MEDP_U1_A2_.pdf

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas:

1. Determine todas las soluciones de la ecuación:

                                      Realizando las ecuaciones características /(  + )=

/(  –  )=

/(  + )

Ecuaciones paramétricas. /dt=(  + );

/dt=(  –  );

/dt=(  + )

Lo que implica.

Las integrales quedan.

Se despeja u

2. Sea la ecuación

                                             

y las curvas dato a)

 b)

Resolver el problema de Cauchy para el dato (a). Análogamente para el dato (b). La ecuación característica.

Para el inciso a)

Se tiene x=s para

     √                     ∫ ∫                                                 ()                |  |       Sacando raíz

Integrando la segunda ecuación.

Integrando queda:

Por condición inicial y=0, sea que t=0, c=0

Igualando

Despejando

Sustituyendo

Integrando

Con

 ] | |  [            |  |         | |                     ∫  ∫                                      Igualando ecuaciones Recodando que y=0

Recordando |

|=1

Como c=4

A partir de la ecuación

Despejando la solución del sistema a través de u

Para el inciso b)

Parametrizando x=s

 = 1,  = 0

()       | |   

Despejando

Sustituyendo

Integrando

    ] | |  [            | |                     | |      Con

Igualando ecuaciones

Recordando

=1

Despejando

3. Consideremos la ecuación

       

Calcular la solución que verifica el dato

,

.

( )                    (    )     (    )       (    ) (    )           (    ) (    )           Con la ecuación:

Lo que implica

Las ecuaciones características quedan:

Para resolver z(s)

Sustituyendo para p’(s) se tiene

Integrando.

Por otro lado.

Aplicando y sustituyendo para

       |  |     | |                                        | | | | |        |  | |                      Usando

,

Parametrizando

Entonces tenemos

Para los puntos en

Despejando s

Sustituyendo

y para

4. Resolver el problema de Cauchy para:

                                                               Corresponde a curvas

Para la solución se tiene=

Donde

Con

Donde

 es aleatoria con solución:

, para el cambio de variable

 , lo que implica

Con la igualdad

Por lo que se obtiene

   5. Sea la ecuación:

                                                   Determine la solución que verifica:

.

Se tiene

Parametrizando Γ como

La curva inicial Γ en φ y ψ y satisface:

y las ecuaciones características:

Por lo que

El valor inicial que corresponde

Implica

               Se tiene finalmente que

Referencias. Lokenath Debnath. (2007). The Cauchy Problem and Wave Equations. En Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers(117-168). USA: Birkh¨auser. http://sharif.ir/~moosavi/Myint-U_DebnathLinear_Partial_Differential_Equations_for_Scientists_and_Engineers.pdf 

Ireneo Peral Alonso. (2004). Ecuaciones en Derivadas Parciales. octubre 2017, de Universidad Autónoma de Madrid Sitio web: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf