Mehanika Tla i Stijena

UNIVERZITET

U

TUZLI

Dr MILAN STEVIe

MEHANIKA TLA I STIJENA

RUDARSKO-GEOLOSKI FAKULTET Tuzla, 1991. godine

PREDGOVOR

Prof. dr Milan Stevie

MEHANIKA TLA I STlJENA Reccnzcllti: Prof. dr Petar Milanovie Prof. dr Rodoljub Valjare\ie

O\:,a je knjiga namijenjena studentina rudarsko-geoloSkog fakulteta, rudarskocksploatacioni smjer, za predmet "mehanika tla i stijena" koji se slusa u III godini studija. Pojedina poglavlja mogu biti korisna i studentirna na drugim smjerovima studija rudarstva i geologije, kao i diplomiranim inzenjerima radi rjesavanja konkretnih zadataka iz oblasti mehanfke tla i stijena. Ovdje su koristeni najnoviji podaci domaCih i stranih autora, od kojih su neki autentitno navedeni radi ocuvanja stila i tenninologije (E,Nonveiller, L.Suklje, K.Terzaghi, R.Obradovic, P.Jovanovic, E.Hoek, IJasarcvic, WBray, P,Anagnosti, Z.K1eczek i S.Vujec). Knjigu sacinjavaju dva dijela: 1. Mehanika lla

lzdajc: Rudarsko-geoloski fakultet Tuzla. ul. Bratstva i Jedinstva br. 14

Odgoromi uredllik:

Dr Milan Stevie Lektor: Orner Nalic Tehnicki urednik:

Izudin Bajrektarevic. dipl. inz. Savic Coran, dip\. inz.

Kompjuterska obrada teksta: "QNiX" Tuzla, M, Fizovica 15

Tirat: 300 primjeraka

Stampa:Zavod za graficku telmiku Tehnolosko-metalurskog fakulteta Beograd, Kaf1l:egijeva 4

2, Mehanika stijena U prvom dije1u obradene su osnovne fizitko-mehanicke osobine tla, klasifikacione osobine, parametri evrstoCe, stBljivost, konsoJidacija, pritisak i otpor tla, uticajni pararnetri kod procesa kopanja i metode za proracun stabilnosti kosina. U drugom dijelu obradene su opste, fizicke i strukturne osobine stijcna, klasifikacione osobine, primarna i sekundarna naponska stanja, reoloSke osobine, jarnski pritisak kod otkopnih prostorija, sigurnosni noseCi stubovi i uticaj podzemnih radova na deformacije povrsine terena.· U ovom dijelu posebno su obradeni uticaj pornog pritiska i ispucalosti stijenske mase na stabilnost kosina, kao i primjena metode konacnih elemenata. Veliku zahvalnost dugujem recenzentima profesorirna dru Petru Milanovicu i dru Rodoljubu Valjarevicu na korisnirn sugestijama.

Autor

Sadrzaj I D I 0 Mehanika tla

2.

UVOD

1

SASTAV, FIZICKO.MEHANICKE OSOBINE I KLASIFIKACIJA TIA

3

2.1. 2.2.

Struktura tia

3 5

2.3. 2.3. I. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4.

Fizi~ke

7

Poroznost i koeficijent poroznosti Vlafnost tIa i stepen zasieenosti Zapreminska lezina Cvrslih a,stica . specificna lema / Zapreminska tezina tia

2.4. 2.4. I. 2.4.2. 2.4.3. 2.4.4.

Granica teoonja Granica plastitnosti i Granica skupljanja "/ Indeksi koherentnog tia '

11 15 16 17 18 19

2.5.

Klasifikacija tia

22

2.5.1. 2.5.2.

Klasifikacija tla na osnovu granulometrijskog sastava Jedinstvena klasifikacija

22 23

3.

NAPONI I DEFORMACIJE TIA

27

3.1.

Naprezanja u tin

27

3.1.1. 3.1.2.

28 28

3.2. 3.2.1. 3.3.2.

Naprezanja u horizontalnoj ravni . Analiza naprczanja u kosoj ravni Odnosi izmedu napona i deformacija Odnosi izmca-u napona Odnosi deformacija,/

31 31 32

3.3.

Stvarno pona~anje tia

33

4.

VODAUTLU

35

4.1.

Pojava vode u till

35

Faktori postanka tla osobine tla

Konzistencija da i granite plasticnosti ./

7 9

10

VIII

4.2. 4.3.

IX

Efektivni i neutralni naponi II tlu Hidrau}icno potencijalno polje HidrauliCno potencijalno poljc u horizontalno uslojenom tlu

36 38

4.3.I. 4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3.

Propusnost tla Mjerenje propusnosti u laboratoriji Mjerenje propusnosti tla na terenu Red velitine koeficijenta propusnosti

41 44 45 47 48

5.

CvRSTOCA NA SMlCANJE

49

5.1. 5.1.1. 5.1.2. 5.2.

Opste 0 Cvrstoei fia smicanje Kohezija Ugao unutrasnjeg trenja Opsti oblik CouJomb~Mohrove teorije lorna Vrsna i rezidualna otpornost tla Progresivni 10m Odredivanje Cvrstoce na smicanje Direktno smicanje :; , Aparati za direktno smicanje 10k smicanja Postupci pri direktnom smicanju Odredivanje parametara evrstoee na smicanje Opit triaksijaine komprcsije i . Vrste opita Prikazivanje rezuitata Opit jednoosnog pritiska sa nesprijeeeoim bocnim sirenjem Thrzioni opiti smicanja Indirektni opit

5.2.1. 5.2.2. 5.3. 5.3.1. 5.3.1.1. 5.3.1.2. 5.3.1.3. 5.3.1.4.

5.3.2. 5.3.2.1. 5.3.2.2.

5.3.3. 5.3.4.

5.4. 6.

49 50 51 53 55 56 57 57 59 61

61 62 63 66 66 69 70 70

6.3.

Vremenski tok slijeganja, konsolidacija 6.3.I. Jednatina primarne konsolidacije 6.3.2. Rj",enje za aksijainu konsolidaciju 6.3.3. Sti~Ijiv sloj beskonacne debijine 6.3.4. Stisljiv sloj beskonatna prostiranja i ograrurene debljine 6.3.5. Stepen konsolidacije 6.3.6. Koeficijent konsolidacije 6.3.6.1. Metoda drugog korijena jz vremena 6.3.6.2. Metoda logaritma vremcna 6.3.7. Konsolidacija tla kod postepenog nanosenja opterceenja 6.4. Bubrenje tla

87 88 93 95 97 98 99 99 100 101 102

6.4.1.

Korelacija izmedu indeksa plasticnosti i bubrenja glina

105

7.

NAPREZANJE U TLU POD DJEJSTVOM OPTERECENJA NA POVRSINI TERENA

107

Vrste opterecenja tIa

107

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.5.1.

Naponi u poluprostoru koje stvara koncentrisana sila na njegovoj povrsini Frohlichov obrazac-

108 111 112

7.5.3 7.5.4 . 7.6. 7.6.1. 7.6.2 . 7.6.3. 7.7.

Naprezanje u tlu pod djejstvom linijskog opterecenja--Priblizne'metode za promcun naprezanja Slutaj koncentrisanog optereeenja Metoda koja pretposlavija rasprosliranje naprezanja u vidu kupe Metoda raspodjele naprezanja u vidu kvadratne parabole Jednako pOdijeIjeno ·optereeenje Od!edivanje napona pod povrsinskim opterecenjem Raspodjela naprezanja ispod kruzne stope Steinbrennerova metoda _Newmarkova metoda f Rasprostiranje naprezanja u tlu ispod bagera

114 114 115 115 115 118 122 124

8.

PRITISAK I OTPOR TLA

127

127

7.5.2.

113

113

STISWIVOST, SLUEGANJE I KONSOLIDACUA TLA

73

6.1.

StBljivost i deformacija tla

73

6.1.1. 6.1.2. 6.1.3. 6.1.4.

Promjena optereeenja Opit u edometru iY: Dijagram relativne kompresije .I Dijagram promjene koeficijenta poroznosti t1a ,: Proracun siijeganja! Propusni materijal Slabo propusni materijali Slijeganje usljed prodora vode Slijeganje uslje?-..snizenja nivoa podzemne vode

73 74 75 77

8.1.

Grani~na

82

8.2.

Aktivni pritisak

129

83 83 85 86

8.2.1. 8.2.2. 8.3.

Nevezano (nekoherenlno) 110 Vezano (koherentno) tIo Pasivni otpor

129 131 134

6.2.

6.2.1. 6.2.2. 6.2.3. 6.2A.

stanja ravnotei.e

._ _.__

"~"","""'k,,k,,,;,,,,,~~,",,,,,,~.

XI

X

8.3.1.

8.3.2.

Pasivni otpor nevezanog tIa Pasivni otpor koherentnog tia

8.4.

Coulombova teorija aktivnog zemljanog pritiska

134 135 137

9.

PRORACUN STABILNOSTI KOSINA METODE GRANICNE RAVNOTEZE

141

9.1.

Uvod

9.2.

II D I 0 Mehanika stijena

1.

OSOBINE STIJENSKIH MASA

203

1.1. 1.2.

Homogenost i heterogenost

203

141

Izotropija i anizotropija

205

Definicija faktora sigurnosti

142

1.3.

Diskontinuitet stijenske mase

207

9.3.

Svedska iIi Felleniusova metoda

9.4. 9.5. 9.6.

Bishopova metoda

1.3.1. 1.3.2.

Definicija diskontinuiteta Snimanje diskontinuiteta

208 209

Rezultantna metoda;'

146 150 157

1.4.

Metoda .T anbua

164

Prikupljanje strukturnih elemenata porooeu rudarskib istraznih radova i busenja

211

9.7.

Morgenstern~Priceova

1.5.

Predstavljanje strukturnih osobina

213

9.8.

Spencerova metoda "

Blok dijagrami Sferna projekcija

213 214 216

metoda

171 174

9.9.

Upotreba tablica i dijagrama

175

1.5.1. 1.5.2. 1.5.3.

10.

UTICAJNI PARAMETRI KOD PROCESA KOPANJA

179

2.

KLASIFlKAClJA STlJENA

219

Otpor kopanja i sile-kopanja

179

2.1.

Klasifikacija stijena po skali cvrstoce

219

Proces kopanja

2.2.

KJasifikacija na osnovu fizicko~mehanickib osoI,ina

221

2.3.

Klasifikacija stijena za podzemne radove

223

3.1.

Klasifikacija Bieniawskog

223

2.3.2.

Klasifikacija po Bartonu

229

10.2.1. Medusobni odnosi otpora kopanja 10.2.2. Odredivanja snage masina za kopanje

179 180 180 181 182 184 188

10.3.

189

3.

Uticajni parametri kod procesa kopanja_.,

NAPONI I DEFORJI.IACIJE U STlJENSKIM MASAMA

235

10.3.1. 10.3.2 10.3.3. 10.3.4. 10.3.5 . 10.3.6. 10.3.7. 10.3.8.

Oblik i stanje sje6va Ovisnost duzine i razrnaka zuba

189 190 191 192 192 193 193

3.1.

Primarni naponi

235

3.1.1. 3.1.2 .. 3.1.3 . 3.1.4.

Cvrste stijene Rastresite stijene bez kohezije Rastrcsitc stijene sa kohezijom Vrijednosti parametara otpornosti na smicanje

236 238 241 242

3.2.

Sekundarno naponsko stanje

243

3.2.1.

Naponi u elastiCnim stijenama ako alma

10.1. 10.1.1 10.1.2. 10.1.3. 10.1.4. 10.2.

10.4.

Otpori kopanja Sile kopanja Pratcee pojave kod kopanja AkUvne' sile u procesu kopanja

Ugao

o~trenja

zuba

Ugao rezanja Uticaj brzine kopanja Povrsina popre~nog presjeka odreska

Debljina odreska Vlaznost tla Laboratorijske i terenske metode za odredjhranje

194

oipora kopanja

195

okruglog popreCnog presjeka 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4 .

l

Rozete pukotina

Naponi U okolini hodnika okruglog poprecnog presjeka

Hodnici eliptiCnog poprecnog presjeka Ho.dnik sa pravougaonim presjekom

244 246 249 250

XII

3.3.

Teorije zasnovane na eJasto-plasticnosti stijenske mase

=1

2.3.

Odredivanje sirine potpomih stuoova prema Sevjakovll

302

252 253

6.2.4 .

Odredivanje dimenzija stubova i polica u soli kod mctode kontrolisanog izluzivanja

306

6.3.

Naponsko stanje u stubovima kod strmih i jako strmih le:igta

309

6.4.

Prognoza mstoee stubova na bazi apita na malim uzorcima

312

UTICAj PODZEMNIH RADOVA NA DEFORMACUE POVRSINE TERENA

315

7.1.

Uvod

315

7.2. 7.3.

Istorijski razvoj

316 318

7.4.

Odredivanje parametara deformacije povdine terena prema teoretskim postavkama

251

3.3.1. 3.3.2

Jcdnacina za slucaj kada jeA Jednacine za slueaj kada je,j

3.4.

Pojave plasticnosti i tecenje aka podzemne prostorije

254

3.4.1. 3.5.

Pojava plastificiranog prstena

255

4.

l

XU!

;<

1

Opafanja naponskog stanja u zanama aka iskopa

258

REOLOGUASTUENSKOG MATERLTAlA

261

4.1.

Uvad

261

4.2.

Elementi reoloskih modela

262

4.2.1. 4.2.2 4.2.3

Hookeovelement Newtonovelement

262 262 263

4.3.

Siozena reoloska tijela

264

4.3.1. 4.3.2. 4.3.3. 4.3.4 . 4.3.5 . 4.3.6.

Kclvinov model M~ellov model Usporedba Kelvinovog i Maxwellovog modela Generalisani Kelvinov model Binghamov model Loonenov reoloski model

264 270 275 275 276 277

5.

JAMSKI PRlTlSAK KOD OTKOPNIH PODZEMNlH PROSTORUA

281

5.1.

Dvod

281

5.2. 5.2.1. 5.2.2.

Teorija pritiska usled formiranja svoda

282

Proratun prema Slesarcvu Proratun prema Protodjakonovu

284

5.3.

Thlasna teorija raspodjele pritiska

288

5.4.

Teorija Labasa

291

5.S.

Teorija grede

292

8.3.1. 8.3.2. 8.3.3 .

Saint~Venantov

element (Sen-Venan)

287

6.

SIGURNOSNI NOSECr STUBOVI

295

6.1.

Uvod

295

6.2.

Dimenzionisanje stubova

296

6.2.1. 6.2.2.

Integraciona metoda Metoda Stamatia

297. 298'

7.

Definicije i elementi slijeganja

320 320 321 325

7.4.1. Te0rijaw. Budryl 0

"

.~ ~~

"0

'"

20'\------

10,~----------~--~' 10 20 25 BroJ

__~__~~~ 30

40

50

udara (logorHamska podje-la)

S1.2.8 Dijagram za odredivanje gran ice tceenja.

PaS-to je kod svakog apila razlicita vlaznost uzorka (w), dobil CC se~ackc A, B, C i D,

koje odgovaraju razlicitom broju udara,pri cemu je broj udara manji ukoliko je vlaznost veta i obrnuto. Spajanjem ovih taeaka dahija se kosa prava linija na kojoj se trazi tacka L;;;a 25 udara. Kolicina vade koja odgovara ovoj tacki usvaja sc kao granica tecenja (WL).

2.4.2,. Granica plasticnosti

S1.2.7 Casagrandeov aparat za odredivanje granite tecenja.

Za odredivanje granice tecenja sluz! uredaj sastavljen od zdjelice, koja se okrctanjem rucke moze diCi na visinu od lem, s koje slobodno pada i udara na standardizovanu pOdlogu (slika 2. 7 ~a). U zdjelieu se razmaze uzorak tla i u njega zareze normirani zlijeb pomocu posebnog noza (slika 2.7-b). Thda se okrece rucka,brzinom ad 2 udarca u sekundi, dok se zlijeb sastavi na duiini od 1 em. Opit se ponavlja s uzorcima kojima se postepeno dodaje sve vi~e vode j svaki put se l.abiljezi broj udaraca p01rcban da se zUjeb na dnu posude zatvori na du_zini od 1 ern.

~..

Za odredivanje granice plasticnosti nije potrebna aparatura. Opit 5e vrsi na uzorku 3 tla, koji se pripremi u mekom plasticnom stanju i sku pi u lopticu velicinc 2~3 em . Zatim sc uzorak valja dianom na podlozi od nekog upijajueeg materijala (papir), u valjcicc promjera 3 mm, sve dok sc oni ne pocnu kidati i pucati. Thda se za izlomljene valjcice odrectuje sadrtaj vlage, na vee opisani nacin: Kolicina vode, izrazena u procentima suve teline uzorka, odgovara granici plasticnosti (w!,). Radi konlrole i ctothvanja prosjecnih rezultata sadrtaj vode (vla10051) odreduje se na osnovu tri nezavisno izvedene probe.

19

18 1"'"

"'iI

M.H

~,.o.o

,1 .."(110

p"~'n.

C'bQ

1>\1 gllnovU. p".Jln"

M.L til'

pro"". pli~ .. k

.. dot" put;me

SC pljn,k .. ,"n,nim

~U"'om

D.,u,"

OaJEKAT.

SI.I0.C8.sagrandeov dijagram plastiCnosti

23 22

2.5.

Klasifikacija tla

Kako su vrste tla razli6te, potreban je neki sis tern pomocll koga bi se onc mogic opisati i svrstati U kategorije iii vrsle sli~nih osobina. Takav sistem znatno olakSava prou~avanje i razumijevanje strucnih izvje~taja a ispitivanjima tla, kao i medusobno sporazumijevanje. S razvojem mehanike tla nastalo je i vise klasifikacionih sistema prema potrebama specificnih grana primjene nauke 0 tlu.

v"

2.5.1. Klasifikacija tla no osnovu granulometrijskog sastava Neki se stariji sistemi temeljc sarno na granulometrijskom sastavu tla. Oni nisu

upotrebljivi za inz.enjcrsku praksu, jer karaktcristicne osobine 11a oe zavisc sarno od vclicine zrna i njihovog rasporeda u materijalu. Granulometrijski sastav sarno je jedna

if'"

mineralo~ko~

od osobina tla i sa njim se ne mogu izraziti oblik zma i njihov petrografski sastav, struktura, porozitet i druga obiljezja tla.

!;,I

P RAri SJt~1

,1

+--i~

Glmo

--

100i so 00

~

" ~

0;

> 10 iil

I oz

". ---

000'

oCl

"m

0

I

000'

PIWMJ£R lRI;A (mOl)

S1.2.11 Unije granulometrijskog S3stava [Ia: 1. ~IJuncani pijesak', 2. 3.pjeskovila glina; 4. g!inovito t!o; 5. g!ina.

pra~inasti

SL2.12 Trougaoni dijagram Americkog biroa

za tlo

.'/0, ,.'"!

0

~

i

proh %

pijesak;

Sistemi koji se zasnivaju na granu!ometrijskom sastavu podijeljeni su za 11a koja ; sadrZc evrste cestice vcliCine preko 2 mm.kako je prikazano na slid 2.11. Na osnovu ovakve podjcle, kao osnovna funkcija usvaja se ona koja je najviSe zastupljena II tlll, dok su ostale dodatne. Za sitnozrna tla, koja sadrze tvrste cestice manje od 2 mm, klasifikacija se najte~ce vrsi pomocu trougaonog dijagrama. Prema Americkom birou za tlo (US Bureau of Soils), tio se dijeli na deset grupa, kako je prikazano na slid 2.12. Dijagram se sastoji od tri koordinatne ose, slol,ene u ravnostrani trougao, u kome svaka osa predstavlja jednu frakciju,i to: pijesak, prah i gUnu u % tezine cijefe mase tla.Svaka strana trougla predstavlja apscisu iz koje se podiiu ordinate paralelne sa drugim dvjerna apscisama.

i

-2.5.2. Jedinstvenaklasifikacija Za potrebe mehanike tla u rudarstvu i gradevinarstvu -najpogodnija je jedinstvena klasifikacija, pozna~a kao AC~klasifikacija, koju je razradio A:Cas~?rande. Ova klasifikacija danas je medunarodno prihvaeena pa se u dana~nJe vnJcme gotovo svugdje upotrebljava. Sve se vrste tla svrstavaju u dvije glavne grupe: ~

krupnozrnasto iIi nekoherentno tlo,

~

sitnozrnasto iii koherentno tio.

Uz to se razlikujc i pet osnovnih grupa: 60

.2

mm

Simbol G

- pijesak, promjer zrna

2

.0·of6mm

Sirobol S

~

prah, promjer zrna

0.g66. 0.002 mm

~

glina, promjer zrna

< 0.002mm

~ ~ljunak,

promjer zma

. organsko tl0 Osim toga, teste se dodaje i lreset sa simbolom

Simbol M

d

SimbolC SimbolO/ -;'::'1

i

i \{\.-llC~ ~ .n'r _

-'i

0

25

24

Osnovne grupe dijele se dalje na Scst podgrupa, Sto Qznacavamo dodajuci drugo slovo osnovnim simbolima, ito: 1. Dobro graduirano . ~iroko granulornetrijsko W

podrutje

Od ovih 12~rupa deset se moze idcntifikovati pros tim okorn, a za utvrdivanje SFs i SFc potrebni su idcntifikacioni opiti. Na slid 2.13 prikazane su neke karakteristicne granulometrijske krive za nekohcrentne materijalc.

2, Dobro graduirano s dovoljno glinovitog veziva

/,"

Koherentno _ sitnozrno tl0, sa oznakama M~ C i 0 dijeli se pa tri podgrupe prema granici teeenja, ito; oznaka L _ niskog plasticiteta WL < 35 %

C

da veZc krupna zma 3. Slabo graduirano . nedostaje neka grupa zrna, malo silnih frakcija

P

4. Slabo graduirano - s mnogo praSinastih cestica

_srcdnjeg plasticiteta

35 % < WL< 50 %

oznaka 1

5. Slabo graduirano - s rnnogo glinovitih restica

_ visokog plasticiteta

WL > 50 %

oznaka H

6. Jednolicno graduirano - jednozrnasto, malo sitnih

Kod koherentnog tla razlikujemo tri grupe: prah,glinu i organsko tl0 s tri podgrupe _ niskog, srednjcg i visokog plasticiteta, koje oznaeavamo simbolima ML, MI, MH,

U

cestica

CL, Cl, CH

Prema tome, kod Sljunka i pijeska razlikujemo ave grupe:

1. Dobro graduiran sljunak iii pijesak, nevezan

GWSW

2. Pje.Z 1--

---

6,

I

-_-I

I

'--~~--~

1---- 6," K.(

w__ ,

z SL3.3 Naponi na kosoj ravni

Postavljanjem jednaCina ravnoteie za smjerove ~ i

tj

dobit Ce se nepoznati naponi

(Tn-i r, ito:

H=o

S1.3.2 Naponi na elementu u horizontalnoj ravni

Napon 03 djeluje u horizontalnom smjeru" ~odnosno okomito na vertikalne ravni (3-3'). U prethodnom izrazu nko~ je koeficijent proporcionalnosti ("koeficijent mirnog pritiska"), a zavisi od vrstei zbijenosti, te ad naeina nastanka t1a. Na vertikalne i horizontalne ravni djeluju sarno vee opisani venikalni i horizontalni naponi,koji se nazivaju "glavni naponi", a ravni se zovu "glavne ravni".

(Tn F - (Tl F cosa cosa - 03 F sina sina

Nakon sredivanje slijedi: 2

an = aJ cos a

rF -

3.1.2. Analiza naprezanja u lwsoj ravni

01

+ a3 sin2a

COSa sina + 03 sina cosa : : :.

odakle je: Da bismo odredili napone u nekoj proizvoljno odabranoj ravni,posmatracerno vee ranije uoeellU prizrnu 11a. Smj~r promatrane ravni odreden je uglom a izmedu normale na tu ravan (osa?) i veeeg glavnog napona 01.

~•.

=0

T:::::. (01 - (3)

sina cosa

(3.3)

a

30

31

j

BuduCi da je sin2a = 2sina CQsa, moze se izraz za octrcdivanje T napona napisati u obliku: 01-03.

T=--2- sm2a

(3.4)

\

Odredivanje normalnih (an) i tangencijalnih oapana (r) u ravni odredenoj uglom a moze se predstaviti i graficki, pomoell konstrukcijc koju je prcdlozio i razradio Mohr. Prvo se nacrla koordinatni sis tern (a,I) i onda sc na horizontalnoj osi nanesu veHeine horizontalnog (03) i vertikalnog oapana (ol).Zatim se odredi srednji oapon (al + 03)12 i nanese na horizontalnu osu (slika 3.4), a nakon toga se opge krug (Mohrov krug) sa radijusom (ell - (3)(2.

'l?

I ;

1r1

.,.-

V3\ ~ .' -;.r--

B-"" -ill \' ",/ ! r;, 6/),') ,.

"

I

\-

+~

A

I

•

I 4

If.

i

/"" \-::;-{ " - A

cr,

•

; 'ill

.,.-

..!!~~i~,krugova ~to omogucuje konstrukciju o~~.(?j~~~,

gJ.hj~tak

-

-,.--'-----'--------

koji Qbvojni,ca stvar