Metalurgia Mecánica

METALURGIA MECANICA Resistencia de los materiales en metalurgia Durand Porras, Juan Carlos [Docente Asesor] Lenin Gutiérrez Díaz Gonzalo Urrutia Urrutia /2015

Resumen

La metalurgia mecánica es la reunión de muchas disciplinas y muchas formas de aproximación al problema de explicar la respuesta de los materiales a las fuerzas. Una de las formas de acercarse al mismo es utilizar la teoría de resistencia de los materiales y de la elasticidad y plasticidad, en las que el metal se considera como un material homogéneo. En el presente trabajo damos a entender los diversos temas de resistencia de los materiales aplicados al área de metalurgia mecánica. Para ello nos valemos de conceptos y definiciones como tensión, deformación, elasticidad y la relación entre estos.

1

INTRODUCCIÓN

La metalurgia mecánica es la rama de la metalurgia que se ocupa principalmente de la respuesta de los metales frente a las fuerzas o cargas. Las fuerzas pueden resultar del empleo del material como miembro o pieza de una estructura o máquina, en cuyos casos es necesario saber algo respecto a los valores limites que aquel puede resistir sin fallar. La metalurgia mecánica es la reunión de muchas disciplinas y muchas formas de aproximación al problema de explicar la respuesta de los materiales a las fuerzas. Una de las formas de acercarse al mismo es utilizar la teoría de resistencia de los materiales y de la elasticidad y plasticidad, en las que el metal se considera como un material homogéneo cuyo comportamiento puede describirse con solo unas pocas constantes del material. La teoría de la resistencia de los materiales, de la elasticidad y de la plasticidad pierde mucha de su potencialidad cuando adquiere importancia la estructura del metal y no se puede seguir considerándolo como un medio homogéneo. Encontramos ejemplos de esto en el comportamiento a elevada temperatura de los metales, donde la estructura metalúrgica puede cambiar continuamente con el tiempo, y en la transición dúctil a frágil que ocurren en los aceros de carbono. La determinación de las relaciones existentes entre el comportamiento mecánico y la estructura que se observa con el microscopio y con las técnicas de rayos x es la responsabilidad principal del metalurgista mecánico. En el presente trabajo damos a entender las definiciones y conceptos de los diversos temas relacionados a resistencia de los materiales como tensión, deformación, etc. Aplicados en metalurgia mecánica. Desarrollar las relaciones entre tensión y deformación basándonos en la ley de Hooke.

2

DESARROLLO 1.) Resistencia de materiales. Hipótesis básicas.

La resistencia de materiales es el cuerpo de doctrina concerniente a las relaciones entre fuerzas internas, deformación y cargas externas. En el método general de análisis empleado en resistencia de materiales se parte, como primera etapa, de la suposición de que el miembro está en equilibrio. Se aplican las ecuaciones del equilibrio estático a las fuerzas que actúan en alguna parte del cuerpo para encontrar relaciones entre las fuerzas externas ejercidas sobre el miembro y las fuerzas internas que resisten a las cargas internas. Como las ecuaciones de equilibrio deben expresarse en términos de fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es necesario transformar las fuerzas internas resistentes en fuerzas externas. Esto se logra haciendo pasar un plano a través del cuerpo por el punto que interesa. Se elimina la parte del cuerpo que queda a uno de los lados de este plano secante y se sustituye por las fuerzas que ejercía sobre la superficie del corte de la parte del cuerpo que nos resta. Puesto que las fuerzas que actúan sobre un "cuerpo libre" lo mantienen en equilibrio, es posible aplicar al problema las ecuaciones correspondientes. Las fuerzas resistentes internas se expresan usualmente como tensiones que actúan sobre cierta superficie, por lo que la fuerza interna es la integral del producto de la tensión por la diferencial del área sobre la que actúa. Para calcular esta integral es necesario conocer la distribución de la tensión sobre el área total del plano secante. La distribución de tensiones se determina observando y midiendo las deformaciones distribuidas en el miembro, puesto que las tensiones no pueden medirse físicamente. Sin embargo, como la tensión es proporcional a la deformación para las pequeñas deformaciones que intervienen en la mayor parte de los problemas, la distribución de la deformación permite deducir la correspondiente a la tensión. La expresión encontrada para las tensiones se sustituye en las ecuaciones de equilibrio y se resuelven estas respecto a las cargas y las dimensiones del miembro.

3

Son hipótesis importantes de la resistencia de materiales las de que el cuerpo que se estudia es continuo, homogéneo e isótropo. Un cuerpo continuo es el que no contiene huecos o espacios vacíos de ninguna clase. Un cuerpo es homogéneo cuando tiene propiedades idénticas en todos sus puntos. Un cuerpo se considerará isótropo respecto a alguna propiedad siempre que esta no varíe con la dirección u orientación. Una propiedad que varíe con la orientación respecto a algún sistema de ejes coordenados es aniso trópica. Los materiales empleados en ingeniería, tales como el acero, la fundición de hierro o el aluminio, parece que cumplen estas condiciones cuando se les observa en escala grande, pero si se les mira a través de un microscopio es fácil comprobar que pueden ser cualquier cosa menos homogéneos e isótropos. La mayoría de los metales técnicos están constituidos por más de una clase, cada una con diferentes propiedades mecánicas, por lo que a escala microscópica son heterogéneos. Pero es que ni siquiera un metal monofásico es homogéneo, porque en todos se encuentran usualmente fenómenos de segregación química que dan lugar a que las propiedades no sean idénticas de punto a punto. Los metales están constituidos como una agregación de granos cristalinos que poseen distintas propiedades en las diferentes direcciones cristalográficas. La razón de que las ecuaciones de la resistencia de materiales describan el comportamiento de los metales reales está en que, en general, los granos cristalinos son tan pequeños respecto a una muestra de volumen macroscópico que cabe considerar al material como si fuera estadísticamente homogéneo e isótropo. Sin embargo, cuando los metales se deforman severamente en una dirección particular, como ocurre en la laminación y en la forja, las propiedades mecánicas pueden ser aniso trópicas en micro escala.

4

2.) Comportamientos elástico y plástico La experiencia demuestra que todos los materiales félidos se deforman sometiéndolos a una carga externa. Se encuentra además que, hasta cierta carga limite, el sólido recobra sus dimensione originales cuando se le descarga. La recuperación de las dimensiones originales al eliminar la carga es lo que caracteriza al comportamiento elástico. La carga límite por encima de la cual el material ya no se comporta elásticamente es el límite elástico. Si se sobrepasa el límite elástico, el cuerpo retiene cierta deformación permanente cuando deja de actuar la carga. Un cuerpo que se ha deformado permanentemente se dice que ha sufrido una deformación plástica.

Para la mayor parte de los materiales, en tanto que la carga no supere al límite elástico, la deformación es proporcional a la carga. Esta relación es conocida como ley de Hooke; es más frecuente expresarla diciendo que las tensiones son proporcionales a las deformaciones. La ley de Hooke requiere que la relación entre carga y deformación sea lineal. Sin embargo, no debe pensarse que en todos los materiales que se comportan elásticamente la relación entre carga y deformación es necesariamente lineal. El caucho es un ejemplo de material que muestra una relación no lineal entre carga y deformación y que satisface a la definición de material elástico. Las deformaciones elásticas de los metales son muy pequeñas y requieren instrumentos muy sensibles para medirlas. Los instrumentos ultrasensibles han demostrado que los límites elásticos de los metales son mucho más bajos que los medidos usualmente en los ensayos técnicos de materiales. Cuanto más sensible es el aparato de medida, tanto más decrece el límite elástico, por lo que para la mayoría de los metales sólo se cumple exactamente la ley de Hooke en un intervalo de cargas muy pequeño. Este hecho, sin embargo, es más bien de importancia especulativa, y la ley de Hooke sigue siendo una relación válida para los proyectos de ingeniería.

5

3.) Tensión y deformación media Como punto de partida para el análisis de tensiones y deformaciones consideremos una barra cilíndrica uniforme sujeta a una carga axial de tracción (Fig. 1-1). Supongamos que se marcan dos puntos de referencia en la superficie de la barra en el estado sin deformación y sea

L0

la distancia entre puntos,

es decir, entre esas marcas. Se aplica una carga P a un extremo de la barra y la distancia entre puntos experimenta un ligero aumento de longitud, mientras se produce una disminución del diámetro. La distancia entre puntos ha aumentado en una cantidad

δ

, que llamamos deformación. La deformación lineal media e es la relación de la variación de longitud a la longitud inicial.

e=

δ L−L0 = L0 L0

La deformación es una magnitud sin dimensiones, porque

δ

y

L0

se expresan en

las mismas unidades. La figura 1-2 muestra el esquema de cuerpo libre para la barra de la figura 1-1. La carga externa P está equilibrada por la fuerza resistente interna

∫ θdA

donde

θ

es

tensión normal al plano del corte, y A la sección transversal de la barra. La ecuación de equilibrio es

6

P=∫ θdA

Si la tensión está uniformemente i tribuida sobre el área A, esto es, si θ es constante, la ecuación (1-2) se convierte en P=θ ∫ dA=θA

θ=

P A

La tensión no será en general uniforme sobre toda el área A y entonces la ecuación [1-3] expresa una tensión media. Para que la tensión fuera absolutamente uniforme sería preciso que cualquier elemento longitudinal de la barra hubiese experimentado exactamente la misma deformación, y la proporcionalidad entre tensión y deformación habría de ser idéntica para todos los elementos. La anisotropía inherente a los granos de un metal policristalino excluye la posibilidad de la uniformidad completa de la tensión sobre un cuerpo de tamaño macroscópico. La presencia de más de una 1 clase da lugar a la falta de uniformidad de la tensión en escala microscópica. Si la barra no es recta o no está centralmente cargada, serán diferentes las deformaciones de ciertos elementos longitudinales y la tensión no será uniforme. Lina pérdida extrema de la uniformidad del diagrama de tensiones se presenta cuando hay cambios bruscos en la sección transversal. En este caso se produce una concentración de tensiones.

Por debajo del límite elástico cabe considerar válida la ley de Hooke, por lo que la tensión media es proporcional a la deformación media,

θ =E=constante e

La constante E es el módulo de elasticidad, módulo elástico o módulo de Young. 7

módulo elástico materiales

psi

Kg/mm2

aleaciones de aluminio

10500000

7390

cobre

16000000

11260

aceros

29000000

20500

acero inoxidable

28000000

19600

titanio

17000000

12000

volframio

58000000

40800

Tabla Nº1. Módulo de elasticidad

4.) Deformación en tracción de un metal dúctil Los datos fundamentales en cuanto a propiedades mecánicas de los metales dúctiles se obtienen de un ensayo de tracción, en el que una probeta adecuada y tipificada se somete a carga axial de tracción creciente hasta producirse la rotura. La carga y el alargamiento se miden a intervalos frecuentes durante el ensayo y se expresan como tensión media y deformación media, de acuerdo con las ecuaciones de la sección anterior. Los datos obtenidos del ensayo se representan en un diagrama de tracción, en el que las tensiones se toman como ordenadas, y las deformaciones, como abscisas. La figura 1-3 muestra una curva tensión-deformación en tracción típica de un metal dúctil, por ejemplo el aluminio. La porción rectilínea inicial OA de la curva corresponde a la región elástica, en la que se cumple la ley de Hooke. El punto A corresponde al límite elástico, definido como la tensión máxima que es capaz de resistir el metal sin experimentar deformación permanente. La determinación de un límite elástico así definido es muy engorroso y en modo alguno resulta una operación de rutina; además, los valores obtenidos dependen de la sensibilidad del aparato utilizado para medir la deformación. Por estas razones se sustituye frecuentemente por el límite proporcional, que 8

corresponde a la ordenada del punto A', a partir del cual la curva deja de ser rectilínea. La pendiente de la curva en la región elástica es el módulo elástico.

Fig. (1-3) Curva de tracción-deformación Para los fines técnicos, el límite del comportamiento elástico utilizable se describe por el punto B. La ordenada de este punto es el límite elástico convencional que, como su nombre indica, es la tensión que producirá una pequeña deformación permanente previamente convenida. En general, en las especificaciones técnicas se conviene en definir este límite elástico como la tensión que produce una deformación permanente del 0,2% de la distancia inicial entre puntos, por lo que suele llamársele abreviadamente límite elástico del 0,2%. En la figura la deformación permanente convenida sería la correspondiente a la longitud OC del eje de abscisas. La deformación plástica se inicia en cuanto se supera el límite elástico, y al aumentar esta deformación el metal se va haciendo más resistente (endurecimiento por deformación), por lo que aumenta continuamente la carga necesaria para que siga aumentando la deformación. Esta carga llega a alcanzar finalmente un valor máximo; este valor, dividido por el área de la sección transversal inicial de la probeta, es la resistencia a la tracción. En el caso de los metales dúctiles el diámetro de la probeta disminuye rápidamente cuando se sobrepasa esta carga máxima, por lo que se hace menor la carga necesaria para que prosiga la deformación hasta producirse la rotura. Como la tensión media se refiere al área de la

9

sección transversal inicial de la probeta, disminuye también desde la carga máxima hasta la rotura

5.) Comportamientos dúctil y frágil El comportamiento general de los materiales bajo carga se puede calificar como dúctil o frágil según que el material muestre o no capacidad para sufrir deformación plástica. Un material completamente frágil romperá casi en el límite elástico (Fig. 1-4 a), mientras que un material frágil real, como la fundición blanca, mostrará una ligera plasticidad antes de la fractura (Fig. 1-4 b). Es muy importante en ingeniería que un material presente una ductilidad adecuada, porque ella le permite redistribuir tensiones localizadas. Cuando no es necesario tener en cuenta tensiones localizadas en entallas u otros puntos de concentración, se puede desarrollar un proyecto para situaciones estáticas sobre la base de las tensiones medias. Pero las concentraciones de tensiones localizadas en un material frágil se incrementan continuamente al aumentar la carga si no hay flujo plástico, y el final es la iniciación de una grieta, en uno o más puntos de la región de concentración de tensiones, que se propaga rápidamente a través de la sección entera. Aun no existiendo concentración de tensiones, puede romper bruscamente un material frágil, puesto que el límite elástico y la resistencia a la tracción son prácticamente idénticos. Es muy importante señalar que la fragilidad no es una propiedad absoluta de un material. El volframio es dúctil a elevada temperatura, y frágil a la temperatura ambiente. Un metal frágil en tracción puede ser dúctil bajo compresión hidrostática. Y, por último, un material, que es dúctil en tracción a la temperatura ambiente, puede hacerse frágil por la presencia de tensiones, temperaturas bajas, elevadas velocidades de carga o por el efecto de agentes fragilizantes tales como el hidrógeno.

10

6.) Relaciones entre tensiones y deformaciones La

relación

fundamental

uniaxial

entre

las

componentes de una tensión y la deformación uniaxial originada en el rango elástico, se establecen por el Módulo de Hooke:

σ x =E . e x

Donde E es el módulo de elasticidad. Una fuerza de tracción en la dirección x, al mismo tiempo que produce una deformación lineal a lo

Fig. (1-5)

largo del eje x origina contracción en las direcciones y y z. La relación entre la deformación en la dirección transversal y la deformación en la dirección longitudinal a lo largo del eje x se conoce como relación de Poisson (v). ϵ y =ϵ z=−v . ϵ x =

−v . σ x E

La relación de Poisson es de 0,25 para un material elástico perfectamente isótropo, pero para la mayoría de los metales es 0,33 aproximadamente.

En general la Ley de Hooke dice que, en todo cuerpo sometido a un sistema de tensiones, la deformación a lo largo de cualquier eje se debe a la tensión que actúa a lo

11

largo de dicho eje más la deformación superpuesta resultante del efecto de Poisson producido por las tensiones que actúan a lo largo de los otros dos ejes.

ϵ x=

1 σ −v ( σ y + σ z ) ] E[ x

ϵ y=

1 σ −v ( σ x + σ z ) ] E[ y

ϵ z=

1 σ −v ( σ x + σ y ) ] E[ z

e 3=

1 σ −v ( σ 1+ σ 2 ) ] E[ 3

En el caso que los ejes sean principales:

e 1=

1 σ −v ( σ 2 + σ 3 ) ] E[ 1

e 2=

1 σ −v ( σ 1 + σ 3 ) ] E[ 2

Para un estado de tensiones biaxial principal plana 3=0 y las ecuaciones anteriores se reducen a: e 1=

1 ( σ −v . σ 2 ) E 1

e 2=

1 ( σ −v . σ 1 ) E 2

e 3=

−v (σ + σ ) E 1 2

Recuerde que cuando la tensión principal en el tercer eje es cero la deformación en dicho eje no es cero a menos que 1=-2. En el caso de deformación plana e3=0 y las relaciones entre las deformaciones y las tensiones son:

e 1=

1+ v [ ( 1−v ) σ 1−v . σ 2 ] E

12

e 2=

1+ v [ ( 1−v ) σ 2−v . σ 1 ] E

Las tensiones en términos de la deformación unitaria, son:

σ x=

E ϵ +v . ϵ y ) 2( x 1−v

σ y=

E ( ϵ y+ v . ϵ x) 1−v 2

En el caso de las deformaciones y deformaciones angulares (cortantes) se relacionan mediante las relaciones:

τ xy =G γ xy

τ xz =G γ xz

τ yz=G γ yz

Donde la constante de proporcionalidad G, es el módulo de elasticidad en cizallamiento

o de rigidez.

G=

E 2 (1+ v )

Otras relaciones entre la tensión y la deformación producida son:

e 1+ e2 +e 3=

1−2. v ( σ 1 +σ 2 +σ 3 ) E

13

El primer término de la ecuación anterior es la deformación volumétrica (∆). La ecuación se puede reescribir así: ∆=

3. σ m ( 1−2. v ) E

Donde m es la media de las tres tensiones principales y es igual a la presión hidrostática. Esto se puede expresar como:

k=

σm E = ∆ 3 (1−2. v )

Donde k es el módulo volumétrico de elasticidad.

7.) Concentraciones de tensiones La concentración de tensiones es la discontinuidad en la distribución de tensiones que se produce en la sección transversal de una pieza en la que tiene lugar alguna discontinuidad geométrica o de la carga aplicada, tal como un hueco, un cambio de sección, una carga concentrada, etc. También debemos tener en cuenta que la concentración de tensiones no solo se da a nivel macro sino también a nivel microscópico, es decir la presencia de sopladuras, escoria retenida, partículas de material refractario, imperfecciones cristalinas, etc. También originan concentración de tensiones.

14

En la figura se muestra un ejemplo, calculado con elementos finitos, en una platina empotrada en un extremo y sometida a tracción, observándose la concentración de tensiones en las proximidades de un hueco taladrado en la misma.

En los puntos de la sección cercanos a la discontinuidad

Fig. (1-6)

los modelos simplificados de Resistencia de Materiales no son válidos para el cálculo exacto del valor real de la tensión en dicho punto. La tensión máxima real en las proximidades del concentrador se puede calcular como el producto de la teórica, calculada con el modelo simplificado, multiplicada por un cierto factor, denominado factor teórico de concentración de tensiones (Kt), denominado teórico por el hecho de que sólo depende de la configuración geométrica y no del material. Fig. (1-7)

El factor concentrador de tensiones, es muy usado ya que relaciona la tensión máxima con la tensión nominal. La tensión nominal es la que debería haber en un punto de una sección si las tensiones se distribuyeran uniformemente sobre esa sección. La tensión máxima es la que ocurre localmente en algún lugar de la sección debido a la concentración de las tensiones. σ real =K t . σ teórico

En condiciones simples, las tensiones se distribuyen de manera uniforme en el dominio de un objeto estructural, salvo en los contornos. Ejemplo, una placa en tensión plana con fuerzas uniformes tiene un campo tensional casi constante.

15

Pero en muchos casos hay fuentes que introducen concentración de tensiones en algunas regiones del dominio. Estas fuentes o causas se conocen como "stress raisers" y es necesario identificar como actúan esas tensiones elevadas para tomarlas en cuenta adecuadamente en diseño o en verificación. Ejemplo: Si en la placa con tensión uniforme se introduce unas ranuras en la mitad, (a) por una parte la sección de pasaje de fuerzas es menor, y aumentara el promedio de las tensiones; (b) pero además hay un efecto de redistribución en la propia sección reducida, que hace que las tensiones se eleven cerca de la ranura y disminuyan lejos de ella sobre la misma sección transversal.

¿Por qué son importantes las concentraciones de tensiones? • Porque las tensiones mismas pueden producir plasticidad del material. • ¿Por qué pueden llevar a rotura frágil del material? • Porqué si hay cargas repetidas, pueden acelerar el proceso de fatiga. La aplicación del principio de Saint Venant tiende a ocultar el problema de concentración de tensiones. Consideremos una fuerza aplicada en un punto sobre el contorno de un estado plano de tensiones. Localmente se genera una distribución triangular de tensiones con un máximo, y fuerza de esa región hay una distribución uniforme de tensiones. De acuerdo al principio de Saint Venant, debería tener una influencia solo local, y el objeto estructural solo debería sentir la influencia en una zona cercana a la fuente de la concentración. Podría sustituirse una fuente de concentración de esfuerzos por un sistema estáticamente equivalente. Pero muchas estructuras se rompen debido a ese efecto local, y no puede quitárselo de en medio mediante una sustitución.

Interesan principalmente tres aspectos relacionados con la distribución de tensiones:

16

• El valor de la tensión máxima que se alcanza en la zona de concentración. El factor de concentración de tensiones mide este aspecto y a menudo es el único aspecto que se tiene en cuenta en las normas o códigos. -La tensión puede ser un valor alto pero finito. -Hay problemas en los que la tensión en algún punto sube tendiendo a infinito.

• La zona de concentración de esfuerzos. -En algunos problemas la zona abarca un área que tiende a cero, de manera que las tensiones tienden a infinito localmente. Eso produce una singularidad. -En otros problemas la zona de concentración es bastante extendida, y puede producir redistribuciones importantes que comprometen el equilibrio.

• El gradiente de tensiones que se produce. El gradiente es la tasa de incremento de la tensión a medida que nos acercamos al origen de la concentración de tensiones. Una fuente de concentración de tensiones produce redistribución de tensiones con respecto a la distribución que existiría si no estuviera esa fuente. -Puede haber un gradiente suave de tensiones altas, típico de problemas que se extienden sobre zonas grandes. -En otros problemas el gradiente es muy alto, típico de problemas que tienen singularidades.

Los orígenes de concentración de tensiones más frecuentes son: • Existencia de objetos diferenciados dentro de un medio continuo.

17

 Agujeros en un medio continuo. Ejemplos: agujeros para pasar tornillos o bulones (macromecánica), porosidades en un medio (micromecánica).  Inclusiones, formadas por otro material que se encuentra en un medio continuo. Ejemplos: partículas de metal en un plástico.  Fisuras. Tanto microfisuras como macrofisuras.  • Cambios abruptos en la geometría de un objeto estructural. -

Ranuras en un estado plano. Cambios en el espesor de una placa, conservando la superficie media. Cambios en el espesor de una placa, sin conservar la superficie media. Discontinuidades en la tangente a la superficie media. Discontinuidades en la curvatura de la superficie media.

• Localización de fuerzas sobre el contorno de un objeto estructural.  Fuerzas aplicadas localmente sobre el contorno. Ejemplo: fuerzas concentradas.  Contacto entre objetos estructurales.

• Efectos de origen mecánico. 

Tensiones debidas a soldaduras.

18

CONCLUSIONES

Los materiales, en su totalidad, se deforman a una carga externa. Se sabe además que, hasta cierta carga límite el sólido recobra sus dimensiones originales cuando se le descarga. La recuperación de las dimensiones originales al eliminar la carga es lo que caracteriza al comportamiento elástico. La carga límite por encima de la cual ya no se comporta elásticamente es el límite elástico. Al sobrepasar el límite elástico, el cuerpo sufre cierta deformación permanente al ser descargado, se dice entonces que ha sufrido deformación plástica. El comportamiento general de los materiales bajo carga se puede clasificar como dúctil o frágil según que el material muestre o no capacidad para sufrir deformación plástica. Los materiales dúctiles exhiben una curva Esfuerzo Deformación que llega a su máximo en el punto de resistencia a la tensión. En materiales más frágiles, la carga máxima o resistencia a la tensión ocurre en el punto de falla. En materiales extremadamente frágiles, como los cerámicos, el esfuerzo de fluencia, la resistencia a la tensión y el esfuerzo de ruptura son iguales. La deformación elástica obedece a la Ley de Hooke

La constante de

proporcionalidad E llamada módulo de elasticidad o de Young, representa la pendiente del segmento lineal de la gráfica Esfuerzo - Deformación, y puede ser interpretado como la rigidez, o sea, la resistencia del material a la deformación elástica. En la deformación plástica la Ley de Hooke deja de tener validez.

19

APLICACIONES 1.-La barra compuesta (Cu y Al) está libre de tensiones a la temperatura de 40C. Si la temperatura empieza a bajar y el empotramiento C cede 0,02 mm, calcula la temperatura mínima a la que puede someterse la barra si  adm del Aluminio es 2000 Kp/cm2 y  adm del Cobre es 1500 Kp/cm2. Son datos: lAB = 30 cm

Cu:

lBC = 20 cm

ACu = 64 cm2 Cu = 170  10-7 C-1 ECu = 1,1 106 Kp/cm2

Al:

AAl = 16 cm2

Al = 234 10-7 C-1 EAl = 7 105 Kp/cm2



Sin el muro C se acorta 

20

l = Cu + Al = = Cu  30  t + Al  20  t

La acción del muro será una tracción N que llevará la barra a la pared que cedía 0,002 cm , es decir, producirá un alargamiento total de:

l-0,002 = t (Cu  30+ Al  20)-0,002 que será lo que alarga el conjunto con esfuerzo N, por lo tanto:

N  30 N  20  ACu ECu AAl E Al = l-0,002 = t (Cu  30+ Al  20)-0,002 Tenemos por lo tanto dos incógnitas N y t

 Al 

y dos datos a mayores adm Al y adm Cu:

N N   2000  N  32000 Kg AAl 16

21

 Cu 

N N   1500  N  96000 Kg ACu 64

NO SE PUEDE SUPERAR EL VALOR MENOR , es decir 32.000 Kg

32000  30 32000  20  64  1,1  10 6 16  7  10 5 = l-0,002 = t (170  10-7 30 + 234  10-7 20) - 0,002

t = 74 C  luego la temperatura mínima será

40 – 74 = -34 C

2.-Del Grafico : A) Calcular el diagrama de esfuerzos axiles N y de tensiones . B) Calcular desplazamientos en las secciones transversales de la columna de acero de la figura. Datos: E = 200Gpa = 200 x 103 MPa = N/mm2

22

1) Equilibrio estático: R=P1-P2+P3+ (q x 3) = 50-200+100+150=100 KN 2) Equilibrio elástico por tramos: 

Tramo 0