Memorator Matematica

CUPRINS ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã ………………………………………………. II. Mulţimi ………………………………………………………………………. III. Relaţii binare ………………………………………………………………... IV. Funcţii ………………………………………………………………………. V. Operaţii cu numere reale …………………………………………………….. VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi …………………………………………... VII. Numere complexe ………………………………………………………….. VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea ……………………………………... IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V ……………………………………... X. Logaritmi …………………………………………………………………….. XI. Metoda inducţiei matematice ……………………………………………….. XII. Analizã combinatorie ………………………………………………………. XIII. Progresii …………………………………………………………………... XIV. Polinoame …………………………………………………………………. XV. Permutãri, matrici, determinanţi …………………………………………… XVI. Sisteme lineare ……………………………………………………………. XVII. Structuri algebrice ………………………………………………………...

3 6 9 11 12 14 16 18 24 24 26 27 29 30 32 35 36

GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE I. Triunghiul …………………………………………………………………….. II. Poligoane convexe …………………………………………………………… III. Relaţii metrice în triunghi …………………………………………………... IV. Patrulatere …………………………………………………………………... V. Poligoane înscrise în cerc ……………………………………………………. VI. Cercul ……………………………………………………………………….. VII. Complemente de geometrie planã …………………………………………. VIII. Poliedre ……………………………………………………………………. IX. Corpuri rotunde ……………………………………………………………... X. Funcţii trigonometrice ……………………………………………………….. XI. Formule trigonometrice …………………………………………………….. XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice ……………………………………….. XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple ………………………………… XIV. Elemete de geometrie analiticã ……………………………………………

1

39 40 40 42 43 43 44 45 49 50 51 53 54 55

ANLIZÃ MATEMATICÃ I. Siruri ………………………………………………………………………….. II. Limite de funcţii ……………………………………………………………... III. Funcţii derivabile …………………………………………………………… IV. Asimptote …………………………………………………………………… V. Primitive ……………………………………………………………………... VI. Integrale definite …………………………………………………………….

2

59 61 64 67 68 70

ALGEBRÃ I. Elemente de logicã matematicã I.1. Noţiunea de propoziţie Definiţia I.1.1. Se numeşte propoziţie un enunţ despre care se poate spune cã este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie adevãratã. 2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un numãr natural astfel ca x + 5 = 3 3) x ≤ y, x,y∈N este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o propoziţie. Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propoziţii. Dacã o propoziţie p este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul; aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.

I.2. Operatori logici Negaţia Definiţia I.1.2. Negaţia unei propoziţii p este propoziţia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p,  p, p . Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţiei v(non p) = 1 – v(p). p non p 1 0 0 1

Conjuncţia Definiţia I.2.2. Conjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propoziţie p şi q este adevãratã. Se noteazã: p ∧ q

3

Tabela de adevãr a propoziţiei p ∧ q este: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

∧

p q 1 0 0 0

Disjuncţia Definiţia I.2.3. Disjuncţia a douã propoziţii p şi q este propoziţia care este adevãratã dacã şi numai dacã cel puţin una din propoziţiile p, qeste adevãratã. Se noteazã: p ∨ q Tabela de adevãr a propoziţiei p ∨ q este: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

∨

p q 1 1 1 0

Implicaţia Definiţia I.2.4. Implicaţia propoziţiilor p şi q este propoziţia care este falsã dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã. Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “p implicã q” sau “dacã p, atunci q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia. Tabela de adevãr a propoziţiei p→q este: p

q

1 1 0 0

1 0 1 0

non p (non p)∨q 0 1 0 0 1 1 1 1

4

Echivalenţa logicã Definiţia I.2.4. Propoziţiile p şi q sunt echivalente logic, dacã şi numai dacã p, q sunt adevãrate sau false simultan. Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨p; (p→q) şi (q→p); p↔q; se citeşte: “p echivalent cu q” sau “p dacã şi numai dacã q”, “p este condiţie necesarã şi suficientã pentru q”. Tabela de adevãr a propoziţiei compuse p↔q este: p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

non p non q 0 0 0 1 1 0 1 1

p→q q→p (p→q)∧ (q→p) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

I.3. Expresii în calculul propoziţiilor Propoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔ putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziţii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α(p,q,r,…), β(p,q,r,…). Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie, adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α, obţinutã pentru propoziţiile p,q,r,… respective. Definiţia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propoziţie adevãratã, oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… se numeşte tautologie. Definiţia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propoziţii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propoziţii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡β.

I.4. Noţiunea de predicat Definiţia I.4.1. Se numeşte predicat sau propoziţie cu variabile un enunţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se obţine o propoziţie adevãratã sau o propoziţie falsã. Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã), binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luând valori în mulţimi date. Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propoziţiile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).

5

I.5. Cuantificatori Definiţia I.5.1. Fie p(x), cu x∈M, un predicat. Dacã existã (cel puţin) un element x’∈M, astfel încât propoziţia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃xp(x), (∃x)p(x) sau (∃x∈M)p(x). Simbolul ∃ se numeşte cuantificator existenţial şi se citeşte “existã”. Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x∈M, un predicat. Dacã p(x) este o propoziţie adevãratã pentru orice x∈M, atunci scriem ∀xpx, (∀x)p(x) sau (∀x∈M)p(x). Simbolul ∀ se numeşte cuantificator universal şi se citeşte “oricare ar fi”. Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor: 1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y); 2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y); Reguli de negare: 1. ((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x)); 2. ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x)); 3. ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y)); 4. ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));

I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd Aceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.

I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Oricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem: non(non p) ≡ p; (p∧q) ≡ (q∧p) (comutativitatea conjuncţiei); ((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjuncţiei); (p∨q) ≡ (q∨p) (comutativitatea disjuncţiei); ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjuncţiei); ((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implicaţiei); non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan; non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q) (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi (p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia

II. Mulţimi

6

Moduri de definire a mulţimilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietãţi caracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}). Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a, b, c,… Apartenenţa unui element la o mulţime. Dacã un element a aparţine unei mulţimi A, acesta se noteazã a∈A şi se citeşte “a aparţine lui A”. Definiţie. Mulţimea vidã este mulţimea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.

II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A) Proprietãţile egalitãţii: 1. ∀ A, A = A (reflexivitatea); 2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria); 3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:

1. 2. 3. 4.

(A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B) Mulţimea A se numeşte o parte sau o submulţime a lui B. Proprietãţile incluziunii: ∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea); (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria); (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea); ∀ A, ∅ ⊂ A Relaţia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.

II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5.

A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B} Proprietãţile reuniunii: ∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea); ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea); ∀ A: A ∪ A = A (idempotenţa); ∀ A: A ∪ ∅ = A; ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.

7

II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B} Proprietãţile intersecţiei: ∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea); ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea); ∀ A: A ∩ A = A (idempotenţa); ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersecţiei faţã de reuniune); ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faţã de intersecţie); ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbţia).

Definiţie. Mulţimile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.

II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

A \ B = {xx∈A ∧ x∉B} Proprietãţile diferenţei: ∀ A: A \ A = ∅; ∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C); ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B); ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B); ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C; ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C); ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C); ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.

II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B: 1. 2. 3. 4. 5.

A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) Proprietãţile diferenţei simetrice: ∀ A: A ∆ A = ∅; ∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea); ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A; ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea); ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C); 8

6. ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)

II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: (A fiind o parte a lui E, adicã A⊂E) CEA = {xx∈E ∧ x∉A} Proprietãţi: (∀A, B⊂E) 1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii); 2. CEA = E \ A; 3. CE∅ = E; 4. CEE = ∅; 5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii terţiului); 6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradicţiei); 7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA; 8. A \ B = CE(A ∩ B).

II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB.

II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B} Proprietãţile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem): 1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B; 2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C); 3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C); 4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C); 5. (A \ B) x C = A x C \ B x C; 6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D) Definiţia II.9.1. Mulţimile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijecţie de la A la B. Definiţia II.9.2. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈N, astfel încât E este echipotentã cu mulţimea {1,2,…,n}. Definiţia II.9.3. O mulţime E se numeşte infinitã dacã ea nu este finitã. Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R. Definiţia II.9.4. Fie E o mulţime. Aceasta se numeşte numãrabilã dacã este echipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale. Definiţia II.9.5. O mulţime se numeşte cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã. Definiţia II.9.6. Fie E o mulţime. Se numeşte cardinalul acestei mulţimi un simbo asociat ei, notat E sau card E, astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E 9

este echipotentã cu F; cardinalul mulţimii vide se noteazã cu 0, cardinalul mulţimii {1,2,…,n} cu n∈N, senoteazã cu n, iar cardinalul mulţimii N se noteazã cu x0 (alef zero). Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mulţimi finite. Atunci: A ∪ B = A + B -A ∩ B  Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mulţimi finite. Atunci: A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C

III. Relaţii binare Relaţia binarã pe o mulţime Definiţia III.1. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţia binarã R pe M o parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈M este relaţia R cu y∈M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈R. Deci o relaţie binarã se referã la perechile de elemente din M. Proprietãţi ale relaţiilor binare pe o mulţime: 1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa. 2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb implicã bRa. 3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şi bRa implicã a=b. 4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb implicã bRc implicã aRc. Definiţia III.2. Se numeşte greficul relaţiei R definitã pe M mulţimea G = {(x,y)xRy}. Definiţia III.3. O relaţie binarã R definitã pe o mulţime nevidã M se numeşte relaţie de echivalenţã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã. Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dau acelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie de echivalenţã. Definiţia III.4. Fie M o mulţime. R o relaţie de echivalenţã pe M şi a un element fixat din M. Se numeşte clasã de echivalenţã corespunzãtoare elementului a mulţimea Ca = {x ∈M xRa}. Douã clase de echivalenţã Ca şi Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte. Definiţia III.5. Fie M o mulţime şi R o relaţie de echivalenţã pe M. Se numeşte mulţimea cât a lui M în raport cu relaţia R şi se noteazã M/R mulţimea claselor de echivalenţã. 10

Definiţia III.6. Fie M o mulţime nevidã. Se numeşte relaţie de ordin pe M o relaţie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã. Se noteazã: “ 0 ;  a a  

6.

m

a ⋅ m b ⋅ m c = m abc , a, b, c, ≥ 0 ;

7.

m

a :mb =m

a , a ≥ 0, b > 0 ; b

8. m a ⋅ n a = m +n a m +n , a ≥ 0 ; 9. m a : n a = m+n a m −n , a > 0 ; 10. a = a , a ≥ 0 ; nm

n

m

11. m a n = ( m a ) n = a m , a ≥ 0 ; 12. mn a mp = n a p , a > 0 ; 13. m a p ⋅ n b q = mn a pn ⋅ b qm , a, b ≥ 0 ; n

14. m n a = mn a = n m a , a ≥ 0 ; 15. m a p : n b q = mn a pn : b qm , a ≥ 0, b > 0 ; 16. a 2 = a , a ∈ R; 17. 2 n +1 − a

1

= −a 2 n +1 = −2 n +1 a , a ≥ 0 ;

18. (2 n +1 − a ) 19. a + b =

2 n +1

20.

= −a, a ≥ 0 ; a +b + 2 ab , a, b ≥ 0

A+C ± 2

A± B =

A−C 2

;

, dacã şi numai dacã A2 – B = C2;

21.Expresia conjugatã a lui 3

a + ab + b 2

3

3

a± b

este

a+ b

iar pentru

2

VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ax + b = 0, a,b,x∈R Fie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã 14

3

a ±3 b

este

1. a ≠ 0, x =

−

b a

b

(soluţie unicã). S = { − a }.

2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ∅; 3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R. Semnul funcţiei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0 x -∞

−

b a

+∞ f(X)

semn contrar lui a 0 semnul lui a Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã. y A(0,b)

x b

B( − a ,0)

VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã: b

1. a > 0, S =( − a , + ∞); b

2. a < 0, S = (-∞, − a ); 3. a = 0, b > 0, S = R; 4. a = 0, b = 0, S = ∅. Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã: b

1. a > 0, S = (+∞, − a ] b

2. a < 0, S = [ − a ,+∞) 3. a = 0, b = 0, S = R; 4. a = 0, b > 0, S = ∅. Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţirea inecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).

VI.3. Modului unui numãr real

15

 − x, daca x < 0  x =  0, daca x = 0  x, daca x > 0  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Proprietãţi:∀ x,y∈R, avem: x =0 ⇔ x = 0 ; −x = x ; x = y ⇔ x = y sau x = − y ; x =a ⇔ R; − x ≤x ≤ x ; x +y ≤ x + y ;

− a = x = a, a ∈

x −y ≤ x + y x − y ≤ x −y

;

x − y ≤ x +y ≤ x + y

xy = x ⋅ y

;

;

x x = , y ≠0 . y y

Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul: 1. x −a =b , (a,b,x∈R, S = mulţimea soluţiilor) b S b0 {a – b; a + b} x − a > b 2. b S b0 {-∞,a – b)∪{a + b,∞} x − a < b 3. b S b0 {a – b; a + b}

VII. Numere complexe

16

Definiţia VII.1. Se numeşte numãr complex orice element z=(a,b) al mulţimii RxR = {(a,b)a,b∈R}, înzestrate cu douã operaţii algebrice, adunarea: ∀z=(a,b), ∀z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmulţirea: ∀z=(a,b), ∀z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b). Mulţimea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.

VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1. Egalitatea a douã numere complexe z şi z’: a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’ Adunarea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complex a + bi admite un opus –a – ib. Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex  −1 a + bi nenul admite un invers  ( a + bi ) = 

adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C.

a b  − 2 i 2 2  ; este distributivã faţã de a +b a +b  2

Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i. Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeşte conjugatul lui z şi se noteazã a – ib = a + ib = z . Au loc urmãtoarele proprietãţi, ∀z,z’,z”∈C. 1. z + z = 2a; 2. z - z = 2bi; 3. z ± z ' = z ± z ' ; 4. zz ' = z ⋅ z ' ; 5. zz ' = a + b = (a + bi )(a − bi) ; 2

6. 7. 8.

2

z z' z = ; z' zz n z n =(z ) ;

 z'  z'  = . z  z

VII.2. Modulul unui numãr complex ∀ z∈C z = zz

sau

z = a2 +b2

Avem apoi: 1. 2.

z =z

z +z ' ≤ z + z '

; 17

3. 4.

z − z ' ≤ z +z ' ≤ z + z ' zz ' =z z '

;

;

z' z' = , z ≠0 . z z

5.

VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe z = r(cos u + isin u) unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice rcos u = a şi rsin u = b. De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci z = 2 , u =

5π 4

şi z = 2 (cos

5π 5π + i sin ). 4 4

VII.4. Formula lui Moivre ∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu) Consecinţele formulei lui Moivre cos nu = cosn u + C2ncosn-2u sin2u + C4ncosn-4u sin4u + …; sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + …; C n1tgu − C n2 tg 3u + C n5tg 5u − ... tg nu = . 1 − C n2 tg 2 u + C n4 tg 4 u − ...

VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex z = r(cos u + isin u)

( ) n

u + 2kπ u + 2kπ   z k = r cos + i sin , k = 0,1,2,..., n − 1 n n  2kπ 2kπ 1 k = cos + i sin , k = 0,1,2,..., n − 1 n n (2k + 1)π (2k + 1)π − 1 k = cos + i sin , k = 0,1,2,..., n − 1 n n 1 n

( ) n

(

n

)

Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie: ( n 1) k = ε k şi ( n − 1) k = ω k  a + ib = ±  

a 2 + b2 + a b +i 2 b

a 2 + b 2 − a   2 

VII.6. Ecuaţia binomã

xn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ) xk = A1/nωk, k = 0, n −1 , A∈R, A < 0; xk = A1/nεk, k = 0, n −1 , A∈R, A > 0; 18

xk =

n

ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ   p  cos + i sin , n n  

k = 0, n −1 , A∈C\R

VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 0 1. Formule de rezolvare: ∆ > 0 −b + ∆ −b − ∆ , x2 = , ∆ = b2 – 4ac; sau 2a 2a − b'+ ∆' − b'− ∆' x1 = , x2 = , b = 2b’, ∆’ = b’2 a a

x1 =

– ac.

2. Formule utile în studiul ecuaţiei de gradul al II-lea: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2P x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SP x14 + x24 = (x1 + x2)4 – 2x12x22= S4 – 4S2P + 2P2 3. Discuţia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac, P = x1x2, S = x1 + x2. ∆ ∆0

P>0 P>0 P0 S0

P0 A(x1,0) B(x2,0) C(0,c)

y

 

b

∆ 

V  − 2 a ,− 4a 

C

O A

B

x

D 6. Maximul sau minimul funcţiei de gradul al doilea 1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cu realizeazã pentru x =

−b 2a

2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax 2 + bx + c are un maxim egal cu realizeazã pentru x =

−b 2a

−∆ , 4a

minim ce se

−∆ , 4a

maxim ce se

7. Intervale de monotonie pentru funcţia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0 1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul crescãtoare pe intervalul

−b ,+∞) .   2a

2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul descrescãtoare pe intervalul

−b ,+∞) .   2a

20

−b  2a  

şi strict

−b  2a  

şi strict

( −∞,

( −∞,

Observaţie: Intervalele

( −∞,

−b  2a  

şi

−b ,+∞)   2a

se numesc intervale de

monotonie ale funcţiei f. Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a≠0, x1 şi x2 fiind rãdãcinile trinomului. 1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2); 2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)2; 3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c Construirea unei ecuaţii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2. Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R, a,a’≠0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã: a b c 0 0 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0 a’ b’ c’ 0 0 a’ b’ c’ Condiţii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în anumite relaţii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Condiţii necesare şi suficiente Relaţii între x1, x2, α şi β 1 α < x1 < β < x2 sau 1. f(α )f(β) < 0 x1 < α < x2 0 3. af(β) > 0 2 α < x1 ≤ x2 < β −b 4. α < 2a 5. β > 3

x1 < α < β < x2

4

x1 < α < x2

5

α < x1 ≤ x2

−b 2a

1. af(α) < 0 2. af(β) < 0 ceea ce atrage dupã sine ∆ >0 1. af(α) < 0 1. ∆ = 0 2. af(α) > 0 3. α <

21

−b 2a

6

1. ∆ = 0 2. af(α) > 0

x1 ≤ x2 < α

7

f(X) = 0, ∀x, x∈R

8

f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R

3.

−b 2a

1. 2. 1. 2.

∆≤0 a>0 ∆≤0 a 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor: a S ∆ ∆>0 a>0 (-∞, x1)∪(x2, +∞) (x1,x2) ∆>0 a 0 R\{x1} ∆=0 a0 R ∆0 a 0 R ∆=0 a0 R ∆