Medan Listrik Dalam Bahan

MEDAN LISTRIK DALAM BAHAN 1.

POLARISASI

1.1 Dielektrik

Bahan terdiri dari beberapa banyak jenis, yaitu padat, cairan, gas, logam, kayu, gelas, dan zat-zat ini memiliki respon yang berbeda pada medan elektrostatik. Dalam konteks kita, bahan dipandang sebagai kumpulan muatan  positif dan negatif yang berasal dan komponen-komponen pembentuk atom, yaitu inti atom dan elektron. Andai kata muatan didalam didala m bahan bebas bergerak ke setiap  bagian bahan, maka bahan tersebut disebut sebagai bahan konduktor. Biasanya yang bebas bergerak didalam konduktor adalah elektron-elektron, jadi ada sebagian elektron dalam konduktor yang tidak terkait dengan inti tetentu. Konduktor (ideal) dapat memberikan muatan (bebas) dalam jumlah yang terbatas. Satu atau dua elektron per atom tidak berasosiasi dengan inti tertentu. Sebaliknya  bila semua elektron terkait pada suatu inti, sehingga tidak dapat bergerak jauh dari inti tersebut, maka bahan itu disebut isolator atau dielektrik. Dielektrik Semua muatan terikat pada atom atau molekul, hanya bergerak sedikit dalam molekul. Didalam dielektrik muatan tidak dapat bergerak. Adanya bahan didalam medan listrik akan mempengaruhi medan tersebut, dan sebaliknya medan juga akan mempengaruhi susunan muatan didalam bahan. Muatan-muatan yang berada didalam konduktor yang diletakkan di dalam medan listrik akan menyusun diri sedemikian rupa sehingga timbul medan yang meniadakan medan luar. Itu sebabnya medan listrik didalam konduktor selalu sama dengan nol. Untuk dielektrik situasinya lebih rumit. Karena muatan tidak dapat berpindah, peniadaan total medan listrik didalam bahan tidak terjadi, yang terjadi hanya sekedar  pelemahan medan saja.

1.2 Induksi Dipol

Apakah yang terjadi bila suatu atom netral diletakkan di dalam suatu daerah yang ada medan listriknya (atom netral dalam pengaruh )?. Jawabannya tidak terjadi apa-apa karena netral atau atom tak terpengaruh apapun oleh medan, disebabkan atom netral. Sesungguhnya didalam atom terdapat inti bermuatan

1

 positif, dan sejumlah elektron mengelilingi inti. Kedua macam muatan tersebut, akan dipegaruhi oleh medan listrik , sehingga pusat muatan elektron dan inti akan saling terpisah, bergeser kedudukannya. Dalam keadaan ini,atom disebut terpolarisasi, dengan mempunyai momen dipol hetil disebut yang searah dengan medan . Dapat dihubungkan bahwa , dimana disebut polarisabilitas atom. Atom netral mulanya tidak mempunyai momen dipol, kemudian karena ada pengaruh medan luar, maka terjadi momen dipol terimbas. Tanpa adanya medan luar, ada kemungkinan muatan negatif terdistribusi merata disekitar muatan positif didalam molekul bahan, sehingga pusat muatan negatif dan positif akan berimpit. Dalam hal ini molekul tersebut tidak mempunyai momen dipol, seperti dapat terlihat dari persamaan momen dipol untuk dua buah muatan titik yang berlawanan. Dengan adanya medan listrik dari luar, muatan positif akan “terdorong” dalam arah medan, sehingga terjadi  pemisahan pusat muatan TABEL 4.1 Polarizabilitas Atom H

He

Li

Be

C

Ne

Na

Ar

K

Cs

0.667

0.205

24.3

5.60

1.67

0.396

24.1

1.64

43.4

59.4

Atom memiliki momen dipol kecil p, yang menunjuk ke arah yang sama dengan E. Biasanya, momen dipol yang terinduksi ini sebanding dengan medan (selama

tidak terlalu kuat):

=α

Konstanta proporsionalitas disebut polarizabilitas atom. Nilainya tergantung pada struktur atom yang dimaksud. Tabel 4.1 mencantumkan beberapa polarizabilitas atom yang ditentukan secara eksperimen.

Contoh 1 Sebuah model primitif untuk atom terdiri dari inti nukleus (+ q) yang

dikelilingi oleh awan bola bermuatan (-q) dengan jari-jari a (Gambar 1). Hitung  polarizabilitas atom

2

Gambar 2

Gambar 1

Di hadapan medan eksternal E, nukleus akan bergeser sedikit ke kanan dan awan elektron ke kiri, seperti ditunjukkan pada Gambar 2. Kesetimbangan terjadi ketika nukleus dipindahkan jarak d dari pusat bola. Pada titik itu, medan eksternal mendorong inti ke kanan persis menyeimbangkan medan internal yang menariknya ke kiri: E = E e ,, di mana E, adalah medan yang dihasilkan oleh awan elektron. Medan pada jarak d dari pusat bola yang bermuatan adalah

 = 41∈ 

kemudian,

 = ∈   == 4 ∈  , or

Oleh karena itu, polarisasi atomik adalah:



=4∈  = 3 ∈ 

dimana  adalah volume atom. Untuk molekul, situasinya tidak sesederhana itu, karena molekul lebih mudah terpolarisasi ke beberapa arah daripada yang lain. Karbon dioksida (Gambar 3) misalnya, memiliki polarizabilitas 4,5 x 10 -40 C2.m / N ketika menerapkan bidang sepanjang sumbu molekul, tetapi hanya 2 x 10 -40 untuk medan tegak lurus terhadap arah ini. Ketika medan berada di beberapa sudut pada sumbu, Anda harus menyelesaikannya menjadi komponen paralel dan tegak lurus, dan kalikan masing-masing oleh polarizabilitas yang terkait:

=

Dalam hal ini, momen dipol yang diinduksi tidak berada pada arah yang sama seperti E. Dan C02  relatif sederhana, karena atom setidaknya mengatur diri mereka dalam garis lurus; untuk molekul yang benar-benar asimetris, Sehingga diperoleh persamaan paling umum antara E dan p:

3

 =     =     =   

Gambar 3

1.3 Keselarasan Molekul Polar

Atom netral mulanya tidak mempunyai momen dipol, kemudian karena ada  pengaruh medan luar, maka terjadi momen dipol terimbas.  Beberapa molekul memiliki momen dipol permanen yang ada di dalamnya. Dalam molekul air, misalnya, elektron cenderung mengelompok di sekitar atom oksigen (Gambar 4.4), dan karena molekul ditekuk pada 105 o, ini meninggalkan muatan negatif  pada titik dan muatan positif pada sisi berseberangan (Momen dipol air sangat  besar: 6,1 x 1030 C.m; faktanya, inilah yang menjelaskan keefektifannya sebagai  pelarut.) Apa yang terjadi ketika molekul tersebut (disebut molekul polar) ditempatkan di medan listrik? Jika medan merata, gaya pada ujung positif, negatif,

−  = 

+ = 

, dan gaya pada ujung

. Akan ada torsi:

 = + x +− x − = [(2)X ][( 2)X ] =  X 

Gambar 4

Gambar 5 4

Jadi dipol

 = 

 persamaan bidang E mengalami torsi

 = X 

Jika medan tidak merata, sehingga F+ tidak tepat menyeimbangkan F -  akan ada gaya pada dipol, di samping torsi. Tentu saja, E harus berubah karena ada variasi yang signifikan dalam ruang satu molekul. Rumus untuk gaya pada dipol dalam  bentuk medan yang tidak merata:

 = + − = + − =∆

).

di mana ΔE  mewakili perbedaan antara bidang ujung positif dan bidang ujung negatif. Untuk memperkirakan perubahan kecil dalam E x:

∆ ≡ ∇. ∆ =  .  =   .    =  x   x 

dengan rumus yang sesuai untuk E y dan Ez. :

sehingga

Untuk dipol "sempurna" diberikan torsi pusat dipol dalam medan yang tidak merata; tentang titik lain

1.4 Polarisasi

Dalam dua bagian sebelumnya, kami telah mempertimbangkan pengaruh medan listrik eksternal pada atom atau molekul. Apa yang terjadi pada bahan dielektrik ketika ditempatkan dalam sebuah medan elektrik? Jika substansi terdiri dari atom netral (atau molekul nonpolar), medan akan menginduksi pada setiap momen dipol kecil, menunjuk ke arah yang sama dengan medan. Jika materi terbuat dari molekul polar, setiap dipol permanen akan mengalami torsi. Perhatikan kedua mekanisme ini menghasilkan hasil yang sama: Beberapa dipol menunjuk sepanjang arah medan material menjadi terpolarisasi.

≡     ,

2. BIDANG OBJEK TERPOLARISASI

5

2.1 Ikatan Muatan

Misalkan kita memiliki bahan terpolarisasi-yaitu, sebuah objek yang mengandung banyak dipol mikroskopis berbaris. Momen dipol per satuan volume P diberikan. Hal ini lebih mudah menggunakan potensial. Untuk satu dipol p:

  = 41∈ .ԉ ԉ

di mana ԉ  adalah vektor dari dipol ke titik di mana kita menentukan potensial.

 = ′ ′.ԉ ′ 1   = 4 ∈  ԉ 

Dalam konteks ini, momen dipol

  di setiap elemen volume

 ′

,

sehingga potensial totalnya adalah

Itu pada prinsipnya. Tetapi integral di atas dapat diformulasikan dengan mensubsitusikan persamaan di bawah ini:

∇′ (1) = ԉԉ

Gambar 6

Sehingga persamaannya menjadi:

 = 41∈   .∇′ (ԉ1 ) ′ Persamaan di atas dapat jabarkan sebagai berikut:

 = 41∈  ′ .(ԉ ) ′   ԉ1 ′ . ′ Dengan menggunakan teorema divergensi, diperoleh:

 = 41∈  ԉ1  . ′  41∈  ԉ1 ′ . ′ 6

Istilah pertama terlihat seperti potensi muatan permukaan

 ≡  .



(Di mana  adalah vektor satuan normal), sedangkan istilah kedua terlihat seperti  potensial muatan volume

 ≡ . 

Dengan definisi ini, Persamaan diatas menjadi:

 = 41∈  ԉ  ′  41∈  ԉ  ′ Contoh 2. Tentukan medan listrik yang dihasilkan oleh bidang yang terpolarisasi

secara merata dari radius R.

Solusi: Kita mungkin juga memilih sumbu z bertepatan dengan arah polarisasi (Gambar 4.9). Densitas ikatan muatan

 

  =  . =  

adalah nol, karena P merata, maka:

di mana  adalah koordinat bola. Kemudian medan yang dihasilkan oleh densitas muatan

  yang terdapat di atas permukaan bola. Perhitungan beberapa

 bentuk potensial, yaitu:

Karena

,0 = 3∈    ≤     ,0 = 3 ∈     ≥    =  == 3 ∈ = 3 1∈    <  , medan di dalam bola merata:

7

Di luar bola, potensial itu identik dengan dipol yang sempurna pada titik asal:

 = 41∈ . ,

  ≥ 

Dan diperoleh momen dipol total dari bola:

 = 43 

Bidang lingkup terpolarisasi seragam ditunjukkan pada Gambar di bawah ini:

4.2.2 Interpretasi Fisik Biaya Terikat

Medan objek terpolarisasi identik dengan medan yang akan dihasilkan oleh distribusi tertentu "ikatan muatan"

   dan

. Pada bagian ini akan menjelaskan

 bagaimana polarisasi mengarah pada distribusi muatan ini. Ide dasarnya sangat sederhana: Misalkan kita memiliki untaian panjang dipol, seperti ditunjukkan pada Gambar di bawah ini:

Pada gambar di atas ditunjukkan bahwa pada ujungnya ada dua muatan yang tersisa: positif di ujung kanan dan negaif di sebelah kiri. Pada suatu dielektrik setiap elektron melekat pada atom atau molekul tertentu. Tetapi terlepas dari itu, ikatan muatan tidak berbeda dari jenis lainnya. Untuk menghitung jumlah ikatan muatan yang dihasilkan dari polarisasi yang diberikan, pehatikan "tabung" dielektrik paralel untuk P.

8

Momen dipol yang ditunjukkan dari potongan kecil pada Gambar di atas adalah

 

 

, dimana

  adalah cross-sectional   luas tabung dan



  dalah panjang

 potongan. Muatan (q) memiliki momen dipol yang sama ini dapat ditulis



.

Ikatan muatan yang menumpuk di ujung kanan tabung, sehingga:

=

Jika ujungnya telah dipotong secara tegak lurus, kerapatan muatan permukaan adalah;

 =  = 

Untuk potongan miring (seperti gambar kedua) diatas, muatannya masih sama, tetapi

  = .

, jadi

 =/ =  =  .

Efek dari polarisasi, kemudian, adalah untuk melukiskan muatan terikat

 .

 =

di atas permukaan material. Jika polarisasi tidak merata kita mendapatkan akumulasi muatan terikat

dalam material, serta di permukaan. Pada Gambar di bawah ini menunjukkan  bahwa divergen P menghasilkan tumpukan muatan negatif. Sehingga muatan terikat

∫ 

Berdasarkan

.

 per unit area, diperoleh:

  =   .=  ∇. Karena ini untuk volume apa pun, maka:

 = ∇ .  9

Contoh 3  Ada cara lain untuk menganalisis lingkup terpolarisasi merata, yang

menggambarkan ide muatan terikat. Apa yang kita miliki, sesungguhnya, adalah dua lingkup muatan: lingkup positif dan bola negatif. Tanpa polarisasi keduanya ditumpangkan dan dibatalkan sepenuhnya. Tapi ketika bahan terpolarisasi merata, semua muatan positif bergerak sedikit ke atas (arah z), dan semua muatan negatif  bergerak sedikit ke bawah.

kemudian menghitung medan di wilayah antara dua bola yang bermuatan :

 =  41∈ 

di mana q adalah muatan total bola positif, d adalah vektor dari pusat negatif ke  pusat positif, dan R adalah jari-jari bola. Kita dapat menentukan polarisasi bola.

== 

. sebagai

 =  3 1∈ 

Disamping itu kita memiliki dipol, dengan potensial:

 == 41∈ .

2.3 Medan Di Dalam Dielektrik

Misalkan ingin menghitung rata-rata medan makroskopik yang di beberapa titik r dalam dielektrik

10

Digambarkan bola kecil sekitar r, jari-jari, seribu kali ukuran molekul. Medan maksroskopik di r, kemudian, terdiri dari dua bagian: rata-rata medan di atas bola akibat muatan di luar, ditambah rata-rata muatan di dalamnya.

 =  

Rata-rata medan (di atas bola), yang dihasilkan oleh muatan di luar, sama dengan

 ′.ԉ ′ 1   = 4 ∈  ԉ   =  41∈ 

medan yang mereka hasilkan di pusat, sehingga

  adalah medan pada r. Ini

cukup jauh sehingga kita dapat menggunakan Persamaan:

Rata-rata medan dalam bola menggunakan persamaan:

terlepas dari rincian distribusi muatan dalam bola. Satu-satunya kuantitas yang

 =    =  3 1∈ 

relevan adalah momen dipol total,

Sekarang, dengan asumsi, Sesuai dengan medan di pusat bola terpolarisasi merata, ke wit:

 ∈ 

. Medan makroskopik, dapat dituliskan potensialnya:

′.ԉ ′ 1   = 4 ∈  ԉ 

C. Pergeseran Listrik 1. Hukum Gauss dalam Dielektrik

Jika plat sejajar berisi dielektrik dan diberi muatan listrik, maka akan terjadi pergeseran listrik pada bahan dielektrik tersebut. Untuk mencari vektor  pergeseran listrik dapat digunakan hukum Gauss. Permukaan Gauss (S) dapat dibuat berbentuk selinder. Medan di luar plat adalah nol, seperti gambar di bawah ini

11

Garnbar 2.5. Permukaan Gauss S dalarn sebuah medium dielektrik Pada bagian sebelumnya, telah kita ketahui bahwa akibat terdapatnya  polarisasi maka dihasilkan susunan muatan terikat yakni akumulasi dari rapat

∇

muatan volume di dalam dielektrik , ρ b = -  . P dan rapat muatan permukaan σ b = P .



  . Medan listrik yang ditimbulkan oleh polarisasi pada suatu medium

hanyalah medan yang ditimbulkan oleh muatan terikat. Dengan demikian medan listrik total merupakan medan yang ditimbulkan oleh muatan-muatan terikat dan muatan lainnya (muatan bebas). Muatan bebas terdiri dari sembarang muatan yang  bukan hasil polarisasi, seperti elektron-elektron dalam konduktor dan ion-ion dalam dielektrik. Jadi rapat muatan total dalam dielektrik dituliskan: ρ = ρ b + ρf

(4.20)

dan Hukum Gauss dapat dituliskan

  .=  =    =   .  

Dengan E adalah kuat medan listrik total. Jika kedua bentuk divergensi digabung maka:

Adapun

    

  . =   .    .  . =   .    =     D=

(4.21)

dapat disubstitusi menjadi notasi D yang berarti medan

 pergeseran listrik. Pergeseran listrik pada bahan dielektrik ini terjadi ketika plat sejajar berisi dielektrik diberi muatan listrik.. dengan demikian

 .  = 

 

(4.22)

12

Dengan mengintegrasikan kedua ruasnya terhadap ruang, maka kita dapatkan  bentuk integral dari persamaan sebelumnya yaitu hukum Gauss untuk medan D.

∮  . d =     . d=    

(4.23)



Dengan Qf

enc 

adalah muatan total bebas dalam volume yang dibatasi oleh

 permukaan tertutup. CONTOH SOAL Sebuah kawat lurus panjang, memiliki muatan garis λ   yang serba sama sepanjang kawat, yang dikelilingi oleh karet isolasi dengan radius a. Hitunglah pergeseran listriknya!

Jawab : Dengan menggambar permukaan Gaussian silinder yang berjari-jari r dan  panjang L maka kita dapatkan persamaan berikut

= 2 = λ  =  ̂  

(4.24)

Persamaan tersebut berdasarkan isolasi dan bagian luar karet maka P  = 0, sehingga

 = 

D=

 ̂ , 

untuk s>a

Medan listrik di dalam karet tidak dapat ditentukan, karena P tidak diketahui. 2. Deceptive Parallel

Pada persamaan

 .  = 

, terlihat seperti hukum Gauss, hanya saja

rapat muatan total  diganti oleh rapat muatan bebas f , dan D diganti untuk oE. Untuk memecahkan masalah yang melibatkan dielektrik, Anda dapat melupakan semua tentang muatan terikat.dengan menghitung medan seperti biasanya, yang

13

disebut D, bukan E.  "Alasan ini terlihat benar, tetapi kesimpulannya salah; khususnya, tidak ada hukum Coulomb untuk D:

Paralel antara E dan D lebih halus dari itu. Untuk divergensi saja tidak cukup dengan menentukan vektor medan, kamu harus mengetahui curl juga. Dalam kasus medan elektrostatik curl E selalu nol, tetapi curl D tidak selalu nol.

(4.25) Jika tidak ada muatan bebas dimana-mana, Anda dapat percaya bahwa sumber D adalah f , Anda akan dipaksa untuk menyimpulkan bahwa D = 0 di mana-mana, dan karenanya E  = (- l / o) P untuk bagian dalam dan E = 0 untuk bagian luar electret. Karena



x D   0, lebih dari itu. D tidak dapat dinyatakan sebagai

gradien skalar —  tidak ada potensial untuk D. 4.3.3 Kondisi Batas

Kondisi batas elektrostatik pada bagian 2.3.5 dapat menyusun kembali dalam hal D. Persamaan 4.23 menjelaskan bahwa terdapat diskontinuitas dalam komponen yang tegak lurus dengan antarmuka: (4.26) sementara Persamaan. 4,25 memberikan diskontinuitas dalam komponen paralel:

(4.27) Keberadaan dielektrik ini terkadang lebih berguna daripada yang sesuai dengan kondisi batas pada E.

(4.28) Dan (4.29)

14

4.4 Dielektrik Linier 4.4.1 Susebtibilitas, Permitivitas, Konstanta Dielektrik

Kita sudah melihat akibat adanya polarisasi P  di dalam bahan dielektrik, tetapi belum mengenal sebab terjadinya polarisasi tersebut. Secara kualitatif dapat diungkapkan bahwa P tergantung pada resultan medan listrik E yang ada di dalam dielektrik. Dalam kebanyakan bahan, jika E  tidak terlalu besar, polarisasi yang terjadi pada bahan sebanding dengan medan listrik.

 = ϵo χe

(4.30)

dengan

 χe

 Nilai

  tergantung pada struktur mikroskopis dari substansi yang bersangkutan

 χe

= Suseptibilitas medium, suatu tetapan tidak berdimensi (tanpa satuan).

(dan juga pada kondisi eksternal seperti suhu). Bahan yang mengikuti hubungan seperti diatas, disebut dielektrik linier. Perhatikan bahwa E dalam Persamaan. 4.30 adalah medan listrik total, yang terdiri dari sebagian muatan bebas dan bagian dari polarisasi itu sendiri. Jika, misalnya, kita menempatkan sepotong dielektrik ke medan eksternal Eo, maka kita tidak dapat menghitung P langsung dari Persamaan. 4,30; medan eksternal akan mempolarisasi material, dan polarisasi ini akan menghasilkan medannya sendiri, yang kemudian berkontribusi terhadap medan total. Pendekatan paling sederhana adalah mulai dengan perpindahan, setidaknya dalam kasus-kasus di mana D dapat disimpulkan secara langsung dari distribusi muatan gratis.

Bahan-bahan yang memenuhi hubungan dalam persamaan (4.25) diatas dapat dituliskan : (4.31) Jadi D sebanding dengan E (4.32) Dengan (4.33)

15

∈

 merupakan konstanta yang disebut permitivitas bahan. (Dalam ruang hampa, di

mana tidak terjadi polarisasi, maka seseptibilitasnya adalah nol, dan permitivitas

∈

adalah

o.

Oleh sebab itu

∈

o 

disebut permitivitas ruang bebas. Adapun

 permitivitas yang terjadi untuk memiliki nilai 8,85 x 10 ~ 12 C2 / N-m2.)

Dengan

∈

r   disebut

(4.34) permitivitas relatif, atau konstanta dielektrik suatu material.

Konstanta dielektrik untuk beberapa zat umum tercantum dalam Tabel 4.2.

Table 4.2 Dielectric Constants (unless otherwise s pecified, values given are for 1 atm, 20° C). Source: Handbook of Chemistr y and Physics, 78th ed. (Boca Raton: CRC Press, Inc., 1997).  Nilai P dan D proporsional terhadap E. Pada antarmuka antara yang terpolarisasi dielektrik dan vakum (Gambar 4.21), P adalah nol pada satu sisi tetapi tidak pada sisi yang lain. Di sekitar ini loop

dan karenanya, oleh teorema Stokes',

curl P tidak dapat menghilang di mana-mana dalam loop.

Gambar 4.21

Tentu saja, jika ruang sepenuhnya diisi dengan dielektrik linear homogen, maka

16

sehingga D dapat ditemukan dari muatan bebas seolah-olah dielektrik tidak ada di sana: D=

∈

o Evac

di mana Evac adalah bidang distribusi muatan bebas yang sama yang akan menghasilkan dalam ketiadaan setiap dielektrik. Menurut Persamaan. 4.32 dan 4.34, oleh karena itu,

(4.35) Kesimpulan: Ketika semua ruang diisi dengan dielektrik linear homogen, di setiap medannya akan dikurangi oleh faktor konstanta dielektrik. (Sebenarnya tidak demikian, melainkan diperlukan dielektrik untuk mengisi semua ruang, di daerah di mana medan listrik adalah nol, keberadaan dielektrik tidak begitu terpengaruh, karena tidak ada polarization dalam setiap peristiwa. Misalnya, jika muatan gratis q disematkan dalam dielektrik besar, maka medan listrik yang dihasilkannya:

∈

(itu merupakan , tidak

∈

(4.36) o)

dan gaya yang diberikannya pada muatan di dekatnya

 berkurang dengan sendirinya. Tapi itu tidak ada yang salah dengan hukum Coulomb; sebaliknya, polarisasi medium sebagian "melindungi" muatan, dengan mengelilinginya pada muatan terikat dari tanda yang berlawanan

(Gambar 4.22) Contoh 4.6

17

Kapasitor pararel (Gambar 4.23) diisi dengan bahan insulasi dari konstanta dielektrik

∈

r .

Apa pengaruhnya terhadap kapasitansi ini?

Solusi: Karena bidang terbatas pada ruang di antara lempeng, dielektrik akan  berkurang E, dan karenanya juga beda potensial V, dengan faktor l /

∈

r .

Dengan

demikian, kapasitansi C = Q / V dinaikkan oleh faktor konstanta dielektrik,

(4.37) Ini, pada kenyataannya, cara umum untuk memperkuat sebuah kapasitor.

Gambar 4.23 Kristal umumnya lebih mudah untuk terpolarisasi di beberapa arah daripada yang lain, dan dalam hal ini Persamaan. 4.30 diganti dengan relasi linear umum

(4.38) 4.4.2 Masalah Nilai Batas dengan Dielektrik Linier

Dalam suatu dielektrik linear homogen, densitas muatan terikat ( b) sebanding dengan densitas muatan bebas (f ):

(4.39) Dalam keadaan khusus, kecuali muatan bebas sebenarnya tertanam dalam bahan,  = 0, dan apa saja muatan yang harus berada di permukaan. Dengan demikian, dielektrik, berpotensi mengikuti Persamaan Laplace. Namun, untuk menulis ulang

18

kondisi batas yakni dengan cara membuat referensi hanya untuk muatan bebas. Persamaan 4.26 mengatakan (4.40)

(4.41) Sedangkan potensi itu sendiri, tentu saja, berkelanjutan (Persamaan 2.34): Vabove =V below

(4.42)

Contoh 4.7 Suatu bidang bahan dielektrik linear homogen ditempatkan dalam medan listrik yang seragam Eo (Gambar 4.27). Temukan medan listrik di dalam bola.

Gambar 4.27 Solusi: Hal ini mengingatkan pada contoh 3.8, di mana bola berkonduksi yang tidak  bermuatan adalah diperkenalkan ke dalam medan yang seragam. Dalam hal ini,  bidang muatan yang diinduksi sepenuhnya dibatalkan Eo dalam bola, dalam dielektrik, pembatalan (dari muatan terikat) ini hanya sebagian. Masalah kami dapat diselesaikan dengan persamaan Laplace, untuk Vin (r, ) ketika r  R, dan Vout (r , ) saat r  R, tunduk pada kondisi batas

19

(4.43) (Persamaan kedua mengikuti Persamaan 4.41, karena tidak ada muatan bebas di  permukaan). Di dalam bola, potensial listrik dinyatakan :

(4.44) Sementara potensial untuk di luar bola dinyatakan:

(4.45) Kondisi batas (i) membutuhkan

(4.46) Sementara kondisi (ii)

(4.47) Sementara

20

(4.48) dan karenanya bidang di dalam bola itu seragam, maka:

(4.49) 4.4.3 Energi dalam Sistem Dielektrik

Jika sebuah kapasitor dengan kapasitansi C, dimuati dengan beda potensial V , maka energi total yang tersimpan di dalam kapasitor besarnya sama dengan kerja untuk memuati kapasitor tersebut yaitu : W = ½ CV2 Jika dalam kapasitor diisi dengan bahan dielektrik linear dengan konstanta dielektrik C , lalu kapasitansi akan meningkat dengan faktor : C=

∈

r Cvac

Sebagai konsekuensinya, energi dalam kapasitor juga akan meningkat dengan faktor C . Sehingga W = ½ CV 2 = ½

∈

2 r Cvac V

Pada Chapter 2, energi yang tersimpan pada sistem electrostatic adalah:

(4.55) Sehingga pada kasus kapasitor yang diisi dielektrik energi yang tersimpan diubah menjadi

Maka

(4.56)

21

Karena

, dimana D merupakan hasil muatan D. Jadi

Sehingga didapatkan :

Teorema divergensi mengubah kondisi awal menjadi integral permukaan, yang menghilang jika kita mengintegrasikan seluruh ruang. Oleh karena itu, energi yang dilakukan sama dengan

(4.57) Terlebih lanjut, ini dapat diterapkan ke berbagai bahan. Jika mediumnya adalah

∈

dielektrik linier, maka D = E. Sehingga

Energi total merupakan energi yang dibangun dari muatan bebas hingga konfigurasi akhir

(4.58)

4.4.4 Gaya pada Dielektrik

Seperti halnya konduktor yang tertarik ke medan listrik, demikian pula dielektrik karena pada dasarnya sama, muatan terikat cenderung menumpuk di dekat muatan  bebas dari tanda yang berlawanan. Tetapi perhitungan gaya pada dielektrik bisa sangat rumit.

22

Sebagai pertimbangkan, misalnya, kasus lempengan bahan dielektrik linear, sebagian disisipkan di antara pelat kapasitor paralel-pelat (Gambar 4.30). Jika medan seragam pada plat kapasitor paralel, dan medan untuk bagian luar adalah nol. Maka tidak akan ada gaya total pada dielektrik sama sekali, karena medan di mana-mana akan tegak lurus dengan plat. Namun, dalam kenyataannya ada medan  fringing di sekitar tepinya, yang digunakan untuk sebagian besar dapat diabaikan tetapi bertanggung jawab untuk keseluruhan efek. (Sesungguhnya, medan tidak dapat berhenti tiba-tiba di tepi kapasitor, karena jika itu terjadi garis integral dari E sekitar loop tertutup ditunjukkan pada Gambar. 4.31 tidak akan nol.) Dengan demikian bidang fringing tidak seragam dapat menarik dielektrik ke dalam kapasitor. Medan fringing sangat sulit untuk dihitung. Jika saya menarik dielektrik keluar sejauh dx yang mana memiliki jarak yang sangat kecil, maka energi dapat diubah dengan jumlah yang sama dengan usaha yang dilakukan: dW = Fme dx

(4.59)

23

di mana Fme adalah gaya yang harus digunakan, untuk melawan gaya listrik F  pada dielektrik: Fme = - F. Dengan demikian gaya listrik pada pelat itu

(4.60) Adapun energi yang tersimpan dalam kapasitor adalah

(4.61) Dan kapasitansi pada kasus ini bernilai

(4.62) Dengan l adalah panjang plat. Adapun muatan total pada plat diasumsikan Q = CV yang diatur konstan sebagai perpindahan dielektrik.

24

Tanda minus menunjukkan bahwa gaya berada pada arah x negatif; dan dielektrik ditarik ke dalam kapasitor. Pada baterai juga terjadi usaha sebagai perpindahan dielektri k.

25