Meh Loma CAD

PAK – FM&F

Mehanika loma

NUMERIČKE METODE U MEHANICI LOMA I MEHANICI ZAMORA MATERIJALA *PRIMERI* Miroslav Živković, Gordana Jovičić, Snežana Vulović

1

PAK – FM&F

Mehanika loma

MEHANIKA LOMA

2

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 1-Faktor intenziteta napona KI ploče sa dve ivične prsline po celoj debljini U ovom primeru razmatra se određivanje faktora intenziteta napona KI (mod I otvaranja prsline) ploče sa dve ivične prsline po celoj debljini pod dejstvom beskonačnog zatežućeg napona kao što je prikazano na Slici 1. Elastične karakteristike materijala i dimenzije date su na Slici 1. Simetrija problema dopušta da se pri analizi koristi četvrtina modela. MPa

MPa mm

mm Prslina

Vrh prsline Četvrtina modela za analizu Ploča sa ivičnim prslinama po celoj Slika 1. Izraz za analitičko rešenje faktora intenziteta napona prema Keer i Freedman, 1973: K I =σ πa

1.12 -0.61(a/W) + 0.13( a 3 / W 3 ) 1-( a / W )

za sve odnose (a/W)

Zamenom vrednosti za ovaj primer dobija se analitičko rešenje: KI=884.763 MPa mm . Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I

Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa

II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V VI

Zadavanje opterećenja Zadavanje prsline

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u 3

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Modelu treba dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba1 snimiti u direktorijum Vezbe, koji je potrebno kreirati ukoliko ne postoji na radnom disku (D disk), na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

1

2

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala, potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

4

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolicki elementi da bi se kreirali osmočvorni elementi koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika ljuske potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Geometrija>Kreiranje poligona>Lociranje tacaka...

1

5

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

4

5

6

7

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu potrebno je potvrditi opciju Cancel. Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom komande: Prikaz>Zoom>Sve

(Ctrl+A)

Prikaz>Opcije...

2

3

1

Prikaz>Zoom>Prozor

(Ctrl+B)

Prozorom podesiti prikaz, na celom ekranu, kao na slici 2.

6

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 2.

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, tj. na površini. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreza>Kreiranje mreze>Od poligona...

7

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja odgovarajućih karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom: Obrisi>Model>Cvorove...

1

2

3

Potrebno je izvršiti renumeraciju preostalih čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Cvorova Prikaz>Opcije...

2 1

3

4 5

Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 3. 8

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 3.

IV Zadavanje ograničenja Simetrični granični uslovi se zadaju duž vertikalne i horizontalne ose simetrije. Budući da prslina predstavlja slobodnu ivicu tj. diskontinuitet u geometriji, duž prsline se ne zadaju granični uslovi pomeranja. Obzirom da se pravac prsline poklapa sa pravcem x-ose pomeranja duž ivice sa prslinom su ograničena u pravcu y-ose, osim na mestu prsline, dok su pomeranja desne vertikalne ivice ograničena u x pravcu. Model>Ogranicenja>Na cvoru Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicavanje (na cv... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve čvorovi donje ivice modela, koji ne pripadaju prslini uključujući i čvor u vrhu prsline, vidi sliku 4.

9

PAK – FM&F

Mehanika loma

2 1

Slika 4.

2

3

5 4 7

6

10

PAK – FM&F

Mehanika loma

Model>Ogranicenja>Na cvoru Sada je potrebno selektovati čvorove na desnoj ivici modela (linija 2) i ograničiti pomeranja u pravcu x-ose. Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicenje (na cv... kliknuti na dugme Metode>, pa izabrati Na krivoj.

1

2

U edit boks upisati broj krive (ID) na kojoj zadajemo ograničenje (linija 2), pa kliknuti na dugme Dodaj ili selektovati krivu pomoću miša, linija će biti označeni sa +2 i biće dodata u Entity Selection boks, potom kliknuti na dugme OK.

3

4

6 5 7

8

Zadali smo uslove simetrije, sada je potrebno zadati globalna ograničenja.

11

PAK – FM&F

Mehanika loma

Modifikacija>Globalna ograničenja

1

2

V Zadavanje opterećenja Zadaćemo pritisak prema uslovima zadatka. Model>Opterecenja>Na elementu... Na dijalogu Selektovanje elemenata za opterecenje (na el... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve elemente iz gornjeg reda (obuhvatiti ceo element), vidi sliku 5. 2

1

Slika 5.

12

PAK – FM&F

Mehanika loma

2 4

5

3

6

VI Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline Kao prvi čvor selektujemo čvor u vrhu prsline, a kao drugi, čvor koji definiše kraj prsline. Potrebno je još definisati poluprečnike integracije.

3

1

4 5 6

2

7 8 Na slici 6 prikazan je izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima, opterećenjem i definisanom prslinom.

13

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 6. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

2

1

14

PAK – FM&F

Mehanika loma

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba1.dat ili prebaciti fajl vezba1.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon čega treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba1.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba1.LST, vezba1.UNV, vezba1.NEU.

1

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba1.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE 20.0000000000000 PRSTEN FAKTOR INTEZITETA NAPONA J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 Broj prstena, KI 1 842.991026541359 Broj prstena, KII 1 20.9642539882144 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 Broj prstena, KI 2 924.659176516535 Broj prstena, KII 2 46.3761113024504 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 Broj prstena, KI 3 924.659176516535 Broj prstena, KII 3 46.3761113024504 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 Broj prstena, KI 4 858.830510727480 Broj prstena, KII 4 50.5431995157628 Prslina br., NCS, KI 1 1 887.784972575477 Prslina br., NCS, KII 1 1 41.0649190272195

Za programski paket PAK prikazano je u tabeli 1 poređenje sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI =884.763 MPa mm , Keer i Freedman(1973)) COSMOS PAK

KI [ MPa mm ] 885.133 887.785

15

Greška [%] 0.04 0.3

PAK – FM&F

Mehanika loma

VIII Postprocesiranje u PAK-G-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP Neutral fajl (*.NEU)…

1 2

3

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK.

4 Rasteretićemo prikaz na ekranu isključivanjem prikaza radne ravni, čvorova i numeracije elemenata sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

2 1

6

4 3 5

Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve... (Ctrl+A) Prozorom uvećati prikaz. 16

7

PAK – FM&F

Mehanika loma

Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Rezultati>Prikazi...

3 1

5

2

4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Vidljivost

17

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 7. Ukupna pomeranja Potom ćemo prikazati polje napona. Rezultati>Prikazi...

1 4

2

3

18

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Osvezi (Ctrl+D)

Slika 8. Polje napona

19

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 2-Faktor intenziteta napona KI grede sa ivičnom prslinom po celoj debljini U primeru se razmatra određivanje faktora intenziteta napona KI (mod I otvaranja prsline) grede sa prslinom u centru duž kraće stranice po celoj debljini, opterećene centralnom silom kako je prikazano na Slici 1. Ovaj tip modela je opšti, a koristi se za eksperimentalno određivanje KI - faktora intenziteta napona. Karakteristike materijala i geometrijski podaci dati su na Slici 1. Simetrija problema dopušta da se pri analizi koristi polovina modela. N Vrh prsline

mm

Prslina

a=20mm mm Polovina modela za analizu

Greda sa ivičnom prslinom po celoj debljini

E=30e6MPa n=0.28

Slika 1. Analitički izraz za određivanje faktora intenziteta napona prema literaturi: OSNOVI MEHANIKE LOMA-Dr Dragoslav Šumarac, Dr Dušan Krajčinović

6M Ps ; (M= ); K I =σ πa F(a/W) 2 2 BW za 2s/W=4:

σ=

F(a/W)=1.090-1.735(a/W)+8.20(a/W)2 -14.18(a/W)3 +14.57(a/W)4 za 2s/W=8: F(a/W)=1.107-2.120(a/W)+7.71(a/W)2 -13.55(a/W)3 +14.25(a/W)4 Analitičko rešenje faktor intenziteta napona, za ovaj primer, prema Šumarac, Krajčinović je: KI=3.353 MPa mm . Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I

Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa

II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V VI

Zadavanje opterećenja Zadavanje prsline

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u 20

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Novom modelu je potrebno dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba2 snimiti u postojeći direktorijum Vezbe, na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

1

2

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala, potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

21

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolicki elementi da bi se kreirali osmočvorni elementi koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika ljuske, potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Geometrija>Kreiranje poligona>Lociranje tacaka...

1

22

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

1

2

1

2

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu, potvrdite opciju Cancel. Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom komande: Prikaz>Zoom>Sve

(Ctrl+A)

Isključivanje prikazivanja radne ravni vrši se sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

2

3

1

Prikaz>Zoom>Prozor

(Ctrl+B)

Prozorom podesiti prikaz, na celom ekranu, kao na slici 2.

23

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 2.

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, tj. na površini. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreža>Kreiranje mreže>Od poligona...

24

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja odgovarajućih karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom: Obrisi>Model>Čvorove...

1

2

3

Potrebno je izvršiti renumeraciju preostalih čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Cvorova Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 3.

25

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 3.

IV Zadavanje ograničenja Simetrični granični uslov se zadaje duž vertikalne ose simetrije. Budući da prslina predstavlja slobodnu ivicu tj. diskontinuitet u geometriji, duž prsline se ne zadaju granični uslovi pomeranja. Obzirom da se pravac prsline poklapa sa pravcem y-ose, pomeranja duž ivice sa prslinom su ograničena u pravcu x-ose, osim na mestu prsline. Takođe je potrebno ograničiti i pomeranje jednog čvora na mestu donjeg levog oslonca u y pravcu kako je dato postavkom zadatka. Model>Ogranicenja>Na cvoru Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicavanje (na cv... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve čvorovi donje ivice modela, koji ne pripadaju prslini uklučujući i čvor u vrhu prsline, vidi sliku 4.

2

1

Slika 4. 26

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

4 3 6

5 Model>Ogranicenja>Na cvoru

Zatim je potrebno kursorom miša selektovati krajnji levi čvor na donjoj ivici modela i ograniči pomeranje u y pravcu prema uslovu zadatka.

1

2

4 3 6

5 27

PAK – FM&F

Mehanika loma

Zadali smo uslov simetrije, sada je potrebno zadati globalna ograničenja. Modifikacija>Globalna ograničenja

1

2

V Zadavanje opterećenja Model>Opterecenja>Na cvoru... Pomoću miša selektujemo čvor u gornjem desnom uglu, gde deluje sila prema uslovu zadatka.

1

3 2

4

VI Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline Kao prvi čvor selektujemo čvor u vrhu prsline, a kao drugi, čvor koji definiše kraj prsline.

28

PAK – FM&F

Mehanika loma

1 2

3 4 Na slici 5 je prikazan izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima, opterećenjem i definisanom prslinom.

Slika 5. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

29

PAK – FM&F

Mehanika loma

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

2

1

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba2.dat ili prebaciti fajl vezba2.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon čega treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba2.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba2.LST, vezba2.UNV, vezba2.NEU.

1

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba2.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE 20.0000000000000 PRSTEN FAKTOR INTEZITETA NAPONA J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 Broj prstena, KI 1 3.22370917721769 Broj prstena, KII 1 -0.242825130862000 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 Broj prstena, KI 2 3.16718624195569 Broj prstena, KII 2 -6.332072507139927E-002 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 Broj prstena, KI 3 3.22109272665925 Broj prstena, KII 3 -0.169769300951402 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 Broj prstena, KI 4 3.24694530513915 Broj prstena, KII 4 -0.190338478573569 Prslina br., NCS, KI 1 1 3.21473336274294 Prslina br., NCS, KII 1 1 -0.166563408864593

30

PAK – FM&F

Mehanika loma

Za programske pakete COSMOS i PAK prikazana su u tabeli 1 poređenja sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI =3.3541 MPa mm , Šumarac, Krajčinović) COSMOS PAK

Greška [%] 12.2 4.2

KI [ MPa mm ] 2.9449 3.2147

VIII Postprocesiranje u PAK-G-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP Neutral fajl (*.NEU)…

1

2

3

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK..

4 Prikaz>Opcije...

2 1

6

4 3 5

31

7

PAK – FM&F

Mehanika loma

Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve... (Ctrl+A) Prozorom uvećati prikaz. Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Rezultati>Prikazi... 3 1

5

2

4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Vidljivost

32

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 6. Ukupna pomeranja Rezultati>Prikazi...

1 4

2

3 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Osvezi (Ctrl+D) 33

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 7. Efektivni napon

34

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 3-Faktor intenziteta napona KI ploče sa centralnom prslinom po celoj debljini Za ploču sa centralnom prslinom, datu na slici 1, odredićemo faktor intenziteta napona KI primenom analitičkog izraza za određivanje faktora intenziteta napona i primenom MKE. Simetrija problema dopušta da se pri analizi koristi četvrtina modela. Elastične karakteristike materijala i dimenzije ploče su: E=30×106MPa, n=0.3, W=20mm, a=2mm, t=1mm, s=1MPa s

Vrh prsline

Prslina

s Greda sa centralnom prslinom po celoj debljini

Model konačnih elemenata Slika 1.

Analitički izraz za određivanje faktora intenziteta napona prema G.C.Sih: K I =σ πa f(a/W) Funkcija f(a/W) data je tabelarno: a/W f(a/W) 1.00 £0.074 0.207 1.03 0.275 1.05 0.337 1.09 0.41 1.13 0.466 1.18 0.535 1.25 0.592 1.33 Zamenom vrednosti za ovaj primer dobija se analitičko rešenje: KI=2.5703 MPa mm . Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V Zadavanje opterećenja VI Zadavanje prsline VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u 35

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Novom modelu je potrebno dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba3 snimiti u postojeći direktorijum Vezbe, na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

2

1

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala, potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

36

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolički elementi da bi se kreirali osmočvorni elementi koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika ljuske, potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Geometrija>Kreiranje poligona>Lociranje tacaka...

1

37

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

1

2

1

2

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu, potvrdite opciju Cancel. Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom komande: Prikaz>Zoom>Sve

(Ctrl+A)

Isključivanje prikazivanja radne ravni vrši se sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

2

3

1

Prikaz>Zoom>Prozor

(Ctrl+B)

Prozorom podesiti prikaz, na celom ekranu, kao na slici 2.

38

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 2.

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, tj. na površini. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreza>Kreiranje mreze>Od poligona...

39

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja odgovarajućih karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom: Obrisi>Model>Cvorove...

1

2

3

Potrebno je izvršiti renumeraciju preostalih čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Čvorova Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 3.

40

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 3.

IV Zadavanje ograničenja Simetrični granični uslov se zadaje duž vertikalne i horizontalne ose simetrije. Budući da prslina predstavlja slobodnu ivicu tj. diskontinuitet u geometriji, duž prsline se ne zadaju granični uslovi pomeranja. Obzirom da se pravac prsline poklapa sa pravcem x-ose, pomeranja duž ivice sa prslinom su ograničena u pravcu y-ose, osim na mestu prsline. Model>Ogranicenja>Na cvoru Sada je potrebno selektovati čvorove na levoj ivici modela (linija 4) i ograničiti pomeranja u pravcu xose. Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicenje (na cv... kliknuti na dugme Metode>, pa izabrati Na krivoj.

41

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

U edit boks upisati broj krive (ID) na kojoj zadajemo ograničenje (linija 4), pa kliknuti na dugme Dodaj ili selektovati krivu pomoću miša, linija će biti označeni sa +4 i biće dodata u Entity Selection boks, potom kliknuti na dugme OK.

3

4

6 5 7

8

Model>Ogranicenja>Na cvoru Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicavanje (na cv... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve čvorovi donje ivice modela, koji ne pripadaju prslini uklučujući i čvor u vrhu prsline, vidi sliku 4.

42

PAK – FM&F

Mehanika loma

1 2 Slika 4.

2

3

5 4 7

6

Zadali smo uslove simetrije, sada je potrebno zadati globalna ograničenja. 43

PAK – FM&F

Mehanika loma

Modifikacija>Globalna ograničenja

1

2

V Zadavanje opterećenja Model>Opterecenja>Na elementu... Na dijalogu Selektovanje elemenata za opterecenje (na el... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve elemente iz gornjeg reda (obuhvatiti ceo element), vidi sliku 5.

2

1

Slika 5.

44

PAK – FM&F

Mehanika loma

2 4 3

5 6

VI Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline Kao prvi čvor selektujemo čvor u vrhu prsline, a kao drugi, čvor koji definiše kraj prsline.

1 2

2 4

Na slici 6 je prikazan izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima i opterećenjem i definisanom prslinom.

45

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 6. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

VI Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

1

2

46

PAK – FM&F

Mehanika loma

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba3.dat ili prebaciti fajl vezba3.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon čega treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba3.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba3.LST, vezba3.UNV, vezba3.NEU.

1

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba3.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE 2.00000000000000 PRSTEN FAKTOR INTEZITETA NAPONA J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 Broj prstena, KI 1 2.33459603086759 Broj prstena, KII 1 0.176968478911421 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 Broj prstena, KI 2 2.62319585946579 Broj prstena, KII 2 0.315271796473117 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 Broj prstena, KI 3 2.62319585946579 Broj prstena, KII 3 0.315271796473117 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 Broj prstena, KI 4 2.62319585946579 Broj prstena, KII 4 0.315271796473117 Prslina br., NCS, KI 1 1 2.55104590231624 Prslina br., NCS, KII 1 1 0.280695967082693

Za programske pakete COSMOS i PAK prikazana su u tabeli 1 poređenja sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI =2.5703 MPa mm ) COSMOS PAK

KI [ MPa mm ] 2.668 2.551

Greška [%] 3.8 0.7

VIII Postprocesiranje u PAK-G-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP Neutral fajl (*.NEU)…

47

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3

2

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK.

4 Prikaz>Opcije...

2

6

4

1

3

7 8

5

Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve... (Ctrl+A) Prozorom uvećati prikaz. Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Rezultati>Prikazi... 3 1

5

2 48

PAK – FM&F

Mehanika loma

4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Vidljivost

Slika 7. Ukupna pomeranja Potom ćemo prikazati polje napona. Rezultati>Prikazi...

49

PAK – FM&F

Mehanika loma

1 4

2

3 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Osvezi (Ctrl+D)

Slika 8. Polje napona 50

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 4 - Faktor intenziteta napona KI ploče sa kružnim otvorom u prisustvu jedne prsline U ovom primeru razmatra se određivanje faktora intenziteta napona KI (mod I otvaranja prsline) ploče. Ploča je jednoosno opterećena i ima otvor poluprecnika R, dimenzije ploče i karakteristike materijala date su na slici 1. Simetrija modela dozvoljava da se pri analizi modelira polovina ploče, uz primenu odgovarajućih graničnih uslova.

2h=14 mm 2R=3.2 mm a=0.05*2R=0.16 mm w=14 mm t=1 mm E=74900 MPa n=0.3 s=71.8 MPa

Slika 1.

Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I

Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa

II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V VI

Zadavanje opterećenja Zadavanje prsline

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u

51

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Modelu treba dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba4 snimiti u direktorijum Vezbe, koji je potrebno kreirati ukoliko ne postoji na radnom disku (D disk), na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

1

2

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala, potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

52

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolicki elementi da bi se kreirali osmočvorni elementi koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika membrane potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Kreiraćemo prvo kružne lukove. Geometrija>Kreiranje lukova>Ugao-centar-pocetak...

53

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

3

4

5 6

1

2

1

2

3

4

5 6 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetne tacke luka potrebno je potvrditi opciju Cancel. Isključićemo prikaz radne ravni. Prikaz>Opcije...

54

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

1

Nacrtaćemo linije potrebne za kreiranje geometrije polovine modela. Geometrija>Kreiranje linija>Lociranje tacaka…

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

55

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

3

4

1

2

3

4

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu potrebno je potvrditi opciju Cancel. Iskoristićemo prethodno kreiranje tačke za crtanje krivih. Geometrija>Kreiranje linija>Od dve tacke...

1 2

1 2

1 2 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje vektora kroz dve tacke potrebno je potvrditi opciju Cancel. Preslikaćemo kreirane prave linije (reflektovati) u odnosu na y-osu. 56

PAK – FM&F

Mehanika loma

Geometrija>Refleksija>Krive...

2

1

3

4

5

7

6

Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom komande: Prikaz>Zoom>Sve Prikaz>Zoom>Prozor

(Ctrl+A) (Ctrl+B)

Prozorom podesiti prikaz, kao na slici 2.

Slika 2. Geometrija>Kreiranje poligona >Od cetiri stranice… Kreiraćemo poligone unošenjem ID-a linija ili selektovanjem linija pomoću miša (sliku 2), redosledom prikazanim na sledećim dijalozima.

57

PAK – FM&F

Mehanika loma

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Kreiranje poligona potrebno je potvrditi opciju Cancel. Geometrija>Kreiranje poligona >Lociranje tacaka…

1

2

1

2

58

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

59

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu potrebno je potvrditi opciju Cancel. Na slici 3 prikazana je kreirana geometrija modela.

Slika 3. 60

PAK – FM&F

Mehanika loma

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, tj. na površini. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 4 2

5

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2 Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

61

4

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2 Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

62

4

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kreiranje mreze>Od poligona...

1

3 2

4

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja odgovarajućih karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom: Obrisi>Model>Cvorove...

1

2

3

63

PAK – FM&F

Mehanika loma

Pošto su elementi kreirani nezavisno na svakoj površini (poligonu), potrebno je eliminisati čvorove koji se preklapaju, tj. uraditi tzv. merdžovanje. Editovanje>Provera preklapanja>Cvorova…

1

2

3

Potrebno je izvršiti renumeraciju preostalih čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Cvorova... Sada ćemo izvršiti rasterećenje prikaza na ekranu isključivanjem geometrijskih entiteta i numeracije čvorova i elemenata. Prikaz>Opcije ...

1

2

3

4

8 7

9

6

5

10 11

Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 4.

64

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 4.

IV Zadavanje ograničenja Granični uslovi simetrije zadaju se duž horizontalne ose simetrije. Budući da prslina predstavlja slobodnu ivicu tj. diskontinuitet u geometriji, duž prsline se ne zadaju granični uslovi. Obzirom da se pravac prsline poklapa sa pravcem x-ose, pomeranja duž ivice sa prslinom su ograničena u pravcu yose, osim na mestu prsline. Model>Ogranicenja>Na cvoru Selektuju se svi čvorovi donje ivice modela koji ne pripadaju prslini uklučujući i čvor u vrhu prsline, (na krivama 4, 13 i 14, slika 3). Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicenje (na cv... kliknuti na dugme Metode>, pa izabrati Na krivoj. Pomoću miša selektujte krive.

3 1 2 4

65

PAK – FM&F

Mehanika loma

5

7

6

Zatim je potrebno selektovati čvor na donjoj levoj ivici modele (poklapa se sa tačkom 24, slika 2) i ograničiti pomeranje u x pravcu.

1

2

4 3 6

5

Zadali smo granične uslove, sada je potrebno zadati globalna ograničenja. Modifikacija>Globalna ogranicenja

1

2

66

PAK – FM&F

Mehanika loma

V Zadavanje opterećenja Model>Opterecenja>Na elementu... Na dijalogu Selektovanje elemenata za opterecenje (na el... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve elemente iz gornjeg reda (obuhvatiti ceo element), vidi sliku 5. 2

1

Slika 5.

2 4 3

5 6

V Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline... Kao prvi cvor selektujemo cvor u vrhu prsline, a kao drugi, cvor na istom elementu u pravcu prsline.

67

PAK – FM&F

Mehanika loma

3

1 2

4 5 6

7 8 Na slici 6 prikazan je izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima i opterećenjem i definisanom prslinom.

Slika 6. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

68

PAK – FM&F

Mehanika loma

VI Izvoz modela za analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

2

1

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba4.dat ili prebaciti fajl vezba4.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon čega treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba4.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba4.LST, vezba4.UNV, vezba4.NEU.

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba4.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE 0.160000000000000 PRSTEN FAKTOR INTEZITETA NAPONA J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 Broj prstena, KI 1 130.059988900660 Broj prstena, KII 1 29.9384514738623 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 Broj prstena, KI 2 130.059988900660 Broj prstena, KII 2 29.9384514738623 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 Broj prstena, KI 3 130.059988900660 Broj prstena, KII 3 29.9384514738623 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 Broj prstena, KI 4 169.945451101453 Broj prstena, KII 4 6.32065254483311 Prslina br., NCS, KI 1 1 140.031354450858 Prslina br., NCS, KII 1 1 24.0340017416050

69

PAK – FM&F

Mehanika loma

Za programski paket PAK prikazano je u tabeli 1 poređenje sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI =142.3 MPa mm ) MSC NASTRAN PAK

KI [ MPa mm ] 143.3 140.0

Greška [%] 0.7 1.6

VIII Postprocesiranje u PAK-G-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP neutralni fajl (.NEU)...

1

2

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK.

1 Sada ćemo da rasteretimo prikaz na ekranu isključivanjem prikaza radne ravni, čvorova i numeracije elemenata sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

70

PAK – FM&F

Mehanika loma

2 1

6

4

3

7

5 Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve... (Ctrl+A) Prozorom uvećati prikaz. Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Rezultati>Prikazi...

2 5

1

3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Tip prikaza potrebno je potvrditi opciju OK. Prikaz>Vidljivost

71

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 7.

PRIMER 5 - Faktor intenziteta napona KI ploče sa kružnim otvorom u prisustvu dve prsline U ovom primeru razmatra se određivanje faktora intenziteta napona KI (mod I otvaranja prsline) ploče. Ploča je jednoosno opterećena i ima otvor poluprecnika R, dimenzije ploče i karakteristike materijala date su na slici 1. Simetrija modela dozvoljava da se pri analizi modelira četvrtina ploče, uz primenu odgovarajućih graničnih uslova.

2h=14 mm 2R=3.2 mm a=0.05*2R=0.16 mm w=14 mm t=1 mm E=74900 MPa n=0.3 s=71.8 MPa

Slika 1.

72

PAK – FM&F

Mehanika loma

Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I

Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa

II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V VI

Zadavanje opterećenja Zadavanje prsline

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u

73

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Modelu treba dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba5 snimiti u direktorijum Vezbe, koji je potrebno kreirati ukoliko ne postoji na radnom disku (D disk), na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

1

2

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala, potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

74

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolicki elementi da bi se kreirali osmočvorni elementi koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika membrane potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Kreiraćemo prvo kružne lukove. Geometrija>Kreiranje lukova>Ugao-centar-pocetak...

75

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

3

4

5 6

1

2

1

2

3

4

5 6 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetne tacke luka potrebno je potvrditi opciju Cancel. Geometrija>Kreiranje linija>Lociranje tacaka…

76

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu potrebno je potvrditi opciju Cancel. Geometrija>Kreiranje linija>Od dve tacke... Sada ćemo spojiti kraj luka sa naspramnom tačkom u preseku dve linije.

1 2

77

PAK – FM&F

Mehanika loma

1 2 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje vektora kroz dve tacke potrebno je potvrditi opciju Cancel. Isključićemo prikaz radne ravni. Prikaz>Opcije...

2

3

1

Na ekranu imamo sledeću sliku, kao na slici 2.

Slika 2. Geometrija>Kreiranje poligona >Od cetiri stranice… Kreiraćemo poligone unošenjem ID-a linija ili selektovanjem linija pomoću miša (slika 2), redosledom prikazanim na sledećim dijalozima.

1 2

1 2 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Kreiranje poligona potrebno je potvrditi opciju Cancel. 78

PAK – FM&F

Mehanika loma

Sada ćemo kreirati poligone zadavanjem koordinata njihovih temena. Geometrija>Kreiranje poligona >Lociranje tacaka…

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

79

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

1

2

1

2

1

2

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu potrebno je potvrditi opciju Cancel. Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom sledeće komande: Prikaz>Zoom>Sve Prikaz>Zoom>Prozor Prozorom podesiti prikaz, na celom ekranu, kao na slici 3.

Slika 3. 80

PAK – FM&F

Mehanika loma

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, tj. na površini. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 4 2

5

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2 Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

81

4

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4 4

Mreza>Kreiranje mreze>Od poligona...

1

1 2

2

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja odgovarajućih karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom:

82

PAK – FM&F

Mehanika loma

Obrisi>Model>Cvorove...

1

3

2

Pošto su elementi kreirani nezavisno na svakoj površini (poligonu), potrebno je eliminisati čvorove koji se preklapaju, tj. uraditi tzv. merdžovanje. Editovanje>Provera preklapanja>Cvorova…

1

2

3

Potrebno je izvršiti renumeraciju preostalih čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Cvorova... Sada ćemo izvršiti rasterećenje prikaza na ekranu isključivanjem geometrijskih entiteta i numeracije čvorova i elemenata. Prikaz>Opcije ... 1

2

3

4

83

5

6

PAK – FM&F

Mehanika loma

8 7

9

10 11 12

Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 4.

Slika 4.

IV Zadavanje ograničenja Simetrični granični uslovi se zadaju duž horizontalne i vertikalne ose simetrije. Budući da prslina predstavlja slobodnu ivicu tj. diskontinuitet u geometriji, duž prsline se ne zadaju granični uslovi. Obzirom da se pravac prsline poklapa sa pravcem x-ose, pomeranja duž ivice sa prslinom su ograničena u pravcu y-ose, osim na mestu prsline. Model>Ogranicenja>Na cvoru Selektuju se svi čvorovi donje ivice modela koji ne pripadaju prslini uklučujući i čvor u vrhu prsline, (na liniji 8, slika 3). Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicenje (na cv... kliknuti na dugme Metode>, pa izabrati Na krivoj. Krivu možete selektovati mišem ili upisati ID krive pa pritisnuti dugme Dodaj. U primeru selektovanje je urađeno mišem.

84

PAK – FM&F

Mehanika loma

3 1 2 4

5

7

6 Model>Ogranicenja>Na cvoru

Zatim je potrebno selektovati sve čvorove na vertikalnoj osi simetrije (na krivama 7 i 19, slika 3). Na dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicenje (na cv... kliknuti na dugme Metode>, pa izabrati Na krivoj. Krivu možete selektovati mišem ili upisati ID krive pa pritisnuti dugme Dodaj. U primeru selektovanje je urađeno mišem.

3 1 2 4

85

PAK – FM&F

Mehanika loma

5

7

6

Zadali smo granične uslove, sada je potrebno zadati globalna ograničenja. Modifikacija>Globalna ogranicenja

1

2

V Zadavanje opterećenja Model>Opterecenja>Na elementu... Na dijalogu Selektovanje elemenata za opterecenje (na el... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve elemente iz gornjeg reda (obuhvatiti ceo element), vidi sliku 5. 2

1

Slika 5. 86

PAK – FM&F

Mehanika loma

2 4

5

3

6

V Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline... Kao prvi cvor selektujemo cvor u vrhu prsline, a kao drugi, cvor na istom elementu u pravcu prsline.

3

1 2

4 5 6

7 8

Na slici 6 prikazan je izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima i opterećenjem i definisanom prslinom.

87

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 6. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

VI Izvoz modela za analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

2

1

88

PAK – FM&F

Mehanika loma

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba5.dat ili prebaciti fajl vezba5.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon čega treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba5.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba5.LST, vezba5.UNV, vezba5.NEU.

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba5.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE 0.160000000000000 PRSTEN FAKTOR INTEZITETA NAPONA J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 Broj prstena, KI 1 131.084079079689 Broj prstena, KII 1 30.1727795576524 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 Broj prstena, KI 2 131.084079079689 Broj prstena, KII 2 30.1727795576524 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 Broj prstena, KI 3 171.283303918648 Broj prstena, KII 3 6.36918958433006 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 Broj prstena, KI 4 160.059375577903 Broj prstena, KII 4 3.24089959468277 Prslina br., NCS, KI 1 1 148.377709413982 Prslina br., NCS, KII 1 1 17.4889120735794

Za programski paket PAK prikazano je u tabeli 1 poređenje sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI =147.4 MPa mm ) MSC NASTRAN PAK

KI [ MPa mm ] 151.1 148.4

Greška [%] 2.5 0.07

VIII Postprocesiranje u PAK-G-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP neutralni fajl (.NEU)...

89

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK.

3 Sada ćemo da rasteretimo prikaz na ekranu isključivanjem prikaza radne ravni, čvorova i numeracije elemenata sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

2 1

6

4

3

7 5 Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve... (Ctrl+A) Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Prozorom uvećati prikaz. Rezultati>Prikazi>FEMAP neutralni fajl (.NEU)...

90

8

PAK – FM&F

Mehanika loma

2 5

1

3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Tip prikaza potrebno je potvrditi opciju OK. Prikaz>Vidljivost

Slika 7.

91

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 6-Određivanje faktore intenziteta napona K I primenom J-integrala Odrediti faktor intenziteta napona K I pravougaone ploče sa inicijalnom ivičnom prslinom izložene jediničnom pritisku na oba kraja modela. Geometrija modela, opterećenje i karakteristike materijala dati su na slici 1.

Slika 1. Modeliran je ceo model jer nije simetričan, uzimajući u obzir i prslinu. Analitičko rešenje za faktor intenziteta napona: KI=1.85 MPa mm . Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I

Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa

II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V VI

Zadavanje opterećenja Zadavanje prsline

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u 92

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Modelu treba dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba6 snimiti u direktorijum Vezbe, koji je potrebno kreirati ukoliko ne postoji na radnom disku (D disk), na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

1

2

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala, potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

93

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolicki elementi da bi se kreirali osmočvorni elementi koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika ljuske potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Geometrija>Kreiranje poligona>Lociranje tacaka...

1

94

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

95

PAK – FM&F

Mehanika loma

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu, potvrdite opciju Cancel. Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom komande: Prikaz>Zoom>Sve

(Ctrl+A)

Isključivanje prikazivanja radne ravni vrši se sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

96

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

1

Prikaz>Zoom>Prozor

(Ctrl+B)

Prozorom podesiti prikaz, na celom ekranu, kao na slici 2.

Slika 2.

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, tj. na površini. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

97

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

98

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kreiranje mreze>Od poligona...

1

3 2

4

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja odgovarajućih karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom: Obrisi>Model>Cvorove...

1

2

3

99

PAK – FM&F

Mehanika loma

Pošto su elementi kreirani nezavisno na svakoj površini (poligonu), potrebno je eliminisati čvorove koji se preklapaju, tj. uraditi tzv. merdžovanje. Čvorove koji se nalaze na prslini ne treba merdžovati, tj. ne treba merdžovati čvorove na zajedničkoj stranici površi 1 i 2. Editovanje>Provera preklapanja>Cvorova... U dijalogu Selektovanje cvorova za proveru (na cvoru) kliknuti na dugme Metode> pa selektovati Na povrsini. Selektovati površi 1, 3 i 4, na njihovim zajedničkim stranicama se ne nalazi prslina.

3 1

2 4

5

Editovanje>Provera preklapanja>Cvorova... U dijalogu Selektovanje cvorova za proveru (na cvoru) kliknuti na dugme Metode> pa selektovati Na povrsini. Selektovati površi 2 i 4, na njihovoj zajedničkoj stranici se ne nalazi prslina.

3 1

2 4

100

PAK – FM&F

Mehanika loma

5 Posle završenog merdžovanja potrebno je izvršiti renumeraciju čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Cvorova Sada ćemo izvršiti rasterećenje prikaza na ekranu isključivanjem geometrijskih entiteta i numeracije čvorova i elemenata. Prikaz>Opcije...

1

2

3

4

8 7

9

6

5

10 11

Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 4.

101

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 3.

IV Zadavanje ograničenja Model>Ogranicenja>Na cvoru Potrebno je selektovati sve čvorove koji se nalaze na donjoj ivici (linije 1 i 9). U dijalogu Selektovanje cvorova za ogranicavanje (na cv... kliknuti na dugme Metode> pa selektovati Na krivoj. Selektujte krive 1 i 9 pomoću miša.

3 1 2 4

102

PAK – FM&F

Mehanika loma

5

7

6 Model>Ogranicenja>Na cvoru...

Selektujte čvor u koordinatnom početku i ograničiti translaciju u x pravcu.

1

2

4 3 6

5 Potrebno je još zadati globalna ograničenja. Modifikacija>Globalna ograničenja

1

2

103

PAK – FM&F

Mehanika loma

V Zadavanje opterećenja Model>Opterecenja>Na elementu... Na dijalogu Selektovanje elemenata za opterecenje (na el... pritisnuti dugme Pick> pa mišem selektovati sve elemente iz gornjeg reda (obuhvatiti ceo element), vidi sliku 4. 2

1

Slika 4.

2

4 3

5 6

VI Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline Kao prvi čvor selektujemo čvor u vrhu prsline, a kao drugi, čvor koji definiše kraj prsline. 104

PAK – FM&F

Mehanika loma

3

1 2

4 5 6

7

Na slici 5 prikazan je izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima i opterećenjem i definisanom prslinom.

Slika 5. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

105

PAK – FM&F

Mehanika loma

VII Izvoz modela i analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

1

2

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba6.dat ili prebaciti fajl vezba6.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon toga treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba6.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba6.LST, vezba6.UNV, vezba6.NEU.

1

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba6.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE 0.999848988597778 PRSTEN FAKTOR INTEZITETA NAPONA J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 Broj prstena, KI 1 1.93103429159110 Broj prstena, KII 1 1.12064755903227 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 Broj prstena, KI 2 1.98307945891057 Broj prstena, KII 2 1.10631489985736 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 Broj prstena, KI 3 1.96068733141856 Broj prstena, KII 3 1.15380028170372 J-INTEGRAL i BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 Broj prstena, KI 4 1.97525518062340 Broj prstena, KII 4 1.19976749229864 Prslina br., NCS, KI 1 1 1.96251406563591 Prslina br., NCS, KII 1 1 1.14513255822300

106

PAK – FM&F

Mehanika loma

Za programske pakete COSMOS i PAK prikazana su u tabeli 1 poređenja sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI =1.85 MPa mm ) COSMOS PAK

KI [ MPa mm ] 1.80 1.962

Greška [%] 2.7 6.1

VIII Postprocesiranje u PAK-G-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP Neutral fajl (*.NEU)…

1

2 3

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK.

1 Sada ćemo da rasteretimo prikaz na ekranu isključivanjem prikaza radne ravni, čvorova i numeracije elemenata sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

107

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

6

4

1

3

7 8

5

Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve... (Ctrl+A) Prozorom uvećati prikaz. Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Rezultati>Prikazi...

3 1

5

2

4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Vidljivost

108

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 5. Ukupna pomeranja Rezultati>Prikazi...

1

2

3 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK.

109

PAK – FM&F Prikaz>Osvezi

Mehanika loma (Ctrl+D)

Slika 6. Polje napona

PRIMER 7 - Faktor intenziteta napona KI za 2D CT-epruvetu Odrediti faktor intenziteta napona KI (mod I otvaranja prsline) za 2D CT-epruvete sa ivičnom prslinom pod dejstvom zatežućeg napona kao što je prikazano na slici 1. Elastične karakteristike materijala i dimenzije date su na slici 1. Simetrija problema dopušta da se pri analizi modelira polovina modela.

E=2.1E4 daN/mm2 n=0.3 P=200 daN w=30.5 mm a/w=0.5 B=15 mm

Slika 1. 110

PAK – FM&F

Mehanika loma

Daćemo dve analitičke formule za određivanje faktora inteziteta napona za CT-epruvetu. Faktor P æaö inteziteta napona za CT-epruvetu može se predatavitiu obliku: K = Y ç ÷ . Ovde je: P - sila; w 1 Bw 2 è w ø širina epruvete; B - debljina epruvete. Izraz za bezdimenzioni faktor u ovom slučaju ima oblik: 1

3

5

7

9

æaö æaö 2 æaö 2 æaö 2 æaö 2 æaö 2 Y ç ÷ = 39.7 ç ÷ - 294 ç ÷ + 1118 ç ÷ - 1842 ç ÷ + 1159 ç ÷ . Ova jednačina važi za èwø è wø è wø è wø è wø è wø æaö vrednosti: 0.3 £ ç ÷ £ 0.7 . Za posmatranu CT-epruvetu analitičko rešenje je: KI=24.899 hbar mm . è wø

æP aö æaö Drugi oblik jednačine za faktor inteziteta napona je: K = çç ÷÷ Y ç ÷ . Bezdimenzioni korektivni Bw è ø è wø 2

3

4

æaö æaö æaö æaö æaö faktor u obom slučaju ima oblik: Y ç ÷ = 30.96 - 195.8 ç ÷ + 730.6 ç ÷ - 1186.3 ç ÷ + 754.6 ç ÷ . èwø è wø èwø èwø è wø æaö Ova jednačina važi za vrednosti: 0.25 £ ç ÷ £ 0.75 . Za posmatranu CT-epruvetu analitičko rešenje je: è wø KI=24.152 hbar mm .

Postupak određivanja faktora inteziteta napona podrazumeva: I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa II Kreiranje geometrije modela III Kreiranje čvorova i elemeneta IV Zadavanje ograničenja V Zadavanje opterećenja VI Zadavanje prsline VII Izvoz modela za analizu u programu PAK-FM VIII Postprocesiranje u PAK-G-u

111

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon startovanja PAK-G-a dvostrukim klikom levim tasterom miša na ikonu na Desktop-u kreiran je novi model čiji je naziv po difoltu Untitled. Modelu treba dati odgovarajući naziv i snimiti ga u odgovarajući direktorijum, na primer, model pod nazivom vezba snimiti u direktorijum Vezbe, koji je potrebno kreirati ukoliko ne postoji na radnom disku (D disk), na sledeći način: Fajl>Sacuvaj kao...

1

2

I Zadavanje karakteristika materijala i izbor tipa konačnog elementa Model>Kreiranje materijala...

1 2 3

4 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje materijala potrebno je potvrditi opciju Cancel. Model>Kreiranje karakteristika...

112

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

Izborom opcije Tip otvara se novi prozor za dijalog u kome je potrebno potvrditi opciju Parabolicki Elementi da bi se kreirali elementi sa međučvorovima koji su potrebni za određivanje faktora intenziteta napona i izabrati tip elementa, u ovom slučaju Membrana.

2 3 4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom opcije OK vraćamo se u prozor za dijalog Definisanje karakteristika ljuske gde treba uneti odgovarajuće vrednosti i potvrditi ih pritiskom na dugme OK.

5 6 7 8 Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje karakteristika ljuske, potrebno je potvrditi opciju Cancel.

II Kreiranje geometrije Kreiraćemo tri poligona definisanjem koordinata temena poligona. Geometrija>Kreiranje poligona>Lociranje tacaka...

113

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

114

PAK – FM&F

Mehanika loma

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

115

PAK – FM&F

Mehanika loma

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

116

PAK – FM&F

Mehanika loma

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

117

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

3

4

5

6

7

8

Ponovnim otvaranjem prozora za dijalog Definisanje pocetka linije u globalnom koordinatnom sistemu potrebno je potvrditi opciju Cancel. Podešavanje prikaza celog crteža na ekranu vrši se izborom komandi: Prikaz>Zoom>Sve

(Ctrl+A)

Isključivanje prikazivanja radne ravni vrši se sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

2

3

1

Prikaz>Zoom>Prozor

(Ctrl+B)

Prozorom podesiti prikaz, na celom ekranu, kao na slici 2.

118

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 2.

III Generisanje čvorova i elemenata Prvi korak pri generisanju mreže konačnih elemenata je definisanje veličine, odnosno broja konačnih elemenata duž krivih, odnosno na površini. To se postiže podešavanjem podele samog poligon. Selektovanje je urađeno pomoću miša. Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2 Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

119

4

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2

4

Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

1

3 2 Mreza>Kontrola geometrije>Podela poligona...

120

4

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

3 2

4

Mreza>Kreiranje mreze>Od poligona...

1

3 2

4

Uključivanjem opcije Parabolicki element prilikom definisanja karakteristika elemenata, kreirani su devetočvorni 2D elementi. Potrebno je izbrisati čvor u centru svakog elementa, da bi se dobili 8-čvorni 2D elementi. To ćemo uraditi sledećom komandom: Obrisi>Model>Cvorove…

1

2

3

121

PAK – FM&F

Mehanika loma

Pošto su površine generisane nezavisno pojaviće se duplirani čvorovi na zajedničkim stranicama površi. Potrebno je proveriti i spojiti čvorove koji se preklapaju, tj. uraditi tzv. merdžovanje.. Editovanje>Provera preklapanja>Cvorova…

1

2

3

Potrebno je sada izvršiti renumeraciju preostalih čvorova. Modifikacija>Renumeracija>Cvorova Sada ćemo izvršiti rasterećenje prikaza na ekranu isključivanjem geometrijskih entiteta i numeracije čvorova i elemenata. Prikaz>Opcije...

1

2

3

4

8 7

9

6

5

10 11

Kreiran model sa generisanom mrežom osmočvornih 2D konačnih elemenata prikazan je na slici 3.

122

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 3.

IV Zadavanje ograničenja Simetrični granični uslovi se zadaju duž horizontalne ose simetrije. Budući da prslina predstavlja slobodnu ivicu tj. diskontinuitet u geometriji, duž prsline se ne zadaju granični uslovi. Obzirom da se pravac prsline poklapa sa pravcem x-ose, pomeranja duž ose simetrije su ograničena u pravcu y-ose, uključujući i čvor u vrhu prsline. Model>Ogranicenja>Na cvoru… Selektuju se svi čvorovi donje ivice modela koji ne pripadaju prslini uklučujući i čvor u vrhu prsline, (na krivoj 1, slika 2).

3 1 2 4

123

PAK – FM&F

Mehanika loma

5

7

6

Sada se ograničava čvor u koordinatnom početku (poklapa se sa tačkom 1, slika2) u pravcu x.

1

2

4 3 6

5 Potrebno je zadati još globalna ograničenja. Modifikacija>Globalna ogranicenja

Napomena: 2D konačni elementi imaju samo dva stepena slobode, x i y translaciju, pa stoga zadajemo sledeća globalna ograničenja.

1

2 124

PAK – FM&F

Mehanika loma

V Zadavanje opterećenja Model>Opterecenja>Na cvoru... Sila se zadaje u čvoru koji se poklapa sa tačkom 27 na slici 2 (radi lakšeg selektovanja možete uključiti tačke komandom Prikaz>Opcije...).

1

3 2

4

VI Zadavanje prsline Model>Prsline>2D prsline Kao prvi cvor selektujemo cvor u vrhu prsline, a kao drugi, cvor na istom elementu u pravcu prsline.

3

1 2

4 5 6

7 8

Na slici 4 prikazan je izgled modela sa generisanom mrežom konačnih elemenata, zadatim graničnim uslovima i opterećenjem i definisanom prslinom.

125

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 4. Sačuvajte kreiran model sledećom komandom: Fajl>Sacuvaj (Ctrl+S)

VII Izvoz modela za analizu u programu PAK-FM Fajl>Izvoz>PAK data fajl (.DAT)...

2

1

Analiza modela u programskom paketu PAK-FM Sada je potrebno prebaciti fajl Paks.exe u direktorijum u kome se nalazi fajl vezba8.dat ili prebaciti fajl vezba8.dat u direktorijum gde se nalazi fajl Paks.exe, nakon čega treba startovati fajl Paks.exe (dvostrukim klikom miša na fajl) a zatim ukucati ime datoteke koju ste napravili u translatoru (vezba8.dat). Nakon toga će se uzastopnim pritiskom tastera ENTER kreirati još tri fajla vezba8.LST, vezba8.UNV, vezba8.NEU.

126

PAK – FM&F

Mehanika loma

Nakon završene analize vrednosti faktora intenziteta napona mogu se pročitati i u izlaznom fajlu vezba8.LST u nekom od editora teksta. DUZINA PRSLINE PRSTEN J-INTEGRAL i Broj prstena, Broj prstena, J-INTEGRAL i Broj prstena, Broj prstena, J-INTEGRAL i Broj prstena, Broj prstena, J-INTEGRAL i Broj prstena, Broj prstena, Prslina br., Prslina br.,

7.62500000000000 FAKTOR INTEZITETA NAPONA BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 1 KI 1 23.7618275020805 KII 1 1.70996534135419 BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 2 KI 2 24.5061961120068 KII 2 2.24446405647258 BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 3 KI 3 23.2936430694835 KII 3 1.79645762557299 BROJ ELEM. U KR-tom PRSTENU 4 KI 4 22.7116737089723 KII 4 2.52396403836829 NCS, KI 1 1 23.5683350981358 NCS, KII 1 1 2.06871276544201

Za programski paket PAK prikazano je u tabeli 1 poređenje sa teorijskim rešenjem. Tabela 1. Uporedni rezultati (analitičko, KI1 =24.899 hbar mm , odnosno KI2 =24.152 hbar mm ) MSC NASTRAN PAK

KI [ hbar mm ] 20.2804 23.5683

Greška1 [%] 18.5 5.3

Greška2 [%] 16 2.4

VIII Postprocesiranje u CAD-u Učitavanje rezultata analize u PAK-G i njihov pregled vrši se preko sledećih komandi: Fajl>Uvoz>FEMAP Neutral fajl (*.NEU)…

127

PAK – FM&F

Mehanika loma

1

2

Pojavljuje se dijalog NEU opcije, biramo da li želimo učitavanje samo rezultate (u slučaju da smo prethodno učitali model) ili i modela i rezultate. Čekirano je Model i Rezultati, potvrdimo izbor pritiskom na dugme OK.

1 Sada ćemo da rasteretimo prikaz na ekranu isključivanjem prikaza radne ravni, čvorova i numeracije elemenata sledećom komandom: Prikaz>Opcije...

2 1

3

6

4

5 Podešavanje prikaza celog modela na ekranu vrši se izborom sledećih komandi: Prikaz>Zoom>Sve

(Ctrl+A)

Prozorom uvećati prikaz. Prikaz>Zoom>Prozor (Ctrl+B) Rezultati>Prikazi...

128

7

PAK – FM&F

Mehanika loma

3 1

5

2

4 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Vidljivost

Slika 5. Ukupna pomeranja Rezultati>Prikazi... 129

PAK – FM&F

Mehanika loma

3 1

6

2

4

5 Nakon potvrđivanja izabranih opcija pritiskom dugmeta OK vraćamo se u prozor za dijalog Tip prikaza, potvrdite opciju OK. Prikaz>Osvezi

(Ctrl+D)

Slika 6. Polje efektivnog napona

130

PAK – FM&F

Mehanika loma

MEHANIKA ZAMORA MATERIJALA PRIMERI

131

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 1 – Određivanje preostalog radnog veka epruvete Opis problema/Cilj: Epruveta je opterećena nominalnim naponom s=500±200 MPa. Faktor koncentracije napona posmatrane epruvete sa otvorm K t jednak je faktoru zamora Kt=Kf=2.8. Pod pretpostavkom da za materijal važi sledeća relacija za ciklično naponsko-deformacionu krivu (za amplitudu i promenu, respektivno) 1

1

s æ s ön' Ds æ Ds ö n ' et = + ç ÷ e1 = + 2ç ÷ E è K 'ø E è 2K ' ø odredi napon (maksimalni i amplitudni) i deformaciju (maksimalnu i amplitudnu) u materijalu. Ciklična naponsko-deformaciona kriva definiše relaciju između napona i deformacija pod cikličnim opterećenjem. Koristeći dobijen rezultate u nisko-cikličnoj analizi zamora odredi preostali broj ciklusa do loma ispitivane epruvete uzimajući u obzir uticaj srednjeg napona (Morrow). Pri cikličnom opterećenju materijal ima sledeće karakteristike: Ime parametra Koeficijent zamorne jačine Eksponent zamorne jačine Koeficijent zamorne istegljivosti Eksponent zamorne istegljivosti Youngov modul Eksponent cikličnog ojačanja Koeficijent cikličnog ojačanja

Jedinica mere 2

MPa ili MN/m / / / MPa ili MN/m2 / MPa ili MN/m2

Parametar sf' b ef' c E n' K'

1400 -0.10 0.60 -0.55 206000 0.11 1750

U cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Rešenje iz literature1

II Numeričko rešenje u programu PAK-G

1

T Dahlberg and A Ekberg: Fatigue and Fracture Design – An Introduction (Chapter 9) LiTH-IKP-S-493 (Linköping University and Chalmers University)

132

PAK – FM&F

Mehanika loma

I Rešenje iz literature Određena je histerezisna petlja dobijena opterećivanjem epruvete promenljivim opterećenjem koje varira između 700 MPa i 300 MPa. (Kada je s ¥ = 700 MPa, maksimalni napon na mestu koncentracije napona trebalo bi da je viši od 700 MPa ali manji od 2.8*700=1960 MPa). Gornja krajnja tačka histerezisne petlje dobijena je u preseku Neuber-ove hiperbole i ciklično naponsko-deformacione krive. Iz jednačina ovih krivih dobijamo K 2f ×s ¥2 2.82 × 700 2 = = 18.65 = (a) s a ×ea E 206000 1

1

s æ s ö n' sa æ s ö 0.11 +ç a ÷ (b) ea = a + ç a ÷ = E è K 'ø 206000 è 1750 ø Rešavanjem prethodnih jednačina nalazimo gornju krajnju tačku (prelomna tačka) histerezisne petlje: s max = 1077 MPa i e max = 0.017319 (c, d) Možemo odrediti faktor koncentracije napona Ks i faktor koncentracije deformacija K e (ako se zahteva). e e max 1077 0.017319 Ks = = 1.5386 i K e = max = = 5.096 = (e,f) 700 e ¥ s ¥ E 700 206000 Odavde nalazimo da je Ks × Ke = 7.8418 , i da je K 2f = 2.82 = 7.84 , kao što je dato. Promena Ds ¥ = 400 MPa (tj. dvostruka vrednost amplitudnog napona) udaljenog opterećenja s ¥ uzrokuje promenu Ds i De na mesta koncentracije napona. Promenu na mestu koncentracije napona dobijamo u preseku Neuber-ove hiperbole i ciklično naponskodeformacione krive (za promenu). K 2f × s ¥2 2.82 × 4002 = = 6.119 = (g) s a ×e a E 206000 1

s æ s ö n' e a = a + 2 ç a =÷ E è 2×K ' ø

1

sa æ s a ö 0.11 + 2ç ÷ 206000 è 2 ×1750 ø

(h)

Rešavanjem prethodnih jednačina dobijamo promenu napona i deformacije na mestu koncentracije napona: Ds = 1116 MPa

i

De = 0.005479

(i, j)

Napomena: Vrednost 2.8*400=1120 MPa (da je ova promena napravljena u materijalu nebi došlo do plastifikacije), se upoređuje sa promenom Ds = 1116 MPa u (i). Ovo ukazuje da će deformacije velikim delom (gotovo svuda) oko otvora (zareza) biti elastične. U ovom slučaju drugi član na desnoj strani jednačine (h) je mnogo manji od prvog člana. Sada možemo odrediti donju krajnju tačku histerezisne petlje.

s min = s max - Ds= 1077 - 1116 = MPa -39 MPa e min = e max - De 0.017319 = - 0.005479 = 0.01184

(k) (l)

Zatim sračunavamo srednju i amplitudnu vrednost napona i deformacije.

s max + s min 1077 - 39MPa = 519 = MPa 2 2 s - s min 1077 + 39MPa s a = max = 558 = MPa 2 2

s m ean =

133

(m) (n)

PAK – FM&F

Mehanika loma

e max + e min 0.017319 + 0.01184 = 0.1450 = 2 2 e -e 0.017319 - 0.01184 e a = max min = 0.0027395 = 2 2 e mean =

(o) (p)

Vek trajanja N (preostali broj ciklusa do loma) je dobijen iz Morrow-og izraza:

ea

(s =

koji daje 0.0027395 =

' f

- s mean ) E

(2 N )b + e 'f (2 N )c

1400 - 519 (2 N ) -0.10 + 0.60(2 N ) -0.55 206000

Rešavanjem po N dobijamo N=33 400 ciklusa. Prema tome, očekivani broj ciklusa do loma materijala usled zamor je N=33 400 ciklusa. Odgovor: Otkaz se očekuje posle N=33 400 ciklusa (približno).

134

(q)

(q)

PAK – FM&F

Mehanika loma

II Numeričko rešenje u programu PAK-G Prvo ćemo odrediti napon i deformacije u materijalu posmatrane epruvete na osnovu materijalnih karakteristika i opterećenja, zatim ćemo odrediti preostali broj ciklusa do loma. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izaberite za Tip analize e-N. Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

2

3

U dijalogu Parametri resavanja biramo: Metoda analize na osnovu koje određujemo preostali broj ciklusa do otkaza. Prema uslovu zadatka biramo Morrow metodu (uzima u obzir uticaj srednjeg napona); Korekcija po difoltu je Neuber (vrši se preračunavanje elastičnih u elastoplastične 135

PAK – FM&F

Mehanika loma

deformacije preko Neuber-ove hiperbole; u slučaju kad prethodnim proračunom konstrukcije metodom konačnih elemenata dobijamo elastoplastične deformacije ne vršimo ovu korekciju).

4

5 Sada unosimo karakteristike materijala pri cikličnom opterećenju.

6

7

8

Potrebno je još zadati istoriju opterećenja.

9

136

PAK – FM&F

Mehanika loma

10

11 12 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

13

Rezultati proračuna se prikazuju u dijalogu. Prvo su određene maksimalne vrednosti napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (a) i (b).

14 Potom se određuju priraštaji napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (g) i (h). Na osnovu maksimalnih vrednosti i priraštaja određuju se minimalne i amplitudne vrednosti napona i deformacije. U dijalogu se štampaju izračunate vrednosti priraštaja napona i deformacije, srednji napon i amplitudna deformacija.

15

137

PAK – FM&F

Mehanika loma

Očekivan broj ciklusa do loma ispitivane epruvete određen je iz Morrow-og izraza (q) iterativnim postupkom.

16 Odgovor: Očekivani broj ciklusa do loma materijala usled zamora, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=33 600 ciklusa (približno). Rezultat dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.5% u odnosu na rešenje dato u literaturi.

PRIMER 2 – Procena preostalog ciklusa do loma ravnog štapa sa otvorom u centru Opis problema/Cilj: Ravan štap pravougoanog poprečnog preseka (slika 1), sa malim kružnim otvorom u centru, opterećena je naizmeničnim (promenljivim) opterećenjem s¥=±300 MPa. a) Proceniti broj ciklusa do loma koristeći Neuber-ov metod. Pretpostaviti da je Kf=0.9 Kt. b) Odrediti broj ciklusa do loma ako je s¥=100±200 MPa.

Slika 1. Faktor koncentracije napona je Kt=3. Pri cikličnom opterećenju materijal SAE 1045, od koga je napravljen štap ima sledeće karakteristike: Ime parametra Koeficijent zamorne jačine Eksponent zamorne jačine Koeficijent zamorne istegljivosti Eksponent zamorne istegljivosti Youngov modul Eksponent cikličnog ojačanja Koeficijent cikličnog ojačanja

Jedinica mere 2

MPa ili MN/m / / / MPa ili MN/m2 / MPa ili MN/m2

Parametar sf' b ef' c E n' K'

1227 -0.095 1.0 -0.66 200000 0.18 1344

u cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Rešenje iz literature2 II Numeričko rešenje u programu PAK-G

2

T Dahlberg and A Ekberg: Fatigue and Fracture Design – An Introduction (Chapter 9) LiTH-IKP-S-493 (Linköping University and Chalmers University)

138

PAK – FM&F

Mehanika loma

I Rešenje iz literature a) Broj ciklusa do pojave prsline Ako je napon u okolini malog otvora u štapu potpuno elastičan, tada će faktor koncentracije napona biti Kt=3. Faktor koncentracije napona usled zamora (fatigue notch factor) je K f = 1 + q( K t - 1) (a) Nema podataka za izračunavanje faktora osetljivosti na zarez q. Umesto toga, K f = 0.9 K t = 2.7 . Prema tome, koristiti K f = 2.7 . Zbog visokog opterećenja blizu otvora (zareza) u materijalu će se lokalno javiti plastične deformacije. Koeficijent koncentracije napona i faktor koncentracije napona možemo izračunati iz jednačina s e e Ks = max i K e = max = max (b,c) s¥ e¥ s¥ E Neuber-ova hiperbola postaje K 2f × s ¥2 s ×e = (d) E Sada određujemo Neuber-ovu hiperbolu na osnovu datih podataka za materijal i nominalne amplitude napona s ¥ =300 MPa. Lokalna amplituda napona s a i amplituda deformacije e a u okolini otvora dobija se u preseku Neuber-ove hiperbole i ciklično naponsko-deformacione krive. Iz jednačina ovih krivih dobijamo K 2f × s ¥2 2.7 2 × 3002 = = 3.2805 = (e) s a ×e a E 200000 1

Rešavanjem prethodnog e a = e max = 0.006574 .

1

s æ s ö n' sa æ s ö 0.18 ea = a + ç a ÷ = +ç a ÷ E è K 'ø 200000 è 1344 ø sistema jednačina dobijamo:

(f)

s= s max = 499 MPa a

Faktor koncentracije napona Ks i faktor koncentracije deformacija K e su sada s e 499 0.006574 = 1.663 i = = 4.3828 Ks = max = K e = max s¥ 300 s ¥ E 300 200000

i

(g,h)

(Provera: Ks × K e =1.663 × 4.383= 7.29= 2.7 2= K 2f , kao što je dato.) Možemo sada odrediti broj ciklusa do pojave prsline (ili otkaz usled zamora). Po Morrow-u, koristeći za srednji napon s m = 0 , dobijamo

(s =

' f

-sm )

1227 =(2 N ) -0.095 + 1.0(2 N ) -0.66 (j) E 200000 Zamenom e a = 0.006574 u prethodnu jednačinu i rešavanjem dobijamo 2N=4600 broj poluciklusa do otkaza, što daje N=2300 ciklusa do otkaza.

ea

(2 N )b + e 'f (2 N )c

b) Broj ciklusa do otkaza kada je s¥=100±200 MPa Razmatra se isti štap ( K f = 2.7 ), ali je sada nominalni napon s¥=100±200 MPa. Nominalni (udaljeni) napon će sada varirati između 300 MPa i -100 MPa. Ovo ukazuje da će napon oko otvor varirati između s A (kada je s¥=300 MPa) i tačke s C (kada je napon oko otvora s C tada je udaljen napon s¥=0), slika 2. Odredimo više tačaka na histerezisnoj petlji kada je s¥=100±200 MPa. 139

PAK – FM&F

Mehanika loma

Izabrati početnu tačku petlje u tački A gde su s A = 499 MPa i e A = 0.006574 (ranije određeno iz jednačina (e) i (f)). Odredimo tačku na petlji (napon oko otvora) kada je priračtaj napona Ds¥=200 MPa. Iz jednačine ciklično naponsko-deformacione krive za priračtaj dobijamo

Ds × De

K 2f × (Ds ¥ )2 = E

2.7 2 × 2002 = 200000

1.458 =(k)

1

De

Ds æ Ds ö 0.18 = + 2ç ÷ 200000 è 2 ×1344 ø

(l)

Rešavanjem ovog sistema dobijamo D= s 519 MPa i De = 0.002810 . Za tačku E na histerezisnoj petlji sada dobijamo Slika 2. s E = s A - Ds= 499 MPa - 519 = MPa -20 MPa (m) e E = e A - De 0.006574 = - 0.002810 = 0.003764 (n) Na kraju, odredimo prelomnu tačku F petlje (napon oko otvora) kada je Ds¥=400 MPa (tada je nominalni napon s¥=-100 MPa). Kao u (k) i (l) imamo K 2f × (Ds ¥ )2 2.72 × 4002 Ds × De = = (q) 5.832 = E 200000 1

Ds æ Ds ö 0.18 De = + 2ç ÷ 200000 è 2 ×1344 ø Rešavanjem jednačina dobijamo Ds = 829 MPa i De = 0.007038 . Za prelomnu tačku F na histerezisnoj petlji dobijamo s F = s A - Ds= 499 MPa - 829 = MPa -330 MPa e F = e A - De 0.006574 = - 0.007038 = 0.000464

(r)

(s) (t)

Broj ciklusa do pojave prsline (do otkaza usled loma) se dobija, po Morrow-u, iz jednačine s ' -sm (u) ea = f (2 N )b + e 'f (2 N )c E Srednji napon s m je s m = (s A + s F ) / 2 =(499 - 330) / 2 = 84.5 MPa i amplitudna deformacija biće e a = (e A - e F ) / 2 (0.006574 = + 0.000464) / 2 = 0.003519 . Zamenom ovih vrednosti u (u), i koristeći ranije date vrednosti, dobijamo 1227 - 84.5 e a = 0.003519 = (2 N ) -0.095 + 1.0(2 N ) -0.66 (v) 206000 Rešavanjem prethodne jednačine dobijamo 2N=23070 broj poluciklusa do otkaza, što daje N=11500 ciklusa do otkaza. Odgovor: a) Otkaz se očekuje posle N=2300 ciklusa (približno). b) N=11500 ciklusa do otkaza.

140

PAK – FM&F

Mehanika loma

II Numeričko rešenje u programu PAK-G Prvo ćemo odrediti napon i deformacije u materijalu posmatrane epruvete na osnovu opterećenja i materijalnih karakteristika, zatim ćemo odrediti preostali broj ciklusa do loma. a) Broj ciklusa do otkaza kada je nominalni napon s¥=±300 MPa Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izaberite za Tip analize e-N. Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

2

3

U dijalogu Parametri resavanja biramo: Metoda analize na osnovu koje određujemo preostali broj ciklusa do otkaza. Prema uslovu zadatka biramo Morrow metodu (uzima u obzir uticaj srednjeg 141

PAK – FM&F

Mehanika loma

napona); Korekcija po difoltu je Neuber (vrši se preračunavanje elastičnih u elastoplastične deformacije preko Neuber-ove hiperbole; u slučaju kad prethodnim proračunom konstrukcije metodom konačnih elemenata dobijamo elastoplastične deformacije ne vršimo ovu korekciju).

4

5 Sada unosimo karakteristike materijala pri cikličnom opterećenju.

6

7

8

Potrebno je još zadati istoriju opterećenja.

9

142

PAK – FM&F

Mehanika loma

10

11 12 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

13

Rezultati proračuna se prikazuju u dijalogu. Prvo su određene maksimalne vrednosti napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (e) i (f).

14 Potom se određuju priraštaji napona i deforamcije. Na osnovu maksimalnih vrednosti i priraštaja određuju se minimalne i amplitudne vrednosti napona i deformacije. U dijalogu se štampaju izračunate vrednosti priraštaja napona i deformacije, srednji napon i amplitudna deformacija.

15

143

PAK – FM&F

Mehanika loma

Očekivan broj ciklusa do loma ispitivane epruvete određen je iz Morrow-og izraza (j) iterativnim postupkom.

16 Odgovor: Očekivani broj ciklusa do loma materijala usled zamora, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=2304 ciklusa (približno). Rezultat dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.2% u odnosu na rešenje dato u literaturi.

b) Broj ciklusa do otkaza kada je nominalni napon s¥=100±200 MPa Po završetku prethodne analize vraćamo se na dijalogu Zamor materijala. Pošto su karakteristike materijala i parametri rešavanja isti kao i u slučaju pod a), potrebno je promeniti samo istoriju opterećenja. Ukoliko radite samo primer pod b) podešavanje parametara rešavanja i karakteristika materijala je identično prethodno navedenom, pa će stoga ovde biti izostavljeno. Menjamo istoriju opterećenja.

1

Prvo unosimo novu istoriju opterećenja. Pre satartovanja analize potrebno je izbrisati prethodno definisanu istoriju opterećenja. Selektujte u listu boksu (prozor na levoj strani dijaloga) staru istoriju opterećenja pa pritisnite dugme Izbrisi.

144

PAK – FM&F

Mehanika loma

4 2

3

5

U list boksu je ostala samo nova istorija opterećenja.

6 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

7

Rezultati proračuna se prikazuju u dijalogu. Prvo su određene maksimalne vrednosti napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (e) i (f).

145

PAK – FM&F

Mehanika loma

8 Potom se određuju priraštaji napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (q) i (r). Na osnovu maksimalnih vrednosti i priraštaja određuju se minimalne i amplitudne vrednosti napona i deformacije. U dijalogu se štampaju izračunate vrednosti priraštaja napona i deformacije, srednji napon i amplitudna deformacija.

9 Očekivan broj ciklusa do loma ispitivane epruvete određen je iz Morrow-og izraza (u) iterativnim postupkom.

10

Odgovor: Očekivani broj ciklusa do loma materijala usled zamora, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=11525 ciklusa (približno). Rezultat dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.2% u odnosu na rešenje dato u literaturi.

PRIMER 3 – Procena preostalog ciklusa do loma ravnog štapa sa otvorom na stranici Opis problema/Cilj: Razmatramo ravan štap pravougoanog poprečnog preseka sa malim žljebom na stranici, slika 1, sa faktor koncentracije napona je Kt=3. Štap je opterećen naizmeničnim (promenljivim) opterećenjem s¥=150±150 MPa. Proceniti broj ciklusa do loma koristeći Neuber-ov metod. Pretpostaviti da je Kf=0.9 K t.

Slika 1. 146

PAK – FM&F

Mehanika loma

Koristiti Ramberg-Osgood-ovu relaciju za amplitudu deformacije (E=200 GPa, K'=1334 MPa, n'=0.18) 1

s æ s ön' ea = a + ç a ÷ E è K 'ø sa odgovarajućom modifikacijom ove formule za priraštaj napona Ds . Za analizu broja ciklusa koristiti Morrow-u relaciju, uključujući uticaj srednjeg napona, sa karakteristikama materijala pri cikličnom opterećivanju datim u tabeli. Ime parametra

Jedinica mere

Koeficijent zamorne jačine Eksponent zamorne jačine Koeficijent zamorne istegljivosti Eksponent zamorne istegljivosti

MPa ili MN/m2 / / /

Parametar sf' b ef' c

1227 -0.095 1.0 -0.66

U cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Rešenje iz literature3

II Numeričko rešenje u programu PAK-G

I Rešenje iz literature Nisu dati podaci za izračunavanje faktora osetljivosti na zarez q (fatigue notch factor). Umesto toga dato je K f = 0.9 K t = 2.7 . Prema tome, koristiti K f = 2.7 . Maksimalano nominalno opterećenje s ¥ =300 MPa daje maksimalni lokalni napon s max i maksimalnu lokalnu deformaciju e max oko žljeba. Oni se dobijaju u preseku Neuber-ove hiperbole i ciklično naponsko-deformacione krive. Iz jednačina ovih krivih dobijamo K 2f × s ¥2 2.7 2 × 3002 = = 3.2805 = (a) s ×e E 200000 1

1

s æ s ö n' s æ s ö 0.18 e = +ç ÷ = +ç (b) ÷ E è K 'ø 200000 è 1344 ø Rešavanjem prethodnog sistema jednačina dobijamo: s = s max = 499 MPa i e = e max = 0.006574 (ovo je krajnja gornja tačka histerezisne petlje). Promena nominalnog napona Ds ¥ (daleko od mesta koncentracije napona) će uzrokovati promenu napona Ds i promenu deformacije De na mestu koncentracije napona. Promene Ds i De se dobijaju iz jednačina Neuber-ove hiperbole i ciklično naponsko-deformacione krive za promenu. K 2f × (Ds ¥ )2 2.7 2 × 3002 Ds × De = = (c) 3.2805= E 200000 3

T Dahlberg: Examination in Damage Mechanics and Life Analysis TMHL61 (Avd Hållfastherslära, IKP, Linköpings Universitet)

147

PAK – FM&F

Mehanika loma 1

De

Ds æ Ds ö n ' +=2 ç ÷= E è 2K ' ø

1

Ds æ Ds ö 0.18 + 2ç ÷ 200000 è 2 ×1344 ø

(d)

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo: De = 0.004670 i Ds = 703 MPa . Možemo sada odrediti srednji napon i amplitudu deformacije oko žljeba. Dobijamo s mean = 499 - 703/ 2 = 148 MPa i e a = 0.004670 / 2 = 0.002335 . Koristeći Morrow izraz dobijamo s 'f - s m 1227148 = (2 N )b + e 'f (2 N ) c =(2 N ) -0.095 + 1.0(2 N ) -0.66 e a = 0.002335 E 200000 rešavanjem dobijamo očekivani broj poluciklusa do otkaza 2N=94900, ili, broj ciklusa do otkaza N=47500. Odgovor: Otkaz se očekuje posle N=47 500 ciklusa (približno). II Numeričko rešenje u programu PAK-G Prvo ćemo odrediti napon i deformacije u materijalu posmatrane epruvete na osnovu opterećenja i materijalnih karakteristika, zatim ćemo odrediti preostali broj ciklusa do loma. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izaberite za Tip analize e-N. Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

148

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

U dijalogu Parametri resavanja biramo: Metoda analize na osnovu koje određujemo preostali broj ciklusa do otkaza. Prema uslovu zadatka biramo Morrow metodu (uzima u obzir uticaj srednjeg napona); Korekcija po difoltu je Neuber (vrši se preračunavanje elastičnih u elastoplastične deformacije preko Neuber-ove hiperbole; u slučaju kad prethodnim proračunom konstrukcije metodom konačnih elemenata dobijamo elastoplastične deformacije ne vršimo ovu korekciju).

4

5 Sada unosimo karakteristike materijala pri cikličnom opterećenju.

6

7

8

Potrebno je još zadati istoriju opterećenja. 149

PAK – FM&F

Mehanika loma

9

10

11 12 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

13

Rezultati proračuna se prikazuju u dijalogu. Prvo su određene maksimalne vrednosti napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (a) i (b).

150

PAK – FM&F

Mehanika loma

14 Potom se određuju priraštaji napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (c) i (d). Na osnovu maksimalnih vrednosti i priraštaja određuju se minimalne i amplitudne vrednosti napona i deformacije. U dijalogu se štampaju izračunate vrednosti priraštaja napona i deformacije, srednji napon i amplitudna deformacija.

15 Očekivan broj ciklusa do loma ispitivane epruvete određen je iz Morrow-og izraza iterativnim postupkom.

16

Odgovor: Očekivani broj ciklusa do loma materijala usled zamora, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=47474 ciklusa (približno). Rezultat dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.05% u odnosu na rešenje dato u literaturi. PRIMER 3 – Procena preostalog ciklusa do loma ravnog štapa sa otvorom na stranici Opis problema/Cilj: Razmatramo ravan štap pravougoanog poprečnog preseka sa malim žljebom na stranici, slika 1, sa faktor koncentracije napona je Kt=3. Štap je opterećen naizmeničnim (promenljivim) opterećenjem s¥=150±150 MPa. Proceniti broj ciklusa do loma koristeći Neuber-ov metod. Pretpostaviti da je Kf=0.9 K t.

Slika 1. Koristiti Ramberg-Osgood-ovu relaciju za amplitudu deformacije (E=200 GPa, K'=1334 MPa, n'=0.18)

151

PAK – FM&F

Mehanika loma 1

s æ s ön' ea = a + ç a ÷ E è K 'ø sa odgovarajućom modifikacijom ove formule za priraštaj napona Ds . Za analizu broja ciklusa koristiti Morrow-u relaciju, uključujući uticaj srednjeg napona, sa karakteristikama materijala pri cikličnom opterećivanju datim u tabeli. Ime parametra

Jedinica mere

Koeficijent zamorne jačine Eksponent zamorne jačine Koeficijent zamorne istegljivosti Eksponent zamorne istegljivosti

MPa ili MN/m2 / / /

Parametar sf' b ef' c

1227 -0.095 1.0 -0.66

U cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Rešenje iz literature4

II Numeričko rešenje u programu PAK-G

I Rešenje iz literature Nisu dati podaci za izračunavanje faktora osetljivosti na zarez q (fatigue notch factor). Umesto toga dato je K f = 0.9 K t = 2.7 . Prema tome, koristiti K f = 2.7 . Maksimalano nominalno opterećenje s ¥ =300 MPa daje maksimalni lokalni napon s max i maksimalnu lokalnu deformaciju e max oko žljeba. Oni se dobijaju u preseku Neuber-ove hiperbole i ciklično naponsko-deformacione krive. Iz jednačina ovih krivih dobijamo K 2f × s ¥2 2.7 2 × 3002 = = 3.2805 = (a) s ×e E 200000 1

1

s æ s ö n' s æ s ö 0.18 e = +ç ÷ = +ç (b) ÷ E è K 'ø 200000 è 1344 ø Rešavanjem prethodnog sistema jednačina dobijamo: s = s max = 499 MPa i e = e max = 0.006574 (ovo je krajnja gornja tačka histerezisne petlje). Promena nominalnog napona Ds ¥ (daleko od mesta koncentracije napona) će uzrokovati promenu napona Ds i promenu deformacije De na mestu koncentracije napona. Promene Ds i De se dobijaju iz jednačina Neuber-ove hiperbole i ciklično naponsko-deformacione krive za promenu. K 2f × (Ds ¥ )2 2.7 2 × 3002 Ds × De = = (c) 3.2805= E 200000

4

T Dahlberg: Examination in Damage Mechanics and Life Analysis TMHL61 (Avd Hållfastherslära, IKP, Linköpings Universitet)

152

PAK – FM&F

Mehanika loma 1

De

Ds æ Ds ö n ' +=2 ç ÷= E è 2K ' ø

1

Ds æ Ds ö 0.18 + 2ç ÷ 200000 è 2 ×1344 ø

(d)

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo: De = 0.004670 i Ds = 703 MPa . Možemo sada odrediti srednji napon i amplitudu deformacije oko žljeba. Dobijamo s mean = 499 - 703/ 2 = 148 MPa i e a = 0.004670 / 2 = 0.002335 . Koristeći Morrow izraz dobijamo s 'f - s m 1227148 = (2 N )b + e 'f (2 N ) c =(2 N ) -0.095 + 1.0(2 N ) -0.66 e a = 0.002335 E 200000 rešavanjem dobijamo očekivani broj poluciklusa do otkaza 2N=94900, ili, broj ciklusa do otkaza N=47500. Odgovor: Otkaz se očekuje posle N=47 500 ciklusa (približno). II Numeričko rešenje u programu PAK-G Prvo ćemo odrediti napon i deformacije u materijalu posmatrane epruvete na osnovu opterećenja i materijalnih karakteristika, zatim ćemo odrediti preostali broj ciklusa do loma. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izaberite za Tip analize e-N. Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

153

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

U dijalogu Parametri resavanja biramo: Metoda analize na osnovu koje određujemo preostali broj ciklusa do otkaza. Prema uslovu zadatka biramo Morrow metodu (uzima u obzir uticaj srednjeg napona); Korekcija po difoltu je Neuber (vrši se preračunavanje elastičnih u elastoplastične deformacije preko Neuber-ove hiperbole; u slučaju kad prethodnim proračunom konstrukcije metodom konačnih elemenata dobijamo elastoplastične deformacije ne vršimo ovu korekciju).

4

5 Sada unosimo karakteristike materijala pri cikličnom opterećenju.

6

7

8

Potrebno je još zadati istoriju opterećenja. 154

PAK – FM&F

Mehanika loma

9

10

11 12 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

13

Rezultati proračuna se prikazuju u dijalogu. Prvo su određene maksimalne vrednosti napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (a) i (b).

155

PAK – FM&F

Mehanika loma

14 Potom se određuju priraštaji napona i deforamcije iterativnim rešavanjem jednačina (c) i (d). Na osnovu maksimalnih vrednosti i priraštaja određuju se minimalne i amplitudne vrednosti napona i deformacije. U dijalogu se štampaju izračunate vrednosti priraštaja napona i deformacije, srednji napon i amplitudna deformacija.

15 Očekivan broj ciklusa do loma ispitivane epruvete određen je iz Morrow-og izraza iterativnim postupkom.

16

Odgovor: Očekivani broj ciklusa do loma materijala usled zamora, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=47474 ciklusa (približno). Rezultat dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.05% u odnosu na rešenje dato u literaturi.

156

PAK – FM&F

Mehanika loma

ZAMORNI RAST PRSLINE

157

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 1 – Određivanje preostale čvstoće ploče sa eliptičnom ivičnom prslinom Opis problema/Cilj: Ploča debljine t sadrži eliptičnu ivičnu prslinu, kao što je prikazano na slici 1. Ploča se opterećuje sa sekvencom opterećenja koja se sastoji od dva ciklusa kao što je prikazano na slici 1. U okviru ovog primera neophodno je odrediti preostalu čvrstoću do loma, izraženu preko broja ciklusa Ns. Pretpostavlja se da prslina zadržava svoj oblik tokom njenog rasta.

Slika 1. Centralna eliptična prslina i istorija opterećenja Za procenu preostale čvrstoće korišćen je Parisov zakon. Proračun je vršen analitičkim i numeričkim postupkom. U proračunu su korišćeni sledeći podaci: Dužina poluosa elipse: a0=0.002m, c0=0.004m, Debljina ploče: t=0.100m, Napon tečenja: s y =1200MPa, Lomna žilavost: K Ic=70MN/m3/2, Prag lomne žilavosti: D Kth=6MN/m3/2, Dinamički parametri materijala: n=4, C=1×10-13m7/MN4, Primenjeni naponi: s 1 = 200MPa, s 2 = 400MPa , Stepen sigurnosti: s=1.4.

æaö Za numerički postupak zadaje se još i korekcioni faktor: f ç ÷ = 0.9 . ècø U cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Analitičko rešenje iz literature5

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK

5

T Dahlberg and A Ekberg: Fatigue and Fracture Design – An Introduction (Chapter 6) LiTH-IKP-S-493 (Linköping University and Chalmers University)

158

PAK – FM&F

Mehanika loma

I Analitičko rešenje iz literature Za eliptičnu ivičnu prslinu faktor inteziteta napona se može analitički izračunati (za a/c=0.5) primenom sledeće relacije

æaö K 1 = s 0 pa f ç ÷ = s 0 pa 0.896 = 0.90s 0 pa ècø

(1.1)

Vrednost faktora inteziteta napona postaje: DK 1 = 0.90Ds ¥ pa

(1.2)

Kao prvo proverićemo da li će niži nivo napona s 1 = 200MPa doprinositi rastu prsline. Odredimo faktor intenziteta napona za primenjeno niže opterećenje s 1 = 200MPa , i ukoliko faktor intenziteta napona prevazilazi prag lomne žilavosti primenjeni niži napon će uticati na rast početne prsline. Kako je a=a0=0.002 m i Ds 0 = s 1 = 200MPa , iz (1.1) dobija se DK 1 = 0.90 × 200 p × 0.002 = 14.3 MN/m3/2

(1.3)

Vrednost praga lomne žilavosti je D Kth=6MN/m3/2, dakle K1> D Kth. Ovo znači da će prslina rasti za niži ciklus napona s 1 , pa prema tome i za više naponske cikluse tj., za s 2 . Sledeće što treba odrediti je kritična dužina prsline, tj., dužina prsline pri lomu acrit. Pretpostavimo da važi teorija linearne elastične mehanike loma (LEFM). U tom sličaju lom će se javiti kada je KImax=KIc/s. To daje: 0.90s ¥ p = acrit

DK1

K Ic s

=

(1.4)

Lom će se pojaviti kada je struktura izložena najvećem naponu. Za s ¥ = s 2 dobijamo (ako važi LEFM): acrit

K Ic 1æ = çç p è s × 0.90 × s 2

2

2

ö 1æ 70 ÷÷ = ç p çè 1.4 × 0.90 × 400 ø

ö ÷ = 0.0061 m ÷ ø

(1.5)

Provera validnosti pretpostavke da važi linearno elastična mehanika loma.

æ K 2.5 çç Ic è s ×s Y

2

2

ö æ 70 ö ÷÷ = 2.5 ç ÷ = 0.0043 m è 1.4 × 1200 ø ø

(1.6)

što je manje od acrit, t, i karakteristične dužine W-a. Pa prema tome zaključujemo da važi linearno elastična mehanika loma. Na osnovu predhodne analize možemo zaključiti da će prslina rasti od početne dužine a0 do kritične dužine acrit, da će pri tom važiti teorija linearno elastične mehanike loma i da će oba ciklusa opterećenja doprinositi rastu prsline. Za sekvencu koja sadrži dva ciklusa, rast prsline će biti:

(

da n = C å (DK I ) = C å 0.90Ds 0 pa dN

{(

= C 0.90Ds 1 pa

) + (0.90Ds

)

n

pa

) }

) + (0.90Ds

p

n

2

n

(1.7)

Razdvajanjem promenljivih dobijamo: acr

1

ò ( a)

{(

da = C 0.90Ds 1 p n

a0

n

2

) }ò dN n

Ns

0

159

s

(1.8)

PAK – FM&F

Mehanika loma

što daje

(

æ nö 1- n / 2 - a10- n / 2 = ç1 - ÷C 0.90 p acrit è 2ø

) {s n

n 1

}

+ s 2n N s

(1.9)

Uvođenjem acrit, a0, s 1 , s 2 i parametara materijala C i n u (1.9), i rešavanjem po Ns, dobijamo: Ns=19080 sekvenci

(1.10)

Sa Ns je označen broj sekvenci opterećenja, broj ciklusa opterećenja dobija se kada se broj sekvenci pomnoži sa brojem ciklusa u svakoj sekvenci. Konačno broj ciklusa je N=38000.

(1.11)

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK Kao rezultat numeričkog poračuna u PAK-G-u dobija se broj ciklusa do otkaza i podaci za crtanje dijagrama zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa i dijagram brzine rasta prsline. Procenu preostale čvrstoće (veka) konstrukcije, možemo uraditi u PAK-G-u na sledeći način. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izabrati tip analize (Zamorni rast prisline). Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

160

PAK – FM&F

Mehanika loma

2

3

Ako se ne unese konačna dužina prsline, izračunava se na osnovu maksimalnog opterećenja iz izraza za faktor intenziteta napona (izraz (1.5)). U tom slučaju moraju se uneti lomna žilavost i stepen sigurnosti. Ako se ne unese širina odnosno debljina uzorka ne vrši se provera važenja LEML-a u odnosu na ove parametre.

4

5

6

Sada definišemo karakteristike materijala.

161

PAK – FM&F

Mehanika loma

7

8

9

Potrebno je još zadati istoriju opterećenja.

10

Upišemo maksimalni, minimalni napon i broj ciklusa u odgovaraća polja, pa pritisnemo dugme Dodaj, potom unosimo vrednosti za sledeći ciklus na isti način.

11

12 13

162

PAK – FM&F

Mehanika loma

14

15 16 17 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

18

Program automatski vrši proveru važenja LEML-a i obaveštava nas da za zadate parametre važi linearno elastična mehanika loma (LEML).

19 Rezultati proračuna, neophodni za crtanje dijagrama, smeštaju se u fajl sa eksenzijom TAB. Pojavljuje se dijalog Save As u kome treba da unesete ime izlaznog fajla.

163

PAK – FM&F

Mehanika loma

21

20

Na kraju proračuna u dijalogu za poruke prikazuju se početna dužina prsline, kritična ili zadata krajnja dužina prsline, proračunat broja sekvenci (za slučaj kombinovanog opterećivanja) odnosno preostali broj ciklusa do otkaza.

22 Odgovor: Dopušteni broj ciklusa do otkaza, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=38 282. Rezultati dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.3% u odnosu na rešenje dato u literaturi. Sada ćemo pristupiti crtanju dijagrama u Excel-u na osnovu sračunatih podataka. Otvorite u tekst editoru (UltraEdit, Notepad i sl.) fajl u kome ste zapisali podatke za dijagrame (pr1.tab). Sledi prikaz sadržaja fajla pr1.tab otvorenog u UltraEdit-oru. a N N* dK da/dN 0.002000 0 0 0.002207 5324 5312 24.98469 0.000000039 0.002414 9736 9715 26.18526 0.000000047 0.002621 13452 13424 27.33314 0.000000056 0.002828 16622 16591 28.43472 0.000000065 0.003035 19362 19326 29.49518 0.000000076 0.003242 21750 21712 30.51882 0.000000087 0.003449 23852 23812 31.50922 0.000000099 0.003656 25716 25675 32.46943 0.000000111 0.003863 27380 27338 33.40204 0.000000124 0.004070 28876 28832 34.30932 0.000000139 0.004277 30226 30181 35.19321 0.000000153 0.004484 31452 31406 36.05544 0.000000169 0.004691 32570 32523 36.89752 0.000000185 0.004898 33592 33546 37.72082 0.000000202 0.005105 34532 34485 38.52652 0.000000220 0.005312 35398 35352 39.31571 0.000000239 0.005519 36200 36153 40.08938 0.000000258 0.005726 36944 36897 40.84839 0.000000278 164

PAK – FM&F 0.005933 0.006140

Mehanika loma 37636 38282

37588 38233

41.59355 42.32560

0.000000299 0.000000321

Startujte EXCEL klikom na ikonu na dekstopu ili klikom na Start>Programs>Microsoft Excel Preko clipboard-a prebacićemo podatke iz fajla pr1.tab u Excel. Selektujte vrednosti dužine prsline, vrednosti ispod a (uključiti selektovanje kolone u UltraEditoru sa Alt+C), kao sto je prikazano ispod. Pritinuti Ctrl+C ili Edit/Copy za kopiranje selektovanje kolone u clipboard.

Sa Alt+Tab preći u Excel i sa Ctrl+V ili Edit/Paste iskopirati sadržaj clipboard-a u prvu kolonu Excel tabele. Isti postupak primenite pri kopiranju vrednosti broja ciklusa, vrednosti ispod N, u Excel. Sada iskopirajte sadržaj clipboard-a u drugu kolonu, Excel tabele. Na isti način iskopirajte podatke za dijagram rasta prsline, kolone ispod da/dN i dK. Podatke iskopirajte u treću odnosno četvrtu kolonu Excel tabele. Konačan izgled Excel tabele je prikazana na sledećoj slici.

Crtanje dijagrama 165

PAK – FM&F

Mehanika loma

Klikom na ikonu za crtanje grafika (Chart ) pokreće se Excel-ov wizard za crtanje grafika. Crtanje grafika se izvodi u 4 koraka. Prvi korak: Biramo tip i podtip grafika koji želimo da nacrtamo. Izabrati tip i podtip kako je prikazano na sledećem dijalogu.

1

2

3 Drugi korak: definisanje podataka za grafik. Kliknite na tab Series; klikom na Add dugme dobijamo tekst box-sove za unos podataka za krivu. 4

6 9 5

12 X Values: kliknite na dugme na kraju tekst box-a, smanjiće se prethodni dijalog. Selektujte sve vrednosti druge kolone; u dijalogu će se pojaviti reference označenih polja u tabeli i one će biti obeležene isprekidanim linijama (vidi sliku).

166

PAK – FM&F

Mehanika loma

7

8 Ponovnim klikom na ikonu , vraća se prvobitni izgled dijaloga.

Y Values: kliknite na dugme

na kraju tekst box-a pa selektujte sve vrednosti iz prve kolone.

10

11

Treći korak: podešavanje opcija grafika. Titles tab: Chart title: naziv grafika, može se uneti i u prethodnom koraku, biće ispisana iznad dijagrama Value (X) axis: naziv vrednosti koje se crtaju na X osi (Broj ciklusa do otkaza) Value (Y) axis: naziv vrednosti koje se crtaju na Y osi (Duzina prsline)

167

PAK – FM&F

Mehanika loma

15

13 14

Axes tab: Po difoltu čekirane su Value (X) axis i Value (Z) axis, znači da će biti prikazane vrednosti na x i y osi. 16

Gridlines tab: podešavanje parametara za crtanje mreže na grafiku.

18

17

Legend tab: Čekiranjem Show legend biće prikzana legenda na grafiku, potrebno je izabrati gde će biti prikazana (botom, top ...) 168

PAK – FM&F

Mehanika loma

20 19

Data labels tab: uključivanje/isključivanje prikaza vrednosti na krivoj grafika. Izborom Show value prikazuje se y-vrednosti na krivoj; izborom show label prikazuje se x-vrednosti na krivoj.

21 Četvrti korak: izbor mesta gde će biti prikazan grafik; na novoj strani (izborom As new sheet, biće kreirana nova strana u fajlu pod nazivom Chart) ili kao objekat na strani (As object in) koju mi izaberemo na padajućem meniju.

22 Klikom na dugme Finish dobijamo sledeći dijagram.

169

PAK – FM&F

Mehanika loma 0.007 Duzina prsline (a)

0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 0

10000

20000

30000

40000

50000

Broj ciklusa do otkaza (N)

Podešavanjem maksimalne vrednosti x ose i opcija prikaza dijagrama dobijamo sledeći izgled prethodnog dijagrama.

Duzina prsline (a)

0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 0

10000

20000

30000

40000

Broj ciklusa do otkaza (N)

Dijagram zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa Na isti način nacrtajte dijagram brzine rasta prsline. Podaci za dK se crtaju na X osu (treća kolona), a da/dN na Y osu (četvrta kolona). Trebalo bi da dobijete sledeći dijagram. 3,50E-07 3,00E-07

da/dN

2,50E-07 2,00E-07 1,50E-07 1,00E-07 5,00E-08 0,00E+00 24

26

28

30

32

34

36

38

40

42

44

dK

Brzina rasta prsline Sa prethodnog dijagrama je očigledno da se pri povećanju dužine prsline povećava i brzina rasta prsline, što će na kraju dovesti do loma, tj., do pojave nekontrolisanog rasta prsline.

170

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 2 – Određivanje broja ciklusa do loma ploče sa središnjom eliptičnom prslinom Opis problema/Cilj: U okviru ovog primera ilustrovaćemo uticaj izbora zakona zamornog rasta prsline na procenu preostale čvrstoće. Biće korišćen Walker–ov zakon koji u proceni preostale čvrstoće uzima u obzir i oblik cikličnog opterećenja koje se primenjuje. Ploča debljine t sadrži centralnu eliptičnu prslinu, kao na slici 1. Odrediti broj ciklusa do loma ploče ako opterećenje varira od 0.5 s ¥ do s ¥ . Pretpostavlja se da prslina zadržava svoj oblik tokom rasta (tj. odnos a/c je konstantan). Pri proračunu je korišćen Walker-ov zakon.

Slika 1. Početni oblik prsline Numerički podaci su: Početne dimenzije prsline: a0=0.001m, c0=0.002m, Debljina ploče: t=0.100m, Napon tečenja: s y =1200MPa, Lomna žilavost: K Ic=60MN/m3/2, Prag lomne žilavosti: D Kth D Kth

(2.3)

Na osnovu relacije (2.3) možemo konstatovati da će prslina rasti pri zadatom opterećenju. Određivanje kritične dužine prsline ac. Do loma će doći ako je zadovoljen uslov K 60 K Imax = Ic daje 0.823 × 400 p ac = MN/m3/2 (2.4) s 1.4 što daje kritičnu dužinu prsline ac=0.0054m pri lomu (ili, da budemo precizniji, prslina će početi naglo da raste pri ovoj dužini, i do loma će doći posle ograničenog broja ciklusa opterećenja nakon što prslina dostigne ovu dužinu). Provera validnosti primene teorije linearno elastične mehanike loma

æK 2.5çç Ic è ss Y

2

2

ö æ 60 ö ÷÷ = 2.5ç ÷ = 0.0032m × 1 . 4 1200 è ø ø

(2.5)

Dakle, ac>0.0032 i može se koristiti teorija linearno elastične mehanike loma (takođe t i W-a su dovoljno veliki). Korigovani Parisov zakon, sa korekcijom srednjeg napona po Walker-u, daje:

(

C1 da (DK I )n = C 0.823Ds 0 pa = n (1-g ) dN (1 - R ) gde je odnos napona R=0.5. Faktor C postaje C=C1/ (1 - R )

n (1-g )

)

n

(2.6)

=1.1487*10-12m7/MN4

Razdvajanje i integraljenje daje

ò ( a ) d a = ò C (0 .823 D s

a cr

N

1

n

a0

p

0

) dN n

(2.7)

0

dobijamo N=

acr1-n / 2 - a10- n / 2

(1 - n / 2 ) C ( 0.823Ds 0

N (a) =

p

)

(2.8)

n

0.0054 -1 - 0.001-1

( -1)1.1487 ×10-12 ( 0.823 × 200

p

)

4

= 97900

(2.9)

Očekivano vreme do loma je sada N=97900 ciklusa, što se može uporediti sa vrednošću od N=225000 ciklusa, koja se dobija primenom standardnog oblika Paris-ovog zakona koji ne uzima u obzir oblik opterećenja preko koeficijenta R. Ove dve vrednosti se razlikuju za faktor (1 - R )n(1-g ) =0.435, što znači da u ovom slučaju oblik opterećenja uzet preko koeficijenta R ima važnu ulogu. 172

PAK – FM&F

Mehanika loma

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK Kao rezultat numeričkog poračuna u PAK-G-u dobija se broj ciklusa do otkaza (približno) i podaci za crtanje dijagrama zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa i dijagram brzine rasta prsline. Procenu preostale čvrstoće (veka) konstrukcije, možemo uraditi u PAK-G-u na sledeći način. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izabrati tip analize (Zamorni rast prisline). Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

2

3

Za procenu preostale čvrstoće biramo Walker-ov kriterijum rasta prsline i unosimo koeficijent za njega. Ako se ne unese konačna dužina prsline, izračunava se na osnovu maksimalnog opterećenja iz izraza za faktor intenziteta napona (izraz (1.5)). U tom slučaju moraju se uneti 173

PAK – FM&F

Mehanika loma

lomna žilavost i stepen sigurnosti. Ako se ne unese širina odnosno debljina uzorka ne vrši se provere važenja LEML-a u odnosu na ove parametre.

4 5

6

7

Sada definišemo karakteristike materijala.

9

8

10 Potrebno je još zadati istoriju opterećenja.

174

PAK – FM&F

Mehanika loma

11

Upišemo maksimalni, minimalni napon i broj ciklusa u odgovaraća polja, pa pritisnemo dugme Dodaj.

12

13 14 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

15

Program automatski vrši proveru važenja LEML i obaveštava nas da za zadate parametre važi linearno elastična mehanika loma (LEML).

175

PAK – FM&F

Mehanika loma

16 Rezultati proračuna, neophodni za crtanje dijagrama, smeštaju se u fajl sa eksenzijom TAB. Pojavljuje se dijalog Save As u kome treba da unesete ime izlaznog fajla.

18

17

Na kraju proračuna u dijalogu za poruke prikazuju se početna dužina prsline, kritična ili zadata krajnja dužina prsline, proračunat broja sekvenci (za slučaj kombinovanog opterećivanja) odnosno preostali broj ciklusa do otkaza.

19 Odgovor: Dopušteni broj ciklusa do otkaza, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=97 890. Rezultati dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.01% u odnosu na rešenje dato u literaturi. Na osnovu sračunatih podataka potrebno je nacrtati odgovarajuće dijagrame prema proceduri koja je opisana u primeru 1. Trebalo bi da dobijete sledeće dijagrame.

176

PAK – FM&F

Mehanika loma 0,006

Duzina prsline (a)

0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 0

20000

40000

60000

80000

100000

Broj ciklusa do otkaza (N)

Dijagram zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa 1,20E-07 1,00E-07

da/dN

8,00E-08 6,00E-08 4,00E-08 2,00E-08 0,00E+00 8

10

12

14

16

18

20

22

dK

Brzina rasta prsline Sa prethodnog dijagrama je očigledno da se pri povećanju dužine prsline povećava i brzina rasta prsline, što će na kraju dovesti do loma, tj., do pojave nekontrolisanog rasta prsline.

177

PAK – FM&F

Mehanika loma

PRIMER 3 - Određivanje broja ciklusa do loma oplate brodskog trupa Opis problema/Cilj: Cilj ovog primera je da pokaže način određivanja preostale čvrstoće dela konstrukcije u časovima rada. U oplati brodskog trupa otkrivene su dve prsline približno istih dimenzija u neposrednoj blizini otvora, slika 1. Oplata je opterećena naizmeničnim naponom s min = 0.2s ¥ i s max = s ¥ = 60MPa . Frekvencija oterećenja je 6 ciklusa u minuti. Odrediti preostali vek ploče (u časovima). Pretpostavka je da se prslina širi simetrično u odnosu na otvor.

Slika 1. Kružni otvor sa dve prsline Za procenu preostale čvrstoće korišćen je Paris-ov zakon. Usvojen je stepen sigurnosti od s=1.5. Potrebni podaci za proračun: r = a 0 = t = 0.08 m, s y = 600 MPa, K 1c = 90 MN / m 3 / 2 , n = 3, C = 1 × 10 -11 m11 / 2 / MN 2

æaö æaö Za numerički postupak zadaje se još i f ç ÷ = 1.42 ç ÷ èrø èrø

-1 6

= 1.1981 .

U cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Analitičko rešenje iz literature7

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK

7

T Dahlberg and A Ekberg: Fatigue and Fracture Design – An Introduction (Chapter 6) LiTH-IKP-S-493 (Linköping University and Chalmers University)

178

PAK – FM&F

Mehanika loma

I Analitičko rešenje iz literature Korekcioni faktor f koji figuriše u izrazu za faktor intenziteta napona ima oblik æaö æaö f ç ÷ = 1.42ç ÷ èrø èrø

-1 / 6

U ovom primeru faktor intenziteta napona može biti napisan približno:

1.42 æaö K 1 = s 0 pa f ç ÷ = s 0 pa = 1.42 p s 0 a 1 / 3 r 1 / 6 1/ 6 (a / r ) èrø

(3.1)

Kritična dužina prsline acr može se dobiti iz jednačine (3.1), ukoliko se faktor intenziteta napona zameni sa maksimalno dopustivom vrednošću K 1 max = K 1c / s , dobijamo: æK 1 a = a cr = çç 1c 1/ 6 è s 1.42 p s ¥ × r

3

æ ö 90 ÷ =ç ç 1.5 × 1.42 p 60 × 0.081 / 6 ÷ è ø

3

ö ÷ = 0.22175 m ÷ ø

(3.2)

Provera validnosti teorije linearno elastične mehanike loma (LEFM)

æ K 2.5çç 1c è s ×s Y

2

ö ÷÷ = 0.025 m ø

(3.3)

S obzirom da su sve tri karakteristične veličine a, t i W - a veće od 0.025 m, možemo zaključiti da važi teorija linearno elastične mehanike loma (LEFM). Opseg intenziteta napona dobija se primenom relacije

DK1 = 1.42 p 0.8s ¥ a 1 / 3 r 1 / 6

(3.4)

Primenom Paris-vog zakona dobija se sledeći izraz

(

da n = C (DK 1 ) = C 1.42 p 0.8s ¥ a1 / 3 r 1 / 6 dN

)

3

(3.5)

Integracijom predhodne relacije

(

acr

)

3 da N 1/ 6 p s = C r dN 1 . 42 0 . 8 ¥ ò a ò0 a0

(3.6)

dobijamo N=

(

1

C 1.42 p 0.8s ¥ r

)

1/ 6 3

ln

a cr = 204400 ciklusa a0

Što odgovara preostalom veku t = N / (6 × 60) = 568 h .

179

(3.7)

PAK – FM&F

Mehanika loma

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK Kao rezultat numeričkog poračuna u PAK-G-u dobija se broj ciklusa do otkaza (približno) i podaci za crtanje dijagrama zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa i dijagram brzine rasta prsline. Procenu preostale čvrstoće (veka) konstrukcije, možemo uraditi u PAK-G-u na sledeći način. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izabrati tip analize (Zamorni rast prisline). Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

2

3

Ako se ne unese konačna dužina prsline, izračunava se na osnovu maksimalnog opterećenja iz izraza za faktor intenziteta napona (izraz (1.5)). U tom slučaju moraju se uneti lomna žilavost i stepen sigurnosti. Ako se ne unese širina odnosno debljina uzorka ne vrši se provere važenja LEML-a u odnosu na ove parametre. 180

PAK – FM&F

Mehanika loma

4

5

6

Sada definišemo karakteristike materijala.

8

7

9 Potrebno je još zadati istoriju opterećenja.

181

PAK – FM&F

Mehanika loma

10

Upišemo maksimalni, minimalni napon i broj ciklusa u odgovaraća polja, pa pritisnemo dugme Dodaj.

11

12 13 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

14

Program automatski vrši proveru važenja LEML i obaveštava nas da za zadate parametre važi linearno elastična mehanika loma (LEML).

182

PAK – FM&F

Mehanika loma

15 Rezultati proračuna, neophodni za crtanje dijagrama, smeštaju se u fajl sa eksenzijom TAB. Pojavljuje se dijalog Save As u kome treba da unesete ime izlaznog fajla.

17

16

Na kraju proračuna u dijalogu za poruke prikazuju se početna dužina prsline, kritična ili zadata krajnja dužina prsline, proračunat broja sekvenci (za slučaj kombinovanog opterećivanja) odnosno preostali broj ciklusa do otkaza.

18 Odgovor: Dopušteni broj ciklusa do otkaza, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=204428. Rezultati dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.01% u odnosu na rešenje dato u literaturi. Na osnovu sračunatih podataka potrebno je nacrtati odgovarajuće dijagrame prema proceduri koja je opisana u primeru 1. Trebalo bi da dobijete sledeće dijagrame.

183

PAK – FM&F

Mehanika loma 0,225

Duzina prsline (a)

0,2 0,175 0,15 0,125 0,1 0,075 0,05 0,025 0 0

50000

100000

150000

200000

Broj ciklusa do otkaza (N)

Dijagram zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa 2,00E-06 1,80E-06 1,60E-06 da/dN

1,40E-06 1,20E-06 1,00E-06 8,00E-07 6,00E-07 4,00E-07 2,00E-07 34

38

42

46

50

54

58

dK

Brzina rasta prsline

PRIMER 4 - Procena preostale čvstoće ploče sa ivičnom prslinom izložene spektralnom opterećenju Opis problema/Cilj: U okviru ovog primera vrši se procena preostale čvrstoće mašinske komponente sa ivičnom prslinom koja je izložena spektralnom opterećenju, slika 1. Jedan spektar opterećenja je zadat sa ukupno 60 ciklusa gde je raspodela ciklusa po opterećenjima data u Tabeli 1.

184

PAK – FM&F

Mehanika loma

Slika 1. Ivična prslina Tabela 4.1 Definisanje istorije spektralnog opterećenja Opseg napona Broj ciklusa

Ds 0 (MPa)

285

270

200

92

1

3

12

44

N

Za procenu preostale čvrstoće koristiti Parisov zakon. U proračunu su korišćeni sledeći podaci: Početna dužina prsline: a0 = 1 mm , Maksimalna zadata dužina prsline: a = 5 mm , Dinamički parametri zamornog rasta: C = 2.5 × 10 -12 i n = 3.2, Prag lomne žalovosti: DK th = 8 MN / m 3 / 2 .

æ a Za numerički postupak zadaje se još i f ç èW

ö ÷ = 1.12 . ø

U cilju poređenja rezultata dobijenih razvijenim numeričikm postupkom dajemo: I Analitičko rešenje iz literature8

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK

8

T Dahlberg and A Ekberg: Fatigue and Fracture Design – An Introduction (Chapter 6) LiTH-IKP-S-493 (Linköping University and Chalmers University)

185

PAK – FM&F

Mehanika loma

I Analitičko rešenje iz literature Za procenu preostale čvrstoće korišćen je Paris-ov zakon da n = C (DK t ) dN

(4.1)

Prvo ispitati da li će svi naponi u ciklusu doprinositi širenju prsline. Opseg faktora intenziteta napona za komponentu sa ivičnom prslinom (korišćeno W >> a)

æaö DK 1 = Ds 0 pa f ç ÷ = 1.12 D s 0 pa èW ø

(4.2)

Opseg napona Ds 0 = 92 MPa daje

DK1

æaö D= s 0 p a=f ç ÷ 1.12 × 92 p × 0.001 = 5.77 MN / m3/ 2 èW ø

(4.3)

što je ispod vrednosti praga lomne žilavosti DK th = 8 MN / m 3 / 2 . Na osnovu ovoga se može zaključiti da opseg napona Ds 0 = 92 MPa neće doprinositi rastu prsline u početku. Izvršićemo proveru za sledeći zadati opseg napona Ds 0 = 200 MPa . Faktor intenziteta napona za ovaj opseg opterećenja ima vrednost

æa DK 1 = Ds 0 pa f ç èW

ö /2 ÷ = 1.12 × 200 p × 0.001 = 12.6 MN / m ø

(4.4)

Ukoliko uporedimo vrednost dobijenu relacijom (4.4) sa vrednošću za prag lomne žilavosti možemo zaključiti da će ovaj nivo napona uticati na rast prsline od samog početka. Na osnovu ovoga možemo zaključiti da će i preostala dva napona zadata u spektru opterećivanja uticati na inicijalni rast prsline. Odredićemo dužinu prsline pri kojoj će i opseg napona od Ds 0 = 92 MPa početi da doprinosi daljem rastu prsline:

æaö DK 1 = Ds 0 pa f ç ÷ = 1.12 × 92 p × a1 = 8 MN / m / 2 èW ø

(4.5)

što daje vrednost od a1 = 1.92 mm . Dakle, kada se dostigne dužina prsline od 1.92mm neophodno je uključiti i poslednju podskevencu opterećenja pri proceni veka trajanja, a do te dužine u proračunu se koristie preostale tri podsekvence opterećenja zadatog spektra. Kada prslina dostigne 1.92 mm sva četiri opsega napona će biti štetni za strukturu. Na osnovu predhodne analize može se zaključiti da se rast prsline mora proračunati u dva koraka: - prvi korak odgovara rastu prsline od 1 mm do 1.92 mm, - drugi korak odgovara rastu od 1.92 mm do 5 mm. Brzina rasta prsline primenom Paris-ovog zakon je: da n = C (DK 1 ) dN

(4.6)

U relaciju (4.6) unosi se N s kao sekvenca opterećenja da n = C å (DK 1i ) = C (1.12 p ) n {1 × 285 n + 3 × 270 n + 12 × 200 n }( a ) n dN s Razdvajanje promenljivih i integracija relacije (4.7) daje:

(4.7)

186

PAK – FM&F

Mehanika loma 0.00192

ò

0.001

(

da = C 1.12 p a1.6

) {1 × 285 n

n

}

+ 3 × 270 n + 12 × 200 n N s

(4.8)

Rešavanje po N s daje N s = N s1 = 2867 sekvenci, odnosno N = N 1 = 2867 × 60 = 172 000 ciklusa (od ovih 172 000 ciklusa 2867 × 44 = 126 100 ciklusa ne doprinosi rastu prsline). Kada prslina dostigne dužinu 1.92 mm, svi naponski ciklusi doprinose rastu prsline. Upotrebljava se:

da n = C å (DK 1i ) dN s

{

}

= C (1 . 12 p ) n 1 × 285 n + 3 × 270 n + 12 × 200 n + 44 × 92 n ( a ) n

(4.9)

Razdvajanjem promenljivih i integracijom prethodne jednačine dobijamo sledeći izraz 0.00192

ò

0.001

(

da = C 1.12 p a1.6

) {1 × 285 n

n

}

+ 3 × 270 n + 12 × 200 n + 44 × 92 n N s

(4.10)

Rešavanjem dobijamo N s = 2254 sekvenci (odnosno N = N 2 = 2254 × 60 = 135 240 ciklusa). Zbir, 2867 + 2254 = 5121 sekvenci, daje 307 000 ciklusa koji se dopuštaju između dva ispitivanja. Parisov zakon može biti upotrebljen za dužinu prsline a = 5 mm. Najveći opseg naponskog ciklusa Ds 0 = 285MPa , daje sledeću vrednost opsega faktora intenziteta napona: DK 1 = 1.12Ds 0 pa = 1.12 × 285 p × 0.005 = 40 MN / m 3 / 2

(4.11)

Zaključujemo da posle redukcije sa koeficijentom stepena sigurnosti s (s>1) lomna žilavost materijala K 1c mora biti najmanje 40 MN / m 3 / 2 . Prema tome, mora biti zadovoljen uslov K 1c > s × 40 MN / m 3 / 2 .

Alternativno rešenje: Rešavanje problema korišćenjem ekvivalentnog opsega napona Ds eq . Za dužine prsline manje od 1.92 mm, ekvivalentni opseg napona glasi

Ds equivalent

{

ìï å (Ds 0i )n ni =í ïî å ni

}üï

1/ n

ý ïþ

1 / 3.2

ì1 × 285 n + 3 × 270 n + 12 × 200 n ü =í ý 16 î þ

= 223.85 MPa

(4.12)

Parisov zakon daje

(

da n = C (DK 1 ) = C 1.12 Ds equivalent pa dN

)

n

(4.13)

Razdvajanjem promenljivih i integracijom dobijamo 0.00192

da

ò ( a)

n

(

= C 1.12 × 223.85 p

0.001

187

)

n

(4.14)

PAK – FM&F

Mehanika loma

Rešavanjem po N dobijamo N = 45 867 ciklusa. Deljenjem N sa 16 (brojem ciklusa u sekvenci) dobijamo broj sekvenci N s potrebnih da prslina poraste od 1 mm do 1.92 mm. Dakle potrebno je N s = N s1 = 45867 / 16 = 2867 sekvenci, što se slaže sa rezultatima dobijenim na predhodan način. Za prslinu dužu od 1.92 mm, ekvivalentni opseg napona iznosi

Ds equivalent

{

ìï å (Ds 0i )n ni =í ïî å ni

}üï

1/ n

ý ïþ ì1 × 285 3.2 + 3 × 270 3.2 + 12 × 200 3.2 + 44 × 92 3.2 ü =í ý 60 î þ

1 / 3.2

= 155.13 MPa (4.15)

Razdvajanjem promenljivih i integraljenjem Parisovog zakona dobijamo: 0.005

da

ò ( a)

n

(

= C 1.12 × 153.13 p

) ×N n

(4.16)

0.00192

Rešavanjem po N dobijamo N = 135 247 ciklusa. Deljenjem N sa 60 (broj ciklusa u sekvenci) dobijamo broj sekvenci N s koji utiču na rast prsline od 1.92 mm do 5 mm. Dakle, može se ostvariti N s = N s1 = 4135247 / 60 = 2254 sekvenci, što se slaže sa rezultatima dobijenim na predhodan način. Odgovor: Zbir, N s = 2867 + 2254 = 5121 sekvenci, daje 307 000 ciklusa koji se dopuštaju između dva ispitivanja.

188

PAK – FM&F

Mehanika loma

II Numeričko određivanje preostale čvrstoće primenom paketa PAK Kao rezultat numeričkog poračuna u PAK-G-u dobija se broj ciklusa do otkaza (približno) i podaci za crtanje dijagrama zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa i dijagram brzine rasta prsline. Procenu preostale čvrstoće (veka) konstrukcije, možemo uraditi u PAK-G-u na sledeći način. Pokrenuti PAK-G dvostrukim klikom miša na ikonu izabrati sledeću komandu:

na Desktop-u. Na glavnom meniju

Rezultati>Zamor Pojavljuje se dijalog za selektovanje, izaberite opciju Cancel jer radimo analitičko određivanje preostalog radnog veka epruvete (nekoristimo rezultate dobijene prethodno proračunom metodom konačnih elemenata).

1

Pojavljuje se dijalog Zamor materijala, izabrati tip analize (Zamorni rast prisline). Pošto smo u prethodnom dijalogu izabrali Cancel automatski je čekirano Analiticki.

2

3

Ako se ne unese konačna dužina prsline, izračunava se na osnovu maksimalnog opterećenja iz izraza za faktor intenziteta napona (izraz (1.5)). U tom slučaju moraju se uneti lomna žilavost i stepen sigurnosti. Ako se ne unese širina odnosno debljina uzorka ne vrši se provere važenja LEML-a u odnosu na ove parametre. 189

PAK – FM&F

Mehanika loma

4

5

6 Sada definišemo karakteristike materijala.

8 7

9 Potrebno je još zadati istoriju opterećenja.

190

PAK – FM&F

Mehanika loma

10

Upišemo maksimalni, minimalni napon i broj ciklusa u odgovaraća polja, pa pritisnemo dugme Dodaj, potom unosimo vrednosti za sve ostale cikluse na isti način. Cikluse unosti redosledom datim u tabeli 4.1.

11 12 13 14 15 Definisali smo sve potrebne parametre, sada ćemo startovati proračun klikom na dugme Analiza.

16

Prvo se proverava da li postoji ciklus koji ne utiče na rasta prsline početne dužine. Program nas obaveštava o maksimalnom naponu u tom ciklusi i o dužini prsline do koje ovaj napon ne utiče na rast prsline. Rezultati proračuna se prikazuju u dijalogu za poruke. 191

PAK – FM&F

Mehanika loma

17 Proračun je sada podeljen u dva koraka: u prvom se izračunava broj dopuštenih ciklusa do dužine prsline od 1.919mm, a u drugom od 1.919mm do zadate dužine prsline od 5mm. Izračunavanje se vrši na osnovu ekvivalentnog napona. Program automatski vrši proveru važenja LEML i obaveštava nas da u ovom primeru nije moguće proveriti validnost LEML-a jer nisu unete odgovarajuće materijalne konstante.

18 Rezultati proračuna, neophodni za crtanje dijagrama, smeštaju se u fajl sa eksenzijom TAB. Pojavljuje se dijalog Save As u kome treba da unesete ime izlaznog fajla.

20

19

Na kraju prvog koraka u dijalogu za poruke prikazuju se početna dužina prsline, izračunata dužina prsline (1.919mm), proračunat broja sekvenci odnosno broj ciklusa da prslina ²naraste² do izračunate dužine.

21 Vrednosti proračuna u drugom koraku prikazuju se u sledećem dijalogu za poruke. Prikazuje se izračunata dužina prsline (1.919mm), zadata krajnja dužina prsline, proračunat broja sekvenci odnosno broj ciklusa da prslina ²naraste² od izračunate dužine do kranje dužine. U istom dijalogu prikazani su ukupan broj podsekvenci odnosno dopušten broj ciklusa pri kome će prslina ²narasti² od počentne do krajnje zadate dužine.

192

PAK – FM&F

Mehanika loma

19 Odgovor: Dopušteni broj ciklusa do otkaza, dobijen proračunom u programu PAK-G, je N=307200. Rezultati dobijen proračunom u PAK-G-u je sa greškom od 0.02% za izračunati broj podksevenci, odnosno 0.06% za broj ciklusa u odnosu na rešenje dato u literaturi. Na osnovu sračunatih podataka potrebno je nacrtati odgovarajuće dijagrame prema proceduri koja je opisana u primeru 1. Trebalo bi da dobijete sledeće dijagrame. 0,005

Duzina prsline (a)

0,0045 0,004 0,0035 0,003 0,0025 0,002 0,0015 0,001 0,0005 0 0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

Broj ciklusa do otkaza (N)

Dijagram zavisnosti dužine prsline od ostvarenog broja ciklusa 5.00E-08

da/dN

4.00E-08 3.00E-08 2.00E-08 I korak

1.00E-08

II korak

0.00E+00 13

14

15

16

17

18

19

20

21

dK

Brzina rasta prsline Dijagram brzine rasta prsline pokazuje da se brzine u oba koraka poklapaju.

193

22