Memoria de Calculo - Cúpula

Proyecto: PROYECTO DE RESTAURACIÓN EN TECHO DE LA CATEDRAL DE LIMA – CÚPULA 14

Cliente: Qhapaq Ñan

Edificación: CATEDRAL DE LIMA Realizado por:

Memoria de Cálculo

LEVANTAMIENTO ESTRUCTURAL Bs. Ing. Civil Gian Paul Miranda MARZO, 2017

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TABLA DE CONTENIDO 1.

INTRODUCCIÓN................... ....................... ....................... ...................... ...................... ............. 3

2.

MODELO PARA ANÁLISIS ESTRUCTURAL ................... ........................ ...................... .................... 3 2.1. ESQUEMAS DEL MODELO ESTRUCTURAL .............................................................................. 4 2.2. CARGAS .................... ...................... ....................... ..................... ........................ ................ 7 2.3. ELEMENTOS ESTRUCTURALES ..................... ....................... ....................... ..................... ...... 8

3.

RESULTADOS .................... ...................... ....................... ..................... ........................ ................ 9 3.1. FUERZA NORMAL O AXIAL ....................... ...................... ...................... ...................... .......... 9 3.2. FUERZA CORTANTE ...................... ...................... ....................... ..................... ................... 11 3.3. MOMENTO FLECTOR .................... ...................... ....................... ..................... ................... 13 3.4. DEFLEXION ................... ....................... ....................... ...................... ...................... ........... 15 3.5. CÁLCULOS .................... ....................... ...................... ...................... ....................... ........... 17

4.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES............................. ....................... ...................... ........... 19

5.

BIBLIOGRAFIA ..................... ....................... ...................... ...................... ....................... ........... 20

6.

ANEXOS .................... ...................... ...................... ...................... ....................... ...................... 21 6.1. ANEXO 01: TABLA DE FUERZAS EN LOS ELEMENTOS ........................................................... 21 6.2. ANEXO 02: TABLA DE DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS .................................................. 22 6.3. ANEXO 03: TABLA DE REACCIONES EN LA BASE .................................................................. 23

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MEMORIA DE CÁLCULO 1. INTRODUCCIÓN La edificación en estudio es La Catedral de Lima, ubicada en la Plaza de Armas del Centro Histórico de Lima. Particularmente este informe se centrará en el análisis estructural de una de las cúpulas de la iglesia (ver Figura 01) ubicada en la Nave Principal (en la Capilla Mayor), denominada según la correlación de cúpulas como la cúpula 14. En este informe se describirá los materiales, secciones, sistema estructural, cargas actuantes y el resultado frente a cargas verticales considerando un modelo matemático asistido por computadora (software estructural).

Figura 01. Planta General (ubicación de Cúpula 14)

2. MODELO PARA ANÁLISIS ESTRUCTURAL Para el estudio de la cúpula de la catedral de Lima se realizó un modelo estructural con el programa SAP2000 v17.1.1. Este modelo consta de un total de 257 nudos, 320 elementos tipo barra y 416 elementos tipo cáscara. La cúpula se encuentra sostenida sobre arcos de madera formados en cuatro (04) pilares encajonados. Para este modelo estructural, se consideró la cúpula apoyada en sus pechinas, siendo estas un apoyo fijo cada una. La cobertura sobre las cerchas de madera fue considerada como diversos elementos tipo membrana sin ningún material que sirven para transmitir las cargas muertas y vivas.

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2.1. ESQUEMAS DEL MODELO EST RUCTURAL

Figura 02. Vista en Planta de Cúpula

Figura 03. Vista Lateral de Cúpula

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Figura 04. Vista Lateral en Perspectiva de Cúpula

Figura 05. Vista Superior de elementos de madera en Perspectiva de Cúpula

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Figura 06. Vista en 3D de elementos de madera en Perspectiva de Cúpula

Figura 07. Vista en 3D en Perspectiva de Cúpula

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2.2. CARGAS Las cargas aplicadas fueron clasificadas como: Carga muerta (CM) y carga viva (CV). Parte de las cargas muertas de los elementos fueron consideradas internamente por el programa. Dichas cargas se calculan a partir de las propiedades de los materiales presentes en la estructura: Madera: Para el modelamiento, se utilizaron propiedades de la madera del Grupo C para establecer un factor de seguridad alto, esto debido al tiempo de vida útil transcurrido. Tabla 01. Propiedades de la Madera PROPIEDADES MECÁNICAS

UNIDAD 3

Peso Específico Módulo de Elasticidad (E) Módulo de Poisson (P) Esfuerzo admisible de flexión Esfuerzo admisible de tracción paralela Esfuerzo admisible de compresión paralela Esfuerzo admisible de compresión perpendicular Esfuerzo admisible de corte paralelo

VALOR

kgf/m Tn/ m3 kgf/cm2

400.00 0.40 90,000.00 0.40

kgf/cm2 kgf/cm2

100.00 75.00

kgf/cm2

80.00

kgf/cm2

15.00

2

8.00

kgf/cm

Adicionalmente, para las cubiertas (ver Figura 08) se tiene diferentes capas con diferentes cargas muertas que se detallará en la siguiente tabla:

Figura 08. Corte de Coberturas de Cúpula

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Tabla 02. Carga muerta de cobertura

ORDEN

CAPA

ESPESOR (cm)

DENSIDAD (kg/m3)

CARGA DISTRIBUIDA (kg/m2)

1

Machihembrado de madera

2.50

1,000.00

25.00

2

Capa de Arena y Viruta

3.50

1,600.00

56.00

3

Correa de madera 1 1/5” x 2” 3.50

4

Caña brava

2.50

500.00

12.50

5

Mortero de Cal y Arena

7.00

1,700.00

119.00

TOTAL (CARGA MUERTA) :

219.50

7.00

Por lo tanto, se tiene como carga muerta un total de 219.50 kg/m2, que en modelo se colocó 220.00 kg/m2. Asimismo, según la Norma Técnica de Edificación E.020 Cargas, en el acápite 3.4.1.3 (del 3.4.1. Carga viva) menciona que para techos curvos se considera 50 kg/m2. Para el análisis, dentro de los procedimientos y de acuerdo a la categoría, se ha tomado las siguientes combinaciones de carga: COMB1 = 1.00CM + 1.00CV COMB2 = 0.50CM + 1.00CV 2.3. ELEMENTOS ESTRUCTURALES En el modelamiento estructural de la cúpula se determinaron las siguientes secciones: Vm-01 (0.16x0.24m): Viga doble de 0.08m de ancho y 0.24m de peralte. Viga de madera del Grupo C. Esta sección se considera para las cerchas de madera que forman la cúpula. Vm-02 (0.35x0.45m): Viga de 0.35m de ancho y 0.45m de peralte. Viga de madera del Grupo C. Esta sección se considera para las cerchas de madera que forman los arcos que soportan la cúpula.

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3. RESULTADOS En base al modelo matemático asistido por computadora (con ayuda del software SAP2000 v17.1.1 se tuvieron los siguientes resultados 3.1. FUERZA NORMAL O AXIAL Se puede decir que carga axial es aquella que aparece como resultante de un sistema de cargas, misma que transcurre por el eje centroidal de la sección del elemento cargado, ya sea en tensión o compresión. En este caso, las secciones de madera se verán sometidas a cargas verticales y que reaccionan con cargas axiales (o normales).

Figura 09. Fuerza Axial (Tonf) por carga muerta

Figura 10. Fuerza Axial (Tonf) por carga viva

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Figura 11. Fuerza Axial (Tonf) por COMB1=CM+CV

Figura 12. Fuerza Axial (Tonf) por COMB2=0.5CM+CV Teniendo como fuerzas axiales máximas: Tabla 03. Máximas fuerzas axiales (en Tonf) DEAD

LIVE

D+L

0.5D+L

P (+) (Tonf)

2.692

0.315

3.007

1.661

P (-) ( Tonf)

10.450

0.937

11.206

5.981

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3.2. FUERZA CORTANTE El esfuerzo cortante, de corte, de cizalla o de cortadura es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico como por ejemplo una viga o un pilar. Se designa variadamente como T, V o Q. En este caso,cargas las secciones se verán sometidas a cargas verticales y que reaccionan con cortantesde(omadera normales).

Figura 13. Fuerza Cortante (Tonf) por Carga muerta

Figura 14. Fuerza Cortante (Tonf) por Carga viva

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Figura 15. Fuerza Cortante (Tonf) por COMB1=CM+CV

Figura 16. Fuerza Cortante (Tonf) por COMB2=0.5CM+CV

Teniendo como fuerzas cortantes máximas: Tabla 04. Máximas fuerzas cortantes (en Tonf) DEAD V2 (Tonf)

3.754

LIVE 0.375

D+L 4.129

0.5D+L 2.252

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3.3. MOMENTO FLECTOR Se denomina momento flector (o también "flexor"), o momento de flexión, a un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal de un prisma mecánico flexionado o una placa que es perpendicular al eje longitudinal a lo largo del que se produce la flexión. este caso, con las secciones se verán sometidas a cargas verticales y queEnreaccionan momentosdeenmadera cada tramo de sección.

Figura 17. Momento Flector (Tonf-m) por Carga muerta

Figura 18. Momento Flector (Tonf-m) por Carga viva

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Figura 19. Momento Flector (Tonf-m) por COMB1=CM+CV

Figura 20. Momento Flector (Tonf-m) por COMB2=0.5CM+CV Teniendo como momentos flectores máximos Tabla 05. Máximos momentos flectores (en Tonf-m) DEAD M3 (Tonf-m)

10.479

LIVE 1.216

D+L 11.695

0.5D+L 6.456

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3.4. DEFLEXION Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas. Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y losyde energía.matemático, En este caso, con ayuda delalas propiedades mecánicas de los materiales el modelo se logra obtener flecha de cada tramo.

Figura 21. Deformaciones (en cm) con Carga muerta (Vista 3D)

Figura 22. Deformaciones (en cm) con Carga muerta (Vista Lateral)

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Figura 23. Deformaciones (en cm) con Carga viva (Vista Lateral)

Figura 24. Deformaciones (en cm) con COMB1=CM+CV (Vista 3D) Teniendo como momentos flectores máximos Tabla 06. Máximos desplazamientos y giros (en cm) DEAD

LIVE

D+L

0.5D+L

U1 (cm)

8.385

0.968

9.354

5.161

U2 (cm)

8.443

0.975

9.418

5.197

U3 (cm)

13.242

1.507

14.748

8.128

R1 (rad)

0.025

0.003

0.028

0.015

R2 (rad)

0.025

0.003

0.028

0.015

R3 (rad)

0.006

0.001

0.006

0.004

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En resumen, se tiene las siguientes fuerzas y momentos máximos: Tabla 07. Máximas solicitaciones mecánicas (en Tonf, m) DEAD

LIVE

D+L

0.5D+L

P (+) (Tonf)

2.692

0.315

3.007

1.661

P (-) ( Tonf)

10.450

0.937

11.206

5.981

3.754

0.375

4.129

2.252

10.479

1.216

11.695

6.456

V2 (Tonf) M3 (Tonf-m)

3.5. CÁLCULOS Para la determinación y comparación de esfuerzos admisibles y actuantes. Se requieren las propiedades mecánicas de los materiales (Ver Tabla 01) obtenidos de la Norma Técnica de Edificación E.010 Madera en el acápite 5.2.1; 5.2.2 y 5.2.3 (5.2 Valores de densidad básica, módulos de elasticidad y esfuerzos admisibles).

Figura 25. Valores de densidad básica, módulos de elasticidad y esfuerzos admisibles (Ver Norma E.010 Madera) El esfuerzo normal de un elemento se obtiene dividiendo la magnitud P de la carga por el área transversal del elemento.

Figura 26. Cálculo de esfuerzos normales para elementos

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En una sección rectangular, la distribución de los esfuerzos cortantes es a lo alto de la sección será una función parabólica, como muestra la Figura XX.

Figura 27. Cálculo de esfuerzos c ortantes para elementos Considerando la Tabla 07 para el cálculo de esfuerzos admisibles, se tiene lo siguiente: Tabla 08. Cálculo para Viga Vm-01 CASO 1: VIGA Vm-01 (0.16x0.24m) M3 max 11,695.00 Kgf-m Area P max V2 max

-3,007.00 Kgf 4,129.00 Kgf

Ix Iy

384.00 cm2 fm x 805.81 Kgf/cm2 axial 18,432.00 cm4 -7.83 Kgf/cm2 8,192.00 cm4 fv max 16.13 Kgf/cm2

Tabla 09. Cálculo para Viga Vm-02 CASO 1: VIGA Vm-02 (0.35x0.45m) M3 max 11,695.00 Kgf-m Area P max V2 max

-3,007.00 Kgf 4,129.00 Kgf

Ix Iy

1,575.00 cm2 fm x 265,781.25 cm4 axial 160,781.25 cm4 fv max

55.88 Kgf/cm2 -1.91 Kgf/cm2 3.93 Kgf/cm2

Comparando los resultados con los esfuerzos admisibles, resulta que la viga Vm-01 está correctamente diseñada sometida a cargas axiales, pero no para esfuerzos por flexión o cortante (ya que excede el esfuerzo admisible de la Figura 25). Asimismo, la viga Vm-02 presenta esfuerzos admisibles mayores a los actuantes, considerando ser un elemento bien diseñado. Observando la Tabla 06, se observan las deflexiones máximas. Según la Norma Técnica de Edificación E.020 Cargas (en el acápite 9.3.1 y 9.3.2) menciona las flechas máximas para Madera (sea seca o húmeda), ésta corresponde, frente a COMB1=CM+CV a una flecha máxima permisible para: 

Viga Vm-02 (0.35x0.45m)

 



Viga Vm-01 (0.16x0.24m)

 

 

 





 

 

  

  

Por tanto, la flecha máxima es excedida de la flecha actuante frente a cargas verticales.

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4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 













Para hacer un estudio más detallado de la cúpula 14 de la Catedral de Lima, se deben conocer las propiedades de los materiales que la conforman in situ, como la madera y materiales de los pilares, muros, etc. Para este estudio se utilizaron valores de resistencia a los esfuerzos basadas en otras investigaciones y por ello, no se tiene la seguridad de que tales capacidades deban ser impuestas a los materiales presentes en esta estructura; se tiene una deficiencia en ese aspecto. A lo mencionado, se suma la ausencia de normas sísmicas que estipulen procedimientos de estudio sobre estructuras como la que tenemos. En general, una estructura de gran luz y de materiales de baja resistencia, hacen vulnerable frente a solicitaciones en base a Normas vigentes. Los desplazamientos originados por las fuerzas verticales alcanzan un valor de 14.748cm en el centro de la cúpula para cargas combinadas de carga muerta y viva; y un valor de 9.418cm en el tercio superior del intradós de la cúpula. Estos desplazamientos son elevados y suponen un grave riesgo ante un aumento de cargas y un posible evento sísmico. Esto se debe a la esbeltez de los elementos de madera que lo conforman. En este modelamiento no se ha considerado acciones sísmicas ya que el análisis ha sido enfocado al análisis de la cubierta y sistema estructural de la cúpula. Por ello, los pilares y pechinas fueron consideradas como nudos con apoyo fijo. Si se consideraba la altura total de dichas estructuras, era necesario el análisis sísmico por cortante basal. La estimación de los esfuerzos mediante el procedimiento descrito en el presente informe representa una estimación de las mismas, ya que no se pueden conocer los valores de manera precisa mediante modelos lineales, pero pueden considerarse cualitativamente correctos. El mantenimiento constante del sistema de drenaje y control de sobrecargas en el extradós es importante, ya que la humedad excesiva y el peso sobre la estructura podría afectar las propiedades mecánicas de los materiales o llegar a su límite plástico y producirse rotura. Es importante tomar en cuenta la máxima sobrecarga a soportar, esto permitiría evitar colocar capas de cobertura en exceso al que puede soportar la estructura. Se recomienda reforzar las cerchas principales que forman la cúpula, ya que los arcos de sección Vm-02 (0.35x0.45m) que unen las pechinas no se encuentran sobreesforzados. Este reforzamiento puede incluir elementos metálicos, templadores o láminas de acero estructural que permitan dar mayor rigidez a la estructura, éstos se encontrarían apoyados sobre los arcos mencionados o sobre las pechinas (según sea el caso).

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5. BIBLIOGRAFIA 

Reglamento Nacional de Edificaciones o

o o



E.010 Madera E.020 Cargas E.030 Diseño Sismorresistente

Manual de Diseño para Maderas del Grupo Andino REFORT

–

Junta de Acuerdo de Cartagena PADT-

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6. ANEXOS

6.1. ANEXO 01: TABLA DE FUERZAS EN LOS ELEMENTOS

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6.2. ANEXO 02: TABLA DE DESPLAZAMIENTOS EN LOS NUDOS

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6.3. ANEXO 03: TABLA DE REACCIONES EN LA BASE

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