Memorator Matematica clasa a VIII-a

MATEMATICĂ EVALUAREA NAŢIONALĂ BREVIAR TEORETIC CUPRINS

Pagina

ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ Mulţim Mulţimi…… i…………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ………… … Calcul Calcul algebric algebric………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………. ………. Funcţii…… Funcţii……………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ………….... Ecuaţii, Ecuaţii, inecuaţi inecuaţiii şi sisteme sisteme de ecuaţii…… ecuaţii……………… …………………… …………………… …………………… ………… GEOMETRIE Măsur Măsurare are şi măsur măsuri…… i………… …………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……….... Figuri Figuri şi cr!uri cr!uri gem gemetric etrice…… e……………… …………………… …………………… …………………… …………………… ………….. #riung$ #riung$iul… iul…………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… ………….. Patrulate Patrulaterul rul cn%e&…… cn%e&……………… …………………… …………………… …………………… …………………… ……………….. ……..… … Cercul…… Cercul……………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………... ... Cr!uri Cr!uri gemetr gemetrice… ice…………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… …………....

1

2 16 14 15 24 1" 22 25 26 2'

ARITMETICĂ ŞI ALGEBRĂ ALGEBRĂ

M()*+M+

1

TITLUL EXPLICAŢII EXEMPLE CONŢINUTULUI elaţii -n -ntre 0aca a%em/ • !artenenţă, ∈/ a∈ sau a ∉  = :1828984857,  = :289857, C = :982857. mulţimi • Egalitate/ 0uă mulţimi sunt egale dacă au aceleaşi elemente. !artenenţă, ∈/ 2∈8 • +ncluiune, ⊂/  mulţime  este inclu! -ntr3 mulţime  dacă şi Egalitate, ;/  ; C8 numai dacă iecare element al lui  este element şi !entru mulţimea +ncluiune, ⊂/ ⊂ . • ∅ Multimea %ida  ara nici un element 4H1=>1H1=;1B >4H1=>1H1=;1B actri care la rIndul lr nu se mai !t descm!une. 4' 0 ; :1,2,9,4,6,',12,16,24,4'7 :1,2,9,4,6,',12,16,24,4'7  ! J r  s 0aca un numar are descm!unerea n; a .b .c .d , atunci Numa&ul #i,i+*&il*& numarului n; >!H1= >JH1= >rH1= >sH1= 16 C.m C.m.m.d .m.d.c .c.. şşii Pentru a ala c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. se !rcedeaă astel/ 4 c.m.m.m.c.  singură dată= dată= > 4',1'B= = 22 ⋅ 9 = 12 cu !uterea cea mai mică şi se -nmulţesc -ntre ei8se nteaa >a,b= K4',1'BL = 24 ⋅ 92 ⋅ 5 = 24B Pentru a ala c.m.m.m.c. se iau actrii cmuni şi necmuni > singură dată= cu !uterea cea mai mare şi se -nmulţesc -ntre ei8 se nteaaKa, bL >a, b= ∙ Ka, bL; a ∙ b 1A um umere ere !ri !rime me  umere !rime !rime -ntre ele sunt numere numere care au au ca di%ir di%ir cmun E&em!le/ 4 şi "8 15 şi 1". -ntre ele dar numărul 1.  %4 = :−48−28−18+18+28+47 1' 0i%i 0i%ii ibi bili lita tate teaa -n 5 0i%iibilitatea -n 5 este aemănătare aemănătare cu di%iibilitatea -n N. 









1"

Fracţii subunitare, ec$iunitare, su!raunitare

 O 6&acţie

a  b

Fracţii

, a ∈ F, b ∈ F C .

 subunitare ec$iunitare

a  numaratr, b3 numitr  





a , a b. b Fracţii subunitare subunitare

su!raunitare 5 2

5

=

1B 4

2 ,. 5 5 ,. 5 5 ,. 2

 !entru că 2⋅1B = 4⋅5

Fracţiile 2B

m!li !liic icar area ea şi sim!liicarea ractiilr

22



Fracţii ireductibile #rans srmări de racţii

Cm!ararea, rdnarea şi re!reentarea !e a&ă a numerelr reale

c d

. se

numesc ec7i,alen%e dacă şi numai dacă a⋅$ = b⋅ .

a a ⋅& m!liicarea = , & ≠ B. b b⋅& >& b =

=



Fracţii ecimale !eridice mi&te

a, b> $ =

=

a , b

=

9= 



5

2 56

=

15

>4

=

2B

4' 96

,.

6

14 5

>2

=

. ab − a

""B

1, >9= =

.

"" ab$  − ab

.

 racţie rdinară se !ate transrma -ntr3 racţie ecimală !rin -m!ărţirea numărătrului numărătrului la numitrul racţiei. E&em!lu/

Cm!ararea numerelr raţinale !rin aducerea  la acelasi numitr atunci ractia mai mare e cea cu numaratrul mai mare sau la acelaşi număratr iar atunci ractia mai mare e cea cu numitrul mai mic. Cm!ararea numerelr reale 



ricum am alege duă numere aşib reale, e&istă cel !uţin una din relaţiile a > b sau a ≤ b , astel ricare duă numere reale !t i cm!arate. Pr!rietăţile relaţiei  ≤ D/ 1. ricare ar i a ∈ℝ, a%em a ≤ a 2. ricare ar i a, b ∈ℝ, dacă a ≤ b şi b ≤ a , atunci a = b 9. ricare ar i a, b, c ∈ℝ, dacă a ≤ b şi b ≤  , atunci a ≤  6

2,1>9=

22 9

,

24 1'

2,25 =





29

 b

=

&=



21

a

>2

>9

= 12 = 4 . "

225 1BB

9

"

=

4

.

19 − 1 12 = " "

=

219 − 21 "B

=

=

4 . 9

1"2 "B

=

92 15

= 22 / 9 = A, > 9=.

0intre numerele

a

= A  şi 6

b

=

6 5

 mai mare ete

numărul b dearece aducem numerele date la acelaşi numitr/

5=

a=

A 6

=

95

 şi

6=

b=

6

=

96

.

9B 5 9B a = 9 A  şi b = '  mai mare ete

0intre numerele numărul b dearece intrducem actrii sub radical şi bţinem/ a = 9 A = 69 şi b = ' = 64 .

4. elaţia de rdine este cm!atibilă cu adunarea şi -nmulţirea numerelr reale -n sensul că/ a= 0acă a, b, c ∈ℝ şi a ≤ b , atunci a +  ≤ b +  şi reci!rc  b= 0acă a, b, c ∈ℝ şi a ≤ b , atunci/ a⋅ ≤ b⋅ dacă  > B şi a⋅≥ b⋅ dacă  < B şi reci!rc 5. 0acă a, b, c, d ∈ℝ şi a ≤ b ,  ≤ $ atunci/ a +  ≤ b + $  24 Nalar larea ea abs abslu lută tă a unui număr real 



Nalarea abslută a unui număr real/

 a, a > B  a =  B, a = B − a, a < B 

Nalarea abslută a unui număr iraţinal 0acă a%em/ a b , cel !uţin unul este iraţinal, a < b  , atunci a−b = b−a. !usul unui număr real/ !usul lui a este − a.









+n%ersul unui număr real/ in%ersul lui a este

1 a

.

 





26 Part Partea ea -ntr -ntrea eagă gă şi Pa&%ea 8n%&eag! a unui număr real  x , ntată [ x] este cel mai mare  !artea racţinară racţinară a unui număr real număr -ntreg mai mic sau egal cu  x .

Pa&%ea 6&acţi*na&! a numarului x se nteaă cu { x}şi calculeaa ca  x −[ x]

−2,6 este -ntre −9 şi −2. Partea -ntreagă K −2,6L ; −9. Partea racţinară : −2,67 ; −2,6 − K−2,6L ; −2,6 H9 ; B,4.

A

9

−

2

=

−

2

−

A

=

A8 9

=

98 B

=

B

9.

0earece 2 >√3

−

25 !usul şi şi in%ersul unui număr real

E&em!lu/

!usul lui 5; − 5 !usul lui −A; HA +n%ersul lui 5; 1

5

+n%ersul lui −5; − 1

5

4,4 este -ntre 4 şi 5. Partea -ntreagă K4,4L ; 4 Partea racţinară :4,47 ; 4,4 − K4,4L ; 4,4 − 4 ; B,4.

−2,6 este -ntre −9 şi −2. Partea -ntreagă K −2,6L ; −9. Partea racţinară : −2,67 ; −2,6 − K−2,6L ; −2,6 H9 ;

2A tu tun@ n@ir irea ea şi Metda de a a!r&ima un număr real, mai ales cInd acesta este  a!r&imarea unui racţie ecimală sau un număr iraţinal este lsită la estimări şi număr real e&erciţii de cm!arare. 

2' +nte +nter% r%al alee -n 8 re!reentarea !e a&ă

 



+nter%al mărginit -nc$is la ambele margini/ Ka8 bL :&∈ℝ ∣a≤ x≤ b}. ; +nter%al mărginit -nc$is la una din margini margini/ > a8 bL





+nter%al mărginit -nc$is sau desc$is la una din margini şi nemărginit la cealaltă/ > −∞8 a L ;:&∈ℝ ∣ x≤a} sau > −∞8 a = ; :&∈ℝ ∣ x−285L ; :&∈G− 29

=

9 6 4



a

b − =

& a b

95 !er !eraţ aţii ii cu cu nnum umer eree reale

+

=

& ⋅ >a b >a b

− =

+ = ⋅ >a

b

− =

=

&> a b

− =

a b− 2

2



4+ 2 9 =

 .

=

A#una&ea Prin adunarea a duă numere reale se bţine un al treilea număr real ntat cu s = a +b unde s re!reintă uma, iar a şi b termenii sumei. Pr!rietăţile adunării numerelr reale/ 1. Cmutati%itatea/ Cmutati%itatea/ a +b = b+ a , a, b ∈ℝ 1B

5

4−2 9 2B + 1B 9 16 − 12

= =

5 ⋅ >4 + 2 9 =

=

2B + 1B 9

>4 − 2 9 = ⋅ >4 + 2 9= 42 2>1B + 5 9= 1B + 5 9 4

=

2

− >2

9=2

=

2. sciati%itatea/ sciati%itatea/ (a +b) +  = a +(b + ) , a, b, c ∈ℝ 9. Elementul neutru/ a + B = B+ a = a , a∈ℝ 4. E&istă elementul !us/ a +(−a) = (−a) + a = B stel se !ate deini scăderea/ Prin c!#e&ea  a duă numere reale a,b se bţine un al treilea număr natural numit #i6e&enţ! iar a scăătr şi b descăut, descăut, deinit astel/ $ = a −b = a +(−b) Inmulţi&ea Prin -nmulţirea a duă numere reale a,b numiţi 6ac%*&i se bţine un al treilea număr real  p numit )&*#u şi deinit astel/  p = a ⋅b Pr!rietăţile !rdusului numerelr reale/ 1. Cmutati%itatea/ ricare a, b ∈ℝ , a⋅b = b⋅a 2. sciati%itatea/ ricare a, b, c ∈ℝ, (a⋅b)⋅ = a⋅(b⋅) 9. 0istributi%itatea aţă de adunare/ ricare a, b, c ∈ℝ a⋅(b + ) = a⋅b + a⋅ 4. E&istă elementul 1 numit element neutru cu !r!rietatea că ricare a ∈ℝ , atunci a⋅1=1⋅a =1 5. E&istă elementul in%ers ricărui număr real ntat cu

a −1

=

1 a

astel incat a ∙ a31 ; a31∙a; 1 abeu #"&u-irii se&"e.r/

abeu #&p*r-irii se&"e.r/

9/ 9- P : : : : : :

; I C : : : : : :

11

5

 Ridicarea la putere

2

,,Puterea este  -nmulţire re!etatăD a " = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a

96 rdi rdine neaa eec eectu tuăr ării ii !eraţiilr şi lsirea !aranteelr  !aranteelr 

9A Fact Factr rul ul cm cmun un



=

0acă



4B Medi Mediaa ge geme metr tric icăă a duă numere reale

2

   

am ⋅ an ; amHn8 am / an ; am3n8 >am=n ; am⋅n8 ⋅ bm. >a⋅ b=  b=m ; am b

Edre!te= şi a!i a!i cele din aclade. aclade. = {2 + 9} ⋅ ' − 9B =  0acă -n aţa unei !arantee ce cnţine un număr raţinal sau  = 5 ⋅ ' − 9B = sumăGdierenţă sumăGdierenţă de numere raţinale se ală simblul ,, −D, atunci se  = 4B − 9B = 1B >  !ate elimina elimina semnul şi !arantea, !arantea, scriind scriind numerele din din !aranteă !aranteă cu semnul sc$imbat.

9' Medi Mediaa arit aritme meti tică că 9" Medi Mediaa arit aritme meti tică că  !nderată

−2

 2   =  9   = "        9    2   4

1 a& 0pera-ii u pu!eri/  1a ; 18  a1 ; a8  aB ; 1, dacă a ≠ B8  Ba ; B, dacă a ≠ B8  ntr3un e&erciţiu de calcul aritmetic ce a −&

= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 92



 f  ⋅ >a + b +  + .... + 1= =   f  ⋅ a +  f  ⋅ b +  f  ⋅  + ..... +  f  ⋅ 1  atunci şi

 f  ⋅ a +  f  ⋅ b +  f  ⋅  + ..... +  f  ⋅ 1 =  f  ⋅ > a + b +  + ..... + 1=

Media aritmetică &a =

"

Media aritmetică !nderată & p



a1 + a2  + a9 + .... + a"

=

a1 ⋅  p1 + a2 ⋅  p2 + a9 ⋅  p9 + .... + a" ⋅  p"  p1 +  p2 +  p9 + .... +  p"

unde  pi  este   este !nderea numărului ai  . . Media gemetrică & = a ⋅ b .  2 

12

.



E&em!lu/

12 ⋅ 9 + 5 ⋅ 12 − 12 ⋅ 1B

= 12 ⋅ >9 + 5 − 1B = = 12 ⋅ > −2 = = −24

 !iti%e 4 1

a!rtul a duă numere

4 2

Pr!rietatea undamentală a !r!rţiilr  !r!rţiilr  0eri%area  !r!rţiilr 

4 9

0acă a%em numerele reale a şi b, atunci ra!rtul lr este egal cu

a b

.

0acă a%em !r!rţia

a b

=

& "

0acă a%em !r!rţia

a b

=

& "

a ⋅"

  atunci

E&em!lu/ Fie

a

= 12,5  şi

b

= 9,25 .

a b

=

12,5 9,25

=

125B 925

> 25

=

5B 19

= b⋅&

atunci mai !utem bţine şi

 !r!rţiile/

4 4

4 5

larea unui termen necunscut dintr3  !r!rţie dată dată

Mărimi direct  !r!rţinale  !r!rţinale



a &



a ⋅ (  & ⋅ (  8 = b "



=

b "

8

b a

" &

8

a b ⋅ ( 

4 6

Mărimi in%ers  !r!rţinale  !r!rţinale



=

=

&±" "

8

& 8 " ⋅ ( 

a ⋅ (  b ⋅ ( 

=

ex!re&1

&e31⋅ &e32 ex!re& 2

&e3 1

=

a b±a

& "±&

.

& a / (  & / (  8 = " b " 

&e3 2 ex!re& 2

 4i &e31 =

=

a

α

=

 b

β

=

c

γ 

 x '

 atunci

=

A 2

  atunci

 x

= ' ⋅ A = 56 = 2' 2

2

ex!re&1⋅ ex!re& 2 &e32

. 0acă numerele a, b, , 6,  sunt direct !r!rţinale !r!rţinale cu numerele α, β, γ, ...., ω  atunci se !ate rma un şir  de ra!arte egale/



a±b b

n general dacă a%em

ex!re&1 = 

=

= .... =

R

ω

= Q    , unde  

este ceicientul de !r!rţinalitate. Pr!rietate generală a unui şir de ra!arte egale/ a = b =  = .... = 1 = a + b +  + .... + 1 . α  β  γ   ω  α  + β  + γ  + .... + ω  0acă numerele a, b, , 6,  sunt in%ers !r!rţinale cu numerele α, β, γ, ...., ω  atunci se !ate rma un şir  de !rduse egale/ 19

E&em!lu de  !rblemă/  x + 2 = > x − 2 => x + 2 =

=

& / (  8 " / ( 

> ( 

"u&i!.ru)  ≠ B .

= 9 x 2 + 6 x .  x − 4 2

" sim!liica un ra!rt ra!rt de a!t se caută caută c.m.m.d.c. c.m.m.d.c. al termenilr ra!rtului ra!rtului dat.  !entru a sim!liica

16

 8xe&pu/

 x + 2 ( x + 2 ) 2  x 2 + 4 x + 4 = =  x + 2 . ( x + 2 ) ( x − 2 )  x 2 − 4  x − 2 dunarea sau scăderea dunarea sau scăderea

A

( /" =



& "

( /9 =

+

 p 9

=

> (  / " = ⋅ & + > (  / 9 = ⋅  p ( 

(nde   este c.m.m.m.c. c.m.m.m.c. al lui " şi 96  8xe&pu/ x −2 = 9 x 2 + 2 2 = 9 x +  x + 2  x − 4  x + 2 > x + 2=> x − 2= '

nmulţirea

nmulţirea  8xe&pu/

"

m!ărţirea

m!ărţirea  8xe&pu/

1B

11

idicarea la !utere

&  p ⋅ " 9

=

& ⋅  p "⋅9

+ 4 x + 4  8 se descm!un -n actri termenii ra!rtului şi du!ă  x 2 − 4

8

=

9 x 2 − 6 x + 2 > x + 2=> x − 2=

=

9 x 2 − 6 x + 2 . > x + 2=> x − 2=

8

2 ⋅  x + 2 =  x > x + 2= =  x 2+ 2 x .  x + 9  x − 9 > x + 9=> x − 9= x −"

 x

&  p / " 9

=

& 9 ⋅ "  p

 x − 1 2 x − 2 /  x + 2  x − 2

=

&⋅9 " ⋅  p

8

> x − 1=> x − 2=  x 1  x 2  x 2 = − ⋅ − = = − .  x + 2 2 x − 2 > x + 2= ⋅ 2> x − 1= 2 x + 4

a

&   &a idicarea la !utere      = a 8   "   " 2  x 2    x   =  x 2 =  8xe&pu/  .   2 2   x − 1   > x − 1=  x − 2 x + 1 −a idicarea la !utere cu e&!nent  &   = " a 8 idicarea la !utere    număr negati% &a   "   −2    x   = > x − 1= 2 =  x 2 − 2 x + 1 .  8xe&pu/     x 2 x2   x − 1  

F(C*++

1A

TITLUL CONŢINUTULUI 1

ţi ţiuunea de un uncţie cţie





EXEMPLE? EXPLICAŢII 0aca iecărui element din mulţimea  -i cres!unde un element din mulţimea  s!unem că este deinită  uncţie !e  cu %alri -n .  x= = x + 9

Func Funcţi ţiii de dein init itee !e !e mul mulţi ţimi mi inite, e&!rimate !rin diagrame, tabele, rmule, graic

 x  31  y 1

9

Funcţii de ti!ul  f/A→  R,  f(x) = ax : b,  unde A este un inter%al de numere reale

B 2 9 5 2 4 5 A

 8xe&pu/

 x = = −9 x + 2 8 Pentru  x = −2 ⇒   f  > −2 = = 6 + 2 = ' ⇒ A> −28'= 8 Pentru  x = 4 ⇒   f  > 4 = = −12 + 2 = −1B ⇒ B >48−1B = 8 Uraicul uncţiei este un segment de drea!tă ce uneşte !unctele  A şi B, -nc$is -n A şi desc$is -n  B.  0acă mulţimea  A este un inter%al de numere mărginit la  e&tremă şi nemărginit nemărginit la cealaltă e&tremă, atunci graicul uncţiei este  semidrea!tă cu riginea -n e&trema mărginită a inter%alului. 1'

 f 1 x   x 3 ' x  :  : -

4

Functii de ti!ul  f/R→  R,  f(x)

 Exemplu:

= ax : b

6= =

A2 11

  f  > x =

=

12 x 11

−

1A 11

8

− 1A = 55 = 5 ⇒ A>685= 8 11

11

11

11

− 6B − 1A = − AA = −A ⇒ B> −58−A= Pentru  x = −5 ⇒   f  > −5= = 11

Uraicul uncţiei este  drea!tă ce trece !rin !unctele  A şi B.

EC(.*++, +EC(.*++, sistemului ului de ecuaţi ecuaţii=. i=. 5. Neriica riicarea rea sluţi sluţiei. ei. 6. Frmular Frmularea ea cnc cnclui luiei ei !rble !rblemei. mei.

 Exemplul "#ecuaţie$: (n călătr !arcurge un drum -n 9 ile astel/ -n !rima i !arcurge

 !arcurge  !arcurge

9 5

1 9

din drum, a dua i

din rest iar a treia i ultimii 4B de Qm. laţi lungimea ttală a drumului.

 Re.7are/  Re.7are/ 98485=, >48586=. 9

TITLUL CONŢINUTULUI 5

Prb Prble leme me ce se re rel% l%ăă cu cu

EXEMPLE? EXPLICAŢII  Exemplul & #sistem de dou' ecuaţii$: 0uă creiane şi nuă cărţi cstă -m!reună 'B de lei. 0acă 5 creiane şi 4

21

a@utrul ecuaţiilr, inecuaţiilr  cărţi cstă -m!reună 42 de lei, alaţi !reţul unui crein şi a unei cărţi.  Re.7are/  Re.7are/ B@ =. =.

 Re.7are/  Re.7are/

0 ⇒

⊥

α  

> AB@ =8

=

es!e

0P  ⊥  B@ 8

⇒

u"2 AB@ = si >B@ =.

#+(UZ+()

1

TITLUL CONŢINUTULUI Perimetrul şi aria





2 9

 B@A= 



4

)inii im im!rtante -n triung$i

Mediana

Mediatarea

•Mediana este segmentul de drea!tă ce uneşte %Irul unui triung$i cu mi@lcul laturii !use. •Punctul de intersecţie al medianelr se numeşte centrul de greutate.

•Mediatarea este drea!ta  !er!endiculară  !er!endiculară !e mi@lcul mi@lcul unei laturi. •Punctul de intersecţie al mediatarelr se numeşte centrul cercului circumscris circumscris triung$iului. triung$iului.

2"

isectarea

nălţimea

•isectarea este

•nălţimea este  !er!endiculara  !er!endiculara dusă din din %Irul unui triung$i !e latura !usă. •Punctul de intersecţie al -nălţimilr se numeşte rtcentrul triung$iului.

semidrea!ta ce -m!arte ung$iul -n duă ung$iuri adiacente cngruente. •Punctul de intersecţie al  bisectarelr  bisectarelr se numeşte numeşte centrul cercului -nscris triung$iului.

5

)inia mi@lcie -n triung$i





6

#riung$iul isscel   !r!rietăţi



0 parae* $us* a . a!ur* #"!r>u" !riu" %a* pu"!ee pu"!ee ' i N $e!er&i"* $e!er&i"* pe ee $.u* $.u* a!uri ae ae !riu"u" !riu"  B=Hm> @ =;1'B =;1'BB8 4. ntr3un !aralelgram !aralelgram diagnalele diagnalele se intersecteaă intersecteaă -n@umătăţindu3se, -n@umătăţindu3se, K 0AL≡K0@ L8 L8 K0BL≡K0%L . 4

0re!t 0re!tun ung$ g$iul iul  !r!ri !r!rietă etăţi ţi !artic !articula ulare re

 A!e pr.prie!*-i/ pr.prie!*-i/

1. #ate #ate ung$iurile ung$iurile sunt sunt cngruente cngruente şi de "B B. 2. 0iagnal 0iagnalele ele sunt sunt cngruen cngruente. te. 5

Pătr Pătrat atul ul  !r !r!r !rie ietă tăţi ţi !ar !arti ticu cula lare re

 A!e pr.prie!*-i/ pr.prie!*-i/

1. 2. 9. 4. 5. 6

TITLUL CONŢINUTULUI mb mbul ul  !r! !r!ri riet etăţ ăţii !art !artic icul ular aree

#ate #ate laturile laturile sunt sunt cngruente cngruente88 #ate #ate ung$iurile ung$iurile sunt sunt cngruente cngruente şi de "B B8 0iagnal 0iagnalele ele sunt sunt cngruen cngruente8 te8 0iagnalele 0iagnalele se intersecteaă intersecteaă !er!endicula !er!endicularr una !e cealaltă8 0iagnalele 0iagnalele sunt sunt şi bisectarele bisectarele ung$iurilr ung$iurilr..

EXEMPLE? EXPLICAŢII  A!e pr.prie!*-i/ pr.prie!*-i/

1. #ate #ate laturile laturile sunt sunt cngruen cngruente8 te8 2. 0iagnal 0iagnalele ele sunt !er!end !er!endicul iculare8 are8 9. 0iagnalele 0iagnalele sunt şi bisectarele bisectarele ung$iurilr. ung$iurilr.

A

'

#ra! #ra!e eul ul  lini liniaa mi@l mi@lci ciee -n tra! tra!e e

#ra!ee !art !artic icuulare lare

He&e"!u $e $reap!* are u"e!e &i.aee a!uri.r "eparaee "eparaee se "u&e!e i"ie &i.ie6

rape $rep!u"C=  A>0A@ =

6

Calc Calcul ulul ul elem elemen ente tel lrr -n -n triu triung ng$i $iul ul ec$ilateral

π R 2 ⋅ α  96BB

)  =  =  R 9  a  =

<  =

A

=

Calcul lculul ul elem lemente ntelr lr -n -n !ătra trat

)  9 2

2 2  R   A = 9 R 9  A = )  9 2 4 4



  P  = 9)  >

 =  R 2  a )  =

=

 R 2 2

=

)  2



 A = 2 R 2   A = )   $  = )  2  P  = 4 )  > 2

'

Calc Calcul ulul ul ele elem mente entel lrr -n $e& $e&ag agn nul ul reg regul ulat at

 =  R  a  = )  =

95

 R 9 2

  A =

9 R 2 2

9

2

  A = 9) 

2

9



 P  = 6)  >

C2P(+ UE2ME#+CE

1

TITLUL CONŢINUTULUI Paraleli!i!edul dre!tung$ic

EXEMPLE? EXPLICAŢII 0escriere şi desăşurata cr!ului >la  scară Formule: mai mică= un dre!tung$i8 dre!tung$i8  baa este un  Ab = ab a,b, ;$i&e"siu"ie paraeipipe$uui ;  A)  =  P b ⋅ < = 2( a + b )   ; diagnala !araleli!i!edului $  ;  A!  = 2 ( ab + b + a )   = ab $ 2 = a 2 + b 2 +  2

2

Cubu Cubull

0esc 0escri rier eree şi des desăş ăşur urat ataa cr! cr!ul ului ui >la >la  scar scarăă mai mică= tate eţele >6= sunt !ătrate8  ; muc$ia cubului8   ;  ; diagnala cubului8 $  ; are 12 muc$ii.

Formule:

0escriere şi desăşurata cr!ului >la  scară mai mică= un triung$i ec$ilateral8 ec$ilateral8  baa este un  ; latura baei8   ; la  scară mai mică= un !ătrat8  baa este un  ; latura baei8   ; la  scară mai Formule: mică= ec$ilateral8  baa este un triung$i ec$ilateral8  ; latura baei8   ; < !iramidei8   ; -nălţimea !iramidei8 ) 2 9  Ab = ab ; a!tema baei8 4 a p ; a!tema !iramidei8  P b ⋅ a p  A)  = &  ;  ; muc$ia laterală8 2 triung$iuri isscele. eţele sunt triung$iuri  A!  =  A)  +  Ab

a p

2

= < 2 + ab 2 8

2

=  A0 2 + < 2

&) 

  =

2

2

&) 

Formule:  Ab = ) 2  A)  =  P b ⋅ < = 4)  ⋅ <  A!  =  A)  + 2 ⋅  Ab   =  Ab ⋅ < $ 2 = < 2 + 2) 2

)    = a p 2 +       2  

9A

 Ab ⋅ < 9

6

#etraedrul regulat

0escriere şi desăşurata cr!ului >la  scară mai mică= tate eţele sunt triung$iuri ec$ilaterale8 tate muc$iile sunt cngruente. 



Formule:  Ab

=

 A)  =

) 2 9 4  P b ⋅ a p

9) 2 9

= 2 4  A!  =  A)  +  Ab = ) 2 9  A ⋅ < ) 9 2   = b = 9

A

Piramida !atrulateră

a p

2

= < 2 + ab 2 8

2

=  A0 2 + < 2

&) 

0escriere şi desăşurata cr!ului >la  scară mai mică=  baa este un !ătrat8   ;  ; latura baei8 !iramidei8 