Medidas de Tendencia Central

 

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Nos dan un centro de la distribución de frecuencias, es decir, dan una idea de un número alrededor del cual tienden a concentrarse todo un conjunto de datos. Es un valor que se puede tomar como representativo de todos los datos. Hay diferentes modos para definir el "centro" de las observaciones en un conjunto de datos. Por orden de importancia, son:

MEDIA: MEDIA: (media aritmética o simplemente media). La media aritmética, es la suma de las puntuaciones o valores originales dividida entre el número de ellas. Es el promedio aritmético de las observaciones. Si x i es el valor de la variable y n su frecuencia, tenemos que:

EJEMPLO. Las calificaciones en una evaluación sobre 100 puntos fueron: 60, 55, 70, 70, 85 y 80. Luego, X = 420 = 70. (La calificación media es 70 puntos.) Nota: Las puntuaciones extremas afectan o modifican la media, a saber: En los grupos de valores 1,3,5,5,5,6 1 ,3,5,5,5,6 y 1,3,5,5,5,110 las medias son 4.2 en el primer grupo y 21.5 en el segundo. Estos dos grupos no tienen la misma media, por lo tanto, en un conjunto de valores donde existen valores muy extremos, no se debe calcular la media

MEDIANA (Me): es el valor que separa por la mitad las observaciones ordenadas de menor a mayor, de tal forma que el 50% de estas son menores que la mediana y el otro 50% son mayores. Si el número de datos es impar la mediana será el valor central, si es par tomaremos como mediana med iana la media aritmética de los dos valores centrales.

 

  Series simples Serie para datos sin agrupar:

Datos agrupados:

EJEMPLO. (a) 6,11,9,12,13,10,20,15,17. Al ordenarlos se obtiene: 6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es 12. Md=12 (b) 9,10,12,11,3,6,20,17,13,15. Al ordenarlos se obtiene: 3,6,9,10,11,12,13,15,17,20. La mediana es el promedio entre 11 y 12, por haber dos valores centrales. Md= 11.5 Nota: Una característica de la mediana es su insensibilidad hacia los valores extremos. Así, en el conjunto de valores: 2, 3,8,11,48 la Md= 8; esto es verdad aún y cuando hay un valor extremo de 48. Si cambiamos éste valor por 98 la mediana seguiría siendo la misma. Esta característica de la mediana la hace muy útil para la descripción de la tendencia central en ciertos tipos de distribuciones en las cuales la media es una medida inaceptable de tendencia central, debido a su sensibilidad hacia las calificaciones extremas.

 

 

MODA (M0): es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, aquella cuya frecuencia absoluta es mayor. No tiene porque ser única.

EJEMPLO. 1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,5,6,8. La cifra 3 aparece cuatro veces lo cual es mas frecuente que otro valor; por lo cual el valor modal o modo es 3. ( Mo=3) 1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,6,7,8. Las cifras 2 y 4 aparecen cuatro veces. Luego Mo= 2,(Bimodal) Cuando aparecen tres o más veces se denomina Multimodal .

CALCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (PARA DATOS AGRUPADOS)  MEDIA ARITMÉTICA.(X) Cuando se tienen distribuciones de frecuencia y siempre que el valor del intervalo de clase sea constante, es decir, el mismo en cada una de las clases, se puede calcular la Media a través del Método de los desvíos unitarios o Abreviado; Igualmente se puede utilizar el Método directo. METODO ABREVIADO. Pasos para calcular la Media Aritmética: 1.- Se elige una media aritmética supuesta (Xa), la cual es el valor del punto medio de una de las clases; Aunque puede tomarse el punto medio de cualquiera de las clases y obtener el mismo resultado, por facilidad en el cálculo se acostumbra a elegir el de la clase de mayor frecuencia o el de aquella que esté ubicada hacia en el centro de la escala.(En el ejemplo, tomaremos Xa=49 ubicado en 48-50)

 

2.- Se anexa otra columna X, en la cual se anotan las desviaciones respecto a la media supuesta. Como la clase 48-50 contiene a Xa, la desviación es nula, por lo cual anotamos cero en la columna X. El intervalo o clase 51-53 se desvía una clase de la que contiene a la media supuesta, luego, en la columna X anotamos uno (1) para dicho intervalo. Se continúa así hasta llegar a la clase mayor.  A las clases con valores inferiores, se les asigna consecutivamente Los números enteros negativos: -1,-2,-3,-4,-5,... 3.- Se anexa otra columna fiX en la cual se colocan los productos entre la frecuencias fi y la desviación X correspondiente. 4.- Se suman algebraicamente los valores de la columna fiX. 5.- Se reemplazan los valores obtenidos en la fórmula: X = Xa + EfiX. i

EJEMPLO:  CLASE fi x fix 66-68 1 6 6 63-65 2 5 10 60-62 4 4 16 57-59 4 3 12 54-56 5 2 10 51-53 7 1 7 x = 49 + 2.05 48-50 8 0 0 45-47 5 -1 -5 x = 51.05 42-44 3 -2 -6 39-41 2 --3 3 -6 El puntaje medio es: 51.05 36-38 1 -4 -4 33-35 2 -5 -10

METODO DIRECTO. (Método largo) Pasos para calcular la media aritmética, usando éste método: 1.- Se elabora una columna con los puntos medios xi de cada clase. 2.- En otra columna se escribe el producto entre las frecuencias y el punto medio de cada clase (fi.xi) 3.- Se obtiene la sumatoria de los valores de la columna fi.xi 4.- Se reemplazan los valores obtenidos en la fórmula siguiente: EJEMPLO: CLASE fi xi fixi 66-68 1 67 67 63-65 60-62 2 4 64 61 128 244

 

57-59 4 58 232 x= 2246 54-56 5 55 275 44 51-53 7 52 364 x = 51.05 48-50 8 49 392 45-47 5 46 230 42-44 3 43 129 39-41 2 40 80 36-38 1 37 37 33-35 2 34 68 N=44 Efixi= 2246 LA MEDIANA. (Md) Para calcular la mediana a partir de un conjunto de datos que han sido organizados previamente en una tabla de distribución de frecuencias, se procede de la siguiente manera: 1.- Se anexa a la tabla dada una columna fa de frecuencias acumuladas. 2.- Se divide entre 2 el número total de casos, obteniendo N/2.Es decir,se determina el número de casos que han de estar por debajo y por encima de la mediana.(En la tabla del ejemplo que usaremos, N=38 por lo tanto N/2= 38/2= 19. Luego, la mediana es el valor que deja 19 observaciones tanto por debajo como por encima de él. 3.- Se identifica en la columna fa, un valor que sea igual o inmediato superior a N/2; En ésta clase está la mediana.(En la tabla del ejemplo dado, en la columna fa, el valor 24 es inmediato superior a 19 por lo cual, la clase 90-94 contiene a la mediana.) 4.- Se identifica la frecuencia acumulada fa de la clase anterior a la que contiene a la mediana. ( En el ejemplo, 14 es la frecuencia acumulada de la clase 85-89 que precede a 90-94 que contiene a la mediana.) 5.- Se identifica la frecuencia fi de la clase que contiene a la mediana. En el ejemplo ésta es el 10.límite real inferior de la clase que contiene a la mediana. En el 6.- Se identifica ejemplo, éste es 89.5. 7.- Se reemplazan éstos valores en la fórmula EJEMPLO: CLASE fi fa 95-99 14 38 90-94 10 24 85-89 6 14 Md = 89.5 + 2.5 80-84 4 8 75-79 2 4 Md = 92 70-74 N=38 2 2

 

  Interpretación: Por encima y por debajo de 92,se encuentra el 50% de los casos, es decir, 19. LA MODA O EL MODO. (Mo) Se define como el punto medio de la CLASE de mayor frecuencia. En el primer ejemplo, Mo=49. En el segundo ejemplo, Mo=97

MEDIDAS DE DISPERSION Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersión nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como síntesis de la información. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no al son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN ABSOLUTAS  u VARIANZA ( s2 ): es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y la media aritmética del conjunto de observaciones.

Haciendo operaciones en la fórmula anterior obtenemos otra fórmula para calcular la varianza:

Si los datos están agrupados utilizamos las marcas de clase en lugar de X i.

u DESVIACIÓN TÍPICA (S): La varianza viene dada por las mismas unidades que la variable pero al cuadrado, para evitar este problema podemos usar como medida de dispersión la desviación típica que se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza

 

  Para estimar la desviación típica de una población a partir de los datos de una muestra se utiliza la fórmula ( cuasi desviación típica):

MUESTRAL (Re). Es la diferencia entre el valor de las u RECORRIDO O RANGO MUESTRAL (R observaciones mayor y el menor. Re = xmax - xmin  MEDIDAS DE DISPERSIÓN REL RELATIVAS ATIVAS  u COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: PEARSON: Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el coeficiente de variación de Pearson que se define como el cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética

CV representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV  mayor es la dispersión y menor la representatividad de la media.

EJEMPLO 1 El número de diás necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de iguales i guales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 días. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviación típica.

SOLUCIÓN:   La media: media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el número total de datos de los que se dispone:

La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor observamos la secuencia:

 

15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80. Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10 individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60, que es el valor de la mediana. La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60  2

La varianza S : Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

2

Sx =

La desviación típica S: es la raíz cuadrada de la varianza.

S = √ 427,61 = 20.67  El rango: diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor   80 - 15 = 65 días  El coeficiente de variación: cociente entre la desviación típica y el valor absoluto de la media aritmética 

CV = 20,67/52,3 = 0,39 

EJEMPLO 2 El precio de un interruptor in terruptor magentotérmico en 10 comercios de electricidad de una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la media, moda, mediana, (abrir la calculadora estadística, más abajo) diagrama de barras y el diagrama de caja.  SOLUCIÓN:   (Utilizar la calculadora de debajo) 

 

[El diagrama de cajas: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), bigotes el recorrido]  

 

 

  Resumen de Fórmulas

 

 

BIBLIOGRAFIA http://ncastillo.ve.tripod.com/profmscnelsoncastillo/id4.html http://ncastillo.ve.tripod.com/profmscnelsoncastillo/id4.html   http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm