Media poblacional

Media poblacional Ejercicio 1) Una muestra de 16 mujeres de una gran ciudad dio para sus estaturas una media de 1,68 m y una varianza de 0,12 m. Se trata de ver si esta muestra es consistente con la H o que la media en la ciudad es de 1,69 m

Ejercicio 2) En una fábrica de conservas de fruta se desea verificar la Ho de que las latas resultan en  promedio con un peso no inferior inferior a 1 kg. Se sabe que el tamaño de la fruta puede introducir una variación en los pesos de las latas de manera que estos se distribuyan normalmente con una dispersión del 8%. Se efectúa una muestra de 100 latas en la que se determina los pesos, resultando la =980 gr. Deseamos saber si la muestra comprueba o rechaza la Ho. Fijamos un coeficiente de riesgo igual al 5%.

Ejercicio 3) La ganancia en peso promedio de 25 ovejas sometidas a una ración alimenticia durante un cierto período fue de 10 kg. Se desea comprobar si es posible afirmar que esta ración aumenta el peso al menos en 11 kg. durante dicho período con un nivel de significación del 5% y suponiendo que la variancia del peso es igual a 4 kg.

Ejercicio 4) Un fabricante dedicado a la elaboración de alimento balanceado para cerdos, afirma que su producto aumenta el peso promedio en 150 gr. En una muestra de 18 cerdos tomados al azar se obtuvo un aumento de peso promedio de 125 gr. con una desviación de 25 gr. Se puede suponer que la afirmación del fabricante es correcta con un nivel de significación del 1% ?

Ejercicio 5) Un fabricante de lámparas eléctricas sostiene que la duración media de las mismas (horas) es en promedio superior a 1.300 h. Se toma una muestra de 17 lámparas siendo el resultado de la inspección el siguiente: 980 1.350 1.020 1.140 1.520 1.390 1.205 1.180 970 1.420 1.850 1.300 1.305 1.040 1.050 1.520 1.320 Verificar la Ho del fabricante con un coeficiente de riesgo del 5% (suponiendo la distribución normal).

Ejercicio 6) Una muestra de 9 explotaciones agrícolas arrojó una media de 125 ha y un desvío de 25 ha. Testar si se puede suponer con bastante confiabilidad que el promedio verdadero de la población de explotaciones puede ser 135 ha.

Ejercicio 7) En un establecimiento lechero, 18 vacas de raza Frisia, produjeron en promedio 70 kg. en la tercer semana luego del parto, con un desvío de 6 kg. ¿Se puede asegurar ( α = 0,05) que la producción aumentó con respecto a una media de 65 kg.?

Ejercicio 8) La vida media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una empresa es de 1.570 h, con una desviación típica de 120 h. Si µ es la vida media de todos los  productos de esa empresa, contrastar la hipótesis de que µ = 1.600 h

Ejercicio 9) Las larvas de algunas mariposas monarcas concentran glucósidos cardíacos a partir de  plantas de algodón, que las hacen repugnantes para los pájaros, los cuales las evitan después de un primer encuentro. Supóngase que las mariposas han sido recolectadas en una localidad y que se han medido las concentraciones de glucósidos en relación a sus pesos. Los datos resultantes son; la media= 0,200 gr. y S 2= 0,012 gr. para n= 75. Probar la hipotesis nula de que µ = 0,150 gr. frente a la alternativa que es distinta.

Ejercicio 10) Supóngase que un fabricante de llantas mide en miles de millas el período de vida de 10 llantas. Determina que

= 26,68 y S2= 12.

Probar la H0 de que µ = 25,0 con H 1 > 25,0.

Ejercicio 11) El peso de 12 latas de cerezas, en onzas, es: 11,9 12,3 12,6 11,8 12,1 11,5 12,7 11,3 11,9 12,0 11,8 12,1 La variación estándar especificada es de 1/2 onza. ¿Se cumple esta especificación? Use el nivel de significación del 1% y una prueba bilateral

Ejercicio 12) El Departamento de Control de Calidad de una empresa que fabrica computadoras electrónicas estima que si la longitud de una determinada pieza presenta una varianza mayor a 4 mm. irremediablemente se producirá una inutilización de una plaqueta en el término de 6 meses de uso. Una muestra de 15 piezas arrojó una longitud media de 5

Ejercicio 7) En un establecimiento lechero, 18 vacas de raza Frisia, produjeron en promedio 70 kg. en la tercer semana luego del parto, con un desvío de 6 kg. ¿Se puede asegurar ( α = 0,05) que la producción aumentó con respecto a una media de 65 kg.?

Ejercicio 8) La vida media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos por una empresa es de 1.570 h, con una desviación típica de 120 h. Si µ es la vida media de todos los  productos de esa empresa, contrastar la hipótesis de que µ = 1.600 h

Ejercicio 9) Las larvas de algunas mariposas monarcas concentran glucósidos cardíacos a partir de  plantas de algodón, que las hacen repugnantes para los pájaros, los cuales las evitan después de un primer encuentro. Supóngase que las mariposas han sido recolectadas en una localidad y que se han medido las concentraciones de glucósidos en relación a sus pesos. Los datos resultantes son; la media= 0,200 gr. y S 2= 0,012 gr. para n= 75. Probar la hipotesis nula de que µ = 0,150 gr. frente a la alternativa que es distinta.

Ejercicio 10) Supóngase que un fabricante de llantas mide en miles de millas el período de vida de 10 llantas. Determina que

= 26,68 y S2= 12.

Probar la H0 de que µ = 25,0 con H 1 > 25,0.

Ejercicio 11) El peso de 12 latas de cerezas, en onzas, es: 11,9 12,3 12,6 11,8 12,1 11,5 12,7 11,3 11,9 12,0 11,8 12,1 La variación estándar especificada es de 1/2 onza. ¿Se cumple esta especificación? Use el nivel de significación del 1% y una prueba bilateral

Ejercicio 12) El Departamento de Control de Calidad de una empresa que fabrica computadoras electrónicas estima que si la longitud de una determinada pieza presenta una varianza mayor a 4 mm. irremediablemente se producirá una inutilización de una plaqueta en el término de 6 meses de uso. Una muestra de 15 piezas arrojó una longitud media de 5

mm. con una desviación estándar de 1,2 mm.. ¿Qué conclusiones puede obtener el Departamento de Calidad de la empresa en cuanto a la calidad de la pieza analizada? [Vuelve al índice índice]]

Proporción poblacional Ejercicio 13) Se arroja una moneda al aire 200 veces, obteniéndose 90 veces caras Probar la Ho: p = 0,5 contra la H 1: p

0,5; a un nivel de significación del 5%.

Ejercicio 14) En una muestra al azar de 400 productores, el 65% de ellos eran propietarios y el 33% no. Verifique la hipótesis de que la muestra proviene de una población de la que el 60% son propietarios. Use una probabilidad de cometer un error de tipo I del 5%.

Ejercicio 15) Se conoce por investigaciones ya realizadas que el 20% de la población mayor de 15 años fuma. Después de efectuar una fuerte campaña televisiva y radial durante 6 meses, se decide estudiar si la población adulta ha disminuido el hábito de fumar. Para ello selecciona una muestra aleatoria de 1000 personas adultas a las que somete a una determinada encuesta, resumida la información proporcionada por el trabajo de campo, se observó que el 12% de las personas encuestadas fumaba habitualmente. Probar la hipótesis que la campaña publicitaria ha disminuido la cantidad de fumadores

Curso

Inferencia Estadística Básica para Ingenieros Agrónomos

Augusto Dante Bergagna (Profesor en Matemática, FFDC, UNL) Profesor Adjunto, Cátedra de Estadística , FCA, UNL Obra para optar al

Master en Informática Educativa

otorgado por 

Universidad Nacional de Educación a Distancia ( UNED, España)

Presentación El Curso sobre Inferencia Estadística Básica para Agrónomos , está orientado a que el alumno aprenda acerca de los métodos más importantes de Inferencia Estadística, como lo son el método de Estimación de Parámetros y Test de Hipótesis, fundamentalmente de tipo paramétrico. Ello le permitirá resolver una gran cantidad de situaciones  problemáticas que se presentan en las prácticas diarias de un Ingeniero Agrónomo. Al finalizar el curso, el participante, podrá elegir y calcular el mejor estimador puntual de un parámetro, construir e interpretar intervalos de confianza para diferentes  parámetros poblacionales y testear valores de tales parámetros que él mismo elija o determine. Este programa pertenece a la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad Nacional del Litoral.

Contenidos Parte 1:Estimación de Parámetros. Estimación Puntual. Propiedades de un buen estimador. Estimación por intervalos de confianza de la media poblacional, la  proporción poblacional, la varianza poblacional y la diferencia de medias.

Parte 2: Test de hipótesis. Generalidades. Hipótesis estadísticas: hipótesis nula y alternativa. Errores de tipo I y II. Potencia de un test. Test de hipótesis con respecto a la media de una población normal con varianza conocida o desconocida. Estadísticos de  prueba. Regla de decisión. Test de hipótesis respecto de la varianza poblacional y del cociente de dos varianzas poblacionales de poblaciones normales. Estadísticos de  prueba. Reglas de decisión. Test de hipótesis respecto de la diferencia de dos medias  poblacionales correspondientes a dos poblaciones normales con varianzas conocidas o desconocidas. Estadísticos de prueba. Reglas de decisión. Test de hipótesis respecto de una proporción y de la diferencia de dos proporciones.

Destinatarios Este programa está orientado a: • • • •

Potenciales responsables del análisis de datos procedentes de determinados experimentos o estudios. Graduados universitarios con interés de formarse en análisis inferencial de datos. Usuarios particulares que deseen resolver los problemas comunes en Estadística Inferencial. Alumnos que desean adquirir una formación básica en el área de Estadística Inferencial.

Metodología y recursos •

El estudiante del Curso de Inferencia Estadística Básica recibirá los siguientes materiales para su estudio personal: - Guías Didácticas con los contenidos básicos. - Guías de Trabajos Prácticos para realizar en su casa.

•

El estudiante del Curso de Inferencia Estadística Básica tendrá disponible los siguientes recursos: - E-mail para consultas. - Sitio WEB del Curso con materiales para bajar directamente a su PC.

Requisitos de inscripción y promoción Son requisitos de Inscripción: • •

Tener aprobado estudios de nivel medio, o adeudar no más de dos asignaturas o espacios curriculares. Tener conocimientos básicos de manejo de calculadora científica, Estadística Descriptiva, Cálculo de probabilidades, Variables Aleatorias Discretas y Continuas, Distribución de los Estadísticos en el Muestreo.

Son requisitos de Promoción: •

Realizar, presentar y aprobar dos trabajos prácticos parciales (evaluaciones) a distancia.

Cronograma 14/8/02 al 25/8/02: Estimación de Parámetros 26/8/02 al 5/9/02: Test de Hipótesis 6/9/02 al 12/9/02: Envío de Evaluaciones (Trabajos Prácticos Parciales) PARA MAYOR INFORMACIÓN: Escribir a [email protected]   para consultas académicas(Contenidos, Clases, Materiales, etc) y para consultas administrativas

INTRODUCCIÓN El objetivo más importante de la Estadística es obtener una inferencia con respecto a la  población basándose en la información contenida en una muestra. Como las poblaciones se describen mediante medidas numéricas denominadas parámetros, el objetivo de la mayoría de las invrestigaciones estadísticas es deducir una inferencia con respecto a uno o más parámetros de la población. Se han estudiado, hasta el momento, las nociones fundamentales de distribución de  probabilidades; se está en condiciones, entonces, de tratar los métodos de inferencia estadística, los cuales comprenden los procedimientos para estimar parámetros de  poblaciones y probar (contrastar) si una afirmación provisional sobre un parámetro  poblacional se ve apoyada o desaprobada ante la evidencia de la muestra. Hablando en general, hay dos tipos de inferencia: la deductiva y la inductiva. Una inferencia deductiva es un juicio o generalización que se basa en un razonamiento o  proceso dialéctico a priori. Por ejemplo, se supone que dos monedas están  perfectamente equilibradas y que entonces la probabilidad de cada una de caer "cara" es = 0,5 (premisa). La media o número esperado de "caras" en la jugada de las monedas deber ser 1 (conclusión). Si las premisas son ciertas, las conclusiones no pueden ser  falsas. Una inferencia inductiva , por otra parte, es un juicio o generalización derivado de observaciones empíricas o experimentales; la conclusión sobre el número promedio de "caras" con base en los resultados de una muestra de prueba. Si los resultados de las  pruebas son diferentes, la conclusión también será diferente. No se requiere una suposición a priori sobre la naturaleza de las monedas. La inferencia estadística es  primordialmente de naturaleza inductiva y llega a generalizaciones respecto de las características de una población al valerse de observaciones empíricas de la muestra. Es muy probable que una estadística muestral sea diferente del parámetro de la  población y sólo por coincidencia sería el uno exactamente igual al otro. La diferencia entre el valor de una estadística muestral y el correspondiente parámetro de la población se suele llamar error de estimación . Sólo se sabría cuál es el error si se conociera el  parámetro poblacional, pero éste por lo general se desconoce. La única manera de tener  alguna certeza al respecto es hacer todas las observaciones posibles del total de la  población en la mayoría de las aplicaciones prácticas, lo cual, desde luego, es imposible o impracticable. Y en efecto, la razón de ser de la inferencia estadística es la falta de conocimientos acerca de las características de la población. Pero que tales características se desconozcan no impide el que se actúe. Las inferencias estadísticas se hacen por posibilidades o probabilidades. De la media de la muestra se hacen inferencias sobre la media de la población. No se sabe exactamente cuál es la diferencia entre estas dos medias, ya que la última es desconocida en la mayoría de los casos. No obstante, si se sabe que es más bien poca la probabilidad de que esta diferencia sea mayor que, por ejemplo, tres a aún dos errores estándares.

Los problemas que se tratan en la inferencia estadística se dividen generalmente en dos clases: los problemas de estimación y los de prueba de hipótesis. Como al estimar un  parámetro poblacional desconocido se suele hacer una afirmación o juicio este último ofrece solamente una estimación. Es un valor particular obtenido de observaciones de la muestra. No hay que confundir este concepto con el de estimador, que se refiere a la regla o método de estimar un parámetro poblacional. Por ejemplo, se dice que X es un estimador de µ porque la media muestral proporciona un método para estimar la media de la población. Un estimador es por naturaleza una estadística y como tal tiene una distribución. El procedimiento mediante el cual se llega a la obtención y se analizan los estimadores se llama estimación estadística, que a su vez se divide en estimación  puntual y estimación por intervalos.

ESTIMACION: GENERALIDADES El uso principal de la inferencia estadística en la investigación empírica, es lograr  conocimiento de una gran clase de unidades estadísticas (seres humanos, plantas,  parcelas de tierra), de un número relativamente pequeño de los mismos elementos. Los métodos de inferencia estadística emplean el razonamiento inductivo, razonamiento de lo particular a lo general y de lo observado a lo no observado. Cualquier colección o agregación grande de cosas que deseamos estudiar o de las cuales deseamos hacer inferencias, se llama población. El término población tiene más significado cuando se lo junta con la definición de muestra de una población: una muestra es una parte o subconjunto de una población. Una muestra de n elementos de la población de N elementos, debería ser seleccionada de forma tal que las características de la población puedan ser estimados con un margen de error conocido. Los valores de varias medidas descriptivas calculadas para las poblaciones, se llaman parámetros. Para las muestras, estas mismas medidas descriptivas se llaman

estadísticas. Un parámetro describe una población de la misma manera que una estadística describe a una muestra. Es costumbre simbolizar las estadísticas con letras romanas y los parámetros con letras griegas. Estadística Media aritmética

Parámetro

µ

Variancia

S²

σ2

Desvío estándar

S

σ

Coeficiente de correlación

R 

ρ

Una estadística calculada a partir de una muestra es un estimador del parámetro en la  población. Una estimación es alguna función de los resultados de una muestra que  produce un valor, llamado estimador. El estimador da alguna información respecto al parámetro. Por ejemplo, la media de la muestra, , es un estimador de la media µ en la población. Las poblaciones pueden ser infinitas o finitas. Para la mayoría de los propósitos de investigación, se supone que las poblaciones son infinitas, no finitas, en tamaño, las cuales son algo artificial o imaginario. Una población finita puede ser extremadamente grande. Es posible concebir un proceso de conteo de los elementos de la población, el cual puede ser computado; luego la  población es técnicamente finita. Afortunadamente no es necesario crear problemas en cuanto a la distinción entre poblaciones infinitas y finitas. El método usado para seleccionar la muestra es muy importante al juzgar la validez de la inferencia que se hace de la nuestra a la población. Para que una muestra sirva adecuadamente como base para obtener estimadores de  parámetros poblacionales, debe ser representativa de la población. El muestreo al azar de una población producirá muestras que "a la larga" son representativas de la población. Si una muestra se extrae aleatoriamente, es representativa de la población en todos los aspectos, esto es, la estadística diferirá del parámetro solo por azar. La habilidad para estimar el grado de error debido al azar (error de muestreo), es un rasgo importante de una muestra al azar.

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS La teoría clásica de la Inferencia Estadística trata de los métodos por los cuales se selecciona una muestra de una población y, basándose en las pruebas de las muestras, se trata de: * Estimar el valor de un parámetro desconocido, por ejemplo θ . * Verificar si θ es o no igual a cierto valor predeterminado, por ejemplo θ 0. El primero de estos dos procedimientos, de inferir de una muestra a una población, se llama estimación de un parámetro ; el segundo, prueba de una hipótesis acerca de un parámetro. Dentro del primer procedimiento, la estimación de un parámetro puede tener por  resultado un solo punto ( estimación puntual ), o un intervalo dentro del cual exista cierta probabilidad de encontrarlo (estimación por intervalos ).

Un estimador puntual es un único punto o valor, el cual se considera va a estimar a un  parámetro. La expresión E( ) = µ sugiere que el único valor de es un estimador   puntual insesgado o no viciado de µ . Un estimador por intervalo se construye sobre el concepto de un estimador puntual, pero además, proporciona algún grado de exactitud del estimador. Como el término lo sugiere, un estimador por intervalo es un rango o banda dentro de la cual el parámetro se supone va a caer.

PROPIEDADES DE UN BUEN ESTIMADOR  Para poder utilizar la información que se tenga de la mejor manera posible, se necesita identificar las estadísticas que sean buenos estimadores, cuyas propiedades son: Insesgabilidad: , estimador de es una variable aleatoria y por lo tanto tiene una distribución de probabilidad con una cierta media y variancia. Se puede definir  estimador insesgado diciendo: Si se utiliza un estadístico muestral  para estimar el  parámetro de la población , se dice que es un estimador insesgado de , si la esperanza matemática de coincide con el parámetro que desea estimar. En símbolos:

es insesgado

O sea que es de esperar que si se toman muchas muestras de igual tamaño partiendo de la misma distribución y si de cada una se obtiene un valor , la media de todos los valores de ha de estar muy cerca de . Por ejemplo: * La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, o sea que E( =µ * La variancia muestral, ¿es un estimador insesgado de la variancia poblacional? La respuesta depende de como se defina la variancia muestral.

, entonces S² es un estimador sesgado de σ ² pues

Si aún,

. Mas

. Pero el sesgo se puede corregir alterando la definición de variancia muestral.

En efecto, si es la variancia muestral corregida, entonces ( y S² es un estimador insesgado de σ ².

)

Eficiencia: si se utilizan dos estadísticos como estimadores del mismo parámetro, entonces aquel cuya distribución muestral tenga menor variancia, es un estimador más eficiente o más eficaz que el otro. Es decir:

es eficiente

mínima.

Luego, si tenemos dos estimadores y de un mismo parámetro sigue para hallar el más eficiente entre ellos.

, procedemos como

Se halla la razón Si K > 1,

es más eficiente que

y usaremos

.

Si K < 1,

es más eficiente que

y usaremos

.

Si K = 1, y son igualmente eficientes y se puede utilizar cualquiera de los dos indistintamente. Supongamos que una variable aleatoria X tiene una distribución simétrica. Por lo tanto la media aritmética y la mediana son iguales. Si se toma una muestra de esta distribución, ¿qué estadístico muestral, o , debería utilizarse para estimar la media de la población µ ? La respuesta depende de cuál es el estimador más eficaz. Ambos son insesgados, pero la variancia de es menor que la de , es decir que . Por lo tanto la media muestral es un estimador más eficaz que la mediana muestral. Consistencia: Si es un estimador muestral calculado a partir de una muestra de tamaño n y si es el parámetro de población que se va a estimar, entonces es un estimador  consistente de si la probabilidad de que el valor absoluto de la diferencia entre y su esperanza iguale o supere a e (error admitido que tiende a cero, o sea que es tan  pequeño como se quiera), tienda a cero cuando el número de elementos de la muestra tienda a infinito. En símbolos: si n →∞ O equivalentemente:

si n →∞

Es decir, para que el estimador sea consistente, es necesario que la probabilidad de que esté a menos de cierta distancia "e" del parámetro θ , tienda a 1 al tender  n a infinito. Por ejemplo, se sabe que la media muestral y la variancia son estimadores consistentes ya que tienden a acercarse a los correspondientes valores de la población a medida que aumenta el tamaño de la muestra, pero un estadístico muestral puede ser un estimador 

sin consistencia. Por ejemplo, si el valor de la primera observación o la media entre la  primera y última observación de una muestra se utilizaran para estimar la esperanza de la población, tal estimador no sería consistente pues no tiende a acercarse más y más al valor de la población cuando se aumenta el tamaño de la muestra. Suficiencia: Un estimador suficiente del parámetro θ es aquel que agota toda la información pertinente sobre θ que se puede disponer en la muestra. Por ejemplo, si se toma una muestra de n = 30 valores con el fin de estimar  µ , pueden utilizarse como estimadores la primera, la décimo quinta o la última observación, o el promedio entre la  primera y la quinta observación. Pero estos estimadores no son suficientes pues no contienen toda la información disponible de la muestra. La media aritmética calculada con las 30 observaciones sí lo es pues tiene en cuenta todas las observaciones. En definitiva, por ejemplo la media aritmética muestral y la forma corregida de la variancia muestral, son estadísticas que satisfacen los criterios o propiedades de "buenos" estimadores.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA Lo dicho hasta ahora se refiere a una estimación puntual, es decir, estimar un parámetro a través de un único valor. Esta estimación no es muy conveniente pues con ella no se  puede determinar el error de muestreo, ni la precisión de la estimación, ni la confianza que merece tal estimación. Existen otros métodos para estimar parámetros poblacionales que son mucho más  precisos. Por ejemplo: * Método de los mínimos cuadrados: se verá en Teoría de la Regresión. * Método de los momentos: no se desarrollará. * Método de la máxima verosimilitud: que se basa en el principio de que generalmente ocurre lo más probable (no se desarrollará) * Método de estimación por intervalos de confianza: que se desarrolla a continuación. El procedimiento de determinar un intervalo (a, b) que comprenda un parámetro de  población θ con cierta probabilidad 1 - , se llama estimación por intervalos . Se verán los casos paramétricos, es decir aquellos en los que se tiene conocimiento del tipo de distribución de la población (Binomial, Poisson, Normal, etc.) En general, para cualquier parámetro θ y su correspondiente estimador de confianza será:

Donde:

1, el intervalo

es el límite inferior del intervalo de confianza. es el límite superior del intervalo de confianza. k es una constante

no negativa. Es el llamado multiplicador correspondiente a 1 - α .

α es la probabilidad de que el intervalo no incluya al verdadero valor del parámetro. 1 - α es el nivel de confianza , es una medida de la fiabilidad de la estimación. Por  ejemplo, si se toma α = 10%, entonces 1 - α = 90% y se dice que se tiene un intervalo de confianza del 90% y que la probabilidad de que el intervalo contenga al verdadero valor  del parámetro es del 90%. Es decir, que si repetidamente se muestra y se construye tal intervalo una y otra vez, 90 de cada 100 de estos intervalos, contendrá al parámetro y 10 de ellos no. Se puede pensar que 1 significa certeza, seguridad y α significa riesgo. La seguridad menos el riesgo, es decir 1 - da, por lo tanto, el coeficiente de confianza de nuestras afirmaciones. En el caso anterior, se tiene una confianza de que 90 de cada 100 intervalos que se extraigan como muestra, contendrán el verdadero valor del parámetro. Pero una vez determinado el intervalo, es decir, una vez calculados numéricamente los extremos, ya no debe hablarse en términos de confiabilidad ni en términos probabilísticos, pues la situación pasa a ser completamente determinística. De tal manera, asociado a un intervalo de confianza ya calculado, se tiene una probabilidad 0 ó 1 de que contenga al  parámetro a estimar y no hay otra opción, ya que lo contiene o no lo contiene. Resumiendo, los extremos del intervalo son variables aleatorias, mientras que el  parámetro a determinar es constante. En general, los pasos a seguir para estimar un parámetro por el método de los intervalos de confianza, son: * Fijar el coeficiente de confianza que se desea en la estimación. * Extraer la muestra y calcular el o los estadísticos necesarios. * Determinar la distribución en el muestreo que tiene el estadístico empleado.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL CASO 1) Con

conocido:

Sea

donde µ es desconocido y σ conocido.

Sea x1, x2, ... , x n una muestra aleatoria de la variable aleatoria X y sea muestral.

Se sabe que del límite.

la media

independientemente del valor de n, por el teorema central

Luego, tipificando:

Se plantea:

entonces:

Observaciones: - Si las muestras se toman sin reposición de una población finita de tamaño emplearse el factor de corrección por finitud y el intervalo será:

N, debe

- Si la población es sólo aproximadamente normal, la igualdad sigue siendo válida en forma aproximada.

Ejemplo 1: Un grupo de investigadores en Medicina desea estimar el cambio medio de  presión sanguínea por paciente en un sanatorio. Se ha seleccionado una muestra al azar  de 30 pacientes y se halló que  puls/seg. Los investigadores saben que la desviación estándar de los cambios de presión sanguínea para todos los pacientes es σ = 3 puls/seg según estudios anteriores. Ellos desean estimar el cambio medio de la presión sanguínea por paciente con un intervalo del 95% de confianza, suponiendo que la variable aleatoria "cambios de presión sanguínea" tiene asociada una distribución normal de probabilidad. Respuesta: X = cambio en la presión sanguínea por paciente del sanatorio (en pulsaciones por  segundo) n = 30

σ=31-

Por tabla:

= 0.95

Entonces:

Límite inferior (LI) =

Límite superior (LS) = Por lo tanto resulta el Intervalo del 95% de confianza para la media: ICM0,95 = (3,9 ; 6,1) Luego, puede decirse que el cambio medio en la presión sanguínea por paciente,  pertenece al intervalo (3,9 ; 6,1) pulsaciones, con un nivel de confianza del 95%. Observación: Nótese que se cae en un abuso de lenguaje pues se debería decir que el intervalo (3,9 ; 6,1) pulsaciones pertenece a la sucesión que ofrece un nivel de confianza del 95% para estimar el cambio medio de presión sanguínea, pero se simplifica la expresión para hacerla menos engorrosa o extensa.

En cuanto al tamaño óptimo de muestra , = e determina el error máximo admitido de muestreo e indica la precisión de la estimación. Lógicamente se pretende que sea lo más pequeño posible. Por otra parte, (1 - ) es el coeficiente de confianza y se pretende que sea lo más grande posible. Pero mayor el coeficiente de confianza (1 -

), el valor

depende del valor de α y al hacer  será mayor y por lo tanto el error 

aumentará. Esto se puede regular aumentando el tamaño de la muestra con lo que el error disminuirá.

Para el ejemplo 1,

con un nivel de confianza del 95%.

Si se desea elevar el nivel de confianza a 99%, pero sin aumentar el error e de estimación, el tamaño de la muestra debería ser:

O sea que debe tomarse una muestra de aproximadamente 52 pacientes en lugar de 30. Por el contrario, si el investigador deseara un error de estimación menor, por ejemplo 1  puls/seg, manteniendo el nivel de confianza en 95%, el tamaño de la muestra requerido será:

 pacientes.

CASO 2) Con

desconocido

Para estimar σ se debe utilizar el desvío estándar muestral corregido.

, ya que según se ha visto, es un estimador insesgado del correspondiente parámetro poblacional σ . Reemplazando en la variable tipificada  por

resulta:

Por lo tanto:

= 1-α

Ejemplo 2: Una muestra de 15 aves tomadas al azar en un establecimiento con 5000 aves, (que elabora alimentos balanceados), permitió establecer un aumento de peso  promedio de 90 g por semana y por ave, y un desvío típico de 10 g. Se busca estimar el incremento de peso promedio para las 5000 aves del establecimiento con un intervalo de confianza del 90%. Respuesta:

X = aumento de peso por ave n = 15

= 90 g S = 10 g ¿ICM 0,90?

Por tabla: y el intervalo resulta:

Interpretando este resultado, se dice que el aumento de peso por ave por semana en el establecimiento está entre 85,5 y 94,6 gramos, con un 90% de confianza.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CASO 1: Poblaciones normales Se fija el nivel de confianza (1 de tamaño n. Ya se ha visto que:

y

con y

conocidos.

), se extraen dos muestras independientes de X1 y X2

y el estadístico tipificado tiene la siguiente

(1)

distribución:

Además,

(2)

Reemplazando en (2), a Z por la expresión (1), se obtiene:

Donde:

Ejemplo 3: Al determinar la superficie en miles de hectáreas de las explotaciones agrícolo-ganaderas de cierta zona, una muestra de 40 explotaciones dio una superficie media de 900 ha, con una desviación típica de 300 ha. En otra zona, al muestrear  también 40 explotaciones, la superficie media fue de 600 ha con una desviación típica de 150 ha. Suponiendo que en ambas zonas la variable "superficie en ha por  explotación" se distribuye normalmente, estimar por un intervalo de confianza del 90%, la diferencia entre las superficies medias de las explotaciones de ambas zonas. Respuesta:

X1 = superficie de cada explotación agrop. de la primera zona X2 = superficie de cada explotación agrop. de la segunda zona ,

Por tabla:

n = 40 ¿ICDM0,90?

Luego:

= = 300 ± 87,24 = (212,76 ; 387,24) = (212,8 ; 387,2) Interpretando este resultado, se dice que la diferencia entre las superficies medias de las explotaciones agrícolo-ganaderas de ambas zonas, se encuentra entre 212,8 y 387,2 ha, con un 90% de confianza. Observación: En la fórmula también puede utilizarse considerarse

en lugar de

y en ese caso debe

CASO 2: Poblaciones normales desconocidos

y

con y

Se extraen dos muestras independientes (una de cada población) de tamaños respectivamente, se fija (1 -

), se calculan

y

n1 y n2

su diferencia.

a) Si σ 1 y σ 2 son desconocidos pero estadísticamente pueden considerares iguales (σ 1

= σ 2), se estiman por y se procede como en el caso 1. (Sa es la variancia amalgamada o mancomunada)  b) Si σ 1 y σ 2 son desconocidos pero estadísticamente no pueden considerarse iguales (σ 1 ≠ σ 2), Se fija (1 - ±), se extraen dos muestras independientes, se calcula distribución en el muestreo del estadístico de prueba, ya tipificado, es:

y la

∼ tδ donde el número de grados de libertad de la distribución fórmula:

De manera análoga al primer caso, se deduce que:

t de Student viene dado por la

Ejemplo 4: Las variables aleatorias X1 y X2 distribuidas normalmente, representan las edades al morir de tuberculosis de los individuos en dos ciudades. Una muestra de 10 individuos que murieron por tal enfermedad en la primera ciudad dio una edad media de 48 años y una desviación típica de 5 años. En la segunda ciudad, una muestra de 12 individuos dio una edad media de 41 años y una desviación típica de 3 años. Se desea estimar por intervalos con un 95% de confianza, la diferencia entre las edades medias de los muertos por tuberculosis en ambas ciudades, sabiendo que investigaciones anteriores no permiten tomar las desviaciones típicas de ambas variables como iguales. X1 = edad al morir de tuberculosis en la ciudad A. X2 = edad al morir de tuberculosis en la ciudad B.

n1 = 10,

, S1 = 5

n2 = 12,

, S2 = 3, σ 1 ≠ σ 2 ¿ICDM0,95?

Respuesta:(corresponde al item b) del caso 2) Con estos datos, reemplazamos en la fórmula para calcular los grados de libertad:

grados de libertad. Luego, por tabla, t 0,05; 15 = 2,1315 y finalmente el intervalo resulta:

ICDM0,95 = = 7 ± 3,843 = (3,157 ; 10,843) ≅ (3 ; 11) Interpretando el resultado se puede decir que la diferencia entre las edades medias de las  personas que murieron de tuberculosis en ambas ciudades, se encuentra entre 3 y 11 años, con una confianza del 95%.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANCIA POBLACIONAL Suponemos: Población normal

X

N( ,

)

Se fija (1 - ±) y el estadístico tipificado de prueba tiene una distribución muestral:

(1) donde  Ã 2 es la variancia poblacional.

Además:

(2)

Reemplazando (1) en (2) resulta:

Invirtiendo fracciones:

Multiplicando miembro a miembro por  (n - 1) .S 2 para despejar  Ã 2, se obtiene:

Invirtiendo la desigualdad:

Ejemplo 5: Un productor de fertilizantes, para controlar el buen embolsado de sus  productos, pesa 15 bolsas del mismo, obteniendo una desviación típica de 0,50 kg. ¿Qué varianza puede inferirse con un 98% de confianza que tendrá la producción total? Respuesta:

X = peso de cada bolsa de fertilizante n = 15

S = 0,50 kg. ¿ICV 0,98?

Por tabla: Luego, el intervalo buscado es:

Se interpreta este resultado diciendo que existe un 98% de confianza de que la variancia del peso por bolsa en toda la producción de bolsas de fertilizantes de ese productor esté entre 0,12 y 0,75 Observaciones: 1) Del intervalo de confianza visto para la variancia, se deduce el correspondiente para el desvío típico:

Para el ejemplo 5: 2) Si n > 100 , los valores ya no se encuentran en la tabla de la distribución Chi cuadrado, y por lo tanto se la aproxima a una normal, utilizando para aproximar percentiles en esta distribución:

Y el intervalo buscado es:

INTRODUCCIÓN Recuérdese que muchas veces el objetivo de la Estadística es hacer inferencias con respecto a parámetros poblacionales desconocidos, basadas en la información obtenida mediante datos muestrales. Estas inferencias se expresan en una de dos maneras, como estimaciones de los parámetros respectivos o como pruebas de hipòtesis referentes a sus valores. En este capítulo o parte se estudiará el tema de la prueba (o contraste, o test) de hipótesis. Con frecuencia, los problemas a los que se enfrenta el científico o el experimentador no se refieren sólo a la estimación de un parámetro poblacional como se indicó en el capítulo precedente, sino, y es aún más frecuente en los problemas prácticos, el que se tenga que formular un procedimiento de decisión basado en los datos que conduzcan a una conclusión acerca de algún planteamiento científico. Esta es la situación en que se encuentra, por ejemplo, un investigador que pretende demostrar que la droga A es más efectiva para el tratamiento de cierta enfermedad que la droga B; cuando un sicólogo desea comprobar si cierto formato de instrucción incrementará la eficiencia en el aprendizajes; cuando un ingeniero agrónomo desea comprobar si una nueva distancia de siembra entre surcos, para un cultivo, produce mejores rendimientos que las distancias que se usaban comúnmente en la zona; cuando el jefe de marketing asegura que determinado producto se aceptado por el 60% de la población consumidora, etc. En cada uno de los anteriores casos el responsable del estudio postula o conjetura algo acerca de un sistema. Estos constituyen enunciados  provisionales, puesto que al no  poder integrar el cúmulo de sus conocimientos todo lo concerniente a la situación,

aparece la incertidumbre. La función de la estadística en su aspecto inferencial es la de apoyar el razonamiento para llegar a decisiones sólidas a pesar de la incertidumbre. Al respecto, es tan importante el papel que desempeña la estadística en estas situaciones que se suele hablar de la estadística moderna como "el estudio de las decisiones ante la incertidumbre". Se puede decir que se llaman decisiones estadísticas a las decisiones que deben tomarse con respecto a las poblaciones a partir de una información obtenida de una muestra de las mismas. Por ejemplo, a partir de los datos del muestreo podemos querer  llegar a decidir si un suero nuevo es realmente efectivo para la cura de una enfermedad, si un sistema educacional es mejor que otro, si una moneda está o no cargada, etc. En los casos que se han señalado se observa que se deben tomar decisiones con base en datos experimentales. Y si hay que tomar decisiones es porque hay alternativas; cada una de estas alternativas es formalizada como una hipótesis estadística y el proceso mediante el cual se enfrentan o confrontan las hipótesis al tomar como punto de apoyo los datos muestrales constituye lo que se denomina  prueba o contraste de hipótesis.

ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS. Una hipótesis es una suposición sobre la naturaleza de una población. Las hipótesis generalmente están expresadas en términos de parámetros poblacionales. Las siguientes son algunos ejemplos de hipótesis:  µ = 5 (la media poblacional es igual a 5)  µ < 67 (la media poblacional es menor que 67) 

2

= 4 (la variancia poblacional es igual a 4)



2

>11 (la variancia poblacional es mayor que 11)

Un test de una hipótesis es un procedimiento estadístico usado para tomar una decisión sobre el valor de un parámetro poblacional. La hipótesis nula (H0) especifica el valor de un parámetro poblacional. Se conduce un experimento para ver si el valor especificado no es razonable. Ejemplo :Un semillero publicita que el peso promedio de una espiga de una cierta variedad es de 180 gramos con una desvío estándar de 30 gramos. Un productor de avanzada sospecha que el peso es distinto de 180 gramos, decide por lo tanto conducir  un experimento. El propósito del mismo es ver si el peso de 180 gramos es incorrecto. Por lo tanto la hipótesis nula de interés es: H0 : µ = 180 gramos La hipótesis alternativa (H1) da una suposición opuesta a aquella presentada en la hipótesis nula. El experimento se lleva a cabo para conocer si la hipótesis alternativa  puede ser sustentada.

En el ejemplo previo el productor sospecha que el peso medio es distinto de 180 gramos. Esta es la hipótesis a ser sustentada y así la hipótesis alternativa es: H1 µ > 180 gramos ó µ < 180 gramos ó

180 gramos

Se puede ver que las hipótesis son excluyentes. La hipótesis alternativa frecuentemente se llama hipótesis de investigación , porque este tipo de hipótesis expresa la teoría que el investigador o experimentador cree va a ser verdadera. Un test estadístico es una cantidad calculada de la muestra y se usa cuando se va a hacer una decisión sobre la hipótesis de interés. Después que el productor de este ejemplo prueba la variedad en 50 parcelas sembradas al azar, seleccionando un conjunto de espigas por parcela, el test estadístico debe ser  calculado. Por ejemplo la media de la muestra se podría usar como test estadístico  para tomar una decisión acerca del valor de µ , o si se obtiene una muestra suficientemente grande se podría utilizar una estadística z para comparar el valor  observado de con respecto a 180 gramos especificado en la hipótesis nula. Así un  posible test estadístico cuando 2 se conoce, sería :

Para interpretar el valor del test estadístico es necesario introducir un elemento más al test de hipótesis: la región de rechazo , que especifica los valores del test estadístico  para los cuales la hipótesis nula es rechazada ( y para los cuales la hipótesis alternativa no es rechazada). La región de rechazo identifica los valores del test estadístico que sostienen o sustentan la alternativa y serían improbables, (raros) si la hipótesis nula fuera verdadera. Ya que no se espera observar sucesos raros (valores improbables del test estadístico) la hipótesis nula se rechazará cuando la muestra produzca un valor tal. Para el ejemplo si la media fuera menor que 180 gr o mayor que 180 gr esta sustentaría la hipótesis alternativa (µ 180) y un valor de más de 2, (1,96) errores estándares por debajo o por encima de 180 sería raro o poco probable. El propósito de cualquier test de hipótesis es decidir cual hipótesis - la nula o la alternativa - sería rechazada. Ya que cualquier decisión estará basada sobre información  parcial de una población, contenida en una muestra, habrá siempre una posibilidad de una decisión incorrecta. La siguiente tabla resume cuatro posibles situaciones que  pueden surgir en un test de hipótesis.

Verdadero estado de la población

Decisión posible

H0 es cierta

H1 es cierta

Se rechazo H0

Error de tipo I ( α )

Decisión correcta

 No se rechaza H0

Decisión correcta

Error de tipo II ( β )

Si la hipótesis nula es rechazada y de hecho, la hipótesis nula es verdadera, se cometió un error, que se llama Error de tipo I ( ). Un Error de tipo II ( ) ocurriría si la hipótesis nula fuera aceptada y de hecho, la hipótesis alternativa es verdadera. Ya que nunca se puede eliminar la posibilidad de cometer un error de tipo I o un error  de tipo II cuando se usan muestras para hacer inferencias, se considerarán las  posibilidades de cometer estos errores. = P (error de tipo I) P (rechazar H0 si H0 es verdadera) = P (error de tipo II) P (aceptar H0 si H0 es falsa) Es deseable que tanto como estén próximos a cero pero en general esto no es  posible, ya que el experimentador desea concluir que H1 es verdadera (rechazar H0 ) el interés está en que tenga una probabilidad pequeña tal como 0,01 ó 0,05. En otras  palabras , se desea estar seguro que si H0 es verdadera, será muy raro que sea rechazada. El experimentador es libre de elegir el valor de , esto es, determinar cuán raro un suceso observado debe ser para rechazar H0. Determinar si el valor de estará presente  para el test de hipótesis es algo más complicado, de modo que no se intentará su cálculo. Manteniendo pequeño se evita aceptar la hipótesis de investigación (alternativa) si la hipótesis nula es verdadera. De otra forma se induciría a la crítica de que se ha sesgado la investigación para probar la alternativa. El sacrificio de mantener pequeña es que la "chance" de aceptar la hipótesis nula, si la hipótesis de investigación es verdadera ( ),  puede ser mayor de lo que se desea. Resumiendo, en el ejemplo considerado el productor aceptando un error de 0,05 (5%), conocido también como nivel de significación y utilizando la estadística z, plantearía la hipótesis como sigue: H0 : µ = 180 gramos H1 : µ

180 gramos

Suponiendo que los resultados del experimento produjeron una media muestral de 187 gramos, el test estadístico se construiría como:

donde : 187 = media de la muestra (

= 187)

180 = media hipotética (poblacional

= 180)

30 = desvío estándar poblacional (conocido) ( =30) 50 = tamaño de la muestra o repeticiones (n=50) Para decidir si la hipótesis nula (H0) se rechaza o no se compara el valor de z calculado ( 1,65) con el valor de z tabulado N (0,1), para un nivel de probabilidad = 0,05. Por  tratarse de una prueba bilateral , indicado por la desigualdad de la hipótesis alternativa (¼ 180) el valor de se particiona en dos /2 = 0,025, lo que implica que la  probabilidad con la que se busca el valor de z, en la tabla de la distribución normal es 0,975, el valor de z correspondiente a esta probabilidad es 1,96. Gráficamente las zonas de rechazo y aceptación serían:

como el valor de z calculado= 1,65 es menor que l,96 o sea cae en la región de aceptación , no hay evidencias sufucientes como para rechazar la hipótesis de que la media de la población es igual a 180. Conclusión: la publicidad que hace el semillero de que el peso promedio de las espigas de una cierta variedad es de 180 gramos, es correcta, aunque podría existir una  probabilidad de error tipo II, si de hecho la media de tal variedad no fuera 180 gramos

HIPÓTESIS UNILATERALES

Si en el mismo ejemplo, el productor, basándose en algún conocimiento de la variedad en cuestión sospechara que el peso promedio de las espigas es menor que 180, las hipótesis se plantearían como: H0: µ = 180 gramos o H 0 : µ > 180 gramos H1: µ < 180 gramos = 0,05 En este caso la desigualdad de la hipótesis alternativa indica cuál sería la zona de rechazo, el valor de ya no se particiona sino que se acumula todo hacia un solo lado, el izquierdo en este ejemplo y el valor tabulado de z se busca en la tabla con un valor de  probabilidad del 95% siendo z= -1,64 (el signo negativo no figura en la tabla ya que siendo la distribución normal simétrica, lo que se hace es anteponer el signo negativo al valor de z que corresponde al nivel de probabilidad especificado)

Si por otra parte, el productor sospechara que el peso promedio es mayor que 180 gramos, la hipótesis y la zona de rechazo se plantearían como: H0: µ = 180 gramos ó H 0: µ < 180 gramos H1: µ > 180 gramos = 0,05

en ambas situaciones el test estadístico se construye como:

cuando

se desconose, el test estadístico se construye como:

Este valor difiere del anterior en que, en lugar de aparecer la desviación estándar de la  población, nos encontramos con su estimador muestral insesgado S, que se distribuye, t de Student (t ∼ t(n-1))

POTENCIA DEL CONTRASTE Partiendo del planteo de las siguientes hipótesis: H0 : µ = µ 0 H1 : µ

µ0

La probabilidad de error tipo I ( ) está dada por el nivel de significación; en cambio, la  probabilidad del error tipo II ( ) ya no es una cantidad determinada para cada nivel de significación, sino que depende del valor de µ . La probabilidad del error tipo II ( ) para valores de µ próximos a µ 0 es grande en comparación con la probabilidad de este error para valores de µ que están alejados de µ 0.

Por ejemplo, si H 0 afirma que la media es igual a 20, la probabilidad de no rechazar H 0 es evidentemente mayor si la verdadera media es 25 que si es 30. Esto se detalla con mayor claridad en la siguiente figura en el que el área rayada indica la probabilidad de error tipo II ( ). Por supuesto se puede calcular la probabilidad de error tipo II para cualquier valor de µ . Cuanto menor sea esta probabilidad mejor será el contraste para distinguir entre hipótesis ciertas y falsas, o sea, cuanto menor sea la probabilidad de no rechazar H0, cuando esta sea falsa, más "potente" es el contraste. La potencia de un contraste se mide por la probabilidad de rechazar H 0 cuando sea falsa. Al ser la probabilidad de no rechazar H0 cuando esta es falsa, la potencia del contraste es igual a: 1 - P ( error tipo

II )

ESQUEMA PARA CONTRASTAR HIPÓTESIS Cuando se tiene que contrastar una hipótesis estadística es conveniente seguir un esquema, el cual debe incluir las siguientes etapas: 1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa 2) Elección del nivel de significación ( ) 3) Selección del estadístico de prueba. 4) Determinación de la región crítica. 5) Cálculo del estadístico. 6) Exposición de las conclusiones.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL ( desconocido) Las hipótesis se plantean de forma similar al caso en que σ es conocido, pero la estadística de prueba es la "t" de Student. Ejemplo: Para estimar el rendimiento de parcelas plantadas con papa de una cierta variedad, se cosecharon ocho de ellas, obteniéndose la siguiente información expresada en kg/parcela: 4,5 5,3 5,4 4,9 5,3 5,7 6,2 4,8 ¿Se puede asegurar, con α =0,05, de que esta variedad de papas tiene un rendimiento  promedio de 5,25 kg? H0 : µ = 5,25 H1 : µ

5,25

A partir de los datos se calcula

y S², para este ejemplo

= 5,5625 y S² =0,2884.

= Como el valor de t calculado cae entre –2,365 y 2,365 (valor tabulado de t para 7 grados de libertad y α = 0,025, no se rechaza la hipótesis nula. Conclusión: No hay duficiente evidencia, a partir de los datos de la muestra, para decir  que el rendimiento de papa por parcela no es igual a 5,25.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES A UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL (P) Las hipótesis formuladas son: H0: P

P0

H1: P < P0 : 0,05 En el caso del parámetro poblacional "P", cuando el tamaño de la muestra es grande, la variable aleatoria proporción muestral "p" se distribuye aproximadamente normal con esperanza igual a P y desviación estandar igual Por eso se puede utilizar "p" como criterio de test para probar la hipótesis con respecto al parámetro proporción poblacional. El test estadísto z se calcula:

Gráficamente podemos establecer la correspondiente región de rechazo de H0 en la cola de la distribución normal

Ejemplo: Se supone que en un cierto partido de la provincia de Buenos Aires, el 90% de los productores cultivan maíz. De 110 productores de la zona que se encuestaron, 95 hacen maíz. ¿Está este resultado en conformidad con el valor supuesto?. ( α = 0,05) H0: P = 0,90 H1: P ≠ 0,90

Como el valor calculado de Z = –0,97 reside entre los valores tabulados –1,96 y 1,96 (valores críticos de la distribucion normal ) no se rechaza H0. Conclusión, la información proporcionada por la muestra no es suficiente como para decir que la proporción de productes de tal partido que cultivan maíz es distinto de 90%.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTES AL PARÁMETRO VARIANZA POBLACIONAL Por ejemplo, un operador en la bolsa de cereales, aconseja a un cliente con respecto a una inversión de compra y destaca la poca variabilidad de dicha cotización. De acuerdo a lo estipulado por él, esta acción presentaría una varianza en las cotizaciones diarias = 0,2. El cliente, quien debe realizar una fuerte inversión, decide poner a prueba la hipótesis del operador, estableciendo las siguientes hipótesis estadísticas: H0)

0,2

H1)

> 0,2

Fijamos:

= 0,05, como nivel de significación.

Para probar esta hipótesis selecciona una muestra de 15 días donde se registra la cotización diaria. El cálculo de la varianza en la muestra es S2 = 0,4. El test estadístico es:

que se distribuye como una

con (n - 1) grados de libertad.

Se calcula el valor del estadístico planeado:

Gráficamente se tendrá:

Como se puede observar, el estadístico utilizado como criterio para realizar el test, cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Conclusión: La evidencia muestral parece indicar que el operador estaba equivocado y que en realidad la cotización diaria es bastante más variable de lo que él cree.

PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE LAS VARIANCIAS DE DOS POBLACIONES NORMALES Cuando se trata de comparar las variancias se utiliza la variable F=S²1/S²2, que como se sabe está relacionada con la distribución F con (n1-1, n2-1) grados de libertad. Se recomienda colocar siempre en el numerador la variancia muestral asociada a la variancia poblacional mayor estos es, a. Si H1: σ ²1 > σ ²2 ⇒ La estadística de prueba se toma como F=S² 1/S²2 .  b. Si H1: σ ²2 > σ ²1 ⇒ La estadística de prueba se toma como F=S² 2/S²1. c. Si H1: σ ²1 ≠ σ ²2 ⇒ La estadística de prueba se toma de tal manera que la mayor  de las variancias muestrales aparezca en el numerador. Las tablas de la distribución F generalmente proporcionan los puntos de la cola superior  de la distribución F así que para encontrar utilizarse

valor de la cola inferior, debe

, donde f es el valor tabulado de F

Ejemplo 1: Se comparó la eficacia de dos tipos de aceites para evitar el desgaste en ciertas piezas sometidas a intenso trabajo. En trece piezas se utilizó el aceite 1 y en otras trece el aceite 2. Las variancias muestrales fueron S²1 = 64, S²2 = 16. Se desea verificar  la hipótesis nula según la cual las variancias de las dos poblaciones son iguales. (α = 0,05) H0: σ ²1 = σ ²2 H1: σ ²1 ≠ σ ²2 n1 = n2 = 13, α = 0,05

Como el valor calculado de F =4 supera el valor tabulado de la cola superior de la distribución, no puede concluirse, al nivel del 5% que las variancias sean iguales. Siguiendo el criterio de colocar en el numerador siempre la variancia mayor, es suficiente considerar el valor tabulado de la zona derecha de la distribución F.

CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS INDEPENDIENTES  Los desvíos de las poblaciones son conocidos

Los supuestos que se deben cumplir son que las medias poblacionales µ 1 y µ 2 son normales, los desvíos poblacionales y conocidos y las muestras, independientes, de tamaño n1 y n2 respectivamente, estableciendo las siguientes hipótesis: H0 ) µ 1 -µ 2 = 0 ó µ 1 = µ a ) H1 ) µ 1

2

µ2

 b) H1 ) µ 1 > µ 2 c) H1 ) µ 1 < µ 2 = 0,05 En cualquiera de estos casos el test estadístico que se utiliza es

que se distribuye como una N ( 0,1). Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, la fórmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:

En el cont contra rast stee a) a) val valor ores es gran grande dess y pequ pequeñ eños os de( de( )y por por lo lo tant tanto o peq peque ueño ñoss de de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayo bilateral con nivel de significación , la hipótesis H0 se rechaza si : Z<

óZ>

En el cont contra rast stee b) b) só sólo valo valore ress gra grand ndes es de ( En un ensayo unilateral, rechazamos H 0 cuando:

) y de Z con confirm firman an la hip hipótes ótesis is H1.

Z > Z 1En el contraste c) valores pequeños de la diferencias de medias muestrales y por lo tanto valores pequeños de Z confirman H 1 y rechazamos H0 cuando: Zt

si t < -t

ót>t

Se rechaza H0 Se rechaza H0 Se rechaza H0

CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS APAREADAS Esta estrategia de la investigacióm surge cuando cada observación para un tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento. Este par está compuesto por  las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes. El procedimeinto consiste en buscar pares de unidades experimentales con características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelos pueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal manera que los miembros de una sola  pareja, reciban tratamientos distintos. Pueden así mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formando pares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir  que al cabo de un tiempo , exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes). También puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogéneas de a pares, la aplicación de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (se obtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas). La hipótesis planteada es: H0 )

ó H0)

H1 )

H1 )

ó H0) > 0 H1)

µ 2 c) H1 ) µ 1 < µ 2 = 0,05 En cualquiera de estos casos el test estadístico que se utiliza es

que se distribuye como una N ( 0,1). Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, la fórmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:

En el contraste a) valores grandes y pequeños de( )y por lo tanto pequeños de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayo bilateral con nivel de significación , la hipótesis H0 se rechaza si : Z<

óZ>

En el contraste b) sólo valores grandes de ( En un ensayo unilateral, rechazamos H 0 cuando:

) y de Z confirman la hipótesis H1.

Z > Z 1En el contraste c) valores pequeños de la diferencias de medias muestrales y por lo tanto valores pequeños de Z confirman H 1 y rechazamos H0 cuando: Zt

si t < -t

ót>t

Se rechaza H0 Se rechaza H0 Se rechaza H0

CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS APAREADAS Esta estrategia de la investigacióm surge cuando cada observación para un tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento. Este par está compuesto por  las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes. El procedimeinto consiste en buscar pares de unidades experimentales con características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelos pueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal manera que los miembros de una sola  pareja, reciban tratamientos distintos. Pueden así mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formando pares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir  que al cabo de un tiempo , exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes). También puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogéneas de a pares, la aplicación de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (se obtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas). La hipótesis planteada es: H0 )

ó H0)

H1 )

H1 )

= 0,05

ó H0) > 0 H1)

µ 2 c) H1 ) µ 1 < µ 2 = 0,05 En cualquiera de estos casos el test estadístico que se utiliza es

que se distribuye como una N ( 0,1). Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, la fórmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:

En el contraste a) valores grandes y pequeños de( )y por lo tanto pequeños de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayo bilateral con nivel de significación , la hipótesis H0 se rechaza si : Z<

óZ>

En el contraste b) sólo valores grandes de ( En un ensayo unilateral, rechazamos H 0 cuando:

) y de Z confirman la hipótesis H1.

Z > Z 1En el contraste c) valores pequeños de la diferencias de medias muestrales y por lo tanto valores pequeños de Z confirman H 1 y rechazamos H0 cuando: Zt

si t < -t

ót>t

Se rechaza H0 Se rechaza H0 Se rechaza H0

CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS APAREADAS Esta estrategia de la investigacióm surge cuando cada observación para un tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento. Este par está compuesto por  las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes. El procedimeinto consiste en buscar pares de unidades experimentales con características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los

dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelos pueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal manera que los miembros de una sola  pareja, reciban tratamientos distintos. Pueden así mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formando pares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir  que al cabo de un tiempo , exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes). También puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogéneas de a pares, la aplicación de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (se obtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas). La hipótesis planteada es: H0 )

ó H0)

H1 )

H1 )

ó H0) > 0 H1)

µ 2 c) H1 ) µ 1 < µ 2 = 0,05 En cualquiera de estos casos el test estadístico que se utiliza es

que se distribuye como una N ( 0,1).

Si y son iguales, lo que equivale a decir que hay una sola variancia, la fórmula anterior se puede reemplazar por la siguiente:

En el contraste a) valores grandes y pequeños de( )y por lo tanto pequeños de Z son suficientes para confirmar H1. Por lo tanto para un ensayo bilateral con nivel de significación , la hipótesis H0 se rechaza si : Z<

óZ>

En el contraste b) sólo valores grandes de ( En un ensayo unilateral, rechazamos H 0 cuando:

) y de Z confirman la hipótesis H1.

Z > Z 1En el contraste c) valores pequeños de la diferencias de medias muestrales y por lo tanto valores pequeños de Z confirman H 1 y rechazamos H0 cuando: Zt

ót>t

si t < -t

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CONTRASTE DE HIPÓTESIS REFERENTE A DOS MEDIAS POBLACIONALES: MUESTRAS APAREADAS Esta estrategia de la investigacióm surge cuando cada observación para un tratamiento está apareada con otra observación para el otro tratamiento. Este par está compuesto por  las mismas unidades experimentales observadas dos veces en distintos momentos de la investigación, o por unidades semejantes. El procedimeinto consiste en buscar pares de unidades experimentales con características similares y asignar aleatoriamente cada unidad del par a cada uno de los dos tratamientos en estudio. Por ejemplo parejas de gemelos pueden ser asignadas al azar para que reciban dos tratamientos, de tal manera que los miembros de una sola  pareja, reciban tratamientos distintos. Pueden así mismo ensayarse dos raciones distintas en dos lotes de terneros formando pares de raza de la misma edad, sexo, etc. y ocurrir  que al cabo de un tiempo , exista diferencia significativa o no, entre los promedios de ganancia de peso de ambos lotes, (se elimina la influencia diferencia de calidad entre los lotes). También puede ocurrir que al estudiar en dos lotes de plantas homogéneas de a pares, la aplicación de herbicidas (uno en cada lote), para ciertas plagas (se obtenga diferencias de resistencia entre los lotes de plantas). La hipótesis planteada es: H0 )

ó H0)

H1 )

H1 )

ó H0) > 0 H1)