Medida de La Inductancia Mutua en Un Circuito Acoplado

ÍNDICE

•

OBJETIVOS

(2)

•

FUNDAMENTO TEORICO

(2)

•

MATERIALES UTILIZADOS

•

PROCEDIMIENTO

(9)

•

CUESTIONARIO

(13)

•

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

(22)

•

BIBLIOGRAFÍA

(25)

(3)

1

I.

OBJETIVOS •

Analizar y evaluar el acoplamiento magnético que existe

en un circuito acoplado. •

Determinar el coeficiente de acoplamiento magnético “k” y

la inductancia mutua “M” en dicho circuito.

II.

FUNDAMENTO TEORICO

INDUCTANCIA MUTUA Los circuitos magnéticamente acoplados poseen inductores para poder transmitir la energía de un lugar a otro del circuito. gracias a un fenómeno conocido como inductancia mutua. La inductancia mutua consiste en la presencia de un flujo magnético común que une a dos embobinados. En uno de los cuales una excitación causa el cambio de corriente y por tanto, un cambio de flujo magnético. Como este flujo es común para los dos, entonces debe existir un voltaje en el segundo por la ley de Faraday. El voltaje producido en el segundo inductor es proporcional a la razón de cambio de la corriente del primer inductor y al valor del segundo inductor.

Las relación entre la corriente del primer inductor y el voltaje del segundo inductor es:

v2 (t ) = M 2,1

di1 (t ) dt

El valor de la inductancia mutua se mide en henrys y es siempre positivo, sin embargo, el valor del voltaje producido en una inductancia debido al flujo magnético de otra inductancia puede ser positivo o negativo. Como existen cuatro terminales involucradas en la inductancia mutua, no se puede utilizar la convención de signos que hemos utilizado en otros capítulos, sino que ahora se tiene que utilizar la convención del punto.

2

CONVENCIÓN DEL PUNTO •

Una corriente entrando a la terminal punteada de uno de los inductores

produce un voltaje cuyo valor positivo se encuentra en la terminal punteada del segundo inductor. •

Una corriente entrando a la terminal no punteada de un inductor produce un

voltaje cuyo valor positivo se encuentra en la terminal punteada del otro inductor. El voltaje inducido del cual hemos estado hablando, es un término independiente del voltaje que existe en el inductor. Por lo consiguiente, el voltaje total que existe en el inductor, va a formarse por la suma del voltaje individual y el voltaje mutuo.

V1 = L

di1 di +M 2 dt dt

V2 = L

di2 di +M 1 dt dt

De este modo también se definen los voltajes en la frecuencia s,

V1 = − s L1I1 + s M 2I así como los voltajes en estado estable sinusoidal s=jw.

V1 = − jω L1I1 + jω M I2 La convención del punto, nos evita tener que dibujar el sentido en el que está enrollado el inductor, de tal manera que los puntos colocados en el mismo lugar en los dos inductores indican que los flujos producidos por estos son aditivos (se suman), y los puntos colocados en distinto lugar en los inductores indican que los flujos se restan. Considerando que la energía no puede ser negativa M tiene un valor máximo:

M ≤ L1 L2 El cual es el promedio geométrico de los inductores. Definimos ahora el coeficiente de acoplamiento k como:

k=

M L1 L2

TRANSFORMADOR LINEAL

3

Existen dos elementos prácticos que utilizan la inductancia mutua: El transformador lineal y el ideal. El primero de ellos es sumamente utilizado en los sistemas de comunicaciones. Primero asumimos que el transformador es lineal, es decir que no posee ningún material magnético que elimine su linealidad. En muchas aplicaciones se conecta el primario en un circuito en resonancia mientras que el secundario muchas veces también está en resonancia. Esto tiene como ventaja que se pueden realizar circuitos con respuestas de picos anchos y caídas bruscas lo cual se utilizan en sistemas de filtrado. Podemos observar en el siguiente circuito que una impedancia en el secundario se refleja en el primario según la relación:

ω 2 M 2 R22 jω 2 M 2 X 22 Z in = R1 + sL1 + 2 − 2 R22 + X 222 R22 + X 222 Para el caso en el que el circuito conectado al primario y el secundario son circuitos en resonancia idénticos, es decir con los mismos valores de inductancia, capacitancia y resistencia entonces se observa que existe una frecuencia de resonancia en el circuito es cual es w0. Sin embargo, si el acoplamiento es alto a una frecuencia superior existe también resonancia lo mismo que a una frecuencia inferior. Esto es lo que causa que el ancho de banda de paso sea un poco mayor que en circuito RLC. Este es el equivalente de un transformador lineal en el cual se muestra que el valor de cada inductor es L-M y el que une es de M. En el caso de que alguna de las corrientes entre por una terminal en la que no haya un punto entonces se sustituye el valor por menos M.

EL TRANSFORMADOR IDEAL

4

El transformador ideal es una útil aproximación de un transformador altamente acoplado, cuyo coeficiente de acoplamiento se acerca a la unidad y las reactancias inductivas primaria y secundaria son muy grandes en comparación con las impedancias terminales. Una aproximación al transformador ideal son los transformadores con núcleos de fierro. Existe un concepto nuevo dentro del tema que hablamos, la razón del número de vueltas “a”. La inductancia individual de cualquiera de los inductores es proporcional al número de vueltas del alambre. La relación anterior es válida solamente si el flujo establecido por la corriente en el alambre une a todas las espiras individuales. De lo anterior podemos ver que la proporcionalidad entre la inductancia y el cuadrado del número de vueltas es la siguiente: 2

L2 N 2 = 2 = a2 L1 N1 Características del Transformador Ideal.

-

El uso de líneas verticales entre los dos inductores para indicar el uso de placas de fierro.

-

El valor unitario del coeficiente de acoplamiento

-

La presencia del símbolo 1:a que representa la razón del número de vueltas de N1 a N2.

-

La habilidad que tiene para cambiar la magnitud de una impedancia.

Si en el primario se tienen 100 vueltas y en el secundario se tienen 10000 vueltas entonces la impedancia decrece en un factor de 100. Se tiene la siguiente relación:

a=

V2 N 2 = V1 N1

Con lo cual se pueden simplificar los cálculos para conocer el voltaje en el secundario a partir del número de vueltas en el transformador. Para las corrientes observas que la relación es: En el caso de las impedancias

Z in =

I1 =a I2

ZL a2

Entonces se tiene que:

5

III.

MATERIALES UTILIZADOS •

1 auto-transformador de 250V – 6A

Figura 1 Auto-transformador.

•

1 amperímetro de 0.06/0.3/1.5A.

Figura 2 Amperímetro.

6

•

1 vatímetro 5A – 220V.

Figura 3 Vatímetro.

•

3 multímetros.

Figura 4 Multímetros digitales.

•

1 transformador 1 de potencia 220/110V.

Figura 5 Transformador monofásico.

7

•

Juego de conductores.

Figura 6 Cables conductores.

IV.

CIRCUITOS A UTILIZAR W

A

220V AC

a

c

220/115V

V1

V2

b

d

V

Circuito Nº 1

A

a

c

220/115V

+

-

-

+

V1

220V AC V

b

V2 A

A

d

Circuito Nº 2

A

a

c

220/115V

+

+

-

-

V1

220V AC V

b

V2 A

A

d

Circuito Nº 3

8

V.

PROCEDIMIENTO 1) Medir con el multímetro funcionando como ohmímetro como ohmímetro la resistencia interna del primario del transformador monofásico de potencia y anotar las características de esta bobina. Para el transformador se tiene:

R1 = 1.2Ω 2) Medir la resistencia interna del secundario del transformador monofásico de potencia y anotar las características de esta bobina. Para el transformador se tiene:

R 2 = 0.5Ω 3) Verificar el buen estado de funcionamiento del autotransformador regulando su voltaje desde cero hasta obtener Vmax. Vmax.= 262 Voltios

4) Verificación de la polaridad del transformador monofásico de potencia: Conectar el circuito como se muestra en la fig. 1 y energizado con el autotransformador para medir V y V’. Determinación de la polaridad del transformador.

Figura 7. Prueba de la polaridad del

transformador Al realizar la medición para cierto voltaje en el primario se obtiene:

V ' = 152V V = 220V

→ V '< V

9

Por lo tanto, H y X son de igual polaridad. Colocamos los puntos como se muestra en la figura 7 (los flujos son sustractivos).

•

Conexión del vatímetro.

Figura 8. Forma de conectar el vatímetro.

a. Ubicar el cursor del auto-transformador en cero antes de efectuar cualquier medida.

b. Armar el circuito Nº 1, ubicar el cursor del auto-transformador en 220V. Tomar un juego de 10 valores de V, W, A, V 1 y V2 disminuyendo V hasta 120V de 10 en 10V. Tabla 1 V (V) 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130

W (W) 5 4 3 2.3 1.5 1.1 1 0.8 0.5 6.1

A (A) 0.9 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.2 0.15 0.1

V1 (V) 216.5 212 201 191.6 181.5 171.4 161.1 151.1 141.1 131.5

V2 (V) 113.3 109.7 101.5 46.5 91.5 86.4 81.4 75,4 71.4 66.6

10

c. Repetir el párrafo anterior considerando como bornes de entrada “c-d” y de salida “a-b, variando V de 10 a 110 V en pasos de 10 en 10V. Tanto en (b) como en (c) ubicar el lado de alta tensión (220V – bornes a-b) y el de baja tensión (110V – bornes c-d). Variamos la conexión del circuito Nº 1 de la siguiente manera:

W

A

220V AC

c

220/115V

a

V2

V1

d

b

V

Circuito Nº 1’ Tabla 2 V (V) 10.13 20.26 30.43 40.1 50.1 60.2 70 80 90.2 99.9 110.2

W (W) 0.13 0.53 1.14 1.89 2.81 3.87 5.16 6.5 8.27 9.85 11.9

A (A) 0.027 0.042 0.055 0.069 0.085 0.105 0.130 0.165 0.217 0.289 0.4

V2 (V) 10.14 20.21 30.43 40.07 50.02 60.11 70.1 80.2 90.5 99.9 110.4

V1 (V) 19.40 38.68 58.38 77.2 96.4 115.8 134.4 154.2 173.8 191.8 211.9

11

d. Armar el circuito Nº 2, variando el cursor del auto-transformador (V) de 10 a 120V. Tomar un juego de 5 valores de A, V1 y V2 de 20 en 20V. Tabla 3 V (V) 20.1 40.2 60.35 79.9 99.9

A (A) 0.051 0.087 0.14 0.233 0.457

V1 (V) 41.95 83.8 125.8 166.2 207.4

V2 (V) 21.78 43.63 65.4 86.8 108.3

e. Armando el circuito Nº 3 repetir el procedimiento que se indica en el paso anterior. Tabla 4 V (V) 20.02 40.1 59.9 79.8 100.1

VI.

A (A) 0.006 0.011 0.014 0.018 0.021

V1 (V) 13.18 26.48 39.36 59.6 66.1

V2 (V) 6.88 13.78 20.58 27.48 34.48

CUESTIONARIO

12

1. Determinar los valores de L1, M21 y R1 con los datos obtenidos en el paso (b). Presentarlos en forma tabulada y graficar M 21 en función de V2. Graficamos el equivalente del circuito Nº 1: I1

I2

+

V1

-

+

R1

R2

XL1

XL2

V2 +

I2*XM12 +

I1*XM21 -

-

Circuito Nº 1 equivalente. Se tiene que I2 = 0, por lo tanto: R1 =

W1 I 12 2

V  W  XL1 =  1  −  21   I1   I1  L1 =

1 ⋅ ω

2

W   V1    −  21  I  1  I1 

2

2

Siendo:

ω = 2 ⋅ π ⋅ f (f = 60Hz) ω = 377 rad s También:

XM 21 = M 21 =

V2 I1

1 V2 ⋅ ω I1

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla:

13

Tabla 5 V1 (V) 216.5 209.6 200.2 190.2 180.4 170.1 159.7 150.2

V2 (V) 113.3 109.7 104.4 99.3 94.2 88.7 83.2 78.6

I1 (V) 0.237 0.21 0.178 0.151 0.128 0.109 0.093 0.082

W1 (W) 12.48 11.79 10.66 9.75 8.74 7.84 6.85 6.15

139.2

72.8

0.072

6.34

130.8

68.3

0.065

4.79

120.5

63

0.057

4.06

R1 () 222.1866 267.3469 336.4474 427.6128 533.4473 659.8771 791.9991 914.6341 1222.993 8 1133.727 8 1249.6153

L1 (H) 2.3503 2.5507 2.8467 3.1427 3.4603 3.7511 4.0415 4.2096

M21 (H) 1.2681 1.3856 1.5557 1.7443 1.9521 2.1585 2.3730 2.5425

3.9718

2.6820

4.4099

2.7872

4.5230

2.9317

Graficamos M21 en función de V2: M21 vs V2

y = -0,0342x + 5,1625 2 R = 0,9945

3,5

3

2,5

M21 (H)

2

1,5

1

0,5

0 0

20

40

60

80

100

120

V2 (V)

Gráfica 1. M21 vs V2

2. Determinar los valores de L2, M12 y R2 con los datos obtenidos en el paso (c). Presentarlos en forma tabulada y graficar M12 en función de V1. Graficamos el equivalente del circuito Nº 1’:

14

I1

I2

+

R1

R2

XL1

X L2

V1 + -

+

V2 I1*XM21 +

I2*XM12 -

-

Circuito Nº 1’ equivalente. Se tiene que I1 = 0, por lo tanto:

W2 I 22

R2 =

V XL2 =  2  I2

2

  W2   −  2    I2 

V L2 = ⋅  2 ω  I2 1

2

W   −  22   I2

  

2

2

Siendo:

ω = 2 ⋅ π ⋅ f (f = 60Hz) ω = 377 rad s También:

XM 12 = M 12 =

V1 I2

1 V1 ⋅ ω I2

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos la siguiente tabla: Tabla 6 V2 (V) 10.14

V1 (V) 19.40

I2 (V) 0.027

W2 (W) 0.13

R2 () 178.3265

L2 (H) 0.8767

M12 (H) 1.9059

15

20.21 30.43 40.07 50.02 60.11 70.1 80.2 90.5 99.9 110.4

38.68 58.38 77.2 96.4 115.8 134.4 154.2 173.8 191.8 211.9

0.042 0.055 0.069 0.085 0.105 0.130 0.165 0.217 0.289 0.4

0.53 1.14 1.89 2.81 3.87 5.16 6.5 8.27 9.85 11.9

300.4535 376.8595 396.9754 388.9273 351.0204 305.3254 238.7511 175.6249 117.9344 74.375

0.9970 1.0745 1.1243 1.1714 1.1996 1.1789 1.1230 1.0034 0.8619 0.7050

2.4428 2.8155 2.9677 3.0083 2.9254 2.7423 2.4789 2.1245 1.7604 1.4052

Graficamos M12 en función de V1:

M12 vs V1

2

y = -0,0001x + 0,0278x + 1,5495 2 R = 0,9709

3,5

3

2,5

M12 (H)

2

1,5

1

0,5

0 0

50

100

150

200

250

V1 (V)

Gráfica 2. M12 vs V1

3. Hallar los valores promedio de L1, L2, R1, R2, M12 y M21 de los cálculos efectuados en los pasos anteriores 1 y 2. Comentar sobre estos. Realizamos la siguiente tabla: Tabla 7 L1 (H) 2.3503 2.5507 2.8467 3.1427

L2 (H) 0.8767 0.997 1.0745 1.1243

R1 () 222.1866 267.3469 336.4474 427.6128

R2 () 178.3265 300.4535 376.8595 396.9754

M21 (H) 1.2681 1.3856 1.5557 1.7443

M12 (H) 1.9059 2.4428 2.8155 2.9677

16

Promedio

3.4603 3.7511 4.0415 4.2096

1.1714 1.1996 1.1789 1.123

3.9718

1.0034

4.4099

0.8619

4.523

0.705

3.568

1.028

533.4473 659.8771 791.9991 914.6341 1222.993 8 1133.727 8 1249.615

388.9273 351.0204 305.3254 238.7511

1.9521 2.1585 2.373 2.5425

3.0083 2.9254 2.7423 2.4789

175.6249

2.682

2.1245

117.9344

2.7872

1.7604

74.375

2.9317

1.4052

264.052

2.125

2.416

3 705.444

Observamos que M21 no se mantiene constante ya que φ 21 e I1 no sigue



∂φ   . Esto es debido a que el flujo se transmite 

21 una relación lineal  M 21 = ∂I 1 

a través del núcleo del transformador, el cual es un material no lineal (material ferromagnético). De igual modo con M12.

4. Los valores de M12 y M21 son diferentes. ¿Por qué? Explique. Se demuestra teórica y experimentalmente que estos coeficientes son iguales (M12 = M21) para núcleos lineales como el aire. No se cumple M12 = M21 debido a las siguientes razones:

∂φ12 ∂φ 21 y M12 = ∂I 1 ∂I 2

•

La relación no lineal de M21 =

•

La medida de los parámetros como corriente y voltaje no se mantienen constante por el suministro.

5. Considerando Z1 y Z2 conocidos (calculados en 3) y con los datos obtenidos en el procedimiento pasos (d) y (e), determinar los valores de M12 y M21. Tabular. Graficamos el equivalente del circuito Nº 2:

17

I1

I2 -

+

V1

R1

R2

X L1

X L2

I2*X M1 2 +

V2 + I1*X M2 1 -

-

+

Circuito Nº 2 equivalente. Se tiene que I1 = I2 Z1= R1 + j*XL1 = 705.444 + j *1345.465 Z2= R2 + j*XL2 = 264.052 + j *387.82 Por lo tanto:

V1 = I1 M 12

2   V1  1 2 =  XL1 −   − ( R1 ) ω  I1  

V2 = I2 M 21

( R1 ) 2 + ( XL1 − XM 12 ) 2    

( R2 ) 2 + ( XM 21 − XL2 ) 2

2   V2  1 2 =  XL2 +   − ( R 2 ) ω  I2  

   

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas: Tabla 8 V1 (V) 41.95

I1(A) 0.051

R1 () 705.444

XL1 () 1345.465

M12 () 2.447

18

83.8 125.8 166.2 207.4

0.087 0.14 0.233 0.457

705.444 705.444 705.444 705.444

1345.465 1345.465 1345.465 1345.465

1.829 2.092 3.288 COMPLEJO

Tabla 9 V2 (V) 21.78 43.63 65.4 86.8 108.3

I2(A) 0.051 0.087 0.14 0.233 0.457

R2 () 264.052 264.052 264.052 264.052 264.052

XL2 () 387.82 387.82 387.82 387.82 387.82

M21 () 1.919 2.159 2.051 1.726 COMPLEJO

Graficamos el equivalente del circuito Nº 3:

I1

I2 +

+

V1 + I2*X M1 2 -

R1

R2

X L1

X L2

V2 + I1* X M2 1 -

-

Circuito Nº 3 equivalente.

Se tiene que I1 = I2 Z1= R1 + j*XL1 = 705.444 + j *1345.465 Z2= R2 + j*XL2 = 264.052 + j *387.82 Por lo tanto:

V1 = I1

( R1 ) 2 + ( XL1 + XM 12 ) 2

19

M 12

2   V1  1 2 =  − XL1 +   − ( R1 ) ω  I1  

V2 = I2 M 21

   

( R2 ) 2 + ( XL2 + XM 21 ) 2

2   V2  1 2 =  − XL2 +   − ( R 2 ) ω  I2  

   

Luego, utilizando las ecuaciones anteriores, realizamos las siguientes tablas: Tabla 10 V1 (V) 13.18 26.48 39.36 59.6 66.1

I1(A) 0.006 0.011 0.014 0.018 0.021

R1 () 705.444 705.444 705.444 705.444 705.444

XL1 () 1345.465 1345.465 1345.465 1345.465 1345.465

M12 () 1.949 2.536 3.65 5.012 4.568

Tabla 11 V2 (V) 6.88 13.78 20.58 27.48 34.48

I2(A) 0.006 0.011 0.014 0.018 0.021

R2 (V) 264.052 264.052 264.052 264.052 264.052

XL2 (V) 387.82 387.82 387.82 387.82 387.82

M21 (V) 1.931113777 2.219529028 2.80708246 2.959782733 3.269796234

6. Hallar el valor promedio de M12 y M21. Comentar. De la pregunta 5, sacando el promedio por método de partes, tenemos: SUSTRACTIVA: Tabla 12 M21 (H) 1.919 2.159 2.051 1.726 COMPLEJO

M12 (H) 2.447 1.829 2.092 3.288 COMPLEJO

20

Observación: Obviamos el dato 5 y tomamos solo los 4 primeros debido que según el calculo sale complejo,;al parecer se debe a error cometido al momento de la experiencia (datos mal tomados).

ADITIVA: Tabla 13 M21 (H) 1.949 2.536 3.65 5.012 4.568

De los datos calculados:

M12 (H) 1.931113777 2.219529028 2.80708246 2.959782733 3.269796234

,

,

,

hallamos:

21

De los Map y Msp le sacamos promedio, y tenemos un M promedio general de los casos sustractivos y aditivos:

Comentario: Los valores de los M para cada dirección y la mutua difieren debido a los flujos de dispersión que hay en los diferentes sentidos de 1-2 y de 2-1, ya que nuestra experiencia es real por lo cual los M se acercan relativamente. 7. Calcular el coeficiente de acoplamiento magnético “k” del circuito.

Sabemos:

y

.

De la tabla 14 tomando promedios verticalmente a M (H) para hallar M común:

Entonces como:

→

Además de las tablas anteriores:

Reemplazando:

22

→

V.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES CONCLUSIONES

•

Al calcular R1 y R2, no estamos midiendo resistencia de las bobinas, sino la resistencia de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es q los valores de R1 y R2 varían; si se tratara de la resistencia de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

•

Al calcular L1 y L2, no estamos midiendo inductancia de las bobinas, sino la inductancia de magnetización de pérdidas del núcleo del transformador. La prueba de esto, es q los valores de L1 y L2 varían; si se tratara de la inductancia de las bobinas, estos valores se mantendrían constantes.

•

La inductancia mutua en los circuitos permite que se genere un voltaje en el secundario del transformador; si no hubiera esta inductancia mutua,

23

simplemente no se induciría ningún voltaje en el secundario y V2 no marcaría nada. •

La inductancia mutua depende de la forma de conexión del circuito (en este caso transformador); también depende de la corriente y del flujo inducido, los cuales en el transformador de núcleo ferromagnético son distintos para cada medición.

•

El valor complejo calculado en la pregunta 5 se debe a un error de medición ya que resistencia sale mayor que la impedancia equivalente (

V1 ) cosa que I1

es imposible es como si la hipotenusa de un triangulo rectángulo saldría menor que sus catetos. •

Las inductancias mutuas M12 y M21 son distintas debido al fenómeno de dispersión (pérdidas de dispersión de flujo magnético).

•

El valor de “k” es una característica de este transformador, es decir, no cambia cuando varían el voltaje de entrada y las corrientes.

RECOMENDACIONES •

Buscar la mayor precisión posible al regular el auto-transformador.

•

Revisar la continuidad en cada cable conductor para evitar que hallan aberturas en el circuito y los instrumentos no registren valor alguno.

VII.

BIBLIOGRAFIA

•

Apuntes de Análisis de Circuitos Eléctricos II

•

LINEAR CIRCUITS – Roland E. Scott

•

http://es.wikipedia.org/

24

• http://es.wikibooks.org

25