MEMOIRE MASTER 2 MECANIQUE.pdf

Chapitre 1 Généralités 1.1 Centrale Thermique 1.1.1 Définition La centrale thermique est une centrale électrique qui produit de l'électricité à partir d'une source de chaleur (charbon, gaz, fioul, biomasse ou déchets municipaux). La source de chaleur chauffe un fluide (souvent de l'eau) qui passe de l'état liquide à l'état gazeux (vapeur). Cette vapeur entraîne une turbine couplée à un alternateur qui transforme l'énergie cinétique contenue dans la vapeur en énergie mécanique de rotation, puis en énergie électrique grâce à une génératrice de courant. 1.1.2 Principe de fonctionnement d’une centrale thermique Une centrale thermique fonctionne grâce à la combustion du gaz naturel, du charbon pulvérisé) ou du fuel dans une chaudière à vapeur. La chaleur des gaz de fumées et des flammes sert à chauffer la tuyauterie de la chaudière et transforme progressivement l'eau qui y circule en vapeur. Les gaz de fumées s’échappent par la cheminée. Dans les centrales à charbon, un électro filtre en retient d’abord les particules de poussière. La vapeur fait tourner la turbine à vapeur, qui à son tour entraîne l’alternateur pour produire l’électricité. Le transformateur élève la tension du courant produit, avant qu’il ne soit injecté dans le réseau de transport. Après son passage dans la turbine où elle libère son énergie, la vapeur se condense et retourne sous forme d’eau vers la chaudière. Dans le condenseur, la vapeur glisse sur des milliers de tubulures remplies d'eau froide pompée des eaux de surface (eau de refroidissement) et lui cède sa chaleur. La plupart des centrales refroidissent cette eau devenue relativement chaude, dans une tour de refroidissement, pour ensuite la réutiliser. Dans ces immenses tours de refroidissement, en forme d’hyperbole, l’eau entre en contact avec un courant d’air ascendant créé par le tirage naturel (effet de cheminée de la tour de refroidissement). Lorsque des ventilateurs créent ce flux d’air, la tour de refroidissement est plus petite, l’eau se refroidit et retombe sous forme de gouttelettes dans la tour de refroidissement ; L’air réchauffé saturé de vapeur d’eau, s’échappe de la tour de refroidissement en un nuage de vapeur blanc. Une grande partie de l’eau de refroidissement refroidie est pompée vers le condenseur et réutilisée et seul 1 à 1

1,5 % s’évapore. Une centrale thermique transforme 35 à 40 % de l’énergie du combustible en électricité. Elle fournit parfois aussi de la chaleur, sous forme de vapeur d’eau [1].

1: Chaudière à vapeur 2: Electro filtre 3: Turbine à vapeur 4: Alternateur

5 : Transformateur 6 : Condenseur 7 : Tour de refroidissement Fig.1.1 Schéma d’une centrale thermique [1]

1.2 Turbine à vapeur 1.2.1 Définition La turbine à vapeur est un moteur thermique rotatif qui convertit l’énergie d’un courant de vapeur

d’eau

ou

en énergie mécanique. Plus généralement c’est un organe qui

permet

la

détente d’un fluide en transformant son énergie sous forme mécanique [2]. 1.2.2 Historique La turbine à vapeur est le fruit du travail de nombreux chercheurs et ingénieurs, à la fin du e

XIX siècle. Parmi les contributions notoires au développement de ce type de turbine, on peut mentionner celle du Britannique Charles Algernon Parsons et celles du Suédois Carl Gustav Parsons fut à l’origine du principe de la séparation des étages, selon lequel la vapeur se dilate dans un certain nombre d’étages, produisant à chaque fois de l’énergie. De Laval fut le premier à concevoir des jets et des augets adaptés à une utilisation efficace de la vapeur en expansion [3].

1.2.3 Différents catégories des turbines 2

Les turbines sont classées selon leur mode de fonctionnement ainsi qu’a leurs

modes

de constructions. On distingue trois grandes catégories de turbines :
turbines hydrauliques ou à eau.
turbines à gaz.
turbines à vapeur. Dans cette étude, on se limite à l’étude des turbines à vapeur. 1.2.4 Description de la turbine à vapeur La turbine à vapeur comprend une partie fixe appelée stator qui porte des aubages directeurs. La vapeur en provenance de l’évaporateur est admise dans un collecteur. Elle s’écoule ensuite dans des canaux fixes (c’est là où l’énergie thermique se transforme en énergie cinétique) et dans des canaux mobiles (les énergies thermiques et cinétiques sont transformées en énergie mécanique). Les canaux fixes et mobiles se succèdent les uns à la suite des autres dans le sens de l’écoulement. La vapeur en provenance du générateur de vapeur est introduite dans les premiers étages de la turbine à travers des vannes d’admission et des soupapes de réglage asservies aux dispositifs de sécurité et de réglage de la turbine. La vapeur est détendue adiabatiquement en produisant un travail mécanique. La détente de la vapeur à travers les divers étages de la turbine se fait de façon différente selon qu’il s’agisse de turbines à action ou à réaction.

Aubage fixe Aubage mobile L’arbre

Fig.1.2 Schéma de turbine à vapeur (Parsons) [4]

Fig.1.3 Rotor d’une turbine à vapeur [5]

3

1.2.5 Principe de fonctionnement Bien que les turbines à vapeur soient construites selon deux configurations différentes (à action ou à réaction), leurs éléments essentiels sont similaires. Elles se composent de tuyères ou de jets, et d’ailettes (aubes). La vapeur s’écoule dans les tuyères, dans lesquelles elle se dilate, ainsi, sa température diminue et son énergie cinétique augmente. La vapeur en mouvement exerce une pression contre les aubes, entraînant leur rotation. La disposition des jets et des aubes, fixes dépend du type de turbine. À la sortie du dernier condenseur, l’eau peut être de nouveau vaporisée et surchauffée, l’eau ou la vapeur récupérée en sortie est ramenée vers la chaudière par des pompes. La turbine à vapeur utilise les principes de la thermodynamique, lorsque la vapeur se dilate, sa température et donc son énergie interne diminuent. Cette diminution de l’énergie interne s’accompagne d’une augmentation de l’énergie cinétique sous forme d’une accélération des particules de vapeur (une réduction de 100 kJ de l’énergie interne, due à la

dilatation, peut

provoquer un accroissement de la vitesse des particules de vapeur de l’ordre de 2 800 km/h), à de telles vitesses, l’énergie disponible est très importante. Lorsque la pression de la vapeur d’eau en sortie de la turbine est égale à la pression atmosphérique, la turbine est dite à condensation. Aujourd’hui, les turbines à vapeur sont généralement limitées à une température maximale de 580 °C dans le premier étage, et à une pression maximale d’admission de 170 à 180 bars [3].

Source d’énergie (Combustible, Fossile,….)

Vaporisation Forte Température haute pression

Couple

Production de la chaleur

Chaudière (L’énergie Calorifique)

Turbine (Énergie de pression)

(Énergie mécanique)

Alternateur (Énergie électrique)

Fig.1.4 Principe de fonctionnement d’une turbine à vapeur [6]

1.2.6 Différents types de turbines à vapeur En fonction de leur utilisation, on distingue quatre grandes catégories de turbines à vapeur :
Les turbines à condensation Dans les quelles la vapeur est complètement détendue jusqu'à une pression voisine de 0,02 à 0,04 bar, puis liquéfiée dans un condenseur refroidi soit par l'air ambiant, soit par de l'eau

. Ce type de turbine est surtout utilisé dans les installations de production de force motrice. 4

La pression de sortie de la vapeur étant basse, ce qui fait apparaître des condensats dans la tur bine qu’il faut évacuer par le biais de purgeur. Le rendement global est de l’ordre de 30% (Fig1.5.a).
Les turbines à contre-pression Dans les quelles la vapeur est détendue de la pression HP (> 40 bars) jusqu'à une pression B P (de l'ordre de 4 bars). Ce type de turbine permet de produire de la puissance

mécanique ou de

l'électricité grâce aux hautes températures et pressions que l'on peut obtenir dans une chaudière. Dans ce type de turbine, la vapeur reste strictement en phase gazeuse, après détente, l’intérêt est de délivrer de la vapeur à un niveau enthalpique suffisant pour qu’elle soit utilisable (exemple : séchage). L’inconvénient de

ce

type

de

turbines

c’est qu’avec une pression de sortie de 3 bars, il est difficile d’atteindre un rendement thermodynamique supérieur à 18 %. (Fig1.5.b).
Les turbines à soutirage et condensation : Dans les quelles la vapeur subit une détente partielle jusqu’ à une moyenne pression (environ 20 bars) dans un corps haute pression. Ensuite une partie est dirigée vers un réseau d’utilisation, tandis que le reste de la vapeur est détendu dans un corps basse pression, comme dans une turbine à condensation. Ce type de turbine trouve un champ d’application important dans les usines de cogénération dont les demandes de chaleur sont susceptibles de varier fortement au cours du temps (Fig1.5.c).
Les turbines à soutirage et contre-pression : la seule différence par rapport à la précédente, est que la vapeur d’eau s’échappe à basse pression dans un réseau BP au lieu d’être condensée. (Fig1.5.d) [2].

5

Fig.1.5 Différents types de turbines à vapeur [2]

1.2.7 Classification des turbines à vapeur On peut classer les turbines à vapeur selon leurs mode de fonctionnement en :
Turbine à action La forme la plus simple de turbine à vapeur est la turbine à action, dans la quelle les jets sont fixés sur la partie intérieure de l’enveloppe de la turbine, les aubes sont placées sur le bord des roues tournantes montées sur un arbre central. La vapeur qui se déplace dans une tuyère fixe passe sur ces ailettes incurvées, qui absorbent une partie de l’énergie cinétique de la vapeur dilatée, faisant ainsi tourner la roue et l’arbre sur lesquels elles sont montées. Cette turbine est conçue de manière à ce que la vapeur entrant par une extrémité de la turbine se dilate à travers une succession de tuyères jusqu’à ce qu’elle ait perdu la majeure partie de son énergie interne [3].

6

1 : aubages fixes 2 : aubages mobiles 3 : diaphragmes 4 : disque 5 : arbre, 6 : dispositif d’étanchéité Rm : rayon mayen La flèche : sans de l’écoulement de la

Fig.1.6 Turbine à action [7]


Turbine à réaction Dans la turbine à réaction, une partie de l’énergie mécanique est obtenue par l’impact de la vapeur sur les aubes. La partie la plus importante est obtenue par l’accélération de la vapeur lors de son passage dans la roue de la turbine, où elle se dilate. Une turbine de ce type se compose de deux jeux d’aubes, l’un fixe l’autre mobile. Ces aubes sont disposées de telle façon que chaque paire joue le rôle de tuyère, à travers laquelle la vapeur se dilate lors de son passage. Dans chaque étage, une faible quantité d’énergie thermique est convertie en énergie cinétique. La vapeur se détend dans les aubes fixes, puis entraîne les aubes mobiles disposées sur la roue ou le tambour de la turbine. Les aubes d’une turbine à réaction sont en général montées sur un tambour. Les turbines à réaction nécessitent en général davantage d’étages que les turbines à action. Il a été démontré que, pour le même diamètre et la même gamme énergétique, une turbine à réaction à besoin de deux fois plus d’étages pour obtenir un rendement maximal. Les grosses turbines, qui sont généralement à action, utilisent une certaine réaction à la base du trajet de vapeur pour assurer un débit efficace à travers les aubes un certain nombre de turbines, qui sont normalement à réaction, disposent d’un premier étage de commande d’impulsion, qui permet d’envisager la réduction du nombre total d’étages 7

nécessaires. Les arbres des turbines de chaque étage sont reliés entre eux au moyen d’accouplements [3].

Stator

Tambour

Aubages fixe

Aubages mobiles Fig.1.7 Turbine à réaction [7]

Un autre critère de classement est de les classées selon la direction du jet de vapeur, on peut distinguer ainsi les turbines axiales et les turbines radiales.
Turbines axiales Dans ce type de turbines le flux de vapeur est essentiellement parallèle à l’axe de la turbine. Les turbines axiales sont essentiellement composées d’un tore d’admission qui canalise le fluide vers l’entrée et d’un stator portant des aubes fixes ou distributeurs ou l’énergie cinétique thermique du fluide se transforme entièrement cas de la turbine à action ou partiellement cas de la turbine à réaction en énergie cinétique. Le rotor porte les aubes ou l’énergie cinétique et l’énergie thermique restantes se transforment en énergie mécanique
Turbines radiales Le flux de vapeur entre dans ce cas perpendiculairement à l’axe du rotor. Ces turbines fonctionnent comme un compresseur centrifuge avec un écoulement inversé (centripète) et une rotation dans le sens opposé. Elles sont est en général utilisées pour de petites puissances et pour des applications ou la turbine axiale plus langue (donc plus encombrante) ne peut être utilisée [6].

8

1.2.8 Caractéristiques des turbines à vapeur 1.2.8.1 Taille des composants Étant donné l’augmentation de volume liée à la dilatation de la vapeur dans les différents étages d’une turbine, la taille des ouvertures à travers lesquelles passe la vapeur doit s’accroître d’un étage à l’autre. Dans la conception pratique des turbines, cet accroissement est réalisé en allongeant les aubes d’un étage à l’autre, en augmentant le diamètre du tambour ou de la roue sur lesquels sont montées les aubes, et en ajoutant deux ou plusieurs sections de turbine en parallèle. Par conséquent, une petite turbine industrielle peut avoir une forme plus ou moins conique, avec son plus petit diamètre côté haute pression, ou admission, et son plus grand diamètre du côté basse pression ou échappement. Une grosse turbine destinée à une centrale nucléaire peut avoir quatre rotors se composant d’une section à haute pression à double flux, suivie de trois sections à basse pression à double flux. 1.2.8.2 Etages spécifiques Les turbines à action utilisent généralement un étage de pression appelé turbine Râteau (du nom de l’ingénieur français Auguste Râteau), dans lequel le taux de compression à chaque étage est pratiquement uniforme. Les anciennes turbines à action utilisaient un étage de vitesse de Curtis, mis au point par l’Américain Charles Gordon Curtis. Cet étage comporte deux jeux d’aubages mobiles, avec un jeu intermédiaire des aubages fixes à la suite des tuyères. La séparation d’étages d’une turbine à réaction est parfois appelée séparation de Parsons, du nom de son inventeur, le Britannique Charles Parsons. Une turbine à réaction comporte souvent un premier étage à action qui permet le réglage du système ; une turbine à action possède en général dans ses derniers étages un degré de réaction voisin de 50%. 1.2.8.3 Rendement L’efficacité de l’expansion dans une turbine à vapeur moderne est élevée en raison de l’état de développement des composants du trajet de la vapeur, et de la capacité à récupérer les pertes d’un étage dans les étages en aval, par réchauffement. Le rendement avec lequel une section de la turbine convertit l’énergie thermodynamique disponible en travail mécanique dépasse généralement 90%. Le rendement thermodynamique d’une installation thermique est en fait bien inférieur, en raison de l’énergie perdue dans la vapeur d’échappement de la turbine.

9

1.2.8.4 Domaines d’applications Les turbines à vapeur sont notamment utilisées dans la production d’électricité à partir d’énergie thermique ou pour la propulsion des bateaux. Dans les systèmes de cogénération c’est-àdire utilisant à la fois la chaleur de traitement (celle utilisée lors d’un processus industriel) et l’électricité, la vapeur est portée à haute pression dans une chaudière, puis extraite de la turbine à la pression et à la température exigées par ce procédé. Dans ce cas, la turbine est dite à contrepression. Les turbines à vapeur peuvent être utilisées en cycles combinés avec un générateur de vapeur qui récupère la chaleur. Les unités industrielles sont utilisées pour entraîner des machines, des pompes, des compresseurs et des générateurs. Leur puissance nominale va de quelques centaines de Watts à plus de 1 300 MW. La turbine à vapeur est parfois associée à une turbine à gaz. Le rendement de la turbine à gaz étant faible, elle est généralement utilisée pour la production d’énergie de pointe, les calories des gaz d’échappement de la turbine à gaz servant à faire fonctionner la chaudière de la turbine à vapeur [3]. 1.2.8.5 Avantages Le principal avantage des turbines à vapeur c’est qu’ils sont des moteurs à combustion externe. De ce fait, tous les combustibles (gaz, fuel, charbon, déchets, chaleur résiduelle) et notamment les moins chers peuvent être utilisés pour l’alimenter en vapeur. Le chauffage peut même se faire par énergie solaire. Le rendement peut atteindre des valeurs assez élevées d’où des frais de fonctionnement réduits. 1.2.8.6 Les Inconvénients Le coût et la complexité des installations les réservent le plus souvent à des installations de puissance élevée pour bénéficier d’économies d’échelle. Hormis des cas particuliers, les moteurs et turbines à gaz sont mieux adaptés en dessous d’environ 10 MW. Le refroidissement du condenseur nécessite des grands débits d’eau ou des aéroréfrigérants encombrants ce qui limite d’emblée leur domaine d’emploi aux installations fixes ou navales.

1.3 Aubage et grilles d’aubes 1.3.1 Grille d’aube On applle grille d’aubes un ensemble fixe ou mobile d’obstacles profilés déduit les uns des autre par un déplacement géométrique, concues d’une manière très spéciales afin de guider 10

l’écoulement du fluide et pour échanger avec lui les efforts mécanique. La vitesse du fluide par rapport à chaque grille d’aubes fixes ou mobiles d’une turbine axiale est définie par trois vecteurs  ,  ,   qui représentent réspectivement les vitesses, absolue et relative de la vapeur différents


ainsi que la vitesse d’entrainemt de l’aube. Le courant de vapeur provient du distributeur avec une

 , les aubes s’en suivent la vitesse tangentielle (d’entrainemt)  , de la combinaision vitesse absolue


 . Il existe plusieurs types de grilles d’aubes de ces deux vitesses résulte la vitesse relative notée  tels que :


La grille plane parallèle.(fig 1.7.1.a).
La grille cylindrique de la turbine axiale.(fig 1.7.1.b).
La grille radiante de la turbine radiale. (fig 1.7.1.c). [8].

h

b. Grille cylindrique a. Grille plane parallèle

Fig.1.7.1 Différente types de grille d’aubes

c. Grille plane radiante

1.3.2 Aubage On définit les aubes comme étant des obstacles profilés plongés dans un écoulement formant entre elles des canaux à travers lesquelles le fluide circule. Conçues spécialement pour assurer un écoulement capable de fournir un travail mécanique. Une aube de deux faces : l’intrados et l’extrados, la vapeur est dévie dans les canaux du rotor, ce qui provoque une différence de pression sur l’extrados et l’intrados. Dans l’exploitation des turbines industrielle, l’aubage à une grande importance économique, il faut donc faire appel à différents disciplines telle que l’aérodynamique, la résistance des matériaux, la physique des vibrations afin de réalisés des aubages optimaux sur le plan de la rentabilité globale.

11

1.3.3

Profils d’aubes Les profils d’aube sont caractérisés par un contour dont la courbure varie d’une façon

continue et par une haute résistance mécanique. La réalisation de ses profils d’aube à de tout temps, particulièrement intéressé les constructeurs des turbines, ce qui se traduit par la grande diversité de variantes qu’on rencontre, dans l’étude d’un profil d’aube il faut satisfaire non seulement les conditions relevant de la M.D.F, mais encore celles relatives à la résistance et à la fabrication. C’est surtout à partir du début des années soixante que de grands efforts ont été faits afin de calculer la qualité aérodynamique d’un profil. Cela est aujourd’hui du domaine du possible dans différents condition ; on détermine des grandeurs appropriée caractérisant la qualité aérodynamique et la résistance à la flexion d’un profil, et permettant ainsi une sélection judicieuse parmi différentes variantes [8]. 1.3.4 Construction des aubes La construction d’un aubage est un compromis entre des exigences de natures différentes que l’aubage doit satisfaire, parmi ces exigences on peut citer, les pertes faibles, la résistance aux contraintes statique et dynamique ainsi que la fabrication économique [8].

Fig.1.7.2 Schéma d’un aubage de turbine à vapeur

1.3.5 Aubage à action Il existe deux types d’aube à action (Fig.1.7.3) : Aubage fixe : Qui est lui-même de deux formes ; tuyères ou distributeur qui permettent la détente de la vapeur grâce à une géométrie particulière et les redresseurs, existant au niveau d’étages de

12

vitesse leurs rôles est de dévier le jet de vapeur tout en maintenant constante la pression de la vapeur. Aubage mobile : C’est à leur niveau que la transformation de l’énergie cinétique de la vapeur issue du distributeur en énergie mécanique de rotation, elles sont caractérisées par un écoulement à pression constante et une diminution de la vitesse absolue de la vapeur. 1.3.6 Aubage à réaction L’aubage à réaction est aussi de deux types, fixe et mobile, une partie seulement de la chute d’enthalpie est transformée en énergie cinétique à la sortie de la tuyère, le reste est directement transformé en énergie mécanique par les aubages mobiles (Fig.1.7.4)

Fig.1.7.3 fonctionnement de l’aubage à action

Fig1.7.4 fonctionnement de l’aubage à réaction

13

14

Chapitre 2 Vrillage des aubes longues et extra-longues 2.1 Introduction Un aubage est en général considéré comme une structure à symétrie cyclique. Dans l’exploitation des turbines industrielles, l’aubage a une grande importance économique ; car d’une part il est largement responsable du rendement et par conséquent de l’utilisation économique de la turbine et d’autre part, il influence le comportement en service de celle-ci du fait de sa fonction et de l’exécution constructive qui en découle [ ]. Il faut donc faire appel à différentes disciplines, telles que l’aérodynamique, la résistance des matériaux, la physique des vibrations, etc. ..., afin de réaliser des aubages optimaux sur le plan de la rentabilité globale [ ]. Dans ce travail nous avons choisis de maintenir la vitesse absolue de la vapeur constante à l’entrée et à la sortie des aubes longues et extra-longues de turbine à vapeur à fin d’augmenter leur rigidité. 2.2 Triangles de Vitesses La figure 2.1 représente une coupe en plan, d'une partie d'un étage de turbine à vapeur, composée d'un distributeur de vapeur et d’un ensemble d’aubes, formant entre elles un canal permettant le passage de la vapeur. Le courant de vapeur provient du distributeur avec une vitesse →

→

absolue notée V , les aubes tournent avec une vitesse tangentielle U ou vitesse périphérique de l’aube. La vitesse de la vapeur arrivant au niveau des aubes mobiles est appelée vitesse relative et →

notée W . Les lois de la mécanique permettent de calculer les valeurs ainsi que les directions de ces vitesses grâce à la relation géométrique obtenue à partir de la construction graphique des triangles de vitesses (figure 2.1) et (figure2.7).

Fig. 2.1 Triangles de vitesse à l’entrée et à la sortie de l’aube.

15

2.3 Vrillage Il constitue physiquement une rotation partielle du corps de l’aube autour de son axe radial, depuis son pied jusqu’à son sommet, les constructeurs de turbine font recourt au vrillage des aubes afin d’augmenter leurs rigidité surtout pour le cas des aubes Longues et extra-longues [ ]. Les aubes longues, droites sont exposées à des conditions de travail pénibles, vu leurs dimensions et volumes importants (forces centrifuges excessivement grandes, contraintes thermiques,... etc.) [ ]. Ceci nous oblige souvent à prévoir certaines conditions que l'on impose au préalable pour atténuer les contraintes qu'elles subissent. Le vrillage est parmi les solutions technologique employé dans ce cadre, il constitue physiquement une rotation partielle du corps de l’aube autour de son axe radial, depuis son pied jusqu’au sommet dans le but d’avoir un écoulement de vapeur uniforme (figure 2.2.1) et (figure 2.2.2).

(a)

(b)

Fig2.2 Aube vrillée : (a) aube vrillée seule ; (b) aubes vrillées

Fig2.3 Vrillage d’une aube depuis le pied jusqu’au sommet

16

Lors du fonctionnement de la turbine, le courant de vapeur provient du distributeur avec une →

vitesse V et arrive au niveau des aubes mobiles tournant avec une vitesse périphérique donnée. De la combinaison de ses deux vitesses absolue et périphérique est déduite la vitesse relative.

r r r W=V−U

(2.1)

Les directions et les valeurs des ces vitesses à l’entrée et la sortie des aubes mobiles sur toutes la hauteur, sont données grâce aux triangles de vitesses (figure 2.4).

Fig.2.4 Triangles de vitesse à l’entrée et à la sortie de l’aube

Indice1 : entrée du rotor Indice 2 : sortie de l’aube

L’équation vectorielle simple donne les relations entre les différentes vitesses :

r r r V= W +U En en déduit la relation algébrique :

V   W  U  2. U. W. cosβ 

(2.2) 2.3

Puisque les triangles de vitesses peuvent être construits depuis le pied jusqu’au sommet de l’aube, on pourra généraliser cette équation si on maintient la vitesse absolue de la vapeur à l’entrée ou à la sortie de l’aube constante ; on obtient ainsi la relation suivante indiquant la variation des angles (βk )i depuis le pied de l’aube jusqu’à son sommet.

k= 1 : entrée de l’aube

V    W   U   2. U . W . cosβ 

k= 2 : sortie de l’aube i: pas de variation sur la hauteur de l’aube

17

2.4

Ainsi, pour les différentes vitesses périphériques (Ui) des aubes mobiles et pour différentes valeurs du rayon sur la hauteur de l’aube, on obtient différentes valeurs des vitesses relatives (W ), i

pour une vitesse absolue constante. Si on superpose les triangles des vitesses depuis le pied d’aube jusqu’à son sommet, on constate clairement la variation des angles (βk )i ce qui conduit à une variation obligatoire de la géométrie de l’aube. Cette variation n’est en fait qu’une torsion du sommet de l’aube par rapport à sa base dite Vrillage dans le domaine des turbines (figure2.5).

Fig2.5 Vrillage conditionné par un écoulement à vitesse absolue constante

2.4 Vrillage conditionné par une vitesse absolue d’entrée constante Les aubes longues droites sont exposées à des conditions de travail pénible vu leur dimension et volumes importants (forces centrifuges excessivement grandes contraintes thermique, etc.…) [ ].Ceci nous oblige à prévoir certaines conditions que l’on impose au préalable pour atténuer les qu’elles subissent. Un écoulement de vapeur uniforme sur toute la hauteur de l’aube permet une meilleure régularité des efforts tout au long de sa hauteur ce qui offre la possibilité de bien contrôler les problèmes mécaniques et vibratoires. On peut obtenir cet écoulement en choisissant la vitesse absolue de la vapeur l’entrée du pied au sommet de l’aube [ ].

Fig2.6 Aube vrillée

18

2.5 Exemple de validation 2.5.1. Application & calculs Pour bien interpréter le phénomène du vrillage on a réalisé un calcul type pour un étage à basse pression (BP) d’une turbine à vapeur munie d’aubes longues, et qui sera par la suite généralisé numérisé par à un programme de calcul que nous avons complètement développé, afin d’éliminer les répétitions de calcul à travers les différents étages, en partant d’un cas pratique d’une turbine à vapeur à contre pression avec les données de départ [ ] et [ ]: 1. vitesse de rotation du rotor : N = 3000 tr/min. 2. hauteur de l’aube : L= 0.36 m. 3. vitesses absolues V1et V2 à l’entrée et à la sortie de l’aube, respectivement :V1 = 315.75 m/s V2 = 68.93 m/s. 4. diamètre au pied de l’aube : d = 1.2 m. 5. angles α1, α2 respectivement à l’entrée et à la sortie de l’aube, déduits des triangles de vitesse au pied de l’aube α1= 14°, α2= 130.75° On peut alors calculer les valeurs des angles (βk )i du vrillage sur toute la hauteur de l’aube pour un pas de variation fixe et choisi. Les vitesses périphériques de l’aube sont données par la relation suivante:

U  ω . r  ω .

 

2.5

Pour cet exemple, on utilise un pas de variation constant ∆r = 4 cm tout au long de la hauteur de l’aube. On pourra calculer pour chaque pas de variation les vitesses périphériques (Ui), les vitesses relatives (Wi) et cela grâce aux triangles de vitesses (figure 2.7): •

Entrée de l’aube

W    V  U   2. U . V . cos  α 

2.6

V1 : vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube •

Sortie de l’aube

W    V   U   2. U . V . cos  α 

V2 : vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube

19

2.7

Fig.2.7 Triangles de vitesse (entrée et sortie de l’aubage mobile [ ].

Pour un pas de variation ∆r = 4 cm, on peut déterminer les différentes valeurs des vitesses Ui correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube en utilisant la relation (2.5), les résultats sont : Position rayons r [m] vitesses

1 0.6 188.49

2 0.64 201.06

3 0.68 213.62

4 0.72 226.194

5 0.76 238.761

6 0.8 251.327

7 0.84 263.893

8 0.88 276.4602

9 0.92 289.026

10 0.96 301.59

Tableau 1 : Différentes valeurs des vitesses d’entrainements (U ). i

La construction graphique des triangles de vitesses permet de calculer les vitesses relatives Wi 0à la sortie et à) l’entrée des aubes grâce aux relations (2.6) et (2.7) • Position rayons vitesses r

1 0.6 326.26

• Position rayons vitesses r

A l’entrée de l’aube on trouve : 2 0.64 330.79

3 0.68 335.729

4 0.72 341.061

5 0.76 346.765

6 0.8 352.826

7 0.84 359.224

8 0.88 365.941

9 0.92 372.962

10 0.96 380.268

9 0.92 344.242

10 0.96 356.705

Tableau 2 : Différentes valeurs des vitesses relatives W  à l’entrée de l’aube.

A la sortie de l’aube on trouve : 1 0.6 244.923

2 0.64 257.287

3 0.68 269.669

4 0.72 282.067

5 0.76 294.48

6 0.8 306.905

7 0.84 319.341

8 0.88 331.788

Tableau 3 : Différentes valeurs des vitesses relatives W  à la sortie de l’aube.

20

Les angles du vrillage sont ainsi déduits un à un d’après les triangles de vitesses (figure 2.7) grâce aux relations : •

β  ε

Entrée de l’aube

2.8



•

Sortie de l’aube

β  ε

2.9



Et d’après la figure 2.7 nous avons : •

Entrée de l’aube

V   W   U   2. U . W . cosε 

2.10

V : vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube 1

•

Sortie de l’aube V    W   U   2. U . W . cosε 

2.11

Donc:

cosε  

)* +,* -.*/

2.12

cosε  

)* +,* -.**

2.13

.) .,

Et : .) .,

Les valeurs des angles caractérisant le vrillage sont portées ainsi sur les tableaux suivants :

•

A l’entrée de l’aube on trouve :

Position Rayons r [m] Anglesβ  (°)

•

1 0.6 20.03

2 0.64 22.077

3 0.68 24.066

4 0.72 25.995

5 0.76 27.863

6 0.8 29.669

7 0.84 31.412

8 0.88 33.092

9 0.92 34.711

10 0.96 36.269

9 0.92 82.511

10 0.96 82.774

Tableau 4 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °) a l’entrée de l’aube.

A la sortie de l’aube on trouve :

Position Rayons r [m] Angles β  (°)

1 0.6 79.446

2 0.64 79.958

3 0.68 80.423

4 0.72 80.848

5 0.76 81.237

6 0.8 81.594

7 0.84 81.924

8 0.88 82.228

Tableau 5 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °) a la sortie de l’aube.

21

2.6 Modélisation du vrillage des aubes de turbine 2.6.1 La méthode des moindres carrées 2.6.1.1 Introduction Les résultats obtenus décrivant le vrillage peuvent être généralisés et mieux présentés sous forme d’une seule fonction analytique compacte et très pratique. Pour déterminer le modèle mathématique qui lie les différentes valeurs (ri) aux β  on propose d’utiliser la méthode des moindres carrés.

2.6.1.2 Démarche de la méthode La méthode des moindres carrés a été développée par Gauss et Legendre à la même époque de façon indépendante [ ]. Elle permet de relier un ensemble de points expérimentaux à une équation mathématique en lissant les erreurs de mesures. Cette méthode est applicable à un grand nombre des problèmes différents. Elle peut par exemple servir pour filtrer les erreurs de mesures. En général les moindres carrés sont utilisés pour représenter grâce à une famille de fonction f (xi) d'une ou plusieurs variables muettes xi indexées par un ou plusieurs paramètres inconnus. La méthode permet de trouver une fonction qui peut représenter le mieux les donnés expérimentales, c'est-à-dire la fonction qui minimise la somme quadratique des déviations des mesures par rapport à la prédiction de f (xi) [ ]. Par exemple pour une série de n mesure yi, (i allant de 0 à n) , les paramètres a optimiser au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la quantité: φ  ∑456∆y   ∑4567y Px :

y : représentent les valeurs de la fonction aux points x .



2.14

Px  : représentent les valeurs à partir du polynôme d’interpolation.

n : indice indiquant le nombre de couple de points choisis (x

La méthode des moindres carrés est très utilisée en science expérimentale car elle permet de calculer facilement des paramètres théoriques qui n'apparaissent pas directement. Dans ce travail pour modélisé les fonctions donnant les angles de vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube :

Et

β  fr

2.15. a

β  fr

2.15. b

22

On utilise la méthode de moindre carrée, forme polynomiale. On à intérêt à ce que la forme de cette fonction soit la plus simple possible pour cela on se propose de choisir pour notre cas le polynôme du 4eme degré suivant : Px  a6 a x a x  a> x > a? x ?

Dans notre cas d’étude : •

à l’entrée l'aube

•

à la sortie l'aube

β r  a6 a r a r  a> r > a? r ? β r  a6 a r a r  a> r > a? r ?

β@ : Angles de vrillage à l’entrée (k=1) et à la sortie de l’aube (k=2).

2.16

2.17 2.18

r : Distance radiante sur la hauteur de l’aube.

a  : Coefficients du polynôme d’interpolation.

L'équation 2.14 devient:

4

φ  a6 , a , a , a> , a?   By a6 a x a x  a> x > a? x ?  56

2.19

Une condition nécessaire pour que la quantité φa6 , a , a , a> , a?  soit minimale localement en a6 , a , a , a> , a? , aC  est que les dérivées de φ sont nulles par rapport a6 , a , a , a> , a? , aC . Si on minimalise la quantité φa6 , a , a , a> , a? , aC  par rapport aux inconnues a6 , a , a , a> , a? , aC on obtient : n

2 3 4 G  2 Byi a0 a1 xi a2 xi a3 xi a4 xi  ∂a E 0 i0 E n E ∂φ 2 3 4 E ∂a  2 B xi yi a0 a1 xi a2 xi a3 xi a4 xi  E 1 i0 n E ∂φ 2 2 3 4 2 B xi yi a0 a1 xi a2 xi a3 xi a4 xi  K ∂a F 2 i0 n E E ∂φ  2 B x3 y a a x a x2 a x3 a x4  i 0 1 i 2 i 3 i 4 i i E∂a3 i0 E n E ∂φ E  2 B x4i yi a0 a1 xi a2 x2i a3 x3i a4 x4i  D∂a4 i0

∂φ

23

Soit alors, pour ce cas de figure 4

OP

OQ

0

i = 0, 1, 2, 3, 4 4

4

4

4

∂φ G  0 R B y na 6 a B x a  B x a > B x> a ? B x?  0 ∂a 6 E 56 56 56 56 56 E 4 4 4 4 4 4 E ∂φ  > ? C E ∂a  0 R B y x a 6 B x a B x a  B x a > B x a ? B x  0  E 56 56 56 56 56 56 4 4 4 4 4 4 E ∂φ  0 R B y x a 6 B x a B x> a  B x? a > B xC a ? B xS  0K F∂a  56 56 56 56 56 56 4 4 4 4 4 4 E ∂φ E > > ? C S T E∂a >  0 R B y x a 6 B x a B x a  B x a > B x a ? B x  0 56 56 56 56 56 56 E 4 4 4 4 4 4 E ∂φ ? ? C S T E  0 R B y x a 6 B x a B x a  B x a > B x a ? B xU  0 D∂a ? 56

56

56

56

56

56

On obtient un système linéaire de 5 équations à 5 inconnues qui peut s’écrire sous forme la matricielle suivante AX=b : 4

4

4

4

4

G B y  na 6 a B x a  B x a > B x> a ? B x? E 56 56 56 56 E 4 56 4 4 4 4 4 E  > ? B y x  a B x

a B x

a B x

a B x

a B xC E   6    > ?    E 56 56 56 56 56 56 4 4 4 4 4 E 4   > ? C B y x  a 6 B x a B x a  B x a > B x a ? B xS K F 56 56 56 56 56 56 4 4 4 4 4 E 4 E B y x>  a B x> a B x? a B xC a B xS a B xT   6   > ?      E 56 56 56 56 56 E 56 4 4 4 4 4 E 4 ? ? C S T EB y x  a 6 B x a B x a  B x a > B x a ? B xU D 56 56 56 56 56 56

Donc nous avons obtenons le système de matrice [5×5] suivant : \

\

\

\

\

XY G Ba d B Z[ B Z[ B Z[> B Z[? _ `6 [ W ^X _ E E [56 [56 [56 [56 [56 E W \ ^W ^ E \ \ \ \ \ E E W  > ? C ^ W` ^ B Z[ B Z[ B Z[ B Z[ B Z[  B Z[ a[ E W ^W ^ E E [56 [56 [56 [56 W [56 ^ W ^ E [56 \ \ \ \ \ E \ E W ^W ^  > ? C S  ` W B Z[ B Z[ B Z[ B Z[ B Z[ ^ W  ^  B Z[ a[ F [56 c [56 [56 [56 [56 W [56 ^W ^ \ \ \ \ \ E \ E W ^W ^ E > ? T > E C S ` B Z B Z B Z B Z B Z B Z a W [ [ [ ^ W >^ [ [E [ [ E W [56 ^ W ^ E [56 [56 [56 [56 [56 E \ \ \ \ W \ ^W ^ E \ E W B Z[? B Z[C B Z[S B Z[T B Z[U ^ V`? ] EB Z[? a[ E V [56 ] D [56 b [56 [56 [56 [56

24

•

Cas entrée de l’aube

Pour trouver le polynôme d’interpolation, on exploite les 10 valeurs des β (angles de vrillage à 

l’entrée de l’aube) et les 10 valeurs  r  (différentes valeurs sur la hauteur de l’aube) portés sur le

tableau suivant : •

A l’entrée de l’aube on trouve :

Position Rayons r [m] Angles β  (°)

1 0.6 20.03

2 0.64 22.077

3 0.68 24.066

4 0.72 25.995

5 0.76 27.863

6 0.8 29.669

7 0.84 31.412

8 0.88 33.092

9 0.92 34.711

10 0.96 36.269

Le système obtenu est donc de la forme suivante :

`6 10 7.86.216 5.0544 4.1864 285.18 X _X _ G d W ^ W` ^ E  7.8 6.216 5.0544 4.1864 3.5256 228.4 E E W ^W ^ E E E W ^W ^ `   6.216 5.0544 4.1864 3.5256 3.0132 186.53 W ^W ^ c W ^W ^ F E W5.0544 4.1864 3.5256 3.0132 2.6087^ W`> ^ E155.09E E E W ^W ^ E V 4.1864 3.5256 3.0132 2.6087 2.284 ] V`? ] D131.03b

Après résolution de ce système à l’aide du logiciel Matlab on trouve : 24.2721

X 67.8259_ W ^ W 99.5305 ^ W 37.7564 ^ V 56.8547]

Ce qui conduit à l'expression finale de polynôme d’interpolation cherché:

β  24.2721 67.8259. r 99.5305. r  37.7564. r > 56.8547. r ?

•

2.22

Représentation graphique

On se propose de tracer les courbes β   fr  ( d’après les calculs et d’après le modèle proposé) qui represante les angles de vrillage à l’entrée de l’aube en fonction en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube pour pouvoir effectuér une comparaison dans le but de valider le modèle proposé.

25

40

angle betta 1 (°)

35 30 25 20 betta 1 calculs

15

betta 1 modèle

10 5 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

distance sur la hauteur de l'aube (m) Fig. 2.8. Angle de vrillage β  à l’entrée de l’aubage

On remarque la grande concordance entre les courbes, d’après les calculs et d’après le modèle proposé ce qui permet de valider le modèle proposé. •

Cas sortie de l’aube

Comme pour la cas précédant, pour trouver le polynôme d’interpolation, on exploite les 10 valeurs

des β (angles de vrillage à la sortie de l’aube) et les 10 valeurs  r  (différentes valeurs sur la 

hauteur de l’aube) portés sur le tableau suivant : •

A la sortie de l’aube on trouve :

Position Rayons r [m] Angles β  (°)

1 0.60 79.446

2 0.64 79.958

3 0.68 80.423

4 0.72 80.848

5 0.76 81.237

Le système obtenu est :

6 0.8 81.594

7 0.84 81.924

`6 812.94 10 7.8 6.216 5.0544 4.1864 X _X _ G d W ^ W` ^ E E  635.3 7.8 6.216 5.0544 4.1864 3.5256 E W ^W ^ E E E W ^W ^ `   507.2 6.216 5.0544 4.1864 3.5256 3.0132 W ^W ^ c W ^W ^ F E W5.0544 4.1864 3.5256 3.0132 2.6087^ W`> ^ E 413.1 E E E W ^W ^ E V 4.1864 3.5256 3.0132 2.6087 2.284 ] V`? ] D342.67b

26

8 0.88 82.228

9 0.92 82.511

10 0.96 82.774

On procède de la même manière pour résoudre ce système et on trouve : 55.1119

X 75.9103 _ W ^ W 72.8510^ W 20.3707 ^ V 4.6821 ]

Ce qui conduit à l'expression finale de polynôme cherché :

•

β  55.1119 75.9103. r 72.8510. r  20.3707. r > 4.6821. r ? 2.23

Représentation graphique

On se propose de tracer les courbes β   fr  ( d’après les calculs et d’après le modèle proposé) qui represante les angles de vrillage à la sortie de l’aube en fonction en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube pour pouvoir effectuér une comparaison dans le but de valider le modèle proposé.

83,5 83

angle betta 2 (°)

82,5 82 81,5 betta 2 calculs

81

batta 2 modèle

80,5 80 79,5 79 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1 distance sur la hauteur de l'aube en (m)

1,2

Fig. 2.9. Angle de vrillage β  à la sortie de l’aubage

On remarque là aussi la grande concordance entre les courbes, d’après les calculs et d’après le modèle proposé ce qui permet de valider le modèle proposé. Enfin pour une meilleure illustration, on superpose toutes les courbes d’après les calculs et d’après les modèles proposés pour les deux situations, entrée et sortie de l’aube.

27

90

angles de vrillage en (°)

80 70 60 50

betta 1 calculs

40

betta 1 modèle

30

betta 2 calculs

20

betta 2 modèle

10 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

distance sur la hauteur de l'aube (m)

Fig.2.10.angle de vrillage β1i et β2i ( entrée et sortie de l’aube)

2.7 Présentation du programme de calcul Un programme de calcul a été élaboré et réalisé en utilisant le langage scientifique Matlab dans le but de déterminer les angles de vrillage β1i et β2i à l’entrée et à sortie de l’aube et cela dans le but de réduire le temps de calculs ainsi que les calculs long et répétitifs . Un algorithme simple de ce programme est présenté avec tous les détails au paragraphe 2.5.1. Pour valider ce programme de calcul on se propose de recalculer l’exemple précédant . Vitesse du rotor (tr/min) Hauteur de l’aube (m) vitesses absolues V1(m/s) vitesses absolues V1(m/s) diamètre au pied de l’aube (m) angle d’attaque α1 (°) Angle d’attaque α2 (°)

3000 0.24 303.5 94.22 1.5 25 122.45

Pour un pas de variation ∆r = 1 cm, on peut déterminer à l’aide du programme de calcul, les différentes valeurs des vitesses Ui correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube.

28

Rayons r [m] 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

vitesses Ui[m/s] 235.6194 238.7610 241.9026 245.0442 248.1858 251.3274 254.4690 257.6106 260.7522 263.8938 267.0354 270.1770 273.3186 276.4602 279.6017 282.7433 285.8849 289.0265 292.1681 295.3097 298.4513 301.5929 304.7345 307.8761 311.0177

Tableau 6 : Différentes valeurs des vitesses d’entrainements (U ). i

29

On peut aussi grâce au programme de calcul déterminer, les différentes valeurs des vitesses W1i et W2i correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube. •

A l’entrée et sorite de l’aube on trouve : Rayons r0.75  0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

vitesses W1i[m/s] 295.3204 296.4776 297.6633 298.8774 300.1195 301.3892 302.6862 304.0101 305.3606 306.7374 308.1400 309.5681 311.0214 312.4996 314.0022 315.5289 317.0795 318.6534 320.2504 321.8702 323.5124 325.1766 326.8625 328.5699 330.2983

vitesses W2i[m/s] 319.1978 322.3002 325.4034 328.5074 331.6120 334.7174 337.8234 340.9300 344.0373 347.1452 350.2537 353.3628 356.4725 359.5827 362.6935 365.8048 368.9166 372.0289 375.1417 378.2550 381.3687 384.4829 387.5975 390.7126 393.8281

Tableau 7 : Différentes valeurs des vitesses relatives W  à l’entrée et à la sortie de l’aube.

30

De même à l’aide du programme de calcul on peut calculer les angles caractérisant le vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube.

Rayons r0.75  0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

Angles β  (°) 21.2944 21.8602 22.4216 22.9785 23.5308 24.0785 24.6216 25.1600 25.6936 26.2226 26.7467 27.2661 27.7806 28.2904 28.7953 29.2953 29.7905 30.2808 30.7663 31.2469 31.7227 32.1936 32.6598 33.1211 33.5776

Angles β  (°) 80.8981 80.9864 81.0731 81.1581 81.2416 81.3234 81.4038 81.4827 81.5602 81.6363 81.7111 81.7845 81.8567 81.9276 81.9973 82.0658 82.1331 82.1994 82.2645 82.3285 82.3915 82.4535 82.5145 82.5745 82.6336

Tableau 10 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °), (β2 °) à l’entrée et à la sortie de l’aube

31

Le programme de calcul permet aussi de tracer les différentes courbes permettant de déterminer les valeurs des angles de vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube sur toute sa hauteur.

34

82.8

32

Betta2 calculs Betta2 modéle

82.6

Betta1 calculs Betta1 modéle

82.4

Angle de vrillage (Betta2)

28

26

24

82.2 82 81.8 81.6 81.4 81.2

22

81 20 0.75

0.8

0.85 0.9 Rayon de pied d'aube(r)

0.95

1

0.75

Fig. 2.11. Angle de vrillage β1 à l’entrée de l’aubage

0.8

0.85 0.9 Rayon de pied d'aube(r)

80 Betta1 calculs Betta1 modéle Betta2 calculs Betta2 modéle

70

60

50

40

30

20 0.75

0.8

0.95

Fig. 2.12. Angle de vrillage β2 à la sortie de l’aubage

90

Angles de vrillage (Betta1& Betta2)

Angle de vrillage (Betta1)

30

0.85 0.9 Rayon de pied d'aube(r)

Fig.2.13 angle de vrillage β1 etβ2

32

0.95

1

1

2.6.3 Organigramme simple du programme Program aub_vrill !******************************************************************************************* Ce programme de calcul permet de calculer les angles de vrillage d’une aube et de tracer les courbes donnant ces angles en fonction de rayon !************************************DATA INPUT******************************************** La hauteur h

! La hauteur de l’aube en [m]

Le rayon r

! Le rayon de pied de l’aube en [m]

Le pas ∆r

! Pas de variation sur l’hauteur d’aube en[ m]

La vitesse N

! La vitesse de rotation du rotor [tr/min]

La fréquence w

! La fréquence de rotation de l’aube en [rad/s]

Les vitesses absolues V1

! La vitesse absolue de l’entrée et sortie de l’aube en [m/s]

Les angles α1, α2

! Les angles d’attaques en [°]

*************************************DATA OUTPUT*************************************** Les vitesses d’entrainements (Ui) en [m/s]

Les vitesses relatives W  (l’entrée de l’aube) en [m/s] Les vitesses relatives W  (sortie de l’aube) en [m/s] Les angles de vrillage (β1 ) (l’entrée de l’aube) en [°] Les angles de vrillage (β2 ) (sortie de l’aube) en [°] Les courbes : Les angles du vrillage en fonction de rayon β1( r) (l’entrée l’aube) Les angles du vrillage en fonction de rayon β2( r) (l’entrée l’aube) End program aub_vrill

33

34

Chapitre 3 Vrillage et résistance à la flexion 3.1 Introduction Dans ce chapitre nous allons effectuer des simulations numériques avec le logiciel ’ABAQUS, pour différentes configurations d’aubes, longues et extra-longues, droites et vrilles, affin d’étudier la rigidité à la flexion des aubes droite et vrillées. 3.2 Notions sur la résistance des matériaux Définition1 La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et déformations dans les structures des différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil). Définition 2 La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides (arbres de transmission, bâtiments, fusées,) dans le but de déterminer ou de vérifier leurs dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux. . .) 3.3 Buts de la résistance des matériaux La résistance des matériaux a deux objectifs principaux : 1. La connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (Comportement sous l’effet d’une action mécanique) l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture) 2. L’étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises.

35

3.4 Flexion Une poutre est sollicitée à la flexion plane simple lorsque le système des forces extérieures se réduit à un système plan et que toutes les forces sont perpendiculaires à la ligne moyenne. L’ensemble

des

efforts

de

cohésion

se

réduit

à

deux

composantes.

Un effort tranchant (Ty) porté par l’axe Gy, exprimé en (Newton). •

Un moment de flexion (Mfz) porté par l’axe Gz , exprimé en (Newton. mètre). (figure 3.1).

Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la flexion plane simple. y

Mf

G

z

T

Fig. 3.1 Eléments de réduction : tranchantes et moment fléchissant

3.5 Contraintes Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales. Les contraintes de cisaillement sont négligeables. La contrainte normale σmax en un point M d'une section droite (s) est proportionnelle à la distance y entre ce point et le plan moyen passant par G. figure (3.2) σ

Mg x .y I

3.1

I : le moment quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par le centre de gravité de la section perpendiculairement au chargement. Mf(x) : la valeur maxi du moment fléchissant dans la section étudiée. y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre et les fibres extrêmes (supérieure et inférieure) de la section.

36

σmax Zone des fibres tendues

y

G

x

Zone des fibres comprimées

Fig3.2 la tendues et la comprimées des fibres

3.6 Conditions de résistance Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension σpe. On a : σij  s : Coefficient de sécurité

3.2

σj s

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit : σkéjmmj  3.7 Etude de la déformée

Mg x n σij I y

3.3

Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante : Mg  E. I. y"

3.4

37

Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce aux conditions aux limites (appuis, encastrements...). Pour un appui simple y = 0 et pour un encastrement y = 0 et y' = 0. 3.8 Etude de la flexion d'une poutre rectangulaire En flexion simple, pour le cas d'une poutre rectangulaire lorsque la section est symétrique, la fibre neutre passe par le centre de gravité. Ainsi, (y) variera toujours de la valeur

à la valeur . q 

q 

y y z

x

+h/2 h

0 G -h/2 b

Fig. 3.3 Caract2ristiques géométriques du profil de la poutre

Pour une section rectangulaire l'expression de la contrainte normale maximale est donnée par la relation :

6. Mguvw σrQs  t t b. h

3.5

b. h>  12

3.6

h 2

3.7

Avec : Iys Et : |y| 

Pour le cas d'un profil quelconque l'expression de la contrainte normale est : σrQs  {

Mguvw { I v 38

3.8

3.9 Etude analytique de la de la flexion d'une poutre rectangulaire 3.9.1 Cas d'une poutre encastrée libre charge concentrée On se propose d’étudier la flexion d'une poutre encastrée par une de ses extrémités et libre de l'autre, soumise à une charge concentrée P=180 N, de langueur L = 0.25 m, de section rectangulaire avec les caractéristiques géométriques b =0.004 m, h= 0.005 m (figures)

P A

B

L

Fig. 3.4 poutre encastrée avec une force concentrée

Solution analytique Schémas équivalent de la poutre : RA BA

Pour 0 } x } L

P

M B

Fig. 3.5 Schémas équivalent de la poutre

1. Moment fléchissant Mf = -P.x x=0

Mf =0

x=L

Mf = -P.L = -180.x

39

2. Courbe de moment fléchissant

0

Moment fléchissant (N,m)

-5 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

-10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50

x(m) Fig.3.6 diagramme de Mg x poutre avec une force concentrée

3. Equation de la flèche :

Mg  E. I. y"  P. x x  E. I. y  P A 2 x> E. I. y  P A. x B 6

Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites. Au niveau de l'encastrement x = L y  L  0 P yL  0 P

L L

A0 AP 2 2

L>

A. L B  0 6

P

L>

A. L B  0 6

Alors: y

1 P. x > P. L . x P. L> 

 EI 6 2 3 40

B

P. L> 3

0,3

4. Courbe de la déformée 0,000000E+00 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-2,000000E-06

Flèche (m)

-4,000000E-06 -6,000000E-06 -8,000000E-06 -1,000000E-05 -1,200000E-05

x(m)

Fig.3.7 Diagramme de yx poutre avec une force concentrée

5. Contrainte de flexion :

σ‚més 

6. Courbe de la contrainte de flexion

6. M‚mjs 6. P. x   b. h b. h

3000000

Sigma (N/m²)

2500000 2000000 1500000 1000000 500000 0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

x(m) Fig.3.8 Diagramme de yx poutre avec une force concentrée

41

0,3

7. Contrainte de flexion maximale

σrQs  ƒ

S.U6.6.C

6. Mguvw σrQs  t t b. h

6.6?.6.6C*

ƒ  2,7. 10S N/m² = 2,7 N/mm²

3.9.2 Cas d'une poutre encastrée libre charge uniformément répartie On se propose d’étudier la flexion d'une poutre encastrée par une de ses extrémités et libre de l'autre, soumise à une charge uniformément répartie q=80 N/m, de langueur L = 0.25 m, de section rectangulaire avec les caractéristiques géométriques b =0.004 m, h= 0.005 m

q A

B

L Fig.3.9 poutre encastrée avec une uniformément répartie

Solution analytique Schémas équivalent de la poutre :

q

RA BA

B M

Fig.3.10 Schémas équivalent de la poutre

Pour 0 } x } L 1. Moment fléchissant Mf = -P.x X0

XL

Mg  0

Mg 

‰.Š* 

 40. x²

42

(figures 3.9)

2. Courbe de moment fléchissant 0 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Moment fléchissant (N,m)

-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3

x(m) Fig3.11.Diagramme de Mg x poutre avec une uniformément répartie

3. Équation de la flèche : Mg  E. I. y" 

q. x  2

x>

A 6 sΠE. I. y  q ? A. x B E. I. y   q

Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites. Au niveau de l'encastrement x = L y

 L

x> 0 q A0 6

y  L  0 q

x> Aq 6

x?

A. x B  0 24

q

x? x> x?

q . x B  0 B  q 24 6 8

Alors: y

1 x? L> . x L?  q q q  EI 24 6 8

43

0,3

4. Courbe de la déformée 0 -5E-08 0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-1E-07

Flèche (m)

-1,5E-07 -2E-07 -2,5E-07 -3E-07 -3,5E-07 -4E-07 -4,5E-07 -5E-07

x(m)

Fig.3.12.diagramme de yx poutre avec une uniformément répartie

5. Contrainte de flexion maximale

σrQs  ƒ

6. Mguvw σrQs  t t b. h

S.U6.6.C*

.6.6?.6.6C*

ƒ  15. 10? N/m²  0,15N/mm²

3.10 Simulation numérique de la de la flexion d'une poutre rectangulaire 3.10.1 Introduction La résolution analytique de problèmes mécaniques ne peut se faire que dans un nombre de cas limité, cependant les méthodes numériques basées sur la discrétisation de ses problèmes, présentent une alternative très efficace, souvent utilisées dans le domaine de la mécanique pour résoudre des problèmes complexes [Mémoire Lassouad],[Article Fez]. La méthode des éléments finis est de toutes ses méthodes de discrétisation la plus utilisée car elle peut traiter des problèmes de géométrie complexe, elle couvre de nombreux domaines de la physique. Les moyens informatiques actuels (puissance des calculateurs, outils de visualisation et de simulation) la rende facile à la

mise en œuvre. La méthode des éléments finis est la méthode la plus utilisée

actuellement, son champ d’application ne cesse de s’élargir. Le succès de la méthode est que sa formulation utilise des procédés standards qui se répètent au cours de la résolution de problèmes de nature différente [ ]. De nombreux logiciels basés sur cette méthode, généraux ou dédiés sont disponibles sur le marché. Nous avons élaboré pour ce cas de figure (flexion d’une pouter encastrée 44

libre), une étude numérique basée sur des simulations numériques utilisant le code de calcul ABAQUS. Cette étude a permit de trouver les résultats suivants: 3.10.2 Cas de la poutre encastrée libre charge concentrée

Modélisation :

Résultats Flèche:

45

Contrainte de flexion :

3.10.3 Cas de la poutre encastrée libre charge uniformément répartie

Modélisation :

46

Contrainte de flexion :

Flèche :

47

3.12 Comparaison des résultats analytiques avec ceux de la simulation numérique 3.12.1 Cas de la poutre encastrée libre charge concentrée

48

Etude analytique

49

Simulation ABAQUS

3.12.2 Cas de la poutre encastrée libre charge uniformément répartie

50

51

3.13 Vrillage et amélioration de la résistance à la flexion. A cause de leurs hauteurs importantes les aubes longues et extra-longues des derniers étages (BP) de turbines à vapeur sont les plus exposées aux efforts de flexion. On peut résoudre ce problème techniquement par plusieurs façons, tel que l’emploi de matériaux possédant une grande résistance à la flexion; mais généralement ces types de matériaux sont très coûteux. Sachant que d’une façon générale les barres tordues présentent une meilleure résistance à la flexion que les barres droites, pour cela on procède au vrillage qui est en fait une torsion par rapport au centre de →

masse depuis le pied jusqu’au sommet de l’aube [ ]. L’aube est soumise à l’action d’un effort F dû →

à l’écoulement de la vapeur qui agit sur sa face interne fig. ( ), l’effet de cet effort F augmente avec la longueur et sachant que la condition de résistance à la flexion est donnée par la relation suivante :

σrQs  Avec:

Mguvw } σQ I y

Mguvw  F. d

3.9

3.10

Où : σQ

Contrainte admissible caractérisant le matériaux

I

Moment d’inertie de l’aube par rapport a son centre de gravité .

y

Distance entre le plan des fibres neutres et le point le plus éloigné

d

Bras du levier

F

Effort de flexion

Mguvw

Moment fléchissant max

Si on vrille l’aube avec un angle β par rapport à un plan passant par son centre de gravité au niveau de son pied comme indiqué sur la figure , on remarque que la face interne de l’aube (intrados) serait soumise à l’action de l’effort F1telle que : F5 F. cos β Ce qui implique que le moment fléchissant devient :

52

3.11

Mguvw  F . d  F. cos β . d

3.12

D’où la condition de résistance devient : σ

.‘’ “ . ” •

} σQ

3.13

flexion appliqué car F  F. cosβ n F , donc on peut conclure qu’une aube vrillée résiste

On remarque que pour la même section d’aube le vrillage engendre la diminution du moment de

mieux à la flexion qu’une aube droite non vrillée .

Fig. Vrillage améliorant la résistance à la flexion

Conclusion Le vrillage des aubes est d’une grande importance dans l’industrie des turbines.En effet il influe sur la géométrie des aubes, permet une régularité de distribution des efforts tous au long de la hauteur de celles-ci , comme il permet aussi d’augmenter leurs rigidité.

53

3.14 Simulation numérique du vrillage des aubes longues et extra longues de turbines à vapeur Tout d’abord avant de présenter la démarche et les résultats des simulations effectuées sur des aubes longues et extra-longues, droites puis vrillées, nous tenons à préciser que ce travail a été réalisé en quasi-statique, par manque temps. Ainsi, tout ce qui va suivre a été étudié seulement en statique mais la démarche adoptée pourrait être ensuite transposée au cas dynamique. La réalisation complète d’une simulation de notre problème (flexion d’une aube longue et extra longue, droite puis vrillée) s’effectue après un passage successif dans les modules intégré dans le code de calcul ABAQUS : 1. Part 2. Property 3. Assembly 4. Step 5. Load 6. Mesh 7. Job 3.14.1 Présentation de la géométrie Nous avons choisi pour notre étude, plusieurs configurations d’aubes (longues et extra-longues, droites et vrillées). Tous les dessins et géométries ont été réalisées à l’aide du logiciel de CAO, Solid Works ( Tout les détails seront présentés en annexe). 3.14.2 Hypothèses sur la simulation l’aube est modélisée avec la partie d’encastrement ( pied de sapin), nous avons choisi comme précisé précédemment de réaliser un calcul quasi-statique. Cette étude entre dans le cadre de l’hypothèse des petits déplacement (HPP). Il nous faut travailler en petites déformations avec un Step statique général. Le maillage adopté est du type libre avec un élément standard linéaire, 3D stress type C3D4. Pour les condition aux limites, pour simuler l’aube soumise à un jet de vapeur, nous avons opté pour un encastrement de la partie inférieure de l’aube ( pied de sapin) en éliminant tout les degrés de liberté et nous avons chois un chargement mécanique type pressure sur toute la face interne de l’aube ( intrados).Les paramètres de la simulation comme indiqué au paragraphe (3.14.1) et (3.14.2) sont portés sur le tableau suivant: :

54

Type Longue droite Longue vrillée Extra droite Extra vrillée

Hauteur (mm) 456,5 456,5 903 903

Profil Annexe Annexe Annexe Annexe

Step Static general Static general Static general Static general

Maillage (élément) triangulaire (C3D4) triangulaire (C3D4) triangulaire (C3D4) triangulaire (C3D4)

chargement (N/mm) 100 100 100 100

3.14.3 Simulation de la flexion d’une aube longue droite soumise à un jet de vapeur Le premier cas de figure est celui de l’aube longue droite soumise à un jet de vapeur (figure )

55

56

3.14.4 Simulation de la flexion d’une aube longue vrillée soumise à un jet de vapeur

57

58

3.14.5 Simulation de la flexion d’une aube extra-longue droite soumise à un jet de vapeur

59

60

3.14.6 Simulation de la flexion d’une aube extra-longue vrillée soumise à un jet de vapeur

61

62