Mekanika Klasik (Peter Soedojo).pdf

6 \),

*---r a

*

51-q1#

rre-

\

.\\ \\ \,

m

i\\

I

\'_ \ lr\ !

.i:--

' . \b\\ \-\ \ \. .. &.\.\\\ \\ \:\ \:r:iw

ffi AKAAN ]R

.

'I{.

; &"

I,T Peier Srtudojrr, B "$c"

|&,,.6e?' j|tll|lB.

ff

-,-,***

*

-

$\ .:!l

\!1

. t.i

Dr . Halso:'r ",.

..

A

{. ffi

Penerhlt :

ii Iraffiw,

;*".'re@*p+ {:ffir;i;..-.i."

1""tr88K,'!'Y

-;"

{-a

{}"r AY k'12'{ *s.

@-'-t

7.-'**** PERpr

IT4ILIK-tnenon

rgT46AAN l'" to'n

Nomor

r,M

u rr

, 6'4 ,87 tpDl f ll,,gy

!1:'^ ' :il,tss

j

MEKANIKA KLASIK oleh : Dr. Peter Soedojo, B.Sc. Drs. Harsojo Uniuersitas Godjah Mada Yogyakarta. Edisi Pertama

Y i

i f,

I

I I

f

Ftr I I

Cetakan Pertama, 7985

A 1985, Liberty Yoggakarta. Dilorang mereproduksi isi buku ini baik sebagian moupun seluruhnya dalam bentuk dan atau alason apapun jugo, tanpa izin tertutis dari penerbit. Penerbit : LIBERTY YOGYAKARTA Jayengprawiran 21, 23, Yogyokarta.

Distributor

.

i4

:

Toko Buku BINA USAHA Jalon Colombo 2-A, Telp. (0274) 86803, Yogyakorta.

Toko Buku DOMINAN Jolan Jagalan 4, Telp. (0274) 889A4 Yogyakorta

Toko Buku MULIA Jalon Gandasuli No. 5. Telp. (021) 354553 Jakorta Pusot Toko Buku BINA IISAHA Jalan Kramat Raya 78 (Senen) Telp. (021) 341117, Jakarto Pusat

H. FRANKIM d/a Wisma Liberty, Jl. PeJepah Hijou 3 TL 2 No. 27 Kelapo Gading Permai 2, Jakarta Utara.

?-a,

111

,

KATA PENGANTAR

sesuai dengan jufu.rlya,. buku ini nemuat dasar-dasar pemikiran dalam klasik yang teoi-h aitltit-beratkan pada segi analittk serta konsepsional, bukannya pada segi ketrampilan tetnis peilecahrn-ro.r. Itbkanika klasik tidak hanya mencerminkan keterbatasan mekanika titik materinya Newton dalam memecahizll ' ctt

yakni tetap sebab h ada14h tetap" Akhirnya hukum Keppler 39 akan ierbuktikan dengan nenerapkan persamaan (26) untuk menghitung periode revolusi planet. Dari persamaan (36) dan (37) dengan mengingat u = : , kita peroleh jarak antara aphelion dan perihelion R misalnya, yakfii .l

ft= a

2

a

2E * ---T

-) h-

mh-

=_

ma _ E

yang 1a1u memberikan tenaga total

-ma L--R

(42)

Selanjutnya, di atas telah kita jabarkan bahwa tenaga potensialnya yang (31) diberikan oleh

memenuhi persamaan

v

=

-.:

(4s)

Substitusi persamaan-persamaan (42) dan (43) ke persamaan (26) dengan batas integrasi dari perihelion ke perihelion lagi (1ihat ganbar I.9.) memberikan periode

,2 dr

'1--1

/ t1

2a R

jika r 1

ion,

_t

dan

yaKn]-

r, berturut-turut

+

(44) 2a

r

adalah harga rdi

h

-z r perihelion dan di

aphe-

28

tl

(4s)

=

a

a ')

-+ l"r

:T lr

+-

2E

.2

mh

,2

(46) a

?-

a-t*-hmh

2E

Penyelesaian persamaan (44) dengan mengingat persamaan-persamaan dan (46) akhirnya menghasilkan T- 2r (, N3/2

( 45 )

G

atau

-2 I

=

4tr2 -3 -f

(47)

a

bila i yakni setengah jarak antara perihelion dan aphelion kita pandang sebagai jarak rata-rata antara^planet dan matahari. Dari persamaan (47) terbuktikanlah hukum Keppler 3I tersebut" Adapun ketergantungan kecepatan planet akan jaraknya dari matahari, dengan mudah diperoleh dengan substitusi persamaan-persamaan ( 42 ) dan (43) ke persamaan hukum kekekalan tenaga mekanik.

E=K+V lalu

yang

memberikan ma -'cmv 2a-m*r -T

yakni V=

(48)

planet berada lebih jauh dari matahari, yaitu sewaktu r besar, gerakannya lebih lambat " Dari

persamaan

(48) ini terlihat

bahwa sewaktu

t

29

II. Titik

MEKANIKA SISTEM MATERI

Berat

Titik berat sistem materi adalah letak rata-rata kedudukan sistem materi tersebut" Untuk menjelaskan yang dirnaksud, kita perhatikan himpunan titik-titik materi pada gambar II.1. di bawah ini.

m ,2

o

ot3 m

4

Gambar II " 1. Definisi titik berat.

dan seterusnya Rata-rata kedudukan titik-titik materi m, , fr), dengan vektor-vektor kedudukan rr, ,2 ".: ilan seterusnya adalah

i=

*tfl * *zfz * *3f3 * '' *1*^2

* ,3 + ...

atau secara singkat

I m.r. = t-t

! 'M di mana M ialalr massa total titik-titik materi" Vektor ini adalah vektor titik berat G yang kita

(49) maksud"

Untuk sistern materi yang kontinyu persamaan (49) sudah tentu adalah

_ L-

"fr

dm

------FT-

(s0)

Lebih lanjut dengan menyatakan vektor kedudukan 1= dalam l'rubtmgannya dengan vektor kedldukannya terhadap titik berat difr vektor kedudukan titik berat itu yakni dengan menuliskan +

'1

(s 1)

30

dari yang

persamaan (49)

berarti

lah no1.

2.

kita peroleh

tL,'.' m. rr O: = -: fl bahwa

(s2 )

rata-rdta vektor

kedudukan terhadap

Kekekalan ImpuLs Impuls sistem rnateri didefinisikan sebagai jumlah masing titik materi; atau secara singkat

titik berat

ada-

Hukum

!= r,1i= r*iii

impul s masing!N

(s3)

Dari persamaan (49) dengan mendiferensialkannya terhadap t, kita dapatkan

.

-

I m.r. 1-1

f --lMatau

=

Mi=rm.i. la1 -

Maka menurut persamaan

(53) kita peroleh

L=Ml

(s4)

Jadi kita dapat mengatakan impuls sistem sama dengan impuls titik berat; yang dimaksud impuls titik berat adalah impuls titik massa yang seolaholah berada di titik berat dengan massa sebesar massa total sistem dan bergerak menurutkan gerakan titik berat. Selanjutnya gaya pada sistem materi didefinisikan sebagai jumlalt gaya-gaya pada masing-masing titik materi; atau dirumuskan p=I

(ss )

F.

Dengan mengingat hukum Newton

I='i

dan mengingat persamaan (49)

F=Mi

kita peroleh (s6)

berarti gaya pada sistem sama dengan gaya terhadap titi k be4at, rnaksudnya sama dengan gaya yang seolal'r-olah bekerja pada suatu titik massa yang berada di titik berat dengan massa sebesar massa total sistem yang

serta bergerak menurutkan gerakan titik berat. Perlu kita perhatikan bahwa gaya yang bekdrj a pada masing-masing titik materi dapat terdiri atas gaya dalam maupun gaya luar; yang dimaksud demateri satu sangan gaya dalam ialah gaya interaksi antara titik-titik ma lain Dengan perkataan lain kita dapat menuliskan (s7 ) F. = F. (1) * F. (d) -1 -1

-1

3L

atau

F. F.('1) + r.F.. j*rj -1 = -i

(s7)

di

nana F. . adalah gaya oleh m. terhadap ' m.. 1 -lJ ) Tetapi menurut hukum Newton ke III, reaksi sama dengan aksi,

Iij sehingga

=

- I:t

TI

i ; It:-o

yang

dari

persamaan (57)

F=

berarti

r F"11= I p-(1)

Jadi gaya pada sistem materi

tik-titik

(58) sama dengan jumlah gaya-gaya

luar pada ti-

materi

Dari persamaan-persamaan (58), (56), dan (49) tertihatlah tiada gaya luar yang bekerja pada sistem materi, maka

bahwa apabila

rmrir=9 yang berarti

Liii

= tetap

(59)

yakni jumlah impuls titik-titik materi adalah tetap terhadap waktu. Pernyataan ini disebut hukum kekekalan impuls. Hukum ini sangat bermanfaat daTam analisa tumbukan antara titik-titik nateri.

3.

Tenaga

Kinetik Sistem Materi

Yang dimaksud dengan tenaga kinetik sistem materi naga-tenaga kinetik masing-masing titik materi. Atau kalau dirumuskan :

K=LK. - 11 r I =L\r.i..i.

ialah

jumlah

te-

(60)

I

Seperti pada pembahasan-pe*trf.,Jrrri di atas, kita hendak menyatakan tenaga kinetik itu dalam hubungannya dengan tenaga kinetik titik bera t. I.jntuk itu vektor kedudukan masing-masing titik.materi akan kita nya takan dalam hubungannya dengan vektor kedudukan titik berat. Kita perhat i kan lagi gambar II.1 di atas"

,

(ni.ri) -

Im.(i.,i.)=f

I Itlf: .P-i ).(I * 0-i),f

t)

mi (i+0-1).(i

*0-i)

3'2

Tetapi menurut persamaan {52)

d- r m.0 .-0 Im.o. 'l " 1 ---=dt 1- 1ry sehingga

a"ti ]"rramaan K=

Lz

(60)

Ui2 * L, I

.2 p=

mi

KG

1

t" * I -. *, rG)

(61)

i

lain, tenaga kinetik sistem materi sama dengan tenaga kinetik titik berat dan tenaga kinetik maslng-masing titik ri terhadap titik berat. Dengan perkataan

jumlah mate-

4. Impuls Putar Sistern Mate_ri Impu1s

putar yaitu

momen

daripada impuls didefinisikan sebagai (62)

5=-rxm-r=_rxqv

Jadi impuls putar yang memberi ukuran besar impuls perputaran itu nyatakan oleh vektor Perputaran yang tegak lurus bidang lintasan. Adapun arahnya adalah pada arah bergerak maju-mtmdurnya

perputaran sekrup itu mengikuti perputaran gerakan. hat gambar 1I.2. di bawah ini.

Llntuk

di-

rup' kalau jelasnya li-

s ek

H

1I.2. Vektor impuls putar Gambar

Impuls putar sistem materi didefinisikan sebagai jumlah impul s - impuls putar masing-masing titik materi; atau kalau dirumuskan 11 = ; FI. = I f . X m.V. 1-1 -1 -1

Dari persamaan (51), persamaan (63)

-:-: =rxIm.r+rxLm. 1+r o

II:

(63)

menjadi-

l. (:* gi)*ri(I*l l=)t -

* *. 3 i

. I 0 - 1

i) +I0

I

-

. xm.r I-

I

(64)

I i

33

Suku pertama ruas kanan dapat a

dituliskan

sebagai

I

xiIm.

=ixYI,i =rxfllr

-1

suku kedua ruas kanan adalah

nol

sebab

dari

persamaan (52)

Im.6 . -o1: I Sedangkan suku

ketiga ruas kanan adalah

I Lp 1 i x I m. o , X ill.i 1. = - ;---"'iii

-

0

dengan mengingat persamaan (52) Dengan demikian persamaan

(64) menjadi

*rui*I !i*ri 5=Ic* tUrtt' H_=f

atau

f , (6s)

Persamaan (65) ini mengatakan bahwa impuls putar sistem materi sama dengan impuls putar titik berat (H^) ditambah jumlah ippuls - irnpuls putar masing-masing titik materi terhadap titik berat (H. ('7). rmpuis putar titik berat ialah impuls putar suatu titik rnateri i*g- seol-ah-otah- ada di titik berat yang massanya sama dengan jumlah nassa-masing-masing ti-

tik materi. Kita tinjau sekarang keadaan khusus di mana suatu titik materi berputar sekeliling pusat sistem koordinat dengan jarak titik materi kepusat yang tetap. Llntuk gerakan demikian, besar kecepatannya adalah

v=urr

(66)

Selanjutnya dengan mengingat definisi vektor kecepatan sudut pasal 2, persamaan (63) dan persanaan (66) menghalilkan

u-r

di

bab

I,

H=Ir.xm.v. 1-1 -

-1

=Ir.?xmor.3 L-

1-

) = ( I m.r.-) 11

i x

=(r

m.

ur

3

r. ')g

11

atau

U=I dimanal=I

(67)

q

2

r. adalah apa yang disebut momen 1 1. Untuk sistem mat.erl yang kontinyu, sudah tentu m.

I-

)

I {dn

enersia sistem materi. (68)

J

f

34

Kalau persamaan (67) di atas kita bandingkan dengan persamaan (54) naka I bersesuaian dengan massa sebagaimana impuls putar H bersesuaian dengan impuls L dan kecepatan sudut 6 bersesuaian dengan kecepatan linier

J.

Adapun tenaga kinetik perputaran sistem materi yang hanya berputar sekeliling pusat seperti di atas, diberikan oleh K = L .2 4 m.v. l-1

= L \-

m. (o.r

1'

r.l' )2

)2

= tz (L mir.-)ut )

y=\Iu'

atau

(6e)

yang bersesuaian dengan tenaga

5.

Momen

kinetik gerakan linier K=\

Gaya Sistem Materi

Bersesuaian dengan hukum Neyton II, meneliti apakah yang memberikan !r U. Untuk itu kita perhatikan gambar"tllS di

r=$ri*r)= bawah

ini.

*Y

Gambar

II.3.

Impuls putar dan

Kita

Mv-.

mempunyai dH

AT

d

at(I' x mv) dr d (rY) :*aT E d

IXE

(*Y)

VX

xmv MV

momen

gaya.

#r kita

hendak

35

=rx-'. -dt

d

(mv)

=5*r VXmV=mVXV=0

sebab

Jadi yang memberikan-p"rirU.nL impuls putar terhadap waktu j alah nomen gaya r=rxF. Dengan-demikiafi , analoog dengan hukum Newton ke II, untuk gerakan putar an berlaku hubungan dH

r=#

(70)

Adapun momen gaya sistem materi sewajarnyalah didefinisikan sebagai jumlah momen gaya masing-masing titik materi, yakni

kita

sehingga

:=rli peroleh dI-I.

T'= --"8t --1

_d xi[m.r.) =Ir. dt r-l -I yang dengan mengingat persamaan (51) menj adi

(i* gi .d )*i.

l-_

,i(I .f,

=ixui+i.I:.(*r!,)*r r

tg, Akan tetapi, menurut. r

d (,i . .^l * at ))

)

{t, * $1- r,ril].

fr

(71)

persamaan (52) , suku kedua ruas kanan sama dengan (m. 0.. j = 0. - metult,t perSamaan (52) puta, suku ketiga ruas kanan Lebih 1anjilt

nol

sebab

.gi * $7r,r;l = - ; * $r (,, !, ) = o Dengan demikian, L-

-

atau l=#

-

akhirnya kita tulis pri

* t {g, * $, r,, :, ,J

+- d Ic 'dt

H. -1

(G)

(72)

36

Dengan kata 1ain, momen gaya sama dengan perubahan impuls putar titik berat per satuan waktu ditambah jumlah perubahan impuls-impuls putarper satuan waktu masing-masing titik nateri, terhadap titik berat.

6.

Tumbukan

Gejala tunbukan ialah yang mana tidak ada gaya luar ataupun resultante gaya luar adalah nol. materi rnaka gaya itu hanyalah gaya inKalau ada gaya pada titik-titik teraksi yakni gaya dalam saja. Pertama-tama hendak kita pelajari tumbukan tanpa gaya da1am, misalnya tumbukan antar kelereng, antara bola-bola bilyard, dan lain sebagainya. Kita perhatikan gambar II.4 di bawah ini.

Gambar

II.4.

Perubahan kecepatan sewaktu tumbukan

l, dan i" ialah kecepatan sebelum tilfrbukan-6edangkan ir' dan

Misalkan

titik-titik materi bersama m, dan m, irr adalah kecepatan mereka ' sesudah

tumbukan

Dari persamaan (52) dengan mendiferensialkannya ke t, kita peroleh

=-*rp, ^rir=0ataurrp, 'ryry& *r i r, * ^r p z' = o atau *, i, ' - - ^,

*r

i,

U3)

+

pr,

(74)

NNNA/

(73) adalah untuk yang sebelum tumbukan dan persamaan (74) adalah untuk yang sesudah tumbukan. Persamaan (73) memperlihatkan bahwa dilihat dari titik berat, m, dan m, saling bertumbukan berhadapan, sedangkan persamaan (74) menunjukkan bah wa dilihat dari titik berat kedua titik materi itu terpelanting dengai arah yang berlawanan. Untuk jelasnya kita perhatikan gambar II.5. diba-

di

mana persamaan

wah

ini.

--l

1

37

d,, * G,/

-lC 2 r'../'--N., 2

rn

2

II.5. titik berat. dari dilihat Garnbar

Tumbukan

berat, Kecuali itu, dilihat dari titik berat, titik materi yang lebih bergerak lebih lambat. (73) selanjutnya dengan memperhatikan harganya saj a, persanaan-Dersamaan dan (74) memberikan

*1 o1=*2

62

*1 ir'

o

=

^Z

di mana ;r, p.r, pr' , dan tif. Kemudian diri P6rsamaan

(

7s)

(76)

2' posiI 6, adalah besaran-besaran berharga (s 6) kita peroleh

Ml = t"tup sebab tiada gaYa luar, Yakni F = 0' tenaga, di mana dalam Dengan demikian, a"ngir'mengifrgat hukum kekekatan (61) ha1 tumbukan di atas, tenaganya hanya tenaga kinetik saja' persamaan menj

adi

2

. -. 4, ir' * ', m2 i22 = ', ^, (01') +\nr(02 yang

lalu

t-2 )

menghasilkan

*1 (6r * or'l to,

-ir')

= -*2 G,

* 'or'lto, -

Adapaun persamaan (75) dan persamaan rangkan keduanYa, memberikan

,1 (0, * 6t', = ^2 (bz * *1 fo, -

ot'l = ^2 (i,

-

p2

r)

p2

')

(76)

o, ')

(77)

dengan menj umlahkan dan mengu(78 )

(7e)

38

Akhirnya persamaan .a

0,r_tatau

0.

|

(77)

dan persamaan (78) menghasilkan

_a

=

- l9z -

Qz')

pl.*pz -6r'*02'

sedangkan persamaan

91

(80)

(77) dan persamaan (79) menghasilkan

* olt= - ({,r* or')

(81)

relatif (yakni kecepatan nl dilihat l".ri ,2. ataupun kecepatan *Z 9ilihat. dari mr) adalah tetap artil nya sesudah tuftbukan sama dengan sebelum tumbukan. Sedangkan persamaan (81) tidak cocok dengan kenyataan, sebab p, QZ,0l,t dan pr' semuanya harus berharga positif. Lebih-lanjut, dari persamaan (75) dan (76) kita dapatkan Persamaan (80) mengatakan bahwa kecepatan

'p2

n

'1

.t -p.

=

I

:---ip2

nn,

atau

tl

'rl ..t -= p^ LZ

p'.

yang berarti aa

ot

o, Q2 .-.

-Qr'

_*

.Q2'

dan

P2

Dengan mengingat persamaan hasi lkan

(80),

6t*P, pi

6tt

* ,r' p1

persamaan-persamaan

di atas

akan meng-

QZ dan g1t = 91 Jadi dilihat dari titik berat G, besar kecepatan masing-masingtitikmateri tidak berubah sewaktu tumbukan, dan hanya arahnya sA.ja yang berQ2' =

ubah. Tumbukan di mana hukum kekekalan tenaga mekanik dipenuhi, disebut tumbukan elastis, sedang sebaliknya disebut tumbukan non elastis. Dalam alam, tumbukan yang benar-benar elastis tidak ada. Tidak elastis-

nya tumbukan, disebabkan oleh desipasi tenaga menjadi panas atauboleh jadi menjadi tenaga deformasi (lekukan dan lain sebagainya) dari pada benda-benda yang bertumbukan. Tidak elastisnya tumbukan menyebabkan tenaga kinetik total sesudah tumbukan, lebih kecil daripada tenaga kinetik total sebelum tumbukan, sehingga persamaan (80) menjadi

6r'*6r'(6r.', Besaran

P1t * Q2 e = ;------=Pl * QZ

(82 )

39

ketidak elasti-san tumbukan dan disebut koefisien res-

memberikan ukuran

titus i. .Ie 1as lah

bahna

0(e) seafah dengan p, (*c.,cJ. -i Dengan aEfrit), ir(*u>), dan dalam persamaan (106) haril3 dinyatltan dalamhu2, Gc't), maka I-r(+cn) tiungannya dengan'i, (*r>). Hubungan ini kita dapati dari definisi titik berat

* *ziz

'rir

r=

-T-yang 1a1u memberikan mlir (*czl) *

i (+r,; Kemudian,

dari

f1 yang

=

gambar =

berarti i,

II.9, kita lihat

r+o -U :

=f+

^zlzGcn)

IU

o1

hubungan

(107)

49

yang

berarti

I

i,

dan

*Pr

f=

-I

(+

u>) = i_ (*.rr) . P, (*ca) _.

(108)

Akhirnya dengan eliminasi I"(+A) dan ! (*cr->), persarnaan-persamaan (106), (107), dan (Ios) di atas mEfrghasilkan fiubungan antara i1(-c.'o) ' i, (*cz:) dan

!t (*cn)

dalam bentuk

l1(*o) =f, (*ca).

[, +rtGcz>)

(1os)

,rJ ,*urung memberikan t[ dan r[' agram gambar II.10 di bawah ini. Persanaan (109)

dengan pertolongan

(+

tu)

o.-r(+ tu) sin

cos

'

Persamaan (110)

tp

tQ

Gambar II.l"0. Llubungan antara q d* Et

Dari diagram gambar II.10 di atas terlihat tan (tr

di-

bahwa

8r Ga) sin + r{-u',) * P r Ga) cos r{ tQ

=

ini dapat juga dituliskan

t3:: 0r , =

(

110)

(

111)

sebagai

sin Q *1 r!\.a) _V '._ + cos r[ 9t (*r.)

50

(--l lehih disederhanakan lagi bilamana pern yataan 1r dapat disederhanakan. p, (+cr) Ljntuk ini kita ingat akan tetapnya kecepatan relatif yang dinyatakan oleh persamaar (80) yang dalam hal ini menjadi yang dapat

tr(-a)

g, (+