Membuat Soal Dan Jawaban Om Sma

 

Kelompok 8  Nama Kelompok: 1. Farida

1517031069

2. Pipin Apriyani

1517031099

3. Hanny Ayu Mutiara

1517031117

4. Nurlita Widoarti

1517031077

Soal Olimpiade Matematika beserta Jawaban.

 –   6 –  2010 1.  Hitung hasil dari 12 –   –  2  22 + 32  - 42 + 52 –  62 + . . . + 20092  –   20102 + 20112  Jawab : 12 –   –  2  22 dapat diubah menjadi (1 - 2)(1 + 2) = -1 -2, 32  –  –   4 42 dapat diubah menjadi (3 –  4)(3  4)(3 + 4) = -3 -4, dan seterusnya. seterusn ya. Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi: = -1, -2, -3, -4, -5, -7, . . . , -2009, -2010, 20112, atau = - (1 + 2 + 3 + 4 + …+ 2009 + 2010) + 2011 2  1

= −  x 2010 x 2011 + 20112 2

= 2011 (-1005 +2011) 2011 x 1006 = 2023066

2.  Carilah seluruh pasangan bilangan yang mempunyai FPB 4 dan KPK 120 Jawab : FPB 4 berarti bersama yang terkecil dari kedua bilangan bil angan adalah 22 

 

KPK 120 berarti faktor-faktor terbesar dari kedua bilangan adalah 2 3 . 3 . 5 maka pasangan bilangannya adalah : 22 dengan 23 . 3 . 5  4 dengan 120 2

3

2  . 3 dengan 2  . 5   12 dengan 40 22 . 5 dengan 2 3 . 3  20 dengan 24 22 . 3 . 5 dengan 23  60 dengan 8

3.  Manakah yg merupakan bilangan prima? 1111  –  –  11,  11, 77 –   –  7,  7, 55 –   –  5,  5, 33 –  3,  3, 22 –   –  2  2 Jawab : 1111  –  –  11  11 = 11 (1110 –   –  1)  1)  bukan bilangan prima (bisa di bagi 11) 77 –   –  7  7 = 7 (76 –   –  1)  1)  bukan prima (bisa dibagi 7) 55 –   –  5  5 = 5 (54 –   –  1  1 )  bukan prima (bisa dibagi 5) 33 –  3  3 = 3 (32 –   –  1)  1)  bukan prima (bisa dibagi 3) 22 –   –  2  2 = 2 (2 –  1)  1)  prima

4.  Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2 

 –  2)  2) juga merupakan bilangan bulat positif. Jawab : Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m2 –   –  2  2 harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.

 

Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah : m2 –   –  2  2 = 2, dengan m = 2 m2 –   –  2  2 = 7, dengan m = 3 m2 –   –  2  2 = 14, dengan m = 4

5.  Tentukan sisa pembagian 132011 oleh 10 Jawab : Karena dibagi 10, maka sisa pembagiannya adalah angka satuan dari bilangan tersebut. Dan untuk mendapatkan angka satuannya, kita cukup dengan memperhatikan angka satuan dari 32011. Untuk itu perhatikan pola angka satuan dari 3, 32, 33, 34, 35, … sebagai  berikut :

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … dengan pola pengulangan 3, 9, 7, 1   Karena 2011/4 = 502 bersisa 3, maka sebagaimana pada pembahasan soal nomor 5 di atas, kita dapatkan angka satuannya adalah 1

Berarti sisa pembagianya adalah 1.

6.  Hasil kali angka-angka dari bilangan dua digit N adalah M. Tentukan N, jika M + N = 118. Jawab : Misalkan N adalah bilangan dengan a sebagai digit puluhan dan b sebagai digit satuan

 

M = ab  N = 10a + b M + N = 118 ab + 10a + b = 118

7.  Berapa digit satuan dari 17 103 + 5? Jawab : Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka terakhir dari 7103  Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita akan dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut :

7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1   Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut :

2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6   Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa bersi sa 2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya 6 Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya adalah 6.

 

8.  Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil Jawab : Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111

►Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut.

9.  Jika 1998 = psqtr u, dengan p, q, dan r bilangan prima, hitunglah p + q + r + s + t + u? Jawab : 1998 = 2. 33. 37 Sehingga p + q + r + s + t + u = 2 + 3 + 37 + 1 + 3 + 1 = 47.

10.  Bando selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya,

Andi : “Paling tidak salah satu diantara kita tidak pernah berbohong.”  Dari informasi ini kita kita merasa mera sa pasti bahwa …. 

Jawab: Ingkaran dari : Paling : Paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong adalah :  : 

► Kedua-duanya pernah berbohong.

 

11.  Bilangan n terbesar sehingga 8n membagi 4444 adalah …. 

Jawab: 4444 = 444. 114 = 16 22. 1144 = 822. 222. 11 44 = 822. (2 3) 7. 2 . 1144 = 829 .2 . 1144  Karena 8 tidak membagi (2 . 1144 ) maka :

► nmaks = 29. 12.  Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola ?  ? 

Jawab: Kecepatan makan untuk 1 ekor kambing, kambing, vk  =  = 1 lap. bola/ Vk  =  = 1/5 lap bola/hari/kambing . Banyaknya rumput yang dimakan, nr   dirumuskan dengan : nr = vk · nhari · nkambing 1

3 =  · n hari · 3 5

►  n hari = 5 hari 13.  Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola 2

y = x  + a tepat di satu titik? Jawab: Karena 6x = x2 + a maka x2 − 6x + a = 0 Diskr = 62− 4(1)(a) = 36 − 4a   Syarat agar y = 6x memotong parabola y = x2 + a di satu titik adalah Diskr = 0 36 − 4a = 0

► a = 9.  9. 

 

14.  Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara tahun …. 

Jawab: Misal bilangan selanjutnya adalah ABCD, maka A = 2 karena 1 + 9 + 9 + 9

≠27.

B + C + D = 25 Karena diinginkan B sekecil-kecilnya, maka (C + D) harus sebesarsebesar  besarnya dan karena B ≤ 9 ; C ≤ 9 dan D ≤ 9 maka (C + D) maks = 18 sehingga Bmin = 25 − 18 = 7. Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 adalah 2799  2799 

► Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 terjadi di antara tahun 2701 dan 2900.

15.  Jika untuk setiap x, y bilangan real berlaku x $ y = xy − x + y maka

(x + y)$(x − y) sama dengan  …. 

Jawab:

(x + y) $ (x − y) = (x ( x + y) (x − y) − ((x x + y) + (x− y)   ► (x

+ y) $ (x − y) = x2 − y2 − 2y