MEDP_U3_EA_JOMH

Ecuaciones diferenciales Parciales. Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden Evidencia de Aprendizaje. Análisis de soluciones.

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 Joel Alberto Montalvo Montalvo Hernández Hernández AL12523631

ECUACIONES DIE!ENCIALES "A!CIALES D!A#MA!IA D!A #MA!IA DEL CA!MEN LO$ANO A!I$MENDI

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi

10 Diciembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones. !e&'elve (ada )roble*a %n(l'+endo el )ro(ed%*%ento# S%n e*bar,o )'ede& o*%t%r lo& detalle& del *-todo de &e)ara(%.n de var%able&# 1# Una lata de (erveza de rad%o de 1 )'l,ada e&tá llena de (erveza + &e en('entra la *%tad /rontal &'*er,%da en la n%eve 0ver %,'ra# La n%eve *ant%ene la *%tad 0/ondo de la lata de (erveza a C *%entra& el &ol (al%enta la *%tad &')er%or de la lata a 1C # En('entra el e&tado de e4'%l%br%o de la te*)erat'ra dentro de la lata#

Sol Cerveza N%eve

S',eren(%a !e&olver el )roble*a de D%r%(let )ara la e('a(%.n de La)la(e en (oordenada& )olare& 1

 1

urr +  u r + 2 uθθ = 0, para 0 ≤ r < 1 r r u ( 1, θ )=f  ( θ ) , para 0 ≤ θ ≤ 2 π  7 f  ( θ ) = 1, para 0 ≤ θ ≤ π   0,  paraπ ≤θ ≤π 

{

Buscamos una soluciónde laforma u ( r , θ )= R ( r ) Θ ( θ ) conu r= R Θ ,u rr = R Θ ,u θθ= R Θ ' 

2

' ' 

' ' 

' 

' ' 

' ' 

 r  R + rR Θ sustituyendo setiene R Θ + R Θ + 2  R Θ =0 dedonde +  = 0 → r  R Θ r ' ' 

2

' ' 

' 

1

 1

' 

' ' 

' ' 

r  R + rR −Θ → = =α   R Θ

{

2

' ' 

' 

Tenemosdos ecuaciones diferenciales r  R '+'  rR −αR =0 Θ −α Θ = 0 2

' ' 

' 

Tomemos r  R + r R −αR =0 ' 

 v −1 si α =0 r  R + r R =0 seav = R , v = R tenemosr v +rv = 0 →  = v r 2

' ' 

' 

' 

' 

' ' 

2

' 

 c c  dR c c integrando Inv =− Inr + Inc=¿  → v =  →  =  de donde dR=  dr r r dr r r integramosR =cInr + d Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones. 2 2 2 ' '  '  !  '  ! −1 ''  ! −2 si α =n se tiene r  R + rR −n  R =0  ( 1 ) sea R =r , R =! r , R = ! ( ! −1 ) r sustituimos en ( 1 ) se tiene r ( ! ( ! −1 ) r 2

→ ! ( ! −1 ) r + ! r ! 

! −1

! −2

) +r ( ! r ! − ) −n r ! =0 1

2

− n2 r ! = 0 → r !  ( ! 2−! +! −n 2) =0 → r !  ( ! 2− n2 )=0

consideramos !  −n = 0 " ( ! + n ) ( ! −n )=0 " ! =n o ! =−n 2

2

−n

nuestra solución es R ( r )= # r + B r n

$onsideremosΘ −α Θ =0 si α =0 Θ = #θ + Bsiα =n Θ = #sen ( nθ ) + Bcos ( nθ ) ' ' 

 %a solución

2

{

u ( r , θ )= ( # θ + B ) ( $Inr + & ) , α =0

u ( r , θ ) =( # r + B r n

−n

)

(

)



$  sen ( nθ ) + & cos ( nθ ) , α =n ∑ = n

n

n 1

2

 %a solución generalesuna com(inaciónlineal deam(as u ( r ,θ )=( # θ + B ) ( $Inr + & ) + ( # r + B r n

−n

)

(∑ 

n= 1

$ n sen ( nθ ) + &n cos ( nθ )

)

 )nnuestro pro(lema u ( r ,θ ) de(e ser continuaen el interior delc*rculounitario por lotanto −n

B =0  por+ue r diverge para r =0, $ =0 por+ue Inr diverge para r =0 Tam(inde(e ser periódica #θ eslineal por lo tanto # =0, la soluciónse reducea u ( r ,θ )= B& + ( # r

n

)

(

)





$  sen ( nθ ) + & cos ( nθ ) = ) + ∑  #$  r ∑ = = n

n

n 1

n

n

n

sen ( nθ )+ #& n r cos ( nθ )

n 1

sea ) = # , #n= #$ n , Bn= #& n sustituyendoen u ( r ,θ ) setiene 

u ( r ,θ )= # +

 # r ∑ = n

n

n

sen ( nθ ) + Bn r cos ( nθ )

n 1

{

u ( 1, θ )=f  ( θ ) = 1, para 0 ≤ θ ≤ π   0,  paraπ ≤θ ≤ 2 π  

se de(e cumplir +ue u ( 1, θ )= f  ( θ )= # +

 # r ∑ = n

n

n

sen ( nθ ) + B n r cos ( nθ )

n 1

Tenemosun desarrollo de f  ( θ ) enseriesde -ourier con  # =

1 2 π 

2 π 

1

2 π 

1

2 π 

∫ f  ( θ ) d θ , # = π ∫ f  ( θ ) sen(nθ ) dθ,B = π  ∫ f  ( θ ) cos( nθ )dθ n

0

n

0

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0

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones.  # =

2 π 

1

0

1

 # n=

¿

1

(

π 

2 π 

0

π 

)

( 1 ) dθ +∫ ( 0 ) dθ = 1  θ|π = 1  ( π −0 )= 1  ( π )= 1 f  ( θ ) dθ = # = ∫ ∫ 2 π  2 π  2 π  0 2 π  2 π  2 1

π 

2 π 

1

[

π 

2 π 

0

π 

]

π 

∫ f  ( θ ) sen ( nθ ) dθ = π  ∫ (1 ) sen ( nθ ) dθ +∫ ( 0 ) sen ( nθ ) dθ = nπ ∫ nsen ( nθ ) dθ =¿ 0

|

 [ −cosnθ ] π =−1 [ cosnπ −cos 0 ] = −1 [ cosnπ −1 ]=

nπ 

 # n=

1

0

{

nπ 

nπ 

1

0

 [ 1 −cosnπ ] =

nπ 

1

−  [ 1−( −1 ) ]=¿ nπ  n

0, n =2 m , m=1,2,3,  2 =  , m=1,2,3,  2 , n=2 m−1 (2 m−1 ) π 

nπ 

 .or+uecosnπ =1 si n es par y cosnπ =−1 sinesimpar n

r =r

2m −1

sustituyendo enu ( r , θ ) se tiene

1

u ( r ,θ )= + 2



∑= ( 2 m−2 1 ) π  r

2m −1

sen (2 m−1 ) θ , m =1,2,3

m 1

[

−n

1 −( − 1 ) 1 Tam(in se puedee/presar comou ( r , θ ) = + 2 m= 1 n π  

∑

1

 .ara r =0 setieneu ( 0, θ )= + 2



∑= 2 (m −1 1) π  0

2m

]r

2 m− 1

sen ( nθ ) , n=1,2,3, 

1

1

2

2

sen ( 2 mθ )= + 0=

m 1

. En el problema anterior la soluci!n "ue calculaste está dada en t#rminos de una serie 

u ( r ,θ )=a0 +

∑= (1solución2 )

. $rafi"ue con alg%n soft&are las soluciones para algunos

0  0

u ( r ,θ )   para 0 =10,15,20. valores de la suma' es decir' la soluci!n Con%tr#/endo la "rá-ica para u ( 1, θ )  por medio de 'cel en e%te ca%o r 2 m−1=1(2 m −1 )=1 

1 2 u (1, θ)= + sen ( 2 m − 1 ) θ , m=1,2,3 2 m=1 ( 2 m− 1 ) π 

∑

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones.

se tomónθ =2 π t , t  ∈ [ 0,1 ] , en la primer fila se pusieron lostrminos impares 2 m −1 3 )l intervalo [ 0,1 ] se  particiónde

1 1000

&ara m20 %# "rá-ica e% 3el valor 1000 corre%ponde a 2 π4

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&ara m15 %e tiene

&ara m10 %e tiene

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones.

&ara m5



1 2 4i tomamosr =0 .1 u ( r , θ ) = + ( 0.1 )2 m−1 sen ( 2 m−1 ) θ , m =1,2,. .,20 2 m= 1 (2 m−1 ) π 

∑

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones. 

1 2 4i tomamosr =0 3 u ( r ,θ )= + (0. 3)2 m−1 sen ( 2 m−1 ) θ , m=1,2,..,2 0 2 m=1 ( 2 m− 1 ) π 

∑



1 2 4i tomamosr =05 u ( r ,θ )= + (0.5 )2 m−1 sen ( 2 m−1 ) θ , m=1,2,. .,20 2 m=1 ( 2 m− 1 ) π 

∑

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 oviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis de soluciones. 

1 2 4i tomamosr =0.75 u ( r ,θ )= + (0.75 )2 m−1 sen ( 2 m− 1 ) θ , m=1,2,. .,20 2 m=1 ( 2 m −1 ) π 

∑

1



4i tomamosr =0. 9 u ( r ,θ )= + 2

lim u ( r , θ )= 0.5 y lim u ( r , θ )= r →0

r→ 0

∑= ( 2 m−2 1 ) π  (0. 9 )

2 m −1

sen ( 2 m −1 ) θ , m=1,2,..,20

m 1

{

1, 0 ≤ θ ≤ π   0, π ≤ θ ≤ 2 π 

(eferencias

•

)ttp*++jacobi.fis.ucm.es+pparanda+EDPdf+ap,+m-.pdf 5. )ttp*++&&&.u)u.es+sixto.romero+EDPlibro.pdf  http%!!666.academia.ed#!120)780!'C9AC*:';,D*