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Estadística Aplicada Universidad Central del Ecuador, Jesús Tapia López  junio 2020

1.

Mu Muest estre reo o es estr trat atifi ifica cado do

En Muestreo Aleatorio Simple (MAS) se pueden presentar algunas dificultades, la principal radica en que en este tipo de diseños no se considera la composición interna de la población disminuyendo la precisión de la información recolectada. Entre las principales ventajas con las que se cuenta al usar muestro estratificado están: 1. Considera la composición interna de la población para el diseño muestral. 2. A partir de información desag desagregada regada por estratos se puede obtener estimaciones generales generales para la población. 3. Se evitan problemas de sobre y sub representación estadística. Cuando existen problemas de sobre y sub representación se pueden corregir a través del cálculo de factores de expansión 1. 1.1. 1.

Estr Estrat atos os

Son subconjuntos de tamaño   N i  que dividen a la población en  K  − estratos  y se caracterizan por ser internamente homogéneos, pero entre si lo mas heterogéneos posible. 1. 1.2. 2.

Ejemp Ejemplo los: s:

Sexo de la población. Nivel socio económico. Nivel educativo. Áreas geográficas (provincias, ciudades, parroquias, etc.).

2.

Es Esti tima maci ción ón de la medi media a   (µ)   :

Si se busca estimar la media  ( µ)  a partir de una muestra de tamaño  n  = K  i=1 ni  obtenida de una población K  con  N   = i=1 N i , donde se conocen las  x¯i  y  si  en primer lugar se estima puntualmente la media general a través de:

 

 

X ¯est est  =

 1

Y el intervalo de confianza para la media es:   ¯est I C µ  = X  est ±

Donde:



N 

K  xi i=1 N i  ¯



  zα/2 N 

K  2 i=1 N i

  1

N i −ni N i



  s2i ni

 

 

ni  es

el tamaño de la muestra en el estrato  ” i”.

N i  es el x¯i  es

tamaño de la población en el estrato  ” i”.

la estimación de la media en el estrato  ” i”.

si  es

la estimación de la desviación estándar en el estrato  ” i”. zα/2  es el coeficiente asociado a la distribución normal estándar. Observación:  Si en todos los estratos se cumple que  n i  ≤ 0, 05N i  se desestima el uso del factor de corrección

poblacional:

3.



N i −ni N i

.

Es Esti tima maci ción ón de dell ttot otal al   (τ ) Para estimar el total en muestreo estratificado se calcula:   ¯est τ  τˆe est st  =  N X e st

Y el intervalo de confianza para el total es:



I C τ  τˆe est τ   = τ  st ± zα/2

 

K  2 i=1 N i



N i −ni N i

    s2i ni

Donde: ni  es

el tamaño de la muestra en el estrato  ” i”.

N i  es el x¯i  es

la estimación de la media en el estrato  ” i”.

si  es

la estimación de la desviación estándar en el estrato  ” i”.

zα/2  es

4.

tamaño de la población en el estrato  ” i”.

el coeficiente asociado a la distribución normal estándar.

Es Esti tima maci ción ón de la propo proporc rció ión n   (ρ)   : Para estimar la proporción en muestreo estratificado se calcula: ρˆest  =

 1

N 

Y el intervalo de confianza para la proporción es: I C ρ  =



 z 2 ρˆest ± α/ N 

K  ˆi i=1 N i p



 

K  2 i=1 N i



N i −ni N i

Donde: ni  es

el tamaño de la muestra en el estrato  ” i”.

N i  es el

tamaño de la población en el estrato  ” i”.

 pˆi  es la estimac estimación ión de la proporció proporciónn en el estra estrato to  ” i”. zα/2  es el coeficiente asociado a la distribución normal

2

estándar.

     p ˆi q ˆi ni −1

 

5.

Ej Ejer erci cici cios os

1. Una embotelladora de gaseosas adquiere envases de plástico no retornables a dos proveedores. Se desea controlar el volumen de las botellas adquiridas para calibrar los equipos de envasado. Luego de un muestreo del 10 % de la producció producciónn de un día se obtuvo los siguien siguientes tes resulta resultados: dos: Prove Pro veedo edorr 1

Volumen promedio  ( cm )   Desv. estándar  ( cm3 )   Muestra 3

245 15 120

Prove Proveedo edorr 2

255 13 130

Encuentre estimaciones para el volumen medio y volumen total envasado en las botellas no retornables. 2. Una inspectora de control de calidad debe estimar la proporción de chips de microcomputadora defectuosos que provienen de dos diferentes operaciones de ensambladura. Ella sabe que de entre los chips que van a ser inspeccionados, el 60% procede de la operación de ensambladura A y el 40% de la operación de ensambladura B. En una muestra aleatoria de 100 chips resulta que 38 provienen de la operación A y 62 de la operación B. De entre los chips muestreados de la operación A, seis son defectuosos. De entre los chips muestreados de la operación B, diez son defectuosos. Estime la proporción de los defectuosos del lote y establezca un límite para el error de estimación. 3. En la siguiente tabla se muestran los resultados de las horas trabajadas y el porcentaje de personas que cuentan con estudios de tercer nivel a partir de la encuesta de empleo de diciembre de 2015: Etnia   Indígena Afro Montubio Mestizo Blanco

x

33,9 38,5 37,4 38,8 3388,1

  s 16,2 14,8 15,2 14,4 14,1

% co conn es estu tudi dios os un univ iver ersi sita tari rios os Po Pobl blac ació iónn 3.3 % 665 871 8.4 % 263 982 4.3 % 191 197 12.6 % 5 989 179 18.1 % 126 112

Mu Mues estr traa 4 119 952 380 22 572 477

) Estime la media de horas trabajadas de indígenas y montubios de manera independiente b ) Estime la media de horas trabajadas de indígenas y montubios de manera conjunta Calcule le el error de esti estimaci mación ón en la media de horas trabajad trabajadas as de toda la ppoblac oblación ión c ) Calcu

a 

) Estime la proporción de personas que cuentan con estudios universit universitarios arios de indígenas, afro-ecuatori afro-ecuatorianos anos y montubios de manera independiente universitarios arios de indígenas, afro-ecuatori afro-ecuatorianos anos e ) Estime la proporción de personas que cuentan con estudios universit y montubios de manera conjunta

d 

6.

Tam amañ año o y asi asign gnac ació ión n de la m mues uestr tra a En muestro estratificado se realizan dos pasos para el cálculo de la muestra:

1. Calculamos la muestra general de tamaño  n . 2. Asignamos los tamaños  n i  en cada estrato  ” i”.

3

 

6. 6.1. 1.

Asig Asignac nacio ione ness

En muestreo estratificado se utilizan tres técnicas genéricas para el cálculo y asignación de la muestra para los tres parámetros poblacionales (τ ,  µ  y  ρ ). En todos los casos se calcula en primer lugar el tamaño de la muestra general  n  y luego se asigna de acuetrdo con las siguientes técnicas: Equitativa:  este tipo de asignación se utiliza cuando los tamaños de los estratos son los mismos, es decir si  N 1  =  N 2  =  ...  =  N K  K , caso contrario se comenten errores de sobre y sub estimación.

1. Calculamos la muestra general de tamaño  n . n  =

2   Kz α/ 2



K

2

2

N i  s i i=1 K 2 E θ2 N 2 +zα/ N i s2i 2 i=1

2. Asignamos los tamaños  n i  en cada estrato  ” i”.



n ni  =   K 

Proporcional:  esta asignación se utiliza cuando los tamaños de los estratos no son los mismos, es decir si N 1   =  N 2   =  ...  =  N K  K .

1. Calculamos la muestra general de tamaño  n . n  =

2   Nz α/ 2



K N i s2 i i=1 K N i s2i i=1

2 E θ2 N 2 +zα/ 2

2. Asignamos los tamaños  n i  en cada estrato  ” i”.

n ni  =  N i N 

No proporcional (óptima o de Neyman)  esta asignación se utiliza cuando los tamaños de los estratos no son los mismos,  N 1  = N 2   =  ...  =  N K  K  y además considera la variabilidad interna de cada estrato.

1. Calculamos la muestra general de tamaño  n . n  =

2   zα/ 2

i=1

2 E θ2 N 2 +zα/ 2

2. Asignamos los tamaños  n i  en cada estrato  ” i”. ni  =  N i si

7.

K



N i si



K i=1

Kn



i=1

2



N i s2i

N i si

Ej Ejer erci cici cios os d de e cá cálc lcul ulo o de m mues uestr tra a

1. Si hay 20 mil personas en edad de trabajar, en el área urbana, y 35 mil en el área rural, y se impone una confiabilidad del 96% 96 % y un error máximo del 2.5 %. Además, se estim estimaa que el costo de realizar una encuesta es 2 dólares en el área urbana y 3 en la rural. Halle los tamaños muestrales y el costo del estudio, si la investigación se realizara mediante: ) Asignación equitativa; b ) Asignación proporcional; c ) Asignación óptima.

a 

2. Según algunos estudios las personas que creen que el SIDA se transmite media mediante nte las picaduras de mosquitos se distribuyen de la siguiente manera:

4

 

Área   % Urba Urbana na 51 51.8 .8 Rural 66.2 Se va a realizar una campaña para difundir los riesgos del SIDA. En un cantón en el que viven 6600 jóvenes en el área urbana y 2700 en el área rural y se repetirá la pregunta sobre el contagio mediante picaduras de mosquitos, por lo que se utilizara la información anterior. Además, se estimó que los costos por encuesta son de 1 dólar para el área urbana y 3.5 dólar dólares es la rural rural.. Para tener un error del 4.5 % y una confiab confiabilid ilidad ad del 94.5 %, halle los tamaños muestrales y el costo de la investigac investigación ión si el estudio se realizara mediante mediante:: ) Asignación equitativa; b ) Asignación proporcional; c ) Asignación óptima.

a 

3. Se realizó un sondeo en tres ciudades, Quito, Guayaquil y Cuenca de forma independiente pero en las mismas condiciones y con el mismo instrumento de levantamiento. La muestra fue de 1200 casos en cada ciudad y una de las preguntas era si estaba de acuerdo en que se mantenga el subsidio a la gasolina regular o extra. La población económicamente activa-PEA que era objeto de la investigación respondió que sí en un  67 %,  72 % y  61 % respectivamente. Con esta información y con los datos de la PEA que esta disponible en la página web del INEC, determine: a ) La proporción de la población que esta de acuerdo en mantener el subsidio a través de un intervalo de confianza. b ) El tamaño de la muestra y las asignaciones correspondientes para obtener un error de estimación menorr en un 5 % al encon meno encontrado trado en el punto ante anterior. rior. c ) El tamaño máximo de la muestra y las asignaciones correspondientes para obtener un error de estimación menor en un 5% al encontrado en el primer apartado.

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