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MEDICIONES Y CÁLCULO DE ERRORES 1.- INTRODUCCION La Física Experimental requiere una visión complementaria de por lo menos tres ejes temáticos como se ilustra en la figura

Visión complementaria de la física experimental  Manejo conceptual de términos físicos.  Manejo adecuado de equipos o instrumentos.  Análisis de datos y toma de decisiones. El fundamento esencial en la interpretación de un fenómeno observado es la importancia en la toma y la calidad de los datos experimentales. 2.- MAGNITUDES FÍSICAS Es toda propiedad o atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y expresado cuantitativamente, es decir, con números. La longitud, la masa, el tiempo son ejemplos de magnitudes físicas. Magnitudes fundamentales y derivadas Las magnitudes físicas se dividen en dos categorías: fundamentales y derivadas Magnitudes fundamentales: son aquellas que se consideran por convención independientes unas de otras. El número de magnitudes fundamentales es reducido y entre éstas se pueden considerar: la longitud, la masa y el tiempo. Magnitudes derivadas: son aquellas que se definen en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplos: velocidad, aceleración, fuerza. Unidad de medida: es cierta magnitud particular la cual se define y adopta convencionalmente asignándole el valor de uno. Las unidades fundamentales son aquellas que están relacionadas con las magnitudes fundamentales (Tabla N° 1), por ejemplo: longitud en metros (m), masa en kilogramos (kg), tiempo en segundos (s). Las unidades derivadas están relacionadas con las magnitudes derivadas y se expresan en términos de las unidades fundamentales. Ejemplos: metro cuadrado (m2), el metro/ segundo (m/s) Patrón de medida: Un patrón es un objeto que materializa una unidad de medida y que en determinadas condiciones permite reproducirla. Entre las cualidades deseables en un patrón de medida están: invariabilidad, accesibilidad y reproducibilidad Tabla 1 Sistema Internacional de Unidades

3.- CONCEPTOS RELACIONADOS CON LA MEDICIÓN Medir: es el proceso de comparar dos cantidades de una misma magnitud física teniendo a una de ellas como unidad. Medición: es el proceso mediante el cual se obtiene el valor de una medida. Medida: es la razón entre cierta cantidad de una magnitud física y la cantidad de ella misma que se define como unidad Formas para obtener una medida Existen dos formas para obtener el valor de una medida: ► Medición de lectura directa ► Medición indirecta por cálculo Medición de lectura directa: es aquella en la que el valor de una medida se obtiene mediante la lectura sobre la escala de un instrumento o la que numéricamente proporciona un instrumento digital. Medición indirecta por cálculo: es aquella en la que el valor de la medida se obtiene por medio de operaciones matemáticas realizadas a partir de uno o más valores de otras medidas. 4.- CALCULO DE ERRORES Error En física el concepto de error está relacionado con la incertidumbre en la determinación del resultado de una medición: Los rangos de error son: 0% < ε ≤ 1% ; Se consideran excelentes los valores medidos, ya que se determinaron con alto grado de precisión. 1% < ε ≤ 10 % ; Se consideran suficientemente buenos. ε > 10 % ; los valores medidos son deficientes y necesitan revisarse minuciosamente. 4.1.- Clasificación de los errores Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición. Según su origen los errores pueden clasificarse del siguiente modo: 4.1.1.- Errores introducidos por el instrumento: Error de apreciación, σap: si el instrumento está correctamente calibrado la incertidumbre que tendremos al realizar una medición estará asociada a la mínima división de su escala o a la mínima división que podemos resolver con algún método de medición. El error de apreciación puede ser mayor o menor que la apreciación nominal, dependiendo de la habilidad (o falta de ella) del observador.

Error de exactitud, σexac: representa el error absoluto con el que el instrumento en cuestión ha sido calibrado. 4.1.2.- Error de interacción; σint: esta incerteza proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado. 4.1.3.- Falta de definición en el objeto sujeto a medición: como se dijo antes, las magnitudes a medir no están definidas con infinita precisión. Con σdef designamos la incertidumbre asociada con la falta de definición del objeto a medir y representa su incertidumbre intrínseca. En general, en un dado experimento, todas estas fuentes de incertidumbres estarán presentes, de modo que resulta útil definir el error nominal de una medición σnom, como:

Este procedimiento de sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadística, y proviene de suponer que todas las distintas fuentes de error son independientes una de otras. Según su carácter los errores pueden clasificarse en sistemáticos, estadísticos e ilegítimos o espurios. 4.1.4.- Errores sistemáticos: se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. Por ejemplo, pensemos en un reloj que atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc. Los errores introducidos por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros resultados siempre en un mismo sentido. El valor de σexac sería un ejemplo de error sistemático pero no son lo mismo, ni los errores de exactitud son los únicos responsables de los errores sistemáticos. Imaginemos por ejemplo el caso de una balanza bien calibrada que se usa para conocer el peso de las personas en los centros comerciales u otros negocios, como es usual que las personas (en público) se pesen vestidas, los valores registrados con estas balanzas tendrán un error sistemático por el peso de la vestimenta. La única manera de detectarlos y corregirlos es comparar nuestras mediciones con otros métodos alternativos y realizar un análisis crítico y cuidadoso del procedimiento empleado. También es aconsejable intercalar en el proceso de medición patrones confiables que permitan calibrar el instrumento durante la medición. 4.1.5.- Errores estadísticos: Son los que se producen al azar. En general son debidos a causas múltiples y fortuitas. Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos en contar el número de divisiones de una regla, o si estamos mal ubicados frente al fiel de una balanza. Estos errores pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Por tanto, midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Es a este tipo de errores a los que comúnmente hace referencia la teoría estadística de errores de medición que formularemos sucintamente en lo que sigue. A estos errores lo designaremos con σest. 4.1.6.- Errores ilegítimos o espurios: Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ello determinamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula, nos equivocamos en el número introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usamos una expresión equivocada del volumen, claramente habremos cometido un error. Esta vez este error está más asociado al concepto convencional de equivocación. A este tipo de errores los designamos como ilegítimos o espurios. A este tipo de errores no se aplica la teoría estadística de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluación cuidadosa de los procedimientos realizados en la medición Un ejemplo de este tipo de error es el que se cometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al pasar de pulgadas a cm se cometió un error que costó el fracaso de dicha misión a Marte. El error final o combinado o efectivo de Z, δZ, vendrá dado por:

Los errores pueden asimismo expresarse de distintos modos, a saber: 4.1.7.- Formas de expresar los errores: Absoluta y Relativa

Error absoluto: es el valor de la incertidumbre combinada. Tiene las mismas dimensiones que la magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si Z es la magnitud en estudio, es el mejor valor obtenido y δZ su incertidumbre absoluta. El resultado se expresa adecuadamente como: El significado de esta notación es equivalente a decir que, según nuestra medición, con una cierta probabilidad razonable p0 (usualmente p0 = 0.68, 68%) el valor de Z está contenido en el intervalo , o sea: , lo que es equivalente a: El valor de p0 se conoce con el nombre de coeficiente de confianza y los valores determinan un intervalo de confianza para Z. Error relativo: , el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud. Error relativo porcentual: , es la incertidumbre relativa multiplicada por 100. 5.- INCERTIDUMBRE EN UNA MEDIDA Una medida se expresa con un número, una unidad y una incertidumbre Donde x = magnitud, Xe = valor obtenido y δX= precisión del instrumento La estimación de la incertidumbre depende de las condiciones en que se realiza la medición, del tipo de medida y de la posibilidad de no repetirla. Medida directa realizada solo una vez: la incertidumbre puede considerarse como el valor de la mínima escala del instrumento. 6.- Como expresar un resultado (Medida directa). Un resultado numérico se expresa por medio de: 6.1.- Error absoluto: Es la diferencia entre el valor medido u obtenido por cálculo y el valor real de la magnitud. Como no se conoce este último se habla de los límites superior e inferior de la magnitud. Por ejemplo, si medimos un objeto y encontramos una longitud de l = 92 cm con una regla dividida en mm y si podemos apreciar el ½ mm en cada extremo del objeto, diremos que el error absoluto es δl = 0,1 cm y que la verdadera longitud L está en el rango 92,0 - 0,1 < L < 92,0 + 0,1 cm. L = l ± δl = 92,0 ± 0,1 cm. 6.2.- Error relativo: es la relación del error absoluto al valor real o medido de la magnitud. En el ejemplo anterior, el error relativo es:

6.3.- Error relativo porcentual: Es el valor del error relativo multiplicado por 100 Quedando el porcentaje de error de 0,1%. 7.- ERROR DE UNA MAGNITUD QUE SE MIDE DIRECTAMENTE N VECES 7.1.- Valor significativo o valor medio.

Supongamos que se han hecho N mediciones de una misma magnitud con resultados x1, x2 ,...,x j ,...xN . Bajo condiciones generales puede demostrarse que el mejor estimador de la magnitud x viene dado por el promedio, de los valores:

Este resultado es llamado también el mejor valor o estimador de x o valor más probable del mesurando. Llamaremos a:

7.2.- Desviación estándar La desviación de cada medición respecto de . También definimos la desviación estándar o error cuadrático medio de cada medición, la desviación estándar viene dado por: o Sx tiene las mismas dimensiones físicas que , pudiéndose comparar directamente con ésta. La calidad del proceso de medición será mayor cuanto menor sea el cociente , que en general es una constante del proceso de medición y no disminuye al aumentar N. 7.3.- Error estándar Si suponemos ahora que realizamos varias series de mediciones de x, y para cada una de estas series calculamos el valor medio , es de esperar que estos valores tendrán una distribución (puesto que variarán entre sí) pero con una menor dispersión que las mediciones individuales.

se llama el error estándar del promedio y es el estimador del error asociado a

.

Recordemos que Sx es la dispersión de cada medición y que no depende de N sino de la calidad de las mediciones, mientras que sí depende de N y es menor cuanto más grande es N. Si, por ejemplo, estamos midiendo una longitud con una regla graduada en milímetros, resulta claro que si aumentamos el número de mediciones podremos disminuir el error estadístico, pero nunca con este instrumento podremos dar con certeza cifras del orden de los micrones, por más que realicemos muchas mediciones. 7.4.- Error absoluto por intervalo de confianza

Donde: Se denomina coeficiente de confianza y se determina a partir de la tabla de distribución t de Student Es el error probable grados de libertad. 7.5.- Error relativo

7.6.- Error relativo porcentual 7.7.- Medida de Precisión

8.- PROPAGACIÓN DE ERRORES (MEDIDAS INDIRECTAS) Hay magnitudes que no se miden directamente, sino que se derivan de otras que sí son medidas en forma directa. Por ejemplo, para conocer el área de un rectángulo se miden las longitudes de sus lados, o para determinar el volumen de una esfera se tiene que medir el diámetro. La pregunta que queremos responder aquí es cómo los errores en las magnitudes que se miden directamente se propagarán para obtener el error en la magnitud derivada. Sólo daremos los resultados, para mayor detalle se recomienda consultar la bibliografía citada. Supongamos, para fijar ideas, que la magnitud V, es una función de los parámetros, x, y, z, etc., o sea:

y que x, y, z, etc., sí se midieron directamente y que conocemos sus errores, a los que designamos en el modo usual como Δx, Δy, Δz, etc. Entonces se puede demostrar que el error en V vendrá dado por:

En el caso especial que la función V(x,y,z,..) sea factorizable como potencias de x, y, z, etc., la expresión anterior puede ponerse en un modo muy simple. Supongamos que la función en cuestión sea:

Entonces el error de aproximación de segundo orden es:

Entonces logaritmizando:

Su diferencial total es:

Para cálculos preliminares, esta expresión puede aproximarse:

Esta última expresión para la propagación de los errores se conoce con el nombre de aproximación de primer orden, mientras que la expresión con derivadas parciales se la denomina usualmente aproximación de segundo orden. 8.1.- Ejemplo 1: Calcular el volumen de una esfera si su diámetro es de Sabemos que el volumen de la esfera es:

El error absoluto será:

Por tanto:

Veamos por la aproximación de segundo orden

Por lo que el valor preciso del volumen será:

Error relativo:

Error Relativo Porcentual:

9.- EJEMPLO CÁLCULO DE ERRORES MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS. Realizar el cálculo de errores de las medidas directas e indirectas para el caso del volumen de un cilindro con un 95 % de confianza cuyas medidas se muestran en la siguiente tabla.

No 1 2 3 4 5

D[mm] 14.82 ± 0,01 14.81 ± 0,01 14.80 ± 0,01 14.81 ± 0,01 14.80 ± 0,01

H[mm] 42.25 ± 0,05 42.20 ± 0,05 42.15 ± 0,05 42.20 ± 0,05 42.10 ± 0,05

Calculo de errores medidas directas No 1 2 3 4 5

D[mm] 14,82 14,81 14,80 14,81 14,80 74,04

[mm2] 0,000144 4,0x10-6 6,4x10-6 4,0x10-6 6,4x10-6 0,00028

Cálculo de errores para el diámetro El valor más significativo o valor medio

H[mm] 42,25 42,20 42,15 42,20 42,10 210,9

[mm2] 0,0049 0,0004 0,0009 0,0004 0,0064 0,013

La desviación estándar es:

Determinación del coeficiente de confianza Para un intervalo de confianza del 95 % le corresponde un error probable de: Luego se tiene para Grados de libertad: De la tabla siguiente se tiene: Grados de Libertad v 0,40 1 0,325 2 0,289 3 0,277 4 0,271 5 0,267 6 0,265 7 0,263 9 0,262 9 0,261 10 0,260 El error estándar:

0,30 0,727 0,617 0,584 0,569 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,542

0,25 1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700

El error absoluto:

El error relativo:

El error relativo porcentual: La medida de precisión del diámetro:

0,10 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

0,05 6,134 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

0,025 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

0,010 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

0,005 63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

Cálculo de errores para la altura El valor más significativo o valor medio

La desviación estándar es:

De tablas con v=5-1=4 se tiene: El error estándar:

El error absoluto:

El error relativo:

El error relativo porcentual:

La medida de precisión:

Calculo de errores de la medida indirecta (Volumen)

El error absoluto del volumen:

El error relativo:

El error relativo porcentual:

La medida de precisión: