Mekanika Teknik

Rangkuman

MEKANIKA TEKNIK

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Mekanika M ekanika Teknik

Disusun Oleh: ROSIDIN NIM 0707119

JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2013

SATUAN GAYA Satuan Internasional (SI) membagi satuan dalam tiga kelompok, yaitu: (1) satuan dasar, (2) satuan tambahan, dan (3) satuan turunan. Sl dibuat dari tujuh satuan dasar, yang diperlihatkan pada Tabel 1. 1.

Satuan turunan dinyatakan secara aljabar dalam bentuk satuan dasar dan atau satuan tambahan t ambahan dengan cara perkalian dan atau pembagian pembagia n satuan dasar. Satuan turunan dapat dilihat pada Tabel 1.2. Satuan gaya adalah newton (N), yaitu gaya yang mengakibatkan ercepatan sebesar 1M/S2 apabila bekerja pada sebuah benda yang mempunyai massa I kg. Maka I N = I kg - M/S 2. Sebuah benda dengan massa I kg mengalami gaya gravitasi sebesar 9,81 N. Nilai tepatnya tergantung pada tempat di bumi. Gaya 9,81 N ini sering ditulis I kgf Maka gaya 5 kgf adalah gaya yang sama dengan gaya gravitasi yang bekerja pada benda dengan massa 5 kg. Jika suatu gaya bekerja pada sebuah benda sehingga mengakibatkan percepatan maka arah percepatan tergantung pada arah gaya sehingga besar dan arah gaya yang bekerja dapat ditentukan.

1

MEKANIKA TEKNIK

Gaya

Gaya (force) didefinisikan sebagai tarikan atau tekanan yang bekerja  pada sebuah benda yang

dapat

mengakibatkan

perubahan

gerak.

Umumnya, gaya mengakibatkan dua pengaruh, yaitu: (1) menyebabkan sebuah  benda bergerak jika diarn atau perubahan gerak jika telah bergerak dan (2) terjadi deformasi. Pengaruh pertama disebut juga

pengaruh luar (external

effect) dan yang kedua disebut pengaruh dalam (internal effect). Apabila

beberapa

gaya

bekerja

pada

sebuah

benda,

gaya-gaya

tersebut dinyatakan sebagai sistem gaya (force system) yang akan dipelajari dalarn statika, dinarnika, dan kekuatan bahan. jika sistem gaya yang bekerja  pada sebuah benda tidak mengakibatkan pengaruh luar, gaya dikatakan setimbang (balance) dan benda dikatakan berada

dalarn

kesetimbangan

(equilibrium). Statika mempelajari hubungan antara gaya-gaya yang bekerja  pada benda kaku (rigid body)  pada keadaan diam dan dianggap setimbang. Dinamika membahas keadaan sebuah benda yang bergerak atau dipercepat, tetapi dapat dibuat setimbang dengan menempatkan gaya inersia secara tepat. Kekuatan bahan (strength of materials) mengkaji kekuatan bahan dalam kaitannya dengan gaya luar yang bekerja pada sebuah benda dan  pengaruhnya terhadap gaya dalam benda. Benda tidak dianggap sebagai kaku

2

MEKANIKA TEKNIK

sernpurna (perfectly rigid) dan dilakukan perhitungan deformasi benda Pada  beberapa macam gaya yang bekerja. Karakteristik Gaya

Suatu gaya secara lengkap dinyatakan dalam bentuk besar, arah, dan titik aplikasi. 1. Besar (magnitude), mengacu pada ukuran atau besar gaya. Gaya 1000N memiliki ukuran yang lebih besar daripada gaya 500  N. 2. Arah (direction), mengacu pada garis lintasan sepanjang garis yang beraksi, disebut garis aksi (line of action). Gaya dapat vertikal, horizontal atau membentuk sudut terhadap vertikal atau horizontal. 3. Titik aplikasi (point application), mengacu pada titik objek di mana gaya bekerja.

Klasifikasi Gaya

Gaya secara umum dapat dibedakan. menjadi dua, yaitu: (1) gaya kontak atau permukaan, misal tarikan atau tekanan, dan (2) gaya tidak kontak atau body  force, misal tarikan gravitasi bumi pada semua benda. Gaya dapat juga diklasifikasi berdasarkan aksi gaya terhadap bidang luasan atau volume.

jika sebuah gaya yang bekerja menghasilkan garis

tegangan yang menyebar dari beban dan terdistribusi di seluruh benda maka disebut gaya distribusi (distributed force). Distribusi dapat merata (uniform) atau tidak merata (non-uniform). Berat (jumlah dari gaya gravitasi pada sebuah

3

MEKANIKA TEKNIK

 partikel) dari lantai jembatan beton dengan tebal sama (Gambar 1.2) disebut  beban distribusi merata (uniformly distributed load).  Suatu gaya yang bekerja  pada luasan yang relatif kecil disebut gaya terpusat (concentrated Sebagai contoh, gaya

roda mobil yang

bekerja

force).

pada sebuah jembatan

(Gambar 1.3) dapat dianggap beban terpusat (concentrated load).

Kesetimbangan Gaya

Jika pada suatu benda bekerja hanya satu gaya, maka benda akan dipercepat searah dengan arah gaya yang bekerja. Jika dua buah gaya bekerja  pada sebuah benda tanpa mengalami percepatan maka dikatakan bahwa gaya  berada dalam kesetimbangan. Dua gaya yang berada dalam kesetimbangan (Gambar 1.4) harus memenubi tiga persyaratan, yaitu: (1) harus mempunyai ukuran yang sama, (2) bekerja dalam arah yang berlawanan, dan (3) garis aksi kedua gaya tersebut harus melewati satu titik. Dua buah gaya tersebut dikatakan concurrent. Tiga buah gaya bekerja pada benda dikatakan dalam kesetimbangan

4

MEKANIKA TEKNIK

(equilibrium)  jika memenuhi sejumlah kondisi, yaitu: (1) gaya harus berada pada  bidang yang sama-coplanar, (2) garis aksi gaya melalui satu titik - concurrent, dan (3) jika arah gaya

dinyatakan dengan arah panah dan besar gaya

dinyatakan dengan panjang garis, maka gaya-gaya tersebut harus membentuk segitiga gaya – triangle of forces Gambar 1.5 menunjukkan contoh tiga gaya, coplanar dan concurrent, yang berada dalam kesetimbangan dan menghasilkan segitiga gaya.

Jika

lebih

dari

tiga

gaya

bekerja

pada

benda

berada

dalam

kesetimbangan jika gaya-gaya tersebut concurrent dan coplanar dan jika setiap besar dan arah gaya dinyatakan dalarn garis, maka garis-garis tersebut harus membentuk poligon gaya ( poly gon of forces) yang tertutup. Gambar 1.6 menunjukkan contoh empat gaya bekerja pada satu titik dan semua pada bidang yang sama. Karena gaya berada dalarn kesetimbangan, bentuk yang dihasilkan dinyatakan dengan garis yang menunjukkan arah dan besar gaya membentuk  poligon tertutup.

5

MEKANIKA TEKNIK

Kesetimbangan Sistem Gaya Konkuren

Jika sebuah sistem gaya melalui satu titik berada dalarn bidang yang sama (coplanar concurrent force system), maka jumlah aljabar komponen vertikal dan horizontal gaya masing-masing harus sama dengan nol.

Ini

dinyatakan dengan persamaan:

Sebaliknya, jika dinyatakan ∑Fy

= 0 dan ∑Fx

= 0 dalam sistem gaya

konkuren, maka dapat kita katakan bahwa sistem dalam kesetimbangan dan resultan gaya adalah sama dengan nol.

Contoh 1

Benda

dengan

berat

sebagaimana ditunjukkan pada

100

N

ditumpu

oleh

sebuah

tie-boom,

Gambar 1.7. Tentukan besar gaya C pada

 boom dan gaya T pada kabel agar dicapai kesetimbangan! Penyelesaian Diagram benda bebas pada sambungan Q sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.7b. Ada dua gaya yang tidak diketahui, yaitu C dan T yang dapat diperoleh dengan metode segitiga gaya dan atau metode komponen.

Metode Segitiga Gaya

Menggunakan hukum sinus untuk menyelesaikan gaya-gaya yang tidak diketahui:

6

MEKANIKA TEKNIK

Contoh 2

Scbuah blok beton dengan massa 200 kg ditumpu oleh dua kabel sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.8. Tentukan besar tegangan pada kabel agar dicapai kesetimbangan. Penyelesaian

Sistem gaya adalah koplanar dan konkuren. Kedua kabel pastilah

7

MEKANIKA TEKNIK

tarikan.

Untuk menentukan besar tegangan tarik kabel, dapat dilakukan

dengan metode komponen dengan menerapkan dua persamaan kesetimbangan terhadap diagram benda bebas pada titik B

sebagaimana ditunjukkan pada

Gambar 1.8b, atau dengan segitiga gaya, ditunjukkan pada Gambar 1.8c.

Kesetimbangan Sistem Gaya Sejajar

Kesetimbangan sistem gaya sejajar dalarn satu bidang (coplanar  parallel force system), jumlah aljabar gaya-gaya yang bekerja pada sistem dan momen gaya sistem terhadap suatu titik pada bidang har-us sama dengan nol. Persyaratan ini dinyatakan dengan:

Jenis umum dari problem yang berhubungan dengan sistem gaya

8

MEKANIKA TEKNIK

sejajar adalah menentukan dua reaksi tumpuan yang tidak diketahui pada balok atau struktural. Dalam menghitung reaksi sistem

gaya sejajar,

perhatikan

 penetapan tanda. Momen searah jarum jam terhadap pusat momen dianggap negatif dan momen berlawanan arah jarum jam dianggap positif. Soal 3

Sebuah balok tumpuan sederhana menyangga beban terpusat vertikal sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.9. Hitung reaksi pada masing-inasing tumpuan. Abaikan berat balok.

Penyelesaian

Diagram benda bebas sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 1.9b. Tumpuan pin pada A dapat memberikan reaksi horizontal, tetapi karena tidak ada gaya atau komponen gaya horizontal maka reaksi mendatar diabaikan. Dengan

menganggap

putaran berlawanan arah jarum jam positif, reaksi pada

titik B dihitung dengan mengambil gaya momen terbadap titik A.

Reaksi pada titik A dihitung dengan mengambil gaya momen terhadap titik B.

9

MEKANIKA TEKNIK

10

MEKANIKA TEKNIK

GESER DAN MOMEN PADA BALOK

4-1 Pendahuluan Dasar utama kekuatan bahan adalah menetapkan hubungan antara bahan dan deformasi yang disebabkan oleh beban yang bekerja pada setiap struktur. Pada

pembebanan

aksial

dan

torsi,

kita

menghadapi

kesulitan

ketika

mempergunakan hubungan tegangan dan deformasi karna dalam mayoritas kasus,  beban tetap diseluruh struktur atau terdidtribusi dengan besar tertentu dibagian komponen. Tetapi, setudi beban lentur, sulit karna kenyataan pengaruh pembebanan terhadap balok bervariasi dari suatu penampang ke penampang yang lain. Pengaruh pembebanan ini dalam bentuk geser dan momen lentur, kadang disebut geser dan momen. Terminology ini didefinisikan pada artikel berikut. Tekrminologi ini akan diperlihatkan pada bab 5 bahwa dua jenis tegangan bekerja  pada penampang transversal balok: (1) tegangan lentur, yang bervariasi langsung dengan momen lentur, dan (2) tegangan geser, yang bervariasi langsung dengan geser. Justru itu, sebagai dasar mempelajari tegangan pada balok, bab ini berkaitan dengan momen geser dan lentur pada balok yang mengalami baerbagai kondisi  pembebanan dengan kondisi tumpuan yang berbeda, khususnya mencari harga geser dan momen maksimum. Lendulan balok akan dibahas pada bab 6.

11

MEKANIKA TEKNIK

Motoda tumpuan dari beberapa tipe balok diperlihatkan pada gambar 4-1. Sebuah balok ditumpu dengan reaksi engsel pada salah satu ujung dan tumpuan rol pada tumpuan yang lain, tetapi tidak dijepit. Sebuah balok kantilever hanya ditumpu pada salah satu ujung, dan jepitan yang sesuai untuk menghindari rotasi  pada ujung tersebut. Sebuah balok menganjur (overhanging) ditumpu oleh sebuah engsel dan rol, dan salah satu atau keduanya diluar tumpuan. Semua balok ini setatis tertentu; reaksinya ditetapkan langsung dari persamaan kesetimbangan. Metoda tumpuan balok ini diperlihatkan peda gambar 4-2. Balok propped, ujung tetap atau balok dijepit, dan balok kontinu semua mempunyai elemen reaksi lebih besar minimum satu atau lebih dari kebutuhan absolute untuk menumpunya. Balok seperti itu adalah static tak tentu; adanya kelebihan tumpuan membutuhkan  pemakaian tambahan persamaan yang diperoleh dengan memperhatikan deformasi elastic balok. Jawabanya dibahas pada bab 7 dan 8. Sebuah beban terpusat adalah beban yang bekerja pada jarak yang kecil sehingga dapat dianggap bekerja pada titik seperti pada gambar 4-1a. sebaliknya,  beban merata bekerja disepanjang balok tertentu. Beban bisa terbagi merata diatas seluruh panjang, seperti pada gambar 4-1b, atau disebagian panjang seperti pada gambar 4-1c. beban terbagi bisa juga bervariasi merata atau tidak merata. Pada  beban merata yang merata yang bervariasi atau beban segitiga, intensitas  pembebanan bertambah atau berkurang dengan laju tetap seperti pada gambar 42a dan 4-2b, kondisi ini bisa timbul akibat tekanan air yang bekerja pada  permukaan bendungan atau gumpalan pasir. Beban trapezium pada segmen sebelah kanan pada gambar 4-2c adalah kombinasi variasi beban merata dan tak merata. Beban juga bisa tak merata, seperti pada segmen kiri gambar 4-2c; beban ini bisa dihasilkan dari penimbunan karung pasir secara serampangan.

12

MEKANIKA TEKNIK

4-2 Geser dan Momen Gambar 4-3 memperlihatkan balok sederhana yang mendukung beban terpusat P  dan dibuat setimbang oleh reaksi

1 dan 2 . Untuk sementara, abaikan

masa balok sendiri dan tinjaulah harga pengaruh baban P . andaikan bahwa bidang

1  membagi balok menjadi dua segmen. Diagram  benda-bebas segmen kiri pada gambar 4-2b memperlihatkan beban luar 1 . untuk  potonga a-a  berjarak  x  dari

menjaga kesetimbangan segmen balok ini, serat penampang selidik a-a harus memberikan

gaya

tahanan

yang

dibutuhkan

untuk

memenuhi

kesetimbangan statis. Pada kasus ini, beban luar tegak, segingga kondisi

kondisi

 = 0

(sumbu X mendatar) secara automatis terpenuhi. Untuk memenuhi

  = 0, ketidak seimbangan tegak yang diakibatkan 1

menyebabkan serat penampang a-a menimbulkan gaya tahanan. Gaya ini

, dan disebut gaya tahanan geser. Untuk beban yang diperlihatkan,  secara numeric sama dengan 1 ; tetapi apabila beban bekerja antara 1   dan a-a ( seperti pada gambar 4-5 dan 4-6), ketidakseimbangan diperlihatkan sebagai

tegak (sama tapi arahnya berlawanan dengan tahanan geser) akan diperoleh dari komponen tegaknya. Kita mendevinisikan ketidakseimbangan tegak ini sebagai gaya geser balok. Gaya ini disebut V, dan bisa ditetapkan dari  jumlah komponen tegak dari beban luar yang bekerja pada kedua sisi

13

MEKANIKA TEKNIK

 penampang. Definisi gaya geser bisa dinyatakan secara mat ematis yaitu

 = ()

Subskrip L menekankan bahwa jumlah tegak hanya memasukan beban luar yang bekerja pada segmen balok sebelah kiri penampang yang ditentukan.

Tahanan geser

 yang yang ditimbulkan oleh serat pada setiap penampang

sembarang selalu sama tetapi arahnya berlawanan dengan gaya geser V, ketika menghitung V, gaya atau beban yang bekerja keatas dianggap positif. Hukum tanda ini mengahasilkan pengaruh seperti terlihat pada gambar 4-4, dimana gaya geser positif cenderung menggerakan segmen kiri kea rah atas ditinjau dari arah kanan atau sebaliknya.

Untuk kesetimbangan diagram benda bebas dari gambar 4-3b, jumlah momen juga harus setimbang. Pada diskusi ini menghasilkan kopel M yang sama dengan

1 dan   sama, sehingga

1  yang disebut dengan momoen

lentur karena cenderung melenturkan balok. Serat pada penampang selidik harus menimbulkan momen tahanan,

, dan bekerja seperti diperlihatkan. Pada

diagram balok, diagram bendabebas mendukung sejumlah beban, seperti

14

MEKANIKA TEKNIK

diperlihatkan gambar 4-5; oleh karna itu definisi momen lentur dibutuhkan secara lengkap.

Definisi Momen Lentur

Momen Lentur didefinisikan sebagai jumlah momen semua gaya yang  bekerja disisi kiri atau kanan penampang terhadap sumbu titik berat penampang yang dipilih, yang dinyatakan secara matematis sebagai

 = () = ()

Subskrip

L

menunjukan

bahwa

momen

lentur

dihitung

dengan

terminology beban yang bekerja disebelah kiri penampang dan subskrip R  berkairan dengan beban sebelah kanan penampang. Mengapa sumbu titik berat penampang harus dipilih sebagai sumbu momen lentur tidak jelas hingga disini; tetapi, alasanya dijelaskan pada art 5-2. Sebenarnya, pada gambar 4-5, di mana beban tegak lurus balok, sumbu momen lentur biasa pada titik A, atau B, atau disetiap tempat penampang selidik, tanpa mengubah lengan momen beban terpasang. Tetapi, apabila beban terpasang miring kea rah balok seperti diperlihatkan gambar 4-6, lengan momen terpasang tidak tertentu kecuali sumbu momen terpasang pada kedudukan tertent di  penampang selidik. Beban miring seperti itu menyebabkan kombinasi pengaruh aksial dan lentur yang dibahas pada art 9-2.

15

MEKANIKA TEKNIK

Tanda Momen Lentur

Kepada

banyak

insinyur,

momen

lentur

positif

apabila

momen

menghasilkan cekung keatas, seperti pada gambar 4-7. Kita memilih pemakaian konvensi ekuivalen yang menyatakan bahwa  gaya luar yang bekerja keatas menghasikan momen lentur positif terhadap setiap penampang; gaya kebawah menghasilkan momen lentur negative. Sejauh ini karna ditinjau segmen kiri balok (ganbar4-3b). hail ini ekuivalen dengan mengambil searah jarum jam terhadap

1. Terhadap segmen kanan balok (gambar 4-3c), konveksi ini berarti bahwa momen reaksi 2   positif dalam arah sumbu lentur positif, seperti ditunjukan oleh

 berlawanan jarum jam. Konvesi ini member keuntungan sehingga momen lentur  bisa dihitung, tanpa menmbingungkan oleh tanda, dan terminology gaya sebelah kiri atau kanan penampang, tergantung pada kebutuhan kerja arithmatika. Kita tidak pernah memikirkan apakah momen searah jarum jamatau berlawanan jarum  jam; gaya bekerja keatas selalu menghasilkan momen lentur positif dengan mengabaikan apakah gaya bekerja sebelah kiri atau kanan penampang selidik.

Definisi gaya geser dan momen lentur bisa disimpulkan secara matematis dengan

16

 = ()  = () = () MEKANIKA TEKNIK

Dimana pengaruh positif dihasilkan oleh gaya keatas dan pengaruh negative dihasilkan oleh gaya kebawah. Hokum tanda ini kemudian akan digunakan secara ekslusif dan selanjutnya dikembangkan untuk memberikan tanda positif pada setiap besaran atau pernyataan seperti kata sifat “ke atas” atau “di atas” dan sebaliknya untuk tanda negative. Harus diingat bahwa subskrip L dan R menyatakan segmen balok berturut-turut terletak disebelah kiri dan kanan  penampang selidik.

CONTOH SOAL 401. Tulislah persamaan geser dan momen balok yang dibebani seperti diperlihatkan pada gambar 4-10a, buatlah sketsa diagram geser dan momen. Jawab: Dimulai dengan menghitung reaksi. Dengan menggunakan menghasilkan

2

= 0

1 = 63 kN, dan 1= 0 menghasilkan 2 = 67 kN. Pemeriksaan

harga ini dilakukan oleh



= 0. Dimana balok dimana kondisi beban berubah

disebut perubahan titik beban dan ditandai dengan huruf A, B, C, dan D. Apabila penampang a-a diambil melalui penampang disembarang tempat antara A dan B, beban luar timbul seperti gambar 4-8. Dengan mempergumakan definisi geser tegak dan momen lentur, dan catat bahwa definisi berlaku hanya untuk beban luar, kita peroleh

 = ()] [  = () ] [

 

= (63-20x) kN

x 2 = (63x –  10 2 ) kN.m = 63x-(20x)

Persamaan ini berlaku hanya untuk harga x antara 0dan5, yaitu antara titik A dan B. untuk memperoleh persamaan geser dan momen antara B dan C, andaikan penampang selidik lainya, b-b diambil diseberang tempat antara b dan C. dapat dicatat bahwa lokasi penampang b-b masih didefinisikan dengan terminology x yang diukur dari ujung kiri balok, menskipun kini x mempunyai ruang batas antara 5 dan 10. Pengaruh gaya luar pada penampang ini ditetapkan

17

MEKANIKA TEKNIK

dengan mempergunakan definisi geser dan momen terhadap gambar 4-9.

 = ()] [  = () ] [

 

= 63 - 100 = -37kN = 63x –  100(x- 2.5) = (-37x + 250) kN.m

18

MEKANIKA TEKNIK

Persamaan geser dan momen segmen CD diperoleh dengan cara yang sama dengan melakukan penampang c-c diseberang tempat antara C dan D. beban luar yang bekerj pada balok disebelah kiri penampang diperlihatkan pada gambar 4-11, dari sini diperoleh

 = ()] [  = () ] [

 

= 63 - 100 + 67 = +37kN = 63x –  100(x- 2.5) + 67 (x –  10) = (37x - 420) kN.m

19

MEKANIKA TEKNIK

Metoda sederhana untuk memperoleh



dilakukan dengan cara

meninjau gaya yang terletak disebelah kanan penampang c-c seperti terlihat pada gambar 4-12, dimana disini diketahui bahwa gaya kebawah menghasilkan momen lentur negative, kita juga mendapatkan

[

 = ()]



= –  30(14 –  x) = (30x - 420) kN.m

Kesimpulan, kita telah menghitung V dengan meninjau hanya gaya luar yang terletak disebelah kiri penampang selidik, sedangkan M dihitung dengan mengambil momen, dari gaya luar yang terletak baik yang disebelah kiri atau sebelah kanan penampang, terhadap penampang selidik. Kita secara hati-hati telah menetapkan tenda V da M positif apabila diakibatkan oleh beban yang bekerja keatas dan tanda V dan M negative apabila diakibatkan oleh beban yang bekerja kebawah. Kita akan selalu konsisten menggunakan tanda positif terhadap besaran arah keatas dan tanda besaran negative ke “bawah” atau ekuivalennya.

Selanjutnya, ingat bahwa gambar 4-8, 4-9, 4-11, dan 4-12 telah digunakan sebagai penjelasan, dan anda akan belajar menggambar diagram secara langsung dari beban blaok original.

20

MEKANIKA TEKNIK

Diagram Geser dan Momen

Diagram geser dan momen merupakan diagram gravis persamaan geser dan momen yang digambarkan dengan sumbu V-x dan M-x, biasanya ditempatkan di bawah diagram beban, seperti bagian (b) dan (c) dari gambar 4-10. Diagram geser yang terputus (gambar 4-10b) dihubungkan dengan garis tegak yang ditarik ke atas atau kebawah untuk menyatakan perubahan tiba-tiba geser yang disebabkan berturut-turut oleh beban terpusat ke atas atau k e bawah. Geser dan momen pada titik perubahan beban dapart dihitung dengan mensubtitusikan harga x yang sesuai dengan persamaan V dan M terdahulu (a ke  f), tetapi lebih sederhana dan lebih langsung apabila menghitung besaran numeric ini dengan mempergunakan definisi dasar V dan M terhadap penampang tertentu. Misalnya, penampang geser antara A dan B nol karna gaya kebawah sebesar 20 kN/m sepanjang x meter harus mengimbangi geser tegak 63 kN pada A. dari sisi kita peroleh 63 = 20x atau x = 3,15 m Momen pada penampang geser nol ini dihitung dengan mengambil momen gaya disebelah kiri penampang. Gaya ini, terdiri dari reaksi ke atas

1 = 63 kN

dan beban kebawah 63 kN sepanjang beban terbagi merata, dibutuhkan agar geser nol. Dari definisi momen lentur, kita peroleh [

 = ()]

3.15)= 99.23 kN.m 2

Pada x = 3,15 M = (63) (3.15) - 63 ( Titik

akhir

keinginan

ditunjukan

kedalam

gambar

4-10d,

yang

memperlihatkan bentuk balok di bawah beban tertentu; dengan menganggap balok cukup luwes. Balok antara A dan E sekung ke atas, dan antara E dan D cekung kebawah. Karna sesuatunya berkaitan dengan arah ke atas tanda positif, tidak terlalu mengherankan bahwa diagram momen mempunyai harga positif diarea AE, sedangkan untuk bagian ED, dimana balok cekung kebawah diagram momen mempunyai harga negative. Sketsalah bentuk balok sehingga bisa memeriksa momen lentur.

21

MEKANIKA TEKNIK

Pada titik E, dimana bentuk balok berubah dari cekung keatas menjadi cekung kebawah, kita memperoleh titik yang disebut titik infleksi (point of infleksion) titik yang berkaitan dengan penampang momen lentur nol. Kedudukanya bisa dihitung dengan membuat persamaan (d) sama dengan nol, yang menghasilkan

 = 0 ]

[

22

 –  37x + 250 = 0; x = 6,76 m

MEKANIKA TEKNIK

MOMEN INERSIA

A-1 DEFINISI MOMEN INERSIA

Banyak rumus enjinering berkaitan dengan pemakaian pernyataan matematis bentuk

2, dimana  jarak tegak lurus dari  ke sumbu inersia.

Integral ini kerap kali, diberi nama momen inersia. Momen inersia sendiri tidak memiliki arti, momen inersia terutama hanya merupakan pernyataan metematis yang disebut dengan symbol  I . tetapi, apabila bergabung terminology lain, seperti  pada rumus lentur tegangan balok

 =   Pemakaianya mulai mempunyai

 pengertian.

Definisi matematis momen inersia,  I = dibagi menjadi elemen kecil, seperti

2 , menunjukan bahwa luas

, dan masing-masing luas dikali dengan

kwadrat lengan momennya terhadap sumbu acuan. Berarti seperti diperlihatkan  pada gambar A-1, apabila koordinat pusat luas diferensial inersia terhadap sumbu X   adalah perkalian setiap luas

 adalah (x,y), momen

 dengan kwadrat lengan

momennya y. hal ini memberikan

 =2 Dengan cara sama, momen inersia terhadap sumbu Y diberikan oleh

 =2 Momen inersia (dari luas) kadang kala disebut momen luas kedua  karna setiap luas diferensial dikali dengan lengan momennya memberikan momen luas;  bila dikali kedua kali dengan lengan momen memberi momen inersia. Terminology momen luas kedua (second momen of area ) lebiah disukai daripada

23

MEKANIKA TEKNIK

 pernyataan momen inersia; pernyataan terakhir membingungkan bila digunakan terhadap luas yang tidak memiliki inersia. Tetapi, termonologi momen inersia telah lama dipergunakan dan tidak digantikan yang lain. Satuan dan Tanda

Pemeriksaan integral

2  memperlihatkan terminologiempat dimensi

karna terdiri dari kwadrat jarak dikali luasnya. Berarti apabila L satuan jarak,

4. Satuan umum L dalam millimeter; memberikan satuan I dalam millimeter pangkat empat ( 4 ). Tanda I ternyata tidak tergantung kepada lengan momen (karna apabila  satuan I adalah

kurang, kwadratnya menjadi tambah), I seluruhnya tergantung kepada tanda luas. Kita akan mendefinisikan luas positif berarti menambah luas gambar dan luas negative berarti mengurangi luas gambar. Untuk luas netto momen inersia harus selalu positif.

A-2 MOMEN INERSIA POLAR

Momen inersia luas relative terhadap garis atau sumbu tegak lurus bidang luas disebut momen inersia polar dan ditunjukan dengan symbol  J . pada gambar A-2 momen inersia luas pada bidang XY  terhadap sumbu Z adalah



2 ]   =2 = (22) = 2 + 2 

 I =

Dari persamaan (A-1) dan (A-2) kita akhirnya memperoleh

 =+ Dengan kata-kata, persamaan ini menyatakan bahwa momen inersia polar suatu luasan terhadap sumbu tegak lurus bidangnya sama dengan jumlah momen inersia terhadap dua sumbu tegak lurus bidangnya yang berpotongan pada sumbu  polar.

24

MEKANIKA TEKNIK

A-3 JARI-JARI GIRASI

Terminology jari-jari girasi digunakan untuk menjelaskan ekspresi matematis lain dan selalu terlihat padarumus kolom. Jari-jari girasi biasanya ditunjukan dengan symbol k   atau dengan symbol r   dan didefinisikan dengan symbol

 = √    atau =2 Dimana   adalah momen inersia dan   adalah luas potongan penampang. Penjelasan berikut ini merupakan interpretasi geometris hubungan ini. Andaikan luas dari gambar A-1 diselipkan kedalam lembaran panjang seperti terlihat pada gambar A-3. Setiap elemen diferensial luas



  mempunyai jarak

sama  dari sumbu inersia. Momen inersia diberikan oleh

 = 2 = 2= 2 Karna setiap lengan diferensial mempunyai lengan momen sama.

Lembaran bisa ditempatkan pada sisi lain sumbu acuan, karna apabila

 kurang,

kwadratnya otomatis membuatnya tambah. Atau bagian lembaran bisa pada jarak

 dari salah satu sumbu acuan, dan lembaran lain terletak pada jarak  sama dari sumbu lain. Dari pandangan pembahasan ini, jari-jari girasi selalu dianggap jarak merata dari sumbu acuan dimana seluruh luas selalu dianggap terbagi. Untuk luas

25

MEKANIKA TEKNIK

dan dimensi tegak lurus sumbu acuan diabaikan karna cukup kecil dibandingkan dengan jaraknya dari sumbu, jari-jari girasi praktis ekuivalen dengan kedudukan titik berat luas.

A-4 RUMUS PERPINDAHAN MOMEN INERSIA

Kerap kali perlu memindahkan momen inersia dari satu sumbu ke sumbu  parallel lainya. Rumus perpindahan memberikan metode perpindahan tanpa integrasi. Misalnya, pada gambar A-4, momen inersia terhadap sumbu titik berat

= 2. Momen inersia selalu luas untuk luas yang sama terhadap sumbu parallel (X) berkedudukan sejarak   dari sumbu titik berat diberikan oleh persaman  yang menyatakan jarak sumbu ditulis diluar tanda integrasi karna tetap. Terminalogi kedua sisi kanan persamaan ( ) menjadi nol karena  2 = A.  , dimana   mensyaratkan jarak dari sumbuka acuan   ketitik berat. Padah contoh ini  mempunyai harga nol karna 2= A.  , dimana  menyatakan jarak dari sumbu acuan    ke titik berat. Pada contoh ini  mempunyai harga nol karna    melalui titik berat. Kita akhirnya mendapatkan,  =  2  

 X (   ) diberikan oleh pernyataan

Dengan kata-kata, persamaan ini menyatakan bahwa luas momen inersia terhadap setiap sumbu pada bidang luas sama dengan momen inersia terhadap sumbu sejajar titik berat ditambah terminology

perpindahan yang terdiri dari

 perkalian luas dengan kwadrat jarak antara kedua sumbu. Terlihat momen inersia terkecil untuk setiap arah sumbu tertentu adalah momen inersia titik berat. Diingat  baik-baik bahwa sumbu titik berat dalam rumus perpindahan selalu sumbu titik  berat luas yang dipergunakan dalam terminology perpindahan

26

MEKANIKA TEKNIK

 2.

Hubungan yang sama adapula antara jari-jari girasi terhadap sumbu  paralel, salah satu diantaranya sumbu titik berat. Gantikan

 ̅ dengan

 dengan  2 dan

 2 dalam persamaan (A-5), kita dapatkan  2 = 22 Dari sini diperoleh

2 = 2 2 Dengan cara yang sama, terhadap momen inersia polar dan jari-jari polar dari girasi, kita dapatkan hubungan analog antara sumbu sembarang dan sumbu titik berat paralel:

27

MEKANIKA TEKNIK

  =  2 2 = 22