MEDP_U3_A3_JOMH
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Descripción: PROBLEMAS DE CONTORNO DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES...
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Ecuaciones diferenciales Parciales. Unidad 3. Problemas de contorno y problemas mixtos de EDP de segundo orden Actividad 3. Resolución de problemas clásicos.
http!!people.math."atech.ed#!$"ho http!!people.math."atech.ed#!$"homi!Cla%%e%!&D' mi!Cla%%e%!&D'1(()!*ma"e%!Laplac 1(()!*ma"e%!Laplace'+#ation,"r,15."i- e'+#ation,"r,15."i-
Joel Alberto Montalvo Hernández Hernández AL12523631
ECUACIONES DIE!ENCIALES "A!CIALES D!A#MA!IA DEL CA!MEN LO$ANO A!I$MENDI
Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi
10 Diciembre 2015
Ecuaciones diferenciales parciales Unidad Unid ad 3. Pr Prob oble lema mas s de co cont ntor orno no y pr prob oble lema mas s mi mixt xtos os de ED EDP P de segundo orden. Actividad 3. Resolución de problemas clásicos. a finalidad de esta actividad es aplicar los conocimientos !ue "as ad!uirido para la resolución de problemas mixtos. mixtos. Resuelve cada uno de los e#ercicios e#ercicios !ue se indican a continuación. $ncluye $ncluye el procedimiento% recuerda !ue En esta esta secc sección ión nos ocupa ocupamo mos s de la aplica aplicaci ción ón del m&tod m&todo o de separ separac ación ión de varia variable bles s aplicadas a la ecuación del calor en dos dimensiones espaciales. En particular% vamos a considerar los problemas en un rectángulo. '. (onsid (onsider erem emos os el proble problema ma
ut ( x x , y , t ) =k ( u xx ( x x , y , t )+ u yy ( x x , y ,t ) ) , t > 0, ( x x , y ) ∈ [ 0,1 ] × [ 0,1 ] u ( 0, y , t )=0, u (1, y , t )= 0, u ( x , 0, t )=0, u ( x , 1, t )= 0 , u ( x , y , 0 )= x ( 1 − x ) y ( 1− y ) como se muestra en la figura
u ( x , 1, t )= 0 u ( x , y , 0 )= x ( 1 − x ) y ( 1 − y )
Buscam Buscamos os unasoluciónde unasoluciónde tipou tipou ( x , y , t )= X ( ( x x ) Y ( ( y ) T ( t ) ut = X ( ( x x ) Y ( ( y ) T ( t ) ,u x = X ( x x ) Y ( ( y ) T ( ( t ) , u xx= X ( x x ) Y ( ( y ) T ( t ) , u y = X ( ( x x ) Y ´ ( y ) T ( t ) , u yy = X ( x x ) Y ( y ) T ( t ) '
'
' '
' '
sustituy sustituyend endo o enu en ut ( x x , y , t )=k ( u xx ( x , y , t ) + u yy ( x , y , t )) '
' '
' '
'
' '
' '
X Y + Y X 1 T Y X XY T = k ( X X YT + X Y T ) → XY T =k ( X X Y + Y X ) T → = → = + → k T XY k T Y X
→
'
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' '
'
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' '
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{
1 T
' '
''
2
Y + λ Y = 0
Y 1 T X 2 '' = − =− λ2 → X '' 2 1 T ' 0 = λ + =− μ2 → ' X + μ X = Y k T X 2 2 X k T T =−kT ( ( λ λ + μ )
Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.
{
10 Diciembre 2015
Ecuaciones diferenciales parciales Unidad Unid ad 3. Pr Prob oble lema mas s de co cont ntor orno no y pr prob oble lema mas s mi mixt xtos os de ED EDP P de segundo orden. Actividad 3. Resolución de problemas clásicos. 2 ' ' X + λ X =0 2 ' ' Y + μ Y =0 tenemostres ecuaciones ecuaciones
{
{
'
T 2 2 =−k ( λ λ + μ ) T
X λ = A λ sen sen λx + B λ cosλx Las soluciones son Y μ = A μ sen sen μy+ B μ cosμx (
2
T mn= λ, μ e−k λ λ + μ
2
) t
como como u ( 0, y , t ) =0, u ( 1, y , t )=0 , X λ ( 0 )= X λ ( 1 )=0 → A λ sen ( λ 0 ) + B λ cos ( λ 0 )=0 → B λ =0 λ m"ltiplode # → λ = m#, se tien iene X m = Am sen ( m # x )
( x , 0 , t )= 0, u ( x ( μ 0 )+ B μ cos ( μ 0)= 0 como como u x x , 1, t )=0 , Y μ ( 0 )= Y μ ( 1 )=0 → A μ sen μ → B μ=0 μ m"ltiplode # → μ =n# , setie etieneY μ= A μ sen ( n# x ) (
2
2
)
2
T mn= λ, μ e−k λ λ + μ t = mn e−k #
(m + n ) t 2
2
$
La solución es del tipo u ( x , y , t ) =
$
% ∑= ∑ =
2
− k # mn e
( m + n ) t 2
2
sen ( m x ) sen ( n y ) , m , n ∈ & , m , n 1
m 1n 1
como como u ( x x , y , 0 )= x ( 1− x ) y (1 − y ) $
x ( 1− x ) y (1 − y )=
$
∑∑%
m= 1 n =1
→ %nm=
4 2
#
1
1
0
0
nm
−k # 2 ( m2+n2) ( 0)
e
$
sen ( m#x ) sen ( n#y )=
$
∑ ∑%
m= 1 n= 1
nm
sen ( m#x ) sen ( n#y ) →
senn # xsen xsenm m # ydxdy ydxdy ∫∫ x (1 − x ) y (1− y ) senn $
&ustra solución solución esu es u ( x , y , t )=
$
∑= ∑=
2
%nm e−k #
( m + n )t 2
2
sen ( m#x ) sen ( n#y ) , m , n ∈ & , m , n > 1
m 1n 1
con%nm=
4 2
#
1
1
0
0
∫∫ x ( 1− x ) y ( 1 − y ) sennxsenmydxdy
Resolver el problema con condiciones de frontera de Diric"let utili)ando separación de variables. *. Resue Resuelva lva el proble problema ma mixt mixto o Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.
10 Diciembre 2015
Ecuaciones diferenciales parciales Unidad Unid ad 3. Pr Prob oble lema mas s de co cont ntor orno no y pr prob oble lema mas s mi mixt xtos os de ED EDP P de segundo orden. Actividad 3. Resolución de problemas clásicos. x u x ( 0, y )=0, u x ( L L , y ) =0, u ( x x , 0 )=0, u ( x x , ( )= ) ¿ ¿ u ( 0, y , t )=0, u (1, y , t )= 0, u y ( x x , 0, t )=0, u y ( x x , 1, t )= 0 , u ( x x , y , 0 )= x ( 1 − x ) y Busc Buscamo amoss una una solu solució ción n de tipou tipou ( x x , y , t )= X ( ( x x ) Y ( ( y ) T ( t ) ut = X ( ( x x ) Y ( ( y ) T ( t ) ,u x = X ( x x ) Y ( ( y ) T ( ( t ) , u xx= X ( x x ) Y ( ( y ) T ( t ) , u y = X ( ( x x ) Y ´ ( y ) T ( t ) , u yy = X ( x x ) Y ( y ) T ( t ) '
'
' '
' '
sustituy sustituyend endo o enu en ut ( x x , y , t )=k ( u xx ( x , y , t ) + u yy ( x , y , t )) '
' '
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1 XY T = k ( X X YT + X Y T ) → XY T =k ( X X Y + Y X ) T → = X Y + Y X → T = Y + X → k T XY k T Y X
→
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{
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1 T
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''
2
Y + λ Y = 0
Y 1 T X 2 '' = − =− λ2 → X '' 2 1 T ' 2 X + μ X = 0 Y k T X = λ + =− μ → ' 2 2 X k T T =−kT ( ( λ λ + μ )
{
{
' '
2
2
X + m # X =0 ' ' 2 2 2 2 2 2 2 Y + n # Y =0 tene tenemostr mostres es ecuac ecuacio iones, nes, sea sea μ = m # , λ =n # , ' T =−k # 2 ( m2 +n 2) T
{
X m = A m sen ( m # x ) + Bm cosm#x Las soluciones soluciones son Y m= n sen ( n # y )+ *n cosn#y 2
T mn= + m ,n e−k #
( m + n ) t 2
2
como como u ( 0, y , t ) =0, u ( 1, y , t )=0 , X m ( 0 )= X m ( 1 )= 0 → B=0 → A m sen ( m # 0 )+ B m cos ( m# 0 )=0 → Bm =0 → X m= A m sen ( m # x ) como como u y ( x x , 0, t )=u y ( x x , 1, t )=0 , Y m ( 0 )=Y m ( 1 )= 0 →n# n co s ( n # 0 )− n# * n sen ( n# 0 )=0 → =0 → →Y m= * n cosn#y $
La solución solución es deltipo del tipo u ( x , y , t ) =
$
∑= ∑ =
(
2
2
)
% nm e−k m +n t sen ( m # x ) co s ( n # y ) , m , n ∈ & , m , n >1
m 1n 1
( x , y , 0 )= x ( 1− x ) y como como u x Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.
10 Diciembre 2015
Ecuaciones diferenciales parciales Unidad Unid ad 3. Pr Prob oble lema mas s de co cont ntor orno no y pr prob oble lema mas s mi mixt xtos os de ED EDP P de segundo orden. Actividad 3. Resolución de problemas clásicos. $
x ( 1− x ) y =
$
∑∑%
m =1 n=1
→ %nm=
4 2
#
1
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$
sen ( m#x ) co s ( n#y )=
$
∑= ∑= %
nm
sen ( m#x ) co s ( n#y ) →
m 1n 1
∫∫ x (1 − x ) ysen( m#x )cos (n# y ) dxdy $
&ustra solución es u ( x , y , t )=
$
∑= ∑=
2
%nm e−k #
( m + n )t 2
2
sen ( m#x ) sen ( n#y ) , m , n ∈ & , m , n > 1
m 1n 1
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4 2
#
1
1
0
0
∫∫ x ( 1− x ) y ( 1 − y ) sennxsenmydxdy
3. Reso Resolv lver er la ecua ecuaci ción ón de apl aplac ace e
u xx + u yy= 0 % dent dentro ro de un rect rectán ángu gulo lo
0 y ( % con las siguientes condiciones de frontera+
u x ( 0, y )=0, u x ( L , y ) =0, u ( x , 0 )=0, u ( x , ( )= ) ( x )
seau ( x x , y )= X ( x x ) Y ( ( y ) ,u x = X Y ,u , u y = X Y , u xx = X Y ,u yy= XY ' ' '
'
''
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' '
X −Y = =− λ 2 susti sustituy tuyen endo do enla +*- setiene setiene X Y + X Y =0 → X Y =− X Y → X Y ' '
' '
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' '
2 '' X = A λ senλx + B λ cosλx X + λ X =0 tenemos ' ' 2 sus solucio soluciones nes son λ λ y − λ y Y − λ Y = 0 Y λ λ= λ λ e + * λ e
0 ) = A λ cos 0=→ A λ =0 como como u x ( 0, y )=0, u x ( L, L , y )= 0 , X ' m ( 0 )=0 → A λ cos ( λ ( 0 ) )− B λ sen ( m# 0
Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.
10 Diciembre 2015
0xL %
Ecuaciones diferenciales parciales Unidad Unid ad 3. Pr Prob oble lema mas s de co cont ntor orno no y pr prob oble lema mas s mi mixt xtos os de ED EDP P de segundo orden. Actividad 3. Resolución de problemas clásicos. '
X m ( L L ) →− B λ sen ( λL λL )=0 . λ L =n # → λ=
comou ( x x , 0 )= 0 → Y λ ( 0 )= 0 → λ e
de dond dondee Y m ( y )=2 m
(
e
m# y L
−e 2
$
m# y L
m# ( 0) L
( )
m# m# → X m= A m sen x L L
+ * λ e
−m# ( ) 0
)
L
=2 m sen/
( )
(
=0 → λ=− * λ → Y m ( y )= m e
( )
m# y L
−e
m# y L
)
( )
m# m# = * m sen/ L L
( )
( ) ( )
$
m # m# m # m# La solución es u ( x , y )= Am sen x *m sen/ y = + m sen x sen/ y , m ∈ & , m >1 L L L L n= 1 n= 1
∑
$
( ) (
∑
)
(
)
m # m# m# 2 ( x , ( )= ) ( ( x como como u x x )= + m sen x sen/ ( → +m sen/ ( = L L L L n=1
∑
L sen/
(
∫ ) ( ( x x ) sen ( m L# x )dx → 0
L
2
→ + m=
L
)
m# ( L
∫ ) ( ( x ) sen ( m L# x ) dx 0
La solución es $
( ) ( )
m# m# 2 u ( x x , y )= + m sen x sen/ y ,con+ m= L L m# n=1 Lsen/ ( L
∑
(
)
L
x dx,m ∫ ) ( ( x x ) sen( m# L )
∈ &
, m >1
0
Referencias •
•
http!!acobi.-i%.#cm.e%!pparanda!'D&d-!apM2!m2/.pd-5 . http%!!.academia.ed#!120)30!'C4AC*6'7,D*8'9'6C*AL'7,'6,D'9*:ADA7,&A9 C*AL'7,Han%,8,;einber"er. http!!.mmc."eo-i%ica.#nam.m
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