MEDP_U2_A2_JOMH

Ecuaciones diferenciales Parciales. Unidad 2. El problema de Cauchy  para EDP de segundo orden Actividad 2. Discusión de dos problemas

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 Joel Alberto Montalvo Montalvo Hernández Hernández AL12523631

ECUACIONES DIE!ENCIALES "A!CIALES D!A#MA!IA D!A #MA!IA DEL CA!MEN LO$ANO A!I$MENDI

Joel Alberto Montalvo Hernández Dra. María del Carmen Lozano Arizmendi

05 Noviembre 2015

Ecuaciones diferenciales parciales Unidad 1. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden.  Actividad 2. Discusión de dos problemas. 1. !

Para Para una una cuerda cuerda infin infinita ita "i.e. "i.e. no hay #ue #ue preo preocup cupar arse se por por las cond condici icione ones s inicial iniciales es!$ !$ %#u& %#u&

condiciones iniciales dar'an lugar a una onda #ue se mueve sólo hacia adelante( E)prese su respuesta

en

t&rminos

del

despla*amiento

inicial

u ( x , 0)= f  (  ( x ) y

veloc elocid idad ad

inic inicia iall

ut ( x , 0 )= g ( x )  y sus derivadas

f ' ( x ) , g ‘ ( x )  . nterpretar el resultado intuitivamente. La &ol$#i/n de la e#$a#i/n de la #$erda no& la propor#iona la /rm$la de DAlambert  x + ct  f  ( ( x  x + ct ) + f  ( ( x − ct ) 1 u ( x , t )= F ( x −ct ) + G ( x + ct ) = + g ( s ) ds , 2 2 c  x − ct  con c la velocidad velocidad de propopagac propopagación ión  F ( x −ct ) repr epresent esenta a una una onda onda que que se mu muev evee a laderec laderecha ha y G ( x + ct ) una una que que se mu muevea evea la izqu izquie ierrda '   Para obtener obtener una onda que semueve se mueve soloa la derechaG derechaG ( x + ct )=G ( x + ct )=0 las condici condicionesinicia onesiniciales les serán serán u ( x , 0 )= 0, x < 0 no tenemosun tenemosun perfil perfil quese pro propagu paguee a la derech derecha a f  ( ( x ) , x > 0 ut  ( x , 0 )= g ( x , 0 ) = 0, x 0 í&i#amente tendríamo& $na #$erda ininita &$3eta por el p$nto medio 4607 a la #$al &e la da $n peril 8 $n

∫

{

{

imp$l&o ini#ial para $n 90 #on e&to &e "enera $na onda ,$e &e moverá &iempre ha#ia adelante 4no ha8 imp$l&o ,$e &e propor#ione ha#ia la iz,$ierda7 #omo la #$erda e& ininita no tendremo& $na onda rele3ada. (l e,$ivalente &ería $na #$erda &emi:ininita &$3eta por $n etremo.

ii! Una Un a ve* m+s para una cuerda infinita$ supongamos #ue

¿ x ∨¿ a

cero para

despla*amiento

a > 0 . Probar #ue si

$ por alg,n n,mero real

u ( x ,t )

ut ( x , 0 )= g ( x )  son

u ( x , 0)= f  ( x )  y

t + x > a  y

t − x > a $ entonces el

de la cadena es constante. -elacionar esta constante de

g ( x )  .

Como $407 4760 $era del intervalo ;:aa< tenemo& para t60 $na onda #$8o& etremo& &on lo& p$nto& &on  4:a07 8 4a07 no importa el peril de la onda p$ede &er trian"$lar #$adrada &emi#ir#$lar &enoidal et#. lo ,$e importa e& ,$e &$ lon"it$d de onda e& 2a #omo "47 ,$e e& la velo#idad ini#ial el imp$l&o ini#ial de la onda 4,$e no e& lo mi&mo ,$e la velo#idad de propa"a#i/n #7 &olo &e pre&enta en el intervalo 4:aa7. 0, x + t > a

{

e tien tienee g ( x )= g ( x ) , −a ! x ! a 0, x −t