MEF - Metoda Elementelor Finite - Pantel & Bia - FEM - Finite Element Method
March 9, 2017 | Author: pantel | Category: N/A
Short Description
Structural Engineering FEM - Finite Element Method - in RO: Metoda Elementului Finit MEF...
Description
Cuprins Prefat¸˘ a
9
1 Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD) 1.1 Modele ¸si metode de calcul ˆın Mecanica mediilor deformabile . 1.2 M˘arimile ¸si ecuat¸iile generale ale st˘ arii de solicitare a corpurilor 1.2.1 Starea de deformare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Starea de tensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Legi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 M˘arimi energetice ˆın studiul solidelor deformabile . . . . 1.2.5 Formularea problemelor de calcul al structurilor . . . . 1.3 Principii variat¸ionale ¸si teoreme energetice . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Principiile lucrului mecanic virtual . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Teorema de minim a energiei potent¸iale totale . . . . . 2 Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF) 2.1 Generalit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Scurt istoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Conceptul fundamental al MEF. Elemente finite ¸si noduri. Tipuri de formul˘ ari . . . . . . . . . . . . 2.2 Formul˘ ari ¸si operat¸ii fundamentale ale MEF . . . . . . . . 2.2.1 Formulare prin metoda direct˘ a . . . . . . . . . . . 2.2.2 Formularea variat¸ional˘ a a MEF . . . . . . . . . . . 2.2.3 Semnificat¸ia ¸si propriet˘a¸tile matricii de rigiditate elementale k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 . . . 29 . . . 29 . . . .
30 34 34 40
. . .
51
Asamblarea matricei de rigiditate globale R ¸si ∼ a vectorului fort¸e nodale echivalente P al structurii . . .
54
Introducerea condit¸iilor restrictive ˆın deplas˘ari . . . . .
60
∼
2.2.4
. . . .
. . . .
∼
2.2.5
13 13 16 17 18 19 20 22 22 22 26
5
6
CUPRINS 2.3
2.4
2.5 2.6
Aproximarea cˆ ampului deplas˘arilor pe elementul finit . . . . . . 2.3.1 Generalit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Funct¸ii de interpolare (funct¸ii de form˘a) . . . . . . . . . 2.3.3 Condit¸ii pe care trebuie s˘ a le satisfac˘a funct¸iile de aproximare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii algebrice . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii simetrice prin elimin˘ ari (substitut¸ii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii cu matrice band˘a simetric˘a prin eliminare (Gauss) . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Procedeul rezolv˘arii frontale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Alc˘atuirea matricei de rigiditate globale ˆın format semiband˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ret¸ele de discretizare a domeniilor ˆın elemente finite . . . . . . Sinteza m˘ arimilor, relat¸iilor ¸si algoritmilor specifice metodei elementelor finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Etapele analizei r˘ aspunsului unei structuri. Relat¸ii standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Algoritmizarea operat¸iilor ˆın scopul program˘arii pentru calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Utilizarea programelor la rezolvarea efectiv˘ a a unei probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 St˘ ari de solicitare plane 3.1 Ecuat¸iile generale ˆın probleme plane liniare . . . . . . . . . . . 3.2 Elemente finite triunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Coordonate naturale ˆın triunghi . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Elementul finit triunghiular cu deformat¸ii constante CST (Constant Strain Triangle) . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Elementul finit triunghiular cu deformat¸ii liniare - LST (Linear Strain Triangle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Elemente finite triunghiulare de ordin superior. Condensare static˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Integrare numeric˘a Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Program pentru alc˘atuirea matricei de rigiditate k ¸si a ∼ vectorului ˆınc˘ arc˘ arii nodale echivalente p ale elementului ∼
3.3
62 62 63 70 77 78 81 87 91 93 100 100 103 104 107 107 110 110 114 120 125 128
finit LST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Elemente finite dreptunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.3.1 Coordonate adimensionalizate . . . . . . . . . . . . . . . 141
CUPRINS
7
3.3.2
3.4
Element finit dreptunghiular cu deplas˘ari liniare pe laturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 3.3.3 Element finit dreptunghiular cu deplas˘ari variind pe laturi dup˘a o lege p˘ atratic˘ a. Alte elemente de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 148 Analiza solut¸iilor obt¸inute cu diferite elemente finite . . . . . . 152
4 St˘ ari de solicitare spat¸iale. Structuri masive 4.1 Generalit˘a¸ti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Elemente tetraedrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Elementul finit tetraedric cu deformat¸ii constante (CSTh) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Elementul finit tetraedric cu deformat¸ii liniare (LSTh) . 4.2.3 Elemente finite tetraedrice de ordin superior . . . . . . . 4.3 Elemente hexaedrice (brick, c˘ar˘ amida) . . . . . . . . . . . . . . 4.4 St˘ ari de solicitare ˆın solide de revolut¸ie . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Sisteme de coordonate. Relat¸ii generale . . . . . . . . . 4.4.2 Analiza prin MEF a st˘ arilor de solicitare axial simetrice ˆ 4.4.3 Inc˘arc˘ ari nesimetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156 156 158 159 162 163 166 169 169 171 174
5 Pl˘ aci plane ˆıncovoiate 179 5.1 Probleme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.1.1 Formularea ˆın deplas˘ari a problemei pl˘ acilor subt¸iri ˆıncovoiate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.1.2 Formularea pe element finit . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.1.3 Condit¸ii pentru funct¸iile de interpolare . . . . . . . . . . 187 5.2 Elemente finite dreptunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2.1 Element dreptunghiular incompatibil (ACM) . . . . . . 189 5.2.2 Elementul finit dreptunghiular compatibil (SFB) . . . . 192 5.3 Elemente finite triunghiulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3.1 Elementul finit triunghiular cu 6 grade de libertate (T-6) 197 5.3.2 Elementul finit triunghiular cu 9 grade de libertate, cu cˆ amp de deplas˘ari unic (T-9) . . . . . . . . . . . . . 202 5.3.3 Elemente finite triunghiulare de ordin superior . . . . . 206 5.3.4 Elemente finite triunghiulare cu cˆampul deplas˘arilor aproximat pe subdomenii . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.4 Rezultate comparative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8
CUPRINS
6 Structuri spat¸iale alc˘ atuite din pl˘ aci subt¸iri 6.1 Probleme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Studiul elementului finit ˆın sistemul local . . . . . . . . . . . . 6.3 Asamblarea ˆın sistemul general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Transform˘ari ˆın sistemul de axe general . . . . . . . . . 6.3.2 Stabilirea cosinu¸silor directori ai axelor locale . . . . . . 6.4 Pl˘ aci curbe subt¸iri axial simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Geometria ¸si relat¸ii generale . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Element finit pentru starea de solicitare axial simetric˘a
216 216 218 222 222 227 229 229 233
7 Formularea izoparametric˘ a 7.1 Elemente finite pentru probleme ˆın dou˘ a dimensiuni . . . . . . 7.1.1 Elementul liniar (Taig) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Generalizare pentru alte tipuri de elemente finite ˆın dou˘ a dimensiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Elementele finite izoparametrice pentru probleme spat¸iale . . . 7.3 Observat¸ii privind funct¸iile de interpolare. Elemente sub ¸si supraparametrice . . . . . . . . . . . . . . . . .
239 241 241
Bibliografie
252
245 249 250
Prefat¸˘ a Opt¸iunea pentru studiul Metodei Elementelor Finite este sust¸inut˘ a de eficient¸a ei practic˘ a ¸si interesul deosebit de care se bucur˘a ˆın rˆ andul inginerilor proiectant¸i de structuri de rezistent¸˘a. Cartea este o reeditare a manualului nostru ”Metode numerice ˆın proiectare - Metoda Elementelor Finite”, ap˘ arut ˆın 1992 – ˆın prezent epuizat – cu relativ put¸ine modific˘ ari, urmˆand s˘ a fie, mai ˆıntˆai, un manual de lucru pentru student¸ii Facult˘ a¸tii de construct¸ii din Cluj-Napoca care studiaz˘a aceast˘ a metod˘ a, ˆın etapa de masterat. Drept urmare, organizarea materialului urm˘are¸ste, ˆın primul rˆ and, un scop instructiv, not¸iunile, metodele ¸si procedeele de solut¸ionare fiind ˆın¸sirate pe m˘ asur˘a ce s-a simt¸it nevoia unor detalieri ¸si nu ˆıntr-o ordine care ar fi specific˘ a unui tratat. Pe de alt˘a parte, se circumscriu not¸iunile fundamentale ale metodei cu detalieri ˆın capitole de interes aplicativ cum sunt problemele de elasticitate plan˘ a, pl˘ aci plane ˆıncovoiate, pl˘ aci curbe – de interes major ˆın calculul structurilor. Am urm˘arit, ˆın principal, familiarizarea cu procedeele, formul˘ arile ¸si tehnicile specifice MEF ¸si punerea la dispozit¸ia cititorului a unor detalii prin prezentarea elementelor finite tipice, precum ¸si a unor subprograme calculator. Bibliografia dat˘ a, partea de limba englez˘ a, este recomandat˘a ˆın toat˘a lumea ca baz˘ a a unei instruiri eficiente ˆın Metoda Elementelor Finite. Sper˘ am ca stradaniile de cercetare, selectare ¸si prezentare a materialului din carte, s˘ a serveasc˘ a celor interesat¸i de acest domeniu ingineresc. Cluj Napoca, mai 2009,
Autorii.
9
10
Prefat¸˘a
Lista de notat¸ii ε
- vector deformat¸ie specific˘ a
∋ π σ
- potent¸ialul fort¸elor exterioare - energia potent¸ial˘a total˘a - vector tensiune
b
- vector fort¸e masice
B d
- matricea deformat¸iilor (pe EF) - vector deplas˘ari nodale elementale
∼
∼
∼
∼
D
- vector deplas˘ari nodale ale structurii
∼
D=E ∼
∼
−1
- matricea de flexibilitate a materialului
dS e E, E
- element de suprafat¸˘a (lateral˘ a) - num˘ arul curent al unui EF ˆın structur˘a - modul de elasticitate longitudinal, matricea de rigiditate
EF f
a materialului - elemente(e) finit(e) - vector fort¸e de suprafat¸˘a
∼
∼
GL k
- grade de libertate - matricea de rigiditate elemental˘a (a unui EF)
L, L∗ Le Lint Lσ MEF N NE p, P
-
∼
∼ ∼
lucru mecanic, lucru mecanic complementar l.m. exterior l.m. interior l.m. al tensiunilor metoda elementelor finite matricea funct¸iilor de interpolare (a deplas˘arilor pe EF) nr. total de EF ˆın structur˘a vector al fort¸elor nodale (exterioare) echivalente la EF, respectiv la ˆıntreaga structur˘a 11
12
Lista de notat¸ii
R
- matricea de rigiditate a structurii
s Sf Te
- variabila dup˘a lungimea de curb˘a - suprafat¸a lateral˘ a - matricea de aranjare a EF (EF → structur˘a)
U U
- deplasare - vector deplasare
V W
- volum - energia potent¸ial˘ a de deformat¸ie
∼
∼
∼
Capitolul 1
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD) 1.1
Modele ¸si metode de calcul ˆın Mecanica mediilor deformabile
Disciplinele care vizeaz˘a studierea fenomenelor naturale ˆı¸si fundamenteaz˘a teoria pe un model creat prin cuprinderea aspectelor esent¸iale ale fenomenului analizat. Diversitatea propriet˘a¸tilor ¸si proceselor care pot surveni ˆın desf˘ a¸surarea experiment˘ arilor ¸si caracterul aleator al acestora impun ˆıns˘ a schematiz˘ ari ale realit˘ a¸tii astfel ˆıncˆ at parametrii care caracterizeaz˘ a starea modelului real s˘ a poat˘ a fi cuprin¸si ˆın relat¸ii de calcul simple, rezolvabile, capabile s˘ a conduc˘a la rezultate u¸sor de interpretat. Trecerea de la modelul real la cel de calcul se face prin ipotezele adoptate. Schematiz˘ arile ¸si simplific˘arile propuse prin ipoteze fac ca studiul ¸si rezultatele acestuia s˘ a aib˘ a un caracter aproximativ, mai mult sau mai put¸in verificate de realitate. Modelul creat prin introducerea ipotezelor este considerat corect, dac˘ a la confruntarea rezultatelor cu datele observate, abaterile se ˆıncadreaz˘a ˆın limite practic acceptabile. Starea unui model fizic poate fi caracterizat˘ a dac˘ a se cunosc anumit¸i parametri aferent¸i propriet˘a¸tilor pe care studiul le urm˘ are¸ste, propriet˘a¸ti astfel selectate ˆıncˆ at s˘ a fie esent¸iale pentru aspectul urm˘arit ˆın comportarea modelului. Pentru Mecanica mediului deformabil (MMD), care are ca scop s˘ a studieze solicitarea mecanic˘ a a corpurilor, adic˘ a s˘ a surprind˘ a comportarea 13
14
Capitolul 1
solidelor sub act¸iuni ale mediului ˆınconjur˘ ator, parametrii care sunt urm˘arit¸i pot fi grupat¸i ˆın: a) parametri care vizeaz˘a geometria corpurilor ¸si care definesc starea de deformare a acestora; b) parametri aferent¸i proceselor de natur˘a mecanic˘ a, caracterizˆ and starea de tensiune. Starea de deformare ¸si starea de tensiune sunt aspecte ale aceluia¸si proces, cel al solicit˘ arii. ˆIntre acestea, exist˘a relat¸ii de leg˘atur˘ a, rezultate din studiul fizic al procesului, numite relat¸ii constitutive. Ipotezele care conduc la modelul de calcul al MMD vizeaz˘a: • Schematizarea act¸iunilor, reprezentate mai frecvent prin fort¸e. Acestea se refer˘ a la - legea de repartizare (distribuite, concentrate) - legea de variat¸ie ˆın timp (statice sau dinamice). • Geometria corpurilor - (bare, pl˘ aci, masive) • Propriet˘ a¸tile materiei - continuitate, omogenitate (omogen˘ a, eterogen˘ a), izotropie (izo, orto, anizotrop˘a). • Calitatea echilibrului corpurilor (stabil sau instabil). • M˘arimea deformat¸iilor (deformat¸ii mici, infinitezimale, deformat¸ii finite) ¸si deplas˘ arilor. • Leg˘ atura ˆıntre fort¸e ¸si deplas˘ ari (liniar˘ a, neliniar˘a,..., deplas˘ari reversibile, ireversibile,...). ˆIn paragrafele care urmeaz˘a se face o prezentare sintetic˘a a m˘ arimilor, ecuat¸iilor ¸si principiilor mecanicii mediilor deformabile, f˘ar˘ a a detalia demonstrarea acestora. Cei interesat¸i ˆın aprofundarea not¸iunilor, pot consulta lucr˘ ari indicate ˆın lista bibliografic˘a de la finele lucr˘ arii ([7], [4] ¸si altele). Prin introducerea ipotezelor, corpului real i se substituie un model de calcul sau model matematic, pe care se dezvolt˘a formularea matematic˘ a (teoria de calcul) a rezolv˘arii (figura 1.1). Formularea matematic˘ a folose¸ste ecuat¸iile generale ale st˘ arii de deformare ¸si tensiune, legile constitutive ¸si principiile generale, bazate ˆın special pe propriet˘a¸tile extremale specifice st˘ arii de echilibru. Ca rezultat al formul˘ arii se obt¸in sisteme de ecuat¸ii diferent¸iale sau integrale, c˘arora le sunt ata¸sate condit¸iile la limite. Obt¸inerea efectiv˘ a a solut¸iilor poate urma dou˘ a c˘ai: a procedeelor care conduc la solut¸ii analitice (exacte sau aproximative) sau a procedeelor numerice. Caracterul de larg˘ a generalitate al unor metode care se bazeaz˘ a pe procedeele numerice, precum ¸si posibilit˘ a¸tile oferite de tehnica de calcul disponibil˘ a
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
Figura 1.1.
15
16
Capitolul 1
ast˘ azi, au impus aceste metode ˆın activitatea de proiectare. Probleme a c˘aror solut¸ie analitic˘ a era laborios sau imposibil de obt¸inut prin metode analitice, ¸si-au g˘ asit ulterior, rezolv˘ari prin procedee numerice ˆın aproximat¸ii situate ˆın limitele acceptate de practica inginereasc˘a. Saltul ˆın eficient¸˘a obt¸inut prin folosirea procedeelor numerice la stabilirea st˘ arii de solicitare a corpurilor este impresionant. Dintre metodele numerice, METODA ELEMENTELOR FINITE (MEF) are ˆın practica inginereasc˘a contemporan˘ a cea mai larg˘ a utilizare.
1.2
M˘ arimile ¸si ecuat¸iile generale ale st˘ arii de solicitare a corpurilor
Formul˘ arile unor m˘ arimi sau relat¸ii ale MMD sunt ˆın mod convenabil prezentate ˆın form˘ a sintetic˘ a folosind notat¸iile specifice calculului matriceal. ˆIn ˆıntreaga lucrare, matricele vor fi notate folosind subbararea cu semnul ∼ (tilda). Pentru scrierea explicit˘a a alc˘atuirii unei matrici se vor folosi brachetele. Matricea A, avˆand elementele aij , se va ˆıntˆalni ˆın una din formele ∼
A = [aij ] = ∼
1 a11 a21 .. .
2 a12 a22
... ... ...
an1 an2 . . .
m → coloane a1m 1 a2m 2 .. ↓ . linii anm n
Numerotarea liniilor sau coloanelor este facultativ˘ a. Un vector este o matrice avˆand o singur˘a coloan˘ a (vector coloan˘ a) sau o singur˘a linie (vector linie), fiind notat ˆın convent¸ia introdus˘a U = [ui ] = u1 u2 . . . um (vector linie) ∼
V = [vi ] = ∼
v1 v2 .. .
vk
(vector coloan˘ a)
Pentru economie de spat¸iu, atunci cˆand este necesar˘a scrierea unui vector coloan˘ a ˆın forma complet˘ a, convenim s˘ a-l reprezent˘am ˆın linie folosing acoladele. Vectorul V de mai sus va fi deci scris V = v1 v2 . . . vk . ∼
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
17
Convenim de asemenea, pentru simplitatea scrierii, ca derivatele part¸iale ale unei funct¸ii F ˆın raport cu o anumit˘ a variabil˘ a, fie s, s˘ a o not˘ am indiciat astfel: ∂2F ∂F = F,s , = F,ss etc. ∂s ∂s2 Indicarea unor permut˘ ari ciclice se va face cu semnul
(Exemplu: i, j, k
1.2.1
sau i, j, k = 1, 2, 3
.
).
Starea de deformare
Starea de deformare a unui corp reprezentat ˆın sistemul cartezian (x, y, z), este definit˘a complet dac˘ a se cunosc - deplas˘arile U = u v w ∼ - deformat¸iile o n (1.1) ε = εx εy εz γxy γyz γzx ∼ {z } | {z } | liniare specifice
de lunecare specifice
Oricare din componentele pe axe ale deplas˘arilor (u, v, w) sau ale deforma¸tiilor sunt funct¸ii continue de variabilele spat¸iale (x, y, z). Leg˘ atura ˆıntre deplas˘ ari ¸si deformat¸ii este dat˘ a de relat¸iile " 2 # ∂u 1 ∂v ∂w 2 ∂u 2 εx = + + + ∂x 2 ∂x ∂x ∂x .. .
γxy =
∂u ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w + + + + ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y
.. . Cˆ and deformat¸iile sunt infinitezimale, termenii de gradul doi ˆın relat¸iile anterioare se neglijeaz˘a. Relat¸iile nou obt¸inute, specifice teoriei liniare, numite ¸si relat¸iile lui Cauchy sunt: εx = u,x εy = v,y εz = w,z
γxy = u,y + v,x γyz = v,z + w,y γzx = w,x + u,z
(1.2)
18
Capitolul 1
Deformat¸iile nu sunt independente una de alta. Ele trebuie s˘ a satisfac˘a condit¸iile de continuitate (Saint Venant): εx,yy + εy,xx = γxy,xy 2εx,yz = −γyz,xx + γzx,xy + γxy,xz
(1.3)
¸si ˆınc˘ a patru relat¸ii, obt¸inute prin permut˘ ari circulare a indicilor (x, y, z
1.2.2
).
Starea de tensiune
Vom presupune corpul act¸ionat de fort¸ele exterioare - masice
b=
∼
- de suprafat¸˘a
f= ∼
bx by bz fx fy fz
(1.4)
indicii reprezentˆ and axele cu care componentele sunt paralele: sensul pozitiv al acestora este sensul axelor de coordonate. Starea de tensiune ˆın corp este complet precizat˘ a dac˘ a se cunosc componentele vectorului tensiune σ : ∼
σ= ∼
n
σx |
σy {z
tensiuni normale
σz }
τxy |
τyz {z
τzx }
tensiuni tangentiale
o
(1.5)
Tensiunile sunt funct¸ii continue, care satisfac ecuat¸iile de echilibru ˆın interiorul corpului (1.6.a) ¸si la suprafat¸a acestuia (1.6.b): σx,x + τxy,y + τxz,z + bx = 0
(1.6.a)
σx nx + τxy ny + τxz nz = fx
(1.6.b)
¸si alte patru ecuat¸ii obt¸inute prin permut˘ ari. ˆIn (1.6.b) nx , ny , nz sunt cosinu¸sii directori ai normalei exterioare la suprafat¸˘a. Ecuat¸iile (1.6) sunt specifice teoriei liniare (deplas˘ari mici).
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
1.2.3
19
Legi constitutive
Leg˘ atura ˆıntre fort¸e ¸si deplas˘ari se obt¸ine prin experiment˘ari pe un num˘ ar suficient de probe pentru a prezenta o anumit˘ a certitudine statistic˘ a. Cel mai ades, relat¸ia este exprimat˘ a prin curba σ −ε; curbele σ −ε prezint˘a o larg˘ a varietate de forme diferind de la un material la altul. Pentru calculul practic, acestea sunt modelate sub forma unor curbe schematizate; cele mai utilizate dintre acestea sunt prezentate ˆın figura 1.2.
Figura 1.2. Relat¸ia ˆıntre vectorii tensiune ¸si deformat¸ie se exprim˘ a ˆın caz liniar prin σ=E·ε ∼
∼
∼
(1.7)
unde E poate fi o matrice p˘ atratic˘ a de funct¸ii, cu atˆatea linii/coloane cˆate ∼
20
Capitolul 1
elemente are σ sau ε , numit˘ a matricea de rigiditate a materialului. ∼
∼
ˆIn cazul materialelor liniar elastice izotrope, relat¸ia (1.7) exprim˘ a legea lui Hooke generalizat˘ a. ˆIn acest caz matricea E este simetric˘a, are elementele ∼ constante ¸si se mai nume¸ste matricea constantelor elastice. Ea depinde doar de dou˘ a caracteristici mecanice independente, care pot fi: E - modulul de elasticitate (Young) µ - coeficientul contract¸iei transversale (Poisson). Alc˘atuirea acestei matrici va fi dat˘ a ˆıntr-un paragraf urm˘ator. −1 Inversa matricii E , notat˘ a D = E ¸si numit˘ a matricea de flexibilitate ∼ ∼ ∼ a materialului d˘ a posibilitatea exprim˘ arii deformat¸iilor ˆın funct¸ie de tensiuni ε=Dσ
∼
(1.8)
∼ ∼
ˆIn cea mai mare parte a lucr˘ arii, vom considera c˘a materialul are o curb˘a σ − ε ce poate fi ˆıncadrat˘a ˆın modelul liniar elastic, cu E ¸si D constant (legea ∼
∼
lui Hooke). Relat¸ii de tipul (1.7) sau (1.8) pot caracteriza de asemenea leg˘atura ˆıntre fort¸e, notate generic prin P ¸si deplas˘ari, notate prin u.
1.2.4
M˘ arimi energetice ˆın studiul solidelor deformabile
Odat˘ a cu modificarea pozit¸iei punctelor corpului, survenit˘ a ca ¸si consecint¸˘a a deform˘ arii, fort¸ele exterioare efectueaz˘a un lucru mecanic numit exterior, notat cu Le , iar cele interioare, caracterizate curent prin eforturi sau tensiuni, un lucru mecanic numit interior, notat cu Lint . Lucrul mecanic exterior dat de fort¸a generalizat˘ a P prin deplasarea generalizat˘ a u se evalueaz˘ a cu relat¸ia Z u P (u)du (1.9a) Le = 0
¸si este egal cu aria suprafet¸ei ˆıntre curba P = P (u) ¸si axa u (figura 1.3.a). Similar se evalueaz˘ a lucrul mecanic al tensiunilor corespunzˆand unui volum unitate, Lσ0 : Z ε σ(ε)dε (1.10.a) Lσ0 = 0
egal cu aria suprafet¸ei din graficul σ − ε cuprins˘a ˆıntre curba σ = σ(ε) ¸si axa ε (figura 1.3.b).
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
21
Figura 1.3. Pe lˆ ang˘ a aceste m˘ arimi, se definesc lucrul mecanic exterior complementar L∗e ¸si lucrul mecanic complementar al tensiunilor L∗σ0 , Z P u(P )dP (1.9.b) L∗e = 0
L∗σ0 =
Z
σ
ε(σ)dσ
(1.10.b)
0
ˆın care variabilele independente se consider˘a fort¸ele respectiv tensiunile. Interpretarea geometric˘ a a acestor m˘ arimi rezult˘ a din figura 1.3. Lucrul mecanic interior este ˆıntotdeauna negativ, deoarece fort¸ele interioare (tensiuni) se opun tendint¸ei de deformare a corpului. ˆIntre lucrul mecanic al tensiunilor Lσ ¸si cel interior Li exist˘a relat¸ia Lσ = −Lint .
(1.11)
Considerˆ and starea de solicitare spat¸ial˘a, lucrul mecanic specific al tensiunilor se obt¸ine prin sumare Z εz Z εy Z εx σz dεz σy dεy + σx dεx + Lσ0 = +
0
0 γzx
0
0
Z
γxy
τxy dγxy +
Z
γyz
τyz dγyz + 0
Z
τzx dγzx
(1.12)
0
¸si similar L∗σ0 . Pentru corpuri cu comportare liniar˘ a, din figura 1.3 rezult˘ a evident 1 L∗e = Le = P u 2 Lσ0 =
L∗σ0
1 = σε 2
(1.13)
22
Capitolul 1
iar relat¸ia (1.12) se scrie cu notat¸iile (1.1) ¸si (1.5) Lσ0 = L∗σ0 =
1 t 1 σ · ε = εt · σ 2∼ ∼ 2∼ ∼
(1.14)
transpunerea fiind posibil˘ a deoarece Lσ0 este un scalar. Lucrul mecanic al tensiunilor de pe ˆıntregul corp se obt¸ine prin integrare pe volum: Z Z Lσ =
Lσ0 dV,
V
L∗σ =
L∗σ0 dV.
(1.15)
V
La corpurile elastice, lucrul mecanic al tensiunilor Lσ este ˆınmagazinat ˆın ˆıntregime sub form˘ a de energie potent¸ial˘ a de deformat¸ie, notat˘ a W (respectiv W0 - cea specific˘ a). La cele perfect plastice, tot lucrul mecanic Lσ este consumat pentru producerea deformat¸iilor plastice. ˆIn cazul corpurilor cu comportare mixt˘a, doar partea din Lσ aferent˘a componentei elastice a deformat¸iilor este ˆınmagazinat˘a ca energie potent¸ial˘a de deformat¸ie W , rezultˆ and astfel W ≤ Lσ .
1.2.5
Formularea problemelor de calcul al structurilor
Alegˆand ca principale necunoscute ˆın solut¸ionare tensiunile se spune c˘a problema este formular˘ a ˆın tensiuni sau ˆın fort¸e; dac˘ a se aleg ca necunoscute principale deplas˘arile ¸si/sau deformat¸iile, avem o formulare ˆın deplas˘ ari. ˆIn sfˆar¸sit, alegerea ca necunoscute principale a unei p˘ art¸i din tensiuni ¸si a alteia din deplas˘ari, conduce la o formulare mixt˘ a (hibrid˘a). Opt¸iunea pentru una sau alta din formul˘ ari este legat˘a de simplitatea rezolv˘arii ¸si, ˆın multe cazuri, de posibilitatea trat˘ arii condit¸iilor la limite. ˆIn metoda numeric˘a a elementelor finite formularea cu cel mai mare grad de generalitate este cea ˆın deplas˘ari.
1.3
Principii variat¸ionale ¸si teoreme energetice
Studiul m˘ arimilor energetice definite pentru caracterizarea procesului solicit˘arii pune ˆın evident¸˘ a un grup de principii ¸si teoreme remarcabile, care fundamenteaz˘ a cele mai multe dintre metodele aproximative de calcul. Toate acestea pot fi obt¸inute pornind de la principiile lucrului mecanic virtual.
1.3.1
Principiile lucrului mecanic virtual
Corespunz˘ ator celor dou˘ a principii enunt¸ate ˆın Mecanica teoretic˘ a, al deplas˘ arilor virtuale ¸si al fort¸elor virtuale se deduc pentru cazul corpului de-
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
23
formabil principiul lucrului mecanic virtual respectiv cel al lucrului mecanic complementar virtual. (i). Principiul deplas˘ arilor virtuale stipuleaz˘a c˘a pentru un corp aflat ˆıntr-o pozit¸ie de echilibru, lucrul mecanic virtual al fort¸elor din sistem produs printr-o deplasare virtual˘ a arbitrar˘ a, compatibil˘ a cu leg˘ aturile, este nul. Vom nota ˆın cele ce urmeaz˘a variat¸ia unei funct¸ii F cu δF (de exemplu: δu, δσx , δL). Presupunem c˘ a unui corp deformabil i se d˘ a din pozit¸ia de echilibru o deplasare virtual˘ a δU care ∼ • este arbitrar˘a • este infinit mic˘ a • este continu˘ a ˆın interiorul corpului (reprezentat˘a prin funct¸ii continue de x, y, z) • satisface condit¸iile impuse ˆın deplas˘ari la suprafat¸a corpului. O astfel de deplasare compatibil˘a, mai este numit˘ a ¸si cinematic admisibil˘ a. Corespunz˘ ator deplas˘arii virtuale δU se produc deformat¸iile virtuale δ ε , ∼
∼
ale c˘ arei componente se stabilesc prin relat¸iile (1.2); de exemplu δεx = (δu),x , ..., γxy = (δu),y + (δv),x . . . Totalitatea fort¸elor din sistem este reprezentat˘a de fort¸ele exterioare plus fort¸ele interioare, acestea producˆ and prin deplasarea δU , lucrul mecanic virtual ∼ δLe respectiv δLint = −δLσ . Din anularea lucrului mecanic virtual total δL = δLe + δLint = δLe − δLσ se obt¸ine: δLσ = δLe
(1.16)
care reprezint˘ a exprimarea matematic˘ a a principiului lucrului mecanic virtual, ˆın cazul corpurilor deformabile. Acesta poate fi enunt¸at astfel: La un corp deformabil aflat ˆın echilibru sub act¸iunea fort¸elor exterioare ¸si interioare, lucrul mecanic virtual al fort¸elor exterioare este egal cu lucrul mecanic virtual al tensiunilor, pentru orice deplasare virtual˘ a cinematic admisibil˘ a. Principiul admite ¸si corolarul: Dac˘a lucrul mecanic al fort¸elor exterioare care act¸ioneaz˘ a un corp deformabil este egal cu lucrul mecanic virtual al tensiunilor, pentru orice deplasare virtual˘a cinematic admisibil˘a, sunt satisf˘acute condit¸iile de echilibru (exterior ¸si interior) ale corpului.
24
Capitolul 1 S˘ a explicit˘am termenii relat¸iei (1.16). Lucrul mecanic virtual produs de fort¸ele exterioare masice b act¸ionˆ and ∼
unitatea de volum, cu notat¸ia (1.4), este bx δu + by δv + bz δw =
δu δv δw
pentru ˆıntregul corp obt¸inˆ andu-se Z
bx · by = δU t · b ∼ ∼ bz
δU t · b dV. ∼
∼
V
O relat¸ie similar˘a se deduce pentru lucrul mecanic al fort¸elor exterioare f , ∼
care act¸ioneaz˘ a pe o parte a suprafet¸ei exterioare a corpului Sf . Rezult˘a deci Z Z t δLe = δU b dV + δU t f dS. (1.17.a) ∼ ∼
∼ ∼
V
Sf
Tensiunile σx produc lucru mecanic virtual specific (relat¸ie similar˘a cu (1.10.a)) Z δεx Z δεx d(δεx ) = σx δεx σx d(δεx ) = σx δLσ0 = 0
0
unde am ¸tinut seama c˘ a tensiunea σx (real˘ a!) nu depinde de deformat¸ia virtual˘ a δεx . Cu expresii similare pentru celelalte componente ale tensiunilor ¸si deformat¸iilor virtuale, avem pentru ˆıntregul corp: Z Z δLσ = δLσ0 dV = (σx δεx + σy δεy + · · · + τzx δγzx )dV V
V
=
Z
δ ε t · σ dV. ∼
(1.17.b)
∼
V
ˆInlocuind ˆın (1.16) relat¸iile pentru σLσ ¸si δLe , obt¸inem forma explicitat˘a a principiului lucrului mecanic virtual Z
V
δ ε t · σ dV = ∼
∼
Z
V
δU t b dV + ∼ ∼
Z
Sf
δU t f dS. ∼ ∼
(1.17)
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
25
Privitor la principiul lucrului mecanic vom face o observat¸ie important˘a. Asupra st˘ arii reale de solicitare nu s-a f˘acut nici o restrict¸ie, nici ˆın ceea ce prive¸ste m˘ arimea deformat¸iilor sau deplas˘arilor ¸si nici a relat¸iei ˆıntre fort¸e ¸si deplas˘ari. Singura limitare s-a referit la deplas˘arile virtuale, care s-au presupus infinitezimale. ceea ce permite aplicarea relat¸iilor (1.2) ˆıntre deformat¸iile ¸si deplas˘arile virtuale. Rezult˘a c˘ a principiul este valabil ¸si ˆın calculul neliniar al structurilor (deformat¸ii mari sau materiale cu comportare neliniar˘a, elastic˘ a sau inelastic˘ a). (ii). Presupunem aplicat corpului un sistem de fort¸e virtuale ˆın echilibru. Principiul fort¸elor virtuale arat˘ a c˘a lucrul mecanic virtual al acestui sistem de fort¸e, produse prin deplas˘arile reale ale corpului este nul. Deoarece fort¸ele se presupun ca variabile independente, referirea se face la lucrul mecanic complementar virtual. ˆIn cazul corpului deformabil sistemul de fort¸e virtuale, alc˘atuit din fort¸e exterioare ¸si interioare, va fi ales astfel ˆıncˆ at s˘ a satisfac˘a condit¸iile de echilibru interior ¸si de suprafat¸˘ a; un astfel de sistem este numit static admisibil. Lucrul mecanic virtual complementar al tensiunilor δσ produs prin defor∼ mat¸iile reale ε este δL∗σ . Deoarece pe partea Sf a suprafet¸ei exterioare a corpu∼
lui (unde act¸ioneaz˘ a fort¸ele exterioare reale) fort¸ele virtuale sunt ˆın echilibru (sistemul fiind static admisibil), lucrul mecanic al acestora este nul. Rezult˘a c˘a lucrul mecanic virtual exterior va fi produs doar de fort¸ele virtuale care act¸ioneaz˘ a pe partea din suprafat¸a r˘ amas˘ a, Su = S − Sf , pe care se presu∗ pun cunoscute deplas˘arile (reale) U ; fie δLu valoarea acestuia. Lucrul mecanic ∼ complementar virtual total este atunci δL∗ = δL∗int + δLu∗ = −δL∗σ + δL∗u ; din anularea acestuia deducem δL∗σ = δL∗u
(1.18)
care exprim˘ a principiul lucrului mecanic complementar virtual pentru corpurile deformabile. Enunt¸ul acestuia este: Pentru pozit¸ia de echilibru a unui corp deformabil lucrul mecanic complementar al tensiunilor virtuale, realizat prin deformat¸iile reale ale corpului, este egal cu lucrul mecanic complementar al fort¸elor exterioare virtuale produs prin deplas˘ arile impuse reale, pentru orice cˆ amp de fort¸e virtuale static admisibile.
26
Capitolul 1
1.3.2
Teorema de minim a energiei potent¸iale totale
Teoremele de minim ale energiei potent¸iale totale pot fi privite drept cazuri particulare ale principiilor lucrului mecanic virtual, atunci cˆand - corpurile sunt alc˘ atuite din materiale elastice, - sistemul de fort¸e exterioare este conservativ. Dac˘a corpul este elastic, lucrul mecanic al tensiunilor este ˆınmagazinat complet sub forma energiei potent¸iale de deformat¸ie, W . Lucrul mecanic virtual al tensiunilor poate fi deci considerat variat¸ie a energiei potent¸iale de deformat¸ie δW produs˘a prin deplas˘arile virtuale. La trecerea din pozit¸ia init¸ial˘a la cea deformat˘ a, sistemul fort¸elor exterioare ˆı¸si modific˘ a potent¸ialul cu o m˘ arime care depinde doar de pozit¸ia init¸ial˘a ¸si cea final˘ a, deoarece fort¸ele sunt conservative. Dac˘a se admite ca nivel de referint¸˘a (potent¸ial nul) pozit¸ia nedeformat˘ a, atunci potent¸ialul ˆın pozit¸ie deformat˘ a, egal cu lucrul mecanic efectuat de fort¸e exterioare, luat cu semn schimbat este Z Z t (1.19) ∋= − U b dV − U t f dS. ∼ ∼
∼ ∼
Sf
V
Semnul minus arat˘ a faptul c˘a prin deplas˘ari din deformat¸ii se consum˘a din potent¸ialul init¸ial al fort¸elor. Energia potent¸ial˘ a total˘ a a sistemului π este suma energiilor potent¸iale ale sistemelor de fort¸e, adic˘ a π = W+ ∋ . (1.20) S˘ a transcriem acum relat¸ia (1.16), care exprim˘ a principiul lucrului mecanic virtual sub forma δLσ − δLe = 0. (1.21) Am ar˘ atat c˘ a δLσ este egal cu δW . ˆIn ce prive¸ste variat¸ia lucrului mecanic exterior din (1.17.a), ¸stiind c˘ a b ¸si f sunt constante, din (1.19) deducem: ∼
δLe =
Z
t
∼
δU b dV + ∼ ∼
V
Z
δU t f dS ∼ ∼
Sf
Z Z = δ U t b dV + U t f dS = −δ ∋ . ∼ ∼
V
∼ ∼
Sf
Revenind la (1.21) scriem succesiv:
δLσ − δLe = δW + δ ∋= δ(W + ∋) = δπ = 0,
Ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile (MMD)
27
adic˘ a energia potent¸ial˘ a total˘a π, are pentru pozit¸ia de echilibru o valoare stat¸ionar˘ a. Se poate demonstra c˘ a punctul de stat¸ionaritate corespunde unui minim ceea ce permite enunt¸area teoremei de minim a energiei potent¸iale totale: St˘ arii de solicitare reale (pozit¸iei de echilibru stabil) a corpurilor elastice, act¸ionate de sisteme de fort¸e conservative, ˆıi corespunde un minim al energiei potent¸iale totale, adic˘ a δπ = 0,
π → minim.
(1.22)
Minimul este demonstrat ˆın ipoteza corpului stabil elastic, adic˘ a la care curba σ ∼ ε este cresc˘ atoare. Observˆ and c˘ a dac˘ a δU este cinematic admisibil˘a ¸si suma ˆıntre U (depla∼
∼
sarea real˘ a) ¸si δU este la rˆ andul ei cinematic admisibil˘a, teorema poate fi ∼ formulat˘ a astfel: Dintre toate deplas˘ arile cinematic admisibile, cele care corespund pozit¸iei reale de deformare a unui corp, dau energiei potent¸iale totale π o valoare minim˘ a. Definind, ˆın mod analog, energia potent¸ial˘a total˘a complementar˘ a, π ∗ , π ∗ = W ∗ + ∋∗ ¸si urmˆand rat¸ionamente similare, din principiul lucrului mecanic complementar virtual se obt¸ine teorema de minim a energiei potent¸iale complementare totale: Dintre toate cˆ ampurile de tensiuni static admisibile, cele care conduc la o valoare minim˘ a a energiei potent¸iale complementare totale, adic˘ a δπ ∗ = 0, π → minim corespund st˘ arii de solicitare reale a corpului. O reprezentare schematic˘ a a rat¸ionamentelor care au condus la teoremele enunt¸ate, care evident¸iaz˘ a ¸si criteriul de valabilitate al acestora, este redat˘ a ˆın figura 1.4.
28
Capitolul 1
Figura 1.4.
Capitolul 2
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF) 2.1
Generalit˘ a¸ti
2.1.1
Scurt istoric
Metoda elementelor finite (MEF) a fost fundamentat˘a ¸si dezvoltat˘a pˆ an˘ a la nevoile practicii inginere¸sti ˆın ultimele ¸sase decenii. Ea a devenit unul dintre cele mai eficiente instrumente de rezolvare a problemelor de calcul a construct¸iilor, cu variate utiliz˘ ari ¸si ˆın alte domenii ale ingineriei. Dezvoltarea ei este legat˘ a de cea a calculatoarelor electronice, instrumente capabile s˘ a preia impresionantul volum de calcule specifice metodelor numerice. Idei de baz˘ a, folosite ast˘ azi ˆın MEF, au fost lansate cu circa opt decenii ˆın urm˘a; punerea la punct a metodei, apart¸ine ˆıns˘ a perioadei ˆın care utilizarea calculatorului a devenit posibil˘ a. Implicat¸iile aparit¸iei calculatorului ˆın teoria ¸si practica proiect˘ arii structurilor de rezistent¸˘ a devin marcante ˆıncepˆ and cu anii 50. Primii pa¸si sunt f˘acut¸i ˆın statica sistemelor alc˘ atuite din bare, unde se realizeaz˘ a o formulare adecvat˘a problemelor cu num˘ ar mare de date prin folosirea analizei matriceale ¸si algoritmilor de rezolvare numeric˘a. Sunt remarcabile pe aceast˘ a linie preocup˘ arile ˆ lui Argyris din 1954-1956. In 1956, Turner, Clough, Martin ¸si Top realizeaz˘ a o analiz˘ a a st˘ arii de eforturi ˆın carcasa spat¸ial˘a a unui avion Boeing ˆın care, numai pe baze intuitive, stabilesc caracteristicile de deformabilitate ale unui element finit plan, rezultat din discretizarea carcasei. Denumirea de ”element finit” a fost dat˘ a ˆın 1960 de c˘ atre Clough. Abord˘ ari ulterioare, au urm˘arit legarea metodei de procedeele matematice. 29
30
Capitolul 2
Pe aceast˘ a linie, lucr˘ arile lui Melosh (1963), de Veubeke (1964) ¸si Jones (1964) au adus clarific˘ ari ale unor aspecte teoretice, realizˆ and corespondent¸a MEF cu metodele variat¸ionale Ritz-Galerkin ¸si cu metoda reziduurilor. Unul dintre primii autori ai unei monografii privind MEF - Zienkiewicz, consider˘a c˘ a ˆın dezvoltarea metodei pot fi distinse trei etape: ”era medieval˘a”, bazat˘ a pe intuit¸ie, ”era rena¸sterii” ˆın care principiile metodei sunt argumentate cu o rigoare matematic˘ a adecvat˘a ¸si ”era baroc˘a” (dup˘a 1977) cˆand metoda este extins˘ a prin formularea a noi principii variat¸ionale, a conceptelor de izoparametrie ¸si al degener˘arii. Bibliografia vizˆand MEF este deosebit de larg˘ a. ˆIntre anii 1956-1979 au ap˘ arut peste 7000 lucr˘ ari (circa 1 lucrare/zi) iar de atunci, num˘ arul lor a crescut considerabul. Anual au loc simpozioane, colocvii, congrese ˆın care sunt dezb˘ atute probleme vizˆand partea teoretic˘ a ¸si aplicativ˘a a metodei. Au fost puse la punct biblioteci de programe calculator care acoper˘ a domenii vaste de calcul ale structurilor deformabile, cu comport˘ ari liniare sau neliniare, act¸ionate static sau dinamic ¸si c˘arora li se cer s˘ a satisfac˘a, uneori, criterii de optim economic.
2.1.2
Conceptul fundamental al MEF. Elemente finite ¸si noduri. Tipuri de formul˘ ari
Ideea fundamental˘ a a MEF rezid˘ a ˆın observat¸ia c˘a oricare funct¸ie, reprezentˆ and o m˘ arime geometric˘ a sau fizic˘ a necunoscut˘a, de determinat, poate fi aproximat˘ a printr-un model discret, realizat din compunerea unei mult¸imi de funct¸ii simple definite de rezolvitor pe subdomenii, fiecare din acestea, continue pe domeniul lor de definit¸ie. Subdomeniile pe care se definesc aceste funct¸ii sunt numite elemente finite. Funct¸iile realizeaz˘ a pe elementul finit o interpolare a m˘ arimii pe care o reprezint˘a, exprimˆ and-o prin intermediul unor valori dintr-un num˘ ar finit de puncte ale subdomeniului, numite noduri. Fie, pentru ilustrarea conceptului, o bar˘ a ˆıncovoiat˘a, rezemat˘ a ˆın punctele A ¸si B (figura 2.1), ˆınc˘ arcat˘ a cu o fort¸˘a exterioar˘a dat˘ a. Pozit¸ia de echilibru a barei este dat˘ a de curba w(x). S˘ a presupunem, la ˆınceput, cunoscute valorile wi ˆın punctele 1, 2, . . . , 6 de pe AB (figura 2.1.b). ˆIntre aceste valori, deplasarea w(x) poate fi aproximat˘a prin curbe continue de interpolare. Astfel s-au reprezentat ˆın figura 2.1.c curbe de interpolare continue ˆıntre punctele 1-3, 3-4, 4-5, 5-6. Subdomeniile pe care w este interpolat prin cˆate o curb˘a continu˘ a sunt elementele finite: EF1,EF2,. . . ,EF4. Punctele ˆın care s-au presupus cunoscute valorile wi sunt nodurile 1, 2, . . . , 6. Se observ˘ a c˘a extinderea elementelor fi-
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
Figura 2.1. Aproximarea funct¸iei w - deplasare - pe subdomenii
31
32
Capitolul 2
nite este arbitrar˘a, acestea avˆand obligatoriu ˆın extremit˘a¸ti cˆate un nod, dar putˆ and avea ¸si noduri interioare (cazul EF1 din figura 2.1.c). ˆIn nodurile de contur adiacente ale elementelor finite, s˘ aget¸ile wi au acelea¸si valori. Reconstituind domeniul AB prin cuplarea elementelor finite, se obt¸ine o curb˘a continu˘ a alc˘ atuit˘ a din segmentele de curb˘a de pe fiecare element finit, care aproximeaz˘a mai mult sau mai put¸in exact curba real˘ a. ˆIn teoria general˘ a, pozit¸ia barei dup˘a deformare este complet determinat˘a dac˘ a se cunoa¸ste infinitatea de valori w(x) care precizeaz˘ a ecuat¸ia curbei reale. Se spune despre curb˘a c˘ a are o infinitate de grade de libertate. ˆIn MEF, deoarece pe fiecare element finit, w se exprim˘ a prin curba de interpolare ˆın mod unic ˆın funct¸ie de valorile s˘ aget¸ii din noduri, curba aproximativ˘ a obt¸inut˘ a prin cuplarea elementelor finite, va avea un num˘ ar finit de grade de libertate, reprezentate de deplas˘arile nodale wi . ˆIn cazul barei analizate, discretizat˘a ˆın elemente finite, s˘ aget¸ile wi sunt m˘ arimi necunoscute, care urmeaz˘a s˘ a constituie o parte din rezultatele pe care le urm˘arim. Pentru determinarea lor, de fapt, pentru determinarea st˘ arii de solicitare a barei, este necesar s˘ a folosim ecuat¸iile ¸si principiile Mecanicii mediilor deformabile, ˆıntr-o teorie adecvat˘ a model˘ arii prin elemente finite. Datorit˘ a caracterului aproximativ al rezolv˘arii, teoria trebuie s˘ a dea ¸si r˘ aspunsuri cu privire la acuratet¸ea rezultatelor, s˘ a stabileasc˘a limitele model˘ arii prin elemente finite ˆın simularea comport˘ arii modelului real, criteriile de convergent¸˘ a ¸si altele. Ca ¸si ˆın Mecanica mediilor deformabile, o problem˘a poate fi formulat˘ a ˆ ˆın eforturi, ˆın deplas˘ari sau mixt. In MEF se folose¸ste cu prec˘ adere formularea ˆın deplas˘ ari, care conduce la o teorie unitar˘a, de larg˘ a generalitate, comparativ cu aceea ˆın eforturi sau mixt˘a. De aceea, ˆın cele ce urmeaz˘a vom folosi exclusiv formularea ˆın deplas˘ari. Formularea poate fi f˘acut˘ a prin metoda direct˘ a, o extindere a metodei deplas˘arilor din statica sistemelor de bare, sau printr-o metod˘ a variat¸ional˘ a. Acestea vor fi analizate ˆın paragrafele urm˘atoare. ˆImp˘ art¸irea ˆın subdomenii a unei structuri este legat˘a de geometria acesteia, forma elementelor finite alegˆ andu-se corespunz˘ator caracterului unidimensional, bidimensional sau tridimensional al domeniului corpului ¸si ipotezelor admise la modelare. Structurile alc˘ atuite din bare sunt modelate prin elemente finite unidimensional, drepte sau curbe (figura 2.2.a). Nodurile pot fi plasate ˆın extremit˘ a¸ti sau ˆın interiorul elementului. Structurile de tipul pl˘ acilor, plane sau curbe, sunt modelate prin elemente finite cu laturi drepte sau curbe, avˆand frecvent forma triunghiu-
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
33
lar˘ a sau de patrulater (figura 2.2.b).
Figura 2.2. Tipuri de elemente finite: a) monodimensionale; b) bidimensionale; c) tridimensionale Structurile spat¸iale pot fi schematizate folosind elemente finite ˆın form˘a de tetraedru, hexaedru (paralelipiped) sau prism˘a triunghiular˘ a (figura 2.2.c). ˆIn cazul elementelor finite pentru pl˘ aci sau structuri spat¸iale, nodurile sunt amplasate de obicei la colt¸uri ¸si ˆın lungul laturilor, mai rar ˆın interiorul suprafet¸elor laterale sau ˆın interiorul volumului elementelor finite spat¸iale.
Figura 2.3. Element finit pentru corpuri de revolut¸ie Pentru structurile spat¸iale solicitate axial simetric, un element finit adecvat este cel din figura 2.3. Acesta are forma unui inel cu sect¸iune constant˘a,
34
Capitolul 2
obt¸inut prin rotirea unui triunghi (sau alt˘a figur˘a plan˘ a) ˆın jurul axei z, situat˘ a ˆın planul ˆın care se g˘ ase¸ste ¸si triunghiul. ˆIn cazuri obi¸snuite, pentru o problem˘a dat˘ a, ret¸elele de ˆımp˘ art¸ire ˆın subdomenii folosesc, pentru simplitate, un singur tip de element finit, f˘ar˘ a a fi exclus˘ a posibilitatea utiliz˘ arii unor elemente finite de tipuri diferite.
2.2 2.2.1
Formul˘ ari ¸si operat¸ii fundamentale ale MEF Formulare prin metoda direct˘ a
ˆIn aceast˘ a metod˘ a, caracteristicile elementelor finite (vectori sau matrici) se deduc pe baza relat¸iilor generale (directe) ale Teoriei elasticit˘ a¸t ii, algoritmul prin care se stabile¸ste starea de solicitare fiind algoritmul specific analizei sistemelor din bare. De¸si aplicabilitatea formul˘ arii este limitat˘ a la tipuri simple de elemente finite, studiul ei face posibil˘ a o mai bun˘a ˆınt¸elegere ¸si o corect˘ a interpretare fizic˘ a a MEF. S˘ a analiz˘ am starea de solicitare a unei bare cu sect¸iune variabil˘ a, act¸ionat˘ a de fort¸a distribuit˘ a q(x) dirijat˘a ˆın lungul axei barei (figura 2.4).
Figura 2.4. Bar˘ a solicitat˘ a axial: a) schema general˘ a; b) discretizarea ˆın elemente finite Admit¸ˆ and ipoteza sect¸iunilor plane, pozit¸ia dup˘a deformare a punctelor de pe o sect¸iune transversal˘ a este complet determinat˘a prin deplasarea u(x) produs˘a ˆın lungul axei barei. Dac˘a expresia acesteia este cunoscut˘a, cu relat¸iile generale ale Mecanicii mediilor deformabile, prezentate ˆın capitolul 1, se pot
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
35
exprima toate m˘ arimile care caracterizeaz˘ a solicitarea (deformat¸ii, tensiuni, eforturi). Aceast˘a observat¸ie sugereaz˘a alegerea deplas˘ arii u(x) ca principal˘ a necunoscut˘ a a problemei. Ne propunem s˘ a rezolv˘am problema ˆın MEF ¸si, ˆın acest scop, ˆımp˘ art¸im domeniul de lungime L ˆın cinci subdomenii - elemente finite, de lungimi arbitrar alese. Alegem ca noduri punctele de pe axa barei de la frontierele subdomeniilor. Numerotarea elementelor finite ¸si a nodurilor, f˘acut˘ a arbitrar, este redat˘ a ˆın figura 2.4.b. Sistematiz˘am analiza, dezvoltˆand la ˆınceput studiul unui element finit tipic ¸si apoi realizˆ and studiul ˆıntregii structuri (studiul global). (i) Studiul elementului finit Oricare din elementele finite este la rˆ andul s˘ au o bar˘ a cu sect¸iunea transversal˘ a variind dup˘a o lege presupus˘ a a fi cunoscut˘a (figura 2.5). Dac˘a ˆımp˘ art¸irea a fost f˘acut˘ a cu o ret¸ea suficient de dens˘a astfel ˆıncˆ at lungimea elementului finit s˘ a fie mic˘ a ˆın comparat¸ie cu L, putem considera o valoare constant˘a pentru Ax (x), fie aria medie A. ˆIn acest fel, substituim modelului real, bara cu sect¸iune constant˘ a din figura 2.5.b. Adopt˘am un sistem de axe local cu originea ˆın extremitatea stˆ ang˘ a a EF ¸si o numerotare local˘ a: nodul din stˆ anga (ˆın origine) este nodul 1, cel din dreapta - nodul 2.
Figura 2.5. Element finit Starea de solicitare ˆın elementul finit act¸ionat doar de fort¸e concentrate aplicate ˆın noduri se poate exprima ˆın funct¸ie doar de deplas˘arile u1 ¸si u2 ale nodurilor. ˆIntr-adev˘ ar, ˆın baza relat¸iilor din capitolul 1 ¸tinˆ and seama c˘a starea de solicitare este omogen˘ a, se pot determina: - deformat¸ia specific˘ a liniar˘ a εx εx = u,x = ∆l/l = (u2 − u1 )/l
36
Capitolul 2 - tensiunile σx , prin legea lui Hooke σx = Eεx = E(u2 − u1 )/l - efortul axial N = Aσx = EA(u2 − u1 )/l
Gradele de libertate de care depinde starea de solicitare ˆın element sunt, astfel, cele dou˘ a deplas˘ari nodale, u1 ¸si u2 . Cu acestea definim vectorul d al deplas˘ arilor nodale ale elementului finit d=
∼
u1 u2
(a)
unde indicii deplas˘arilor corespund numerot˘arii locale. Propriet˘ a¸tile de deformabilitate ale elementului finit le caracteriz˘ am prin rigidit˘ a¸ti, reprezentˆ and sistemele de fort¸e care corespund unor m˘ arimi unitate pentru deplas˘ari (figura 2.6). De exemplu, deplas˘arilor u1 = 1, u2 = 0 le corespunde sistemul de fort¸e alc˘atuit din k11 aplicat˘ a ˆın nodul 1 ¸si k21 aplicat˘ a ˆın nodul 2 (figura 2.6.a). Similar, deplas˘arilor u1 = 0, u2 = 1 le corespund fort¸ele k12 ¸si k22 (figura 2.6.b). Ret¸inem c˘a primul indice se refer˘a la gradul de libertate pe care act¸ioneaz˘ a fort¸a, iar al doilea, la gradul de libertate pe direct¸ia c˘ aruia s-a considera deplasarea unitate.
Figura 2.6. Rigidit˘a¸ti ¸si fort¸e nodale Este sugestiv s˘ a ne gˆ andim ¸si la semnificat¸ia mecanic˘ a a coeficient¸ilor de rigiditate kij - fort¸a ˆın i (pe direct¸ia leg˘aturii i) cˆand ˆın j (pe direct¸ia leg˘aturii j) se d˘ a o deplasare unitate, celelalte deplas˘ari r˘ amˆ anˆ and blocate; convent¸ia de semne rezult˘ a din condit¸ia kii ≥ 0.
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
37
Cu ajutorul rigidit˘ a¸tilor putem stabili sistemul de fort¸e nodale care corespund unor deplas˘ari u1 ¸si u2 oarecare (figura 2.6.c). Fie p1 ¸si p2 fort¸ele din nodurile 1 respectiv 2, cu care alc˘atuim vectorul fort¸elor p . ∼
p= ∼
p1 p2
.
(b)
M˘arimea fort¸elor p1 ¸si p2 ˆın funct¸ie de deplas˘ari, este p1 = k11 u1 + k12 u2 p2 = k21 u1 + k22 u2 . Not˘am cu k matricea alc˘ atuit˘ a cu rigidit˘ a¸tile kij k11 k12 k = [kij ] = ∼ k21 k22
(2.1.a)
pe care o numim matricea de rigiditate a elementului finit. Cu ajutorul acesteia ¸si a notat¸iilor (a), (b), relat¸iile ˆıntre fort¸e ¸si deplas˘ari stabilite mai sus se scriu k d=p (2.1.b) ∼ ∼
∼
Relat¸ia (2.1.b) stabile¸ste leg˘ atura ˆıntre fort¸ele ¸si deplas˘ arile nodale. Rezultatele studiului ˆıntreprins sunt aplicabile oric˘ arui element finit rezultat din ˆımp˘ art¸irea domeniului. ˆIn particular, pentru fiecare element finit se poate stabili matricea de rigiditate elemental˘a k . ∼
(ii) Studiul structurii asamblate (studiul global) Relat¸iile stabilite ˆın studiul pe element permit precizarea complet˘ a a st˘ arii de solicitare, dac˘ a sunt cunoscute deplas˘arile din cele ¸sase noduri ale structurii discretizate. Cu aceste deplas˘ari alc˘atuim vectorul D al deplas˘ arilor ∼ nodale ale structurii D = u1 u2 u3 u4 u5 u6 (2.2) ∼
care cont¸ine astfel principalele necunoscute ale problemei analizate. Indicii din D corespund numerot˘arii globale (figura 2.4.b). ∼ Prin discretizarea realizat˘ a, structura init¸ial˘a, cu o infinitate de grade de libertate s-a redus la una cu ¸sase grade de libertate pe direct¸iile deplas˘arilor nodale (u1 , . . . , u6 ). Sistemul de ecuat¸ii necesar pentru determinarea necunoscutelor ui se obt¸ine exprimˆ and echilibrul pe direct¸iile celor ¸sase grade de libertate (echilibrul celor ¸sase noduri).
38
Capitolul 2
Surprinderea act¸iunii ˆınc˘ arc˘ arilor exterioare ˆın echilibrul nodal se poate realiza ˆınlocuind ˆınc˘ arcarea distribuit˘a q(x) prin fort¸e nodale static echivalente. Valoarea fort¸ei echivalente pi din nodul i se poate considera ca fiind suma rezultantelor fort¸elor distribuite pe cele dou˘ a jum˘at˘a¸ti de elemente adiacente norului i; sau, ca sum˘a a fort¸elor obt¸inute prin ˆımp˘ art¸irea ˆın mod egal la cele dou˘ a noduri ale unui element, a rezultantei ˆınc˘ arc˘ arii distribuite de pe elementul considerat. Fort¸ele astfel determinate alc˘atuiesc vectorul fort¸elor nodale echivalente al structurii, P : P = P1 P2 P3 P4 P5 P6 . (2.3) ∼
S˘ a trecem acum la scrierea ecuat¸iilor de echilibru ale nodurilor. Nodurile fiec˘ arui element au o dubl˘a numerotare: local˘a ¸si global˘ a. De pild˘ a, EF2, are nodurile numerotate local 1, 2 ¸si global 2, 3. Vom p˘ astra indicii termenilor matricilor de rigiditate elementale k ˆın numerotarea local˘a, ∼
ata¸saˆnd un exponent (e) care s˘ a arate elementul finit c˘aruia ˆıi apart¸ine. Ne vom am ecuat¸ia de P opri atent¸ia asupra nodului 3, pentru care explicit˘ echilibru X = 0 (figura 2.7). Asupra nodului act¸ioneaz˘ a:
Figura 2.7. Echilibru nodal (2)
(3)
- ˆınc˘ arcarea echivalent˘ a exterioar˘a p3 = p2 + p1 - din EF2, delimitat de nodurile numerotate global 2 ¸si 3 iar local 1 ¸si 2, pentru deplas˘arile u2 ¸si u3 (2)
(2)
−(k21 u2 + k22 u3 ) - din EF3, cu nodurile 3 ¸si 4 global, 1 ¸si 2 local, pentru deplas˘arile u3 ¸si u4 (3)
(3)
−(k11 u3 + k12 u4 ).
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
39
S-a ¸tinut seama c˘ a fort¸ele pe nod produse de deplas˘ari au sens invers celor de pe capetele barelor. Suma fort¸elor care act¸ioneaz˘ a pe nod conduce la ecuat¸ia de echilibru (2)
(2)
(3)
(3)
k21 u2 + (k22 + k11 u3 + k12 u4 = p3 . Ecuat¸ii similare se pot scrie pentru fiecare nod, obt¸inˆ and ˆın final sistemul, scris matricial
sau RD=P ∼ ∼
∼
(2.4)
unde s-a notat cu R matricea de rigiditate a structurii. Aceasta se obt¸ine, ∼ a¸sa dup˘a se observ˘ a, din asamblarea matricilor de rigiditate elementale. Deplas˘ arile u1 ¸si u6 sunt nule, deoarece nodurile 1 ¸si 6 sunt ˆın reazeme. Impunerea deplas˘ arilor cu valori cunoscute, revine ˆın cazul analizat la suprimarea din sistemul de ecuat¸ii a liniilor ¸si coloanelor aferente deplas˘arilor u1 ¸si u6 . Rezolvarea ecuat¸iilor r˘ amase precizeaz˘ a valorile deplas˘arilor necunoscute u2 , . . . , u5 . Revenind pe fiecare element finit ¸si identificˆ and din D deplas˘arile care ∼ apar ˆın vectorii elementali d , se pot calcula cu relat¸iile precizate ˆın studiul pe ∼ element deformat¸iile, eforturile ¸si tensiunile. ˆIn acest fel, problema stabilirii st˘ arii de solicitare a barei este complet rezolvat˘ a. Privitor la dimensiunile principalilor vectori ¸si m˘ arimi introduse trebuie observat c˘ a:
40
Capitolul 2
- num˘ arul elementelor ˆın vectorul deplas˘ari nodale pe element, d , precum ∼ ¸si vectorul fort¸e nodale pe element q este egal cu num˘ arul gradelor de libertate ∼
ale elementului - vectorii deplas˘arilor globale D ¸si ai fort¸elor nodale ale ˆıntregii structuri ∼ P cont¸in fiecare un num˘ ar de elemente egal cu num˘ arul gradelor de libertate ∼ ale ˆıntregii structuri; - matricea de rigiditate elemental˘a k este p˘ atrat˘ a cu dimensia egal˘a num˘ arul gradelor de libertate ale elementului - matricea de rigiditate global˘ a R este tot p˘ atrat˘ a cu dimensia egal˘a cu ∼ num˘ arul gradelor de libertate ale structurii.
2.2.2
Formularea variat¸ional˘ a a MEF
Formularea prin metoda variat¸ional˘ a este mai general˘ a ¸si mai eficient˘a decˆ at formularea prin metoda direct˘ a, suplinind o parte din lipsurile acesteia. Se imput˘a formul˘ arii prin metoda direct˘ a ˆın special dou˘ a neajunsuri: - faptul de a nu dispune de procedee ¸si algoritmi pentru stabilirea caracteristicilor elementelor finite pentru alte structuri decˆ at cele alc˘atuite din bare; - caracterul intuitiv, lipsit de o fundamentare riguroas˘a, al procedeului, prin care se stabilesc fort¸ele nodale. Abordarea prin metoda variat¸ional˘ a conduce, a¸sa cum vom vedea, la relat¸ii analitice mai riguroase. Formularea poate fi f˘acut˘ a pornind de la principiile lucrului mecanic virtual sau de la teorema de minim a energiei potent¸iale totale. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom folosi prima alternativ˘a, de¸si, ˆın majoritatea cazurilor, vom analiza doar structuri cu comportare liniar elastic˘ a. Principiul lucrului mecanic virtual a fost exprimat matematic prin relat¸ia (1.17) din capitolul 1: Z
δ ε t σ dV = ∼ ∼
Z
δU t b dV + ∼ ∼
δU t f dS ∼ ∼
(2.5)
Sf
V
V
Z
ˆIn baza leg˘ aturii precizat˘ a de legea constitutiv˘ a, tensiunile se pot exprima ˆın funct¸ie de deformat¸ii prin relat¸ia (1.7), adic˘ a σ = E ε ¸si deci (2.5) devine: Z
V
δ ε t E ε dV = ∼ ∼ ∼
Z
V
δU t b dV + ∼ ∼
∼
∼ ∼
Z
δU t f dS.
Sf
∼ ∼
(2.6)
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
41
Realizarea relat¸iei (2.6) este echivalent˘a, ˆın baza principiului, cu satisfacerea condit¸iilor de echilibru. Presupunem cunoscute geometria corpului, caracteristicile de deformabilitate ale materialului (matricea E ), condit¸iile de suprafat¸˘a ˆın deplas˘ari ¸si ∼
ˆınc˘ arc˘ arile exterioare b ¸si f . Pe lˆang˘ a aceste m˘ arimi, ˆın relat¸ia (2.6) mai in∼
∼
tervin deplas˘arile virtuale δU ¸si deformat¸iile (reale) ε . ∼ ∼ Deplas˘ arile virtuale δU = δu δv δw sunt arbitrare. Este firesc s˘ a ∼ urm˘arim o alegere cˆ at mai potrivit˘a a acestora, astfel ˆıncˆ at algoritmul de rezolvare s˘ a fie cˆ at mai simplu iar solut¸ia obt¸inut˘ a ˆın final s˘ a aproximeze optim starea de solicitare real˘ a. Deformat¸iile ε pot fi exprimate ˆın funct¸ie de deplas˘arile reale U cu aju∼ ∼ torul relat¸iilor (1.2). ˆIn acest fel, relat¸ia (2.6) care reprezint˘a exprimarea matematic˘ a a lucrului poate servi la determinarea principalelor mecanic virtual necunoscute U = u v w . ∼
ˆIn metodele aproximative care pornesc de la acest principiu algoritmul de rezolvare const˘ a, ˆın principal, din: - alegerea unor expresii aproximative pentru deplas˘arile U (implicit a ∼
deformat¸iilor ε ) care s˘ a depind˘a de un num˘ ar de parametri nedeterminat¸i; ∼
- alegerea expresiilor deplas˘arilor virtuale δU ; ∼
- din condit¸ia satisfacerii relat¸iei matriciale (2.6) ¸si (eventual) a unor condit¸ii pe partea din suprafat¸˘a cu deplas˘ari impuse, se determin˘a cu metode specifice, parametrii necunoscut¸i inclu¸si ˆın U . ∼
Caracterul particular al Metodei elementelor finite rezid˘ a ˆın faptul c˘a aproximarea deplas˘ arilor necunoscute U se face pe subdomenii, ∼ adic˘ a pe elementele finite. Ca parametri ˆın funct¸ie de care se exprim˘ a deplas˘arile se aleg deplas˘ arile ¸si/sau derivatele acestora din punctele nodale. ˆIn acest fel, starea de deformare a corpului (structurii) este parametrizat˘ a prin deplas˘arile nodale. Cu o alegere convenabil˘ a a deplas˘arilor virtuale δU ecuat¸ia matriceal˘ a (2.6) se transform˘a ˆıntr-un sistem de ecuat¸ii algebric ∼ care are ca necunoscute deplas˘arile nodale. Ne vom referi ˆın cele ce urmeaz˘a la exemplul din paragraful precedent. Cu ipotezele simplificatoare f˘acute acolo, toate m˘ arimile care apar ˆın (2.6) sunt scalari. Vom ment¸ine totu¸si ˆın cele ce urmeaz˘a notat¸iile matriceale; exemplificarea f˘acut˘ a prin bar˘ a se justific˘ a prin simplitate, rat¸ionamentele ¸si relat¸iile obt¸inute pe baza analizei au ˆıns˘ a un caracter general. Tot pentru simplitate, cˆand nu este strict necesar, din expresia lucrului virtual al fort¸elor exterioare
42
Capitolul 2
(membrul doi ˆın (2.6)) vom transcrie doar primul termen. Presupunem c˘ a am realizat ˆımp˘ art¸irea (discretizarea) domeniului barei sau, mai general, al structurii ˆın NE elemente finite, reuniunea acestor subdomenii alc˘atuind domeniul corpului de volum V . Integralele pe ˆıntreg volumul corpului care apar ˆın (2.6) pot fi ˆınlocuite prin sume ale integralelor pe cele NE elemente finite, ceea ce revine la transcrierea relat¸iei prin: NE Z X e=1 V
δ ε t E ε dV = ∼ ∼ ∼
e
NE Z X
δU t b dV. ∼ ∼
e=1 V
(2.7)
e
Similar formul˘ arii prin metoda direct˘ a, este convenabil s˘ a evident¸iem partea care vizeaz˘a studiul detaliat al elementului finit ¸si partea care se refer˘a la ˆıntreg ansamblul structural, adic˘ a a¸sa numitul studiu general sau global. (i) Studiul elementului finit Studiul elementului finit are ca principale obiective: - alegerea num˘ arului ¸si pozit¸iei nodurilor - alegerea deplas˘arilor nodale (parametrilor) ˆın funct¸ie de care se va exprima starea de solicitare pe element - stabilirea funct¸iilor care descriu ˆın mod aproximativ cˆampul deplas˘arilor pe element, ˆın funct¸ie de deplas˘arile nodale - obt¸inerea relat¸iilor care exprim˘ a m˘ arimile specifice st˘ arii de solicitare (ε , σ ) ˆın funct¸ie de deplas˘arile nodale ∼ ∼ - stabilirea matricii de rigiditate elementale ¸si a vectorilor ˆınc˘ arc˘ arilor nodale. Fie elementul finit tip bar˘ a reprezentat ˆın figura 2.5, cu sistemul de axe avˆand originea ˆın cap˘ atul din stˆ anga. Am ar˘ ata c˘a singura necunoscut˘a a problemei este deplasarea u(x), deci U = {u}. ∼ Alegem pozit¸iile nodurilor ˆın extremit˘a¸tile EF, iar ca ¸si grade de libertate ˆın noduri, deplas˘arile u1 ¸si u2 ale nodurilor ˆın sensul axei x. Cu acestea alc˘atuim vectorul deplas˘ arilor nodale ale elementului, d , ∼
d=
∼
u1 u2
.
S˘ a presupunem c˘ a deplasarea real˘ a u(x) are pe subdomeniul reprezentat de EF, variat¸ia din figura 2.8. ˆIntr-o prim˘a (¸si cea mai simpl˘a) aproximat¸ie, ˆınlocuim curba real˘ a prin interpolare liniar˘ a cu dreapta care trece prin punctele A ¸si B. Scriem ˆın acest caz u(x) = α1 + α2 x
(2.9.a)
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
43
Figura 2.8. Element finit Exprimˆand faptul c˘ a dreapta (2.9.a) trece prin A ¸si B obt¸inem: u(0) = α1 = u1 u(l) = α1 + α2 l = u2
(2.9.b)
Condit¸iile de tipul (2.9.b), care asigur˘a c˘a aproximarea dat˘ a de funct¸ia de interpolare conduce pentru coordonatele de noduri la valorile deplas˘arilor nodale, le vom numi condit¸ii de compatibilitate ale curbei de interpolare cu deplas˘ arile nodale. Rezolvˆ and (2.9.b) ˆın raport cu αi ¸si introducˆ and rezultatul ˆın (2.9.a) obt¸inem aproximarea lui u(x) ˆın funct¸ie de deplas˘arile nodale: u(x) = (1 − x/l)u1 + x/lu2 .
(2.10.a)
Funct¸iile N1 (x) = 1 − x/l ¸si
N2 (x) = x/l
(2.10.b)
le numim funct¸ii de interpolare ale deplas˘ arilor pe element. Cu acestea (2.10.a) se scrie: u(x) = N1 (x)u1 + N2 (x)u2 (2.10.c) Notˆand cu N matricea de interpolare a deplas˘ arilor, alc˘atuit˘ a cu ∼
funct¸iile de interpolare Ni (x) N= ∼
Ni (x) N2 (x)
(2.11)
¸si ¸tinˆ and seama ¸si de notat¸ia (2.8), relat¸ia (2.10.c) poate fi transcris˘a matricial U =N d ∼
∼ ∼
(2.10)
44
Capitolul 2
ˆIntre curba real˘ a ¸si cea de interpolare pot exista diferent¸e mari. O aproximare mai bun˘a se obt¸ine dac˘ a realiz˘ am interpolarea cu o curb˘a care s˘ a aib˘ a ¸si prima derivat˘ a ˆın punctele 1 ¸si 2 egal˘a cu aceea a curbei reale (figura 2.8). Aceasta ˆınseamn˘a a considera ¸si derivatele deplas˘arii u1,x ¸si u2,x ˆın lista gradelor de libertate nodale. Evident, pentru a satisface patru condit¸ii de compatibilitate cu deplas˘arile nodale u1 , u1,x , u2 , u2,x polinomul de interpolare trebuie s˘ a cont¸in˘ a patru coeficient¸i nedeterminat¸i αi ; practic, se va adopta pentru interpolare un polinom de gradul trei. Procesul de ˆımbun˘at˘ a¸tire a aproxim˘arii poate fi continuat prin considerarea ca ¸si grade de libertate nodale a derivatelor de ordin superior sau prin introducerea unor noduri suplimentare pe elementul finit. Prin impunerea condit¸iilor de compatibilitate a funct¸iei de interpolare cu deplas˘arile nodale, coeficient¸ii αi se exprim˘ a sub forma unor combinat¸ii ale deplas˘arilor de pe direct¸iile gradelor de libertate. Ei au astfel semnificat¸ia unor deplas˘ ari generalizate. Se observ˘ a c˘ a odat˘ a adoptat˘ a regula de interpolare, relat¸iile de tipul (2.10.a) exprim˘ a complet deplasarea u(x) ˆın punctul curent (prin urmare cˆampul deplas˘arilor pe element) ˆın funct¸ie de deplas˘arile nodale (deplas˘ari propriu-zise ¸si/sau derivate ale acestora). Aceast˘a observat¸ie justific˘ a denumirea de ”grade de libertate” (GL) care se atribuie deplas˘arilor nodale. S˘ a trecem aum la analiza deformat¸iilor. ˆIn baza relat¸iilor lui Cauchy (1.2), pentru exemplul analizat (bar˘ a) se poate scrie: ε = εx = u,x ∼
sau, ¸tinˆ and seama de (2.10): ε=
∼
h
N d
∼ ∼
i
,x
=
h
N ,x ∼
i
d.
∼
Matricea alc˘ atuit˘ a prin derivarea convenabil˘ a a funct¸iilor de interpolare a deplas˘arilor, notat˘ a cu B , adic˘ a ˆın cazul studiat ∼
B= ∼
h
N ,x ∼
i
(2.12.a)
se nume¸ste matricea deformat¸iilor. Cu ajutorul acesteia, relat¸ia ˆıntre ε ¸si ∼ d se scrie ∼
ε = B d.
∼
∼ ∼
(2.12)
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
45
Se observ˘ a c˘ a B , ˆın general o matrice de funct¸ii, permite exprimarea ∼ deformat¸iilor ˆıntr-un punct curent de pe elementul finit ˆın funct¸ie de deplas˘ arile nodale. Odat˘ a cunoscut ε , tensiunile σ rezult˘ a cu relat¸ia (1.7), adic˘ a ∼
∼
σ = E B d. ∼
(2.13)
∼ ∼ ∼
Rat¸ionamentele anterioare se extind f˘ar˘ a dificult˘a¸ti marcante la elemente finite mai complexe, ˆın una, dou˘ a sau trei dimensiuni. Desigur, m˘ arimile introduse au alt˘ a structur˘ a, dar semnificat¸ia lor r˘ amˆ ane aceea¸si. Deplasarea virtual˘ a δU se presupune realizat˘ a prin deplas˘ari virtuale ∼ nodale δd , interpolate pe element prin matricea N , utilizat˘ a ¸si ˆın cazul de∼ ∼ plas˘ arilor reale. Rezult˘a astfel expresia deplas˘arilor ¸si a deformat¸iilor virtuale pe EF: δU = N δd respectiv δ ε = B δd . (2.14.a, b) ∼
∼ ∼
∼
∼ ∼
Cu (2.12) ¸si (2.14) membrul stˆ ang al ecuat¸iei de lucru virtual (2.7) devine: Z Z Z δLσ = δ ε t E ε dV = (δd t B t · E B d )dV = δd t B t E B dV · d ∼ ∼ ∼
∼ ∼
Ve
∼ ∼ ∼
∼
∼ ∼ ∼
Ve
∼
Ve
unde am ¸tinut seama c˘ a d ¸si δd cont¸in doar termenii constant¸i ˆın raport cu ∼ ∼ variabilele de integrare. Notˆand matricea de rigiditate elemental˘ a k: ∼
k=
∼
Z
B t E B dV
(2.15)
∼ ∼ ∼
Ve
expresia obt¸inut˘ a pentru lucrul virtual al tensiunilor se scrie δLδ = δd t k d .
(a)
∼ ∼ ∼
Pentru membrul drept al ecuat¸iei (2.7) avem: Z Z Z t t t t δLext = δU · b dV = δd · N b dV = δd N t b dV. ∼
∼
∼
∼ ∼
Ve
Ve
∼
∼ ∼
Ve
Integrala pe Ve se noteaz˘ a cu p : ∼
p= ∼
Z
Ve
N t b dV ∼ ∼
(2.16)
46
Capitolul 2
¸si reprezint˘ a vectorul fort¸elor nodale echivalente. ˆIntr-adev˘ar, pentru ca produsul δLext = δd t p (b) ∼ ∼
s˘ a reprezinte lucrul mecanic, ¸stiind c˘a δd sunt deplas˘ari nodale, p trebuie s˘ a ∼
∼
fie sistem de fort¸e pe direct¸iile acestor deplas˘ari. Fort¸ele nodale p dau acela¸si ∼
lucru virtual ca ¸si fort¸ele reale b de pe element prin deplasarea virtual˘a δU ∼
∼
(relat¸ia de la care s-a pornit) echivalˆandu-l ˆın sistemul discretizat. (ii) Studiul global Studiul global const˘ a din: - transformarea ecuat¸iei matriceale (2.7), cu ajutorul rezultatelor obt¸inute ˆın studiul pe element, ˆıntr-un sistem de ecuat¸ii algebric, - tratarea deplas˘arilor impuse, - rezolvarea sistemului de ecuat¸ii obt¸inut. Cu solut¸ia obt¸inut˘ a pentru deplas˘arile nodale, relat¸iile stabilite ˆın studiul pe element dau posibilitatea preciz˘ arii deformat¸iilor ε ¸si tensiunilor σ , ∼ ∼ rezolvˆand astfel complet problema. Cu (a) ¸si (b) ecuat¸ia (2.7) devine NE X e=1
δd te ∼
·ke·de = ∼
∼
NE X e=1
δd te · p e ∼
(2.17)
∼
unde am introdus indicele e pentru a marca apartenent¸a m˘ arimii respective la elementul finit e. Ecuat¸iile (2.7) sunt un sistem algebric, cont¸inˆ and ca necunoscute toate deplas˘arile pe direct¸iile gradelor de libertate ale structurii. Ordonarea lui poate fi realizat˘ a prin intermediul unor matrici de aranjare, care s˘ a exprime vectorii locali ˆın funct¸ie de vectorii ˆıntregii structuri. Ne referim ˆın cele ce urmeaz˘a la exemplul analizat anterior (figura 2.4 ¸si 2.7) la care vectorul deplas˘ari nodale al structurii D este precizat ˆın (2.2): D = u1 u2 u3 u4 u5 u6 . ∼
Fie T e matricea care realizeaz˘ a leg˘atura ˆıntre vectorul deplas˘arilor nodale ∼ al elementului e ¸si cel al structurii: d e = T e · D.
∼
∼
∼
(c)
Pentru elementul finit 3 din exemplul analizat, ¸tinˆ and seama c˘a d 3 = ∼ a - vezi ¸si figura u3 u4 (indicii deplas˘arilor nodale sunt ˆın notat¸ie global˘ 2.7), relat¸ia (c) se scrie:
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
47
Matricile de aranjare T e sunt matrici booleene, avˆand diferite de zero, ∼ ¸si egale cu 1, un num˘ ar de elemente egal cu num˘ arul deplas˘ arilor nodale din d e. ∼
Revenind la (2.17), cu (c) se obt¸ine: NE X e=1
t
δD · T te k e T e ∼ ∼ ∼ ∼
·D = ∼
NE X e=1
δD t · T te p e . ∼
∼ ∼
(d)
S˘ a analiz˘ am efectul ˆınmult¸imii cu matricea de aranjare. Fie, la ˆınceput, produsul T te p e , pentru elementul finit 3 din structur˘a; ∼ ∼ n o (3) (3) admit¸ˆ and c˘ a p 3 = p1 , rezult˘ a p2 ∼
adic˘ a, componentele vectorului p 3 sunt aranjate ˆın formatul vectorului fort¸e ∼
48
Capitolul 2
exterioare P (relat¸ia (2.3)), pe direct¸iile gradelor de libertate ale structurii pe ∼
care acestea act¸ioneaz˘ a (3 ¸si 4). Similar, pornind de la (2.1) pentru T t3 · k 3 · T ∼
∼
∼
3
din (d), se obt¸ine:
Matricea k 3 este transformat˘a ˆıntr-o matrice de dimensiunile matricii R ∼
∼
(3)
a structurii, elementele kij fiind aranjate ˆın liniile/coloanele ce corespund gradelor de libertate din numerotarea global˘ a (local 1 - global 3, local 2 global 4) (vezi ¸si matricea R ˆınainte de relat¸ia (2.4)). ∼ Vectorul (2.18.a) p ∗e = T te p e ∼
∼ ∼
se nume¸ste vectorul expandat al fort¸elor nodale echivalente, iar matricea k∗ ∼e
= T te k e T
∼ ∼ ∼
(2.18.b)
e
matricea de rigiditate expandat˘ a a elementului finit e. Revenind la relat¸ia (d) ¸si ¸tinˆ and seama c˘a D nu depinde de indicele de ∼
sumare, cu notat¸iile (2.18) obt¸inem ! NE NR X X ∗ t t k e · D = δD p ∗e δD ∼
e=1
∼
∼
∼
e=1
∼
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
δD ∼
t
"
NR X e=1
k∗ ∼e
!
·p− ∼
NE X e=1
p ∼
∗ e
#
49
= 0. ∼
Cum δD este arbitrar, paranteza trebuie s˘ a fie nul˘ a. Se obt¸ine astfel relat¸ia ∼
(2.4), dac˘ a se noteaz˘ a R= ∼
P = ∼
NE X e=1
NE X e=1
k∗ ∼e
(2.19.a)
p ∗e
(2.19.b)
∼
putˆ andu-se stabili u¸sor c˘ a R are semnificat¸ia matricii de rigiditate glo∼
bale (asamblate) iar P , vector al fort¸elor nodale echivalente al ˆıntregii ∼ structuri. ˆIn acest fel sistemul de ecuat¸ii RD=P ∼ ∼
∼
(2.20)
reprezint˘ a exprimarea prin m˘ arimi discrete a principiului lucrului mecanic virtual (2.5) ˆın condit¸iile de aproximare descrise. Deplasarea U pe ˆıntreaga structur˘a se ”compune” din deplas˘arile expri∼
mate pe fiecare element dat de (2.10). S˘ a analiz˘ am acum ˆın ce m˘ asur˘a deplasarea U astfel obt¸inut˘ a satisface ∼ condit¸iile de admisibilitate cinematic˘ a, referindu-ne ˆın special la cele de compatibilitate. (i) S˘ a revenim la exemplul barei din figura 2.4 ¸si la aproxim˘arile din figura 2.8 ale deplas˘arilor pe element, urm˘arind calitatea continuit˘ a¸tii obt¸inut˘ a prin modelul discret al elementelor finite. Admit¸ˆ and interpolarea liniar˘ a pentru u(x) cˆampul deplas˘arilor pe elementul finit a fost parametrizat ˆın funct¸ie de deplas˘arile nodale u1 , u2 (relat¸ia (2.10.a) sau (2.10)). Trecerea de la numerotarea local˘a la cea general˘ a ˆın metoda direct˘ a, respectiv folosirea matricii de aranjare T e ˆın metoda variat¸ional˘ a, ∼ realizeaz˘ a egalitatea ˆıntre valorile deplas˘arilor nodale ale elementului, cu deplas˘ arile corespunz˘ atoare ale structurii. Rezult˘a c˘a pe elementele finite adiacente unui nod deplas˘arile sunt egale iar deplas˘arile ˆıntregii structuri sunt aproximate poligonal, a¸sa cum se arat˘ a ˆın figura 2.9. De¸si sunt sect¸iuni suprapuse, fet¸ele din dreapta ¸si stˆ anga nodului au deformat¸ii ε = u,x diferite (vezi figura 2.9). Continuitatea se realizeaz˘ a deci ˆın noduri, numai pe direct¸iile gradelor de libertate considerate
50
Capitolul 2
la formulare. Dac˘a s-ar fi adoptat ca ¸si grade de libertate ˆın noduri ¸si derivatele u,x = εx , acestea ar fi rezultat egale ¸si deci aproximarea asigura ¸si continuitatea derivatei u,x , adic˘ a a deformat¸iilor.
Figura 2.9. Problema este mai delicat˘ a ˆın cazul structurilor de tipul pl˘ acilor sau masivelor. Aici, continuitatea asigurat˘a prin conexiunile din noduri, pe direct¸iile gradelor de libertate, nu garanteaz˘a, ˆın general, continuitatea pe toat˘ a suprafat¸a de contact. Un astfel de caz este reprezentat ˆın figura 2.10, cˆ and cele dou˘ a laturi 10-11 ale elementelor plane 1 ¸si 15 au deplas˘ari cu legi de variat¸ie diferite ˆıntre noduri. Figura 2.10. Asupra problemei continuit˘ a¸tii, una din problemele cele mai sensibile ¸si mai dificil de realizat ˆın cadrul MEF, vom reveni ˆıntr-un paragraf ulterior. (ii) Pentru a fi cinematic admisibil˘a, pe lˆang˘ a condit¸ia de continuitate ˆın interior, deplasarea U trebuie s˘ a ˆındeplineasc˘a ¸si condit¸iile de compatibili∼ tate ˆın reazeme. Cerint¸a poate fi satisf˘acut˘ a prin introducerea condit¸iilor prescrise ˆın deplas˘ ari, ˆın nodurile situate pe partea din suprafat¸a exterioar˘a pe care deplas˘arile sunt impuse. ˆIn exemplul analizat, aceasta revine la a scrie u1 = u6 = 0.
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
51
Ca urmare a acestei operat¸ii num˘ arul de necunoscute din (2.20) se reduce. Rezolvˆ and sistemul de ecuat¸ii r˘ amas, se obt¸in valorile deplas˘arilor nodale necunoscute (u2 , . . . , u5 ), ceea ce precizeaz˘ a, ˆın condit¸iile de aproximare admise, starea de solicitare a fiec˘ arui element (relat¸iile (2.12), (2.13)) deci a ˆıntregii structuri. Este interesant de analizat ¸si calitatea echilibrului obt¸inut. Dac˘a bara din figura 2.4.a are sect¸iunea transversal˘ a cu o variat¸ie continu˘ a sau este constant˘ a, atunci fat¸a din stˆ anga nodului 3, ata¸sat˘ a elementului finit 2 ¸si fat¸a din dreapta, ata¸sat˘ a elementului 3 au aceea¸si arie a sect¸iunii transversale. Presupunˆand c˘ a fort¸a p3 este nul˘ a, pentru a avea echilibru ¸si ¸stiind c˘a fort¸a axial˘a este N = Aσ = EAε, ar trebui ca deformat¸iile specifice ε pe elementul 2 ¸si 3 s˘ a fie egale, lucru care nu se ˆıntˆ ampl˘ a, de regul˘ a (vezi figura 2.9). MEF asigur˘ a prin ecuat¸iile de lucru mecanic virtual echilibrul global al elementului ¸si structurii, dar echilibrul local, ˆın general, nu se realizeaz˘ a.
2.2.3
Semnificat¸ia ¸si propriet˘ a¸tile matricii de rigiditate elementale k ∼
Fie un element finit triunghiular ˆın stare de solicitare plan˘ a (figura 2.11) cu noduri ˆın colt¸uri ¸si cˆ ate dou˘ a grade de libertate pe nod: unul aferent deplas˘arii u, paralela cu axa x ¸si unul deplas˘arii v, paralela cu y. S˘ a presupunem c˘a vectorii deplas˘arilor nodale ¸si cei ai fort¸elor nodale ai elementului sunt alc˘atuit¸i astfel: d = u1 v1 u2 v2 u3 v3 ∼ p = px1 py1 px2 py2 px3 py3 ∼
Matricea de rigiditate elemental˘a k are num˘ arul de linii ¸si coloane egal cu ∼ cel al gradelor de libertate pe element. ˆIn cazul analizat, ea are deci 6 linii ¸si 6 coloane. (i) Deoarece k este exprimat˘ a printr-o integral˘ a definit˘a (relat¸ia (2.15)), ∼ elementele ei sunt constante. (ii) T ¸ inˆ and seama c˘ a E este o matrice simetric˘a (consecint¸˘a a teoremelor ∼
de reciprocitate) rezult˘ a c˘ a ¸si matricea de rigiditate k este o matrice ∼
simetric˘ a. Reamintim c˘ a dac˘ a A este simetric˘a, At = A. Considerˆand relat¸ia ∼
∼
∼
(2.15) ¸si calculˆ and transpusa matricii k obt¸inem: ∼ Z Z Z h it t t t t B E B dV = B E Bd V = B t E B dV = k k = ∼ ∼ ∼ ∼
∼
∼
V
V
V
∼ ∼
∼
52
Capitolul 2
Figura 2.11. (iii) O coloan˘ a a matricii de rigiditate k cont¸ine sistemul de fort¸e no∼ dale ce corespunde unei deplas˘ ari unitate pe direct¸ia gradului de libertate aferent coloanei respective, restul deplas˘arilor fiind nule. Pentru a ar˘ ata acest lucru explicit˘am relat¸ia (2.1.b), adic˘ a k d = p , pentru elementul finit ∼ ∼
∼
analizat (figura 2.11):
k11 k21 k31 k41 k51 k61
k12 k22 k32 k42 k52 k62
k13 k14 k15 k16 k23 k24 k33 k34 k33 . . . k53 k63
·
u1 v1 u2 v2 u3 v3
=
Fie, de exemplu u2 = 1, u1 = v1 = v2 = u3 = v3 = 0. Efectuˆ and produsul k d obt¸inem: ∼ ∼
k13 k23 k33 k43 k53 k63
=
px1 py1 px2 py2 px3 py3
px1 py1 px2 py2 px3 py3
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
53
adic˘ a fort¸ele nodale sunt egale cu elementele coloanei a treia din k , coloan˘ a ∼ care corespunde deplas˘arii u2 . (iv) ˆIn figura 2.12, am reprezentat sistemul de fort¸e nodale aferent dea satisfac˘a ecuat¸iile de plas˘ arii u2 = 1, discutat la (iii). Acest sistem trebuie s˘ echilibru X X X = 0, Y =0 de unde rezult˘ a c˘ a
6 X
ki3 = 0
i=1
¸si cum matricea k este simetric˘a, rezult˘ a ¸si ∼
6 X
k3j = 0.
j=1
Figura 2.12. Relat¸ii analoage rezult˘ a pentru toate liniile sau coloanele. Cu alte cuvinte, suma elementelor dintr-o coloan˘ a sau linie a matricii de rigiditate elemental˘ a este nul˘ a. Proprietatea este deseobit de util˘ a la verific˘ ari. ˆIn acest scop trebuie observat c˘ aP ¸si sume part¸iale, care includ termenii aferent¸i unei singure axe (de exemplu X = k13 + k33 + k53 ) trebuie s˘ a fie nule. (v) Din proprietatea (iv) rezult˘ a c˘a matricea k este o matrice singular˘ a, ∼
avˆand Det (k ) = 0 (se adun˘a toate liniile la prima, care rezult˘ a nul˘ a, deci ∼
Det (k ) = 0). ∼
54
Capitolul 2
2.2.4
Asamblarea matricei de rigiditate globale R ¸si ∼ a vectorului fort¸e nodale echivalente P al structurii ∼
Relat¸iile (2.19.a,b) arat˘ a c˘ a matricea de rigiditate global˘ a R ¸si vectorul ∼ fort¸e nodale P se obt¸in prin sumarea matricelor de rigiditate expandate k ∗e ∼ ∼ respectiv a vectorilor expandat¸i ai fort¸elor nodale echivalente p ∗e ale tuturor ∼
elementelor finite e = 1, . . . , N E ˆın care s-a realizat discretizarea structurii. Urmˆ and calea descris˘a la deducerea relat¸iilor (2.19.a,b), este necesar a alc˘atui pentru fiecare element finit matricile de transformare T e ¸si apoi a ∼
realiza produsele din (2.18.a,b), astfel ˆıncˆ at s˘ a se obt¸in˘ a matricile expandate. Folosirea acestei c˘ ai prezint˘ a dou˘ a dezavantaje. Primul, ˆıl constituie necesitatea rezerv˘ arii ˆın memorie a unor spat¸ii relativ mari pentru stocarea matricilor T e , k ∗e ¸si p ∗e . Al doilea, const˘ a ˆın consumul ridicat de timp calculator necesar ∼
∼
∼
pentru alc˘ atuirea matricilor T
∼
e
¸si pentru efectuarea operat¸iilor de ˆınmult¸ire
din (2.18.a,b), ˆınmult¸iri care se fac doar cu 1 sau 0; de fapt prin expandare se realizeaz˘ a doar o rearanjare a matricilor elementale k ¸si p . ∼
∼
Inconvenientele prezentate pot fi evitate dac˘ a se poate preciza, f˘ar˘ a a ∗ ∗ alc˘atui T e , k e ¸si p e , elementele din R respectiv P c˘arora trebuie s˘ a fie ∼
∼
∼
∼
∼
ad˘ augat¸i termenii din k e ¸si p e . Regula de depunere a lui k e ¸si p e ˆın R ∼
∼
∼
∼
∼
respectiv P poate fi stabilit˘ a pe baza corespondent¸ei ˆıntre numerotarea local˘a ∼ ¸si global˘ a a gradelor de libertate. Aceast˘a corespondent¸˘a o preciz˘ am ˆıntr-un tablou de descriere a elementelor finite pe care ˆıl vom nota IDEF.
Figura 2.13. Pentru o mai bun˘a ˆınt¸elegere, s˘ a alc˘atuim matricile R ¸si P pentru structura ∼ ∼ din figura 2.13 cu un singur grad de libertate pe nod, urmˆand algoritmul descris la punctul 2.2.2. Num˘ arul gradelor de libertate pe EF fiind egal cu 2 iar pe ˆıntreaga structur˘ a cu 4, rezult˘ a c˘ a dimensiunile tablourilor sunt:
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
55
- pentru k : 2 × 2, pentru R: 4 × 4 ∼ ∼ - pentru p : 2, pentru P : 4. ∼
∼
Corespondent¸a ˆıntre numerot˘arile local˘a/global˘ a este precizat˘ a ˆın urm˘atorul tablou de descriere: Tabloul de descriere a EF - IDEF Num˘ ar EF 1 2 3
Num˘ ar nod - global, pentru num˘ ar nod local 1 2 1 3 3 4 4 2
S-a precizat c˘ a ˆın urma expand˘ arii, termenii din p respectiv k sunt aranjat¸i ∼
∼
ˆın p e ¸si k e ˆın ”celulele” corespunz˘atoare numerot˘arii globale ale gradelor de ∼
∼
libertate. Aceasta este regula cu ajutorul c˘areia evit˘am alc˘atuirea lui T
∼
efectuarea produselor cerute de (2.18.a,b). Apoi, prin sumare, obt¸inem:
e
¸si
56
Capitolul 2
Se observ˘ a c˘ a pentru alc˘ atuirea matricelor expandate, sunt suficiente informat¸iile din IDEF. ˆIntr-adev˘ar, pentru EF3, de exemplu, corespondent¸a 1local → 4global , 2local → 2global precizeaz˘ a corespondent¸a ˆıntre liniile ¸si coloanele din k ¸si p (cu indici aferent¸i numerot˘arii locale a nodurilor) cu cele din ∼
∼
R ¸si P (cu indicii corespunzˆ and numerot˘arii globale). ˆIn general, dac˘ a indici∼
∼
lor locali (i, j) le corespund ˆın numerotare global˘ a (m, n), atunci termenul kij trebuie depus ˆın Rmn , respectiv pi ˆın Pm . Folosind aceast˘ a observat¸ie, nu mai este necesar˘a alc˘ atuirea matricilor expandate k ∗e ¸si p ∗e . ∼
∼
Matricele elementale k ¸si p , se alc˘atuiesc parcurgˆand consecutiv elementele ∼
∼
finite, sumarea la R ¸si P realizˆ andu-se pas cu pas, pe elemente. ˆIn acest fel, ∼
∼
este necesar un spat¸iu redus pentru memorare (doar spat¸iul pentru k ¸si p ∼
∼
aferente unui singur element finit). Alc˘atuirea matricei de rigiditate global˘ a R ¸si vectorului ˆınc˘ arc˘ ari echiva∼ lente P presupune deci parcurgerea urm˘atorilor pa¸si: ∼
1. Init¸ializarea la zero a tablourilor R ¸si P . ∼
∼
2. Parcurgerea elementelor finite e = 1, . . . , N E, pentru fiecare efectuˆand operat¸iile: 2.1. alc˘ atuirea lui k ¸si p ∼
∼
2.2. parcurgerea liniilor I din k ¸si p ¸si a coloanelor J din k ¸si stabilirea ∼
∼
∼
indicilor corespunz˘ atori numerot˘arii globale M respectiv N , pe baza informat¸iilor din IDEF 2.3. ad˘ augarea termenilor din k ¸si p la valorile anterioare din R ¸si P ∼
∼
dup˘a regula
∼
∼
Rmn = Rmn + kij Pm = Pm + Pi . ˆIn eventualitatea c˘ a matricele k ¸si p au fost alc˘atuite anterior ¸si ret¸inute ∼
∼
ˆın memoria auxiliar˘ a ˆın pasul 2.1 se realizeaz˘ a nu alc˘atuirea ci citirea acestora de pe suportul unde au fost memorate. Informat¸iile din tabloul IDEF sunt suficiente pentru realizarea asambl˘ arii ¸si ˆın cazul cˆ and num˘ arul gradelor de libertate ˆın nod este diferit de unu. Vom presupune ˆın cele ce urmeaz˘a c˘a:
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
57
(i) num˘ arul de grade de libertate este acela¸si ˆın toate nodurile structurii (ii) ˆın fiecare nod al structurii, parcurgerea GL la numerotare se face ˆın aceea¸si ordine (iii) ˆın fiecare nod al EF numerotarea (local˘a) a GL este f˘acut˘ a ˆın aceea¸si ordine ca ¸si numerotarea global˘ a. Satisfacerea ultimelor dou˘ a condit¸ii, conduce la stabilirea unei corespondent¸e ˆıntre numerot˘arile local˘ a ¸si global˘ a ale gradelor de libertate.
Figura 2.14. S˘ a relu˘ am structura cu numerotarea nodurilor din figura 2.13 ¸si tabloul IDEF anterior. Presupunem c˘a ˆın fiecare nod exist˘a trei GL, aferente deplas˘ arilor liniare u, v ¸si rotirii ϕ. ˆIn numerotarea local˘ a (figura 2.14.b), ˆın fiecare nod (L = 1, 2) GL sunt numerotate ˆın ordinea ul , vl , ϕl rezultˆ and pentru elementul finit vectorul deplas˘ ari nodale elemental d : ∼
d=
∼
u1 v1 ϕ1 u2 v2 ϕ2
1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6
(indici locali)
nr. nod local (L) numerotare GL/nod numerotare GL/EF (local)
58
Capitolul 2
ˆIn numerotarea global˘ a (figura 2.14.a) pentru nodul K = 1, . . . , 4, gradele de libertate sunt parcurse ˆın ordinea uk , vk , ϕk . Vectorul deplas˘ari globale D, ∼ cont¸ine GL ˆın ordinea numerot˘arii globale a nodurilor, iar ˆın cadrul nodului, ˆın ordinea parcurgerii GL pe nod: (indici globali) D = u1 v1 ϕ1 . . . uk vk ϕk . . . u4 v4 ϕk ∼
1 1 2 1 2
... 3 ... 3 ...
K 1 2 3 3K−2 3K−1 3K
... ... ...
4 1 2 3 10 11 12
Nr. nod global K numerotare GL/nod numerotare GL/struct. (global)
ˆIntre numerot˘arile locale (pe EF) ¸si globale (pe structur˘a) se pot stabili corespondent¸ele din tabloul urm˘ator:
Prin urmare, dac˘ a se cunoa¸ste corespondent¸a ˆıntre numerotarea local˘a L ¸si cea global˘ a K a nodului, corespondent¸˘a precizat˘ a ˆın tabloul IDEF, se poate stabili u¸sor corespondent¸a ˆıntre numerotarea local˘a ¸si cea global˘ a a gradelor de libertate. Aceasta este ˆıns˘ a chiar corespondent¸a ˆıntre liniile/coloanele din k , respectiv p , ¸si liniile/coloanele din R, respectiv P (i, j − m, n). ∼
∼
∼
∼
Este convenabil ca aceast˘ a corespondent¸˘a s˘ a fie precizat˘ a ˆıntr-un vector care va fi notat KOR, ata¸sat matricelor k respectiv p , avˆand un num˘ ar de ∼
∼
elemente egale cu cel al gradelor de libertate pe EF. Utilitatea lui este deosebit˘a mai ales cˆ and numerotarea GL pe nod ˆın sistemul local difer˘a de cea din sistemul general - situat¸ie rezolvabil˘ a cu un algoritm put¸in diferit. ˆIn acest fel, pasul 2.2 din algoritmul anterior descris are ca rezultat alc˘atuirea vectorului de corespondent¸˘ a KOR. Subrutina ASARP (figura 2.15) realizeaz˘ a, pe baza algoritmului descris, asamblarea matricei de rigiditate global˘ a R ¸si vectorul fort¸e nodale P pentru ∼ ∼ un caz general, ˆın care s-au presupus date:
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
59
- num˘ arul de elemente finite ˆın structur˘a: NE - num˘ arul de noduri ale ˆıntregii structuri: NODS - num˘ arul de noduri/EF: NODE - num˘ arul de grade de libertate/nod: LIBNO - matricea k , avˆand LIBEL linii ¸si coloane alc˘atuit˘ a de subrutina numit˘ a ∼ RIGEL ¸si cont¸inut˘ a ˆın tabloul RE - vectorul p , stabilit de subrutina FORTE, avˆand LIBEL elemente, ˆın ∼
tabloul PE - tabloul de descriere a elementelor finite, IDEF, avˆand NE linii ¸si NODE coloane.
!
1 !
!
21 22
SUBROUTINE ASARP (NE) COMMON ... R(1,1),P(1),RE(1,1),PE(1),IDEF(1,1) 1NODE,NODS,LIBNO... LIBEL=NODE*LIBNO ! nr GL pe EF LIBST=NODS*LIBNO ! nr GL pe structura Initializari DO 1 I=1,LIBST P(I)=0 DO 1 J=1,LIBST R(I,J)=0 ! Parcurge elementele finite DO 2 NEL=1,NE ! EF curent Alcatuieste RE si PE CALL RIGEL (NEL) CALL FORTE (NEL) Alcatuieste vectorul corespondenta KOR L=0 DO 22 N=1,NODE ! parcurge noduri/EF NOD=IDEF(NEL,N) ! numar nod global LE=(NOD-1)*LIBNO ! indice anterior in R DO 21 LL=1,LIBNO L=L+1 LE=LE+1 KOR(L)=LE CONTINUE
60 !
23 2
Capitolul 2 Adauga RE si PE la R si P DO 23 J=1,LIBEL ! coloana in RE, linie in PE N=KOR(J) ! coloana in R, linie in P P(N)=P(N)+PE(J) DO 23 I=1,LIBEL M=KOR(I) R(M,N)=R(M,N)+RE(I,J) CONTINUE RETURN END
Figura 2.15. Subrutina ASARP pentru alc˘atuirea matricei de rigiditate global˘ a R ∼
Matricea de rigiditate global˘ a este alc˘atuit˘ a ˆın tabloul R (cu LIBST linii ¸si coloane) iar vectorul ˆınc˘ arc˘ ari nodale al structurii ˆın tabloul P (cu LIBST linii).
2.2.5
Introducerea condit¸iilor restrictive ˆın deplas˘ ari
Dup˘ a asamblarea matricii de rigiditate global˘ a ¸si a vectorului fort¸e nodale ale structurii se obt¸ine sistemul rezolvant (2.20) R D = P. ∼ ∼
∼
Analizˆand propriet˘a¸tile matricilor de rigiditate elementale k s-a ar˘ atat c˘a ∼ acestea sunt matrici singulare. Matricea de rigiditate global˘ a R, obt¸inut˘ a din ∼ asamblarea acestora, este la rˆ andul ei o matrice singular˘ a. Semnificat¸ia fizic˘ a a acestei singularit˘a¸ti este aceea c˘a sub act¸iunile exterioare, structura poate efectua deplas˘ari de corp rigid. Pentru a elimina singularitatea, este necesar s˘ a se impun˘a condit¸iile restrictive de rezemare. Cˆ and formularea este f˘acut˘ a ˆın deplas˘ari, aceste condit¸ii revin la precizarea valorilor unor deplas˘ari pe direct¸iile anumitor grade de libertate. Num˘arul ¸si direct¸iile pe care se impun deplas˘arile trebuie s˘ a fie suficiente pentru a suprima mi¸scarea de corp rigid. Exist˘ a mai multe posibilit˘ a¸ti de tratare a depl˘ as˘ arilor impuse ˆın algoritmii specifici MEF. Deoarece condit¸iile se impun individual, pentru fiecare grad de libertate cu deplas˘ari prescrise, ne vom referi ˆın cele ce urmeaz˘a la o singur˘a condit¸ie.
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
61
S˘ a presupunem c˘ a sistemul de ecuat¸ii (cu matricea simetric˘a) este:
R11 R21 R31 R41
R12 R22 R32 R42
R13 R23 R33 R43
R14 D1 R24 D2 R34 D3 R44 D4
P1 P2 = P3 P4
¸si c˘ a deplasarea D2 este prescris˘a, avˆand valoarea D2∗ . (i) Deplasarea D2 fiind dat˘ a, num˘ arul de necunoscute se reduce cu unu. Termenii liberi Pj , j 6= 2 se modific˘ a prin includerea contribut¸iei deplas˘arii and D2 = D2∗ , rezultˆ Pj∗ = Pj − Rj2 · D2∗ iar ecuat¸ia a doua, care exprim˘ a echilibrul pe direct¸ia gradului de libertate doi, este suprimat˘ a din sistem. Ea serve¸ste, ˆın faza final˘ a, la stabilirea react¸iunii pe direct¸ia deplas˘arii D2 . ˆIn acest fel, sistemul nou obt¸inut are o necunoscut˘a mai put¸in, linia ¸si coloana aferente deplas˘arii impuse fiind eliminate. El include ˆın termenii liberi efectul deplas˘arii impuse. Procedeul implic˘ a un num˘ ar foarte mare de operat¸ii pentru rearanjarea matricilor dup˘a suprimarea liniei/coloanei, de¸si prezint˘a avantajul reducerii dimensiunilor sistemului. (ii) Operat¸iile de rearanjare pot fi suprimate dac˘ a: - se atribuie termenului liber valoarea deplas˘arii impuse, adic˘ a P2∗ = D2 ; - se anuleaz˘ a toate elementele liniei 2 din R (R2j = 0, j 6= 2), exceptˆand elementul de pe diagonala principal˘a, c˘aruia i se atribuie valoarea 1 (R22 = 1). ˆIn urma acestor operat¸ii ecuat¸ia aferent˘a GL cu deplas˘ari impuse este D2 = D2∗ , adic˘ a tocmai condit¸ia cerut˘ a. Operat¸iile descrise distrug simetria sistemului. Pentru ment¸inerea simetriei este necesar a efectua ˆınc˘ a: - corectarea membrului doi corespunz˘ator deplas˘arii impuse ˆın toate ecuat¸iile j 6= 2 Pj∗ = Pj − RD2∗ ; - anularea coloanei aferent˘a deplas˘arii impuse, Rj2 = 0, exceptˆand j = 2 (ˆın caz general, Rjj ). (iii) Cu toate c˘ a num˘ arul operat¸iilor este incomparabil mai mic, procedeul al doilea implic˘ a ˆınc˘ a operat¸ii care pot fi eliminate. ˆIn aceast˘ a idee se poate proceda astfel:
62
Capitolul 2
- se ˆınmult¸e¸ste elementul de pe diagonal˘ a al matricii R cu o constant˘a foarte mare, de obicei ≥ 1010 ∗ R22 = 1010 · R22
- se ˆınlocuie¸ste termenul liber P2 cu ∗ P2∗ = R22 D2∗ .
Restul elementelor ˆın R ¸si P r˘ amˆ an neschimbate. Dup˘ a rezolvare, din ∼ ∼ ∗ ∼ ecuat¸ia aferent˘ a deplas˘arii impuse rezult˘ a D2 = D2 , deoarece influent¸a termenilor R2j Dj , j 6= 2 este neglijabil˘a ˆın ecuat¸ie. ˆIn acest fel este ment¸inut˘ a simetria sistemului, iar ecuat¸ia include deplasarea impus˘a. Pa¸sii descri¸si ˆın fiecare din procedeele analizate se repet˘a pentru fiecare deplasare impus˘a, dup˘a care se rezolv˘a sistemul de ecuat¸ii. Algoritmii se particularizeaz˘ a f˘ar˘ a dificult˘a¸ti cˆ and D1∗ = 0, reducˆandu-se o parte din operat¸iile specifice procedeelor (i) ¸si (ii).
2.3 2.3.1
Aproximarea cˆ ampului deplas˘ arilor pe elementul finit Generalit˘ a¸ti
A¸sa cum s-a ar˘ atat la 2.1.2, conceptul de baz˘ a al MEF ˆıl constituie aproximarea pe subdomenii de dimensiuni ¸si forme convenabile - elemente finite a funct¸iilor care caracterizeaz˘ a starea de solicitare. Odat˘ a determinate gradele de libertate particulare, cum sunt deplas˘arile modale asociate unui element finit, funct¸iile de interpolare numite ¸si funct¸ii de form˘ a precizeaz˘ a ˆın mod unic valoarea funct¸iei necunoscute ˆın ˆıntreg domeniu al EF. Ca funct¸ii de interpolare se folosesc aproape exclusiv polinoame algebrice, datorit˘ a formei lor simple, a simplit˘a¸tii operat¸iilor de derivare sau integrare a acestora, precum ¸si datorit˘ a posibilit˘ a¸tilor pe care acestea le ofer˘a atunci cˆand se urm˘are¸ste ˆımbun˘at˘ a¸tirea aproxim˘arii. Dintre polinoamele clasice de interpolare sunt folosite uneori polinoamele Lagrange ¸si Hermite. Primele au dezavantajul c˘ a reclam˘ a introducerea unor noduri ˆın interiorul domeniului pe care se face aproximarea, noduri care practic nu intervin ˆın operat¸ia de asamblare dar necesit˘ a operat¸ii suplimentare de ”eliminare” ˆıntr-o faz˘a premerg˘ atoare asambl˘ arii. Polinoamele Hermite sunt utilizate la elemente finite
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
63
pentru probleme monodimensionale, bidimensionale (patrulatere) sau tridimensionale (hexaedri), cˆ and sunt adoptate ca ¸si grade de libertate nodale derivate ale deplas˘arilor. Cel mai adesea, aproximarea se face cu a¸sa-numitele funct¸ii ”serendip”, generate pentru fiecare element finit ˆın parte, pe baz˘ a de observat¸ie ¸si ˆıncerc˘ ari1 . Metodologia de stabilire a acestora o prezent˘am ˆın cele ce urmeaz˘a.
2.3.2
Funct¸ii de interpolare (funct¸ii de form˘ a)
Calea general˘ a de obt¸inere a funct¸iilor de aproximare, cont¸ine dou˘ a etape esent¸iale” (1) Alegerea formei polinomului de interpolare, cu un num˘ ar de coeficient¸i (parametri) nedeterminat¸i. (2) Stabilirea coeficient¸ilor polinomului din condit¸iile pe care polinomul trebuie s˘ a le satisfac˘ a ˆın noduri ¸si anume, pentru valorile particulare ale coordonatelor spat¸iale (x, y, z) aferente unui nod, funct¸ia de aproximare trebuie s˘ a ia valoarea deplas˘arii nodale respective. Cˆ and ˆın nod sunt considerate ca ¸si grade de libertate ¸si derivate ale deplas˘arii, condit¸iile trebuiesc satisf˘acute ¸si de derivatele funct¸iei. Aceste condit¸ii le vom numi condit¸ii de compatibilitate a funct¸iei de aproximare cu deplas˘ arile nodale. Pentru un element finit cu L grade de libertate nodale, num˘ arul condit¸iilor de compatibilitate este L; pentru satisfacerea acestora, num˘ arul coeficient¸ilor nedeterminat¸i ˆın polinomul de interpolare ales trebuie s˘ a fie egal cu L. O aproximare satisf˘ ac˘ atoare se obt¸ine adoptˆ and pentru funct¸ie polinoame complete de un anumit grad. Dac˘a acest lucru nu poate fi realizat, dat˘ a fiind condit¸ia ca num˘ arul termenilor s˘ a fie egal cu cel al gradelor de libertate pe element, este necesar a satisface cerint¸a mai put¸in restrictiv˘ a ca polinomul incomplet de grad n s˘ a cont¸in˘ a tot¸i termenii de grad mai mic decˆ at n. Justificarea acestei condit¸ii o vom da ˆın paragraful urm˘ator. La alegerea termenilor polinomiali ˆın probleme bi ¸si tridimensionale sunt deosebit de utile reprezent˘arile acestora date de triunghiul respectiv tetraedrul lui Pascal (figura 2.16). Fie un element finit plan cu N N noduri ¸si u(x, y) o deplasare. Gradele de libertate ˆıntr-un nod - fie nodul l1 - pot fi deplas˘ari sau derivate, adic˘ a u1 , u1,x , u1,y , u1,xx , . . . Admitem c˘ a acestea sunt grupate ˆın vectorul deplas˘ari nodale al elemen1
Denumirea provine de la povestirea ”Cei trei print¸i ai Serendipului”, care fac descoperiri nea¸steptate ¸si norocoase.
64
Capitolul 2
Figura 2.16. Triunghiul lui Pascal tului d ˆıntr-o ordine convenit˘ a: d = u1 u1,x u1,y . . . = d1 d2 . . . ∼
dL
,
(2.21)
di putˆ and reprezenta o deplasare ˆıntr-un nod sau derivat˘a a acesteia. Num˘arul total de GL pe element fiind L, rezult˘ a c˘a funct¸ia de aproximare a deplas˘arii pe EF trebuie s˘ a aib˘ a structura: u(x, y) =
L X
αi Pi (x, y)
(2.22)
i=1
unde Pi (x, y) este un termen polinomial de forma xr y s (r, s ≥ 0) iar αi coeficientul termenului. Cele L condit¸ii de compatibilitate nodal˘ a alc˘atuiesc un sistem algebric, ˆın care necunoscute sunt coeficient¸ii αi (i = 1, . . . , L). Pentru nodul 1 de exemplu, de coordonate (x1 , y1 ), condit¸iile pentru u1 = d1 respectiv u1,x = d2 au forma: X u(x1 , y1 ) = αi Pi (x1 , y1 ) = d1 (2.23) X u,x (x1 , y1 ) = αi Pi,x (x1 , y1 ) = d2 .
Admit¸ˆ and c˘ a sistemul de ecuat¸ii este nesingular, din rezolvarea acestuia se obt¸in coeficient¸ii αi exprimat¸i ˆın funct¸ie de coordonatele nodurilor ¸si deplas˘ arile di pe direct¸iile gradelor de libertate. ˆInlocuind αi ˆın (2.22) ¸si grupˆand
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
65
termenii dup˘a gradele de libertate se obt¸ine pentru funct¸ia de aproximare u(x, y) =
L X
Ni (x, y)di
(2.24)
i=1
ˆın care Ni (x, y) sunt funct¸iile de interpolare sau funct¸iile de form˘ a. Considerˆ and ˆın (2.24) dj = 1 ¸si dk = 0, k 6= j se obt¸ine u(x, y) = Nj (x, y), adic˘ a Nj (x, y) este funct¸ia de influent¸˘ a a gradului de libertate dj , ˆın deplasarea u(x, y) din punctul curent. Un exemplu simplu al algoritmului descris este cel realizat la 2.2.2(i). Forma de reprezentare (2.24) este mai potrivit˘a pentru formularea specific˘ a MEF. Ne punem problema, cum putem stabili direct funct¸iile de interpolare Ni , f˘ar˘ a a parcurge etapele descrise. Pentru aceasta s˘ a relu˘ am condit¸ia de compatibilitate cu deplasarea nodal˘ a dj , presupunˆ and c˘ a GL dj corespunde unei deplas˘ari din nodul k. Folosind reprezentarea (2.24) aceasta se scrie: u(xk , yk ) =
L X
Ni (xk , yk )di = dj
i=1
relat¸ie care este adev˘arat˘ a doar dac˘ a: 1 dac˘ a i=j Ni (xk , yk ) = 0 dac˘ a i 6= j.
(2.25)
a Ni = X Dac˘a pentru Ni (x, y) se alege o structur˘a de forma (2.22), adic˘ αm Pm (x, y), se vede c˘ a aceasta trebuie s˘ a satisfac˘a L condit¸ii, deci trebuie ˆ s˘ a aib˘ a L termeni polinomiali, ca ¸si (2.22). In termenii liberi ai sistemului (2.23), vor trebui ˆıns˘ a introduse condit¸iile (2.25) (succesiv, pentru j = 1, 2, . . . , L). Se obt¸in astfel L sisteme de ecuat¸ii (cˆate unul pentru fiecare funct¸ie Nj (x, y)), care difer˘ a doar prin termenii liberi. (3) La stabilirea funct¸iilor de interpolare, este convenabil s˘ a folosim sisteme de axe locale, adecvate formei geometrice a elementului finit, care permit o formulare mai simpl˘a ¸si, uneori, o interpretare mai simpl˘a a rezultatelor ¸si a calit˘ a¸tii interpol˘ arii. Vom ilustra modul de stabilire a funct¸iilor de interpolare ˆın cˆateva aplicat¸ii. (i) Pentru cazul unidimensional, convine adoptarea unui sistem de coordonate adimensionale, cu originea la mijlocul intervalului cu valori ξ = ±1 ˆın extremit˘ a¸tile segmentului (figura 2.17). Leg˘ atura ˆıntre sistemele de coordonate este dat˘ a de relat¸iile de transformare x − x0 , x = x0 + aξ. (2.26) ξ= a
66
Capitolul 2
Figura 2.17. Aproximare monodimensional˘a Observˆ and c˘ a dx = adξ, operat¸iile de derivare ¸si integrare ˆın sistemul general ¸si local sunt legate prin relat¸iile 1 dξ = F,ξ dx a Z x2 Z 1 F dx = a f (ξ)dξ.
F,x = F,ξ ·
x1
(2.27)
−1
Referindu-ne la figura 2.8 ¸si observˆ and c˘a, ˆın acest caz rezult˘ a x0 = a, l = 2a, relat¸iile stabilite pentru interpolare liniar˘ a (2.10.b) se scriu coordonate adimensionalizate: N1 = 1 −
x a + aξ 1 =1− = (1 − ξ) l 2a 2
a + aξ 1 x = = (1 + ξ) l 2a 2 care pot fi redate concis printr-o singur˘a relat¸ie N2 =
Ni = (deoarece ξ1 = −1, ξ2 = 1).
1 (1 + ξi ξ) 2
(2.28)
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
67
Obt¸inem o aproximare mai bun˘a pentru deplasarea u dac˘ a ˆın vectorul deplas˘ari nodale includem ¸si grade de libertate reprezentate de prima derivat˘a a funct¸iei. Suntem condu¸si astfel la a alege (figura 2.17): d = u1 u1,x u2 u2,x ∼
iar pentru deplasarea u(ξ) o expresie depinˆand de cele patru grade de libertate: u(ξ) = N1 u1 + N2 u1,x + N3 u2 + N4 u2,x
(2.29)
unde, evident Ni = Ni (ξ). Trebuie observat c˘ a alegerea ca ¸si grade de libertate a derivatelor funct¸iei nu are ca scop doar ˆımbun˘at˘ a¸tirea aproxim˘arii. Sunt situat¸ii cˆand condit¸iile de continuitate, a¸sa cum vom vedea ˆıntr-un paragraf ulterior, impun ca obligatorie aceast˘ a alegere. T ¸ inˆ and seama de preciz˘ arile anterioare, funct¸ia Ni (ξ) trebuie s˘ a aib˘ a structura Ni (ξ) = α0 + α1 ξ + α2 ξ 2 + α3 ξ 3 , (2.30) adic˘ a un polinom de gradul trei cu patru coeficient¸i. Condit¸iile de compatibilitate cu deplas˘arile nodale, care determin˘a coeficient¸ii interpol˘arii sunt: u(−1) = u1
u(1) = u2
u,x (−1) = u1,x
u,x (1) = u2,x
(a) care conduc la condit¸ii pentru Ni (ξ) exprimate atˆat ˆın funct¸ia ˆıns˘ a¸si cˆat ¸si ˆın derivate ale acesteia. S˘ a exemplific˘ am prin stabilirea funct¸iilor N1 ¸si N2 . Funct¸ia N1 va trebui s˘ a satisfac˘a condit¸ia ca pe direct¸ia lui u1 (deci N1 (−1)) s˘ a aib˘ a valoarea 1, iar pe direct¸iile u2 , u1,x ¸si u2,x s˘ a fie nul˘ a. Observˆ and c˘ a 1 1 Ni,x = Ni,ξ = (α1 + 2α2 ξ + 3α3 ξ 2 ) a a aceste condit¸ii se scriu N1 (−1) = α0 − α1 + α2 − α3 = 1 N1,x (−1) =
1 (α1 − 2α2 + 3α3 ) = 0 a
N1 (1) = α0 + α1 + α2 + α3 = 0 N1,x (1) =
1 (α1 + 2α2 + 3α3 ) = 0 a
(0) (1) (b) (0) (0)
68
Capitolul 2
de unde α0 = 1/2, α1 = −3/4, α2 = 0, α3 = 1/4 ¸si N1 (ξ) =
1 1 1 3 − ξ + ξ 3 = (1 − ξ)2 (2 + ξ). 2 4 4 4
Pentru stabilirea funct¸iei N2 , condit¸iile (b) au termenii din membrii doi indicat¸i ˆın parantez˘ a, rezultˆ and α0 = −α1 = −α2 = α3 = a/4, ¸si deci N2 (ξ) =
a a (1 − ξ − ξ 2 + ξ 3 ) = (1 − ξ)2 (ξ + 1). 4 4
Polinoamele de interpolare obt¸inute sunt polinoamele Hermite de gradul trei. Relat¸iile pentru N1 , N2 cˆat ¸si pentru N3 , N4 a c˘aror stabilire se face similar, conduc la exprimarea concis˘ a a funct¸iilor de interpolare: 1 Nj (ξ) = (1 + ξi ξ)2 (2 − ξi ξ) pentru N1 ¸si N3 4 a Nj (ξ) = (1 + ξi ξ)2 (ξ − ξi ) 4
(2.31)
pentru N2 ¸si N4
unde ξi este abscisa punctului ˆın care este precizat˘ a deplasarea pentru care se determin˘a Nj . Elementele finite la care se folosesc pentru interpolare polinoame de grad ridicat sunt numite elemente finite de ordin superior. (ii) ˆIn cazul bidimensional, cˆand gradele de libertate nodale sunt doar deplas˘ari (nu ¸si derivate), funct¸iile deplasare cˆamp au reprezentarea
Figura 2.18. Elemente finite plane
u(x, y) =
n X i=1
Ni (x, y)ui
(2.32)
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
69
unde n este num˘ arul de noduri. Cˆ and nodurile sunt la colt¸uri (figura 2.18), forma convenabil˘ a pentru Ni (x, y) este - ˆın triunghi: Ni (x, y) = α0 + α1 x + α2 y - ˆın dreptunghi: Ni (x, y) = α0 + α1 x + α2 y + α3 xy, avˆand num˘ arul de parametri αi necesari. Condit¸iile u(xk , yk ) = uk conduc la relat¸iile (2.25) pentru determinarea acestor parametri. Este indicat˘ a ¸si ˆın acest caz folosirea unor sisteme de coordonate locale, legate de geometria elementului finit. Pentru dreptunghi (figura 2.19), se extind la dou˘ a dimensiuni relat¸iile stabilite ˆın caz unidimensional ¸si deci funct¸iile de interpolare Ni se iau de Figura 2.19. Coordonate adimensioforma nale ˆın dreptunghi Ni (ξ, η) = α0 +α1 ξ+α2 η+α3 ξη. (2.33) Pentru stabilirea, de exemplu, a funct¸iei N1 (ξ, η), condit¸iile (2.25) se scriu: N1 (−1, −1) = α0 − α1 − α2 + α3 = 1 N1 (1, −1) = α0 + α1 − α2 − α3 = 0 N1 (1, 1) = α0 + α1 + α2 + α3 = 0 N1 (−1, 1) = α0 − α1 + α2 − α3 = 0 de unde sunt precizate α0 , . . . , α3 ¸si apoi 1 N1 (ξ, η) = (1 − ξ)(1 − η). 4 ˆIn general, pentru Ni se obt¸ine 1 Ni (ξ, η) = (1 + ξi ξ)(1 + ηi η) 4
(2.34)
ˆIn cazul elementelor dreptunghiulare se pot folosi polinoame de interpolare de forma: N (ξ, η) = Nx (ξ) · Ny (η) (2.35) ˆın care Nx (ξ), Ny (η) sunt polinoame unidimensionale de acela¸si grad. Cˆ and Nx , Ny sunt liniare, polinomul (2.35) se nume¸ste biliniar; cˆand sunt de gradul
70
Capitolul 2
doi - bip˘ atrate, de gradul trei - bicubice etc. Termenii inclu¸si ˆın aceste polinoame pot fi identificat¸i ˆın figura 2.20. Un polinom bicubic folosit cu rezultate foarte bune ˆın studiul pl˘ acilor ˆıncovoiate este alc˘atuit cu polinoamele Hermite ale interpol˘ arii monodimensionale (relat¸ia (2.31)).
Figura 2.20. Polinoame biliniar, bip˘ atrat,... (iii) Pentru probleme ˆın trei dimensiuni, metodologia stabilit˘ a pentru problemele bidimensionale se extinde f˘ar˘ a dificult˘a¸ti.
2.3.3
Condit¸ii pe care trebuie s˘ a le satisfac˘ a funct¸iile de aproximare
Alegerea funct¸iilor de aproximare a cˆampului deplas˘arilor pe elementul finit trebuie f˘acut˘ a astfel ˆıncˆ at s˘ a fie satisf˘acute condit¸ii care rezult˘ a din ˆıns˘ a¸si tehnica de stabilire a polinoamelor de interpolare, din propriet˘a¸tile funct¸iilor reale pe care le aproximeaz˘a, precum ¸si din cerint¸ele de convergent¸˘a a metodei elementelor finite. (1) Pentru a satisface ˆın mod unic condit¸iile de compatibilitate nodal˘ a, num˘ arul coeficient¸ilor αi din polinom trebuie s˘ a fie egal cu num˘ arul gradelor de libertate de pe elementul finit. (2) Deoarece starea de deformare nu depinde de orientarea sistemului de axe, funct¸iile de interpolare trebuie astfel alese ˆıncˆ at s˘ a satisfac˘a acest deziderat. Aceast˘a condit¸ie este cunoscut˘a sub numele de condit¸ia de invariant¸˘ a sau de izotropie geometric˘ a. ˆIn exemplul pe care-l vom comenta (figura 2.21) ne limit˘ am la cazul bidimensional. ˆIn baza condit¸iei de izotropie geometric˘ a, nici una din cele dou˘ a direct¸ii - x
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
71
sau y respectiv ξ sau η nu trebuie s˘ a fie favorizat˘ a de alegerea f˘acut˘ a ˆın termenii polinomului de interpolare. S˘ a presupunem c˘a pentru deplasarea u(x, y) pe un element dreptunghiular ABCD (figura 2.21) s-a adoptat o interpolare cu funct¸ia: u(ξ, η) = a0 + a1ξ + a2η + a3 ξ 2 .
Figura 2.21. Cu sistemul local din figura 2.21.a u variaz˘ a liniar pe latura AD ¸si p˘ atratic pe latura AB. Dac˘a sistemul de axe este ales ca ˆın figura 2.21.b, legile de variat¸ie se schimb˘ a, diferind calitativ pe cele dou˘ a laturi. Prin urmare, reprezentarea st˘ arii de solicitare nu satisface condit¸ia de izotropie geometric˘ a, depinzˆand de orientarea axelor. Condit¸ia de invariant¸˘ a geometric˘ a este satisf˘acut˘ a dac˘ a se folose¸ste un polinom complet, indiferent de sistemul de coordonate ˆın care se lucreaz˘ a. Cˆ and se lucreaz˘ a cu sisteme de axe locale, sisteme care sunt legate de elementul finit (care se ”mi¸sc˘ a” odat˘ a cu acesta), polinomul trebuie s˘ a cont¸in˘ a termeni simetrici din triunghiul lui Pascal, putˆ and fi ¸si incomplet. Alte condit¸ii pe care funct¸iile de interpolare trebuie s˘ a le satisfac˘a rezult˘ a din analiza convergent¸ei metodei. Solut¸ia unei probleme rezolvate cu MEF este o solut¸ie aproximativ˘ a, care reprezint˘ a cu un anumit grad de abatere, solut¸ia exact˘a a acesteia. O funct¸ie de stare a continuumului, definit˘a pe ˆıntreg domeniul acestuia, este reprezentat˘a aproximativ ˆın cadrul metodei prin funct¸ii definite pe subdomenii, depinzˆand de un num˘ ar finit de parametri. La limit˘ a, cˆand dimensiunile elementelor finite tind spre zero, abaterile fat¸˘ a de solut¸ia exact˘a pot s˘ a tind˘ a spre zero sau nu. ˆIn primul caz, o succesiune de solut¸ii aproximative obt¸inute cu ret¸ele de discretizare din ce ˆın ce mai dense converge spre solut¸ia exact˘a; ˆın cel de-
72
Capitolul 2
al doilea caz, secvent¸a poate fi divergent sau poate converge spre o solut¸ie inexact˘a. Pentru ca solut¸ia aproximativ˘ a s˘ a convearg˘ a spre solut¸ia exact˘ a cˆand dimensiunile elementelor finite sunt f˘acute din ce ˆın ce mai mici (ret¸eaua este rafinat˘a), este necesar ca modelarea prin elemente finite s˘ a poat˘ a reprezenta, la limit˘ a, caracteristicile modelului real. Indicat¸ii asupra condit¸iilor pe care trebuie s˘ a le satisfac˘a modelul discret introdus prin MEF, astfel ˆıncˆ at s˘ a fie posibil˘ a aceast˘ a reprezentare, pot fi obt¸inute din analiza relat¸iei fundamentale a formul˘ arii variat¸ionale, relat¸ie care exprim˘ a principiul lucrului mecanic virtual (relat¸ia (2.6)), Z Z δ ε t E ε dV = δU t b dV (2.36) ∼ ∼ ∼
V
∼ ∼
V
transformat˘a dup˘a discretizarea ˆın NE elemente finite ˆın (2.7): NE Z X e=1 V
e
t
δ ε E ε dV = ∼ ∼ ∼
NE Z X e=1 V
δU t b dV.
(2.37)
∼ ∼
e
M˘arimile fizice ale mediului deformabil care intervin ˆın E ¸si ˆınc˘ arc˘ arile ∼
b sunt presupuse cunoscute (date), iar surprinderea lor ˆın formulare poate ∼ fi realizat˘ a cu o acuratet˘ a care s˘ a satisfac˘a exigent¸ele problemei. M˘arimile necunoscute care apar ˆın (2.36), pe care metoda le aproximeaz˘a pe subdomenii ˆın (2.37), sunt deplas˘arile U ¸si deformat¸iile ε , reprezentate de derivate ale ∼ ∼ deplas˘arilor. A¸sadar, cerint¸a ca modelarea prin MEF s˘ a reprezinte la limit˘ a propriet˘a¸tile modelului real, revine la a cere ca aproximarea deplas˘ arii U ¸si ∼ a derivatelor lor s˘ a fie astfel realizat˘ a ˆıncˆ at acestea s˘ a poat˘ a reprezenta solut¸ia exact˘ a atˆ at ˆın interiorul elementelor finite cˆ at ¸si ˆın lungul frontierelor dintre acestea, atunci cˆand dimensiunile elementelor finite tind spre zero. (3) Integranzii din relat¸ia (2.36) sunt funct¸ii de coordonatele (x, y, z), modificˆ andu-¸si valoarea de la un punct la altul. ˆIntr-un anumit punct ˆıns˘ a, de coordonate fixate, valorile lor sunt constante. Trecerea la limit˘ a cu Ve tinzˆ and spre zero ˆın relat¸ia (2.37), obt¸inut˘ a prin modelarea MEF, este echivalent˘a cu reducerea la un punct. Funct¸iile de aproximare care apar ˆın integranzi, definite pe Ve , trebuie atunci s˘ a aib˘ a o astfel de structur˘ a ˆıncˆ at s˘ a poat˘ a reprezenta valorile constante pe care le iau expresiile reale ale deplas˘arilor U ¸si deformat¸iilor ε ˆın punctul respectiv. Rezult˘a ∼ ∼ c˘a pentru asigurarea convergent¸ei solut¸iei obt¸inut˘ a cu MEF, este
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
73
necesar ca funct¸iile de interpolare s˘ a cont¸in˘ a termeni care s˘ a poat˘ a reprezenta deplas˘ arile de corp rigid ¸si starea de deformare constant˘ a pe element. Aceste condit¸ii sunt numite condit¸ii de completitudine, din ele rezultˆ and configurat¸ia minim˘a pe care trebuie s˘ a o aib˘ a polinoamele de interpolare. S˘ a presupunem c˘ a deplasarea u(x, y, z) este reprezentat˘a ˆın funct¸ie de deplas˘ arile nodale ui ale elementului finit prin relat¸ia X u= Ni (x, y, z) · ui i
ˆın care Ni sunt funct¸iile de interpolare. O deplasare u(x, y, z) = const = K este o deplasare de corp rigid (translat¸ie ˆın lungul axei x). Cum din u(x, y, z) = K rezult˘ a ui = K, condit¸ia ca u s˘ a fie constant se scrie cu relat¸ia anterioar˘ a X u=K Ni (x, y, z) = K, i
de unde rezult˘ a
X
Ni (x, y, z) = 1.
(2.38)
i
Dac˘a condit¸ia (2.38) nu este satisf˘acut˘ a, funct¸iile de interpolare nu pot reprezenta deplasarea de corp rigid. (4) Funct¸iile prin care este caracterizat˘ a starea de solicitare real˘ a a corpului, definite pe ˆıntreg domeniul acestuia, satisfac anumite condit¸ii de continuitate. Modelarea acestora prin funct¸ii definite pe fiecare subdomeniu rezultat din ˆımp˘ art¸irea ˆın elemente finite, pune problema asigur˘arii continuit˘ a¸tii atˆat ˆın interiorul fiec˘ arui element, cˆat ¸si pe frontierele dintre elemente. Polinoamele algebrice sunt funct¸ii continue pe domeniul lor de definit¸ie ¸si deci, alegerea sub form˘ a polinomial˘ a a funct¸iilor de aproximare a deplas˘ arilor asigur˘a continuitatea ˆın interiorul elementului finit. ˆIn ceea ce prive¸ste continuitatea interelemente, criteriile pe care trebuie s˘ a le satisfac˘a funct¸iile de aproximare rezult˘ a din condit¸ia ca integranzii din relat¸ia (2.36) s˘ a fie reprezentat¸i prin expresii integrabile. S˘ a analiz˘ am la ˆınceput continuitatea unei funct¸ii F definit˘a pe subdomenii ¸si a derivatelor acesteia (figura 2.22). Presupunem c˘a frontiera ˆıntre elementele finite este reprezentat˘ a de o fˆa¸sie cu l˘a¸timea ε, l˘a¸time care poate fi f˘acut˘ a oricˆ at de mic˘ a. Funct¸ia F (x) este continu˘ a la frontier˘ a, avˆand acelea¸si valori pe limitele din dreapta ¸si stˆ anga. Derivata F,x rezult˘ a ˆın cazul general discontinu˘ a; pe fˆa¸sia de l˘ a¸time ε ea poate fi racordat˘a cu o anumit˘ a curb˘a, a¸sa cum s-a f˘acut
74
Capitolul 2
ˆın figura 2.22.b. Derivata a doua F,xx este tot discontinu˘ a, iar cˆand ∆ tinde spre zero, derivata curbei de racordare tinde spre valoarea (−∞).
Figura 2.22. Continuitate pe frontiere de EF; n - ordin de derivare maxim ˆın (2.36) Funct¸iile F (x) ¸si F,x (x) sunt integrabile, ariile suprafet¸elor delimitate de curbele de pe subdomenii ¸si de pe zona de frontier˘ a putˆ and fi evaluate ˆın mod unic. Integrala din derivata a doua F,xx (x), ˆın schimb, nu are o valoare bine precizat˘ a, la calculul ariei intervenind de pe zona de frontier˘ a un termen (−ε∞), care pentru ε tinzˆ and spre zero are o valoare nedeterminat˘a. Acela¸si lucru se ˆıntˆ ampl˘ a cu derivatele de ordin mai mare decˆ at doi. Rezult˘a c˘ a ˆın integranzii din formularea variat¸ional˘ a (2.36), (2.37) pot s˘ a apar˘ a funct¸ii ˆın care s˘ a intervin˘a discontinuit˘ a¸ti de tipul celei din F,x , figura 2.22.b, condit¸ia de integrabilitate fiind satisf˘acut˘ a. Funct¸ii cu astfel de discontinuit˘ a¸ti pe frontier˘ a apar numai din derivarea unei funct¸ii continue (de tipul lui F - figura 2.22.a). Aceast˘a observat¸ie ne permite s˘ a enunt¸˘am urm˘atoarea regul˘ a privind continuitatea pe care trebuie s˘ a o satisfac˘a integranzii: dac˘ a ˆın
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
75
integranzii care apar ˆın formularea variat¸ional˘ a (2.36) intervine derivata de ordin n a unei funct¸ii definite pe subdomenii, pentru evaluarea ˆın mod unic a integralei este necesar ca derivata de ordinul n − 1 s˘ a fie continu˘ a pe frontier˘ a. ˆIn expresiile din (2.36) ordinul maxim de derivare apare ˆın ε , obt¸inut ∼ prin astfel de operat¸ii dun U . Prin urmare, condit¸iile de continuitate pe care ∼
trebuie s˘ a le satisfac˘ a deplas˘arile ¸si (eventual) derivatele acestora se vor obt¸ine din analiza expresiilor deformat¸iilor ε . Procedˆ and astfel rezult˘ a c˘a: ∼ • ˆın cazul problemelor spat¸iale sau plane, cˆand deformat¸iile se exprim˘ a prin derivate de ordinul ˆıntˆ ai ale deplas˘arilor εx = u,x , . . . , γxy = u,y + v,x , . . . deplas˘arile u, v, w trebuie s˘ a aib˘ a asigurat˘a continuitatea pe zona interelemente; • ˆın problemele de ˆıncovoiere (bare, pl˘ aci) unde deformat¸iile sunt date de ordinul doi ale deplas˘arii w, de exemplu εx = zχx = zw,xx atˆat s˘ ageata w cˆ at ¸si prima derivat˘a dup˘a normala la conturul elementului, adic˘ a w ¸si wn trebuie s˘ a fie continue pe frontiera ˆıntre elemente. Referindu-ne la continuitatea pe frontiera ˆıntre elemente trebuie s˘ a avem ˆın vedere atˆ at continuitatea din noduri, cˆat ¸si continuitatea ˆın lungul laturilor (suprafet¸elor, ˆın cazul spat¸ial). ˆIntrucˆ at continuitatea ˆın noduri se realizeaz˘ a cert pe direct¸iile gradelor de libertate nodale (unde deplas˘arile sau derivatele lor care intr˘ a ˆın lista gradelor de libertate au valori unice pentru toate elementele legate ˆın nod), pentru asigurarea condit¸iei cerute este necesar ca ˆın gradele de libertate ale nodurilor pe pe o latu˘ a s˘ a fie incluse cel put¸in: • ˆın problema plan˘ a sau spat¸ial˘a deplas˘arile de translat¸ie ale nodurilor ui , vi , wi • ˆın cazul ˆıncovoierii, deplasarea ¸si derivata ei dup˘a normal˘a adic˘ a wi ¸si wi,n , respectiv ˆın sistemul cartezian, wi , wi,x ¸si wi,y . Satisfacerea continuit˘ a¸tii ˆın noduri nu garanteaz˘a realizarea condit¸iei de continuitate ˆın tot lungul laturii (suprafet¸ei). Continuitatea unor funct¸ii (sau derivate) ˆın lungul unei frontiere se realizeaz˘ a doar dac˘ a expresiile acestora pe latura respectiv˘a (obt¸inute prin introducerea ecuat¸iei frontierei ˆın expresiile funct¸iilor de pe subdomeniile care se ˆıntˆalnesc pe latura respectiv˘a), depind numai de parametrii nodali (deplas˘ ari) din nodurile apart¸inˆ and acelei laturi.
76
Capitolul 2
Pentru a ar˘ ata acest lucru, ne referim la frontiera 2-4 ˆıntre cele dou˘ a elemente finite din figura 2.23. Pornind de la funct¸iile de aproximare ale fiec˘ aruia din cele dou˘ a elemente e, obt¸inem pe frontiera considerat˘a ex(e) presii ale deplas˘arii u24 ˆın care, s˘ a admitem mai ˆıntˆ ai c˘ a intervin toate deplas˘arile nodale ui ale elementului respectiv, adic˘ a: (1)
(1)
(2)
(2)
u24 = u24 (u1 , u2 , u4 )
Figura 2.23. Continuitate pe latur˘ a
u24 = u24 (u2 , u3 , u4 ) ˆIntrucˆ at u1 ¸si u3 pot varia independent, pentru valori arbitrare ale acestora (1) (2) rezult˘ a ˆın general u24 6= u24 . (e) Dac˘a ˆıns˘ a ˆın u24 apar doar deplas˘arile u2 ¸si u4 aferente nodurilor comune, cum aceste expresii sunt polinoame care depind de aceia¸si parametri, curbele lor de variat¸ie ˆın lungul laturii sunt identice. Elementele finite la care continuitatea cerut˘ a de formularea variat¸ional˘ a survine ˆın tot lungul unei frontiere ca o consecint¸˘ a a satisfacerii condit¸iilor de compatibilitate nodal˘ a (continuitate pe direct¸iile gradelor de libertate nodale), se numesc elemente finite conforme sau compatibile; ˆın caz contrar, ele sunt numite nonconforme sau incompatibile. Funct¸iile de aproximare care conduc la formul˘ ari ˆın care continuitatea interelemente cerut˘ a de formularea variat¸ional˘ a este asigurat˘a, se numesc, la rˆ andul lor funct¸ii conforme. Continuitatea cerut˘ a de formularea variat¸ional˘ a trebuie considerat˘a ca minimal˘ a. Alegerea ca ¸si grade de libertate a unor derivate de ordin mai mare decˆ at cel reclamat conduce la solut¸ii mai rapid convergente, dar introduce un num˘ ar de necunoscute mai mare. Asigurarea continuit˘ a¸tii interelemente este una dintre cele mai delicate probleme ale MEF ¸si nu ˆıntotdeauna poate fi obt¸inut˘ a cu eforturi de calcul rezonabile. De aceea se folosesc uneori elemente finite incompatibile, mai simplu de formulat, care dau solut¸ii convergente dac˘ a sunt satisf˘acute condit¸iile de completitudine. Acest lucru este explicat prin faptul c˘a integralele care intervin ˆın formularea variat¸ional˘ a discret˘ a (2.37) nu se efectueaz˘a decˆ at ˆın interiorul elementelor, excluzˆand frontierele, deci numai pe zone unde expresiile sunt integrabile. Prin ˆındesirea ret¸elei, punctele nodale (unde continuitatea cerut˘ a este asigurat˘a) sunt mai apropiate, iar diferent¸ele ˆıntre valorile
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
77
funct¸iilor de pe laturile adiacente se reduc. ˆIn astfel de situat¸ii nu exist˘a ˆıns˘ a certitudinea c˘ a limita spre care tinde solut¸ia este cea exact˘a. (5) Se demonstreaz˘ a c˘ a rapiditatea convergent¸ei solut¸iei obt¸inute cu MEF depinde de polinomul de grad cel mai mare folosit ˆın funct¸iile de interpolare. Un polinom complet de gradul n cont¸ine tot¸i termenii polinomiali de grad mai mic sau egal cu n. De exemplu, polinomul complet de gradul doi cont¸ine termenii: 1, x, y, x2 , xy, y 2 . Num˘ arul termenilor unui polinom complet de un grad dat este bine determinat. Acesta ˆıns˘ a nu coincide ˆın toate cazurile, pentru orice tip de element finit, cu num˘ arul gradelor de libertate nodale ale elementului. Rezult˘a c˘a nu este posibil ˆıntotdeauna s˘ a fie alese ca funct¸ii de interpolare polinoame complete. Oricum, dac˘ a ˆın polinom se aleg termeni de gradul n, este indicat ca cel put¸in termenii pˆ an˘ a la gradul n − 1 s˘ a fie complet¸i.
2.4
Rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii algebrice
ˆIn rezolvarea unei probleme cu metoda elementelor finite se ajunge ˆın mod curent la sisteme de ecuat¸ii algebrice ˆın care num˘ arul necunoscutelor poate fi de ordinul miilor. Num˘ aril operat¸iilor necesare pentru rezolvarea acestora este apreciabil, iar memoria necesar˘a stoc˘arii volumului foarte mare de date dep˘ a¸se¸ste capacitatea memoriei operative (notat˘ a ˆın continuare cu MOP) a calculatoarelor folosite. Preocup˘ arile ˆın scopul elabor˘ arii unor algoritmi care s˘ a reduc˘a num˘ arul operat¸iilor ¸si s˘ a fac˘a posibil˘ a rezolvarea cu capacitatea MOP precum ¸si a memoriilor auxiliare (de exemplu, pe disc, - notat˘ a ˆın cele ce urmeaz˘a cu MAUX), au exploatat, ˆın primul rˆ and, dou˘ a caracteristici ale matricii de rigiditate: simetria ¸si caracterul de matrice slab populat˘ a (sau matrice rar˘ a), cu multe elemente nule. Ne vom referi ˆın cele ce urmeaz˘a la un sistem de ecuat¸ii tipic R·X =T ∼
∼
∼
(2.39)
unde: R este matricea coeficient¸ilor adic˘ a, ˆın MEF formulat˘ a ˆın deplas˘ari, matri∼ cea de rigiditate global˘ a a structurii X vectorul necunoscutelor, deci, ˆın rezolv˘arile cu MEF, vectorul de∼ plas˘ arilor nodale D ∼
T termenul liber respectiv vectorul fort¸e nodale echivalente. ∼
78
Capitolul 2 Se vor folosi una sau alta din cele dou˘ a denumiri ale lui R, X ¸si T . ∼
2.4.1
∼
∼
Rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii simetrice prin elimin˘ ari (substitut¸ii)
Procedeele folosite la rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii care apar la o formulare cu MEF se bazeaz˘ a pe metoda elimin˘ arii. S˘ a urm˘arim succint etapele ¸si particularit˘a¸tile care apar la folosirea acestei metode, considerˆand un sistem de ecuat¸ii cu patru necunoscute, cu matricea coeficient¸ilor simetric˘a. Fie sistemul (2.39) scris dezvoltat:
R11 R21 R31 R41
R12 R22 R32 R42
R13 R23 R33 R43
R14 x1 x2 R24 · R34 x3 R44 x4
T1 T2 = T3 T4
(2.39.a)
S˘ a elimin˘ am din sistem necunoscuta x3 . ˆIn acest scop, se poate folosi pentru eliminare oricare din ecuat¸iile sistemului ˆın care Ri3 6= 0. Erorile cele mai mici (de rotunjire ˆın special) se obt¸in dac˘ a eliminarea unei necunoscute se face dintr-o ecuat¸ie ˆın care coeficientul acesteia este dominant (are o valoare mare comparativ cu ceilalt¸i coeficient¸i de pe linia considerat˘a). De obicei, ˆın matricea de rigiditate, coeficientul dominant se afl˘ a pe diagonala principal˘a, de aceea, eliminarea unei necunoscute se face folosind linia ˆın care necunoscuta apare pe diagonala principal˘a. ˆIn exemplul analizat vom elimina necunoscuta x3 folosind ecuat¸ia a treia. Sau, pentru c˘a aceste elimin˘ ari se fac practic ˆın R, ∼ vom spune c˘ a folosim la eliminare linia a treia, notˆ and-o cu L3. Prin eliminare, restul ecuat¸iilor nu trebuie s˘ a mai cont¸in˘ a x3 ; operat¸iile pe care le facem ˆın R vor trebui deci s˘ a anuleze toate elementele coloanei ∼
K3 (aferent˘ a necunoscutei x3 ). Pentru a obt¸ine zero ˆın L1 ˆın coloana K3 se efectueaz˘a urm˘atoarele operat¸ii: - se ˆınmult¸e¸ste L3 cu (−R13 /R33 ) - se adaug˘ a (termen cu termen) la L1. Operat¸iile se efectueaz˘a ¸si asupra termenului liber. ˆIn general, elementul Rij din linia I devine ˆın urma elimin˘ arii liniei Lj: ′ Rij = Rij −
care pentru j = l d˘ a Ril′ = 0.
Rlj · Ril Rll
(2.40)
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
79
ˆIn urma elimin˘ arii liniei L3 din liniile L1, L2 ¸si L4, sistemul (2.39.a) se transform˘a ˆın (2.41):
(2.41) Se observ˘ a c˘ a: (i) Linia eliminat˘ a (L3) r˘ amˆ ane nemodificat˘ a. (ii) Eliminarea dintr-o linie Li se face doar dac˘ a coeficientul Ri3 6= 0 (dac˘ a ri3 = 0, ecuat¸ia (i) nu cont¸ine necunoscute x3 care se elimin˘ a). (iii) Ecuat¸iile din care s-a eliminat o necunoscut˘a alc˘atuiesc un nou sistem cu o ecuat¸ie/necunoscut˘a mai put¸in decˆ at cel init¸ial. Dac˘a matricea sistemului init¸ial era simetric˘a (adic˘ a Rij = Rji ) atunci ¸si matricea noului sistem este simetric˘a. ˆIntr-adev˘ar, dup˘a (2.40) se poate scrie ′ Rji = Rji −
Rjl · Rli ; Rll
′ = R′ . ˆıns˘ a Rjl = Rlj , Rli = Ril , deci Rji ij
Din noul sistem se poate elimina o alt˘a necunoscut˘a ¸s.am.d., pˆ an˘ a se ajunge la o ecuat¸ie cu o singur˘a necunoscut˘a. S˘ a presupunem c˘a ordinea ˆın care s-a f˘acut eliminarea din (2.39.a) este x3 , x1 , x4 ; schematic, operat¸iile de eliminare s-au realizat ˆın urm˘atoarea ordine: (1) eliminarea necunoscutei x3 , folosind ecuat¸ia L3: L3(x1 , x2 , x3 , x4 ) = T3
[1]
ceea ce a condus la un sistem de 3 ecuat¸ii, fie R′ X ′ = T ′ . (2) eliminarea necunoscutei x1 , folosind ecuat¸ia L′ 1: L′ 1(x1 , x2 , x4 ) = T1′
[2]
80
Capitolul 2
obt¸inˆ and sistemul R′′ X ′′ = T ′′ , cu 2 ecuat¸ii. ∼ ∼
∼
(3) eliminarea necunoscutei x4 , folosind ecuat¸ia L′′4 : L′′ 4(x2 , x4 ) = T ′′ ,
[3]
′′′ R22 x2 = T2′′′ .
[4]
r˘ amˆ and ecuat¸ia
Prin substitut¸ie invers˘ a, parcurgˆand ˆın ordine strict invers˘ a (adic˘ a [4], [3], [2], [1]) ecuat¸iile folosite la eliminare, se stabilesc u¸sor valorile necunoscutelor (x2 , x4 , x1 , x3 ). Remarc˘am c˘ a o ecuat¸ie folosit˘a la eliminare r˘ amˆ ane ”inactiv˘a” (nu apare) ˆın operat¸iile ulterioare, pˆ an˘ a cˆ and este utilizat˘ a ˆın faza de substitut¸ie invers˘ a (pentru stabilirea valorii necunoscutei la a c˘arei eliminare a servit). La alegerea ecuat¸iei cu ajutorul c˘areia s˘ a se fac˘a eliminarea unei necunoscute din sistemul init¸ial (b) am ar˘ atat c˘a pentru limitarea la valori acceptabile ale erorilor, se caut˘ a o ecuat¸ie ˆın care coeficientul necunoscutei s˘ a fie dominant. Desigur, aceea¸si condit¸ie trebuie satisf˘acut˘ a la elimin˘ arile ulterioare; testarea satisfacerii acestor condit¸ii este greu de realizat, iar structura matricii init¸iale nu d˘ a indicat¸ii cu privire la forma unei ecuat¸ii dintr-o etap˘ a intermediar˘a a operat¸iilor de eliminare. Practic, se constat˘ a ˆıns˘ a c˘ a sistemele de ecuat¸ii specifice calculului structurilor alc˘ atuite din bare sau, mai general, a structurilor rezolvate prin MEF formulate ˆın deplas˘ari, sunt bine conformate, cu coeficient¸ii dominant¸i pe diagonal˘ a. Rezolv˘ arile practice au validat algoritmi ˆın care elimin˘ arile se pot face ˆın ordinea ˆın care sunt scrise ecuat¸iile din sistem. erorile limitˆ andu-se ˆın plaje acceptabile. Efectuˆ and elimin˘ arile ˆın ordinea Li = 1, 2, . . . , N − 1 (N fiind num˘ arul ecuat¸iilor), la sfˆar¸situl elimin˘ arii matricea R devine o matrice triunghiular superioar˘ a, sistemul scriindu-se
0 0 0 R11 R12 R13 ... 0 0 0 R22 R23 . . . 0 ... 0 0 R33 .. .
0
0
0
0 R1N 0 R2N R3N 0 RN N
·
x1 x2 x3 .. . xn
=
T10 T20 T30 .. . TN0
(2.42)
0 , T 0 sunt coeficient unde Rij ¸ii respectiv termenii liberi rezultat¸i ˆın urma i operat¸iilor de eliminare. Rezolvarea sistemului de ecuat¸ii (2.42) este imediat˘ a (substitut¸ia invers˘ a).
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
2.4.2
81
Rezolvarea sistemelor de ecuat¸ii cu matrice band˘ a simetric˘ a prin eliminare (Gauss)
a) Alc˘ atuirea ¸si memorarea matricii band˘ a Fie o structur˘ a plan˘ a, al c˘arui domeniu a fost ˆımp˘ art¸it ˆın elemente finite triunghiulare ¸si numerotat ca ˆın figura 2.24.
Figura 2.24. Dac˘a num˘ arul GL pe nod este LIBNO, convenim s˘ a alc˘atuim vectorul deplas˘arilor nodale parcurgˆand nodurile ˆın ordinea dat˘ a de numerotarea general˘ a, iar ˆın cadrul nodului ˆın ordinea numerot˘arii gradelor de libertate, adic˘ a o n (2) (2) (2) (1) (1) (2.43) D = x(1) x2 . . . xLIBN O . . . x2 . . . xLIBN O x1 1 ∼ (n)
unde xi reprezint˘ a deplasarea pe direct¸ia gradului de libertate i din nodul n. Pentru simplitate, vom considera ˆın cele ce urmeaz˘a c˘a avem un singur GL pe nod ¸si vom renunt¸a la exponentul (n) din deplasare. Pentru structura din figura 2.24.a vom avea astfel: (2.44) D = x1 x2 x3 x4 x5 x6 . ∼
82
Capitolul 2
Alc˘atuirea matricii de rigiditate globale R presupune parcurgerea succesiv˘ a ∼
a elementelor finite (ˆıntr-o ordine arbitrar˘ a) ¸si depunerea ˆın R, corespunz˘ator ∼ descrierii f˘acut˘ a ˆın tabelul de conexiuni ¸si descriere (vezi pct. 2.2.4) a termenilor matricilor de rigiditate elementale k e . ∼ ˆIn figura 2.24.c sunt prezentate pozit¸iile Figura 2.25. ˆın care sunt depuse ˆın R elementele ma∼ tricii k 1 . ∼ ˆIntr-o linie a matricii R, termenii din k 1 se extind pe o l˘a¸time care include ∼ ∼ ¸si elemente nule. ˆIn cazul prezentat ˆın figura 2.24.c, termenii matricii k 1 sunt ∼
cuprin¸si ˆıntre coloanele 2 ¸si 6 ale matricii R, l˘a¸timea liniei fiind (6 − 2) + 1 = 5. ∼ ˆIntr-un caz mai general, dac˘ a NMIN este nodul cu num˘ arul cel mai mic de pe elementul finit ¸si NMAX nodul cu num˘ arul cel mai mare, cˆ and exist˘ a un singur GL pe nod l˘ a¸timea liniilor ˆın R este N M AX − N M IN + 1. Dac˘ a num˘ arul GL de pe nod este LIBNO, l˘ a¸timea este dat˘ a de relat¸ia LSB = (N M AX − N M IN + 1) ∗ LIBN O
(2.45)
deoarece GL aferente unui nod ocup˘ a LIBNO coloane ˆın R. ∼
Se vede din (2.45) c˘ a l˘ a¸timea liniei ˆın R depinde de numerotarea nodurilor. ∼ Pentru a obt¸ine o l˘ a¸time de linie cˆat mai redus˘a, trebuie realizat˘ a o astfel de numerotare ˆıncˆ at diferent¸a (N M AX − N M IN ) s˘ a aib˘ a o valoare cˆat mai mic˘ a. Adoptˆ and pentru structura cu ˆımp˘ art¸irea anterioar˘ a numerotarea din figura 2.25, l˘ a¸timea liniilor ˆın R pentru elementul finit 1 (analizat anterior) se ∼
reduce la (4 − 2) + 1 = 3, termenii diferit¸i de zero depu¸si ˆın R grupˆandu-se ˆın ∼ jurul diagonalei principale. O matrice cu o astfel de grupare a termenilor este o matrice band˘ a. ˆIn figura 2.26.a s-a reprezentat o matrice de rigiditate global˘ a R obt¸inut˘ a ∼ sub form˘ a de matrice band˘a. Matricea fiind simetric˘a, ne vom opri atent¸ia ˆın cele ce urmeaz˘a doar asupra triunghiului superior al matricii. Partea din band˘a situat˘ a ˆın triunghiul superior al lui R o numim semi∼ band˘ a. L˘ a¸timile liniilor ˆın semiband˘a sunt, ˆın general, diferite. Numim l˘a¸timea semibenzii, notˆ and-o cu LSB, cea mai mare l˘a¸time de linie din semiband˘a (fig. 2.26.a). M˘arimea acesteia poate fi stabilit˘ a parcurgˆand toate elementele finite ale structurii ¸si stabilind cea mai mare diferent¸˘a N M AX − N M IN ; cu
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
83
Figura 2.26. ajutorul relat¸iei (2.45) se obt¸ine apoi: LSB = (N M AX − N M IN + 1)max ∗ LIBN O
(2.46)
Memorarea semibenzii se poate face ˆıntr-un tablou S cu N linii ¸si LSB coloane (figura 2.26.b). ˆIn linia I a acestui tablou se va g˘asi ˆın prima coloan˘ a elementul de pe diagonala principal˘a din R adic˘ a Rii , dup˘a care, ˆın coloanele ∼
urm˘atoare, se g˘ asesc ˆın ordine elementele Rij (J > I). Elementul Rij ocup˘ a ˆın S termenul din linia I ¸si coloana K = J − I + 1.
(2.47)
Prin reducerea l˘ a¸timii semibenzii se reduce corespunz˘ator spat¸iul necesar memor˘arii tabloului S. ˆIn scopul realiz˘ arii acestui deziderat trebuie c˘autat˘ a o numerotare a nodurilor structurii astfel ˆıncˆ at cea mai mare diferent¸˘ a (N M AX − N M IN ) pe elementele finite ˆın care a fost subˆımp˘ art¸it domeniul s˘ a fie minim˘ a. ˆIn cazurile curente ale rezolv˘arilor cu MEF, l˘a¸timea semibenzii LSB este de ordinul N/10, N fiind num˘ arul total al GL ale structurii (num˘ arul ecuat¸iilor), rezultˆ and importante reduceri a spat¸iului alocat pentru numerotare.
84
Capitolul 2
b) Rezolvarea prin eliminare a sistemelor de ecuat¸ii cu matrice band˘ a Fie matricea R reprezentat˘ a ˆın figura 2.27 ¸si tabloul S ˆın care se memoreaz˘a semibanda. Particularit˘a¸tile de alc˘ atuire ¸si memorare a matricii R induc particularit˘a¸ti ˆın operat¸iile de eliminare ¸si substitut¸ie. Le vom evident¸ia referindu-ne atˆat la reprezentarea complet˘ a R a matricii cˆat ¸si la reprezentarea condensat˘a S.
Figura 2.27. Elimin˘ari ˆın semiband˘a Se observ˘ a c˘ a datorit˘ a formatului band˘a a matricii, elementele diferite de zero dintr-o coloan˘ a a lui R, situate sub elementul de pe diagonala principal˘a sunt ˆın num˘ ar de cel mult LSB − 1. Adoptˆand regula de eliminare a liniilor ˆın ordinea numerot˘arii lor, eliminarea liniei L se va efectua numai din liniile I = (L + 1), . . . , (L + LSB − 1), adic˘ a din urm˘atoarele LSB − 1 linii ¸si, ˆın orice caz, nu se va dep˘ a¸si linia N . Coloana pˆ an˘ a la care pot exista elemente diferite de zero ˆın linia L (care se elimin˘ a) este L + LSB − 1, dar nu mai mare decˆ at N . ˆIn tabloul S, elementele diferite de zero ale liniei L se vor afla deci ˆın coloanele cuprinse ˆıntre 1 ¸si min(LSB, N − L + 1). Operat¸iile de eliminare se efectueaz˘a numai ˆın semiband˘a, astfel c˘a prima coloan˘ a din care ˆıncepe eliminarea din linia L este L ˆın R respectiv 1 ˆın S. ∼
Rezult˘a c˘ a eliminarea liniei L din linia I(L < I < min(L + LSB − 1, N )), se
Not¸iuni de baz˘ a ale metodei elementelor finite (MEF)
85
efectueaz˘a operat¸iile corespunz˘atoare doar ˆın coloanele K din S cuprinse ˆıntre 1 ≤ K ≤ min(LSB, N − L + 1). Deoarece din R este memorat˘a numai semibanda (adic˘ a Rmn cu n ≥ m) ∼
la aplicarea relat¸iei (2.40) pentru eliminare se ¸tine seama de simetrie (Rnm = Rmn ) astfel ˆıncˆ at s˘ a se adreseze numai elemente din cele memorate. Cum la eliminarea liniei L din linia I ˆın semibanda memorat˘a sunt satisf˘acute inegalit˘a¸tile L
View more...
Comments
