MEDP_U1_A2_

1. Resuelva el problema de Cauchy siguiente:

Considerando que:

                              

Ahora se debe despejar la ecuación:

La solución es de la forma  =

Si



=au, es la solución con

Para

 

Y se toma

(

;

), con  =

, sustituyendo en  =

 no cumple, por otro lado



Recordando que

    

, sustituyendo

:

 si cumple las condiciones.

, la nueva ecuación es:

      

El resultado cumple.

 lo que implica

    

2. Dos superficies se dicen ortogonales si son ortogonales sus planos tangente s en los  puntos en que se cortan. Demuestre que para que la gráfica de la función



 sea una superficie

ortogonal a la familia uniparamétrica de superficies definida implícitamente por

   

 es necesario y suficiente que verifique la ecuación

    Encuentre las superficies ortogonales a la familia definida por

           ( , , )=

  

.

( , ) −  = 0

Recordando que los vectores normales ortogonales también son planos ortogonales ( , , , )=0

Realizando el gradiente a las superficies se obtiene los vectores ortogo nales de las superficies S y F.

⃗     ⃗                 ⃗    ⃗                 ⃗ ⃗ ⃗⃗   [ ][   ]                              ( , , ) =  (Φ( , ) − )

( , , )

Sin las superficies entonces son ortogonales lo que implica que

Dado lo anterior por su equivalencia:

Entonces dada la familia que se ha de finido como

 y f:

Aplicando la derivada parcial.

Por lo tanto

                                             

Las ecuaciones características quedan:

Las dos primeras identidades para suma de fracciones

Igualando con el tercero

Ahora se integra:

     

  

Sustituyendo la variable para integrar, tal que  =  +

        

Haciendo el cambio de variable

   

Agregando la constante de integración

      

Lo que implica

           

Para las superficies ortogonales

3. Considerar la ecuación cuasilineal

y la curva dato

      .

a) Comprobar si se cumple la condición de transversalidad. En el caso que se cumpla, resolver el problema de Cauchy La parametrización queda

  

              Derivando

      Y siendo que:

     |  |   Obteniendo el determinante

        Cumple la condición de transversalidad ya que es diferente a cero. La EDP tiene solución, las ecuaciones características son:

          

           Si

Entonces despejando dt

   Integrando

Ya que

∫ ∫ 

    

  

Ya que C=1 implica que

Ahora realizando para

   

     Integrando ∫  ∫    

  

Despejando dt :

Tomando

      

  

Ya que C=1 se tiene

Ahora para

   



Ya que se obtuvo

  

                       Sustituyendo

    Integrando

      ( )             Y tomando

Despejando

      La ecuación queda:

    Debemos obtener el valor para s.

Despejando



     en ambos casos

  

    Igualando ambas ecuaciones

   

Como

                            

Sustituyendo

Quitando el logaritmo

    Referencias. Lokenath Debnath. (2007). The Cauchy Problem and Wave Equations. En Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers(117-168). USA: Birkh¨auser. http://sharif.ir/~moosavi/Myint-U_DebnathLinear_Partial_Differential_Equations_for_Scientists_and_Engineers.pdf Ireneo Peral Alonso. (2004). Ecuaciones en Derivadas Parciales. octubre 2017, de Universidad Autónoma de Madrid Sitio web: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf Apostol, T. (1967). Calculus. Vol. 2. Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probabilityy. México: Editorial Reverte