MEDP_U2_EA_JOMH

Ecuaciones dierenciales Parciales. Unidad 2. El problema de Cauchy  para EDP de segundo orden orden Evidencia de aprendizaje. Análisis al planteamiento del problema.

http!!people.math."ate#h.ed$!%"ho http!!people.math."ate#h.ed$!%"homi!Cla&&e&!'D( mi!Cla&&e&!'D(1))*!+ma"e&!Lapla# 1))*!+ma"e&!Lapla#e(,$ation-"r-15."i  e(,$ation-"r-15."i 

 Joel Alberto Montalvo Montalvo Hernández Hernández AL12523631

ECUACIONES DIE!ENCIALES "A!CIALES D!A#MA!IA D!A #MA!IA DEL CA!MEN LO$ANO A!I$MENDIS

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis al planeamieno del problema. 1. Clasifque la ecuación u yy +u xy + u xx=0 .  Es una ecuación del tipo a1,1 u xx+ 2 a 1,2 u xy + a 2,2 u y, y + F ( x  x , y , u x , u y ,u )=0 conF ( x  x , y ,u x , u y , u ) =0 a1,1 =1,2 a1,2 =1, a2,2=1, 2

hiperbó hiperbólic lico o si a12−a11 a22> 0 2 laecuac laecuació ión n es de tipo tipo elípti elíptico co si a12−a 11 a22< 0 2  parabólico si a12 −a11 a 22=0

2

()

eneste eneste caso caso a12−a11 a22=

1 2

2

ecuación n es de tipo tipo elípti elíptico co − (1 ) ( 1 )= 1 −1= −3 < 0 la ecuació 4

4

2. Pruebe !ue cual!uier soluci"n coninua la &i"$iente e#$a#i/n

u ( x , y ,t  )  en la re"i/n

ut =u u y + ∆ u , t ≥ 0, ( x , y ) ∈ Ω u ( x , y , 0 )= f  ( ( x , y ) , ( x , y ) ∈ Ω

Ω= { ( x , y ) : −1 ≤ x , y ≤ 1, } . de

%1&

Sat'()a*e el +r'n*'+'o del ,-n',o d.b'l/

{

maxu ( x , y , t ) maxu ( ± 1, ± 1, t ) maxf  ( ( x , y )   ≤max , 0≤t≤T  Ω x [ 0, T ] ( x , y )∈ Ω

b&erve ,$e el interior de

Ω

e&

}

#

∫ Ω={( x , y ) :−1 0 veam veamos os si es solu soluci ciónde ónde ut =u u y + ∆ u ut =v t +  , utt = v tt  ,u  y =v y , u yy = v yy , u x = v x ,u xx= v xx , ∆ u =∆ v + ∆ ( t )= ∆ v +  ∆ t = ∆ v +  ( 0 )= ∆ v sust sustit ituy uyen endo do en ( 1 ) se tiene tiene ( v + t ) v y + ∆ v −v t =u u y + ∆ u −ut − =0−  =− < 0 en $ si se alcan alcan&a &a el m'ximoen m'ximoen un punto punto ( x  x 0 , y 0 , t 0 ) en$ las las deri derivad vadas as par parcial ciales es de v debe deben n ser ser nula nulass endicho endicho punto punto , esto esto esv x ( x  x 0 , y 0 , t 0 )= 0, v y ( x  x 0 , y 0 , t 0 )=0, vt  ( x  x 0 , y 0 , t 0 )= 0  y se debe cumplir %ue ( v ( x  x 0 , y 0 , t 0 ) < 0 sustitu sustituyen yendo do en v t − v v y − ∆ v se tiene v t  ( x  x 0 , y 0 , t 0 )− v ( x  x 0 , y 0 , t 0 ) v y ( x  x 0 , y 0 , t 0 ) − ( v ( x  x 0 , y 0 , t 0 )=0 − v ( x  x 0 , y 0 , t 0 ) ( 0 )− ( v ( x0 , y 0 ,t 0 )= ¿  ( v ( x  x 0 , y 0 , t 0 ) > 0 locual locual cont contrad radic icee elhecho elhecho de%ue vt − v v y − ∆ v < 0 en $ ¿− (v

"or lo tanto el ,á0',o no (e al*anza en D ('no en ( )rontera  x , y , t  u (¿ ) v + t 

( ¿)

 x , y , t  v ( ¿) t 

( ¿)  x , y , t  v ( ¿) max ¿ $ = max ¿ $ ≤ max ¿ $ + max ¿ $ = max ¿ $ + t , si cons consid idera eramos mos %ue %ue  " 0 entonces  x , y , t  u (¿ ) v + t 

(¿ )

 x , y , t  v (¿ ) max ¿ $= max ¿ $ ≤ max ¿ $)E$  $ )E$

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Evidencia de aprendizaje. Análisis al planeamieno del problema. =. Escribe una f"rmula para la soluci"n al problema 2

utt − c u xx = senx, −* 0 u ( x , 0 )=ut  ( x  x , 0 )=0, −*