Medidas de Longitud, Superficie y Volumen

 

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CLASE DE GEOMÉTRÍA SISTEMA MÉTRICO DECIMAL DOCENTE: ANDRÉS MAURICIO RAMÍREZ GONZÁLEZ

La idea primigenia y elemental para hablar de cualquier sistema de medidas es partir y fundamentar la importancia que tiene para el hombre, la necesidad de un sistema de comparación que proporcione una idea exacta, o lo más exacta posible de las cantidades. Medir no es más que comparar una cantidad con otra que previamente se ha tomado como absoluta o como patrón inmutable. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. Es el conjunto de medidas que se derivan del metro. Es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su unidad fundamental es el metro; decimal, porque sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias de 10. Hay cinco clases de medidas: de longitud, de superficie, de volumen, de capacidad y de masa (peso). Unidades de Longitud. La Longitud. La unidad de las medidas de longitud es el metro, que se representa por m

Unidades de Superficie. Superficie. La unidad de las medidas de superficie es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado que tiene de lado un metro lineal y se representa por . Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien

Unidades de Volumen. Volumen. La unidad de estas medidas es el metro cúbico, que es un cubo que tiene de arista un metro lineal y se representa por    . Estas medid medidas as aumentan y di disminuyen sminuyen de mil en mil.

             

Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

Kilómetros cuadrados Hectómetros cuadrados Decámetros cuadrados Metros cuadrados Decímetros cuadrados Centímetros cuadrados Milímetros cuadrados

Kilómetros cúbicos Hectómetros cúbicos Decámetros cúbicos Metros cúbicos Decímetros cúbicos Centímetros cúbicos Milímetros cúbicos

Unidades de Capacidad. Muy Capacidad. Muy ligada al volumen esta la medida de la capacidad. En matemáticas se define así: Capacidad es la facultad de los envases huecos para alojar algo. Por ejemplo agua, arena, paquetes, etc. La capacidad puede medirse en las mismas unidades que el volumen: también puede medirse en litros o en múltiplos y submúltiplos del litro.

Kilolitro Hectólitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

1.000   100   10   1   0,1   0,01   0,001  

  1.000.000     10.000    

 

 100    1      0,01     0,0001      0,000001   

   1.000.000.000      100.000.000     1.000       1       0,001    0,000001       0,00000001   

             

1.000   100   10   1   0,1   0,01   0,001  

 

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DOCENTE: ANDRÉS MAURICIO RAMÍREZ GONZÁLEZ

RELACIONES ENTRE UNIDADES DE CAPACIDAD, PESO Y VOLUMEN Un litro es la capacidad de un decímetro cúbico 1 = 1   Un kilogramo es la masa que tiene el agua pura (agua destilada) que cabe en un recipiente de un decímetro cúbico de volumen 1  = 1    De estas dos igualdades resultan las equivalencias entre las unidades de volumen, capacidad y masa

1    = 1 = 1

1   = 1 1 = 1 

1   = 1  = 1  

PERIMETRO La palabra perímetro proviene del latín ĕ, que a su vez deriva de un concepto griego. Más concretamente podemos explicar que en su origen etimológico griego nos encontramos con el hecho de que este término está  – que puede traducirse conformado por dos partes perfectamente diferenciadas. Así, en primer lugar, está el prefijo  – como sinónimo de “alrededor” y, en segundo lugar, se encuentra el vo cablo  que es equivalente a “medida”.  ÁREA Para la geometría, un área es la superficie comprendi comprendida da dentro de un perímetro, que se expresa en unidades de medidas que son conocidas como superficiales. Existen distintas fórmulas para calcular el área de las diferentes figuras, como los triángulos, los cuadriláteros, los círculos y las elipses. (SUPERFICIE: deriva del latín ĭ. En su uso más usual, se refiere a una porción de terreno o al límite de algo) VOLUMEN La idea de volumen puede usarse de distintos modos: en este caso, nos interesa su acepción como la magnitud que señala el espacio ocupado por algo en alto, ancho y largo (es decir, en tres dimensiones) TALLER INDICADOR 1 1.  Determine el perímetro y el área de las siguientes figuras geométricas. (NOTA ( NOTA:: Los trapecios que aparecen en las figuras son isósceles).

2.  A.  B.  C.  D. 

Determine el área y perímetro de los siguientes polígonos regulares Cuadrado de lado 6 dm Pentágono de lado 4 cm Heptágono de lado 5Hm Hexágono de lado 7 m

E.  Octágono de lado 3 Hm

 

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3.  Calcule el área sombreada en cada caso

4.  A.  B.  C. 

Resuelva los siguientes problemas La longitud de una circunferencia es 20, ¿Cuál es su radio? 128 , ¿Cuál es el perímetro? La diagonal de un cuadrado mide √ 128 La longitud del ancho de un rectángulo equivale a los 4/7 de la medida de su largo, si el largo del rectángulo es 91 , ¿Cuál es la longitud del ancho? ¿Cuál es el perímetro?

D.  Unos círculos tangentes exteriormente uno a uno, con radios congruentes ( = 2), están ubicados en un rectángulo como lo ilustra la figura 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

E.  Una circunferencia esta circunscrita circunscrita en un cuadrado de lado igual a 8 cm. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia? F.  El perímetro de un hexágono regular es de 19,8 . ¿Cuál es la longitud de su lado?

G.  Juan compra un terreno con la forma de la figura y decide sembrar pasto sobre la zona gris, si el  de pasto cuesta 8000, ¿Cuánto cuesta el pedido de Juan?

H.  Halle el perímetro de una circunferencia de diámetro 9 cm I.  un cuadrado, un triángulo equilátero y un octágono regular tienen sus perímetros iguales, Determine el área de cada figura J.  El área de un trapecio es 560 y su altura 20. Determine la medida de sus bases si la mayor es el triple de la menor. K.  Calcule la cantidad de   de papel seda que se necesita para hacer una cometa formada por dos palos de 75cm y 50cm de longitud, de manera que el palo más corto cruce al palo largo a 25 cm de uno de sus extremos

L.  Dado el trapecio isósceles de la figura 3., calcule su perímetro M.  El perímetro de un trapecio isósceles isósceles es 110 m, las bases miden 40 y 30 respectivame respectivamente. nte. Calcula los lados no paralelos.   N. El diámetro quesujetan tienen las deuna un coche si al darCada 20 vueltas el coche avanza 37,68 m. de la lona. ¿Cuánto O.  Diez bomberos porruedas el borde lona circular. bombero abarca 1,57 m del borde mide el radio de dicha lona? P.  Pintar una pared de 8 m de larga y 75 dm de ancha ha costado 60 euros. ¿A qué precio se habrá pagado el metro cuadrado de pintura?

 

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Q.  Una finca rectangular que mide 1698 m de largo por 540 m de ancho se sembró de trigo. Al realizar la cosecha cada Decámetro cuadrado de terreno ha producido 7890 kg de trigo. ¿Cuántos kg se han cosechado? Si el trigo se vende a 0,2 euros el kg, ¿Cuánto dinero se obtendrá? R.  ¿Cuánto costará un espejo rectangular de 1,36 m de altura y 0,97 m de anchura, si el decímetro cuadrado vale 2,5 euros? S.  Diez bomberos sujetan por el borde una lona circular. Cada bombero abarca 1,57 m del borde de la lona. ¿Cuánto midecubrir el radio dicha lona? T.  Para unde patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina? TALLER INDICADOR 2 ÁREA Y VOLUMEN DE PRISMAS, PIRAMIDES, CILINDROS, CONOS Y ESFERAS. OBJETIVO Resolver problemas en los cuales los modelos se construyen utilizando las fórmulas de áreas y volúmenes de OBJETIVO Resolver sólidos. 1.  Calcule el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes prismas regulares rectos cuya longitud del lado de la base es , su altura es ℎ y su apotema es   A.  Prisma pentagonal regular con  = 8 ,  = 5,5  y ℎ = 4   B.  Prisma hexagonal regular con  = 9 ,  = 7,8  y ℎ = 2   C.  Prisma heptagonal regular con  = 4 ,  = 4,1  y ℎ = 8   D.  Prisma octagonal regular con  = 7 ,  = 8,4  y ℎ = 3   E.  Prisma nonagonal regular con  = 11 ,  = 15,1  y ℎ = 6   

F.  Prisma decagonal regular con  = 6 ,  = 9,2  y ℎ =     2.  Calcule el área lateral, el área total y el volumen de las siguientes pirámides regulares rectas cuya longitud del lado de la base es , su altura es ℎ y su apotema es   

A.  Prisma pentagonal regular con  = 4 ,  = 2,7  y ℎ =     B.  C.  D.  E.  F. 

Prisma hexagonal regular con  = 5 ,  = 4,3  y ℎ = 9   Prisma heptagonal regular con  = 8 ,  = 8,3  y ℎ = 4   Prisma octagonal regular con  = 3 ,  = 3,6  y ℎ = 3   Prisma nonagonal regular con  = 6 ,  = 8,2  y ℎ = 11   Prisma decagonal regular con  = 10 ,  = 15,4  y ℎ = 6  

3.  Resuelva los siguientes problemas A.  Uno de los lados de la base de un prisma rectangular es 5 . Si el área de la base es 40  y la altura es 12 . ¿Cuál es la longitud del otro lado de la base? y ¿Cuál es el volumen? B.  El volumen de un cubo es 512 . Determine el número de cubos que se pueden incluir en él, si la arista mide 2   C.  Un cubo tiene una arista de 4 . Determine la medida de la arista de un cubo de volumen ocho veces mayor D.  Calcule la medida del lado de un cubo, cuya área total es igual a la de un prisma rectangular recto de altura 9  y los lados del rectángulo de la base miden 3 y 10  E.  Una pirámide pentagonal regular tiene 25  de altura. Si el lado y la apotema de la base miden 6  y 4,13   respectivamente. ¿Cuál es el área lateral, el área total y el volumen de la pirámide? F.  Calcule el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuyo lado del cuadrado es 5 , y la altura es 14   G.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro circular recto cuyo radio de la base es 2  y la altura es 5   H.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro circular recto cuya base tiene 14  de diámetro y su altura es 10  

 

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I.  La circunferencia de la base de un cilindro circular recto es 25,12  y su altura es 12 . Hallar el área lateral, el área total y el volumen. J.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro circular recto cuyo radio de la base es 2  y la altura es 5  K.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro circular recto cuya altura es 10  y el diámetro de su base es 6     L. agua Un tanque de agua se encuentra  de alturaentre con respecto casa. Si la tubería que conduce el distancia tiene un diámetro de 2,5 a y6 la la casa yallapiso basede delalas columnas que sostiene al tanque es 8 ¿Qué cantidad de litros de agua permanece en toda la tubería? M.  En un torno se construye una barra circular recta a partir de una viga de acero que tiene forma de prisma rectangular recto de dimensiones dimensiones 12 × 12 2  × 90. ¿Qué cantidad de acero se desperdicia si se construye una barra cilíndrica del mayor volumen posible? N.  El área lateral, de un cilindro circular recto es 96 y su altura es 12 . Hallar su área lateral, área total y el volumen O.  La superficie total de un cilindro es 502,4 . Si se sabe que el area de la base es de 78,5 . ¿Cuál es el volumen del cilindro? P.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cono circular recto de 3  de radio en la base y 9  de altura Q.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cono circular recto cuyo radio de la base es 5  y la altura es 12   R.  La circunferencia de la base de un cono circular recto es 12  y su altura es 10,5  Hallar el área lateral, el área total y el volumen. S.  Hallar el área lateral, el área total y el volumen de un cono circular recto cuyo radio de la base es 3  y la altura es 15   T.  Si el área total de un cono circular recto es 75,36  y la generatriz mide 6 . Halle el área lateral y el volumen. U.  Si el área lateral de un cono circular recto es 28,2 6  y la generatriz es el triple del radio de la base. Halle el área lateral y el volumen. V.  El diámetro de la base de un cono circular recto es 8  y la altura es 16 . Hallar el área lateral, el área total y el volumen W.  La superficie lateral de un cono es de 84,78 . Si la generatriz es el triple del radio de la base, calcule el volumen del cono X.  Sobre la base superior de un cilindro de 4  de radio en la base y 5  de altura, se construye un cono circular cuya altura es el triple del cilindro. Calcule el área total y el volumen del cuerpo resultante Y.  El volumen de un cono circular recto de 10  de altura es 30 . ¿Cuál es el radio de su base? Z.  Hallar el volumen de una esfera de radio 2   AA. Hallar el volumen de una esfera de diámetro 9   BB. El volumen de una esfera es de 36. Determine su radio CC.  Si el área de una esfera 64 , ¿Cuál es su volumen? DD. Halle el volumen de una esfera inscrita en un cubo de 24  de arista EE.  Una esfera y un cilindro circular recto tienen un volumen de 125 , además el radio de la base del cilindro es igual al radio de la esfera, ¿Cuál es la altura del cilindro? Calcule el área total, área de una cara y el volumen de los siguientes polied poliedros ros regulares A.  Tetraedro de arista 5   B.  Hexaedro de arista 4   C.  Octaedro de arista 6  

D.  Dodecaedro de arista 7,8   E.  Icosaedro de arista 3,4  

 

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