Mejia, Clara - Algebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones Clara E. Mejía Laverde

Primera edición, febrero de 2006 Todos los derechos reservados. No se permite la reproducción, archivo o transmisión total o parcial de este texto mediante ningún medio, ya sea electrónico, mecánico, óptico, de fotorreproducción, memoria o cualquier otro sin permiso de los editores Ude@. Impreso en Medellín, Colombia. Imagen de la portada Fotografía de la escultura Fuente ceremonial La Fuente ceremonial fue la obra ganadora del concurso promovido por el municipio de Medellín para la celebración de los 200 años de la Universidad. Esta pieza en ferroconcreto, enchapada en granito, está inspirada en los sitios rituales y hace parte de una serie que su autor, el maestro Germán Botero Giraldo, viene trabajando desde 1990 con el tema de lo prehispánico. La forma circular invita a la reunión y a la comunión cósmica presente en las culturas indígenas. El elemento vertical es un hacha de la cual fluye agua, convirtiéndola en fuente. «El agua está presente como elemento refrescante, de sonido, brillo y vida, así como los árboles dentro de la escultura, que crecerán y crearán sombra; más que una escultura, es un espacio escultórico, un sitio para que la gente lo habite», dice su autor. La Fuente ceremonial, situada junto a la entrada occidental de la calle Barranquilla, forma parte de las grandes obras que embellecen el campus universitario y refuerza el ideal de hacer de éste un espacio abierto a la cultura, la ciencia y el conocimiento.

Autora

Acerca de la

autora

Clara E. Mejía Laverde

Clara Elena Mejía Laverde Ingeniera industrial (1977) de la Universidad Nacional y magíster (1996) en Educación (Pensamiento Lógico-Matemático) de la Universidad de Antioquia. Actualmente es profesora titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Antioquia.

Como estudiante del programa Ude@, usted es el centro del modelo educativo y puede controlar el proceso de aprendizaje mediante la organización del tiempo alrededor de sus intereses. La autonomía, la disciplina, la creatividad y el trabajo en equipo son características que le ayudarán en su formación, para solucionar problemas reales de la sociedad, recurriendo al método de la ingeniería. La Universidad de Antioquia, a través del programa Ude@, ha puesto a su disposición contenidos académicos en diferentes medios con el fin de facilitarle el aprendizaje mediante las tecnologías de informática y telecomunicaciones clásicas y modernas: Radio Televisión Impresos Web Multimedia Videoconferencias

El texto Ude@ En el modelo Ude@ los conocimientos son aportados por cada medio en igualdad de importancia y con las fortalezas propias de cada uno de ellos, pero el texto desempeña un papel fundamental en el aprendizaje ya que es el que más diversidad ofrece en términos de funcionalidad y cantidad de contenidos. El texto Ude@ no sólo permite analizar con más detalle y profundidad los contenidos de cada curso, sino que facilita en mayor medida la realización de ejercicios, tareas y autoevaluaciones.

Estructura del texto Ude@ La estructura del texto es lineal, con una progresión gradual de cada tema, lo cual hace más fácil la transmisión del contenido de una manera lógica. La división del texto está dada por capítulos que, a su vez, agrupan módulos (sesiones de clase). Al empezar cada capítulo se encuentra un “Contenido breve” en la columna externa, que incluye una lista del número y el título de los módulos que componen el capítulo. Por su parte cada módulo contiene, en su primera página, un índice temático del contenido, objetivos específicos, preguntas básicas y una introducción, que le guiarán en el proceso de aprendizaje sobre el tema en particular de cada sesión de clase.

Cómo usar este libro

Los iconos y la interrelación de medios El material Ude@ ha sido producido de manera integral, teniendo como objetivo primordial el autoestudio. Por tanto, la producción de los contenidos se desarrolla en los diferentes formatos (radio, televisión, web, multimedia, videoconferencias), con enlaces entre los mismos. La esencia de este enlace está dada por los iconos Ude@. Los iconos, como representaciones gráficas de la realidad, serán los elementos gráficos que le ayudarán a guiarse en su navegación por los diferentes medios. El espacio gráfico de cada página del texto está dividido en dos columnas: en la interior, más ancha, podrá observar todo lo relacionado con el desarrollo del contenido y las correspondientes figuras (gráficas, fotos, etc.), mientras que en la exterior encontrará las llamadas a otros medios. Estas llamadas permiten que haya interrelación y retroalimentación entre los mismos.

Los iconos de radio, televisión, multimedia, mapa conceptual, videoconferencia o web le indicarán la ruta a seguir. Por ello es importante que sepa que sobre el tema que está estudiando en el módulo impreso, también hay material disponible en otros medios, y que ese material representa valor agregado puesto que el contenido de los diferentes formatos no se repite sino que se complementa.

El mapa conceptual Al comienzo del texto Ude@ usted encontrará un mapa conceptual del curso, que lo orientará en el universo temático de la disciplina. Esta herramienta pedagógica hace posible la integración conceptual, jerárquica y funcional, en forma gráfica y espacial, de todos los contenidos.

Sugerencias para el estudiante Ude@ Es importante que durante su proceso de aprendizaje se pregunte constantemente si de verdad comprendió el significado de los términos y su uso. Una buena manera de comprobarlo es explicándole el concepto a otra persona. No dude en solicitar ayuda a su tutor. Antes de iniciar el estudio de un capítulo lea el contenido breve y la presentación. Las preguntas básicas de cada módulo le ayudarán a valorar la comprensión de los nuevos conceptos presentados y de la temática tratada a lo largo del mismo. El estudio de los ejemplos intercalados en los bloques de texto y la solución de los ejercicios incrementarán sus habilidades en la solución de problemas reales. Tome apuntes, plantéese preguntas y trate de resolverlas.

Álgebra Lineal

Contenido

Capítulo 1: Espacios vectoriales Módulo 1 Definición y propiedades del espacio vectorial

21

Ejercicios Capítulo 1, módulo 1

33

Módulo 2 Subespacios

35

Ejercicios Capítulo 1, módulo 2

40

Módulo 3 Combinación lineal y subespacio generado

43

Ejercicios Capítulo 1, módulo 3

49

Módulo 4 Independencia lineal

51

Ejercicios Capítulo 1, módulo 4

58

Módulo 5 Bases y dimensión

61

Ejercicios Capítulo 1, módulo 5

69

Módulo 6 Subespacios asociados con una matriz

71

Ejercicios Capítulo 1, módulo 6

80

Módulo 7 Coordenadas y cambio de base

83

Ejercicios Capítulo 1, módulo 7

93

Capítulo 2: Ortogonalidad Módulo 8 Bases ortonormales y proyecciones en \

99 n

Ejercicios Capítulo 2, módulo 8

113

Módulo 9 Método de aproximación por mínimos cuadrados

115

Ejercicios Capítulo 2, módulo 9

123

Módulo 10 Espacios con producto interno

125

Ejercicios Capítulo 2, módulo 10

135

Capítulo 3: TTransformaciones ransformaciones lineales Módulo 11 Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales

139

Ejercicios Capítulo 3, módulo 11

150

Módulo 12 Propiedades de las transformaciones lineales. Núcleo e imagen

153

Ejercicios Capítulo 3, módulo 12

161

Módulo 13 El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales

163

Ejercicios Capítulo 3, módulo 13

178

Módulo 14 Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles

183

Ejercicios Capítulo 3, módulo 14

193

Módulo 15 Isometrías

195

Ejercicios Capítulo 3, módulo 15

203

Tabla de contenido

Capítulo 4: Valores cara cterísticos, vectores característicos, característicos característicos,, diagonalización y formas canónicas Módulo 16 Valores y vectores característicos

207

Ejercicios Capítulo 4, módulo 16

225

Módulo 17 El problema de la diagonalización

227

Ejercicios Capítulo 4, módulo 17

233

Módulo 18 Aplicaciones de la teoría de valores y vectores cartacterísticos

235

Ejercicios Capítulo 4, módulo 18

248

Módulo 19 Forma canónica de Jordan

251

Ejercicios Capítulo 4, módulo 19

260

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Módulo 20 Diagonalización ortogonal

265

Ejercicios Capítulo 5, módulo 20

271

Módulo 21 Formas cuadráticas y secciones cónicas

273

Ejercicios Capítulo 5, módulo 21

288

Módulo 22 Aproximación de valores y vectores característicos

289

Ejercicios Capítulo 5, módulo 22

299

Apéndice

301

Respuestas

305

Álgebra Lineal

Prólogo

El objetivo al redactar este texto ha sido desarrollar las ideas básicas del álgebra lineal y mostrar algunas aplicaciones interesantes, haciendo un balance para no recargar demasiado el desarrollo teórico y mantener un equilibrio entre la abstracción y la aplicación. Así, algunas demostraciones de teoremas que resultan fácilmente accesibles a los estudiantes se dejan propuestas como ejercicios, y otras, demasiado dificiles para el nivel de un curso introductorio, no se presentan. El hilo conductor en la presentación de los temas ha sido la solución de los problemas básicos del álgebra lineal, enunciados por el profesor William Perry, así: 1. El problema de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. 2. El problema de la construcción de una base para un espacio vectorial. 3. El problema de la construcción de una matriz que represente una transformación lineal. 4. El problema de los valores y los vectores característicos. 5. El problema de la diagonalización.

De éstos, el problema de la «solución de un sistema de ecuaciones lineales» ya fue tratado en el texto de Geometría Vectorial, en el cual se hace una introducción al álgebra lineal. Es importante entonces hacer notar que en este texto no hay un desarrollo completo del álgebra lineal básica, sino que continúa la exposición de los temas ya comenzada en el curso anterior y por este motivo no se tratan los temas de sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. El problema de la «construcción de una base para un espacio vectorial» se trata en el capítulo 1 sobre espacios vectoriales, y en el capítulo 2, ortogonalidad, donde se introduce un algoritmo para la construcción de una base ortonormal en un espacio vectorial. El tercer problema, la «construcción de una matriz que represente una transformación lineal», se resuelve en el capítulo 3 sobre transformaciones lineales, y los problemas de «valores y vectores característicos» y «diagonalización» son tratados en los capítulos 4 y 5.

En la actualidad existen muchos programas de computador que permiten desarrollar una amplia variedad de tópicos y resolver gran cantidad de problemas que de otra forma consumirían mucho tiempo y probablemente inducirían a cometer errores, dada la magnitud de los cálculos que se tienen que realizar. El lenguaje de computación MATLAB es un excelente programa, fácil de usar, y calificado para trabajar problemas de álgebra lineal. Este libro no enseña el manejo de ese programa; sin embargo, en la multimedia disponible para el curso se plantean algunos ejercicios utilizando esta herramienta. Agradezco cualquier sugerencia que pueda contribuir a mejorar posteriores ediciones de este texto. Todas ellas pueden enviarse a: [email protected]. La autora

1

Capítulo 1 Espacios vectoriales

Módulo 1 Definición y propiedades del espacio vectorial Ejercicios Módulo 1

El poder lanzar al espacio un trasbordador es el fruto de años de trabajo y un triunfo de la ingeniería de sistemas de control. Matemáticamente, las señales de entrada y de salida de un sistema de control son funciones y es importante que estas señales puedan sumarse y multiplicarse por escalares. Estas dos operaciones con funciones tienen propiedades algebraicas análogas a las operaciones de sumar vectores en \ n y multiplicar un vector por un escalar. Por esta razón, el conjunto de todas las posibles entradas (funciones) se llama espacio vectorial.

Módulo 2 Subespacios Ejercicios Módulo 2 Módulo 3 Combinación lineal y subespacio generado Ejercicios Módulo 3

En el desarrollo de la geometría vectorial hemos identificado los vectores con los elementos de \ 2 y \ 3 escribiéndolos como parejas o ternas ordenadas de números reales, respectivamente; una vez hecho esto surge el problema de generalizar este concepto y tener vectores como n-tuplas, conjuntos ordenados de n componentes en un espacio de n dimensiones. Ahora, ¿por qué querríamos hacer esto? La respuesta puede ser tan simple como decir que la mayoría de los problemas de la vida real involucran más variables que sólo dos o tres. Es claro que cuando generalizamos el concepto de vector a n dimensiones ya no tenemos la intuición geométrica que desarrollamos para el plano ( \ 2 ) y el espacio (\3 ), pero podemos conservar las propiedades algebraicas.

Nos proponemos definir una estructura algebraica llamada espacio vectorial, donde se pueden reunir los conjuntos \2 , \3 y, en general, \n , además de otros conjuntos tales como las matrices y los polinomios. Con esta abstracción podemos

Módulo 4 Independencia lineal Ejercicios Módulo 4 Módulo 5 Bases y dimensión Ejercicios Módulo 5 Módulo 6 Subespacios asociados con una matriz

Ejercicios Módulo 6

identificar los vectores como los elementos de un espacio vectorial y en esta forma tratar las matrices o los polinomios como vectores.

Módulo 7 Coordenadas y cambio de base

Dentro de los espacios vectoriales podemos reconocer conjuntos que guardan en su interior la estructura de espacio vectorial, llamados subespacios. Una vez establecida la estructura desarrollamos los conceptos de combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión, los cuales constituyen los «ladrillos» para la construcción de espacios vectoriales. Ubicamos como problema central en este capítulo la determinación de una base para un espacio vectorial. Otros elementos que aportan a la solución de este problema básico se presentan en el estudio de los subespacios asociados con una matriz y en el establecimiento de coordenadas y cambio de base.

Ejercicios Módulo 7

20

1

Definición y propiedades del espacio vectorial Contenidos del módulo El matemático y lingüista alemán Hermann Grassmann (1809-1877) fue el primero en definir un espacio vectorial n dimensional y la independencia lineal.

1.1 Ejemplos introductorios 1.1.1 Las fuerzas que pueden actuar sobre un punto 1.1.2 Las parejas de números reales ( \ 2 ) 1.2 Definición 1.3 Ejemplos 1.4 Propiedades

Objetivos del módulo 1. Construir la estructura de espacio vectorial. 2. Identificar como vectores todos aquellos elementos de conjuntos que con las operaciones dadas verifiquen los axiomas de la estructura. 3. Aprender el manejo algebraico dentro de un espacio vectorial.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un espacio vectorial? 2. ¿Qué propiedades deben cumplir las operaciones definidas de suma y producto por un escalar? 3. ¿Cuáles son los espacios vectoriales más usuales? 4. ¿Qué propiedades tienen el módulo del espacio y el inverso aditivo de cada vector? 5. ¿Qué otras propiedades algebraicas se desprenden de la definición de espacio vectorial?

Introducción Iniciamos este módulo presentando algunos ejemplos en los cuales observamos propiedades comunes que serán los puntos de partida o axiomas para la definición de espacio vectorial. Una vez establecido este concepto se ilustra con otros ejemplos y se extraen las principales propiedades algebraicas de los espacios vectoriales. Vea el módulo 1 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

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Capítulo 1: Espacios vectoriales

1.1 Ejemplos introductorios 1.1.1 Las fuerzas que pueden actuar sobre un punto

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Propiedades de los espacios vectoriales»

Consideremos un punto material P y las fuerzas que pueden actuar sobre él. Si F1 y F2 son dos fuerzas que actúan sobre P, se puede encontrar una fuerza F

resultante de F1 y F2 con la propiedad de ejercer sobre P la misma acción que F1 y F2 actuando simultáneamente. Así que tenemos una fuerza F, que resulta de

sumar F1 y F2 ( F = F1 + F2 ) . Veamos qué propiedades tiene esta operación. Escuche la biografía de Hermann Grassmann en su multimedia de Álgebra Lineal

Representemos F1 y F2 por vectores cuya dirección y sentido corresponden a los de las fuerzas dadas y su longitud (en una escala determinada) mide la magnitud; entonces, la resultante queda determinada por la diagonal del paralelogramo, dos de cuyos lados son los segmentos correspondientes a F1 y F2 (figura 1.1).

Figura 1.1

Sea T el conjunto de todas las fuerzas que actúan sobre P; entonces, podemos decir que: i.

Si F1 y F2 pertenecen a T, F1 + F2 pertenece a T. Si sobre P tenemos tres fuerzas distintas F1 , F2 y F3 , podemos calcular su resultante de dos formas distintas: ( F1 + F2 ) + F3 o bien F1 + ( F2 + F3 ). Es decir, calculando primero F = F1 + F2 y luego la resultante de F con F3 , o bien calculando primero F ′ = F2 + F3 y luego la resultante de F1 y F ′. Una representación geométrica nos muestra que (figura 1.2):

ii.

22

( F1 + F2 ) + F3 = F1 + ( F2 + F3 ).

Módulo 1: Definición y propiedades del espacio vectorial

Figura

1.2

Por otra parte, existe una fuerza de magnitud cero, fuerza nula, que podemos designar 0 y tiene la propiedad de que: iii.

F + 0 = 0 + F = F.

Ahora, si llamamos la opuesta de F a una fuerza F ′ que tiene la misma magnitud y dirección que F pero sentido contrario, encontramos que la resultante de F y F ′ es cero, es decir: iv.

Para cada F existe F ′, tal que F + F ′ = 0. Esta F ′ se llamará − F . Por último, es claro que el orden en que se consideran las fuerzas no altera la resultante, esto es:

v.

F1 + F2 = F2 + F1 .

Veamos ahora otra operación: si F es una fuerza y α un número real, llamamos α F la fuerza que tiene la misma dirección de F, su magnitud es α veces la de F y su sentido es el mismo de F si α es positivo, y opuesto a F si α es negativo. Hemos entonces definido una operación cuyos «factores» son una fuerza y un número real y su resultado es otra fuerza. Esta operación se dice que es externa ya que hace intervenir un elemento (el número α ) que no pertenece al conjunto T. Veamos algunas propiedades de esta operación: vi.

Si α es un número real y F ∈ T , entonces α F ∈ T . Razonando geométricamente, podemos verificar que (figura 1.3): Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

23

Capítulo 1: Espacios vectoriales vii.

α ( F1 + F2 ) = α F1 + α F2 .

Figura 1.3

Aplicando la definición, se puede comprobar que: viii.

(α + β ) F = α F + β F .

ix.

α (β F ) = (αβ ) F .

x.

1· F = F .

1.1.2 Las parejas de números reales ( \2 ) Definimos en \ 2 una operación binaria interna (es decir, los elementos que intervienen en la operación pertenecen a \ 2 ) que llamaremos suma, así: ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ,

o sea que la suma de dos parejas de \ 2 es otra pareja de \ 2 ; se cumple entonces que: i.

Si ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ) ∈ \ 2 , entonces ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) ∈ \ 2 . Hay también una ley asociativa, es decir, (( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )) + ( x3 , y3 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) + ( x3 , y3 ) = ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ).

Por otra parte, ( x1 , y1 ) + [( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 )] = ( x1 , y1 ) + ( x2 + x3 , y2 + y3 ) = ( x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 ),

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Módulo 1: Definición y propiedades del espacio vectorial luego ii.

(( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )) + ( x3 , y3 ) = ( x1 , y1 ) + (( x2 , y2 ) + ( x3 , y3 )).

Existe, además, un elemento de \ 2 que es el (0, 0) tal que: iii.

( x, y ) + (0, 0) = ( x, y ) para todo ( x, y ) en \ 2 .

Así mismo, para cada par ( x, y ) podemos tomar el par (− x, − y ), de modo que: iv.

( x, y ) + (− x, − y ) = (0, 0).

Finalmente, hay una ley conmutativa, puesto que: ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x2 + x1 , y2 + y1 ) = ( x2 , y2 ) + ( x1 , y1 ).

Entonces, v.

( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 ) = ( x2 , y2 ) + ( x1 , y1 ).

Definimos ahora una segunda operación, externa, entre un número real y un par así:

α ⋅ ( x, y ) = (α x, α y ), 2 cuyo resultado es un elemento de \ ; con esta operación se verifican las siguientes propiedades:

vi.

Si α ∈ \ y ( x, y ) ∈ \ 2 , entonces α ( x, y ) ∈ \ 2 . Veamos ahora que:

vii.

α (( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )) = α ( x1 , y1 ) + α ( x2 , y2 ). Demostración

α (( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )) = α ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = (α ( x1 + x2 ), α ( y1 + y2 )) = (α x1 + α x2 , α y1 + α y2 ).

De otro lado,

α ( x1 , y1 ) + α ( x2 , y2 ) = (α x1 , α y1 ) + (α x2 , α y2 ) = (α x1 + α x2 , α y1 + α y2 ). viii.

(α + β )( x, y ) = α ( x, y ) + β ( x, y ).

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

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Capítulo 1: Espacios vectoriales Demostración (α + β )( x, y ) = ((α + β ) x, (α + β ) y ) = (α x + β x, α y + β y) y

α ( x, y) + β ( x, y) = (α x, α y) + ( β x, β y) = (α x + β x, α y + β y). ix.

α ( β ( x, y)) = (αβ )( x, y). Demostración

α ( β ( x, y)) = α (β x, β y) = (αβ x, αβ y) y (αβ )( x, y ) = (αβ x, αβ y ).

x.

1( x, y ) = ( x , y ).

Demostración 1( x, y ) = (1x,1 y ) = ( x, y ).

1.2 Definición Los ejemplos anteriores nos sirven para obtener un conjunto de propiedades comunes a ellos. Todos los resultados que podamos deducir a partir de dichas propiedades serán válidos en los ejemplos realizados y en cualquier otro que goce de las mismas propiedades. A estas propiedades comunes las llamamos axiomas en la siguiente definición. Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos llamados vectores con dos operaciones, suma y producto por un escalar, que satisface los siguientes axiomas:

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i.

Si a y b son elementos de V, entonces a + b pertenece a V; o de otra forma, la suma es una operación cerrada en V.

ii.

(a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b, c ∈ V .

iii.

Existe un elemento 0 en V tal que a + 0 = 0 + a = a para toda a ∈ V .

iv.

Para cada a ∈ V existe un elemento –a ∈ V tal que a + (−a) = 0.

v.

a + b = b + a para todo a, b en V .

vi.

Si a ∈ V y α es un escalar (α ∈ \ o α ∈ C), entonces α a ∈ V . Es decir, V es cerrado bajo la operación producto por un escalar.

vii.

α (a + b) = α a + α b para todo escalar α y para todo a y b ∈ V .

Módulo 1: Definición y propiedades del espacio vectorial viii.

(α + β )a = α a + β a para todo α , β escalares y a ∈ V .

ix.

α ( β a) = (αβ ) a para todo α , β escalares y a ∈ V .

x.

1a = a para todo a ∈ V .

Nota: cuando los escalares son números reales, decimos que se trata de un espacio vectorial real, y en caso de que sean números complejos hablamos de un espacio vectorial complejo. En el axioma viii debe notarse que el signo + al lado izquierdo de la igualdad se refiere a la suma en el conjunto de escalares, y el signo + al lado derecho denota la suma en el conjunto de vectores V.

1.3 Ejemplos 1.

2.

\n , con las operaciones de suma y producto por un escalar definidas usualmente, tiene estructura de espacio vectorial. n n −1 Sea V = Pn = { P / p ( x ) = an x + an −1 x + ... + a1 x + a0 , ai ∈ \} el conjunto

de los polinomios de grado menor o igual que n. El elemento 0 (neutro) en Pn es 0( x ) = 0 x n + 0 x n −1 + ... + 0 x + 0. Si P ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 y Q ( x ) = bn x n + bn −1 x n −1 + ... + b1 x + b0 ,

entonces ( P + Q) ( x) = P ( x) + Q( x) = ( an + bn ) x n + (an −1 + bn −1 ) x n −1 + ... + ( a1 + b1 ) x + (a0 + b0 ).

Se ve claramente que la suma de dos polinomios de grado menor o igual que n es otro polinomio de grado menor o igual que n. Se pueden comprobar las propiedades ii y v a x con: (α p ) ( x) = α ( p ( x)) = α an x n + α an −1 x n −1 + ... + α a1 x + α a0 , α p ∈ Pn .

− p ( x) = − an x n − an −1 x n −1 + ... − a1 x − a0 p( x) + (− p( x)) = 0 ( x). 3.

Si V = M m , n (conjunto de matrices m por n) con la suma y la multiplicación escalar usuales, es fácil verificar que M m , n es un espacio vectorial con 0 Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

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Capítulo 1: Espacios vectoriales como la matriz cero de M m , n . Si A = ( aij ) ( m , n ) , entonces − A = ( − aij ) ( m , n ) , − A ∈ M m,n .

4.

Sea S3 el conjunto de matrices invertibles de 3 × 3 . Se define la suma

A ⊕ B por A ⊕ B = AB. Si A y B son invertibles, entonces AB es invertible y se cumple i. El axioma ii es la ley asociativa para la multiplicación de matrices. Los axiomas iii y iv se satisfacen con 0 = Ι 3 y − A = A−1 . Sin embargo, AB ≠ BA y el axioma v no se cumple. Por tanto, S3 no es un espacio vectorial. 5.

Sea V = C[a, b] = conjunto de funciones continuas de valores reales definidas en el intervalo [a, b] . Se define ( f + g ) ( x) = f ( x) + g ( x) y (α f )( x) = α [ f ( x)].

Como la suma de funciones continuas es continua, el axioma i se cumple; de la misma forma el producto de un escalar por una función continua también es una función continua (propiedad vi). Los otros axiomas se verifican fácilmente con 0, la función 0 y (–f)(x) = –f (x). Luego C[a, b], con las operaciones definidas, tiene estructura de espacio vectorial. 6.

Sea V el conjunto de los números reales ( \) con las operaciones x ⊕ y = x − y (⊕ es la resta ordinaria) y la multiplicación por un escalar como la multiplicación ordinaria. Veamos si V es un espacio vectorial.

x ⊕ y y α x son números reales, lo cual verifica las condiciones i y vi de la definición. Veamos qué pasa con la propiedad conmutativa. Sea x = 2 e y = 3.

x ⊕ y = 2 − 3 = − 1, y ⊕ x = 3 − 2 = 1, luego

x ⊕ y ≠ y ⊕ x. Además las propiedades ii, iii y iv tampoco se cumplen. Las propiedades vii, ix y x se cumplen, pero la propiedad viii no; veamos por qué: Sea α = 2, β = 3, x = 4. (α + β ) x = (2 + 3)4 = 5 × 4 = 20,

28

Módulo 1: Definición y propiedades del espacio vectorial pero

α x ⊕ β x = 2 × 4 − 3 × 4 = 8 − 12 = − 4. 7.

Sea V = {( x, y, z ): ax + by + c z = 0, a, b, c ∈ \} . Esto es, V es el conjunto de puntos en \ 3 que están en el plano con vector normal (a, b, c) y que pasa por el origen. Veamos si se cumplen las dos propiedades de cerradura, es decir, i y vi. Sean ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 ) elementos de V; veamos si ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) ∈ V .

Como ( x1 , y1 , z1 ) ∈ V ,

(1)

ax1 + by1 + cz1 = 0.

De igual forma, ax2 + by2 + cz2 = 0.

(2)

Sumando y factorizando (1) y (2) obtenemos a( x1 + x2 ) + b( y1 + y2 ) + c( z1 + z2 ) = 0.

Esta expresión significa que ( x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) ∈ V . Ahora observemos qué sucede con α ( x1 , y1 , z1 ), α ∈\. a x1 + b y1 + c z1 = 0,

α (a x1 + b y1 + c z1 ) = α 0 = 0, a α x1 + b α y1 + c α z1 = 0. Por tanto, (α x1 , α y1 , α z1 ) ∈ V ,

esto es,

α ( x1 , y1 z1 ) ∈ V . Además, si α = 0, se tiene que (0, 0, 0) ∈ V , y con α = − 1 tenemos que − ( x1 , y1 z1 ) ∈ V ,

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

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Capítulo 1: Espacios vectoriales con lo cual verificamos las propiedades iii y iv. Las demás propiedades se comprueban fácilmente aplicando las propiedades de los números reales. 8.

El siguiente ejemplo nos muestra que no necesariamente la suma vectorial ha de estar relacionada con la suma ordinaria, y que el vector cero, 0, no tiene que relacionarse con el número real 0. Sea V = {x / x∈\, x > 0} . La suma y la multiplicación escalar se definen así: x⊕y = xy

y α : x = xα , α ∈ \.

Veamos que V, junto con estas operaciones, es un espacio vectorial. Comprobemos inicialmente las dos propiedades de cerradura i y vi. Sean x, y ∈ V ; entonces, x ⊕ y = x y ∈ V . El producto de dos reales positivos es un real positivo. Ahora, sean α ∈ \ y x ∈ V ; entonces, α : x = xα . Como x es un real positivo, al elevarlo a cualquier potencia real se obtiene un número real positivo. Ejemplifiquemos algunas sumas y multiplicaciones escalares en V. 2

3 ⊕ 4 = 3 × 4 = 12 4 ⊕ 8 = 32...

:

↓ Escalar

↓ Vector

1 2 ↓

4 = 4−1 2 =

−

:

Escalar „

3 = 32 = 9

1 1 = 12 4 2

↓ Vector

Comprobemos la propiedad asociativa. Sean x, y, z, en V. Entonces, (x ⊕ y ) ⊕ z = (x y )z = x(y z ) = x ⊕ (y ⊕ z ). ↓

„

↓

Definición de

Propiedad asociativa

la operación

del producto entre reales

Idéntico aditivo: Encuentre 0 ∈ V tal que

x ⊕ 0 = x, x 0 = x. Luego 0 = 1. Es decir, el número real positivo 1 es el idéntico aditivo o «cero» para este espacio.

30

Módulo 1: Definición y propiedades del espacio vectorial „

Inverso aditivo. Para todo x∈V , − x debe satisfacer que x ⊕ (−x) = 0,

luego x(−x) = 1. Así que − x =

Como x > 0,

1 . x

1 > 0 y, por tanto, x

−x ∈ V . Las demás propiedades las dejamos como ejercicio.

1.4 Propiedades Teorema 1 Sea V un espacio vectorial. Entonces: i.

El elemento neutro, 0, de V es único.

ii.

Para todo x ∈ V existe un único x′ ∈ V tal que x + x′ = 0.

iii.

α 0 = 0 para todo escalar α .

iv.

0 x = 0 para todo x ∈ V .

v.

Si α x = 0, entonces α = 0 ó x = 0 (o ambos).

vi.

( −1) x = − x para todo x ∈ V .

Demostremos las partes i, iii y vi del teorema. i.

Supongamos que 0 y 0′ son elementos neutros de V; entonces, 0 + 0′ = 0′ y 0′ + 0 = 0 ,

propiedad iii

luego 0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0.

propiedad v

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

31

iii.

vi.

0 + 0 = 0,

propiedad iii

α ( 0 + 0) = α 0,

multiplicando por α

α 0 + α 0 = α 0,

propiedad vii

(α 0 + α 0) + (– α 0) = α 0 + (– α 0),

(suma a ambos lados – α 0)

α 0 + (α 0 + (−α 0)) = 0,

propiedades ii y iv

α 0 + 0 = 0, α 0 = 0.

propiedad iv propiedad iii

1 + (−1) = 0, 0 = 0 x = [1 + ( − 1)]x = 1x + ( − 1) x = 0, 1x + ( − 1) x + ( − x ) = − x , ( x + ( − x )) + ( − 1) x = − x , 0 + ( − 1) x = − x , ( − 1) x = − x.

¿Qué propiedades se aplican en los pasos de la demostración?

32

Módulo 1 1.

Verifique con detalle que \ n es un espacio vectorial.

2.

Verifique con detalle que Pn es un espacio vectorial.

3.

En el ejemplo 7, verifique los axiomas ii, v, vii, viii, ix y x de la definición de espacio vectorial.

4.

Verifique con detalle que M mn es un espacio vectorial.

5.

En el ejemplo 8 verifique el cumplimiento de los axiomas v, vii, viii, ix y x de la definición de espacio vectorial.

En los ejercicios 6 a 16 determine si el conjunto dado, junto con las operaciones dadas, es un espacio vectorial. Si no lo es, mencione al menos un axioma de la definición que no se cumple. 6.

3 Sea V = {( x, y , z ) ∈ \ / z = 0, x, y ∈ \} con las operaciones usuales de \ 3 .

7.

Sea V = \, con las operaciones ordinarias de suma y multiplicación en \.

8.

Sea V el conjunto de matrices simétricas reales de n × n con las operaciones matriciales usuales.

9.

Sea V el conjunto de matrices antisimétricas reales de n × n con las operaciones matriciales usuales.

10.

Sea V el conjunto de matrices invertibles n × n con las operaciones matriciales ordinarias.

11.

Sea V el conjunto de matrices no invertibles n × n con las operaciones matriciales ordinarias.

12.

Sea V = { An×n / AC = 0, C es una matriz constante de n × n} con las operaciones matriciales ordinarias.

13.

Sea V el conjunto de todos los pares ordenados de números reales ( x, y ) con x ≤ 0, con las operaciones usuales en \ 2 .

14.

Sea V = {C} (un conjunto con un solo elemento) con las operaciones de suma y producto por un escalar definidas por C + C = C y α C = C para todo α ∈ \.

15.

Sea V el conjunto \ 3 con la operación de suma usual y la operación producto por un escalar definida por:

α : ( x, y, z ) = ( x,1, z ), α ∈ \.

Capítulo 1: Espacios vectoriales Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 33

16.

Sea V el conjunto \ 3 con la operación de suma dada por ( x1 , y1 , z1 ) ⊕ ( x2 , y2 , z2 ) = ( x2 , y1 + y2 , z2 ) y la operación producto por un escalar usual.

17.

Demuestre las partes ii, iv y v del teorema 1.

18.

Si x e y son vectores de un espacio vectorial V, demuestre que existe un vector único z ∈ V tal que x + z = y .

Ejer cicios del módulo 1 Ejercicios

34

Subespacios

2

Contenidos del módulo 2.1 Definición y criterio de subespacio 2.2 Ejemplos 2.3 Propiedades

En \ las rectas y los planos que pasan por el origen son subespacios. 3

Objetivos del módulo 1. Reconocer en V aquellos subconjuntos que tienen estructura de espacio vectorial. 2. Aplicar el criterio de subespacio para determinar subespacios en un espacio vectorial V. 3. Aplicar las propiedades de los subespacios.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un subespacio? 2. Si H es un subespacio de V, ¿el elemento neutro de V pertenece a H? 3. ¿Es la intersección de subespacios de V un subespacio de V? ¿Lo es la unión? 4. ¿En todo espacio vectorial hay subespacios?

Introducción En muchas aplicaciones es necesario emplear subconjuntos de espacios vectoriales, que son a su vez espacios vectoriales. En el módulo 1 vimos que el conjunto de ternas ordenadas que forman un plano que pasa por el origen es un espacio vectorial, así que tanto \ 3 como este subconjunto son espacios vectoriales.

Vea el módulo 2 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

35

Capítulo 1: Espacios vectoriales

2.1 Definición y criterio de subespacio Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y supóngase que H en sí mismo es un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. El siguiente teorema nos mostrará un resultado que simplificará notablemente el trabajo para determinar si un subconjunto de V es o no un subespacio de V. Teorema 1: Criterio de subespacio Un subconjunto no vacío H del espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura. Esto es: 1.

Si x∈ H e y ∈ H , entonces x + y ∈ H .

2.

Si x ∈ H , entonces α x ∈ H para todo escalar α .

La demostración del teorema consiste en verificar que al darse las dos reglas de cerradura se verifican los demás axiomas de la definición de espacio vectorial. Como los vectores de H también están en V, las leyes de asociatividad, conmutatividad, de distribución y de identidad multiplicativa (axiomas ii, v, vii, viii, ix y x) se cumplen. Ahora, si x ∈ H , entonces 0x ∈ H por (2) y 0 x = 0 (teorema 1, módulo 1). De igual manera, (−1)x ∈ H y ( − 1) x = − x (teorema 1, módulo1), verificándose el axioma iv. Con esto queda completa la demostración. El teorema anterior establece que para probar si un conjunto H, H ⊂ V, es o no un subespacio de V, basta con probar las dos reglas de cerradura. Como consecuencia del teorema podemos expresar lo siguiente: i.

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene el 0.

ii.

Todo espacio vectorial tiene dos subespacios triviales: el mismo espacio (V ⊂ V) y el conjunto que tiene como único elemento el módulo. ¿Por qué?

Los subespacios distintos a V y {0} se llaman subespacios propios.

2.2 Ejemplos 1.

Sea H = {( x, y) / y = mx, m es un real fijo y x∈\} . H ⊂ \ 2 y H ≠ ∅.

Sean (x1 , y1 ) y (x2 y2 ) elementos de H; entonces,

36

Módulo 2: Subespacios (x1 , y1 ) = ( x1 , m x1 ) y (x2 , y2 ) = ( x2 , m x2 ). ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( x1 + x2 , mx1 + mx2 ) = (( x1 + x2 , m( x1 + x2 )).

Luego ( x1 + x2 , y1 + y2 )∈ H .

Ahora, sea ( x , y ) ∈ H y veamos si α ( x , y ) ∈ H . ( x, y ) = ( x, m x),

α ( x, y ) = α ( x, mx) = (α x, α mx) = (α x, m(α x) ) , (α x, m(α x))∈ H . Por tanto,

α ( x, y ) ∈ H . En consecuencia, el conjunto de puntos del plano que están sobre una recta que pasa por el origen forma un subespacio de \2 . 2.

2 2 Sea H = {( x, y ) ∈ \ / y = mx + b} , H ⊂ \ , H ≠ ∅

Veamos si H es un subespacio de \2 . H está formado por los puntos sobre una recta de pendiente m e intercepto con el eje y igual a b. Es decir, una recta que no pasa por el origen. Sean (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) elementos de H. Veamos si (x1 , y1 ) + (x2 , y2 )∈ H . (x1 , y1 ) = ( x1 , m x1 + b), (x2 , y2 ) = ( x2 , m x2 + b). (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x1 + x2 , m x1 + b + mx2 + b) = (x1 + x2 , m ( x1 + x2 ) + 2b).

Luego (x1 , y1 ) + (x2 , y2 )∉ H y, por tanto, H no es un subespacio de \2 . 3.

3 Sea H = {( x, y, z )∈ \ / x = at , y = bt , z = ct ; a, b, c, t ∈ \} .

H es el conjunto de puntos de \ 3 que están sobre una recta del espacio que pasa por el origen. Comprobemos para H las dos reglas de cerradura. Sean ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )∈ H ; entonces, ( x1 , y1 , z1 ) = (at1 , bt1 , ct1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) = (at2 , bt2 , ct2 ) ,

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

37

Capítulo 1: Espacios vectoriales ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = (at1 + at2 , bt1 + bt2 , ct1 + ct2 ) = (a(t1 + t2 ), b(t1 + t2 ), c(t1 + t2 )), (t1 + t2 ) ∈ \. Luego (( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ))∈ H y

α ( x1 , y1 , z1 ) = (α (at1 ), α (bt1 ), α (ct1 )) = (a (α t1 ), b(α t1 ), c(α t1 )∈ H , (α t1 ∈ \).

Así que H es un subespacio de \3 . En \ 2 tenemos los siguientes subespacios: los subespacios triviales \ 2 y

{0} , y un subespacio propio, las rectas que pasan por el origen. Los subespacios propios de \ 3 son las rectas y los planos que pasan por el origen. 4.

Sabemos que todo polinomio es una función continua, así que el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n en el intervalo cerrado [ a, b], Pn [ a, b] es un subconjunto del conjunto de funciones continuas dentro del mismo intervalo. Pn [a, b] ⊂ C [a, b].

Como Pn es un espacio vectorial para todo entero n, entonces es un subespacio de C[a, b] . 5.

Sea C ′[a, b] el conjunto de funciones con primera derivada continua, definidas en [a, b] . Como toda función derivable es continua, entonces C ′ [a, b] ⊂ C [ a, b]. Además, la suma de funciones diferenciables es una función diferenciable, y un múltiplo constante de una función diferenciable es diferenciable. Se ve entonces que C ′ [a, b] es un subespacio propio de C [a, b] , ya que no toda función continua es diferenciable.

2.3 Propiedades Teorema 2 Sean H1 y H 2 subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H1 ∩ H 2 es un subespacio de V.

38

Módulo 2: Subespacios Demostración H1 ∩ H 2 ≠ ∅ ya que 0 ∈ H1 ∩ H 2 .

Sean x1 y x2 elementos de H1 ∩ H 2 , luego x1 ∈ H1 y x1 ∈ H 2 . Igualmente, x 2 ∈ H1 y x 2 ∈ H 2 . Como H1 y H 2 son subespacios, se cumple que (x1 + x 2 )∈ H1 y (x1 + x 2 ) ∈ H 2 .

Es decir, (x1 + x2 ) ∈ H1 ∩ H 2 .

Ahora, α x1 ∈ H1 y α x1 ∈ H 2 , ya que x1 ∈ H1 y x1 ∈ H 2 . Luego

α x1 ∈ H1 ∩ H 2 . Por tanto, se cumplen las dos reglas de cerradura y H1 ∩ H 2 es un subespacio. La intersección de subespacios es un subespacio, pero la unión ( H1 ∪ H 2 ) no necesariamente es un subespacio. Ejemplo H1 = {( x, y )∈\ 2 / y = x} .

H 2 = {( x, y )∈\ 2 / y = 2 x} .

(1, 1) ∈ H1 y (1, 2) ∈ H 2 .

Entonces (1, 1) ∈ ( H1 ∪ H 2 ) y (1, 2) ∈ H1 ∪ H 2 .

Pero (1, 1) + (1, 2) = (2, 3) ∉ ( H1 ∪ H 2 ) ya que (2, 3)∉ H1 y (2, 3) ∉ H 2 . Así que H1 ∪ H 2 no es cerrado bajo la suma y, por tanto, no es un subespacio.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

39

Módulo 2 En los ejercicios 1 a 12 se dan un espacio V y un subconjunto W. Determine si W es un subespacio. 1.

V = \2 , W = {( x, y) : x = y} .

2.

V = M nn , W = { A ∈ M nn : A es simétrica} .

3.

V = \ 3 , W = {( x, y, z ) ∈ \ 3 : ( x, y, z ) es perpendicular a ( a, b, c)} .

4.

V = P4 , W = { p ∈ P4 : p(0) = 0} .

5.

V = P4 , W = { p ∈ P4 : p(0) = 1} .

6.

V = P4 , W = { p ∈ P4 : grado de p = 4} .

7.

La traza de una matriz An× n se define como: tr A = a11 + a22 + ... + ann .

Sean V = M nn y W = { A ∈ M nn : tr A = 0} . 8.

⎡ a 0 ⎤ ⎪⎫ ⎪⎧ V = M 22 , W = ⎨ A ∈ M 22 : A = ⎢ ⎥ ⎬. ⎣ 0 b ⎦ ⎪⎭ ⎩⎪

9.

⎡a b ⎪⎧ V = M 23 , W = ⎨ A ∈ M 23 : A = ⎢ ⎣d e ⎩⎪

10.

⎡a b c⎤ ⎪⎧ ⎪⎫ V = M 23 , W = ⎨ A ∈ M 23 : A = ⎢ ⎥ , donde b = a + c ⎬ . d 0 0 ⎣ ⎦ ⎩⎪ ⎭⎪

11.

V = C [0, 1], W = { f ∈ C [0, 1] : f (0) = f (1) = 0} .

12.

V = C[0, 1], W = { f ∈ C[0, 1] : f (0) = 1} .

13.

⎡0 b ⎪⎧ Sean V = M 23 , W1 = ⎨ A ∈ M 23 : A = ⎢ ⎣d e ⎩⎪

c⎤ ⎪⎫ , donde a = 2c + 1⎬ . f ⎥⎦ ⎭⎪

c ⎤ ⎪⎫ ⎡a b c⎤ ⎪⎧ ⎪⎫ con b = a + c ⎬ . ⎬ y W2 = ⎨ A ∈ M 23 : A = ⎢ ⎥ ⎥ f ⎦ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎣d e 0⎦

a.

Demuestre que W1 y W2 son subespacios.

b.

Describa el subconjunto W = W1 ∩ W2 y demuestre que es un subespacio.

Capítulo 1: Espacios vectoriales

40

14.

Sea W = {x ∈ \ n : AX = 0, con A ∈ M m× n } . Demuestre que W es un subespacio de \ n . W se llama espacio nulo de la matriz A.

15.

Sean x = (1, 2, 4) e y = (−3, 2, 0) dos vectores en \ 3 y sea W = {u ∈ \ 3 : u = α x + β y , con α , β ∈ \} .

Demuestre que W es un subespacio de \ 3 . 16.

Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V. Sea W1 + W2 = { v : v = v1 + v 2 con v1 ∈ W1 y v 2 ∈ W2 } . Demuestre que W1 + W2 es un subespacio de V.

Ejercicios delElemental módulo 241 Álgebra Lineal y Aplicaciones

42

3

Combinación lineal y subespacio generado Contenidos del módulo 3.1 Definición y ejemplos de combinación lineal 3.2 Conjunto generador de un espacio vectorial 3.3 Espacio generado por un conjunto de vectores

Objetivos del módulo 1. Definir una combinación lineal. 2. Generar un subespacio de un espacio vectorial a partir de un conjunto. 3. Diferenciar un conjunto generador del subespacio generado por él.

La gráfica representa los subespacios generados por

{( )} 1

−1

y

{x } 2

.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una combinación lineal? 2. ¿Cuándo un conjunto genera un espacio vectorial? 3. ¿Cómo se genera un subespacio de V a partir de un subconjunto de V?

Introducción Iniciamos el módulo definiendo lo que es una combinación lineal, concepto éste necesario para la construcción de subespacios a partir de subconjuntos finitos del espacio vectorial V. Al subconjunto dado lo llamamos conjunto generador, y al subespacio construido, subespacio generado.

Vea el módulo 3 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

43

Capítulo 1: Espacios vectoriales

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Combinación lineal»

3.1 Definición y ejemplos de combinación lineal Definición 1 Sean v1, v2,..., vn vectores en un espacio vectorial V. Decimos que x es una combinación lineal de los vectores v1, v2,..., vn si existen escalares a1 , a2 ,..., an , tales que: x = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an v n n

= ∑ ai v i . i =1

Observaciones 1.

Toda combinación lineal de vectores de un espacio dado es otro vector del mismo espacio.

2.

El módulo de un espacio vectorial es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores del mismo espacio. 0 = 0 v1 + 0v2 + ... + 0vn .

3.

Todo vector es combinación lineal de sí mismo. x1 = 1x1 .

4.

Todo vector es combinación lineal del conjunto que contiene dicho vector. v1 = 1 v1 + 0 v 2 + ... + 0 v n .

Ejemplos 1.

La figura 3.1 muestra un vector v en \ 2 o \ 3 como combinación lineal de los vectores v1 y v2 .

Figura →

2.

→

3.1

→ →

→

→

Si a y b son vectores libres, Pr ( a / b ), la proyección de a sobre b, es una →

→ →

→

combinación lineal de b, y Pr ( b/ a ) es una combinación lineal de a.

44

Módulo 3: Combinación lineal y subespacio generado

3.

⎛ −5 ⎞ ⎜ ⎟ En \3 , ⎜ −2 ⎟ es una combinación lineal de los vectores ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 y ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ya ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −5 ⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ que ⎜⎜ −2 ⎟⎟ = − 2 ⎜⎜1 ⎟⎟ + 3 ⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎜ −7 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4.

En \ 2 , sean v1 = (2, 1) y v 2 = (−4, − 2). Veamos si v = (6, 3) es una combinación lineal de v1 y v2 . Debemos entonces determinar si existen escalares a1 y a2 tales que v = a1 v1 + a2 v 2 . (6, 3) = a1 (2,1) + a2 (−4, − 2)

Luego 6 = 2a1 − 4 a2 , 3 = a1 − 2a2 , ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎡6 ⎤ ⎢1 − 2 ⎥ ⎢ a ⎥ = ⎢3 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦

La matriz aumentada es: ⎡ 2 ⎢ ⎣1

−4 −2

6 ⎤ operaciones elementales ⎡ 1 →⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ se reduce a 3⎦ ⎣ 0

−2 0

3 0

⎤ ⎥. ⎦

El sistema tiene infinitas soluciones dadas por a1 = 3 + 2 a2 y a2 ∈\. Por ejemplo, si a2 = 1, a1 = 5 y (6, 3) = 5(2, 1) + (−4, − 2); pero si hacemos a2 = 0, a1 = 3 y (6, 3) = 3(2, 1) + 0(−4, − 2), etc.

De modo que v es una combinación lineal de v1 y v2 de muchas maneras. Podemos entonces observar que si un vector v es una combinación lineal de v1, v2,..., vk , entonces esa combinación lineal puede no ser única. 5.

En P3 , sea A = {−1 + x, 1 + x 2 , 2 x + x 3 } . Veamos si Q ( x ) = 3 + x 2 + x 3 es una combinación lineal de A. Expresemos a Q ( x ) como una combinación lineal de los polinomios de A. Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

45

Capítulo 1: Espacios vectoriales 3 + x 2 + x 3 = a1 (−1 + x ) + a2 (1 + x 2 ) + a3 (2 x + x 3 ).

Igualando los coeficientes de los términos del mismo grado en ambos lados de la igualdad tenemos: (1)

3 = −a1 + a2 .

(2)

0 = a1 + 2a3 .

(3)

1 = a2.

(4)

1 = a3.

Con el valor a2 = 1 en (1), 3 = −a1 + 1, entonces a1 = − 2. Con a1 = − 2 y a3 = 1, la ecuación (2) se expresa como 0 = –2 + 2(1). Por tanto, hemos determinado escalares a1 , a2 , a3 tales que: 3 + x 2 + x 3 = − 2( −1 + x ) + (1 + x 2 ) + (2 x + x 3 ).

3.2 Conjunto generador de un espacio vectorial Definición 2 Sean v1, v2,..., vn vectores en un espacio vectorial V, y suponga que todo vector

v ∈ V se puede expresar como una combinación lineal de estos vectores. Entonces se dice que { v1, v2 ,..., vn} es un conjunto generador de V, o que los vectores v1, v2,..., vn generan a V. Es decir, para todo v ∈V , existen a1 , a2 ,..., an reales, tales que: v = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an v n .

Ejemplos

6.

⎛1 ⎞ ⎛0⎞ 2 Los vectores ⎜ ⎟ y ⎜ ⎟ generan \ . 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ Por ejemplo, ⎜ 4 ⎟ = 2 ⎜ 0 ⎟ + 4 ⎜1 ⎟ , ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ y los vectores ⎜ 0 ⎟ , ⎜0⎟ ⎝ ⎠

46

⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ generan \ . ⎜ 0 ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Módulo 3: Combinación lineal y subespacio generado 7.

En Pn todo polinomio se puede expresar como combinación lineal de los monomios 1, x, x 2 ,..., x n ; luego generan a Pn .

8.

⎛a b⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎛0 1 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ En M 22 : ⎜ ⎟=a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ +d⎜ ⎟. ⎝c d ⎠ ⎝0 0⎠ ⎝0 0⎠ ⎝1 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠

⎛1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ Entonces, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ generan M 22 . ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝1 0 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠

3.3 Espacio generado por un conjunto de vectores Definición 3 Sean v1, v2, ..., vn n vectores en un espacio vectorial V. El espacio generado por

{v1, v2,..., vn} es el conjunto de las combinaciones lineales de

v1, v2,..., vn . Esto es:

gen { v1 , v 2 ,..., v n } = { v : v = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an v n } , donde a1, a2 ,..., an son escalares. Del conjunto { v1, v2,..., vn} se dice que es generador. Teorema 1 Si v1, v2,..., vn son n vectores en un espacio vectorial V, el gen{ v1, v2 ,..., vn} es un subespacio de V. La demostración del teorema se deja como ejercicio. Ejemplos 9.

En \, sea A = {1} . gen A = { x x = a ·1, a ∈ \} = \.

{1} es generador para \. 10.

En \3 , sea A = {(1, − 2, 0), (3, 1, − 1)} .

gen ( A) = {( x, y, z ) / ( x, y, z ) = a1 (1, − 2, 0) + a2 (3, 1, − 1); a1 , a2 ∈\} . Determinemos una relación entre x, y , z. ( x, y , z ) = (a1 + 3a2 , − 2a1 + a2 , − a2 ), x = a1 + 3a2 , y = − 2a1 + a2 , z = − a2 .

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Mezcla de concreto»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

47

Capítulo 1: Espacios vectoriales

⎡ 1 3 x⎤ ⎡1 ⎢ ⎥R → R + 2 R ⎢ 2 1 0 1 y⎥ 2 ⎢ −2 ⎢ ⎢ ⎥R3 → − R3 ⎢ ⎣ 0 −1 z ⎦ ⎣0

3 7 1

⎡ ⎤ ⎢1 1 ⎥R2 → R2 ⎢ y + 2x⎥ 7 ⎢0 ⎥ − z ⎦R3 → R3 − R2⎢⎢ ⎢0 ⎣⎢

x

3 1 0

⎤ ⎥ ⎥ y + 2x ⎥ ⎥ 7 y + 2 x ⎥⎥ −z− 7 ⎦⎥ x

Luego los elementos de gen (A) deben satisfacer −z −

( y + 2 x) = 0, 7

o sea

2 x + y + 7 z = 0. gen ( A) = {( x, y, z ) / 2 x + y + 7 z = 0} (plano que pasa por el origen). Nota: el espacio generado por dos vectores no nulos en \ 3 y que no sean paralelos es un plano que pasa por el origen. Teorema 2 Sean v1, v2,..., vn , v n +1 , n + 1 vectores que están en un espacio vectorial V. Si v1, v2,..., vn genera a V, entonces v1 , v2 ,..., vn , vn+1 también genera a V. Esto es, la adición de uno o más vectores a un conjunto generador de V da por resultado otro conjunto generador de V. Demostración Sea v ∈ V ; como { v1 , v2 ,..., v n } genera a V , entonces existen escalares a1 , a2 ,..., an tales que v = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an vn . Así que v también puede expresarse como v = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an v n + 0 v n +1 ,

lo cual muestra que { v1 , v2 ,..., vn , vn+1} también genera V. Ejemplo ⎪⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎪⎫ El espacio vectorial \ 2 puede ser generado por el conjunto A = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎬ . Tam⎩⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭⎪ ⎪⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎪⎫ bién puede ser generado por un conjunto mayor A′ = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎬ . ⎩⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎭⎪

48

Módulo 3 En los ejercicios 1 a 3 determine si el vector dado w es combinación lineal de v1 y v2 . Si lo es, encuentre a1 y a2 tales que w = a1 v1 + a2 v 2 .

1.

2.

3.

4.

v1 = (2, − 1) y v 2 = (−4, 2) .

a.

w = (−6, 3).

b.

w = (1, 1).

c.

w = (0, 0).

v1 = (1, − 3) y v 2 = ( −2, 6).

a.

w = (−3, 9).

b.

w = (3, 6).

c.

w = (0, 3).

⎡ 1 2⎤ ⎡ 3 2⎤ v1 = ⎢ ⎥ , v 2 = ⎢ −1 1 ⎥ . − 2 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a.

⎡1 0 ⎤ w=⎢ ⎥. ⎣0 1 ⎦

b.

⎡ −3 2 ⎤ w=⎢ ⎥. ⎣ −4 1 ⎦

c.

⎡ −13 −6 ⎤ w=⎢ ⎥. ⎣ 1 −3 ⎦

Sean p1 = x + x 2 , p2 = x + x 3 y p3 = x + x 2 + x 3 . Determine cuál o cuáles de los siguientes polinomios son combinación lineal de p1 , p2 y p3 . a.

2x + x 2

b. c. d.

2 − 3x + 4 x 2 + x 3 0 x

Ejercicios delElemental módulo 349 Álgebra Lineal y Aplicaciones

En los ejercicios 5 a 10 describa el espacio generado por los vectores dados. ⎡1⎤ v = ⎢ ⎥. ⎣1⎦

5.

6.

7.

⎡ 2⎤ v1 = ⎢⎢1⎥⎥ , ⎢⎣0⎥⎦

⎡−1⎤ v2 = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎡ 3⎤ v1 = ⎢⎢0⎥⎥ , ⎢⎣1⎥⎦

⎡6⎤ v 2 = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ , ⎢⎣ −1⎥⎦

⎡7 ⎤ v3 = ⎢⎢0⎥⎥ . ⎢⎣ 2⎥⎦

⎡ −2 0 ⎤ B=⎢ ⎥. ⎣ 0 1⎦

8.

⎡3 0 ⎤ A=⎢ ⎥, ⎣0 −1⎦

9.

p1 = 2 x + 3, p2 = −3 x − 5.

10.

p1 = 3 x + 4 x 2 , p2 = 2 x − 5 x 2 , p3 = x + x 2 .

En los ejercicios 11 a 14 determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado.

11.

⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ En \ 2 ; ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 0 ⎠

12.

⎛1⎞ En \ 2 ; ⎜ ⎟ , ⎝ 2⎠

13.

⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ En \ ; ⎜ 2 ⎟ , ⎜ 3 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ . ⎜ 0⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14.

⎛ 1⎞ En \ ; ⎜1⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

15.

Muestre que un conjunto de dos vectores de \ 3 no puede generar a \ 3 .

16.

Demuestre que si u y v están en gen { v1 , v2 ,..., vk } , entonces u + v y α u están en gen { v1 , v2 ,..., vk } .

⎛ 2 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟. ⎝ 4 ⎠ ⎝ −6 ⎠

3

3

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟, ⎜1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 9⎟. ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠

Capítulo 1: Espacios vectoriales

50

4

Independencia lineal Contenidos del módulo

4.1 Definición y ejemplos de conjuntos linealmente independientes (LI) y linealmente dependientes (LD) 4.2 Interpretación geométrica de la dependencia lineal en \ 3 4.3 Propiedades

Si v1 y v2 son dos vectores no paralelos se dice que son LI o sea que uno no es múltiplo escalar del otro y generan un plano. Si los vectores son paralelos ya no pueden generar un plano, sino sólo una recta, en este caso son LD.

Objetivos del módulo 1. Establecer los conceptos de dependencia e independencia lineal. 2. Interpretar geométricamente el significado de la dependencia lineal en \ 3 . 3. Vincular la teoría de espacios vectoriales con los sistemas de ecuaciones lineales y los determinantes.

Preguntas básicas 1. ¿Cuándo un conjunto es LD? 2. ¿Cuándo un conjunto es LI? 3. ¿Qué significa que un subconjunto de tres vectores de \ 3 sea LD? 4. ¿Tiene sentido hablar de un vector LI? 5. ¿Por qué los conceptos de independencia y dependencia lineal se vinculan con la solución de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales?

Introducción En el módulo anterior vimos que pueden tenerse infinitud de conjuntos generadores de un espacio vectorial. Es claro, por razones de economía, que lo que se desea es hallar los conjuntos generadores más pequeños posibles para los espacios vectoriales. Para lograr esto se requiere el concepto de independencia lineal. Mostraremos el significado de independencia lineal y su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes. Vea el módulo 4 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

51

Capítulo 1: Espacios vectoriales

4.1 Def inición y ejemplos de conjuntos linealme nte Definición linealmente iin ndependientes (LI) y linealmente dependientes (LD) Definición 1 Sean v1 , v2 ,..., vn , n vectores diferentes de un espacio vectorial V. Se dice que los vectores son linealmente dependientes, LD, si existen n escalares c1 , c2 ,..., cn , no todos cero, tales que: c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn = 0.

(1)

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes, LI, es decir, la ecuación: c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn vn = 0

es válida sólo si c1 = c2 = ... = cn = 0. Si los vectores v1 , v2 ,..., vn son distintos y formamos el conjunto A = { v1 , v2 ,..., vn } , entonces también decimos que el conjunto A es LD o LI según el caso. Es claro que la ecuación (1) siempre se satisface si elegimos todos los escalares c1 , c2 ,..., cn iguales a cero. Lo importante es ver si es posible satisfacer la ecuación con al menos uno de los escalares diferente de cero.

Ejemplos 1.

En \3 , sea A = {(1, 7, − 2), (−1, 1, 0), (3, 5, − 2)} y veamos si A es LD o LI. Solución Comenzamos planteando la ecuación c1 (1, 7, − 2) + c2 (−1, 1, 0) + c3 (3, 5, − 2) = (0, 0, 0),

la cual, igualando los componentes en ambos lados de la ecuación, nos lleva al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: c1 − c2 + 3c3 = 0 7c1 + c2 + 5c3 = 0 −2c1

− 2c3 = 0

A x = 0,

⎡ c1 ⎤ x = ⎢⎢ c2 ⎥⎥ . ⎢⎣ c3 ⎥⎦

⎡ 1 −1 3 ⎤ ⎢7 1 5⎥ ⎥ se reduce por medio de La matriz de coeficientes del sistema ⎢ ⎢⎣ −2 0 −2 ⎥⎦

52

Módulo 4: Independencia lineal

⎡1 0 1 ⎤ ⎢0 1 −2⎥ ⎥ . El sistema equivalente es operaciones elementales a ⎢ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ c1 = −c3 . c2 = 2c3 . c3 = c3 .

La fila nula de esta matriz nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, hay soluciones con x ≠ 0 (c3 ≠ 0) y, por tanto, A es LD. 2.

En P2 , sea B = {−1 + x 2 , 2 + x, x 2 } . ¿Es B LD o LI? Solución Dada la ecuación c1 ( −1 + x 2 ) + c2 (2 + x ) + c3 x 2 = 0 + 0 x + 0 x 2 ,

veamos cómo son c1 , c2 , c3 . (1) −c1 + 2c2 = 0. (2) c2 = 0. (3) c1 + c3 = 0. (2) en (1), −c1 = 0, o sea c1 = 0 (4). (4) en (3), c3 = 0. Luego c1 = c2 = c3 = 0 y, por tanto, B es LI. Proposiciones 1.

Dos vectores en un espacio vectorial V son LD si y sólo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

2.

Todo conjunto que tenga como elemento el módulo de un espacio vectorial es LD.

3.

Todo conjunto unitario cuyo elemento no sea el módulo es LI.

4.2 Interpretación geométrica de la dependencia lineal en \ 3 Suponga que u, v, w son tres vectores LD en \ 3 ; entonces existen escalares c1 , c2 , c3 , no todos cero, tales que: c1u + c2 v + c3 w = 0.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

53

Capítulo 1: Espacios vectoriales Suponga que c3 ≠ 0 ; entonces w = −

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Conjunto de vectores coplanares»

con α = −

c1 c3

y β =−

c1 c u − 2 v = α u + β v, c3 c3

c2 . c3

Veamos entonces que u, v y w son coplanares: w ⋅ (u × v ) = (α u + β v ) · (u × v ) = α (u · (u × v )) + β ( v · (u × v)) = α 0 + β 0 = 0.

Recuerde que tres vectores del espacio son coplanares si y sólo si su producto triple es igual a cero. ¿Por qué u · (u × v) y v ⋅ (u × v) son iguales a cero? 3 En conclusión: si u, v, w son tres vectores LD en \ , ellos son coplanares.

¿Será cierta la recíproca de esta implicación? Es decir, si u, v, w son tres vectores coplanares de \ 3 , entonces u, v, w son LD

4.3 Propiedades Teorema 1 Un conjunto de n vectores de \m siempre es LD si n > m. Demostración Sean v1 , v2 ,..., vn n vectores en \m. Examinemos la ecuación c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn vn = 0 , ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a21 ⎟ a a , v 2 = ⎜ 22 ⎟ ,..., v n = ⎜ 2 n ⎟ . donde v1 = ⎜⎜ ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ am1 ⎠ ⎝ am 2 ⎠ ⎝ amn ⎠

Entonces la ecuación se convierte en: a11c1 + a12 c2 + ... + a1n cn = 0 a21c1 + a22 c2 + ... + a2 n cn = 0 #

# # am1c1 + am 2 c2 + ... + amn cn = 0.

54

Como n > m (nº de incógnitas > nº de ecuaciones), el sistema tiene infinitas solu-

Módulo 4: Independencia lineal

ciones. Por tanto, existen escalares c1 , c2 ,..., cn , no todos cero, que satisfacen la ecuación y { v1 , v2 ,..., vn } es LD. Corolario Un conjunto de vectores LI en \ n contiene a lo más n vectores. Teorema 2 ⎡ a11 ⎢a 21 Sea A = ⎢ ⎢ # ⎢ ⎣ am1

a12 a22 # am 2

" a1n ⎤ " a2 n ⎥⎥ . # ⎥ ⎥ " amn ⎦

Entonces las columnas de A consideradas como vectores son LD si y sólo si el sistema A x = 0 tiene soluciones no triviales (diferentes a x = 0 ). Teorema 3 Sean v1 , v2 ,..., vn , n vectores en \ n , y sea A una matriz n × n cuyas columnas son v1 , v2 ,..., vn . Entonces v1 , v2 ,..., vn son LI si y sólo si la única solución al sistema

homogéneo A x = 0 es la trivial x = 0 . Teorema 4 Sea A una matriz n × n . Entonces det A ≠ 0 si y sólo si las columnas de A son LI. Teorema 5 Todo conjunto de n vectores LI en \ n genera \n . Demostración ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 ⎟ , v = ⎜ a22 ⎟ ,..., v = ⎜ a2 n ⎟ son LI y sea v = ⎜ x2 ⎟ v = Suponga que 1 ⎜ ⎟ 2 n ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ un # ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an1 ⎠ ⎝ an 2 ⎠ ⎝ ann ⎠ ⎝ xn ⎠

vector de \ n . Veamos que existen escalares c1 , c2 ,..., cn tales que v = c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn v n . x1 = c1 a11 + x2 = c1a21 + #

Luego xn = c1an1 +

c2 a12 +

"+

cn a1n

c2 a22 +

"+

cn a2 n

# c2 a n 2 +

# "+

cn ann

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ c C=⎜ 2⎟ ⎜#⎟ ⎜ ⎟ ⎝ cn ⎠

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Verificación de independencia lineal»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

55

Capítulo 1: Espacios vectoriales El sistema A C = v tiene matriz nA , tal que det A ≠ 0 ya que las columnas de A son ×n LI. Por tanto, el sistema tiene solución única C y el teorema queda establecido. Teorema 6 Sea S = {v1 , v2 ,..., vn } ⊂ V . S es LD si y sólo si existe al menos un vector de S que pueda expresarse como combinación lineal de los vectores restantes de S. Demostración i.

Supongamos que S es LD. Existen a1 , a2 ,..., an escalares, no todos nulos, tales que: a1 v1 + a2 v 2 + ... + ai v i + ... an v n = 0.

Sea ai ≠ 0, entonces, vi = −

a a1 a v1 − 2 v 2 − ... − n v n . ai ai ai

Luego v i es una combinación lineal de los restantes n – 1 vectores de S. ii.

Si v i es una combinación lineal de los restantes vectores de S, entonces vi = λ1v1 + λ2 v2 + ... + λι −1 vi −1 + λi +1 vi +1 + ... + λn vn .

Por tanto,

λ1 v1 + λ2 v 2 + ... + λι −1 v i −1 + (−1) v i + λi +1 v i +1 + ... + λn v n = 0. En esta combinación lineal de los vectores de S igualada a cero, al menos el coeficiente de v i (−1) es diferente de cero y por tanto S es LD. Observación Si un conjunto S LD genera un espacio vectorial V, el conjunto que resulta de eliminar en S un vector que sea combinación lineal del resto de vectores de S también genera el espacio vectorial V. Ejemplo 3 Sea el conjunto de vectores S = { v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ \4

56

Módulo 4: Independencia lineal ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ 0⎤ ⎡ 2⎤ ⎢1⎥ ⎢0⎥ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ con v1 = ⎢ ⎥ , v 2 = ⎢ ⎥ , v3 = ⎢ ⎥ y v 4 = ⎢ ⎥ , ⎢0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦ ⎣ 0⎦

y sea W = gen S . Como v4 = v1 + v2 , entonces W = gen S1 , donde S1 = { v1 , v2 , v3} .

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

57

Módulo 4 En los ejercicios 1 a 4 muestre por inspección que los vectores son linealmente dependientes, LD. 1.

u1 = (2, 3), u 2 = ( −4, − 6), en \ 2 .

2.

u1 = (5, 2, 3), u 2 = (0, 3, − 1), u 3 = (−1, 4, 0), u 4 = (5, 7, − 2), en \ 3 .

3.

P1 = −1 + 4 x, P2 =

4.

⎡1 2 ⎤ A1 = ⎢ ⎥, ⎣0 −1⎦

1 − 2 x, en P1 . 2

⎡0 1⎤ A2 = ⎢ ⎥, ⎣ 4 2⎦

⎡ 1 3⎤ A3 = ⎢ ⎥ , en M 22 . ⎣ 4 1⎦

En los ejercicios 5 a 11 determine si el conjunto de vectores dado es LI o LD. 5.

(2, − 1, 3), (3, 4, 1), (2, − 3, 4), en \ 3 .

6.

(3, 1, 4, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 2), en \ 4 .

7.

(3, 0, 2, − 2), (5, 0, 3, − 1), (1, − 2, 1, 1), (0, 4, − 1, 1), en \ 4 .

8.

P1 ( x ) = 1 + x + x 2 , P2 ( x ) = 2 − x + 3 x 2 , P3 ( x) = −1 + 5 x − 3 x 2 , en P2 .

9.

P1 ( x ) = 1 + x, P2 ( x) = x 2 + x 3 , P3 ( x) = −2 − 2 x + 3 x 2 + 3 x 3 , en P3 .

10.

⎡ −1 3 2 ⎤ A1 = ⎢ ⎥, ⎣ 0 0 0⎦

11.

⎡ −1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡1 −1⎤ ⎡ 1 1 ⎤ ⎢ 3 1 ⎥ , ⎢1 0 ⎥ , ⎢ 0 6 ⎥ , ⎢ −1 2 ⎥ , en M 22 . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

12.

Si {u1 , u2 , u3 } es un conjunto LI, demuestre que {u1 , u 2 } , {u1 , u3 } , {u1} , {u2 } son LI.

13.

Justifique las proposiciones 1, 2, 3 de este módulo.

14.

Construya argumentaciones para justificar los teoremas 2, 3 y 4.

15.

Si {u1 ,..., un } es LI, pruebe que cualquier subconjunto no vacío de este conjunto es LI.

16.

Si {u1 ,..., un } es LD, pruebe que {u1 ,..., un , un +1 ,..., uk } también es LD.

⎡ 0 6 4⎤ A2 = ⎢ ⎥, ⎣ 4 6 2⎦

⎡1 0 0⎤ A3 = ⎢ ⎥ , en M 23 . ⎣2 3 1⎦

Capítulo 1: Espacios vectoriales

58

17.

Sea A una matriz cuadrada n × n cuyas columnas son los vectores v1, v2 ,..., vn . Demuestre que v1 , v2 ,..., vn son LI si y sólo si la forma escalonada reducida por renglones de A no contiene un renglón de ceros.

En los ejercicios 18 y 19 escriba la solución del sistema homogéneo dado en términos de uno o más vectores LI. 18.

x1 − x2 + 7 x3 − x4 = 0 2 x1 + 3 x2 − 8 x3 + x4 = 0

19.

x1 + 2 x2 − x3 = 0 2 x1 + 5 x2 + 4 x3 = 0

20.

Demuestre que cualesquiera cuatro polinomios en P2 son LD.

21.

Demuestre que cualesquiera n + 2 polinomios en Pn son LD.

22.

Demuestre que cualesquiera siete matrices en M 32 son LD.

23.

Sea { v1 , v2 ,..., vn } un conjunto LI. Demuestre que los vectores v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , ..., v1 + v2 + ... + vn son LI.

24.

Suponga que { v1 , v2 ,..., vk } es un conjunto LI y que vk +1 no está en gen { v1 , v2 ,..., vk } . Demuestre que

{v1, v2 ,..., vk , vk +1}

es un conjunto LI.

25.

¿Para cuáles valores de α son LD los vectores (−1, 0, − 1), (2, 1, 2) y (1, 1, α ) en \3 ?

26.

¿Para cuáles valores de λ son LD los vectores 3 + x y 2 + λ 2 + 2 x en P1 ?

27.

Encuentre un conjunto de tres vectores LI en \ 3 que contenga los vectores (1, 2, 4), (−1, 0, 2).

28.

3 Si u, v y w son tres vectores coplanares en \ , demuestre que {u, v, w} es un conjunto LD.

Ejer cicios módulo 4 59 Álgebradel Lineal Elemental y Aplicaciones Ejercicios

60

5

Bases y dimensión Contenidos del módulo 5.1 5.2 5.3 5.4

Definición y ejemplos de bases Propiedades de las bases Dimensión. Definición, ejemplos y propiedades El problema de la base

2 3 Base estándar {1, x, x , x } de P3 .

Objetivos del módulo 1. Construir una base para un espacio vectorial. 2. Diferenciar un conjunto generador de una base. 3. Identificar la dimensión del espacio vectorial, con el número de vectores en la base del espacio. 4. Relacionar los conceptos de independencia lineal, generador y dimensión para la construcción de bases en un espacio vectorial.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una base para un espacio vectorial? 2. ¿Cómo se construye una base? 3. ¿Cómo se relacionan los conceptos de base y dimensión? 4. ¿Cuándo se dice que un espacio tiene dimensión infinita? 5. ¿Un conjunto generador de \ n con n vectores es una base para \ n ? 6. ¿Un conjunto LI de n vectores de \ n es una base para \ n ?

Introducción Veíamos que si un conjunto S, linealmente dependiente, genera un espacio vectorial, podemos eliminar en S aquellos vectores que son combinación lineal del resto, hasta cuando en S sólo quedan los vectores que son LI. Este nuevo conjunto es el generador del tamaño mínimo para el espacio vectorial. Dicho conjunto de vectores es una base para el espacio y el número de elementos del conjunto, su dimensión. Llegamos acá al punto central del capítulo de espacios vectoriales; las nociones anteriores nos permitirán definir estos dos conceptos a partir de los cuales podemos construir espacios vectoriales.

Vea el módulo 5 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

61

Capítulo 1: Espacios vectoriales

5.1 Definición y ejemplos de bases Definición 1

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Bases»

Un conjunto finito de vectores { v1 , v2 ,..., vn } es una base para un espacio vectorial V si: i.

{v1 , v2 ,..., vn } es linealmente independiente.

ii.

{v1 , v2 ,..., vn } genera a V.

Ejemplos 1.

Los vectores e1 = (1, 0) y e2 = (0,1) forman una base de \2 . Los vectores 3 e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0, 0,1) forman una base de \ y, en general, los vectores

⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜#⎟ ⎜ 0⎟ ⎜#⎟ ⎜#⎟ e1 = ⎜ ⎟ , e2 = ⎜ ⎟ ,..., ei = ⎜ ⎟ ,..., en = ⎜ ⎟ ⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎜ 1⎟ ⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠

forman una base para \n . Cada uno de estos conjuntos recibe el nombre de base natural, estándar o canónica para \ 2 , \ 3 y \ n , respectivamente. Ya sabemos que todo conjunto de n vectores LI en \n genera a \n . Por tanto, todo conjunto de n vectores LI en \n es una base de \n . 2. 3.

2 n En Pn la base estándar está formada por el conjunto {1, x, x ,..., x } . ¿Por qué?

⎪⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎪⎫ En M 22 el conjunto de matrices ⎨⎜ 0 0 ⎟ , ⎜ 0 0 ⎟ , ⎜ 1 0 ⎟ , ⎜ 0 1 ⎟ ⎬ es una ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎩⎪⎝

base para el espacio vectorial M 22 . Ésta es la base estándar o canónica.

4.

⎧⎛ x ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ Sea Π = ⎨⎜ y ⎟ : 3 x − 2 y + z = 0 ⎬ un subespacio de \3 . Vamos a determinar ⎪⎜ z ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

una base para Π.

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ∈ Π ⇔ z = −3x + 2 y. ⎜z⎟ ⎝ ⎠

62

Módulo 5: Bases y dimensión

x ⎞ ⎛ ⎟ Así que los vectores de Π tienen la forma ⎜⎜ y ⎟, ⎜ −3x + 2 y ⎟ ⎝ ⎠ siendo x e y valores arbitrarios.

x ⎛ ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟, y ⎜ ⎟ = x⎜ 0 ⎟ + y⎜1⎟ ⎜ −3x + 2 y ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ lo que muestra que estos dos vectores generan Π. Además, son LI ya que uno no es un múltiplo escalar del otro. ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 0 , 1 Es decir, ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ es una base para Π. ⎪⎜ −3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

5.2 Propiedades de las bases Teorema 1 Si { v1 , v2 ,..., vn } es una base de V y si v ∈ V , entonces existe un único conjunto de escalares c1 , c2 ,..., cn tales que v = c1v1 + c2 v2 + ... + cn vn . Demostración Suponga que v pudiera expresarse de dos formas diferentes como combinación lineal de los vectores de la base. v = c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn v n = d1 v1 + d 2 v 2 + ... + d n v n , (c1 − d1 ) v1 + (c2 − d 2 ) v 2 + ... + (cn − d n ) v n = 0.

Como { v1 , v2 ,..., vn } es LI, entonces c1 − d1 = c2 − d 2 = ... = cn − d n = 0 ⇒ ci = di , ∀i.

¿Contienen todas las bases de un espacio vectorial el mismo número de vectores? El siguiente teorema nos da la respuesta a esta pregunta. Teorema 2 Si {u1 , u 2 ,..., u m } y { v1 , v2 ,..., vn } son bases en un espacio vectorial V, entonces m = n.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

63

Capítulo 1: Espacios vectoriales Demostración Sean S1 = {u1 , u 2 ,..., u m } y S 2 = { v1 , v 2 ,..., v n } dos bases para el espacio vectorial V. Suponga que m ≠ n, entonces m > n o n > m. Si m > n, veamos que S1 es LD. Cada vector de S1 se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base S 2 . u1 = a11 v1 + u2 = a21 v1 +

a12 v 2 + a22 v 2 +

#

"+ "+

a1n v n a2 n v n

"+

# amn v n .

#

um = am1 v1

am 2 v 2

Para demostrar que S1 es LD veamos que en la combinación lineal c1u1 + c2 u 2 + ... + cm u m = 0

(1)

existe ci ≠ 0. c1 (a11 v1 + a12 v 2 + ... + a1n v n ) + c2 (a21 v1 + a22 v 2 + ... + a2 n v n ) + ... +cm (am1 v1 + am 2 v 2 + ... + amn v n ) = 0.

Reagrupamos los términos de la ecuación así: (c1a11 + c2 a21 + ... + cm am1 ) v1 + (c1a12 + c2 a22 + ... + cm am 2 ) v 2 + ... +(c1a1n + c2 a2 n + ... + cm amn ) v n = 0.

Como { v1 , v2 ,..., vn } es LI, entonces a11c1 + a12 c1 +

a21c2 + a22 c2 +

"+ "+

# a1n c1 +

# a2 n c2 +

"+

am1cm = 0 am 2 cm = 0 # am n cm = 0,

el cual es un sistema homogéneo de n ecuaciones con m incógnitas, con m > n, luego tiene infinitas soluciones y, por tanto, existen escalares c1 , c2 ,..., cm , no todos cero, que verifican (1), y en consecuencia S1 es LD. De forma análoga se razona para el caso en que n > m.

64

5.3 Dimensión. Definición, ejemplos y propiedades

Módulo 5: Bases y dimensión

Definición 2 La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base para V. Como el conjunto {0} es linealmente dependiente, se dice que el espacio vectorial {0} tiene dimensión cero. Cuando la base del espacio vectorial V es un conjunto finito de vectores, se dice que V es de dimensión finita. Sin embargo, existen muchos espacios vectoriales para los cuales no hay una base con un número finito de vectores; estos espacios son de dimensión infinita, por ejemplo el espacio vectorial P de todos los polinomios y el espacio C[a, b] de funciones continuas en [a, b] . La dimensión de V se denota por dim V. Ejemplos 5.

dim \ n = n.

6.

dim Pn = n + 1.

7.

dim M mn = mn.

Teorema 3 Si dim V = n y {u1 , u 2 ,..., u m } es un conjunto LI de m vectores de V, entonces m ≤ n.

La dimensión de un espacio vectorial es el máximo número de vectores LI que hay en el espacio vectorial. Teorema 4 Sea H un subespacio del espacio vectorial V de dimensión finita; entonces, dim H ≤ dim V .

Demostración Sea { v1 , v2 ,..., vn } una base para V, es decir, dim V = n. Cualquier conjunto LI de vectores de V tiene a lo más n vectores. Como H ⊂ V , todo conjunto LI de H también es LI en V. Luego H es de dimensión finita y dim H ≤ n. Ejemplos 8.

Sea P [0,1] el conjunto de polinomios definidos en el intervalo [0,1] . Como todo polinomio es una función continua, entonces P [0, 1] ⊂ C[0, 1] (funciones continuas en el intervalo [0, 1] ). Si C[0, 1] fuese de dimensión finita, Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

65

Capítulo 1: Espacios vectoriales entonces P [0, 1] tendría también dimensión finita, pero no existe un conjunto finito de polinomios que genere P [0, 1], luego C[0, 1] es de dimensión infinita. Todo espacio vectorial que contenga un subespacio de dimensión infinita es de dimensión infinita. 9.

n Sea A una matriz m × n y sea S = {x ∈ R : Ax = 0} .

Suponga que x1 ∈ S y x2 ∈ S, entonces A(x1 + x 2 ) = Ax1 + Ax 2 = 0 + 0 = 0 y A(α x1 ) = α ( Ax1 ) = α 0 = 0. Luego S es un subespacio de \n y dim S ≤ n . A S se le llama espacio solución del sistema homogéneo Ax = 0 o núcleo de la matriz A. 10.

Determinemos una base para el espacio solución del sistema homogéneo

x − y − z = 0, 2x − y + z = 0. ⎡ 1 −1 −1⎤ ⎡ 1 −1 −1⎤ ⎡ 1 0 2⎤ . ⎢ 2 −1 1⎥ → ⎢ 0 ⎥ → ⎢ 0 1 3⎥ 1 3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Luego,

x = −2 z, y = − 3 z. z = 1z. ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Todo vector del espacio solución es múltiplo escalar del vector ⎜ −3 ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠ Por tanto, ⎧⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ B = ⎨⎜ −3 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

Un conjunto de vectores en un espacio vectorial V es una base para V si genera a V y es LI. Ahora, si se sabe que la dimensión del espacio es n, basta verificar una de las dos condiciones. Teorema 5 Sea V un espacio vectorial de dimensión n y sea S = { v1 , v2 ,..., vn } un conjunto de n vectores en V.

66

Módulo 5: Bases y dimensión a.

Si S es LI, entonces es una base para V.

b.

Si S genera a V, entonces es una base para V.

Demostración a.

Como S es LI, debemos demostrar que S genera a V. Si S no genera a V, existe un v n +1 ∈ V tal que v n +1 ∉gen { v1 , v 2 ,..., v n } , luego

{v1 , v 2 ,..., v n , v n+1}

es subconjunto de V, LI con n + 1 vectores; por tanto,

dim V > n, lo cual es absurdo. Para determinar si un subconjunto S de \n es una base para \ n , primero contamos el número de elementos de S. Si S tiene n elementos, cualquiera de las partes del teorema 5 nos permite determinar si S es base. Si S no tiene n elementos, no es base para \ n . De la misma forma se procede en cualquier espacio o subespacio vectorial cuya dimensión sea conocida. Teorema 6 Si S es un conjunto LI de vectores en un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces existe una base B para V, que contiene a S. El teorema nos dice que un conjunto LI de vectores en un espacio vectorial V se puede extender a una base para V.

5.4 El problema de la base Este problema puede presentarse en una de estas dos formas: 1.

Construir una base para V, tomando los vectores de V. Si puede escoger un conjunto de vectores que genere a V, puede eliminar los vectores LD, si los hay, y obtener una base para V.

2.

Dado un conjunto S de vectores de V, construir una base para V añadiendo, o bien eliminando, algunos vectores de S, o ambas cosas. Si S genera a V, se procede como en el caso anterior. Si no, se aumenta S hasta obtener un generador y luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo Sea S = {(1, − 1, 1), (0, 1, − 1)} . Obtenga una base de \ 3 que contenga a S. Solución Como \ 3 tiene dimensión tres, la base para \ 3 debe contener tres vectores.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

67

Capítulo 1: Espacios vectoriales El conjunto S es LI, ya que los vectores de S no son uno un múltiplo escalar del otro, luego lo que hace falta es añadir otro vector v tal que v ∉ gen S.

gen S = {x / x = a(1, − 1, 1) + b(0, 1, − 1)} = {x / x = (a, − a + b, a − b)} . Si v = ( x1 , x2 , x3 ) perteneciera a gen S , entonces: x1 = a, x2 = − a + b, x3 = a − b,

y por tanto

0 ⎡1 ⎢ 1 1 − ⎢ ⎢⎣ 1 −1

⎡1 0 x1 ⎤ ⎥ operaciones ⎢ → x2 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ elementales ⎢0 1 ⎢⎣ 0 −1 x3 ⎥⎦

⎡ ⎢ x1 ⎤ ⎢1 0 ⎥ x1 + x2 ⎥ → ⎢0 1 ⎢ x3 − x1 ⎥⎦ ⎢0 0 ⎢ ⎣⎢

⎤ ⎥ x1 ⎥ ⎥. x1 + x2 ⎥ x3 − x1 + x1 + x2 ⎥    ⎥ x3 + x2 ⎦⎥

Así que si x3 + x2 = 0, v ∈ gen S , entonces tomamos v de tal manera que x3 + x2 ≠ 0; por ejemplo, v = (0, 1, 0) . Una base para \ 3 será B = {(1, − 1, 1), (0, 1, − 1), (0, 1, 0)} . Otra forma de solución Si v = ( x1 , x2 , x3 ) es tal que {(1, − 1, 1), (0, 1, − 1), ( x1 , x2 , x3 )} fuera LD, entonces:

1

−1

1

0 x1

1 x2

−1 = 0 x3

1( x3 + x2 ) + x1 (1 − 1) = 0 ⇒ x3 + x2 = 0.

Luego para que el conjunto sea LI, lo que se requiere es que x3 + x2 ≠ 0 . Otra manera podría ser probar los vectores de la base canónica hasta que uno de ellos funcione.

68

Módulo 5 En los ejercicios 1 a 4 explique mediante inspección por qué los vectores dados no forman una base del espacio vectorial dado. u 2 = (−1, 2) , u 3 = (2, 4), para \2 .

1.

u1 = (3, 2),

2.

w1 = (8, 3, 5, 4), w 2 = (0, 5, 7, 1) , w 3 = (−1, 3, 2, 0), para \4 .

3.

P1 = 1 + 2 x + 3 x 2 , P2 = 2 x + x 2 , P3 = 5 − 3 x, P4 = 3 − 5 x + x 2 , para P2.

4.

⎡3 0 ⎤ ⎡ 5 7⎤ ⎡9 7 ⎤ M1 = ⎢ , M2 = ⎢ , M3 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ , en M 22 . ⎣0 2 ⎦ ⎣ −1 0 ⎦ ⎣2 5⎦

En los ejercicios 5 a 11 determine cuándo los vectores dados forman una base del espacio vectorial dado. 5.

u1 = (3, 5), u 2 = (4, 8), en \2 .

6.

u1 = (1, 1), u 2 = (−2, − 2), en \2 .

7.

u1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0), en \3 .

8.

u1 = (2, 1, 2), u 2 = (1, − 2, − 3), u3 = (5, 0, 1), en \3 .

9.

P1 = 1 + x, P2 = 3 − x, para P 1.

10.

q1 = 1 + x + x 2 , q2 = x + 2 x 2 , q3 = 3 x 2 , para P2.

11.

⎡1 0 ⎤ M1 = ⎢ ⎥, ⎣0 0⎦

⎡1 1 ⎤ M2 = ⎢ ⎥, ⎣0 0⎦

⎡1 1 ⎤ M3 = ⎢ ⎥, ⎣1 0 ⎦

⎡1 1⎤ M4 = ⎢ ⎥ , en M 22 . ⎣1 1⎦

En los ejercicios 12 a 17 encuentre una base del espacio vectorial dado y determine su dimensión. 12.

Todos los vectores en \ 2 cuyas componentes suman cero.

13.

Todas las matrices simétricas de 3× 3.

Capítulo 1: Espacios Álgebra Linealvectoriales Elemental y Aplicaciones 69

14.

Todas las matrices antisimétricas de 3× 3.

15.

Todos los vectores de \ 3 que están en el plano 2x − y − z = 0.

16.

3 Todos los vectores de \  que están en la recta x = 3t , y = −2t , z = t.

17.

Todos los polinomios de P2 de la forma a0 + a1 x + a2 x 2 , con a0 = a2 − a1 .

18.

3 Determine una base para \  que incluya los vectores

a.

(1, 1, 2),

b.

(1, 1, 2),

(3, 0, 1).

19.

Determine una base para \ 4 que incluya a los vectores (1, 0, 1, 0) y (0, 1, − 1, 0).

20.

2 Determine todos los valores de a para los cuales {( a , 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} es una base para \3 .

21.

Proporcione un ejemplo de un subespacio de dimensión dos de \4 .

En los ejercicios 22 a 25 encuentre una base para el espacio solución del sistema homogéneo dado.

x+ y−z =0

22.

2x − y + 2z = 0 x− y =0

23.

−3x + 3 y = 0 24.

x − 3y + 2z = 0 −2 x + y + 3 z = 0 3x − 4 y + 5 z = 0

25.

−x + 3 y − 2z = 0 −3 x + 9 y − 6 z = 0 2x − 6 y + 4z = 0

26.

Elabore una argumentación que justifique el teorema 3.

27.

Elabore una argumentación que justifique el teorema 5b.

28.

Elabore una argumentación que justifique el teorema 6.

Ejercicios del módulo 5

70

6

Subespacios asociados con una matriz Contenidos del módulo 6.1 6.2 6.3 6.4

Espacios nulo, renglón y columna de una matriz A Propiedades Relaciones con el espacio nulo o núcleo de una matriz A Relaciones con el rango de una matriz A

Subespacios asociados a la matriz

⎡3 A = ⎢3 ⎣⎢4

Objetivos del módulo

⎤ −1⎥ , R 5⎦ ⎥ C

0 −1 0 0

N A : eje x2 A

: plano x1 x3

A

: plano de ecuación x1 − x2 = 0

1. Determinar los subespacios asociados con una matriz. 2. Establecer las diferentes relaciones que existen entre estos subespacios. 3. Utilizar estos subespacios para determinar bases de subespacios generados por un conjunto de vectores. 4. Utilizar el rango de una matriz para determinar cuándo un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo tiene solución.

Preguntas básicas 1. ¿Cuáles son los subespacios asociados con A? En las siguientes preguntas, la matriz B es la matriz escalonada equivalente por renglones a A. 2. ¿Cómo son los espacios nulo y renglón de las matrices A y B? 3. ¿Qué relación existe entre los espacios renglón y columna de A? 4. ¿Cómo se relacionan los espacios nulo y renglón de A? 5. ¿Qué es el rango de una matriz? 6. ¿Cómo se relacionan los rangos de A y B? 7. ¿Qué condición debe cumplir el término b en la ecuación matricial Ax = b para que el sistema tenga solución? 8. ¿Cómo se relacionan el rango y la nulidad de A con el número de columnas de A?

Introducción En esta sección se darán técnicas que nos permiten determinar una base para un espacio vectorial que surge como generado por un conjunto de vectores que no son linealmente independientes. Además, asignaremos a cada matriz A un número que nos informa acerca del número de renglones o columnas LI de A. Este número será el rango de la matriz.

Vea el módulo 6 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

71

Capítulo 1: Espacios vectoriales

6.1 Esp acios nulo, renglón y columna de una matri Espacios matrizz A Definición 1

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Base para el espacio nulo de A»

Sea A una matriz m × n . El conjunto N A = {x ∈ \ n Ax = 0}

se llama espacio nulo de A o núcleo de A y se denota por NA. En el ejemplo 9 del módulo 5 mostramos que este conjunto es un subespacio de \n . A la dimensión de N A se le llama nulidad de A y se denota ν ( A) . Ejemplo 1 −1

⎡1 Sea A = ⎢ ⎣3

2⎤ . 0 ⎥⎦

1

Determine el espacio nulo de A. Solución La matriz A es la matriz de coeficientes del sistema homogéneo Ax = 0 . Hacemos operaciones elementales de renglón para hallar las soluciones de este sistema. ⎡1 ⎢3 ⎣

−1

2⎤ ⎡1 R2 → R2 − 3R1 ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣0

1

⎡1 R1 → R1 + R2 ⎢ ⎣0

0

1

1

−3

⎤ ⎥ 2⎦

2

⎧⎛ − 1 2 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟⎪ N A = gen ⎨⎜ 3 2 ⎟ ⎬ , ν ( A) = 1. ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎠⎭ ⎩⎝

Definición 2 ⎡ a11 ⎢a 21 Sea mA× n = ⎢ ⎢ # ⎢ ⎣ am1

72

a12 a22 # am 2

" a1n ⎤ " a2 n ⎥⎥ . # ⎥ ⎥ " amn ⎦

−1 4

2⎤ 1 ⎡ 1 R2 → R2 ⎢ −6 ⎥⎦ 4 ⎣ 0

1 x1 = − x3 2 3 x2 = x3 2 x3 = x3

−1 1

2 ⎤ − 3 2 ⎥⎦

Módulo 6: Subespacios asociados con una matriz i.

El espacio generado por los renglones de A, r1 = (a11 , a12 ,..., a1n ), r2 = (a21 , a22 ,..., a2 n ) ,..., rm = (am1 , am 2 ,..., amn ),

es un subespacio de \ n llamado espacio renglón de A y se denota RA. ii.

El espacio generado por las columnas de A ⎡ a11 ⎤ ⎡ a12 ⎤ ⎡ a1n ⎤ ⎢a ⎥ ⎢a ⎥ ⎢a ⎥ c1 = ⎢ 21 ⎥ , c 2 = ⎢ 22 ⎥ ,..., c n = ⎢ 2 n ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ am1 ⎦ ⎣ am 2 ⎦ ⎣ amn ⎦

es un subespacio de \ m llamado espacio columna de A y se denota C A .

6.2 Propiedades Teorema 1 Si A y B son matrices m × n equivalentes por renglones, entonces los espacios generados por los renglones de A y de B son iguales. Demostración Si A y B son equivalentes por renglones, entonces B se obtiene de A por operaciones elementales de renglón. Es claro que la operación de intercambio de renglones no afecta el espacio renglón. Las otras operaciones CRi y R j + CRi son combinaciones lineales entre los renglones de A, las cuales pertenecen al espacio renglón A. Por tanto, el espacio generado por los renglones de B está contenido en el espacio generado por los renglones de A, RB ⊂ RA . De forma análoga se ve que RA ⊂ RB . En consecuencia, RA = RB . Este resultado nos permite determinar una base para un espacio vectorial generado por un conjunto de vectores dado de \n . Ejemplo 2 ⎧⎛ 2 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ −3 ⎟ ⎪ Sea S = ⎨⎜ 4 ⎟ , ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎩⎪⎝ 2 ⎠

⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −6 ⎟ ⎜ 5 ⎟, ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠

⎛ −10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 15 ⎟ ⎜ −14 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 7 ⎟ ⎝ ⎠

Determine una base para gen S.

⎛ −8 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 12 ⎟ ⎪⎪ ⎜ −10 ⎟ ⎬ . ⎜ ⎟⎪ ⎜ 4 ⎟⎪ ⎜ 9 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Espacio de renglones y columnas»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

73

Capítulo 1: Espacios vectoriales Solución Tomamos los vectores de S como renglones de una matriz A y por medio de operaciones elementales obtenemos una matriz equivalente B en forma escalonada. Los renglones no nulos de B serán LI y formarán una base para RB que es el mismo RA. Estos vectores tomados como columnas serán una base para gen S. ⎡ 2 ⎢ 4 A=⎢ ⎢ −10 ⎢ ⎣ −8

−3

2⎤ ⎡1 ⎢0 −6 5 3 −4 ⎥⎥ operaciones elementales ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →B = ⎢ ⎢0 15 −14 3 7 ⎥ ⎥ ⎢ 12 10 4 9 ⎦ ⎣0 4

1

⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ 3 ⎟ ⎪⎜ − 2 ⎟ ⎪ Base para gen S = ⎨⎜ 2 ⎟ , ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎩⎪⎝ 1 ⎠

⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟, ⎜ 1 ⎟ ⎜− 3⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ 3 ⎠

−3

2

1

0

1

−1

0 0

0 0

1 0

2

2 3

1⎤ ⎥ 3 ⎥. 1 ⎥ 10 ⎥ 0⎦ 8

⎛ 0 ⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 0 ⎟ ⎪⎪ ⎜ 0 ⎟⎬. ⎜ ⎟⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ 10 ⎠ ⎭

Observación Si B es una matriz escalonada, entonces dim RB es igual al número de pivotes de B. Teorema 2 Sea B una matriz m × n en la forma escalonada por renglones. Las columnas de B que contienen los pivotes forman una base para CB y, por tanto, dim CB es igual al número de pivotes de B. Demostración Las columnas de B que contiene n pivotes son LI porque sus entradas distintas de cero están en forma escalonada (en el ejemplo 2 las columnas 1, 3 y 4 son LI) . Veamos que estas columnas generan CB . Sea ρ el número de pivotes de B. Los primeros ρ renglones de B son diferentes de cero y los últimos m – ρ son todos cero. Sea b ∈ CB , b es combinación lineal de las columnas de B, luego los últimos m – ρ componentes de b son todos cero. Formemos una matriz Tm × ρ ( ρ : # de renglones de B diferente de cero) tomando las columnas de B que contienen los pivotes y las colocamos ordenadamente,

74

Módulo 6: Subespacios asociados con una matriz

Tm×ρ

⎡* " " ⎤ ⎢0 * " ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ # =⎢ ⎥ ⎢0 0 " *⎥ ⎢# # ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 " 0 ⎥⎦

}

ρ

Las entradas señaladas con * son los pivotes de B y por tanto diferentes de cero. Por la forma especial de T y b, la ecuación T ρx×1 = mb×1 puede resolverse por sustitución regresiva. Luego b es combinación lineal de las columnas de T y, por tanto, de las columnas de B que contienen pivotes. Teorema 3 Sea mA× n y mB×n la matriz que resulta al reducir A a su forma escalonada. Los vectores columna de B que contienen los pivotes forman una base para CB , entonces los vectores columna correspondientes de A formarán una base para C A y, en consecuencia, dim C A = dim CB .

Podemos ahora reunir los siguientes resultados: RA = RB .

ρ : número de pivotes de B. dim RB = dim RA = ρ . dim CB = ρ . dim CB = dim C A .

Luego dim RA = dim CA = ρ . Definición 3 El rango de A, denotado por ρ ( A), es la dimensión de los espacios fila y columna de A.

6.3 Relaciones con el espacio nulo o núcleo de una matriz A

Consulte el apéndice «Una aplicación interesante de los espacios vectoriales» al final de este texto.

Sea mA× n y mB× n la matriz que resulta al reducir A a su forma escalonada.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

75

Capítulo 1: Espacios vectoriales Sabemos que: N A = NB . RA = RB .

La dimensión de N A es igual al número de parámetros en la solución del sistema equivalente reducido B x = 0. La dimensión del espacio renglón de B es igual al número de variables principales del sistema Bx = 0. El número de variables principales más el número de parámetros es n. De todos estos hechos se deduce el siguiente teorema. Teorema 4 Si A es una matriz m × n , entonces: dim RA + dim N A = n dim C A + dim N A = n

o ρ( A) +ν ( A) = n.

Teorema 5 Sea mA× n . Cada vector del espacio renglón de A, RA es ortogonal a todo vector del espacio nulo de A, N A .( RA ⊥ N A ). Demostración Consideremos la ecuación A x = 0 . r1 → ⎡ a11 ⎢ r2 → ⎢ a21 ⎢ # ⎢ rm → ⎣ am1

a12 a22 # am 2

" a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ " a2 n ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ = # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢# ⎥ . ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ " amn ⎦ ⎣ xn ⎦ ⎣ 0 ⎦

Si x ∈ N A , Ax = 0. Por tanto, si ri es el i-ésimo renglón de A, ri ⋅ x = 0, para

i = 1,..., m . Ahora, si y ∈ R A , entonces y = C1r1 + C 2 r2 + ... + C m rm y y ⋅ x = C1r1 ⋅ x + C2 r2 ⋅ x + ... + Cm rm ⋅ x = 0,

luego todo vector del espacio renglón es ortogonal a todo vector del espacio nulo.

76

Módulo 6: Subespacios asociados con una matriz Ejemplo 3

⎡0 Sea A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

−3

1

−2 3 4 −6

3 6

2

2⎤ ⎥. ⎥ ⎥⎦

1 7

Determinemos N A , C A , ρ A , ν A . Solución

⎡0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

2 −3 −2 3

1 3

−6

6

4

⎤ ⎡0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ operaciones elementales → ⎥ ⎢0 ⎢⎣ 0 7 ⎥⎦ 2 1

1 0

−3

0

1

0

0

0

2

1

2

1⎤ ⎥ 4 ⎥. 0 ⎥⎦

3

Solución del sistema homogéneo: Variables principales x2 y x4 . 3 x4 = − x5 , 4 x2 =

3 1 x3 − x4 − x5 . 2 2

Aplicando sustitución regresiva:

x2 =

3 1⎛ 3 ⎞ 3 5 x3 − ⎜ − x5 ⎟ − x5 = x3 − x5 . 2 2⎝ 4 ⎠ 2 8

Parámetros: x1 , x3 y x5 . Entonces: x1 = x1 , x2 = x3 = x4 = x5 =

3 5 x3 − x5 , 2 8 x3 , 3 − x5 , 4 x5 .

⎛ x1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜3 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 8⎟ ⎜ x3 ⎟ ∈ N A ⇔ ⎜ x3 ⎟ = x1 ⎜ 0 ⎟ + x3 ⎜ 1 ⎟ + x5 ⎜ 0 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜ x4 ⎟ ⎜ x4 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜ 4⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜x ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

77

Capítulo 1: Espacios vectoriales ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎪ ⎪ ⎪ N A = gen ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ , ν A = 3. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ 0 0 −3 ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎩⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎭⎪

Escuche la biografía de Richard Hamming en su multimedia de Álgebra Lineal

Observamos que la nulidad de A es igual al número de parámetros en la solución del sistema homogéneo Ax = 0. 3 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎫ ⎧⎛ RA = gen ⎨⎜ 0, 1, − , , 1⎟ , ⎜ 0, 0, 0, 1, ⎟ ⎬ . 2 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩

Los pivotes se encuentran en la 2.ª y 4.ª columnas de la matriz escalonada equivalente a A, luego en A las columnas 2.ª y 4.ª son LI y constituyen una base para C A . ⎧⎛ 2 ⎞ ⎪⎜ ⎟ C A = gen ⎨⎜ −2 ⎟ , ⎪⎜ 4 ⎟ ⎩⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 3 ⎟⎬ , ⎜ 6 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

ρ A = 2.

El rango de A es el número de variables principales en la solución del sistema homogéneo Ax = 0. Podemos comprobar que cada vector de RA es ortogonal a cualquier vector de NA.

6.4 Relaciones con el rango de una matriz A Teorema 6 Sea A . A es invertible si y sólo si n× n

a.

ν ( A) = 0.

b.

ρ( A) = n.

Teorema 7 Sea mA× n . El sistema Ax = b tiene solución si y sólo si b ∈ CA . Demostración A x = b tiene solución si y sólo si ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ [c1 , c 2 ,..., c n ] ⎢ 2 ⎥ = b tiene solución. ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦

78

Esto es: c1 x1 , c 2 x2 + ... + c n xn = b (ci : columna i de A) tiene solución.

Módulo 6: Subespacios asociados con una matriz

De modo que b es combinación lineal de las columnas de A. Es decir que b ∈ CA . Nota: el teorema anterior establece que para que A x = b tenga solución es necesario y suficiente que

ρ ( A ) = ρ [ A# b ] ρ ( A ) = ρ [ A# b ] ⇔ b ∈ C A ρ ( A ) ≠ ρ [ A# b ] ⇔ b ∉ C A y el sistema será inconsistente. Ejemplo 4 Veamos si el sistema

x+ y−z = 7 6 x + y + 3 z = 20 4 x − y + 5z = 4 tiene solución. Solución ⎡1 ⎢ ⎢6 ⎢⎣ 4

1

−1

1

3

−1

5

⎡ 1 ⎢ →⎢ 0 ⎢⎣ 0

⎡ 1 7 ⎤ ⎥ ⎢ 20 ⎥ → ⎢ 0 ⎢⎣ 0 4 ⎥⎦ 1 1 0

−1 −9

5

0

1

−1

−5

9

−5

9

⎡ 1 7 ⎤ ⎥ ⎢ −22 ⎥ → ⎢ 0 ⎢⎣ 0 −24 ⎥⎦

1

−1

−5

9

0

0

7 ⎤ ⎥ −22 ⎥ −2 ⎥⎦

7 ⎤ ⎥ 5 ⎥ ρ ( A) = 2 , b ∉ CA 1 ⎥⎦ ρ ( A# b) = 3

22

y el sistema no tiene solución.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

79

Módulo 6 En los ejercicios 1 a 3 se da una matriz en forma escalonada. Encuentre una base para su espacio renglón, una base para su espacio columna y determine su rango. 1.

⎡ 1 5 3 0 1⎤ ⎢ 0 0 1 7 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0 0 1⎥⎦

2.

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

4 0 0 0

5⎤ 1⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

3.

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

4 0 5⎤ 1 3 0 ⎥⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

En los ejercicios 4 a 9 encuentre bases para los espacios nulo, renglón y columna de la matriz dada. Determine además el rango y la nulidad y verifique en cada caso que ρ A +ν A = n. 4.

⎡ 3 ⎢ 4 ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣ 0

7.

⎡ 0 2 −3 1 2 ⎤ ⎢0 −2 3 3 1⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0 4 −6 6 7 ⎥⎦

2 5⎤ 3 2 ⎥⎥ 7 8⎥ ⎥ 6 1⎦

5.

⎡ 1 2 −3 ⎤ ⎢ 2 4 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −3 −6 0 ⎥⎦

6.

⎡ 2 4 0 0⎤ ⎢ 1 0 3 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 6 4 0 ⎥⎦

8.

⎡ 1 4 −1 ⎢ 2 −2 3 ⎢ ⎢1 6 0 ⎢ ⎣2 8 9

9.

⎡ −1 − 1 0 ⎢0 0 2 ⎢ ⎢ 4 0 −2 ⎢ ⎣ 3 −1 0

0⎤ 1 ⎥⎥ 2⎥ ⎥ 0⎦

En los ejercicios 10 a 12 encuentre una base para el espacio generado por los conjuntos de vectores dados. 10.

(2, 3, 5), (−1, 0, − 2), (5, 6, 12), (2, 1, 0).

11.

⎡2⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥, ⎢2⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

12.

(−2, 6, 4, 1), (1, 0, − 3, 5), (0, 4, − 2, 1).

80

⎡ 3⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥, ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦

⎡1 ⎤ ⎢2⎥ ⎢ ⎥, ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣2⎦

⎡1⎤ ⎢1⎥ ⎢ ⎥, ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎣1⎦

⎡5⎤ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥. ⎢5⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 3⎦

Capítulo 1: Espacios vectoriales

0⎤ 3 ⎥⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦

En los ejercicios 13 a 15 determine si el sistema dado tiene solución. 13.

x+ y−z = 2 x + 2 y + 2 z = −3 2x + 3y + z = 1

14.

x+ y−z = 2

15.

x + 2 y + 2 z = −3 2 x + 3 y + z = −1

x − 2y + z + w = 2 + 2 z − 2w = −8

3x

4y − z − w =1 5x

+ 3z − w = −3

16.

Sea A una matriz diagonal. Demuestre que ρ ( A) es el número de componentes diferentes de cero en la diagonal.

17.

Demuestre que para cualquier matriz A, ρ ( A) = ρ ( At ).

18.

Sea A una matriz triangular n × n con ceros en la diagonal. Demuestre que ρ ( A) < n.

19.

n Sea A una matriz n × n . Demuestre que ρ ( A) < n si y sólo si existe un vector x ∈ \  tal que x ≠ 0 y Ax = 0.

20.

¿Son los siguientes enunciados verdaderos o falsos? Justifique su respuesta. a.

Si A es una matriz de m × n, entonces \ A = C A .

b. c.

Si A es una matriz 5 × 3, entonces las columnas de A deben ser LI. Si A es una matriz 3 × 5 , las columnas de A no pueden ser LI. Si A es una matriz de m × n y las columnas de A son LI, entonces Ax = b puede o no tener solución. Pero si tiene solución, ésta es única.

d.

21.

Sea A una matriz m × n. a.

Si las columnas de A son LI, ¿cuál es el rango de A y cuál es la relación entre m y n?

b.

 m Si las columnas de A generan \ , ¿cuál es el rango de A y cuál es la relación entre m y n?

c.

 m Si las columnas de A forman una base de \ , ¿cuál es la relación entre m y n?

Ejer cicios módulo 681 Álgebra del Lineal Elemental y Aplicaciones Ejercicios

82

7

Coordenadas y cambio de base Contenidos del módulo 7.1 Vectores coordenados 7.2 Matrices de transición y cambio de base 7.3 Vectores coordenados e independencia lineal

⎡5.5⎤ B 1 = v1 , v 2 , ⎣⎡ v ⎦⎤ B = ⎢ ⎥ 1 ⎣⎢ 4.5⎦⎥

{

}

⎡2⎤ B2 = v1′ , v ′2 , ⎡⎣ v ⎤⎦ B = ⎢ ⎥ 2 ⎣⎢ 2 ⎦⎥

{

Objetivos del módulo

}

Coordenadas con respecto a diferentes bases.

1. Introducir bases ordenadas para los espacios vectoriales. 2. Expresar los vectores como vectores de coordenadas. 3. Establecer el manejo algebraico de los vectores de coordenadas. 4. Determinar la matriz de transición de una base a otra en un espacio vectorial. 5. Deducir un algoritmo que permita pasar la expresión de un vector de una base a otra. 6. Utilizar la expresión de un vector como vector coordenado para determinar cuándo un conjunto de vectores es LI.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se expresa un vector como vector coordenado en una base B? 2. ¿Cómo se realizan las operaciones de suma y producto por un escalar entre los vectores de coordenadas de un espacio V? 3. ¿Cómo están formadas las columnas de la matriz de transición de una base B1 a una base B2 ? 4. ¿Cómo se relacionan las matrices de transición de B1 a B2 y de B2 a B1 ? 5. ¿Cómo se realiza el cambio de la expresión de un vector de una base B1 a una base B2 ? 6. ¿Cómo se emplean los vectores coordenados para determinar si un conjunto es LI?

Introducción Hemos introducido las llamadas bases estándar o canónicas que, por lo general, son más fáciles de usar. Sin embargo, hay muchos problemas de la física y la ingeniería donde es más adecuado el uso de otras bases. En este módulo veremos la manera de pasar la expresión de un vector de una base a otra.

Vea el módulo 7 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

83

Capítulo 1: Espacios vectoriales

7.1 Vectores coordenados Definición 1 Sean V un espacio vectorial de dimensión n y B = { v1 , v2 ,..., vn } una base para V. Entonces, para cada v ∈V existen escalares únicos a1 , a2 ,..., an tales que: v = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an vn .

El vector cuyos componentes son los escalares a1 , a2 ,..., an se llama vector de coordenadas o vector coordenado de v con respecto a B y se escribe:

[ v ]B

⎡ a1 ⎤ ⎢a ⎥ = ⎢ 2⎥ ⎢ # ⎥. ⎢ ⎥ ⎣ an ⎦

Es importante observar que [ v ]B depende del orden de los elementos de B. Luego al dar la base B debe siempre asumirse ésta como una base ordenada. Un vector de coordenadas es una n-tupla ordenada. Ejemplo 1 ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ 2 En \ , la base canónica está compuesta por los vectores e1 = ⎜ ⎟ y e 2 = ⎜ ⎟ , 0 ⎝ ⎠ ⎝1⎠ 2 pero dos vectores de \ 2 LI también forman una base para \ , así: los vectores

⎛1⎞ ⎛ 3⎞ v1 = ⎜ ⎟ y v 2 = ⎜ ⎟ forman otra base de \ 2 . ⎝ 2⎠ ⎝ 5⎠

⎛ −1 ⎞ Sea x = ⎜ ⎟ ; entonces, x = −1e1 − 1e 2 . ⎝ −1 ⎠ ⎛ −1 ⎞ Si B1 = {e1 , e 2 } ; entonces, (x) B1 = ⎜ ⎟ . ⎝ −1 ⎠

Cuando no se dice explícitamente en qué base está expresado x, se asume que el vector está en la base estándar. ⎧⎪⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎫⎪ x = Sea B2 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎬ , ⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎪⎭ x=

⎛ 1 ⎞ ⎛3⎞ 2 ⎜ ⎟ − 1⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝5⎠ 2 v1 − 1v 2

⎛2⎞ luego (x) B2 = ⎜ ⎟ (figura 7.1). ⎝ −1 ⎠

84

Módulo 7: Coordenadas y cambio de base

Figura

7.1

Ejemplo 2 En P2 , consideremos el polinomio P ( x ) = 3 + 2 x + x 2 , el vector de coordenadas de P( x) :

i.

En la base estándar, B1 = {1, x, x

ii.

En la base B2 = {1 + x, 1 − x 2 , 1 + x + x 2 } es ?

2

} , es: [ P( x)]

B1

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟. ⎜1⎟ ⎝ ⎠

Debemos calcular las constantes c1 , c2 , c3 tales que: P ( x ) = c1 (1 + x ) + c2 (1 − x 2 ) + c3 (1 + x + x 2 ),

lo cual no es más que un problema de combinación lineal. Entonces, 3 + 2 x + x 2 = (c1 + c2 + c3 ) + (c1 + c3 ) x + (−c2 + c3 ) x 2 ,

c1 + c2 + c3 = 3 , c1 + c3 = 2, −c2 + c3 = 1.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

85

Capítulo 1: Espacios vectoriales ⎡1 ⎢ ⎢1 ⎢⎣ 0 ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

1 0

1 1

−1

1

0 1

1 0

0

1

3⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ 2⎥→⎢0 ⎢⎣ 0 1 ⎥⎦ 2⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ 1⎥ → ⎢0 ⎢⎣ 0 2 ⎥⎦

1 1 −1 0 0

1

0 1

0 0

0

1

0⎤ ⎥ 1⎥ , 2 ⎥⎦

3⎤ ⎥ −1⎥ 2 ⎥⎦

luego c1 = 0, c2 = 1 y c3 = 2, así que: 3 + 2 x + x 2 = 0(1 + x ) + (1 − x 2 ) + 2(1 + x + x 2 ),

[ P ( x ) ]B

2

⎡0⎤ = ⎢⎢1 ⎥⎥ . ⎣⎢ 2⎦⎥

Teorema 1 Sea B una base de un espacio vectorial V, u y v dos vectores de V y α un escalar, entonces: [u]B + [ v ]B = [u + v]B ,

α [u]B = [α u]B . Observación Con los vectores de coordenadas se opera en la misma forma que en \ n .

7.2 Matrices de transición y cambio de base Dado un espacio vectorial V con base B1 , podemos expresar cualquier v ∈ V en B1 . Si se tiene una segunda base B2 para V, ¿puede calcularse ( v ) B2 empleando ( v) B1 ? Veamos el problema en \3 . Sean B1 = { v1 , v2 , v3 } y B2 = {w1 , w2 , w3 } dos bases

⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ para \ . Si v ∈ \ , entonces ( v) B1 = ⎜ c2 ⎟ , es decir, ⎜c ⎟ ⎝ 3⎠ 3

3

v = c1v1 + c2 v2 + c3 v3 . Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Cambio 2

de base por rotación en \ »

86

(1)

Módulo 7: Coordenadas y cambio de base Ahora, cada uno de los vectores v1 , v2 , v3 podemos expresarlo en la base B2 , así: v1 = a11w1 + a21w 2 + a31w3 . v 2 = a12 w1 + a22 w 2 + a32 w3 .

(2)

v3 = a13 w1 + a23 w 2 + a33 w3 .

Sustituyendo (2) en (1), tenemos: v = c1 (a11w1 + a21w 2 + a31w 3 ) + c2 (a12 w1 + a22 w 2 + a32 w 3 ) + c3 (a13 w1 + a23 w 2 + a33 w 3 ). = (c1a11 + c2 a12 + c3 a13 )w1 + (c1a21 + c2 a22 + c3 a23 )w 2 +(c1a31 + c2 a32 + c3 a33 )w 3 .

Luego

( v ) B2

⎛ c1a11 + c2 a12 + c3 a13 ⎞ ⎛ a11 ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ c1a21 + c2 a22 + c3 a23 ⎟ = ⎜ a21 ⎜c a +c a +c a ⎟ ⎜a ⎝ 1 31 2 32 3 33 ⎠ ⎝ 31 ↓

a12 a22 a32 ↓

a13 ⎞ ⎛ c1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ a23 ⎟ ⎜ c2 ⎟ a33 ⎟⎠ ⎜⎝ c3 ⎟⎠ ↓

( v1 ) B2 ( v 2 ) B2 ( v 3 ) B2 = ⎡⎣ ( v1 ) B2 ( v 2 ) B2 ( v 3 ) B2 ⎤⎦ ( v ) B1 = PB2 ← B1 ( v ) B1 .

Definición 2 La matriz PB2 ← B1 cuyas columnas son los vectores de la base B1 expresadas en la base B2 recibe el nombre de matriz de transición de la base B1 a la base B2. Si B1 = { v1 , v2 ,..., vn } y B2 = {w1 , w2 ,..., wn } ,

PB2 ← B1

⎡ a11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ ⎣ an1 ↓ ( v1 ) B2

" a1n ⎤ a22 " a2 n ⎥⎥ # # ⎥ ⎥ an 2 " ann ⎦ ↓ ↓ ( v 2 ) B2 ( v n ) B2 a12

Teorema 2 Sean B1 y B2 bases de un espacio vectorial V. Sea PB2 ← B1 la matriz de transición de B1 a B2 ; entonces, para todo x ∈ V ,

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Cambio 3 de base por rotación en \ »

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

87

Capítulo 1: Espacios vectoriales

(x)B2 = PB2 ←B1 (x)B1 . Es importante resaltar que la matriz de transición PB2 ← B1 es invertible. ¿Por qué? Teorema 3 Si P es la matriz de transición de B1 a B2 , entonces P −1 es la matriz de transición de B2 a B1.

Demostración Sabemos que (x) B2 = P(x) B1 . Como P es invertible, multipliquemos por P −1 a la izquierda, en cada lado de la ecuación. P −1 (x) B2 = P −1 P (x) B1

= I (x) B1 = (x) B1 , −1 luego (x) B1 = P (x) B2 .

Este teorema proporciona una forma simple de encontrar la matriz de transición,

PB2 ← B1 , cuando B1 es la base estándar de \n . Si B2 = { v1 , v2 ,..., vn } es otra base cualquiera, la matriz de transición PB1 ← B2 es la matriz cuyas columnas son los vectores de B2 expresados en B1 ; como los vectores de B2 están dados en la base estándar, entonces

PB1 ← B2 = [ v1 v 2 ... v n ], o sea que PB1 ← B2 se forma escribiendo la base B2 como una matriz. Luego, aplicando el teorema, PB2 ←B1 = ( PB1 ←B2 )−1.

Ejemplo 3 ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ En \ , sean B1 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ y B2 = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 1⎟ ⎬ . ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ 3

⎛ x⎞ Expresemos el vector ⎜⎜ y ⎟⎟ ∈ \ 3 en términos de la base B2 . ⎜z⎟ ⎝ ⎠

88

Módulo 7: Coordenadas y cambio de base Solución

⎡1 1 1⎤ ⎢ ⎥ La matriz de transición de B2 a B1 , PB1 ←B2 , está dada por PB1 ← B2 = ⎢0 1 1⎥ . ⎢⎣0 0 1⎥⎦ Encontremos PB2 ← B1 aplicando el algoritmo para la obtención de la inversa, así: ⎡1 1 1 ⎢ ⎢0 1 1 ⎢⎣ 0 0 1

1 0 0⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ 0 1 0⎥ → ⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 0 1 ⎥⎦

0 1

0 0

1 0

0

1

0

−1 0 ⎤ ⎥ 1 −1⎥ 0 1 ⎥⎦

PB2 ←B1

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = PB2 ← B1 ⎜ y ⎟ ⎜z⎟ ⎜z⎟ ⎝ ⎠ B2 ⎝ ⎠ B1

⎡1 −1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x − y ⎤ = ⎢⎢0 1 −1⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢ y − z ⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ Ejemplo 4 Escribamos el polinomio a0 + a1 x + a2 x 2 de P2 en términos de la base B2 = {1, x − 1, x 2 − 1} . 2 Empleando la base estándar, B1 = {1, x, x } , se tiene:

⎛1⎞ ⎜ ⎟ (1) B1 = ⎜ 0 ⎟ , ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ( x − 1) B1 = ⎜ 1 ⎟ , ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ( x − 1) B1 = ⎜ 0 ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠ 2

La matriz de transición PB1 ← B2 es:

PB1 ← B2

⎡1 −1 −1⎤ = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

Determinemos PB2 ← B1

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

89

Capítulo 1: Espacios vectoriales

⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

−1 1 0

−1 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎤ ⎡1 ⎥ ⎢ ⎥ → ⎢0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 0 1 0 0 1

1 0 0

1 1 0

1⎤ ⎥ 0⎥ 1 ⎥⎦

PB ←B 2 1

⎛ a0 ⎞ ⎜ ⎟ a0 + a1x + a2 x expresado como vector coordenado en la base B1 es: ⎜ a1 ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 2⎠ 2

⎛ a0 ⎞ ⎡1 1 1 ⎤ ⎡ a0 ⎤ ⎡ a0 + a1 + a2 ⎤ ⎜ ⎟ ⎢0 1 0⎥ ⎢ a ⎥ = ⎢ ⎥ = a a1 ⎜ 1⎟ ⎢ ⎥⎢ 1⎥ ⎢ ⎥. ⎜a ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 a a 2 ⎝ 2 ⎠ B2 ⎣ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦⎥

Podemos verificar el resultado así: a0 + a1 x + a2 x 2 = ( a0 + a1 + a2 ) + a1 ( x − 1) + a2 ( x 2 − 1).

Ejemplo 5 ⎧⎪⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎪⎫ ⎛2⎞ En \ 2 supongamos que (x) B1 = ⎜ −1⎟ , donde B1 = ⎨⎜ 1⎟ , ⎜ 3 ⎟ ⎬ ; expresemos x en ⎪⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭⎪ ⎝ ⎠ ⎪⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎪⎫ términos de la base B2 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟⎬. ⎩⎪⎝ 3 ⎠ ⎝ −1⎠⎭⎪

(x) B2 = PB2 ← B1 (x) B1 . Las columnas de PB2 ← B1 son los vectores de B1 expresados en B2 . ⎛ 1⎞ ⎛0⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ = a11 ⎜ ⎟ + a21 ⎜ ⎟ , 1 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠

⎛ 2⎞ ⎛0⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ = a12 ⎜ ⎟ + a22 ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ −1 ⎠

A cada una de estas ecuaciones vectoriales la llevamos a un sistema de dos ecuaciones lineales, así: 5a21 = 1 3a11 − 1a21 = 1

⎡0 ⎢ ⎣3

5 −1

1⎤ ⎥ 1⎦

y

5a22 = 2 3a12 − 1a22 = 3

⎡0 ⎢ ⎣3

5 −1

2⎤ ⎥ 3⎦

Estos dos sistemas poseen la misma matriz de coeficientes y por tanto podemos formar una sola estructura con la matriz de coeficientes al lado izquierdo y los términos independientes al lado derecho.

90

Módulo 7: Coordenadas y cambio de base

⎡0 ⎢ ⎣3

5 −1

2 ⎤ operaciones elementales ⎡ 1 →⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3⎦ ⎣0

1 1

0 1

2 1

↓

5 5

⎤ ⎥ 5 ⎦ ↓

17

15

2

⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ B2 ⎝ 3 ⎠ B2 Luego ⎡ 25 PB2 ← B1 = ⎢ ⎣ 15 Entonces,

17 2

⎤ ⎥. 5 ⎦

15

⎡ 2 5 17 15 ⎤ ⎡ 2 ⎤ (x) B2 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 1 5 2 5 ⎦ ⎣ −1⎦ ⎡ 13 ⎤ = ⎢ ⎥. ⎣0⎦

Podemos observar que para obtener la matriz de transición de B1 a B2 , hacemos lo siguiente: ⎡⎣ B2

operaciones elementales B1 ⎤⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎡⎣ I

PB2 ← B1 ⎤⎦ .

7.3 Vectores coordenados e independencia lineal Teorema 4 Sea B1 = { v1 , v2 ,..., vn } una base del espacio vectorial V. Supongamos que ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a a (x1 ) B1 = ⎜ 21 ⎟ , (x 2 ) B1 = ⎜ 22 ⎟ ,..., (x n ) B1 = ⎜ 2 n ⎟ . ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an1 ⎠ ⎝ an 2 ⎠ ⎝ ann ⎠ ⎡ a11 ⎢a Sea A = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ ⎣ an1

a12 " a1n ⎤ a22 " a2 n ⎥⎥ . # # ⎥ ⎥ an 2 " ann ⎦

Entonces {x1 , x 2 ,..., x n } es LI si y sólo si det A ≠ 0. Este teorema se desprende fácilmente del hecho de que los vectores en coordenadas son n-tuplas ordenadas o sea elementos de \n , y del teorema 4 del módulo 4, el cual dice que det A ≠ 0 si y sólo si las columnas de A son LI.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

91

Capítulo 1: Espacios vectoriales Ejemplo 6 En P3 , determine si los polinomios 1 + x 2 , − 1 − 3 x + 4 x 2 + 5 x 3 , 2 + 5 x − 6 x 3 ,

4 + 6 x + 3x 2 + 7 x3 son LD o LI. 2 3 Usando la base estándar de P3 , B1 = {1, x, x , x } , se tiene:

⎛1⎞ ⎜ ⎟ 0 (1 + x 2 ) B1 = ⎜ ⎟ , ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ −3 (−1 − 3 x + 4 x 2 + 5 x 3 ) B1 = ⎜ ⎟ , ⎜4⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ 5 (2 + 5 x − 6 x 3 ) B1 = ⎜ ⎟ y ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −6 ⎠ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ 6 (4 + 6 x + 3 x 2 + 7 x 3 ) B1 = ⎜ ⎟ . ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎝7⎠

Entonces 1 −1 2 0 −3 5 det A = 1 4 0 0 5 −6

Luego los polinomios son LI.

92

4 6 ≠ 0. 3 7

Módulo 7 En los ejercicios siguientes, todas las bases son bases ordenadas. En los ejercicios 1 a 7 calcule el vector coordenado de v con respecto a la base B dada para el espacio vectorial V.

V es \2 ,

⎪⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎪⎫ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎬ , ⎪⎩⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪⎭

V es \ ,

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ B = ⎨⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ , ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

V es \ ,

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎛2⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ B = ⎨⎜ −1⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ , v = ⎜ 3 ⎟ . ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

4.

V es P1 ,

B = {1 + x, − 1 + 2 x} ,

v = 3 + 4 x.

5.

V es P2 ,

B = {1, x − 1, x 2 − 1} ,

v = 1 + 2x − x2 .

6.

V es P2 ,

7.

V es M 22 ,

1.

3

2.

3

3.

⎛ 3⎞ v = ⎜ ⎟. ⎝1⎠ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ v = ⎜ −1⎟ . ⎜0⎟ ⎝ ⎠

B = {1 − x + x 2 ,1 + x,1 + x 2 } ,

v = 3 − 2x + 4x2 .

⎪⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡1 1⎤ ⎪⎫ B = ⎨⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥⎬ ⎩⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣1 1⎦ ⎪⎭

⎡ 2 0⎤ v=⎢ ⎥. ⎣ −1 3⎦

En los ejercicios 8 a 10, sean

⎪⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎫⎪ ⎪⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ B1 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎬ , B2 = ⎨⎜ −1 2 ⎟ , ⎜ ⎪⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪⎭ ⎪⎩⎝ 2 ⎠ ⎝

1

⎞ ⎪⎫ ⎧⎪⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫⎪ ⎪⎧⎛ ⎟ ⎬ , B3 = ⎨⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎬ , B4 = ⎨⎜ 2 ⎠⎪ ⎭ ⎩⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎭⎪ ⎩⎪⎝ 2

1

3 1

2

2

⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎪⎫ ⎟ , ⎜ 3 ⎟⎬ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎭⎪

bases para \ . 2

8.

Halle las matrices de transición a.

de B1 y B2 .

b.

de B2 y B3 .

c.

de B1 y B3 .

Multiplique las matrices de a y b en ambas formas. ¿Está alguno de estos productos relacionado con la matriz de c?

Capítulo 1: Espacios vectoriales Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 93

9.

⎛1⎞ Sea x = ⎜ ⎟ . Exprese ( x ) B1 . Usando las matrices del ejercicio 8, calcule ( x) B2 , ( x) B3 . ⎝1⎠

10.

Calcule las matrices de transición de B2 a B4 y de B4 a B2 .

En los ejercicios 11 a 13 calcule el vector v si el vector de coordenadas [ v ]B está dado con respecto a la base B de V.

11.

V es \ 2 ,

⎧⎪⎛ 2 ⎞ B = ⎨⎜ ⎟ , ⎩⎪⎝ 1 ⎠

⎛ −1⎞ ⎫⎪ ⎜ ⎟⎬ , ⎝ 1 ⎠ ⎭⎪

12.

V es P2 ,

B = {1 − x, 1, 1 + x + x 2 } ,

⎛1⎞ ( v) B = ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠

⎡ −1⎤ ( v) B = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎢⎣ 2 ⎥⎦

B = {−1 + x 2 , 2 + 2 x + x 3 , 1 + 2 x − x 2 + 3 x 3 , 2 x 2 + 3 x 3 } ,

⎡2⎤ ⎢1⎥ ( v)B = ⎢ ⎥ . ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣3⎦

13.

V es P3 ,

14.

2 Sean B1 = {(1, 3), (−1, 2) } , B2 = {(0, 1), (−2, 3) } bases para \ , y sean v = (3, 4), w = (−4, 5) .

a.

Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base B2 .

b.

Determine la matriz de transición PB1 ← B2 de la base B2 en la base B1 .

c.

Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto de B1 utilizando PB1 ←B2 .

d.

Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto de S de manera directa.

e.

Determine la matriz de transición PB2 ← B1 de la base B1 en la base B2 .

f.

Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto de B2 utilizando PB2 ←B1 . Compare las respuestas con las del literal a.

15.

2 2 2 Sean B1 = {1 + x , − 2 + x, 3 + x} y B2 = { x + 2 x , 3 + x + x, x} bases para P2. Sean v = 6 − 4 x + 8 x 2 y

w = 9 − x + 7 x 2 . Responda los literales del ejercicio 14.

16.

Sean B1 = { v1 , v2 } y B2 = {w1 , w 2 } bases para P1 , donde w1 = x , w2 = 1 + x . Si la matriz de transición de B1 a B2 es ⎡ 2 3⎤ ⎢ −1 2 ⎥ , determine B1 . ⎣ ⎦

17.

Sean B1 = { v1 , v2 , v3 } y B2 = {w1 , w 2 , w3 } bases para \ 3 , donde v1 = (1, 0, 1), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1). Si la

⎡ 1 1 2⎤ matriz de transición de B2 en B1 es ⎢⎢ 2 1 1 ⎥⎥ , determine B2 . ⎢⎣ −1 −1 1 ⎥⎦

94

Ejer cicios del módulo 7 Ejercicios

18.

2 Sean B1 = { v1 , v2 } y B2 = {w1 , w 2 } bases para \ , donde v1 = (1, 2), v 2 = (0, 1). Si la matriz de transición de B2 en

⎡ 2 1⎤ B1 es ⎢ 1 1⎥ , determine B2 . ⎣ ⎦

19.

Suponga que los ejes x e y en el plano se rotan un ángulo θ en sentido antihorario generando nuevos ejes x′, y′. a.

Determine las coordenadas x, y de los vectores i y j rotados.

b.

⎡ cos θ Demuestre que la matriz de cambio de coordenadas está dada por ⎢ − sen θ ⎣

sen θ ⎤ . cos θ ⎥⎦

En los ejercicios 20 a 24 determine si el conjunto de vectores dado es LI o LD. 20.

En P2 : 3 + 2 x, 1 − x + x 2 , 2 x − x 2 .

21.

En P2 : −2 + 2 x, 2 x + x + 12 x 2 , x + 4 x 2 .

22.

⎡ 2 3 ⎤ ⎡ 0 7 ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 1 1⎤ En M 22 : ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥. ⎣ 4 −1⎦ ⎣9 6⎦ ⎣ 4 −2⎦ ⎣0 3⎦

23.

En Pn : { p1 , p2 ,..., pn +1 : pi (0) = 0, i = 1,..., n + 1} .

24.

En M mn : { A1 , A2 ,..., Amn : la primera componente de cada matriz es cero}.

Capítulo 1: Espacios vectoriales Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 95

2

Capítulo 2

Ortogonalidad

Módulo 8 Bases ortonormales y proyecciones en \ n Ejercicios Módulo 8 Módulo 9 Método de aproximación por mínimos cuadrados El experimentador desea comprobar la relación existente entre la fuerza aplicada al resorte y su deformación. Para ello elabora una tabla donde registra el peso aplicado y la deformación sufrida por el resorte, y obtiene una nube de puntos que ajusta a una recta mediante el método de mínimos cuadrados.

Ejercicios Módulo 9 Módulo 10 Espacios con producto interno Ejercicios Módulo 10

En este capítulo trabajamos con el producto escalar definido en \ n para construir bases ortonormales de sus subespacios, las cuales tienen la ventaja de su fácil manejo algebraico. Empleando estas bases desarrollamos el concepto de proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio, y como una aplicación importante se presenta el método de aproximación por mínimos cuadrados. Para hacer una ampliación de estos temas, tratados en \ n , a otros espacios vectoriales, introducimos la operación producto interno. En aquellos espacios vectoriales donde se define producto interno se pueden construir bases ortonormales y proyecciones ortogonales. n El producto escalar corresponde al producto interno en \ .

98

8

Bases ortonormales y proyecciones en \ n Contenidos del módulo 8.1 Conjuntos ortonormales 8.2 Otra forma del problema de la base. Proceso de ortonormalización de GramSchmidt 8.3 Proyecciones ortogonales 8.4 Complemento ortogonal 8.5 Desigualdad de Cauchy-Schwarz en \ n

Objetivos del módulo 1. Construir bases ortonormales en los subespacios de \ n . 2. Encontrar la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio de \ n . 3. Descomponer un vector de \ n como suma de dos vectores, uno en un subespacio

El matemático danés Jörgen Pedersen Gram (1850-1916) es conocido por el método de ortogonalización, aunque se presume que no fue él quien primero lo utilizó. Aparentemente fue ideado por Pierre Simon de Laplace y utilizado también por Augustin Louis Cauchy en 1836. Gram murió arrollado por una bicicleta a la edad de 61 años. El matemático alemán Erhard Schmidt (1876-1959) fundó el primer instituto de matemáticas aplicadas de Berlín. Alumno de David Hilbert, Schmidt hizo sus mayores contribuciones en ecuaciones integrales y teoría de funciones en el espacio de Hilbert.

de \ n y otro en su complemento ortogonal. 4. Establecer propiedades relativas a las magnitudes de los vectores en \ n .

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un conjunto ortogonal? 2. ¿Qué propiedades tienen los conjuntos ortogonales? 3. ¿Cómo se construye una base ortonormal para un subespacio de \ n ? 4. ¿Cómo se calcula la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio? 5. ¿Cómo se encuentra el complemento ortogonal de un subespacio H de \ n ? 6. ¿Cómo se relacionan un subespacio H y su complemento ortogonal H ⊥ en \ n ? 7. ¿En la descomposición de un vector a ∈ \ n , como a = p + q con p ∈ H y q ∈ H ⊥ , a qué son iguales p y q?

8. ¿Cuál es la mejor aproximación de un vector a ∈ \ n a los vectores de un subespacio H de \ n ?

Introducción En \ n la base estándar B = {e1 , e 2 ,...e n } tiene la propiedad de que ei · e j = 0

Vea el módulo 8 del programa de televisión Álgebra Lineal

para i ≠ j y además ei = 1, i = 1,..., n . Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

99

Capítulo 2: Ortogonalidad Hemos podido apreciar lo cómoda que resulta esta base en el manejo algebraico de los vectores de \n . En este módulo mostraremos la forma de dotar los subespacios de bases con las características de la base estándar de \n . A estas bases las llamaremos bases ortonormales. Además veremos el concepto de proyección ortogonal de un vector de \n sobre un subespacio de éste, concepto que nos será de gran utilidad cuando se trata de aproximar la solución de un sistema inconsistente y = Ax de manera que se minimice el error cometido.

100

8.1 Conjuntos ortonormales

Módulo 8: Bases ortonormales y proyecciones en \ n

Definición 1 Sea S = {u1 , u 2 ,..., u k } un subconjunto de \n . Se dice que S es un conjunto ortonormal si 1.

u i · u j = 0 para i ≠ j.

2.

ui = 1.

Cuando se cumple la condición 1, se dice que el conjunto es ortogonal. Como los vectores de S son de magnitud unitaria, se dice que son vectores normalizados. De ahí que un conjunto que cumpla las dos condiciones se llame ortonormal. Recordemos que si x ∈ \n , x = ( x1 ,x2 ,...,xn ) y la magnitud de x, x , está dada por:

x = x ⋅ x = x12 + x22 + ... + xn2 . Si ui = 1, entonces ui · ui = 1. Nota: los conceptos de ortogonalidad y magnitud de los vectores de \ n están dados en términos del producto escalar. Es importante, antes de seguir adelante, recordar las propiedades del producto escalar. Ejemplo 1 Sean a = (1, 3, 0) , b = (3, − 1, 1) y c = (3, − 1, 10) ; entonces {a, b, c} es un conjunto ortogonal en \ 3 ya que a · b = a · c = b · c = 0. a = 10 , b = 11 y c = 110 .

Los vectores u1 =

a 1 b 1 c 1 = (1, 3, 0), u 2 = = (3, − 1, 1) y u 3 = = (3, − 1, 10) a b c 10 11 110

son vectores unitarios en las direcciones de a, b y c, luego {u1 , u 2 , u 3 } es un conjunto ortonormal. Además, gen {a, b, c} = gen {u1 , u 2 , u3 } .

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 101

Capítulo 2: Ortogonalidad Teorema 1 Sea S = {u1 , u 2 ,..., u k } un conjunto ortogonal de vectores no nulos de \n . Entonces S es linealmente independiente. Demostración Planteamos la ecuación c1u1 + c2u 2 + ... + ci ui + ... + ck u k = 0.

A ambos lados de la igualdad multiplicamos escalarmente por u i , i = 1,..., k (c1u1 + c2 u 2 + ... + ci ui + ... + ck u k ) · u i = 0 · u i = 0.

Aplicando la propiedad de distribución del producto escalar tenemos, c1 (u1 · ui ) + c2 (u 2 · u i ) + ... + ci (ui · u i ) + ... + ck (u k · ui ) = 0.

Ahora, u i · u j = 0 para i ≠ j , luego el lado izquierdo de la ecuación se reduce a ci (u i · u i ), de donde ci ui = 0. 2

Como ui ≠ 0, entonces ci = 0, i = 1,..., k . Corolario 1 Un conjunto ortonormal de vectores en \ n es linealmente independiente.

8.2 Ot ra forma del problema de llaa base. Proceso de Otra ortonormalización de Gram-Schmidt Dada una base S = { v1 , v 2 ,..., v k } para un subespacio de \n , hallar una base ortonormal B = {u1 ,u2 ,..., uk } . La solución a este problema nos la brinda el siguiente teorema, conocido como proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Teorema 2 Sea H un subespacio de dimensión k de \n ; entonces H tiene una base ortonormal. Demostración Supongamos que { v1 , v2 ,..., vk } es una base para H.

102

Módulo 8: Bases ortonormales y proyecciones en \ n Paso 1 Construcción de un vector unitario en la dirección de v1, v1 ≠ 0, ya que

{v1 , v2 ,..., vk } es linealmente independiente. Sea u1 =

v1 . v1

Paso 2 Construcción de un vector ortogonal a u1. Sea

v′2 = v2 − proyu1 v2 . proyu1 v 2 =

( v 2 · u1 ) u1

2

u1 ;

como u1 = 1, v ′2 = v 2 − ( v 2 · u1 )u1 .

Veamos que v ′2 es ortogonal a u1 : v ′2 ⋅ u1 = v 2 ⋅ u1 − ( v 2 ⋅ u1 ) u1 ⋅ u1 = 0. N 1

Lo anterior se representa en la figura 8.1.

Figura

8.1

Paso 3 Construcción de un vector unitario en la dirección de v′2 . Sea u 2 =

v ′2 . v ′2

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 103

Capítulo 2: Ortogonalidad

Entonces, {u1 , u 2 } es un conjunto ortonormal. Supongamos que se ha construido {u1 , u 2 ,..., u p } ; p < k un conjunto ortonormal.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Proyección sobre el plano en R 3»

Veamos cómo agregar un nuevo vector al conjunto de modo que siga siendo ortonormal. Paso 4 Construcción de un vector ortogonal a {u1 , u 2 ,..., u p } . Sea v ′p +1 = v p +1 − ( v p +1 · u1 )u1 − ... − ( v p +1 · u i )u i − ... − ( v p +1 · u p )u p . v ′p + 1 se construye quitándole al vector v p+1 sus proyecciones ortogonales sobre

los vectores del conjunto ortonormal construido. Este vector es ortogonal a todos los vectores del conjunto. Veámoslo. v ′p +1 · u i = v p +1 · ui − ( v p +1 · u1 ) (u1 · u i )... − ( v p +1 · u i ) (ui · u i ) − ... − ( v p +1 · u p ) (u p · u i ) 



  

0

1

0

= 0.

Paso 5 Construcción de un vector unitario en la dirección de v ′p +1 . Sea u p +1 =

v ′p +1 v ′p +1

.

El proceso continúa hasta completar los k vectores de la base ortonormal.

8.3 Proyecciones ortogonales Definición 2 n Sea H un subespacio de dimensión k de \ con base ortonormal {u1 , u2 ,..., uk } y v

un vector de \n . Entonces la proyección ortogonal de v sobre H, denotada proyH v, es un vector de H dado por: proy H v = ( v · u1 )u1 + ( v · u 2 )u 2 + ... + ( v · u k )u k .

Ejemplo 2 ⎧⎛ x ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ Sea W = ⎨⎜⎜ y ⎟⎟ : x − y + 2 z = 0 ⎬ un subespacio en \3 . ⎪⎜ z ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

i.

104

Determine una base y la dimensión de W.

Módulo 8: Bases ortonormales y proyecciones en \ n ii.

Determine una base ortonormal para W.

iii.

⎛2⎞ ⎜ ⎟ Si a = ⎜ 1 ⎟ ∈ \3 , determine proyW a. ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠

Solución

i.

⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ y − 2z ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ∈W ⇔ ⎜ y ⎟ = ⎜ y ⎟ = ⎜z⎟ ⎜z⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y ⎜ 1⎟ + z ⎜ 0 ⎟. ⎜ 0⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ W = gen ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ . Como los vectores son LI, entonces ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎧ ⎛1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ v = v = 1 , ⎨ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎜ 0 ⎟ ⎬ es una base para W . dim W = 2. ⎪ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩

A partir de esta base, podemos construir una base ortonormal para W. ii.

Designemos {u1 , u 2 } la base ortonormal.

1.

2.

⎛1⎞ v1 1 ⎜ ⎟ 1 . u1 = = v1 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠ v ′2 = v 2 − ( v 2 · u1 ) u1 ⎛ −2 ⎞ ⎡⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎤ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎥ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ − ⎢⎜ 0 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎣⎢⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎦⎥ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠

3.

u2 =

⎛ −1 ⎞ v ′2 1 ⎜ ⎟ = 1 . v ′2 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎧⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −1 ⎪⎜ ⎟ ⎜ Base ortonormal de W = ⎨⎜ 1 2 ⎟ , ⎜ 1 ⎪⎜ ⎟ ⎜1 ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝

⎞⎫ ⎟⎪ . 3 ⎟⎬ ⎟⎪ 3 ⎠⎭ 3

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 105

Capítulo 2: Ortogonalidad

iii.

proyW a = (a · u1 )u1 + (a ⋅ u 2 )u 2 . ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎤ ⎛ 1 2 ⎞ ⎡ ⎛ 2 ⎞ ⎛ −1 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎥ ⎜ 1 ⎟ ⎢⎜ ⎟ ⎜ 1 = ⎢ ⎜ 1 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎜ 2 ⎟ + ⎢⎜ 1 ⎟ . ⎜ ⎢⎣⎜⎝ −1⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎢⎜⎝ −1⎟⎠ ⎜ 1 ⎝ ⎣

⎞ ⎤ ⎛ −1 ⎟⎥ ⎜ 1 3 ⎟⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎜ 1 3 ⎠⎦ ⎝ 3

⎞ ⎛ 13 6 ⎞ ⎟ ⎜5 ⎟ 3 ⎟ = ⎜ 6 ⎟. ⎟ ⎜ −2 ⎟ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ 3

Figura 8.2

Los vectores u1 y u 2 forman una base ortonormal para el plano generado por los vectores v1 y v2 (figura 8.2). Calcular las coordenadas de un vector relativas a una base puede ser un problema relativamente difícil; ahora, si la base es ortonormal, esto es bastante sencillo, como se ve en el siguiente teorema. Teorema 3 n Sea B = {u1 , u 2 ,..., u n } una base ortonormal de \ n y sea v ∈ \ . Entonces,

v = ( v ⋅ u1 )u1 + ( v ⋅ u 2 )u 2 + ... + ( v ⋅ u n )u n .

Es decir, el vector v es la suma de las proyecciones ortogonales sobre los vectores de la base ortonormal de \n : v = proy Rn v.

Demostración Ya que B es una base de \ n , v se puede expresar de manera única como: v = c1u1 + c2 u 2 + ... + ci ui + ... + cn u n .

106

Módulo 8: Bases ortonormales y proyecciones en \ n Multiplicando escalarmente por ui , i = 1,..., n, a ambos lados de la igualdad tenemos:

v ⋅ ui = c1 (u1 ⋅ ui ) + c2 (u 2 ⋅ ui ) + ... + ci (ui ⋅ ui ) + ... + cn (u n ⋅ ui )   

  

  

  

0

0

1

0

= ci . Como esto es válido para todo i, la demostración queda completa. Ejemplo 3

Sea

⎧ ⎫ 2 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ −2 B = ⎨u1 = ⎜ , 0, , 0, ⎟ , u2 = ⎜ ⎟ , u 3 = (0, 1, 0) ⎬ 5⎠ 5⎠ ⎝ 5 ⎝ 5 ⎩ ⎭

una base

ortonormal para \3 . Expresemos el vector v = (2, − 3, 1) como una combinación lineal de los vectores de B. v = c1u1 + c2 u 2 + c3u3 tal que : c1 = v ⋅ u1 = 4 / 5,

c2 = v ⋅ u 2 = −3 / 5 , c3 = v ⋅ u 3 = −3. (2, − 3, 1) =

4 ⎛ 1 2 ⎞ 3 ⎛ −2 1 ⎞ , 0, , 0, ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ − 3(0, 1, 0). 5⎝ 5 5⎠ 5⎝ 5 5⎠

El siguiente teorema establece la unicidad de la proyección ortogonal de v sobre el subespacio H. Teorema 4 Sean H un subespacio de \n y v en \ n . Suponga que se tienen en H dos bases ortonormales B1 = {u1 , u 2 ,..., u m } y B2 = {t1 , t 2 ,..., t m } ; entonces proy H v = ( v ⋅ u1 )u1 + ( v ⋅ u 2 )u 2 + ... + ( v ⋅ u m )u1

= ( v ⋅ t1 )t1 + ( v ⋅ t 2 )t 2 + ... + ( v ⋅ t m )t m .

8.4 Complemento ortogonal Definición 3 Sea H un subespacio de \ n . Un vector u en \n es ortogonal a H si es ortogonal n a todo vector de H. El conjunto de todos los vectores de \ que son ortogonales

a H se llama complemento ortogonal de H en \n y se denota H ⊥ .

H ⊥ = {u ∈ \ n : u ⋅ h = 0 , para todo h ∈ H } .

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 107

Capítulo 2: Ortogonalidad Ejemplo 4 Sea W = {( x, y, z ) ( x, y, z ) = t (1, 2,3), t ∈ \} .

W ⊥ está formado por todos los vectores ortogonales a (1, 2, 3); se puede mostrar que W ⊥ es el plano que pasa por el origen con vector normal (1, 2, 3). Teorema 5 n Sea H un subespacio de \ ; entonces

a.

H ⊥ es un subespacio de \n .

b.

H ∩ H ⊥ = {0} .

c.

dim H ⊥ = n − dim H .

Demostración a.

H ⊥ ≠ Φ, (0, 0,..., 0) ∈ H ⊥ ya que ∀h ∈ H (0, 0,..., 0) ⋅ h = 0.

Sean x1 , x 2 ∈ H ⊥ , x1 ⋅ h = 0 y x 2 ⋅ h = 0, ∀h ∈ H . Luego (x1 + x 2 ) ⋅ h = x1 ⋅ h + x 2 ⋅ h = 0 + 0 = 0.

Ahora,

α x1 ⋅ h = α (x1 ⋅ h) = α 0 = 0, lo que prueba que H ⊥ es un subespacio de \n . b.

{(0, 0,..., 0)} ⊂ H ∩ H ⊥ . Probemos que H ∩ H ⊥ ⊂ {(0, 0,..., 0)} . Supongamos que x ∈ H ∩ H ⊥ , x ∈ H ∧ x ∈ H ⊥ ; entonces x ⋅ x = 0. Luego x = (0, 0,..., 0)

y, por tanto,

H ∩ H ⊥ = {(0, 0,..., 0)} . c.

Sea {u1 , u 2 ,..., u k } una base ortonormal de H. Esta base puede ampliarse hasta formar B, una base para \n , B = {u1 , u2 ,..., uk , v k +1 ,..., v n } . Mediante

108

Módulo 8: Bases ortonormales y proyecciones en \ n el proceso de Gram-Schmidt, B se puede transformar en una base ortonormal de \n .

B1 = {u1 , u2 ,..., uk , uk +1 ,..., un } . Debemos demostrar que {u k +1 ,..., u n } es una base para H ⊥. Como los vectores son LI, debe mostrarse que generan H ⊥. Sea x ∈ H ⊥ ; entonces x ∈ \ n y x = (x ⋅ u1 )u1 + ... + (x ⋅ u k )u k + (x ⋅ u k +1 )u k +1 + ... + (x ⋅ u n )u n .

Como los vectores u1 , u 2 ,..., u k están en H, x ⋅ ui = 0 , i = 1,..., k , entonces x = (x ⋅ u k +1 )u k +1 + ... + (x ⋅ u n )u n .

Luego {u k +1 ,..., u n } es una base para H ⊥ y dim H ⊥ = n − k . Cualquier vector de \ n se podrá expresar de manera única como suma de un vector de H con un vector de H ⊥. Teorema 6: Teorema de la proyección n Sean H un subespacio de \ n y v ∈ \ .

Entonces existe un par único de vectores p y q tales que p ∈ H y q ∈ H ⊥ y v = p + q,

donde p = proy H v y q = proy H ⊥ v. Ejemplo 5 En el plano del ejemplo 2, determinamos la base ortonormal ⎧⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −1 ⎪⎜ ⎟ ⎜ B = ⎨⎜ 1 2 ⎟ , ⎜ 1 ⎪⎜ ⎟ ⎜1 ⎩⎝ 0 ⎠ ⎝

⎞⎫ ⎟⎪ 3 ⎟⎬ ⎟⎪ 3 ⎠⎭ 3

⎛ 13 6 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ y para a = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ encontramos proyW a = ⎜ 5 6 ⎟ . ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ Podemos expresar a como la suma de dos vectores p y q tales que:

p = proyW a y q = proyW ⊥ a, Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 109

Capítulo 2: Ortogonalidad

a = p + q ⇒ q = a − p = a − proyW a, ⎛ 2 ⎞ ⎛ 13 6 ⎞ ⎛ −1 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ q = ⎜ 1 ⎟ − ⎜ 5 6 ⎟ = ⎜ 1 6 ⎟ = proyW ⊥ a, ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎧⎛ x ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ W = ⎨⎜ y ⎟ : x − y + 2 z = 0 ⎬ . ⎪⎜ z ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭ dim W = 2; como dim W + dim W ⊥ = 3, entonces dim W ⊥ = 1 . Luego el vector q q puede ser una base para W ⊥ y q una base ortonormal para W⊥.

q=

1 6

,

entonces ⎛ −1 6 ⎞ ⎛ −1 q ⎜ ⎟ ⎜ = 6 ⎜ 16 ⎟ = ⎜ 1 q ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎝ 3⎠ ⎝

⎞ ⎟ . 6 ⎟ ⎟ 6⎠ 6

⎧⎛ −1 ⎪⎜ Base ortonormal de W = ⎨⎜ 1 ⎪⎜ −2 ⎩⎝ ⊥

⎞⎫ ⎟⎪ . 6 ⎟⎬ ⎪ ⎟ 6 ⎠⎭ 6

⊥ No es necesario averiguar el valor de q para determinar la base de W . De la ecua-

ción de W sabemos que (1, –1, 2) es un vector normal a W, y por tanto pertenece a W⊥. ⎧⎛ 1 ⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟ Luego una base de W puede ser ⎨ −1 ⎬ y una base ortonormal de W = ⎪⎨⎜⎜ −1 ⎜ ⎟ ⎪⎜ 2 ⎪⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝ ⊥

⎞⎫ ⎟⎪ . 6 ⎟⎬ ⎟⎪ 6 ⎠⎭

6

Teorema 7: Teorema de aproximación de la norma n Sea H un subespacio de \ . Entonces para cualquier vector v ∈ \n , el vector de H

más cercano a v es proyH v . Es decir, si h es cualquier vector de H, v − h es mínima cuando h = proy H v . Demostración Sea h un vector cualquiera de H. Entonces v − h = ( v − proy H v) + (proy H v − h).

110

Módulo 8: Bases ortonormales y proyecciones en \ n Ahora, ( v − proy H v ) ∈ H ⊥ y (proy H v − h) ∈ H , y entonces (v − proy H v) ⋅ (proy H v − h) = 0. v − h = ( ( v − proy H v) + (proy H v − h) ) ⋅ ( ( v − proy H v ) + (proy H v − h) ) 2

= v − proy H v + proy H v − h . 2

2

Si h ≠ proy H v , proy H v − h > 0 y v − h > v − proy H v 2

2

2

y por tanto v − h > v − proy H v .

Así que proyH v es el vector que minimiza v − h .

⎛2⎞ ⎛ 13 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜5 ⎟ En el ejemplo 5, p = proyW a = ⎜ 6 ⎟ es el vector en W más cercano a a = ⎜ 1 ⎟ . ⎜ −1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠

8.5 Desigualdad de Cauchy-Schwarz en \ n Finalizamos el capítulo con un resultado importante relativo a las magnitudes de los vectores, la desigualdad de Cauchy-Schwarz en \ n , a partir de la cual puede deducirse la desigualdad triangular en \ n . Teorema 8: Desigualdad de Cauchy-Schwarz en \ n Sean a y b vectores en \ n . Entonces i.

a⋅b ≤ a b .

ii.

a ⋅ b = a b si y sólo si a = 0 o b = λ a para algún real λ.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 111

Capítulo 2: Ortogonalidad Demostración i.

Tomemos dos vectores a y b de \ n tales que uno no es múltiplo escalar del otro, o sea que están sobre rectas en distintas direcciones (figura 8.3). ⎛ a ⋅b ⎞ La proyección ortogonal de b sobre a está dada por proy b a = ⎜ 2 ⎟ a . ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠

Figura

8.3

La distancia (al cuadrado) del punto b a la recta que lleva la dirección de a es: 2

2

⎛ a ⋅b ⎞ 2(a ⋅ b) 2 ⎛ a ⋅ b ⎞ 2 2 b − ⎜ 2 ⎟a = b − +⎜ 2 ⎟ a 2 ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

b a − (a ⋅ b) 2 2

=

2

a

2

.

Como esta distancia es mayor que cero, entonces el numerador en la expresión anterior debe ser positivo, luego b a − (a ⋅ b ) 2 > 0, 2

2

b a > (a ⋅ b)2 . 2

2

Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados tenemos que:

b a > a⋅b . Cuando a y b tienen la misma dirección, o sea que b = λ a para algún escalar λ , la distancia calculada será igual a cero y por tanto se tendrá que

a⋅b = a b . Luego, en general, tenemos que a ⋅ b ≤ a b .

112

Módulo 8 1.

2.

Verifique que las siguientes son bases ortogonales para \ 3 . Obtenga bases ortonormales a partir de ellas. a.

{(0, 0, 1), (−1, 1, 0), (1, 1, 0)} .

b.

{(0, 1, −1), (1, − 1 2, − 1 2), (1, 1, 1)} .

Utilice el proceso de Gram-Schmidt para transformar la base de un subespacio de \ 3 , dada por {(1, 1, −1), (0, 1, − 1)} , en una base ortonormal.

3.

Igual que en el ejercicio 2, con la base {(1, −1, 0), (2, 0, 1)} .

4.

Utilice el proceso de Gram-Schmidt para determinar una base ortonormal para el subespacio de \ 4 con base

{(1, −1, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (2, 0, 0, − 1)} . 5.

⎧⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫ 3 , , , ,− , 0, Sea S = ⎨⎜ ⎟, ⎜ − ⎟, ⎜− ⎟ ⎬ una base ortonormal de \ . Escriba el vector 3 3⎠ ⎝ 6 6 6⎠ ⎝ 2 2⎠⎭ ⎩⎝ 3 (1, 2, − 1) en esta base.

6.

⎧ 2 ⎞⎫ ⎛ 1 , 0, ⎟ ⎬ . Escriba el vector v = (1, 2, − 1) como Sea W el subespacio de \ 3 con base ortonormal ⎨(0, 1, 0), ⎜ 5 ⎠⎭ ⎝ 5 ⎩ p + q con p ∈ W y q ∈ W ⊥ .

7.

Determine la distancia del punto (2, 3, − 1) al plano 3x − 2 y + z = 0. (Sugerencia: encuentre la proyección ortogonal de (2, 3, − 1) sobre el plano.)

8.

Construya una base ortonormal para el espacio solución del sistema homogéneo:

x + 3 y − 5z = 0 2x − y + z = 0 3x + 2 y − 4 z = 0

CapítuloÁlgebra 2: Lineal Ortogonalidad Elemental y Aplicaciones 113

2 ⎞ ⎛ 1 , 0, Encuentre una base ortonormal en \ 3 que incluya los vectores u1 = ⎜ ⎟ y u 2 = (0, 1, 0). 5⎠ ⎝ 5

9.

En los ejercicios 10 a 12 se dan un subespacio H y un vector v. a.

Calcule proyH v.

b.

Encuentre una base ortonormal para H ⊥ .

c.

Escriba v = p + q con p ∈ H y q ∈ H ⊥ .

10.

⎫⎪ ⎡ 3⎤ ⎪⎧ ⎡ x ⎤ H = ⎨⎢ ⎥ ∈ \ 2 : 2 x − y = 0⎬ ; v = ⎢ ⎥ . y ⎣5⎦ ⎩⎪ ⎣ ⎦ ⎭⎪

11.

⎧⎡ x ⎤ ⎫ ⎡ −3⎤ ⎪⎢ ⎥ ⎪ 3 H = ⎨ ⎢ y ⎥ ∈ \ : 3x − 2 y + 6 z = 0 ⎬ ; v = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎪⎢ z ⎥ ⎪ ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎩⎣ ⎦ ⎭

12.

⎧⎡ x ⎤ ⎫ ⎡1⎤ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎢ −1⎥ ⎪ y ⎪ H = ⎨ ⎢ ⎥ ∈ \ 4 : x = 2 y, w = − y ⎬ ; v = ⎢ ⎥ . ⎢2⎥ ⎪⎢ z ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ w⎦ ⎪ ⎣3⎦ ⎩ ⎭

13.

Si a y b son vectores de \ n tales que a = 0 o b = λ a para λ ∈ \ , demuestre que a ⋅ b = a b .

14.

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz pruebe la desigualdad triangular a + b ≤ a + b .

Ejer cicios del módulo 8 Ejercicios

114

9

Método de aproximación por mínimos cuadrados Contenidos del módulo Un avión que toma fotografías infrarrojas utiliza un detector que registra la imagen electrónicamente; esta imagen sufre distorsiones que deben corregirse y así obtener las coordenadas reales; para ello se utiliza el método de mínimos cuadrados.

9.1 Aproximación por una recta 9.2 Aproximación cuadrática

Objetivos del módulo 1. Ilustrar una aplicación interesante de la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio. 2. Aprender a calcular el error cometido en un resultado obtenido experimentalmente.

Preguntas básicas 1. ¿En qué consiste el método de aproximación por mínimos cuadrados? 2. ¿Cuándo se aplica este método? 3. ¿Por qué cuando se da y = Ax, decimos que y ∈ C A ? 4. ¿Por qué el vector x que minimiza el error cometido es tal que Ax es igual a la proyección ortogonal de y sobre C A ? 5. ¿Cómo se determina el error cometido en el cálculo?

Introducción Muchos experimentos relacionados con ciencias físicas, biológicas o sociales se proponen encontrar la relación existente entre las variables presentes en un determinado fenómeno por medio de una ley matemática. En estos procesos se trata de ajustar una curva a los diversos puntos obtenidos experimentalmente. En general, el resultado obtenido es un sistema de ecuaciones Ax = y inconsistente. El problema entonces es encontrar un x en R n tal que Ax sea tan cercano a y como sea posible.

Vea el módulo 9 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 115

Capítulo 2: Ortogonalidad

9.1 Aproximación por una recta Supongamos que se busca la recta y = b + mx que mejor se ajusta a los n datos ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ) (figura 9.1).

Figura

9.1

La gráfica ilustra la ubicación de algunos puntos obtenidos del experimento y sus distancias (errores ε i ) a los respectivos puntos sobre la recta y = b + mx . El problema puede plantearse así: encontrar m y b de la recta tal que el error cometido sea mínimo. Una forma de minimizar los errores es hacer mínima la suma de los cuadrados de los errores (ε12 + ε 22 + ... + ε n2 ) .

ε1 = y1 − (b + mx1 ) ε 2 = y2 − (b + mx2 ) . .

. . ε n = yn − (b + mxn ).

Un enunciado más preciso del problema es: encuentre m y b tales que: ( y1 − (b + mx1 )) 2 + ( y2 − (b + mx2 )) 2 + ... + ( yn − (b + mxn )) 2 sea mínima.

Desarrollaremos un método matricial para encontrar esta aproximación de mínimos cuadrados. Si los puntos ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ) estuvieran sobre la recta y = b + mx , se cumpliría que: y1 = (b + mx1 ) y2 = (b + mx2 ) # # yn = (b + mxn )

116

o Y = AX

Módulo 9: Método de aproximación por mínimos cuadrados

⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ y2 con Y = ⎜ ⎟ , ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ yn ⎠

⎡1 ⎢1 A=⎢ ⎢# ⎢ ⎣1

x1 ⎤ x2 ⎥⎥ #⎥ ⎥ xn ⎦

⎛b⎞ y X = ⎜ ⎟. ⎝m⎠

Si los puntos no están todos sobre la recta, el sistema Y = AX es inconsistente, es decir, Y − AX ≠ 0 , y el problema será: encontrar un vector X tal que Y − AX sea mínima. ( Y − AX) es un vector de R n cuyas componentes son los errores cometidos en la obtención de los n datos experimentales. ⎡ ε1 ⎤ ⎢ε ⎥ Y − AX = ⎢ 2 ⎥ , ⎢#⎥ ⎢ ⎥ ⎣ε n ⎦

Y − AX = ε12 + ε 22 + ... + ε n2 .

Así que hacer mínima Y − AX equivale a minimizar ε 12 + ε 22 + ... + ε n2 .

Si Y = AX , entonces Y es una combinación lineal de las columnas de A, o sea que Y ∈ CA ; como Y = AX es inconsistente, Y ∉ C A . Por el teorema de aproximación de la norma en R n , Y − AX es mínimo cuando

AX = proyCA Y. Sea X el vector, tal que AX = proyCA Y. Podemos hacer una representación geométrica en R 3 . El espacio columna de A, CA, puede ser un plano o una recta que pasa por el origen. Representemos C A como un plano que pasa por el origen (figura 9.2).

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 117

Capítulo 2: Ortogonalidad

Figura

9.2

Y − A X es un vector ortogonal a C A , o sea que para todo AX ∈ C A se tiene:

AX ⋅ (Y − AX) = 0, ( AX)T (Y − AX) = 0, XT AT (Y − AX) = 0 , XT ( AT Y − AT AX) = 0

∀X ∈ R 2 .

Luego AT Y − AT AX = 0, AT AX = AT Y.

Esta ecuación matricial representa dos ecuaciones con dos incógnitas, que frecuentemente se denominan ecuaciones normales. Si AT A es invertible (se puede demostrar que esto sucede cuando los n datos no son colineales), X tiene solución única dada por: X = ( AT A) −1 AT Y.

Ejemplo 1 Encuentre la recta que da el mejor ajuste para los datos (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 2). En este caso: ⎡1 ⎢1 A=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1

2⎤ ⎡1 ⎤ ⎢2⎥ 3 ⎥⎥ , Y = ⎢ ⎥, ⎢3⎥ 4⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 5⎦ ⎣2⎦

AT AX = AT Y

118

⎛b⎞ X=⎜ ⎟ ⎝m⎠

Módulo 9: Método de aproximación por mínimos cuadrados ⎡1 ⎢ ⎡1 1 1 1 ⎤ ⎢1 =⎢ ⎥ ⎣ 2 3 4 5 ⎦ ⎢1 ⎢ ⎣1

2⎤ ⎡1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 3⎥ ⎡1 1 1 1 ⎤ ⎢ 2⎥ X=⎢ . ⎥ 4⎥ ⎣ 2 3 4 5 ⎦ ⎢ 3⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 5⎦ ⎣ 2⎦

⎡ 4 14 ⎤ ⎡ b ⎤ ⎡ 8 ⎤ ⎢14 54 ⎥ ⎢ m ⎥ = ⎢30⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 4 14 8 ⎤ operaciones elementales ⎡1 0 →⎢ ⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎣14 54 30 ⎦ ⎣0 1

⎤ ⎥. 2 5⎦ 3

5

3 2 Ecuación de la recta: y = + x. 5 5

El error cometido está dado por (figura 9.3): ⎛ 1 ⎞ ⎡1 ⎜ ⎟ ⎢ 2 1 Y − AX = ⎜ ⎟ − ⎢ ⎜ 3 ⎟ ⎢1 ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎣1

2⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ 75 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎥⎥ ⎡ 3 5 ⎤ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 9 5 ⎟ = − 4 ⎥ ⎢⎣ 2 5 ⎥⎦ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 11 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ 5⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 13 5 ⎠

⎛ −2 5 ⎞ ⎜1 ⎟ 5 Y − AX = ⎜ ⎟ = ⎜ 45 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ 5⎠

4 + 1 + 16 + 9 = 25

6 ≈ 1.1. 5

Figura 9.3

9.2 Aproximación cuadrática Si lo que se busca es una curva cuadrática y = a + bx + cx que sea el mejor ajuste 2

en el sentido de mínimos cuadrados a n datos ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),..., ( xn , yn ), el procedimiento que se debe seguir es exactamente análogo al método desarrollado

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Crecimiento de población»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 119

Capítulo 2: Ortogonalidad anteriormente para el ajuste lineal (figura 9.4).

Figura

9.4

Si los n puntos estuvieran sobre la parábola y = a + bx + cx 2 , la ecuación se verificaría así:

y1 = a + bx1 + cx12 y2 = a + bx2 + cx22 #

#

o

Y = AX

yn = a + bxn + cx

2 n

con ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ y Y = ⎜ 2 ⎟, ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ yn ⎠

⎡1 ⎢ 1 A=⎢ ⎢# ⎢ ⎣⎢ 1

x1 x2 # xn

x12 ⎤ ⎥ x22 ⎥ #⎥ ⎥ xn2 ⎦⎥

y

⎛a⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ b ⎟. ⎜ ⎟ ⎝c⎠

Como los puntos no satisfacen las ecuaciones, el sistema Y − AX es inconsistente y, por tanto, el problema será encontrar un vector X en R3 tal que Y − AX tenga un valor mínimo; luego AX = proyC A Y. Si llamamos X el vector minimizador, entonces

AT Y = AT AX. Ejemplo 2 El método de ajuste cuadrático se puede usar para hacer estimaciones de las constantes físicas. Veámoslo:

120

Módulo 9: Método de aproximación por mínimos cuadrados Un cubito se desliza sin fricción sobre el plano inclinado de la figura 9.5 y partiendo del punto 0.

Figura

9.5

Su ley de movimiento está dada por: x(t ) = v0 t +

g 2 t . 4

Se tienen las siguientes mediciones:

t = 1s

x = 12.4 m

t = 2s t = 3s t = 4s

x = 29.8 m x = 52.0 m x = 79.21 m

A partir de estos datos podemos hacer estimaciones para los valores de v0 y g y además calcular el error cometido. Sean

⎛ 12.4 ⎞ 29.8 ⎟ , Y = ⎜ 52.0 ⎜ 79.21⎟ ⎝ ⎠

⎡1 1 ⎤ A = ⎢ 23 94 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎣ 4 16 ⎦

( )

X = vg 0 . 4

⎡ 12.4 ⎤ 2 3 4 ⎤ ⎢ 29.8 ⎥ = ⎡ 544.84 ⎤ , AT Y = ⎡⎢1 ⎣1 4 9 16⎥⎦ ⎢ 52.0 ⎥ ⎢⎣1866.96⎥⎦ ⎣79.21⎦ ⎡1 1 ⎤ 4 ⎤ ⎢ 2 4 ⎥ = ⎡ 30 100 ⎤ . AT A = ⎡⎢11 24 93 16 ⎣ ⎦⎥ ⎢ 3 9 ⎥ ⎣⎢100 354⎦⎥ ⎣ 4 16⎦ Resolvemos ahora el sistema ( AT A ) X = AT Y.

⎡ 30 100 ⎢⎣100 354

544.84 ⎤ operaciones elementales → ⎡1 0 9.96⎤ . ⎢⎣0 1 2.46⎥⎦ 1866.96⎥⎦ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 121

Capítulo 2: Ortogonalidad

( ) ( )

v0 X = 9.96 2.46 = g 4 . g ≈ 9.84 m/s 2 . El error cometido está dado por Y − AX . ⎡1 1 ⎤ ⎡12.42 ⎤ 4 ⎥ ⎡ 9.96 ⎤ = ⎢ 29.76 ⎥ . AX = ⎢ 2 9 ⎥ ⎣⎢ 2.46 ⎦⎥ ⎢52.02 ⎥ ⎢3 ⎣ 4 16 ⎦ ⎣ 79.2 ⎦ 12.4 − 12.42

−0.02

79.21 − 79.2

0.01

29.8 − 29.76 = 0.04 = (0.02) 2 + (0.04) 2 + (0.02) + (0.01) 2 ε = 52.0 0.02 − 52.02

= 0.05.

122

Módulo 9 En los ejercicios 1 a 4 determine la recta de mínimos cuadrados para los datos dados. 1.

(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 2).

2.

(1, 4), (−2, 5), (3, − 1), (4, 1).

3.

(−2, − 2), (−1, 0), (0, − 2), (1, 0).

4.

(0, 2), (1, 2), (2, 0).

En los ejercicios 5 y 6 determine el polinomio cuadrático de mínimos cuadrados para los puntos dados. 5.

(−7, 3), (2, 8), (1, 5).

6.

(0, 3.2), (0.5, 1.6), (1, 2), (2, − 0.4), (2.5, − 0.8), (3, − 1.6), (4, 0.3), (5, 2.2).

7.

⎡ 1 −2 ⎤ ⎡3⎤ ⎢ −1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ e y = ⎢ 1 ⎥. Sean A = ⎢ ⎢0 3⎥ ⎢ −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣2 5⎦ ⎣2⎦

a. b.

Encuentre una solución por mínimos cuadrados de Ax = y. Calcule el error de mínimos cuadrados asociado a la solución encontrada en a.

8.

Encuentre el mejor ajuste cuadrático para los datos del ejemplo 2. ¿Qué tipo de ajuste ocasiona el menor error?

9.

Se tienen dos magnitudes relacionadas cuadráticamente x e y, es decir, existen constantes a, b y c tales que y = a + bx + cx 2 . En las mediciones experimentales de estas magnitudes se obtuvieron los siguientes datos:

x y

0 3.2

0.5 1 2 2.5 3 1.6 2 –0.4 –0.8 –1.6

4 5 0.3 2.2

Encuentre la parábola que mejor ajuste estos datos.

Capítulo Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 123 2: Ortogonalidad

124

10

Espacios con producto interno Contenidos del módulo 10.1 10.2 10.3 10.4

Una aplicación interesante de los espacios con producto interno es la aproximación mediante series de Fourier a funciones continuas. La gráfica ilustra aproximaciones de Fourier de órdenes 3 y 4 a la función f (t) = t.

Producto interno Norma y ortogonalidad en un espacio vectorial con producto interno Última forma del problema de la base Proyección ortogonal en espacios vectoriales con producto interno

Objetivos del módulo 1. Determinar magnitudes de vectores en espacios vectoriales donde hay definido un producto interno. 2. Construir bases ortonormales en espacios vectoriales con producto interno.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es un producto interno? 2. ¿Por qué es importante definir un producto interno en un espacio vectorial? 3. ¿Cómo se construye una base ortonormal en un subespacio vectorial con producto interno?

Introducción En el módulo 8 vimos cómo los conceptos de ortogonalidad, base ortonormal y proyecciones en \ n se construyen con base en el producto escalar. En esta sección se hará una generalización de estos conceptos a otros espacios vectoriales, para lo cual es necesario definir una operación en ellos llamada producto interno. Se podrá comprobar que el producto escalar corresponde al producto interno en \n .

Vea el módulo 10 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 125

Capítulo 2: Ortogonalidad

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Espacios con producto interno»

10.1 Producto interno Definición 1 Sea V un espacio vectorial real o complejo. Un producto interno sobre V es una función tal que a todo par de vectores x e y de V asocia un único número real o complejo (x, y ) que satisface las siguientes propiedades: Si x, y , z están en V y α es un escalar, entonces:

Escuche la biografía de JeanBaptiste Joseph Fourier en su multimedia de Álgebra Lineal

i.

(x, x) ≥ 0.

ii.

( x, x ) = 0 ⇔ x = 0.

iii.

(x, y + z ) = (x, y ) + (x, z ).

iv.

(x + y , z ) = (x, z ) + (y , z ).

v.

(x, y ) = ( y , x ).

vi.

(α x, y ) = α (x, y ).

vii.

(x, α y ) = α (x, y ).

Del espacio vectorial V se dice que es un espacio con producto interno. Nota: en las condiciones v y vii la barra indica conjugación compleja. Si (x, y ) es un número real, ( x, y ) = (x, y ) . Ejemplo 1 En \ n el producto escalar entre n-tuplas es un producto interno. Veamos. Sean: x = ( x1 , x2 ,..., xn ) e y = ( y1 , y2 ,..., yn ). x ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .

El producto escalar satisface la siguientes condiciones: i.

x ⋅ x ≥ 0.

ii.

x ⋅ x = 0 si y sólo si x = 0.

iii.

x ⋅ (y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z.

iv. v.

(x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z. x ⋅ y = y ⋅ x.

vi.

α x ⋅ y = x ⋅ α y = α (x ⋅ y ).

Las propiedades i a iv del producto escalar corresponden a las propiedades del producto interno.

126

Módulo 10: Espacios con producto interno La propiedad v del producto escalar se convierte en propiedad conmutativa ya que ( y ⋅ x ) = (y ⋅ x) debido a que el producto escalar es un número real.

Del mismo modo la propiedad vii del producto interno queda integrada con la propiedad vi ya que los escalares son números reales y α (x ⋅ y ) = α (x ⋅ y ) . Ejemplo 2 En ^n , espacio vectorial de n-tuplas ordenadas de números complejos, puede definirse un producto interno como (x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn , con x = ( x1 , x2 ,..., xn ) e y = ( y1 , y2 ,..., yn ) .

La propiedad i se satisface ya que (x, x) = x1 x1 + x2 x2 + ... + x j x j + ... + xn xn ⇓ (a j + b j i) (a j − b j i) a 2j − b 2j i 2 (i 2 = −1) a 2j + b 2j = x j

2

2

= x1 + x2 + ... + x j + ... + xn ≥ 0. 2

ii.

2

2

(x , x) = 0 ⇔ x = 0.

Las condiciones iii y iv se deducen del hecho de que z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 para cualesquier números complejos z1 , z2 , z3 . Veamos la condición v.

( y , x ) = y 1 x1 + y 2 x2 + .... + yn xn = y1 x1 + y2 x2 + .... + yn xn = y1 x1 + y2 x2 + .... + yn xn = y1 x1 + y2 x2 + .... + yn xn = x1 y1 + x2 y2 + .... + xn yn = (x, y ). La condición vi se deduce inmediatamente. Para vii tenemos: ( x, α y ) = (α y , x) = (α y , x ) = α ( y , x ) = α ( x, y ). v)

vi )

v)

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 127

Capítulo 2: Ortogonalidad Ejemplo 3 En M 3× 2 si

⎡ a11 A = ⎢⎢ a21 ⎢⎣ a31

a12 ⎤ ⎡b 11 b21 ⎤ ⎥ a22 ⎥ y B = ⎢⎢b12 b22 ⎥⎥ , ⎢⎣b13 b32 ⎥⎦ a32 ⎥⎦

entonces puede definirse un producto interno como: ( A, B ) = a11b11 + a12 b12 + a21b21 + a22 b22 + a31b31 + a32 b32 .

Ejemplo 4 En C[ a ,b] , espacio de funciones continuas de variable real en el intervalo [ a, b] , se define:

( f , g) =

∫

b a

f (t ) g (t ) dt.

El anterior es un producto interno ya que: i.

(f, f) =

∫

b a

f 2 (t ) dt ≥ 0. Del cálculo sabemos que si h ∈ C[ a ,b] y h ≥ 0

sobre [a, b], entonces

∫

b a

h(t ) dt ≥ 0. Ahora, si

∫

b a

h(t ) dt = 0, entonces

h = 0 sobre [a, b] . Con esto se prueban i y ii. Las propiedades de las integrales definidas permiten deducir iii a vii. En este espacio trabajamos con escalares reales, luego las propiedades se dan en la misma forma que cuando se trabaja con el producto escalar.

Ejemplo 5 En ^ 2 sean x = (3 + 2i, 7 − 4i ) e y = (1 − i, 2 + i ); entonces (x, y ) = (3 + 2i )(1 + i ) + (7 − 4i )(2 − i ) = 3 + 5i + 2i 2 + 14 − 15i + 4i 2 = 17 − 10i + 6i 2 = 17 − 10i − 6 = 11 − 10i.

128

(i 2 = − 1)

Módulo 10: Espacios con producto interno Ejemplo 6 En C[ 0,1 ] , sean: f (t ) = t 2 + 3, g (t ) = 2t 2 − t.

Entonces

( f , g) =

∫

0

=

∫

0

1

1

(t 2 + 3)(2t 2 − t ) dt (2t 4 − t 3 + 6t 2 − 3t ) dt 1

= 2

t5 t 4 t3 t2 ⎤ 13 − +6 −3 ⎥ = . 5 4 3 2 ⎦0 20

10.2 Norma y ortogonalidad en un espacio vectorial con producto interno Definición 2 Sea V un espacio vectorial con producto interno y suponga que x e y están en V; entonces: i.

La norma (longitud) de x se denota por x y se define como: x =

ii.

(x, x).

Si x e y son diferentes de cero, se dice que son ortogonales cuando: (x, y) = 0.

Ejemplo 7 En ^ 2 , sea x = (2 + i, − 1 + 3i ). Calculemos x . x =

( x, x) ,

(x, x) = (2 + i )(2 − i ) + (−1 + 3i )(−1 − 3i ) = 15, x =

15 .

Ejemplo 8 En ^ [0, 2π ] las funciones sen t y cos t son ortogonales. Veámoslo.

(sen t , cos t ) =

∫

2π 0

sen t cos t dt =

1 2π cos 2t sen 2t dt = − ∫ 0 2 4

2π

= 0. 0

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 129

Capítulo 2: Ortogonalidad Ejemplo 9 En ^ [0, 2π ] encontremos cos t .

2π (cos t , cos t ) = ⎡ ∫ cos 2 t dt ⎤ ⎣⎢ 0 ⎦⎥

cos t =

2π ⎛1⎛ sen 2t ⎞ = ⎜ ⎜t + ⎟ ⎜2⎝ 2 ⎠0 ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

1

1

2

⎡ 2π (1 + cos 2t ) ⎤ dt ⎥ = ⎢∫ 2 ⎣ 0 ⎦

1

2

2

=

π.

Los teoremas dados en el módulo 8 para \ n se extienden a cualquier espacio vectorial con producto interno. Definición 3

{u1 , u 2 ,..., uk } ⊂ V .

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea

{u1 , u2 ,..., uk }

es un conjunto ortonormal si:

i.

(u i , u j ) = 0 para i ≠ j.

ii.

ui = 1.

Si sólo se cumple la condición i se dice que el conjunto es ortogonal.

10.3 Última forma del problema de la base Dada una base S = { v1 , v 2 ,...., v k } para un subespacio de un espacio vectorial con producto interno, hallar una base ortonormal B = {u1 , u 2 ,..., u k } para el subespacio. El problema se resuelve aplicando el proceso de Gram-Schmidt, teniendo en cuenta la definición particular del producto interno en ese espacio vectorial. Ejemplo 10 Construyamos una base ortonormal en P2 [−1, 1]. Podemos partir de la base 2 estándar {1, x, x } ; como todo polinomio es una función continua, P2 [−1, 1] es

un subespacio de C [−1, 1] y por tanto emplearemos el producto interno definido en funciones continuas. Sea u1 =

1 . 1

1 =

130

(1, 1) =

( ∫ 1 dx ) 1

−1

2

1

2

= ( x −1 ) 1

1

2

= 2

1

2

=

2.

Módulo 10: Espacios con producto interno

u1 =

1 2

.

1 ⎞ 1 ⎛ v ′2 = v 2 − ( v 2 , u1 )u1 = x − ⎜ x, . ⎟ 2⎠ 2 ⎝

1 ⎞ ⎛ ⎜ x, ⎟ = 2⎠ ⎝

∫

1

1 x2 ⎤ x dx = ⎥ = 0. 2 2 2 ⎦ −1 1

1 −1

v′2 = x. x , u2 = x =

x =

( x, x ) =

(∫

1 −1

2

x dx

)

1

2

⎛ x3 ⎤ 1 ⎞ =⎜ ⎥ ⎟ ⎜ 3 ⎦ −1 ⎟ ⎝ ⎠

1

2

=

2 . 3

3 x. 2

v ′3 = v 3 − ( v 3 , u1 )u1 − ( v 3 , u 2 )u 2 ⎛ 1 ⎞ 1 3 ⎞ 3 ⎛ = x2 − ⎜ x2 , − ⎜⎜ x 2 , x⎟ x. ⎟ 2 ⎟⎠ 2 2⎠ 2 ⎝ ⎝

⎛ 2 1 ⎞ ⎜x , ⎟ = 2⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎜⎜ x , ⎝

3 ⎞ x⎟ = 2 ⎟⎠

∫

1 −1

∫

x2 .

1 −1

x

2

1 2

1

dx =

1 x3 ⎤ ⎥ = 2 3 ⎦ −1

3 x dx = 2

2 , 3

1

3 x4 ⎤ = 0. ⎥ 2 4 ⎦ −1

Luego v ′3 = x 2 −

2 1 1 = x2 − . 3 2 3

⎡ 1 ⎛ 2 1 ⎞2 ⎤ 1 ′ v3 = x − = ⎢ ∫ ⎜ x − ⎟ dx ⎥ 3 3⎠ ⎢⎣ −1 ⎝ ⎥⎦ 2

1

2

=

2 3 5 ⎛ 2 1⎞ 3 5 ( 3x − 1) u3 = = ⎜x − ⎟ = 3⎠ 3 8 ⎝ 8

8 3 5 5 8

,

(3 x 2 − 1).

Por tanto, una base ortonormal en P2 [−1, 1] es: ⎪⎧ 1 B = ⎨ , ⎩⎪ 2

3 x, 2

⎫⎪ 5 2 (3 x − 1) ⎬ . 8 ⎭⎪

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 131

Capítulo 2: Ortogonalidad

10.4 Proyección ortogonal en espacios vectoriales con producto interno Definición 4 Sea H un subespacio de un espacio V con producto interno y {u1 , u 2 ,..., u k } una base ortonormal de H. Si v ∈ V , entonces la proyección ortogonal de v sobre H, denotada proyH v, está dada por: proy H v = ( v, u1 ) u1 + ( v, u 2 ) u 2 + .... + ( v, u k ) u k .

Definición 5 Sea H un subespacio de un espacio V con producto interno. El complemento ⊥ ortogonal de H, denotado por H , está dado por:

H ⊥ = {x ∈ V : (x, h) = 0 para todo h ∈ H } . Nota: los teoremas referentes a dim H ⊥ , teorema de la proyección y teorema de aproximación de la norma, tienen restricciones cuando V es un espacio de dimensión infinita. Veamos qué sucede en cada caso, cuando V es de dimensión infinita. Si H es un subespacio de V de dimensión finita k, entonces: i.

H ⊥ es un subespacio de V de dimensión infinita.

ii.

Todo vector v ∈ V se puede expresar de manera única como suma de dos ⊥ vectores p y q tales que p ∈ H y q ∈ H ; p será proy H v pero q no es

proy H ⊥ v ya que ésta no está definida debido a que H ⊥ tiene dimensión infinita.

iii.

El teorema de aproximación de la norma debe tener la restricción de que H sea de dimensión finita para poder construir proy H v como la mejor aproximación del vector v de V al subespacio H.

Ejemplo 11 2 Sea H ⊂ P3 [0, 1] tal que H = gen {1, x } .

Encontremos una base para H ⊥ . Sea p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 un elemento de H ⊥ . Como p ( x) debe ser ortogonal a los vectores de la base de H, entonces ( p ( x ), 1) = 0 y ( p ( x ), x 2 ) = 0.

132

Módulo 10: Espacios con producto interno ( p( x), 1) =

∫

1 0

(a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 ) dx 1

x2 x3 x4 ⎤ = a0 x + a1 + a2 + a3 ⎥ 2 3 4 ⎦0 = a0 +

( p( x), x 2 ) =

∫

1 0

a1 a2 a3 + + = 0. 2 3 4

(1)

(a0 x 2 + a1 x3 + a2 x 4 + a3 x5 ) dx 1

= a0 =

x3 x4 x5 x6 ⎤ + a1 + a2 + a3 ⎥ 3 4 5 6 ⎦0

a0 a1 a2 a3 + + + = 0. 3 4 5 6

(2)

Debemos resolver simultáneamente las ecuaciones (1) y (2) para determinar la base de H ⊥ . a1 a2 a3 + + = 0, 2 3 4 a0 a1 a2 a3 + + + = 0. 3 4 5 6

a0 +

⎡ 1 ⎢1 ⎣ 3

1 1

2 4

1 1

3 5

1 1

⎤ operaciones elementales ⎡1 0 →⎢ ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 6⎦ ⎣0 1 4

−1 16

5

15

4⎤ . 1 ⎥⎦

−1

1 1 a2 + a3 , 5 4 16 a1 = − a2 − 1a3 , 15 a2 = 1a2 + 0a3 ,

Luego a0 =

a3 = 0a2 + 1a3 .

⎛ 15 ⎞ ⎜ −16 ⎟ 15 ⎟ Por tanto, los vectores ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 ⎠

y

⎛ 14 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1⎟ forman una base para H ⊥ . ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 133

Capítulo 2: Ortogonalidad Escribiendo los vectores como polinomios de P3 , tenemos:

1 ⎧ 1 16 ⎫ base para H ⊥ = ⎨ − x + x 2 , − x + x3 ⎬ . 4 ⎩ 5 15 ⎭

134

Módulo 10 1.

⎛ x1 ⎞ ⎛ y1 ⎞ 2 En \ , si x = ⎜ ⎟ , y = ⎜ ⎟ , sea ( x, y ) = 2 x1 y1 + 2 x2 y2 . x ⎝ 2⎠ ⎝ y2 ⎠

Demuestre que ( x , y ) es un producto interno. 2.

⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ Con el producto interno definido en el ejercicio 1, sea x = ⎜ ⎟ e y = ⎜ ⎟ . Calcule (x, y ) y x . ⎝ 1⎠ ⎝ 3⎠

3.

Considere una forma de «normar» el ascenso a una montaña. Los índices de dificultad son como se muestra: Categoría

Ángulo de ascenso

Índice de dificultad

0º ≤ θ < 10º 10º ≤ θ < 25º 25º ≤ θ < 45º

1 2 3

1 2 4

Una norma de dificultad para un viaje de x1 millas en la categoría 1, x2 millas en la categoría 2 y x3 millas en la categoría 2 2 2 3 es ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2 x2 + 4 x3 , la cual se genera mediante el producto interno

(( x1 , x2 , x3 ), ( y1 , y2 , y3 )) = x1 y1 + 2 x2 y2 + 4 x3 y3 .

De los ascensos siguientes, ¿cuál es el más difícil? Viaje

4.

Categoría 1

Categoría 2

Categoría 3

T1

3

2

1

T2

0

6

0

T3

5

0

1

(en millas)

Sea Dn el conjunto de matrices diagonales de n × n con componentes reales, si A y B ∈ Dn ; entonces se define ( A, B) así: ( A, B) = a11b11 + a22 b22 + ... + ann bnn .

Pruebe que Dn es un espacio con producto interno.

Capítulo 2: Ortogonalidad

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 135

5.

Encuentre una base ortonormal para Dn .

6.

Encuentre una base ortonormal para P2 [0, 1] .

7.

En ^ 2 encuentre una base ortonormal comenzando con la base (1, i ), (2 − i, 3 + 2i ).

8.

Si A = ( aij ) es una matriz real de n × n, la traza de A, que se escribe tr A, es la suma de los componentes de la diagonal de A : tr A = a11 + a22 + ... + ann . En M nn se define ( A, B) = tr ( ABt ) . Demuestre que con esta operación M nn es un espacio con producto interno.

9.

Encuentre una base ortonormal para M 22 .

10.

En P3 [0, 1], sea W el subespacio de P3 con base B = { x, x 2 } . Determine una base ortonormal para W.

136

Ejercicios del módulo 10

3

Capítulo 3 Transformaciones lineales

Módulo 11 Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales Ejercicios Módulo 11

Un caricaturista emplea computadores y álgebra lineal para transformar la imagen y dar la sensación de movimiento a la figura que dibuja. En la figura, la imagen de la izquierda se trasforma en la de la derecha, haciendo una transformación que consiste en multiplicar cada punto (vector) de la figura inicial por una matriz A: (T ( x ) = Ax ).

Módulo 12 Propiedades de las transformaciones lineales. Núcleo e imagen Ejercicios Módulo 12 Módulo 13 El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales

El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas. En particular, uno de los objetos principales del álgebra lineal es el análisis de las funciones lineales definidas entre espacios vectoriales de dimensión finita. Estas funciones reciben el nombre de transformaciones lineales y son de gran aplicación en múltiples problemas de las ciencias físicas, naturales y sociales y en economía. Nuestros ejemplos principales van a ser funciones de das con matrices.

n

en

m

que están asocia-

Como resultado fundamental del capítulo vamos a asociar a cada transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita una matriz de transformación; este hecho lo hemos destacado como el tercer problema básico del álgebra lineal. La asociación de las transformaciones lineales con sus respectivas matrices de transformación nos permite estudiar estas funciones a través del álgebra matricial.

Ejercicios Módulo 13 Módulo 14 Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles Ejercicios Módulo 14 Módulo 15 Isometrías Ejercicios Módulo 15

138

11

Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales Contenidos del módulo 11.1 Definición y ejemplos de transformaciones lineales 11.2 Álgebra de las transformaciones lineales 11.2.1 Suma y producto por un escalar 11.2.2 Composición de transformaciones lineales

Para una matriz fija Am×n , a cualquier vector n x de , le corresponde un vector Ax de m

. Esta correspondencia definida por el producto matricial Ax es el principal ejemplo de una transformación lineal, cuya definición actual se debe al matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932).

Objetivos del módulo 1. Establecer funciones entre espacios vectoriales que preservan las operaciones de suma y producto por un escalar. 2. Ilustrar las transformaciones lineales en los espacios vectoriales más usuales: R n , Pn , M mn y C[a,b] . 3. Aprender el manejo algebraico de las transformaciones lineales.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una transformación lineal? 2. ¿Toda función lineal es una transformación lineal? 3. ¿Cualquier transformación T : R n → R m tal que T ( x) = Ax es lineal? 4. ¿Cómo se suman transformaciones lineales? 5. ¿Cómo se realiza la operación producto por escalar con transformaciones lineales? 6. ¿Son las operaciones de suma y producto por un escalar cerradas en el conjunto de transformaciones de V en W? 7. ¿Cómo se realiza la composición de transformaciones lineales?

Introducción De los cursos anteriores de matemáticas sabemos que una función f consta de dos conjuntos A y B y una regla f ( x) que asigna a cada elemento de A un único elemento de B. El conjunto A se llama dominio de f y B codominio de f . Escribimos f : A → B para indicar que f es una función del conjunto A en el conjunto B.

Por lo general, se ha trabajado con funciones donde el dominio es el conjunto de números reales y el codominio es algún subconjunto de . Un tipo especial de estas funciones son las llamadas funciones lineales , ya que la gráfica de la función es una línea recta.

Vea el módulo 11 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 139

Capítulo 3: Transformaciones lineales Queremos destacar dos propiedades que poseen algunas funciones lineales, las rectas que pasan por el origen, esto es, f : pendiente de la recta. Veamos que:

→

, f ( x) = mx, donde m es la

1.

f ( x1 + x2 ) = m( x1 + x2 ) = mx1 + mx2 = f ( x1 ) + f ( x2 ).

2.

f (α x) = m(α x) = α (mx) = α f ( x).

Es decir, la función f transforma «sumas en sumas» y «productos por escalares en productos por escalares». Geométricamente esto se ve en la siguiente figura:

Nos proponemos hacer una generalización algebraica de este tipo de funciones, donde tanto el dominio como el codominio son espacios vectoriales. A estas funciones las llamamos transformaciones lineales. Mostraremos además que el conjunto de las transformaciones lineales de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W es cerrado a la suma y al producto por un escalar. Es decir, el conjunto de transformaciones lineales de V en W tiene estructura de espacio vectorial.

140

Módulo 11: Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales

11.1 Definición y ejemplos de transformaciones lineales Definición 1 Sean V y W espacios vectoriales y sea T una función cuyo dominio es V y cuyo codominio es W (T : V → W ). Se dice que T es una transformación lineal si: a.

Para todo x, y elementos de V T ( x + y ) = T (x) + T ( y ).

b.

Para todo x ∈ V y α ∈

(o α ∈ )

T (α x) = α T (x).

A las transformaciones lineales también se les llama operadores lineales. Una transformación lineal es, entonces, una función entre dos espacios vectoriales «que preserva las operaciones de espacio vectorial». Es decir, la imagen de la suma de dos vectores del dominio es la suma de las imágenes de cada uno de los vectores y la imagen del producto de un vector del dominio por un escalar es el producto de la imagen del vector por el escalar. Gráficamente es como se representa en la figura 11.1.

Escuche la biografía de Giusseppe Peano en su multimedia de Álgebra Lineal Figura 11.1

Ejemplo 1 La función f : → , tal que f (x) = mx analizada en la introducción, es una transformación lineal.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Gráfica de una transformación lineal»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 141

Capítulo 3: Transformaciones lineales Ejemplo 2 Sea T : → tal que T (x) = mx + b, donde m y b son números reales y b ≠ 0. Demostremos que T no es una transformación lineal. Solución Veamos si se cumple el primer requisito: T ( x + y ) = m ( x + y ) + b = mx + my + b.

(1)

T (x) + T ( y ) = ( m x + b) + ( my + b) = mx + my + 2b.

(2)

Podemos observar que (1) ≠ (2) y, por tanto, no se verifica la condición a de la definición. En consecuencia, T no es lineal. Las funciones correspondientes a los ejemplos 1 y 2 son líneas rectas. Sin embargo, la recta dada en el ejemplo 2 no es una transformación lineal; la diferencia entre ellas es el término constante; en el ejemplo 1, donde el b es cero, hay linealidad; si b ≠ 0 como en el ejemplo 2, no hay linealidad. En conclusión, las únicas rectas que representan transformaciones lineales son las rectas que pasan por el origen. Ejemplo 3 Sea A una matriz m × n y T : T es lineal.

n

→

m

una función tal que T (x) = Ax. Veamos que

a.

T (x + y ) = A(x + y ) = Ax + Ay = T (x) + T (y ).

b.

T (α x) = A(α x) = α ( Ax) = α T (x).

De a y b concluimos que T es una transformación lineal. A la función f A : n → función inducida por A.

m

tal que f A ( x ) = Ax con A una matriz m × n se le llama

Más adelante veremos que no sólo T ( x ) = Ax es una transformación lineal, sino que toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Ejemplo 4 ⎡ 3 2 −1⎤ Sea A = ⎢ ⎥, T : ⎣ − 1 0 −2 ⎦

⎡x ⎤ ⎡ 3 T ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢ ⎣−1 ⎣⎢ z ⎦⎥

142

2 0

3

→

2

tal que

⎡x ⎤ −1 ⎤ ⎢ y ⎥ es la función inducida por A. ⎥ ⎢ ⎥ −2 ⎦ ⎢ ⎥ ⎣z ⎦

Módulo 11: Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales

⎡x ⎤ ⎡ 3x + 2 y − z ⎤ T ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢ ⎥ es una transformación lineal. ⎣− x − 2 z ⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ Ejemplo 5 ⎡cos θ Sea A = ⎢ ⎣sen θ

−sen θ ⎤ . cos θ ⎥⎦

Entonces fA gira el plano por qué:

2

alrededor del origen un ángulo θ (figura 11.2). Veamos

Figura 11.2

⎛x⎞ Sea v = ⎜ ⎟ un vector en el plano xy. Supongamos que v se gira un ángulo θ en ⎝ y⎠ ⎛ x′ ⎞ sentido antihorario. Sea v ' = ⎜ ⎟ el vector rotado, el cual no cambia su magnitud al ⎝ y′ ⎠

ser transformado, v = v' = r. Entonces

x = r cos α ,

x ' = r cos (α + θ ).

y = r sen α ,

y ' = r sen (α + θ ).

⎡ cos θ Calculando f A ( v ) = Av = ⎢sen θ ⎣ ⎡ x cos θ Av = ⎢ ⎣ xsen θ

−sen θ ⎤ cos θ ⎥⎦

⎡x⎤ ⎢ y⎥ , ⎣ ⎦

− y sen θ ⎤ ⎡ r cos α cos θ = y cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ r cos α sen θ

− r sen α sen θ ⎤ + r sen α cos θ ⎥⎦

⎡r cos (α + θ )⎤ ⎡ x´ ⎤ =⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = v′. ⎣r sen (α + θ ) ⎦ ⎣ y´ ⎦

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 143

Capítulo 3: Transformaciones lineales Ejemplo 6 Un fabricante produce tres artículos diferentes para lo cual requiere dos materias primas. La tabla 11.1 nos muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para la elaboración de cada artículo. Tabla 11.1

Si se necesita producir cierta cantidad de los artículos A1, A2, A3 debemos preguntarnos: ¿cuántas unidades de las materias primas M1 y M2 se requieren?

⎡ a1 ⎤ Se define un vector de producción p = ⎢⎢a2 ⎥⎥ , donde a1, a2, a3 denotan las cantidades ⎢⎣ a3 ⎥⎦ que se deben producir de los artículos A1, A2, A3, respectivamente. ⎡ m1 ⎤ Similarmente, definimos m = ⎢ ⎥ , donde m1 y m2 denotan las cantidades de las ⎣m2 ⎦ materias primas M1 y M2 requeridas para la producción. Luego

m1 = 2a1 + a2 + 2a3 , m2 = a1 + 2a2 + 3a3 ,

lo cual en forma matricial lo escribimos como

⎡ a1 ⎤ ⎡2 1 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡ m1 ⎤ ⎢ 1 2 3⎥ ⎢a2 ⎥ = ⎢m ⎥ , ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ ⎣ a3 ⎦ o también Ap = m. La función inducida por A es tal que dado un vector de producción p, lo transforma en un vector de materia prima m. Así que m = T (p). La ecuación matricial planteada tiene la forma Ax = b, que es la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales, donde A es una matriz m × n, x ∈ n y b ∈ m . Cuando se trata de resolver el sistema de ecuaciones lineales, debe hallarse x conocidos A y b. En el ejemplo, el enfoque es diferente; acá la ecuación Ax = b «dice»: si se tiene un x de

144

n

podemos encontar b ∈

m

tal que b = T (x).

Módulo 11: Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales Ejemplo 7 Sea D : Pn → Pn −1 tal que para f ∈ Pn , D ( f ) = f ′. Como ( f + g )′ = f ′ + g ′ y (α f )′ = α f ′, ya que f y g son funciones polinómicas, las cuales son diferenciables,

entonces D es una transformación lineal y se llama operador diferencial. Ejemplo 8 Sea L : C[a, b] →

definida por L ( f ) =

∫

b a

f ( x ) dx. Entonces, si f y g están en

C[a, b] : a.

∫

b a

∫

( f + g )( x) dx =

b a

( f ( x) + g ( x)) dx =

∫

b a

b

f ( x) dx + ∫ g ( x) dx a

L( f + g ) = L( f ) + L( g ).

b.

∫

b a

(α f )( x) dx =

∫

b a

α ( f ( x)) dx = α ∫ f ( x) dx b

a

L (α f ) = α L( f ).

Por tanto, L es lineal y se llama operador integral. Ejemplo 9 Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformación tal que T ( v ) = 0 para todo v que pertenece a V. Entonces T ( v1 + v 2 ) = 0 = 0 + 0 = T ( v1 ) + T ( v 2 ) y T (α v ) = 0 = α 0 = α T ( v).

Luego la transformación es lineal y se llama transformación cero. Ejemplo 10 Sea V un espacio vectorial. Definamos I : V → V una transformación tal que I ( v ) = v para todo v en V. Es evidente que esta transformación es lineal y se denomina transformación identidad u operador identidad.

Ejemplo 11 Sea T : M mn → M nm tal que para A , T ( A) = AT . Como ( A + B )T = AT + BT y m× n

(α A) = α A , T es lineal y se llama operador de transposición. T

T

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 145

Capítulo 3: Transformaciones lineales Ejemplo 12 Sea T : M 22 → M 22 definida por: ⎛ ⎛ a b ⎞ ⎞ ⎛ 1 0 ⎞⎛ a b ⎞ T ⎜⎜ ⎟⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟. ⎝ ⎝ c d ⎠ ⎠ ⎝ −1 2 ⎠⎝ c d ⎠

Veamos que T es una transformación lineal.

i.

⎛⎛a b ⎞ ⎛ e T ⎜⎜ ⎟+⎜ ⎝⎝ c d ⎠ ⎝ g

f ⎞⎞ ⎛⎛ a + e b + f ⎞⎞ ⎟⎟= T ⎜⎜ ⎟⎟ h ⎠⎠ ⎝⎝c + g d + h ⎠⎠

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a + e b + f ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ ⎡a b ⎤ ⎡e f ⎤⎞ = ⎜ + ⎢ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥ ⎥⎟ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ c + g d + h ⎠ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ ⎣ c d ⎦ ⎣g h ⎦ ⎠ ⎡ 1 0⎤ ⎡a b ⎤ ⎡ 1 0⎤ ⎡ e =⎢ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣ c d ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣ g ⎡a b ⎤ ⎡e f ⎤ =T⎢ + T⎢ ⎥ ⎥. ⎣c d ⎦ ⎣g h ⎦

ii.

⎛ ⎡a b ⎤ ⎞ ⎡⎛ α a α b ⎞ ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡α a T ⎜α ⎢ ⎟ = T ⎢⎜ ⎟⎥ = ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎝ ⎣c d ⎦ ⎠ ⎣⎝ α c α d ⎠ ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣α c ⎡ 1 0⎤ ⎡a b ⎤ ⎡1 = ⎢ α⎢ = α⎢ ⎥ ⎥ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣ c d ⎦ ⎣ −1

f⎤ h ⎥⎦

αb⎤ α d ⎦⎥ 0⎤ ⎡ a b ⎤ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ c d ⎥⎦

⎡a b ⎤ = αT ⎢ ⎥. ⎣c d ⎦

11.2 Álgebra de las transformaciones lineales 11.2.1 Suma y producto por un escalar Sean T1 y T2 transformaciones lineales del espacio vectorial V en el espacio vectorial W; entonces i.

La suma de T1 y T2 está dada por (T1 + T2 ) v = T1 ( v ) + T2 ( v) para todo

v ∈ V ; es claro que T1 ( v ) + T2 ( v ) es un elemento de W. Luego la suma es una transformación de V en W. ii.

Sea α un escalar; el múltiplo escalar α T1 de T1 por α es la transformación

α T1 : V → W definida por (α T1 )( v ) = α (T1 ( v)).

146

Módulo 11: Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales Teorema 1 Sean T1 y T2 transformaciones lineales entre los espacios vectoriales V y W; entonces, T1 + T2 y α T1 son transformaciones lineales de V en W. Demostración Sean v1 , v 2 ∈ V y sean α1 y α 2 ∈ . Entonces (T1 + T2 )( v1 + v 2 ) = T1 ( v1 + v 2 ) + T2 ( v1 + v 2 ) = T1 ( v1 ) + T1 ( v 2 ) + T2 ( v1 ) + T2 ( v 2 ) = (T1 ( v1 ) + T2 ( v1 )) + (T1 ( v 2 ) + T2 ( v 2 )) = (T1 + T2 )( v1 ) + (T1 + T2 )( v 2 ).

Ahora, (T1 + T2 )(α v1 ) = T1 (α v1 ) + T2 (α v1 ) = α T1 ( v1 ) + α T2 ( v1 ) = α (T1 ( v1 ) + T2 ( v1 )) = α ((T1 + T2 ) v1 ).

Luego T1 + T2 es una transformación lineal. La demostración de que α T1 es una transformación lineal se deja como ejercicio.

11.2.2 Composición de transformaciones lineales Sean U, V y W espacios vectoriales, T2 : U → V y T1 : V → W transformaciones lineales. La composición de T1 con T2 es la transformación T1 o T2 : U → W definida por T1 o T2 ( v ) = T1 (T2 ( v)) para todo v ∈ U (figura 11.3).

Figura

11.3

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 147

Capítulo 3: Transformaciones lineales Teorema 2 Sean U, V, W espacios vectoriales, T2 : U → V y T1 : V → W transformaciones lineales; entonces, la transformación T1 o T2 : U → W es una transformación lineal. Demostración

. Entonces Sean v1 y v 2 elementos de U y α ∈  i.

T1 o T2 ( v1 + v 2 ) = T1 (T2 ( v1 + v 2 )) = T1 (T2 ( v1 ) + T2 ( v 2 )) = T1 (T2 ( v1 )) + T1 (T2 ( v 2 )) = T1 o T2 ( v1 ) + T1 o T2 ( v 2 ).

ii.

T1 o T2 (α v1 )

= T1 (T2 (α v1 )) = T1 (α T2 ( v1 )) = α T1 (T2 ( v1 )) = α (T1 o T2 ( v1 )).

De i y ii concluimos que T1 o T2 es una transformación lineal. La composición T o T suele escribirse Tº2. En forma semejante, se escribe Tº3 en vez de T 2 o T . También se define T 1 como T y T 0 como I, la transformación identidad. Ejemplo 13 Sean T1 : P2 → P1 definida por T1 (a + bx + cx 2 ) = b + cx, T2 : P2 → P1 definida por T2 ( a + bx + cx 2 ) = c − ax. Evalúe T1 + T2 y 5T1 .

(T1 + T2 )(a + bx + cx 2 ) = T1 (a + bx + cx 2 ) + T2 (a + bx + cx 2 ) = (b + cx) + (c − ax) = (b + c) + (c − a ) x. (5 T1 )(a + bx + cx 2 ) = 5 (T1 (a + bx + cx 2 )) = 5 (b + cx) = 5b + 5cx.

148

Módulo 11: Definiciones, ejemplos y álgebra de las transformaciones lineales Ejemplo 14 Sean T2 :

2

→

3

y T1 :

⎛ x+ y⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ T2 ⎜ ⎟ = ⎜ x − y ⎟ y ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 2x ⎠

3

y

→

4

transformaciones lineales definidas por:

⎛x− y⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ x+ y⎟ ⎜ ⎟ T1 ⎜ y ⎟ = ⎜ . ⎜ x+ z ⎟ ⎜z⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 2z ⎠

⎛ 2⎞ ⎛ x⎞ Determine T1 o T2 ⎜ ⎟ , T1 o T2 ⎜ ⎟ . ⎝ 4⎠ ⎝ y⎠

⎛8⎞ ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎛ 2⎞⎞ 4 ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ T1 o T2 ⎜ ⎟ = T1 ⎜ T2 ⎜ ⎟ ⎟ = T1 ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠⎠ ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝8⎠

⎛ x+ y−x+ y⎞ ⎛ x+ y⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎛ x ⎞⎞ x+ y+ x− y⎟ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ T1 o T2 ⎜ ⎟ = T1 ⎜ T2 ⎜ ⎟ ⎟ = T1 ⎜ x − y ⎟ = ⎜ x + y + 2x ⎟ ⎝ y⎠ ⎝ ⎝ y⎠⎠ ⎜ 2x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4x ⎝ ⎠ y 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x 2 ⎟. = ⎜ ⎜ 3x + y ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4x ⎠

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 149

Módulo 11 En los ejercicios 1 a 4 determine cuáles de las siguientes transformaciones T : 1.

T ( x, y) = 3x + y.

2.

T ( x, y ) = x 2 − y.

3.

T ( x, y) = y.

4.

T ( x, y) = 2.

En los ejercicios 5 a 8 determine cuáles de las siguientes transformaciones T : 5.

T ( x, y) = ( x, 0).

6.

T ( x, y) = (1, y).

7.

T ( x, y ) = ( x 2 , y 2 ).

8.

T ( x, y) = ( xy, x + y).

2

→

2

→

son lineales.

2

son lineales.

En los ejercicios 9 a 11 determine cuáles de las siguientes transformaciones T : P 2 → P 3 son lineales. 9.

T (a0 + a1 x + a2 x 2 ) = a0 + a1 x 2 + a2 x3 .

10.

T (a0 + a1 x + a2 x 2 ) = (a0 + a1 ) x − (2a1 + a2 ) x 3 .

11.

T (a0 + a1 x + a2 x 2 ) = a1a2 + 3a0 a2 x 2 − x3 .

Determine si las transformaciones dadas en los ejercicios 12 a 20 son lineales.

12.

T : M 22 →

⎡a b ⎤ dada por T ⎢ ⎥ = ad − bc. ⎣c d ⎦

13.

T : M 22 →

⎡a b ⎤ dada por T ⎢ ⎥ = a + b + c + d. ⎣c d ⎦

14.

T : M nn →

dada por T ( A) = a11 + a22 + ... + ann .

15.

T : M nn →

dada por T ( A ) = a11 a 22 ... a nn .

16.

T : M nn →

dada por T ( A) = det A.

17.

n

T:

→

dada por T ( x1 , x2 ,..., xn ) = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn , con a1, a2 ,..., an constantes dadas.

Capítulo 3: Transformaciones lineales

18.

T : C [0, 1] →

dada por T ( f ( x)) = f ( x − 1).

19.

T : C [0, 1] →

dada por T ( f ( x)) = f ( x) + 1.

20.

T : C [0, 1] →

dada por T ( f ) = f (1).

En los ejercicios 21 y 22 se describe geométricamente una transformación T : mación y muestre que es lineal.

2

→

2

. Defina analíticamente la transfor-

21.

Figura 1

Figura 2

22.

Figura 3

Figura 4

23.

Sea B una matriz cuadrada de orden n. Considere la transformación T : M n×n → M n×n dada por T ( A) = AB − BA (B es una matriz fija de orden n). Demuestre que T es una transformación lineal.

24.

Si T : V → W es una transformación lineal, demuestre que α T también es una transformación lineal de V en W.

25.

Sean T1 y T2 transformaciones lineales de a.

(T1 + T2 )(x).

b.

(T1 T2 )(x).

n

→

m

dadas por T1 (x) = Ax y T2 (x) = Bx. Determine:

Ejer cicios del módulo 11 Ejercicios

26.

3

Sean T1 y T2 transformaciones lineales de

⎡ x⎤ ⎡x − y + z⎤ T1 ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢ x + y ⎦⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎣

y

en

2

dadas por:

⎡ x⎤ ⎡ −x + y ⎤ . T2 ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢ 2 x − y − z ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ z ⎥⎦

Calcule T1 + T2 , 4T1.

27.

Sean T1 :

3

→

2

⎡ x⎤ ⎡x − y + z⎤ tal que T ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢ y T2 : x + 2 z ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ z ⎥⎦

2

→

3

⎡ x+ y ⎤ ⎡ x⎤ ⎢ tal que T2 ⎢ ⎥ = ⎢ x − 4 y ⎥⎥ . ⎣ y⎦ ⎢ ⎣ x − y ⎥⎦

Determine (T1 T2 ) y (T2 T1 ).

Capítulo 3: Transformaciones lineales

152

12

Propiedades de las transformaciones lineales. Núcleo e imagen Contenidos del módulo

El núcleo y la imagen de una transformación lineal nos muestran los ceros de la transformación y el conjunto de valores que ella toma.

12.1 Propiedades de las transformaciones lineales 12.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Objetivos del módulo 1. Estudiar las propiedades de las transformaciones lineales. 2. Determinar para cada transformación lineal dos subespacios: uno en el dominio, llamado núcleo, y otro en el codominio, llamado imagen.

Preguntas básicas Sea T : V → W una transformación lineal: 1. ¿Cómo se transforma el «cero» de V? 2. ¿Cómo se calcula la transformación de una combinación lineal de vectores de V? 3. Si {v1, v2 ,..., vn} es una base de V, ¿cómo se calcula T ( v) para cualquier v ∈ V ? 4. ¿Cómo se determina el núcleo de T? 5. ¿Cómo se determina la imagen de T? 6. ¿Qué son la nulidad y el rango en una transformación lineal?

Introducción Cuando establecemos una función entre dos conjuntos nos interesa saber qué características particulares tiene, cuáles son los ceros de la función y cuál es el conjunto de valores que ella toma. En esta sección estudiaremos estas propiedades para las transformaciones lineales.

Vea el módulo 12 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 153

Capítulo 3: Transformaciones lineales

12.1 Propiedades de las transformaciones lineales Teorema 1 Sea T : V → W una transformación lineal; entonces a.

T (0) = 0.

b.

T (x − y ) = T (x) − T (y ) para todo x, y en V.

c.

T (α1 v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n ) = α1 T ( v1 ) + α 2 T ( v 2 ) + ... + α n T ( v n ), siendo

{α1 , α2 ,..., αn }

y { v1 , v1 ,..., vn } conjuntos cualesquiera de escalares y ele-

mentos de V, respectivamente. Demostración a.

T (0) = T (0x) = 0 T (x) = 0.

b.

T (x − y ) = T (x + (−1) y ) = T (x) + T ((−1) y ) = T (x) + (−1) T (y ) = T (x) − T (y ).

c.

Razonemos por inducción sobre n: Si n = 2, T (α1 v1 + α 2 v 2 ) = T (α1 v1 ) + T (α 2 v 2 ) = α1 T ( v1 ) + α 2 T ( v 2 ). Supongamos que la proposición se cumple para n = k y veamos que se verifica para n = k + 1. T (α1 v1 + α 2 v 2 + ... + α k v k + α k +1 v k +1 ) = T ((α1 v1 + α 2 v 2 + ... + α k v k ) + α k +1 v k +1 ) = T (α1 v1 + α 2 v 2 + ... + α k v k ) + T (α k +1 v k +1 ) =

α1 T ( v1 ) + α 2 T ( v 2 ) + ... + α k T ( v k ) + α k +1 T ( v k +1 ), aplicando la suposición establecida y el hecho de que la transformación es lineal. Observación Es importante notar que en la parte a del teorema anterior, el cero del lado izquierdo de la igualdad es el cero de V y el del lado derecho es el de W. Además la parte c del teorema es una generalización de las partes a y b. En general, cuando se define una función de V en W, ésta se especifica mediante una regla que asigna a cada elemento de V un único elemento de W, ya que sería imposible decir para cada uno de los elementos de V cuál es el asignado en W debido a que se trata de la asignación de una infinidad de elementos. Sin embargo, cuando se trata de una transformación lineal, es posible saber cómo está definida T en todo el espacio vectorial V, conociendo lo que hace T a una base de V. Así que en un espacio de dimensión finita, es posible describir T proporcionando sólo las imágenes de un conjunto finito de vectores.

154

Módulo 12: Propiedades de las transformaciones lineales. Núcleo e imagen Teorema 2 Sea T : V → W una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n en un espacio vectorial W. Sea B = { v1 , v1 ,..., vn } una base para V; entonces, para v ∈ V, T (v) está completamente determinada por { T ( v1 ), T (v2 ),..., T (vn )} .

Demostración Sea v ∈ V, v = α1 v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n con α i ∈ , i = 1, 2,..., n. T ( v ) = T (α1 v1 + α 2 v 2 + ... + α n v n ), y por el teorema 1c, T ( v ) = α1 T ( v1 ) + α 2 T ( v 2 ) + ... + α n T ( v n ).

Ejemplo 1 Sea T :

2

→

3

una transformación lineal tal que:

⎛ −1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ y T ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟. ⎝ 2⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ 2 , luego la transformación está Los vectores ⎜ 2 ⎟ y ⎜ 1 ⎟ forman una base de ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ completamente determinada en todo el espacio vectorial. ⎛ x⎞ Veamos cómo está dada T ⎜ ⎟ . ⎝ y⎠

⎛ x⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎡ 1 2 ⎜ ⎟ = C1 ⎜ ⎟ + C2 ⎜ ⎟ ; ⎢ ⎝ y⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎣2 1 =

⎡1 x ⎤ operaciones elementales ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ y ⎦⎥ ⎢0 ⎣⎢

0 1

2y − x⎤ 3 ⎥ ⎥ 2x − y ⎥ 3 ⎦⎥

2y − x ⎛1⎞ 2x − y ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟. 3 ⎝ 2⎠ 3 ⎝1⎠

⎛ x⎞ ⎛ 2 y − x ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2x − y ⎞ ⎛ 2 ⎞ T⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ T ⎜ ⎟+⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ y ⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2 y − x ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2x − y ⎞ ⎜ ⎟ 1 = ⎜ ⎟ 0 +⎜ ⎟ 2 = ⎝ 3 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 ⎝ 2⎠ ⎝ −1 ⎠

⎛ x − 2y ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4x − 2 y ⎟. ⎜ −4 x + 5 y ⎟ ⎝ ⎠

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 155

Capítulo 3: Transformaciones lineales En particular,

⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ 1 ⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟. ⎝ −1⎠ 3 ⎜ ⎟ ⎝ −5 ⎠ Teorema 3 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = { v 1 , v 2 , ..., v n } y sean w1 , w2 ,..., wn n vectores en un espacio vectorial W. Entonces existe una única transformación lineal T : V → W tal que T (vi ) = wi para i = 1, 2, ..., n. La demostración de este teorema se deja como ejercicio.

12.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal Definición 1 Sean V y W espacios vectoriales y T : V → W una transformación lineal; entonces: a.

El núcleo de T, denotado nu T, está dado por nu T = { v ∈V / T (v) = 0} .

b.

La imagen de T, denotada imagen T, está dada por: imagen T = {w ∈ W / w = T ( v ), para algún v ∈ V } .

Teorema 4 Si T : V → W es una transformación lineal, entonces: a.

El núcleo de T es un subespacio de V.

b.

La imagen de T es un subespacio de W.

Demostración (figura 12.1) a.

nuT ≠ Φ ya que T (0) = 0. Sean x, y elementos de nu T; entonces, T (x) = 0 y T (y) = 0, T (x + y ) = T (x) + T (y ) = 0 + 0 = 0, luego (x + y ) ∈ nu T .

Ahora, T (α x) = α T (x) = α 0 = 0. Por tanto, α x ∈ nu T . En consecuencia, nu T es un subespacio de V. b.

156

Sean w1 y w2 elementos de imagen T, luego existen v1 y v2 elementos de V tales que T (v1) = w1 y T (v2) = w2; entonces, T (v1 + v2 ) = T (v1) + T (v2) = w1 + w2.

Módulo 12: Propiedades de las transformaciones lineales. Núcleo e imagen Por tanto, (w1 + w2 ) ∈ imagen T. Además, α w1 = α T ( v1 ) = T (α v1 ), es decir, α w1 ∈ imagen T y, en consecuencia, imagen T es un subespacio de W.

Figura

12.1

Definición 2 Sea T una transfomación lineal de V en W; entonces: a.

La dimensión del núcleo de T, denotada ν (T ) , se denomina nulidad de T.

b.

La dimensión de la imagen T, denotada ρ (T ) , se denomina rango de T.

Ejemplo 2 3

Sea T :

→

2

dada por:

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎛ x + 2y + z ⎞ T ⎜ y⎟ = ⎜ ⎟. ⎜ z ⎟ ⎝ −x + 3y + z ⎠ ⎝ ⎠ Determine nu T, imagen T, ν (T ) y ρ (T ). Solución Para hallar el conjunto de vectores (x, y, z) de debemos resolver el sistema homogéneo

3

tales que T (x, y, z) = (0, 0),

x + 2y + z = 0 −x + 3y + z = 0 ⎡ 1 2 1⎤ operaciones elementales ⎡ 1 0 1/ 5⎤ →⎢ ⎢ −1 3 1⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 0 1 2 / 5⎦

x = −1/ 5 z y = −2 / 5 z z=z

si z = 5, x = −1, y = −2 . Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 157

Capítulo 3: Transformaciones lineales ⎧⎛ −1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ Luego una base para nu T = ⎨⎜ −2 ⎟ ⎬ y nu T = gen ⎪⎜ 5 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

⎧⎛ −1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎨⎜ −2 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 5 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

La dimensión de nu T es 1; ν (T ) = 1 . ⎛a⎞ Sea ⎜ ⎟ ∈ ⎝b⎠

2

⎛a⎞ tal que ⎜ ⎟ ∈ imagen T, luego ⎝b⎠

⎛a⎞ ⎛ x + 2y + z ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ b ⎠ ⎝ −x + 3y + z ⎠

⎡ 1 ⎢ −1 ⎣

2

1

3

1

⎡1 a ⎤ operaciones elementales ⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ b ⎥⎦ ⎢0 ⎢⎣

0

1

1

2

5

5

3a − 2b ⎤ 5 ⎥ ⎥ a+b ⎥ 5 ⎥⎦

3a − 2b 1 − z 5 5 a+b 2 y= − z 5 5 z=z

x=

1 (3a − 2b − z ), 5 1 y = (a + b − 2 z ), 5 z = z.

x=

⎛a⎞ Así que para cualquier elemento ⎜ ⎟ de ⎝b⎠ 3

2

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ y se puede encontrar una terna ⎜ ⎟ de ⎜z⎟ ⎝ ⎠

dando a z cualquier valor y determinando x e y como se indica en la solución del

sistema. Luego imagen T =

2

y ρ (T ) = 2.

Una forma de ver la acción de una transformación lineal consiste en hallar las imágenes determinadas por T sobre figuras geométricas tales como polígonos o círculos. Ejemplo 3 ⎛ x ⎞ ⎡ 1 −1⎤ ⎛ x ⎞ Sea T definida por T ⎜ ⎟ = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ . Halle la imagen debida a T, del cuadrado ⎝ y ⎠ ⎣2 0 ⎦ ⎝ y ⎠ de vértices (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Solución Se hallan las transformaciones de los vértices. Como los lados del cuadrado son segmentos de recta, la imagen del cuadrado resulta de unir las imágenes de los vértices mediante segmentos de recta.

158

Módulo 12: Propiedades de las transformaciones lineales. Núcleo e imagen ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 0 ⎞ T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠

Gráficamente podemos ilustrar esto así (figura 12.2):

Figura 12.2

Ejemplo 4 Muestre que T :

⎛ ⎜ T⎜ ⎜ ⎝

x⎞ ⎟ y⎟ = z ⎟⎠

3

→

3

definida por:

⎡ a 0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ 0 b 0 ⎥ ⎢ y ⎥ a, b, c > 0, ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 0 0 c ⎦⎥ ⎣⎢ z ⎦⎥

transforma la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 en un elipsoide. Solución ⎛ x⎞ ⎛ ax ⎞ ⎛ x '⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ T ⎜ y ⎟ = ⎜ by ⎟ = ⎜ y ' ⎟ ⎜ z⎟ ⎜ cz ⎟ ⎜ z'⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y

(ax ) 2 (by ) 2 (cz ) 2 + + 2 = x2 + y 2 + z 2 = R2 . a2 b2 c

Al dividir entre R 2 se obtiene x '2 y '2 z '2 + + = 1, 2 2 ( aR ) (bR ) (cR ) 2

que es la ecuación del elipsoide que se ilustra en la figura 12.3:

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 159

Capítulo 3: Transformaciones lineales

Figura

12.3

Ejemplo 5 Sea T : M nn → M nn tal que T (A) = AT + A. Pruebe que T es una transformación lineal y determine núcleo e imagen. Solución T es lineal ya que: T ( A + B ) = ( A + B )T + ( A + B ) = AT + BT + A + B = ( AT + A) + ( BT + B ) = T ( A) + T ( B ). T (α A) = (α A)T + α A = α AT + α A = α ( AT + A) = α T ( A).

Determinemos el núcleo de T.

{

nu T = A : AT + A = 0( n× n ) n× n

}

AT + A = 0( n× n ) ⇔ AT = − A.

{

}

Por tanto, nu T = A : A es una matriz antisimétrica . n× n

La imagen T está dada por: imagen T =

{ C : C = A + A}. T

n×n

Veamos qué conjunto constituye la imagen T. C T = ( AT + A)T = ( AT )T + AT = A + AT = AT + A = C .

{

}

Esto es, imagen T = nC× n : C es una matriz simétrica .

160

Módulo 12 En los ejercicios 1 a 7 encuentre núcleo, imagen, rango y nulidad de la transforrmación lineal dada:

,

⎡ x⎤ ⎡x + y⎤ T⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ y⎦ ⎣ x − y⎦

→

3

,

⎡ x+ y ⎤ ⎡ x⎤ ⎢ T ⎢ ⎥ = ⎢5x + 5 y ⎥⎥ . ⎣ y⎦ ⎢ x − y ⎥ ⎣ ⎦

→

3

,

⎡ x⎤ ⎡x + y⎤ T ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢ x + z ⎥⎥ . ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ y + z ⎥⎦

T:

2

→

2

T:

2

3.

T:

3

4.

2 3 2 T : P 3 → P2 , T ( a0 + a1 x + a2 x + a3 x ) = a0 + a1 + a2 x + a3 x .

5.

T : P2 → P3 , T ( p) = xp.

6.

T : M 3×3 → , T ( A) = tr A.

7.

T : C [0, 1] → , T ( f ) = f (1).

8.

Sea D : P → P (P es el espacio vectorial de todos los polinomios) dada por D( p) = p ' (la derivada del polinomio p). Describa el núcleo de D.

9.

Sea T : 2 → 2 la transformación lineal tal que T (1, 1) = (0, 0) y T (0, 1) = (1, 1). Demuestre que tanto el núcleo como la imagen de T son rectas en el plano xy que pasan por el origen. Encuentre las ecuaciones de estas rectas.

10.

Sea T :

1.

2.

3

→

2

una transformación lineal tal que T (1, 1, 0) = T (0, 2, 1) = (0, 0) y T (−1, 2, 4) = v ≠ 0. Demuestre

que el núcleo de T es un plano en 11.

3

que pasa por el origen. Encuentre su ecuación.

Sea T : n → m la transformación lineal T (X) = AX, donde A es una matriz m × n. ¿Qué relación guardan el núcleo de T y el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales AX = 0?

Capítulo 3: Transformaciones Álgebra Lineal Elementallineales y Aplicaciones 161

12.

⎡0 1 ⎤ Sea T : M 2×2 → M 2× 2 la transformación lineal T ( A) = AB − BA en donde B = ⎢ ⎥ . Describa el núcleo de T. ⎣0 0⎦

13.

Encuentre una transformación lineal T de

14.

Demuestre el teorema 3.

15.

Muestre que T :

2

→

2

3

→

3

tal que nu T = {( x, y, z ) : 2 x − y + z = 0} .

⎡ x ⎤ ⎡2 0⎤ ⎡ x1 ⎤ 2 2 , definida por T ⎢ 1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ , transforma el círculo unitario x1 + x2 = 1 en una x 0 3 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣

elipse.

Ejer cicios del módulo 12 Ejercicios

162

13

El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales Contenidos del módulo

Podemos estudiar las transformaciones lineales a través de sus matrices de transformación.

13.1 Tercer problema básico del álgebra lineal 13.2 Matrices similares y cambio de base

Objetivos del módulo 1. Hallar una matriz Am× n que represente la transformación lineal T : V → W , con dimV = n y dimW = m . 2. Establecer la relación existente entre diferentes representaciones matriciales de una transformación lineal. 3. Mostrar las principales características de las matrices similares o semejantes. 4. Estudiar las transformaciones lineales a través de sus matrices de transformación.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo está formada la matriz de una transformación lineal referida a un par de bases? 2. Si AT es la matriz de una transformación referida a un par de bases B1 y B2 , ¿cómo se obtiene (T (x))B2 ? 3. ¿Qué procedimiento se sigue para hallar la matriz de una transformación lineal T : V → W referida a las bases B1 y B2 de V y W, respectivamente? 4. Si A y B son representaciones matriciales de la transformación lineal T, ¿qué relación hay entre A y B? 5. ¿Qué propiedades tienen las matrices similares?

Introducción En el ejemplo 3 del módulo 11 vimos que una matriz mA×n induce una transformación lineal de n en m dada por T (x) = Ax . Cuando T tiene esta forma, el núcleo de T es el núcleo de A, y la imagen de T, formada por los vectores y = Ax para algún

Vea el módulo 13 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 163

Capítulo 3: Transformaciones lineales x ∈ n , será el espacio columna de A, ya que y es una combinación lineal de las columnas de A. Estas coincidencias entre el núcleo y la imagen de T con el núcleo y el espacio columna de A permiten estudiar la transformación a través de la matriz A.

En esta sección veremos que cualquier transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede expresar en la forma T (x) = Ax, donde A es la matriz que representa la transformación.

164

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales

13.1 TTer er cer problema básico del álgebra lineal ercer Dada una transformación T : V → W , con dim V = n y dim W = m, hallar una matriz A de m × n que represente a T. Resolveremos primero el problema para T : n → m y luego lo extenderemos a espacios V y W de dimensiones n y m, respectivamente. Teorema 1 Sea T :

n

→

m

una transformación lineal; entonces, existe una única matriz A

de m × n tal que T (x) = Ax, para x en ⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ Sea x = ⎢ 2 ⎥ un vector de ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ cn ⎦

n

n

.

; entonces

x = c1 e1 + c2 e 2 + ... + cn en ,

de modo que: T (x) = c1 T (e1 ) + c2 T (e 2 ) + ... + cn T (e n ).

(1)

Si A es la matriz cuya j-ésima columna es T (e j ) con j = 1, ..., n, entonces: ⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ Ax = [T (e1 ) T (e 2 ).. . T (e n )] ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣cn ⎦

= c1 T (e1 ) + c2 T (e 2 ) + ... + cn T (en ) = T ( x).

(2)

De (1) y (2) tenemos que T ( x) = A x .

Ahora mostraremos que T es única. Suponga que Bm × n también cumple que T (x) = B x para x ∈

n

.

⎛0⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ Si x = ei = ⎜ ⎟ , ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 165

Capítulo 3: Transformaciones lineales T (ei ) = A ei = Coli ( A) = B ei = Coli ( B )

luego las columnas de A y B coinciden, por lo cual A = B. La matriz A = [T (e1 ) T (e 2 ).. . T (e n )] es la matriz de la transformación referida a la base estándar o canónica. Ejemplo 1 Sea T =

3

→

2

una transformación lineal definida por:

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎡ x+ y ⎤ T ⎜ y⎟ = ⎢ ⎥. ⎜ z ⎟ ⎣ y − 2z ⎦ ⎝ ⎠ Encontremos la matriz A que representa la transformación referida a las bases estándar ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎡ 1 + 0 ⎤ ⎡1 ⎤ T (e1 ) = T ⎜ 0 ⎟ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = Col1 ( A), ⎜ 0 ⎟ ⎣ 0 − 2.0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎡ 0 + 1 ⎤ ⎡1⎤ T (e 2 ) = T ⎜ 1 ⎟ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = Col2 ( A), ⎜ 0 ⎟ ⎣1 − 2.0 ⎦ ⎣1⎦ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎡ 0+0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ T (e 3 ) = T ⎜ 0 ⎟ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = Col3 ( A). ⎜ 1 ⎟ ⎣ 0 − 2.1⎦ ⎣ −2 ⎦ ⎝ ⎠

Por tanto, ⎡1 1 0 ⎤ A= ⎢ ⎥. ⎣0 1 −2⎦ Así que:

⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎡1 1 0 ⎤ T ⎜ y⎟ = ⎢ ⎥ ⎜ z ⎟ ⎣0 1 −2⎦ ⎝ ⎠

⎡ x⎤ ⎢ y⎥ = ⎡ x + y ⎤ . ⎢ y − 2z ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣ z ⎦⎥

Teorema 2 Sea T : V → W una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n en un espacio vectorial W de dimensión m y sean B1 = { v1 , v2 ,..., vn } y

B2 = {w1 , w2 ,..., wm } bases de V y W respectivamente; entonces, existe una única matriz AT m×n tal que:

166

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales

(T (x)) B2 = AT (x) B1 . Demostración ⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ 2 Si x ∈ V , x = c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn v n , o sea que (x) B1 = ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣cn ⎦

Sean: T ( v1 ) = y 1 , T ( v 2 ) = y 2 ,..., T ( v n ) = y n y

AT = [(y1 ) B2 (y 2 ) B2 ... (y n ) B2 ]. Ahora,

( v1 ) B1

⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ 0 ⎜ = ,..., ( v n ) B1 = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1⎠

Entonces,

AT ( v i ) B1 = (y i ) B2 ,

AT (x) B1

⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ = [(y 1 ) B2 (y 2 ) B2 ... (y n ) B2 ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ cn ⎦

= c1 (y1 ) B2 + c2 (y 2 ) B2 + ... + cn (y n ) B2 .

(1)

De otro lado, T (x) = T (c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn v n ) = c1 T ( v1 ) + c2 T ( v 2 ) + ... + cn T ( v n ) = c1 y1 + c2 y 2 + ... + cn y n ,

de manera que

[T (x)]B2 = c1 (y1 ) B2 + c2 (y 2 ) B2 + ... + cn (y n ) B2 .

(2)

De (1) y (2) concluimos que:

[T (x)]B2 = AT (x) B1 . La unicidad de la matriz AT se demuestra igual que en el teorema 1. Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 167

Capítulo 3: Transformaciones lineales Definición 1

B1 = { v1 , v2 ,..., vn }

Sean V y W espacios vectoriales con bases

y

B2 = {w1 , w2 ,..., wm } , respectivamente, y T : V → W una transformación lineal tal que [T (x)]B2 = AT (x)B1 . A la matriz AT la denominamos matriz de la transformación referida a B1 y B2 o representación matricial de T con respecto a B1 y B2 . La solución al tercer problema básico del álgebra lineal está dada en el procedimiento desarrollado en la prueba del teorema 2. „

Procedimiento para hallar la matriz de una transformación lineal T : V → W referida a las bases B1 de V y B2 de W Sean: B1 = { v1 , v2 ,..., vn } y B2 = {w1 , w2 ,..., wm } . Paso 1.

Encontrar T ( v1 ), T ( v 2 )...T ( v n ).

Paso 2.

Expresar T ( v1 ), T ( v 2 )...T ( v n ) en B2 . Para ello hacemos lo siguiente:

[ w1 , w 2 ,...w m

T ( v1 ) T ( v 2 ),..., T ( v n )]

operaciones elementales

⎡⎣ I

(T ( v1 )) B2 (T ( v 2 )) B2 ... (T ( v n )) B2 ⎤⎦ .

La matriz AT = [(T ( v1 )) B2 (T ( v 2 )) B2 ... (T ( v n )) B2 ].

Paso 3.

Figura 13.1

La figura 13.1 proporciona una interpretación gráfica de la ecuación

(T (x)) B2 = AT (x) B1 , donde se muestra que las transformaciones lineales podemos trabajarlas con matrices. Ejemplo 2 Sea T :

3

→

2

la transformación lineal definida en el ejemplo 1 y sean:

B1 = { v1 , v 2 , v 3 } y B2 = {w1 , w 2 } bases de ⎡1 ⎤ v1 = ⎢⎢0 ⎥⎥ , ⎢⎣1 ⎥⎦

168

⎡0⎤ v 2 = ⎢⎢1 ⎥⎥ , ⎢⎣1 ⎥⎦

⎡1⎤ v 3 = ⎢⎢1⎥⎥ , ⎢⎣1⎥⎦

3

⎡1 ⎤ w1 = ⎢ ⎥ , ⎣2⎦

y

2

, respectivamente, con

⎡ 2⎤ w2 = ⎢ ⎥ . ⎣0⎦

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales Determinemos la matriz de T con respecto a B1 y B2 . Solución ⎡1⎤ T ( v1 ) = ⎢ ⎥ , ⎣ −2 ⎦

⎡1⎤ T (v2 ) = ⎢ ⎥ , ⎣ −1⎦

⎡2⎤ T ( v3 ) = ⎢ ⎥ . ⎣ −1⎦

Ahora expresemos estos vectores en B2:

⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ 2⎤ T ( v1 ) = ⎢ ⎥ = a1w1 + a2 w 2 = a1 ⎢ ⎥ + a2 ⎢ ⎥ , − 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣0⎦ ⎡1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ T ( v 2 ) = ⎢ ⎥ = b1w1 + b2 w 2 = b1 ⎢ ⎥ + b2 ⎢ ⎥ , ⎣ −1⎦ ⎣2⎦ ⎣0⎦ ⎡2⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ T ( v 3 ) = ⎢ ⎥ = c1w1 + c2 w 2 = c1 ⎢ ⎥ + c2 ⎢ ⎥ . ⎣ −1⎦ ⎣ 2⎦ ⎣0⎦ Es decir, resolvemos tres sistemas lineales cuya matriz de coeficientes es la misma, los vectores de la base B2 . Entonces formamos la matriz: 1 2⎤ ⎡1 2 1 ⎢ 2 0 −2 −1 −1⎥ ⎣ ⎦

operaciones elementales

⎡1 0 −1 ⎢0 1 1 ⎣

−1 3

2

4

−1 5

2

4

⎤ ⎥. ⎦

Luego la matriz AT de T con respecto a B1 y B2 es: ⎡ −1 ⎢ 1 ⎣

−1 3

2

4

−1 5

2

4

⎤ ⎥, y ⎦

⎡ −1 (T (x)) B2 = ⎢ ⎣ 1

−1 3

2

4

−1 5

2

4

⎤ ⎥ (x) B1 . ⎦

⎡1⎤ Ahora, si x = ⎢⎢2⎥⎥ , ⎢⎣3⎥⎦

⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 3⎤ ⎢ ⎥ T ⎢ 2⎥ = ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ , ⎥ ⎢ ⎣0 1 −2 ⎦ ⎢ 3 ⎥ ⎣ −4 ⎦ ⎢⎣ 3⎥⎦ ⎣ ⎦ empleando la matriz de la transformación referida a las bases estándar, encontrada en el ejemplo 1. Expresemos x en la base B1

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 169

Capítulo 3: Transformaciones lineales

⎡1 0 1 1 ⎤ ⎢0 1 1 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 1 3 ⎥⎦

(T (x)) B2

operaciones elementales

⎡ −1 =⎢ ⎣ 1

−1 3

2

4

−1 5

2

4

⎡1 0 0 1 ⎤ ⎢0 1 0 2⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 0 ⎥⎦

⎡1 ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ −2 ⎤ ⎥ ⎢2⎥ = ⎢ 5 ⎥ . ⎦ ⎢0⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦

Entonces, ⎡1 ⎤ T ( x) = − 2 ⎢ ⎥ + ⎣2⎦

5

2

⎡2⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎢ 0 ⎥ = ⎢ −4 ⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

lo cual coincide con el valor encontrado utilizando la matriz de T referida a las bases estándar. Las matrices halladas en los ejemplos 1 y 2 son diferentes, aunque T es la misma en ambos casos. Más adelante veremos que estas dos matrices están vinculadas por una relación de semejanza o similaridad. Ejemplo 3 Sea T : P2 → P1 , tal que T (1) = 6, T ( x ) = x y T ( x 2 ) = x + 1. Determine: a.

La matriz de T con respecto a las bases estándar en P2 y P1 .

b.

2 2 2 La matriz de T con respecto a las bases B1 = {1 + x , x + x , 1 + x + x } y

B2 = {1 + x, 2 − x} de P2 y P1 , respectivamente. c.

Si P ( x ) = 2 + 3 x + x 2 , calcule T ( P ( x)) utilizando las matrices halladas en a y b.

Solución a.

Expresemos las transformaciones de 1, x y x 2 como vectores coordenados de P1 . ⎡6⎤ ⎡0⎤ ⎡1⎤ T (1) = ⎢ ⎥ , T ( x) = ⎢ ⎥ , T ( x 2 ) = ⎢ ⎥ , ⎣0⎦ ⎣1 ⎦ ⎣1⎦

luego ⎡6 0 1⎤ CT = ⎢ ⎥. ⎣0 1 1⎦

T (a0 + a1 x + a2 x 2 ) = a0T (1) + a1T ( x) + a2T ( x 2 ) ⎡6⎤ ⎡0 ⎤ ⎡1⎤ = a0 ⎢ ⎥ + a1 ⎢ ⎥ + a2 ⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣1⎦

170

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales

⎡ 6 a + a2 ⎤ = ⎢ 0 ⎥ ⎣ a1 + a2 ⎦ = 6a0 + a2 + (a1 + a2 ) x. b.

Hallemos las transformaciones de los vectores de B1 . T (1 + x 2 ) = 6(1) + 1 + (0 + 1) x = 7 + x, T ( x + x 2 ) = 6(0) + 1 + (1 + 1) x = 1 + 2 x, T (1 + x + x 2 ) = 6(1) + 1 + (1 + 1) x = 7 + 2 x.

Ahora expresemos estas transformaciones en B2 . ⎡1 2 7 1 7 ⎤ ⎢1 −1 1 2 2 ⎥ ⎣ ⎦

operaciones elementales

⎡1 0 3 ⎢0 1 2 ⎣

5

3

−1

3

⎤ ⎥. 3 ⎦

11 5

3

Entonces la matriz de T con respecto a B1 y B2 es: ⎡3 AT = ⎢ ⎣2

c.

5

3

−1

3

⎤ ⎥. 3 ⎦

11 5

3

Si P( x) = 2 + 3x + x 2 , ⎡2⎤ P = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ , ⎢⎣ 1 ⎥⎦ T ( P ( x)) = A( P ( x)) ⎡ 2⎤ ⎡ 6 0 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡13⎤ = ⎢ 3⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 1 1⎦ ⎢ 1 ⎥ ⎣4⎦ ⎣ ⎦ = 13 + 4 x.

Ahora expresemos ( P( x)) B1

⎡1 0 1 2 ⎤ ⎢0 1 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 1 1 ⎥⎦

(T ( P( x))) B2

operaciones elementales

⎡3 = ⎢ ⎣2

5

3

−1

3

⎡1 0 0 −2⎤ ⎡ −2 ⎤ ⎢ 0 1 0 −1⎥ , ( P( x)) = ⎢ −1⎥ , B1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 ⎥⎦

⎡ −2 ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡7 ⎤ −1⎥ = ⎢ ⎥ , 5 ⎥⎢ 3 ⎦ ⎣3⎦ ⎣⎢ 4 ⎦⎥

11

3

T ( p ( x)) = 7(1 + x) + 3(2 − x) = 13 + 4 x.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 171

Capítulo 3: Transformaciones lineales Teorema 3 Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n y T : V → W Escuche la biografía de Benoit Mandelbrot en su multimedia de Álgebra Lineal

una transformación lineal con representación matricial AT ; entonces i. ii. iii.

ρ (T ) = ρ ( AT ). ν (T ) = ν ( AT ). ν (T ) + ρ (T ) = n.

La demostración del teorema se deja como ejercicio. El siguiente teorema muestra otra forma de calcular la matriz de una transformación lineal. Aplicando este método la matriz se obtiene como un producto de tres matrices. Teorema 4 Sean V y W espacios vectoriales de dimensiones n y m, respectivamente, y T : V → W una transformación lineal. Si C es la matriz de la transformación con respecto a las bases canónicas S n y Sm de V y W, respectivamente, P1 la matriz de transición de B1 a Sn en V, P2 la matriz de transición de B2 a Sm en W y AT la matriz de la transformación con respecto a B1 y B2 , entonces AT = P2−1 C P1 .

Figura 13.2

Demostración (figura 13.2) Sea (x) B1 ; entonces, P1 (x) B1 = (x) Sn , C (x) Sn = (T (x)) Sm . Ahora, como P2 hace la transición de B2 a Sm, P2−1 hace la transición de Sm a B2. −1 Luego (T (x)) B2 = P2 (T (x)) Sm , y reemplazando

172

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales = P2−1 C P1 (x) B1 .

Como la matriz de transformación de B1 a B2 es única, AT = P2−1 C P1 .

Ejemplo 4 En la transformación T : P2 → P1 tal que T (1) = 6, T ( x) = x y T ( x 2 ) = x + 1 planteada en el ejemplo 3 encontramos: ⎡ 6 0 1⎤ CT = ⎢ ⎥ la matriz de la transformación referida a las bases estándar, ⎣ 0 1 1⎦ ⎡3 AT = ⎢ ⎣2

5

3

−1

3

⎤ ⎥ la matriz de T con respecto a B1 y B2 , 3 ⎦

11 5

3

2 2 2 con B1 = {1 + x , x + x , 1 + x + x } y B2 = {1 + x, 2 − x} . Hallemos ahora AT

empleando el producto matricial establecido en el teorema 4 (figura 13.3).

Figura

13.3

1 ⎡ −1 −2 ⎤ 1 ⎡1 2 ⎤ = ⎢ P2−1 = − ⎢ , 3 ⎣ −1 1 ⎥⎦ 3 ⎣1 −1⎥⎦

AT

⎡1 0 1⎤ ⎡3 1 ⎡1 2 ⎤ ⎡ 6 0 1⎤ ⎢ 0 1 1⎥⎥ = ⎢ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎣1 −1⎦ ⎣ 0 1 1⎦ ⎣2 ⎢⎣1 1 1⎥⎦

5

3

−1

3

⎤ ⎥. 3 ⎦

11 5

3

Vea la animación «Fractales» en su multimedia de Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 173

Capítulo 3: Transformaciones lineales

13.2 Matrices similares y cambio de base Al construir una representación matricial A para una transformación T podemos analizar T trabajando con A. Tendremos una ventaja en este hecho si A es una matriz «sencilla», esto es, que simplifique la manipulación algebraica. Como bases diferentes dan por resultado matrices diferentes, la elección «correcta» de una base para obtener una matriz A sencilla es importante. Ejemplo 5 Sea T =

2

→

2

⎡ x ⎤ ⎡ −2 x − 2 y ⎤ definida por T ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣ y ⎦ ⎣ −5 x + y ⎦

La matriz de T referida a la base estándar se obtiene así: ⎡ 1 ⎤ ⎡ −2 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ −2 ⎤ T ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ y T ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, 0 − 5 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣1⎦ entonces

⎡ −2 −2 ⎤ CT = ⎢ ⎥. ⎣ −5 1 ⎦

⎪⎧⎡1⎤ Sea B1 = ⎨⎢ ⎥ , ⎩⎪⎣1⎦

⎡ 2 ⎤ ⎪⎫ ⎢−5⎥ ⎬ otra base para ⎣ ⎦ ⎭⎪

2

y obtengamos la matriz de T referida a la

base B1 . ⎡⎛ ⎡1⎤ ⎞ ⎛ ⎡ 2 ⎤ ⎞ ⎤ AT = ⎢⎜ T ⎢ ⎥ ⎟ ⎜ T ⎢ ⎥ ⎟ ⎥ , ⎢⎣⎝ ⎣1⎦ ⎠ B1 ⎝ ⎣ −5⎦ ⎠ B1 ⎥⎦ ⎡1⎤ ⎡ −4 ⎤ T ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, ⎣1⎦ ⎣ −4 ⎦

⎡ 2⎤ ⎡ 6⎤ T⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣ −5⎦ ⎣ −15⎦

Expresemos estas transformaciones en B1: 6⎤ ⎡1 2 −4 ⎢1 −5 −4 −15⎥ operaciones elementales ⎣ ⎦

⎡1 0 −4 0 ⎤ . ⎢0 1 0 3 ⎥⎦ ⎣

La matriz de T referida a B1 es ⎡ −4 0 ⎤ AT = ⎢ ⎥. ⎣ 0 3⎦

Por el álgebra matricial sabemos que, en ciertas operaciones, los cálculos son más fáciles si las matrices son diagonales, por ejemplo: hallar inversas, calcular determinantes, hacer potencias. Estas consideraciones son relevantes cuando se trabaja con matrices de gran tamaño.

174

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales No es evidente cuál es la base que debemos escoger para que AT sea una matriz diagonal. Este problema lo resolveremos cuando abordemos el problema de la diagonalización en el siguiente capítulo. La pregunta que podemos resolver en este momento es la siguiente: ¿qué relación existe entre las diferentes representaciones matriciales de una transformación lineal dada? Veámoslo para el caso en que la transformación lineal está definida de V en V. Teorema 5 Sea T : V → V una transformación lineal con matriz AT respecto a una base B1 y matriz BT respecto a una base B2 . Si P es la matriz de transición de la base B2 a la base B1 , entonces: BT = P −1 AT P .

Demostración (figura 13.4)

Figura

13.4

(x) B1 = P (x) B2 , (T (x)) B1 = AT (x) B2 = AT P (x) B2 , (T (x)) B2 = P −1 (T (x)) B1 = P −1 AT P (x) B2 .

Como BT es la matriz de la transformación respecto a la base B2 , entonces: BT = P −1 AT P.

Definición 2 Dos matrices A y B de n × n son similares o semejantes si existe una matriz invertible P tal que B = P −1 A P.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 175

Capítulo 3: Transformaciones lineales Del teorema 5 y la definición 2 podemos establecer la siguiente proposición: sea T : V → V una transformación lineal. Dos matrices cualesquiera que representen a T son similares. Teorema 6 Sean A, B y C matrices similares de n × n. Entonces: a.

A es similar a A.

b.

Si A es similar a B, entonces B es similar a A.

c.

Si A es similar a B y B es similar a C, entonces A es similar a C.

d.

Si A es similar a B, entonces det A = det B.

e.

Si A es similar a B, entonces Am es similar a B m para cualquier entero positivo m.

f.

Si A es similar a B, entonces A es invertible si y sólo si B es invertible. En ese caso A −1 es similar a B −1 .

Demostración a.

Como A = I A I = I −1 A I , A es similar a A.

b.

Si A es similar a B, B = P −1 A P, luego P B P −1 = P ( P −1 A P ) P −1 = ( PP −1 ) A ( PP −1 ) = A,

y entonces A = ( P − 1 ) −1 B ( P − 1 )

y, por tanto, B es similar a A. d.

Si A es similar a B, B = P −1 A P , entonces det B = det ( P −1 A P) = det P −1 det A det P = det( P −1 P ) det A = det I det A = det A.

e.

Si A es similar a B, entonces B = P −1 A P. B 2 = ( P −1 A P )( P −1 A P) = P −1 A( PP −1 ) A P = P −1 A I A P = P −1 A2 P.

Luego A 2 es similar a B 2 .

176

Módulo 13: El problema de la representación matricial de las transformaciones lineales Aplicando inducción, supóngase que A k es similar a B k , esto es, B k = P −1 Ak P y veamos que la propiedad se cumple para k + 1, o sea: B k + 1 = P −1 Ak + 1 P. B k + 1 = B k B = ( P −1 Ak P ) B = ( P −1 Ak P)( P −1 A P) = P −1 Ak ( PP −1 ) A P = P −1 Ak I A P = P −1 Ak + 1 P.

Luego Ak + 1 es similar a B k + 1 y la proposición queda demostrada para todo entero positivo m. Las partes c y f se dejan como ejercicio.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 177

Módulo 13 1.

2

Sea T :

→

2

definida como T ( x, y ) = ( x − 2 y, x + 2 y ) . Sean B1 la base estándar de

2

y B2 = {(1, − 1), (0, 1)} .

Determine la matriz que representa a T con respecto a:

2.

a.

B1

b.

B1 y B2

c.

B2 y B1

d.

B2

e.

Calcule T (2, − 1) empleando la definición de T y las matrices obtenidas en a, b, c y d. 3

Sea T :

→

3

definida como T ( x, y, z ) = ( x + 2 y + z , 2 x − y, 2 y + z ) . Sea B1 la base natural para

B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} otra base para

3.

3

B1

b.

B1 y B2

c.

B2 y B1

d.

B2

e.

Calcule T (1, 1, − 2) empleando la definición de T y las matrices obtenidas en a, b, c, d.

3

→

2

⎡ x⎤ ⎡x + y⎤ definida como T ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢ . Sean B1 y B2 las bases naturales de y − z ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ z ⎥⎦

⎧ ⎡1 ⎤ ⎪⎢ ⎥ además, sean B1′ ⎨ ⎢1 ⎥ , ⎪ ⎢0⎥ ⎩⎣ ⎦

⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ , ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎡ −1⎤ ⎫ ⎧⎪ ⎡ −1⎤ ⎢ ⎥⎪ ⎢ 1 ⎥ ⎬ y B2′ ⎨ ⎢ 1 ⎥ , ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎪⎭

⎡ 1 ⎤ ⎫⎪ ⎢ 2 ⎥ ⎬ bases para ⎣ ⎦ ⎪⎭

3

y

2

3

y

2

, respectivamente;

, respectivamente. Determine la matriz

de T con respecto a: a.

B1 y B2

b.

B1′ y B2′

c.

⎡1 ⎤ Calcule T ⎢⎢ 2⎥⎥ utilizando la definición de T y las matrices obtenidas en a y b. ⎢⎣ 3⎥⎦

Capítulo 3: TTransformaciones ransformaciones lineales

178

y

. Determine la matriz de T con respecto a:

a.

Sea T :

3

4.

Sea T : P1 → P2 definida por T ( p( x)) = xp( x) + p(0) . Sean B1 = {1, x} y B1 ' = {1 + x, − 1 + x} bases para P1 . 2 2 Sean B2 = {1, x, x } y B2′ = {1 + x , − 1 + x, 1 + x} bases para P2 .

Determine la matriz de T con respecto a:

5.

a.

B1 y B2

b.

B1′ y B2′

c.

Determine T (3 − 3x) utilizando la definición de T y las matrices obtenidas en a y b.

Sea T : P1 → P3 definida por T ( p ( x )) = x 2 p ( x). Sean B1 = {1, x} y B1′ = { x, 1 + x} bases para P1 . Sean B2 = {1, x, x 2 , x 3 } y B2′ = {1 + x, x, − 1 + x 2 , x 3 } bases para P3 .

Determine la matriz de T con respecto a:

6.

a.

B1 y B2

b.

B1′ y B2′

⎡1 2 ⎤ Sea C = ⎢ ⎥ y sea T : M 22 → M 22 la transformación lineal definida por T ( A) = AC − CA para A en M 22 . Sean ⎣3 4 ⎦

⎪⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎡1 1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎪⎫ B1 = ⎨ ⎢ ,⎢ ,⎢ ,⎢ ⎬ y B2 = ⎨ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬ bases para M 22 . Determine ⎪⎩ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎪⎭

la matriz de T con respecto a:

7.

a.

B1

b.

B2

c.

B1 y B2

d.

B2 y B1

Sea T : R 3 → R 3 la transformación lineal cuya matriz con respecto a las bases naturales para R 3 es:

⎡1 3 1 ⎤ ⎢1 2 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 1 1 ⎥⎦

EjerciciosÁlgebradel 13 179 Linealmódulo Elemental y Aplicaciones

Determine:

a.

⎡1 ⎤ T ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎢⎣ 3⎥⎦

b.

⎡0 ⎤ T ⎢⎢1 ⎥⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦

⎡ 1 2 1⎤ Suponga que la matriz de T : R 3 → R 2 con respecto a las bases B1 = { v1 , v2 , v3 } y B2 = {w1 , w 2 } es A = ⎢ ⎥, ⎣ −1 1 0 ⎦

8.

⎡ −1⎤ ⎡0⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ donde v1 = ⎢ 1 ⎥ , v 2 = ⎢ 1 ⎥ , v 3 = ⎢ 0 ⎥ , w1 = ⎢ ⎥ , w 2 = ⎢ ⎥ . ⎣ 2⎦ ⎣ −1⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

9.

a.

Calcule (T ( v1 )) B2 , (T ( v 2 )) B2 , (T (v3 ))B2 .

b.

Calcule T ( v1 ), T ( v2 ) y T ( v3 ).

c.

⎡2⎤ Calcule T ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . ⎢⎣ −1⎥⎦

d.

⎡ x⎤ Calcule T ⎢⎢ y ⎥⎥ . ⎣⎢ z ⎦⎥

Sea T :

2

→

2

una transformación lineal. Suponga que la matriz de T con respecto a la base B1 = { v1 , v2 } es

⎡ 2 −3 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1⎤ A=⎢ , donde v1 = ⎢ ⎥ , v2 = ⎢ ⎥ . ⎥ ⎣ −1 4 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣−1⎦

a.

Calcule [T ( v1 )]B1 y [T ( v 2 )]B1 .

b.

Calcule T ( v1 ) y T ( v2 ).

c.

⎡−2⎤ Calcule T = ⎢ ⎥ . ⎣3⎦

B1 = { v1 , v2 } y Sea T : P 1 → P 2 una transformación lineal. Suponga que la matriz de T con respecto a las bases

10.

⎡ 1 0⎤ B2 = {w1 , w 2 , w 3 } es A = ⎢⎢ 2 1⎥⎥ , donde v1 = 1 + x, v2 = −1 + x, w1 = 1 + x 2 , w 2 = x, w 3 = −1 + x. ⎢⎣ −1 −2 ⎥⎦

Capítulo 3: Transformaciones lineales

180

a.

Calcule [T ( v1 )]B2 y [T ( v 2 )]B2 .

b.

Calcule T ( v1 ) y T ( v2 ).

c.

Calcule T (1 + 2 x).

d.

Calcule T (b + ax).

11.

En las transformaciones lineales definidas en los ejercicios 1, 3, 5 y 7 describa su núcleo y su imagen por medio de alguna de sus matrices asociadas.

12.

Demuestre las partes c y f del teorema 6.

13.

Se dan parejas de matrices A y B. En cada caso muéstrese que A y B no son similares.

a.

⎡1 0⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 2 3⎦

b.

⎡9 3 7 ⎤ A = ⎢⎢0 5 6 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦

c.

⎡2 0⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1 2⎦

⎡3 1 ⎤ B=⎢ ⎥. ⎣3 2⎦

⎡ 1 2 3⎤ B = ⎢⎢4 5 6⎥⎥ . ⎢⎣7 8 9⎥⎦ ⎡ 2 0⎤ B=⎢ ⎥. ⎣ 0 2⎦

Ejercicios delElemental módulo Álgebra Lineal y Aplicaciones13 181

182

14

Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles Contenidos del módulo 14.1 Transformaciones lineales uno a uno y sobreyectivas 14.2 Isomorfismos

Una transformación lineal y su inversa. El espacio P3 es isomorfo a

4.

Objetivos del módulo 1. Determinar cuándo una transformación lineal es uno a uno. 2. Determinar cuándo una transformación lineal es sobreyectiva. 3. Determinar cuándo una transformación lineal es un isomorfismo. 4. Estudiar a través de n las propiedades de otros espacios vectoriales de dimensión n. 5. Caracterizar los isomorfismos entre espacios vectoriales de dimensión finita por medio de su matriz de transformación.

Preguntas básicas Sea T : V → W una tranformación lineal: 1. ¿Cuándo T es uno a uno? 2. ¿Cuándo T es sobreyectiva? 3. ¿Cuándo T es un isomorfismo? 4. Si dim V = n y dim W = m, ¿cuándo T no puede ser uno a uno? ¿Cuándo T no puede ser sobre? 5. Si dim V = dim W = n , ¿qué condición será suficiente para que T sea un isomorfismo? 6. Si T es un isomorfismo, ¿qué propiedades de V se trasladan a W? 7. Si T es un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensión finita, ¿cómo es la matriz de transformación de T?

Introducción En este módulo se caracteriza un tipo especial de transformación lineal llamada isomorfismo. Esta transformación T : V → W «reproduce fielmente» la estructura de V en W, ya que establece una correspondencia biyectiva entre los elementos de

Vea el módulo 14 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 183

Capítulo 3: Transformaciones lineales V y W y por otra parte T traslada sumas y productos por escalares –las operaciones de espacio vectorial– de los elementos de V a sumas y productos por escalares de los correspondientes elementos de W. Así pues, desde el punto de vista del álgebra lineal, cuando entre V y W hay un isomorfismo, esto es, cuando son espacios vectoriales isomorfos, V y W son indistinguibles. Demostraremos que los espacios vectoriales de dimensión finita n son isomorfos, es decir, prácticamente todos ellos son «en esencia»

184

n

.

Módulo 14: Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles

14.1 TTransfor ransfor maciones lineales uno a un o y ransformaciones uno sobreyectivas Definición 1

Sea T : V → W una transformación lineal. T es uno a uno (1 - 1) o inyectiva si T ( v1 ) = T ( v 2 ) → v1 = v 2 ,

o bien, en forma equivalente, v1 ≠ v2 → T ( v1 ) ≠ T ( v2 ).

Figura 14.1

La figura 14.1a muestra una trasformación lineal inyectiva y la 14.1b una transformación lineal no inyectiva. Definición 2 Sea T : V → W una transformación lineal. T se llama sobre W o sobre, si para todo w ∈ W existe al menos un v ∈V tal que T ( v) = w. En otras palabras, T es sobre si la imagen de T es todo el espacio W.

imagen T = W. El teorema siguiente dice que para demostrar si una transformación lineal es uno a uno sólo se necesita examinar qué vectores se transforman en 0.

Teorema 1 Sea T : V → W una transformación lineal. T es uno a uno si y sólo si nu T = {0} . Demostración a.

Suponga que T es 1 - 1 y sea x ∈ nu T ; entonces T (x) = 0. Como T (0) = 0 y T es 1 - 1, se concluye que x = 0, luego nu T = {0} .

b.

Suponga que nu T = {0} y sea T ( v1 ) = T ( v 2 ); entonces T ( v1 ) − T ( v 2 ) = 0,

Vea la animación «Transformaciones uno a uno y sobre» en su multimedia de Álgebra Lineal

esto es, T ( v1 − v 2 ) = 0, es decir, ( v1 − v 2 ) ∈ nu T y, por tanto, v1 − v 2 = 0, Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 185

Capítulo 3: Transformaciones lineales de donde v1 = v2 y la transformación es 1 - 1. Ejemplo 1 ⎛ x ⎞ ⎛ x + y⎞ definida por T ⎜ y ⎟ = ⎜ x − y ⎟ . Para determinar si T es 1 - 1, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ encontramos nu T. Sea

Sea T :

2

→

2

⎛ x ⎞ ⎛0⎞ T ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, ⎝ y ⎠ ⎝0⎠

⎛ x + y ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ x − y ⎠ ⎝ 0⎠

x+ y =0 Resolvemos el sistema lineal

x− y =0

⎧⎪⎡0⎤ ⎫⎪ La única solución es x = 0 e y = 0, de modo que nu T = ⎨⎢ ⎥ ⎬ , y por el teorema 1, T ⎪⎩⎣0⎦ ⎪⎭ es 1 - 1.

Ejemplo 2

Sea T :

3

→

2

⎡ x⎤ ⎡x − 2y⎤ definida por T ⎢ y ⎥ = ⎢ . ⎢ ⎥ y + z ⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ z ⎥⎦

La matriz de la transformación referida a las bases estándar es: ⎡ 1 −2 0 ⎤ . AT = ⎢ 1 1⎥⎦ ⎣0

Entonces para determinar si T es 1 - 1 hallamos NA. ⎡ 1 −2 0 ⎤ operaciones elementales ⎡ 1 0 2 ⎤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ ⎢0 ⎥. 1 1⎥⎦ ⎣ ⎣ 0 1 1⎦ ⎧ x = −2z ⎪ La solución al sistema homogéneo es : ⎨ y = −z ⎪ z=z ⎩

⎧ ⎡ −2⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎪ T = N = nu gen Luego ⎨ ⎢ −1⎥ ⎬ . A ⎪⎢ 1 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭

Por tanto, T no es 1 - 1.

186

Módulo 14: Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles Veamos si T es sobre: Examinando las columnas de AT, vemos que cualesquiera dos columnas son LI, de modo que C A =

2

y, por tanto, imagen AT =

2

. En consecuencia, T es sobre.

Ejemplo 3 3

Sea T :

→

⎡ x⎤ T ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎣ z ⎥⎦

4

definida por:

⎡x+ y ⎤ ⎢ y−z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ z+ x ⎥. ⎢ ⎥ ⎣ y + 2x⎦

La matriz de T referida a las bases estándar es: ⎡ 1 1 0⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎢ 0 1 − 1⎥ ⎢0 1 0⎥ operaciones elementales ⎥ ⎯⎯ ⎥ AT = ⎢ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎢1 0 ⎢ 0 0 1⎥ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣2 1 0⎦ ⎣0 0 0⎦

x=0 y=0 z=0

⎧ ⎡0 ⎤ ⎫ ⎪ ⎪ nu T ⎨⎢⎢0⎥⎥ ⎬ ; ⎪ ⎢0 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎭

luego T es 1 - 1. En la forma escalonada reducida de AT podemos observar tres pivotes, luego las tres columnas de AT son LI. Entonces, ⎧ ⎡1 ⎤ ⎪⎢ ⎥ ⎪ 0 imagen T = C A = gen ⎨ ⎢ ⎥ , ⎪ ⎢1 ⎥ ⎪ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎩

⎡1 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥, ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

⎡ 0 ⎤⎫ ⎢ −1⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎬ , ⎢ 1 ⎥⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ 0 ⎦⎭

el cual es un subespacio de dimensión 3 de

4

y, por consiguiente, T no es sobre.

En los ejemplos podemos observar que una transformación lineal puede ser 1 - 1 y no ser sobre, o ser sobre y no ser 1 - 1. El siguiente teorema muestra que cada una de estas propiedades implica la otra si los espacios V y W tienen la misma dimensión.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 187

Capítulo 3: Transformaciones lineales Teorema 2 Sea T : V → W una transformación lineal y sea dim V = dim W . a.

Si T es 1 - 1, entonces T es sobre.

b.

Si T es sobre, entonces T es 1 - 1.

La demostración del teorema se deja como ejercicio. Teorema 3 Sea T : V → W una transformación lineal. Suponga que dim V = n y dim W = m; entonces a.

Si n > m, T no es 1 - 1.

b.

Si m > n, T no es sobre.

Demostración a.

Sea { v1 , v2 ,..., vn } una base para V. Sea w i = T ( vi ) para i = 1, 2,..., n. Puesto que n > m, entonces {w1 , w 2 ,..., w n } es LD, o sea que en la combinación lineal C1w1 + C2 w 2 + ... Cn w n = 0 existe al menos un Ci ≠ 0. Por tanto el vector v ∈V tal que v = C1 v1 + C2 v2 + ... Cn v n es diferente de 0 y: T ( v ) = T (C1 v1 + C2 v 2 + ... Cn v n ) = C1T ( v1 ) + C2T ( v 2 ) + ... CnT ( v n ) = C1w1 + C2 w 2 + ... Cn w n .

Luego T ( v) = 0, v ∈ nuT y, por tanto, nu T ≠ {0} , es decir, T no es 1 - 1. b.

Suponga que m > n y sea v ∈ V , con v = a1 v1 + a2 v 2 + ... + an v n T ( v ) = a1T ( v1 ) + a2T ( v 2 ) + ... + anT ( v n ),

luego {T ( v1 ), T ( v 2 ),..., T ( v n )} es un generador de imagen T; entonces

ρ (T ) ≤ n , y como m > n, ρ (T ) < m . Luego imagen T es un subespacio de W diferente a W, esto es, T no es sobre. Los ejemplos 2 y 3 ilustran el teorema anterior.

188

14.2 Isomorfismos

Módulo 14: Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles

Definición 3 Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces T es un isomorfismo si T es 1 - 1 y sobre. Se dice que los espacios vectoriales V y W son isomorfos si existe un isomorfismo T de V sobre W. Esto se denota como V ≅ W . Observación Es importante notar en la definición anterior que la condición para que dos espacios vectoriales V y W sean isomorfos es que exista entre ellos una transformación lineal que sea isomorfismo. Así, entre espacios vectoriales isomorfos podemos definir transformaciones lineales que no sean isomorfismos. El siguiente teorema nos muestra la similitud existente entre dos espacios vectoriales isomorfos. La palabra «isomorfismo» viene del griego «isomorphos», que significa «de igual forma». Teorema 4 Sea T : V → W un isomorfismo. a.

Si { v1 , v2 ,..., vn } genera V, entonces {T ( v1 ), T ( v2 ),..., T (vn )} genera a W.

b.

Si { v1 , v2 ,..., vn } es LI en V, entonces {T ( v1 ), T ( v2 ),..., T (vn )} es linealmente independiente en W.

c.

Si { v1, v2 ,..., vn } es base de V, entonces {T ( v1 ), T (v2 ),..., T (vn )} es base de W.

d.

Si V es de dimensión finita, entonces W es de dimensión finita y dim V = dim W .

Demostración a.

Supongamos que { v1, v2 ,..., vn } genera V. Sea w ∈W . Como T es sobre w = T ( v) para algún v ∈ V, v = c1v1 + c2 v2 + ... + cn vn y T (v) = c1T (v1 ) + c2T (v2 ) + ... + cnT (vn ) ,

luego w = c1T ( v1 ) + c2T ( v 2 ) + ... cnT ( v n ),

y por tanto,

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Isomorfismos»

{T ( v1 ), T ( v 2 ),..., T ( v n )} genera a W. Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 189

Capítulo 3: Transformaciones lineales b.

Supongamos que { v1 , v2 ,..., vn } es LI. Sea c1T ( v1 ) + c2T ( v2 ) + ... cnT ( vn ) = 0. Entonces, T (c1 v1 + c2 v2 + ... cn vn ) = 0, es decir, (c1 v1 + c2 v2 + ... cn vn ) ∈ nu T .

Como T es 1 - 1, c1 v1 + c2 v2 + ... cn vn = 0, y como { v1 , v2 ,..., vn } es LI, entonces c1 = c2 = ... = cn = 0 y, en consecuencia,

{T (v1 ), T (v2 ),..., T (vn )} es LI. c.

Se deduce de a y b.

d.

Se deduce de c.

Cuando se trata con espacios vectoriales reales de dimensión finita, el problema de saber si son o no isomorfos es bastante simple: sólo es necesario observar si tienen la misma dimensión, como se verá en el siguiente teorema. Teorema 5 Sean V y W dos espacios vectoriales reales de dimensión finita con dim V = dim W . Entonces V ≅ W . Demostración Dos espacios vectoriales son isomorfos si entre ellos existe una transformación lineal que sea un isomorfismo. Luego la demostración consiste en construir dicha transformación lineal. Sean { v1 , v2 ,..., vn } y {w1 , w2 ,..., wn } bases para V y W, respectivamente. Definimos T : V → W por T ( vi ) = w i para i = 1,..., n. Entonces por el teorema 3, módulo 12, existe una única transformación lineal que satisface la condición dada. Suponga que v ∈ V y T ( v ) = 0; entonces v = c1v1 + c2 v2 + ... + cn vn , T (v) = c1T (v1 ) + c2T (v2 ) + ... + cnT (vn ), c1w1 + c2 w2 + ... + cn wn = 0.

Como {w1 , w2 ,..., wn } es base para W , c1 = c2 = ... = cn = 0 y, por tanto, v = 0; en consecuencia, nu T = {0} y la transformación es 1 - 1. Como dim V = dim W , entonces T es sobre por el teorema 2. Luego T es un isomorfismo.

190

Módulo 14: Isomorfismos o transformaciones lineales invertibles Teorema 6 Sean V y W espacios vectoriales reales de dimensión n y T : V → W , tal que T (x) = Ax es una transformación lineal. Entonces A es invertible si y sólo si T (x) = Ax es un isomorfismo.

T es un isomorfismo si y sólo si T es 1 - 1, ya que como dim V = dim W , T también será sobre. T es 1 - 1 si y sólo si nu T = {0} , es decir, v (T ) = 0 , y esto es equivalente a la proposición A es invertible. Este teorema caracteriza los isomorfismos como transformaciones lineales cuya matriz de transformación es invertible, proporcionándonos una forma de determinar cuáles transformaciones lineales son isomorfismos examinando su matriz de transformación. Ejemplo 4 Sea T : Pn → Pn tal que T ( p) = p + p '. Veamos que T es un isomorfismo. Encontremos la matriz AT de la transformación lineal con respecto a la base estándar.

T (1) = 1+ (1)' = 1+ 0 = 1 T ( x) = x + ( x)' = x +1 T ( x 2 ) = x 2 + ( x 2 )' = x 2 + 2 x T ( x n ) = x n + ( x n )' = x n + nx n −1 .

A

( n +1)× ( n +1)

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢ 0

1 0 1 2 0

1

0

0

0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ , det A = 1 ≠ 0. ⎥ n⎥ ⎥ 1⎦⎥

A es invertible, luego T es un isomorfismo. Ejemplo 5 , P3 y Los espacios vectoriales M 2× 2

4

son isomorfos ya que todos tienen dimen-

sión 4. Establezcamos entre ellos transformaciones lineales que sean isomorfismos. T1 : M → P3 definida por: 2× 2

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 191

Capítulo 3: Transformaciones lineales ⎡a b ⎤ 2 3 T ⎢ ⎥ = a + bx + cx + dx . c d ⎣ ⎦ ⎡1 0 ⎤ 2 .3 T ⎢ ⎥ = 1 + 0x + 0x + 0x . 0 0 ⎣ ⎦ ⎡0 1 ⎤ 2 3 T ⎢ ⎥ = 0 + 1x + 0 x + 0 x . ⎣0 0⎦

⎡1 ⎢0 AT = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

⎡0 0⎤ 2 3 T ⎢ ⎥ = 0 + 0 x + 1x + 0 x . 1 0 ⎣ ⎦

det AT = 1

0 0 0⎤ 1 0 0 ⎥⎥ = I4 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 1⎦

⎡0 0⎤ 2 3 T ⎢ ⎥ = 0 + 0 x + 0 x + 1x . 0 1 ⎣ ⎦

⎡a ⎤ ⎢b ⎥ 2 3 T2 : P3 → R 4 definida por T (a + bx + cx + dx ) = ⎢ ⎥ . ⎢c ⎥ ⎢ ⎥ ⎣d ⎦

Entonces AT = I4 (matriz identidad de orden 4). Por tanto, T2 es un isomorfismo. Las transformaciones T1 y T2 definidas en el ejemplo nos muestran que estos espacios vectoriales son en «esencia» el mismo; en ambas la matriz de transformación es la identidad.

192

Módulo 14 1.

Dé un ejemplo de una TL T : V → W que sea a. b. c.

Uno a uno pero no sobre. Sobreyectiva pero no uno a uno. Uno a uno y sobreyectiva.

2.

T Demuestre que T : M  mn → M  nm definida por T ( A) = A es un isomorfismo.

3.

Encuentre un isomorfismo entre Dn , matrices diagonales de orden n, y

3

→

3

n

.

⎡ x ⎤ ⎡1 0 1 ⎤ ⎡ x ⎤ definida como T ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 1 1 ⎥ ⎢ y ⎥ . Determine si T es un isomorfismo. ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎢ z ⎦⎥ ⎣⎢1 0 2 ⎦⎥ ⎢⎣ z ⎦⎥

4.

Sea T :

5.

Para cada una de las siguientes transformaciones determine si es un isomorfismo a partir de la información dada. T:

4

→

4

,

ρT = 4.

b.

T:

4

→

4

,

ν (T ) = 2.

c.

ν (T ) = 1. T : P 2 → P 2,

d.

T : P3 → P3 , ρT = 4.

a.

6.

Sea V = P4 y W = { p ∈ P5 : p(0) = 0} . Demuestre que V ≅ W .

7.

Sea T : Pn → Pn tal que Tp ( x) = xp '( x). Determine si T es un isomorfismo.

8.

Demuestre que si T : V → W es un isomorfismo, entonces existe un isomorfismo L : W → V tal que L(T ( v)) = v. A L se le llama transformación inversa de T y se denota T −1 .

9.

Demuestre que si T : R n → R n está definido por T ( x) = Ax y T es un isomorfismo, entonces T −1 está dado por T −1 ( x ) = A − 1 x .

Capítulo 3: Transformaciones Álgebra Lineal Elemental ylineales Aplicaciones 193

10.

Sea T :

3

→

3

⎡ x ⎤ ⎡2 x + 4 y − 6 z ⎤ una TL dada por T ⎢ y ⎥ = ⎢ 5 y − 2 z ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 9z

Demuestre que T es un isomorfismo y determine T −1 . Sea T : M  n× n → M  n× n la transformación lineal dada por T ( A) = BA, donde B es una matriz fija de orden n. Demues-

11.

tre que T es un isomorfismo si y sólo si B es una matriz invertible. En tal caso, describa T −1 .

Ejer cicios del módulo 14 Ejercicios

194

Isometrías

15

Contenidos del módulo 15.1 Matrices ortogonales 15.2 Isometrías 15.3 Isometrías en

2

Una rotación igual a un ángulo θ alrededor del origen es una transformación lineal que conserva la magnitud de los vectores

Objetivos del módulo 1. Mostrar un tipo de transformación lineal que conserva la magnitud de los vectores. 2. Caracterizar las isometrías por medio de las matrices ortogonales. 3. Caracterizar las isometrías en el plano. 4. Mostrar que conservar la magnitud de los vectores en una transformación en es equivalente a conservar el producto escalar.

n

Preguntas básicas 1. ¿Cuándo una matriz es ortogonal? 2. ¿Cómo son las columnas en una matriz ortogonal? 3. ¿Qué es una isometría? 4. ¿Qué operación se conserva en una isometría? 5. ¿Cómo es la matriz de la transformación T, cuando T es isometría? 6. ¿Cómo son las transformaciones en 2 que son isometrías? 7. ¿Qué relación existe entre los isomorfismos y las isometrías?

Introducción La palabra isometría significa igual medida. De esto se trata en esta sección: de transformaciones lineales que conservan la magnitud de los vectores. Antes de iniciar el estudio de las isometrías, definiremos las matrices ortogonales y veremos algunas propiedades de estas matrices. Además deduciremos una propiedad del producto escalar cuando en uno de los factores hay una matriz A. Estos resultados nos serán de gran utilidad en el tratamiento de las isometrías. Vea el módulo 15 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 195

Capítulo 3: Transformaciones lineales

15.1 Matrices ortogonales Definición 1 Una matriz Q de n × n se llama ortogonal si Q es invertible y Q−1 = QT . Si Q −1 = QT , entonces QT Q = I n . En el módulo 8 estudiamos la forma de constituir bases ortonormales en n . El siguiente teorema nos da una relación entre las matrices ortogonales y las bases n

ortonormales de

.

Teorema 1 La matriz Q n × n es ortogonal si y sólo si las columnas de Q forman una base ortonormal de

n

.

Demostración Sea

⎡ a11 ⎢ a 21 Q= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣ an1

a12 a22 an 2

a1 j a2 j anj

a1n ⎤ a2n ⎥⎥ ⎥ ⎥ ann ⎥⎦

⎡ a11 ⎢a ⎢ 12 ⎢ QT = ⎢ ⎢ a1i ⎢ ⎢ ⎣⎢ a1n

a21 a22 a2i a2n

an1 ⎤ an 2 ⎥⎥ ⎥ ⎥ ani ⎥ ⎥ ⎥ ann ⎦⎥

Sea B = (bij ) = QT Q. bij = a1i a1 j + a2i a2 j + ... + ani anj = ci · c j ,

(1)

donde ci y cj son las columnas i y j de Q. Si las columnas de Q son ortonormales, entonces, de (1) bij = 0 si i ≠ j ,

bij = 1 si i = j.

Es decir, B = I y entonces QT = Q −1 , y por tanto Q es ortogonal. Recíprocamente, si Q es ortogonal QT = Q −1 , entonces B = I, de modo que bij = c i · c j = 0 si i ≠ j y c i · c j = 1 si i = j.

Luego las columnas de Q son ortonormales.

196

(2)

Módulo 15: Isometrías Ejemplo 1 Los vectores

⎡ 2 / 3⎤ ⎢1/ 3 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 / 3⎥⎦

⎡ 1/ 3 ⎤ ⎢ 2/3 ⎥, ⎢ ⎥ ⎢⎣ −2 / 3⎥⎦

⎡ −2 / 3 ⎤ ⎢ 2/3 ⎥ ⎢ ⎥ forman una base ortonormal de ⎢⎣ 1/ 3 ⎥⎦

3

(verifíquelo),

⎡ 2 / 3 1/ 3 −2 / 3⎤ ⎢ ⎥ así que la matriz Q = ⎢ 1/ 3 2 / 3 2 / 3⎥ es ortogonal. ⎢⎣ 2 / 3 −2 / 3 1/ 3⎥⎦ Podemos verificarlo haciendo QT Q:

⎡ 2 / 3 1/ 3 2 / 3⎤ Q Q = ⎢⎢ 1/ 3 2 / 3 −2 / 3⎥⎥ ⎢⎣ −2 / 3 2 / 3 1/ 3⎥⎦ T

1/ 3 −2 / 3⎤ ⎡ 1 0 0⎤ ⎡2 / 3 ⎢ 1/ 3 2 / 3 2 / 3⎥ = ⎢0 1 0⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 / 3 −2 / 3 1/ 3⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

15.2 Isometrías Antes de abordar el tema, veamos una propiedad interesante del producto escalar. Teorema 2 Sea A una matriz de m × n con componentes reales. Entonces para cualesquier dos vectores x ∈

n

e y∈

m

(Ax) · y = x · ATy. Demostración A x · y = ( A x ) T y = ( x T AT ) y = x T ( AT y ) = x · AT y .

El teorema nos dice que cuando en uno de los factores de un producto escalar hay una matriz, ésta puede pasar al otro factor transponiéndola. Este resultado puede generalizarse para cuando se tiene un producto interno en un espacio vectorial diferente a

n

; en este caso el teorema se expresa así:

(Ax, y) = (x, ATy). Definición 2 Una transformación lineal T :

T (x) = x ,

n

→

n

es una isometría si para todo x en

n

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Isometrías»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 197

Capítulo 3: Transformaciones lineales n

esto es, una isometría en en

n

es una transformación lineal que conserva la longitud

.

Si hay una transformación lineal que sea una isometría, entonces:

T ( x) − T ( y ) = T ( x − y ) = x − y . En las isometrías se conserva la magnitud de los vectores; recordemos que la magn

nitud de un vector en

está definida en términos del producto escalar, el cual es

n

el producto interno en el producto escalar.

. Es entonces esperable que en las isometrías se conserve

Teorema 3 n

Sea T una isometría de

→

n

y sean x e y en

n

; entonces

T (x) · T (y) = x · y.

Demostración T (x) − T (y ) = (T (x) − T (y )) · (T (x) − T (y )) 2

= T (x) − 2T (x) · T (y ) + T (y ) . 2

x−y

2

2

(1)

= (x − y ) · (x − y )

(2)

= x − 2x · y + y . 2

2

En (1) y (2) sabemos que T ( x ) = x , T ( y ) = y 2

2

2

2

y

T (x) − T (y ) = x − y . 2

2

Entonces,

−2T (x) · T (y) = −2 x · y, T (x) · T (y) = x · y. El siguiente teorema relaciona las isometrías con las matrices ortogonales. Teorema 4 Una transformación lineal T : n → ción matricial de T es ortogonal.

198

n

es una isometría si y sólo si la representa-

Módulo 15: Isometrías Demostración a.

Supongamos que T es una isometría y que A es su representación matricial; entonces para x e y en

n

,

x · y = T (x) · T (y ) = Ax · Ay = x · AT Ay, ↓ T .3

↓ T .2

x · y = x · AT Ay , x · y − x · AT Ay = 0, x · (y − AT Ay ) = 0, para todo x ∈ ( y − A Ay ) ∈ T

n⊥

n

; entonces

(ver definición de complemento ortogonal),

y − A Ay = 0, y = AT Ay , T

y por tanto, AT A = I , de modo que AT = A−1 y A es ortogonal. b.

Supongamos que T ( x) = Ax es una transformación lineal tal que A es ortogonal; entonces T ( x) · T ( y ) = Ax · Ay = x · AT Ay = x · I y = x · y 2 2 En particular, si x = y T (x) · T (x) = x · x, o sea T ( x) = x , o T (x) = x ,

de donde T es una isometría. Observaciones En el teorema anterior hemos mostrado que las isometrías se caracterizan porque su representación matricial es ortogonal. Como toda matriz ortogonal es invertible, se desprende como consecuencia la siguiente proposición: Toda isometría es un isomorfismo. Ahora, las columnas de AT son las transformaciones de los vectores de la base, y como éstas forman una base ortonormal de

n

, para constituir isometrías los

vectores asignados a una base de n deben ser vectores que formen una base ortonormal. El siguiente teorema nos muestra cómo hacer esto. Teorema 5 Sean {u1 , u2 ,..., un } y {w1 , w2 ,..., wn } dos bases ortonormales de

n

y sea

T : n → n una transformación lineal tal que T (ui) = wi para i = 1,..., n; entonces T es una isometría. Demostración Sea

x∈

n

, x = c1u1 + c2 u 2 + ... + cn u n ; entonces x = x · x = (c1u1 + c2 u 2 + ... + cn u n ) · (c1u1 + c2 u 2 + ... + cn u n ) . 2

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 199

Capítulo 3: Transformaciones lineales Como {u1 , u 2 ,..., u n } es una base ortonormal, u i · u j = 0 para i ≠ j y = u i · u i = 1,

2

ui

entonces x = c12 + c2 2 + ... + cu 2 . 2

(1)

T (x) = c1T (u 1 ) + c2T (u 2 ) + ... + cnT (u n ) = c1w1 + c2 w 2 + ... + cn w n . T (x) = T (x) · T (x) = (c1w1 + c2 w 2 + ... + cn w n ) · (c1w1 + c2 w 2 + ... + cn w n ). 2

Como {w1 , w2 ,..., wn } es una base ortonormal, T (x) = c12 + c2 2 + ... + cn 2 . 2

(2)

De (1) y (2) concluimos que x = T ( x ) 2

2

o

x = T ( x ) y, por tanto, T es una

isometría. El recíproco del teorema anterior también se verifica, como veremos en el siguiente teorema. Teorema 6 Sea T :

n

→

ortonormal de

n

n

una isometría; entonces, si

{u 1 , u 2 , ..., u n } es

, {T (u1 ), T (u 2 ),..., T (u n )} es una base ortonormal de

una base n

.

Demostración Sea

{ u 1 , u 2 , ..., u n }

una base ortonormal de

n

; entonces, ui · u j = 0 para

i ≠ j y ui = 1. Como T es una isometría,

T (ui ) · T (u j ) = ui · u j = 0 para i ≠ j y

T (ui ) = ui = 1.

Luego {T (u1 ), T (u 2 ),..., T (u n )} es una base ortonormal.

15.3 Isometrías en Sea T una isometría de

200

2

2

→

2

⎛1⎞ ⎛ 0⎞ . Sean u1 = T ⎜ ⎟ y u 2 = T ⎜ ⎟ . Los vecto⎝0⎠ ⎝1⎠

Módulo 15: Isometrías ⎛1⎞ ⎛0⎞ res ⎜ 0 ⎟ y ⎜ 1 ⎟ forman una base ortonormal en ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

, luego u1 y u2 también for-

man una base ortonormal; u1 = u 2 = 1 y u1 · u 2 = 0 (u1 ⊥ u 2 ) (figura 15.1).

Figura

⎛ cos θ ⎞ u1 = ⎜ ⎟, ⎝ sen θ ⎠

15.1

⎛ cos (θ ± π 2 ) ⎞ u2 = ⎜ ⎟. ⎝ sen (θ ± π 2 ) ⎠

Entonces ⎛ cos (θ − π 2 ) ⎞ ⎛ sen θ ⎞ ⎛ cos (θ + π 2 ) ⎞ ⎛ −sen θ ⎞ u2 = ⎜ u2 = ⎜ =⎜ o ⎟=⎜ ⎟. ⎟ ⎟ ⎝ sen (θ − π 2 ) ⎠ ⎝ − cos θ ⎠ ⎝ sen (θ + π 2 ) ⎠ ⎝ cos θ ⎠

Luego la representación matricial de T es: ⎡ cos θ Q1 = ⎢ ⎣sen θ

−sen θ ⎤ ⎡ cos θ o Q2 = ⎢ cos θ ⎥⎦ ⎣sen θ

sen θ ⎤ . − cos θ ⎥⎦

Si T ( x ) = Q1 x , entonces la transformación es una rotación un ángulo θ en sentido antihorario. Si T ( x ) = Q2 x , ⎡ cos θ Q2 = ⎢ ⎣sen θ

sen θ ⎤ ⎡ cos θ = ⎢ ⎥ − cos θ ⎦ ⎣sen θ

−sen θ ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ . cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ 0 −1⎥⎦

Entonces Q2 es la representación matricial de una reflexión respecto al eje x, seguida de una transformación de rotación. Estos resultados los consignamos en el siguiente teorema.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 201

Capítulo 3: Transformaciones lineales Teorema 7 2

Sea T :

→

2

una isometría. Entonces T es:

a.

Una transformación de rotación, o

b.

Una reflexión respecto al eje x seguida de una transformación de rotación.

El concepto de isometría puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión finita, donde haya definido un producto interno; acá las isometrías serán las transformaciones lineales que conservan la norma de los vectores y, por tanto, el producto interno. Ejemplo 2 3

Sea T :

→

3

una transformación definida por T (x) = Ax, donde

⎡sen θ A = ⎢⎢ cos θ ⎢⎣ 0

cos θ −sen θ 0

0⎤ 0 ⎥⎥ . 1⎥⎦

Veamos que T es una isometría. Para esto basta con demostrar que A es una matriz ortogonal y esto lo comprobamos realizando el producto A AT.

⎡sen θ ⎢ cos θ ⎢ ⎢⎣ 0

cos θ −sen θ 0

0⎤ 0 ⎥⎥ 1⎥⎦

⎡sen θ ⎢ cos θ ⎢ ⎢⎣ 0

cos θ −sen θ 0

0⎤ ⎡ 1 0 0⎤ 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ . 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

Ejemplo 3 Sea T : vectores

2

→

2

Sean x e y en

una isometría. Veamos que T preserva los ángulos entre los

2

−1 ángulo entre x e y = cos

x·y , x y

−1 ángulo entre T ( x) y T ( y ) = cos

(1) T (x) · T (y ) . T ( x) T (y )

Como T es isometría, x · y = T (x) ⋅ T (y ) y x = T ( x) , y = T ( y ) . Por tanto, (1) = (2).

202

(2)

Módulo 15 1.

2

Sea T :

→

2

una transformación lineal tal que:

1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 T⎜ , , − ⎟=⎜ ⎟, 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝ 2 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 T ⎜− , , ⎟=⎜ ⎟. 2 2⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎝

Demuestre que T es una isometría. 2.

Considere la transformación lineal T : M  2× 2 → M  2× 2 para la cual ⎡1 0 ⎤ ⎡1 2 1 2 ⎤ T⎢ ⎥=⎢ ⎥, ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 2 1 2 ⎦

⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 2 1 2 ⎤ T⎢ ⎥=⎢ ⎥, ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ −1 2 − 1 2 ⎦

⎡ 0 0 ⎤ ⎡1 2 −1 2 ⎤ T⎢ ⎥=⎢ ⎥, ⎣1 0 ⎦ ⎣1 2 −1 2 ⎦

⎡ 0 0 ⎤ ⎡ 1 2 −1 2 ⎤ T⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ −1 2 1 2 ⎦

Compruebe que T es una isometría. 3.

Determine el vector (a, b) ∈

2

tal que la transformación T :

2

→

2

para la cual T (1, 0) = ⎡⎣1

2, − 1

2 ⎤⎦ ,

T (0,1) = (a, b) sea una isometría.

4.

Sea B = { v1 , v2 , v3 } una base ortonormal de

3

. Determine una isometría T :

3

→

3

para la cual

1 1 ( v1 − v 2 ). T ( v1 ) = (2v1 + v 2 + 2 v 3 ), T ( v 2 ) = 3 2 5.

Dé un ejemplo de una transformación lineal de

6.

Sea T :

n

→

n

2

en

2

que preserve los ángulos y no sea una isometría.

una isometría y sea T ( x ) = A x. Demuestre que S ( x ) = A − 1 x es una isometría.

Álgebra Lineal Elementallineales y Aplicaciones 203 Capítulo 3: Transformaciones

4

Capítulo 4 Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

Un ingeniero trata de que las frecuencias naturales de su puente, valores característicos de la estructura, estén alejadas de las del viento para evitar que el puente comience a oscilar y se desplome. Los valores característicos son los rasgos más importantes de cualquier sistema dinámico.

Módulo 16 Valores y vectores característicos

Muchos problemas relacionados con ciencias e ingeniería están planteados en la forma T (x) = Ax, donde A es una matriz n × n que representa una transformación lineal. En el análisis de estos problemas es importante determinar aquellos vectores x que se transforman paralelamente a sí mismos, T (x) = λ x, es decir, los vectores

Ejercicios Módulo 16 Módulo 17 El problema de la diagonalización

que conservan la dirección al transformarse. Estos vectores x, x ≠ 0 , reciben el nombre de vectores característicos de A y son los que describen las direcciones principales o ejes principales del sistema estudiado. El escalar λ que acompaña a x

Ejercicios Módulo 17

en la ecuación T (x) = λ x se denomina valor característico de A correspondiente a x y muestra la magnitud de la transformación en la dirección de x.

Módulo 18 Aplicaciones de la teoría de valores y vectores cartacterísticos

En este capítulo resolveremos dos problemas básicos del álgebra lineal. En primer lugar abordaremos el problema de la determinación de los valores y vectores carac, y en segundo término el problema de la diagonalización terísticos de una matriz nA ×n

de una matriz, esto es: encontrar una matriz diagonal que sea similar a una matriz dada A. Este problema está íntimamente relacionado con el primero.

Ejercicios Módulo 18 Módulo 19 Forma canónica de Jordan Ejercicios Módulo 19

Por último, como no toda matriz es diagonalizable, determinamos para cualquier matriz nA su forma canónica de Jordan, la cual es una matriz mucho más «simple» ×n que la matriz A. Estos procedimientos tendientes a determinar matrices similares a A «más simples» responden a la necesidad de simplificar el manejo algebraico cuando A es una matriz de tamaño grande. En el desarrollo del capítulo se dará gran importancia a aplicaciones tales como los sistemas dinámicos descritos por un sistema de ecuaciones en diferencias y procesos de Markov.

206

16

Valores y vectores característicos Contenidos del módulo 16.1 Valores y vectores característicos 16.2 El problemas de los valores y vectores característicos 16.2.1 El polinomio característico de An× n 16.2.2 Proceso para encontrar los valores y vectores característicos en una matriz An× n 16.2.3 Espacio característico de A 16.3 Propiedades

Fue el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857) quien, en 1840, usó por primera vez los términos «valores característicos» y «ecuación característica» para indicar los valores propios y la ecuación polinominal básica que satisfacen.

Objetivos del módulo 1. Caracterizar en una transformación lineal T : V → V aquellos vectores que se transforman paralelamente a sí mismos y encontrar la magnitud de la transformación. 2. Desarrollar un algoritmo para encontrar los valores y vectores característicos de una matriz An×n . 3. Establecer una condición suficiente y necesaria para que una matriz An× n tenga n vectores característicos linealmente independientes. 4. Relacionar los valores característicos de A con los valores característicos de AT,

α A , Am y A −1 (cuando A −1 existe).

Preguntas básicas Sea T : V → V una transformación lineal y An× n una representación matricial de T. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

¿Qué es un vector característico de A? ¿Qué es un valor característico de A? ¿Cómo se encuentra el polinomio característico de A? ¿Cómo se determinan los valores y vectores característicos de A? ¿Qué es el espacio característico de un valor característico? ¿Qué son las multiplicidades algebraica y geométrica de un valor característico? 7. ¿Cómo se relacionan las multiplicidades algebraica y geométrica de cada valor característico? 8. ¿Qué condiciones deben cumplir los valores característicos de A para que A sea invertible?

9. ¿Cuándo la matriz An× n tiene n vectores característicos linealmente independientes?

Vea el módulo 16 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 207

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas 10. Si λ1 , λ2 ,..., λk son los valores característicos de A, ¿cuáles son los valores característicos de AT, α A , Am y A −1 (cuando A−1 existe)?

Introducción Iniciamos nuestro estudio definiendo los valores y vectores característicos de una transformación lineal T : V → V o de la matriz A correspondiente a dicha transformación. Ilustramos con una matriz A2×2 lo que sucede cuando referimos la transformación a la base formada con dos vectores característicos, y vemos que la matriz de la transformación en este caso es diagonal; esto hace que el efecto de la transformación se evidencie sobre las direcciones de los vectores característicos. Se desarrolla un algoritmo para la obtención de los valores y vectores característicos y se establece una condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga n vectores característicos linealmente independientes, es decir, para tener una base del espacio compuesta por vectores característicos.

208

Módulo 16: Valores y vectores característicos

16.1 Valores y vectores característicos Definición 1 Sea A una matriz de n × n con componentes reales. El vector x ≠ 0, x en

n

tal que

Ax = λx, se llama vector característico de A, y al escalar λ (real o complejo) se le llama valor característico de A correspondiente al vector característico x. n

Nota: los vectores característicos se toman en n-tuplas ordenadas de números complejos, ya que éstos pueden tener componentes imaginarios, cuando λ es un número complejo. En la definición se dice que el valor característico λ corresponde al vector característico x. También se puede expresar al contrario: el vector característico x corresponde al valor característico λ. . A los valores y vectores característicos también se les llama valores y vectores propios o autovalores y autovectores.

16.2

El problema de los valores y vectores característicos

Dada una matriz A de n × n con componentes reales, hallar todos los escalares λ y todos los vectores x, x ≠ 0, en

n

tales que Ax = λ x.

Ejemplo 1 ⎡3 2 ⎤ Sea A = ⎢ ⎥. ⎣3 4 ⎦

Entonces ⎛ 1 ⎞ ⎡ 3 2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1⎤ A⎜ ⎟ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎝ −1⎠ ⎣3 4 ⎦ ⎣ −1⎦ ⎣ −1⎦

Así, λ = 1 es un valor característico de A correspondiente al vector característico ⎡ 1⎤ ⎢ −1⎥ . ⎣ ⎦

Similarmente, ⎛ 2 ⎞ ⎡3 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡12 ⎤ ⎡ 2⎤ A⎜ ⎟ = ⎢ = ⎢ ⎥ = 6⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ 3 ⎠ ⎣3 4 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣18 ⎦ ⎣ 3⎦

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 209

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Entonces λ = 6 es un valor característico de A correspondiente al vector caracte⎡ 2⎤ rístico ⎢ 3 ⎥ . ⎣ ⎦

⎡3 2 ⎤ La matriz A = ⎢ ⎥ es la representación matricial de la transformación lineal ⎣3 4 ⎦ T:

2

→

2

⎛ x ⎞ ⎡3 2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 3 x + 2 y ⎤ definida por T ⎜ ⎟ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎝ y ⎠ ⎣3 4 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣3 x + 4 y ⎦

⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎢ −1⎥ y ⎢ 3 ⎥ son vectores característicos de A correspondientes a los valores ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

característicos λ1 = 1 y λ2 = 6. Estos vectores son LI, luego forman una base B1 de transformación referida a esta base.

2

. Encontremos la matriz de la

⎛ 1 ⎞ ⎡ 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛1⎞ T ⎜ ⎟ = ⎢ ⎥ = 1⎢ ⎥ + 0 ⎢ ⎥ , ⎜T ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠ ⎣ −1⎦ ⎣ −1⎦ ⎣ 3⎦ ⎝ ⎝ −1⎠ ⎠ B1 ⎝ 0 ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎡12⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 2⎤ ⎛ ⎛ 2 ⎞ ⎞ ⎛ 0⎞ T ⎜ ⎟ = ⎢ ⎥ = 0 ⎢ ⎥ + 6 ⎢ ⎥ , ⎜T ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ . 3 18 1 3 3 − ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ B1 ⎝ 6 ⎠ ⎡1 0 ⎤ Luego BT, matriz de la transformación referida a la base B1, es BT = ⎢ ⎥ , la cual ⎣0 6 ⎦ es una matriz diagonal. ⎡ 1⎤ ⎡ 2 ⎤ Geométricamente, podemos describir la situación así: ⎢ −1⎥ y ⎢ 3 ⎥ determinan un ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ sistema coordenado. Referida a este sistema la transformación T tiene el efecto de

⎡ 1⎤ dejar invariantes los vectores a lo largo de la dirección definida por ⎢ −1⎥ , ya que ⎣ ⎦

λ1 = 1 , y aumentar con un factor de 6 los vectores a lo largo del eje definido por ⎡ 2⎤ ⎢ 3⎥ . ⎣ ⎦

Si x es un vector cualquiera de ⎡1 T (x) = ⎢ ⎣0

210

2

⎛a⎞ ⎝b⎠

, el cual referido a esta base es ⎜ ⎟ , entonces

0⎤ ⎡a ⎤ ⎡a⎤ = ⎢ ⎥ (figura 16.1). 6 ⎥⎦ ⎢⎣ b ⎥⎦ ⎣ 6b ⎦

Módulo 16: Valores y vectores característicos Ejemplo 2 Sea A = I; entonces, Iv = v para todo v ∈

n

, luego todo v ≠ 0 es un vector

característico de I con valor característico λ = 1 .

Figura 16.1

Ejemplo 3 ⎡ 4 −2 ⎤ . Sea A = ⎢ 1⎥⎦ ⎣1

Determinemos los valores característicos de A y sus correspondientes vectores ⎡ x⎤ asociados. Debemos encontrar los escalares λ y los vectores no nulos x = ⎢ ⎥ ⎣ y⎦ tales que: ⎡ 4 −2⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x⎤ ⎢1 1⎥ ⎢ y ⎥ = λ ⎢ y ⎥ , ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

luego

4x − 2 y = λ x x + y = λy

o

(4 − λ ) x − 2 y = 0 x + (1 − λ ) y = 0

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 211

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Resolvemos el sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas. Este sistema tiene solución no trivial x ≠ 0, si y sólo si el determinante de su matriz de coeficientes es cero; esto es: 4−λ

−2

1

1− λ

= 0.

Entonces, (4 − λ )(1 − λ ) + 2 = 0,

λ 2 − 5λ + 6 = 0 = (λ − 3)(λ − 2). Luego los valores característicos de A son λ1 = 3 y λ2 = 2 . Para encontrar los vectores característicos asociados a los valores de λ1 = 3 y

λ2 = 2 resolvemos Ax = 3x

Ax = 2x

y

⎡ 4 −2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x⎤ = 3⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ ⎣ y⎦

⎡ 4 −2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x⎤ = 2⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ ⎣ y⎦

4 x − 2 y = 3x

4x − 2 y = 2x

x + y = 3y

x + y = 2y

o

o

(4 − 3) x − 2 y = 0

(4 − 2) x − 2 y = 0

x + (1 − 3) y = 0

x + (1 − 2) y = 0

o

o

x −2y = 0

2x − 2 y = 0

x − 2y = 0

x − y=0

cuyas soluciones están dadas por:

x= y

x = 2y ⎡ 2γ ⎤ x1 = ⎢ ⎥ , γ ∈ ( ⎣γ ⎦

las soluciones al sistema están dadas por:

− {0} )

⎡γ ⎤ x 2 = ⎢ ⎥ , γ ∈ ( − {0} ) . ⎣γ ⎦

x1 y x2 están expresando, cada uno, un subespacio compuesto por todos los vectores ⎡ 2 ⎤ ⎡1⎤ múltiplos de ⎢ 1 ⎥ y ⎢1⎥ , respectivamente. O dicho de otra forma, los vectores carac⎣ ⎦ ⎣⎦

212

Módulo 16: Valores y vectores característicos ⎡ 2⎤ terísticos asociados con λ1 = 3 son todos los múltiplos escalares del vector ⎢ ⎥ ; ⎣1 ⎦

similarmente, los vectores característicos correspondientes a λ2 = 2 son todos los ⎡1⎤ múltiplos escalares del vector ⎢ ⎥ . ⎣1⎦

Teorema 1 Sea A una matriz n × n . λ es un valor característico de A si y sólo si det ( A − λ I ) = 0 . Demostración Si λ es un valor característico de A existe x ≠ 0 tal que

Ax = λ x = λ Ix ,

( A − λI ) x = 0 . El sistema homogéneo ( A − λ I )x = 0 tiene solución para x ≠ 0 cuando ( A − λ I ) es no invertible, o sea det ( A − λ I ) = 0 . Recíprocamente, si det ( A − λ I ) = 0, el sistema ( A − λ I )x = 0 tiene soluciones no triviales y λ es un valor característico de A. Si det ( A − λ I ) ≠ 0, entonces la única solución del sistema es x = 0 y, por tanto, λ no es un valor característico de A.

16.2.1 El polinomio característico de A n xn Definición 2 Sea A una matriz n × n . El determinante de la matriz ( A − λ I ), denotado P (λ ), se denomina polinomio característico de A. P(λ ) = det ( A − λ I ).

La ecuación P(λ ) = 0 es la ecuación característica de A. P (λ ) = det ( A − λ I ) = 0. P (λ ) es un polinomio de grado n en λ.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 213

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas ⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜⎜ ⎝ a31

a12 … a1n ⎞ ⎟ a22 … a2 n ⎟ ⎟, ⎟ a32 … ann ⎟⎠

det ( A − λ I ) =

a11 − λ a21

a12 a22 − λ

… a1n … a2 n

a31

a32

… ann − λ

P (λ ) = λ n + bn −1λ n −1 + ... + b1λ + b0 = 0.

Esta ecuación tiene n raíces, varias de las cuales pueden repetirse. Si λ1 , λ2 ,..., λm son las raíces diferentes de la ecuación con multiplicidades γ 1 , γ 2 ,..., γ m , entonces P (λ ) puede factorizarse como:

P(λ ) = (λ − λ1 )γ1 (λ − λ2 )γ 2 ...(λ − λm )γ m = 0. Los números γ 1 , γ 2 ,..., γ m se llaman multiplicidades algebraicas de los valores característicos λ1 , λ2 ,..., λm , respectivamente. O sea que si contamos multiplicidades, cada matriz n × n tiene exactamente n valores característicos.

16.2.2 Proceso para encontrar los valores y vectores característicos en una matriz An x n i.

Halle P (λ ) = det ( A − λ I ) .

ii.

Halle las raíces de P (λ ) = 0

iii.

Resuelva el sistema homogéneo ( A − λi I ) x = 0 correspondiente a cada

(λ1 , λ2 ,..., λm ) .

valor característico λi . La solución del sistema homogéneo ( A − λi I )x = 0 no es única, ya que x ≠ 0 . El sistema tiene infinitas soluciones, luego al determinar los vectores x que satisfacen el sistema, se sacan los vectores que formen una base para el subespacio generado; es claro que todas las combinaciones lineales, diferentes de cero, que se realicen con estos vectores también son vectores característicos correspondientes al mismo valor λ. Teorema 2 Sea A una matriz n × n y sea Eλ = {x : Ax = λ x} . Entonces Eλ es un subespacio de

214

n

.

Módulo 16: Valores y vectores característicos Demostración Si Ax = λ x , entonces ( A − λ I )x = 0. Luego Eλ es el núcleo de ( A − λ I ), y por tanto Eλ es un subespacio de

n

.

16.2.3 Espacio característico de A Definición 3 Sea λ un valor característico de A. El subespacio Eλ se llama espacio característico de A, correspondiente al valor característico λ. Ejemplo 4

⎡1 2 −1⎤ Sea A = ⎢⎢1 0 1 ⎥⎥ . Encontremos para A los valores y vectores característicos. ⎢⎣ 4 −4 5 ⎥⎦ Vamos a seguir los pasos dados en el proceso.

1− λ det ( A − λ I ) = 1 4

−1 1 =0

2 −λ

−4 5 − λ

= − λ 3 + 6λ 2 − 11λ + 6 = 0

= (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) = 0.

Entonces los valores característicos de A son λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3. Para determinar E1, formamos el sistema ( A − I )x = 0.

−1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1 − 1 2 ⎢ 1 −1 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 −4 5 − 1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0⎥⎦

⎡ 0 2 −1⎤ ⎡ x ⎤ ⎢1 −1 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 −4 4 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

⎡ 0 2 −1⎤ ⎡1 0 ⎢1 −1 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ operaciones elementales → ⎢⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 ⎣⎢ 4 −4 4 ⎥⎦

⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0⎥⎦

⎤ ⎥ 2⎥ . 0 ⎦⎥

1

2

−1

La solución al sistema está dada por:

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 215

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

1 x=− z 2 1 y= z 2 1z z= ⎧⎛ −1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E1 = gen ⎨⎜ 1 ⎟ ⎬ ; ⎪⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ es un vector característico asociado con λ = 1 . ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

Determinemos E2. ( A − 2 I )x = 0 .

⎡ −1 2 −1⎤ ⎡1 0 ⎢ 1 −2 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ operaciones elementales → ⎢⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 −4 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0

⎤ ⎥ 4⎥ . 0 ⎥⎦

1

2

−1

La solución es:

1 x=− z 2 1 y= z 4 z= 1z ⎧⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E2 = gen ⎨⎜ 1 ⎟ ⎬ ; ⎪⎜ 4 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ es un vector característico asociado con λ = 2 . ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

Similarmente, encontremos E3 . ( A − 3I ) x = 0

⎡ −2 2 −1⎤ ⎡1 0 ⎢ 1 −3 1 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ operaciones elementales → ⎢⎢ 0 1 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 −4 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 La solución es:

1 x=− z 4 1 y= z 4 z= 1z

216

⎤ ⎥ 4⎥ . 0 ⎥⎦

1

4

−1

Módulo 16: Valores y vectores característicos ⎧⎛ −1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E3 = gen ⎨⎜ 1 ⎟ ⎬ ; ⎪⎜ 4 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ es un vector característico asociado con λ = 3 . ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠

Ejemplo 5

⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ Sea A = ⎢ −1 2 −1⎥ . Determinemos los valores y vectores característicos de A. ⎣⎢ 0 −1 1 ⎥⎦ 1− λ det ( A − λ I ) = −1 0

−1 2−λ

0 −1

−1

1− λ

= − λ 3 + 4λ 2 − 3λ = 0 = − λ (λ − 1)(λ − 3) = 0.

Los valores característicos de A son λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 3. Ahora encontremos los espacios característicos correspondientes a cada valor de λ. E0 ,

( A − 0 I )x = 0 .

⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡1 0 −1⎤ ⎢ −1 2 −1⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢0 1 −1⎥ , entonces → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦

x = 1z y = 1z z = 1z

⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E0 = gen ⎨⎜ 1 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

E1 ,

( A − I )x = 0 .

⎡ 0 −1 0 ⎤ ⎡1 0 1 ⎤ ⎢ −1 1 −1⎥ ⎯⎯⎯⎯ → ⎢⎢ 0 1 0⎥⎥ , entonces ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 −1 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦

x = − 1z y = 0z z = 1z

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 217

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas ⎧⎛ −1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E1 = gen ⎨⎜ 0 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

E3 ,

( A − 3I ) x = 0 .

⎡ −2 −1 0 ⎤ ⎡1 0 −1⎤ x = 1z ⎢ −1 −1 −1⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ 0 1 2 ⎥ , entonces → ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ y = − 2z ⎢⎣ 0 −1 −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ z = 1z ⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E3 = gen ⎨⎜ −2 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

Ejemplo 6

⎡0 1 0 ⎤ ⎢0 0 1 ⎥ , A = Sea ⎢ ⎥ entonces ⎢⎣1 −3 3⎥⎦ −λ det( A − λ I ) = 0 1

1 −λ

0 1

=0

−3 3 − λ

λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0, (λ − 1)3 = 0.

Luego λ = 1 es el único valor característico de A con multiplicidad algebraica de 3. Ahora veamos cuál es el espacio característico de λ = 1 . Resolvemos ( A − I )x = 0 .

⎡ −1 1 0⎤ ⎡1 0 −1⎤ ⎢ ⎥ E1 : ⎢ 0 −1 1 ⎥ ⎯⎯⎯ → ⎢⎢0 1 −1⎥⎥ , entonces ⎢⎣ 1 −3 2⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E1 = gen ⎨⎜ 1⎟ ⎬ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

218

x=z y=z z=z

Módulo 16: Valores y vectores característicos Ejemplo 7

⎡ 3 2 4⎤ Sea A = ⎢ 2 0 2 ⎥ ; entonces, ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 3 ⎥⎦ 3−λ det ( A − λ I ) =

2 4

2

4

−λ 2 =0 2 3−λ

det ( A − λ I ) = − λ 3 + 6λ 2 + 15λ + 8 = − (λ + 1) 2 (λ − 8) = 0.

Luego λ1 = −1 con multiplicidad algebraica de 2 y λ2 = 8 . Determinemos ahora los espacios característicos. E−1 : ( A + I )x = 0.

⎡ 4 2 4⎤ ⎡1 ⎢ 2 1 2 ⎥ ⎯⎯⎯ → ⎢⎢0 ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦ ⎢⎣0

1

2

0 0

1⎤ 0 ⎥⎥ , entonces 0 ⎥⎦

x=−

1 y−z 2

y= y z=z

⎛ x⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ = y ⎜ 1 ⎟ + z ⎜ 0 ⎟. ⎜z⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧⎛ -1 2 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ E−1 : gen ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

E8 : ( A − 8I )x = 0.

⎡ −5 2 4 ⎤ ⎡1 0 −1⎤ ⎢ 2 −8 2 ⎥ ⎯⎯⎯ → ⎢⎢0 1 −1 2 ⎥⎥ , entonces ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 −5⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦

x=

1z

1 z 2 z = 1z y=

⎧⎛ 1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ E8 : gen ⎨⎜ 1 2 ⎟ ⎬ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

Observación: la factorización del polinomio característico de A, en general, no es obvia. El álgebra nos brinda dos resultados que pueden ser útiles a este respecto:

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 219

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas (1).

El producto de todas las raíces del polinomio n P (λ ) = λ n + bn −1λ n −1 + ... + b1λ + b0 = 0 es (−1) b0.

(2).

Si bn−1 ,..., b1 , b0 son enteros, entonces P (λ ) no puede tener una raíz racional que no sea un entero. Luego las posibles raíces racionales de P (λ ) serán factores enteros de b0. Por supuesto, P (λ ) podría tener raíces irracionales. Además, P (λ ) también podrá tener raíces complejas; si esto sucede, éstas ocurren en pares conjugados.

Ejemplo 8 ⎡ 2 −1 ⎤ Sea A = ⎢ ⎥ . Determinemos los valores y vectores característicos de A. ⎣ 5 −2 ⎦

det ( A − λ I ) =

2−λ

−1

5

−2 − λ

= 0, entonces λ 2 + 1 = 0.

De donde, λ 2 = − 1 y λ = ± −1, o sea λ = ± i, λ1 = i y λ2 = − i. Veamos los espacios característicos. Ei : ( A − iI )x = 0. −1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡2 − i , luego (2 − i ) x − y = 0 = ⎢ 5 −2 − i ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣ (2 − i ) x = y

Entonces, si x = 1, y = 2 − i. ⎛ 1 ⎞ Por tanto, x1 = ⎜ ⎟ es un vector característico correspondiente a λ = i y ⎝2−i⎠

⎪⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎫ Ei : gen ⎨⎜ ⎟⎬ . ⎩⎪⎝ 2 − i ⎠ ⎭⎪

Ahora, E− i resulta de resolver ( A + iI )x = 0. −1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡2 + i = , lo cual lleva a (2 + i ) x − y = 0. ⎢ 5 −2 + i ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣

⎛ 1 ⎞ Ahora, si x = 1, y = (2 + i ), y entonces x 2 = ⎜ ⎟. ⎝2+i⎠

Observación: note que λ2 = − i es el conjugado complejo de λ1 = i , y además los componentes de x 2 son conjugados complejos de los componentes de x1. Este

220

Módulo 16: Valores y vectores característicos hecho no es casual y se puede demostrar que los valores característicos de una matriz real ocurren en pares conjugados complejos y los vectores característicos correspondientes son conjugados complejos entre sí.

16.3 Propiedades Teorema 3 Sea A una matriz n × n y sean λ1 , λ 2 ,..., λ m valores característicos diferentes de A con sus correspondientes vectores característicos x1 , x 2 ,..., x m . Entonces x1 , x 2 ,..., x m son LI.

Demostración Razonamos por inducción sobre m. 1.

m = 2. Suponga que C1x1 + C2 x2 = 0.

(1)

Hagamos (1) × A : C1 Ax1 + C2 Ax 2 = 0. Como x1 y x 2 son vectores característicos correspondientes a valores característicos λ1 y λ2 , entonces Axi = λi xi , i = 1, 2. Luego C1λ1x1 + C2 λ2 x 2 = 0.

(2)

Multiplicamos (1) por λ2 y se resta de (2).

(

C1 (λ1 − λ2 ) x1 + C2 λ2 − λ2

0

)x

2

= 0,

C1 (λ1 − λ2 )x1 = 0.

En esta igualdad x1 ≠ 0 ya que es un vector característico; (λ1 − λ2 ) ≠ 0 porque λ1 ≠ λ2 , entonces C1 = 0. Sustituimos este valor en (1) y se obtiene C2 x 2 = 0 ; por tanto, C2 = 0 y concluimos que x1 y x 2 son LI. 2.

Supongamos que para m = k se cumple que x1 , x 2 ,..., x k son LI y veamos para m = k +1.

3.

Sea C1x1 + C2 x 2 + ... + Ck x k + Ck +1x k +1 = 0.

(3)

Hagamos (3) × A: C1 Ax1 + C2 Ax 2 + ... + Ck Ax k + Ck +1 Ax k +1 = 0,

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 221

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas y aplicando el hecho de que Axi = λi xi , i = 1,..., k + 1, tenemos: C1λ1x1 + C2 λ2 x 2 + ... + Ck λk x k + Ck +1λk +1x k +1 = 0.

(4)

Multiplicamos (3) por λk + 1 y lo restamos de (4). C1 (λ1 − λk +1 )x1 + C2 (λ2 − λk +1 )x 2 + ... + Ck (λk − λk +1 )x k

(

+ Ck +1 λk +1 − λk +1

0

)x

k +1

= 0.

C1 (λ1 − λk +1 )x1 + C2 (λ2 − λk +1 )x 2 + ... + Ck (λk − λk +1 )x k = 0.

Como según la hipótesis de inducción x1 , x 2 ,..., x k son LI, entonces C1 (λ1 − λk +1 ) = C2 (λ2 − λk +1 ) = ... = Ck (λk − λk +1 ) = 0.

Como los valores de λi , i = 1,..., k +1 son diferentes, entonces C1 = C2 = ... = Ck = 0.

Llevamos estos valores a (3) y obtenemos Ck +1x k +1 = 0, de donde Ck+1 = 0. Concluimos entonces que x1 , x 2 ,..., x m , x m+1 son LI, completando la prueba para todo m. El teorema anterior establece que vectores característicos correspondientes a valores característicos diferentes son linealmente independientes. El resultado del teorema puede verificarse en los ejemplos desarrollados. Además se observa que en algunos casos se encuentran tantos vectores característicos linealmente independientes como la multiplicidad algebraica del valor λ (ejemplos 4, 5 y 7). En el ejemplo 7 el valor λ = − 1 tiene una multiplicidad algebraica 2 y se determinan dos vectores en la base del espacio característico correspondiente, esto es, dos vectores característicos LI. Sin embargo, esto no siempre es así; en el ejemplo 6 el valor caraterístico λ =1 tiene una multiplicidad algebraica 3 y un solo vector característico LI asociado con él. Definición 4 Sea λ un valor característico de A. Entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del espacio característico correspondiente a λ (nulidad de la matriz A − λ I ). Para cada valor característico debe haber asociado al menos un vector característico. Si la multiplicidad algebraica de λ es mayor que 1, por ejemplo si A es una matriz 3 × 3 con dos valores característicos λ1 y λ2 con multiplicidades algebraicas 1 y 2, respectivamente, entonces para λ1 habrá asociado un vector característico y

222

Módulo 16: Valores y vectores característicos

para λ2 podrá haber uno o dos vectores característicos LI. Es claro que no podrán ser más de dos ya que en el caso de que fueran tres vectores, se completarían cuatro vectores LI en un espacio vectorial de dimensión 3, lo cual es absurdo. Estas consideraciones quedan expresadas en el siguiente teorema. Teorema 4 Sea λ un valor característico de A. Entonces, multiplicidad geométrica de λ ≤ multiplicidad algebraica de λ. Teorema 5 Sea A una matriz n × n. A tiene n vectores característicos LI si y sólo si la multiplicidad geométrica de todo valor característico es igual a la multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n vectores característicos LI si todos sus valores característicos son diferentes. La deducción del teorema resulta evidente de los resultados establecidos en los teoremas 3 y 4. Teorema 6 Los valores característicos de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz. La demostración del teorema se deja como ejercicio. En el ejemplo 5 la matriz A tenía un valor característico igual a 0, o sea que det ( A − 0 I ) = 0, luego det A = 0, lo cual significa que A no es invertible.

Teorema 7 A es invertible si y sólo si λ = 0 no es un valor característico de A. La demostración del teorema se deja como ejercicio. Finalizamos esta sección destacando algunas relaciones entre los valores característicos de A y los valores característicos de matrices relacionadas con A. Teorema 8 Sea An× n una matriz que tiene valores característicos λ1 , λ 2 ,..., λ k ; entonces: a.

Los valores característicos de AT son λ1 , λ2 ,..., λk .

b.

Los valores característicos de α A son αλ1 , αλ2 ,..., αλk .

c.

Los valores característicos de Am son λ1m , λ2 m ,..., λ m k para m = 1, 2, 3...

d.

Si A−1 existe, los valores característicos de A−1 son

1

,

1

λ1 λ2

,...,

1

λk

.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Valores y vectores característicos»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 223

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Demostración a.

Si λi es valor característico de A, det( A − λi I ) = 0. Ahora, det ( A − λi I ) = det ( A − λi I )T

= det ( AT − λi I T ) = det ( AT − λi I ). Luego λi , i = 1,..., k, es un valor característico de AT. c.

Razonemos por inducción. Para m = 2. Si λi es un valor característico de A, Av = λi v.

(1)

Multiplicando (1) por A, A Av = A λi v,

A2 v = λi Av.

Aplicando (1), tenemos: A 2 v = λi λ i v = λi 2 v .

Esta última ecuación significa que λi 2 es un valor característico de A2. Supongamos que para m = k se cumple que Ak v = λi k v.

(2)

Veamos para m = k + 1. Multiplicando (2) por A, A Ak v = Aλi k v,

(3)

Ak +1 v = λi k Av.

Aplicando (1) en (3), Ak +1 v = λi k λi v = λi k +1 v.

Luego λi k +1 es un valor característico de A Los literales b y d se dejan como ejercicio.

224

k +1

y esto completa la prueba.

Módulo 16 1.

⎡2 2⎤ Sea A = ⎢ ⎥ . Determine cuáles de los siguientes vectores de ⎣2 2⎦ serlo, determine el valor característico asociado.

(2, − 1) (2, 2) (3, − 3)

a. b. c.

d. e. f.

2

son vectores característicos de A; en caso de

(4, 4) ( − 6, 6) ( − 1, 2)

En los ejercicios 2 a 12 encuentre los valores y vectores característicos de la matriz dada.

2.

⎡ 0 1⎤ ⎢ −1 0 ⎥ ⎣ ⎦

5.

⎡1 1 0 ⎤ ⎢0 −1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 2 ⎥⎦

8.

⎡ −3 −7 −5⎤ ⎢2 4 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 2 2 ⎥⎦

11.

⎡a ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

13.

b a 0 0

0 c a 0

0⎤ 0 ⎥⎥ ; bc ≠ 0 0⎥ ⎥ a⎦

3.

⎡1 0 ⎤ ⎢1 1 ⎥ ⎣ ⎦

6.

⎡ 1 −1 4 ⎤ ⎢ 3 2 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 −1⎥⎦

9.

⎡a ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0⎤ a 0 0 ⎥⎥ 0 a 0⎥ ⎥ 0 0 a⎦

12.

⎡a ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

b a 0 0

4.

⎡ 0 −1⎤ ⎢ −1 0 ⎥ ⎣ ⎦

7.

⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1 0 0 0 0 1 0 −2

b

10.

⎡a ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦

0 0⎤ a 0 0 ⎥⎥ ; b ≠ 0 0 a 0⎥ ⎥ 0 0 a⎦

0 0⎤ c 0 ⎥⎥ ; bcd ≠ 0 a d⎥ ⎥ 0 a⎦

Sea A una matriz diagonal de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son λ1 , λ2 ,..., λn . Determine el polinomio característico de A y sus valores característicos.

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

225

14.

Sea A una matriz triangular de orden n. Determine el polinomio característico de A así como sus valores característicos.

15.

Suponga que λ1 es un valor característico de la matriz A, y λ2 es un valor carcterístico de la matriz B. ¿Es λ1 + λ2 un valor característico de A + B?

16.

Realice una demostración del teorema 7.

17.

Demuestre las partes b y d del teorema 8.

18.

Sea A una matriz real de n × n. Demuestre que si λ1 es un valor característico complejo de A con vector característico v1, entonces λ1 es un valor característico de A con vector característico v1 .

Ejercicios del módulo 16

226

17

El problema de la diagonalización Contenidos del módulo 17.1 Diagonalización 17.2 Condición necesaria y suficiente para que una matriz An× n sea diagonalizable El problema de la diagonalización consiste en encontrar una matriz D tal que D = P-1AP.

Objetivos del módulo 1. Establecer una condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable. 2. Utilizar las propiedades de las matrices semejantes para trabajar algebraicamente con A a través de su matriz diagonal equivalente.

Preguntas básicas 1. ¿Cuándo una matriz An× n es diagonalizable? 2. Si A y B son matrices semejantes, ¿cómo son sus polinomios característicos y sus valores característicos?

Introducción El problema de la diagonalización puede enunciarse de la siguiente forma: «Dada una matriz A de n × n encontrar, si es posible, una matriz D diagonal, similar o semejante a la matriz A». Este problema está íntimamente relacionado con el problema de la determinación de los valores y vectores característicos de A, como veremos en el desarrollo siguiente.

Vea el módulo 17 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 227

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

17.1 Diagonalización Definición 1 Decimos que la matriz An× n es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal D. Es decir, si existe una matriz invertible P tal que D = P −1 AP.

Ejemplo 1 ⎡3 2 ⎤ La matriz A = ⎢ ⎥ dada en el ejemplo 1 del módulo 16 es diagonalizable ya que A ⎣3 4 ⎦ ⎡1 0 ⎤ es similar a BT = ⎢ ⎥ . Ambas matrices son representaciones de la transforma⎣0 6⎦

⎡ x ⎤ ⎡3 x + 2 y ⎤ ción lineal T : R 2 → R definida por T ⎢ y ⎥ = ⎢3 x + 4 y ⎥ . La matriz A está referida ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a la base estándar y la matriz BT está referida a la base formada por los vectores ⎡1⎤ ⎡2⎤ característicos LI ⎢ ⎥ y ⎢ ⎥ . Estos vectores forman las dos columnas de la ⎣ −1⎦ ⎣3⎦ matriz P.

Podemos verificar que: −1

⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ ⎡3 2 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ ⎢ 0 6 ⎥ = ⎢ −1 3 ⎥ ⎢3 4 ⎥ ⎢ −1 3 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Teorema 1 Si A y B son matrices similares de n × n, entonces A y B tienen la misma ecuación característica y por consiguiente los mismos valores característicos. Demostración −1 Si A y B son similares entonces existe una matriz P tal que B = P AP, y por tanto

det ( B − λ I ) = det ( P −1 AP − λ I ) = det ( P −1 AP − P −1λ IP ) = det ( P −1 ( A − λ I ) P )

= det P −1 det ( A − λ I ) det P = det ( P −1 P ) det ( A − λ I ) = det I det ( A − λ I )

= det ( A − λ I ).

228

Módulo 17: El problema de la diagonalización

17.2 Condición necesaria y suficiente para que una matriz A n× n sea diagonalizable Teorema 2

Una matriz A de n × n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores característicos −1 LI. En este caso, A es similar a una matriz diagonal D, con P AP = D, cuyos elementos en la diagonal son los valores característicos de A. P es una matriz cuyas columnas son respectivamente los n vectores característicos LI de A.

Demostración ⎡ λ1 ⎢0 Supongamos que A es similar a D, con D = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0

0

λ2

0⎤ 0 ⎥⎥ ; entonces ⎥ ⎥ λn ⎦

D = P −1 AP, de modo que PD = AP. Sea P la matriz cuyas columnas son x1, x2,..., xn P = ⎡⎣ x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n ⎤⎦ , AP = ⎡⎣ Ax1 , Ax2 ,..., Ax j ,..., Ax n ⎤⎦ .

Ahora, ⎡ λ1 ⎢0 PD = ⎡⎣ x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n ⎤⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0

0

λ2

0⎤ 0 ⎥⎥ , ⎥ ⎥ λn ⎦

= ⎡⎣ λ1x1 , λ2 x 2 ,..., λ j x j ,..., λn x n ⎤⎦ .

Luego ⎡⎣ Ax1 , Ax 2 ,..., Ax j ,..., Ax n ⎤⎦ = ⎡⎣ λ1x1 , λ2 x 2 ,..., λ j x j ,..., λn x n ⎤⎦ , de donde

Ax j = λ j x j

j = 1,..., n.

Como P es invertible, sus columnas son LI y x j ≠ 0 para j = 1,..., n. Por tanto, λ j es un valor característicos de A y x j un vector característico correspondiente. Entonces A tiene n vectores característicos LI. Recíprocamente, supongamos que A tiene n vectores característicos LI x1, x2,..., xn con valores característicos correspondientes λ1, λ2 ,..., λn . Sea P = [x1 , x 2 ,..., x n ] la matriz cuyas columanas son los n vectores característicos LI; entonces P es invertible.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 229

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Como Ax j = λ j x j para j =1,..., n, [ Ax1 , Ax 2 ,..., Ax n ] = [λ1x1 , λ2 x 2 ,..., λn x n ],

AP = PD . Multiplicando a ambos lados por P −1 , tenemos: P −1 AP = D,

lo cual significa que A es diagonalizable. Corolario Si nA tiene n valores característicos distintos, entonces A es diagonalizable. ×n Observación El teorema 5 del módulo 16 establece la siguiente equivalencia: 1.

A tiene n vectores característicos LI ⇔ multiplicidad geométrica de λi es igual a la multiplicidad algebraica de λi , i = 1,..., m , y el teorema anterior dice que:

2.

A es diagonalizable ⇔ A tiene n vectores característicos LI.

De 1 y 2 tenemos que: A es diagonalizable ⇔ multiplicidad geométrica de λi es igual a la multiplicidad algebraica de λi , i = 1,..., m, siendo m el número de raíces diferentes del polinomio P(λ).

Ejemplo 2

⎡ 3 2 4⎤ En el ejemplo 7 del módulo16 determinamos para A = ⎢⎢ 2 0 2 ⎥⎥ sus valores y ⎢⎣ 4 2 3 ⎥⎦ vectores característicos así: det ( A − λ I ) = −(λ + 1) 2 (λ − 8) = 0 con vectores ca-

⎡1⎤ ⎡ −1 2 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎢1 ⎥ racterísticos ⎢ 1 ⎥ y ⎢ 0 ⎥ correspondientes a λ = −1 y ⎢ 2 ⎥ correspondiente a ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ λ = 8.

230

Módulo 17: El problema de la diagonalización Luego A tiene tres vectores característicos LI y por tanto A es diagonalizable, siendo

⎡−1 0 0⎤ D = ⎢⎢ 0 −1 0⎥⎥ . ⎢⎣ 0 0 8⎥⎦ La matriz P que diagonaliza la matriz A es:

⎡ −1 2 −1 1 ⎤ P = ⎢⎢ 1 0 1 2 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 1 1 ⎥⎦ Entonces, P −1 AP = D .

P ( P −1 AP ) P −1 = PDP −1 ,

( PP −1 ) A( PP −1 ) = A = PDP −1 .

En el teorema 6 del módulo 13 demostramos que si A es similar a B, An es similar a Bn . Para nuestro ejemplo, A n es similar a Dn , o sea:

An = PD n P −1 , n ⎡ −1 2 −1 1 ⎤ ⎡(−1) ⎢ = ⎢⎢ 1 0 1 2 ⎥⎥ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 (−1) 0

n

0 ⎤ ⎥ 1 0 ⎥× 9 (8) n ⎥⎦

⎡ −2 8 −2 ⎤ ⎢ −4 −2 5 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 4 ⎥⎦

20 En particular, si se desea obtener A , bastaría hacer el producto indicado con n = 20, en lugar de multiplicar 20 veces por la matriz A.

Ejemplo 3 Las matrices de los ejemplos 1, 3, 4, 5, 7 y 8 del módulo 16 son diagonalizables ya que para cada una de ellas se determinaron n vectores característicos LI. En el ejemplo 2, módulo 16, se planteó la matriz identidad que ya es diagonal, y en el ejemplo 6 del mismo módulo se obtuvo un valor característico de multiplicidad algebraica 3, al cual sólo iba asociado un vector característico LI, luego la matriz propuesta en el ejemplo 6 no es diagonalizable. Cuando estudiamos las propiedades de las matrices similares (teorema 6, módulo 13) vimos que si A y B son matrices similares entonces det A = det B. Ahora, si A es similar a una matriz diagonal D, det A = det D.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Diagonalización de matrices»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 231

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas La matriz diagonal similar a A tiene sobre la diagonal los valores característicos de A; entonces, det A = λ1 λ2 ,..., λn .

También establecimos que las distintas representaciones de una misma transformación lineal son matrices similares (teorema 5, módulo 13), luego con cualquier representación matricial que trabajemos obtendremos los mismos valores y vectores característicos.

232

Módulo 17 En los ejercicios 1 a 6 determine si la matriz dada A es diagonalizable; en caso de serlo, determine las matrices P, D y P −1 tales que A = P D P −1 .

2.

⎛ −2 −2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 2⎟ ⎜ 3 2 5⎟ ⎝ ⎠

3.

⎛ 1 ⎜ ⎜ −2 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

1 0 0⎞ ⎟ 4 0 0⎟ 0 2 1⎟ ⎟ 0 1 2⎠

5.

⎛0 i ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ i 0⎠

6.

⎛ i 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝0 i⎠

1.

⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠

4.

⎛ 1 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −2 2 ⎠

7.

⎛1 Diagonalice A = ⎜ ⎝0

8.

Si A es invertible y diagonalizable, ¿es A −1 diagonalizable?

9.

Si A y B son diagonalizables con A = P −1 D1P y B = Q −1 D2Q, ¿es A B una matriz diagonalizable, con D1 D2 su matriz diagonal equivalente? ¿Es A + B diagonalizable, con D1 + D2 su matriz diagonal equivalente?

1⎞ 12 ⎟ y emplee la diagonalización hallada para calcular A . 2⎠

1

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

233

234

18

Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Contenidos del módulo Una de las aplicaciones más interesantes de los valores característicos es poder determinar el comportamiento de un sistema que pasa por varios estados, donde el estado siguiente sólo depende de su estado anterior en una etapa avanzada del proceso. El método para hacerlo se debe al matemático y lingüista ruso Andrei Andreyevich Markov (1856-1922) y se conoce como cadenas de Markov.

18.1 Ecuaciones en diferencias 18.1.1 Un modelo de crecimiento poblacional 18.2 Procesos de Markov 18.2.1 Modelo de funcionamiento de una máquina

Objetivos del módulo 1. Mostrar aplicaciones a la ingeniería de la teoría de valores y vectores característicos. 2. Estudiar sistemas dinámicos en crecimientos poblacionales y procesos de Markov.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se conforma la matriz de transición de un proceso en un sistema dinámico? 2. Analizando los valores característicos de la matriz de transición A en el estudio de una población, ¿cómo se sabe si la población crece o decrece? 3. ¿Qué es un proceso de Markov? 4. ¿Qué es una matriz de probabilidad? 5. ¿Cuándo un proceso de Markov alcanza su estado estacionario?

Introducción En esta sección presentaremos algunas de las aplicaciones más importantes de la teoría de valores y vectores característicos. Éstas son: ecuaciones en diferencias y procesos de Markov.

Vea el módulo 18 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 235

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

18.1 Ecuaciones en diferencias Un proceso que va pasando a través de diferentes estados cada cierto intervalo de tiempo, esto es, un proceso discreto en el tiempo, se describe usualmente como un sistema de ecuaciones en diferencias.

18.1.1 Un modelo de crecimiento poblacional Estudiaremos un modelo de crecimiento poblacional para una especie de venados donde se han determinado las siguientes condiciones: 1.

El número de hembras es igual al número de machos.

2.

La población se considera dividida en dos grupos de edad que son: Pj , n −1 : población juvenil (inmadura) de hembras en el año n – 1.

Pa , n −1 : población adulta de hembras en el año n – 1.

La población juvenil es aquella entre 0 y 1 año, y la población adulta es la que tiene más de un año de edad. El crecimiento de esta población se estudia a través de las hembras, y haciendo uso de la primera condición podemos saber cómo va la población en cualquier periodo. 3.

Hay una tasa de supervivencia α de los venados jóvenes que sobrevivirán para ser adultos en el año siguiente. Para los adultos también hay una tasa de supervivencia β de los adultos sobrevivientes para el periodo siguiente.

4.

Cada hembra adulta produce, en promedio, k hembras jóvenes para el periodo siguiente.

Haciendo uso de la información suministrada podemos expresar las poblaciones de hembras jóvenes y adultas en el periodo n, así: Pj , n = kPa , n −1 . Pa , n = α Pj , n −1 + β Pa , n −1 .

⎡ Pj , n ⎤ ⎡0 o Pn = APn −1 , donde Pn = ⎢ ⎥ , A = ⎢ P ⎣α ⎣ a,n ⎦

k⎤

β ⎥⎦

⎡ Pj , n −1 ⎤ , Pn −1 = ⎢ ⎥. ⎣ Pa , n −1 ⎦

Entonces, si P0 es la población inicial de hembras jóvenes y adultas, podemos expresar las poblaciones en los periodos siguientes así: P1 = AP0 , P2 = AP1 = A( AP0 ) = A2 P0 , P3 = AP2 = A( A2 P0 ) = A3 P0 .

Luego la población en el periodo n está dada por:

236

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Pn = An P0 .

Determinemos para A sus valores y vectores característicos: det ( A − λ I ) =

−λ

k

α

β −λ

= 0.

− λβ + λ 2 − α k = 0, entonces λ 2 − λβ − α k = 0, de donde

λ= λ1 =

β ± β 2 + 4α k 2

β + β 2 + 4α k 2

, con β , α y k cantidades positivas. y λ2 =

β − β 2 + 4α k 2

.

Analizando estas expresiones podemos afirmar que:

λ 1 > 0, λ 2 < 0 y λ 1 > λ 2 . A cada valor de λ va asociado un vector característico. Si v1 y v2 son los vectores característicos correspondientes a λ1 y λ2 , respectivamente, entonces v1 y v2 son LI. La población inicial P0 se puede expresar como combinación lineal de v1 y v2 así: P0 = a1v1 + a2 v2 .

Como Pn = An P0 , entonces Pn = An (a1 v1 + a2 v 2 ) = a1 An v1 + a2 An v 2 = a1λ1n v1 + a2 λ2 n v 2 , ya que An v1 = λ1n v1 y An v 2 = λ2n v 2 (teorema 8, parte c, módulo 16) n ⎛ ⎞ ⎛λ ⎞ = λ1n ⎜ a1 v1 + a2 ⎜ 2 ⎟ v 2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ ⎠

n

⎛ λ2 ⎞ Como λ1 > λ2 , ⎜ ⎟ tiende a cero cuando n es grande, entonces ⎝ λ1 ⎠ Pn ≈ λ1n a1v1.

(1)

A largo plazo la distribución de edades se estabiliza y es proporcional a v1. Cada grupo de edad cambiará por un factor λ1 cada año.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 237

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Es importante notar toda la información que podemos obtener del cálculo de los valores y vectores característicos: Una pregunta importante de resolver es: ¿la población crecerá o decrecerá? Aumenta si λ1 > 1, y esta condición se verifica cuando

β + β 2 + 4α k 2

β 2 + 4α k > 2 − β .

> 1,

Elevando al cuadrado,

β 2 + 4α k > 4 − 4 β + β 2 , 4α k > 4 − 4 β ,

k>

1− β

α

.

Supongamos ahora que en esta población de venados se tienen: k = 1, α = 0.6,

⎡100 ⎤

β = 0.8 y P0 = ⎢ ⎥. ⎣ 200 ⎦

Entonces, 1 ⎤ ⎡ 0 A=⎢ ⎥, ⎣ 0.6 0.8⎦

luego det ( A − λ I ) =

λ=

−λ

1

0.6 0.8 − λ

= λ 2 − 0.8λ − 0.6 = 0,

0.8 ± (0.8) 2 + 4 × 0.6 , λ1 = 1.27, λ2 = −0.47. 2

Sabemos que a la larga la población se estabiliza y se calcula de acuerdo con la ecuación (1). En consecuencia, la población crecerá por un factor aproximado de 1.27. Los granjeros y otras personas del área no quieren que la población crezca. Pueden controlar la población «cosechándola» (permitiendo la caza de venados adultos); si h es la proporción de población cosechada en cada periodo, entonces la proporción de supervivencia β de la población adulta se disminuye en h y la matriz A para el modelo será: 1 ⎤ ⎡0 A=⎢ ⎥. ⎣0.6 0.8 − h ⎦

238

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Veamos qué pasa si h = 0.6. En este caso 1 ⎤ ⎡ 0 A=⎢ ⎥, 0.6 0.2 ⎣ ⎦

y λ1 =

det ( A − λ I ) =

−λ

1

0.6 0.2 − λ

= λ 2 − 0.2λ − 0.6 = 0

0.2 + 0.04 + 4 × 0.6 = 0.88. 2

Así que λ1 < 1 y la población decrecerá, luego h = 0.6 es una cosecha demasiado grande que terminará por extinguir la especie. Si queremos que la población permanezca estable, esto es, que no crezca ni desaparezca, el valor característico mayor (λ1 ) debe ser igual a 1. Entonces

λ1 =

β + β 2 + 4α K 2

= 1,

(0.8 − h) + (0.8 − h) 2 + 4 × 0.6 = 1, 2

h = 0.4. Así que una proporción de caza igual a 0.4 mantendrá estable la población. Ejemplo 1 Una especie animal está clasificada en dos etapas de vida: juvenil (hasta un año de edad) y adulta. Suponga que las hembras adultas paren una vez al año un promedio de 1.6 hembras juveniles. Cada año sobrevive 30% de los juveniles para transformarse en adultos y sobrevive 80% de los adultos. Veamos cómo estaría dada la población de esta especie en un periodo cualquiera k. Pj , k = 1.6 Pa , k −1

⎡ Pj , k ⎤ Pk = ⎢ ⎥ ⎣ Pa , k ⎦ de donde

Pa , k = 0.3Pj , k −1 + 0.8 Pa , k −1

⎡ Pj , k ⎤ ⎡ 0 1.6 ⎤ ⎡ Pj , k −1 ⎤ ⎢P ⎥ = ⎢ ⎥, ⎥⎢ ⎣ a , k ⎦ ⎣ 0.3 0.8⎦ ⎣ Pa , k −1 ⎦ Pk = APk −1.

Veamos cómo se comporta este sistema, analizando sus valores y vectores característicos. det ( A − λ I ) =

−λ

1.6

0.3 0.8 − λ

= λ 2 − 0.8λ − 0.48 = 0,

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Aplicaciones valores y vectores propios»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 239

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

λ=

0.8 ± 0.64 + 4 × 0.48 0.8 ± 1.6 = . 2 2

Luego λ1 = 1.2 y λ2 = −0.4. La población crece porque el mayor valor característico de A es 1.2 cuya magnitud es mayor que 1. Determinemos los vectores característicos asociados a λ1 = 1.2 y λ2 = −0.4. Para λ1 = 1.2, resolvemos (A – 1.2I) x = 0.

0.3x − 0.4 y = 0

⎡−1.2 1.6 ⎤ ⎢ 0.3 −0.4⎥ , entonces ⎣ ⎦

3x = 4 y

⎡4⎤ Si x = 4 e y = 3, entonces x1 = ⎢ ⎥ . ⎣3⎦

Para λ2 = −0.4,

(A + 0.4 I) x = 0.

⎡0.4 1.6⎤ ⎢0.3 1.2⎥ , entonces ⎣ ⎦

0.4 x + 1.6 y = 0 4 x = −16 y o x = −4 y

⎡4⎤ Si x = 4, y = −1 y x 2 = ⎢ ⎥ . ⎣ −1⎦

Si la población inicial P0 la expresamos en términos de x1 y x2, entonces P0 = a1x1 + a2 x2 , Pn = An P0 = An (a1x1 + a2 x 2 ), = a1 An x1 + a2 An x 2 = a1λ1n x1 + a2 λ2 n x 2 .

λ2 = 0.4 < 1. Cuando n es grande, λ2 n → 0 y Pn ≈ a1λ1n x1 . La población crece con un factor constante igual a λ1. La tasa de crecimiento final es de 1.2, que es un 20% anual. El vector característico ⎡4⎤ x1 = ⎢ ⎥ muestra que habrá cuatro juveniles por cada tres adultos. ⎣3⎦

En los modelos estudiados se describe un proceso que está determinado por medio de la matriz A. El vector P0 se llama estado inicial del proceso y el vector Pn para n ∈ N se llama n-ésimo estado del proceso.

240

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos A la matriz A se le conoce como la matriz de transición del proceso y a la ecuación Pn = An Pn −1 se le llama ecuación matricial en diferencias o sistema dinámico.

Teorema 1 Sea A una matriz diagonalizable n × n con vectores característicos linealmente independientes v1, v2 ,..., vn y sus correspondientes valores característicos

λ 1, λ 2,..., λ n . La solución del sistema dinámico X k = A X k −1 se expresa así: Xk = c1λ1k v1 + c2 λ2k v 2 + ... + cn λn k v n ,

donde los coeficientes c1 , c2 ,..., cn son tales que: Xo = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn .

Demostración Los vectores v1, v2 ,..., vn forman una base del espacio V (R n o C n ), luego X0 se puede expresar en esta base como Xo = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn v n . Como X k = AX k −1 , entonces X1 = AX 0 , X 2 = AX1 , X 2 = A2 X 0 ,..., X k = Ak X 0 .

Luego Xk = Ak (c1 v1 + c2 v 2 + ... + cn v n )

= c1 Ak v1 + c2 Ak v 2 + ... + cn Ak v n .

Aplicando el teorema 8, módulo 16, donde se establece que si λi es un valor característico de A, λin es un valor característico de An, tenemos: Xk = c1λ1k v1 + c2 λ2k v 2 + ... + cn λn k v n .

18.2 Procesos de Markov Sean S1, S2 ,..., Sn los estados posibles de un sistema S. Supongamos que S se observa en los tiempos dados T1,T2 ,..., Tn . Una cadena de Markov es un proceso en el cual la probabilidad empírica de que S se halle en un estado particular al tiempo Tk depende solamente del estado en que se halle S en el tiempo Tk −1 .

La matriz de transición en un proceso de Markov es una matriz de probabilidad.

Escuche la biografía de Andrei Andreyevich Markov en su multimedia de Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 241

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Definición 1 Sea A una matriz n × n. A es una matriz de probabilidad si se cumple que: i. ii.

aij ≥ 0 para toda i y j. La suma de las componentes en cada columna es 1.

Antes de plantear modelos de procesos de Markov veremos una propiedad importante de las matrices de probabilidad. Teorema 2 Sea An × n una matriz de probabilidad; entonces, λ = 1 es un valor característico de A. . Demostración

λ = 1 es un valor característico de A si det ( A − 1I ) = 0, ⎡ a11 − 1 a12 ⎢ a a22 − 1 A − I = ⎢ 21 ⎢ ⎢ an 2 ⎣ an1

a1n ⎤ a2 n ⎥⎥ . ⎥ ⎥ ann − 1⎦

Como A es una matriz de probabilidad, n

∑a i =1

ij

= 1, para j =1,..., n (la suma sobre cada columna es 1). n

En la matriz A − I , la suma sobre cada columna será a11 − 1

a12

a1n

a21

a22 − 1

a2 n

an1

an 2

ann − 1

n

n

n

∑ ai 2 −1

a21

a22 − 1

a2n

an1

an 2

ann − 1

i =1

i =1

ij

− 1 = 0.

R1 + ( R2 + ...+ Rn ) ⎯⎯⎯⎯⎯ →

∑ ai1 − 1 i =1

∑a

∑a i =1

in

−1

0 =

0

a21 a22 − 1 an1

an 2

0 a2n

= 0.

ann − 1

18.2.1 Modelo de funcionamiento de una máquina Suponga que una máquina está siempre en alguno de estos tres estados: (1) parada sin reparación (P), (2) en necesidad de ajustes (N), (3) trabajando bien (T).

242

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Sea: P N ⎡1 A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

1 1 1

4 2 4

T ⎤P 8 ⎥N 18 ⎥ 9 ⎥T 18 ⎦ 1 18

con aij : probabilidad de que una máquina que se encuentre en el estado j pase al estado i en el periodo siguiente. Asumimos que la probabilidad de estar en uno cualquiera de los estados al final de un periodo depende sólo del estado en que se encontraba la máquina al principio del periodo, o sea, el final del periodo anterior. ⎡ X1,t ⎤ ⎢ ⎥ Sea Xt = ⎢ X 2,t ⎥ , donde X i ,t es la probabilidad de que la máquina esté en el estado ⎢ X 3,t ⎥ ⎣ ⎦

i al principio del periodo t. Entonces AX t -1 = X t . Si X0 es la distribución de probabilidad inicial, AX 0 = X1 , AX1 = X 2 , AAX 0 = A2 X 0 ...

X n = An X 0 , n ≥ 1.

Por ejemplo, si la máquina está trabajando bien al principio del periodo, entonces

⎡0⎤ ⎡1 ⎢ ⎥ X 0 = ⎢ 0 ⎥ , X1 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

1 1 1

⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 9 18 ⎤ 8 ⎥ ⎢0⎥ = ⎢ 8 ⎥ . 18 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 18 ⎥ 9 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢⎣ 9 18 ⎥⎦ 18 ⎦ ⎣ ⎦ 1 18

4 2 4

Si consideramos una factoría donde cada máquina se comporta con una distribución de probabilidad como muestra X1 , podemos esperar que 1/18 de las máquinas estén paradas, 4/9 necesiten ajustes y 1/2 estén trabajando bien. El comportamiento de la máquina está dado por la matriz A. La secuencia de vectores X1 , X2 ,..., Xn se llama cadena de Markov.

Veamos, si A es diagonalizable, cómo calcular A n como el producto PD n P −1 .

1− λ det ( A − λ I ) = 0 0

1 1

2

1 18

4

−λ 1

4

8 9

18

18

= 0,

−λ

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 243

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas 2 ⎛⎛ 1 8 1⎞ ⎞ (1 − λ ) ⎜ ⎜ − λ ⎟ − × ⎟ = 0, ⎜⎝ 2 ⎠ 18 4 ⎟⎠ ⎝

5⎞ ⎛ (1 − λ ) ⎜ λ 2 − λ + ⎟ = 0, 36 ⎠ ⎝ 1 ⎞⎛ 5⎞ ⎛ (1 − λ ) ⎜ λ − ⎟⎜ λ − ⎟ = 0, 6 6⎠ ⎝ ⎠⎝

1 6

5 6

λ1 = 1, λ2 = , λ3 = .

⎡1⎤ Para λ = 1, resolvemos ( A − I ) v = 0, de donde v1 = ⎢⎢0⎥⎥ . ⎢⎣0⎥⎦ ⎡1⎤ Para λ = 1/ 6, se determina v2 = ⎢⎢−4⎥⎥ . ⎣⎢ 3 ⎦⎥ ⎡−7⎤ ⎢ ⎥ Para λ = 5 / 6, se encuentra v 3 = ⎢ 4 ⎥ (verifíquelo). ⎢⎣ 3 ⎥⎦ Luego

⎡ 1 1 −7 ⎤ ⎡1 P = ⎢⎢0 −4 4 ⎥⎥ , P −1 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣0 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

1 −1 1

8

8

1⎤ ⎡1 ⎥ , D = ⎢0 6⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢⎣ 0 6⎦ 1

0⎤ 0 ⎥⎥ . 5 ⎥ 6⎦

0 1

6

0

Si se quiere saber el estado del proceso después de cinco periodos, habiendo comenzado con las máquinas trabajando bien, entonces

⎡0⎤ X5 = A X0 = A ⎢⎢0 ⎥⎥ , ⎢⎣1 ⎥⎦ 5

5

0 ⎡ 1 1 −7 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 A = PD P = ⎢0 −4 4 ⎥ ⎢ 0 ( 6 )5 ⎢⎣0 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 5

5

−1

0 ⎤ ⎡1 0 ⎥⎥ ⎢⎢0 ( 5 6 )5 ⎥⎦ ⎢⎣0

⎡1 0.648 0.531⎤ = ⎢⎢0 0.201 0.268⎥⎥ , ⎣⎢0 0.151 0.201⎥⎦ ⎡1 0.648 0.531⎤ ⎡0 ⎤ ⎡ 0.531⎤ y X5 = ⎢⎢0 0.201 0.268⎥⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0.268⎥⎥ . ⎢⎣0 0.151 0.201⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0.201⎥⎦

244

1 −1 1

8

8

1⎤ ⎥ 6⎥ 1 ⎥ 6⎦

1

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Después de cinco periodos la probabilidad de que las máquinas estén trabajando bien es de aproximadamente 0.2, esto es, aproximadamente 20%; poco menos del 27% necesita ajuste y aproximadamento 53% están paradas. Se quiere saber si existe alguna distribución que se mantenga de un periodo a otro, esto es, si Xt +1 = Xt , Xt +1 = AXt = Xt . Vemos que el vector de probabilidad correspondiente a λ = 1 verifica esta condición. Cuando el proceso se comporta de acuerdo con esta distribución, se dice que ha

⎡1 ⎤ ⎢0⎥ alcanzado su estado estacionario. Este vector es ⎢ ⎥ ; esto es, cuando todas las ⎢⎣0 ⎥⎦ máquinas están en el estado (1), o sea, paradas sin reparación, ya no ocurre ningún cambio de estado de un periodo a otro. A esta situación se llega cuando han transcurrido n periodos con n grande. El objetivo del análisis de Markov es calcular la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un tiempo futuro y determinar el comportamiento del sistema a largo plazo. Teorema 2 Sea un proceso de Markov dado por la matriz A y la cadena X1, X2 ,..., Xk ,... . Si A es diagonalizable y todo valor característico de A distinto de 1 posee módulo menor que, 1 entonces: a.

La sucesión X1, X2 ,..., Xk ... cuando k tiende a infinito converge al lim X k = X∞ .

b.

X∞ es un vector del espacio característico de A asociado con λ = 1, es

k →∞

decir, AX∞ = X∞ . Demostración a.

Como A es diagonalizable, la solución X k de la ecuación en diferencias o sistema dinámico X k = AX k −1 está dada por Xk = C1λ1k v1 + C2 λ2k v 2 + ... + Cr λrk v r + Cr +1λrk+1 v r +1 + ... + Cn λnk v n (teorema 1).

Supongamos que el valor característico λ = 1 tiene multiplicidad algebraica r, y que λr +1 , λr + 2 ... λn son menores que 1; entonces: Xk = C1 v1 + C2 v 2 + ... + Cr v r + Cr +1λrk+1 v r +1 + ... + Cn λnk v n .

Ahora, para cada i = r + 1,..., n tenemos que: Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 245

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas lim λik = 0 ya que λi < 1.

k →∞

Luego lim Xk = C1 v1 + C2 v 2 + ... + Cr vr ... = X∞ .

k →∞

b.

Los vectores v1, v2,..., vr son vectores característicos asociados con λ = 1. Por tanto, X∞ es un vector del espacio característico de A asociado con λ = 1. X∞ se conoce como el estado estacionario del sistema.

Ejemplo 2 Cada año 5% de la población de la ciudad se muda a los suburbios y 3% de la población de los suburbios se muda a la ciudad. Suponga que inicialmente 60% de la población vive en la ciudad y 40% en los suburbios (figura 18.1). Veamos cuál es la distribución de la población después un año.

Figura 18.1

Sean Pc , n y Ps , n las poblaciones de la ciudad y los suburbios en el año n. ⎡0.6 ⎤ ⎡ Pc ,0 ⎤ P0 = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣0.4 ⎦ ⎣ Ps ,0 ⎦

⎡ Pc ,1 ⎤ P1 = ⎢ ⎥ ⎣ Ps ,1 ⎦

Pc ,1 = 0.95Pc ,0 + 0.03Ps ,0 Ps ,1 = 0.05Pc ,0 + 0.97 Ps ,0

⎡0.95 0.03⎤ ⎡0.6⎤ ⎡0.582⎤ P1 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎣0.05 0.97 ⎦ ⎣0.4⎦ ⎣ 0.418⎦

Después de un año, aproximadamente, 58% de la población vive en la ciudad y 42% en los suburbios. Se quiere conocer la distribución de población que permanezca a través del tiempo. Pk +1 = Pk = APk . Pk es un vector característico correspondiente a λ = 1. ⎡0.95 − 1 0.03 ⎤ ⎡ −0.05 0.03 ⎤ ⎢ 0.05 0.97 − 1⎥ = ⎢ 0.05 −0.03⎥ , entonces ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡3⎤ Si x = 3, y = 5 , entonces v = ⎢ ⎥ . ⎣5⎦

246

0.05 x = 0.03 y 5x = 3 y

Módulo 18: Aplicaciones de la teoría de valores y vectores característicos Se debe determinar dentro de los vectores de E1 un vector de probabilidad (la suma de sus componentes debe ser 1). ⎡3/ 8⎤ v1 = ⎢ ⎥ es un vector de estado estacionario. ⎣5 / 8⎦

Se quiere conocer la población después de k años. Averigüemos los valores característicos de A. ⎡0.95 − λ ⎢ 0.05 ⎣

0.03 ⎤ = (0.95 − λ )(0.97 − λ ) − 0.0015 = 0, 0.97 − λ ⎥⎦

λ 2 − 1.92λ + 0.92 = 0,

(λ − 1)(λ − 0.92) = 0,

λ1 = 1, λ2 = 0.92.

Determinemos un vector característico correspondiente a λ2 = 0.92. 0.03 ⎤ ⎡ 0.03 0.03⎤ ⎡0.95 − 0.92 = , ⎢ 0.05 0.97 − 0.92 ⎥⎦ ⎢⎣0.05 0.05⎥⎦ entonces ⎣

0.03x = −0.03 y x = −y

Luego ⎡1⎤ v2 = ⎢ ⎥ . ⎣−1⎦

P0 = a1v1 + a2 v2 ,

⎡0.6⎤ ⎡3⎤ ⎡1⎤ ⎢0.4⎥ = a1 ⎢5⎥ + a2 ⎢ −1⎥ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡3 1 0.6 ⎤ ⎡1 0 1/ 8 ⎤ ⎢5 −1 0.4 ⎥ → ⎢ 0 1 9 / 40 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Pk = a1λ1k v1 + a2λ2k v2 ,

⎡1⎤ 1 ⎡ 3⎤ 9 = ⎢ ⎥ + (0.92)k ⎢ ⎥ . 8 ⎣5⎦ 40 ⎣ −1⎦

Cuando k → ∞,

⎡3/ 8⎤ (0.92) k → 0 y Pk → ⎢ ⎥ . ⎣5/ 8⎦

A largo plazo la población alcanza el estado estacionario que es el vector de probabilidad correspondiente a λ = 1. La población se estabiliza cuando 3/8 de ella vive en la ciudad y 5/8 en los suburbios.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 247

Módulo 18 1.

La población de una cierta variedad de peces aumenta de manera que el crecimiento en cualquier año es el doble del crecimiento en el año anterior. Si inicialmente se tenían 50 peces y después del primer año se contabilizaron 70 peces: a. b. c.

2.

Suponga que hay tres centros principales de camiones «múdese usted mismo». Cada mes, la mitad de los que están en Boston y en Los Ángeles van a Chicago, la otra mitad permanece donde está y los camiones de Chicago se dividen igualmente entre Boston y Los Ángeles. Si inicialmente la compañía tenía x0, y0, z0 camiones en Boston, Chicago y Los Ángeles, respectivamente, a. b.

3.

d.

Encuentre, para el k-ésimo año, el tamaño de la población que vive fuera (dentro) de California. ¿Puede modelar este problema como un proceso de Markov? Encuentre la probabilidad de que un individuo de Estados Unidos, elegido al azar, viva fuera (dentro) de California en el k-ésimo año. Encuentre la distribución de la población americana a largo plazo.

Suponga que hay una epidemia en la que cada mes se enferma la mitad de los que están sanos y muere la cuarta parte de los que están enfermos. Suponga que inicialmente había s0 y e0 individuos sanos y enfermos, respectivamente, y ningún individuo había muerto. a. b. c.

5.

Encuentre la distribución de camiones de la compañía en las tres ciudades, para cada mes. Determine cuál será a largo plazo la distribución de camiones de la compañía.

Cada año 1/10 de la gente de Estados Unidos que vive fuera de California se muda dentro y 2/10 de la gente que vive dentro de California se muda fuera. Si inicialmente y0 y z0 eran los tamaños de las poblaciones fuera y dentro de California: a. b. c.

4.

Encuentre el tamaño de la población de peces en cualquier año. Encuentre el tamaño de la población después del quinto año. Encuentre el año en que la población de peces alcanza 2800 individuos.

Encuentre la distribución de la población para el k-ésimo mes y diga cuál es la probabilidad en ese mes, para cada uno de los siguientes eventos: estar sano, estar enfermo, estar muerto. ¿Puede modelar este problema como un proceso de Markov? Encuentre la distribución de la población a largo plazo.

Un curso de Química se imparte en dos secciones. Si cada semana dejan el curso 1/ 4 de los que están en la sección A y 1/ 3 de los que están en la sección B, y 1/6 de cada sección se transfiere a la otra:/ a. b.

A largo plazo, ¿cuál será la distribución de alumnos? ¿Puede modelar el problema como un proceso de Markov?

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas 248

Para resolver a y b suponga que inicialmente tenían x0 e y0 estudiantes en las secciones A y B y ningún estudiante fuera del curso. 6.

El crecimiento de un cultivo de bacterias en un medio nutritivo se observa cada dos horas y cada vez se encuentra que la población ha crecido 30% con respecto a la vez anterior. a. b.

7.

Denote por Pn la población de bacterias después de 2n horas y describa este proceso de crecimiento por medio de una ecuación. Dado que la población inicial es 1000 bacterias, determine P2 y P4.

En un estudio de enfermedades infecciosas se mantiene un registro de brotes de sarampión en un colegio particular. Se estima que la población Pn infectada en la n-ésima semana está dada por la ecuación Pn+ 2 = Pn+1 − 1/ 5 Pn . Si P0 = 0 y P1 = 1000: a. b. c.

8.

Encuentre la población de infectados en la n-ésima semana. ¿Se puede modelar el problema como un proceso de Markov? ¿Cuántos infectados se tendrán después de transcurridas seis semanas?

Una población de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes características: „

La mitad de los conejos sobrevive el primer año. De éstos, la mitad sobrevive el segundo año. La duración de la máxima vida es tres años.

„

Durante el primer año los conejos no producen descendencia. El número medio de descendencia es seis durante el segundo año y ocho durante el tercer año. Clase de primera edad Clase de segunda edad Clase de tercera edad

0 < edad < 1 1 < edad < 2 2 < edad < 3

Si actualmente la población consta de 24 conejos en la clase de la primera edad, 24 en la clase de la segunda edad y 20 en la tercera edad, ¿cuál será la distribución de conejos cuando hayan transcurrido diez años? 9.

Una compañía de robótica quiere fabricar un brazo que deberá recoger partes de una banda transportadora para colocarlas en otra banda. Ocasionalmente el brazo falla, pero el robot está diseñado para que en caso de falla se activen circuitos secundarios. En las observaciones se descubre que si el brazo falla en una ocasión, tendrá éxito la siguiente vez 97% de las veces. Si el brazo tiene éxito en cierto intento, los circuitos secundarios se desactivarán y el brazo fallará la siguiente vez apenas 2% de las veces. ¿Cumplirá el brazo con el requerimiento del cliente de que trabaje exitosamente 98% de las veces?

10.

En un día dado, un estudiante está sano o bien está enfermo. De los estudiantes que están sanos hoy, 95% estará sano mañana. De los estudiantes que están enfermos hoy, 55% estará enfermo mañana. a. b. c. d.

¿Cuál será la matriz para esta situación? Suponga que el lunes 20% de los estudiantes está enfermo. ¿Qué fracción o porcentaje de los estudiantes es probable que esté enfermo el miércoles? Si un estudiante está bien hoy, ¿cuál será la probabilidad de estar bien dentro de dos días? ¿Cuál es la probabilidad de que después de muchos días una persona dada esté enferma?

Ejer ciciosÁlgebradel 18249 Linealmódulo Elemental y Aplicaciones Ejercicios

250

19

Forma canónica de Jordan Contenidos del módulo 19.1 Matriz de Jordan 19.2 Forma canónica de Jordan 19.3 Procedimiento para obtener la forma canónica de Jordan de A2×2 . 19.4 Generalización del procedimiento para obtener la forma canónica de Jordan de An× n .

Los procedimientos expuestos en este módulo aparecieron por primera vez en el trabajo del matemático francés Camille Jordan (1838-1922) titulado Tratado sobre sustitución y ecuaciones algebraicas , publicado en 1870.

Objetivos del módulo 1. Determinar para cualquier matriz An× n , diagonalizable o no, una matriz semejante J que es su forma canónica de Jordan.

Preguntas básicas 1. 2. 3. 4.

¿Qué es una matriz bloque de Jordan? ¿Qué es una matriz de Jordan? ¿Cómo está formada la diagonal en una matriz de Jordan? ¿Qué es un vector característico generalizado?

5. ¿Cómo se conforma la matriz P que permite llevar A2×2 a su forma canónica de Jordan? 6. Si A es una matriz 3 × 3, ¿cómo se obtiene la matriz P que lleva a A a su forma canónica de Jordan?

Introducción La idea de la diagonalización de una matriz An× n es poder encontrar una matriz más «sencilla» semejante a la matriz A con la cual se pueda operar más fácilmente. Sin embargo, no todas las matrices tienen n vectores característicos LI, es decir, no son semejantes a una matriz diagonal; en este caso se puede encontrar semejanza con otra matriz, no diagonal pero sí más sencilla que la matriz original. Veremos la forma de obtener estas matrices.

Vea el módulo 19 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 251

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas

19.1 Matriz de Jordan Escuche la biografía de Camille Jordan en su multimedia de Álgebra Lineal

Comenzamos el proceso definiendo una matriz cuadrada N k , así:

⎡0 ⎢0 ⎢ Nk = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

1 0 0 1 0 0 0 0

0⎤ 0⎥⎥ ⎥. ⎥ 1⎥ 0⎥⎦

N k es una matriz con unos arriba de la diagonal principal y ceros en las demás posiciones.

Ahora formamos una nueva matriz B (λ ) = λ I + N k ; a esta matriz la llamamos matriz de bloques de Jordan.

⎡λ 1 0 ⎢0 λ 1 ⎢ B (λ ) = ⎢ kxk ⎢ ⎢0 0 0 ⎢⎣ 0 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ ⎥. ⎥ λ 1⎥ 0 λ ⎥⎦ 0 0

B (λ ) es una matriz que tiene un valor λ fijo sobre la diagonal, unos encima de la diagonal y ceros en las demás posiciones.

Podemos considerar que una matriz bloque de Jordan de 1 × 1 (orden 1), será B(λ ) = (λ ). Con las matrices de bloques de Jordan se forma la matriz de Jordan J, la cual tiene la siguiente forma: 0 ⎡ B1 (λ1 ) ⎢ 0 B2 (λ2 ) J =⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0

⎤ 0 ⎥⎥ . ⎥ ⎥ Br (λr ) ⎦ 0

J es una matriz que tiene en la diagonal matrices de bloques de Jordan y ceros en las demás posiciones.

252

Módulo 19: Forma canónica de Jordan Ejemplos

1.

⎡2 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

0 0 0 0⎤ 2 1 0 0⎥⎥ 0 2 1 0⎥ ⎥ 0 0 2 0⎥ 0 0 0 3⎥⎦

⎡ 3 1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢0 3 0 ⎥ . ⎢0 0 4 ⎥ ⎣ ⎦

Las anteriores son matrices de Jordan; los bloques de Jordan se han marcado con líneas punteadas. 2.

Veamos las posibles matrices de Jordan de 3 × 3 .

⎡λ 1 0 ⎤ ⎢0 λ 1⎥ ⎢ ⎥ formada por un bloque de Jordan de orden 3. ⎢⎣ 0 0 λ ⎥⎦ ⎡ λ1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 λ1 0 ⎥ formada por un bloque de Jordan de orden 2 y uno de orden 1. ⎢0 0 λ ⎥ 2⎦ ⎣

⎡λ1 0 0 ⎤ ⎢0 λ 1⎥⎥ 2 ⎢ formada por un bloque de Jordan de orden 1 y uno de orden 2. ⎢⎣ 0 0 λ2 ⎥⎦

⎡λ1 0 ⎢0 λ 2 ⎢ ⎢⎣ 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ formada por tres bloques de Jordan de orden 1. λ3 ⎥⎦

λ1 , λ2 , λ3 no necesariamente son distintos.

19.2 Forma canónica de Jordan Para cualquier matriz A, real o compleja, se puede demostrar la existencia de una matriz de Jordan J semejante a A, tal que

J = P −1 AP . Este hecho es uno de los resultados más importantes del álgebra lineal, aunque su demostración va más allá del alcance de un curso inicial. La matriz J tiene sobre la diagonal los valores característicos de A. Esta matriz es única excepto por el orden en que aparecen los bloques de Jordan.

Escuche el audio El puente de Tacoma en su multimedia de Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 253

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Ejemplo 3 ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 Si A es similar a J1 = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

1 0 0 0 0⎤ 1 1 0 0 0 ⎥⎥ 0 1 0 0 0⎥ ⎥ también es similar a: 0 0 3 0 0⎥ 0 0 0 4 1⎥ ⎥ 0 0 0 0 4 ⎥⎦

⎡3 ⎢0 ⎢ ⎢0 J2 = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣⎢0

0 0 0 0 0⎤ ⎡4 1 0 ⎥ ⎢0 4 0 1 1 0 0 0⎥ ⎢ 0 1 1 0 0⎥ ⎢0 0 1 ⎥ , J3 = ⎢ 0 0 1 0 0⎥ ⎢0 0 0 0 0 0 4 1⎥ ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 4⎦⎥ ⎣⎢0 0 0

⎡4 ⎢0 ⎢ ⎢0 J4 = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

1 0 0 0 0⎤ 4 0 0 0 0 ⎥⎥ 0 3 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 1 1 0⎥ 0 0 0 1 1⎥ ⎥ 0 0 0 0 1⎥⎦

0 0 0⎤ 0 0 0⎥⎥ 1 0 0⎥ ⎥, 1 1 0⎥ 0 1 0⎥ ⎥ 0 0 3⎦⎥

y otras dos matrices de Jordan. La matriz J se llama forma canónica de Jordan de A. Si A es diagonalizable, la forma canónica de Jordan de A será la matriz diagonal D equivalente a A, donde los bloques de Jordan serán los valores característicos de A, λ1 , λ2 ,..., λn no necesariamente distintos. A continuación veremos cómo obtener la forma canónica de Jordan para una matriz A2×2 . Si A es diagonalizable ya sabemos cómo obtener su matriz diagonal equivalen-

te. Sólo resta analizar el caso en el cual A tiene un solo valor característico λ de multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1. Bajo estas condiciones, si v1 es un vector característico correspondiente al valor característico λ, entonces existe un vector v2 que satisface la ecuación ( A − λ I )v2 = v1.

254

Módulo 19: Forma canónica de Jordan

19.3 Procedimiento para obtener la forma canónica de Jordan de A2x2 Definición 1 Sea A una matriz de 2 × 2 con un solo valor propio λ con multiplicidad algebraica 2 y multiplicidad geométrica 1. Si v1 es un vector característico correspondiente a λ, entonces al vector v2 tal que ( A − λ I ) v2 = v1 se le llama vector característico generalizado de A correspondiente al valor característico λ. El siguiente teorema nos muestra la necesidad de encontrar el vector v2 como un vector característico generalizado. Teorema 1 Sea A2× 2 con un único valor característico λ y un único vector característico v1 linealmente independiente. Sea v2 un vector característico generalizado de A correspondiente al valor característico λ, y P la matriz cuyas columnas son los vectores v1 y v2 . Entonces ⎡λ 1 ⎤ P −1 AP = J , donde J = ⎢ ⎥ es la forma canónica de Jordan de A. ⎣0 λ⎦ Demostración

Como v2 no es un vector característico de A, v2 ≠ α v1 , es decir, v1 y v2 son LI, entonces P es invertible. AP = A [ v1 , v 2 ] = [ Av1 , Av 2 ] = [λ v1 , Av 2 ].

Como ( A − λ I ) v2 = v1 , Av2 − λ v2 = v1 , Av2 = v1 + λ v2 , entonces AP = [λ v1 , v1 + λ v 2 ].

Ahora, ⎡λ 1 ⎤ PJ = [v1 , v2 ] ⎢ ⎥ = [λ v1 , v1 + λ v2 ]. ⎣0 λ⎦

Luego AP = PJ ,

de donde P−1 AP = J .

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 255

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas Ejemplo 4 ⎡ −10 −7 ⎤ Transforme la matriz A = ⎢ a su forma canónica de Jordan. 4 ⎥⎦ ⎣ 7

Solución det ( A − λ I ) =

−10 − λ

−7

7

4−λ

=0,

λ 2 + 6λ + 9 = 0 → (λ + 3) 2 = 0.

Luego λ = −3 es el único valor característico de A, con multiplicidad algebraica 2. Determinemos los vectores característicos correspondientes a λ = −3 . ( A + 3I )x = 0, ⎡ −7 −7 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ ⎢ 7 7 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ , ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

entonces

−7 x − 7 y = 0 −7 x = 7 y −x = y

Por tanto, ⎪⎧ ⎡ 1 ⎤ ⎪⎫ E−3 = gen ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ . ⎩⎪ ⎣ −1⎦ ⎭⎪ ⎡1⎤ Si v1 = ⎢ ⎥ , el vector v2 debe encontrarse como un vector característico generali⎣−1⎦ zado.

Para esto resolvemos ( A + 3I )v2 = v1. ⎡ −7 − 7 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 1 ⎤ , = ⎢7 7 ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎣

Si x = 0,

entonces

−7 x − 7 y = 1 7 x + 7 y = −1 x+ y = −

1 7

y = −1/ 7,

⎡0⎤ luego v 2 = ⎢ −1 ⎥ . ⎣ 7⎦ ⎡1 P=⎢ ⎣ −1

0⎤ 0⎤ ⎡ −1 7 0 ⎤ ⎡ 1 , P −1 = −7 ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎥, −1 7⎦ ⎣ 1 1 ⎦ ⎣ −7 −7 ⎦

0 ⎤ ⎡ −10 −7 ⎤ ⎡ 1 ⎡1 J = P −1 AP = ⎢ ⎥⎢ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 ⎣ −7 − 7 ⎦ ⎣ 7

256

0 ⎤ ⎡ −3 1 ⎤ ⎥ = ⎢ 0 − 3⎥ . 7⎦ ⎣ ⎦

−1

Módulo 19: Forma canónica de Jordan

19.4 Generalización del procedimiento para obtener la forma canónica de Jordan de Anxn El método descrito puede generalizarse para obtener la forma canónica de Jordan de cualquir matriz. Es posible determinar el número de unos arriba de la diagonal en la forma canónica de Jordan de una matriz A de n × n. Sea λi un valor característico de A con multiplicidad algebraica ri y multiplicidad geométrica ti . Si λ1 , λ2 ,..., λk son los valores característicos de A, entonces el número de unos arriba de la diagonal de la forma canónica de Jordan de A es: (r1 − t1 ) + (r2 − t2 ) + ... + (rk − tk ) k

k

k

i =1

i =1

i =1

= ∑ ri − ∑ ti = n − ∑ ti . Si se conoce la ecuación característica de A, entonces se pueden determinar las posibles formas canónicas de Jordan de A. Ejemplo 5 Si el polinomio característico de A es (λ − 3)3 (λ + 4), entonces las posibles formas canónicas de Jordan de A son: 1.

λ1 = 3 con multiplicidad geométrica 3 y λ2 = −4. ⎡3 ⎢0 J =D=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

2.

0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ . 3 0⎥ ⎥ 0 −4⎦

λ1 = 3 con multiplicidad geométrica 2 y λ2 = −4. ⎡3 ⎢0 J =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

3.

0 3 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ . 0 3 0⎥ ⎥ 0 0 −4⎦ 0 0 3 1

λ1 = 3 con multiplicidad geométrica 1 y λ2 = −4. ⎡3 ⎢0 J =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1 3 0 0

0 0⎤ 1 0 ⎥⎥ . 3 0⎥ ⎥ 0 −4⎦

Generalizando el procedimiento para hallar el vector característico generalizado v2 de la matriz A2× 2 no diagonalizable, podemos describir el proceso para encontrar Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 257

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas los vectores característicos generalizados en una matriz A3×3 no diagonalizable. Sea A una matriz 3 × 3 . Suponga que λ es un valor característico de A con multiplicidad algebraica 3 y multiplicidad geométrica 1 y sea v1 el vector propio corresponVea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «La forma canónica de Jordan»

diente. Se puede demostrar que existe un vector v2 tal que ( A − λ I ) v2 = v1 con v1 y v2 linealmente independientes. Una vez obtenido v2 puede determinarse v3

resolviendo ( A − λ I ) v3 = v2 tal que v1, v2 y v3 son linealmente independientes. Las columnas de la matriz P serán los vectores v1, v2 y v3 y la forma canónica de Jordan

⎡λ 1 0 ⎤ será J = ⎢ 0 λ 1 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 λ ⎥⎦ Ejemplo 6 En el ejemplo 6 del módulo 16, para la matriz

⎡0 1 0⎤ A = ⎢⎢0 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣1 −3 3⎥⎦ con ecuación característica (λ − 1)3 = 0, determinamos un solo vector característi-

⎡1⎤ co correspondiente a λ = 1, v1 = ⎢⎢1⎥⎥ . ⎢⎣1⎥⎦ Encontremos los vectores característicos generalizados v2 y v3 , para determinar la matriz P = [ v1 , v 2 , v 3 ] tal que P −1 AP = J . Resolvamos ( A − I ) v2 = v1.

⎡ −1 1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1⎤ ⎢ 0 −1 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 −3 2 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎣⎢1⎦⎥ ⎡ −1 1 0 1⎤ ⎡ 1 0 −1 −2⎤ ⎢ 0 −1 1 1⎥ → ⎢ 0 1 −1 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥, ⎢⎣ 1 −3 2 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0⎥⎦ ⎡−2⎤ ⎢ ⎥ v = Si z = 0, x = −2 e y = −1, entonces 2 ⎢ −1⎥ . ⎢⎣ 0 ⎥⎦

258

x = −2 + z y = −1 + z z= z

Módulo 19: Forma canónica de Jordan Ahora encontremos v3 , resolviendo ( A − λ I )v3 = v2 .

⎡−1 1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ −2⎤ ⎢ 0 −1 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ −1⎥ , ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢ 1 −3 2⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎡ −1 1 0 −2 ⎤ ⎡ 1 0 −1 3⎤ ⎢ 0 −1 1 −1⎥ → ⎢0 1 −1 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥, ⎢⎣ 1 −3 2 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦

x = 3+ z y = 1+ z z= z

⎡3⎤ ⎢ ⎥ = v Si z = 0, entonces 3 ⎢1⎥ . ⎢⎣0⎥⎦ Luego

⎡1 −2 3 ⎤ P = ⎢⎢1 −1 1 ⎥⎥ , ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦

⎡0 0 1 ⎤ P = ⎢⎢1 −3 2⎥⎥ . ⎢⎣1 −2 1 ⎥⎦ −1

⎡0 0 1 ⎤ ⎡0 1 0⎤ ⎡1 −2 3⎤ ⎡1 1 0⎤ J = ⎢⎢1 −3 2 ⎥⎥ ⎢⎢0 0 1 ⎥⎥ ⎢⎢1 −1 1 ⎥⎥ = ⎢⎢0 1 1 ⎥⎥ . ⎢⎣1 −2 1 ⎥⎦ ⎢⎣1 −3 3⎥⎦ ⎢⎣1 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 259

Módulo 19 En los ejercicios 1 a 9 determine si la matriz dada es de Jordan.

1.

⎡3 1 ⎤ ⎢0 −1⎥ ⎣ ⎦

5.

⎡ 3 −1⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦

9.

⎡a ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

2.

⎡3 0 ⎤ ⎢0 −1⎥ ⎣ ⎦

6.

⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 3 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 4 ⎥⎦

3.

⎡1 0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎣ ⎦

7.

⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 3 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 3⎥⎦

4.

⎡1 2 ⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦

8.

⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣0

0 0 0 0⎤ 3 1 0 0 ⎥⎥ 0 3 1 0⎥ ⎥ 0 0 3 0⎥ 0 0 0 3 ⎥⎦

0 0 0 0⎤ b 1 0 0 ⎥⎥ 0 b 1 0⎥ ⎥ 0 0 c 0⎥ 0 0 0 c ⎥⎦

En los ejercicios 10 a 12 encuentre una matriz invertible P que transforme la matriz de 2 × 2 a su forma canónica de Jordan.

10.

13.

14.

15.

⎡ 2 −7 ⎤ ⎢7 −12 ⎥ ⎣ ⎦

11.

7⎤ ⎡ 4 ⎢ −7 −10 ⎥ ⎣ ⎦

12.

⎡ 2 −1⎤ ⎢1 4 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ −2 1 0 ⎤ ⎢ −2 1 −1⎥ . ⎥ Reduzca la matriz a su forma canónica de Jordan: ⎢ ⎢⎣ −1 1 −2⎥⎦ ⎡0 Haga lo mismo que en el ejercicio anterior con A = ⎢ 1 2 ⎢ ⎢⎣ 0

6 0 1

2

8⎤ 0 ⎥⎥ . 0 ⎥⎦

Escriba todas las matrices de Jordan de 4 × 4 posibles.

Capítulo 4: Valores característicos, vectores característicos, diagonalización y formas canónicas 260

En los ejercicios 16 a 19 se da el polinomio característico de una matriz A. Escriba todas las posibles formas canónicas de Jordan de A. 16.

λ 2 (λ − 1) 2

17.

(λ + 3) 2 (λ − 4)3

18.

(λ − 2)(λ + 3) 2

19.

(λ − 7)3

20.

Usando la forma canónica de Jordan, demuestre que para cualquier matriz A de n × n, det A = λ1 λ2 ,..., λn , donde

λ1 , λ2 ,..., λn son los valores característicos de A.

Ejer ciciosÁlgebradel 19261 Lineal módulo Elemental y Aplicaciones Ejercicios

5

Capítulo 5 Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Según Morris Kline1, los valores característicos se originaron en el contexto de formas cuadráticas y en la mécanica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raíces características de la ecuación escalar.

En el capítulo anterior tratamos el problema general de la diagonalización de una matriz. Ahora veremos un caso específico importante que se presenta cuando la matriz An × n es simétrica y es que estas matrices siempre son diagonalizables, de tal forma que la matriz P que diagonaliza a A es una matriz ortogonal. Este hecho tiene una aplicación relevante en la reducción de formas cuadráticas en \ 2 y \ 3 . Finalizamos el capítulo presentando el teorema de las circunferencias de Gershgorin, el cual proporciona un intervalo donde se pueden acotar los valores característicos cuando no se precisa conocerlos con exactitud. Además se desarrolla un método iterativo para calcular el valor característico y el vector característico dominante de una matriz. Estos procedimientos se hacen necesarios debido a que cuando A es una matriz de orden grande, el cálculo de los valores característicos por medio de la ecuación característica se transforma en un problema algebraico difícil.

Módulo 20 Diagonalización ortogonal Ejercicios Módulo 20 Módulo 21 Formas cuadráticas y secciones cónicas Ejercicios Módulo 21 Módulo 22 Aproximación de valores y vectores característicos Ejercicios Módulo 22

1

En Mathematical thought from ancient to modern times (Fair Lawn, NJ.: Oxford University Press, 1972).

264

20

Diagonalización ort ogonal ortogonal Contenidos del módulo

20.1 Diagonalización ortogonal 20.2 Procedimiento para encontrar n vectores característicos ortonormales de una El movimiento horizontal del sistema de masas y resortes en el cual todas las masas son iguales y todos los resortes son iguales se puede analizar diagonalizando la matriz simétrica

matriz simétrica An× n

Objetivos del módulo 1. Caracterizar las matrices simétricas como aquellas que son diagonalizables ortogonalmente. 2. Desarrollar un algoritmo para determinar la matriz ortogonal que diagonaliza una matriz simétrica A.

A=

⎡ 2 −1⎤ ⎢ −1 2 ⎥ . ⎣ ⎦

Preguntas básicas 1. ¿Cómo son los valores característicos de una matriz simétrica real A? 2. ¿Cómo son los vectores característicos que corresponden a valores característicos diferentes? 3. ¿Qué significa que una matriz es diagonalizable ortogonalmente? 4. ¿Qué se puede decir de una matriz que es diagonalizable ortogonalmente?

Introducción Estudiaremos varias propiedades importantes de las matrices simétricas, tales como que siempre tienen n vectores característicos LI y todos sus valores característicos son números reales. Ahora, no sólo se garantiza su diagonalización, sino que además se puede comprobar que se puede formar una base ortonormal con sus vectores característicos.

Vea el módulo 20 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 265

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos

20.1 Diagonalización ortogonal Teorema 1 Escuche la biografía de Leonhard Euler en su multimedia de Álgebra Lineal

Si nA × n es una matriz simétrica con elementos reales, entonces: a.

Sus valores característicos son reales.

b.

Los vectores característicos correspondientes a distintos valores característicos son ortogonales.

Demostración a.

Sea λ un valor característico de A con vector característico u; entonces Au = λu, u ∈ ^ n y u ≠ 0.

El producto interno entre el vector Au y u está dado por: ( Au, u) = (λ u, u) = λ (u, u) (Prop. VI, definición de producto interno),

o

( Au, u) = (u, At u) = (u, Au) ya que A = At (teorema 2, módulo 15)

= (u, λu) = λ (u, u) (Prop. VII, definición de producto interno), luego λ (u, u ) = λ (u, u ),

(u , u ) = u

2

≠ 0 , entonces λ = λ .

Si λ = a + bi, λ = a − bi , a + bi = a − bi

↔ b = 0.

Luego λ = a ; por tanto, λ es un número real.

b.

Sean λ1 y λ2 valores característicos distintos correspondientes a vectores característicos u 1 y u 2 . Entonces, Au1 · u 2 = λ1u1 · u 2 = λ1 (u1 · u 2 ),

o

Au1 · u 2 = u1 · At u 2 = u1 · Au 2 = u1 · λ2 u 2 = λ2 (u1 · u 2 ),

luego λ1 (u1 · u 2 ) = λ2 (u1 · u 2 ).

266

Módulo 20: Diagonalización ortogonal Como λ1 ≠ λ2 , entonces u1 · u2 = 0, lo cual significa que u1 y u2 son ortogonales. Observación: note que en la parte b del teorema se plantea el producto escalar entre Au1 y u 2 ; esto se puede hacer así ya que en la parte a del teorema se ha demostrado que los valores característicos son números reales, y como A es una matriz real, los vectores característicos serán elementos de \n . Teorema 2 Sea A una matriz simétrica real de n × n; entonces A tiene n vectores característicos ortonormales. La demostración del teorema excede el alcance de este curso; sin embargo, podemos verificarlo siempre que trabajamos con matrices simétricas. Del teorema se desprende, como consecuencia, que toda matriz simétrica real es diagonalizable y sus vectores característicos no sólo son LI sino que son ortogonales. Si estos vectores se normalizan, se tienen n vectores característicos ortonormales de modo que la matriz P que diagonaliza la matriz simétrica A es ortogonal. Definición 1 Una matriz An× n es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal P tal que PT A P = D,

donde D es la matriz diagonal que tiene sobre la diagonal los valores característicos de A. Teorema 3 Sea A una matriz real de n × n. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si A es simétirca. Demostración Si A es simétrica, el teorema 2 y la definición anterior nos permiten concluir que A es diagonalizable ortogonalmente. Recíprocamente, si A es diagonalizable ortogonalmente, existe P ortogonal tal que PT A P = D, luego A = P D PT ; entonces, AT = ( P D PT )T = ( PT )T DT PT = P D PT .

De donde A = AT , es decir, A es simétrica.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 267

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Si An × n es una matriz simétrica con n valores característicos diferentes, sus vectores característicos serán ortogonales. Ahora, si hay valores característicos con multiplicidades mayores que 1, los vectores característicos que se obtienen al resolver el espacio característico correspondiente no necesariamente son ortogonales; si aplicamos el proceso de Gram-Schmidt, obtendremos vectores ortonormales, ¿pero serán todavía vectores característicos? La respuesta es sí, ya que al aplicar el proceso de Gram-Schmidt sólo se toman combinaciones lineales particulares de los vectores de la base del espacio característico y por tanto los vectores ortonormales obtenidos serán también vectores característicos correspondientes al mismo valor característico λ .

20.2 Procedimiento para encontrar n vectores característicos ortonormales de una matriz simétrica An xn a.

Encontrar los valores característicos de A.

b.

Encontrar una base para cada espacio característico.

c.

Aplicar el proceso de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal de cada espacio característico. De esta forma todos los vectores obtenidos forman un conjunto de n vectores característicos ortonormales.

Ejemplo 1

⎡ 1 −1 0 ⎤ En el ejemplo 5 del módulo 16, dada A = ⎢⎢−1 2 −1⎥⎥ , determinamos sus valores ⎢⎣ 0 −1 1 ⎥⎦ característicos 0, 1 y 3 con sus correspondientes vectores característicos

⎛1⎞ ⎛ −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ,⎜ 0 ⎟ , ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟. ⎜1⎟ ⎝ ⎠

La matriz A es simétrica. Veamos que sus vectores característicos son ortogonales.

⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ , ⎜ 1⎟ . ⎜ 0 ⎟ = 0 ⎜ 1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ . ⎜ −2 ⎟ = 0 , ⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ . ⎜ −2 ⎟ = 0. ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para tener una base ortonormal de \ 3 sólo se necesita normalizar cada uno de estos vectores.

268

Módulo 20: Diagonalización ortogonal

La base ortonormal está dada por

⎛ −1⎞ 1 ⎜ ⎟ 0 , 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠

⎛ 1⎞ 1 ⎜ ⎟ 1 , 3 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 1⎠

⎛1⎞ 1 ⎜ ⎟ −2 6 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝1⎠

Luego la matriz P cuyas columnas son estos vectores es una matriz ortogonal, de modo que P T A P = D. ⎡1 ⎢ −1 ⎢ ⎢1 ⎣

3 2 6

1

3

0 −2

1 1

6

1

⎤ ⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡ 1 ⎥⎢ ⎢ −1 2 −1⎥⎥ ⎢ 1 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 −1 1 ⎥⎦ ⎢ 1 6⎦ ⎣ ⎣ 3

3 3 3

−1

2

0 1

1 −2

2

1

⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎥ = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ 6⎥ . ⎥ ⎢⎣0 0 3⎥⎦ 6⎦ 6

Ejemplo 2

⎡0 1 1 ⎤ Sea A = ⎢⎢1 0 1 ⎥⎥ . Diagonalicemos la matriz A ortogonalmente. ⎣⎢1 1 0 ⎥⎦ Resolvemos el polinomio característico de A así:

−λ det( A − λ I ) = 1

1 −λ

1 1

= − λ 3 + 3λ + 2 = 0

1

1

−λ

= λ 3 − 3λ − 2 = 0 (λ + 1)2 (λ − 2) = 0

Los valores característicos de A son λ1 = − 1 con multiplicidad algebraica de 2 y

λ2 = 2 . Para determinar E−1 , resolvemos (A + I )x = 0.

⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1 ⎤ ⎢1 1 1⎥ ⎯⎯→ ⎢ 0 0 0⎥ , luego ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 1 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦

Entonces E−1

x = −y −z y= y z=

z

⎧ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ = gen ⎨ v1 = ⎜ 1 ⎟ , v 2 = ⎜ 0 ⎟ ⎬ . ⎪ ⎜0⎟ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ ⎩

Ahora, v1 y v 2 no son mutuamente ortogonales, aunque sí son linealmente independientes. Aplicamos a esta base el proceso de Gram-Schmidt.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Diagonalización ortogonal»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 269

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos

u1 =

⎛ −1⎞ v1 1 ⎜ ⎟ 1 . = v1 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝0⎠

Sea v 2′ = v 2 − ( v 2 · u1 )u1

⎡⎛ −1⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎤ ⎡ −1 2 ⎤ ⎛ −1⎞ ⎡ −1 2 ⎤ ⎢⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ − ⎢⎜ 0 ⎟ . ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢⎢ −1 2 ⎥⎥ , ⎜1⎟ ⎢⎣⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎢ 1 ⎦⎥ ⎛ −1 ⎛ −1 2 ⎞ 2 ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 = u2 = 2⎟ = ⎜ ⎜ 6⎜ ⎟ v 2′ ⎜2 ⎝1⎠ ⎝ v 2′

v 2′ =

6 . 2

⎞ ⎟ . 6⎟ ⎟ 6⎠ 6

E2 lo encontramos resolviendo ( A − 2 I )x = 0.

⎡ −2 1 1 ⎤ ⎡1 0 −1⎤ ⎢ 1 −2 1 ⎥ ⎯⎯→ ⎢ 0 1 −1⎥ ; entonces ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 1 −2 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎛ 1⎞ , v 3 = ⎜⎜1⎟⎟ . ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

x= z y= z z= z

Luego ⎧ ⎛ 1⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟⎪ E2 = gen ⎨ ⎜ 1⎟ ⎬ . ⎪ ⎜1⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠⎭

Para completar la base ortonormal, dividimos v 3 por su magnitud y obtenemos ⎛ ⎜ u3 = ⎜ ⎜ ⎝

1 1 1

⎞ ⎟ 3⎟ . ⎟ 3⎠ 3

⎡ −1 2 ⎢ La matriz P = ⎢ 1 2 ⎢ 0 ⎣

−1 −1 2

6 6 6

1 1 1

⎤ ⎥ es la matriz ortogonal que diagonaliza la matriz 3⎥ ⎥ 3⎦ 3

simétrica A. Así que:

⎡ −1 0 0 ⎤ P A P = D = ⎢⎢ 0 −1 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 0 0 2⎥⎦ T

270

Módulo 20 En los ejercicios 1 a 7 diagonalice ortogonalmente las matrices simétricas dadas, determinando la matriz diagonal D y la matriz diagonalizante ortogonal P.

1.

⎡2 2⎤ ⎢2 2⎥ ⎣ ⎦

5.

⎡0 0 0 ⎤ ⎢0 2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 2 2 ⎥⎦

2.

⎡ 1 −1⎤ ⎢ −1 1 ⎥ ⎣ ⎦

6.

⎡ −1 2 2 ⎤ ⎢ 2 −1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 2 −1⎥⎦

3.

⎡ −1 2 2 ⎤ ⎢ 2 −1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 2 1 ⎥⎦

7.

⎡ 0 −1 −1⎤ ⎢ −1 0 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1 −1 0 ⎥⎦

4.

⎡0 0 1⎤ ⎢0 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦

8.

Suponga que An× n es una matriz simétrica real para la que todos sus valores característicos son cero. Demuestre que A es la matriz nula n × n.

9.

Demuestre que si una matriz real A de 2 × 2 tiene vectores propios ortogonales, entonces A es simétrica.

10.

Muestre que si A es invertible y ortogonalmente diagonalizable, entonces A−1 es ortogonalmente diagonalizable.

11.

Sea A una matriz real antisimétrica. Demuestre que todo valor propio de A es de la forma bi, donde b ∈ \ e i es la unidad imaginaria.

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 271 valores y vectores característicos

272

21

Formas cuadráticas y secciones cónicas Contenidos del módulo 21.1 Secciones cónicas

La expresión de una forma cuadrática en términos de una matriz simétrica permite utilizar las propiedades de las matrices simétricas para reducir las ecuaciones de las secciones cónicas representadas a sus ejes principales.

21.2 Formas cuadráticas en \ 2 21.3 Teorema 1: Teorema de los ejes principales en \ 2 21.4 Formas cuadráticas en más de dos variables

Objetivos del módulo 1. Mostrar una aplicación de la diagonalización ortogonal. 2. Completar el estudio de la ecuación general de segundo grado cuando la ecuación corresponde a una cónica rotada y/o trasladada con respecto a su posición canónica. 3. Extender el estudio de las formas cuadráticas a las superficies cuadráticas en \3.

Preguntas básicas 1. ¿Qué es una forma cuadrática en \ 2 y cómo se relaciona con la ecuación general de segundo grado? 2. ¿Cómo se expresa matricialmente una forma cuadrática? 3. ¿Cómo se emplea la diagonalización ortogonal de la matriz A de la forma cuadrática, para llevar ésta a sus ejes principales? 4. ¿Cómo se determina el ángulo θ que deben rotar los ejes x e y para llevar la cónica a nuevos ejes x´y´ y expresarla en su forma canónica? 5. ¿Cómo debe ser la matriz ortogonal P que diagonaliza la matriz A para que corresponda a una matriz de rotación? 6. En la ecuación de segundo grado, eliminado el término en xy, ¿cómo se puede saber qué tipo de cónica representa?

Introducción En este módulo presentamos una aplicación de la diagonalización ortogonal. Las propiedades de las matrices simétricas estudiadas en la sección anterior nos proporcionan una herramienta importante en la reducción de las ecuaciones de segundo grado cuando en ellas hay un término cruzado, es decir, un término en xy.

Vea el módulo 21 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 273

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos

21.1 Secciones cónicas En el estudio de las secciones cónicas en el plano realizado en el texto de Geometría vectorial y analítica se han asociado estas secciones con la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

donde A, B, C, D, E y F son constantes reales.

(1)

La gráfica de esta ecuación es una sección cónica o un caso degenerado de éstas como un punto, una recta, un par de rectas o el conjunto vacío. Cuando la constante B es cero, o sea cuando la ecuación no tiene término en xy, los ejes de simetría de la cónica son paralelos a los ejes coordenados. Las cónicas no degeneradas están en posición canónica si sus gráficas y ecuaciones son como se indica en la figura 21.1. La ecuación está en forma canónica.

274

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas

Figura

21.1

Se puede observar que las ecuaciones de las secciones cónicas cuyas gráficas están en posición canónica no tienen el término xy o término mixto; cuando éste aparece en la ecuación, la gráfica es una sección cónica que ha sido rotada desde su posición canónica. Además, en las ecuaciones canónicas correspondientes a círculos, elipses e hipérbolas las variables x e y aparecen siempre al cuadrado; cuando la ecuación contiene términos cuadráticos y lineales en las variables x e y y la ecuación no tiene término mixto, la gráfica es una sección cónica trasladada desde su posición canónica; finalmente, si aparece término en xy y términos lineales en x o en y, la gráfica es una sección cónica rotada y trasladada (figura 21.2).

Figura 21.2

21.2 Formas cuadráticas en \2 En la ecuación general de segundo grado (1) consideremos únicamente los términos cuadráticos, o sea, Ax2 + Bxy + Cy2 . A esta expresión la llamamos forma cuadrática asociada con la ecuación (1) y la denotamos por F ( x, y ). Tenemos entonces que: F ( x, y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 .

(2)

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 275

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Esta forma cuadrática la podemos representar matricialmente así: F ( x, y ) = XT R X,

(3)

⎡ x⎤ donde X = ⎢ ⎥ y R es la matriz simétrica que tiene sobre la diagonal principal los ⎣ y⎦ coeficientes de los términos cuadrados puros y sobre la otra diagonal se reparte simétricamente el coeficiente del término cruzado.

⎡A F ( x, y ) = ( x y ) ⎢ ⎣B 2

⎤ ⎡x⎤ = Ax 2 + Bxy + Cy 2 . C ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦

B

2

Por ejemplo, si F ( x, y ) = 3 x 2 + 2 xy + y 2 , entonces

⎡3 1⎤ ⎡ x ⎤ F ( x, y ) = [ x y ] ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣1 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎡x⎤ = [3 x + y x + y ] ⎢ ⎥ ⎣ y⎦ 2 = 3 x + xy + xy + y 2 = 3x 2 + 2 xy + y 2 .

Inversamente, si R es una matriz simétrica, entonces la ecuación (3) define una forma cuadrática. Se puede representar F ( x, y ) por muchas matrices, pero sólo por una matriz simé⎡3 a ⎤ trica. En el ejemplo dado, cualquier matriz R = ⎢ ⎥ , donde a + b = 2, verifica que ⎣b 1 ⎦ ⎡ 3 3⎤ XT R X = F ( x, y); entonces, si R = ⎢ ⎥ , se cumple que ⎣−1 1⎦

⎡ 3 3⎤ ⎡ x ⎤ [ x y] ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ −1 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎡ x⎤ = [3x − y 3 x + y ] ⎢ ⎥ ⎣ y⎦ 2 = 3x − xy + 3 xy + y 2 = 3 x 2 + 2 xy + y 2 .

Ahora, si a la matriz R se le exige además que a = b, entonces sólo habrá una matriz P que satisfaga simultáneamente las dos condiciones a + b = 2 y a = b. Consideremos entonces la forma cuadrática F ( x, y ) = XT R X con R una matriz simétrica. Por el teorema 3 del módulo 20, R es diagonalizable ortogonalmente, esto es, existe una matriz ortogonal P tal que R = P D PT , donde D es la matriz diagonal

276

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas que tiene sobre la diagonal los valores característicos de R. Entonces X T R X se puede escribir como XT ( P D PT ) X, y asociando, como ( X T P ) D ( P T X ).

⎛ x′ ⎞ Sea X ′ = ⎜ ⎟ tal que X′ = P T X; entonces, ⎝ y′ ⎠ ( X ′) T = ( P T X ) T = X T P .

Luego la forma cuadrática expresada en las nuevas variables x ′, y ′ será: ⎡λ F ( x ′, y ′) = X′T D X′ = [ x′ y ′] ⎢ 1 ⎣0

0 ⎤ ⎡ x′ ⎤ = λ x′2 + λ2 y ′2 . λ2 ⎥⎦ ⎢⎣ y ′⎥⎦ 1

Es decir, F ( x′, y ′) es una forma cuadrática en la que no figura el término x′y′. Ejemplo 1 Sea la forma cuadrática 3 x 2 + 2 xy + y 2 y expresémosla en nuevas variables x ′ e y ′ donde no figure un término en x′y′. ⎡3 1⎤ ⎡ x ⎤ F ( x, y ) = [ x y ] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥. ⎣1 1⎦ ⎣ y ⎦

Diagonalicemos ortogonalmente la matriz R. det ( R − λ I ) =

3−λ

1

1

1− λ

= 0,

λ 2 − 4λ + 2 = 0

λ1 = 2 + 2, λ2 = 2 − 2 ( R − (2 + 2) I ) X = 0, ⎡1 − 2 ⎢ ⎢⎣ 1

⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. −1 − 2 ⎥⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 ⎦ 1

Entonces

(1 − 2)x = − y si x = 1, y = 2 − 1, luego ⎛ 1 ⎞ v1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 − 1⎠

v1 = 1 + ( 2 − 1)2 = 4 − 2 2.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 277

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos u1 =

⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . 4 − 2 2 ⎝ 2 − 1⎠ 1

Después resolvemos ( R − (2 − 2) I ) X = 0.

⎡1 + 2 ⎢ ⎣⎢ 1

⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ (1 + 2)x = − y; −1 + 2 ⎦⎥ ⎣ y ⎦ ⎣ 0⎦ 1

entonces, si x = −1, y = 1 + 2. Así que ⎛ −1 ⎞ v 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1 + 2 ⎠

v 2 = 1 + (1 + 2) 2 = 4 + 2 2 .

u2 =

−1

1 ⎡ ⎢ ⎢ 4−2 2 Sea P = ⎢ 2 −1 ⎢ ⎢⎣ 4 − 2 2

⎡2 + 2 con D = ⎢ ⎣⎢ 0

⎛ −1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ . 4 + 2 2 ⎝1 + 2 ⎠ 1

⎤ ⎥ 4+2 2 ⎥ la matriz ortogonal tal que PT R P = D, 1 + 2 ⎥⎥ 4 + 2 2 ⎥⎦

⎤ ⎥ 2 − 2 ⎦⎥ 0

En las nuevas variables x ′ e y ′ la forma cuadrática se puede expresar como

(2 + 2) x′2 + (2 − 2) y ′2 = F ( x′, y′), en la cual no hay un término en x ′y ′. La matriz P que diagonaliza la matriz simétrica R es real y ortogonal, o sea, PT = P −1 , entonces 1 = det PP −1 = det PPT = det P det PT = (det P ) 2 . Por tanto, det P = ± 1. Si det P = − 1, se pueden intercambiar las columnas de P para hacer el determinante de esta nueva matriz igual a 1; esto equivale a intercambiar λ1 y λ2 . Veamos ahora que cuando P es real y ortogonal con determinante 1,

278

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas ⎡ cos θ − sen θ ⎤ P=⎢ ⎥ para algún número θ , con 0 ≤ θ ≤ 2π , lo cual significa que ⎣sen θ cos θ ⎦ P es una matriz de rotación. ⎡a c ⎤ Sea P = ⎢ ⎥ real y ortogonal con P = 1. ⎣b d ⎦

⎡a ⎤ ⎡ c ⎤ Por el teorema 1 del módulo 15, los vectores ⎢ b ⎥ y ⎢ d ⎥ forman una base ortonormal ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡a⎤ de \2, es decir, son vectores unitarios y ortogonales. Luego ⎢ b ⎥ se puede expre⎣ ⎦ ⎡cosθ ⎤ sar como ⎢senθ ⎥ , siendo θ el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. ⎣ ⎦

⎡a⎤ ⎡c⎤ El vector ⎢ d ⎥ está formando un ángulo de π / 2 con el vector ⎢b⎥; entonces, ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡c ⎤ ⎢d ⎥ = ⎣ ⎦

⎡ cos (θ ± π 2 ) ⎤ ⎢sen (θ ± π ) ⎥ (figura 21.3). 2 ⎦ ⎣

Figura

⎡c⎤ Si ⎢ d ⎥ = ⎣ ⎦

21.3

⎡ cos (θ + π 2 ) ⎤ ⎡ − sen θ ⎤ ⎢ sen (θ + π ) ⎥ = ⎢ cos θ ⎥ , entonces 2 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦

⎡ cos θ P=⎢ ⎣sen θ

− sen θ ⎤ y cos θ ⎥⎦

P = 1.

⎡ c ⎤ ⎡ cos (θ − π 2 ) ⎤ ⎡ sen θ ⎤ Ahora, si ⎢ d ⎥ = ⎢ sen (θ − π ) ⎥ = ⎢ − cos θ ⎥ , 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 279

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos ⎡ cos θ entonces P = ⎢ ⎣sen θ

sen θ ⎤ P = −1. − cos θ ⎥⎦ y

Luego la matriz ortogonal P que tiene determinante 1 es una matriz de rotación. Por tanto, se ha demostrado el siguiente teorema.

21.3 Teorema 1: TTeorema eorema de los ejes principales Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Formas cuadráticas y secciones cónicas»

en \2 Sea F ( x, y) = Ax2 + Bxy + Cy 2 una forma cuadrática en las variables x e y. Entonces existe un único número θ en [0, 2π ] tal que F ( x, y ) se puede escribir en la forma

λ1 x′2 + λ2 y ′2 = F ( x′y ′) , donde x ′ e y ′ son los ejes obtenidos al rotar los ejes x e y un ángulo θ en sentido contrario a las manecillas del reloj. ⎡A

λ1 y λ2 son los valores característicos de la matriz R = ⎢ B ⎣

2

⎤ . C ⎥⎦

B

2

Si la forma cuadrática F ( x, y ) está igualada a un término independiente F, tenemos una ecuación cuadrática, y de la ecuación F ( x′, y ′) = F = λ1 x′2 + λ2 y ′2 se dice que ha sido expresada en sus ejes principales.

Ejemplo 2 Tomemos la ecuación cuadrática 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 4. En el ejemplo 1 se encontró que la forma cuadrática en sus ejes principales es

(2 + 2) x′2 + (2 − 2) y′2 , luego la ecuación es (2 + 2) x′2 + (2 − 2) y ′2 = 4, la cual en su forma canónica es: x ′2 y ′2 + = 1. 4 4 2+ 2 2− 2 2 Esta ecuación representa una elipse con a =

4 2− 2

, esto es, su eje mayor está

sobre el eje y′. b2 =

280

4 2+ 2

y c2 = a 2 − b2 =

4 (2 − 2)

−

4 2+ 2

= 4 2.

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas 1 ⎡ ⎢ ⎢ 4−2 2 Como P = ⎢ 2 −1 ⎢ ⎢⎣ 4 − 2 2

cos θ =

1 4−2 2

−1

⎤ ⎥ 4+2 2 ⎥ tiene det P = 1, entonces 1 + 2 ⎥⎥ 4 + 2 2 ⎥⎦

, y sen θ =

2 −1 4−2 2

.

Como ambos son positivos, θ está en el primer cuadrante. Usando la calculadora, determinamos que θ ≈ 22.5º . Por tanto, se trata de una elipse centrada en el origen y rotada un ángulo de 22.5º (figura 21.4).

Figura 21.4

Ejemplo 3 Identifique la sección cónica cuya ecuación es −3 x 2 − 2 xy − y 2 = 4. Solución En el ejemplo 2 vimos que la forma cuadrática 3 x 2 + 2 xy + y 2 en sus ejes principales se puede expresar como (2 + 2) x′2 + (2 − 2) y ′2 , luego la ecuación dada se puede escribir como:

−(2 + 2) x′2 − (2 − 2) y′2 = 4. Como para cualesquier números reales x′ e y′, − (2 + 2) x′2 − (2 − 2) y′2 ≤ 0, no existen números reales x e y que satisfagan la ecuación dada. Luego la sección cónica definida se llama sección cónica degenerada.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 281

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Ejemplo 4 Identifique y trace la gráfica de la ecuación 9 x 2 + y 2 + 6 xy − 10 10 x + 10 10 y + 90 = 0. Escriba la ecuación en forma canónica.

Solución La forma matricial de la ecuación dada es: ⎡9 3⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x⎤ [ x y] ⎢ + [−10 10 10 10] ⎢ ⎥ + 90 = 0. ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 3 1⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ y⎦ ⎡9 3⎤ Determinemos los valores característicos de R = ⎢ ⎥. ⎣3 1⎦ det ( R − λ I ) =

9−λ

3

3

1− λ

= λ 2 − 10λ = 0

λ ( λ − 10) = 0 λ1 = 0 y λ2 = 10 El vector característico asociado a λ1 = 0 se obtiene resolviendo

⎡9 ⎢3 ⎣

3⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ = ; entonces 1 ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

⎛ 1 ⎞ 3 x = − y , v1 = ⎜ ⎟ . ⎝ −3 ⎠

Para λ2 = 10 tenemos ⎡−1 ⎢ 3 ⎣

3 ⎤ ⎡x⎤ ⎡0⎤ = ⎢ ⎥; ⎥ ⎢ ⎥ −9⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0⎦

entonces, ⎛ 3⎞ x = 3 y, v 2 = ⎜ ⎟ . ⎝1⎠

Normalizamos estos vectores para obtener la matriz ortogonal

⎡ ⎢ P=⎢ ⎢ ⎢− ⎣

1 10 3 10

3 ⎤ 10 ⎥⎥ , det P = 1. Luego P es una matriz de rotación. 1 ⎥ ⎥ 10 ⎦

⎡0 0 ⎤ PT R P = D = ⎢ ⎥. ⎣ 0 10 ⎦

282

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas La forma cuadrática en los ejes x′y ′ es 10 y′2 . T Ahora, como X ′ = P X, entonces X = PX ′ , luego la ecuación cuadrática en las

variables x′y ′ es:

⎡ ⎢ 10 y ′2 + [−10 10 10 10] ⎢ ⎢ ⎢− ⎣

1 10 3 10

3 ⎤ 10 ⎥⎥ ⎡ x′ ⎤ = −90. 1 ⎥ ⎢⎣ y ′⎥⎦ ⎥ 10 ⎦

Realizando los productos se obtiene 10 y ′2 − 40 x′ − 20 y ′ = −90, y ′2 − 4 x′ − 2 y ′ = −9, ( y ′2 − 2 y ′ + 1) = −9 + 4 x′ + 1,

( y ′ − 1) 2 = 4( x′ − 2).

Esta ecuación corresponde a una parábola rotada y trasladada. Sea y ′′ = y ′ − 1 y x′′ = x′ − 2; entonces la ecuación es y ′′2 = 4 x′′. El ángulo de rotación lo conocemos con la primera columna de P, así:

cosθ =

1 10

, senθ = −

3 10

.

Luego θ es un ángulo del cuarto cuadrante: θ = 360º − 71.56º = 288.44º (figura 21.5).

Figura

21.5

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Formas cuadráticas»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 283

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Identificamos la gráfica de una ecuación cuadrática dada en x e y mediante la ecuación obtenida después de rotar los ejes. En términos generales esta ecuación es:

λ1 x′2 + λ2 y′2 + D′x′ + E′y′ + F ′ = 0. Teorema 2 Dada la ecuación de segundo grado λ1 x′2 + λ2 y′2 + D′x′ + E′y′ + F ′ = 0, entonces: a.

Si λ1 y λ2 son ambos positivos, o ambos negativos, la gráfica es una elipse, una circunferencia (si λ1 = λ2 ) o una sección cónica degenerada.

b.

Si λ1 y λ2 son de signo opuesto, la gráfica es una hipérbola o dos rectas que se cortan.

c.

Si λ1 = 0 o λ2 = 0 , la gráfica es una parábola, dos rectas paralelas o una sección cónica degenerada.

La demostración se deja como ejercicio.

21.4 Formas cuadráticas en más de dos variables Los métodos descritos se pueden usar para analizar las ecuaciones cuadráticas en más de dos variables. Veamos un ejemplo: Ejemplo 5 Sea la ecuación cuadrática en tres variables dada por x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 yz + z 2 = 27.

⎡ 1 −1 0 ⎤ ⎡ x⎤ ⎢ ⎥ Si R = ⎢ −1 2 −1⎥ y X = ⎢⎢ y ⎥⎥ , entonces la ecuación se puede escribir en la ⎢⎣ 0 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ forma X T R X = 27.

⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ Del ejemplo 1 del módulo 20, P R P = D = ⎢0 1 0 ⎥ , ⎢⎣0 0 3⎥⎦ T

⎡1 ⎢ donde P = ⎢ 1 ⎢1 ⎣

3 3 3

−1

2

0 1

⎤ ⎥ . 6⎥ 1 ⎥ 6 ⎦

1

6

−2 2

En consecuencia, X T R X = X T P D P T X = ( X ′)T D X ′, siendo X ′ = P T X. Por tanto, la ecuación cuadrática en sus ejes principales se puede escribir como:

284

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas y ′2 + 3 z ′2 = 27 ,

y ′2 z ′ 2 + = 1. 27 9 La sección transversal del gráfico en el plano x′y ′ obtenida al hacer

z ′ = 0 es y ′ = ± 27 = ±3 3, es decir, dos rectas paralelas. La sección transversal en el plano x′z ′, haciendo y ′ = 0 , es z ′ = ± 3 (dos rectas paralelas). La sección transversal en el plano y ′z ′, haciendo x′ = 0, es la elipse

y ′2 z ′ 2 + = 1. 27 9

El gráfico de la superficie cuadrática en \ 3 es un cilindro elíptico (figura 21.6).

Figura

21.6

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 285

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Finalmente extendemos el concepto de forma cuadrática a cualquier número de variables.

Definición 1 ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x2 Sea X = ⎜ ⎟ y R una matriz simétrica de n × n. ⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠

Una forma cuadrática en x1 , x2 ,..., xn es una expresión de la forma F ( x1 , x2 ,..., xn ) = XT R X.

Ejemplo 6

⎡1 3 ⎢3 2 ⎢ Sean A = ⎢ 5 0 ⎢ ⎢ 2 −1 ⎢⎣ 4 3

4⎤ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎥ 3⎥ ⎜ x2 ⎟ 4 0 6 ⎥ y X = ⎜ x3 ⎟ ; entonces ⎜ ⎟ ⎥ 0 1 −5⎥ ⎜ x4 ⎟ ⎜x ⎟ ⎥ 6 −5 2 ⎦ ⎝ 5⎠ 5 2 0 −1

XT R X = [ x1 x2 x3 x4 x5 ] ⎡1 3 ⎢3 2 ⎢ ⎢5 0 ⎢ ⎢2 −1 ⎢⎣4 3

5 0 4 0 6

4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ −1 3 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ 0 6 ⎥ ⎢ x3 ⎥ . ⎥⎢ ⎥ 1 −5⎥ ⎢ x4 ⎥ −5 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x5 ⎥⎦ 2

Luego F ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = x12 + 6 x1 x2 + 10 x1 x3 + 4 x1 x4 + 8 x1 x5 + 2 x22 − 2 x2 x4 +6 x2 x5 + 4 x32 + 12 x3 x5 + x42 − 10 x4 x5 + 2 x52 .

Ejemplo 7 Sea la forma cuadrática 5 x12 + 3 x1 x2 − 5 x1 x3 + 6 x1 x4 + 4 x22 + 9 x2 x3 + 7 x32 + 8 x3 x4 + 3 x42 .

286

Módulo 21: Formas cuadráticas y secciones cónicas La matriz R que corresponde a esta forma cuadrática es: ⎡5 ⎢3 2 R=⎢ ⎢ −5 2 ⎢ ⎣3

3

2

−5

2

4

9

9

7 4

2

0

2

3⎤ 0 ⎥⎥ . 4⎥ ⎥ 3⎦

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 287

Módulo 21 En los ejercicios 1 a 5 escriba cada forma cuadrática como XT R X, donde R es una matriz simétrica. 1.

2 x 2 + 5 xy − 9 y 2

2.

3 x 2 − 3 xy + 6 xz − 9 y 2 + 7 yz − z 2

3.

−4 x 2 + 6 xy − 3 y 2 + 7 xz

4.

xy = a;

5.

6 x 2 + 5 xy − 6 y 2

a >0

En los ejercicios 6 a 12 escriba la ecuación cuadrática en la forma XT R X = d y elimine el término xy rotando los ejes un ángulo θ. Escriba la ecuación en términos de las nuevas variables, identifique la sección cónica obtenida y realice una representación gráfica cuando esto sea posible. 6.

4 x 2 + 4 xy + y 2 = 9

7.

4 x 2 + 4 xy − y 2 = 9

8.

xy = a; a > 0

9.

− x 2 + 2 xy − y 2 = 0

10.

x 2 − 3 xy + 4 y 2 = 1

11.

6 x 2 + 5 xy − 6 y 2 = − 7

12.

9 x 2 + y 2 + 6 xy = 4

En los ejercicios 13 a 15 identifique la gráfica de la ecuación y escriba ésta en forma conónica. 13.

5 x 2 + 12 xy − 12 13x = 36

14.

5 x 2 + 5 y 2 − 6 xy − 30 2 x + 18 2 y + 82 = 0

15.

x 2 − y 2 + 2 3xy + 6 x = 0

En los ejercicios 16 y 17 escriba la forma cuadrática en términos de las nuevas variables x′, y ′, z ′ de manera que se eliminen los términos de productos cruzados (xy, xz, yz). 16.

x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 yz + z 2

17.

x 2 − 2 xy + y 2 − 2 xz − 2 yz + z 2

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de 288 valores y vectores característicos

22

Aproximación de valores y vectores característicos Contenidos del módulo 22.1 El teorema del círculo de Gershgorin 22.2 Cálculo numérico de valores y vectores característicos 22.2.1 El método de la potencia 22.2.2 El método de la potencia con normalización

Al matemático ruso Semyon Gershgorin (1901-1933) se debe el teorema del círculo, publicado en 1931, el cual proporciona una aproximación de los valores característicos cuando no se requiere su cálculo exacto o cuando la ecuación característica es un polinomio difícil de factorizar.

Objetivos del módulo 1. Determinar un intervalo de valores donde se puedan acotar los valores característicos de una matriz sin necesidad de hacer muchos cálculos. 2. Proporcionar un método numérico para el cálculo del vector característico dominante de An×n , sin resolver el polinomio característico.

Preguntas básicas 1. ¿Cómo se construye un círculo de Gershgorin? 2. ¿Qué dice el teorema del círculo de Gershgorin? 3. ¿Cuándo una matriz An× n tiene un valor característico dominante? 4. ¿Cómo se define la secuencia de iteraciones para calcular el valor y el vector característico dominante de A? 5. ¿En qué consiste el método de la potencia con normalización? 6. ¿Cómo se calcula el error relativo que se comete al calcular el valor característico dominante?

Introducción En el capítulo anterior desarrollamos un algoritmo para calcular el polinomio característico de A, y a partir de él, extrayendo sus raíces, obtener los valores característicos de A. Esta forma de solución presenta algunos problemas. Uno de ellos tiene que ver con el condicionamiento del polinomio característico y es que cuando éste está mal condicionado, errores pequeños de redondeo en los coeficientes del polinomio pueden conducir a errores grandes en las raíces. Otro problema es que incluso si los coeficientes del polinomio fueran exactos, es difícil encontrar todas las raíces del polinomio. Estas dificultades han motivado el diseño de métodos numéricos para el cálculo directo de los valores y vectores característicos.

Vea el módulo 22 del programa de televisión Álgebra Lineal

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 289

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos

22.1 El teorema del círculo de Gershgorin Escuche la biografía de Semyon Gershgorin en su multimedia de Álgebra Lineal

El siguiente teorema nos proporciona una aproximación de los valores característicos de A con un mínimo de operaciones algebraicas. Antes de presentar el teorema definiremos algunos términos que figuran en su enunciado. Sea A una matriz n × n de componentes reales o complejas. ⎡ a11 a12 " a1n ⎤ ⎢a " a2 n ⎥⎥ a A = ⎢ 21 22 . n× n ⎢ # # # ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ an1 an 2 " ann ⎦

Se define el número

γ 1 = a12 + a13 + ... + a1n = γ 2 = a21 + a23 + ... + a2 n =

n

∑a j =2

1j

,

n

∑a j =1

2j

,

j ≠2

y en general,

γ i = ai1 + ai 2 + ... + ai , i −1 + ai , i +1 + ... + ain =

n

∑a j =1

ij

.

j ≠i

Esto es, γ i es la suma de los valores absolutos de las componentes del i-ésimo renglón de A, excepto la componente que está sobre la diagonal principal. Sea Di = { z ∈ ^ : z − aii ≤ γ i } . Di es un círculo en el plano complejo con centro en aii y radio γ i , con i = 1,..., n. El círculo Di está compuesto por todos los puntos del plano complejo, sobre y dentro de las circunferencias Ci = { z ∈ ^ : z − aii = γ i }. A estas circunferencias se les llama circunferencias de Gershgorin.

Teorema 1: Teorema del círculo de Gershgorin Sea A un matriz de n × n y Di el conjunto definido anteriormente; entonces, cada valor característico de A está contenido en al menos uno de los Di. Esto es, si los valores característicos de A son λ1 , λ2 ,..., λk , entonces

290

Módulo 22: Aproximación de valores y vectores característicos

{λ1 , λ2 ,..., λk }

⊂

n

UD . i =1

i

Demostración ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x2 Sea λ un valor propio de A con x = ⎜ ⎟ un vector característico correspon⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠

diente. Sea x i la componente de x de mayor valor absoluto, xi ≥ x j , j =1,..., n, xi > 0, ya que x ≠ 0 .

Ahora, Ax = λ x. ⎡x ⎤ ⎡ λ x1 ⎤ a12 " a1n ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢λ x ⎥ x ⎢ 2⎥ # # ⎥⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢#⎥ ⎢ # ⎥ ai 2 ain ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. λ xi ⎥ ⎥ ⎢ xi ⎥ ⎢ # # ⎥ ⎢#⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ an 2 " ann ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣λ xn ⎥⎦

⎡ a11 ⎢ # ⎢ ⎢ ai1 ⎢ ⎢ # ⎢⎣ an1

La componente i de esta ecuación es: ai1 x1 + ai 2 x2 + ... + aii xi + ... + ain xn = λ xi .

Restando aii xi a ambos lados de la ecuación tenemos: n

∑a x j =1

ij

j

= λ xi − aii xi = (λ − aii ) xi .

j ≠i

Tomando valor absoluto a ambos lados, y aplicando la desigualdad de Cauchy

(

)

Schwarz aij x j ≤ aij x j , se obtiene: n

∑a

(λ − aii ) xi =

j =1

ij

xj

≤

n

∑ j =1

j ≠i

aij x j ,

j ≠i

y dividiendo a ambos lados por xi obtenemos: (λ − aii ) ≤

n

∑ j =1 j ≠i

aij

xj xi

≤

n

∑ j =1

aij

= γ i , ya que x j ≤ xi .

j ≠i

De la última expresión concluimos que λ ∈ Di , y esto concluye la prueba.

Vea en su multimedia de Álgebra Lineal el código fuente en MATLAB para ilustrar «Circunferencia de Gershgorin»

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 291

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Ejemplo 1 ⎡ 1 3 −1 4 ⎤ ⎢ 2 5 0 −7 ⎥ ⎥ ; entonces, a = 1, a = 5, a = 6, a = 4. Sea A = ⎢ 11 22 33 44 ⎢ 3 −1 6 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 2 3 4 ⎦

γ 1 = 3 + −1 + 4 = 8, γ2 =

2 + −7

= 9,

γ 3 = 3 + −1 + 1 = 5, γ4 =

2+ 3

= 5.

Los valores característicos de A se encuentran dentro de los círculos descritos por: D1 =

{z∈^:

z − 1 ≤ 8} ,

D2 =

{z∈^:

z − 5 ≤ 9} ,

D3 =

{z∈^:

z − 6 ≤ 5} ,

D4 =

{z∈^:

z − 4 ≤ 5} .

Gráficamente podemos ilustrar esta situación dentro del plano complejo así (figura 22.1):

Figura

292

22.1

Módulo 22: Aproximación de valores y vectores característicos Todos los valores característicos de A se encuentran dentro de estas cuatro circunferencias. Examinando la gráfica anterior, resulta evidente que si λ es un valor característico de A, entonces λ ≤ 14 y − 7 ≤ \eλ ≤ 14 ( \eλ : parte real de λ ). Ejemplo 2 ⎡2 ⎢1 ⎢ 2 A = Sea ⎢ −1 3 ⎢1 ⎣ 4

1

2

−1

3

3

1

1

5 2

2

1

2

4⎤ 1 ⎥⎥ . 2⎥ ⎥ 4⎦

1

Aplicando el teorema del círculo de Gershgorin podemos demostrar que los valores característicos de A son números reales positivos. Demostración Como A es una matriz simétrica, los valores característicos de A son reales (teorema 1, módulo 20). Acotemos los valores característicos de A por medio de los círculos de Gershgorin (figura 22.2).

{z∈^: = {z∈^: = {z∈^: = {z∈^:

}.

D1 =

z−2 ≤

D2

z − 3 ≤ 2}.

D3 D4

13

12

z −5 ≤

17

z−4 ≤

13

6

}. }.

4

Figura 22.2

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 293

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos El extremo izquierdo de D4 sobre el eje x es 4 − 13 / 4 = 3 / 4 . Luego λ ≥ 3 / 4 . Por tanto, los valores característicos de A son reales y positivos.

22.2 Cálculo numérico de valores y vectores característicos 22.2.1 El método de la potencia Definición 1 Sean λ1 , λ2 ,..., λn los valores característicos de una matriz A de n × n y suponga que

λ1 > λi para i = 2,..., n. Entonces se dice que λ1 es el valor característico dominante de A. Si v1 es un vector característico de A correspondiente a λ1 , entonces v1 se denomina vector característico dominante. Sea A una matriz diagonalizable de n × n tal que λ1 es el valor característico dominante y sean u1 , u2 ,..., un n vectores característicos linealmente independientes de n A,correspondientes a λ1 , λ2 ,..., λn . Si x 0 es un vector de \ , entonces

x 0 = c1u1 + c2 u 2 + ... + cn u n con ci ∈\ .

Se puede, sin pérdida de generalidad, hacer c1 ≠ 0. Definimos una secuencia de iteraciones, tales que: x n +1 = A x n .

Entonces: x1 = Ax 0 x 2 = Ax1 = A 2 x 0 #

#

#

x k = Ax k -1 = Ak x 0 x k = Ak (c1u1 + c2u 2 + ... + cn u n ) = c1 Ak u1 + c2 Ak u 2 + ... + cn Ak u n = c1λ1k u1 + c2 λ2 k u 2 + ... + cn λn k u n k k ⎛ ⎞ ⎛λ ⎞ ⎛λ ⎞ = λ1k ⎜ c1u1 + c2 ⎜ 2 ⎟ u 2 + ... + cn ⎜ n ⎟ u n ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ ⎠

294

Módulo 22: Aproximación de valores y vectores característicos k

λi Como λ1 > λi para i = 2,..., n, se acerca a cero a medida que k aumenta. Por λ1 tanto, x k = Ak x 0 ≈ λ1k c1u1 . xk es entonces un múltiplo escalar de u1 y será un vector característico correspon-

diente a λ1 . ⎡ λ1k c1a1 ⎤ ⎡ a1 ⎤ ⎢ k ⎥ ⎢a ⎥ λ ca Si u1 = ⎢ 2 ⎥ , entonces λ1k c1u1 = ⎢ 1 1 2 ⎥ . ⎢ # ⎥ ⎢#⎥ ⎢ k ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ λ1 c1an ⎥⎦ ⎣an ⎦

Escojemos dentro de las componentes de x k , a j ≠ 0 y formamos el cociente

α kj +1 =

k +1 j -ésima componente de Ak+1 x0 λ1 c1a j = = λ1 . j -ésima componente de Ak x0 λ1k c1a j

De este modo calculamos λ1 . Es decir, calculamos el cociente de la j -ésima componente de x k +1 y x k y dejamos que k crezca. Una vez determinado λ1 , se tiene xk como el vector característico correspondiente a λ1 . Ejemplo 1 Use el método de la potencia para encontrar el valor característico y el vector característico dominante de ⎡1 3 ⎤ A=⎢ ⎥. ⎣2 2⎦

Solución ⎡1 ⎤ Sea x0 = ⎢ ⎥ . ⎣0⎦

Calculemos ⎡ 1 3 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤ x1 = Ax 0 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 3⎦

α1(1) = = 1

⎡ 1 3 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡10 ⎤ x 2 = Ax1 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 3⎦ ⎣ 8 ⎦

α1(2) =

1 1

10 = 10 1

α 2(2) =

8 3

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 295

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos ⎡ 1 3 ⎤ ⎡10 ⎤ ⎡34 ⎤ x 3 = Ax 2 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 8 ⎦ ⎣36 ⎦

α1(3) =

34 = 3.4 10

α 2(3) =

36 = 4.5 8

Si continuamos de esta manera obtenemos la tabla 22.1, donde los resultados están redondeados a cuatro cifras decimales. Tabla

22.1

Iteración

x k (como vector renglón)

α 1k

α k2

0

[1, 0]

_

_

1

[1, 3]

1

_

2

[10, 8]

10

2.6667

3

[34, 36]

3.4

4.5

4

[142, 140]

4.17

3.8889

5

[562, 564]

3.9578

4.0286

6

[2254, 2252]

4.0107

3.993

7

[9010, 9012]

3.9973

4.0018

8

[36046, 36044]

4.0007

3.9996

Los valores de α1( k ) y α 2( k ) convergen a 4, que es el valor característico de A que puede obtenerse por desarrollo del polinomio característico. Ahora el vector ⎡36046 ⎤ v1 = ⎢ ⎥ es aproximadamente igual a un vector característico correspondiente ⎣36044 ⎦

a λ = 4 . Para simplificar este vector lo dividimos por la componente de mayor ⎡ 1 ⎤ magnitud y obtenemos v1′ = ⎢ ⎥ , el cual es muy aproximado a ⎣ 0.9999 ⎦ vector característico correspondiente a λ = 4 .

⎡1⎤ ⎢1⎥ que es el ⎣⎦

En este caso el método ha funcionado bien, pero vale la pena decir algo acerca de los casos en los cuales el método falla. Puede suceder que: 1.

Se aplica el método a una matriz no diagonalizable.

2.

A no tiene un valor característico dominante o el valor característico dominante λ1 es apenas un poco mayor que λ2 en términos absolutos, esto es,

λ1 / λ2 es apenas menor que 1 y las potencias de λ1 / λ2 no tienden a cero rápidamente.

296

Módulo 22: Aproximación de valores y vectores característicos 3.

A veces cuando los elementos de A han tenido que calcularse hay errores de redondeo que cuando se calcula Am se convierten en errores considerables.

22.2.2 El método de la potencia con normalización En el ejemplo anterior podemos observar que el tamaño de las componentes del vector x k crecen rápidamente; esto lo podemos evitar normalizando o graduando el vector o sea dividiéndolo por la componente de mayor magnitud cada vez que se hace una iteración. Esta modificación sobre el método anterior se llama método de potencias con normalización. Al aplicar este procedimiento se obtiene un vector característico u cuya mayor componente es 1 y entonces es posible obtener el valor característico dominante resolviendo la ecuación Au = λ1u para λ1. Ejemplo 2 Determinemos el vector y el valor característico dominante para la matriz del ejemplo anterior, aplicando el método de la potencia con normalización. Solución ⎡1 ⎤ Si x 0 = ⎢ ⎥ , entonces ⎣0⎦

⎡1 ⎤ ⎡ 13 ⎤ x 1 = ⎢ ⎥ y x 1′ = ⎢ ⎥ . ⎣3⎦ ⎣1⎦ ⎡ 1 3 ⎤ ⎡ 1 3 ⎤ ⎡10 3 ⎤ x 2 = Ax1′ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, ⎣2 2⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 4 3 ⎦

3 ⎡10 3 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ x 2′ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 10 ⎣ 4 3 ⎦ ⎣ 4 10 ⎦ ⎣ 0.4 ⎦

La tabla 22.2 muestra más iteraciones. El vector característico se puede tomar como x k = [1, 0.9998] , el cual es una buena aproximación del vector [1 1], y el valor característico λ1 se obtiene de: ⎡0.9991⎤ ⎡ 3.9991⎤ ⎡ 0.9991⎤ Au = A ⎢ =⎢ = λ1 ⎢ ⎥ ⎥ ⎥, ⎣ 1 ⎦ ⎣3.9982 ⎦ ⎣ 1 ⎦

de donde α18 = 4.0027 y α 28 = 3.9982 son las aproximaciones para λ1 = 4. Al resolver problemas mediante métodos iterativos, siempre nos hacemos la pregunta: ¿cuándo hay que parar? Una buena forma de resolver esta duda es parar cuando el error relativo es suficientemente pequeño.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 297

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores y vectores característicos Tabla

22.2

Iteración

xk

x ′k (normalizado)

0

[1, 0]

[1, 0]

1

[1, 3]

[0.3333, 1]

2

[3.3333, 1.3333]

[1, 0.4]

3

[2.2, 2.8]

[0.7857, 1]

4

[3.7857, 3.5714]

[1, 0.9434]

5

[3.8302, 3.8868]

[0.9854, 1]

6

[3.9854, 3.9709]

[1, 0.9964]

7

[3.9892, 3.9928]

[0.9991, 1]

8

[3.9991, 3.9982]

[1, 0.9998]

Si x es la solución exacta y x ′ la aproximación, el error relativo, Er , está dado por:

Er =

x '− x . x

Ahora bien, no conocemos la solución exacta, pero si el método converge a ella, el valor calculado en la n-ésima iteración está más cerca al valor exacto que el calculado en la iteración n−1. Podemos hacer una estimación del error relativo así:

Er =

x ( n ) − x ( n −1) . x(n)

En el ejemplo dado, el valor de λ calculado al hacer la séptima iteración era 3.9892 y al hacer la octava sería 3.9991 = 4.0027, 0.9991

Er =

4.0027 − 3.9892 = 0.0033. 4.0027

Esto es, Er = 0.33% .

298

Módulo 22 En los ejercicios 1 a 3 dibuje las circunferencias de Gershgorin para la matriz dada A y encuentre una cota para λ si λ es un valor característico de A.

1.

4.

⎡ 3 1 0⎤ A = ⎢⎢ 1 2 4 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 2 0 5 ⎥⎦

⎡2 ⎢1 2 Sea A = ⎢ −1 ⎢ 3 ⎢1 ⎣ 4

1

2

2.

−1

3

4

1

1

3 1

2

1

2

⎡2 ⎢1 A = ⎢ ⎢0 ⎢ −1 ⎣ 2

−1

2

1

3

5

1

1

4 1

1

3 4

4

0⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 3⎦

3.

⎡ 2 3 −1 0 ⎤ ⎢ 1 5 0 −2 ⎥ ⎥ A = ⎢ ⎢ 3 −1 6 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 2 0 4 ⎦

4⎤ 1 ⎥⎥ . Demuestre que los valores propios de A son números reales positivos. 1⎥ ⎥ 5⎦

1

5.

⎡ −3 1 2 1 4 1 ⎤ ⎢ 1 −5 1 2 ⎥⎥ 2 . Demuestre que los valores propios de A son números reales negativos. Sea A = ⎢ 1 ⎢ 4 1 −4 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 1 2 1 −6 ⎦

6.

Se dice que la matriz A de n × n tiene diagonal estrictamente dominante si aii > γ i para i = 1, 2, ..., n, donde

γi =

n

∑a j =1

ij

. Demuestre que si An× n es una matriz con diagonal estrictamente dominante, entonces A es invertible.

j ≠i

En los problemas 7 a 9 calcule el valor característico dominante y el vector característico correspondiente mediante el método de potencias con normalización.

7.

⎡ −2 − 2 ⎤ ⎢ −5 1 ⎥ ⎣ ⎦

8.

⎡ 1 −1 4 ⎤ ⎢ 3 2 −1⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 1 −1⎥⎦

9.

⎡3 2 4⎤ ⎢2 0 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 4 2 3 ⎥⎦

Capítulo 5: Diagonalización ortogonal. Formas cuadráticas y aproximación de valores Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 299 y vectores característicos

⎡1 7 ⎤ Use el método de la potencia para estimar el valor característico dominante de A = ⎢ ⎥. ⎣6 3⎦ a. Redondee a cinco cifras significativas y continúe las iteraciones hasta que el error relativo estimado

10.

b.

Er ( n) < 0.001. Calcule el valor característico dominante en forma exacta. ¿Cuál es el valor exacto de Er?

⎡ −3 5 ⎤ Demuestre que las iteraciones del método de potencias no convergen para la matriz A = ⎢ ⎥ . Explique por qué. ⎣ −2 3 ⎦

11.

Ejercicios del módulo 22

300

Apéndice I Una aplicación interesante de los espacios vectoriales 1.1 TTeoría eoría de la codificación En la sociedad moderna, la comunicación digital mediante las computadoras o vía satélite ha penetrado los más variados ámbitos de la actividad humana. La comunicación digital se refiere a transmisión de la información por medio de ceros y unos. Estas cadenas se llaman mensajes binarios y están codificados de modo que se pueda recibir la información tal como fue enviada. Estos mensajes que se reciben de un satélite están sujetos a errores que pueden ser producidos por la estática o cualquier otro tipo de interferencia. Por consiguiente, es importante poder codificar un mensaje de manera que después de haberse sometido a interferencia pueda decodificarse correctamente. Se han desarrollado muchas formas de codificar los mensajes. Una de ellas consiste en aumentar un dígito extra, 0 o 1, dependiendo de que el número de unos del mensaje sea par o impar; esta técnica se llama control de paridad. Con este procedimiento se puede detectar cuándo hay un error en el mensaje, pero no se puede saber dónde, y además tampoco puede saberse si han ocurrido 1, 3 o 5 errores. Además, cuando el número de errores es par, éstos no se detectan. Los códigos de corrección de errores generalizan el control de paridad de modo que se puedan ubicar los errores y así poder corregirlos. Richard Hamming introdujo estas teorías a principios de 1950 cuando trabajaba en Laboratorios Bell. Describiremos un código de Hamming que corrige errores únicos en mensajes formados por cuatro ceros y unos. Pero antes de desarrollar este ejemplo, introduciremos algunos conceptos. Una palabra es una n-tupla de ceros y unos, a la que también se le llama cadena de longitud n. Definimos un espacio vectorial denotado por Z 2n , compuesto por todas las palabras de longitud n. La suma y la multiplicación por un escalar se definen en la misma n forma que se hace en \ , sólo que acá los escalares se definen en Z 2 = {0, 1} que

son los enteros módulo 2. Las operaciones de suma y multiplicación en Z 2 están dadas por las siguientes tablas: + 0 1 0 0 1 1 1 0

× 0 1 0 0 0 1 0 1

Richard Hamming Aplicando conceptos elementales de los espacios vectoriales, Richard Hamming creó un ingenioso método para codificar y decodificar mensajes detectando la ocurrencia de un posible error en su transmisión.

Con estas dos operaciones, y tomando los escalares en Z 2 , el conjunto Z 2n satisface todos los axiomas de un espacio vectorial. En conclusión, Z 2n es un espacio vectorial sobre Z 2 . La base canónica de \ n : e1 = (1, 0, 0... 0), e 2 = (0, 1, 0... 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1)

también es una base para Z 2n y, por tanto, Z 2n tiene dimensión n. Todos los conceptos, como subespacios, base, dependencia lineal, conjunto generado v, espacio renglón, espacio columna, núcleo, rango y nulidad, se aplican a Cleve Moler Con 66 años y múltiples reconocimientos en el mundo de las ciencias y las matemáticas, Cleve Moler es el presidente y cofundador de MathWorks, compañía fundada en 1984 y dedicada a desarrollar y suministrar software para el trabajo científico y de ingeniería. Antes de unirse tiempo completo a la compañía en 1989, Moler se dedicó a enseñar matemáticas y ciencias de la computación en universidades de Michigan, Stanford y Nuevo México durante casi 20 años y permaneció cinco años en dos compañías de hardware (la organización Intel Hypercube y Ardent Computer). Además de ser el autor de la primera versión de MATLAB, Moler es uno de los autores de las bibliotecas científicas de los programas LINPACK y EISPACK y es coautor de tres libros de texto de métodos numéricos. Su último libro, El cómputo numérico con MATLAB , es un texto de introducción a métodos numéricos, MATLAB y técnicas de computación.

espacios vectoriales sobre Z 2 y a matrices cuyos elementos son de Z 2 . Una base de Z 2n tiene n vectores, B = { v1 , v2 ... vn } . Un vector v de Z 2n es una combinación lineal c1v1 + c2 v2 + ... + cn vn con ci = 0 ó 1, de modo que se pueden producir 2 n combinaciones distintas, esto es, el espacio vectorial Z 2n tiene 2 n elementos. ¿Cómo codificar un mensaje de modo que si ocurre un solo error en la transmisión éste pueda ser detectado y corregido en la recepción final? Veamos una forma de hacerlo: Se toman todas las palabras de longitud 4 y se añaden tres controles de paridad. De esta forma se producen palabras de longitud 7, es decir, nos situamos en Z 27 . Definimos sobre Z 27 un código de corrección de un solo error de Hamming, denotado c7,4 , así: Sea H la matriz sobre Z 2 dada por:

⎡0 0 0 1 1 1 1⎤ H = ⎢⎢0 1 1 0 0 1 1⎥⎥ ⎢⎣ 1 0 1 0 1 0 1⎥⎦ Las columnas de H son la representación binaria de los números del 1 al 8, los cuales son los vectores de Z 23 distintos de cero. Las columnas 1, 2 y 4 de H son linealmente independientes, luego ρ (H ) = 3, y como ρ ( H ) + ν ( h ) = 7, ν( h) = 4.

302

El espacio nulo de H se llama código (7, 4) de Hamming. Una base B para el espacio nulo de H es:

{u1 = (1, 0, 0, 0, 0, 1, 1),

u 2 = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1), u3 = (0, 0, 1, 0, 1, 1, 0), u 4 = (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1)} .

nu H es un subespacio de dimensión 4 de Z 27 que tiene 24 = 16 vectores. Como H(ei) = hi (columna i de H, i = 1, 2, ..., 7), entonces los vectores de la base estándar Z 27 no pertenecen al núcleo de H. Sea v ∈ nu H ; entonces ( v + ei ) ∉ nu H para i = 1,..., 7. Si Hv = h j , entonces ( v + e j ) ∈ nu H , además

( v + ei ) ∉ nu H , para i ≠ j . Es decir, si se cambia alguna coordenada a un vector de nu H, el vector resultante no pertenece a nu H. Ahora, si Hv es la j-ésima columna de H, al cambiar la j-ésima componente de v el vector resultante estará en nu H.

1.2 Codificación y decodificación Veamos cómo codificar un mensaje y decodificar su recepción distorsionada. Suponga que la palabra por codificar corresponde a la cadena binaria 0101 y que hubo una alteración de un dígito. Para codificar 0101, se expresa la combinación lineal v en la base del código de Hamming (7, 4), así: v = 0 u1 + 1u 2 + 0 u3 + 1u 4 = u 2 + u 4 = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1) + (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0).

La palabra codificada v está en nu H. Suponga que el mensaje recibido es 1101010. Sea v ′ = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 0). Para decodificar, calculamos Hv′ :

⎡1 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡0 0 0 1 1 1 1⎤ ⎢0 ⎥ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ Hv ′ = ⎢⎢0 1 1 0 0 1 1⎥⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ . ⎣⎢ 1 0 1 0 1 0 1⎦⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎣⎢1 ⎦⎥ ⎢1 ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦ Como Hv′ es la primera columna de H, entonces ( v′ + e1 ) ∈ nu H y ningún v′ + ei , i ≠ 1, está en nu H. Por tanto, ( v′ + e1 ) = v es el mensaje corregido que coincide con el originalmente codificado, y así se recupera el mensaje correcto 0101. Ejemplo Suponga que v = 0111011 es un mensaje codificado con C7,4 . Si a lo sumo hay un error en la transmisión, ¿cuál fue el mensaje original?

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 303

Solución Calculemos Hv

⎡0⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡0 0 0 1 1 1 1⎤ ⎢1 ⎥ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ Hv = ⎢⎢0 1 1 0 0 1 1⎥⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ . ⎣⎢ 1 0 1 0 1 0 1⎦⎥ ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎣⎢0 ⎦⎥ ⎢1 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦

Hv es la cuarta columna de H, entonces v + e4 será el mensaje corregido y v + e4 se obtiene cambiando la cuarta componente de v. El vector corregido es entonces 0110011 y el mensaje correcto es 0110.

Ejercicios 1.

Haga una lista de los 16 vectores de C7, 4.

2.

Sea v = (1, 1, 0, 0, 1, 1, 1) un mensaje codificado en C7, 4, donde a lo sumo se ha cometido un error. Determine si v está en C7, 4. Si lo está, decodifíquelo; si no, corríjalo y decodifique el mensaje correcto.

3.

304

⎡1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Sean u = ⎢1⎥ , v = ⎢1⎥ , w = ⎢⎢1⎥⎥ . Efectúe las operaciones indicadas Z 23 . ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦ a.

u + v.

b.

u − w.

c.

u + v − w.

d.

⎡1 0 1⎤ Sea A = [u, v, w ] = ⎢⎢1 1 1⎥⎥ . Calcule A2 y A3 sobre ] 2 . ⎢⎣0 0 1⎥⎦

e.

¿Es {u, v} LI sobre ] 2 ? ¿Y cómo son {u, w} y {u, v, w} ?

f.

Determine una base y los vectores del espacio nulo de A sobre ]2. ( A = [u, v, w ]).

Respuestas

Respuestas de los ejercicios impares Capítulo 1 Módulo 1 7.

Sí.

9.

Sí.

11.

No, no se cumple el axioma i.

13.

No, no se cumple el axioma vi.

15.

No, no se cumple el axioma vii.

Módulo 2 1.

Sí.

3.

Sí.

5.

No.

7.

Sí.

9.

No.

11.

Sí.

13.

⎧⎪ W1 ∩ W2 = ⎨ A∈ M 23 : A = ⎪⎩

⎫⎪ ⎡0 b c⎤ ⎢ d e 0 ⎥ con b = c ⎬ . ⎪⎭ ⎣ ⎦

Respuestas de los ejercicios impares

Módulo 3 1.

a. Sí, –3, 0.

b. No.

c. Sí, 0, 0.

3.

a. No.

b. Sí, 3, –2.

c. Sí, 2, –5.

5.

⎧⎪ ⎡1⎤ ⎫⎪ gen ⎨ ⎢ ⎥ ⎬ = {( x, y ) } ∈ \ 2 : x = y . Bisectriz del 1.º y 3.er cuadrantes. ⎩⎪ ⎣1⎦ ⎭⎪

7.

⎧⎛ x ⎞ ⎫ ⎪ ⎪ El plano xz en \ 3 = ⎨⎜⎜ y ⎟⎟ ∈ \ 3 y = 0 ⎬ . ⎪⎜ z ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

9.

P1 : conjunto de polinomios de grado menor o igual que 1.

11.

Sí.

13.

Sí.

}

Módulo 4 5.

LI.

7.

LI.

9.

LD, P3 = –2p1 + 3p2.

11.

LI.

19.

⎛ 13 ⎞ ⎜ ⎟ x3 = ⎜ −6 ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠

25.

α = 1.

27.

{(1, 2, 4), (−1, 0, 2), (1, 0, 0)} .

Módulo 5 5.

Sí.

7.

Sí.

Álgebra Lineal

9.

Sí.

11.

Sí.

13.

⎧ ⎡1 0 0 ⎤ ⎪⎢ ⎥ ⎨⎢0 0 0⎥ , ⎪⎢0 0 0⎥ ⎦ ⎩⎣

15.

⎧⎛ 0 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎪⎜ −1⎟ ⎩⎝ ⎠

17.

{− 1 + x ,

19.

{(1, 0, 1, 0),

21.

El conjunto de todos los vectores de la forma (a, a − b, 2a + b, − a + 3b), con a y b ∈\.

23.

⎪⎧⎛1⎞ ⎪⎫ ⎨⎜ ⎟ ⎬ . ⎩⎪⎝1⎠ ⎭⎪

25.

⎧⎛ 3 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎪⎜ 0 ⎟ ⎩⎝ ⎠

⎫ ⎡0 1 0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢1 0 0⎥ , ⎢0 1 0⎥ , etc⎪ , 6 ⎬ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎭

⎛ 1 ⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 0 ⎟⎬ . ⎜ 2 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭ 1 + x 2 }.

(0, 1, − 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)} .

⎛ −2 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 0 ⎟⎬ . ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

Módulo 6

1.

⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎫ {(1, 5, 3, 0, 1), (0, 0, 1, 7, 3), (0, 0, 0, 0, 1)} ; ⎪⎨⎜⎜ 0 ⎟⎟ , ⎜⎜ 1 ⎟⎟ , ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ⎪⎬ ; ρ = 3. ⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭

3.

Todos los renglones, todas las columnas, ρ = 4 .

5.

⎧⎛ − 2 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎨⎜ 1 ⎟ ⎬ , {(1, 2, 0), (0, 0, 1)} , ⎪⎜ 0 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎨⎜ 2 ⎟ , ⎪⎜ −3 ⎟ ⎩⎝ ⎠

⎛ −3 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 5 ⎟ ⎬ , ρ = 2, v = 1 . ⎜ 0 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

Respuestas de los ejercicios impares

7.

⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎨ 0 , ⎪⎜ 0 ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎩⎜⎝ 0 ⎟⎠

9.

⎧⎛ −1 ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎨⎜ −3 ⎟ ⎬ , {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, − 1), (0, 0, 2, 3)} ; ⎪⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎪⎝ 1 ⎠ ⎪ ⎩ ⎭

11.

⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ 0⎟ ⎨⎜ ⎟ , ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪⎝ 0⎠ ⎩

13.

No.

15.

Sí.

21.

a. n, m ≥ n.

⎛0⎞ ⎜3 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 1 ⎟, ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎛ 0 ⎞⎫ ⎜ −5 ⎟ ⎪ ⎜ 8 ⎟ ⎪⎪ ⎜ 0 ⎟ ⎬ , {(0, 2, − 3, 1, 2), (0, 0, 0, 4, 3)} ; ⎜ −3 ⎟ ⎪ ⎜ 4 ⎟⎪ ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

⎧⎛ 2 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎨⎜ −2 ⎟ , ⎪⎜ 4 ⎟ ⎩⎝ ⎠

⎧⎛ −1⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎨⎜ ⎟ , ⎪⎜ 4 ⎟ ⎪⎝ 3 ⎠ ⎩

⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟, ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1⎠

⎛ 1 ⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 3 ⎟ ⎬ , ρ = 2, v = 3. ⎜ 6 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

⎛ 0 ⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 2 ⎟ ⎪⎬ , ρ = 3, v =1. ⎜ −2 ⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ 0 ⎠⎭

⎛ 0⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 1 ⎟⎪⎬. ⎜ 0⎟⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ 1 ⎠⎭

b. m, m ≤ n.

c. m = n.

⎡ 52 ⎤ ⎢ 11 ⎥ ⎢ 2⎥ . −1 ⎣⎢ 2 ⎦⎥

⎡2⎤ ⎢2⎥ ⎢ ⎥. ⎢⎣ −1⎥⎦

Módulo 7

1.

⎡ 3⎤ ⎢1 ⎥ . ⎣ ⎦

11.

⎛0⎞ ⎜ ⎟. ⎝ 3⎠

13.

−1 + 9 x 2 + 7 x 3 .

15.

a.

3.

( v ) B2

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟, ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠

(w ) B2

Álgebra Lineal

5.

⎛2⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟. ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠

7.

⎡2⎤ ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣3⎦

9.

⎡ 3 7 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ −2 7 ⎤ ⎢ −2 ⎥ , ⎢ ⎥ , ⎢ 3 ⎥ . ⎣ 7⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 7 ⎦

⎡2 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0

b.

0⎤ 3 ⎥ 5⎥ . 2 ⎥ 5⎦

1 −2 2

5

5

c.

⎛8⎞ ⎜ ⎟ ( v ) B1 = ⎜ −2 ⎟ , ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠

d.

Lo mismo que en c.

e.

⎡ 13 ⎢1 ⎢ 3 ⎢⎣ −1 3

1

3

−2 2

⎛7⎞ ⎜ ⎟ (w ) B1 = ⎜ −1⎟ . ⎜0⎟ ⎝ ⎠

⎤ 1 ⎥⎥ . 3 ⎥ 2⎦

−1

3

3

2

f.

Lo mismo que en a.

17.

⎧⎛ 3⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎨⎜ 2⎟ , ⎪⎜ 0⎟ ⎩⎝ ⎠

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟, ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠

19.

JG ⎛ cos θ ⎞ ir = ⎜ ⎟, ⎝ sen θ ⎠

21.

Linealmente dependiente (LD).

23.

Linealmente dependiente (LD).

⎛ 3⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜1⎟⎬. ⎜ 3⎟⎪ ⎝ ⎠⎭ JJG ⎛ −sen θ ⎞ jr = ⎜ ⎟. ⎝ cos θ ⎠

Capítulo 2 Módulo 8

1.

a.

3.

{(

5.

2 3

7.

{(0, 0, 1), (− 1 2

,−

( 13 ,

1 14

1 2

1 3

,

1 2

, 0), (

, 0), ( 13 ,

1 3

,

,

1 3

)+

1 2

4 6

(−

1 6

1 2

,

1 2

}

, 0) .

{(0,

b.

1 2

,−

1 2

), (

2 6

,−

1 6

,−

1 6

), ( 13 ,

1 3

,

1 3

}

) .

}

1 3

) .

,

2 6

,−

1 6

)−

2 2

(−

1 2

, 0,

1 2

).

.

Respuestas de los ejercicios impares

9.

{(

11.

a.

1 5

, 0,

2 5

), (0, 1, 0), (−

2 5

, 0,

1 5

}

) .

⎛ −186 ⎞ 1 ⎜ ⎟ 75 ⎟ . 49 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 118 ⎠

⎛ 3⎞ 1⎜ ⎟ b. −2 . 7 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 6⎠

⎛ −186 ⎞ ⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ 13 ⎜ ⎟ c. v = 75 ⎟ + −2 . 49 ⎜⎜ 49 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎝ 118 ⎠ ⎝6⎠

Módulo 9 1.

y = 0.4 x + 0.6 .

3.

y=

5.

y ≈ 2.61 + 2.08 x + 0.31x 2 .

7.

⎛ 43 ⎞ i. ⎜ ⎟ . ⎝ −1 3 ⎠

9.

y = 3.4627 − 3.1314 x + 0.5718 x 2 .

2 4 x− . 5 5

ii. 2 5.

Módulo 10 3.

5.

T2. ⎧ ⎡1 ⎪⎢ ⎪⎢0 ⎪ ⎨⎢0 ⎪⎢ # ⎪⎢ ⎪⎩ ⎢⎣ 0

0 0 " 0⎤ ⎡0 0 0 " 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 0 0 " 0⎥ , ⎢0 ⎥ ⎢ # # # ⎥ ⎢# 0 0 " 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 0 " 0⎤ ⎡0 1 0 " 0 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 0 0 " 0⎥ , ⎢0 ⎥ ⎢ # # # ⎥ ⎢# 0 0 " 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

7.

⎧⎛ 1 , ⎨⎜ ⎩⎝ 2

i ⎞ ⎛ i 1 ⎞⎫ , ⎟, ⎜ ⎟⎬ . 2⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭

9.

⎪⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ ⎪⎫ ⎨⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎬. ⎪⎩ ⎣0 0 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦ ⎣1 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎪⎭

Álgebra Lineal

0 0 " 0⎤ 0 0 " 0 ⎥⎥ 0 1 " 0 ⎥ ,... ⎥ # # #⎥ 0 0 " 0 ⎥⎦

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢# ⎢⎣ 0

0 0 " 0⎤ ⎫ ⎪ 0 0 " 0 ⎥⎥ ⎪ ⎪ 0 0 " 0⎥ ⎬ . ⎥⎪ # # #⎥ ⎪ 0 0 " 1 ⎥⎦ ⎪⎭

Capítulo 3 Módulo 11 1.

Sí.

3.

Sí.

5.

Sí.

7.

No.

9.

Sí.

11.

No.

13.

Sí.

15.

No.

17.

Sí.

19.

No.

21.

T ( x y ) = (− x, y ).

25.

(T1 + T2 )(x) = ( A + B )x,

27.

(T1 o T2 )( x, y ) = ( x + 4 y, 3 x − y ).

(T1 o T2 )(x) = ABx.

(T2 o T1 )( x, y, z ) = (2 x − y + 3 z , − 3 x − y − 7 z , − y − z ).

Módulo 12

1.

nu T = {0} , imagen T = \ 2 ; ρ(t ) = 2; vt = 0.

3.

nu T = {0} , imagen T = \3 ; ρ( t ) = 3; vt = 0.

5.

nu T = {0} , imagen T = gen { x, x 2 , x 3 } ; ρ(t ) = 3; vt = 0.

7.

nu T = { f ∈C[0, 1] : f (1) = 0} , imagen T = \; ρ( t ) = 1; el núcleo es un espacio de dimensión infinita, luego vT = ∞.

Respuestas de los ejercicios impares

9.

nu T = imagen T = {( x, y) : x = y} .

11.

El núcleo de T es el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax = 0.

13.

⎡ 2 −1 1⎤ T (x) = A(x) con A = ⎢⎢ 2 −1 1⎥⎥ . ⎢⎣ 2 −1 1⎥⎦

Módulo 13

−2 ⎤ . 0 ⎥⎦

1.

⎡1 a. ⎢ ⎣1

−2 ⎤ . 2 ⎥⎦

⎡1 a. ⎢ ⎣0

1

3.

5.

⎡0 ⎢0 a. ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ . 0⎥ ⎥ 1⎦

7.

⎡10 ⎤ a. ⎢⎢ 5 ⎥⎥ . ⎣⎢ 5 ⎦⎥

⎡4⎤ b. ⎢⎢ 2 ⎥⎥ . ⎢⎣ 2 ⎥⎦

9.

⎡ 2 ⎤ ⎡ − 3⎤ a. ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ . ⎣ −1⎦ ⎣ 4 ⎦

⎡1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ b. ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥. ⎣ 5 ⎦ ⎣ − 10 ⎦

11.

⎪⎧⎛ 0 ⎞⎪⎫ En 1. nu T = ⎨⎜ ⎟⎬ ; imagen T = \2 . ⎪⎩⎝ 0 ⎠⎪⎭

1

0⎤ . − 1⎥⎦

⎡1 b. ⎢ ⎣2

⎡ −1 b. ⎢ ⎣1

⎡0 ⎢0 b. ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1

⎡3 c. ⎢ ⎣−1 −1 2

3

3

⎡3 d. ⎢ ⎣2

⎡3⎤ c. ⎢ ⎥ . ⎣ − 1⎦

1⎤ − 1⎥⎥ . 1⎥ ⎥ 1⎦

⎧⎛ −1⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎟ ⎪ 2 En 3. nu T = gen ⎨⎜ 1 ⎟ ⎬ ; imagen T = \ . ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩⎝ ⎠ ⎭

Álgebra Lineal

0⎤ . 0 ⎥⎦

−2⎤ . 2 ⎥⎦

⎡ −2 ⎤ c. ⎢ ⎥ . ⎣ 25 ⎦

−2 ⎤ . 0 ⎥⎦

e. (4, 0).

2 3 En 5. nu T = {0} ; imagen T = gen { x , x } .

⎧⎛ 2 ⎞ ⎫ ⎧⎛ 1 ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎜ ⎟ nu T = gen − 1 ; imagen T = gen ⎨⎜ ⎟ ⎬ ⎨⎜ 1 ⎟ , En 7. ⎪⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎪⎜ 0 ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎩⎝ ⎠

⎛ 3 ⎞⎫ ⎜ ⎟⎪ ⎜ 2 ⎟⎬. ⎜ 1 ⎟⎪ ⎝ ⎠⎭

Módulo 14

1.

Solución posible:

T : \ 2 → \ 3 , T ( x, y ) = ( x − y , 2 x + y, y ). T : \ 3 → \ 2 , T ( x, y, z ) = ( x + y − z , y + z ). T : \ 2 → \ 2 , T ( x, y ) = (2 x + y, x − y ).

3.

⎡ a11 ⎢0 T : Dn → \ n , T ⎢ ⎢ # ⎢ ⎣0

5.

a. Sí.

7.

No.

11.

T −1 ( A) = B −1 A.

b. No.

0 ⎤ ⎡ a11 ⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ a22 ⎥⎥ = . % # ⎥ ⎢ # ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ " " ann ⎦ ⎣ ann ⎦ 0

"

a22 "

c. No.

d. Sí.

Módulo 15

3.

1 ⎞ ⎛ 1 , ⎜ ⎟. 2⎠ ⎝ 2

5.

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ T : \ 2 → \ 2 tal que T ⎜ ⎟ = α ⎜ ⎟ , α ≠ 1. ⎝ y⎠ ⎝ y⎠

Respuestas de los ejercicios impares

Capítulo 4 Módulo 16 1.

a. No.

3.

λ = 1,

5.

b. Sí, λ = 4 .

c. Sí, λ = 0 .

d. Sí, λ = 4 .

e. Sí, λ = 0 .

f. No.

⎛0⎞ v = ⎜ ⎟. ⎝1⎠

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ1 = 1 con v1 = ⎜ 0 ⎟ , λ 2 = −1 con v 2 = ⎜ −2 ⎟ , λ 3 = 2 con v 3 = ⎜ 1 ⎟ . ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7.

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 1 0 0 λ1 = 1 con v1 = ⎜ ⎟ , λ 2 = −1 con v 2 = ⎜ ⎟ , λ 3 = 3 con v 3 = ⎜ ⎟ , λ 4 = 2 con v 4 = ⎜ ⎟ . ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1⎠

9.

⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 0 λ = a mult. alg 4, v1 = ⎜ ⎟ , v 2 = ⎜ ⎟ , v3 = ⎜ ⎟ , v 4 = ⎜ ⎟ . ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠

11.

⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 λ = a mult. alg 4, v1 = ⎜ ⎟ , v 2 = ⎜ ⎟ . ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠

13.

P (λ ) = (λ − λ1 )(λ − λ 2 )...(λ − λ n ) , valores característicos: λ1 , λ 2 ,..., λ n .

15.

No. Para que λ1 + λ 2 sea un valor característico de A + B , es necesario que el vector característico de A correspondiente a λ1 sea el mismo que el de B correspondiente a λ 2 lo que, en general, no se cumple.

Módulo 17

1.

⎛ i 0 0⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜ 0 −i 0 ⎟ , ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ −i i 0 ⎞ ⎜ ⎟ P = ⎜ 1 1 0⎟, ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠

Álgebra Lineal

⎛ −i 2 ⎜ P −1 = ⎜ i 2 ⎜0 ⎝

1 1

2 2

0

0⎞ ⎟ 0 ⎟. 1 ⎟⎠

3.

⎛3 ⎜ 0 D=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

0 0 0⎞ ⎟ 3 0 0⎟ , 0 2 0⎟ ⎟ 0 0 1⎠

5.

⎛i 0 ⎞ D=⎜ ⎟, ⎝ 0 −i ⎠

7.

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 A = PDP −1 = ⎜ ⎟⎜ ⎝0 1 ⎠⎝0

⎛1 ⎜ 2 P=⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0

⎛1 1 ⎞ P=⎜ ⎟, ⎝ 1 −1⎠

p −1 =

0⎞ ⎟ 2 ⎟ . 0⎟ ⎟ −1 2⎠ 1

1 ⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎟. 2 ⎝ 1 −1 ⎠

0 ⎞⎛1 2⎞ ⎟⎜ ⎟. 1⎠ 2⎠⎝0

1

⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 A12 = PD12 P −1 = ⎜ ⎟⎜ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝⎜ 0 9.

⎛ −1 1 0 ⎜ 0 0 12 P −1 = ⎜ ⎜ 2 −1 0 ⎜ ⎝ 0 0 12

0⎞ ⎟ 0 1 0⎟ , 1 0 1⎟ ⎟ 1 0 −1 ⎠ 0 1

0 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 2 − 1 211 ⎞ ⎟. ⎟=⎜ 12 ⎟ ⎜ ( 1 2 ) ⎠⎟ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 212 ⎠

D1 D2 no es necesariamente una diagonalización de AB, AB = P −1 D1 PQ −1 D2 Q. Esto se daría en el caso en que P = Q y

así AB = P −1 D1 PP −1 D2 P y entonces AB = PD1 D2 P −1 . ⎛ 1 1⎞ ⎛0 0⎞ Si A y B son matrices diagonalizables, A + B no necesariamente es diagonalizable; por ejemplo: ⎜ −1 0 ⎟ y ⎜ 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1⎞ son diagonalizables, pero su suma ⎜ 0 1⎟ no es diagonalizable. ⎝ ⎠

Módulo 18 1.

a.

Pn = 20(2n ) + 30 cualquiera sea n ∈ ` .

b.

El número de peces después de cinco años es P5 = 20(25 ) + 30 = 640 + 30 = 670.

c.

n ≈ 7.11 años.

a.

⎛ 2 z − y0 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ y0 + z0 ⎞ Dentro: ⎜ 0 ⎟ ⎜ 10 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ . 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k

3.

⎛ y − 2 z0 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ y0 + z0 ⎞ Fuera: ⎜ 0 ⎟ ⎜ 10 ⎟ + 2 ⎜ 3 ⎟ . 3 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k

1 ⎡8 1⎤ . 10 ⎢⎣ 2 9 ⎥⎦

b.

Sí. Matriz de transición:

c.

Probabilidad de vivir dentro:

(2 z0 − y0 ) ⎛ 7 ⎞ 1 ⎜ ⎟ + . 3( y0 + z0 ) ⎝ 10 ⎠ 3 k

( y0 − 2 z0 ) ⎛ 7 ⎞ 2 ⎜ ⎟ + . 3( y0 + z0 ) ⎝ 10 ⎠ 3 k

Probabilidad de vivir fuera:

Respuestas de los ejercicios impares

5.

d.

1 2 Dentro: ( y0 + z0 ); fuera: ( y0 + z0 ). 3 3

a.

⎡ 0 ⎤ ⎢ ⎥ A largo plazo la distribución de alumnos es ⎢ 0 ⎥ , el cual es un vector propio correspondiente a λ = 1 . El ⎢⎣ x0 + y0 ⎥⎦ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ vector de probabilidad correpondiente será ⎜ 0 ⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠

b.

7.

a. b. c.

9.

⎡7 2 0 ⎤ 1 ⎢ Sí. Matriz de transición: 2 6 0 ⎥⎥ . 12 ⎢ ⎢⎣ 3 4 12 ⎥⎦ ⎡⎛ 5 + 5 ⎞ n ⎛ 5 − 5 ⎞ n ⎤ Pn = 1000 5 ⎢⎜⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥ ; n ∈ `. ⎢⎝ 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ No ⎡⎛ 5 + 5 ⎞ 6 ⎛ 5 − 5 ⎞ 6 ⎤ P6 = 1000 5 ⎢⎜⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎥. ⎢⎝ 10 ⎟⎠ ⎜⎝ 10 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦

El brazo trabaja exitosamente 97.97% de las veces, muy cerca al 98% exigido por el cliente, así que es muy probable que se acepte.

Módulo 19 1.

No.

3.

Sí.

5.

No.

7.

Sí.

9.

No.

11.

⎡ 1 0⎤ P=⎢ ⎥. ⎣ −1 1 7 ⎦

13.

⎡1 1 0⎤ P = ⎢⎢ 0 −1 −2⎥⎥ , ⎣⎢ −1 0 3 ⎥⎦

⎡0 1 0 ⎤ J = ⎢⎢0 0 1 ⎥⎥ . ⎣⎢0 0 0⎥⎦

Álgebra Lineal

15.

⎡ λ1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎡ λ1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0

0

λ2 0

0 λ3

0

0

1

0

λ1 0

1 λ1

0

0

⎡λ1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ , 0⎥ ⎥ λ4 ⎦

1 λ1

0

0

λ2

0

0

⎡ λ1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎣0

0⎤ 0 ⎥⎥ , 0⎥ ⎥ λ3 ⎦

0

1

0

λ1 0

1 λ1

0

0

0⎤ 0 ⎥⎥ , 0⎥ ⎥ λ2 ⎦

⎡ λ1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

1

0

λ1 0

0 λ2

0

0

0⎤ 0 ⎥⎥ , 1⎥ ⎥ λ2 ⎦

0⎤ 0 ⎥⎥ 1⎥. ⎥ λ1 ⎦

Los λ i no necesariamente son distintos. Además los bloques de Jordan pueden permutarse sobre la diagonal.

17.

19.

⎡ −3 0 ⎢ 0 −3 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 0

0 0 0⎤ 0 0 0 ⎥⎥ 4 0 0⎥ , ⎥ 0 4 0⎥ 0 0 4 ⎥⎦

⎡ −3 1 ⎢ 0 −3 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 0

0 0 0⎤ 0 0 0 ⎥⎥ 4 0 0⎥ , ⎥ 0 4 0⎥ 0 0 4 ⎥⎦

⎡ −3 0 ⎢ 0 −3 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 0

0 0 0⎤ 0 0 0 ⎥⎥ 4 1 0⎥ , ⎥ 0 4 0⎥ 0 0 4 ⎥⎦

⎡ −3 0 ⎢ 0 −3 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 0

0 0 0⎤ 0 0 0 ⎥⎥ 4 1 0⎥ , ⎥ 0 4 1⎥ 0 0 4 ⎥⎦

⎡ −3 1 ⎢ 0 −3 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 0

0 0 0⎤ 0 0 0⎥⎥ 4 1 0⎥ , ⎥ 0 4 0⎥ 0 0 4⎥⎦

⎡ −3 1 ⎢ 0 −3 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢ ⎢ 0 0 ⎢⎣ 0 0

0 0 0⎤ 0 0 0 ⎥⎥ 4 1 0⎥ . ⎥ 0 4 1⎥ 0 0 4 ⎥⎦

⎡7 0 0 ⎤ ⎢0 7 0⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 7 ⎥⎦

⎡7 1 0⎤ ⎢0 7 0⎥ , ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 7 ⎥⎦

⎡7 1 0⎤ ⎢0 7 1⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 7 ⎥⎦

Capítulo 5 Módulo 20

1.

3.

⎡1 ⎡0 0⎤ ⎢ 0 4 ⎥ ; P = ⎢ −1 ⎣ ⎦ ⎣

1 2 2

⎤ ⎥. 2⎦ 2

1

0 0 ⎤ ⎡ −3 ⎢ ⎥ 0 ⎥; ⎢ 0 1+ 2 2 ⎢ ⎥ 0 1− 2 2 ⎦ ⎣0

⎡1 2 ⎢ P = ⎢ −1 2 ⎢ 0 ⎣

1 1

2 2

1 2

⎤ ⎥ 2 ⎥. −1 ⎥ 2⎦ 1

2

1

Respuestas de los ejercicios impares

5.

7.

⎡0 0 0⎤ ⎢0 0 0⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 4 ⎥⎦

⎡1 ⎢ P = ⎢0 ⎢0 ⎣

⎡ −2 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 0⎥ ; ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦

⎡1 ⎢ P=⎢1 ⎢1 ⎣

0 ⎤ ⎥ 1 . 2⎥ 1 ⎥ 2⎦

0 −1 2 1 2

−1 3

−1 2

3

2

0

3

⎤ ⎥ . 6⎥ ⎥ 6⎦ 6

−1

1

2

Módulo 21

1.

⎡ 2 52 ⎤ ⎡x⎤ [ x y] ⎢ ⎥⎢ ⎥. ⎣ 5 2 −9 ⎦ ⎣ y ⎦

3.

⎡ −4 3 [ x y z ] ⎢⎢ 3 −3 ⎢⎣ 7 2 0

5.

⎡ 6 52 ⎤ ⎡x⎤ [ x y] ⎢ ⎥⎢ ⎥. ⎣ 5 2 −6 ⎦ ⎣ y ⎦

7.

⎡4 2 ⎤ ⎡ x ⎤ [ x y] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 9; ⎣ 2 −1⎦ ⎣ y ⎦

9.

⎡ −1 1 ⎤ ⎡ x ⎤ [ x y] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = 0; ⎣ 1 −1⎦ ⎣ y ⎦

11.

⎡ 6 52 ⎤ ⎡ x⎤ [ x y] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = −7; ⎣ 5 2 −6 ⎦ ⎣ y ⎦

⎤ ⎡ x⎤ 0 ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ . 0 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

7

2

x ′2 y ′2 − = 1; hipérbola; θ ≈ 19.33º. ⎛ 18 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 41 + 3 ⎠ ⎝ 41 − 3 ⎠ y ′2 = 0; recta que pasa por el origen; θ = π / 4 = 45º. y ′2 14

13

−

x ′2 14

= 1; hipérbola; θ ≈ 11.31º.

13

x′′2 y ′′2 − = 1. 4 9

13.

Hipérbola;

15.

Hipérbola;

17.

⎡ 1 −1 −1⎤ ⎡ x ⎤ ( x y z) ⎢⎢−1 1 −1⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ , − x′2 + 2 y′2 + 2 z′2 . ⎢⎣−1 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

x′′2 y ′′2 − = 1. 9 9 8 8

Álgebra Lineal

Módulo 22 1.

λ ≤7 1 12 ≤ \ ∈ λ ≤ 7

3.

λ ≤ 11 −2 ≤ \ ∈ λ ≤ 11

Respuestas de los ejercicios impares

5.

Como A es una matriz simétrica, sus valores característicos son números reales. Al trazar las circunferencias de Gershgorin éstas quedan completamente contenidas a la izquierda del eje y, con lo cual se establece que los valores característicos son negativos.

7.

⎛1⎞ −4, ⎜ ⎟ . ⎝1⎠

9.

⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 8, ⎜ 0.5 ⎟ . ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠

11.

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ Comenzando con x0 = ⎜ ⎟ y sin normalización, se obtiene ⎜1 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ −1⎟ , ⎜ −1 ⎟ , ⎜ 1⎟ , ⎜ 1 ⎟ ,... . Por tanto, el método ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ no converge. La razón de esto es que A no posee un valor característico dominante.

Álgebra Lineal

320

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Bibliografía

Florey F. 1980. Fundamentos de álgebra lineal y aplicaciones. México: Prentice Hall. Grossman SI. 1997. Álgebra lineal. Colombia: McGraw-Hill. Hill R. 1997. Álgebra lineal elemental con aplicaciones. México: Prentice Hall Hispanoamericana. Kolman B. 1999. Álgebra lineal con aplicaciones y matlab. México: Prentice Hall. Lay DC. 1999. Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Addison Wesley Longman. Nakos G, Joyner D. 1999. Álgebra lineal con aplicaciones. México: International Thomson Editors. Perry W. 1990. Álgebra lineal con aplicaciones. México: McGraw-Hill. Pita Ruiz C. 1991. Álgebra lineal. México: McGraw-Hill. Restrepo P et al. 1997. Álgebra lineal con aplicaciones. Medellín: Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín. Strang G. 1982. Álgebra lineal y sus aplicaciones. Estados Unidos: Fondo Educativo Interamericano. Villamayor O. 1981. Álgebra lineal. Washington, D.C. Secretaría General de la O.E.A.

Álgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 321