Mehanika Fluida Parc 2

Dva pristupa rješavanju problema mehanike fluida : integralna analiza toka i diferencijalna analiza toka INTEGRALNA ANALIZA TOKA( daje korisne praktične rezultate, koristi se za praktične probleme koristi zakone u integralnoj formi) a) Jednačina bilansa mase ili jednačina kontinuiteta : → → ∂ ρ dV + ρ ∫ ∫ vd A= 0 ( tj. promjena mase u KZ i maseni protok kroz KP ) ∂t KZ KP Zakon o održanju mase za kontrolnu zapreminu : Priraštaj mase u KZ jednak je razlici doticanja i oticanja mase kroz KP ( u slučaju kad u KZ nema izvora ni ponora mase ). Ako se radi o stacionarnom strujanju tada je promjena mase u KZ jednaka nuli pa se jednačina kontinuiteta svodi na : →

KP

→

→

∫ ρ vd A = 0

ili

→

→

→

∫ ρ v d A+ ∫ ρ v d A = 0

Aiz

Aul

b) Jednačina količine kretanja : → → → → → → ∂ ρ v dV + v ( ρ v d A ) = F m + F p ( Promjena količine kretanja u KZ i protok količine kretanja kroz KP su ∫ ∫ ∂t KZ KP jednaki sumi masenih i površinskih sila ). Zakon o održanju količine kretanja za kontrolnu zapreminu : Priraštaj količine kretanja u KZ posljedica je razlike doticanja i oticanja količine kretanja kroz KP i djelovanja sila na fluid u KZ. Prilikom korštenja ove formule moramo znati : 1) KZ mora biti fiksna u odnosu na inercijalni koordinatni sistem ( prema Rejnoldsovoj transportnoj teoremi). 2) Jednačina je vektorska, pa se može projektovati na ose 3) Masena sila je obično samo sila gravitacije 4) Površinska sila se sastoji od djelovanja fluida izvan KZ na KP kroz koju fluid protiče i djelovanja čvrste površine koja se poklapa s dijelom KP. 5) Da bi smo pojednostavili problem obično biramo KP tako da bude normalna na brzinu fluida. U slučaju stacionarnog strujanja prvi član jednačine je jednak nuli. c) Jednačina momenta količine kretanja : → → → ∂  → → → → → ρ ( r x v ) dV + r x v ( ρ v d A ) = M m + M p ( promjena momenta količine kretanja u KZ i protok   ∫ ∫ ∂t KZ  KP momenta količine kretanja kroz KP su jednaki sumi momenata masenih i površinskih sila. )

Zakon bilansa momenta količine kretanja za KZ : Priraštaj momenta količine kretanja u KZ posljedica je razlike doticanja i oticanja momenta količine kretanja kroz KP i djelovanja momenta masenih i površinskih sila na fluid u KZ. d) Jednačina energije : ∂  → → • • ρ edV + e ∫ ∫  ρ v d A  = Q − L , ovom formulom je izražen 1 zakon termodinamike za KZ: ∂t KZ KP  Priraštaj ukupne energije u KZ jednak je zbiru razlike doticanja i oticanja energije kroz KZ i razlike dovedene toplote i izvršenog rada. e- Specifična energija koja se sastoji od zbira unutrašnje, kinetičke i gravitaciono potencijalne energije. v~ 2 e = u~ + + gz pri čemu se z mjeri od nekog proizvoljno odabranog nivoa. 2

1

•

Q=

dQ jje količina toplote koja se u jedinici vremena dovede fluidu u KZ i kroz KP. dt

dL jeje rad koji se u jedinici vremena odvede iz KZ kroz KP i jednak je sumi tehničkog rada i rada dt potiskivanja. Tehnički rad je rad koji se prenosi kroz KP na mjestima kroz koja nema protoka fluida. Rad potiskivanja je posljedica djelovanja površinskih sila(napona) na dijelovima KP kroz koje fluid protiče. •

L=

U slučaju neviskoznog fluida tangencijalni naponi su jednaki nuli, a normalni napon Nnn = -p. U tom slucaju je p N v~ 2 p ~ p + gz + energija : e − nn = u~ + gdje je i = u + entalpija fluida, jer je za nestišljiv fluid i = cT + pa je ρ ρ ρ 2 ρ jednačina energije promjenjena za e-Nnn/ρ. e) Jednačina mehaničke energije : Prilikom procesa strujanja moguća su pretvaranja energije iz jednog u drugi oblik , tj dio mehaničke energije se pretvara u toplotnu i to se smatra gubitkom mehaničke energije.  v~ 2   v~ 2 p  → →  ∂     ρ v d A  = −it − idef iit je motorni, a idef deformacioni rad, i deformacioni ρ + gz dV + + + gz ∫  2 ∫ 2 ρ  ∂t KZ    KP je uvijek pozitivan i naziva se rad gubitaka. Rejnoldsov broj : Re =

v sr D

; Re x =

ρU 0 x oodređuje da li je laminarni ili turbulentni tok ( turbulentni ako je µ

γ Re>2300) Jednodimenzionalna analiza stacionarnog nestišljivog toka (slika 5.19 i slika 5.20) Osnovne jednačine mehanike fluida za više ulaza i izlaza: •

Jednačina kontinuiteta

∑V

•

iz

iz

Jednačina količine kretanja

ul





∑ ρV v  iz

→

= ∑Vul



• →

iz

 • → → → → → → →   − ∑ ρV v  = F m + ∑P iz + F +∑P ul gdje je P iz = − p iz A iz ,  ul  iz ul  ul

→

P ul = − p ul A ul ..Dok u slučaju da su u pitanju apsolutni pritisci F = Fzida, a ako su relativni pritisci F=Fotpora.

Jednačina momenta količine kretanja :

   • → →  ρV r × v  ∑  iz     iz

   • → → → → → → → →  − ∑ ρV r × v  = M m + ∑ r × P  + M +∑ r x P    iz ul ul iz  ul     ul

gdje su r radijusvektori težišta ulazine i izlazne površine, a moment M je ili moment zida ili moment otpora.  •  ~2 ~2   v   v Jednačina energije: ∑ ρV   2 + i + gz  − ∑i + gz + 2   iz  ul    iz iz

• •    = Q − L t gdje su z visine težišta površina na ul

ulazu i izlazu.Ova jednačina se može razložiti na :  •  ~2 ~2  p p v   v Jednačina mehaničke energije : ∑ ρV   2 + ρ + gz  − ∑ ρ + gz + 2   iz  ul    iz iz  • • •   ~  • ~ Jednačina toplotne energije : ∑ ρV  u iz − ∑ ρV  u ul = Q + L gub iz ul ul  iz

  •  ρV  = −it − i gub   ul ul 

Osnovne jednačine mehanike fluida za KZ sa jednim ulaznim i izlaznim protočnim presjekom :

2

•

Jednačina kontinuiteta : V = v~iz Aiz = v~ul Aul   v iz − v ul  = F m + P iz + P ul + F Jednačina količine kretanja : ρV    •

→

→

→

→

 r iz Jednačina momenta količine kretanja : ρV   •



→

→

→

→ → →  → → → → → →  x v iz − r ul x v ul  = M m + r iz x P iz + r ul x P ul +M  

  v~ 2  v~ 2      = q − lt koja se može razložiti na : i + gz + − i + gz + Jednačina energije :  2  iz  2  ul  p p v~ 2  v~ 2   −  + gz +  = −lt − l gub koja se još naziva BERNULIJEVA Jednačinu mehaničke energije :  + gz + 2  iz  ρ 2  ul ρ

jednačina, dijeljenjem ove jednačine sa g dobijamo jednačinu meh. Energije čiji svi članovi imaju dimenziju  p  p v~ 2  v~ 2   −   = −ht − hgub gdje je prvi član visina energije pritiska, drugi član visina +z+ +z+ dužine:  2 g  iz  ρg 2 g  ul  ρg energije položaja, treći član je visina dinamičkog pritiska.Dok na drugoj strani imamo visinu tehničkog rada i  p v~ 2  =B +z+ visinu gubitaka. Bernulijeva suma ili visina ukupnog pritiska je :  2 g   ρg •

•

•

~ ~ Jednačina toplotne energije : u iz − u ul = q + l gub gdje su : l = L t , l = L gub , q = Q t gub

m

m

m

U slučaju kada profil brzine znatno odstupa od uniformnog, strujanje se svodi na 1D uvodeći : U jednačini kontinuiteta da je v~ = v sr U jednačini količine kretanja da je v~ = βv sr 2 v sr v~ 2 U jednačini energije =α 2 2

1 ~ 1  v~ dA , β = ∫  Gdje su : v sr = ∫ v A A  v sr AA koeficijent korekcije.

2  1  v~  dA Bazenov koeficijent korekcije, α = ∫  A A  v sr 

3

  dA Koriolsov 

Slika rasporeda pritiska kod savršenog i viskoznog fluida (str 248 ) TEČENJE KROZ CIJEVI : U slučaju lamilarnog toka : α= 2 β= 4/3 ; U slučaju turbulentnog toka : α = β = 1 Ako se radi o stacionarnom strujanju nestišljivog fluida onda se rad gubitaka, odnosno visina gubitaka računa 2

2

v v po Darsi-Vajsbahovom formulom : l gub = λ L sr , hgub = λ L sr , gdje je L dužina cijevi a Dh je hidraulički Dh 2 Dh 2 4A prečnik definisan kao Dh = A- površina, O-obim, dok λ je koeficijent trenja te se određuje : O  k  64  ,gdje je k apsolutna a) ako je laminarno strujanje λ = b) ako je turbulentno strujanje λ = λ Re, Dh  Re  hrapavost cijevi koja se određuje eksperimentalno ( Mudijev dijagram).

3

Mudijev dijagram pokazuje 3 oblasti :  k   1) Hidraulički glatka cijev λ = λ( Re ) 2) Prelazna oblast λ = λ Re, Dh    k   3) Oblast potpune hrapavosti cijevi λ = λ  Dh  Gubitci definisani Darsi-Vajsbahovom formulom se nazivaju linijski gubitci dok prilikom proticanja fluida imamo

i lokalne gubitke : hgub = C1

v sr 2

2

gdje je C1 koeficijent lokalnog otpora.

DIFERENCIJALNA ANALIZA TOKA (koristi se za tačnije proračune) Strujanje savršenog nestišljivog fluida : Efekt viskoziteta i stišljivosti mogu se zanemariti, te imamo jako velike sličnosti strujanja realnog fluida i savršenog u nekim oblastima.( stvartnosti savršen fluid ne postoji, ali je bas zbog sličnosti strujanja koristan za izučavanje ). Osnovne jednačine : − p →  0 N = - Veza između tenzora napona i tenzora brzine deformacije :    0

0 −p 0

0  → 0  = − p I  − p 

→

- Veza između toplotnog fluksa i gradijenta temperature: q = −λgradT -Jednačine stanja : ρ = const.; u~ = cT ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z Dv ∂p Du ∂p ρ = ρf my − = ρf mx − koriste se i Eulerove jednačine : ρ Dt ∂y Dt ∂x

zbog toga je JEDNAČINA KONTINUITETA :

pa prema tome JEDNAČINA TOPLOTNE ENERGIJE postaje :

ρ

D ( cT ) = ∂  λ ∂T  + ∂  λ ∂T Dt ∂x  ∂x  ∂y  ∂y

ρ

Dw ∂p = ρf mz − Dt ∂z

 ∂  ∂T    + ∂z  λ ∂z    

Važno je uočiti da su raspored brzine i pritiska neovisni o rasporedu temperature, te imamo 4 jednačine sa 4 nepoznate ( u,v,w,p). Pri cemu Jednačina kontinuiteta zajedno sa Eulerovim jednačinamam predstavljaju jednačine hidrodinamike. Jednačina hidrostatike kao integral jednačina hidrodinamike: Kad fluid miruje ili se kreće konstantnom brzinom: dobija jednačina hidrostatike : p + gzρ = const.

1

ρ

→

gradp = f

m

specijalni slučaj je za fm=(0,0,-g) pa se

Bernulijev integral Eulerovih jednačina ( nastaje kao posljedica analize potencijalnog toka) : S ~ ∂v v~ 2 p ds + + + gz = f (t )  na jednoj strujnoj liniji. ∫ ∂t 2 ρ So U slučaju stacionarnog toka f(t) je const. pa je onda Bernulijeva suma duž strujne linije const. : p v~ 2   + gz + =C 2  ρ Strujanje njutnovog nestišljivog fluida : Imamo efekat viskoznosti, to su slučajevi vanjskog( tokovi oko tijela) i unutrašnjeg ( tokovi kroz provodnik) toka. Zajedničko za unutrašnji i vanjski tok : separacija(razdvajanje fluidnog toka), sekundarni tokovi(pojava toka u toku) i granični sloj( izaziva poremećaje u toku).

4

Osnovne jednačine : − p N =  0   0 →

0 −p 0

0  → → ∂u N yx = µ 0  = − p I ; Njutnov zakon viskoziteta : , u slučaju složenije strujne slike  ∂y  − p

→ → → koristi se Stoksov zakon viskoznosti : N = − p I + 2µ D

 ∂u j iiz ovog je data veza između komponenti tenzora napona i brzine deformacije : N ij = − p δ ij + µ  ∂u i +  ∂x  j ∂xi ∂T ∂T Veza između komponenti vektora toplotnog fluksa i gradijenta temperature : q x = −λ ; q y = −λ ; ∂y ∂x ∂T q z = −λ ; dok je jednačina stanja : ρ = const.; u~ = cT ∂z JEDNAČINA KONTINUITETA:

   

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

JEDNAČINE KOLIČINE KRETANJA: ρ

Du ∂p ∂2 u ∂2 u ∂2 u = ρf mx − + µ( 2 + 2 + 2 ) Dt ∂x ∂x ∂y ∂z

Dv ∂p ∂ 2 v ∂ 2 v ∂2 v Dw ∂p ∂2 w ∂2 w ∂2 w = ρf my − + µ( 2 + 2 + 2 ) ρ = ρf mz − + µ( 2 + + ) Dt ∂y Dt ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y 2 ∂z 2 Ove jednačine prestavljaju Navije-Stoksove jednačine.

ρ

JEDNAČINA TOPLOTNE ENERGIJE : ρ za deformacioni rad.

D ( cT ) = ∂  λ ∂T  + ∂  λ ∂T Dt ∂x  ∂x  ∂y  ∂y

 ∂  ∂T    + ∂z  λ ∂z  + θ pri čemu je ϑ izraz   

ANALITIČKA RJEŠENJA..dobijaju se pri rješavanju jednostavnih slučajeva, postoje 2 vrste rješenja : a) tačna ( izostavlja članove koji su jednaki nuli , ostali članovi ne zanemaruju se ) b) približna (zanemaruje neke članove) Eksperimentalno rješenje se češće koristi zbog ograničenosti analitičkih metoda. Numerička rješenja se takođe koriste. Tačna analitička rješenja ( od 15 slučaja radimo 2 ) : 1 slučaj : Couetteovo rješenje Posmatramo stacionarno strujanje njutnovog nestišljivog fluida konstantnog viskoziteta , konstantog koeficijenta provođenja toplote i konstante specificne toplote, između dvije beskonačno paralelne ploče. Pri čemu je jedna fiksna i ima temperaturu To, a druga se kreće u svojoj ravni ( npr.y) konstantnom brzinom i ima veću temperaturu od fiksne.

Slika Couteovog tečenja (str.367) Pošto je strujanje stacionarno i 2D, tada su parcijalni izvodi po vremenu i po x osi jednaki nuli. Tada je jednačina kontinuiteta:

∂v = 0 odakle slijedi da komponenta brzine v ne zavisi od y, tj. da je v = v(z).Dok se ∂y

5

prema Navije-Stoksovim jednačinama dobija : 0 = 0 iz prve ; 0 = 0 −

∂p ∂2 v ∂p + µ( 2 ) iz druge ; 0 = −ρg − ∂y ∂z ∂z

∂p = C1 pa se dobija da iz treće jednačine. Integriranjem treće dobijamo p = −ρgz + f ( y ) odakle je f ( y ) = ∂y

je : C1 y + C 2 = f ( y ) iz toga je p = −ρgz + C1 y + C 2 odakle vidimo da su rasporedi pritisaka u y i z osi linearni. Uzet cemo za granične vrijednosti da su : p = p1 za z=h i y=y1 ; p=p2 za z=h i y=y2. p 2 − p1 ∆p ∆p = C1 = − y1 = C 2 znajući ove dvije konstante dobijamo Iz toga dobijamo da su : a ρgh + p1 + y 2 − y1 L L ∆p ( y − y1 ) + ρg ( h − z ) . Iz druge jednačine uz pomoć poznatog pritiska i izraz za raspored pritiska : p = p1 − L graničnih uslova v=0 za z=0 i v=v1 za z=h dobijamo konačan izraz koji definiše raspored brzine u Couteovom z h 2 ∆p z  z toku : u = 0 ; v = v1 + 1 −  ; w = 0 . Ove jednačine predstavljaju Coueteovo rješenje jednačina h 2µ L h  h hidrodinamike njutnovog nestišljivog fluida. U zavisnosti od znaka gradijenta pritiska mogu se formirati 3 kvalitativno različite strujne linije :

Slika(str.370) Ako uzmemo da T( tepmperatura) nije funkcija od y tada jednačina energije dobija oblik :

0=λ

∂v dv v1 ∂ 2T ∂v = = + µ ( ) 2 , posmatrat ćemo slučaj kada je Δp = 0. tada vrijedi da je : 2 ∂z dz h ∂z ∂z

tada dobijamo da je

2 µ v12 z 2 ∂ 2T µ v1 te kao rješenje dobijamo : T=− + C 5 z + C 6 tada iz graničnih =− λ h2 2 λ h2 ∂z 2

uslova : T = To za z=0 ; T=T1 za z=h dobijamo constante. Te tada raspored temperature je dat izrazom :

z µ v12 z  z  T = To + (T1 − To ) + 1 −  , čime smo kompletirali tačno analitičko rješenje problema. h λ 2 h h Posebni slučajevi Couetteovog tečenja : a) Tok između nepokretnih paralelnih ploča ( Pouiseilleov tok) : z h 2 ∆p z  z h 2 ∆p z  z Iz u = 0 ; v = v1 + 1 −  ; w = 0 za v1=0 dobijamo da je v = 1 −  što znači da je u h 2µ L h  h 2µ L h  h ovom slučaju raspored brzine paraboličan.

6

Slika (str.373) h Pri čemu vidimo da je maks na sredini rastojanja i iznosi : v max = v  i vidimo da su tangencijalni naponi na 2  h  ∆p  h  ∆p zidovima : ( N zy ) z =0 =   i ( N zy ) z =h = −  . Iz ovoga donosimo 2 zaključka : 2 L 2 L 1) Da bi v bilo pozitivno Δp mora biti pozitivno, tj . pritisak uvijek opada u pravcu toka. 2) Tangencijalni naponi na zidovima su takvi da je smjer sila u kojim ploče djeluju na fluid suprotan smjeru kretanja fluida. b) Prosto Couetteovo tečenje Ova vrsta tečenja nema gradijent pritiska u pravcu toka,tj. linearan je tok brzine i konstantan tangencijalni z v napon. Tada je v = v1 i N zy = µ 1 h h

Slika (str.375) 2 slučaj : Hagan-Poiseuilleovo rješenje Ovo je slučaj stacionarnog osnosimetričnog tečenja njutnovog nestišljivog fluida konstantne viskoznosti,koeficijenta provođenja toplote i specifične toplote kroz pravu cijev kružnog poprečnog presjeka konstantne temperature To. Pretpostavit ćemo da je samo komponenta brzine u pravcu ose cijevi v različita od nule i ako se zanemare gravitacioni efekti, tada jednačina kontinuiteta se svodi na :

∂v =0 ∂y

Slika ( str.376) Odavde slijedi da v = v(x,z), pa su Navije-Stoksove jednačine : ∂p ∂p ∂2 v ∂2 v ∂p 0 =− + µ( 2 + 2 ) ; 0 = − ; 0 =− odakle slijedi da pritisak ne zavisi ni od x ni od z tj. p = p(y) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z 1 ∂p ∂2 v ∂2 v = ( 2 + 2 ) ako se umjesto kartezijskih uvedu cilindrične koordinate tj. x=rcosϑ, z=rsinϑ) i onda je  µ ∂y ∂x ∂z 1 dp d 2v 1 d v =( 2 + ) i uzme u obzir da brzina v ne zavisi od ugla ϑ tj. da je v = v(r) pa jednačina dobija oblik : µ dy r dr dr

7

dp

iz ove jednačine dobijamo da je konstanta : dy = C1 pa je iz toga p = C1 y + C 2 , za početne uslove p=p1 ∆p ( y − y1 ) y=y1 i p=p2 y=y2 dobijamo vrijednosti konstanti i tada raspored pritiska je dat izrazom : p = p1 − L Poznavajući raspored pritiska sada možemo odrediti raspored brzina : v = C 3 ln r −

1 ∆p 2 r + C 4 pa iz 4µ L

graničnog uslova : v=0 za r=R i uzimajući u obzir da kada je r=0 da je brzina ne može biti beskonačna dobijamo raspored brzine : v = v max =

1 ∆p 2 R − r 2 , u ovom slučaju vidimo da brzina je najveća u osi cijevi tj : 4µ L

(

)

R 2 ∆p . Pretpostavit ćemo da temperatura fluida ne zavisi od y tada jednačina energije napisana u 4µ L 2

cilindričnim koordinatama se svodi na oblik :

d 2T 1 dT µ  dv  + = −   na osnovu poznate formulacije za 2 r dr λ  dr  dr 2

brzinu ovaj izraz postaje :

d 2T 1 dT µ  ∆p  2 + =−   r odakle dobijamo jednačinu za temperaturu : 2 r dr 4 µλ  L  dr

2

T =−

1  ∆p  4   r + C 5 ln r + C 6 .. Pomoću graničnih uslova : T=To za r=R i činjenice da T u osi mora biti 64 µλ  L  2

konačna, slijedi izraz za raspored temperature : T = To −

1  ∆p  4 4   R − r . Pri ovo strujanju bitno je 64 µλ  L 

(

)

spomenuti da toplota nastala usljed viskozne dispacije prelazi sa fluida na zid cijevi. Integralna analiza strujanja u graničnom sloju Posmatrajmo strujanje fluida u blizini čvrste površine postavljene u inače uniformnu struju fluida utvrđeno je da se formira zona toka u kojoj se brzina fluida mijenja od nule do brzine uniformnog toka. Na osnovu ovih opažanja je formirana teorija graničnog sloja, koja govori da imamo dva toka: glavni tok (neviskozan, tj. savršen) i tanak sloj uz čvrstu površinu , tkz. Granični sloj, unutar kojeg se viskozitet fluida ne može zanemariti. Mehanizam nastanka i razvoja graničnog sloja :Usljed zaustavljanja fluida uz čvrstu površinu formiraju se veliki gradijenti brzine i temperature , što uzrokuje stvaranje velikih tangencijalnih napona, što usporava susjedne slojeve, tako da debljina graničnog sloja raste u smjeru toka. Usljed promjene debljine graničnog sloja duž toka, mijenja se i režim toka u njemu, tj. Rejnoldsov broj. U početku je Re mali, dok je laminaran tok, nakon što se formira granični sloj, Re raste, te dolazi to nastanka turbulentnog toka, tj. turbulentnog graničnog sloja. U turbulentnom graničnom sloju možemo razlikovati 3 osnovne zone: 1) vrlo tanki viskozni podsloj uz čvrstu površinu 2) zona zidne turbulencije 3) zona slobodne turbulencije koja zauzima veći dio turbulentnog graničnog sloja ... Oblast 1 i 2 čine unutrašnju zonu, dok oblast 3 je spoljašnja zona. 1) Viskozni podsloj : tangencijalni napon je približno const. i jednak je naponu na čvrstoj površini.Usljed blizine zida turbulentne fluktuacije( brzina i temperatura) su prigušene, tako da se turbolentni tangencijalni napon može zanemariti : pa je N yx = µ

du = τ zid integriranjem ovog izraza za granični uslov u=0 za y=0 dobijamo brzinu smicanja : dy

u y u τ zid = τ prema tome iz toga dobijamo da je raspored brzine u viskoznom podsluju jednaka : uτ ν ρ q T − Tz y = − zid vidimo da je raspored brzine linearan. Dok je raspored temperature dat izrazom : Tz qcTz a uτ =

Za pojam viskoznog podsloja se veže pojam hidrodinamičke glatke i hrapave površine. Ako je visina elementa hrapavosti površine (k) manja od debljine viskoznog podsloja δ, onda je to hidrodinamički glatka površina a ako je suprotno onda je hidrodinamički hrapava površina. 2) Zona zidne turbulencije je relativno uska zona potpuno razvijenog turbulentnog toka u graničnom sloju, tu je tangencijalni napon uniforman i jednak tangencijalnom naponu na čvrstoj površi . Pri tome zanemareni su

8

2

viskozni naponi . N yx = µt

 du  du = ρl k2   dy   = τ zid i koristeći Prandtlovu pretpostavku da je u blizini zida dužina dy  

miješanja proporcionalna rastojanju od zida : l k = χy ϰ pri čemu je ovo bezdimenzionalna konstanta koja se u 1 uτ y = + B što predstavlja oblik univerzalnog eksperimentalno određuje, brzina u ovom sloju je jednaka : uτ χ ν logaritamskog rasporeda brzine. U ovom sloju raspored temperature je dat kao : Tz − T 1 ua ua y = Prt ln + BT , gdje je Pr turbulentni prandtlov broj(Pr=νt/at) a Bt konstanta. Tz χ uτ a 3) Zona slobodne turbulencije ili spoljašnja zona zauzima 80% posto sloja pri čemu ovdje se tangencijalni napon mijenja od vrijednosti u zoni zida do nule na granici graničnog sloja, i dokazano je da se univerzalni logaritamski raspored brzine može proširiti i na spoljašnju zonu turbulentnog graničnog sloja.U ovom sloju uo − u 1 y =− vrijedi akon deficita brzine : uτ χδ Debljina graničnog sloja -je normalno rastojanje od čvrste površine do tačke u kojoj je brzina fluida u= 0,99 Uo. Debljina istiskivanja je mjera smanjenja protoka usljed razvoja graničnog sloja.Postoje još debljina količine kretanja, debljina kinetičke energije i unutrašnje energije. Von Karmanova integralna jednačina količine kretanja h

(

)

dU 0 d ρ U 0 u − u 2 dy − ∫ dx 0 dx

h

∫ ρudy = τ 0

zid

+

dp 0 h  opšti oblik VonKarmanove jednačine količine kretanja dx

Laminarni granični sloj bez gradijenta pritiska U slučaju lamiranog strujanja u graničnom sloju najčešće se pretpostavljaju da je : I težimo ka izračunavanju koeficijenta otpora površine : cλ = 2 2αβ

1 Re x

u  y y = f   = f (η ) η = u0 δ δ 

(str.234,235).

9