GHEORGHE ADALBERT SCHNEIDER
MEMORATOR ȘI ÎNDRUMAR DE MATEMATICĂ
ALGEBRĂ PENTRU LICEU
EDITURA HYPERION
Această lucrare a fost elaborată în conformitate cu programele școlare actuale aprobate de Ministerul Educației și Cercetării. Comenzi pentru cărţile editurii noastre se pot face la următoarea adresă de e-mail:
[email protected] sau la tel. / fax 0251-531133 sau la telefon 0744628656
Copyright © Editura Hyperion
Descrirea CIP a Bibliotecii Naţionale a României SCHNEIDER, GHEORGHE-ADALBERT Memorator și îndrumar de matematică: algebră pentru liceu / Gheorghe-Adalbert Schneider, - Craiova: Hyperion, 2012 Bibliogr. ISBN 978-606-589-006-0 512(075.35)
1. Mulțimi și elemente de logică matematică 1.1 Mulțimea numerelor reale 1.1.1 Numere reale 1) Mulțimea numerelor naturale: = 0, 1, 2, ⋯ , . 2) Mulțimea numerelor întregi: = ⋯ , −2, −1, 0, 1, 2, ⋯ , . 3) Mulțimea numerelor raționale: = | , ∈ , ≠ 0. 4) Mulțimea numerelor iraționale, formată din numerele reprezentate de o fracție zecimală, infinită, neperiodică și pe care o notăm − . 5) Mulțimea numerelor reale: = ∪ − . Evident au loc relațiile: a) ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ b) − ⊂ ⊂ c) ∩ − = ∅. 6) O fracție ordinară = 1.
este ireductibilă dacă c.m.m.d.c. , =
" , , . ! # 7) O fracție ordinară este reductibilă dacă există cel puțin un
Exemple:
număr prim prin care fracția se poate simplifica. Exemple: 8)
$
!
= ",
!%
! !
"
= , !$ = &.
Fracțiile ordinare care reprezintă numărul rațional
transformă în fracție zecimală după formula:
se
= ', '! ' '" ⋯.
! =0, 3 - fracție zecimală periodică simplă " =0,41(6) - fracție zecimală periodică mixtă. !
Exemple:
1.1.2 Operații algebrice cu numere reale Operațiile algebrice pe mulțimea numerelor reale sunt: adunarea și înmulțirea. Ele se definesc ca extensii ale operațiilor
3
de adunare și înmulțire din mulțimea numerelor raționale. a) Proprietățile adunării 1) Asociativitatea: ) + + + , = ) + + + , ∀ ), +, , ∈ ; 2) Comutativitatea: ) + + = + + ) ∀ ), + ∈ ; 3) Element neutru 0: ) + 0 = 0 + ) = ) ∀ ) ∈ ; 4) Element opus: : ) + −) = −) + ) ∀ ) ∈ ; numărul – ) se numește opusul lui ). b) Proprietățile înmulțirii 1) Asociativitatea: )+ , = )+, ∀ ), +, , ∈ ; 2) Comutativitatea: )+ = +) ∀ ), + ∈ ; 3) Element neutru 1: ) ∙ 1 = 1 ∙ ) = ) ∀ ) ∈ ; 4) Element inversabil : ) ∙ numărul
! 1
! ∙ ) = 1 ∀ ) ∈ , ) ≠ 0; 1
! se numește inversul lui ). 1
c) Proprietate de legătură între înmulțire și adunare 1) Distributivitatea înmulțirii față de adunare: )+ + , = )+ + ), ∀ ), +, , ∈ . Observație. Ca operații derivate ale adunării și înmulțirii se pot defini operațiile de scădere și împărțire. a) ) − + = ) + −+ , ∀ ), + ∈ ; ! b) ): + = ) ∙ , + ≠ 0. 3
1.1.3 Calcule cu numere reale reprezentate prin litere a) Formule de calcul prescurtat 1) 2) 3) 4)
' + 4 = ' + 2'4 + 4 ; ' − 4 = ' − 2'4 + 4 ; ' − 4 = ' + 4 ' − 4 ; ' + 4 " = ' " + 3' 4 + 3'4 + 4 " ;
4
5) ' − 4 " = ' " − 3' 4 + 3'4 − 4 " ; 6) ' + 4 + 5 = ' + 4 + 5 + 2'4 + 2'5 + 245; 7) ' − 4 + 5 = ' + 4 + 5 − 2'4 + 2'5 − 245; 8) ' " + 4 " = ' + 4 ' − '4 + 4 ; 9) ' " − 4 " = ' − 4 ' + '4 + 4 ; 10) ' − 4 = ' − 4 ' 6! + ' 6 4 + ⋯ + '4 6 + 4 6! , ≥ 2, ∈ ; 11) ' + 4 = ' + 4 ' 6! − ' 6 4 + ⋯ − '4 6 + 4 6! , ≥ 2, ∈ , impar. b) Alte formule algebrice utile 1) ' + 4 = ' + 4 − 2'4; 2) ' " + 4 " = ' + 4 " − 3'4' + 4 ; 3) ' & + 4 & = ' + 4 − 2' 4 = 8' + 4 − 2'49 − −2' 4 ; 4) ' + 4 = ' + 4 ' & − ' " 4 + ' 4 − '4 " + 4 & ; 5) ' $ + 4 $ = ' + 4 " − 3' 4 ' + 4 ; 6) ' + 4 + 5 = ' + 4 + 5 − 2'4 − 2'5 − 245; 7. ' + 4 + 5 − '4 − '5 − 45 = 1 = 8' − 4 + 4 − 5 + 5 − ' 9; 2 8) ' " + 4 " + 5 " − 3'45 = ' + 4 + 5 ' + 4 + 5 − '4 − ! −'5 − 45 = ' + 4 + 5 8' − 4 + 4 − 5 + 5 − ' 9.
9) ' + 4 + 5 " − ' " − 4 " − 5 " = 3' + 4 4 + 5 5 + ' . c) Proprietățile puterilor cu exponent întreg
1) 2) 3) 4)
' ∙ ' = ' : ; ' : ' = ' 6 , ' ≠ 0; ' = ' ; '4 = ' ∙ 4 ; <
5) ; > =
=
