METALURGIA MECÁNICA

INTRODUCCIÓN La Metalurgia Mecánica es la rama de la Metalurgia que se ocupa de estudiar en los metales y aleaciones el comportamiento y la respuesta de estos frente a las fuerzas que soportan cuando están constituyendo los elementos de una estructura, las maquinarias o simplemente son sometidos a procesos de transformación. La Metalurgia Mecánica es una parte del conocimiento que se relaciona con muchas disciplinas y formas de aproximación a la realidad problemática mediante los cálculos. Para ello se debe tener en cuenta que una parte de la Metalurgia Mecánica estudia los cuerpos que son deformables ya sea en servicio o mediante los procesos de conformado. c onformado. La Metalurgia Mecánica es de gran ayuda para la mayor parte de las ingenierías, la cual por ser una ciencia aplicada tiene como principal propósito predecir y explicar los fenómenos físicos que se originan en los materiales sometidos a fuerzas externas. Así también proporciona las bases para aplicar en forma adecuada los metales y sus aleaciones en la industria. Al determinar la magnitud de las fuerzas o momentos que actúan en cada elemento o en una estructura completa es solamente una etapa de la Metalurgia Mecánica porque estos cálculos no nos permiten determinar que la carga aplicada sobre un elemento o estructura será soportada sin fallar, por lo que se hace necesario ampliar nuestros estudios al análisis de las tensiones y deformaciones que originan las fuerzas externas aplicadas en estos elementos de estructuras o partes de maquinarias. Esta parte del conocimiento es la que se desarrollará en este texto, para lo cual debemos tener presente que siempre enfrentaremos tres tipos de problemas: a) De que materiales deberán construirse las maquinarias o las estructuras y cuales deberán ser los tamaños y proporciones de los elementos. Esta es

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

tarea del diseñador . b) Concluido el diseño, debemos verificar  si es adecuado para ser usado con economía y sin deformación excesiva. c) El otro otro problema que se presenta presenta en ingeniería es la evaluación de la capacidad real de los materiales y otros posibles usos. CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS Consideremos que fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro, que siempre existen en pares de igual magnitud y direcciones opuestas. Las fuerzas se pueden originar de un contacto físico directo entre dos cuerpos o de dos cuerpos que no están en contacto directo (fuerza gravitacional). Las fuerzas se clasifican en: 1. 2.

3. 4. 5. 6.

. Son las fuerzas que presenta un contacto físico entre las superficies s uperficies de dos cuerpos. . Se presenta cuando el área de contacto es pequeña comparada con el tamaño del cuerpo. Para motivo de cálculo se considera que estas fuerzas actúan en un punto. . Son las fuerzas que actúan sobre la superficie del cuerpo. . Es la fuerza que actúa dentro del cuerpo. . Es la fuerza que ejerce un cuerpo sobre el otro. . Es la fuerza de igual magnitud a la fuerza aplicada, pero de sentido contrario.

CLASIFICACIÓN DE LOS ESFUERZOS O TENSIONES Las unidades de las tensiones tensiones pueden ser: ser: psi, o MPa (1MPa = 106 N/m2 ó 145 psi=1MPa). Estas se clasifican en: a)

. La tensión normal, se define como la intensidad de la fuerza axial aplicada al elemento estructural. Un elemento estructural o parte componente de una máquina debe ser capaz de soportar la intensidad de una fuerza interna (tensión), en caso contrario el cuerpo se deforma o rompe y se determina por: Tensión =

Las fuerzas mostradas en la figura son colineales con el eje centroidal de la barra y producen una fuerza interna METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

2

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

tarea del diseñador . b) Concluido el diseño, debemos verificar  si es adecuado para ser usado con economía y sin deformación excesiva. c) El otro otro problema que se presenta presenta en ingeniería es la evaluación de la capacidad real de los materiales y otros posibles usos. CLASIFICACIÓN DE LAS FUERZAS Consideremos que fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro, que siempre existen en pares de igual magnitud y direcciones opuestas. Las fuerzas se pueden originar de un contacto físico directo entre dos cuerpos o de dos cuerpos que no están en contacto directo (fuerza gravitacional). Las fuerzas se clasifican en: 1. 2.

3. 4. 5. 6.

. Son las fuerzas que presenta un contacto físico entre las superficies s uperficies de dos cuerpos. . Se presenta cuando el área de contacto es pequeña comparada con el tamaño del cuerpo. Para motivo de cálculo se considera que estas fuerzas actúan en un punto. . Son las fuerzas que actúan sobre la superficie del cuerpo. . Es la fuerza que actúa dentro del cuerpo. . Es la fuerza que ejerce un cuerpo sobre el otro. . Es la fuerza de igual magnitud a la fuerza aplicada, pero de sentido contrario.

CLASIFICACIÓN DE LOS ESFUERZOS O TENSIONES Las unidades de las tensiones tensiones pueden ser: ser: psi, o MPa (1MPa = 106 N/m2 ó 145 psi=1MPa). Estas se clasifican en: a)

. La tensión normal, se define como la intensidad de la fuerza axial aplicada al elemento estructural. Un elemento estructural o parte componente de una máquina debe ser capaz de soportar la intensidad de una fuerza interna (tensión), en caso contrario el cuerpo se deforma o rompe y se determina por: Tensión =

Las fuerzas mostradas en la figura son colineales con el eje centroidal de la barra y producen una fuerza interna METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

2

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

en dicha barra. Si cortamos la barra en un plano transversal como el a-a, se puede dibujar un diagrama de cuerpo libre de uno de los lados, por ejemplo el lado izquierdo, como se muestra en la figura. Esta parte de la barra se mantiene en equilibrio con una distribución de tensiones en la sección transversal expuesta por el corte imaginario de la barra mediante el plano a-a. La distribución de tensiones que se da en la sección transversal del elemento se puede representar por una resultante F normal a la superficie expuesta, y es igual a la fuerza P en magnitud. Entonces la magnitud de la tensión normal promedio, se calcula por:

σpromedio = La tensión normal se calcula por la ecuación infinitesimal o la componente de la tensión (F) normal al plano de deformación: σ=

lim

=

σn =

cos α

 ΔA→0

Dónde: A: Área de la sección transversal normal eje axial Para lo cual se debe considerar una pequeña área  ΔA y ΔF representa la magnitud de la tensión resultante transmitida por esta área pequeña. El valor que se obtenga para un punto de la sección transversal va a diferir del promedio calculado. Por lo que, si aplicamos esta ecuación en diferentes puntos de la sección transversal, se encuentra que la magnitud de la tensión difiere de un punto a otro. Por ejemplo si consideramos una barra de sección cuadrada sobre la cual actúan las fuerzas externas P de compresión y al analizar las tensiones en la superficie del área transversal A-A, la magnitud de cada tensión unitaria varia, siendo mayor en el centro y menores en los puntos alejados del eje simétrico de la barra, como se muestra en la figura.

b.

Es la resultante de las tensiones que actúan en un plano de la sección transversal del elemento de la estructura o máquina y debe ser igual a una de las componentes de la fuerza aplicada como se muestra en la figura.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

3

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Las tensiones cortantes unitarias van a variar de cero en la superficie del elemento a un valor máximo (τmáx.) que puede ser mucho mayor al promedio de las tensiones cizallantes (τprom.). Las tensiones cizallantes se presentan por lo general en pernos, pasadores, remaches, sistemas de corte (cizallas), componentes de maquinaria, etc. La tensión cortante en un punto se determina mediante: τ=

lim

sen α

τ=

sen α

 ΔA→0

c.

Es la tensión que se produce en la superficie de contacto del elemento que conectan los pernos, remaches o pasadores con estos. Por ejemplo, el remache ejerce en la plancha B una fuerza P igual igu al y opuesta a F ejercida por la placa en el remache. La fuerza P, representa la resultante de las tensiones elementales distribuidas en el interior del medio cilindro de diámetro (d) y de longitud (e) igual al espesor de la plancha. La distribución de estas fuerzas y las tensiones que se originan es bastante complicada, por lo que en la práctica se usa un valor promedio σa de la tensión que se obtiene dividiendo la fuerza F por el área de la superficie de contacto. Como el área en consideración es 2 (d)(e), tenemos:

π

σa =

CLASIFICACION DE LAS DEFORMACIONE DEFORMACIONESS (δ) Como en ingeniería es importante evitar deformaciones tan grandes que hagan inservible la estructura diseñada, es que el análisis de las deformaciones nos va a permitir determinar las tensiones que actúan en una estructura estáticamente indeterminada sin inutilizar el elemento. Además, las deformaciones son utilizadas para determinar la distribución real de las tensiones dentro de un elemento que se encuentra sometido a cargas externas.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

4

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Se define como deformación, al cambio de cualquier dimensión asociada con el desplazamiento de los puntos individuales que se mueven debido debido a la carga aplicada, y provocan la alteración del tamaño, de la forma, o ambos. Teniendo en cuenta la tensión que las originan, las deformaciones se clasifican en: a)

Es la deformación que lo origina una tensión axial, que también se le da otras denominaciones, como: Deformación Unitaria ( ). Se define como la deformación por unidad de longitud durante la deformación. Es la cantidad que se usa para medir la intensidad de una deformación, así como la tensión. La deformación unitaria normal, se puede visualizar usando los cambios de longitud, ancho o ambos de una barra sujeta a carga axial. Como se muestra en la figura anterior. La deformación unitaria axial promedio ( prom) sobre la longitud de la barra se obtiene dividiendo la deformación axial ( δn) por la longitud original de la barra (L) y es una magnitud adimensional.

prom = Teniendo en consideración que la deformación es heterogénea a lo largo de la barra. La deformación unitaria axiales en un punto ( p) puede determinarse en el límite cuando L→0, como se indica a continuación.

∆

p = lim ∆L→0

La deformación nominal se define como: = b)

 L  L



 L f   L o  Lo

(γ). Mide el cambio de forma (cambio del ángulo entre dos líneas que son ortogonales en estado no deformado) de un cuerpo durante una deformación.

¿Qué origina la deformación? La deformación es el resultado de un esfuerzo, de un cambio de temperatura o de otros fenómenos físicos.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

5

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

La deformación angular promedio ( γprom) se obtiene al dividir la deformación δa en una dirección normal a la longitud (L) por la longitud. Y se define por: γprom

= δa /L = tang 

La deformación angular en un cuando L → 0, se define como:

∆

punto (P) y para el límite

 ∆∆   ∆

Y para facilitar los cálculos se puede determinar la deformación angular en un punto por: γXY(P) = (

/2) - ℮

¿Cuál es la convención de signos que se usa en las deformaciones? Los signos de las deformaciones se utilizan de la siguiente manera: -

Si la deformación es originada por una fuerza axial de tracción, la deformación es positiva. Si la deformación es originada por una fuerza axial de compresión, la deformación es negativa. En la deformación angular, si el ángulo de referencia aumenta, la deformación angular es positiva. En la deformación angular, si el ángulo de referencia disminuye, la deformación angular es negativa.

Según su comportamiento, las deformaciones se clasifican en 3 tipos: 1)

. Se produce cuando el cuerpo deformado recupera su forma una vez suspendida la fuerza deformante. Esta deformación cumple la ley de Hooke, tanto para la deformación normal como angular. σ = E.ε

Dónde: E: Módulo de Young. ε: Deformación normal. 2)

τ = G. γ

G: Modulo elástico de cizallamiento γ Deformación angular.

. Se produce cuando al suspender la fuerza deformante, el cuerpo recupera una fracción de la deformación.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

ε : ε0 e-t/to

6

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Donde: εo , t o : Son características del material. 3)

. Es un proceso irreversible, la deformación originada por la carga deformante se mantiene a pesar de haberse retirado la fuerza deformante.

DIAGRAMA TENSION-DEFORMACIÓN En este diagrama tensión-deformación se representa la relación entre el esfuerzo aplicado y la deformación que se produce en un material determinado, cuando se somete a una prueba de tracción la probeta respectiva. El ensayo de tracción consiste en someter una probeta de forma y dimensiones determinadas a un esfuerzo de tracción axial hasta romperla. Las probetas empleadas para obtener el diagrama tensión-deformación por lo general son barras de sección transversal regular y constante, casi siempre circular. Sus extremos son de mayor diámetro para facilitar la fijación de la probeta a las mordazas de la máquina que va a traccionar la probeta. En el cuerpo de la probeta se hace dos marcas entre las cuales se mide la longitud inicial (L 0) .Para que los resultados de varios ensayos sean comparables, las probetas a usar deben ser geométricamente semejantes y ensayadas bajo la misma fuerza deformante. Esto nos permite obtener deformaciones proporcionales. Es decir si L0 constante. Entonces entre esta sección y la longitud de la probeta ensayada deberá existir la misma relación:

es la longitud de la probeta en la parte calibrada y “A” representa la sección transversal  √  

Donde K, es el coeficiente de relación. Según la norma DIN, la probeta debe tener un diámetro (d) de 20mm y una longitud de 10d; es decir una longitud de 200mm. Entonces el coeficiente de relación será: K = L0 /

A

K = 200mm /

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

314

K = 11,29

7

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Para ejecutar el ensayo de tracción, la probeta se coloca en la máquina universal de

ón, luego se aplicfuerza a la fuerza axi a l deformante “P” en l o s extremos de l a probeta deformante, la distancia “L” entre las marcas también se “L” y se determina la deformación L tracci Conforme aumenta la incrementa. Durante la aplicación de la carga de tracción se van registrando los valores de - L0) en ese instante, simultáneamente se debe registrar el cambio de diámetro de la probeta. Con estos datos se puede determinar: La tensión ( ), y la deformación teórica (e =

 L   Lo  Lo

) que nos a permitir graficar el respectivo

diagrama tensión-deformación. En estos diagramas, la forma de la curva varía de acuerdo al material, a la temperatura de ensayo y la velocidad con que se aplicó la fuerza deformante durante el ensayo. Sin embargo se pueden generalizar algunas características comunes a los diagramas de los materiales metálicos; tales como la pendiente de la zona elástica, comportamiento elástico y plástico del material, límite elástico, resistencia a la tracción, resistencia a la rotura, etc. Estos datos nos permiten dividir a los materiales, según la fractura en dos categorías: a)

Estos se caracterizan por su capacidad para fluir a temperatura normal, presentando una disminución uniforme en toda la sección transversal del cuerpo de la probeta y un incremento de su longitud proporcional a la fuerza deformante que se aplica en forma creciente. Por lo que la parte inicial del diagrama es una línea recta hasta alcanzar la tensión correspondiente al punto de fluencia (E) a partir del cual la probeta experimenta una gran deformación con un pequeño incremento de la carga. Esta deformación se produce por el deslizamiento del material a lo largo de los planos oblicuos de la estructura cristalina debido a las tensiones cortantes que se originan durante el ensayo a la tracción. Después que la carga alcanza un valor máximo (resistencia a la tracción), el diámetro de una parte de la probeta comienza a disminuir debido a la inestabilidad local que se genera en el material de la probeta, estricci ón” . A partir del cual cargas menores a la máxima son suficientes para mantener el alargamiento en la probeta hasta la rotura en la zona de estricción. La fractura que presentan los materiales con deformación plástica es de forma cónica tipo copa.

fenómeno que se conoce “ b)

Los materiales frágiles se caracterizan porque la rotura se presenta sin variación considerable en su longitud (L 0 ) ni en el área (A 0). Motivo por el que en estos materiales no hay diferencia entre la resistencia a la tracción y la resistencia a la rotura o si lo hay están es muy pequeña. La rotura de la probeta de un material frágil se produce en una superficie perpendicular a la

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

Es =

8

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

dirección de la fuerza aplicada. Estos materiales presentan diagramas tensión deformación en los prácticamente sin la zona de deformación plástica.

–

ESTRICCIÓN (ES) Es la disminución de la sección transversal que se produce en la zona a fracturarse en la probeta cuando está sometida a fuerzas deformantes, se puede definir por: Dónde:  A : Área inicial de la sección transversal de la probeta. A : Área transversal instantánea de la probeta mientras dura el ensayo. 

LEY DE HOOKE La ley de Hooke establece que la deformación es directamente proporcional a la tensión. Esta ley se cumple solamente para la deformación elástica durante un ensayo de materiales metálicos, y se define por la ecuación:

= E.

FLUENCIA Es la deformación lenta que experimentan los materiales. : Deformación plástica que depende solo de la tensión. : Deformación plástica que continúa produciéndose constantemente. : Es el esfuerzo para el cual hay un aumento notable de la deformación sin que aumente el esfuerzo con la limitación de que si continúa la deformación, finalmente el esfuerzo aumenta nuevamente. : Es la tensión que origina una deformación permanente específica de 0,3 a 0,5%. Siendo 0,2% el valor máximo más usado para diseño de estructuras o elementos de máquinas. FATIGA Se produce en piezas que están sometidas a tensiones alternas o fluctuantes que originan micro-grietas en un determinado lugar de la pieza y poco a poco se propagan en toda la sección transversal del elemento hasta que se produce la fractura HIPOTESIS BASICAS Para realizar trabajos de investigación relacionados con las tensiones y las deformaciones que se producen en un determinado material, se debe tener en cuenta las hipótesis básicas que van a influir en las propiedades mecánicas de los materiales y son: Es el cuerpo que no tiene huecos o espacios vacíos en su interior. METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

9

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

-

Se considera que el cuerpo es homogéneo al que tiene propiedades idénticas en todos sus puntos. Un cuerpo es isótropo cuando sus propiedades no varían con la dirección u orientación. Se denomina así al cuerpo cuyas propiedades varían con la dirección u orientación de la fuerza aplicada.

INTRODUCCION En este capítulo presentamos las relaciones matemáticas que expresan la tensión y la deformación en un punto y las que existen entre tensión y deformación en un cuerpo rígido y que obedecen la Ley de Hooke. El fundamento teórico para entender estos temas esta en los cursos de Resistencia de Materiales, Metalurgia Mecánica I, Mecánica de Materiales, etc. Incluimos el estudio de las tensiones y deformaciones dos y tres dimensiones y la teoría de la elasticidad. El contenido de este capítulo es de gran importancia para comprender la mayor parte de los fenómenos de la Metalurgia de Transformación y Conformado de los metales y sus aleaciones. Por esta razón, los interesados en estos temas deberán dedicarle bastante atención. Por la amplitud de los temas, solamente les proporcionamos la base fundamental para que puedan realizar una lectura inteligentemente la bibliografía relacionada con la Metalurgia de Transformación. TENSIONES EN UN PUNTO En el capítulo anterior se definió que la tensión es la fuerza aplicada a un cuerpo METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

10

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

divida por el área en la cual actúa. Teniendo en consideración esta definición, consideremos un cuerpo de forma arbitraria, que está en equilibrio bajo la acción de un conjunto de fuerzas como se observa en la figura. Para poder estudiar las tensiones que se generan en el interior de dicho cuerpo se

hace necesario tener al descubierto un plano interior que pase por un punto arbitrario “O”

Estas tensiones van a mantener el equilibrio de la parte aislada del cuerpo. Además, recordemos que la distribución de las tensiones en cualquier plano interior no es uniforme, sin embargo, cualquier fuerza distribuida que actúa sobre un área pequeña ( ΔA) que circunda a un punto de interés O puede remplazarse por una fuerza resultante estáticamente equivalente ( ΔFn) a través de O y un par ( ΔMn producido por las tensiones

cortantes El subíndice “n” indica que la fuerza resultante y las tensiones cortantes están

relacionadas con un plano en particular que pasa por O. Es decir, este plano específico tiene una normal hacia fuera que pasa por O. Por lo que, para otro plano que pase por O, los valores de ( ΔF) y ( ΔM) pueden ser diferentes y en consecuencia las tensiones tanto normales como cortantes serán diferentes de un plano a otro. En la figura observamos que la línea de acción de  ΔFn o  ΔMn resultante  ΔFn se divide por el área  ΔA, se obtiene una tensión promedio por unidad de área. Mientras más pequeña es el área  ΔA, la distribución de las tensiones se hace más uniforme y el momento ( ΔMn) se anula. En el límite cuando  ΔA → 0, se obtiene una cantidad conocida como tensión resultante (Sn).

puede no coincidir con la dirección de “n” Si la fuerza Sn =

Durante el conformado de los metales, estos responden de manera diferente a las componentes

del vector “tensión resultante”, es decir la tensión

normal (ση) y cortante (τ) en cada plano interno del cuerpo sometido a un sistema de fuerzas. Como se muestra en la figura anterior, la tensión resultante Sn puede descomponerse en las componentes (ση) normal al plano y ( τ) tangente al plano. Tensiones que se definen como:

n=

τn =

Para propósito de análisis, las tensiones se deben referenciar a algún sistema de coordenadas. En este caso los esfuerzos normal y cortante sobre el plano son ση y τ respectivamente. Ya que por lo general τ no coincide con los ejes Y o Z, debe descomponerse en las componentes τxy y τxz , como se observa en la figura. METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

11

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Debemos recordar que el estado de tensiones en un punto de un material no queda completamente definido por estas tres componentes del vector tensión, ya que el vector tensión depende de la orientación del plano con el cual está asociado. Sabemos que por un punto pasa un número infinito de planos, lo que conduce a un número infinito de vectores tensión que están asociados con el punto. En la figura se muestran las componentes rectangulares de las tensiones en planos que tienen normales hacia fuera en las direcciones coordenadas. Las 06 caras del pequeño elemento se denotan por las direcciones de sus normales hacia fuera, de modo que la cara X positiva es aquella cuya normal hacia afuera se encuentra en la dirección positiva del eje X. Convención de signos para las tensiones: Las tensiones normales se indican por el símbolo y un solo subíndice para indicar el plano sobre el cual actúa la tensión. Las tensiones normales son positivas si apuntan hacia fuera. Es decir, las tensiones normales son positivas si son de tracción y negativas si son de compresión. Las tensiones cizallantes se denotan por el símbolo τ seguido de dos subíndices; de los cuales el primer subíndice indica el plano sobre el cual tangencialmente actúa la tensión y el segundo indica el eje coordenado al cual es paralela la tensión cortante. Por ejemplo, el símbolo τxz indica que la tensión cortante es tangente al plano X y actúa hacia fuera en la dirección del eje Z. Una tensión cizallante positiva apunta en la dirección positiva del eje coordenado designado por el segundo subíndice si actúa sobre un plano cuya normal apunta hacia fuera en dirección positiva. La otra posibilidad es cuando la tensión normal al plano apunta en la dirección negativa, entonces la tensión cortante positiva apunta en la dirección negativa del eje coordenado del segundo subíndice. Para establecer el estado de tensiones en un punto se debe conocer por lo menos 09 valores x, y, z, τxy, τxz, τyx, τyz, τzx y τzy. Pero como el elemento en análisis es un cubo, entonces solo 06 tensiones son independientes debido a que el equilibrio de momentos requiere que τxy = τyx, τyz = τzy y τxz = τzx. Entonces el estado de tensiones en un punto queda definido por solamente 06 valores y son: x, y, z, τxy, τxz y τyx. ESTADO DE TENSIONES EN DOS DIMENSIONES METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

12

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

En los procesos de conformado de metales se generan tensiones tridimensionales, las cuales se pueden considerar para motivo de cálculo solamente en dos dimensiones, como sucede en laminación de planchas. Donde, el material va disminuyendo en espesor y aumenta en longitud. Por ejemplo, si tomamos una lámina delgada de acero; en la cual se tiene un estado de tensiones en dos dimensiones, las tensiones que se producen normal ( n) y cortante (τnt) x, y, z y τxy = τyx en los planos de referencia, podemos determinarlas mediante el método de diagrama de cuerpo libre. Consideremos el estado de tensiones de dos dimensiones mostradas en la figura a, donde el segmento de recta B-B representa cualquier plano que pasa por el punto con área A, el ángulo  positivo en el sentido anti-horario se mide a partir del eje positivo del eje X hacia el eje positivo n, como se muestra en la figura b. La figura c, es un diagrama de cuerpo libre del elemento en forma de cuña, en el cual las áreas de las caras son dA para la cara inclinada, dA.cos para la cara vertical y dA.sen 

en un plano arbitrario que pasa por un punto “O” y conociendo las tensiones

para l a cara hori z ontal  El ej e “n” es perpendicular al plano inclinado normal al plano; el eje “t” es paralelo al plano inclinado a 90° del eje n, en sentido anti-horario. Si multiplicamos las tensiones representadas en la figura por el área del plano en el cual actúan; nos determina la fuerza actuante en cada cara del cuerpo libre y nos permite determinar las tensiones n y τn que actúan en cualquier plano que pasa por un punto del material en estudio.

Del diagrama de cuerpo libre de la figura c, podemos determinar las ecuaciones de transformación de tensiones para el estado de tensiones en dos dimensiones. Haciendo suma de fuerzas en la dirección de la normal (n) al plano B-B, se obtiene:

Como

              





Haciendo suma de fuerzas en la dirección t: METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

13

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

 ( ) Para la solución de problemas de Metalurgia Mecánica, debemos tener en cuenta algunas convenciones de símbolos:  Las tensiones normales a tracción son positivas; las tensiones normales a compresión son negativas.  La tensión cortante es positiva si la dirección en la cual actúa apunta en la dirección positiva del eje coordenado del segundo subíndice cuando actúa sobre una superficie cuya normal hacia fuera esté en una dirección positiva del eje coordenado del primer subíndice. Si la normal hacia fuera de la superficie está en dirección negativa, entonces la tensión cortante positiva debe apuntar en la dirección negativa del eje coordenado del segundo subíndice. Otra forma para determinar el signo de la tensión cortante, es considerando si el par de tensiones cortantes están actuando en sentido anti horario, la tensión cortante es positiva y actúan en sentido horario, la tensión cortante es negativa. Como se puede ver en la figura.

 ,



Elposiángul o medi d o en senti d o anti horari o , a parti r del ej e “x” posi t i v o de referenci a , es tivo Los ángulos medidos en sentido horario a partir del eje “x” de referencia, es negativo.

Recordemos algunos términos: Tensión Se define como una fuerza por unidad de área, con unidades en psi o MPa. En una pieza sujeta a algunas fuerzas, las tensiones se distribuyen como una función perennemente variable dentro del material continuo. Cada elemento infinitesimal en el material puede experimentar tensiones distintas al mismo tiempo, por lo que debemos considerar las tensiones como actuando sobre elementos infinitesimalmente pequeños dentro de la pieza. Estos elementos suelen modelarse cada uno como un cubo, según se muestra en la Figura. Las componentes de las tensiones actúan en las caras de estos cubos de dos maneras distintas. Las actúan de manera perpendicular (es decir, normal) a la cara del cubo y tienen tendencia ya sea a tirar de él (esfuerzo a tracción), o a empujarlo (esfuerzo a compresión). Las actúan paralelas a las caras de los cubos, en pares sobre caras opuestas, lo que tiende a distorsionar el cubo a forma METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

14

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

romboidal. Estas componentes normales y cortantes de la tensión que actúa sobre un elemento infinitesimal conforman los términos de un La tensión es un tensor  de segundo orden y por lo tanto requiere nueve valores componentes para describirlo en tres dimensiones. El tensor de tensiones en tres dimensiones se puede expresar como la matriz:

         

Donde la notación para cada componente de tensiones contiene tres elementos, una magnitud (ya sea σ ó τ), la dirección de una normal a la superficie de referencia (primer subíndice) y en una dirección de acción (segundo subíndice). El símbolo σ representa a las tensiones normales y τ a las tensiones cortantes. Muchos elementos de maquinaria están sujetos a estados tensiónales tridimensionales y por lo tanto requieren de un tensor de tensiones como el de la ecuación anterior. Hay, sin embargo, casos especiales, que se pueden tratar como estados de tensiones en dos dimensiones. El tensor de tensiones para dos dimensiones es: Deformación

* +

En la región elástica de la mayor parte de los materiales de ingeniería la tensión y la deformación están relacionadas de manera lineal mediante la ley de Hooke. La deformación es también un tensor de segundo orden y se puede expresar para el caso tridimensional de la forma:

En el caso de dos dimensiones:

      * +

Donde ε  representa tanto una deformación normal como una deformación producida por la tensión cortante, quedando ambas diferenciadas por sus subíndices. Aquí también por comodidad simplificaremos los subíndices repetidos, para deformaciones perpendiculares o normales a ε x ,  ε  y  y  ε z ,  y al mismo tiempo consideraremos dobles subíndices para identificar deformaciones por tensiones cizallantes o cortante. Tensiones Principales Los sistemas de ejes se toman en forma arbitraria y, por lo general, se eligen por comodidad al calcular las tensiones aplicadas. Para cualquier combinación particular de METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

15

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

tensiones aplicadas, alrededor de cualquier punto que se analice habrá una distribución continua del campo de tensiones. Las tensiones normales y cortantes en el punto variarán con la dirección en cualquier sistema de coordenadas que se escoja. Siempre habrá planos sobre los cuales las componentes de tensiones cortante sean igual a cero. Las tensiones normales que actúan sobre esos planos se conocen como tensiones principales. Los planos sobre los cuales estas tensiones principales actúan se conocen como planos principales. La dirección de las normales de superficie a los planos principales se conocen como ejes principales y los esfuerzos normales que actúan en estas direcciones se conocen como tensiones normales principales. Habrá también otro conjunto de ejes mutuamente perpendiculares sobre los cuales las tensiones cortantes serán máximas. Las tensiones cortantes principales actúan sobre un conjunto o sistema de planos que están a 45º en relación con los planos de las tensiones normales principales. En la Figura se muestran los planos principales y las tensiones principales, para el caso en dos dimensiones: Desde un punto de vista de ingeniería lo que más nos preocupa en el diseño de nuestras piezas de maquinaria y/o estructuras es que no fallen y el fallo ocurrirá si la tensión en cualquier punto excede a cierto valor seguro. Entonces, es necesario que determinemos las tensiones de mayor dimensión (tanto normales como cortantes) que ocurren en cualquier parte dentro del material que forma parte de nuestro diseño. Quizá nos preocupe menos la dirección en la cual actúan estas tensiones que su magnitud, siempre y cuando el material se pueda considerar por lo menos macroscópicamente isótropo, es decir, con propiedades de resistencia uniformes en todas direcciones. La mayor parte de los metales y muchos otros materiales de ingeniería cumplen con este criterio, aunque como importantes excepciones se deben mencionar la madera y los materiales compuestos.

CÍRCULO DE MOHR Desde hace mucho tiempo los círculos de Mohr, han sido una forma de solución gráfica para determinar las tensiones principales para el caso de tensiones planas. Muchos libros de texto sobre diseño de máquinas presentan el método del círculo de Mohr como una técnica primordial de solución para la determinación de tensiones principales. Antes de la llegada de las calculadoras y de las computadoras programables, el método gráfico de Mohr era una forma razonable y práctica de resolución para determinar numéricamente METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

16

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

las tensiones principales. Sin embargo, presentamos el método gráfico por varias razones. Puede servir como verificación rápida a una solución numérica, o quizás sea el único método viable si falla la energía de su computadora o si se agotan las pilas de su calculadora. También cumple con el útil objetivo de ser una presentación visual del estado de las tensiones en un punto. El plano de Mohr, en el cual se trazan los círculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente perpendiculares, aunque en el espacio real el ángulo entre ellos representa 180º. Todos los ángulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio real. La abscisa es el eje para todas las tensiones normales. Las tensiones normales aplicadas σX, σY y σZ, se trazan a lo largo de este eje y las tensiones principales σ1, σ2 y σ3 también se determinan sobre este eje. La ordenada es el eje para todas las tensiones cortantes. Se utiliza para trazar las tensiones cortantes aplicadas τXY, τXZ y τYZ y determinar la tensión cortante máximo. Mohr utilizó una regla convencional de signos para tensiones cortantes, que hace que los pares de tensión cortante en sentido del movimiento de las agujas del reloj sean positivos, lo que  con la regla de la mano derecha, ahora estándar. Aun así, esta regla convencional de la mano izquierda se sigue empleando para el círculo de Mohr. Circulo de Mohr

En la figura mostramos un círculo de Mohr de un estado de tensiones planas. Las tensiones normales se representan a lo largo del eje X y las cizallantes en el eje Y. Las tensiones normales y cortantes a los planos perpendiculares a los ejes X e Y se representan por los puntos V (tensiones en el plano vertical que pasa por el punto sujeto a fuerzas) y H (tensiones en el plano horizontal que pasa por el punto sujeto a fuerzas). La intersección de la recta HV con el eje X determina el centro de un círculo que al trazarlo debe pasar por los puntos H y V. El segmento de recta CV en el círculo de Mohr representa el plano que pasa por el punto sujeto a tensiones, a partir del cual se mide el ángulo . En los puntos D y E la METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

17

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

tensión de cizallamiento es cero; por lo tanto, representan los valores de las tensiones principales.



El ángulo entre el eje X y es α; y en el círculo de Mohr está determinado por el ángulo DCV (dos veces el ángulo α real sometido a las tensiones). De la figura se deduce:

                                  

La tensión cizallante máxima es igual al radio del círculo de Mohr:

           á       La tensión normal y cizallante en el plano oblicuo están dadas por las coordenadas del punto F. El ángulo entre el eje X y es ; y en el círculo de Mohr está determinado por el ángulo DCV (dos veces el ángulo  real sometido a las tensiones). Por lo que las coordenadas de cada punto del círculo representa a ya para un plano determinado que pasa por el punto sujeto a tensiones.



 

El ángulo 2 que va de CV a CD, se determina por la ecuación:

   Procedimiento a seguir para elaborar y utilizar el círculo de Mohr: 1. Determinar un sistema de ejes XY como referencia. 2. Identificar las tensiones , y 3. Dibujar un sistema de ejes coordenados  -  con  y  positivos a la derecha y hacia arriba. 4. Ubicar en el sistema de ejes el punto (punto V: plano vertical). 5. Graficar el punto (punto H: plano horizontal) 6. Trazar una recta entre los puntos graficados anteriormente. Esto determina el centro y el radio de la circunferencia a trazar, (círculo de Mohr). 7. Trazar el círculo de Mohr. 8. La recta VC representa el eje X; a partir de la cual se mide los ángulos.

  

,

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

,

18

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

ESTADO DE TENSIONES EN TRES DIMENSIONES El estado general de tensiones en tres dimensiones consiste en tres tensiones principales que actúan en un punto; denominado estado de tensiones triaxial . Si dos de las tres tensiones principales son iguales, estado de tensiones es cilíndrico , cuando las tres tensiones son iguales se denomina estado de tensiones hidrostático o esférico .

El cálculo de las tensiones principales en un estado de tensión tridimensional, en función de las tensiones que actúan en un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas, es una extensión del método aplicado al caso de dos dimensiones. En la figura representamos un diagrama de cuerpo libre con un plano diagonal BCD de área dA. n es la tensión que actúa normalmente al plano BCD. l, m y n son los cosenos directores de n; es decir los cosenos de los ángulos formados entre n y los ejes X, Y y Z. Las áreas para las caras X, Y y Z son , y respectivamente. La fuerza resultante F en la cara oblicua es S.dA, donde S es la tensión resultante en el área.

  

Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en la dirección X, Y y Z son:

      Además tenemos las tres componentes ortogonales de la tensión resultante:

  METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

19

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

    La componente normal  de la tensión resultante S es igual a:

 La ecuación de la tensión normal en cualquier plano oblicuo que pasa por el punto es:

              

Si consideramos al plano oblicuo como principal; n es cero y la tensión normal en éste plano se define como una tensión principal p , entonces tenemos:   , , ,

 

 

La magnitud de la tensión cortante en el plano oblicuo se determina por:

           *      (      ) +       

 

La magnitud de la tensión cortante en función de las tensiones principales, se determina por:

     á          á  á  

 

Las tensiones cortantes para los tres cosenos directores son:

   

   

   

De las ecuaciones anteriores, la tensión cizallante 2 corresponde a la máxima. Debido a que por convención la tensión 1 es algebraicamente la mayor y la 3 es la menor. El conocimiento de las tensiones cizallantes es de gran importancia para poder comprender la fluencia de los materiales en los diferentes procesos de conformado, o cuando están en uso para comprender las fallas que se puedan producir. Estas tensiones actúan en los planos cristalográficos que se muestran en la figura.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

20

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

DEFORMACION EN UN PUNTO Anteriormente se vio la deformación uniaxial que nos sirve de base para ampliar los conceptos de deformación a cargas biaxiales. Su estudio es de gran importancia para poder estudiar la deformación unitaria y evaluación de las tensiones en los materiales cuando son conformados. Anteriormente vimos que el estado de tensiones en un punto quedaba determinado si se conocían las componentes de las tensiones en dos planos --para el caso bidimensional-- y lo mismo puede decirse respecto a las deformaciones. El estado de deformaciones en un punto en el caso de deformación plana queda determinado por los componentes de la deformación en dos planos que contengan al punto. Por otro lado si conocemos el estado de deformaciones en un punto, x, y, xy, es posible conocer las deformaciones en un elemento orientado en cualquier dirección en el punto. Consideremos el desplazamiento de las dos esquinas, Po y P del elemento mostrado en la figura. Si los ejes ´están situados como en la figura, vamos a tratar de conocer las componentes de las deformaciones referidas a este sistema de coordenadas , es decir X´ y Y´ así como X´ Y´ . En la figura (b) vemos que:

’ e



 

y también

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

21

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Proyectando QR y RP´ en las direcciones x´ , y´ tenemos:

Ya que cos  1 por ser el ángulo pequeño. La deformación normal en la dirección x´  es, por definición:

o sea: ya que y En función de 2 α, la deformación normal, ´ queda:

La deformación normal en la dirección  y’  se encuentra sustituyendo α por α +    /2  en la ecuación anterior, lo que da:

x’y’

Para obtener finalmente la deformación tangencial  , primero calculamos el desplazamiento angular  de la línea PP . En la figura, también se observa que:

 

Pero   y como estamos tratando con deformaciones pequeñas, este producto es despreciable con respecto al resto de los términos de la expresión. Por tanto:

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

22

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

o, finalmente

Esta ecuación define el desplazamiento angular de x’ . Si queremos calcular el de  y’  basta con tener en cuenta que ese valor es el valor de  evaluado en α +    /2 . En consecuencia, basta con sustituir α por α +   /2 en la ecuación anterior, quedando:

y la deformación tangencial o de cizalladura, viene dada por:

y operando:

En términos de 2 α y sustituyendo

    

, obtenemos finalmente:

Las ecuaciones anteriores, son las ecuaciones de transformación de las  deformaciones  para el caso de dos dimensiones. Igual que vimos en el estudio de las tensiones, tenemos siete variables y tres ecuaciones. Es decir, que si cuatro de estas variables son conocidas, el resto está definido de acuerdo con las mencionadas ecuaciones. Podemos decir que el estado de deformaciones está perfectamente definido si las componentes de la deformación son conocidas en dos planos. Como vemos, existe una «correspondencia» entre estas ecuaciones y las referidas a tensiones. Esta relación existente se puede aplicar a todas las formulaciones análogas. Así, por ejemplo, las direcciones de deformación principal --aquéllas en que la tension cortante es cero vienen dadas por:

y los valores de las deformaciones  principales son:

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

23

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Las componentes cartesianas de la deformación unitaria en el punto pueden expresarse en términos de las deformaciones con el uso de las definiciones de deformación unitaria normal y angular presentadas en las figuras anteriores. Estas son las componentes de la deformación unitaria normal y cortante asociadas con las componentes cartesianas:

       

       

       

MEDICIÓN DE LA DEFORMACIÓN PLANA En la mayoría de los trabajos experimentales que incluyen mediciones de las deformaciones unitarias, las deformaciones unitarias se miden en una superficie libre de un elemento estructural en el cual existe un estado plano de tensiones mediante la utilización de las galgas extensiométricas. Las galgas se pueden ubicar en la superficie a ser analizada en diferentes posiciones, siendo las usadas en forma lineal, rectangular o en roseta. Una roseta de deformación es un arreglo de tres galgas extensiométricas utilizadas para medir el estado de deformaciones de un material en el plano, lo cual implica medir la deformación normal en x ( X)  , la deformación normal en y (  y ) y la deformación cortante en el plano   XY  . Debido a que una galga sólo puede medir la deformación normal, a veces resulta más conveniente utilizar una roseta de deformación. Aunque pueden crearse infinidad de combinaciones para el arreglo de galgas, existen dos que son las más utilizadas: la roseta rectangular y la roseta delta. Para nombrar a cada una de las galgas se usan las primeras letras del abecedario, comenzando por la roseta horizontal y siguiendo el sentido opuesto de las manecillas del reloj.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

24

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Una roseta se dice que es rectangular cuando sus galgas están arregladas con una diferencia de 45° entre sí, por lo que una roseta se encontrará en posición horizontal, una en posición vertical y otra a un ángulo de 45°. Con este arreglo de galgas, las deformaciones son las siguientes:

Si conocemos las deformaciones unitarias normales y sus direcciones angulares, podemos determinar las deformaciones planas utilizando las siguientes ecuaciones:

            Se dice roseta delta a aquella que tiene sus galgas posicionadas con una diferencia de 60° entre sí, por lo que habrá una en posición horizontal, otra a 60° y, por último, una a 120°. Con este arreglo de roseta las deformaciones en los ejes son las siguientes:

Una galga extensiométrica es un sensor basado en el efecto piezorresistivo. Un esfuerzo que deforma a la galga producirá una variación en su resistencia eléctrica. Los materiales que suelen utilizarse para fabricar galgas son aleaciones metálicas, como por ejemplo constantán, nicrón o elementos semiconductores como por ejemplo el silicio y el germanio. Es por ello que podemos clasificar las galgas en dos tipos: las metálicas y las semiconductoras.

Las principales aleaciones que usan las galgas metálicas son:  

cobre y hierro Constantán

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

25

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

 

Nicrom o Karma Aleación de platino

Algunos de los materiales usados en el soporte de las galgas metálicas pueden ser   

Poliamida Epoxy Fibra de vidrio reforzada con epoxy

Los elementos más abundantes para fabricar estas galgas son  Silicio  Germanio

Para tratar la variación de voltaje se utilizará un puente de Wheatstone. Éste está formado por cuatro resistencias unidas en un círculo cerrado, siendo una de ellas la resistencia bajo medida. De esta manera podremos medir resistencias desconocidas mediante el equilibrio de los brazos del puente.

 Fijar las galgas a la superficie a ser analizada.  Medir el ángulo entre galga.  Deformar el material.  Determinar la deformación en cada galga.  Trazar las deformaciones a; b; c en un sistema de ejes

x ; y mediante líneas verticales.

 Ubicar un punto arbitrario (D) en

la línea vertical de la deformación b.  Desde el punto D trazar una recta con una abertura de α° y ° a ambos lados de la línea vertical.  Trazar rectas normales a los segmentos de recta DA y DC en su punto medio.  Los segmentos de recta trazados en el paso anterior al cruzarse en algún lugar determinan un punto (O) que nos sirve de centro para trazar una circunferencia. 

 

Trazar una ci r cunferenci a haci e ndo centro en “O” y hacerl o pasar por l o s puntos A; C y D Trazar una recta horizontal X’ paralela al eje X que pase por el punto O

La intersección de la circunferencia con el eje X’ nos permite  por esta recta y el eje X’

determinar la magnitud de

las deformaciones principales e1 y e2.  Unir el punto A con el punto O, y el ángulo formado ( θ determina el ángulo de la deformación e 1 con respecto al eje X.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

26

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES La relación fundamental uniaxial entre las componentes de una tensión y la deformación uniaxial originada en el rango elástico, se establecen por el Módulo de Hooke:

 

Donde E es el módulo de elasticidad. Una fuerza de tracción en la dirección x , al mismo tiempo que produce una deformación lineal a lo largo del eje x  origina contracción en las direcciones  y  y z . La relación entre la deformación en la dirección transversal y la deformación en la dirección longitudinal a lo largo del eje x  se conoce como relación de  Poisson (v ).

     

La relación de Poisson es de 0,25 para un material elástico perfectamente isótropo, pero para la mayoría de los metales es 0,33 aproximadamente. En general la Ley de Hooke dice que, en todo cuerpo sometido a un sistema de tensiones, la deformación a lo largo de cualquier eje se debe a la tensión que actúa a lo largo de dicho eje más la deformación superpuesta resultante del efecto de Poisson producido por las tensiones que actúan a lo largo de los otros dos ejes.

   [ ( )]    [  ]

   [ ( )]

En el caso que los ejes sean principales:

            METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

      27

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Para un estado de tensiones biaxial principal plana 3=0 y las ecuaciones anteriores se reducen a:

    

    

    

Recuerde que cuando la tensión principal en el tercer eje es cero la deformación en dicho eje no es cero a menos que 1=-2. En el caso de deformación plana e 3=0 y las relaciones entre las deformaciones y las tensiones son:

          Las tensiones en términos de la deformación unitaria, son:

    ( )     ( ) En el caso de las deformaciones y deformaciones angulares (cortantes) se relacionan mediante las relaciones:

 

 

 

Donde la constante de proporcionalidad G, es el módulo de elasticidad en cizallamiento o de rigidez.

  

Otras relaciones entre la tensión y la deformación producida son:

         El primer término de la ecuación anterior es la deformación volumétrica  ecuación se puede reescribir así:

∆  

∆ La

Donde m es la media de las tres tensiones principales y es igual a la presión hidrostática. Esto se puede expresar como:

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

28

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

   ∆   Donde k es el módulo volumétrico de elasticidad.

En ingeniería mecánica es frecuente plantear problemas elásticos para decidir la adecuación de un diseño. En ciertas situaciones de interés práctico no es necesario resolver el problema elástico completo sino que basta con plantear un modelo simplificado y aplicar los métodos de la resistencia de materiales para calcular aproximadamente tensiones y desplazamientos. Cuando la geometría involucrada en el diseño mecánico es compleja la resistencia de materiales suele ser insuficiente y la resolución exacta del problema elástico inabordable desde el punto de vista práctico. En esos casos se usan habitualmente métodos numéricos como el Método de los elementos finitos para resolver el problema elástico de manera aproximada. Un buen diseño normalmente incorpora unos requisitos de:   

resistencia adecuada, rigidez adecuada, estabilidad global y elástica.

En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar un tensor deformación no-lineal y no-infinitesimal, como en la teoría lineal de la elasticidad donde se usaba el tensor deformación lineal infinitesimal de Green-Lagrange. Eso complica mucho las ecuaciones de compatibilidad. Además matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de no-linealidad geométrica (pandeo, abolladura, snap-through ,...). Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos obligados a substituir las ecuaciones de Lamé-Hooke por otro tipo de ecuaciones constitutivas capaces de dar cuenta de la no-linealidad material.

Una deformación elástica finita implica un cambio de forma de un cuerpo, debido a la condición de reversibilidad ese cambio de forma viene representado por un difeomorfismo. Formalmente si K´R3 representa la forma del cuerpo antes de deformarse y K´R3 la forma del cuerpo después de deformarse, la deformación viene dada por un difeomordismo: METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

29

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

El tensor deformación puede definirse a partir del gradiente de deformación no es otra cosa que la matriz jacobiana de la transformación anterior:

que

Existen diversas representaciones alternativas según se escojan las coordenadas materiales iniciales sobre el cuerpo sin deformar ( X, Y, Z ) o las coordenadas sobre el cuerpo deformado (x, y, z ):

El primero de los dos tensores deformación recibe el nombre de tensor de deformación de Green-Lagrange, mientras que el segundo de ellos es el tensor deformación de Almansi. Además de estos tensores en las ecuaciones constitutivas, por simplicidad de cálculo, se usan los tensores de Cauchy-Green derecho e izquierdo:

Existen muchos modelos de materiales elásticos no lineales diferentes. Entre ellos destaca la familia de materiales hiperelásticos, en los que la ecuación constitutiva puede derivarse de un potencial elástico W  que representa la energía potencial elástica. Este potencial elástico comúnmente es una función de los invariantes algebraicos del tensor deformación de Cauchy-Green:

En este tipo de materiales el tensor tensión de Cauchy viene dado en función del potencial elástico y el tensor espacial de Almansi mediante la expresión:

Dónde:

Un material elástico lineal es un caso particular de lo anterior donde: METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

30

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

CONCENTRACIÓN DE TENSIONES La concentración de tensiones es la discontinuidad en la distribución de tensiones que se produce en la sección transversal de una pieza en la que tiene lugar alguna discontinuidad geométrica o de la carga aplicada, tal como un hueco, un cambio de sección, una carga concentrada, etc. También debemos tener en cuenta que la concentración de tensiones no solo se da a nivel macro si no también a nivel microscópico, es decir la presencia de sopladuras, escoria retenida, partículas de material refractario, imperfecciones cristalinas, etc. También originan concentración de tensiones. En la figura se muestra un ejemplo, calculado con elementos finitos, en una platina empotrada en un extremo y sometida a tracción, observándose la concentración de tensiones en las proximidades de un hueco taladrado en la misma. En los puntos de la sección cercanos a la discontinuidad los modelos simplificados de Resistencia de Materiales no son válidos para el cálculo exacto del valor real de la tensión en dicho punto. La tensión máxima real en las proximidades del concentrador se puede calcular como el producto de la teórica, calculada con el modelo simplificado, multiplicada por un cierto factor, denominado factor teórico de concentración de tensiones (K t)  , denominado teórico por el hecho de que sólo depende de la configuración geométrica y no del material. El factor concentrador de tensiones , es muy usado ya que relaciona la tensión máxima con la tensión nominal. La tensión nominal es la que debería haber en un punto de una sección si las tensiones se distribuyeran uniformemente sobre esa sección. La tensión  máxima es la que ocurre localmente en algún lugar de la sección debido a la concentración de las tensiones.

 ó

En condiciones simples, las tensiones se distribuyen de manera uniforme en el dominio de un objeto estructural, salvo en los contornos. Ejemplo, una placa en tensión plana con fuerzas uniformes tiene un campo tensional casi constante. Pero en muchos casos hay fuentes que introducen concentración de tensiones en algunas regiones del dominio. Estas fuentes o causas se conocen como " stress raisers " y es necesario identificar como actúan esas tensiones elevadas para tomarlas en cuenta METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

31

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

adecuadamente en diseño o en verificación. Ejemplo: Si en la placa con tensión uniforme se introduce unas ranuras en la mitad, (a) por una parte la sección de pasaje de fuerzas es menor, y aumentara el promedio de las tensiones; (b) pero además hay un efecto de redistribución en la propia sección reducida, que hace que las tensiones se eleven cerca de la ranura y disminuyan lejos de ella sobre la misma sección transversal. ¿Por qué es importante las concentraciones de tensiones? Porque las tensiones mismas pueden producir plasticidad del material. Por qué pueden llevar a rotura frágil del material? Porqué si hay cargas repetidas, pueden acelerar el proceso de fatiga.

•• ¿ •

La aplicación del principio de Saint Venant  tiende a ocultar el problema de concentración de tensiones. Consideremos una fuerza aplicada en un punto sobre el contorno de un estado plano de tensiones. Localmente se genera una distribución triangular de tensiones con un máximo, y fuerza de esa región hay una distribución uniforme de tensiones. De acuerdo al principio de Saint Venant, debería tener una influencia solo local, y el objeto estructural solo debería sentir la influencia en una zona cercana a la fuente de la concentración. Podría sustituirse una fuente de concentración de esfuerzos por un sistema estáticamente equivalente. Pero muchas estructuras se rompen debido a ese efecto local, y no puede quitárselo de en medio mediante una sustitución. Interesan principalmente tres aspectos relacionados con la distribución de tensiones:

•

El valor de la tensión máxima  que se alcanza en la zona de concentración. El factor de concentración de tensiones mide este aspecto y a menudo es el único aspecto que se tiene en cuenta en las normas o códigos. < La tensión puede ser un valor alto pero finito. < Hay problemas en los que la tensión en algún punto sube tendiendo a infinito.

• •

La zona de concentración de esfuerzos . < En algunos problemas la zona abarca un área que tiende a cero, de manera que las tensiones tienden a infinito localmente. Eso produce una singularidad. < En otros problemas la zona de concentración es bastante extendida, y puede producir redistribuciones importantes que comprometen el equilibrio. El  gradiente de tensiones  que se produce. El gradiente es la tasa de incremento de la tensión a medida que nos acercamos al origen de la concentración de tensiones. Una fuente de concentración de tensiones produce redistribución de tensiones con respecto a la distribución que existiría si no estuviera esa fuente. < Puede haber un gradiente suave de tensiones altas, típico de problemas que se extienden sobre zonas grandes. < En otros problemas el gradiente es muy alto, típico de problemas que tienen singularidades.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

32

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Los orígenes de concentración de tensiones más frecuentes son:

• • • •

Existencia de objetos diferenciados dentro de un medio continuo.  Agujeros en un medio continuo. Ejemplos: agujeros para pasar tornillos o bulones (macromecánica), porosidades en un medio (micromecánica).  Inclusiones, formadas por otro material que se encuentra en un medio continuo. Ejemplos: partículas de metal en un plástico.  Fisuras. Tanto microfisuras como macrofisuras. 

Cambios abruptos en la geometría de un objeto estructural. Ranuras en un estado plano. Cambios en el espesor de una placa, conservando la superficie media. Cambios en el espesor de una placa, sin conservar la superficie media. Discontinuidades en la tangente a la superficie media. Discontinuidades en la curvatura de la superficie media. Localización de fuerzas sobre el contorno de un objeto estructural.  Fuerzas aplicadas localmente sobre el contorno. Ejemplo:fuerzas concentradas.  Contacto entre objetos estructurales. Efectos de origen mecánico.  Tensiones debidas a soldaduras.

Los métodos de análisis de concentración de tensiones más frecuentes son:

•

Métodos experimentales. Originalmente era la única evidencia que se disponía. En general resultan costosos y hay que construir modelos especiales para cada caso. Métodos globales: (a) Fotoelasticidad. (b) Franjas de Moire. Métodos locales: Strain gauges.

• • •

Métodos analíticos. Métodos computacionales. Hay que refinar mallas, cuidado con los errores. Elementos finitos. Diferencias finitas. Métodos gráficos. Sirven para algunas situaciones determinadas que se encuentran en problemas prácticos de la ingeniería. Se

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

33

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

introducen en códigos. Su origen es cualquiera de los otros métodos.  Tablas.  Ábacos, nomogramas. Ejemplo: Nomograma de Neuber para factores de intensidad de tensión. Es conveniente usar combinación de métodos para predecir concentración de tensiones, especialmente cuando no hay experiencia con una determinada fuente de concentración.

Distribución y concentración de tensiones evidenciado por foto elasticidad  

Para la obtención de los factores de concentración de tensiones usualmente se recurría a ensayos de foto-elasticidad (Figura anterior) o termo-elasticidad radiométrica los cuales son métodos costosos en términos generales. Sin embargo hoy en día con el avance computacional es mucho más fácil obtener los factores concentradores de tensión mediante el empleo de plataformas de cálculo por elementos finitos bidimensionales y/o tridimensionales, con las cuales se puede hallar en forma precisa el valor de las tensiones en los puntos de interés. Aun así en casos de importancia superlativa, por el riesgo que implica la mala predicción de los estados de tensiones, se suelen efectuar modelos computacionales de elementos finitos y correlacionarlos con modelos de foto elasticidad a escala o de tamaño real tal como se puede ver en el ejemplo de un tren de aterrizaje en la Figura. Normalmente los factores de concentración de tensiones se condensan en gráficos o ábacos o programas de cálculo para una configuración de solicitación determinada, un elemento estructural determinado para varias configuraciones de parámetros geométricos, como por ejemplo relaciones de alturas de vigas a radios de acuerdo a las muescas, agujeros, chaveteros, etc. En las siguientes Figuras se muestran las gráficas de factores de concentración de tensiones para diferentes configuraciones geométricas y de carga. Nótese que las curvas se grafican en función de la razón del radio de acuerdo (o agujero) a una longitud característica (diámetro menor o altura menor, etc.). En las Figuras a su vez se indican las formulas particulares de cada caso para calcular la tensión máxima en función de la denominada tensión nominal.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

34

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Concentración de tensiones para plancha traccionada con radio de pase

Concentración de tensiones para plancha flexionada con radio de pase

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

35

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Concentración de tensiones para plancha traccionada con muesca

Concentración de tensiones para plancha flexionada con muesca METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

36

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Concentración de tensiones para eje traccionado con radio de pase

Concentración de tensiones para eje flexionado con radio de pase

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

37

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Concentración de tensiones para eje torsionado con radio de pase

Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a tracción METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

38

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a flexión

Concentración de tensiones para eje con muesca sometido a torsión

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

39

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Concentración de tensiones para plancha con agujero sometida a tracción

Concentración de tensiones para plancha con agujero sometida a flexión. METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

40

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

En la expresión

á 

, el factor KC cambia de significado cuando cambia el

tipo de tensión que magnifica. Esto quiere decir que en los casos de las figuras donde la tensión es de torsión KC significa un factor de concentración de tensiones de corte o tangenciales, en cambio para los restantes casos se trata de un factor de concentración de tensiones normales. La importancia en el uso de los diagramas mostrados en las figuras radica en que son indispensables cuando se usa una metodología de cálculo basada en modelos de resistencia de materiales. En caso de contar con un software computacional de análisis por elementos finitos u otro semejante, las gráficas mencionadas dejan de prestar utilidad.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

41

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

INTRODUCCION Entiéndase que deformación es el cambio en el tamaño o forma de un cuerpo debido a la aplicación de una o más fuerzas sobre el mismo o la ocurrencia de dilatación térmica. En este capítulo tratamos del comportamiento de los materiales en la zona de deformación permanente, donde la Ley de Hooke no se cumple. A la fecha el desarrollo matemático de la deformación plástica no se a desarrollado tanto como la matemática de la zona elástica. Una de diferencias más notorias entre estas zonas es que en la zona elástica, la deformación solo depende de los estados de tensión inicial y final, pero la deformación plástica depende de todos los valores que se dan entre la tensión inicial y final. La deformación plástica está relacionada con diferentes problemas que se presentan en los materiales cuando están en uso. Por ejemplo, poder predecir la carga máxima que se puede aplicar al elemento estructural sin causar una deformación excesiva. Muchas veces el material está sometido intencionalmente a pequeñas deformaciones permanentes, es decir el proyectista debe predecir las cargas ligeramente superiores al límite elástico del material que está utilizando. En la deformación plástica, también se debe tener en cuenta la influencia de las variables metalúrgicas en las propiedades plásticas de los materiales y su efecto en los diferentes procesos de conformado por deformación plástica, como laminación, forja, trefilado, etc. La teoría de la plasticidad nos ayuda a comprender el mecanismo de fractura que sufren los materiales debido a las tensiones que las originan. METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

42

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Por estas y otras razones, es importante para el Ingeniero Metalurgista comprender la deformación plástica que nos permitirá: - Determinar en forma directa los diferentes estados y final durante la deformación plástica. - Modelar deformaciones no recuperables. - Modelar cambios de comportamiento - Predecir el tipo de material, si es frágil o dúctil. CURVAS DE FLUENCIA Para un mejor entendimiento de la plasticidad se necesita conocer o recordar algunas hipótesis: 



 

El material es isotrópico. Los metales son anisotrópicos, la anisotropía se produce por naturaleza en el rango plástico. Si consideramos un agregado policristalino en el cual los granos están orientados al azar y además son equiaxiales en su forma, se puede asumir que este material macroscópicamente es isotrópico. Las deformaciones son independientes del tiempo. Por lo tanto, el porcentaje de deformación no tiene ningún efecto en el estado final de deformación. En algunos casos como en el creep o viscoplasticidad, no es posible asumir esto. Los materiales cumplen con la Ley de Hooke solo hasta el límite elástico. Se asumen curvas simplificadas de tensión-deformación (modelos rehológicos).

a) Perfectamente plástico, cuando se asume que la deformación elástica es cero hasta el límite de fluencia y luego el material es perfectamente plástico. Este comportamiento es típico de los metales rígidos, en los cuales el endurecimiento por deformación es nulo a una tensión de fluencia constante. Este comportamiento se aproxima al de un metal dúctil fuertemente deformado en frio. b) Elastoplástico ideal, Se produce cuando un metal o aleación se comporta elásticamente hasta el límite elástico, luego su comportamiento es perfectamente plástico. Es decir durante la deformación plástica no sufre endurecimiento. A este comportamiento se aproxima un material, como el acero al carbono, el cual posee un alargamiento grande hasta el límite elástico aparente, para luego sufrir fluencia plástica permanente. METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

43

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

c) Elastoplástico ideal con endurecimiento ideal, Estos materiales se comportan elásticamente hasta el límite de fluencia, luego endurece proporcionalmente a la deformación. d) Plástico endurecible, Los materiales que se ajustan a este modelo presentan durante su deformación dos zonas: 1) Una zona de deformación elástica donde se cumple la Ley de Hooke:   2) La otra zona comprende por encima del límite de fluencia hasta la rotura y responde a la relación:   . En estas ecuaciones E y H son constantes propias de cada material que se conocen como modulo elástico y modulo plástico respectivamente.





e) Elástico ideal, El material se comporta elásticamente durante toda su deformación y cumple con la Ley de Hooke. Los elastómeros son materiales que se aproximan a este comportamiento. En deformación plástica se asume que el volumen es constante, lo cual no puede asumirse en el caso de la deformación elástica, en consecuencia volumen constante seria: 1 + 2 + 3 = 0 Estas curvas también se denominan curva real de tensión-deformación ya que grafican la tensión necesaria para que el metal fluya plásticamente en cualquier dirección. Los investigadores de la plasticidad han realizado muchos intentos para aplicar ecuaciones matemáticas simples a estas curvas, siendo una de ellas la siguiente: =K.n. Donde K es la tensión para =1,0 y n es el coeficiente de endurecimiento por deformación. Esta ecuación solo es válida desde que se inicia la fluencia plástica hasta alcanzar la carga máxima a partir de la cual se inicia la estricción localizada. Además, de los modelos rehológicos veamos algunos conceptos: DEFORMACIÓN ELÁSTICA RECUPERABLE Se conoce con este nombre a la ligera recuperación en sus dimensiones que experimenta un metal cuando ha sido deformado plásticamente luego de suspender la carga externa deformante. En la figura se muestra que la deformación se recuperó de 1 a 2 en la proporción .

 

COMPORTAMIENTO ANELÁSTICO Sin embargo no toda la deformación residual es deformación plástica permanente. Dependiendo del material y de la temperatura, parte de la deformación plástica permanente puede desaparecer con el tiempo ( 2 a 3). Esto se muestra en la figura. Por lo METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

44

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

general la deformación anelástica es despreciada por las teorías matemáticas de plasticidad.

HISTÉRESIS La histéresis es la tendencia de un material a conservar una de sus propiedades, en ausencia del estímulo que la ha generado. Podemos encontrar diferentes manifestaciones de este fenómeno. En los metales que están sometidos a cargas deformantes, resulta de aplicar y retirar la fuerza deformante en la zona de deformación plástica. Cuando los metales y las aleaciones estructurales se someten a tensiones superiores a sus límites elásticos, estos límites se elevan y disminuye la ductilidad. Este proceso se ilustra esquemáticamente en la figura. La línea continua (1) representa una curva ordinaria de tensióndeformación, correspondiente a un material metálico ficticio. Si se elimina la carga de una muestra en tensión de este material, sujeto a la tensión Y 1, la deformación ejercida en la barra se relajará hasta X 1. Aplicando de nuevo la carga a la misma muestra, se tendrá una nueva curva de tensión-deformación, indicada por la línea punteada (2), que encuentra a (1), la línea continua, a una tensión Y 1. Al quitar la carga en Y 2, se permite la relajación de la deformación a X2. Si se vuelve a aplicar la carga, se genera por tercera vez una curva de tensión-deformación, que principia en X2 y se une con (1), a la tensión Y 2. En los dos ciclos de carga, puede observarse que el límite elástico se ha aumentado para cada uno de ellos, es decir, de Yo a Y1 y de Y1 a Y2. El primer ciclo consumió también una ductilidad equivalente a la deformación OX 1 y el segundo otra equivalente a X 1X2. El aumento en el límite elástico se conoce como endurecimiento de trabajo . El consumo de ductilidad está siempre relacionado con el endurecimiento de trabajo. Este endurecimiento sigue aumentando hasta el punto de ruptura; pero las gráficas ordinarias de tensión y deformación de materiales dúctiles no presentan esta tendencia, sobre todo por encima de la carga máxima. Dicho inconveniente proviene del hecho de que, en las determinaciones ordinarias de tensión y deformación, la tensión (llamada a veces tensión aparente o ingenieril) se calcula dividiendo la carga entre el área de la sección transversal inicial Ao. La tensión real  se puede encontrar dividiendo la carga entre la sección transversal real que existe en el momento en que se mide la carga, es decir. σ" = F/Areal DEFORMACIÓN REAL METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

45

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

La deformación real se define como dL/L, donde dL es el cambio incremental de longitud y L la longitud real en el momento en que se determina la variación. La deformación ingenieril (o aparente) se determina con un criterio análogo al utilizado para calcular la tensión ingenieril. Como en la deformación plástica las deformaciones son grandes, y durante el alargamiento, la distancia entre puntos varía considerablemente. Ludwik propone la definición de deformación real o natural  , que evita esta dificultad. En esta definición de deformación la variación de longitud está referida a la distancia entre puntos instantáneos, en vez de la distancia entre puntos inicial.

    ∫    Puesto que la densidad y, por tanto, el volumen del material no cambia por la  acción de la deformación:

 

La relación entre la deformación real y la deformación lineal convencional se da en la ecuación: De donde:

 

 ∆     

  

La relación entre la curva de tensión- deformación ingenieril es (S, e ) y la curva de tensión- deformación reales (σ   , Є ) y se ilustra en forma esquemática en la figura. La diferencia entre la deformación real y la ingenieril puede apreciarse claramente después de una deformación de aproximadamente el diez por ciento. Una deformación real del 70 por ciento es casi equivalente al 100 por ciento de la deformación ingenieril. Se pueden producir desviaciones de la relación tensión real - deformación real, cuando los datos se obtienen de una muestra ordinaria de tracción, más allá del punto en el que se aprecia la formación de un cuello. Estas desviaciones resultan del hecho de que los cambios en la longitud y el área de la sección transversal no son uniformes a todo lo largo de la muestra y, en consecuencia, las tensiones reales y las deformaciones reales tampoco son uniformes. Es más, una vez que la muestra comienza a adelgazarse y adquirir forma de cuello, las tensiones ya no pueden tratarse como si fueran tensiones axiales. Las constricciones en la región adelgazada producen un patrón de tensiones mucho más METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

46

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

complicadas que el de tracción, y la tensión real que existe incluso es mayor que el calculado. El metal se hace más fuerte, hasta el punto de ruptura, según la siguiente ecuación:

logloglog

ó



TEORIAS DE LA PLASTICIDAD Las teorías de la plasticidad no son de uso común en el estudio de la plasticidad debido a la complejidad del proceso de conformado que es irreversible y a la difícil descripción matemática para cada instante del proceso. En el campo de la plasticidad uno de los aspectos más importante es poder predecir las condicione en que comienza la deformación plástica cuando un material está sometido a un estado complejo de tensiones. En situaciones en la que la fuerza deformante es uniaxial, la fluencia plástica comienza en el límite elástico, y en una situación de tensiones combinadas, la fluencia puede estar relacionada con cierta combinación de tensiones principales. En general, se puede expresar un cierto criterio de fluencia en la forma general . Hasta ahora no se tiene un método teórico para calcular la relación entre las componentes de las tensiones que correlacionan la fluencia en un estado de tensión en tres dimensiones y la fluencia en un ensayo de tracción uniaxial. De lo visto anteriormente, se puede deducir que los criterios de fluencia son relaciones esencialmente empíricas.

,,,,

En general, para materiales reales; las deformaciones son por lo menos en parte permanentes; en muchos casos existe acoplamiento entre las componente esférica y desviadora; y las tensiones no pueden aumentar de manera indefinida sin que el material llegue a un estado límite de agotamiento y se produzca la rotura u otros cambios de comportamiento. Por esto, resulta de gran importancia el estudio de la plasticidad y poder encontrar relaciones matemáticas que nos permitan:  Determinar de forma directa los estados últimos y de rotura.  Modelas deformaciones no recuperables.  Modelar cambios de comportamiento.  Modelar con rigor, materiales frágiles o reblandecibles. Cuando un material dúctil es deformado más allá de su límite elástico, se produce una deformación plástica permanente. Generalmente, se considera entonces que el tenor de tensiones puede expresarse como un asuma de la componente elástica del tensor. Deformación elástica y plástica.

 á á

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

47

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

 , Tiene su origen en aplicaciones en las que la

deformación plástica indica una falla. Sin embargo, en los procesos de deformaciónconformación, obviamente este no es el caso y el flujo plástico es lo que se desea. El a únicamente a materiales que están en condición de recocido. Se sabe que cuando un material es previamente deformado, por ejemplo, laminado, trefilado, su límite elástico se incrementa debido al endurecimiento por

término “criterio de Cedencia” se aplic deformación El término “esfuerzo de flujo” se generalmente se usa para el flujo plástico de un material previamente deformado. Por esto el criterio de flujo es el más adecuado.

En general, un criterio de flujo es válido para cualquier estado de tensiones. En un estado de tensión uniaxial, el flujo plástico ocurre, cuando la curva tensión-deformación se desvía de su rango lineal inicial. Las curvas tensión-deformación uniaxial es sumamente fácil de obtener experimentalmente y la respuesta a la deformación de los metales es conocida para esta situación. La función principal del criterio de flujo es predecir para un material el inicio de la deformación plástica en un estado complejo de tensiones conociendo la tensión de flujo bajo tensión uniaxial. Debe notarse que este valor dependiente del estado de tensiones, y si este efecto no se considera, se puede tener efectos peligrosos en el diseño. Veamos algunas de las teorías más importantes de la plasticidad: 

Criterio de la Tensión Normal Máxima  (Rankine), De acuerdo con este criterio, el flujo

plástico ocurre cuando en un estado complejo de tensiones, la mayor de las tensiones principales alcanza el valor de la tensión de flujo en un estado uniaxial en tracción. Así, para

  

ó ó

La principal debilidad de este criterio es que predice el flujo plástico de un material bajo un estado de tensiones hidrostático. 

Criterio de la Tensión Cizallante Máxima , Llamada a veces criterio de fluencia de

Tresca, Coulomb, o Guest establece que la fluencia aparece cuando la máxima tensión Cizallante alcanza un valor crítico igual a la tensión cortante de fluencia en un ensayo de tracción uniaxial, es un criterio de resistencia estática, aplicado a materiales dúctiles. Este se determina por:

á    

Donde 1 es la tensión principal algebraicamente mayor y 3 la algebraicamente menor. En tracción uniaxial 1=0, 2=3=0 donde 0 es el límite elástico en tracción METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

48

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

simple. Entonces el límite elástico Cizallante en tracción simple 0 es igual a un medio del límite elástico en tracción:

 

Sustituyendo este valor en la ecuación de máx., tenemos:

á            

Que a veces se expresa como:

 

Donde y son los desviadores de las tensiones principales y k el límite elástico en cizallamiento puro, esto es, la tensión a partir de la cual tiene lugar la fluencia en torsión, donde 

 

Teoría de la máxima energía de distorsión (Criterio de Von Mises) , Este criterio puede

considerarse un refinamiento del criterio de Tresca. El criterio de la máxima energía de distorsión fue formulado primeramente por Maxwell en 1865 y más tarde también mencionado por Hube (1904). Sin embargo, fue con el trabajo de Richard von Mises (1913) que el criterio alcanzó notoriedad, a veces se conoce a esta teoría de fallo elástico basada en la tensión de Von Mises como teoría de Maxwell-Huber-Hencky-von Mises. De acuerdo con este criterio una pieza no resistente o un elemento estructural falla cuando en alguno de sus puntos la energía de distorsión por unidad de volumen rebasa un cierto umbral:

ó  

En términos de tensiones este criterio puede escribirse sencillamente en términos de la llamada tensión de von Mises como:

Dónde:

  √          

, son las tensiones principales en el punto considerado.

De acuerdo con este criterio, se producirá fluencia cuando las diferencias entre las tensiones principales, expresadas por el segundo término de la ecuación, superan el límite elástico en tracción uniaxial .



Se han realizado varios intentos para proporcionar un significado físico al criterio de Von Mises. Un concepto aceptado, es que este criterio expresa la energía de distorsión. Basándose en este concepto, la fluencia tendrá lugar cuando la energía de METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

49

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

distorsión por unidad de volumen supere la energía de distorsión por unidad de volumen almacenada en la probeta deformada hasta el límite elástico en tracción o en compresión uniaxial. La energía de deformación elástica total por unidad de volumen se puede dividir en dos componentes: - la energía de distorsión o de cambio de forma, , y - la energía de variación de volumen . En la figura se muestra la resolución de la energía total en sus componentes. Esta figurea ilustra el concepto que un estado general de tensiones en tres dimensiones se puede expresar en función de un componente de tensión esférica o hidrostática y un desviador de tensiones . Los experimentos han demostrado que hasta valores grandes de la energía hidrostática un estado de tensión hidrostático no produce ningún efecto en la fluencia. Esto nos permite decir que solo el desviador de tensiones puede producir distorsión. Por lo tanto la energía de distorsión estará basada en el desviador de tensiones. Este solo considera la energía asociada con el cambio de forma de la probeta y desprecia la energía asociada con los cambios de volumen.



 



La energía de distorsión se determina calculando, primero, la energía de variación de volumen y restando después este término de la energía total. Por lo tanto, la energía por unidad de volumen, asociado con la variación de volumen, será:

             Considerando el componente desviador de la deformación, y haciendo componente hidrostático de la tensión, o tensión media, tenemos:

Pero:

∆ 



igual al

        ∆ , entonces la ecuación anterior, será

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

    50

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

La energía de deformación total, se puede determinar por:

                       En un estado de tensión uniaxial (1=0, 2=3=0):

       El criterio de fluencia en la teoría de la energía de la distorsión se expresa por:

ó

                                  √         

Para un estado de cizallamiento puro, la energía de distorsión, esta dado por:

       Si en cualquier tipo de sistema de tensiones comienza la fluencia cuando la energía de difusión alcanza un valor crítico, se puede obtener la relación entre éste valor crítico, en tensión uniaxial, y cizallamiento puro:

  √   ,

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

51

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

FLUENCIA PLÁSTICA EN DOS DIMENSIONES (PLANA) En los casos de deformación que son complicados y el proceso de conformación lo permite es frecuente realizar un análisis bidimensional de la deformación y las fuerzas deformantes requeridas para generar la deformación tridimensional, como es el caso de la laminación y la embutición, donde podemos considera que todos los desplazamientos se limitan al plano xy , de forma que, en el análisis, se pueden despreciar las deformaciones en la dirección z . Esto es deformación plana. Si bien es cierto que los materiales plásticos tienden a deformarse en todas direcciones, para tener un estado de deformación plana es necesario impedir el flujo del material en una dirección. Esto se consigue mediante limitantes laterales, como la pared de una matriz, ver figura a. También se considera en este estado de fluencia plana cuando se deforma plásticamente solo una parte del material rígido, ver figura b. TEORÍA DE LOS CAMPOS DE DESLIZAMIENTO Consideremos un elemento infinitesimal de volumen en deformación plana dentro de una zona plástica de un cuerpo, como se muestra en la figura anterior. El estado de tensiones bidimensional de este elemento con respecto a coordenadas cartesianas arbitrarias, se representa en la figura 1. Es posible determinar los planos principales de forma tal que las tensiones cizallantes desaparezcan, ver figura 2. Las tensiones principales son simplemente funciones de la componente esférica de la tensión ´´ y de la tensión cizallante k . Esta constante se mantiene invariante en toda la zona plástica si despreciamos el endurecimiento por deformación, pero ´´ varía de un punto a otro. L tensión cizallante máxima se representa en planos a 45° con respecto a la dirección de las tensiones principales. De este modo la tensión cizallante crítica, y k , se alcanza primero en estos planos. Este estado de tensiones se muestra en la figura 3, en la que se aprecia que la tensión cizallante máxima se presenta en dos direcciones ortogonales designadas por α y β. A estas líneas se denominan líneas de deslizamiento . Las líneas de deslizamiento tienen la propiedad de que la deformación cizallante máxima y la deformación lineal tangente a su dirección es cero. Sin embargo, se debe tener presente el hecho de que las líneas de deslizamiento a que nos acabamos de referir son las líneas o bandas de deslizamiento observadas con el microscopio sobre la superficie de los metales deformados plásticamente.

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

52

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

Si comparamos el estado de tensiones 1 y 3 de la figura anterior, se observa que las tensiones principales tienen una dirección de 45° con respecto a las líneas de deslizamiento. Se pueden determinar por los valores de las tensiones principales si se conoce ´´, porque se tiene:

       

El material deformado que presenta ´´ uniforme en toda la zona, las líneas de deslizamiento son rectas. Pero si las líneas de deslizamiento se curvan en un ángulo , se cumplen las relaciones:

        í          í 

Debido a que no puede haber ninguna fuerza tangencial resultante en una superficie libre, sus líneas de deslizamiento deberán formar un ángulo de 45° con la superficie. Además, en las superficies no existen tensiones normales resultantes, por lo tanto, 1=0, pero sabemos que ´´=-k , entonces 2=-2k  y observamos que la tensión principal transversal es de compresión con un valor de 2k .

METALURGIA MECÁNICA Y FRACTOGRAFIA

53