Mera i Integracija - Predavanja

Mera i integracija

Sadrˇzaj Glava 1 Pozitivne mere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Merljivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Lebeg-Stiltjesova mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Konstrukcija pozitivne mere µg na Lebegovoj algebri R. . . . . . . . . . .15 1.5.2 Spoljna mera µ∗g na P(R∗ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Konstrukcija Karateodorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Lebegova mera na R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Glava 2 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Integral proste merljive nenegativne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Integral nenegativne merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Integral realne merljive funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Lebegov integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Lp prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Glava 1

Pozitivne mere 1.1

Uvod

Teorija mera i integrala moˇze biti prikazana na veoma apstraktan naˇcin. U ovom izlaganju fokusiromo se, pre svega, na zasnivanju mere i integrala na realnoj pravoj. Potpuno razumevanje matematiˇcke analize, na ovom nivou, zasniva se na pravilnom shvatanju tri osnovna principa. 1) Uoˇcavanje razlike izme¯ du prebrojivih i neprebrojivih skupova. Supovi N, Z i Q su prebrojivi, a skupovi I, R i C su neprebrojivi. Skup je najviˇse prebrojiv, ako je konaˇcan ili prebrojiv. 2) Postojanje infimuma i supremuma podskupova od R. Neka je A ⊂ R. Infimum skupa A, u oznaci inf A, jeste najve´ca donja granica skupa A. Ako je A = ∅, onda je inf A = +∞. Ako je A 6= ∅ i A je odozdo ograniˇcen, tada postoji inf A ∈ R. Ako A nije odozdo ograniˇcen, tada je inf A = −∞. Supremum skupa A, u oznaci sup A, je najmanja gornja granica skupa A. Ako je A = ∅, tada je sup A = −∞. Ako je A 6= ∅ i A je odozgo ograniˇcen, tada postoji sup A ∈ R. Ako A nije odozgo ograniˇcen, tada je sup A = +∞. 3) Skupovi Q i I su gusti u skupu R. Ako je (a, b) proizvoljan interval u skupu R, tada postoji beskonaˇcno mnogo racionalnih brojeva u intervalu (a, b), a tako¯ de postoji beskonaˇcno mnogo iracionalnih brojeva u ovom intervalu. Suptilniji rezultati u matematiˇckoj analizi zasnivaju se joˇs na aksiomi izbora i Berovoj teoremi o kategorijama, ali o tome sada ne´ce biti reˇci. Otvoreni intervali u skupu R jesu skupovi oblika (a, b), (a, +∞) i (−∞, b), pri ˇcemu je a, b ∈ R i a < b. Dokazujemo slede´ce korisno tvr¯ denje. Teorema 1.1.1. Svaki otvoren skup G u R je najviˇse prebrojiva unija disjunktnih otvorenih intervala iz R. Pri tome, ovi intervali su jedinstveno odre¯ deni skupom G. Dokaz. Ako je G = R ili G = ∅, onda je tvr¯ denje dokazano. Stoga pretpostavimo da je G neprazan otvoren skup u R i G 6= R. Neka je x ∈ G. Tada postoji interval (a, b), tako da je x ∈ (a0 , b0 ) ⊂ G. Me¯ du svim ovakvim intervalima, postoji najve´ci 1

2

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

mogu´ci interval, odnosno postoji interval (a, b) tako da x ∈ (a, b) ⊂ G, a, b ∈ / G. Do ovog intervala se dolazi na slede´c i naˇcin: b = inf([x, +∞) ∩ Gc ),

a = sup((−∞, x] ∩ Gc ).

Interval (a, b) je komponentni interval koji sadrˇzi taˇcku x ∈ G. Oˇcigledno, svakoj taˇcki x ∈ G odgovara taˇcno jedan komponentni interval. Dakle, skup G je unija familije svih svojih komponentnih intervala, pri ˇcemu su komponentni intervali jednoznaˇcno odre¯ deni. Osim toga, komponentnih intervala ne moˇze biti viˇse od racionalnih brojeva (svaki komponentni interval sadrˇzi neki racionalan broj), te sledi da komponentnih intervala ima najviˇse prebrojivo mnogo. Prethodno tvr¯ denje ne vaˇzi u prostoru Rn za n > 1. Pretpostavimo da u prostoru Rn ulogu otvorenih intervala igraju otvorene kugle. Drugim reˇcima, ako je x ∈ Rn i r > 0, osnovni otvoreni skupovi u Rn jesu K(x, r) = {y ∈ Rn : |x − y| < r}. Drugi pristup je da ulogu otvorenih intervala u prostoru Rn imaju n-pravougaonici. Neka je ai , bi ∈ R i ai < bi za svako i = 1, . . . , n. Tada je P =

n Y

(ai , bi ) = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : ai < xi < bi , i = 1, 2, . . . , n}

i=1

otvoren n-pravougaonik u prostoru Rn . Primer 1.1.1. Pretpostavimo da je otvoreni kvadrat u ravni prebrojiva unija disjunktnih otvorenih kugli. Tada dijagonala polaznog kvadrata mora biti najviˇse prebrojiva unija disjunktih otvorenih intervala. Poslednje tvr¯ denje oˇcigledno nije mogu´ce. Analogno, neka je otvoren krug u ravni prebrojiva unija otvorenih pravougaonika. Tada je preˇcnik (koji nije papralelan koordinatnim osama) tog kruga prebrojiva unija otvorenih intervala, ˇsto tako¯ de nije mogu´ce. U nekim situacijama korisno je zameniti otvorene intervale (a, b) poluzatvorenim intervalima [a, b) (ili (a, b]). Na primer, neka je a < b i n0 ∈ N, tako da je n10 < b−a. Tada je, oˇcigledno, · ¶ Ã [ ¶! ∞ · 1 1 1 (a, b) = a + , ,b ∪ a+ ,a + n0 n+1 n n=n 0

pri ˇcemu su svi poluzatvoreni intervali na desnoj strani me¯ dusobno disjunktni, i ima ih prebrojivo mnogo. Analogno razmatranje vaˇzi i za intervale zatvorene sa desne strane. Nadalje, jednostavnosti radi, posmatra´cemo intervale oblika [a, b). Na osnovu prethodnog rezonovanja, formuliˇsemo rezultat. Tvr¯ denje 1.1.1. Svaki otovren skup G u R je disjunktna prebrojiva unija poluzatvorenih intervala, pri ˇcemu su svi intervali zatvoreni s leve strane, ili su svi intervali zatvoreni s desne strane.

1.1. UVOD

3

Problemi merenja skupova dovode do situacije da vrednosti nekih funkcija mogu biti beskonaˇcno velike. Na primer, prirodno je uzeti da je duˇzina realne prave jednaka +∞. Stoga je potrebno razmotriti i proˇsirenu realnu pravu, odnosno skup R∗ = [−∞, +∞]. U skupu R neophodno je definisati familiju otvorenih skupova. Otvoreni interval u skupu R∗ je svaki skup oblika (a, b), [−∞, b), (a, +∞], [−∞, +∞],

za a, b ∈ R, a < b.

Skup G ⊂ R∗ je otvoren, ako je unija otvorenih intervala. Lako je utvrditi da je dovoljno posmatrati najviˇse prebrojive unije otvorenih intervala (u svakom otvorenom intervalu postoji neki racionalan broj, te stoga disjunktnih intervala ne moˇze biti viˇse nego racionalnih brojeva; ako intervali nisu disjunknti, njihova unija je ponovo interval). U skuPu R∗ poluzatvoreni intervali s desne strane jesu: [a, b), [−∞, b), [a, +∞], [−∞, +∞],

za a, b ∈ R, a < b.

Za otvorene podskupove skupa R∗ lako je dokazati slede´ce tvr¯ denje. Tvr¯ denje 1.1.2. Svaki otvoreni skup u R∗ je najviˇse prebrojiva disjunktna unija otvorenih intervala, pri ˇcemu su ti intervali jednoznaˇcno odre¯ deni. Svaki otvoreni skup u R∗ je najviˇse prebrojiva disjunkta unija poluotvorenih intervala u R∗ , pri ˇcemu su svi intervali zatvoreni sa leve strane, ili su svi zatvoreni sa desne strane. Dokaz ovog tvr¯ denja je analogan dokazu za otvorene skupove u R. Algbarske operacije u skupu R∗ definisane su na uobiˇcajeni naˇcin. Na primer, ako je a ∈ R, tada je a+∞ = +∞, a·(+∞) = +∞ ako je a > 0, i sliˇcno. Nije mogu´ce definisati +∞−∞, dok je, sa druge strane, po konvenciji 0·∞ = 0. Ovu ”neobiˇcnu“ konvenciju suˇstinski koristimo samo u integraciji. Naime, integral nula-funkcije na skupu beskonaˇcne mere bi´ce jednak nuli. Tako¯ de, integral proizvoljne funkcije na skupu mere nula bi´ce tako¯ de jednak nuli. Ova prosta svojstva integraljenja su posledica prethodno uvedene konvencije. Za ovako uvedene operacije u skupu R∗ vaˇze uobiˇcajene osobine. Na kraju uvodnog dela opisujemo strukturu otvorenih skupova u Rn za n > 1. Tvr¯ denje 1.1.3. Svaki otvoreni skup u Rn jeste najviˇse prebrojiva unija otvorenih kugli. Svaki otvoreni skup u Rn jeste najviˇse prebrojiva unija otvorenih n-pravougaonika. U prethodnom tvr¯ denju posmatrane otvorene kugle nisu obavezno uzajamno disjunktne, a tako¯ de posmatrani otvoreni n-pravougaonici nisu obavezno uzajamno disjunktni. Ovu nelagodnost prevazilazimo koriˇs´cenjem poluzatvorenih intervala u Rn .

4

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Ako je ai , bi ∈ R i ai < bi za svako i = 1, 2, . . . , n, tada su polzatvoreni npravougaonici u Rn odre¯ deni na kao n Y

[ai , bi ) = {x = (x1 , . . . , xn ) : ai ≤ xi < bi , i = 1, 2, . . . , n},

i=1

ili

n Y

(ai , bi ] = {x = (x1 , . . . , xn ) : ai < xi ≤ bi , i = 1, 2, . . . , n}.

i=1

Poluzatvoreni intervali omogu´cavaju formiranje disjunktih unija na slede´ci naˇcin. Teorema 1.1.2. Svaki otvoren skup u Rn je disjunktna prebrojiva unija poluzatvorenih intervala, tako da su svi zatvoreni sa leve strane, ili su svi zatvoreni sa desne strane.

1.2

Merljivi skupovi

Principi merenja u matematici, kao i uopˇste u svakodnevnim situacijama, podleˇzu izvesnim pravilima. Podse´camo da ako je X neki skup, onda je P(X) partitivni skup od X, odnosno skup svih podskupova od X. Prvo opisujemo skupove koje moˇzemo ”meriti“ na izvestan naˇcin. Definicija 1.2.1. Neka je X neprazan skup. Familija R (R ⊂ P(X)) je σ-algebra na X, ako su ispunjeni uslovi: (a) X ∈ R. (b) Ako E ∈ R, onda E c ∈ R. (c) Ako je En ∈ R za n = 1, 2, . . . , tada i

∞ S n=1

En ∈ R.

Tada je (X, R) merljiv prostor. Ili, X je merljiv prostor ako se familija R podrazumeva. Ako se uslov (c) prethodne definicije zameni slabijim uslovom: (c’) Ako E, F ∈ R, tada E ∪ F ∈ R, onda je familija R algebra na skupu X. Uslov (c) Definicije 1.2.1 naziva se joˇs i zatvorenost familije R za prebrojive unije svojih elemenata. Dakle, σ-algebra je zatvorena za prebrojive unije svojih elemenata. Analogno, algebra je zatvorena za konaˇcne unije svojih elemenata. Na prvi pogled, koriˇs´cenje algebri deluje jednostavnije od koriˇs´cenja σ-algebri. Me¯ dutim, upravo σ-algebre predstavljaju bitan napredak u matematiˇckoj analizi poˇcetkom 20. veka.

1.2. MERLJIVI SKUPOVI

5

Primer 1.2.1. Neka je X neprazan skup. Tada je R0 = {∅, X} najmanja σ-algebra na X. Tako¯ de, P(X) je najve´ca σ-algebra na X. Prethodni primer pokazuje da na svakom skupu postoje najmanje dve σ-algebre. Za potrebe matematiˇcke analize potrebno je izgraditi sofisticiranije primere. Na poˇcetku dokazujemo osnovna svojstva σ-algebri. Tvr¯ denje 1.2.1. Neka je R jedna σ-algebra na skupu X. Tada vaˇzi: (a) ∅ ∈ R. (b) Ako E1 , . . . , En ∈ R za n ∈ N, tada E1 ∪ · · · ∪ En ∈ R. (c) Ako En ∈ R za svako n ∈ N, tada

∞ T n=1

En ∈ R.

(d) Ako E, F ∈ R, tada E \ F ∈ R. Dokaz. (a) Vaˇzi X ∈ R, te je i ∅ = X c ∈ R. (b) Ako je n ∈ N i En+1 = En+2 = · · · = ∅ ∈ R, tada sledi da je

n S

Ek =

k=1

∞ S

Ek ∈ R.

k=1

(c) Neka je En ∈ R za svako n ∈ N. Tada je c

(d) E \ F = E ∩ F ∈ R.

∞ T n=1

µ En =

∞ S n=1

¶c Enc

∈ R.

Ako je A neka familija podskupova od X, od interesa je posmatrati σ-algebre koje sadrˇze familiju A. Posebno, vaˇzno je postojanje najmanje takve σ-algebre. Tvr¯ denje 1.2.2. Neka je X neprazan skup i A ⊂ P(X). Tada je \ σ−R(A) = {R : A ⊂ R, R je σ−algebra} najmanja σ-algebra skupa X koja sadrˇzi familiju skupova A. Dokaz. Prvo dokazujemo da je σ−R(A) jedna σ-algebra. Na osnovu X ∈ R za svaku σ-algebru R, sledi da je X ∈ σ−R(A). Neka je E ∈ σ−R(A) i neka je R proizvoljna σ-algebra koja sadrˇzi A. Tada je E ∈ R, te je i E c ∈ R. Prema tome, E c ∈ σ−R(A). Na kraju, neka je En ∈ σ−R(A) za svako n = 1, 2, . . . . Ako je R proizvoljna σ-algebra koja sadrˇzi A, tada je En ∈ R za svako n = 1, 2, . . . , te je i ∞ ∞ S S En ∈ R. Sledi da je En ∈ σ−R(A). Ovim smo pokazali da je σ−R(A) jedna n=1

n=1

σ-algebra na skupu X. Dokaˇzimo da je σ−R(A) najmanja σ-algebra koja sadrˇzi A. Na osnovu konstrukcije sledi da je A ⊂ σ−R(A). Ako je R bilo koja σ-algebra koja sadrˇzi A, tako¯ de na osnovu konstrukcije sledi da je σ−R(A) ⊂ R. Ovim smo dokazali da je σ−R(A) najmanja σ-algebra koja sadrˇzi familiju A.

6

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Definicija 1.2.2. (Borelovi skupovi) Neka je R skup realnih brojeva i τ neka je familija svih otvorenih podskupova od R. Tada je σ−R(τ ) = B(R) familija Borelovih skupova na R. Opˇstije, neka je X proizvoljan topoloˇski prostor i neka je τ familija svih otvorenih podskupova od X. Tada je σ−R(τ ) = B(X) familija svih Borelovih skupova na X. Tvr¯ denje 1.2.3. Neka je R najmanja σ-algebra koja sadrˇzi zatvorene skupove (proizvoljnog topoloˇskog prostora X) Tada je R = B(X). Dokaz. Neka je φ familija svih zatvorenih podskupova od X. Tada je R = σ−R(φ). Skup F je zatvoren ako i samo ako je F c otvoren. Ako je F ∈ φ, tada je F c ∈ τ ⊂ B(X). Dakle, F ∈ B(X). Time je dokazano φ ⊂ B(X). Kako je R najmanja σ-algebra koja sadrˇzi familiju φ, sledi da je R ⊂ B(X). Neka je G ∈ τ . Tada je Gc ∈ φ ⊂ R. Dakle, τ ⊂ R. Familija B(X) je najmanja σ-algebra koja sadrˇzi τ , te je B(X) ⊂ R. Na kraju sledi B(X) = R. Neka su, redom, dati slede´ci tipovi intervala u R: I0 je familija svih intervala oblika (a, b), I1 je familia svih poluzatvorenih intervala oblika [a, b), I2 je familija svih poluzatvorenih intervala oblika (a, b], I3 je familija svih segmenata oblika [a, b]. Tvr¯ denje 1.2.4. Vaˇzi jednakost B(R) = σ−R(I0 ) = σ−R(I1 ) = σ−R(I2 ) = σ−R(I3 ). Dokaz. Na osnovu inkluzije I0 ⊂ τ , sledi σ−R(I0 ) ⊂ B(R). Neka je G ∈ τ . Tada je G=

∞ [

(aj , bj ).

j=1

Prema tome, G ∈ σ−R(I0 ). Dokazali smo τ ⊂ σ−R(I0 ), te je B(R) ⊂ σ−R(I0 ). Dakle, prva jednokost tvrdjenja je dokazana. Dokaza´cemo i drugu jednakost, a ostale jednakosti prepuˇs¢tamo ˇcitaocu za samo¡ T∞ stalni rad. Neka je a ∈ R. Tada je {a} = j=1 a − n1 , a + n1 , te je {a} ∈ σ−R(I0 ). Tada je [a, b) = T {a} ∪£ (a, b) ∈ ¢σ−R(I0 ), odakle sledi σ−R(I1 ) ⊂ σ−R(I0 ). Sa druge ∞ strane, (a, b) = j=1 a − n1 , b , te je (a, b) ∈ σ−R(I1 ). Prema tome, vaˇzi i obrnuta inkluzija σ−R(I0 ⊂ σ−R(I1 ). Prethodno tvr¯ denje bez bitnijih izmena vaˇzi u prostoru R∗ . Neka su, redom, dati slede´ci tipovi intervala u R∗ : I0 je familija svih intervala oblika (a, b), [−∞, b), (a, +∞], [−∞, +∞], I1 je familia svih poluzatvorenih intervala oblika [a, b), [−∞, b), [a, +∞], [−∞, +∞], I2 je familija svih poluzatvorenih intervala oblika (a, b], [−∞, b], (a, +∞], [−∞, +∞], I3 je familija svih segmenata oblika [a, b], [−∞, b], [a, +∞], [−∞, +∞]. Tvr¯ denje 1.2.5. Vaˇzi jednakost B(R∗ ) = σ−R(I0 ) = σ−R(I1 ) = σ−R(I2 ) = σ−R(I3 ).

1.3. MERLJIVE FUNKCIJE

7

Ne treba oˇcekivati da je svaki podskup realne prave Borelov. Posledica naredne teoreme jeste da postoji mnogo viˇse skupova koji nisu Borelovi, nego ˇsto postoji Borelovih skupova na R. Ako je A neki skup, tada je κ(A) kardinalnost skupa A. Poznato je da vaˇzi κ(P(R)) = 2c > c. Teorema 1.2.1. κ(B(R)) = c. Dokaz narednog tvr¯ denja je oˇcigledan. Tvr¯ denje 1.2.6. Neka je A slede´ca familija intervala u R∗ : A = {[a, b), [a, +∞), [−∞, b), [−∞, +∞] : a, b ∈ R, a < b}. Neka je R familija svih konaˇcnih unija disjunktnih intervala iz A, odnosno   n [  R= Ij : n ∈ N0 , Ij ∈ A za svako j = 1, . . . n, Il ∩ Ij = ∅ za i 6= j .   j=1

Tada je R algebra na R∗ . Mogu´cnost n = 0 u prethodnoj definiciji u stvari znaˇci ∅ ∈ R. Definicija 1.2.3. Algebra R iz prethodnog tvr¯ denja je Lebegova algebra na R∗ .

1.3

Merljive funkcije

U ovoj sekciji razmatramo funkcije koje se mogu ”izmeriti“ u odnosu na datu σalgebru. Bez gubljenja opˇstosti, posmatra´cemo proˇsirene realne funkcije, odnosno funkcije sa vrednostima u R∗ . Definicija 1.3.1. Neka je R jedna σ-algebra na skupu X. Funkcija f : X → R∗ je merljiva (u odnosu na R), ako za svaki otvoren skup G od R∗ vaˇzi da je f −1 (G) ∈ R. Kaˇze se joˇs da je f R-merljiva, ili jednostavno f je merljiva ako se σ-algebra R podrazumeva. Specijalno, neka je f : R∗ → R∗ . Funkcija f je B(R∗ )-merljiva (Borel-merljiva, ili Borelova), ako je za svaki otvoren skup G od R∗ ispunjeno f −1 (G) ∈ B(R∗ ). Potpuno analogno, moˇze se posmatrati funkcija f koja je definisana na nekom podskupu od R∗ . Podse´camo ovom prilikom na jedan ekvivalenat neprekidnosti funkcija. Funkcija f : R∗ → R∗ je neprekidna, ako za svaki otvoren skup G od R∗ vaˇzi da je f −1 tako¯ de otvoren skup u R∗ . I u ovom sluˇcaju domen funkcije f moˇze biti neki podskup od R∗ . Tvr¯ denje 1.3.1. Neka je f : R∗ → R∗ neprekidna funkcija. Tada je f Borelmerljiva.

8

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Dokaz. Neka je f merljiva funkcija i neka je G otvoren skup u R∗ . Tada je f −1 (G) otvoren skup u R∗ . Sledi da je f −1 (G) ∈ B(R∗ ). Time je dokazano da je f Borelmerljiva funkcija. Sada se vidi znaˇcaj Borelovih skupova i Borel-merljivih funkcija. Otvoreni skupovi jesu Borelovi skupovi, a neprekidne funkcije jesu Borel-merljive funkcije. Prethodni pojmovi lako mogu biti prevedeni na funkcije iz Rn u Rk , ili iz X u Y , pri ˇcemu su X i Y proizvoljni topoloˇski prostori. Proveriti po definiciji merljivost neke konkretne funkcie f : X → R∗ nije uvek jednostavno. Razlog leˇzi u ˇcinjenici da je teˇsko opisati proizvoljan otvoren podskup od R∗ . Stoga se pribegava koriˇs´cenju slede´ceg tvr¯ denja. Teorema 1.3.1. Neka je (X, R) merljiv prostor i f : X → R∗ . Tada su slede´ca tvr¯ denja ekvivalentna: (a) f je merljiva. (b) {x ∈ X : f (x) > a} ∈ R za svako a ∈ R. (c) {x ∈ X : f (x) ≥ a} ∈ R za svako a ∈ R. (d) {x ∈ X : f (x) < a} ∈ R za svako a ∈ R. (e) {x ∈ X : f (x) ≤ a} ∈ R za svako a ∈ R. Dokaz. (a) =⇒ (b): Neka je funkcija f merljiva. Skup (a, +∞] je otvoren u R∗ za svako a ∈ R, te je f −1 ((a, +∞]) = {x ∈ X : f (x) > a} ∈ R. (b) =⇒ (a): Pretpostavimo da je {x ∈ X : f (x) > a} ∈ R za svako a ∈ R. Tada je {x ∈ X : f (x) ≤ b} = {x ∈ X : f (x) > b}c ∈ R za svako b ∈ R. Sledi da je {x ∈ X : f (x) < b} =

∞ ½ \ n=1

1 x ∈ X : f (x) ≤ b + n

¾ ∈R

za svako b ∈ R. Na kraju, f −1 (a, b) = {x ∈ X : f (x) > a} ∩ {x ∈ X : f (x) < b} ∈ R za svako a, b ∈ R. Neka je G proizvoljan otvoren skup u R. Tada je G =

∞ S

(ai , bi ).

i=1

Sledi da je f

−1

(G) =

∞ [

f −1 (ai , bi ) ∈ R.

i=1

Dakle, funkcija f je merljiva. Preostale ekvivalencije ostavljamo ˇcitaocu za samostalan rad. Posledica 1.3.1. Neka je (X, R) merljiv prostor i f : X → R∗ neka je merljiva funkcija. Ako je a ∈ R∗ , tada je f −1 ({a}) ∈ R.

1.3. MERLJIVE FUNKCIJE

9

Dokaz. Ako je a ∈ R, tada je f −1 ({a}) =

∞ \

f −1

n=1

Tako¯ de je f −1 ({−∞}) =

µµ ¶¶ 1 1 a − ,a + ∈ R. n n

∞ \

f −1 ((n, +∞]) ∈ R.

n=1

Sliˇcno se dokazuje da je f −1 ({+∞}) ∈ R. Tvr¯ denje 1.3.2. Neka je (X, R) merljiv porostor i f, g : X → R∗ merljive funkicije. Tada su merljivi slede´ci skupovi: {x ∈ X : f (x) > g(x)}, {x ∈ X : f (x) ≥ g(x)}, {x ∈ X : f (x) = g(x)}. Dokaz. Vaˇzi {x ∈ X : f (x) > g(x)} =

[

[{x ∈ X : f (x) > r} ∩ {x ∈ X : r < g(x)}] ∈ R.

r∈Q c

Tako¯ de je {x ∈ X : f (x) ≥ g(x)} = [{x ∈ X : f (x) < g(x)}] ∈ R i {x ∈ X : f (x) = g(x)} = {x ∈ X : f (x) ≤ g(x)} ∩ {x ∈ X : g(x) ≤ f (x)} ∈ R. Cilj nam je da dokaˇzemo kako osnovne operacije na merljivim funkcijama tako¯ de daju kao rezultat merljivu funkciju. Tvr¯ denje 1.3.3. Neka je (X, R) merljiv prostor, neka su f, g : X → R∗ merljive funkcije, λ, α ∈ R i α > 0. Tada su merljive i slede´ce funkcije: λ + f, λf, |f |α , f − g, f + g, f g,

f (g(x) 6= 0 za svako x ∈ X). g

Dokaz. Neka je a ∈ R. Vaˇzi {x ∈ X : f (x) + λ > a} = {x ∈ X : f (x) > a − λ} ∈ R, odakle sledi merljivost funkcije f + λ. Ako je λ = 0, onda je funkcija λf = 0 trivijalno merljiva. Pretpostavimo da je λ 6= 0. Tada je ( {x ∈ X : f (x) > λa }, λ > 0 {x ∈ X : λf (x) > a} = ∈ R, {x ∈ X : f (x) < λa }, λ < 0 odakle sledi merljivost funkcije λf . Neka je α > 0. Tada je ( {x ∈ X : |f (x)|α > a} =

{x ∈ X : |f (x)| > a1/α , a ≥ 0 X, a a1/α } ∪ {x ∈ X : f (x) < −a1/α }, a ≥ 0 = ∈ R, X, a a} = {x ∈ X1 : f (x) > g(x) + a} ∈ R, te je funkcija f − g merljiva. Potpuno analogno, funkcija f + g je merlljiva, uz eventualno odbacivanje merljivih skupova na kojima funkcija f + g nije definisana. Poslednja dva tvr¯ denja dokazujemo za realne funkcije sada, a kasnije za proˇsirene realne funkcije. Ako su funkcije f i g realne, onda merljivost funkcije f g sledi na osnovu jednostavne jednakosti f (x)g(x) = 41 [(f + g)2 − (f − g)2 ]. Ako je g(x) 6= 0 za svako x ∈ X, tada je  ½ ¾  a=0 {x ∈: g(x) > 0}, 1 x∈X: > a = {x ∈ X : g(x) < a}, a > 0 ∈ R,  g(x)  {x ∈ X : g(x) > a−1 }, a < 0 odakle sledi merljivost funkcije g1 . Sada jednostavno sledi merljivost funkcie Vrati´cemo se kasnije na dokaz merljivosti funkcija f g i merljive funkcije.

f g,

f g.

ako su f i g proˇsirene

Neka je (an )n niz realnih brojeva, i neka je bk = inf an . Tada je (bk )k rastu´ci n≥k

(preciznije, neopadaju´ci) niz brojeva, i stoga postoji sup bk = sup inf an = lim inf an (proveriti poslednju jednakost!) k∈N

k∈N n≥k

n→∞

Analogno se moˇze dokazati da je inf sup an = lim sup an .

k∈N n≥k

n→∞

Potpuno isto razmatranje moˇze biti primenjeno na niz funkcija. Dokaza´cemo joˇs jednu vaˇznu karakterizaciju merljivih funkcija. Teorema 1.3.2. Neka je (X, R) merljiv prostor i fn : X → R niz merljivih funkcija. Tada su funckije f, F, f ∗ , F ∗ , definisane sa f (x) = inf{fn (x) : n ∈ N}, f ∗ (x) = lim inf fn (x), za x ∈ X, tako¯ de merljive funkcije.

F (x) = sup{fn (x) : n ∈ N}, F ∗ (x) = lim sup fn (x),

1.3. MERLJIVE FUNKCIJE

11

Dokaz. Neka je a ∈ R proizvoljan. Tada merljivost funckija f i F sledi na osnovu \ {x ∈ X : f (x) > a} = {x ∈ X : fn ≥ a} ∈ R, {x ∈ X : F (x) > a} =

[

{x ∈ X : fn (x) > a} ∈ R.

Ovim smo pokazali da je infimum, odnosno supremum niza merljvih funkcija, tako¯ de merljiva funkcija. Na osnovu osobina limesa inferiora i limesa superiora, sledi da je ½ ¾ ½ ¾ f ∗ (x) = sup inf fn (x) , F ∗ (x) = inf sup fn (x) . k

n≥k

k

n≥k

Na osnovu merljivosti infimuma i supremuma niza merljivih funkcija, sledi merljivost limesa inferiora i limesa superiora niza merljivih funkcija. Posledica 1.3.2. Neka je (X, R) merljiv prostor i (fn )n niz realnih merljivh funkcija na X. Ako postoji funkcija f tako da je f (x) = lim fn (x) za svako x ∈ X, tada je n→∞ f merljiva funkcija. Zavrˇsetak dokaza Tvr¯ denja 1.3.3. Dokaˇzimo merljivost proizvoda merljivih proˇsirenih ˇ realnih funkcija f i g. Cesta konstrukcija u teoriji mera i integrala je slede´ca. Ako je x ∈ X, neka je  f (x), |f (x)| ≤ n,  fn (x) = n, n ∈ N. f (x) > n,   f (x) < −n, −n, Na isti naˇcin konstruiˇsemo niz (gn )n . Tada su fn i gn realne merljive funkcije, te je i fn gn realna merljiva funkcija. Oˇcigledno, f (x)g(x) = lim fn (x)gn (x) za svako n→∞ x ∈ X, te je f g merljiva funkcija. Ako je g(x) 6= 0 za svako x ∈ X, tada iz fg = f · g1 sledi merljivost funkcije fg . Kompozicija neprekidne i merljive funkcije jeste merljiva funkcija. Tvr¯ denje 1.3.4. Neka je (X, R) merljiv prostor, n ∈ N, f : X → Rn merljiva funkcija, a g : Rn → R∗ neprekidna funkcija. Tada je g ◦ f : X → R∗ merljiva funkcija. Dokaz. Neka je G otvoren skup u R∗ . Na osnovu neprekidnosti funkcije g sledi da je g −1 (G) otvoren skup u Rn . Funkcija f je merljiva, te je (g ◦ f )−1 (G) = f −1 (g −1 (G)) ∈ R. Time je dokazana merljivost funkcije g ◦ f . Teorema 1.3.3. Neka je (X, R) merljiv prostor, i neka je f : X → R∗ merljiva funkcija. Skup Ω ⊂ P(R∗ ) neka je definisan na slede´ci naˇcin: E ∈ Ω ako i samo ako f −1 (E) ∈ R, pri ˇcemu je E ⊂ R∗ . Tada je Ω jedna σ-algebra na R∗ .

12

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Dokaz. Vaˇzi X = f −1 (R∗ ) ∈ R, te je R∗ ∈ Ω. Ako je E ∈ Ω, tada je f −1 (E c ) = c (f −1 (E)) ∈ R,Ste je E c ∈ Ω. Konaˇcno, S S neka je En ∈ Ω za svako n ∈ N. Tada je −1 f ( n En ) = n f −1 (En ) ∈ R, te je n En ∈ Ω. Posledica prethodnog tvr¯ denja je slede´ci vaˇzan rezultat. Teorema 1.3.4. Neka je (X, R) merljiv prostor, f : X → R∗ neka je merljiva funkcija, a g : R∗ → R∗ neka je Borelova funkcija. Tada je g ◦ f : X → R∗ tako¯ de merljiva funkcija. Dokaz. Neka je Ω familija podskupova od R∗ , tako da skup E ⊂ R∗ pripada familiji Ω, ako i samo ako je f −1 (E) ∈ R. Prema prethodnoj teoremi, Ω je jedna σ-algebra na R∗ . Na osnovu merljivosti funkcije f sledi da Ω sadrˇzi sve otvorene podskupove od R∗ . Sa druge strane, B(R∗ ) je najmanja σ-algebra koja sadrˇzi sve otvorene podskupove od R∗ , te je B(R∗ ) ⊂ Ω. Neka je G proizvoljan otvoren skup u R∗ . Funkcija g je Borelova, te sledi da je −1 g (G) ∈ B(R∗ ) ⊂ Ω. Tada je f −1 (g −1 (G)) ∈ R, prema konstrukciji familije Ω. Sledi da je g ◦ f merljiva funkcija na X. Na kraju ove sekcije, dokazujemo vaˇznu teoremu o aproksimaciji nenegativne merljive funkcije nizom prostih funkcija. Ako je E ⊂ X, tada je karakteristiˇcna funkcija skupa E definisana kao ( 1, x ∈ E, χE (x) = 0, x ∈ / E. Ako je (X, R) merljiv prostor, tada je funkcija χE merljiva ako i samo ako je E ∈ R. Funkcija s : X → R je prosta, ako je f (X) konaˇcan podskup od R (iskljuˇcujemo mogu´cnost da s bude proˇsirena merljiva funkcija). Neka je funkcija s prosta, i neka su {α1 , . . . , αn } sve razliˇcite vrednosti funkcije s. Neka je Ai = {x ∈ X : s(x) = αi }, i = 1, . . . , n. Tada je Ai ∩ Aj = ∅ ako je i 6= j, kao i n X s(x) = αi χAi (x), x ∈ X. i=1

Lako je proveriti da je funkcija s merljiva ako i samo ako su svi skupovi Ai merljivi. Teorema 1.3.5. Neka je (X, R) merljiv prostor i f nenegativna proˇsirena realna funkcija na X. Tada postoji niz (sn )n prostih merljivih funkcija na X, tako da vaˇzi (a) 0 ≤ s1 (x) ≤ s2 (x) ≤ · · · ≤ f (x) za svako x ∈ X. (b) lim sn (x) = f (x) za svako x ∈ X. n→∞

Dokaz. Neka je n ∈ N i t ≥ 0. Postoji jedinstveni prirodan broj k = k(n, t), tako da je k 21n ≤ t < (k + 1) 21n . Definiˇsimo funkcije ϕn : [0, +∞] → R za n ∈ N na slede´ci naˇcin: ( k(n, t) 21n , 0 ≤ t < n, ϕn (t) = n, t ≥ n.

1.4. MERA

13

Lako je proveriti da je ϕn Borelova funkcija na skupu [0, +∞]. Ako je 0 ≤ t ≤ n, tada je t − 21n < ϕn (t) ≤ t. Tako¯ de je za svako t ≥ 0: 0 ≤ ϕ1 (t) ≤ ϕ2 (t) · · · ≤ t i lim ϕn (t) = t. Funkcija sn = ϕn ◦ f je merljiva, kao kompozicija Borelove i n→∞

merljive funkcije. Nije teˇsko proveriti da je (sn )n je traˇzeni niz funkcija.

1.4

Mera

U ovoj sekciji izuˇcavamo pozitivne mere na σ-algebrama. Definicija 1.4.1. Neka je (X, R) merljiv prostor. Funkcija µ : R → R naziva se pozitivna mera na prostoru X, ako vaˇze svojstva: (a) µ(A) ≥ 0 za svako A ∈ R. (s) µ(∅) = 0. (c) Ako je (An )n niz uzajamno disjunktnih skupova iz R, tada je Ã∞ ! ∞ [ X An = µ(An ). µ n=1

n=1

Nadalje izuˇcavamo samo pozitivne mere, te atribut ”pozitivna“ izostavljamo. Najvaˇznija osobina mere jeste svojstvo (c), koje se naziva prebrojiva aditivnost mere. Dokazujemo nekoliko osnovnih osobina mere. Tvr¯ denje 1.4.1. Neka je µ pozitivna mera na X. Tada vaˇze tvr¯ denja: ¶ µ n n P P Ak = µ(Ak ). (a) Ako su A1 , . . . , An ∈ R uzajamno disjunktni, tada je µ k=1

k=1

(b) Ako je A, B ∈ R i A ⊂ B, tada je µ(A) ≤ µ(B). µ (c) Ako je An ∈ R za svako n ∈ N, i ako je A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , tada je µ lim µ(An ).

∞ S n=1

¶ An

=

n→∞

(d) Ako je An ∈ R za svako µ ∞ n ∈¶N, i ako je A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , pri ˇcemu je T µ(A1 ) < ∞, tada je µ An = lim µ(An ). n=1

n→∞

Dokaz. (a) Sledi iz definicije mere, ako se uzme da je An+1 = An+2 = · · · = ∅. (b) Ako je A ⊂ B, tada je B = A∪(B \A), te je µ(B) = µ(A)+µ(B \A) ≥ µ(A). (c) Neka je A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , i neka je B1 = A1 , Bk = Ak \ Ak−1 za k = n n S S 2, 3, . . . . Tada su Bk uzajamno disjunktni merljivi skupovi, Bk = Ak = An , k=1

k=1

14 i

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

∞ S

Bk =

k=1

∞ S

Ak . Sada je

k=1

à µ

∞ [

! Ak

à = µ

k=1

!

∞ [

Bk

k=1

=

lim µ

n→∞

Ã

=

∞ X

µ(Bk ) = lim

n→∞

k=1 n [

!

Bk

k=1

n X

µ(Bk )

k=1

= lim µ(An ). n→∞

(d) Neka je A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , i neka je Cn = A1 \ An za n = 1, 2, 3, . . . . Tada je C1 = ∅ ⊂ C2 ⊂ C3 ⊂ · · · . Tako¯ de je A1 = An ∪ Cn i µ(A1 ) = µ(An ) + µ(Cn ). Iz µ(A1 ) < ∞ sledi µ(An ) < ∞ za svako n ∈ N, te je µ(Cn ) = µ(A1 ) − µ(An ). Tako¯ de je Ã∞ ! Ã∞ !c ∞ ∞ ∞ [ [ [ \ \ c c Cn = (A1 ∩ An ) = A1 ∩ An = A1 ∩ An = A1 \ An . n=1

n=1

n=1

n=1

n=1

Primenimo ve´c dokazano svojstvo (c), odakle sledi Ã∞ ! \ µ(A1 ) − µ An = lim µ(Cn ) = µ(A1 ) − lim µ(An ). n=1

n→∞

n→∞

Time je dokazano svojstvo (d) ovog tvr¯ denja. Svojstva (c) i (d) predstavljaju osobine neprekidnosti mere (za rastu´ce i opadaju´ce familije skupova). Na nekom skupu X 6= ∅ se moˇze na trivijalan naˇcin definisati mera: ( 0, A = ∅, µ(A) = +∞, A 6= ∅. Drugi jednostavan naˇcin je mera prebrojavanja. Neka je X proizvoljan neprazan skup i A ⊂ X. Neka je µ(A) jednako broju elemenata skupa A ako je A konaˇcan, i neka je µ(A) = ∞ ako je A beskonaˇcan skup. Posebna je vaˇznost mere prebrojavanja na skupu N. Na taj naˇcin se teorija integrala povezuje sa teorijom redova, i o tome ´ce biti viˇse reˇci kasnije. Neka je x0 ∈ X. Definiˇsemo meru µ na slede´ci naˇcin: ( 1, x0 ∈ A, µ(A) = 0, x0 ∈ / A. Mera µ u ovom sluˇcaju je mera jediniˇcne mase skoncentrisane u taˇcki x0 . Primer 1.4.1. Svojstvo (d) prethodne teoreme ne vaˇzi bez minimalne pretpostavke µ(An ) < ∞ za neko n ∈ N. Neka je µ mera prebrojavanja na skupu N, An = T {n, n + 1, . . .} za n ∈ N. Tada je A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , n An = ∅, te je mera ovog skupa jednaka nuli. Sa druge strane, µ(An ) = ∞ za svako n ∈ N.

1.5. LEBEG-STILTJESOVA MERA

15

Neka je X neprazan skup, R je σ-algebra na X, i µ je mera na R. Ako je E ∈ R, tada se (E, R) tako¯ de moˇze smatrati merljivim prostorom na slede´ci elementaran naˇcin. Ako je A ⊂ R, onda je A merljiv na skupu E, ako i samo ako je A ∈ R. Odgovaraju´ca σ-algebra na E je familija skupova RE = {A ∈ R : A ⊂ E}. Jednostavno je tada i meru µ smatrati merom na skupu E. Mera µ je skoncentrisana na skupu B ∈ R, ako za svako F ∈ R vaˇzi µ(F ) = µ(F ∩ B). Mera µ je kompletna na σ-algebri R, ako za svako E ∈ R sa svojstvom µ(E) = 0, i svako F ⊂ E, vaˇzi F ∈ R (tada je, naravno, µ(F ) = 0). Neka je µ mera na σ-algebri R u skupu R∗ . Mera µ je Borelova, ako je B(R∗ ) ⊂ R, odnosno ako je µ definisana na Borelovim skupovima iz R∗ . Opˇstije, ako je X topoloˇski prostor, mera µ je Borelova na X, ako je µ definisana za svaki Borelov podskup od X. Mera µ je konaˇcana na merljivom prostoru (X, R), ako je µ(X) < ∞. Mera µ je σ-konaˇcna na X, ako postoji niz skupova S∞ (En )n , tako da je za svako n ∈ N ispunjeno En ∈ R i µ(En ) < ∞, i vaˇzi X = n=1 En . Ako je µ mera na prostoru (X, µ) i µ(X) = 1, tada je µ verovatno´ca na prostoru (X, R). Aksiomatska teorija verovatno´ce upravo se zasniva na teoriji mera i integrala.

1.5

Lebeg-Stiltjesova mera

U ovoj sekciji izuˇcavamo specijalne pozitivne mere na skupu R∗ . Prvo definiˇsemo meru na elementarnim intervalima u R∗ . Zatim produˇzujemo meru na elemente Lebegove algebre R u skupu R∗ . Na osnovu mere na R, definiˇsemo spoljnu meru na P(R∗ ). Kontrukcijom Karateodorija redukujemo skup P(R∗ ) na manju familiju R∗ , tako da spoljna mera postaje prava mera na familiji R∗ . Pri tome je R ⊂ B(R∗ ) ⊂ R∗ ⊂ P(R∗ ).

1.5.1

Konstrukcija pozitivne mere µg na Lebegovoj algebri R

Neka je A familija elementarnih intervala u R∗ : A = {[a, b), [a, +∞], [−∞, b), [−∞, +∞] : a, b ∈ R, a < b}. Neka je R Lebegova algbra na R∗ , definisana kao   n [  R= Ij : n ∈ N0 , Ij ∈ A (j = 1, . . . , n), Ij ∩ Ik = ∅ za j 6= k .   j=1

Uslov n ∈ N0 u prethodnoj definiciji omogu´cava da je n = 0, odnosno ∅ ∈ R. Neka je g : R∗ → R∗ funkcija, koja je rastu´ca (neopadaju´ca) i neprekidna s leva na R∗ .

16

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Da bi izbegli trivijalnost, pretpostavimo da g nije konstanta funkcija. Definiˇsemo funkciju µg : A → R∗ na slede´ci naˇcin: µ([a, b)) = g(b) − g(a), µg ([a, +∞]) = g(+∞) − g(a), µg ([−∞, b)) = g(b) − g(−∞), g([−∞, +∞]) = g(+∞) − g(−∞). Iz ˇcinjenice da je funkcija g rastu´ca, sledi da je µg (I) dobro definisana funkcija za svako I ∈ A, pri ˇcemu vredost funkcije µg uvek pripada skupu R∗ . Definisa´cemo funkciju µSg na skupu R na slede´ci naˇcin. Neka je µg (∅) = 0. Neka n je E ∈ R, E 6= ∅ i E = j=1 Ij ∈ R, pri ˇcemu je Ij ∈ A i za svako i 6= j vaˇzi Ii ∩ Ij = ∅. Tada je, po definiciji,   n n [ X µg (E) = µg  Ij  = µg (Ij ). j=1

j=1

Treba dokazati da vrednost µg (E) ne zavisi od reprezentacije skupa E elementarnim intervalima iz A. Neka postoje dve takve reprezentacije, odnosno E=

n [

Ii =

i=1

m [

Jj ,

j=1

pri ˇcemu je Ii , Jj ∈ A, Ii ∩ Ik = ∅ za i 6= k, i Jj ∩ Jk = ∅ za j 6= k. Tada je   m m [ [ Ii = Ii ∩ E = Ii ∩  Jj  = (Ii ∩ Jj ), j=1

i analogno Jj =

n [

j=1

(Ii ∩ Jj ).

i=1

Sledi da je E=

n [ m [ i=1 j=1

(Ii ∩ Jj ) =

m [ n [

(Ii ∩ Jj ).

j=1 i=1

Skupovi Ii ∩ Jj su uzajamno disjunknti, odakle, promenom redolseda sabiranja ako je potrebno, proizilazi da vaˇzi   Ã n ! n n m m m X X X X X X   µg (Ii ) = µg (Ii ∩ Jj ) = µg (Ii ∩ Jj ) = µg (Jj ), i=1

i=1

j=1

j=1

i=1

j=1

odakle sledi da µg (E) ne zavisi od izbora elementarnih intervala. Dokaza´cemo da je µg mera na Lebegovoj algebri R. Iz µg (∅) = 0 i µg (E) ≥ 0 za svako E ∈ R, preostaje da dokaˇzemo prebrojivu aditivnost funkcije µg . Familija R

1.5. LEBEG-STILTJESOVA MERA

17

oˇcigledno nije σ-algbra, odnosno nije zatvorena za prebrojive unije svojih elemenata. Stoga prebrojiva aditivnost funkcije µg u stvari predstavlja implikaciju: S∞ Ako je En ∈ R za svako n ∈ N, En ∩ Ek = ∅ za n 6= k, i ako je n=1 En ∈ R, onda je Ã∞ ! ∞ [ X µg En = µg (En ). n=1

n=1

Oˇcigledno, vaˇzi konaˇcna aditivnost: ako je E1 , . . . , En ∈ R i Ei ∩ Ej = ∅ za i 6= j, onda je à n ! n [ X µg Ei = µg (Ej ). i=1

i=1

U specijalnom sluˇcaju, neka je En = [an , bn ) i E = [a, b). Na osnovu monotonosti funkcije g i na osnovu disjunktnosti intervala [an , bn ) jednostavno sledi nejednakost µg (E) = g(b) − g(a) ≥

∞ X

[g(bn ) − g(an )] =

n=1

∞ X

µg ([an , bn )).

n=1

Da bi dokazali suprotnu nejednakost, pretpostavimo da je ² > 0 i 0 < δ < b − a. Funkcija g je neprekidna s leva u svakoj taˇcki ak . Stoga za svako k ∈ N postoji ²k > 0, tako da vaˇzi ² |g(ak ) − g(ak − ²k )| < k . 2 Tada je ∞ ∞ [ [ [a, b − δ] ⊂ [a, b) = [ak , bk ) ⊂ (ak − ²k , bk ). n=1

k=1

Prema teoremi Hajne-Borel-Lebega, postoji konaˇcno mnogo ovakvih intervala, odnosno n [

[a, b − δ] ⊂

(ak − ²k , bk ).

k=1

Bez gubljenja opˇstosti, moˇzemo pretpostaviti da je a1 −²1 < a < b1 , an −²n < b−δ < bn , ak+1 −²k+1 < bk < bk+1 za k = 1, 2, . . . , n−1. Na osnovu monotonosti funkcije g sledi g(b − δ) − g(a) ≤ g(bn ) − g(a1 − ²1 ) = g(b1 ) − g(a1 − ²1 ) +

n−1 X

[g(bk+1 − g(bk )]

k=1

≤ ≤

n X

[g(bk ) − g(ak − ²k )] =

k=1 n X

[g(bk ) − g(ak )] +

k=1

n X

[g(bk ) − g(ak )] +

k=1

n X

[g(ak ) − g(ak − ²k )]

k=1

n ∞ X X ² [g(bk ) − g(ak )] + ². ≤ 2k

k=1

k=1

18

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Ako sada ² → 0 i δ → 0, onda sledi µg ([a, b)) = g(b) − g(a) ≤

∞ X

[g(bk ) − g(ak )] =

k=1

∞ X

µg ([ak , bk )).

k=1

Time je dokazano, u specijalnom sluˇcaju, da je µg prebrojivo aditivna na Lebegovoj algebri R. Mera µg je Lebeg-Stiltjesova mera (za sada na Lebegovoj algebri R).

1.5.2

Spoljna mera µ∗g na P(R∗ )

Slede´ci korak je produˇzenje Lebeg-Stiltjesove mere do funkcije µ∗g , koja je definisana na P(R∗ ). Definicija 1.5.1. Neka je X neprazan skup. Spoljna mera na skupu X je funkcija ν : P(X) → R∗ , koja ima svojstva: (1) ν(∅) = 0. (2) ν(A) ≥ 0 za svako A ∈ P(X). (3) Ako je A, B ∈ P(X) i A ⊂ B, onda je ν(A) ≤ ν(B). (4) Ako je An ∈ P(X) za svako n ∈ N, tada je Ã∞ ! ∞ [ X ν An ≤ ν(An ). n=1

n=1

Oˇcigledno, svaka mera jeste spoljna mera, dok spoljna mera nije obavezno mera. Definicija 1.5.2. Funkcija µ∗g : P(R∗ ) → R∗ definisana je na slede´ci naˇcin: (∞ ) ∞ X [ µ(En ) : A ⊂ En , En ∈ R za svako n ∈ N . µ∗g (A) = inf n=1

Teorema 1.5.1. Funkcija za svako E ∈ R.

n=1

µ∗g

je spoljna mera na P(R∗ ). Pri tome, µ∗g (E) = µg (E)

Dokaz. Osobine (1), (2) i (3) spoljne mere trivijalno vaˇze za funkciju µ∗g . Preostaje da dokaˇzemo svojstvo (4). Neka je An ⊂ X za svako n ∈ N. Ako je µ∗g (An ) = +∞ za neko n ∈ N, onda je tvr¯ denje dokazano. Stoga pretpostavimo da je µ∗g (An ) < ∞ za svako n ∈ N. Za svaki skup An i svako ² > 0 postoji niz (En,k )k , tako da vaˇzi En,k ∈ R za svako n, k ∈ N, ∞ ∞ [ X ² An ⊂ En,k i µ∗g (An ) + n > µg (En,k ). 2 k=1 k=1 S∞ S∞ S∞ Neka je A = n=1 An . Tada je A ⊂ n=1 k=1 En,k jedno pokrivanje skupa A. Na osnovu osobina infimuma, sledi da je Ã∞ ! ∞ ∞ ³ ∞ X ∞ X [ X ² ´ X ∗ ∗ ∗ µg (An ) + ². µg (A) = µg µg (En,k ) < µ∗g (An ) + n = An ≤ 2 n=1 n=1 n=1 n=1 k=1

1.5. LEBEG-STILTJESOVA MERA Ako ² → 0, sledi da je

à µ∗g

∞ [

n=1

19 !

An

≤

∞ X

µ∗g (An ).

n=1

Time je dokazano svojstvo (4) spoljne mere. Ako je E ∈ R, tada S je E sam sebi pokrivaˇc, te je µ∗g (E) ≤ µg (E). Ako je En ∈ R S∞ ∞ za svako n ∈ N i E ⊂ n=1 En , onda je E = n=1 (E ∩ En ). Tada je, na osnovu subaditivnosti mere, µg (E) ≤

∞ X

µg (E ∩ En ) ≤

n=1

∞ X

µg (En ).

n=1

Prethodna nejednakost vaˇzi za svako pokrivanje skupa E, te je µg (E) ≤ µ∗g (E). Spoljna mera µ∗g je indukovana merom µg . Ukoliko je µg σ-konaˇcna na R, onda je µ∗g tako¯ de σ-konaˇcna na P(R∗ ).

1.5.3

Konstrukcija Karateodorija

Za funkciju µ∗g nemamo mogu´cnosti da dokaˇzemo svojstvo prebrojive aditivnosti na familiji P(R∗ ). Zato redukujemo familiju P(R∗ ) na manju σ-algebru R∗µg , tako da je µ∗g mera na R∗µg . Teorema 1.5.2. (Karateodori) Neka je familija R∗µg definisana na slede´ci naˇcin. Neka je E ∈ P(R∗ ). Tada E ∈ R∗µg ako i samo ako za svako A ⊂ R∗ vaˇzi µ∗g (A) = µ∗g (A ∩ E) + µ∗g (A ∩ E c ). Tada je R∗µg jedna σ-algebra na R∗ , R ⊂ R∗ , i µ∗g je kompletna mera na R∗µg . Dokaz. Spoljna mera µ∗g je subaditivna. Na osnovu A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ E c ) sledi da vaˇzi µ∗g (A) ≤ µ∗g (A ∩ E) + µ∗g (A ∩ E c ). Dakle, E ∈ R∗µg ako i samo ako za svako A ∈ P(X) vaˇzi µ∗g (A) ≥ µ∗g (A ∩ E) + µ∗g (A ∩ E c ). Iz same definicije familije R∗µg sledi da E ∈ R∗µg ako i samo ako E c ∈ R∗µg . Za svako A ∈ P(R∗ ) vaˇzi µ∗g (A ∩ R∗ ) + µ∗g (A ∩ (R∗ )c ) = µ∗g (A), odakle sledi R∗ ∈ R∗µg . Neka je E, F ∈ R∗µg . Tada za svako A ⊂ R∗ vaˇzi µ∗g (A ∩ (E ∪ F )) + µ∗g (A ∩ (E ∪ F )c ) = µ∗g (A ∩ (E ∪ F )) + µ∗g (A ∩ E c ∩ F c ) = µ∗g (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E) + µ∗g (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E c ) + µ∗g (A ∩ E c ∩ F c ) = µ∗g (A ∩ E) + µ∗g (A ∩ F ∩ E c ) + µ∗g (A ∩ E c ∩ F c ) = µ∗g (A ∩ E) + µ∗g (A ∩ E c ) = µ∗g (A).

20

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Time je dokazano da je E ∪ F ∈ R∗µg , te je R∗µg jedna algebra na R∗ . Neka je (En )n niz elemenata familije R∗µg . Neka je F1 = E1 ∈ R∗µg F2 = E2 \ F1 ∈ R∗µg , F3 = E3 \ (F1 ∪ F2 ) ∈ R∗µg , .. . Fn = En \ (F1 ∪ · · · ∪ Fn−1 ) ∈ R∗µg , .. . Sn

Sn S∞ S∞ Oˇcigledno je k=1 Ek = k=1 Fk za svako n ∈ N, odakle sledi k=1 Ek = k=1 Fk . Tako¯ de je Fi ∩ Fj = ∅ za i 6= j. Iz ˇcinjenice F1 ∩ F2 = ∅, sledi da za svako A ∈ P(R∗ ) vaˇzi µ∗g (A ∩ (F1 ∪ F2 ))

=

µ∗g (A ∩ (F1 ∪ F2 ) ∩ F1 ) + µ∗g (A ∩ (F1 ∪ F2 ) ∩ F1c )

=

µ∗g (A ∩ F1 ) + µ∗g (A ∩ F2 ).

Sada je lako dokazati da za svako n ∈ N vaˇzi !! Ã Ã n n [ X ∗ Fk = µg (A ∩ Fk ). µg A ∩ k=1

Pri tome je

Sn k=1

k=1

Fk ∈ R∗µg . Za svako A ∈ P(R∗ ) vaˇzi Ã

µ∗g (A)

=

µ∗g

Ã

A∩

n [

Fk

+

k=1

=

n X

µ∗g (A

Ã

!! µ∗g

∩ Fk ) +

n [

A∩

à µ∗g

Ã

à A∩

n [

!c ! Fk

k=1 !c !

Fk

k=1

k=1

S∞ Sn S∞ Sn c c Vaˇzi k=1 Fk ⊂ k=1 Fk , odakle sledi A ∩ ( k=1 Fk ) ⊃ A ∩ ( k=1 Fk ) . Stoga je, na osnovu monotonosti spoljne mere µ∗g , à Ã∞ !c ! n [ X µ∗g (A) ≥ µ∗g (A ∩ Fk ) + µ∗g A ∩ Fk . k=1

k=1

Neka n → ∞. Sledi da vaˇzi µ∗g (A) ≥

∞ X

à µ∗g (A ∩ Fk ) + µ∗g

k=1

Ã

≥

µ∗g

A∩

Ã

∞ [

k=1

Ã

A∩

!! Fk

à +

µ∗g

∞ [

k=1

A∩

!c ! Fk Ã

∞ [ k=1

!c ! Fk

.

1.6. LEBEGOVA MERA NA R

21

S∞ S∞ Time je dokazano k=1 Fk = k=1 Ek ∈ R∗µg , te je R∗µg σ-algebra na R∗ . S∞ Poslednje nejednakosti su u stvari jednakosti! Ako je A = k=1 Fk i Fk ∩ Fn = ∅ za k 6= n, onda oˇcigledno vaˇzi Ã∞ ! ∞ X [ ∗ Fk = µ∗g (Fk ), µg k=1

k=1

i stoga je µ∗g mera na R∗µg . Na kraju, neka je E ∈ R∗µg , µ∗g (E) = 0, F ⊂ E i A ⊂ R∗ . Tada je µ∗g (A) ≤ µ∗g (A ∩ F ) + µ∗g (A ∩ F c ) ≤ µ∗g (A ∩ E) + µ∗g (A) ≤ µ∗g (E) + µ∗g (A) = µ∗g (A). Sledi da je F ∈ R∗µg , te je µ∗g kompletna mera na R∗µg . Familija R∗µg predstavlja σ-algebru skupova koji su Lebeg-Stiltjes merljivi, a µ∗g je Lebeg-Stiltjesova mera na R∗µg . Na osnovu prethodne konstrukcije, sledi da vaˇze slede´c se inkluzije: R ⊂ B(R∗ ) ⊂ R∗µg ⊂ P(R∗ ).

1.6

Lebegova mera na R

Najvaˇznija mera na realnoj pravoj jeste Lebegova mera. Ako je g(x) = x za svako x ∈ R∗ , onda se mera µ∗g naziva Lebegova mera na R∗ , a oznaˇcava se sa m. Familija svih Lebeg-merljivih skupova na R∗ oznaˇcava se sa R∗m , ili samo sa R∗ . Sada je jednostavno (po potrebi) iskljuˇciti taˇcke −∞ i +∞ iz razmatranja, ˇcime se dobija Lebegova mera na R. Nadalje razmatramo samo Lebegovu meru na R. Na osnovu konstrukcije u prethodnoj sekciji, vaˇzi R ⊂ B(R) ⊂ R∗ ⊂ P(R). Posledica 1.6.1. Ako je a ∈ R, onda je m({a}) = 0. Tako¯ de je m(R) = +∞. Tvr¯ denje 1.6.1. Ako je E ∈ R∗ i c ∈ R, tada je E + c ∈ R∗ i m(E + c) = m(E). Drugim reˇcima, Lebegova mera je translaciono invarijantna. Dokaz. Neka je c ∈ R. Ako je E ∈ A, tada je E + c ∈ A i m(E + c) = m(E). Dakle, Lebegova mera m je translaciono invarijanta na familiji A. Sledi da je Lebegova mera invarijantna na Lebegovoj algebri R. ∞ S Neka je E ∈ P (R∗ ) i neka je E ⊂ Ei , gde je Ei ∈ R za svako i ∈ N. Sledi da je E + c ⊂

∞ S

i=1

(Ei + c), odakle sledi da je spoljna mera m∗ indukovana Lebegovom

i=1

merom translaciono invarijantna. Na kraju, trivijalno sledi da je Lebegova mera translaciono invarijantna na R∗ . Dokazujemo slede´cu vaˇznu karakterizaciju Lebeg merljivih skupova.

22

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Teorema 1.6.1. Za svako A ∈ R∗ vaˇzi: m(A) = inf{m(G) : A ⊂ G, G je otvoren}. Dokaz. Neka je α = inf{m(G) : A ⊂ G, G je otvoren}. Ako je G otvoren onda je on Lebeg-merljiv. Stoga, iz A ∈ R∗ i A ⊂ G sledi m(A) ≤ m(G). Prema tome, m(A) ≤ α. Ako je m(A) = +∞, onda je trivijalno m(A) = α = +∞. Stoga pretpostavimo da je m(A) < ∞. Neka je ² > 0. Tada postoji familja (En )n iz R, tako da je ∞ ∞ S P A ⊂ En i En < m(A) + 2² < ∞. Za svako n ∈ N je onda m(En ) < ∞. n=1

n=1

Svaki skup En je konaˇcna disjunktna unija elementarnih intervala iz A. Stoga je ∞ ∞ ∞ ¡ ¢ S S S En = [ak , bk ). Neka je Ik = ak − 2²k , bk . Tada je G = Ik otvoren skup,

n=1

k=1

A ⊂ G i m(G) < m(A) + ². Time je dokazano m(A) = α.

k=1

Prethodna teorema tvrdi da je Lebegova mera spoljaˇsnje regularna. Posledica 1.6.2. Skup A ⊂ R je Lebegove mere nula, ako i samo ako za svako ² > 0 postoji niz disjunktnih ograniˇcenih intervala (ak , bk )k , tako P S najviˇse prebrojiv m(bk − ak ) < ². da je A ⊂ (ak , bk ) i k

k

Dokaz. Otovren skup G u prethodnoj teoremi je najviˇse prebrojiva unija disjunktnih intervala Ik . Ako je m(G) < ², tada su svi intervali Ik ograniˇceni. Teorema 1.6.2. Za svako A ∈ R∗ i za svako ² > 0 postoje otvoren skup G i zatvoren skup F , tako da vaˇzi: F ⊂A⊂G

i

m(G \ F ) < ².

Dokaz. Neka je A ∈ R∗ i ² > 0. Tada je A =

∞ S

Ak , pri ˇcemu je Ak = A ∩ [−k, k].

k=1

Prema prethodnoj teoremi, za svako k ∈ N postoje otvoreni skupovi Gk , tako da ∞ S Gk . Skup G je otvoren i vaˇzi je Ak ⊂ Gk i m(Gk \ Ak ) < 2²k . Neka je G = G\A⊂

∞ S

k=1

Gk \ Ak , te je

k=1

² . 2 Na osnovu prethdnog, postoji otvoren skup H, tako da je Ac ⊂ H i m(H \Ac ) < ²/2. Skup F = H c je zatvoren i vaˇzi F ⊂ A. Sada je A \ F = H \ Ac i m(A \ F ) < ²/2. Prema tome, F ⊂ A ⊂ G i m(G \ F ) < ². m(G \ A) <

Posledica 1.6.3. Za svako A ∈ R∗ vaˇzi: (1) m(A) = sup{m(F ) : F ⊂ A, F je zatvoren}. (2) m(A) = sup{m(K) : K ⊂ A, K je kompaktan}.

1.6. LEBEGOVA MERA NA R

23

Svojstvo (2) je unutraˇsnja regularnost Lebegove mere. Dakle, Lebegova mera je regularna. Dokaz. (1) Sledi na osnovu prethodne teoreme. (2) Neka je A ∈ R i ² > 0. Tada postoji zatvoren skup F sa svojstvima F ⊂ A ∞ S Kn , gde je Kn = F ∩ [−n, n]. Skupovi Kn su i m(A \ F ) < ²/2. Vaˇzi F = n=1

kompaktni. Tada su i svi skupovi Hn = K1 ∪ · · · ∪ Kn kompaktni. Ako je m(F ) = +∞, tada je m(A) = lim m(Hn ) = ∞. U ovom sluˇcaju n→∞

trivijalno vaˇzi tvr¯ denje (2). Neka je m(F ) < ∞. Tada je red N ∈ N tako da je

∞ P

∞ P n=1

m(Kn ) konvergentan. Stoga postoji broj

m(Kn ) < ²/2. Tada je m(A \ HN ) < ². Dakle, i u ovom

n=N +1

sluˇcaju vaˇzi (2). Skup A je tipa Fσ , ako je A najviˇse prebrojiva unija zatvorenih skupova. Skup A je tipa Gδ , ako je A najviˇse prebrojiv presek otvorenih skupova. Skupovi tipa Fσ i Gδ su oˇcigledno Borelovi. Posledica 1.6.4. Ako je A ∈ R∗ , onda postoje skupovi: B tipa Fσ i C tipa Gδ , tako da je B ⊂ A ⊂ C i m(C \ B) = 0. Dokaz. Za svako n ∈ N postoje: otvoren skup Gn i zatvoren skup Fn , tako da je ∞ ∞ S T Fn ⊂ A ⊂ Gn i m(Gn \ Fn ) < 1/n. Neka je B = Fn i C = Gn . Tada je B n=1

n=1

tipa Fσ , C je tipa Gδ , i B ⊂ A ⊂ C. Tada je m(C \ B) < 1/n za svako n ∈ N, te je m(C \ B) = 0. Vratimo se lancu implikacija R ⊂ B(R) ⊂ R∗ ⊂ P(R). Oˇcigledno je R 6= B(R). Kardinalnost familije Borelovih skupova na R jendaka je c. Sa druge strane, Kantorov skup K je Borelov, njegova mera je nula a kardinalnost je c. Lebegova mera je kompletna na R∗ . Stoga je svaki podskup Kantorovog skupa merljiv. Obzirom da je kardinalnost Kantorovog skup jednaka c, sledi da njegovih podskupova ima 2c , a to je viˇse od c. Prema tome, B(R) 6= R∗ . ˇ Me¯ dutim, R∗ 6= P(R). Staviˇ se, nije mogu´ce Lebegovu meru proˇsiriti na P(R). Ovo tvr¯ denje se suˇstinski bazira na aksiomi izbora. U tu svrhu dokazujemo pomo´cni rezultat. Tvr¯ denje 1.6.2. Postoji skup A ⊂ [−1, 1] i niz brojeva (ri )i , tako da su skupovi Ai = A + ri (i ∈ N) uzajamno disjunktni i da je [−1, 1] ⊂

∞ [ i=1

Ai ⊂ [−3, 3].

24

GLAVA 1. POZITIVNE MERE

Dokaz. Na skupu [−1, 1] definiˇsemo relaciju ∼ na slede´ci naˇcin: za x, y ∈ [−1, 1] neka je x ∼ y ako i samo ako x−y ∈ Q. Lako je proveriti da je ∼ jedna relacija ekvivalencije na skupu [−1, 1]. Relacija ∼ razbija skup [−1, 1] na disjunktne klase. Neka je skup A takav, da sadrˇzi taˇcno jednog predstavnika ekvivalencije ∼. Konstrukcija skupa A je mogu´ca na osnovu aksiome izbora. Neka je (ri )i skup svih racionalnih brojeva iz segmenta [−2, 2]. Za svako i ∈ N neka je Ai = A + ri . Kako je A ⊂ [−1, 1], sledi da je Ai ⊂ [−3, 3]. Pretpostavimo da postoje i, j ∈ N, tako da je Ai ∩ Aj = (A + ri ) ∩ (A + rj ) 6= ∅. Tada postoje brojevi a1 , a2 ∈ A sa svojstvom a1 + ri = a2 + rj , te je a1 − a2 = rj − ri ∈ Q. Skup A sadrˇzi po jednog predstavnika iz svake klase ekvivalencije ∼, pa mora biti a1 = a2 . Stoga je ri = rj i i = j. Na kraju, ako je i 6= j, onda je Ai ∩ Aj = ∅. ∞ S Oˇcgledno je Ai ⊂ [−3, 3]. Ako je x ∈ [−1, 1], tada postoji taˇcno jedna klasa i=1

ekvivalencije ∼ koja sadrˇzi x. Prema tome, postoji taˇcno jedan elemenat a ∈ A sa svojstvom x ∼ a. Dakle, postoji rk ∈ Q tako da je x = a + rk ∈ Ak . Sledi ∞ S [−1, 1] ⊂ Ai . i=1

Teorema 1.6.3. Ne postoji mera µ : P(R) → R∗ za koju vaˇze svojstva: (1) µ je translacino invarijatna, odnosno za svako A ∈ P(R) i svako c ∈ R je µ(A + c) = µ(A). (2) Ako je a, b ∈ R i a ≤ b, onda je µ([a, b]) = b − a. Dokaz. Neka su A i Aj = A + rj (j ∈ N) skupovi odre¯ deni prethodnim tvr¯ denjem. Tada je µ(Aj ) = µ(A) za svako j ∈ N. Tako¯ de je   ∞ ∞ [ X 2 = µ([−1, 1]) ≤ µ  Aj  = µ(Aj ) ≤ µ([−3, 3]) = 6. j=1

Dakle, red

∞ P j=1

j=1

µ(Aj ) konvergira broju koji je izme¯ du 2 i 6, odakle sledi lim µ(Aj ) = j→∞

0. Me¯ dutim, µ(Aj ) = µ(A) za svako j ∈ N, odakle sledi da mora biti µ(A) = 0. To tako¯ de nije mogu´ce, jer je suma navedenog reda najmanje 2. Dakle, ne postoji mera µ na familiji P(R) sa navedenim svojstvima. Zbog velike vaˇznosti, formuliˇsemo slede´cu posledicu. Posledica 1.6.5. Postoji Lebeg-merljiv podskup od R, koji nije Borelov. Postoji podskup od R koji nije Lebeg-merljiv.

Glava 2

Integral Integral merljive funkcije u odnosu na pozitivnu meru definiˇse se u viˇse koraka. Prvo se definiˇse integral proste funkcije, zatim integral nenegativne funkcije, a na kraju se definiˇse integral proizvoljne proˇsirene realne merljive funkcije.

2.1

Integral proste merljive nenegativne funkcije

Neka je (X, R) merljiv prostor, i neka je s : X → R merljiva, prosta, nenegativna funkcija. Tada je n X s= αi χAi , i=1

pri ˇcemu su α1 , . . . , αn ≥ 0 sve mogu´ce razliˇcite vrednosti funkcije s, Ai = f −1 ({αi }) ∈ R i Ai ∩ Aj = ∅ za i 6= j. Neka je µ pozitivna mera na σ-algebri R. Integral funkcije s na skupu X u odnosu na meru µ definisan je kao Z s dµ = X

n X

αi µ(Ai ).

(2.1)

i=1

Ako je s = 0 i µ(X)R= ∞, onda je (na osnovu ranije konvencije 0 · ∞ = ∞) 0 dµ = 0. Sledi da je X s dµ ∈ [0, +∞] za svaku merljivu, prostu i nenegativnu funkciju s. n P Neka je E ∈ R. Tada je, oˇcigledno, sχE = αi χE∩Ai . Stoga je ispravno R

X

definisati

i=1

Z

Z s dµ =

E

sχE dµ = X

n X

αi µ(E ∩ Ai ).

i=1

Ako je E = X, prethodna definicija se poklapa sa (2.1). Dakle, dovoljno je definisati integral proste funkcije na celom prostoru X. Kao specijalan sluˇcaj javi´ce se integral funkcije na merljivom podskupu od X. 25

26

GLAVA 2. INTEGRAL

Teorema 2.1.1. Neka je µ pozitivna mera na merljivom prostoru (X, R). Neka su s, t nenegativne, proste i merljive funkcije na X, A, B, E ∈ R i c ≥ 0. Tada vaˇzi: R R (1) Ako je s ≤ t, tada je X s dµ ≤ X t dµ. R R (2) Ako je A ⊂ B, tada je A s dµ ≤ B s dµ R R (3) X (c s) dµ = c X s dµ. R (4) Funkcija ϕ : R → R∗ , definisana kao ϕ(E) = E s dµ, jeste pozitivna mera na (X, R). R R R (5) X (s + t)dµ = X s dµ + X t dµ. Dokaz. Tvrdjenja (1)-(3) je jednostavno dokazati. (4) Oˇcigledno je ϕ(E) ≥ 0 za svako E ∈ R, kao i ϕ(∅) = 0. Neka je (En )n n S∞ P disjunktna familija elemenata iz R, i neka je E = n=1 En . Neka je s = αi χAi , i=1

αi 6= αj za i 6= j.. Iskoristimo ˇcinjenicu da je µ mera na R:

ϕ(E) = =

n X

αi µ(Ai ∩ E) =

i=1 ∞ X n X

n X

αi

i=1

αi µ(Ai ∩ En ) =

n=1 i=1

∞ X

µ(Ai ∩ En )

n=1 ∞ X

ϕ(En ).

n=1

Ovde smo iskoristili i ˇcinjenicu da je kod reda sa pozitivnim ˇclanovima mogu´ce pregrupisati sabirke na proizvoljan naˇcin. m P (5) Neka je t = βj χBj , βj 6= βk za j 6= k. Neka je Eij = Ai ∩ Bj . Tada je j=1 Sn Sm X = i=1 j=1 Eij , kao i Z

Z

Z

(s + t)dµ = (αi + βj )µ(Eij ) =

s dµ +

Eij

Eij

Koriste´ci dokazano svojstvo (4), proizilazi da je

2.2

R X

(s+t)dµ =

t dµ. Eij

R X

s dµ+

R X

t dµ.

Integral nenegativne merljive funkcije

Neka je f : X → R∗ nenegativna merljiva funkcija. Tada postoji niz prostih, merljivih, nenegativnih funkcija (sn )n , tako da je lim sn = f na X. Integral n→∞ funkcije f na skupu X u odnosu na meru µ, jeste Z Z f dµ = sup s dµ, (2.2) X

0≤s≤f

X

2.2. INTEGRAL NENEGATIVNE MERLJIVE FUNKCIJE

27

gde je supremum uzet po svim merljivim prostim i nenegativnim funkcijama s, koje ispunjavaju uslov 0 ≤ s ≤ f na X. Ako je f merljiva, prosta i nenegativna funkcija na X, onda se definicija integrala (2.2), trivijalno, poklapa sa definicijom integrala (2.1). Tako¯ de je oˇcigledno R f dµ ≥ 0 za svaku merljivu nenegativnu funkciju f . Ako je f (x) = ∞ za svako x R x ∈ X, i ako je µ(X) = 0, onda je X f dµ = 0. R Funkcija f je integrabilna na skupu X u odnosu na meru µ, ako je X f dµ < +∞. Ako je E ∈ R i f merljiva nenegativna funkcija na X, tada je Z Z f dµ = χE f dµ. E

X

Ako je E = X, onda se ova definicija poklapa sa (2.2). Funkcija f je integrabilna R na skupu E u odnosu na meru µ, ako je E f dµ < +∞. Analogno prostim funkcijama, jednostavno je dokazati slede´ci rezultat. Tvr¯ denje 2.2.1. Neka je µ pozitivna mera na merljivom prostoru (X, R). Neka su f, g : X → R∗ nenegativne merljive funkcije na X, A, B ∈ R i c ≥ 0. Tada vaˇzi: R R (1) Ako je 0 ≤ f ≤ g, tada je 0 ≤ X f dµ ≤ X g dµ. R R (2) Ako je A ⊂ B, tada je A f dµ ≤ B f dµ R R (3) X (c f ) dµ = c X f dµ. Sada dolazimo do dela koji opravdava prethodnu definiciju integrala u odnosu na prebrojivo aditivnu meru. Naime, ovako definisen integral se jednostavno ponaˇsa u odnosu na graniˇcnu vrednost niza funkcija. Teorema 2.2.1. (Teorema o monotonoj konvergenciji, Lebeg-Levi) Neka je fn : X → R∗ niz merljivh funkcija na X, tako da vaˇzi (1) 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ · · · ≤ ∞ za svako x ∈ X. (2) lim fn (x) = f (x) za svako x ∈ X. n→∞

Tada je funkcija f merljiva i Z

Z

lim

n→∞

fn dµ = X

f dµ. X

Dokaz. Merljivost funkcije f sledi na osnovu dobro poznatog rezultata o Rmerljivosti Rgraniˇcne vrednosti niza merljivih funkcija. Oˇcigledno vaˇzi nejednakost X fn dµ ≤ f dµ za svako n ∈ N. Prema tome, X n+1 Z lim

n→∞

fn dµ = α ∈ [0, +∞]. X

28

GLAVA 2. INTEGRAL

Na osnovu fn ≤ f na X, sledi da je

R

fn dµ ≤ Z α≤ f dµ. X

R X

f dµ, te je i

X

Preostaje da se dokaˇze suprotna nejednakost. Neka je c ≥ 0 konstanta i neka je s prosta merljiva funkcija koja zadovoljava uslov 0 ≤ s ≤ f . Za svako n ∈ N definiˇsimo skupove En = {x ∈ X : fn (x) ≥ cs(x)}. Svi skupovi En su merljivi, i E1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊂ · · · . Neka je x ∈ X. Kako je cs(x) < f (x) i lim fn (x) = f (x), onda postoji n ∈ N sa svojstvom fn (x) ≥ cs(x), n→∞ S∞ odnosno x ∈ En . Sledi da je X = n=1 En . Tako¯ de, za svako n ∈ N vaˇzi Z Z Z fn dµ ≥ fn dµ ≥ c s dµ. X

En

R

En

Podsetimo da je funkcija ϕ, definisana sa ϕ(E) = E s dµ (E ∈ R) pozitivna mera na R. Na osnovu osobine neprekidnosti R mere ϕ, prelaskom na graniˇcRnu vrednost kada n → ∞, proizilazi da vaˇzi α ≥ c X s dµ. Za c → 1− sledi α ≥ X s dµ. Uzmimo sada supremum po svim prostim merljivim funkcijama s koje zadovoljavaju uslov R 0 ≤ s ≤ f . Vaˇzi α ≥ X f dµ. Time je dokazana teorema. Teorema o monotonoj konvergenciji omogu´cava dokaz aditivnosti integrala (u odnosu na funkciju koja se integrali). Teorema 2.2.2. Neka su f, g : X → R∗ nenegativne merljive funkcije. Tada je Z Z Z (f + g) dµ = f dµ + g dµ. X

X

X

Dokaz. Za funkciju f postoji niz prostih merljvih funkcija (sn ) sa svojstovm 0 ≤ s1 ≤ s2 ≤ · · · ≤ f i lim sn = f . Neka je (tn )n odgovaraju´ci niz za funkciju g. Tada n→∞ je un = sn + tn niz prostih nenegativnih merljivih funcija, koji monotono raste i konvergira ka funkciji f + g. Na osnovu teoreme o monotonoj konvergenciji sledi Z Z Z Z f dµ + g dµ = lim sn dµ + lim tn dµ n→∞ X n→∞ X X X µZ ¶ Z Z Z = lim sn dµ + tn dµ = lim un dµ = (f + g) dµ. n→∞

X

n→∞

X

X

X

Teorema 2.2.3. Neka su funkcije fn : X → [0, +∞] merljive za svako n ∈ N, i ∞ P neka je f (x) = fn (x) za svako x ∈ X. Tada je funkcija f merljiva i n=1

Z f dµ = X

∞ Z X n=1

X

fn dµ.

2.2. INTEGRAL NENEGATIVNE MERLJIVE FUNKCIJE

29

Dokaz. Neka je Sn (x) = f1 (x) + · · · + fn (x) za svako x ∈ X i n ∈ N. Tada su sve funkcije Sn merljive. Tako¯ de je lim Sn (x) = f (x) za svako x ∈ X, kao i n→∞

Sn (x) ≤ Sn+1 (x) za svako x ∈ X i svako n ∈ N. Prema prethodnoj teoremi, kao i teoremi o monotonoj konvergenciji sledi ! Z Z ÃX n n Z ∞ Z X X Sn dµ fk dµ = lim fk dµ = lim fk dµ = lim k=1

n→∞

X

Z =

n→∞

X

k=1

Z

( lim Sn ) dµ =

X n→∞

X

n→∞

k=1

X

f dµ. X

Teorema 2.2.4. Neka je f : X → [0, +∞] merljiva funkcija, i neka je za svako E∈R Z ϕ(E) = f dµ. E

Tada je ϕ pozitivna mera na X. Ako je g nenegativna merljiva funkcija na X, tada je Z Z g dϕ = f g dµ. X

(2.3)

X

Dokaz. Oˇcigledno je ϕ(E) ≥ 0 za svakoSE ∈ R, kao i ϕ(∅) = 0. Neka je (En )n niz ∞ disjunktnih skupova iz R i neka je E = n=1 En . Lako je utvrditi da je f χE =

∞ X

f χ En .

n=1

Prema Teoremi 2.2.3, vaˇzi Z ϕ(E) =

Z f dµ =

E

=

∞ Z X n=1

f χE dµ = X

f dµ =

En

Z ÃX ∞ X

∞ X

! f χ En

dµ =

n=1

∞ Z X n=1

X

f χEn dµ

ϕ(En ).

n=1

Time je dokazano da je ϕ mera na R. Ako je E ∈ R i g = χE , tada je Z Z χE dϕ = ϕ(E) = f χE dµ. X

X

Dakle, formula (2.3) je taˇcna ako je g neka karakteristiˇcna funkcija nekog merljivog skupa. Sledi da je formula taˇcna i ako je g nenegativna prosta merljiva funkcija. Na kraju, ako je g proizvoljna nenegativna merljiva funkcija, onda formula (2.3) sledi na osnovu teoreme o monotonoj konvergenciji. Na kraju, dokazujemo joˇs jedan koristan rezultat.

30

GLAVA 2. INTEGRAL

Teorema 2.2.5. (Fatu) Neka su funkcije fn : X → [0, +∞] merljive za svako n ∈ N. Tada je Z ³ Z ´ lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ. X

n→∞

n→∞

X

Dokaz. Merljivost funkcije lim inf fn sledi na osnovu ranijeg rezultata. Neka je za n→∞ svako n ∈ N i svako x ∈ X: gn (x) = inf fi (x). i≥n

Tada su sve funkcije gn merljive i vaˇzi gn ≤ fn . Zato je Z Z gn dµ ≤ fn dµ, n = 1, 2, . . . . X

X

Tako¯ de je 0 ≤ g1 ≤ g2 ≤ · · · i lim gn (x) = lim inf fn (x). Neka u poslednjoj n→∞ n→∞ nejednakosti n → ∞. Na osnovu teoreme o monotonoj konvergenciji sledi da vaˇzi: Z ³ Z ´ lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ. X

n→∞

n→∞

X

Na kraju ove sekcije definiˇsemo pojam ”µ-skoro svuda“, ili samo ”skoro svuda“ ako se mera µ podrazumeva. Koristi se skra´cena oznaka µ-ss. Neka je P neko svojstvo. Da naglasimo da svojstvo P vaˇzi (ne vaˇzi ) u taˇcki x ∈ X, kaˇzemo i P (x) vaˇzi (ne vaˇzi). Svojstvo P vaˇzi µ-skoro svuda na merljivom prostoru (X, R), ako svojstvo P vaˇzi svuda osim na nekom skupu mere nula. Na primer, u Teoremi o monotonoj konvergenciji moˇze se pretpostaviti 0 ≤ fn ≤ fn+1 µ-skoro svuda na X, kao i lim fn = f µ-skoro svuda na X. Naime, n→∞

neka je En skup na kome je fn ≤ fn+1 (n ∈ N), i neka je E skup na kome je lim fn = f . Prema uvedenim pravilima, µ(Enc ) = 0 i µ(E c ) = 0. Dakle, ako n→∞ S∞ je X1 = X \ (E ∪ n=1 En ), tada je µ(X \ X1 ) = 0, a na skupu X1 je ispunjeno 0 ≤ fn ≤ fn+1 i lim fn = f . Na osnotu Teoreme o monotonoj konvergenciji onda n→∞ vaˇzi Z Z lim fn dµ = f dµ. n→∞

X1

X

Na osnovu pravila integraljenja na skupu X \ X1 (koji je mere nula), onda tako¯ de vaˇzi Z Z lim fn dµ = f dµ. n→∞

2.3

X

X

Integral realne merljive funkcije

Neka je µ pozitivna mera na merljivom prostoru (X, R). Neka je f : X → R∗ merljiva funkcija. Tada su funkcije f + = max{f, 0},

f − = max{−f, 0}

2.3. INTEGRAL REALNE MERLJIVE FUNKCIJE

31

nenegativne i merljive. Jednostavno je proveriti da vaˇzi f = f + − f −,

|f | = f + + f − .

Integral funkcije f na skupu X u odnosu na meru µ jeste Z Z Z f dµ = f + dµ − f dµ, X

X

X

ako je bar jedan od integrala na desnoj strani konaˇcan. Ukoliko je f nenegativna merljiva funkcija, onda je f = f + i f − = 0. Prema tome, definicija integrala merljive funkcije je u skladu sa definicijom integrala nenegativne funkcije. R Funkcija R f je− integrabilna na skupu X u odnosu na meru µ, ako su oba integrala + f dµ i f dµ konaˇcna. X X Na osnovu oˇcigledne ˇcinjenice Z Z Z |f |dµ = f + dµ + f − dµ, X

X

X

sledi R da je f integrabilna ako i samo ako je |f | integrabilna, odnosno ako i samo ako je |f |dµ < ∞. X

Skup svih integrabilnih funkcija na X u odnosu na meru µ oznaˇcava se sa L(X, µ), ili sa L1 (X, µ). je p ≥ 1. Tada je Lp (X, µ) skup svih merljivih funkcija f na X, za koje je R Neka |f |p dµ < ∞. X

Tvr¯ denje 2.3.1. Neka je µ pozitivna mera na merljivom prostoru (X, R). Tada vaˇzi: ¯R ¯ R (1) Ako je f ∈ L1 (X, µ), tada je ¯ X f dµ¯ ≤ X |f |dµ. (2) Ako je f merljiva funkcija na X R i postoji gR ∈ L1 (X, µ) tako da je |f | ≤ g µ-ss na X, onda je f ∈ L1 (X, µ) i X |f |dµ ≤ X gdµ. R R (3) Ako je c ∈ R i f ∈ L1 (X, µ), tada je cf ∈ L1 (X, µ) i X cf dµ = c X f dµ. Dokaz. (1) f1 ∈ L(X, µ) ako i samo |f | ∈ L(X, µ). Neka je f = f + − f − . Tada je ¯Z ¯ ¯Z ¯ Z Z Z Z ¯ ¯ ¯ ¯ − + − ¯ f dµ¯ = ¯ f + dµ − ¯≤ f dµ f dµ + f dµ = |f |dµ. ¯ ¯ ¯ ¯ X

X

X

X

X

X

(2) Neka je f merljiva na X i neka je g ∈ L1 (X, µ) sa svojstvom |f | ≤ g µ-ss na X. Neka je Y = {x ∈ X : |f (x)| ≤ g(x)}. Tada je µ(X \ Y ) = 0. Koriste´ci osobine integrala nenegativnih merljivih funkcija, proizilazi da vaˇzi Z Z Z Z |f |dµ = |f |dµ ≤ gdµ = gdµ < ∞. X

Y

Y

X

32

GLAVA 2. INTEGRAL

Time je dokazana integrabilnost funkcije f na X. (3) Neka je c ∈ R i f ∈ L1 (X, µ). TadaR je f = f + −R f − . Ako je c = 0, onda je cf = 0 ∈ L(X, µ) i trivijalno vaˇzi formula X cf dµ = c X f dµ. Ako je c > 0, onda je (cf )+ = cf + i (cf )− = cf − . Stoga je, na osnovu osobina integrala nenegativnih funkcija, Z Z Z Z Z Z + − + − (cf )dµ = (cf ) dµ − (cf ) dµ = c f dµ − c f dµ = c f dµ. X

X

X

X +

−

X −

X

+

Na kraju, ako je c < 0, onda je (cf ) = −cf i (cf ) = −cf . Stoga je, na osnovu −c > 0, ispunjeno Z Z Z Z Z (cf )dµ = (cf )+ dµ − (cf )− dµ = (−c)f − dµ − (−c)f + dµ X X X µZ X ¶ Z Z X Z Z − + + − = (−c) f dµ − (−c) f dµ = c f dµ − f dµ = c f dµ. X

X

X

X

X

Dokazujemo korisne rezultate o integrabilnim funkcijama. Tvr¯ denje R2.3.2. Ako je f ∈ L1 (X, µ), tada je f µ-ss konaˇcna funkcija. Ako je X |f |dµ = 0, tada je f = 0 µ-ss. Dokaz. Neka je f ∈ L1 (X, µ) i E = {x ∈ F : |f (x)| = +∞}. Na osnovu osobina integrala nenegativnih funkcija sledi da za svako n ∈ N vaˇzi Z Z Z +∞ > |f |dµ ≥ |f |dµ ≥ n dµ = nµ(E). X

E

E

Sada je oˇcigledno µ(E) = 0. R Neka je X |f |dµ = 0, n ∈ N, Fn = {x ∈ X : |f (x)| ≥ 1/n} i F = {x ∈ X : ∞ S |f (x)| > 0}. Tada je Fn ⊂ Fn+1 za svako n ∈ N i Fn = F . Sledi da za svako n=1

n ∈ N vaˇzi

Z 0=

Z |f |dµ ≥

X

|f |dµ ≥ Fn

1 µ(Fn ). n

Mora biti µ(Fn ) = 0 za svako n ∈ N. Tada je i µ(F ) = 0, odnosno f = 0 µ-ss. R R Posledica 2.3.1. Neka je f, g ∈ L(X, µ) i f = g µ-ss. Tada je X f dµ = X gdµ. Posledica 2.3.2. Ako Rje f ∈ L1 (X, R µ), tada postoji realna funkcija g ∈ L1 (X, µ) tako da je f = g µ-ss i X f dµ = X gdµ. U vezi sa prethodnom posledicom, neka je f ∈ L(X, µ) i neka je E = {x ∈ X : |f (x)| = +∞}. Iz integrabilnosti funkcije f sledi da je µ(E) = 0. Funkciju g definiˇsemo na slede´c inaˇcin: ( f (x), x ∈ E, g(x) = 0, x ∈ Ec. Nije teˇsko proveriti da funkcija g ispunjava sve uslove prethodne posledice.

2.3. INTEGRAL REALNE MERLJIVE FUNKCIJE

33

Tvr¯ denje R 2.3.3. RNeka je f, g ∈ L1 (X, µ). Tada je h = f + g ∈ L(X, µ) i g)dµ = X f dµ + X gdµ.

R X

(f +

Dokaz. Neka je E = {x ∈ X : |f (x)| = +∞, ili |g(x)| = +∞}. Prema ranijoj posledici, µ(E) = 0. Tada je funkcija h = f + g definisana i merljiva na skupu Y = X \ E. Neka je h(x) = 0 za svako x ∈ E. Ovo je uobiˇcajena konvencija koju koristimo kod raˇcunanja zbira proˇsirenih realnih funkcija. Na osnovu Z Z Z Z Z |h|dµ = |f + g|dµ ≤ (|f | + |g|)dµ = |f |dµ + |g|dµ < ∞, X

Y

Y

Y +

Y

sledi da je h ∈ L(X, µ). Vaˇzi h = h − h = f − f + g − g − , odakle sledi h+ + f − + g − = h− + f + + g + . Integraljenjem na skupu Y , proizilazi da vaˇzi Z Z Z Z Z Z + − − − + h dµ + f dµ + g dµ = h dµ + f dµ + g + dµ. Y

Y

Y

−

+

Y

−

+

Y

Y

Na osnovu integrabilnsti funcija f, g, h sledi da su svi integrali u prethodnoj formuli konaˇcni. Dakle, Z Z Z Z Z Z Z + − + − + hdµ = h dµ − h dµ = f dµ − f dµ + g dµ − g − dµ X Y Y Y Y Y Y Z Z = f dµ + gdµ. X

Y

Time je dokazano traˇzeno tvr¯ denje. Teorema 2.3.1. Neka je f ∈ L1 (X, µ) i (En )n niz uzajamno disjunktnih skupova R iz µR. Ako¶je za svako E ∈ R funkcija ϕ definisana kao ϕ(E) = E f dµ, tada je ∞ ∞ S P ϕ En = ϕ(En ). n=1

n=1

R R Dokaz. Neka je f = f + − f − i neka je ϕ1 (E) = E f + dµ, ϕ2 (E) = E f − dµ za svako E ∈ R. Tada su ϕ1 i ϕ2 pozitivne mere na R. Na osnovu integrabilnosti funkcije f sledi da su ϕ1 i ϕ2 konaˇcne mere na R, i vaˇzi ϕ = ϕ1 − ϕ2 . Prema tome, Ã∞ ! Ã∞ ! Ã∞ ! [ [ [ ϕ En = ϕ1 En − ϕ2 En n=1

n=1

=

∞ X

ϕ1 (En ) −

n=1

n=1 ∞ X n=1

ϕ2 (En ) =

∞ X

ϕ(En ).

n=1

Time je dokazano tvr¯ denje teoreme. Teorema 2.3.2. (Teorema o dominantnoj konvergenciji, Lebeg) Neka je (fn )n niz merljivih funkcija na X, sa svojstvima: (1) lim fn (x) = f (x) µ-ss na X. n→∞

34

GLAVA 2. INTEGRAL

(2) Postoji funkcija g ∈ L1 (X, µ), tako da za svako n ∈ N vaˇzi nejednakost |fn (x)| ≤ g(x) µ-ss na X. Tada je f, fn ∈ L1 (X, µ) za svako n ∈ N, i vaˇzi Z Z Z lim |fn − f |dµ = 0, lim fn dµ = f dµ. n→∞

n→∞

X

X

X

Dokaz. Postoji skup E koji je mere nula, tako da za svako x ∈ E c vaˇzi lim fn (x) = n→∞

f (x). Sledi da je funkcija f merljiva na E c , a samim tim je merljiva i na X. Tako¯ de, za svako n ∈ N postoji skup En koji je mere nula, tako da za svako x ∈ Enc vaˇzi |fn (x)| ≤ g(x). Sledi da je svaka funkcija fn integrabilna na Enc , ∞ T prema tome integrabilna je i na X. Neka je F = E ∩ En . Tada je µ(F c ) = n=1 µ ¶ ∞ S µ Ec ∪ Enc = 0. n=1

Nadalje posmatramo odnose na skupu F . Tada je |f (x)| ≤ g(x) za svako x ∈ F . Stoga je |fn − f | ≤ 2g. Tako¯ de je lim (2g − |fn − f |) = 2g. Primenimo Teoremu n→∞

Fatua na niz (2g − |fn − f |)n . Tada je Z Z lim inf (2g − |fn − f |)dµ ≤ lim inf (2g − |fn − f |)dµ, F n→∞

odakle sledi

n→∞

Z

Z

Z

2gdµ ≤ F

F

2gdµ + lim sup n→∞

F

|fn − f |dµ. F

R Funkcija g je Rintegrabilna na X, pa je integrabilna i na F . Stoga je F 2gdµ < ∞. Sledi lim sup F |fn − f |dµ ≤ 0. Na osnovu nenegativnosti |fn − f | ≥ 0, sledi da n→∞ R poslednja graniˇcna vrednost postoji, i lim F |fn − f |dµ = 0. n→∞ R Iz µ(X \ F ) = 0, sledi da je lim X |fn − f |dµ = 0. Iz nejednakosti n→∞

¯Z ¯ Z Z ¯ ¯ ¯ fn dµ − f dµ¯¯ ≤ |fn − f |dµ, ¯ X

sledi lim

R

n→∞ X

fn dµ =

R X

X

X

f dµ.

Kao primenu Lebegove teoreme o dominantnoj konvergenciji, izuˇcavamo integrale sa parametrom. Neka je µ pozitivna mera na prostoru (X, R), neka je M ⊂ R i neka je f : X × M → R∗ funkcija. Pretpostavimo da je ova funkcija merljiva na X za svako t ∈ M , i neka je za svako t ∈ M ispunjeno f (·, t) ∈ L1 (X, µ). Drugim reˇcima, za svako t ∈ M je Z F (t) = |f (x, t)|dµ(x) < ∞. X

Prethodni integral je integral sa parametrom t.

2.3. INTEGRAL REALNE MERLJIVE FUNKCIJE

35

Tvr¯ denje 2.3.4. Neka je f : X × M → R∗ prethodno opisana funkcija, i neka je t0 taˇcka nagomilavanja skupa M . Pretpostavimo da vaˇzi: (1) Postoji lim f (x, t) = f (x) µ-ss na X. t→t0

(2) Postoji g ∈ L1 (X, µ) tako da je |f (x, t)| ≤ g(t) za svako t ∈ T i µ-ss x ∈ X. Tada je Z

Z

lim

t→t0

f (x, t)dµ(x) = X

Z lim f (x, t)dµ(x) =

X t→to

f (x)dµ(x). X

Dokaz. Neka je (tn )n proizvoljan niz elemenata iz T sa svojstvom lim tn = t. n→∞

Tada je fn (x) = f (x, tn ) i |fn (x)| ≤ g(x) µ-s na X. Tvr¯ denje sada sledi na osnovu Lebegove teoreme o dominantnoj konvergenciji. Sada dokazujemo tvr¯ denje o diferenciranju pod znakom integrala. Teorema 2.3.3. Neka je µ mera na prostoru (X, R), M = [a, b] ⊂ R, f : X ×M → R∗ funkcija koja je merljiva za svako t ∈ M , i neka vaˇzi: (1) Postoji t0 ∈ M tako da je f (x, t0 ) integrabilna na X. (2) Postoji

∂f (x,t) ∂t

za svako t ∈ M i µ-ss x ∈ X. ¯ ¯ ¯ (x,t) ¯ (3) Postoji funkcija g ∈ L1 (X, µ), tako da je ¯ ∂f ∂t ¯ ≤ g(x) za svako t ∈ M i µ-ss x ∈ X. Tada je funkcija

Z F (t) =

f (x, t)dµ(x) X

diferencijabilna u svakoj taˇcki t ∈ M , i pri tome je Z Z d ∂f (x, t) f (x, t)dµ(x) = dµ(x). dt X ∂t X Dokaz. Neka je t ∈ [a, b]. Za svako x ∈ X, na osnovu teoreme o srednjoj vrednosti postoji taˇcka τ izme¯ du t0 i t za koju vaˇzi f (x, t) = f (x, t0 ) + (t − t0 )

∂f (x, τ ) . ∂t

Odavde sledi |f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (b − a)g(x) µ-ss na X. Prema tome, f (·, t) ∈ L1 (X, µ) za svako t ∈ [a, b]. Tako¯ de postoji parcijalni izvod f (x, tn ) − f (x, t) ∂f (x, t) = lim tn →t ∂t tn − t

36

GLAVA 2. INTEGRAL

µ-ss na X i za svaki niz tn ∈ [a, b] sa svojstvima tn 6= t i lim tn = t. Vaˇzi n→∞

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ )¯ ¯ f (x, tn ) − f (x, t) ¯ ¯¯ (tn − t) ∂f (x,τ ¯ ¯¯ ∂f (x, τ ) ¯¯ ∂t ¯ ¯=¯ = ≤ g(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂t ¯ tn − t tn − t µ-ss na X. Prema prethodnom tvr¯ denju sledi da je Z Z F (tn ) − F (t) f (x, tn ) − f (x, t) ∂f (x, t) df = lim = lim dµ(x) = dµ(x). tn →t X dt tn →t tn − t tn − t ∂t X Time je dokazana teorema. Lebegova teorema o dominantnoj konvergenciji ime primenu i kod integrljenja konvergentnog reda. Teorema 2.3.4. Neka je (fn )n niz merljivh funkcija na X, tako da je ∞ Z X |fn |dµ < ∞. n=1

X

Tada red

∞ X

f (x) =

fn (x)

n=1

konvergira µ-ss na X, f ∈ L1 (X, µ) i Z ∞ Z X f dµ = fn dµ. X

Dokaz. Na osnovu tome, svaka

∞ R P

n=1 funkcija fn

X

n=1

X

|fn |dµ < ∞ sledi fn ∈ L1 (X, µ) za svako n. Prema

je µ-ss konaˇcna. Neka je Y skup na kome su sve funkcije ∞ P fn konaˇcne. Tada je µ(X \ Y ) = 0. Neka je g(x) = |fn (x)| za x ∈ Y . Tada je n=1

Z gdµ = Y

∞ Z X n=1

|fn |dµ < ∞, Y

odakle sledi da je g µ-ss konaˇcna na Y . Neka je Z merljiv podskup od Y na kome je ∞ P g konaˇcna. Tada je µ(X \ Z) = 0. To znaˇci da za svako x ∈ Z red f (x) = fn (x) n=1

apsolutno konvergira, prema tome obiˇcno konvergira ka funkciji f . Funkcija f je konaˇcna za svako x ∈ Z, i oˇcigledno je |f | ≤ g. Prema tome, f ∈ L1 (Z, µ), odnosno f ∈ L1 (X, µ). Neka je hn = f1 + · · · + fn za n ∈ N na skupu Z. Tada je lim hn = f n→∞

na Z i |hn |R ≤ g za svako R n ∈ N. Na osnovu Teoreme o dominantnoj konvergenciji, sledi lim X hn dµ = X f dµ, ˇcime je dokazano tvr¯ denje teoreme. n→∞

Na kraju skecije, vra´camo se na odnos integrala i ravnomerno konvergentnog niza funkcija.

2.4. LEBEGOV INTEGRAL

37

Teorema 2.3.5. Neka je µ(X) < ∞ i neka je (fn )n niz ograniˇcenih merljivih funkcija na X, sa svojstvom da fn konvergira ravnomerno na X ka funkciji f . Tada je Z Z Z lim |fn − f |dµ = 0 i lim fn dµ = f dµ. n→∞

n→∞

X

X

X

Dokaz. Neka je ² > 0. Tada postoji n0 ∈ N tako daRza svako n ≥ n0 i svako x ∈ X ² vaˇzi |fn (x) − f (x)| < µ(X) . Dakle, za n ≥ n0 vaˇzi X |fn − f |dµ < ², odakle sledi R lim X |fn − f |dµ = 0. Preostali deo tvr¯ denja je jednostavan.

n→∞

2.4

Lebegov integral

Ako je R = R∗ familija Lebeg merljivih skupova na R i ako je µ = m, onda +∞ Rb R f dm Lebegov integral funkcije f na skupu R. Tako¯ de, a f dm je Lebegov je −∞

integral funkcije f na segmentu [a, b]. Sa druge strane, Rimanov integral funkcije f Rb na segmentu [a, b] je oznaˇcen sa a f (x)dx. Ako je A ∈ R∗ , umesto L1 (A, m) kra´ce se piˇse L1 (A). Jednostavno je pokazati prednosti Lebegovog integrala u odnosu na (svojstven) Rimanov integral. Primer 2.4.1. Neka je f (x) = 0 ako je x ∈ [0, 1] \ Q i f (x) = 1 ako je x ∈ [0, 1] ∩ Q. Rimanov integral funkcije f na segmentu [0, 1] ne postoji, jer su donje Darbuove sume uvek jednake 0, a gornje Darbuove sume su uvek jednake 1. Sa druge strane, R1 oˇcigledno je 0 f dm = 0. Teorema 2.4.1. Neka je f : [a, b] → R. Ako je f integrabilna u Rimanovom smislu na [a, b], onda je f integrabilna u Lebegovom smislu na [a, b], i ova dva integrala su jednaka. Dokaz. Neka je f integrabilna na [a, b]. Tada je |f | integrabilna na [a, b] i ograniˇcena. Da bi dokazali integrabilnost funkcije |f | u Lebegovom smislu, dovoljno je dokazati njenu merljivost. Neka je (Pk ) niz sukcesivnih podela segmenta [a, b]: a = xk0 < xk1 < · · · < xknk = b, pri ˇcemu maksimalna duˇzina podele teˇzi nuli kada k → ∞. Tako¯ de, podela Pk+1 je ”finija“ od podele Pk , u smislu da se sve podeone taˇcke xki nalaze me¯ du podeonim k k taˇckama xk+1 . Vaˇ z i m(P ) = max |x − x | → 0 kada k → ∞. Neka su s(Pk ) k i i−1 j 1≤i≤nk

i S(Pk ), redom, donja i gornja Darbuova suma funkcije f u odnosu na podelu Pk . Drugim reˇcima, neka je mki = inf{f (x) : xki−1 ≤ x < xki }, Mik = sup{f (x) : xki−1 ≤ x < xki }, i = 1, . . . , nk .

38

GLAVA 2. INTEGRAL

Tada je s(Pk ) =

nk X

mki (xki − xki−1 ),

nk X

S(Pk ) =

i=1

Mik (xki − xki−1 ).

i=1

Iz integrabilnosti funkcije f u Rimanovom smislu, sledi da je Z

b

lim s(Pk ) = lim S(Pk ) =

k→∞

f (x)dx.

k→∞

a

Svaka podela Pk indukuje proste funkcije: tk =

nk X

nk X

mki χ[xi−1 ,xi ) , Tk =

i=1

Mik χ[xi−1 ,xi ) , k ∈ N.

i=1

Niz (Pk )k je niz sukcesivnih podela, odakle sledi t1 ≤2 ≤ · · · ≤ f ≤ · · · ≤ T2 ≤ T1 . Oˇcigledno, sve funkcije tk i Tk su Lebeg-merljive. Postoje Lebeg-merljive funkcije t i T , tako da za svako x ∈ [a, b] vaˇzi lim tk (x) = t(x) ≤ f (x) ≤ T (x) = lim Tk (x).

k→∞

Tako¯ de je

k→∞

Z

Z

b

b

tk dm = s(Pk ), a

Tk dm = S(Pk ). a

Na osnovu Lebegove teoreme o dominantnoj konvergenciji, kao i na osnovu integrabilnosti funkcije f na segmentu [a, b] u Rimanovom smislu, vaˇzi Z

Z

b

tdm

=

a

=

lim

k→∞

Z

b k→∞

a

Z

k→∞

f (x)dx a

Z

b

lim S(Pk ) = lim

k→∞

b

tk dm = lim s(Pk ) =

b

Tk dm = a

T dm. a

Iz T (x) ≥ t(x) za svako x ∈ [a, b] sledi da mora biti T (x) = t(x) m-ss na [a, b]. Kako je t(x) ≤ f (x) ≤ T (x) za svako x ∈ [a, b], sledi da je f (x) = t(x) = T (x) m-ss na [a, b]. Lebegova mera je kompletna na [a, b], te je funkcija f Lebeg-merljiva. Na kraju, trivijalno sledi Z

Z

b

b

f (x)dx = a

f dm. a

Lebegova mera omogu´cava jasan kriterijum integrabilnosti u Rimanovom smislu neke ograniˇcene funkcije.

2.4. LEBEGOV INTEGRAL

39

Teorema 2.4.2. Neka je f ograniˇcena funkcija na [a, b]. Tada je f integrabilna u Rimanovom smislu ma segmentu [a, b], ako i samo ako je f neprekidna svuda na [a, b] osim eventualno na skupu Lebegove mere nula. Dokaz. Zadrˇzimo oznake iz dokaza prethdne teoreme. Neka je, dakle (Pk )k niz sukcesivnih podela segmenta [a, b], tako da m(Pk ) → 0 kada k → ∞. Neka je A skup dobijen od skupa [a, b] izbacivanjem svih podeonih taˇcaka svih particija Pk . Oˇcigledno, m([a, b] \ A) = 0. Neka je x0 ∈ A. Dokaza´cemo da je f neprekidna u x0 ako i samo ako je t(x0 ) = T (x0 ). Pretpostavimo da je f neprekidna u taˇcki x0 i neka je ² > 0. Tada postoji δ > 0, tako da za svako x ∈ [a, b] sa svojstvom |x − x0 | < δ vaˇzi |f (x) − f (x0 )| < ². Neka je Ik interval podele Pk koji sadrˇzi taˇcku x0 . Tada je I1 ⊃ I2 ⊃ · · · i lim m(Ik ) = 0. k→∞

Stoga postoji k0 ∈ N tako da za svako k ≥ k0 vaˇzi Ik ⊂ (x0 − δ, x0 + δ). Ako je x ∈ Ik , tada je f (x0 ) − ² ≤ tk (x) ≤ Tk (x) ≤ f (x0 ) + ². Dakle, za svako k ≥ k0 mora vaˇziti Tk (x0 ) − tk (x0 ) ≤ 2². Prema tome, T (x0 ) = t(x0 ). Obrnuto, pretpostavimo da je T (x0 ) = t(x0 ). Neka je Ik interval podele Pk koji sadrˇzi x0 . Iz ˇcinjenice lim (Tk (x0 ) − tk (x0 )) = 0 sledi da za svako ² > 0 postoji k→∞

k0 ∈ N, tako da za svako k ≥ k0 vaˇzi Tk (x0 ) − tk (x0 ) < ². Funkcije Tk i tk su konstantne na intervalu Ik , odakle sledi Tk (x) − tk (x) < ² za svako x ∈ Ik . To znaˇci da za svako x ∈ Ik vaˇzi |f (x) − f (x0 )| < ². Sledi da je f neprekidna u taˇcki x0 . Pretpostavimo da je funkcija f integrablina u Rimanovom smislu na [a, b]. Tada je T (x) = t(x) = f (x) m-ss na [a, b], pa i m-ss na A. Prema prethodno dokazanom, sledi da je f neprekidna m-ss na A, a samim tim f je neprekidna m-ss na [a, b]. Obrnuto, neka je f neprekidna m-ss na [a, b]. Tada je t(x) = T (x) m-ss na [a, b], odakle sledi Z Z b

b

tdm = a

T dm. a

Ako je ² > 0 proizvoljno, onda postoji k0 ∈ N tako da za svako k ≥ k0 vaˇzi Rb Rb T dm− a tk dm < ², ˇsto je isto kao i S(Pk )−s(Pk ) < ². Sledi da je f integrabilna a k u Rimanovom smislu na [a, b]. Na osnovu jednakosti Lebegovog i (svojstvenog) Rimanovog inegrala, ne moˇze se izvesti zakljuˇcak o jednakosti Lebegovog i nesvojstvenog Rimanovog integrala. Preciznije, postoje funkcije koje su integrabilne u Lebegovom smislu, ali nisu integrabilne u nesvojstvenom Rimanovom smislu. Tako¯ de postoje funkcije koje su integrabilne u nesvojstvenom Rimanovom smislu, ali nisu integrabilne u Lebegovom smislu. ( 1 +∞ R x ∈ [0, +∞) \ Q, 2, Primer 2.4.2. Neka je f (x) = x . Ne postoji f (x)dx, ali 0, x ∈ [0, +∞) ∩ Q. 1 +∞ R postoji f dm. 1

Dokaz. Funkcija f nije integrabilnau Rimanovom smislu ni naR jednom segmentu +∞ [1, b] za b > 1, i stoga ne postoji nesvojstveni Rimanov integral 1 f (x)dx.

40

GLAVA 2. INTEGRAL Sa druge strane, m(Q) = 0, odakle sledi da je Z

Z

+∞

Primer 2.4.3. Neka je f (x) = R +∞ ne postoji 0 f dm. Dokaz. Integral

+∞ R 0

sin x x dx

=

Z

1

sin x x

za x ∈ (0, +∞). Tada postoji

f dm = 1

∞

X 1 dm = x2

+∞

π 2

k=1

k+1

k

1 dx = 1. x2

0

f (x)dx, ali

je poznat kao Dirihleov integral.

Sa druge strane, za Lebegov integral vaˇzi jednostavna formula b+c R

R +∞

Rb

f (x+c)dm(x) =

a

f (x)dm(x), koja se dokazuje na osnovu tranlsatorne invarijantnosti Lebegove

a+c

mere. Stoga je ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ Z (k+1)π ¯ ∞ Z π¯ X X ¯ sin x ¯ ¯ sin x ¯ ¯ sin(x + kπ) ¯ ¯ dm = ¯ dm = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x ¯ ¯ x ¯ ¯ x + kπ ¯ dm 0 k=0 kπ k=0 0 Z π Z π ∞ ∞ ∞ Z π X X X sin x 1 1 dm ≥ sin x dm = sin x dx = π(k + 1) 0 π(k + 1) 0 0 x + kπ Z

∞

k=1 ∞ X

2 = π

k=0

k=0

k=0

1 = +∞. k+1

Dakle, ne postoji opˇsiti odnos izme¯ du nestvojstvenog Rimanovog integrala i Lebegovog integrala. Sa druge strane, ako neka funkcija ima apsolutno konvergentan nesvojstven Rimanov integral, onda ona ima i Legebegov integral na istom intervalu. Teorema 2.4.3. Neka je funkcija f definisana na intervalu [a, +∞) i neka pos+∞ R toji nesvojstveni Rimanov integral |f (x)|dx < +∞. Tada je funkcija f Lebega

integrabilna na (a, +∞) i vaˇzi

+∞ +∞ Z Z f (x)dx = f dm. a

a

Dokaz. Neka je (bn )n niz brojeva sa osobinama a < b1 < b2 < · · · i lim bn = +∞. n→∞

Na svakom segmentu [a, bn ] je funkcija f integrabilna u Rimanovom smislu, dakle

2.5. LP PROSTORI

41

i u Lebegovom smislu. Specijalno, funkcije f χ[a,bn ] su merljive za svako n. Iz lim f χ[a,bn ] = f sledi merljivost funkcije f na [a, +∞). Tada je n→∞

Z +∞ > Z = S

+∞

a

Z bn Z bn |f (x)|dx = lim |f |dm |f (x)|dx = lim n→∞ a n→∞ a Z +∞ |f |dm = |f |dm.

∞ n=1 [a,bn ]

a

Sledi da je funkcija f integrabilna u Lebegovom smislu na (a, +∞). Neka je fn = f χ[a,bn ] . Tada je lim fn = f na [a, +∞), i |fn | ≤ |f |. Na osnovu n→∞ Lebegove teoreme o dominantnoj konvergenciji je sada +∞ +∞ +∞ Z Zbn Zbn Z Z f (x)dx = lim f (x)dx = lim f dm = lim f χ[a,+∞) dm = f dm. n→∞

a

n→∞

a

n→∞ −∞

a

a

Potpuno analogno tvr¯ denje moˇze biti dokazano za integral tipa funkcija f neograniˇcena u okolini taˇcke a. Primer 2.4.4. Izraˇcunati I = lim

k+1 R

k→0 k

Dokaz. Neka je f (x, k) =

Rb a

f dm, ako je

dm 1+x2 +k2 .

1 1+x2 +k2 χ[k,1+k] .

Tada je lim f (x, k) = k→0

1 1+x2 χ[0,1]

= f (x).

1 Ako je g(x) = 1+x de je |f (x, k)| ≤ 2 za x ∈ R, tada je g ∈ L1 (−∞, +∞). Tako¯ g(x) za svako k, x ∈ R. Stoga je, na osnovu Lebegove teoreme o dominantnoj konvergenciji Z +∞ Z +∞ Z 1 dx π I = lim f (x, k)dm(x) = f dm = = . 2 k→0 −∞ 1 + x 4 −∞ 0

Dakle, Lebegov integral je opˇstiji od svojstvenog Rimanovog integrala, kao i od apsolutno konvergentnog nesvojsvtenog Rimanovog integrala. Sa druge strane, nesvojstven Rimanov integral i Lebegov integral su neuporedivi. Postoji nesvojstven Lebegov integral koji je opˇstiji od nesvojstvenog Rimanovog integrala.

2.5

Lp prostori

Neka je 1 ≤ p < +∞. U prethodnoj sekciji je Rreˇceno da je Lp (X, µ) skup svih merljivih funkcija f definisanih na X, za koje je X |f |p µ < ∞. Da bi dokazali neka svojstva prostora Lp (X, µ), potrebno je formulisati i dokazati nekoliko nejednakosti. Ako je 1 ≤ p, q < ∞ i p1 + 1q = 1, onda je (p, q) dualni par brojeva. Specijalno, (1, +∞) je tako¯ de dualni par.

42

GLAVA 2. INTEGRAL

Tvr¯ denje 2.5.1. Ako je (p, q) dualni par brojeva, tada za sve pozitivne brojeve a, b vaˇzi nejednakost ap bq ab ≤ + . p q Dokaz. Neka je ϕ(t) = tp /p + t−q /q za t > 0. Tada je ϕ0 (t) = (tp+q − 1)/tq+1 . Odavde sledi da je ϕ0 (t) < 0 za t ∈ (0, 1), kao i ϕ0 (t) > 0 za t > 0. Prema tome, funkcija ϕ ima apsolutni minimum u taˇci t = 1, odnosno ϕ(t) ≥ ϕ(1) = 1 za svako t > 0. Neka je t = a1/q b−1/p . Tada je (a1/q b−1/p )p /p + (a1/q b−1/p )−q /q ≥ 1, odnosno ab ≤ ap /p + bq /q. Teorema 2.5.1. (Helder) Neka je (p, q) dualni par brojeva i f, g : X → [0, +∞] merljvie funkcije. Tada je µZ

Z

¶1/p µZ |f |p dµ

|f g|dµ ≤ X

¶1/q |g|q dµ

X

.

X

Dokaz. Ako je f = 0 ili g = 0 µ-ss, tada je nejednakost Heldera oˇcigledna. Prema tome, pretpostavimo da funkcije f i g nisu identiˇcki jednake nuli na X. Neka je s∈X i f (s) g(s) F (s) = ¡R ¢1/p , G(s) = ¡R ¢1/q . |f |p dµ |g|q dµ X X Tada je

Z

Z |F |p dµ = 1 i X

|G|q dµ = 1. X

Traˇzena nejednakost Heldera ekvivalentna je nejednakosti Z |F G|dµ ≤ 1. X

Iskoristimo Tvr¯ denje 2.5.1, pri ˇcemu je a = F (s) i b = G(s). Proizilazi da za svako s ∈ X vaˇzi ¡R X

|f |p dµ

|f g| ¢1/p ¡R

|f (s)|p |g(s)|q ¢1/q ≤ p R |f |p dµ + q R |g|q dµ . |g|q dµ X X X

Integraljenjem poslednje nejednakosti na X sledi traˇzeni rezultat. Teorema 2.5.2. (Minkovski) Neka je p ≥ 1 i f, g : X → [0, +∞] merljive funkcije. Tada je µZ ¶1/p µZ ¶1/p µZ ¶1/p |f + g|p dt ≤ |f |p dt + |g|p dt . X

X

X

2.5. LP PROSTORI

43

Dokaz. Ako je p = 1, onda nejednakost Minkovskog trivijalno vaˇzi. toga pretpostavimo daje 1 < p, q < +∞ i p1 + 1q = 1. Funkcija ψ(t) = tp je konveksna za t ∈ (0, +∞). Odatle sledi nejednakost µ ¶p f +g 1 ≤ (f p + g p ). 2 2 R Prema tome, ako f, g ∈ Lp (X, µ), onda f + g ∈ Lp (X, µ). AkoRje X (f + g)p dµ = 0, onda je nejednakost dokazana. Pretpostavimo zato da je 0 < X (f + g)p dµ < +∞. Tada vaˇzi (f + g)p = f (f + g)p−1 + g(f + g)p−1 . Na osnovu nejedankosti Heldera sledi µZ

Z f (f + g)

p−1

¶1/p µZ p

dµ ≤

(p−1)q

f dµ

X

(f + g)

X

¶1/q dµ .

X

Analogno, vaˇzi µZ

Z

¶1/p µZ ¶1/q g p dµ (f + g)(p−1)q dµ .

g(f + g)p−1 dµ ≤ X

X

X

Sabiranjem poslednje dve nejednakosti, i koriˇs´cenjem p + q = pq, dobijamo µZ ¶1/q "µZ ¶1/p µZ ¶1/p # Z . (f + g)p dµ ≤ (f + g)p dµ f p µ) + g p dµ X

X

X

X

Na kraju sledi traˇzena nejednakost. Posledica 2.5.1. Ako je p ≥ 1, f, g ∈ Lp (X, µ) i α, β ∈ R, tada je αf + βg ∈ Lp (X, µ). Prema tome, Lp (X, µ) je realan vektorski prostor. Neka je f, g ∈ Lp (X, µ). Tada funkcija dp , definisana kao µZ

¶1/p |f − g| dµ p

dp (f, g) = X

zadovoljava osobinu trougla (sledi iz nejednakosti Miknovskog). Pored toga, ova funkcija ima gotovo sve osobine metrike, osim jedne: Ako je dp (f, g) = 0, onda je f = g µ-ss na X. Da bi se prevaziˇsao ovaj nedostatak, formalno se moˇze postupiti na slede´ci naˇcin. Uvedimo relaciju ∼ u Lp (X, µ): f ∼ g ako i samo ako je f = g µ-ss na X. Tada je ∼ relacina ekvivalencije u Lp (X, µ). Posmatrajmo skup Lp = Lp (X, µ)/ ∼. Ako je ¡R ¢1/p . Tada je dp metrika na [f ]∼ , [g]∼ ∈ Lp , onda je dp ([f ]∼ , [g]∼ ) = X |f − g|p dµ Lp .

44

GLAVA 2. INTEGRAL

Me¯ dutim, ovakve oznake nisu prikladne. Stoga, umesto pravog metriˇckgo prostora Lp posmatramo prostor funkcija Lp (X, µ), koji smatramo metriˇckim prostorom, i jednostavno poistove´cujemo funkcije koje su jednake µ-ss na X. Ako je 0 nula-funkcija na X, tada je, oˇcigledno, 0 ∈ Lp (X, µ). Tada je za f ∈ Lp (X, µ) veliˇcina µZ

¶1/p p

kf kp = dp (f, 0) =

|f | dµ X

norma na vektorskom prostoru Lp . Dakle, (Lp , k · kp ) je normirani prostor. Merljiva funkcija f je ograniˇcena µ-ss na X, ako postoji M > 0, tako da je |f | ≤ M µ-ss na X. Najmanji broj M sa prethodom osobinom jeste µ-ss granica funkcije f , ili ∞-norma funkcije f . Drugim reˇcima, kf k∞ = inf{M > 0 : |f | ≤ M µ−ss}. Skup svih µ-ss ograniˇcenih funkcija na X oznaˇcen je sa L∞ (X, µ). Skup (L∞ , k·k∞ ) je normirani prostor, naravno uz poistove´civanje µ-ss jednakih funkcija. Primer 2.5.1. Neka je µd mera prebrojavanja na skupu N. Ako je 1 ≤ p < ∞, onda ∞ P je Lp (N, µd ) = `p skup svih realnih nizova x = (xn )n , sa svojstvom |xn |p < ∞. n=1 µ∞ ¶1/p P p Tada je kxkp = |xn | . n=1

Skup L∞ (N, µd ) = `∞ je skup svih ograniˇcenih nizova x = (xn )n . U ovom sluˇcaju je kxk∞ = max |xn |. n

U skladu sa novim oznakama, nejednakosti Heldera i Minkovskog imaju oblik: kf gk1 ≤ kf kp kgkq , f ∈ Lp , g ∈ Lq , kf + gkp ≤ kf kp + kgkp , f, g ∈ Lp . Pri tome je 1 < p < ∞ i 1/p = 1/q = 1. Nejednakost Heldera vaˇzi i u sluˇcaju kada je p = 1 i q = +∞. Nejednakost Minkovskog vaˇzi i ako je p = +∞. Teorema 2.5.3. Normirani prostor Lp (, µ) je Banahov (1 ≤ p ≤ ∞). Dokaz. (1) Neka je 1 ≤ p < ∞. Dovoljno je dokazati da iz apsolutne konvergencije ∞ P reda u Lp (x, µ) sledi obiˇcna konvergencija [?]. Neka je kfn kp = A < ∞. Treba dokazati da je

∞ P n=1

n=1

fn konvergentan red. Neka je gn (x) =

n P k=1

|fk (x)| za x ∈ X

n P i n = 1, 2, . . .. Na osnovu nejednakosti Minkovskog sledi kgn kp ≤ kfk kp ≤ A, k=1 R p odnosno X gn dµ < Ap . Niz (gm )n je rastu´ci po n, i stoga postoji g(x) = lim gn (x). n→∞ Tada je g proˇsirena realna i merljiva funkcija. Na osnovu Teoreme o monotonoj

2.6. MERLJIVE, NEPREKIDNE I INTEGRABILNE FUNKCIJE

45

R

g p dµ ≤ Ap . Prema tome, g ∈ L1 (X, µ), te je funkcija g µ-ss ∞ P konaˇcna. Zato je f (x) = fk (x) µ-ss konaˇcna i merljiva funkcija. Iz kf k ≤ g sledi

konvergenciji, sledi

X

k=1

f ∈ Lp (X, µ), te je ¯ n ¯p ¯ ¯X ¯ ¯ |fk (x) − f (x)¯ ≤ 2p [g(x)]p µ − ss, n = 1, 2, . . . . ¯ ¯ ¯ k=1

Na osnovu Teoreme o dominantnoj konvergenciji sledi ¯p ¯ n ¯p Z Z ¯¯X n ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ fk (x) − f (x)¯ dµ = 0. fk (x) − f (x)¯ dµ = lim ¯ lim ¯ n→∞ n→∞ X ¯ ¯ ¯ ¯ X k=1

k=1

Time je dokazano tvr¯ denje. (2) Neka je p = ∞ i neka je (fn )n Koˇsijev niz u L∞ (X, µ). Neka je Ak = {x ∈ X : |fk (x) ≥ kfk k∞ } i neka Bn,m = {x ∈ X : |fn (x) − fm (x)| ≥ kfn − fm k∞ }, za S je SS k, n, m ∈ N. Neka je E = (Ak ∪ Bn,m ). Tada je µ(E) = 0 i (fn )n ravnomerno k n m

konvergira ka nekoj funkciji f na skupu E c . Neka je f (x) = 0 za x ∈ E. Tada je f ∈ L∞ (X, µ) i kfn − f k∞ → 0 kada n → ∞.

2.6

Merljive, neprekidne i integrabilne funkcije

U matematiˇckoj analizi vaˇznu ulogu imaju tipovi konvergencije niza funkcija. Pored poznate obiˇcne (taˇckaste) konvergencije, kao i ravnomerne konvergencije, u ovom kursu je koriˇs´cena konvergencija µ-ss i konvergencija u prostoru Lp , odnosno konvergencija u smislu metrike dp (1 ≤ p ≤ ∞). Sada ¸’emo razmotriti konvergenciju niza funkcija po meri µ, koja se joˇs naziva konvergencija po verovatno´ci. Definicija 2.6.1. Neka je (fn )n niz µ-ss konaˇcnih merljivih funkcija na (X, R), i neka je f tako¯ de µ-ss konaˇcna merljiva funkcija. Niz fn konvergira po meri µ ka funkciji f , ako je lim µ({x ∈ X : |fn (x) − f (x)| ≥ ²}) = 0

n→∞

µ

za svako ² > 0. Oznaka je fn → f . Uslov da su sve funkcije fn i f µ-ss konaˇcne moˇze se izbe´ci smanjivanjem skupa X. Naime, tada se posmatra podskup Y na kome sve razlike fn − f imaju smisla. Dokaz.

46

GLAVA 2. INTEGRAL

Literatura [1] S. Aljanˇci´c, Uvod u realnu i funkcionalnu analizu, Gra¯ devinska knjiga, Beograd, 1968. [2] C. Constatinescu, W. Filter, K. Weber, A. Sontag, Advanced integration theory, Kluwer, Dordrecht-Boston-Londnon, 1998. [3] D. S. ¯Dor¯ devi´c, Matematika II za studente fizike, prvi deo, Prirodnomatematiˇcki fakultet, Niˇs, 2004. [4] N. Dunford, J. Schwartz, Linear operators, part I, Interscience Publishers, 1958. [5] H. Federer, Geometric measure theory, Springer, New York, 1969. [6] P. Halmos, Measure thery, D. Van Nostrand Company Inc., Princeton, New Jersey, 1950. [7] S. Mardeˇsi´c, Matematiˇcka analiza u n-dimenzionalnom realnom prostoru, ˇ drugi dio, Skolska knjiga, Zagreb, 1984. [8] B. Mirkovi´c, Teorija mera i integrala, Nauˇcna knjiga, Beograd, 1990. [9] V. Rakoˇcevi´c, Funkcionalna analiza, Nauˇcna knjiga, Beograd, 1994. [10] W. Rudin, Real and complex analysis, McGrow-Hill, New Yokr, 1987. [11] A. C. Wheeden, A Zigmund, Measure and integral, Marcel Dekker, New York, 1977.

47