memorator matematica

Cuprins GEOMETRIE 1. Vectori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Segmente orientate. Vectori în plan . . . . 1.2. Operaţii cu vectori . . . . . . . . . . . . 1.3. Vectori coliniari . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Vectori de poziţie . . . . . . . . . . . . . 1.5. Drepte paralele, concurente. Colinearitate 1.6. Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . 2. Geometrie analitică . . . . . . . . . . . . . . 3. Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Elementele trigonometriei . . . . . . . . 3.2. Ecuaţii trigonometrice . . . . . . . . . . 3.3. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1 1 3 6 8 10 14 18 27 27 33 39

ANALIZĂ MATEMATICĂ 1. Numere reale, mulţimi reale . . . . . . . . . 2. Şiruri de numere reale . . . . . . . . . . . . 2.1. Şiruri reale . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Operaţii cu şiruri reale . . . . . . . . . 2.3. Inegalităţi şi limite . . . . . . . . . . . 2.4. Convergenţă, monotonie, mărginire . . 2.5. Subşiruri . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . 2.7. Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Limite de funcţii . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Limita unei funcţii . . . . . . . . . . . 3.2. Operaţii cu limite de funcţii . . . . . . . 3.3. Proprietăţile limitelor de funcţii . . . . 3.4. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . 4. Funcţii continue . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Continuitatea funcţiilor . . . . . . . . . 4.2. Operaţii cu funcţii continue . . . . . . . 4.3. Continuitate şi proprietatea lui Darboux

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 46 46 48 51 52 54 55 56 58 58 61 62 64 67 67 70 71

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Funcţii derivabile . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Definiţia derivatei . . . . . . . . . . . . 5.2. Interpretarea geometrică a derivatei . . 5.3. Operaţii cu funcţii derivabile . . . . . . 5.4. Derivatele funcţiilor elementare . . . . 5.5. Deriatele funcţiilor compuse . . . . . . 5.6. Derivate de ordin superior . . . . . . . 5.7. Teoreme de medii . . . . . . . . . . . . 5.8. Reprezentarea grafică a funcţiilor . . . . 6. Integrala nedefinită . . . . . . . . . . . . . 6.1. Primitive. Integrala nedefinită . . . . . 6.2. Funcţii primitivabile . . . . . . . . . . 6.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . 6.4. Prima metodă de schimbare de variabilă 6.5. A doua metodă de schimbare de variabilă 6.6. Integrarea funcţiilor raţionale . . . . . 7. Integrala definită . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Funcţii integrabile Riemann . . . . . . . 7.2. Proprietăţile funcţiilor integrabile . . . 7.3. Integrarea prin părţi . . . . . . . . . . 7.4. Prima metodă de schimbare de variabilă 7.5. A doua metodă de schimbare de variabilă 7.6. Formula de medie . . . . . . . . . . . 7.7. Teorema fundamentală . . . . . . . . . 7.8. Aplicaţii ale integralei definite . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 76 77 79 80 81 83 93 98 98 101 104 106 110 111 121 121 126 127 129 131 132 134 136

1. Vectori 1.1. Segmente orientate. Vectori în plan Segmente orientate

.

Definiţie. Perechea ordonată de puncte (A,B) se numeşte segment orientat şi se notează cu AB. Definiţie. Segmentele orientate AB şi CD sunt echipolente (se notează cu AB∼CD), dacă mijlocul segmentului [AD] coincide cu mijlocul lui [BC]. Observaţie. Dacă AB∼CD, atunci există o translaţie care transformă segmentul AB în segmentul CD. Proprietăţi. Pe mulţimea segmentelor orientate relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă: . AB∼AB (∼ este reflexivă), . dacă AB∼CD, atunci CD∼AB (∼ este simetrică), . dacă AB∼CD şi CD∼EF , atunci AB∼EF (∼ este tranzitivă). .

.

.

D AB şi CD sunt echipolente dacă şi numai dacă ABDC este paralelogram sau punctele A,B,C,D sunt coliniare şi mijlocul lui [AD] C coincide cu mijlocul lui [BC].

B A.

A

C B

D

.

1

Vectori

.

Definiţie. Se numeşte vector mulţimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment dat. Notaţie. Vectorul determinat de segmentul orientat − − → − − → AB se notează }cu AB (sau cu litere mici): AB= { CD| CD∼AB . − − → − − → − u= Observaţie. Dacă AB∼CD, atunci AB=CD. Dacă → − − → − − → AB=CD, atunci spunem că segmentul AB (sau CD) este − un reprezentant al vectorului → u. Definiţie. Lungimea (sau modulul) unui vector este lungi− mea oricărui reprezentant al său şi se notează cu |→ u |. −→ Definiţie. Vectorul de lungime nulă AA se numeşte vectorul nul şi se notează ⃗ 0. − − → − − → − − → − − → Definiţie. Vectorii AB şi CD sunt egali (AB=CD), dacă segmentele orientate AB şi CD sunt echipolente. Observaţie. Doi vectori sunt egali dacă au acelaşi modul, aceeaşi direcţie şi sens. . Teoremă. (Existenţa reprezentantului cu origine dată) − Pentru orice vector → u şi orice punct M , există un unic seg−−−→ − ment orientat M M ′ pentru care → u =M M ′ . −−→ −−→ Consecinţă. Dacă M A=M B, atunci A=B. Mulţimea segmentelor orientate → − u = G C D H E − v F A B → = .

2

− − → − − → → − u =AB=CD=..., − − → − − → → − v =EF =GH=..., CD este un reprezentant al vecto− rului → u, z EF este un reprezentant al lui → − v, − − → − − → AB=CD.

2. Geometrie analitică Reper cartezian în plan

.

Fie xx′ şi yy ′ două axe perpendiculare care se intersectează în punctul O. Definiţie. Sistemul (xOx′ ,yOy ′ ) se numeşte reper cartezian sau reper ortonormat. Punctul O se numeşte originea reperului. Semidreapta [Ox este semiaxa pozitivă, [Ox′ este semiaxa negativă. Notaţie. Reperul (xOx′ ,yOy ′ ) se notează (xOy). Vectorii unitate (versorii) pentru axele [Ox respectiv [Oy sunt notate cu ⃗i, ⃗j. Coordonate carteziene

.

Fie M un punct oarecare în planul reperului cartezian xOy. Fie xM coordonata proiecţiei punctului M pe axa Ox, yM coordonata proiecţiei punctului M pe axa Oy. Definiţie. Numărul real xM se numeşte abscisa, iar numărul yM se numeşte ordonata punctului M şi se foloseşte scrierea M (xM ,yM ). Perechea ordonată de numere reale (xM ,yM ) se numeşte coordinatele punctului M . O altă definiţie (echivalentă) este: −−→ Definiţie. Vectorul de poziţie − r→ M =OM al punctului M −−→ se descompune în mod unic după vectorii ⃗i şi ⃗j: OM = xM ·⃗i+yM ·⃗j, xM ,yM ∈R. Numerele xM , yM sunt coordonatele punctului M . −→=(x ,y ). Notaţie. Formal, putem scrie r M M M Distanţa a două puncte

.

ţa dintre punctele A(xA ,yA ) şi B(xB ,yB ) este dată de formula √ AB= (xB −xA )2 +(yB −yA )2 .

18

Problemă. Să se determine perimetrul triunghiului AOB, unde A(3,4), √ B(12,5). √ √ S. OA= 32 +42 =5, OB= 122 +52 =13, AB= 92 +12 = √ √ 82, deci PAOB△ =18+ 82. Problemă. Să se determine valoarea numărului m∈Rastfel încât distanţa √ punctelor A(2;m) şi B(m;−2) să fie egală cu 4. S. AB= (m−2)2 +(−2−m)2 =4⇔2m2 +8=16⇔m=±2. Operaţii cu vectori în coordonate carteziene . − − v =(a2 ,b2 ) doi vectori şi λ un numă Fie → u =(a1 ,b1 ) şi → real. − − Proprietăţi. (Egalitatea a doi vectori) → u =→ v ⇔(a1 =a2 és b1 =b2 ). − − Proprietăţi. (Suma a doi vectori) → u +→ v =(a1 +a2 ,b1 + b2 ). Proprietăţi. (înmulţirea unui vector cu un număr real) − λ·→ u =(λ·a1 ,λ·b1 ). − − Proprietăţi. (Produsul scalar a doi vectori) → u ·→ v =a1 · a2 +b1 ·b2 ∈R. √ − − Proprietăţi. Lungimea vectorului → u ∥→ u ∥= a2 +b2 . 1

1

Consecinţă. Din definitţia produsului scalar a1 a2 +b1 b2 . cos(u,v)= c √ √ a21 +b21 · a22 +b22 − − Consecinţă. Vectorul → u este perpendicular pe vectorul → vre dacă şi numai dacă a1 a2 +b1 b2 =0. − − Teoremă. Vectorii → u şi → v sunt paraleli dacă şi numai dacă a1 b1 = , a1 ,a2 ,b1 ,b2 ̸=0 sau a1 =a2 =0 sau b1 =b2 =0. a2 b2

19

→ − → → − → − − → − − Problemă. Fie vectorii → a = i + j , b = i − j şi → − → − → − u =6 i +2 j . Să se determine numerele reale p,r∈R → − − − astfel încât → u =p→ a +r b ! → − − − − − S. → u =(1,1), → v =(1,−1), → u =(6,2). p→ a +r b = p·(1,1)+r·(1,−1)=(p,p)+(r,−r)=(p+r,p−r)=(6,2)⇔ { p+r =6 ⇔p=4,r=2. p−r =2 → − → − → − → − Problemă. Să se calculeze: (2 i +5 j )·(3 i −4 j ). → − → − → − S. Din definiţia produsului scalar i · i =∥ i ∥· → − → − → − → − → − [ ∥ i ∥·cos( i , i )=1·1·cos0=1, j · j =1·1·cos0=1, → − → − → − → − → − → − [ deci i · j =∥ i ∥·∥ j ∥·cos( i , j )=1·1·cos90◦ =0, −−−−−→ −→ → − → − → − → − → − → − −−−−− → −−→ − − (2 i +5 j )·(3 i −4 j )=6 i 2 −8 i j+15 j i −20 j 2 = 6−20=−14. Altă soluţie: formal, putem scrie → − → − → − → − (2 i +5 j )·(3 i −4 j )=(2,5)·(3,−4)=2·3+5·(−4)=−14. Problemă. Să se determine valoarea parametrului m∈R → − → − → − → − − − pentru care vectorii → u =2 i −5 j şi → v =4 i +(2m−1) j sunt perpendiculari! → − − − − S. u ⊥→ v ⇔→ u ·→ v =0⇔2·4+(−5)·(2m−1)=0⇔ 13 8−10m+5=0⇔m= . 10 → − → − − Problemă. Să se arate că unghiul vectorilor → u =4 i −5 j şi → − → − v=3 i +7 j este obtuz. − − S. → u ·→ v =(4,−5)·(3,7)=12−35=−230, ∃n0 ∈N astfel încât |an − .

n→∞

. .

α|0, ∃n0 ∈N astfel încât an > n→∞

ε, ∀n≥n0 .

46

Limita unui şir - continuare. . .

lim an =−∞⇔∀ε>0, ∃n0 ∈N astfel încât an <

n→∞

−ε, ∀n≥n0 . Definiţie. Şirul (an ) este convergent, dacă are limită finită. Un şir care nu este convergent este divergent. Teoremă. Dacă un şir are limită, atunci limita şirului este unică. Teoremă. lim an =α⇒ lim |an |=|α|. n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Teoremă. lim an =0⇔ lim |an |=0. Teoremă. Dacă (an ) este convergent, atunci (an ) este mărginit. 2n+1

2 = . 3 S. Trebuie arătat că pentru orice ε>0 există n0 astfel încât pen 2 2n+1 . tru orice n≥n0 , an − 0, ∃δ(ε)>0 astfel încât ∀x∈D, |x−x0 |