Memorator si Indrumar de Matematica

GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER

MEMORATOR ȘI ÎNDRUMAR DE MATEMATICĂ

ALGEBRĂ PENTRU LICEU

EDITURA HYPERION

Această lucrare a fost elaborată în conformitate cu programele școlare actuale aprobate de Ministerul Educației și Cercetării. Comenzi pentru cărţile editurii noastre se pot face la următoarea adresă de e-mail: [email protected] sau la tel. / fax 0251-531133 sau la telefon 0744628656

Copyright © Editura Hyperion

Descrirea CIP a Bibliotecii Naţionale a României SCHNEIDER, GHEORGHE-ADALBERT Memorator și îndrumar de matematică: algebră pentru liceu / Gheorghe-Adalbert Schneider, - Craiova: Hyperion, 2012 Bibliogr. ISBN 978-606-589-006-0 512(075.35)

1. Mulțimi și elemente de logică matematică 1.1 Mulțimea numerelor reale 1.1.1 Numere reale 1) Mulțimea numerelor naturale:
= 0, 1, 2, ⋯ , . 2) Mulțimea numerelor întregi:  = ⋯ , −2, −1, 0, 1, 2, ⋯ , .  3) Mulțimea numerelor raționale: =  | ,  ∈ ,  ≠ 0.  4) Mulțimea numerelor iraționale, formată din numerele reprezentate de o fracție zecimală, infinită, neperiodică și pe care o notăm  − . 5) Mulțimea numerelor reale:  = ∪  − . Evident au loc relațiile: a)
⊂ ⊂  ⊂ ⊂ ⊂ ⊂  b)  − ⊂ ⊂  c) ∩  −  = ∅. 6) O fracție ordinară = 1.

 este ireductibilă dacă c.m.m.d.c. ,  = 

 " , , .  ! #  7) O fracție ordinară este reductibilă dacă există cel puțin un 

Exemple:

număr prim prin care fracția se poate simplifica. Exemple: 8)

 $

!

= ",

 !%

! !

"

= , !$ = &.

Fracțiile ordinare care reprezintă numărul rațional

transformă în fracție zecimală după formula:

 se 

 = ', '! ' '" ⋯. 

! =0, 3 - fracție zecimală periodică simplă "  =0,41(6) - fracție zecimală periodică mixtă. !

Exemple:

1.1.2 Operații algebrice cu numere reale Operațiile algebrice pe mulțimea numerelor reale sunt: adunarea și înmulțirea. Ele se definesc ca extensii ale operațiilor

3

de adunare și înmulțire din mulțimea numerelor raționale. a) Proprietățile adunării 1) Asociativitatea: ) + + + , = ) + + + , ∀), +, , ∈ ; 2) Comutativitatea: ) + + = + + ) ∀), + ∈ ; 3) Element neutru 0: ) + 0 = 0 + ) = ) ∀) ∈ ; 4) Element opus: : ) + −) = −) + ) ∀) ∈ ; numărul – ) se numește opusul lui ). b) Proprietățile înmulțirii 1) Asociativitatea: )+, = )+, ∀), +, , ∈ ; 2) Comutativitatea: )+ = +) ∀), + ∈ ; 3) Element neutru 1: ) ∙ 1 = 1 ∙ ) = ) ∀) ∈ ; 4) Element inversabil : ) ∙ numărul

! 1

! ∙ ) = 1 ∀ ) ∈ , ) ≠ 0; 1

! se numește inversul lui ). 1

c) Proprietate de legătură între înmulțire și adunare 1) Distributivitatea înmulțirii față de adunare: )+ + , = )+ + ), ∀), +, , ∈ . Observație. Ca operații derivate ale adunării și înmulțirii se pot defini operațiile de scădere și împărțire. a) ) − + = ) + −+, ∀), + ∈ ; ! b) ): + = ) ∙ , + ≠ 0. 3

1.1.3 Calcule cu numere reale reprezentate prin litere a) Formule de calcul prescurtat 1) 2) 3) 4)

' + 4 = '  + 2'4 + 4  ; ' − 4 = '  − 2'4 + 4  ; '  − 4  = ' + 4' − 4; ' + 4" = ' " + 3'  4 + 3'4  + 4 " ;

4

5) ' − 4" = ' " − 3'  4 + 3'4  − 4 " ; 6) ' + 4 + 5 = '  + 4  + 5  + 2'4 + 2'5 + 245; 7) ' − 4 + 5 = '  + 4  + 5  − 2'4 + 2'5 − 245; 8) ' " + 4 " = ' + 4'  − '4 + 4  ; 9) ' " − 4 " = ' − 4'  + '4 + 4  ; 10) '  − 4  = ' − 4' 6! + ' 6 4 + ⋯ + '4 6 + 4 6! ,  ≥ 2,  ∈
; 11) '  + 4  = ' + 4' 6! − ' 6 4 + ⋯ − '4 6 + 4 6! ,  ≥ 2,  ∈
, impar. b) Alte formule algebrice utile 1) '  + 4  = ' + 4 − 2'4; 2) ' " + 4 " = ' + 4" − 3'4' + 4; 3) ' & + 4 & = '  + 4   − 2'  4  = 8' + 4 − 2'49 − −2'  4  ; 4) '  + 4  = ' + 4' & − ' " 4 + '  4  − '4 " + 4 & ; 5) ' $ + 4 $ = '  + 4  " − 3'  4  '  + 4  ; 6) '  + 4  + 5  = ' + 4 + 5 − 2'4 − 2'5 − 245; 7. '  + 4  + 5  − '4 − '5 − 45 = 1 = 8' − 4 + 4 − 5 + 5 − ' 9; 2 8) ' " + 4 " + 5 " − 3'45 = ' + 4 + 5'  + 4  + 5  − '4 − ! −'5 − 45  = ' + 4 + 58' − 4 + 4 − 5 + 5 − ' 9. 

9) ' + 4 + 5" − ' " − 4 " − 5 " = 3' + 44 + 55 + '. c) Proprietățile puterilor cu exponent întreg

1) 2) 3) 4)

'  ∙ '  = ' : ; '  : '  = ' 6 , ' ≠ 0; '   = '  ; '4 = '  ∙ 4  ; < 

5) ; > =

=