Mehmet Omurtag Vize1 Cozumleri

İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi Mukavemet 201 Dersi 1. Yıliçi Sınavı CRN: 11184 Tarih: 14/11/2006 13:00-15:00 Öğretim Üyesi: Prof. Dr. Mehmet H. Omurtag, Dersin Yardımcısı: Araş. Gör. Akif KUTLU

P=5qa

(25 Puan)

q

4

Soru1: Yükleme hali Şekil(1)’ de verilmiş olan çubukta; a) Mesnet tepkilerinin hesaplayınız. b) Kesme kuvveti ( T ) , eğilme momenti ( M) ve normal kuvvet ( N ) diagramlarını çiziniz.

3

G A

B

a

a

a

(25 Puan)

Şekil (1)

Soru2: Şekil(2)’ de verilmiş düzlem gerilme halinde q=30o için; a) sq ve tq değerlerini hesaplayınız. b) s1, s2 asal gerilmelerini ve doğrultularını hesaplayınız. c) Mohr dairesini çiziniz, yönlendirilmiş eleman üzerinde gerilmeleri gösteriniz.

sq q 2

20kN/m

tq 2

8kN/m 2

14kN/m

(20 Puan)

Şekil (2)

Soru3: Şekil(3)' de kenar uzunlukları a, b,c olacak şekilde verilmiş dikdörtgen prizmaya düşey P kuvveti etkimektedir. a, b, c uzunluklarında meydana gelecek değişimleri hesaplayınız.

(30 Puan)

Elastik prizma için malzeme sabitleri: E=Elastisite modülü n=Poisson oranı G=Kayma modülü olarak alınacak ve sonuçlar bu malzeme sabitleri ile P, a, b, c cinsinden hesaplanacaktır.

Soru4: Şekil(4)’ de geometrisi ve yükleme durumu verimiş olan, kesit alanları birbirinden farklı iki çubuğun birleşiminden oluşturulmuş sistemde; a) Normal kuvvet diagramını çiziniz. b) C ve D noktalarının yapacağı yerdeğiştirmeleri hesaplayınız. o c) P=0 iken DT =150 C'lik homojen sıcaklık değişimi hali için normal kuvvet diagramını çiziniz. C noktasının yerdeğiştirmesini hesaplayınız. a = 200cm A 2 = 3 A1= 12cm 2 E 1= E 2 = 200GPa a = 12 ´ 10 -6 (1/ C) (ısıl genleşme katsayısı) P = 200kN

z

P

y x

elastik prizma

rijit plak

c b

a Şekil (3)

2

1 A

P

P C a

D a

Şekil (4)

a

B

P=5qa

q

4

Soru1: Yükleme hali Şekil(1)’ de verilmiş olan çubukta; a) Mesnet tepkilerinin hesaplayınız. (5 puan) b) Kesme kuvveti (T) (8 puan), eğilme momenti (M) (8 puan) ve normal kuvvet (N) (4 puan) diagramlarını çiziniz.

3

G A

a

a

Çözüm: İlk olarak G noktasına göre moment dengesi yazılırsa Vb doğrudan hesaplanır; +

MA

8 P = 8qa 5

a

Şekil (1)

SM G = 0 = VB ´ a - P ´ (4 / 5) ´ 2 a VB =

B

P=5qa

q

4 3

HA

düşey denge denkleminden;

G VB

VA

A

SFy = 0 = VB + VA - qa - P ´ (4 / 5) 8qa + VA - qa - 4qa = 0

a

a

B

a

VA = -3qa yatay denge denkleminden; SFx = 0 = H A - P ´ (3 / 5) H A - 5qa ´ (3 / 5) = 0 H A = 3qa

bulunur. G noktasına göre bu kez sol taraftan denge denklemi yazılırsa; +

SM G = 0 = -VA ´ a - M A + q ´ (a 2 / 2) 3qa 2 - M A + q ´ (a 2 / 2) = 0 M A = 3.5qa 2

kesit tesirleri dagramları şu şekilde çizilir. 4qa

-4qa2

(+)

(-) (+)

(-)

(-)

-3qa

2

3.5qa

-3qa

-4qa

a

a (T)

a

a

a (M)

a

a

a (N)

a

Soru2: Şekil(2)’ de verilmiş düzlem gerilme halinde q=30o için; a) sq ve tq değerlerini hesaplayınız. b) s1, s2 asal gerilmelerini ve doğrultularını hesaplayınız. c) Mohr dairesini çiziniz, yönlendirilmiş eleman üzerinde gerilmeleri gösteriniz. (25 Puan) s x = 20kN/m 2

sq q

8kN/m2

s y = 14kN/m 2 t xy = -8kN/m 2

a)

b)

sq =

sx +s y

14kN/m2 s x -s y

cos 2q + t xy sin 2q 2 2 20 + 14 20 - 14 sq = + cos 300o - 8sin 300o = 25.42kN/m 2 2 2 s x -s y tq = sin 2q + t xy cos 2q 2 20 - 14 tq = sin 300o - 8cos 300o = -1.4kN/m 2 2

s 1,2 =

+

sx +s y 2

Şekil (2)

2

æ s x -s y ö 2 ± ç ÷ + t xy 2 è ø 2

s 1,2 =

20 + 14 æ 20 - 14 ö 2 ± ç ÷ +8 2 è 2 ø

s 1 = 25.54kN/m 2 s 2 = 8.45kN/m 2 tan 2f =

2t xy s x -s y

=

2 ´ -8 = -2.666 20 - 14

2f1 = -69.44o 2f2 = 110.56o

c)

20kN/m2

tq

t Y

sq sx

s2=8.45

s1=25.54 q

2f1

s

s1 s2

X

s1

s2

z Soru3: Şekil(3) kenar uzunlukları a, b, c olacak şekilde verilmiş dikdörtgen prizmaya düşey P kuvveti etkimektedir. a, b, c uzunluklarında meydana gelecek değişimleri hesaplayınız (20 puan). Elastik prizma için malzeme sabitleri: E=Elastisite modülü n=Poisson oranı G=Kayma modülü olarak alınacak ve sonuçlar bu malzeme sabitleri ve P, a, b, c cinsinden hesaplanacaktır. Çözüm: Prizmanın dengesi düşünüldüğünde;

z

P

y sx = 0

x

sy = 0

c

sz = -

b

a

P ab

P buna göre; s x -n (s y + s z )

- ns z n P = = E E abE nP Db = e x ´ b = aE s y -n (s x + s z ) - ns z n P ey = = = E E abE nP Da = e y ´ a = bE s z -n (s x + s y ) s z -P ez = = = E E abE Pc Dc = e z ´ c = abE ex =

P

y x

elastik prizma

rijit plak

c a Şekil (3)

b

2

1

Soru4: Şekil(4)’ de geometrisi ve yükleme durumu verilmiş olan, kesit alanları birbirinden farklı iki çubuğun birleşiminden oluşan sistemde; a) Normal kuvvet diagramını çiziniz (11 puan). b) C ve D noktalarının yapacağı yerdeğiştirmeleri hesaplayınız (8 puan). c) P=0 iken DT=150oC'lik homojen sıcaklık değişimi hali için normal kuvvet diagramını çiziniz (7 puan). C noktasının yerdeğiştirmesini hesaplayınız (4 puan).

A

P

P

C

D

a

a Şekil (4)

a = 200cm A 2 = 3 A1= 12cm 2 E 1= E 2 = 200GPa a = 12 ´10-6 (1/ C) (ısıl genleşme katsayısı) P = 200kN Çözüm: İki mesnet bilinmeyeni de yatayda bulunduğundan yatayda yazılacak kuvvet dengesi denklemi bu bilinmeyenlerin belirlenmesi için yeterli olmayactır; ikinci denklem uygunluk koşulunun yazılması ile elde edilecektir. Mesnet bilinmeyenleri uzama formüllerinde doğrudan kullanılabilmeleri için pozitif yönde (çekme) olacak şekilde seçilmişlerdir.

2

1 HA

P

P

A C

B

D

a

a

HB

a

yatayda kuvvet dengesi yazılırsa; SFx = 0 = - H A + P + P + H B H A = 2P + H B

uygunluk koşulu olarak çubuk toplam boyunun değişmediği yazılacaktır; D L çubuk = 0 = D L AC + D L C D + D L D B

sözkonusu aralıklardaki normal kuvvet değerlerini hesaplamak istersek;

1 HA

NAC

A

C

a

N AC = H A

P

A

C

a

NCD

D

SFx = 0 = - H A + P + N CD N CD = H A - P

2

A C

a

NDB

P

P

a

1 HA

a

1 HA

SFx = 0 = - H A + N AC

D

B

SFx = 0 = - H A + 2 P + N DB N DB = H A - 2 P

a

uygunluk koşulunun yazılması; DLçubuk = 0 = DLAC + DLCD + DLDB DLçubuk =

N AC N N H H -P H - 2P LAC + CD LCD + DB LDB = A 200cm + A 200cm + A 200cm = 0 A1 E A2 E A2 E A1 E A2 E A2 E

HA H - P H A - 2P 5 H A - 600kN + A + =0= =0 3 A1 E 3 A1 E 3 A1 E H A = 120kN H B = H A - 2 P = 120 - 400 = -280kN

a

B

a) Normal kuvvet diagramının çizilmesi;

120kN

N AC = H A = 120kN (+)

N CD = H A - P = 120 - 200 = -80kN N CD = H A - 2 P = 150 - 400 = -280kN

b) C ve D noktalarını yerdeğiştirmelerinin hesabı; d C = DLAC =

120 kN -4

2

6

4 ´ 10 m 200 ´ 10 kN / m d D = DLDB =

(-)

2m=3 ´ 10-3 m

2

a

N DB -280kN LDB = 200cm= A2 E 12cm 2 200GPa

-280 kN -4

-80kN

N AC 120kN LAC = 200cm= A1 E 4cm 2 200GPa

2

6

12 ´ 10 m 200 ´ 10 kN / m

a

-280kN

a

(N) diagramı

2m=-2.33 ´ 10-3 m

2

c) Sıcaklık değişimi halinde denge denklemleri;

2

1 HA

A C

D

SFx = 0 = - H A + H B

B

HB

HA = HB

uygunluk koşulu olarak sıcaklık değişiminden ve iç kuvvetlerden meydana gelen toplam uzamanın sıfır olduğunu ifade edeceğiz. DLçubuk = 0 = DLsıcaklık + DLN e L = DT ´ a = 150 ´ 12 ´ 10-6 = 1.8 ´ 10-3 DLsıcaklık = e L Lçubuk DLN =

HA H 200cm + A 400cm A1 E A2 E

DLçubuk = DLsıcaklık + DLN = 1.8 ´ 10-3 ´ 6 00cm + = 1.8 ´ 10-3 ´ 6 00cm +

HA H 2 00cm + A 4 00cm = 0 A1 E A2 E

HA HA 2 00cm + 4 00cm = 0 4cm 2 200GPa 12cm 2 200GPa

H A = -259.2kN

(N) diagramı (-)

-259.2kN C noktasının yerdeğiştirmelerinin hesabı; d C = DLAC =

N AC -259.2kN LAC + a DT LAC = 200cm+150 ´ 12 ´ 10-6 ´ 200cm= A1 E 4cm 2 200GPa

-259.2 kN -4

4 ´ 10 m 2 200 ´ 106 kN / m 2

2m+150 ´ 12 ´ 10-6 ´ 2m=-4.68 ´ 10-3 m