metamatematica 10

Los derechos para la versión castellana de la obra METAMATHEMATIK publicada por BIBLlOGRAPHISCHES INSTlTUT, Mannheim, © BibJiographisches Institut AG. Mannheim 1962 son propiedad de EDJTORIAL TECNOS. S. A.

Traducción de la 2." edición alemana por JACOBO MUÑOZ

INDICE

INDICE DE SIMBOLOS ............... _.. _............ e

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INTRODUCCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1. FORMALIZACIÓN DE LA LÓGICA................... . . . . . . . . . . . . . . . § l. Lógica clásica de yuntores.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Lógica constructiva de yuntores y cuantificadores. . . . . . . . . . . . . § 3. Lógica clásica de cuantificadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Lógica de la igualdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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FORMALIZACIÓN DE LA ARITMÉTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Aritmética constructiva y axiomática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6. Formalización de la aritmética clásica. . . . . . . .. .... .. . .. . . . . . § 7. Consistencia de la aritmética clásica ................... ' . . . . .

63

DE LOS FORMALISMOS...... .. . •••• . ... .. . .. . .. •.. . § 8. Formalismos completos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Decibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Expresabilidad aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Representabilidad aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Indecibilidad e ¡ncompletitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105 \05 119 130 140 151

AIUTMETlZAClÓN

IV. DECIBILlDAD § 13. Teorías § 14. Teorías § 15. Teorías

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© EDITORIAL TECNOS. S. A .. 1971 O'Donncl!. 27 - Te!. nó ~9 23 - Madrid - q Spalll. Il11prl'\o l'n España. DepósIto le'lal M 10104·1971

Imprenta MINUESA Ronda de Toledo, 24 MADRID-5

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DE LAS TEORiAS AXIOMÁTICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . axiomáticas ......................... , . .. . . . . . . . . . . axiomáticas indecidibles... . ........................ axiomáticas completas. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . .

165 165

BIBLlOORAFIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INDICE DE NOMBRES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INDICE DE MATERIAS. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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172 183

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INTRODUCCION

INDICE DE SIMBOLOS

Lógica

21,32,78,106 21,32, 78, 106 21,31,78,106 fI 21,27,78,106 v 21,27,78,106 < 23,77 >< 23 -+ 23,30 V A

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Metamatemática

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Deblmos el concepto de metamatemática a HILBERT. Correspondiendo vagamente al venerable término «metafisica», la «metamatemática» vendría a ser una ciencia cuyo objeto habría de buscarse en el conjunto de la matemática. Ahora bien, esta metamatemática no sería una disciplina filosófica, a diferencia de la metafisica, sino matemática, una teoría matemática. La dificultad que ofrece esta determinación de la metamatemática salta a la vista. Si la metamatemática es una teoría matemática cuyo objeto consiste en la totalidad de la matemática misma, habría de contenerse a si misma como objeto. La dificultad se soluciona con sólo advertir que, en este contexto, las palabras «matemático» y «matemática» no se refieren a lo mismo. Se trata, más· bien, de una teoría matemática constructiva que tiene como objeto a la matemática entera, en la medida en que ésta se presenta como una teoría axiomática. Con el fin de precisar esta determinación -evidentemente ya no circular- de la metamatemática, habremos de detenernos brevemente en el curso del razonamiento de HILBERT. Una de las más imponentes hazañas matemáticas del siglo XIX fue el «descubrimientO» de las geometrías no euclidianas. Se trata, dicho sea en pocas palabras, de la demostración de la independencia lógica del célebre axioma de las paralelas r:specto de los restantes axiomas euclídeos. Basándose en trabajos de SACCHERI, LAMBERT y, sobre todo, GAUSS; LoBAl:EVSKIJ y J. BOLYAI, pudieron demostrar BELTRAMI (1868) y KLEIN (1870) esta independencia aduciendo modelos euclídeos. En estos modelos eran válidos, naturalmente, todos los axiomas euclídeos, salvo el de las paralelas. y se dijo: puesto que la geometría euclidiana es consistente, también 10 será todo sistema de preposiciones válidas en un modelo euclídeo, y, sobre todo, habrá de serlo el sistema que, negando el axioma euclídeo de las paralelas, conserve todos los demás. Este es, precisamente, el sentido de la citada independencia lógica. y se siguió investig'ando sobre la consistencia de la geometría euclídea. Se mejoró, en primer lugar, su axiomática, y se

10

•

METAMATEMATICA INTRODUCCION

completó, hasta que se pudo demostrar la posibilidad de derivar, de manera puramente lógica, todos los teoremas ya conocidos de la teoría, sin ayuda de la intuición geométrica, a partir del subyacente sistema de axiomas. El fruto primero de este esfuerzo ha de verse en la publicación, en 1899, por HILBERT, de sus Grundlagen der Geometrie1 • Sobre la base de una axiomática impecable podía tenerse ahora la seguridad de que la geometría euclídea posee un modelo analítico. Esto ya se sabía desde DESCARTES (1637), a quien debemos la posible traducción de las proposiciones geométricas en analíticas (esto es, en proposiciones sobre números reales). Unicamente sobre la base de una axiomatización impecable resulta legítimo pasar de ]a consistencia de los modelos analíticos a ]a consistencia de la geometría euclídea, necesaria lógicamente para la consistencia de la geometría no euc1ídea. De donde el problema acabó siendo trasladado a la «consistencia de Jos modelos analíticosH. Esta manera de hablar no deja de ser un tanto inexacta. Sólo un sistema de proposiciones puede implicar una contradicción, de donde sólo un sistema de proposiciones puede ser denominado, con pleno sentido, «consistente» (a saber, cuando no implica, a la vez, A y no-A, es decir, una proposición contradictoria). La pregunta, forzándonos a una mayor exactitud, habrá, pues, de girar en tomo a si c~a sistema de proposiciones válido en un modelo analítico es o no consistente. Un modelo analítico no es otra cosa que un conjunto d~ objetos analíticos (p. ej., pares de números. ecuaciones lineares ... ), entre los que quedan definidas algunas relaciones de tipo analí-. tico (p. ej., la igualdad, la posibilidad de resolver de una ecuación~ linear mediante un par de números ... ). Una proposición válidaj en uno de estos «modelos» no difiere de aquellas otras propo-i sicion.(!s analíticas que usualmente expresan la existencia de un~ relación analítica entre objetos analíticos. Existe reedici6n reciente de esta obra: David HILBERT, Grundlagen der Geometrie (