013, p. 119). Si las tesis de Church y la de Turing son extensionalmente equivalentes, en el sentido que determinan una misma clase de funciones efectivamente calculables o procesos efectivos es válido preguntarnos ¿Por qué se dio este acuerdo entre los mismos partícipes de la historia en relación

Sobre la relevancia de la tesis de Turing | 37

a la relevancia relativa de la tesis de Turing? ¿Por qué la tesis de Turing fue considerada lo suficientemente satisfactoria y convincente como para abordar concluyentemente el problema del cálculo efectivo? Nuestra respuesta depende de la lectura que hemos dado del problema de la decisión de Hilbert y del modo en que consideramos las propuestas de Church y Turing. De acuerdo a nuestra interpretación, el Entscheidungsproblem de Hilbert planteó, al menos, tres problemas: el problema estrictamente lógico matemático de la decidibilidad formulado inicialmente para la lógica de primer orden y extendido luego a las teorías formales en general; el problema conceptual acerca de qué sea un cálculo efectivo junto al problema epistemológico (sobre el problema conceptual) de la identificación de una noción intuitiva con una noción formal; y, por último, la cuestión filosófica acerca de la mecanización de los procesos cognitivos en matemática y la posibilidad latente del reemplazo del pensamiento propiamente humano por procesos mecánicos o máquinas sin más. Nuestra respuesta frente a la pregunta recién planteada, acerca de las razones del acuerdo frente a la tesis de Turing, se enmarca en esta misma lectura que hemos dado sobre la complejidad que supone el planteo y abordaje del Entscheidungsproblem. Si bien la propuesta de Church concluyó con una respuesta satisfactoria al problema lógico matemático, el problema conceptual no fue abordado en toda su amplitud, la noción de cálculo efectivo quedó limitada a los formalismos presentados y, por último, la cuestión filosófica no parece haber sido mayormente aclarada; de hecho, no fue siquiera planteada. La aproximación de Turing se distingue, en consecuencia, porque permitió dar una respuesta tanto al problema lógico matemático de la decidibilidad, como al problema conceptual y epistemológico acerca de qué sea un cálculo efectivo, al mismo tiempo que el empleo de la noción de máquina permitió dar cuenta, de un modo directo, del planteo filosófico sobre la mecanización de la inferencia. La aproximación de Turing se distingue, y permite ser calificada como la más satisfactoria, porque abordó no un problema sino todo un núcleo problemático: ante el problema lógico matemático Turing demostró que no todos los números reales son computables, o equivalentemente, que no todas las funciones definibles son efectivamente computables; ante el problema conceptual sostuvo que un cálculo es efectivo si es susceptible de ser desarrollado mediante una proceso sujeto a ciertas restricciones de finitud (cuyo modelo es una máquina de Turing) y a esto lo fundamenta a su vez mediante un análisis que permite abordar el problema epistemológico, Turing ofrece un modelo mecánico de cálculo desarrollando el vínculo intuitivo entre cálculo efectivo y procedimiento mecánico; por último, el empleo de un modelo mecánico del cálculo humano permite abordar desde un marco formalmente preciso (las funciones mecánicamente computables) la cuestión filosófica respecto de la mecanización de los procesos inferenciales en matemática e incluso más allá de este ámbito, hacia la cognición en general. Muestras de esto último son, por ejemplo, los planteos computacionalistas en filosofía de la mente, el desarrollo de las ciencias cognitivas y las posibilidades de un nuevo mecanicismo sustentado ya no en modelos de máquinas particulares, sino en el concepto más general y abstracto de máquina universal de Turing (Webb 1980). Finalmente, y como consecuencia del modelo mecánico aportado por Turing y su interacción (o ambigüedad) entre el uso abstracto y concreto del término mecánico (Gandy 1988, p. 74), el análisis de Turing posibilitó el surgimiento de una nueva ciencia, mitad abstracta, mitad concreta, híbrido entre formalismo y tecnología, a saber, las ciencias de la computación.

3. A modo de conclusión Si bien la unificación extensional de los resultados obtenidos sobre el Entscheidungsproblem es la condición de posibilidad de que la noción de computación se haya constituido en una noción estable, cuya base se encuentra en lo que actualmente llamamos la tesis de Church-Turing, señalar las divergencias en las formulaciones del problema y su resolución puede revestir interés para comprender la relevancia relativa del abordaje de Turing. En tanto las ideas de recursividad y lamba-cálculo de

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Gödel y Church se circunscribieron a un análisis formal sostenido por los logros lógico-matemáticos de su época y de allí se desprendió la idea de efectividad, Turing procedió de un modo inverso, partió de un análisis de los conceptos de finitud y efectividad y sobre ese análisis construyó y dio sentido a su formalismo; es en tal sentido que su trabajo puede ser entendido como la culminación de los intereses que motivaron el origen y desarrollo de la noción de efectividad en los fundamentos de las matemáticas, especialmente, como una culminación posible, y en muchos respectos exitosa, del programa finitista de Hilbert. A pesar de que todas las construcciones formales de la noción intuitiva de cálculo efectivo que fueron ofrecidas en la década de 1930 no pueden ser más que modelos de algoritmos, y entre dichos modelos hay una equivalencia extensional, sostenemos que existen buenas razones para destacar las diferencias intensionales de las distintas propuestas y considerar el modelo de Turing como más persuasivo y fértil que los demás modelos contemporáneos.

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La Mecánica Cuántica Ortodoxa: una teoría tan exitosa como incoherente Orthodox Quantum Mechanics: A Theory as Successful as Incoherent María Esther Burgos †‡

Resumen La Mecánica Cuántica Ortodoxa es sumamente exitosa en el terreno experimental, pero tiene serios problemas conceptuales. Entre otras objeciones se han señalado: su conflicto con el determinismo, que admite una forma de acción a distancia y que renuncia al realismo. El formalismo de la Mecánica Cuántica Ortodoxa involucra dos leyes de cambio del estado del sistema: la Ecuación de Schrödinger y el Postulado de Proyección. La primera, que es una ley determinista, gobierna los procesos espontáneos. La segunda rige los procesos de medición de acuerdo con las leyes de las probabilidades. Existe acuerdo en que para resolver problemas que incluyen la variable temporal, es necesario utilizar la Teoría de Perturbaciones Dependientes del Tiempo. Un análisis cuidadoso pone en evidencia que esta teoría requiere la aplicación de ambas leyes de cambio del estado del sistema. Esto vale, en particular, para procesos espontáneos donde, de acuerdo con los postulados de la Mecánica Cuántica Ortodoxa, el Postulado de Proyección no debería desempeñar ningún papel. La necesidad de utilizar este postulado para dar cuenta de procesos espontáneos es una contradicción flagrante que no hemos visto reportada en la literatura. Palabras clave: mediciones cuánticas - teoría de perturbaciones dependientes del tiempo

Abstract The experimental success of Orthodox Quantum Mechanics is imposing, but it confronts conceptual flaws. It opposes determinism, admits a peculiar form of action-at-a-distance and renounces realism. Orthodox Quantum Mechanics formalism involves two different laws of change of the state of the system: the Schrödinger Equation and the Projections Postulate. Spontaneous processes are governed by the former, a deterministic law. The second rules measurement processes according to probability laws. It is agreed that Time -Dependent Perturbation Theory must be used for solving problems involving time. A careful analysis makes apparent that this theory involves both laws of change. This is also true for spontaneous processes, where the Projection Postulate is supposed to play no role. The need to invoke a law valid only in cases where measurements are performed to account for spontaneous processes is an incoherence that we have not seen mentioned in the literature. Keywords: quantum measurements - time-dependent perturbation theory

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Recibido: 16 de Febrero de 2016. Aceptado con revisiones: 19 de Septiembre de 2016. Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela . Para contactar a la autora, por favor, escribir a: [email protected] ‡ Estoy en deuda con el Profesor Julio César Centeno cuya inagotable paciencia me permitió hacer este estudio más accesible a un público no especializado. Metatheoria 7(2)(2017): 39-46. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina. †

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1. Una teoría exitosa que no satisface La Mecánica Cuántica Ortodoxa (MCO), también conocida como ordinaria o estándar, y algunas veces referida como Interpretación de Copenhague, es una teoría sumamente exitosa. Tegmark y Wheeler (2001) señalan que MCO permitió predecir la antimateria, comprender la radioactividad (lo cual condujo al desarrollo del poder nuclear), dar cuenta del comportamiento de materiales como los semiconductores, explicar la superconductividad y describir las interacciones entre luz y materia (lo que hizo posible la invención del láser) y entre ondas de radio y núcleos (lo que condujo a las imágenes de resonancia magnética). En las palabras de Bunge: There can be no doubt that quantum theory is a good approximation to the truth - which is not to say that it is perfect. Thousands upon thousands of observations and experiments have confirmed its predictions in an amazing range of fields, from particle and atomic physics to solid state physics and astrophysics, usually with an astounding accuracy. (Bunge 1985, p. 167)

Inclusive un crítico tan implacable de MCO como Bell (1990) reconoce que “ORDINARY QUANTUM MECHANICS (as far as I know) IS JUST FINE FOR ALL PRACTICAL PURPOSES” (Bell 1990, p. 18; mayúsculas en el original). A pesar de su éxito indiscutido, desde el comienzo MCO fue objeto de acerbas críticas sustentadas en diversas razones. Entre ellas destacan que: • Presenta un conflicto con el determinismo • Admite procesos que implican una forma de acción a distancia • Renuncia al realismo filosófico El conflicto de MCO con el determinismo fue señalado repetidas veces por Einstein. Por ejemplo, en una carta enviada a Born el 4 de diciembre de 1926 dice: Quantum mechanics is certainly imposing. But an inner voice tells me that it is not yet the real thing. The theory says a lot, but does not really bring us any closer to the secret of the ‘old one’. I, at any rate, am convinced that He is not playing at dice. (Born & Einstein 1971, p. 91)

Y en otra carta también dirigida a Born (1971) el 7 de setiembre de 1944, afirma: We have become Antipodean in our scientific expectations. You believe in the God who plays dice, and I in complete law and order in a world which objectively exists, and which I, in a wildly speculative way, am trying to capture. I firmly believe, but I hope that someone will discover a more realistic way, or rather a more tangible basis than it has been my lot to find. Even the great initial success of the quantum theory does not make me believe in the fundamental dice game, although I am well aware that our younger colleagues interpret this as a consequence of senility. No doubt the day will come when we will see whose instinctive attitude was the correct one. (Born & Einstein 1971, p. 149)

Asimismo, fue Einstein el primero en señalar que la hipótesis de que la mecánica cuántica es una teoría completa de los procesos individuales conlleva una forma particular de acción a distancia. En el 5º Congreso Solvay (1927) argumentó que si each particle […] is described as a wave packet [ψ(r)] […] and |ψ(r)|2 expresses the probability (probability density) that at a given moment one and the same particle shows its presence at r […] then, as long as no localization has been effected, the particle must be considered as potentially present [in any point where |ψ(r)|2 ≠ 0]; however, as soon as it is localized, a peculiar action-at-a-distance must be assumed to take place which prevents the continuously distributed wave in space from producing an effect at two [different] places […]. (Jammer 1974, p. 116)

De acuerdo con Einstein, tal acción a distancia contradice el Postulado de Relatividad (véase Jammer 1974, p. 116; Burgos 2015a).

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Son muchos los autores que han apuntado a la incompatibilidad de MCO con el realismo filosófico. Bunge, quien trata el tema de las controversias suscitadas por la mecánica cuántica en detalle, las clasifica en (i) internas, i.e. aquellas en las que se presupone que la teoría cuántica es substancialmente correcta; y (ii) externas, donde se considera la posibilidad de reemplazar la teoría cuántica por otra clásica o semiclásica. En su opinión: From a philosophical viewpoint most of the internal controversies revolve around the issue of realism, i.e. the problem of whether quantum theory supplies a realistic interpretation of nature or, on the contrary, is centered on the knowing subject (the observer). The internal controversies are then substantially of an epistemological kind. And most of the external controversies revolve around the issue of hidden variables, or functions of a classical type, such as classical position and momentum, which at all times have sharp values instead of probabilities distributions. The external controversies are then substantially of an ontological kind […]. Unfortunately the two main controversies, those over realism and determinism (or hidden variables), have often been mixed up – and this by scientists of the stature of Einstein and de Broglie, Bohm and d’Espagnat. Yet the two issues are quite different: whereas the problem of realism is epistemological, that of hidden variables is ontological (Bunge 1985, pp. 167-168).

Este es, en apretada síntesis, el conjunto de peculiaridades por las cuales MCO no satisface a muchos científicos. A pesar de que todos están de acuerdo en que “funciona”, luce extraña para la mayoría y hasta un físico tan reputado como Feynman ha declarado que nadie entiende la mecánica cuántica (véase Bunge 1985, p. 169). Además de los problemas que acabamos de señalar, MCO presenta un conflicto con las leyes de conservación del cual poco se ha hablado y que no carece de importancia (véase Burgos 2015b, 2010, 1999, 1994; Criscuolo 2000). Y, como mostraremos a continuación, MCO es una teoría afectada por un defecto fatal: la incoherencia.

2. El formalismo de MCO En 1930 Dirac publicó el primer formalismo de la mecánica cuántica. Aunque von Neumann reconoció que difícilmente podría ser superado en brevedad y elegancia, criticó su falta de rigor matemático y en 1932 publicó su propio formalismo, que es el que finalmente se impuso. Con ligeras variantes, éste es hoy día prácticamente el único formalismo recogido en los libros de texto y enseñado en la Academia. Resaltemos que dicho formalismo • Se refiere a sistemas individuales (v.g. un átomo, o una molécula) • Involucra dos leyes de cambio del estado del sistema De acuerdo con el primer postulado de MCO, la función de onda ψ provee una descripción completa del estado de un sistema individual. Queda en consecuencia descartada toda posibilidad de agregar variables ocultas a dicho estado (a efectos de “completar” su descripción), sin modificar el primer postulado. Refiriéndose a esta cuestión, Einstein afirma: One arrives at very implausible theoretical conceptions if one attempts to maintain the thesis that the statistical quantum theory is in principle capable of producing a complete description of an individual physical system. On the other hand, those difficulties of theoretical interpretation disappear if one views the quantum-mechanical description as the description of ensembles of systems (apud Jammer 1974, pp. 440-441).

No es por tanto sorprendente que Einstein se haya inclinado por la Interpretación Estadística de la Mecánica Cuántica cuyo referente no es un sistema individual sino un conjunto de sistemas similarmente preparados.

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MCO involucra dos leyes de cambio del estado del sistema. Una de ellas, que gobierna su evolución espontánea, es la ecuación de Schrödinger. La otra, que rige los procesos de medición, incluye dos postulados: el de Born y el de Proyección. El primero nos dice cuál es la probabilidad de obtener un determinado valor de la cantidad física que se mide y el segundo determina a qué estado salta (se proyecta, colapsa, se reduce) el estado del sistema cuando se obtiene un resultado particular de la medición. Buena parte de las extrañezas de MCO se relacionan con el Postulado de Proyección, y por tal razón varios autores han sugerido eliminarlo (véase Jammer 1974, pp. 226-227), o deducirlo de la ecuación de Schrödinger (véase Bunge 1985, pp. 201-202); pero hasta el presente tales propuestas no han prosperado. Como se evidencia en la Tabla de Procesos Cuánticos que figura a continuación, el contraste entre las leyes que rigen los dos tipos de procesos no podría ser más marcado. Recientemente Burgos (2015b) ha presentado un análisis comparativo y detallado de ellos. Tabla de Procesos Cuánticos Procesos espontáneos

Procesos de medición

El observador es irrelevante.

O interviene un observador o el sistema interactúa con un aparato de medición.

La función de onda ψ(t) es una función del tiempo t necesariamente continua.

Si en el instante t se efectúa una medición, ψ(t) puede cambiar instantáneamente en forma discontinua. Dichos cambios se conocen como saltos cuánticos, proyecciones, colapsos o reducciones.

Vale la ecuación de Schrödinger, que es una ley de evolución determinista.

El proceso es regido por las leyes de las probabilidades de acuerdo con los Postulados de Born y de Proyección.

Vale el principio de superposición y se produce interferencia.

No vale el principio de superposición y no se produce interferencia.

Todas las acciones son locales.

Hay un tipo de acción a distancia.

Las leyes de conservación se cumplen en forma estricta; son teoremas que se deducen de los axiomas de MCO.

Las leyes de conservación pueden violarse en procesos individuales pero siempre conservan un sentido estadístico.

Las diferencias entre estos dos tipos de procesos lucen irreconciliables. Pero si dispusiéramos de una regla para determinar con precisión cuándo un determinado proceso debe ser calificado como espontáneo y cuándo hay que tratarlo como un proceso de medición, podríamos saber en cuál de las dos columnas debemos situarnos a la hora de analizar cada caso particular. Lamentablemente, esto no siempre es así. Pues como señala Bell (1984), during “measurement‟ the linear Schrödinger evolution is suspended and an ill-defined “wave-function collapse‟ takes over. There is nothing in the mathematics to tell what is “system” and what is “apparatus”, nothing to tell which natural processes have the special status of “measurements”. Discretion and good taste, born from experience, allow us to use quantum theory with marvelous success, despite the ambiguity of the concepts named above in quotation marks. (Bell 1984, p. 2)

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En la próxima sección veremos cuán necesarios son la discreción y el buen gusto para lograr los impactantes éxitos experimentales de los que hace gala MCO.

3. Análisis de la Teoría de Perturbaciones Dependientes del Tiempo Salvo contadas excepciones, los procesos referidos al inicio de la Sección 1 son espontáneos. Este es, v.g., el caso de la interacción entre luz y materia (como la absorción y emisión de luz) y los procesos que tienen lugar en los semiconductores que pueblan nuestro mundo cotidiano. El hecho de que MCO dé cuenta de esos procesos espontáneos se computa entre sus logros. Asimismo, todos esos procesos dependen del tiempo. Según Dirac, el análisis de los mismos exige la aplicación del método que provee la Teoría de Perturbaciones Dependientes del Tiempo (TPDT): [this method] must […] be used for solving all problems involving a consideration of time, such as those about the transient phenomena that occur when the perturbation is suddenly applied, or more generally problems in which the perturbation varies with the time in any way (i.e. in which the perturbation energy involves the time explicitly). Again, this method must be used in collision problems, even though the perturbing energy does not here involve the time explicitly, if one wishes to calculate absorption and emission probabilities, since these probabilities, unlike a scattering probability, cannot be defined without reference to a state of affairs that varies with the time (Dirac 1930, p. 168; énfasis agregado).

A continuación resumimos los puntos esenciales de TPDT. El esquema que presentamos coincide con el que reportan autores considerados ortodoxos (véase, p.e., Bes 2004, Capítulo IX; CohenTannoudji 1977, Capítulo XIII; Dirac 1930, Capítulo VII; Merzbacher 1998, Capítulo XIX; Messiah 1965, Capítulo XVII). El operador que representa la energía del sistema considerado se denomina Hamiltoniano y será denotado por H(t). Supondremos que H(t) = E + V(t), donde E (que no depende explícitamente del tiempo) es el Hamiltoniano no perturbado, y V(t) (que depende explícitamente del tiempo) es la perturbación. Se suponen conocidos los autovalores En (n = 1, 2,…) y las correspondientes autofunciones φn del Hamiltoniano no perturbado E. Los estados estacionarios del sistema son, por definición, las autofunciones φn de E. Sea ψ(t) el estado del sistema en el instante t. Supondremos que en el instante inicial ti el sistema está en el estado estacionario φi, i.e. haremos ψ(ti) = φi. Si se anulara la perturbación, esto es, si para todo t posterior al instante inicial ti el Hamiltoniano fuera H(t) = E, el sistema permanecería en el estado estacionario φi, y resultaría ψ(t) = φi para todo t. Pero si en el instante inicial ti se agrega una perturbación no nula V(t) a E, el estado ψ(t) ya no será estacionario (véase Dirac, p. 172). El objetivo de TPDT es calcular la probabilidad de transición entre estados estacionarios inducida por la perturbación V(t). El proceso que conduce el sistema, inicialmente en el estado estacionario φi, al estado estacionario φn consta de dos etapas claramente diferenciadas (véase, p.e., Bes 2004, p. 142; CohenTannoudji 1977, p. 1285; Dirac 1930, p. 172; Merzbacher 1998, pp. 485-486; Messiah 1965, p. 621). Primera etapa: En todo instante t posterior al instante inicial ti, (en símbolos t > ti) el estado ψ(t) queda unívocamente determinado por el estado inicial φi y el Hamiltoniano H(t) = E + V(t). Para resaltar que ψ(t) depende únicamente del estado inicial φi y del Hamiltoniano H(t), escribimos ψ(t)  ψ(φi,H,t). Notar que hasta aquí el proceso se rige por la ecuación de Schrödinger, ley determinista válida para procesos espontáneos que figura en la columna izquierda de la Tabla de Procesos Cuánticos de la p. 42. En las condiciones especificadas, el estado ψ(t) no puede ser distinto de ψ(φi,H,t) o, si se prefiere, el cambio de estado del sistema desde el estado inicial estacionario ψ(ti) = φi hasta el estado ψ(t) ψ(φi,H,t) es automático. Segunda etapa: En el instante tf el estado del sistema es ψ(φi,H,tf). En estas condiciones, para que en dicho instante sea posible encontrar el sistema en alguno de sus estados estacionarios, MCO exige que en

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el tiempo tf se efectúe una medición. Lo cual implica que debemos utilizar la ley probabilística que rige los procesos de medición mencionada en la columna derecha de la Tabla de Procesos Cuánticos. Messiah (1965, p. 621) refiere el proceso de transición del estado estacionario φi al estado estacionario φf y define la probabilidad de dicha transición en los siguientes términos: Proceso descrito por la Teoría de Perturbaciones Dependientes del Tiempo ψ(tf)  ψ(φi,H,tf) → φk

ψ(ti) = φi En el intervalo (ti, tf) vale la ecuación de Schrödinger

En el instante tf el estado ψ(tf) se proyecta a alguno de los φk

Recordemos que de acuerdo con MCO, en los procesos espontáneos ψ(t) es una función necesariamente continua. Para que ψ(tf) se proyecte a alguno de los φn hay que efectuar una medición de la parte de la energía representada por el Hamiltoniano no perturbado E en el instante tf (véase tabla de Procesos Cuánticos en la p. 42). De tal manera que, haciendo uso de la discreción y el buen gusto que se obtienen con la experiencia, tenemos que hacer como si en el instante tf se hubiera realizado tal medición aunque nada se haya medido. En suma: Para dar cuenta de muchos y muy variados procesos espontáneos, MCO exige la aplicación de una ley que sólo tiene validez en procesos que no son espontáneos. Lo cual es una incoherencia flagrante que no hemos visto reportada en la literatura. Más sobre este tema en Burgos (2016).

4. Conclusiones Mucho se ha hablado del problema de la medición en MCO. En este estudio hemos mostrado que el problema conceptual de MCO no se reduce a las curiosidades y extrañezas que plantea “la medición” a través del Postulado de Proyección. El problema es mucho más grave pues dicho postulado, que de acuerdo con el formalismo debería estar ausente del análisis de todo proceso espontáneo, de hecho está presente, vía TPDT, en muchos procesos espontáneos como los citados al inicio de la Sección 1; v.g. los que ocurren en los semiconductores y la interacción entre luz y materia. En estas condiciones, ¿qué hacer? Conservando el ingrediente Postulado de Proyección en TPDT podemos seguir pregonando que MCO basta a todos los fines prácticos, pero enfrentamos el problema de la incoherencia. Eliminando el Postulado de Proyección de TPDT recuperamos la coherencia pero perdemos la justificación del éxito de MCO en el terreno experimental. Afortunadamente otros enfoques podrían conciliar las piezas aparentemente irreconciliables de este rompecabezas. Una posibilidad es suponer que en la naturaleza se producen dos tipos de procesos espontáneos e irreductibles: los estrictamente continuos, gobernados por la ecuación de Schrödinger; y los que implican discontinuidades, sujetos a las leyes de las probabilidades. A partir de esta hipótesis y de un postulado que asegura el sentido estadístico de las leyes de conservación hemos obtenido una regla que permite decidir en qué situaciones y a qué estados puede saltar el sistema, y cuáles son las correspondientes probabilidades (Burgos 1998). Un estudio ulterior nos ha permitido encarar las transiciones al continuo como procesos espontáneos y obtener nuevas predicciones experimentales susceptibles de ser puestas a prueba (véase Burgos 2008). El punto de partida filosófico de la teoría que acabamos de referir es el Realismo Crítico que Bunge (1978, p. 109) presenta en los siguientes términos: (1) Hay cosas en sí, esto es, objetos cuya existencia no depende de nuestra mente… (2) Las cosas en sí son cognoscibles, bien que parcialmente y por aproximaciones sucesivas antes que exhaustivamente y de un solo plumazo. (3) El conocimiento de una cosa en sí se alcanza conjuntamente mediante la teoría y el

La Mecánica Cuántica Ortodoxa: una teoría tan exitosa como incoherente | 45

experimento, ninguno de los cuales puede pronunciar veredictos finales sobre nada. (4) Este conocimiento (conocimiento factual) es hipotético más que apodíctico, por lo que es corregible y no final: mientras que la hipótesis filosófica de que existen cosas, y pueden ser conocidas, constituye una presuposición de la investigación científica, toda hipótesis científica acerca de la existencia de un tipo especial de objeto, sus propiedades, o leyes, es corregible. (5) El conocimiento de una cosa en sí, lejos de ser directo y pictórico, es indirecto y simbólico. A diferencia de lo que ocurre en MCO, los observadores situados por encima de las leyes de la naturaleza no tienen cabida en nuestra teoría.

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Sobre la inconsistencia de la interpretación de Everett de la mecánica cuántica Inconsistency within the Everett Interpretation of Quantum Mechanics Luciano Combi† Gustavo E. Romero‡+

Resumen De las muchas interpretaciones de la mecánica cuántica (MC), pocas han sido tan divulgadas como la de Everett. Esta formulación se supone realista y libre de los problemas que aquejan a la interpretación de Copenhague. En el presente trabajo, mostramos los problemas semántico-ontológicos que implican las formulaciones actuales de esta interpretación y discutimos el problema que presenta con respecto a las cantidades conservadas y las simetrías subyacentes al modelo de espacio-tiempo adoptado. Concluimos que en sus expresiones usuales, la teoría de Everett es inconsistente. Palabras claves: mecánica cuántica - ontología - inconsistencia -Everett

Abstract Perhaps the most exotic interpretation of quantum mechanics is the so-called Everett interpretation. It was first conceived as an overcoming proposal to Copenhagen formulation of QM, free of the problems of the latter and with a realistic approach. In this paper, we show the several semantic and ontological problems in the current formulations of this interpretation, and we discuss the critical problem of the conserved quantities and the assumptions on the spacetime symmetries in the theory. We conclude that Everett interpretation and its many modern reformulations are inconsistent. Keywords: quantum mechanics - ontology - inconsistency - Everett



Recibido: 16 de Febrero de 2016. Aceptado: 19 de Septiembre de 2016. Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected]. ‡ Instituto Argentino de Radioastronomía (IAR, CONICET), C.C. No. 5, 1894 Villa Elisa, Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected]. + Agradecemos valiosas discusiones con Federico López Armengol. GER también agradece a Santiago Pérez Bergliaffa por muchos comentarios y discusiones sobre MC a lo largo del último cuarto de siglo. Metatheoria 7(2)(2017): 47-53. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina. †

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1. Introducción La búsqueda de una interpretación realista que resuelva los problemas que han plagado a la Mecánica Cuántica (MC) desde sus inicios ha generado numerosas propuestas. Alguna de estas involucra la modificación del formalismo usual de la MC. Otras interpretaciones mantienen el aparato matemático y agregan, generalmente de manera implícita, ciertas reglas semánticas. Las ontologías resultantes suelen diferir radicalmente. La disputa epistemológica entre todas estas formulaciones debe resolverse principalmente por medio del análisis semántico de sus postulados, evaluando su consistencia interna y su correspondencia con los datos obtenidos de los experimentos. En MC esta cuestión se traduce en encontrar una interpretación que identifique claramente los referentes de la teoría y sea consistente con una teoría de transición de la MC hacia la mecánica clásica (MC-MC). Someramente, este problema consiste en explicar por qué se observan propiedades definidas en el mundo macroscópico a partir de una descripción basada en una teoría probabilista como la MC. La interpretación de muchos mundos (IMM), formulada en su primera versión por Everett en 1957, propone que todos los resultados posibles de un proceso de medición cuántico son reales, generando así un multiverso. Cómo recuperar a partir de este supuesto las predicciones probabilísticas de la MC y cuál es la ontología que esto implica ha generado múltiples controversias. Una nueva generación de “everettianos”, ubicados principalmente en Oxford, ha desarrollado una reformulación de las ideas de Everett en base a los estudios en decoherencia. Mostraremos en este artículo algunas de las inconsistencias semánticas y ontológicas presentes en esta concepción de la interpretación.

2. Medición, colapsos y estados relativos El desarrollo de la MC estuvo marcado en sus inicios por la filosofía operacionalista y positivista dominante en el ámbito científico a principios del siglo XX. La Interpretación de Copenhague (IC) asentada por Bohr alrededor de 1927 en sus Como’s lectures y en los congresos Solvay supone que todo aparato de medida es clásico y, por lo tanto, la mecánica cuántica debe ser descrita en términos de conceptos clásicos (Landsman 2007). La IC, junto al postulado del colapso introducido por von Neumann, constituyen la MC ortodoxa, hegemónica aún en nuestros días. Un problema central en la interpretación de la MC es la transición MC-MC. En la IC esta transición no es continua ni controlada: existe un estricto dualismo ontológico entre el mundo clásico y el mundo cuántico (corte de Heisenberg). Con el avance de los estudios en medición cuántica y el análisis detallado de los postulados de esta interpretación (véase Bunge 1967), se han demostrado sus inconsistencias, tanto semánticas como experimentales. Estas inconsistencias, particularmente las asociadas al colapso, motivaron a Hugh Everett III para formular la interpretación de los Estados Relativos, presentada en su tesis doctoral, dirigida por J.A. Wheeler y posteriormente en un artículo (Everett 1957). Los postulados de su teoría pueden resumirse como: I. II.

Todo estado de un sistema físico está representado por un vector de estado cuántico. El vector de estado sigue en todo momento una evolución unitaria.

El postulado I se aleja de la concepción dualista de la IC y se alinea con el esquema de medición presentado por von Neumann, donde se introduce el estado cuántico representado por |O⟩ del observador o aparato “O”. Incluso el universo tendría un estado representado por la función de onda (ni Everett ni sus seguidores jamás se ocuparon de explicitar la forma matemática de estas funciones de estado). El postulado II explícita que en los sistemas cuánticos no ocurre el colapso de la función de onda, i.e. la dinámica está dada siempre por la ecuación dinámica básica (de Schrodinger o Heisenberg, dependiendo de la representación). Everett argumentó que estos dos postulados bastan para reproducir los resultados experimentales obtenidos por la MC ortodoxa. Podemos ilustrar su idea básica de esta

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1

(  ↑ +  ↓ ) y un aparato de medida en el estado 2 representado por |0r⟩ preparado para medir el spin. La evolución unitaria del sistema en el proceso de medición resultará en: manera: Consideremos un estado cuántico

1 2

(  ↑ +  ↓ )|0r⟩ 

1 2

(  ↑ 0↑  +  ↓  0↓  )

(1)

En la MC ortodoxa, el estado cuántico “colapsa” con una probabilidad ½ en un estado spin arriba o en un estado spin abajo. En la teoría de Everett, todos los términos del vector de estado se retienen. El sistema cuántico después de la medición está entonces en una superposición de un estado spin up relativo al observador que midió spin up y un estado spin down relativo al observador que midió spin down. No hay tal cosa como el estado absoluto de un subsistema; todos estos estados existen en algún sentido. El físico Bryce DeWitt, primero detractor y luego ferviente proponente de esta interpretación, hizo explícito el compromiso ontológico de la teoría a los “muchos mundos”. En el proceso descrito por (1), el estado final del universo describe dos observadores independientes que registran distintos resultados. Explicar cómo aparecen las probabilidades típicas de la MC ortodoxa y el mecanismo de ramificación fueron los primeros desafíos de la interpretación. El primer acercamiento a estos problemas por parte de DeWitt, Graham y otros, resultaron infructuosos (véase Kent 1990).

3. A la caza de los muchos mundos A diferencia de la reducción galileana de bajas velocidades en la mecánica relativista, los espacios de estados clásicos (el espacio de configuración) y cuánticos (el espacio de Hilbert) son muy diferentes. En este sentido, la emergencia del mundo clásico requiere un tratamiento más delicado que tomar ciertos límites reductivos como N  ∞, donde N es el número de partículas del sistema, o ћ  0 para la constante de Planck. Un sistema aislado aun de grandes dimensiones puede exhibir comportamiento cuántico (véase Zurek 1990). El ingrediente faltante es la decoherencia: la presencia explícita del entorno que induce al sistema a estar en ciertos estados clásicos. Con más detalle, la decoherencia es la aparición de la base preferida (BP) en un proceso tipo “de medición” (interacción con algún entorno). Al incluir al entorno E, un sistema con muchos grados de libertad, la interacción de este con el sistema S cuántico hace emerger una base privilegiada en donde las interferencias cuánticas desaparecen. Superposiciones de estados típicamente macroscópicos son así difíciles de observar. El elemento básico para computar las probabilidades la matriz densidad:

 =   Esta matriz representa el estado cuántico de un dado sistema. Después de la interacción, cuando el sistema se acopla (se entrelaza) con E, la matriz densidad correspondiente a S es aproximadamente diagonal en la BP. Esto significa que el sistema S tiene una probabilidad dada por la regla de Born de estar en ciertos autoestados definidos de la BP, i.e., lo que se suele denominar una mezcla estadística clásica. De esta manera, nuestro aparato de medida debe estar configurado para asegurar registros estables de la BP (también denominada base del puntero) correspondiente a la variable dinámica que pretendemos medir. Por ejemplo, en el experimento de doble rendija, la presencia del entorno (e.g., el aire de la sala) induce al cuanto a pasar por una u otra rendija con una cierta probabilidad, excluyendo los típicos efectos de interferencia cuántica. La inclusión de la decoherencia ha fomentado el desarrollo de nuevas ideas en la interpretación de Everett. En palabras de David Wallace: The ‘Everett interpretation of quantum mechanics’ is just unitary quantum mechanics, taken literally as a description of the world; it is a ‘many-worlds’ theory because it instantiates multiple, emergent, branching quasi-classical realities. (Wallace 2010, p. 227)

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En el modelo de medición (1) argumentamos que la evolución unitaria del sistema involucra un desdoblamiento o “branching” del observador. Sin embargo, existe una ambigüedad en la elección de la base en la cual se produce el branching. Los neo-everettianos argumentan que la decoherencia resuelve este problema, es decir, el estado cuántico se ramifica en la base preferida surgida dinámicamente de la interacción. Los mundos o ramas en la IMM no son entidades fundamentales de la teoría, como DeWitt sostenía, sino emergentes.

4. Ontología en la interpretación de Everett La emergencia del mundo clásico según la IMM proviene de la aparición de patrones o ramas en el estado cuántico. Estos patrones son los que poseen un comportamiento cuasiclásico y dan lugar a los fenómenos que experimentamos en nuestra experiencia cotidiana. La aparición del multiverso, se argumenta, es una mera consecuencia de esto. Adoptamos la siguiente definición: Rama: Estructura dinámica aislada emergente por decoherencia del estado cuántico y con comportamiento cuasiclásico. El vector de estado del sistema se puede escribir naturalmente de esta manera en la BP como i Ci i donde los estados i son aproximadamente ortogonales y corresponden a las diferentes ramas cuasiclásicas presentes en el estado total. La IMM atribuye existencia a cada una de ellas. La ontología subyacente es entonces la de un objeto fundamental, el estado cuántico, que se descompone por un proceso dinámico, la decoherencia, y de esto emerge el mundo clásico: esta es la solución al problema de la transición MC-MC. En este esquema, un gato no es un agregado de microobjetos como moléculas o células, sino un patrón dinámico estable del estado cuántico. Las propuestas semántico-ontológicas de la IMM son: A. El objeto básico de la ontología es el estado cuántico. B. Se adopta la tesis funcionalista atribuida a Dennet (1991) donde dos objetos son la misma cosa si se comportan de la misma manera: A macro-object is a pattern, and the existence of a pattern as a real thing depends on the usefulness in particular, the explanatory power and predictive reliability of theories which admit that pattern in their ontology. C. Los patrones, es decir, la forma que se descompone el estado, necesitan de la decoherencia. Para su formulación utilizamos el producto interno del espacio de Hilbert (que en MC ortodoxa es la regla de Born y permite cuantificar las propensiones por medio de probabilidades), usualmente llamado en este contexto peso de la rama. Estos pesos nos dan la probabilidad subjetiva de encontrarnos en alguna rama (véase sección 4.3). Para clarificar todas estas nociones vagamente definidas presentes en la IMM es necesario realizar un análisis semántico de los conceptos implicados.

4.1 La reificación del estado cuántico. La ontología es la rama de la filosofía que estudia los rasgos más generales de los existentes. Detrás de toda teoría científica hay una ontología presupuesta. La ontología subyacente a la IMM toma como objeto básico el estado cuántico o la función de onda, “the quantum state is all there is” (véase Wallace 2012). Esta posición denominada wave function realism, entre otras variantes, postula que la MC tiene como referente ontológico a la propia función de onda. Dilucidamos primero tres conceptos presentes en estas afirmaciones:

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1. Estado: Totalidad de las propiedades de una cosa x en un dado contexto 2. Objeto básico: Individuo x que puede albergar propiedades. 3. Función de onda: Vector de un espacio de Hilbert. Un constructo matemático. Si se adoptan estas definiciones, entonces es erróneo postular que el estado cuántico es el objeto básico o incluso el propio referente de la teoría: (1) es una propiedad de (2), mientras que (3) es un constructo que representa (1). Se ha afirmado de manera más precisa que la MC refiere a un campo complejo representado por la función de onda. Sin embargo, al ser Psi una función, esta puede representar sólo propiedades y no entidades en sí (véase Bunge 1972). Podríamos refinar el argumento y postular que psi representa la intensidad de C. Si la MC es una teoría acerca de este campo complejo, entonces se deben añadir postulados semánticos que esclarezcan, i) el rol de las cantidades matemáticas como los operadores, que en la MC usual representan propiedades de microsistemas, y ii) el significado físico de esta intensidad. La visión de la MC como una teoría sobre la función de onda nos compele a la reificación del espacio de configuración. En un sistema de N partículas, la función de onda está definida sobre un espacio euclídeo de 3N dimensiones. Si esta representa la intensidad de un campo real, entonces E3N es un espacio físico real. Esta controversial propuesta conlleva numerosas inconsistencias: a) se supone una ontología de partículas (microsistemas) para formular la ontología básica, b) está en contradicción con la teoría cuántica de campos, donde N no es una cantidad conservada (de hecho, ni siquiera es un invariante relativista en teoría de campos sobre espacio-tiempos pseudo-Riemannianos, y c) no está claro cómo conciliar el espacio clásico E3 con esta teoría. Algunas de estas posiciones se discuten en Albert (2013). En este esquema, en donde solo hay función de onda y no microsistemas como electrones o moléculas, resulta imposible realizar predicciones experimentales o construir modelos de situaciones físicas concretas.

4.2 Patrones y ramificación. Las dificultades ontológicas presentadas en 4.1 presentan importantes problemas para la formulación de una teoría realista y precisa de los muchos mundos. El concepto de emergencia adoptado en el trasfondo de la teoría para dar cuenta de estos patrones, i.e. la tesis funcionalista, afirma que la materia no es lo fundamental, sino la forma o estructura de la misma. Esto representa un impedimento para explorar los diferentes niveles ontológicos que presenta la realidad y es insostenible en la práctica científica (véase Bunge 2012). Para definir las ramas se utiliza un producto interno, una función matemática. En la mayoría de las interpretaciones de la MC, este representa la propensión de un sistema a tomar el valor de una cierta propiedad. Sin embargo, en la IMM no existe ninguna regla semántica aplicada a este objeto matemático. Considérese, por ejemplo, que en (2) tenemos Ca = 0.2 en una rama y Cb = 0.4 en otra. Sin un significado semántico de estas cantidades es imposible distinguir objetivamente estas dos ramas. Como se explicó en la sección 3, el proceso de decoherencia es aproximado. Las interferencias cuánticas no desaparecen por completo y las ramas están aproximadamente definidas. Los neo everettianos argumentan que un proceso de emergencia siempre es aproximado y por lo tanto la definición de un objeto macroscópico es intrínsecamente vaga. Sin embargo, la vaguedad es una propiedad del lenguaje y, en todo caso, lo aproximado se debería cuantificar. De esta manera, no tiene sentido afirmar que algo existe aproximadamente. La identificación del peso de las ramas como “medida de la existencia” (véase Vaidman 2015) carece de fundamento semántico. Sin individuos con propiedades con la capacidad para formar sistemas, el concepto de emergencia como novedad cualitativa es inconsistente.

4.3 Probabilidades La imagen del mundo presentada por la interpretación de Everett es totalmente determinista y libre de probabilidades. El problema más urgente de la interpretación es entonces recuperar las probabilidades

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típicas de la MC (Hsu 2011). Sin posibilidad real, la única noción de probabilidad presente es la subjetivista. Intentos modernos de atacar este problema abarcan, entre otras, las teorías de elección racional iniciada por Deutsch y desarrollada por Wallace. La estrategia es postular ciertos axiomas de comportamiento que un ser racional debería seguir en un multiverso y demostrar que la regla de Born es su función de utilidad para calcular la probabilidad (sus grados de creencia) de estar en una determinada rama. Trabajos recientes han mostrado algunas inconsistencias de esta postura (véase Adlam 2015). Al no tener un espacio de eventos (las ramas están difusamente definidas) no podemos aplicar coherentemente el cálculo de probabilidades. El estudio de una teoría fundamental como la MC no estaría completo sin apelar a la filosofía del lenguaje y al estudio de seres racionales como nosotros: esto supone el abandono del realismo.

4.4 Propiedades, simetrías y conservación Otro problema importante que aqueja a la IMM es su reconciliación con las herramientas básicas de la MC usual y una perspectiva realista. Cómo explicitar el significado de las propiedades y su relación con las ramas emergentes de la teoría es un problema aún no resuelto. Tal como ha dicho Deutsch (1999): “es hora de que los everettianos empiecen a aplicar la interpretación a situaciones físicas concretas”. En su estado actual, una teoría bien formalizada y realista de la IMM deviene inconsistente con las simetrías del espacio-tiempo subyacente a la teoría. Tanto en MC como en mecánica clásica, la teoría se formula en un espacio tiempo euclidiano (no relativista) o minkowskiano (lorentziano o relativista). Las simetrías asociadas implican ciertas cantidades conservadas como la energía o el momento, vía el teorema de Noether. En MC estas cantidades representadas por operadores autoadjuntos son propiedades de microsistemas. En el límite hacia la mecánica clásica, estas propiedades deben respetar de alguna manera estas simetrías. La inconsistencia se puede ejemplificar con la energía. La energía es la capacidad de cambio. Todo objeto material concreto (real) posee energía. Si la formación de las ramas es un proceso dinámico, este necesita de energía. De esta manera, de un proceso finito se generarían infinitas ramas, por ejemplo, midiendo un átomo en un estado de superposición de infinitas autoenergías. Si adoptamos el materialismo, entonces esto implica la generación de infinitos individuos a partir de un proceso finito. Como se ha dicho, esta violación a las leyes de conservación es inconsistente con las simetrías supuestas por la misma teoría (véase Perez-Bergliaffa et al. 1993). La defensa usual de los everettianos es aducir a que la función de onda total, que puede descomponerse en ramas cuasiclásicas inaccesibles unas a otras (decoherentes) conserva la energía en el sentido puramente cuántico, esto es, se conserva el valor medio del hamiltoniano (para un análisis cuidadoso, véase Hartle et al. 1995). Wilczek (2013) argumenta que la energía se conserva en el multiverso everettiano si (a) las ramas decoheren exactamente, lo cual no es cierto, y si (b) la energía no es considerada como “una sustancia en el sentido usual” (véase sección 4.1). De esta manera, en el mismo espacio-tiempo pueden coexistir diferentes entidades (el gato muerto y el gato vivo) correspondientes a diferentes ramas sin violar cantidades conservadas. Es imposible entonces tratar situaciones físicas macroscópicas de manera realista ya que nuestras teorías estarían condicionadas a una sola rama. De esa manera, o se abandona el materialismo y el realismo o se llega a una inconsistencia con las cantidades conservadas. La ontología para superar estas dificultades, como se discutió en 4.1, también es inconsistente.

5. Conclusiones Hemos argumentado a través de un análisis semántico que la IMM está construida sobre nociones vagas que necesitan una urgente clarificación. Su formulación actual implica que es imposible sostener en esta interpretación el realismo y el materialismo debido principalmente a 1) su inconsistencia con las simetrías del espacio tiempo, 2) la adhesión a la escuela subjetivista de la probabilidad y 3) la adopción de una ontología difusa. Existen otros problemas a discutir en esta formulación como el problema del tiempo, la localidad, y la causalidad. El problema de la transición de la MC a la mecánica

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clásica es uno de los problemas más importantes y desafiantes de la física contemporánea. El camino a su resolución, en nuestra opinión, debe basarse en una teoría fuertemente formalizada, precisa, realista y libre de las ambigüedades semánticas que aquejan a la IMM.

Bibliografía Albert, D. (ed.) (2013), The Wave Function: Essays on the Metaphysics of Quantum Mechanics, Oxford: Oxford University Press. Adlam, E. (2015), “The Problem of Confirmation in the Everett Interpretation”, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 47: 21-32. Bunge, M. (1967), Foundations of Physics, Berlín: Springer. Bunge, M. (1972), Semántica I: Sentido y referencia, Barcelona: Gedisa. Bunge, M. (2012), Emergencia y convergencia, Barcelona: Gedisa. Dennett, D.C. (1991), “Real Patterns”, Journal of Philosophy 87: 27-51. Deutsch, D. (1999), “Quantum Theory of Probability and Decisions”, Proceedings of the Royal Society of London A455: 3129–3137. Disponible en http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015. Everett, H. (1957), “The Relative State formulation of Quantum Mechanics”, Reviews of Modern Physics 29: 454-462. Hartle, J.B., Laflamme, R. y D. Marolf (1995), “Conservation Laws in Quantum Mechanics of Closed Systems”, Physics Review 51(12): 7007-7016. Hsu, S. (2011), “On the Origin of Probability in Quantum Mechanics”, recuperado de arXiv:1110.0549 [quant-ph]. Kent, A. (1990), “Against the Many Worlds”, International Journal of Modern Physics A5: 1745-1762. Landsman, N.P. (2007), “Between Classical and Quantum”, en Butterfield, J. y J. Earman (eds.), Philosophy of Physics Part A, Amsterdam: North-Holland, pp. 417-553. Perez-Bergliaffa, S.E., Romero, G.E. y H. Vucetich (1993), “Axiomatic Foundations of Nonrelativistic Quantum Mechanics: A Realistic Approach”, International Journal of Modern Physics 32(9): 1507-1522. Vaidman, L. (2015), “Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edición de otoño 2014), en . Wallace, D. (2012), The Emergent Multiverse, Oxford: Oxford University Press. Wallace, D. (2010), “How to Prove the Born Rule”, en Saunders, S., Barrett, J., Kent, A. y D. Wallace (eds.), Many Worlds? Everett, Quantum Theory and Reality, Oxford: Oxford University Press, pp. 227-263. Wilczek, F. (2013), “Remarks on Energy frankwilczek.com/2013/multiverseEnergy01.pdf

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http://

Interpretation Misunderstandings about Elementary Quantum Mechanics* Confusiones de interpretación en mecánica cuántica elemental Federico G. Lopez Armengol† Gustavo E. Romero‡

Abstract Quantum Mechanics is a fundamental physical theory about atomic-scale processes. It was built between 1920 and 1940 by the most distinguished physicists of that time. The accordance between the predictions of the theory and experimental results is remarkable. The physical interpretation of its mathematical constructs, however, raised unprecedented controversies. Ontological, semantic, and epistemic vagueness abound in the orthodox interpretations and have resulted in serious misunderstandings that are often repeated in textbooks and elsewhere. In this work, we identify, criticize, and clarify the most spread ones. Keywords: elementary quantum mechanics - interpretation – misunderstandings - Bunge

Resumen La Mecánica Cuántica es una teoría de física fundamental que modela procesos a escalas atómicas. La teoría fue formulada entre los años 1920 y 1940. El acuerdo entre las predicciones obtenidas a partir de su formalismo matemático y los resultados experimentales es notable. Sin embargo, las interpretaciones físicas de los constructos de la teoría originaron controversias sin precedentes en la historia de la Física. Las imprecisiones ontológicas, semánticas y epistémicas de las distintas interpretaciones han ocasionado que se repitan y propaguen graves malentendidos que obstaculizan la investigación básica. En este trabajo identificaremos, criticaremos y aclararemos algunas de estas confusiones, con énfasis en las más básicas y difundidas. Palabras claves: mecánica cuántica elemental - interpretación - confusiones - Bunge

*

†

Recibido: 16 de Febrero de 2016. Aceptado con revisiones: 19 de Septiembre de 2016.

Instituto Argentino de Radioastronomía CCT La Plata (CONICET), C.C.5 1894 Villa Elisa, Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected] ‡ Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas, Universidad Nacional de La Plata, Paseo del Bosque s/n, 1900 La Plata, Buenos Aires, Argentina. Para contactar al autor, por favor, escribir a: [email protected]. Metatheoria 7(2)(2017): 55-60. ISSN 1853-2322. © Editorial de la Universidad Nacional de Tres de Febrero. Publicado en la República Argentina.

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1. Introduction Modeling atomic-scale physical systems with classical laws yields inaccurate results. This fact was noticed in the first half of the XX century with phenomena such as black body radiation, the photoelectric effect, Stern-Gerlach deflections, and the Comptom effect. A battery of novel experiments based on these and other phenomena, along with remarkable theoretical work, led to the formulation of Quantum Mechanics (QM). The list of physicists that contributed to the new theory is long and includes illustrious names: Max Planck, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Albert Einstein, Erwin Schrödinger, Max Born, John von Neumann, Wolfgang Pauli, David Hilbert, Paul Dirac, and Pascual Jordan among many others. The predictions made with the theory were confirmed by several experimental measurements and the mathematical formalism was rapidly accepted by most physicist of the time. Nevertheless, the interpretation of the new theoretical constructs was far from clear and raised serious controversies. From this intellectual conflict, numerous interpretations of QM emerged. To name just a few: the Copenhagen interpretation, the de Broglie-Bohm theory, interpretations based on Quantum Logic, Time-Symmetric theories, the Many-Worlds interpretation, statistical interpretations, and realistic ones (for a review of QM interpretations and their historical context, see Jammer 1974) The most accepted and spread interpretation of QM is the Copenhagen interpretation, proposed by Niels Bohr and Werner Heisenberg in 1927. The popularity of this view resides on its practical usefulness. The Copenhagen interpretation is, however, implicitly influenced by subjective and pragmatic philosophy. In this work, we briefly describe a realistic interpretation of QM. Then, we discuss some widely used statements that are usually taught in QM elementary courses and sometimes even invoked in academic discussions. We hope to clarify some misunderstandings about interpretation issues related to the deterministic character of the theory, the so-called uncertainty principles, the wave function “collapse”, the Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) paradox, and the related ontology. The main reference of the article is Bunge (1967), but the reader might also benefit from Bunge (1973, 2010), and the discussion in Bunge (1983).

2. Realistic approach We present a short description of the formalism of QM from a realistic perspective. We do not intend to be exhaustive, but rather to focus on those postulates that are key for understanding the theory. We include some equations using bra-ket notation, but mostly we are interested on semantic issues. The referents of QM are particular physical systems called quantum systems. This statement may sound trivial, but is crucial for properly understanding the theory. We discuss it in Section 3.5. The states of a quantum system are represented by non-unique unit vectors |𝜓 in some Hilbert space ℋ, known as the state space, with a defined inner product. The state space ℋ is isomorphic to 𝐿2 (ℝ3𝑁 ), the set of square integrable functions on the configuration space of the system. For this reason, it is usual to associate square integrable normalized functions on configuration space 𝜓(𝑝̅ ) with quantum states. The latter function is called wave function and is a fundamental tool for calculating the properties of the quantum systems. Then, unlike classical theories, quantum states are represented by vectors in a space where a summation operation is defined. This fact and the linearity of the dynamic equations of the theory imply that the Principle of Superposition holds at the level of states. Consider, for instance, the wave functions |𝜓+ , |𝜓−  that represent the states of an electron with its spin up and down, respectively. Then, the state: 3

4

5

5

|𝜓 = |𝜓+  + |𝜓− ,

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represents a plausible quantum system that is a superposition of the spin-up and spin-down electron. For empirical confirmation of such counterintuitive feature of QM, called quantum entanglement, see Schlosshauer (2007), p. 21. The values of the properties of the quantum systems can be calculated with self-adjoint operators 𝒜̂ (𝑡): ℋ → ℋ, acting on the corresponding states. But, unlike classical systems, quantum systems may not have precise values for its properties. Instead, we can calculate the average 𝒜̂  of a certain property by: 𝒜̂  = 𝜓|𝒜̂ |𝜓 . The spread 𝛥𝜓 𝒜 of the average is: 2

𝛥𝜓 𝒜̂ 2 = 𝒜̂  − 𝒜̂2 . If the spread 𝛥𝜓 𝒜̂ of a certain property of a quantum state |𝜓𝑘  is null, then the property takes a precise value 𝜆𝑘 . The corresponding state |𝜓𝑘  is called eigenstate of the operator 𝒜̂ , 𝜆𝑘 its eigenvalue, and they satisfy: 𝒜̂ |𝜓𝑘  = 𝜆𝑘 |𝜓𝑘 . Under certain conditions, the values 𝜆𝑘 may constitute a countable set, i.e. may be quantized. This is another peculiar and contrastable feature of QM. The name of the theory comes from this feature. Because of the Superposition Principle, quantum states are not exclusive. For example, given an eigenstate |𝜓𝑘  of certain self-adjoint operator 𝒜̂ (𝑡), the propensity 𝑝𝑘 of any quantum state |𝜓 to take the value 𝜆𝑘 is measured by a probability: 𝑝𝑘 = |𝜓|𝜓𝑘 |2 , where 0 < 𝑝𝑘 < 1 (see Popper 1959). Finally, QM has an evolution equation that describes how properties change with time. The equation reads: 𝑑𝒜̂ 𝑖 𝜕𝒜̂ ̂ 𝒜̂ − 𝒜̂ ℋ ̂) + = (ℋ , 𝑑𝑡 ℏ 𝜕𝑡 ̂ denotes a particular operator called Hamiltonian of the system. where ℋ We have specified the referents of QM, how to calculate their properties, and their dynamical equation. This short explanation suffices to clarify some usual misconceptions about quantum systems. For a detailed realistic formulation of the formalism see Perez Bergliaffa et al. (1993, 1996).

3. Interpretation misunderstandings 3.1. Determinism It is usually argued that: “QM is not deterministic as Classical Mechanics because it cannot predict precisely the properties of its referents”. The latter argument is misleading and needs clarification. This subsection is based mostly on Earman (1986). Determinism is a polysemic word. We find numerous definitions in the literature but none of them refers to the accuracy of predictions. Instead, they refer to dynamical properties of the theory. QM dynamic equation is invariant under time reversal if we accept that time reversal operation is given by [𝜓(𝑝̅ )]𝑅 → 𝜓 ∗ (𝑝̅ ) and 𝒜̂ (−𝑡) → 𝒜̂ ∗ (𝑡), where * denotes complex conjugation. On the other hand, QM evolution equation admits unique solutions under precise initial conditions. Classical theories do not possess this attribute because of possible disturbances coming from spatial infinity with unbounded velocity. QM forbids the invasion from spatial infinity because, in order to keep the wave

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function normalized, lim 𝜓(𝑥̅ ) = 0. Moreover, the normalization of the wave function entails 𝑥→±∞

stability under variations of the initial conditions. This is not the general case in Classical Mechanics. In summary, determinism does not refer to predictability, but to features of the time evolution. In this sense, we find that QM is even more deterministic than Classical Mechanics. It is true that QM does not predict precise values for the properties of the system. However, that is not a problem of QM dynamics, but of its ontology. Quantum systems, as characterized by the standard formalism, do not have precise values for their properties; that’s why we cannot predict them.

3.2. Uncertainty relations Under the misleading name of uncertainty principles, it is stated that: “Given a quantum system, we cannot measure simultaneously and with arbitrary precision the values of properties whose associated operators do not commute”1. The main reference for this subsection is Bunge (1967). First, the mentioned statement is based on a theorem; it is not a principle. The theorem reads: “Let ̂ ̂ , 𝒞̂ be self-adjoint operators such that [𝒜̂ , ℬ ̂ ] = 𝑖𝒞̂ , then 𝛥𝜓 𝒜̂ 𝛥𝜓 ℬ ̂ ≥ |〈𝒞〉𝜓 |⁄2, for any quantum state 𝒜, ℬ 𝜓”. The theorem does not make any reference to measurements processes, neither to unavoidable disturbances caused by our interaction with the system, nor to our incapability to measure precise quantum properties. It makes reference to the averaged properties of the quantum systems. In short, epistemic uncertainty is distinct from ontological variance of properties. Furthermore, it is usually argued that time and energy satisfy an uncertainty relation of the form: 𝛥𝜓 𝐸𝛥𝜓 𝑡 ≥ ℏ⁄2. This relation is alien to QM formalism simply because the parameter time does not have an associated operator and, therefore, does not apply to the mentioned theorem (see Bunge, 1970). The correct time dependent uncertainty relation between the energy 𝐸 and a self-adjoint operator 𝒜̂ is (Messiah 1981): 𝛥𝜓 𝒜̂ ℏ 𝛥𝜓 𝐸 ≥ . 2 |𝑑〈𝒜̂ 〉𝜓 |/𝑑𝑡

3.3. The wave function collapse The most controversial postulate of the Copenhagen interpretation is the Projection Postulate: “If the measurement of a property 𝒜̂ of a quantum system |𝜓 gives the result 𝜆𝑘 , where 𝜆𝑘 is an eigenvalue of 𝒜̂ , the quantum state |𝜓 immediately changes to the corresponding eigenstate |𝜓𝑘 ”. First, we remark that QM is a fundamental physical theory that models the behavior of its referents, i.e. quantum systems. There is no place in its formalism for observers, human measurements, or classical entities. We admit that understanding the quantum-classical interaction is essential, and the Projection Postulate contributes on that sense, but it does not belong to QM proper. It should be a consequence of a theory, yet inexistent, that formally models quantum systems, classical apparatus, and their interactions, i.e. a quantum theory of measurement. The Projection Postulate is a valuable pragmatic statement, but should be replaced by a formal model of the quantum-classical interaction. Moreover, strictly speaking mathematical objects such as functions in a Hilbert space cannot collapse. Only the physical systems can change their state or “collapse”. The representation of physical collapse should not be confused with the collapse of mathematical objects.

3.4. The Einstein-Podolsky-Rosen paradox

1

̂ do not commute if, and only if, 𝑖𝒞̂ = [𝒜̂ , ℬ ̂ ] = 𝒜̂ ℬ ̂−ℬ ̂ 𝒜̂ ≠ 0. Two operators 𝒜̂ , ℬ

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Einstein, Podolsky and Rosen (1935) argued that formalism of QM was either incomplete, or unrealistic. The argument is based on a thought experiment about an entangled quantum state, whose components are arbitrarily distant from each other. The apparent paradox resides on instantaneous effects over one of the components, produced by the local interaction of the other with an observer. For a detailed discussion see, e.g. Perez Bergliaffa et al. (1996). Thanks to the leading work of Bell (1964), the ideas of EPR could be tested by experience. Several experiments were made, the latest by Hensen et al. (2015), and the results are clear: QM formalism is not local and incomplete. According to some authors, the work of EPR and the mentioned experimental results seem to imply that QM is inconsistent with realism. Such statement, however, is based on a questionable hypothesis: locality. A realistic interpretation of QM, only demands to accept non-local effects in entangled systems. Setting aside locality is polemical, but the reader should notice that not real action at distance between a general class of physical systems is implied. Possible non-local correlations are limited to highly manipulated entangled systems. In short, QM may manifest non-local effects in order to preserve systemic features with no detriment of ontological realism (see Perez Bergliaffa et al. 1996).

3.5. Ontology Ontological questions in elementary courses on QM are often answered with the so-called wave-particle duality: “depending on the experimental set up, particles may behave as waves, or waves as particles”. This proposition was stated by Louis de Broglie before the formalization of QM was established and was fundamental in a heuristic sense. However, we emphasize that the referents of QM are not particles, nor waves, not even the wave function. The referents of QM are quantum systems, per se. In other words, quantum systems are not compound by particles nor waves. The latter are classical concepts that do not belong to QM. Classical analogies are heuristically important for the making of a theory, but they have no place in its final postulates (Bunge 1967). The ontology based on quantum systems may not satisfy our curiosity about the components of the quantum world. In that case, we should proceed to study Quantum Field Theory, a deeper theory that models quantum systems as particular physical fields.

3. Conclusions QM is an extraordinary fundamental physical theory. However, it has been victim of imprecise, subjective, and vague interpretations. In this article we outlined a realistic approach of QM and criticize several misleading propositions that are usually heard around. Inattention on interpretational issues may not affect experimental predictions. However, they engender confusing statements that obscure the theory and hinder further theoretical developments. From an ethical perspective, vague and confusing statements enhance the action of pseudoscience: QM has been applied to New Age culture, telepathy, pseudo-medicine, the existence of God, mindbody dualism, and other forms of non-sense. All this can be avoided with precise and formal philosophy, essential for interpreting counterintuitive modern physical theories.

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