MEDP_U2_A3_JOMH

Ecuaciones diferenciales Parciales. Unidad 2. El problema de Cauchy  para EDP de seundo orden Actividad 3. Resolución del problema de Cauchy

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 Joel Alberto Montalvo Hernández Hernández AL12523631

ECUACIONES DIE!ENCIALES "A!CIALES D!A#MA!IA DEL CA!MEN LO$ANO A!I$MENDIS

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. !. "ost "ostra rarr #ue #ue la fun funci cin n

u ( x  x , y , z )= es solucin a la ecuacin diferencial

1

 x + y + z √  x 2

2

2

, ( x , y , z ) ≠ ( 0,0,0 )

u xx ( x  x , y , z )+ u yy ( x  x , y , z ) + u zz ( x  x , y , z )=0, ( x  x , y , z ) ∈ R ∖ { ( 0,0,0 ) } . 3

r = √  x + y + z 2

$ugerencia% use el cambio de variable 2

2

2

2

y regla de la cadena.

2

∂ u  ∂ u ∂ u u xx ( x , y , z )+ u yy ( x , y , z ) + u zz ( x , y , z )= 2 + + 2 (1) 2 ∂x ∂ y ∂z  Dada u ( x  x , y , z) =

−1

1

 x + y + z ) 2 , =( x 2

√  x + y + z 2

2

2

2

(  )

 ∂ u −1 ( 2 x ) ( x 2 + y 2+ z2 ) se tien tienee que = 2 ∂x

( ) (

2

−3

∂u ∂ ∂u ∂ 2 2 2 2  x + y + z ) = = − x ( x 2 ∂x ∂x ∂x ∂x 2

−3

−3 2

−3

=− x ( x  x + y + z ) 2 , 2

2

2

) −5

(  )

−3

−5

−3 ( x  x   x  y  z  x  x 2+ y 2+ z 2 ) 2 ( 2 x )=−( x  x 2 + y 2+ z2 ) 2 + 3 x 2 ( x  x 2 + y 2+ z2 ) 2 =¿ ( ) 1 ( ) =− + + − 2

∂ u ∂x

2

2

2

2

2

2

2 2 2 2  x + y + z ) + 3 x − x 2− y 2− z 2 + 3 x2 −( √  x ¿− + = = =¿ 3 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( √  x x + y + z ) ( √  x x + y + z ) ( √  x x + y + z ) ( √  x x + y + z )

3 x

1

2

2

− y 2 − z2  … ¿ (2 ) 2 2 2 5 ( √  x + y + z ) 2 x

2

(  )

∂u −1 ( 2 ) 2 2 2  y ( x + y + z ) = 2 ∂y

2

−3

 x + y + z ) 2 , =− y ( x 2

(

( )

2

−3

∂ u ∂  ∂u  ∂ u ∂ 2 2 2  x + y + z ) = = − y ( x 2 ∂y ∂y ∂y ∂y 2

(  )

−3 2

2

) −5

−3

−5

−3  x  x + y + z ) − y  x 2+ y 2+ z 2 ) 2 + 3 y 2 ( x  x 2 + y 2 + z 2) 2 =¿ =−( 1 ) ( x ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 ( 2 y )=−( x 2

∂ u ∂y

−3

2

2

2

2

2

2

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. 2 2 −( √  x 2 + y 2+ z2 ) + 3 y 2 − x 2− y 2− z 2 + 3 y 2 1 3 y ¿− + = = =¿ 3 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( √  x + y + z ) ( √  x x + y + z ) ( √  x + y + z ) ( √  x + y + z )

− x2 − z2 … ¿ 2 2 2 5 (3 ) ( √  x x + y + z ) 2 y

2

(  )

∂ u −1 ( 2 z ) ( x 2 + y 2+ z2 ) = 2 ∂z

−3 2

−3

 x + y + z ) 2 , =− z ( x 2

( ) (

2

−3

∂ u ∂ ∂u ∂ 2 2 2 2  x + y + z ) = = − z ( x 2 ∂z ∂z ∂z ∂z 2

−3

2

) −5

(  )

−3

−5

−3  x ( )  x   x  y  z  z =− + + − 1 ( ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ( 2 z )=−( x2 + y 2 + z 2 ) 2 + 3 z 2 ( x x 2+ y 2 + z 2 ) 2 =¿ 2

∂u ∂z

2

2

2

2

2

2

−( √  x 2 + y 2+ z2 ) + 3 z 2 − x 2− y 2− z 2 + 3 z2 ¿− + = = =¿ 3 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( √  x + y + z ) ( √  x x + y + z ) ( √  x + y + z ) ( √  x x + y + z ) 3 z

1

2

2

− x 2− y 2  … ¿ ( 4) 5 2 2 2 ( √  x + y + z ) 2 z

2

Sustituimos ( 2 ) , ( 3 ) y ( 4 ) en (1 ) setiene 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∂ u ∂ u ∂ u 2 x − y − z 2 y − x − z 2 z − x − y + + = + + =¿ 2 2 2 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∂ x ∂ y ∂ z ( √  x  x + y + z ) ( √  x + y + z ) ( √  x + y + z )

¿

2 x

2

0 − y 2− z 2 + 2 y2 − x2 − z2 + 2 z 2− x 2− y 2 2 x 2+ 2 y 2 + 2 z2 −2 x 2−2 y 2−2 z 2 = = =¿ 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( √  x + y + z ) ( √  x + y + z ) ( √  x + y + z ) 2

2

2

∂ u  ∂ u ∂ u  Finalmente u xx ( x , y , z ) + u yy ( x , y , z )+ u zz ( x , y , z ) = 2 + + 2 =0 QED 2 ∂x ∂y ∂z 0,0,0 r = √  x  x

2

2 2 2  x + y + z , u ( r ) = + y 2+ z 2 sea r =√  x

 Dadau  Dada u ( x , y , z )=

1 2 2  x + y + z √  x 2

1

r

, ( x , y , z ) ≠ ¿

prolemas de !au"#y 2.− Resuelva los siguientes prolemas Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. a ¿ 4 y u xx+ 2 ( 1 − y ) u xy −u yy− 2

2

2 y 1 + y

 x , 0 )= $  ( ( x  x ) ,u  y ( x  x , 0 )= g ( x  x ) ,  (2 u x−u y )= 0, u ( x

2

$  ∈ !  ( R  R ) , g ∈ !  ( R  R ) son $un"ion $un"iones es dadas dadas 2

1

tenemo tenemoss unae"u una e"ua"i a"i%n %n deltipoa 11u xx + 2 a12 u xy + a22 u yy + 1 u x +2 u y + "u + $ = 0 e$e"tu e$e"tuandoun andoun "amiode "amiode "oord "oordena enadas das &= ' ( x  x , y ) , ( =ϕ ( x  x , y ) la e"ua"i e"ua"i%n %n ( 1 ) se trans$ trans$ormaen ormaen a´11 u &&+ 2 a´12 u&( + a´22 u(( + ´ 1 u & + ´  2 u( + "u + $ =0 a´11=a11 & x + 2 a12 & x & y + a22 & y 2

2

a´12=a11 & x ( x +a12 ( & x ( y + & y ( x ) + a22 & y ( y a´22= a11 ( x + 2 a12 ( x ( y + a22 ( y

"on

2

2

´1= a11 & xx + 2 a12 & xy + a 22 & yy+ 1 & x +  2 & y

´2 =a11 ( xx + 2 a12 ( xy + a22 ( yy +  1 ( x + 2 ( y a11=4 y , a12=( 1 − y ) , a22=−1 , 1 = 2

2

a12 −a 11 a22=( 1− y 2

2 2

−4 y 2 y  ,  ,   , " =0, $ = 0 = 2 2 2 1 + y 1 + y 2

) −( 4  y ) (−1 )= y −2 y + 1 + 4 y = y + 2 y + 1 =( y + 1 ) > 0 2

4

2

2

4

2

2

tenemos tenemosuna una e"ua"i%n e"ua"i%n #iper%li" #iper%li"a a  dy a ) √ a12 −a11 a22 1− y ) √ ( 1 + y si = 12 = 2 dx a11 4 y 2

2

2

2 2

)

1 − y ) ( 1 + y 2

=

4  y

2

)

2

2

 dy 1 − y + 1 + y 2 1 2 3 se tiene tiene = integrando  y + " = x = 2 = 2 *2 y 2 dy =dx integrando 2 dx 3 4 y 4 y 2 y 2

3

2

sea& = x −  y ,"on& x =1, &  y =−2 y , & xx =0, & xy=0, & yy=−4 y 3

dy 1− y −( 1 + y ) 1 − y −1− y −2 y −1 ,integrando o 2 y =− x + +  = = = = * 2 dy =−dx ,integrand 2 2 2 dx 2 4  y 4  y 4  y 2

2

2

2

2

sea(= x + 2 y ,"on( ,"on( x =1, ( y =2 , ( xx=0, ( xy=0, ( yy =0 e$e"tu e$e"tuandoun andoun "amiode "amiode "oord "oordena enadasla dasla e"ua"i e"ua"i%n %n( 1 ) se trans$ trans$ormaen ormaen sus sustit tituim uimos os en a´11=a11 & x + 2 a12 & x & y + a 22 & y =4 y ( 1 ) + 2 ( 1 − y ) (1 ) (−2 y ) + (−1 ) ( ( 2 y 2

2

2

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

2

2

2

2

)) =¿ 2

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. 2 2 4 4 ¿ 4 y −4 y + 4 y −4 y =0 a´12= a11 & x ( x + a12 ( & x ( y + &  y ( x ) +a22 & y ( y = 4  y ( 1 ) ( 1 ) + ( 1− y 2

2

) (( 1 ) ( 2 ) +(−2 y ) ( 1 ) )+(−1 ) ( −2 y ) (2 )=¿ 2

¿ 4 y 2 +( 1 − y 2 )( 2−2 y 2 ) + 4 y 2 =8 y 2+ 2 y 4 −4 y 2+ 2 =2 y 4 + 4 y 2+ 2 =2 ( y 2+1 ) a´22= a11 ( x + 2 a12 ( x ( y + a22 ( y = 4 y ( 1 ) + 2 ( 1− y 2

2

2

2

2

2

2

) ( 1 ) ( 2 ) + (−1 ) (2 ) =4 y + 4 −4 y −4 =0 2

2

2

´1= a11 & xx + 2 a12 & xy + a 22 & yy+ 1 & x +  2 & y =¿

( ) ( )

3 4  y 2 y 4  y 4  y − 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ¿ 4 y 0 + 2 1− y 0 + −1 − 4 y + −2 y = 4 y − − =¿ 1+ 2 2 2 2 1 + y 1+ y 1 + y 1 + y 2

(

2

)

( ) 2

y 1 + y ¿ 4 y −4 y + =4 y −4 y =4 ∓ 4 y ( 1 ) =4 y −4 y =0 2 2 2 1 + y 1 + y 1 + y 1

´2= a11 ( xx + 2 a12 ( xy + a22 ( yy + 1 ( x + 2 ( y =¿

( ) ( )

4 y 2 y −4 y + 4 y = ( ) ¿ 4 y 2 ( 0 ) + 2 ( 1− y 2 ) ( 0 ) + (−1 ) ( 0 ) + − 2 (1 )+ = 2 0 2 2 2 1 + y 1+ y 1 + y 1 + y

 uestra e"ua"i%n a´11 u&& + 2 a´12 u&( + a´22 u (( + ´  1 u & + ´2 u( + "u + $ =0 al sustituir sustituir a´11=0, a´12 =2 ( y + 1 ) , a´22 =0  ´ 1= 0,  ´  2=0, " =0, $ =0 2

2

(

2

)

es ( 0 ) u && + 2 2 ( y + 1 ) u&( + ( 0 ) u((+ ( 0 ) u & + ( 0 ) u( + ( 0 ) u + 0 =0 2

2

de donde donde 4 ( y  y + 1 ) u&( =0 "omo y + 1 ≠ 0 setiene $inal $inalmen menteu teu &(=0 2

2

(

2

)

integr integrandose andose otien otienee la solu"i solu"i%n %n genera generall u ( x , y ) =-1 ( & ) + -2 ( ( )= -1  x −  y + -2 ( x + 2 y ) 3

3

dadau ( x , 0 ) =$  ( ( x ) , u y ( x  x , 0 ) = g ( x  x )

(

2

)

se tien tienee u ( x  x , 0 ) =-1  x  x − (0 ) + -2 ( x  x + 2 ( 0 ) )= $  ( ( x  x ) 3

3

de dond dondee -1 ( x )+ -2 ( x  x ) =$  ( ( x ) … ( 1 ) deriva derivando ndo se tiene tiene - 1 ( x  x ) + - 2 ( x  x )= $  ( x  x ) … ( 2 )  

 

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

 

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. 2

. 

(

2

3

)

. 

u y =−2 y - 1  x −  y +2 - 2 ( x + 2 y ) 3

. 

(

u y ( x  x , 0 )=−2 ( 0 ) - 1  x  x − 2

2 3

)

( 0 ) + 2 - . ( x x + 2 ( 0 ) )=2 - .  ( x ) 3

2

2

 

1

 

"onu y ( x  x , 0 ) =g ( x  x ) , se tien tienee 2 - 2 ( x  x )= g ( x  x ) de dond dondee - 2 ( x  x )= g ( x  x ) 2

integrando integrando… … ( 3 ) -2 ( x  x )=

1 2

 x

∫ g (s )ds 0

sustituyendo sustituyendo en ( 1 ) - 1 ( x  x )= $  ( ( x  x )−

1

 x

∫ g ( s ) ds s

2❑

2

(

)

2

(

2

)

se tien tienee que que u ( x , y ) =-1  x −  y + -2 ( x + 2  y )= $   x  x −  y −

(

3

3

2

)

$inalmente $inalmente u ( x , y )= $   x −  y + 3

3

1 2

3

3

 x −  y

1 2

3

3

∫

g ( s ) ds +

0

1

 x + 2 y

∫

2 ❑

g ( s ) ds

 x + 2 y

∫ 2

 x −  y

g ( s ) ds 3

3

 ¿ u xx−2 senx senx u xy −( 3 + cos  x ) u yy + u x + ( 2− senx −cos x ) u y =0 2

− x

u ( x , "osx )= 0, u y ( x , cos x ) =e

2

cos x

a11=1, a12=−senx,a22=−( 3 +cos  x ) , 1=1, 2 =2− senx−"osx," = 0, $ =0 2

a12 −a 11 a22=(−senx ) −( 1 ) (−( 3 + cos  x ) ) = sen  x + 3 + cos  x =4 > 0 2

2

2

2

2

tenemos tenemosuna una e"ua"i%n e"ua"i%n #iper%li" #iper%li"a a  dy a12 ) √ a12 −a11 a22 −senx) √ 4 si = = =−senx) 2 dx a11 1 2

se tiene tiene

 dy =−senx +2 *dy =−senxdx +2 dx , dx

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. integrando y ="osx + 2 x + " 1 sea& = y − "osx −2 x , & x = senx−2, &  y =1, & xx ="osx,& xy =0, & yy =0  dy "on =−senx −2 * dy =−senxdx −2 dx dx integrando y ="osx −2 x + "2 sea(= y −"osx + 2 x , ( x =senx + 2, ( y =1, ( xx= "osx,( xy = 0, ( yy=0 sustituim sustituimos os en a´11=a11 & x + 2 a12 & x & y + a 22 & y =( 1 ) ( senx −2 ) + 2 (−senx ) ( senx − 2 ) ( 1 )−( 3 +cos  x ) (1 ) =¿ 2

2

2

2

2

¿ se n2 x −4 senx + 4 −2 se n2 x + 4 senx−3 −cos2 x =−se n2 x −cos2 x + 1 =−1 + 1 =0 a´12= a11 & x ( x + a12 ( & x ( y + & y ( x ) +a22 & y ( y =¿

¿ ( 1 ) ( senx−2 ) ( senx + 2 ) + (− senx ) ( ( senx−2 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( senx + 2 ) )−( 3 +cos2 x ) ( 1 ) ( 1 )=¿ ¿ se n2 x −4 + (−senx ) ( senx− 2+ senx +2 )−3 −cos 2 x = se n2 x − 4 −2 se n2 x −3 −cos2 x =¿ ¿− se n2 x − cos2 x −7=−1−7 =−8 a´22= a11 ( x + 2 a12 ( x ( y + a22 ( y =( 1 ) ( senx + 2 ) +2 (−senx ) ( senx + 2 ) ( 1 )−( 3 + cos  x ) ( 1 ) =¿ 2

2

2

2

2

¿ se n2 x + 4 senx + 4 −2 se n2 x − 4 senx−3 −cos2 x =−se n2 x −cos2 x + 1 =−1 + 1 =0 ´1= a11 & xx + 2 a12 & xy + a 22 & yy+ 1 & x +  2 & y =¿ 2

3 + cos  x

−(¿ −(¿ ) ¿ ¿ ( 1 ) ( "osx )+ 2 ( senx ) ( 0 )+ ¿ ¿ "osx + senx −2 + 2− senx − "osx=0 ´2= a11 ( xx + 2 a12 ( xy + a22 ( yy + 1 ( x + 2 ( y =¿

¿ ( 1 ) ( "osx )+ 2 ( senx ) ( 0 )+( −( 3 +cos2 x ) ) ( 0 ) + ( 1 ) ( senx + 2 ) + ( 2 −senx −"osx ) (1 )=¿ ¿ "osx + senx + 2+ 2− senx −"osx =4  uestrae"ua"i%n  uestra e"ua"i%n a´11 u&& + 2 a´12 u&( + a´22 u (( + ´  1 u & + ´ 2 u( + "u + $  =0 al sustitui sustituirr a´11=0, a´12=−8, a´22=0,  ´ 1 =0,  ´ 2= 4, " =0, $ = 0 Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. es ( 0 ) u && + 2 (−8 ) u&( + ( 0 ) u(( + ( 0 ) u& + ( 4 ) u( + ( 0 ) u + 0 =0 de don donde de−16 u &( + 4 u(= 0 $inalmente 4 u &( −u(=0 Sea- =u n , de 4 u &(−u(=0 setiene

 ∂ - 1  ∂ - 1  − -= 0 dedonde = ∂ & ∂& 4 - 4 &

&

 ∂ u ( ϵ  , , ( ) integrando integrando /n-= & + " ,dedon ,dedonde -=u (=e $  ( ( ( ) ,estoes =e 4 $  ( ( ( ) ∂( 4 1

4

&

∫

&

integr integrandose andose tiene tiene u ( ϵ  , , ( )−u ( & , 0 )= e $  ( ( ( ) d(= e ( F   F  ( ( ( )− F ( 0 ) ) "onF ( 0 )=0, &

4

4

&

u ( ϵ  , , ( )=u ( & , 0 )+ e  F ( ( )=0 ( & ) + e 4  F ( ( ) 4

des#a"i des#a"iend endo o el "amio "amiode de varia varialela lela solu"i solu"i%n %n generales generales  y − "osx − 2 x

u ( x , y )=e

 F ( y −"osx + 2 x ) + 0 ( y − "osx−2 x )

4

cos−"osx −2 x

"omo "omo u ( x  x , "osx )=0 setieneu ( x  x , "osx )=e

 F ( "osx −"osx + 2 x )+ 0 ( "osx −"osx − 2 x )=0 *

2

− x

* e 2  F ( 2 x ) + 0 (−2 x )= 0 ( ¿ ) 1

− x

− x . 

. 

deriva derivando ndo se tiene tiene− e  F ( 2 x )+ 2 e 2  F  ( 2 x )−2 0 (−2 x ) =0 ( 1 ) 2

2

()

tomandou y ( x  x , y )= 1

 1

4

1 4

4

"osx − "osx−2 x 4

e

− x

( 1 ) F .  ( y −"osx + 2 x )+ 0. ( y − "osx −2 x ) =¿

4

 y − "osx − 2 x

 F ( y − "osx + 2 x ) + e

4

4

 1

e

 y −"osx − 2 x

 F ( y −"osx + 2 x ) + e

4

 y − "osx −2  x

u y ( x  x , y )= e

u y ( x  x , "osx )=

 y −"osx −2 x

. 

. 

 F  ( y − "osx+ 2 x ) + 0 ( y −"osx−2 x ) "osx −"osx−2 x

 F ( "osx −"osx + 2 x ) + e

− x

4

 

 

 F  ( "osx − "osx + 2 x ) + 0 ( "osx −"osx −2 x ) − x

. 

. 

¿ e  F ( 2 x )+ e  F  ( 2 x ) + 0 (−2 x ) ,"omou y ( x  x , "osx )= e 2 "osx 2

2

4

1 4

− x

− x

− x  

 

e  F ( 2 x )+ e  F  ( 2 x ) + 0 (−2 x )=e 2

2

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

2

"osx ( 2 )

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. − x − x −1 2 ( ) .  .  e  F  2 x + 2 e 2  F  ( 2 x )−2 0 (−2 x )= 0 2 multipli"amos por 2 a (2 ) y lasuma lasumamo moss a ( 1 ) + − x − x − x 1 2 .  .  2 e  F ( 2 x )+ 2 e  F  ( 2 x ) + 2 0 (−2 x )= e 2 "osx 2

− x

4e

2

− x . 

 F  ( 2 x )= 2 e

2

"osx  x  

 

multipli multipli"amosla "amosla igualdad igualdad por e 2 se tiene tiene 4 F  ( 2 x )=2 "osx* 2 F  ( 2 x )= "osx  /ntegrando F  ( ( 2 x )= senx*F ( y −senx + 2 x )= sen

(

 y − senx +2 x 2

)

− x

sustituye sustituyendo ndo en ( ¿ ) e 2  F ( 2 x ) + 0 (−2 x )= 0 setiene − x

− x

0 (−2 x )=−e  F ( 2 x )=−e 2

2

sen

(

 y − senx + 2 x 2

)

 y − "osx −2  x

la solu solu"i "i%ngene %ngenera rall es u ( x  x , y )=e  y −"osx − 2 x

u ( x , y )=e

4

sen

(

 y − senx + 2 x 2

 F ( y − "osx + 2 x ) + 0 ( y −"osx −2 x ) =¿

4

)−

− x

e

2

sen

(

 y −senx + 2 x 2

)

" ¿ u xx +2cos x u xy − sen  x u yy − senxu y =0 , u ( x  x , sen x )= x + cos x , u y ( x , sen x )= senx 2

2

a11=1, a12="osx,a22=−se n  x , 1= 0,  2=−senx," =0, $ =0 a12 −a 11 a22=( "osx ) −( 1 ) (−se n  x ) =cos  x + sen  x =1 > 0 2

2

2

2

2

tenemos tenemosuna una e"ua"i%n e"ua"i%n #iper%li" #iper%li"a a  dy a12 ) √ a12 −a11 a22 "osx "osx ) √ 1 si = "osx ) 1 = ="osx dx a11 1 2

 dy se tiene tiene ="osx + 1 * dy ="osxdx + dx , dx integrando y = senx + x + " 1 ,sea&= y −senx − x , & x =−"osx −1, & y =1, & xx= senx,& xy =0, & yy =0

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y.  dy "on ="osx −1 * dy ="osxdx −dx dx integrando y = senx − x + " 2 ,sea( = y − senx + x , ( x =−"osx + 1, ( y =1, ( xx =senx,( xy =0, ( yy =0 sustituim sustituimos os en a´11=a11 & x + 2 a12 & x & y + a 22 & y =( 1 ) (−"osx −1 ) + 2 ( "osx ) (−"osx −1 ) ( 1 )+ (−se n  x ) ( 1 ) =¿ 2

2

2

2

2

¿ cos2 x + 2 "osx + 1 −2cos2 x −2 "osx − se n2 x =−cos2 x + 1−se n2 x =−1 +1 =0 a´12= a11 & x ( x + a12 ( & x ( y + & y ( x ) +a22 & y ( y =¿

¿ ( 1 ) (−"osx −1 ) (−"osx + 1 ) + ( "osx ) ( (−"osx−1 ) ( 1 ) + ( 1 ) (−"osx + 1 ) ) +(−se n2 x )( 1 ) (1 )=¿ ¿ cos2 x −1 + ( "osx ) (−"osx −1− "osx +1 )− se n2 x =cos 2 x −1 −2cos 2 x − se n2 x =−1− cos2 x −se n2 x =−2 2

2

2

2

2

a´22= a11 ( x + 2 a12 ( x ( y + a22 ( y =( 1 ) ( −"osx + 1 ) + 2 ( "osx ) ( −"osx + 1 ) ( 1 ) +(− se n  x ) ( 1 ) =¿

¿ cos2 x −2 "osx + 1−2cos 2 x + 2 "osx − se n2 x =−cos2 x + 1−se n2 x =−1 +1 =0 ´1= a11 & xx + 2 a12 & xy + a 22 & yy+ 1 & x +  2 & y =¿

¿ ( 1 ) ( senx ) + 2 ( "osx ) ( 0 )+ (−se n2 x ) ( 0 ) +( 0 ) (−"osx−1 ) + (−senx ) ( 1 )= sen −senx =0 ´2= a11 ( xx + 2 a12 ( xy + a22 ( yy + 1 ( x + 2 ( y =¿

¿ ( 1 ) ( senx ) + 2 ( "osx ) ( 0 )+ (−se n2 x ) ( 0 ) +( 0 ) (−"osx +1 ) + (−senx ) ( 1 )=senx −senx =0  uestra e"ua"i%n a´11 u&& + 2 a´12 u&( + a´22 u (( + ´  1 u & + ´2 u( + "u + $ =0 al sustitui sustituirr a´11=0, a´12=−2, a´22 =0,  ´ 1= 0,  ´  2=0, " =0, $ =0 es ( 0 ) u && + 2 (−2 ) u&(+ ( 0 ) u((+ ( 0 ) u & + ( 0 ) u( + ( 0 ) u + 0 =0 de donde donde− 4 u&(= 0 $inalmenteu &( =0 integrando integrandose se otiene otiene la solu"i solu"i%n %n generalu generalu ( x  x , y )= -1 ( & ) + - 2 ( ( )=- 1 ( y− senx − x ) + -2 ( y −senx + x ) dadau ( x , senx )= x + "osx "osx ,u y ( x , senx )= senx

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. se tien tienee u ( x , senx )=- 1 ( ( senx )− senx − x ) + - 2 ( ( senx )− senx + x )= -1 (− x )+ -2 ( x )= x + "osx de dond dondee -1 (− x ) + - 2 ( x  x )= x + "osx… ( 1 ) derivandosetiene− - 1 (− x )+ - 2 ( x  x )=1 −senx…( 2)  

 

u y =( 1 ) - 1 ( y− senx − x ) + ( 1 ) -2 ( y −senx + x )= - 1 ( y− senx − x ) + -2 ( y− sen + x ) =senx  

 

 

 

u y ( x  x , senx ) =- 1 ( senx −senx − x ) + -2 ( senx − senx + x )=- 1 (− x ) + - 2 ( x  x )= senx  

 

 

 

integrando− -1 (− x ) + - 2 ( x  x )=−"osx… ( 3 ) tenemos tenemos el siguiente siguiente sistema sistema

{

1 - 1 (− x )+ - 2 ( x  x ) = x + "osx sum1ndolas 2 - 2 ( x  x ) = x * -2 ( x  x ) =  x 2  x )=−"osx −- 1 (− x ) + -2 ( x

- 1 (− x ) + -2 ( x  x )= x + "osx*- 1 (− x ) =−- 2 ( x  x ) + x +"osx =

−1 x  x "osx 1 x "osx + + = + 2

2

se tieneque tieneque u ( x  x , y )= -1 ( y −senx − x )+ - 2 ( y− senx + x ) =

1 2

 x −senx + x ) ( y− senx+ x ) +cos ( y −senx + x )+ 1 ( x 2

$inalmente $inalmente u ( x  x , y )= y −senx + x + cos ( y − senx + x )

3. Una onda esf&rica es una solucin de la ecuacin de onda tres dimensional

u ( x  x , y , z , t )= 3 ( √  x  x + y + z ,t ) 2

forma

2

2

,

esto es' depende slo de

utt = "

2

t   y de la distancia

∇

2

u

de la

r  al origen.

Encuentre la EDP para 3 ( r , t ) y su solucin general. $ugerencia% Use el hecho #ue en coordenadas esf&ricas% 2

2

( )

2

(

)

2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  1 ∂ 1  1 2 ∂ r 4 + + = + + sin 2 2 2 2 ∂ r r 2 sin 4 ∂4 ∂ 4 r 2 sin2 4 ∂ '2 ∂x ∂ y ∂ z r ∂r /i"$iendo el pro#edimiento a (a)o la transformacin

3  ( ( r , 4 , ' )=u ( r sin4 sin4 cos ' , r sin 4 sin ' , r cos 4 , t )

ecuacin de onda se

transforma en 2

(

2

)

1

2

3 tt = " 3 rr +  3 r =  " ( r3  ) )rr r r !omo !omo x= r sen4 sen4 cos ' , y =r sin 4sen',z =r"os4 Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. 2 2 2 2 2 2  x + y + z =√ ( r sen4 sen4 cos ' , ) + ( rsen4 sin ' ) + ( r"os4 ) √  x

¿ √ r 2 sen2 4 cos2 ' +r 2 sen 2 4 sen2 ' + r 2 cos2 4= √ r 2 ( sen2 4 ( cos2 ' + sen2 ' ) + cos2 4 ) ¿ √ r 2 ( sen2 4 +cos 2 4 ) =r u ( x  x , y , z , t )= 3 ( √  x + y + z , t )=u ( r sin4 sin4 cos ' , r sin 4 sin ' , r cos 4 , t ) =3 ( r , t ) 2

2

2

1 ∂

( )

(

)

2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1  El lapla"iano en "oordenadas es$5ri"as es 2 r + 2 + 2 2 sin 4 ∂ r r sin 4 ∂ 4 ∂ 4 r sin 4 ∂ '2 r ∂r

[ ( )

(

)

2

]

1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ sin 4 tenemosutt =" 6 u =" 2 r + 2 + 2 2 3  ( ( r , t )=¿ ∂r r sin 4 ∂ 4 ∂ 4 r sin 4 ∂ '2 r ∂r 2

[ ( [ ( [ (

2

 1 ∂

2

2

)

(

)

]

 ∂3   ∂ 3  ( ( r , t )  ∂ 3  ( ( r , t ) 1 ∂ ∂ 3  ( ( r , t ) ∂ 1 r ¿" 2 + 2 + 2 2 =¿ sin 4 2 ∂r ∂4 r ∂r r sin 4 ∂ 4 r sin 4 ∂ ' 2

¿ "2

 1 ∂

 1 ∂

2 r ∂r

2

r

2

2

]

)

∂ 3  ( ( r ,t  ) ∂ 1  ( sin 4 ) ( 0 ) + 12 ∂2 ( 0 ) =¿ + 2 ∂r r sin 4 ∂ 4 r sin 4

)] [

] [ )] [

] [ ) ] [  (

]

2 ∂ 3  ( ( r , t ) ∂ 2 " 2  1 2  1 2 2 2 r ¿" 2 =" 2  ( r 3 r ) =" 2 ( 2 r 3 r + r 3 rr ) = "  3 r + 3 rr = [ 2 3 r + r 3 rr ]=¿ ∂r r r r ∂r r ∂r r 2

 1 ∂

2

2

2

2

] [ (

2

2

)]

 " " " ∂ ∂ " ∂ " ∂ ∂  3 +  ( r 3 r = 3 + r 3 r ) =  ( r3  ) ) =¿ ¿ [3 r + 3 r + r 3 rr ]= 3 r + ( 3 r + r 3 rr = r r r ∂r ∂r r ∂r r ∂r ∂ r 2

 [

2

 " ∂  ( r3  ) )= 1 " 2 ( r3  ) )rr QED ¿ 2 r ∂r r

(

)

2

1

 Finalmente3   Finalmente 3 tt =" 3 rr +  3 r =  " ( r3  ) )rr r r 2

b *ntrodu+ca la funcin

2

7  ( ( r , t )=r 3 ( r , t )

y reescriba la ecuacin #ue obtuvo en el paso

anterior. Esto lo lleva a una ecuacin de onda unidimensional 1

.

 Dado3   Dado 3 tt =  " ( r3  ) )rr multip multipli" li"amos amos por por r amos amos lados lados de laigualdad laigualdad r 2

tene tenemo moss r 3 tt = r

(

1

r

)

 " ( r3  ) )rr =" ( r3  ) )rr 2

2

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y. "omornoes$un"i%ndet,r3 tt =( r3  ) )tt  de donde donde ( r3 )tt = " ( r3 )rr 2

siendo siendo 7  ( ( r , t )=r3  ( ( r , t ) la e"ua" e"ua"i% i%n n seredu" seredu"ee a 7 tt  tt = " 7 rr … ( 1) 2

la"ual esla e"ua"i e"ua"i%n %n deond de onda a unidim unidimens ension ional al "onvelo"ida "onvelo"idad d de propa propaga"i ga"i%n %n " , r si e$e" e$e"tu tuamo amoss un"amiode un"amiode es"al es"ala, a, sea sea y=  , "

(

) ( )

2 1 ∂ 7  y ∂ y  1 ∂ ∂ ∂ 7  ∂ y ∂ 1  (  )   ) 7   7  sustituyend endo o en ( 1 ) setiene = = =  =  7  , sustituy 2 ∂r ∂ y ∂r ∂ r "  y " ∂ y ∂ r "2  yy ∂r

2

7 tt = "

( )  1

"

2

7  yy dedonde7 tt =7  yy QED

7  ( ( r , t )

# Dar la solucin general

a la ecuacin anterior y de ah, obtenga la solucin

1

3  ( ( r , t )=  7  ( ( r ,t  ) r

.

 Dada 7 tt =7  yy setien setienee 7 tt −7  yy =0 *  dy 0 ) √ 0 −( 1 ) (−1 ) las "urvas"ara"t "urvas"ara"ter8s er8sti"a ti"ass est1n est1n dadas dadas por  = =) 1 dt  1 dy  = 1 integrando y =t + 9  dt  de donde donde dy =−1 integrando y =−t + : dt  9 = y −t , 9  y =1, 9 t =−1, 9  yy =0, 9  yt =0, 9 tt =0 sean  : = y + t , : y =1, : t =1, :  yy=0, : yt =0, :tt =0 2

2

2

2

2

7  yy =7 99 9  y + 2 7 9: 9  y : y + 7  :: : y + 7 9 9  yy + 7  : : yy =7 99  ( 1 ) + 2 7 9: ( 1 ) ( 1 )+7  :: ( 1 ) + 7 9 ( 0 ) + 7  : ( 0 )= ¿ 7  yy=7 99 + 2 7 9: + 7  :: 7 tt =7 99 9 t + 2 7 9: 9 t  : t + 7  :: : t  + 7 9  9 tt + 7  : :tt =7 99  (−1 ) + 2 7 9: (−1 ) ( 1 ) +7  :: ( 1 ) + 7 9 ( 0 )+ 7  : ( 0 ) 7 tt =7 99 −2 7 9: + 7  :: 7 tt −7  yy=0 * 7 99 −2 7 9: + 7  ::−( 7 99 + 2 7 9: + 7  :: ) =7 99 −2 7 9: +7  :: −7 99 −2 7 9: −7  ::=0 * *− 4 7 9: =0 $inalmente $inalmente 7 9: =0 su solu solu"i "i%n %n gene generales rales del del tipo7  tipo7  ( ( 9 , : )= F  ( ( 9 ) + 0 ( :  : )  r  r #a"ien #a"iendo do el "amiode "amiode varial varialee 7  ( ( y  y , t )= F ( y− t ) + 0 ( y+ t ) = F  −t  + 0  + t  = F  ( ( r −"t ) + 0 ( r + "t ) , " " "omo7  ( ( r , t )= r3  ( ( r , t ) se tien tienee r3  ( ( r ,t )= F ( r −"t ) + 0 ( r + "t ) 2

2

2

2

( ) ( )

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

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Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 3. Resolucin del problema de Cauchy. Cauch y.  F ( r −"t )+ 0 ( r + "t ) 1

1

3  ( ( r ,t )=  7  ( ( r , t )=  ¿ r r

Referencias http%--.fisica.ru-dfmg-teacher-archivos-/ndas.pdf  . http%--.fisica.ru-dfmg-teacher-archivos-/ndas.pdf . Cabada. A.. 2011. 'roblema& re&$elto& de e#$a#ione& en derivada& par#iale&. 01!11!2015 de 3ebper&oai& /itio 3eb. pphttp!!3eb&per&oai&.$&#.e&!e4port!&ite&!dea$lt!per&oai&!alberto.#abada!de&#ar"a&!(D' pphttp!!3eb&per&oai&.$&#.e&!e4port!&ite&!dea$lt!per&oai&!alberto.#abada!de&#ar"a&!(D' Cabada.pd  pp6)**  pp6)** Lecciones s sobre sobre ecuacio ecuaciones nes en derivada derivadas s parciale parciales, s, 1)7) C$ba +n&tit$to del Petrovs0 Petrovs0i' i' *.' Leccione libro.pp 85.

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi.

05 Noviembre 2015