Mehanika fluida I

Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan

MEHANIKA FLUIDA I Predavanja

Zagreb, 2015

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan

MEHANIKA FLUIDA I Predavanja

Zagreb, 2015

Predgovor

Gradivo izneseno u ovim skriptama pokriva sadržaj predavanja iz kolegija Mehanika fluida I koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu predaje studentima smjerova: Procesno energetski, Brodostrojarstvo, Inženjersko modeliranje i računalne simulacije te na studiju Zrakoplovstva, i Mehanika fluida K koji se predaje studentima Konstrukcijskog smjera. Skripta su prvenstveno namijenjena za lakše razumijevanje teorijskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih jednadžbi mehanike fluida. Nadamo se da će materijali dani u ovim skriptama studentima olakšati praćenje predavanja i omogućiti brže usvajanje znanja. Svrha i cilj ovih skripata nije bio da zamijene udžbenike i knjige iz Mehanike fluida I, jer je u njima dan skraćeni materijal, tj. pregled potrebnih znanja iz Mehanike fluida I. Koncept predavanja koji je iznesen u ovim skriptama rezultat je gotovo četrdeset godina kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se želimo zahvaliti našim učiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku Dolineru, koji su značajno doprinijeli današnjem obliku nastave iz Mehanike fluida I.

U Zagrebu, 20.02.2015. Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan

Mehanika fluida I

SADRŽAJ 1. Matematičke osnove ...................................................................................................... 1 1.1. Pravila indeksnog zapisivanja vektorskih i tenzorskih veličina ............................. 1 1.2. Pravila za promjenu komponenti tenzora pri rotaciji koordinatnog sustava Oxi u Ozj ........................................................................................................................... 1 1.3. Definicije ................................................................................................................ 1 1.4. Računske operacije s tenzorima ............................................................................. 2 1.5. Geometrijska interpretacija skalarnog umnoška vektora: ...................................... 3 1.6. Geometrijska interpretacija vektorskog umnoška vektora: .................................... 3 1.7. Diferencijalni operatori .......................................................................................... 4 1.8. Derivacija u smjeru jediničnog vektora n ............................................................. 4      1.9. Totalni prirast polja na putu dr  dxi ei  dx1e1  dx2 e2  dx3e3 ........................... 4 1.10. Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli .......... 5 1.11. Gaussova formula ................................................................................................... 5 2. Fizikalne osnove ............................................................................................................. 7 2.1. Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 7 2.2. Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 7 2.3. Fluid ili tekućina ..................................................................................................... 7 2.4. Viskoznost fluida .................................................................................................... 8 2.5. Sile u fluidu ............................................................................................................ 8 2.5.1.

Masene sile ................................................................................................ 8

2.5.2.

Površinske sile ........................................................................................... 9

3. Statika fluida ................................................................................................................ 13 3.1. Osnovna jednadžba statike (slučaj ai  0 ) ........................................................... 13 3.2. Promjena tlaka između dvije točke (uz   konst. i fi  konst. ) ..................... 14 3.3. Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže ( fi   g i 3 ,

g  9,80665 m/s2 ) ................................................................................................ 14 3.4. Princip spojenih posuda........................................................................................ 15 3.5. Hidrostatski manometri ........................................................................................ 15 3.6. Sila tlaka na ravne površine .................................................................................. 17

Mehanika fluida I

I

Sadržaj

3.6.1.

Geometrijska svojstva nekih površina ..................................................... 18

3.6.2.

Fiktivna slobodna površina......................................................................19

3.7. Sila tlaka na zakrivljene površine .........................................................................20 3.8. Sila uzgona ............................................................................................................22 4. Kinematika fluida .........................................................................................................23 4.1. Lagrangeov opis gibanja fluida .............................................................................23 4.2. Eulerov opis gibanja fluida ................................................................................... 25 4.3. Materijalna derivacija............................................................................................ 26 4.4. Trajektorije, strujnice i krivulje obilježenih čestica ..............................................27 4.5. Protok .................................................................................................................... 29 4.6. Strujna površina i strujna cijev ..............................................................................31 4.7. Protok fizikalne veličine ....................................................................................... 31 4.8. Brzina promjene veličine volumena......................................................................32 4.9. Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar volumena ............................. 33 4.10. Koncept kontrolnog volumena ..............................................................................34 4.11. Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar materijalnog volumena izražena promjenom u kontrolnom volumenu ...................................................... 34 4.12. Zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta) kao primjer primjene Reynoldsovog transportnog teorema.....................................................................34 5. Dinamika fluida ............................................................................................................37 5.1. Osnovni zakoni dinamike nestlačivog strujanja fluida za materijalni volumen ...38 5.2. Formulacija osnovnih zakona za kontrolni volumen ............................................39 5.3. Zakon mehaničke (kinetičke) energije ..................................................................40 5.3.1.

Formulacija zakona mehaničke energije za kontrolni volumen ..............42

5.3.2.

Primjena zakona kinetičke energije na jednodimenzijsko strujanje u cjevovodu .................................................................................................42

5.3.3.

Promjena tlaka okomito na strujnice ....................................................... 45

5.4. Ilustracija sadržaja modificirane Bernoullijeve jednadžbe ...................................46 5.5. Pojave i principi rada nekih uređaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom jednadžbom ...........................................................................................................50

II

5.5.1.

Kavitacija .................................................................................................50

5.5.2.

Ejektor ......................................................................................................51

5.5.3.

Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................ 51

5.5.4.

Gubitak utjecanja u veliki spremnik ........................................................ 52 Mehanika fluida I

Sadržaj

5.5.5.

Sifon......................................................................................................... 53

5.5.6.

Maksimalna visina usisavanja pumpe ..................................................... 54

5.5.7.

Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................. 54

5.5.8.

Formula za izračunavanje vremena pražnjenja posude ......................... 55

5.6. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 56 5.6.1.

Prandtl-Pitotova cijev ............................................................................. 57

5.6.2.

Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi ................................................. 58

5.6.3.

Venturijeva cijev ...................................................................................... 59

5.7. Primjena zakona količine gibanja i momenta količine gibanja za kontrolni volumen ................................................................................................................ 60 5.7.1. Primjena jednadžbe količine gibanja i momenta količine gibanja za određivanje sile fluida na plašt cijevi ..................................................... 64 5.7.2.

Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile mlaza fluida na lopatice .................................................................................................... 67

5.8. Primjena osnovnih zakona za kontrolni volumen koji se translatira konstantnom brzinom ................................................................................................................. 73 6. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na hidrauličke strojeve ...................... 79 6.1. Sila mlaza na pomičnu lopaticu ............................................................................ 79 6.2. Primjena jednadžbe količine gibanja na Pelton turbinu ....................................... 81 6.3. Primitivna teorija propelera .................................................................................. 83 6.4. Primjena jednadžbe momenta količine gibanja na centrifugalni stroj.................. 85 6.5. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na rotirajuću cjevčicu ...................... 87 6.6. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na aksijalni turbostroj ..................... 89 7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 93 7.1. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji sličnosti) .................................... 102 7.2. Neki zavisni bezdimenzijski parametri .............................................................. 102 8. Hidraulički proračun cjevovoda ............................................................................... 107 8.1. Modeliranje linijskih gubitaka............................................................................ 107 8.2. Modeliranje lokalnih gubitaka............................................................................ 110 8.3. Veza među faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka .......................... 111 8.4. Ekvivalentna duljina cjevovoda ......................................................................... 112 8.5. Postupci proračuna jednostavnih cjevovoda ...................................................... 112 8.6. Hidraulički proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka ....................... 115

Mehanika fluida I

III

Sadržaj

MEHANIKA FLUIDA K – DODATAK ........................................................................117 9. Osnovne jednadžbe dinamike fluida u diferencijalnom obliku.............................. 117 9.1. Zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta) .................................................. 117 9.2. Dva pomoćna pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida ..................... 118 9.3. Zakon očuvanja količine gibanja (jednadžba gibanja fluida) ............................. 119 9.4. Zakon očuvanja momenta količine gibanja......................................................... 122 9.5. Zakon očuvanja energije ..................................................................................... 123 9.6. Drugi zakon termodinamike ................................................................................127 9.7. Skup jednadžbi osnovnih zakona dinamike fluida ..............................................127 9.8. Konstitutivne (dopunske) jednadžbe ...................................................................128 9.8.1.

Odnosi za savršeni plin ..........................................................................128

9.8.2.

Fourierov zakon toplinske vodljivosti .................................................... 128

9.8.3.

Newtonov zakon viskoznosti ...................................................................129

9.9. Dodatak iz kinematike fluida ..............................................................................129 9.9.1.

Prvi Helmholtzov teorem .......................................................................129

9.9.2.

Tenzor brzine deformacije .....................................................................130

9.9.3.

Tenzor vrtložnosti................................................................................... 131

9.9.4.

Vektor vrtložnosti ................................................................................... 131

9.10. Osnovne jednadžbe dinamike Newtonskog savršenog plina .............................. 133 9.11. Matematički model nestlačivog strujanja............................................................ 134 9.12. Početni i rubni uvjeti ........................................................................................... 135 9.13. Alternativni oblik energijske jednadžbe.............................................................. 136 10. Teorija sličnosti ...........................................................................................................159 10.1. Definicija sličnosti dvaju pojava: ........................................................................160 10.2. Karakteristična vrijednost fizikalne veličine ....................................................... 161 10.3. Bezdimenzijska polja fizikalnih veličina ............................................................ 161 10.4. Teorem sličnosti ..................................................................................................162 10.5. Postupak određivanja kriterija sličnosti .............................................................. 162 10.6. Analiza važnosti bezdimenzijskih parametara .................................................... 170 10.6.1. Strouhalov broj ...................................................................................... 170 10.6.2. Froudeov broj ........................................................................................ 171 10.6.3. Eulerov broj, kavitacijski broj, Machov broj .........................................171 10.6.4. Reynoldsov broj ..................................................................................... 173

IV

Mehanika fluida I

POPIS NAJVAŽNIJIH OZNAKA

Fizikalna veličina

Jedinica u

Oznaka

Dimenzija

A, S

L2

m2

c

LT-1

m/s

D, d

L

m

sila

F

MLT-2

N

gravitacija

g

LT-2

m/s2

volumenski modul elastičnosti

K

ML-1T-2

Pa

maseni protok

m

MT-1

kg/s

moment sile

M

ML2T-2

Nm

snaga

P

ML2T-3

W

tlak

p

ML-1T-2

Pa

volumenski protok

Q

L3T-1

m3/s

potencijal masene sile

U

L2T-2

m2/s2

specifična unutrašnja energija

u

L2T-2

J/kg

površina brzina zvuka promjer

volumen fluida

V

L

m3

brzina strujanja fluida

v

LT-1

m/s

rad sile, energija

W, E

ML2T-2

J

geodetska visina

z

L

m

gustoća fluida



ML-3

kg/m3

koeficijent kinematičke viskoznosti



L2T-1

m2/s

koeficijent dinamičke viskoznosti



ML-1T-1

Pa∙s

kutna brzina



T-1

rad/s

koeficijent otpora trenja



-

-

, σ

ML-1T-2

N/m2



-

rad

naprezanje kut

Mehanika fluida I

3

SI sustavu

V

PREPORUČENA LITERATURA Virag, Z.: Mehanika fluida – odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002. Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnička enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod, Zagreb, 1982. Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John Wiley&Sons, Toronto, 1990. White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003. Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics – Fundamentals and Applications, McGraw-Hill, 2006.

VI

Mehanika fluida I

1. MATEMATIČKE OSNOVE 1.1. Pravila indeksnog zapisivanja vektorskih i tenzorskih veličina 1. Slobodni indeks je onaj koji se pojavljuje točno jedan puta u svakom aditivnom članu jednadžbe, a označuje komponente tenzora. Članovi bez slobodnog indeksa su skalari, s jednim slobodnim indeksom su vektori, a članovi s dva i više slobodnih indeksa su tenzori odgovarajućeg reda. Broj komponenti tenzora u trodimenzijskom prostoru je jednak 3n gdje je n broj slobodnih indeksa. 2. Ponovljeni (nijemi) indeks je onaj koji se u nekom aditivnom članu jednadžbe pojavljuje u paru, a označuje zbroj po svim njegovim vrijednostima. 3. Niti jedan indeks se u bilo kojem aditivnom članu ne smije pojaviti više od dva puta. 4. Paru nijemih indeksa se smije promijeniti oznaka.

1.2. Pravila za promjenu komponenti tenzora pri rotaciji koordinatnog sustava Oxi u Ozj Tij

Cil C jmTlm odnosno Tlm

gdje je matrica Cij

cos

(za vektore ai

Cil C jmTij

Cil al odnosno a j

Cil al )

(xi ,z j ) , a Tij i ai su komponente tenzora i vektora u odnosu na

Oxi dok su Tlm i a j komponente u odnosu na koordinatni sustav Ozj.

1.3. Definicije 1. Izotropni tenzor drugog reda ima svojstvo da mu se rotacijom koordinatnog sustava komponente ne mijenjaju, tj. vrijedi: Tij

Tij

2. Transponirani tenzor drugog reda dobije se tako da se indeksima zamijene mjesta Tij T

T ji

3. Simetrični tenzor Sij se ne mijenja transponiranjem tj. vrijedi Sij

SijT

S ji .

4. Antisimetrični tenzor Aij je suprotan po predznaku svome transponiranome tenzoru, tj. vrijedi Aij

AijT

Aji . Slijedi: A11

A22

A33

Mehanika fluida I

0.

1

1. Matematičke osnove

5. Kroneckerov delta:

6. Permutacijski simbol:

Vrijedi:

ijk lmk

il

1 za i 0 za i

ij

jm

j ; j

ii

3

1 za ijk 123, 231, 312 1 za ijk 132, 213, 321 ; 0 za dva (tri) jednaka indeksa

ijk

im jl

;

ijk ljk

2 il ;

ijk ijk

ijk

=

jki

1 i

kij

ijk

ikj

ijk

jik

2

j

6

1.4. Računske operacije s tenzorima 1. Zbrajanje:

Aij

2. Množenje skalarom:

Aij

Bij Bij

Cij

(za vektore ci (za vektore ci

bi )

ai ai )

3. Množenje tenzora a) skalarno (pojavljuje se jedan ili više parova nijemih indeksa), primjeri: c j

bT i ij ,

Aij Bij (dvostruki skalarni produkt tenzora).

b) vektorsko (pojavljuje se permutacijski simbol), primjer: Clj c) tenzorsko (svi su indeksi slobodni), primjer: Ckij

bT

lki k ij

bkTij

4. Kontrakcija (izjednačavanje) indeksa: Izjednačavanjem indeksa se red tenzora smanjuje za dva. Tenzorski produkt kontrakcijom indeksa prelazi u skalarni, primjer: Ckij

bkTij

k i

Ciij

cj

bT i ij .

5. Pravilo skalarnog množenja s Kroneckerovim delta: Nijemi indeks u izrazu kojeg se množi, zamjenjuje se slobodnim u Kroneckerovom delta, a Kroneckerov delta iščezava, primjer: Tij

im

Tmj .

6. Dvostruki skalarni produkt simetričnog Sij i antisimetričnog Aij tenzora jednak je nuli Sij Aij

2

0

.

Mehanika fluida I

k 3

1. Matematičke osnove

1.5. Geometrijska interpretacija skalarnog umnoška vektora: a c

a c cos projekcija c na a

ac

c a cos

ai ci

a1c1

a2c2

a3c3

projekcija a na c

Ako je npr. a jedinični vektor onda skalarni umnožak 

označuje projekciju ca vektora c na smjer vektora a . Vrijedi i

ca

obrnuto, za slučaj da je c jedinični vektor

je projekcija ac

vektora a na vektor c . Za slučaj skalarnog umnoška jediničnog vektora i tenzora, govori će se o projekciji tenzora na smjer vektora.

1.6. Geometrijska interpretacija vektorskog umnoška vektora: Indeksni zapis vektorskog produkta v  a  c glasi

vl



ac

lki k i

Geometrijski gledano intenzitet vektorskog produkta ima  značenje površine paralelograma čije su stranice vektori a i  c. v  v  a  c  ac sin 

  Vektor v je okomit i na vektor a i na vektor c . Smjer vektora v je određen pravilom desne ruke: idući prstima   desne ruke od vrha vektora a prema vrhu vektora c palac će pokazivati smjer vektora v .   Jasno je da kod promjene mjesta vektora a i c u produktu, vektor v mijenja smjer. Također je vektorski produkt dvaju kolinearnih vektora ili vektora samog sa sobom biti jednak nuli.

Mehanika fluida I

3

1. Matematičke osnove

1.7. Diferencijalni operatori         Operator nabla:   e1  e2  e3  ei x1 x2 x3 xi

Opis

Polje

operator

oznaka

Skalarno 

grad 



Vektorsko v

grad v

v

Tenzorsko T

gradT

T

Skalarno 

-

-

Vektorsko v

rot v

 v

ε ijk

vk x j

Tenzorsko T

rot T

 T

ε ijk

Tkm x j

Skalarno 

-

-

Vektorsko v

div v

v

Tenzorsko T

divT

T

Gradijent (Tenzorski

Ineksni zapis  xi

umnožak s  )

v j xi T jk xi -

Rotor (Vektorski umnožak s  )

Divergencija (Skalarni umnožak s  )

-

v j x j T jk x j

1.8. Derivacija u smjeru jediničnog vektora n    n  grad  n j (projekcija vektora gradijenta na smjer normale) n x j      1.9. Totalni prirast polja na putu dr  dxi ei  dx1e1  dx2 e2  dx3e3

d  dr  grad  dr  

    dx j  dx1  dx2  dx3 x j x1 x2 x3

Prirast polja je najveći pri pomaku u smjeru gradijenta (gradijent pokazuje smjer najbržeg porasta polja). Smanjenje polja je najveće pri pomaku u smjeru suprotnom od smjera gradijenta. Pri pomaku u smjeru okomitom na smjer gradijenta nema prirasta polja (vektor grad  je okomit na plohu  =konst.) 4

Mehanika fluida I

1. Matematičke osnove

1.10. Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli

Prostorni prikaz polja

x1 , x2

Crte označuju presjeke sa  =konst.

Polje

gradijenta

je

vektorsko

polje.

Vektorsko polje se vizualizira vektorskim krivuljama koje svojim tangentama pokazuju smjer vektora vektorskog polja. Desna slika prikazuje

vektorske

krivulje

vizualiziraju polje gradijenta 

koje gornjeg

primjera.

Dvodimenzijski prikaz polja izolinijama Vektori označuju smjer gradijenta

1.11.

Gaussova formula

Povezuje volumenski integral s površinskim integralom po zatvorenoj površini S koja

dS

opasuje volumen V:

V x3 dV

n j dS

S S

V

xj

dV

gdje umjesto točkice može stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje. O

x2

x1 Slika uz Gaussovu formulu Mehanika fluida I

5

1. Matematičke osnove

Primjeri:

pn j dS S

V

vj

v j n j dS S

6

p dV xj

V

xj

dV

ili

pndS S

ili

gradpdV V

v ndS S

divvdV V

Mehanika fluida I

2. FIZIKALNE OSNOVE 2.1. Osnovne dimenzije u mehanici fluida Veličina masa duljina vrijeme temperatura

Oznaka dimenzije M L T Θ

Jedinica u SI sustavu kg m s K

2.2. Hipoteza kontinuuma Kontinuum je matematički model materije prema kojem ona zadržava svoja fizikalna svojstva pri smanjivanju volumena u točku. Čestica kontinuuma (materijalna točka) ima infinitezimalni volumen dV, a svaka čestica zauzima samo jednu točku prostora, a u jednoj točki prostora se može nalaziti samo jedna čestica kontinuuma. Hipoteza kontinuuma omogućuje primjenu integralnog i diferencijalnog računa u mehanici fluida.

Primjeri: 

Gustoća čestice kontinuuma (materijalne točke) se izražava derivacijom: dm , dV



    ML3 ;   SI 

kg . m3

Brzina čestice kontinuuma definirana je masenom gustoćom količine gibanja atoma/molekula unutar čestice

m v v m

k k

k

,

v   LT-1 ; v SI 

k

m s

k



Kinetička energija čestice fluida

dEK  dm

v2 v2   dV 2 2

 EK   ML2T-2 ;  EK SI  J 2.3. Fluid ili tekućina

Definicija fluida: Fluid je tvar koja struji (tj. neprekidno se deformira) pod djelovanjem ma kako malog smičnog naprezanja. Fluid može biti u kapljevitom ili plinovitom stanju. Iz definicije fluida slijedi: U fluidu u mirovanju nema smičnih naprezanja.

Mehanika fluida I

7

2. Fizikalne osnove

2.4. Viskoznost fluida Fluid se opire vanjskim smičnim silama putem viskoznih naprezanja, koja se javljaju kao reakcija na brzinu deformacije (u elastičnim tijelima su to naprezanja definirana Hookovim zakonom, kao reakcija na deformaciju). U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su linearno razmjerna brzini deformacije fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva (dinamička) viskoznost fluida  ,

    ML1T-1 ;   SI  Pa  s .

Viskoznost je fizikalno

svojstvo fluida, koje pokazuje njegov otpor ka tečenju, a zavisi od termodinamičkog stanja fluida. Kod plinova s porastom temperature viskoznost raste, a kod kapljevina opada. Kinematička viskoznost  

 m2 . ,    L2T -1 ;  SI   s

2.5. Sile u fluidu 2.5.1. Masene sile su posljedica položaja mase u polju f i masene sile. ( f i je specifična masena sila = sila po jediničnoj masi,  fi   LT 2 ;  fi SI 

m ) s2

Masena sila dFi na česticu fluida: V

dFi

x3

fidm

fidV

Sila Fi na ukupni volumen V O

Fi

x2

fi dV V

 Fi   MLT2 ;  Fi SI  N

x1 Slika uz definiciju masenih sila Primjeri: sila gravitacije: fi

g

inercijske sile: fi

ai

8

i3

Mehanika fluida I

2. Fizikalne osnove

2.5.2. Površinske sile su sile dodira između čestica fluida ili između čestica fluida i stijenke. Definirane su specifičnim vektorom naprezanja

i

,  i   ML-1T2 ;  i SI  Pa . Sila dFi na elementarnu površinu dS

dFi = i dS V

x3

Sila Fi na ukupnu površinu S Fi =

S

i

dS

S

Za površinske sile vrijedi III Newtonov O

x2

zakon (princip akcije i reakcije), tj.

x1 i

Slika uz definiciju površinskih sila

nj

i

nj

(čitaj vektor naprezanja na površini orijentiranoj

jediničnim

vektorom

normale n j jednak je po veličini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na površini orijentiranoj normalom

n j ).

Stanje naprezanja u točki prostora jednoznačno je definirano tenzorom naprezanja. Komponente tenzora naprezanja definirane su x3

komponentama triju vektora naprezanja koji djeluju na površinama orijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog sustava, kao na slici. Svaki vektor naprezanja ima jednu normalnu komponentu (okomitu na površinu) i dvije x2

tangencijalne (smične) komponente. Tablični zapis komponenti tenzora naprezanja

x1

i

Slika uz definiciju komponenti

ji

tenzora naprezanja

j

11

12

13

21

22

23

31

32

33

Prvi indeks označuje redak, tj. smjer normale na površinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja komponente tenzora naprezanja. Tenzor naprezanja je simetričan

ij

ji

(osim ako postoje maseni i površinski momenti).

Mehanika fluida I

9

2. Fizikalne osnove

Veza između vektora i tenzora naprezanja: i

(n j )

nj

ji

(vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale) Dogovor o predznacima naprezanja:

Pozitivna naprezanja na površinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjeru koordinatnih osi također gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna naprezanja na površinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru koordinatnih osi, također gledaju u negativne smjerove tih osi. Stanje naprezanja u fluidu Slučaj

Tenzor naprezanja p ij ij ji

Realni fluid u gibanju (postoje viskozne sile)

ji

= viskozna naprezanja p = tlak

Vektor naprezanja i

nj

f i

nj

pni

ji

f i

ji

- Realni fluid u mirovanju ili relativnom mirovanju

ij

p

ij

i

nj

ji

pni

- Idealni fluid (neviskozan) Fluid relativno miruje kada se giba poput krutog tijela (nema pomicanja čestica jednih prema drugima). U relativnom mirovanju nema deformacije, što znači da nema ni viskoznih sila.

10

Mehanika fluida I

2. Fizikalne osnove

Površinska sila (vektor naprezanja) za slučaj stanja tlačnog naprezanja:

i

pni

Iz Gaussove formule slijedi p dV gradpdV xi S V V da se površinske sile mogu prikazati Fi =

V x3

volumenskim integralom.

Za p

S

pni dS

konst. je

p xi

0 (gradp

0) pa

je rezultirajuća sila konstantnog tlaka na zatvorenu površinu jednaka nuli.

x2

O x1

Slika uz definiciju sile tlaka

Rezultirajuća sila tlaka na česticu fluida se dobije smanjivanjem volumena

V na

infinitezimalni volumen dV, pri čemu se konačna sila Fi smanji na infinitezimalnu silu dFi tj. vrijedi. dFi =

p dV xi

gradpdV

Mehanika fluida I

11

2. Fizikalne osnove

12

Mehanika fluida I

3. STATIKA FLUIDA 3.1. Osnovna jednadžba statike (slučaj ai  0 )

 fi 

p ili  f  gradp xi

(izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka).

Iz osnovne jednadžbe statike imajući na umu svojstva gradijenta zaključuje se: 1. Ako nema masenih sila ( fi  0 ) slijedi da je tlak p konstantan. Pascalov zakon: Tlak narinut izvana na fluid u mirovanju širi se jednoliko u svim smjerovima. Ilustracija: hidraulička preša F

F

1

2

A

A

1

2

Tlakovi ispod stapova su jednaki, što znači da je F1 F2  A1 A2

ili

F2  F1

A2 A1

Što znači da dolazi do pojačanja sile.

2. Tlak najbrže raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbrže opada u smjeru – gradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile, 3. Budući da je gradp okomit na površinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeru na vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim riječima, vektor masene sile je okomit na površine konstantnog tlaka (izobare). Također vrijedi: 4. Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u svakoj točki okomit na razdjelnu površinu, 5. Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne površine prema fluidu veće gustoće, 6. Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare učinci površinske napetosti.

Mehanika fluida I

13

3. Statika fluida

3.2. Promjena tlaka između dvije točke (uz   konst. i fi  konst. ) Iz osnovne jednadžbe statike slijedi: 1

p2  p1  fi xi ili



p2  p1  f  r  p1   f r cos   fi

Iz svojstva skalarnog produkta je jasno da se pri

xi

određivanju promjene tlaka može ili put 2

projicirati na silu ili silu na put. Očito je, ako se poveća tlak p1 u točki 1,

povećat će se i tlak p2 u točki 2, odnosno u svim drugim točkama, što je bit Pascalova zakona koji kaže da se tlak narinut izvana na fluid u mirovanju širi jednoliko u svim smjerovima.

3.3. Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže ( fi   g i 3 , g  9,80665 m/s2 )

p  p0   gz  p0   gh

ili

p p  z  0  konst. g g

gdje z označuje visinu, h dubinu, a p0 tlak u ishodištu koordinatnog sustava.

 p   p  p  visina tlaka,    L,    m stupca fluida, g  g    g  SI p  z  piezometrička visina. g

14

Mehanika fluida I

3. Statika fluida

3.4. Princip spojenih posuda Ako homogena kapljevina miruje u više međusobno spojenih posuda, tada će p0

p0

p0 .

O

slobodne površine otvorene z=konst.

g

prema istom atmosferskom tlaku

p0

ležati u istoj

izobari (za mirujući fluid to



je horizontalna ravnina).

3.5. Hidrostatski manometri Postupak za postavljanje jednadžbe manometra (jednadžbe promjene tlaka između dviju točaka koje se mogu međusobno spojiti kroz mirujući fluid) Polazi se s tlakom u jednoj točki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika  gh , (idući od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, a s negativnim ako se ide prema gore. Kada se dođe do druge točke tako dobiveni izraz se izjednačuje s tlakom u toj točki.

Primjer diferencijalnog manometra: A B

h1 1

h0

- jednadžba od točke B do točke A

pB  2 gh2  0 gh0  1gh1  pA

h2 2

- jednadžba od točke A do točke B

pA  1gh1  0 gh0  2 gh2  pB 0

Napomena: Jednadžba manometra se može pisati i s manometarskim tlakovima u obje točke.

Mehanika fluida I

15

3. Statika fluida

Apsolutni tlak p se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum). Manometarski tlak pM je razlika apsolutnog p i atmosferskog tlaka pa (mjeri se u odnosu na atmosferski tlak). Pozitivni manometarski tlak pM > 0 se naziva pretlak, a negativni pM < 0 podtlak.

pM  p  pa Živin barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka (apsolutnog). Slika shematski prikazuje živin barometar. Zamislimo da je

g

cjevčica u trenutku uranjanja u posudu bila potpuno ispunjena živom, gustoće 0 . Nakon uspostavljanja ravnoteže visina žive će se u cjevčici ustaliti na visini ha, a iznad žive, u zatvorenom dijelu

ha pa

cjevčice bi teorijski bio vakuum. Realno će zbog vakuuma doći do „isisavanja“ molekula žive koje će se slobodno gibati u prostoru iznad kapljevite faze, čineći živinu paru. Naravno, čitavo vrijeme će neki atomi „iskakati“ iz kapljevite faze, a neki slobodni bivati privučeni u kapljevitu fazu, a kada se brojevi tih molekula izjednače, postići će se ravnotežno stanje, pri čemu će u prostoru iznad žive vladati tlak živinih para (tlak zasićenja) pv .

Jednadžba hidrostatskog manometra, uz oznake prema slici glasi:

pa  pv  0 gha Tlak zasićenja ovisi o temperaturi (raste s temperaturom), a za živu on iznosi 0,021 Pa kod temperature 0°C i 0,841 Pa pri temperaturi 40°C, što je zanemarivo u osnosu na mjereni atmosferski tlak koji je reda veličine 100000 Pa. Zbog toga se tlak pv zanemaruje, tj. vrijedi pa  0 gha . Kao što je uvedena dogovorena (standardna) vrijednost gravitacije, tako se uvodi i dogovoreni atmosferski tlak, koji iznosi 760 mmHg ili 101325 Pa (izračunato s gustoćom žive 13595 kg/m3 i standardnom gravitacijom g=9,80665 m2/s).

16

Mehanika fluida I

3. Statika fluida

3.6. Sila tlaka na ravne površine

p0

O

g



h

n

hC  in = s yC

x

F0= p0 A

hC

Fh=pC A C

Fh  phC A

p=p0+gh H =konst.

C

 x

H y





y



A

Sila F0 uslijed konstantnog tlaka p0 okomita je na ravnu površinu A i djeluje od fluida prema površini u njenom težištu, a po veličini je: F0  p0 A



Sila Fh uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka ph   gh okomita je na ravnu površinu A i djeluje od fluida prema površini u točki H, a po veličini je:

Fh  phC A   ghC A gdje je hC dubina na kojoj se nalazi težište C površine A . 

Položaj točke H je u odnosu na težište C površine A definiran pomacima x i y za koje vrijedi: Δy 

I yC A

i

Δx 

I yC A

gdje je yC  hC sin  udaljenost težišta C

od slobodne površine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi površina (udaljenost OC prema slici), a I  i I su glavni i centrifugalni moment inercije površine A u odnosu na osi  i  kroz težište, prema slici. Pomak Δx je za površine s barem jednom osi simetrije jednak nuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o centrifugalnom momentu inercije I ). 

Za vertikalno uronjenu površinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenu površinu (   0 ) yC   pa su prema gornjim izrazima x=y=0, te će sila Fh djelovati u težištu površine, kao i za slučaj konstantnog tlaka p0.

Mehanika fluida I

17

3. Statika fluida

g

p0

O

g

p0

 

yC=hC

hC

Fh= ghC A

ρ

C

h

H

Fh= ghC A



C

A

C

A

A Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na težište C površine ne zavise od dubine na kojoj se težište nalazi M x  Fh   y   ghC A 

I   gI  sin yC  A

M y  Fh   x   ghC A 

I   gI  sin yC  A

3.6.1. Geometrijska svojstva nekih površina Geometrijski lik

Površina

I

I

A  ab

ba 3 12

ab 3 12

0

R4 4

R4 4

0

0,1098R 4

0,3927 R 4

0

C

a



 b/2

R

b/2



C

A R

2



C

 4R 3

R

R

A

1 2 R 2



18

I

Mehanika fluida I

3. Statika fluida

d

a



C 

ab 2

ba 3 36

1 2 R 4

0,05488R 4

A

a 3

ba 2  b  2d  72

b+d 3 b

4R 3 4R 3



C R

A

0,01647 R 4

0,05488R 4



Položaj rezultantne sile FR=Fh+F0 za slučaj istosmjernih i mimosmjernih sila F0 i Fh.

y 

y Fh

FR= Fh+F0

C

yR



yR



 F0

F0

C

Fh H

yR=y

H

Fh Fh+F0

FR= Fh -F0 yR=y

Fh Fh -F0

b) mimosmjerne sile

a) istosmjerne sile

3.6.2. Fiktivna slobodna površina Ako je tlak s obje strane površine isti (slučaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlaka se poništavaju. Za slučaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se računa s manometarskim tlakom pM0 u spremniku. Računanje sile konstantnog tlaka (u slučaju da je površina potpuno uronjena u fluid) može se izbjeći uvođenjem fiktivne slobodne površine. Fiktivna slobodna površina je udaljena od stvarne slobodne površine za visinu manometarskog tlaka hf  pM0  g (za slučaj pretlaka je iznad, a za slučaj podtlaka ispod stvarne slobodne površine). Ako fiktivna slobodna površina padne ispod težišta C površine, dubina h postaje negativna, a svi izrazi i dalje vrijede.

Mehanika fluida I

19

3. Statika fluida

Fiktivna slobodna površina se može uvesti i za slučaj mirovanja dvaju fluida različitih gustoća prema slici. g

pa

h O

0