Meccanica dei fluidi, Soluzione degli esercizi - Çengel, Cimbala

McGraw-Hill

gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

1

Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

1

INTRODUZIONE E CONCETTI DI BASE

SOMMARIO In questo capitolo vengono introdotti e discussi alcuni concetti di base della meccanica dei fluidi. Un fluido e` una sostanza nella fase liquida o gassosa. La meccanica dei fluidi e` la scienza che studia il comportamento dei fluidi in quiete o in moto e l’interazione tra i fluidi e i solidi o altri fluidi al contorno. Il campo di moto di un fluido puo` essere confinato (moto in una tubazione) o non confinato (moto attorno a un corpo). Un fluido e` considerato comprimibile o incomprimibile secondo che esso subisca o meno variazioni di densita` durante il moto. La densita` di un liquido e` praticamente costante; quindi i liquidi sono abitualmente considerati incomprimibili. Il termine permanente implica che in ogni punto del campo di moto non ci sia nessuna variazione nel tempo. Nel caso contrario, il moto e` vario o transitorio. Un moto e` detto unidimensionale o bidimensionale se la velocita` varia solamente lungo una o

due direzioni. Un fluido a contatto con una parete solida aderisce alla parete; non si ha, pertanto, alcuno scorrimento relativo tra fluido e parete. Questa e` la condizione di aderenza, a causa della quale si forma uno strato limite lungo ogni superficie solida. Un sistema con massa fissata e` chiamato sistema chiuso, mentre un sistema il cui contorno e` attraversato da massa e` chiamato sistema aperto o volume di controllo. Molti problemi ingegneristici comportano trasferimento di massa e vengono quindi modellati considerando un opportuno volume di controllo. Nei calcoli ingegneristici, e` molto importante porre l’attenzione sulle unita` di misura delle grandezze per evitare errori causati da unita` non ` anche importante rendersi conto omogenee. E che se i dati sono espressi con un certo numero di cifre significative i risultati ottenuti non possono essere piu` accurati dei dati, anche se espressi con un numero maggiore di cifre significative.

Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

SOLUZIONI Introduzione, classificazione e sistema 1.1 Quando un campo di moto e` confinato? Quando e` non confinato? Quando il moto e` a superficie libera?

Analisi Un campo di moto e` confinato quando il fluido si muove in uno spazio completamente delimitato da pareti solide, come nel caso del moto all’interno di una tubazione. E` non confinato quando il fluido si muove in uno spazio non delimitato come nel caso del moto su una superficie o attorno ad un filo o ad una tubazione. Se il campo di moto e` delimitato da una parete solida solo inferiormente, come nel caso di una condotta chiusa riempita solo parzialmente da liquido, e superiormente da una superficie liquida a contatto con l’aria, detta superficie libera, il moto e` chiamato a pelo libero o a superficie libera.

1.2 Quando un fluido e` comprimibile? E quando incomprimibile? Un fluido comprimibile deve sempre essere considerato tale?

Analisi Un fluido in moto puo` essere considerato comprimibile o incomprimibile a seconda delle variazioni di densita` indotte dal moto. Un fluido e` detto incomprimibile se la sua densita` durante il moto si mantiene praticamente costante, cioe` se rimane costante il volume di una sua qualsiasi porzione, mentre e` da considerarsi comprimibile in caso contrario. Lo stesso fluido puo` quindi comportarsi come un fluido incomprimibile in certe condizioni di moto e come fluido comprimibile in altre.

1.3 Cos’e` la condizione di aderenza? Da cosa e` causata? Analisi L’evidenza sperimentale indica che un fluido a diretto contatto con una parete solida aderisce ad essa assumendone la stessa ` cioe, ` scorrimento relativo tra fluido e parete). velocita` (non vi e, Questa condizione e` chiamata condizione di aderenza. Essa e` dovuta alla proprieta` fisica dei fluidi chiamata viscosita. `

1.4 Com’e` definito il numero di Mach? Che cosa significa Mach 2? Analisi Il numero di Mach e` dato dal rapporto tra la velocita` del fluido (o di un corpo in moto nel fluido in quiete) e la velocita` con la quale il suono si propaga nello stesso fluido. Il valore Mach 2 indica che la velocita` del fluido (o dell’oggetto in moto nel fluido in quiete) e` pari al doppio della velocita` di propagazione del suono nello stesso fluido. Il numero di Mach e` un esempio di parametro adimensionale.

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Introduzione e concetti di base

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Capitolo 1

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1.5 L’aria in moto a Mach 0,12 deve essere considerata comprimibile o incomprimibile?

Analisi Un gas in moto puo` essere considerato incomprimibile se la sua densita` subisce variazioni inferiori al 5%, come accade in genere per Ma < 0,3. Quindi l’aria in moto a Mach 0,12 puo` essere considerata incomprimibile.

` Il 1.6 Cos’e` il moto forzato? In cosa differisce dal moto a gravita? moto indotto dal vento e` a gravita` o forzato?

Analisi Un moto e` forzato se il fluido si muove per effetto di un mezzo esterno, quale una pompa o un ventilatore, che gli fornisce ` invece, a gravita` quando e` dovuto a cause l’energia necessaria. E, naturali come avviene ad esempio in una tubazione che collega due serbatoi posti a quota diversa o nel caso del moto dovuto agli effetti di galleggiamento (aria calda, piu` leggera, che si muove verso l’alto o aria fredda, piu` pesante, che si muove verso il basso). Il ` anche se dal punto di vista degli moto indotto dal vento e` a gravita, effetti che esso induce su un corpo non c’e` alcuna differenza con un moto forzato, come, ad esempio, quello dell’aria causato da un ventilatore.

1.7 Cos’e` lo strato limite? Qual e` la causa dello sviluppo dello strato limite?

Analisi Quando una corrente fluida viene a contatto con una parete solida, la velocita` del fluido si annulla alla parete e cresce via via fino ad assumere, a distanza sufficientemente grande dalla parete, un valore costante. La regione di moto adiacente alla parete e` inte` Tale regione e` ressata, quindi, da significativi gradienti di velocita. chiamata strato limite. Il suo sviluppo e` dovuto alla condizione di aderenza.

1.8 Quando un moto e` stazionario? Analisi Un moto e` detto stazionario (o permanente) quando in ogni punto del campo di moto nessuna delle grandezze caratteristiche ` pressione ...) varia nel tempo. del moto (velocita,

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1.9 Cos’e` lo sforzo? Cos’e` la pressione? Analisi Si definisce sforzo il rapporto tra una forza e l’area su cui essa agisce. La componente normale e quella tangenziale della forza che agisce su un’area unitaria sono, rispettivamente, lo sforzo normale e lo sforzo tangenziale. In un fluido in quiete, non essendovi movimento relativo tra particelle vicine, lo sforzo tangenziale e` nullo. Pertanto, in ciascun punto agiscono solo sforzi normali, il cui modulo e` indipendente dalla direzione dello sforzo. Tale modulo, costante, dello sforzo normale e` chiamato pressione.

1.10 Cosa sono un sistema, l’esterno e il contorno? Analisi Si chiama sistema la quantita` di materia o la regione nello spazio scelta quale oggetto di studio. La massa o la regione al di fuori del sistema e` chiamata esterno. La superficie, reale o immaginaria, che separa il sistema dall’esterno e` chiamata contorno.

1.11 Quando un sistema e` chiuso? Quando e` un volume di controllo?

Analisi Un sistema puo` essere chiuso o aperto a seconda che si mantenga fissa la massa del sistema o il suo volume. Un sistema chiuso (chiamato anche massa di controllo) consiste di una quantita` ` pertanto, fissa di massa. Il contorno di un sistema chiuso non puo, essere attraversato da massa, ma solo da energia, sotto forma di calore o lavoro. Un sistema aperto, o volume di controllo, e` una regione dello spazio scelta opportunamente, il cui contorno puo` essere attraversato sia da massa che da energia.

Massa, forza e unita’ di misura 1.12 Qual e` la differenza tra chilogrammo-massa e chilogrammoforza?

Analisi Il chilogrammo (kg) e` l’unita` di massa nel SI (Sistema Internazionale) e misura l’unita` di massa, definita come la massa di un ` prototipo campione di platino-iridio conservato a Sevres (Francia), nella sede del BIPM (Bureau International des Poids et Mesures). Il chilogrammo-forza (kgf) e` una unita` di forza non SI ed e` pari al peso della massa di un chilogrammo. Pertanto, esso equivale a 9,807 N.

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1.13 Qual e` la forza risultante che agisce su un’automobile che viaggia alla velocita` costante di 70 km/h su una strada (a) orizzontale e (b) in salita?

Analisi Per la seconda legge di Newton, la forza che agisce su un corpo e` direttamente proporzionale alla sua accelerazione. Se l’accelerazione e` nulla, la forza risultante e` nulla. Viaggiando a velocita` costante, l’automobile ha accelerazione nulla. Pertanto, la forza risultante che agisce su di essa e` nulla in ambedue i casi.

1.14 Un contenitore di plastica di 10 kg ha un volume di 0,2 m3 ed e` riempito di acqua di densita` 1000 kg/m3 . Determinare il peso complessivo del sistema.

Ipotesi La densita` dell’acqua e` ovunque costante. Analisi La massa m a dell’acqua di densita` ρ che riempie il contenitore di volume W e` m a = ρW = 1000 × 0,2 = 200 kg Aggiungendovi la massa m c del contenitore, si ha la massa complessiva m del sistema

m = m a + m c = 200 + 10 = 210 kg Pertanto, il peso complessivo P del sistema vale

P = mg = 210 × 9,81 = 2060 N

1.15 Determinare la massa e il peso dell’aria contenuta in una stanza di 6 m × 6 m × 8 m, essendo la densita` dell’aria pari a 1,16 kg/m3 . Ipotesi La densita` dell’aria e` ovunque costante. Analisi La massa m dell’aria di densita` ρ contenuta nella stanza di volume W vale m = ρW = 1,16 × 6 × 6 × 8 = 334 kg Pertanto, il suo peso vale

P = mg = 334 × 9,81 = 3280 N

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1.16 Alla latitudine di 45◦ l’accelerazione di gravita` g varia in funzione della quota z sul livello del mare con la legge g = a − bz , essendo a = 9,807 m/s2 e b = 3,32 × 10−6 s−2 . Determinare la quota s.l.m. alla quale il peso di un oggetto diminuisce dell’1%. Analisi Alla quota z sul livello del mare, in cui il peso Pz di un corpo di massa m diminuisce dell’1%, esso e` pari al 99% del valore P0 che assume al livello del mare, in cui, essendo z = 0, g0 = a . Pertanto, deve essere

Pz = mgz = 0,99 P0 = 0,99 mg0 Semplificando ed esplicitando gz si ha

gz = a − bz = g0 − bz = 0,99 g0 da cui

z=

1 9,807 g0 (1 − 0,99) = 0,01 × = 29 540 m b 3,32 × 10−6

1.17 Per i veicoli che viaggiano a velocita` molto elevate l’accelerazione e` spesso espressa in ”g ”, cioe` in multipli del valore standard ` Calcolare la forza, in N, che agisce su dell’accelerazione di gravita. un uomo di 90 kg in un veicolo spaziale accelerato a 6g . Analisi Per la seconda legge di Newton, la forza che agisce su un uomo di massa m = 90 kg, sottoposto ad un’accelerazione a = 6g , vale

F = ma = 6 mg = 6 × 90 × 9,81 = 5 300 N Discussione In tali condizioni, e` come se il peso dell’uomo aumentasse di sei volte.

1.18 L’accelerazione di gravita` g , pari a 9,807 m/s2 al livello del mare, e` pari a 9,767 m/s2 alla quota di 13 000 m, alla quale viaggiano oggi gli aerei. Determinare di quanto si riduce in percentuale il peso di un aereo che vola a 13 000 m, rispetto al peso che ha al livello del mare.

Analisi Essendo il peso P proporzionale all’accelerazione di gravita` g , la riduzione percentuale di peso 1P/P e` pari alla riduzione ` Per cui percentuale 1g/g dell’accelerazione di gravita. 100

1P 1g 9,807 − 9,767 = 100 = 100 × = 0,41% P g 9,807

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1.19 Quanta energia elettrica, in kWh e in kJ, viene assorbita in 2 ore da uno scaldabagno che ha una potenza di 4 kW? Analisi La potenza e` l’energia nell’unita` di tempo. Per cui l’energia elettrica E assorbita dalla resistenza dello scaldabagno di potenza P = 4 kW nel tempo t = 2 h vale E = Pt = 4 × 2 = 8 kWh Poiche´

1 W = 1 J/s esprimendo il tempo di funzionamento in secondi, e` anche

E = Pt = 4 × 2 × 3600 = 28 800 kJ

1.20 Un elevatore solleva una cassa di 90,5 kg per un’altezza di 1,80 m. Calcolare il lavoro compiuto dall’elevatore, in kJ, e la potenza ceduta alla cassa nei 12,3 s necessari per sollevarla. Ipotesi La velocita` dell’elevatore e` costante. Analisi Il lavoro e` una forma di energia. Esso e` uguale al prodotto della forza per la distanza. Pertanto, il lavoro L compiuto dall’elevatore per sollevare la cassa di peso P = mg = 90,5 × 9,81 = 888 N per un’altezza h = 1,80 m, vale L = Ph = 888 × 1,80 = 1600 Nm = 1,60 kJ La potenza e` l’energia nell’unita` di tempo. Pertanto, la potenza Pc ceduta alla cassa nel tempo t = 12,3 s necessario per sollevarla a velocita` costante, vale

Pc =

L 1,60 = = 0,130 kJ/s = 130 W t 12,3

Discussione Per effetto delle resistenze di cui il calcolo non ha tenuto conto, la potenza effettivamente richiesta sara` maggiore di quella calcolata.

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1.21 Una persona acquista un condizionatore con una potenza di 5000 Btu e osserva che, in una giornata afosa, per mantenere la temperatura della stanza costante, esso si attiva per il 60% del tempo. Calcolare il calore trasmesso nell’unita` di tempo alla stanza attraverso i muri e le finestre. Nell’ipotesi che il condizionatore abbia un’efficienza energetica (quantita` di calore sottratta all’ambiente per unita` di energia assorbita) pari a 9,0 e che l’elettricita` abbia un costo di 0, 20 e/kWh, calcolare quanto costa mantenere in funzione il condizionatore.

Ipotesi 1. Il calore trasmesso per unita` di tempo e` costante. 2. Le temperature esterna ed interna non cambiano in maniera significativa durante il periodo di funzionamento del condizionatore.

Analisi In un’ora il condizionatore fornisce 5000 Btu, ma solo per il 60% del tempo. Poiche´ durante l’ora di funzionamento le temperature esterna ed interna rimangono costanti, il calore medio Q c trasmesso per unita` di tempo dall’esterno e` uguale alle frigorie medie fornite dal condizionatore per unita` di tempo. Per cui, tenendo conto che 1 Btu = 1,0551 kJ, si ha

Qc =

1,0551 0,60 × 5000 = 3000 Btu/h = 3000 × = 0,879 kW 1 3600

L’efficienza energetica e` il rapporto tra la quantita` di calore sottratta all’ambiente in Btu/h e l’energia consumata in Wh. Pertanto, poiche´ il condizionatore in questione sottrae 9 Btu/h per ogni Wh di energia consumata, l’energia E necessaria per sottrarre 3000 Btu/h e`

E=

3000 = 333 Wh = 0,333 kWh 9

per un costo orario

C = 0,20 × 0,333 = 0,666 e

1.22 Un contenitore d’acqua della capacita` di 2,0 l si riempie in 2,85 s. Calcolare la portata di volume, in l/min, e la portata di massa, in kg/s. Analisi La portata volumetrica Q e` il volume nell’unita` di tempo, per cui

Q=

W 2,0 = = 0,702 l/s = 0,702 × 60 = 42,1 l/min t 2,85

La portata di massa Q m e` la massa nell’unita` di tempo, per cui, essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, si ha

Q m = ρ Q = 1000 × 0,702 × 10−3 = 0,702 kg/s

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1.23 Un piccolo aereo viaggia alla velocita` di 55,0 m/s. Per bilanciare la resistenza al moto dell’aria il suo motore sviluppa una forza di 1500 N. Calcolare la potenza del motore, in kW.

Ipotesi L’aereo viaggia ad altitudine e velocita` costanti. Analisi In moto uniforme orizzontale, la spinta del motore eguaglia la resistenza al moto. La potenza P e` l’energia nell’unita` di tempo. L’energia e` uguale al prodotto della forza F per lo spostamento s . Pertanto, essendo lo spostamento nell’unita` di tempo pari alla velocita` V , si ha P=F

s = F V = 1500 × 55,0 = 82 500 Nm/s = 82,5 kW t

Discussione Per effetto delle perdite meccaniche del motore, di cui il calcolo non tiene conto, la potenza effettiva del motore deve essere maggiore di quella calcolata.

Modellazione e risoluzione di problemi ingegneristici 1.24 Qual e` la differenza tra precisione e accuratezza? Puo` una misura essere molto precisa ma non accurata?

Analisi Una misura e` tanto piu` accurata quanto piu` il suo valore e` vicino al valore effettivo della grandezza misurata. Invece, varie misure della stessa grandezza sono tanto piu` precise quanto meno differiscono l’una all’altra o quanto maggiore e` il numero di cifre significative con cui sono espresse. Una misura puo` essere molto precisa ma non necessariamente accurata. Per esempio, con riferimento alla misura della temperatura di ebollizione dell’acqua a pressione atmosferica, una misura che fornisce il valore di 97,86 ◦ C e` molto precisa (in quanto espressa con 4 cifre significative) ma non accurata quanto una misura che fornisce il valore di 99 ◦ C (in quanto questa e` piu` vicina all’effettivo valore di 100 ◦ C).

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1.25 Qual e` la differenza tra approccio analitico e approccio sperimentale per la risoluzione di problemi ingegneristici? Discutere vantaggi e svantaggi di ciascuno.

Analisi L’approccio sperimentale e` basato su prove e misure delle varie grandezze, mentre l’approccio analitico si basa sulla schematizzazione matematica del problema e la risoluzione dei relativi calcoli. Il primo presenta il vantaggio di operare sul sistema fisico reale (o su un suo modello in scala opportuna) e fornisce valori delle grandezze fisiche le cui differenze dai valori effettivi sono ` e` contenute nell’ambito degli errori di misura. In generale, pero, costoso, non sempre facilmente praticabile e richiede spesso tempi lunghi. Il secondo ha il vantaggio di essere veloce ed economico, ma la correttezza dei risultati dipende dall’accuratezza delle ipotesi e delle semplificazioni introdotte nell’analisi.

1.26 Che importanza ha la modellazione in ingegneria? Come vengono predisposti i modelli matematici dei problemi ingegneristici?

Analisi La modellazione fisica (approccio sperimentale) o matematica (approccio analitico) di un problema consente di capire un fenomeno e di prevederne, quindi, l’evoluzione. La modellazione matematica, in particolare, consente di studiare i diversi aspetti di un fenomeno senza condurre un elevato numero di costosi e lunghi esperimenti. Nella predisposizione di un modello matematico, bisogna innanzitutto identificare tutte le variabili che influenzano il fenomeno, poi fare ipotesi e semplificazioni ragionevoli e quindi studiare la dipendenza di ciascuna variabile dalle altre. Individuate le leggi e i principi fisici corretti, il problema va formulato matematicamente e, quindi, risolto, usando l’approccio piu` opportuno. Infine, vanno interpretati i risultati.

1.27 Quando si modella un problema ingegneristico, come si fa la giusta scelta tra un modello semplice ma grossolano e uno complesso ma accurato?

Analisi Tra un modello grossolano e uno complesso la scelta piu` giusta e` normalmente quella di optare per il modello piu` semplice in grado di fornire risultati adeguati. La scelta di modelli sofisticati ma molto complessi non e` necessariamente la migliore in quanto tali modelli possono risultare difficili da risolvere e possono richiedere tempi lunghi. Bisogna, comunque, tener presente che un modello, per essere tale, deve essere in grado di rappresentare le caratteristiche fondamentali del problema.

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1.28 Qual e` il ruolo dei pacchetti software nella pratica ingegneristica?

Analisi I pacchetti software sono di grandissima utilita` nella pratica ingegneristica, poiche´ consentono di risolvere problemi complessi in breve tempo e di condurre studi di ottimizzazione in maniera molto efficiente. Tuttavia, sono semplicemente degli strumenti che non possono essere usati con profitto da chi non conosce il problema in esame. Pertanto, la disponibilita` di tali strumenti non rende certo superfluo lo studio tradizionale dei problemi di ingegneria. ` spingere a spostare l’attenzione di chi studia piu` Dovrebbe, al piu, sugli aspetti fisici dei problemi che su quelli legati alla loro soluzione matematica.

Riepilogo 1.29 Usando la relazione fornita nell’esercizio 1.16, determinare il peso di una persona di 80 kg al livello del mare, a Sestriere (z = 2035 m) e in cima al Monte Everest (z = 8848 m). Analisi Il peso Pz di una massa m in funzione della quota z e` dato dalla relazione

Pz = mgz = m (g0 − bz) = m (9,807 − 3,32 × 10−6 z) per cui - al livello del mare:

P0 = mg0 = 80 × 9,807 = 784,6 N - a Sestriere:

Pz = 80 × (9,807 − 3,32 × 10−6 × 2 035) = 784,0 N - in cima al monte Everest:

Pz = 80 × (9,807 − 3,32 × 10−6 × 8 848) = 782,2 N

1.30 La spinta sviluppata dal motore di un Boeing 777 vale circa 40 000 kgf. Quanto vale in kN? Analisi Essendo 1 kgf = 9,81 N, la spinta S vale S = 40 000 × 9,81 = 392 400 kN = 392,4 kN

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PROPRIETA` DEI FLUIDI

SOMMARIO In questo capitolo sono esaminate alcune delle proprieta` dei fluidi che intervengono piu` frequentemente nello studio del loro moto. Le proprieta` che dipendono dalla massa di un sistema sono chiamate proprieta` estensive, mentre le altre proprieta` intensive. La densita` e` la massa per unita` di volume; il volume specifico e` il volume per unita` di massa. La densita` relativa e` definita come il rapporto tra la densita` di una sostanza e quella dell’acqua a 4 ◦ C. L’equazione di stato dei gas ideali e` p = ρ RT , ` T la temperadove p e` la pressione, ρ la densita, tura assoluta ed R la costante del gas. A una data temperatura, la pressione alla quale una sostanza pura cambia fase e` chiamata pressione di saturazione. Nei processi di cambiamento di fase tra le fasi liquida e di vapore di una sostanza pura, la pressione di saturazione e` comunemente chiamata tensione di vapore. Le bolle di vapore che si formano nelle regioni a bassa pressione all’interno di un liquido (un fenomeno chiamato cavitazione), quando vengono spazzate via da tali regioni, collassano, dando luogo a onde di altissima pressione, molto dannose. L’energia puo` esistere in numerose forme, la cui somma costituisce l’energia totale di un sistema. La somma di tutte le forme microscopiche di energia e` chiamata energia interna del sistema. L’energia posseduta da un sistema per il fatto che si muove rispetto a un sistema di riferimento e` chiamata energia cinetica; per unita` di massa essa vale ec = V 2 /2. L’energia che un sistema possiede a causa della sua quota in un campo gravitazionale e` chiamata energia potenziale; per unita` di massa essa vale e p = gz .

Il comportamento di un fluido sottoposto, a temperatura costante, a variazioni di pressione e` rappresentato dal coefficiente di comprimibilita` κ (chiamato anche modulo di elasticita` a compressione cubica) definito come

 κ = −W

∂p ∂W



 =ρ T

∂p ∂ρ



∼ =− T

1p  1W W (2.20)

Il comportamento di un fluido sottoposto, a pressione costante, a variazioni di temperatura e` rappresentato dal coefficiente di dilatazione cubica β definito come

1 β= W



∂W ∂T

 p

1 =− ρ



∂ρ ∂T

 p

 1ρ ρ ∼ =− 1T (2.28)

La celerita, ` cioe` la velocita` con cui una perturbazione si propaga in un mezzo, e` pari alla velocita` del suono. In un mezzo liquido indefinito, essa vale

r c=

κ ρ

(2.40)

mentre in un gas perfetto si ha

c=

√ k RT

(2.41)

in cui k e` il rapporto tra i calori specifici a pressione e a volume costanti. Il numero di Mach e` il rapporto tra la velocita` del fluido e la velocita` del suono nelle stesse

2

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Capitolo 2

condizioni Ma =

V c

(2.42)

Un moto e` definito sonico quando Ma = 1; subsonico quando Ma < 1; supersonico quando Ma > 1; ipersonico quando Ma  1 e transonico quando Ma ∼ = 1. La viscosita` di un fluido e` una misura della resistenza che esso oppone alle forze che tendono ` Lo sforzo tangena deformarlo con continuita. ziale, per il caso semplice del moto laminare tra due lastre piane parallele (moto unidimensionale), vale

τ =µ

dvx dy

(2.48)

dove µ e` la viscosita` dinamica (o assoluta) del fluido, vx e` la componente di velocita` nella direzione del moto e y e` la direzione normale a quella del moto. I fluidi che seguono questa legge (legge di Newton) sono chiamati fluidi newtoniani. Il rapporto tra viscosita` dinamica e densita` e` chiamato viscosita` cinematica ν . La tensione superficiale σs misura lo stato di tensione delle molecole che si trovano su un’interfaccia liquido-gas causato dalle forze di attrazione delle molecole. Ha le dimensioni di una forza per unita` di lunghezza. Benche´ sia di valore piuttosto piccolo, i suoi effetti diventano manifesti quando

l’interfaccia assume curvature notevoli. Per esempio, per effetto della tensione superficiale, tra l’interno e l’esterno di una goccia di liquido o di una bolla di sapone di raggio R esiste, rispettivamente, una differenza di pressione

1p = pi − pe =

2σs R

(2.55)

1p = pi − pe =

4σs R

(2.56)

e

dove pi e pe sono le pressioni all’interno e all’esterno della goccia o della bolla. La tensione superficiale e le forze di adesione tra liquido e parete causano in tubi di piccolo diametro un fenomeno chiamato effetto di capillarita. ` Esso consiste nell’innalzamento o nell’abbassamento h che la superficie libera del liquido all’interno di un tubicino di diametro D subisce rispetto al livello della superficie libera del liquido in cui il tubo e` parzialmente immerso. Esso vale

h=

4σs cos φ ρg D

(2.57)

dove φ e` l’angolo di contatto tra l’interfaccia liquido-gas e la parete. Il fenomeno e` trascurabile per tubi con diametro superiore a qualche centimetro.

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SOLUZIONI Densita’ 2.1 Qual e` la differenza tra proprieta` intensive e proprieta` estensive?

Analisi Le proprieta` intensive non dipendono dalle dimensioni del sistema; al contrario, le proprieta` estensive sono proporzionali alla massa del sistema. Sono, ad esempio, proprieta` intensive ` Sono, invece, proprieta` la temperatura, la pressione e la densita. estensive la massa, il volume e la quantita` di moto.

` 2.2 Cos’e` la densita` relativa? Che differenza c’e` con la densita?

Analisi La densita` relativa ρr di una sostanza e` il rapporto tra la sua densita` ρ e la densita` ρa di una sostanza standard ad una temperatura specificata (di solito acqua a 4 ◦ C, per la quale ρa = 1000 kg/m3 ), scelta come densita` di riferimento. Pertanto

ρr =

ρ ρa

La densita` relativa e` adimensionale.

2.3 Cos’e` il postulato di stato? Analisi Il postulato di stato stabilisce che lo stato di un sistema semplice comprimibile e` completamente specificato da due proprieta` intensive indipendenti.

2.4 In quali condizioni il comportamento dei gas reali puo` essere assimilabile a quello di un gas perfetto?

Analisi Un gas puo` essere trattato come gas perfetto quando e` a temperatura alta e/o a pressione bassa rispetto ai suoi valori critici di temperatura e pressione. L’aria e molti altri gas a temperatura ambiente possono essere trattati come gas perfetti senza apprezzabile errore.

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Capitolo 2

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2.5 Che differenza c’e` tra R e Ru ? Che relazione c’e` tra queste due grandezze?

Analisi Il simbolo Ru indica la costante universale dei gas, uguale per tutti i gas, il cui valore e`

Ru = 8,314 J/(mol · K) Il simbolo R indica la costante specifica di ciascun gas, data dal rapporto tra la costante universale e la massa molare del gas, espressa in kg/mol. Essa, pertanto, si esprime in J/(kg · K) o, essendo

1 J = 1 N · m = 1 N · m3 /m2 = 1 Pa · m3 in Pa · m3 /(kg · K).

2.6 Un contenitore con un volume di 100 l e` riempito da 1 kg di aria alla temperatura di 27 ◦ C. Qual e` la pressione nel contenitore? Ipotesi L’aria si comporta come un gas perfetto. Proprieta` Per l’aria, la costante dell’equazione di stato dei gas perfetti e` R = 0,287 kPa · m3 /(kg · K). Analisi Essendo il volume specifico w=

W 0,100 = = 0,100 m3 /kg m 1

per l’equazione di stato dei gas perfetti 2.4, si ha

p=

0,287 × (273 + 27) RT = = 861 kPa w 0,100

2.7 Un fluido che occupa un volume di 32 l pesa 280 N in un luogo in cui l’accelerazione di gravita` vale 9,80 m/s2 . Calcolare la massa e la densita` del fluido.

Analisi La massa m e` data dal rapporto tra il peso P e l’accelerazione di gravita` g . La densita` ρ e` la massa dell’unita` di volume, cioe` il rapporto tra massa m e volume W . Per cui m=

ρ=

P 280 = = 28,6 kg g 9,80

m 28,6 = = 893 kg/m3 W 0,032

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2.8 In una ruota d’automobile la pressione dipende dalla temperatura interna dell’aria. Quando la temperatura dell’aria e` di 25 ◦ C, il manometro segna 210 kPa. Essendo il volume della ruota 0,025 m3 , determinare l’aumento di pressione quando la temperatura dell’aria all’interno sale a 50 ◦ C. Calcolare, inoltre, la quantita` d’aria che deve essere spillata dalla ruota per riportare la pressione al valore iniziale, essendo la pressione atmosferica pari a 100 kPa.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas perfetto. 2 Il volume della ruota si mantiene costante.

Proprieta` Per l’aria, la costante dell’equazione di stato dei gas perfetti e` R = 0,287 kPa · m3 /(kg · K). Analisi La lettura manometrica fornisce, in genere, il valore della pressione relativa pr , cioe` la differenza tra il valore p della pressione e quello della pressione atmosferica patm . Pertanto, all’interno della ruota, la pressione dell’aria vale

p = pr + patm = 210 + 100 = 310 kPa Supponendo che l’aria si comporti come un gas perfetto, per essa vale l’equazione di stato 2.4

pw = RT in cui w = W/m e` il volume specifico (rapporto tra il volume W e la massa m ) e T la temperatura assoluta. L’equazione di stato, scritta per le due situazioni ed eliminando la costante, fornisce

p1 w1 p2 w2 = T1 T2 avendo indicato con i pedici 1 e 2 i valori che le varie grandezze assumono rispettivamente nelle due situazioni. Se, durante il riscaldamento, il volume dell’aria contenuta all’interno della ruota si mantiene costante (o la sua variazione puo` essere ritenuta trascurabile rispetto al volume originario), e` anche w1 = w2 , per cui

p2 =

310 × (50 + 273) p1 T2 = = 336 kPa T1 25 + 273

L’aumento di pressione 1p vale, quindi,

1p = p2 − p1 = 336 − 310 = 26 kPa A 25 ◦ C, la massa d’aria m 1 contenuta nella ruota di volume W vale

m1 =

p1 W 310 × 0,025 = = 0,0906 kg RT1 0,287 × (25 + 273)

Mantenendosi invariato il volume, per avere la stessa pressione p1 alla temperatura di 50 ◦ C, all’interno della ruota deve esserci una

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W = 0,025 m3 T = 25 °C p = 210 kPa

aria

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massa d’aria

m2 =

p1 W 310 × 0,025 = = 0,0836 kg RT2 0,287 × (50 + 273)

La massa d’aria da spillare vale, quindi,

1m = m 2 − m 1 = 0,0906 − 0,0836 = 0,0070 kg pari a poco piu` del 7% della massa originaria.

Tensione di vapore e cavitazione 2.9 Cos’e` la tensione di vapore? Analisi La pressione di una sostanza allo stato di vapore, sia essa da sola o in una miscela con altri gas, si chiama tensione di vapore. Quando, ad una data temperatura, il vapore e` in equilibrio di fase col suo liquido, la tensione di vapore e` uguale alla pressione di saturazione, cioe` alla pressione in corrispondenza della quale, a quella temperatura, la sostanza cambia fase.

2.10 A pressione maggiore, l’acqua bolle a temperature piu` eleva´ te? Perche?

Analisi La temperatura di saturazione, cioe` la temperatura in corrispondenza della quale, ad una data pressione, una sostanza cambia fase, aumenta all’aumentare della pressione. Pertanto, al crescere della pressione, l’acqua bolle a temperature via via crescenti. Ad esempio, in una pentola a pressione l’acqua bolle a temperature maggiori di 100 ◦ C. Cio` consente di cuocere i cibi in un tempo minore di quello necessario usando una pentola normale.

2.11 Se la pressione di una sostanza viene aumentata mentre essa sta bollendo, la temperatura di ebollizione aumenta anch’essa o ´ rimane costante? Perche?

Analisi Se la pressione di una sostanza viene aumentata mentre essa sta bollendo, aumenta anche la temperatura di ebollizione perche´ essa e` proporzionale alla pressione.

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2.12 Cos’e` la cavitazione? Quali problemi provoca? Analisi Quando in qualche punto di un volume liquido la pressione scende al di sotto della tensione di vapore si formano delle bolle di vapore. Tale fenomeno, chiamato cavitazione, puo` dar luogo a fenomeni di erosione delle pareti solide in vicinanza delle quali dovesse verificarsi e, pertanto, va attentamente preso in considerazione nella progettazione di macchine idrauliche.

2.13 Calcolare il valore minimo che puo` assumere la pressione, senza dar luogo a fenomeni di cavitazione, in un sistema in cui circola acqua a temperatura non superiore a 40 ◦ C .

Proprieta` La tensione di vapore dell’acqua a 40 ◦ C e` pv = 7,38 kPa (vedi Tabella 2.2).

Analisi Per evitare la cavitazione, la pressione non deve scendere al di sotto della tensione di vapore alla temperatura assegnata. Pertanto, per acqua alla temperatura massima di 40 ◦ C, la pressione deve essere ovunque non inferiore al valore

pmin = pv = 7,38 kPa Discussione La tensione di vapore aumenta con la temperatura. Pertanto, al crescere della temperatura, il rischio di cavitazione aumenta.

2.14 Studiando un’elica che funziona in acqua a 20 ◦ C si trova che alle alte velocita` la pressione sui bordi dell’elica scende fino a 2 kPa. Determinare se c’e` rischio di cavitazione.

Proprieta` La tensione di vapore dell’acqua a 20 ◦ C e` pv = 2,34 kPa (vedi Tabella 2.2).

Analisi Per evitare la cavitazione, la pressione non deve scendere al di sotto della tensione di vapore alla temperatura assegnata. Poiche´ la pressione al bordo dell’elica e` inferiore alla tensione di vapore, c’e` rischio di cavitazione.

2.15 Determinare il valore minimo che la pressione puo` assumere, senza dar luogo a fenomeni di cavitazione, all’interno di una pompa a servizio di un impianto di sollevamento di acqua a 25 ◦ C.

Proprieta` La tensione di vapore dell’acqua a 25 ◦ C e` pv = 3,17 kPa (vedi Tabella 2.2).

Analisi Per evitare la cavitazione, la pressione non deve scendere al di sotto della tensione di vapore alla temperatura assegnata. Nel caso specifico, la pressione deve essere ovunque non inferiore a 3,17 kPa.

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Capitolo 2

Energia specifica 2.16 Qual e` la differenza tra la forma macroscopica e quella microscopica dell’energia?

Analisi Le forme macroscopiche di energia sono quelle possedute da un sistema nel suo insieme rispetto ad un sistema di riferimento esterno. Le forme microscopiche di energia, invece, sono quelle associate alla struttura molecolare del sistema e al grado di attivita` molecolare e non dipendono da sistemi di riferimento esterni.

2.17 Cos’e` l’energia totale? Descrivere le diverse forme di energia che compongono l’energia totale.

Analisi L’energia totale e` la somma di tutte le forme di energia possedute da un sistema. In assenza di effetti magnetici, elettrici e di tensione superficiale, l’energia totale di un sistema e` la somma dell’energia cinetica, dell’energia potenziale e dell’energia interna.

2.18 Elencare le diverse forme di energia che contribuiscono all’energia interna di un sistema.

Analisi L’energia interna di un sistema e` la somma di tutte le forme microscopiche di energia, cioe` delle forme associate alla struttura molecolare del sistema e al grado di attivita` molecolare. Pertanto, ad essa contribuiscono l’energia termica, chimica, nucleare ...

2.19 Che differenza c’e` tra calore, energia interna e energia termica?

Analisi L’energia termica e` una forma di energia interna, diversa da quella chimica o nucleare, rappresentativa dell’energia cinetica media delle molecole. La sua manifestazione percettibile e` chiamata calore.

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Comprimibilita’ e velocita’ del suono 2.20 Cos’e` il coefficiente di comprimibilita` di un fluido? Analisi Applicando, a temperatura costante, ad un volume W di fluido un incremento di pressione 1p il volume diminuisce di una quantita` 1W che e` proporzionale a W e a 1p ed inversamente proporzionale ad un coefficiente κ dipendente solo dalla natura del fluido. Per cui

1W = −W

1p κ

Il coefficiente κ prende il nome di coefficiente di comprimibilita` (o di modulo di elasticita` a compressione cubica). Esso rappresenta anche la variazione di pressione che corrisponde, a temperatura costante, ` Cioe` ad una variazione relativa unitaria di volume o di densita.

 κ = −W

∂p ∂W



 =ρ T

∂p ∂ρ

 T

Il coefficiente di comprimibilita` di una sostanza rigorosamente incomprimibile (W = costante) e` infinito.

2.21 Cos’e` il coefficiente di dilatazione cubica di un fluido? Analisi Applicando, a pressione costante, ad un volume W di fluido un incremento di temperatura 1T il volume aumenta di una quantita` 1W che e` proporzionale a W e a 1T attraverso un coefficiente β dipendente solo dalla natura del fluido. Per cui 1W = βW 1T Il coefficiente β prende il nome di coefficiente di dilatazione cubica. Esso rappresenta la variazione relativa di volume o di densita` che corrisponde, a pressione costante, ad una variazione unitaria di temperatura. Cioe`

β=

1 W



∂W ∂T

 =− p

1 ρ



∂ρ ∂T

 p

2.22 Il coefficiente di comprimibilita` di un fluido puo` essere negativo? E il coefficiente di dilatazione cubica?

Analisi Il coefficiente di comprimibilita` di un fluido non puo` essere negativo, mentre il coefficiente di dilatazione cubica puo` esserlo (per es. per l’acqua allo stato liquido ad una temperatura inferiore ai 4 ◦ C).

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10 Capitolo 2

´ com2.23 Calcolare la variazione di pressione necessaria perche, primendolo isotermicamente, il volume di un gas perfetto si dimezzi.

Analisi Per un gas perfetto l’equazione di stato 2.4 fornisce p1 w1 p2 w2 = T1 T2 Essendo T1 = T2 perche´ il processo e` isotermico, si ha

p1 w1 = p2 w2 da cui

p2 =

w1 w1 p1 = p1 = 2 p1 w2 0,5 w1

Pertanto, la variazione di pressione necessaria e`

1p = p2 − p1 = 2 p1 − p1 = p1

2.24 Un volume di acqua alla pressione di 1 bar viene compresso isotermicamente fino a 200 bar. Determinare l’aumento della densita` dell’acqua, essendo il coefficiente di comprimibilita` dell’acqua κ = 2,11 × 109 Pa.

Ipotesi All’interno del campo di pressione assegnato il coefficiente di comprimibilita` e` costante.

Proprieta` La densita` dell’acqua a 20 ◦ C e alla pressione di 1 bar vale ρ = 998 kg/m3 . Analisi Gli effetti combinati di variazioni di temperatura e pressione sul volume di un fluido possono essere determinati approssimativamente con la 2.32

dW dρ ∼ 1p =− = β1T − W ρ κ da cui

1ρ ∼ =ρ



1p − β1T κ



Nel caso in esame, si ha solo una variazione di pressione da 1 a 200 bar a temperatura costante. Pertanto, la variazione di densita` vale

1ρ = ρ

1p (200 − 1) × 105 = 998 × = 9,41 kg/m3 κ 2,11 × 109

Discussione Un aumento della pressione di quasi 200 bar comporta un aumento di densita` di poco inferiore all’1%. Cio` spiega perche´ abitualmente i liquidi vengano considerati praticamente incomprimibili.

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2.25 Un volume di acqua alla pressione di 1000 hPa e alla temperatura di 13 ◦ C viene riscaldato a pressione costante fino a 85 ◦ C. Calcolare la variazione di densita` dell’acqua.

Proprieta` La densita` dell’acqua a 13 ◦ C e alla pressione di 1000 hPa e` ρ = 999,3 kg/m3 . Il coefficiente di dilatazione cubica dell’acqua alla temperatura media di (85+13)/2 = 49 ◦ C e` β = 0,45×10−3 K−1 . Analisi Gli effetti combinati di variazioni di temperatura e pressione sul volume di un fluido possono essere determinati approssimativamente con la 2.32

dW dρ ∼ 1p =− = β1T − W ρ κ da cui

1ρ ∼ =ρ



1p − β1T κ



Nel caso in esame, si ha solo una variazione di temperatura da 13 a 85 ◦ C a pressione costante. Pertanto, la variazione di densita` vale

1ρ ∼ = −ρβ1T = = −999,3 × 0,45 × 10−3 × (85 − 13) = −32,4 kg/m3 Discussione Un aumento di temperatura di circa 70 ◦ C comporta una diminuzione della densita` di poco superiore al 3%. Variazioni di temperatura contenute nelle normali oscillazioni della temperatura ambiente (da 0 a 40 ◦ C) danno luogo a variazioni di densita` dell’ordine dell’1% e pertanto abitualmente trascurabili.

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12 Capitolo 2

2.26 Un contenitore e` completamente pieno di acqua a 20 ◦ C. La tensione massima ammissibile del materiale di cui e` composto il contenitore e` pari a quella generata da un aumento di volume dell’acqua dell’1,2%. Calcolare l’aumento di temperatura per il quale viene raggiunta la tensione massima ammissibile. Si assuma, ` β = costante = β a 40 ◦ C (β = 0,377 × 10−3 K−1 ). per semplicita,

Ipotesi Gli effetti della pressione sono trascurabili. Analisi Per la 2.32, la variazione 1W di volume conseguente ad una variazione 1T di temperatura e ad una variazione 1p di pressione, puo` essere espressa approssimativamente come

1W = W (β1T −

1p ) κ

Essendo, per ipotesi, 1p = 0, si ha

1W = β1T W da cui

1T =

1 1 1W × 0,012 = 31,8 K = 31,8 ◦ C = β W 0,377 × 10−3

2.27 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi che la tensione massima ammissibile del materiale sia pari a quella generata da un aumento di volume dell’1,5%.

Analisi Si ha 1T =

1 1W 1 = × 0,015 = 39,8 K = 39,8 ◦ C β W 0,377 × 10−3

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2.28 La densita` dell’acqua di mare in corrispondenza della superficie libera, in un luogo in cui la pressione atmosferica vale 98 kPa, e` di circa 1030 kg/m3 . Determinare la densita` e la pressione alla profondita` di 2500 m, assumendo che il modulo di elasticita` a compressione cubica sia κ = 2,34 × 109 N/m2 . Ipotesi La temperatura e il modulo di elasticita` a compressione cubica si mantengono costanti.

Analisi Il coefficiente di comprimibilita` κ (o modulo di elasticita` a compressione cubica) e` definito dalla 2.20

 κ=ρ

∂p ∂ρ

 T

Attraverso uno strato infinitesimo di fluido di altezza dz si ha una variazione di pressione (vedi Capitolo 3)

d p = ρgdz Combinando le due relazioni si ha

κ=ρ

dz ρgdz = ρ2g dρ dρ

Integrando tra la superficie libera, assunta come piano di quota z = 0, in cui ρ = ρ0 , e il piano orizzontale alla generica profondita` z

Z

ρ

ρ0

1 1 dρ = g ρ2 κ

Z

z

dz 0

si ha

1 1 1 − = gz ρ0 ρ κ da cui

1

ρ=

1 1 − gz ρ0 κ

Introducendo tale relazione nella d p = ρgdz e integrando tra z = 0, dove p = p0 = 98 kPa, e il piano orizzontale alla generica profondita` z

Z

p

Z dp =

p0

0

z

1 g dz 1 1 − gz ρ0 κ

si ottiene

  p = p0 + κ ln 

 1 1 − ρ0

1 gz κ

 

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14 Capitolo 2

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relazione che fornisce la variazione della pressione con la profon` Alla profondita` z = 2500 m, la densita` e la pressione valgono, dita. rispettivamente,

ρ=

1 1 1 − × 9,81 × 2500 1030 2,34 × 109

= 1041 kg/m3



  p = 98 000 + 2,34 × 109 × ln  

1 1−

1030 × 9,81 × 2500 2,34 × 109

 = 

= 25 500 kPa Discussione Se non si tiene conto della variazione di densita` con ` e quindi con la pressione, alla profondita` di 2500 m la profondita, la pressione risulta

p = p0 + ρ0 gz = 98 000 + 1030 × 9,81 × 2500 = 25 360 kPa valore inferiore di appena lo 0,55% rispetto al valore effettivo. Nota la pressione, la densita` puo` essere stimata attraverso il coefficiente di comprimibilita` come

ρ = ρ0 + 1ρ = ρ0 + ρ0

1p = κ

 (25 360 − 98) × 103 = 1030 × 1 + = 1030 × 1,018 = 2,34 × 109 

= 1041 kg/m3

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2.29 Cos’e` il suono? Come viene generato? Come si propaga? Puo` propagarsi nel vuoto?

Analisi Il suono e` un’onda di pressione infinitamente piccola. Esso e` generato da una perturbazione infinitesima in un mezzo. Il suono si propaga nel mezzo come un’onda di pressione. Il suono non puo` propagarsi nel vuoto.

2.30 La velocita` del suono in un mezzo e` funzione delle proprieta` ´ del mezzo? Perche?

Analisi La velocita` di propagazione del suono in un mezzo dipende dalle proprieta` del mezzo. In particolare, in un mezzo liquido indefinito, secondo la 2.40, dipende solo dalla radice quadrata del rapporto tra il coefficiente di comprimibilita` κ e la densita` ρ . In un mezzo gassoso indefinito, secondo la 2.41, la velocita` del suono dipende solo dalla temperatura e dalla natura del gas (in particolare, dal prodotto della costante R del gas e del rapporto k tra i calori specifici).

2.31 Il suono si propaga piu` velocemente in aria calda o in aria fredda?

Analisi In un mezzo gassoso indefinito la velocita` c del suono dipende solo dalla temperatura T e dalla natura del gas, cioe` dal prodotto della costante R del gas e del rapporto k tra i calori specifici. Piu` precisamente, secondo la 2.41, si ha

c=

√ k RT

Pertanto, il suono si propaga piu` velocemente in aria calda.

2.32 Il suono si propaga piu` velocemente in aria a 20 ◦ C alla pressione di 1 bar o in aria a 20 ◦ C alla pressione di 5 bar? Analisi Secondo la 2.41 c=

√ k RT

per cui la velocita` c di propagazione del suono in un mezzo gassoso indefinito varia solo al variare della sua temperatura T . Pertanto, il suono si propaga alla stessa velocita` in ambedue i mezzi.

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16 Capitolo 2

2.33 Calcolare la velocita` del suono (a) in aria alla temperatura di 300 K e (b) in aria alla temperatura di 1000 K e il numero di Mach di un aereo che viaggia alla velocita` di 240 m/s in tali condizioni. Ipotesi L’aria a temperatura ambiente si comporta come un gas perfetto con calori specifici costanti. Proprieta` Per l’aria, la costante dell’equazione di stato dei gas perfetti e` R = 0,287 kJ/(kg · K). Il rapporto tra i calori specifici e` k = 1,4. Analisi (a) In aria alla temperatura di 300 K, per la 2.41, si ha p √ c = k RT = 1,4 × 0,287 × 1000 × 300 = 347 m/s e per la 2.42

Ma =

V 240 = = 0,692 c 347

(b) In aria alla temperatura di 1000 K, si ha p √ c = k RT = 1,4 × 0,287 × 1000 × 1000 = 634 m/s e

Ma =

V 240 = = 0,379 c 634

Discussione Si noti che un numero di Mach costante non indica necessariamente che la velocita` V sia costante. Il numero di Mach di un razzo, per esempio, va aumentando con la quota, anche se si muove a velocita` V costante, per effetto della diminuzione di c dovuta alla diminuzione di temperatura.

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2.34 Una corrente di anidride carbonica, che nella sezione iniziale di un ugello ha la temperatura di 1200 K e una velocita` di 50 m/s, percorre adiabaticamente l’ugello assumendo nella sezione di uscita una temperatura di 400 K. Nell’ipotesi di calori specifici costanti (uguali ai valori alla temperatura ambiente), calcolare il numero di Mach nelle sezioni di ingresso e di uscita dell’ugello e stimare l’accuratezza dell’ipotesi.

Ipotesi Il moto e` permanente. Proprieta` Per l’anidride carbonica, la costante dell’equazione di stato dei gas perfetti e` R = 0,1889 kJ/(kg · K). Il calore specifico a pressione costante a temperatura ambiente e` c p = 0,8438 kJ/(kg·K). Il rapporto tra i calori specifici e` k = 1,288. Analisi Nella sezione iniziale si ha p p c1 = k1 RT1 = 1,288 × 0,1889 × 1000 × 1200 = 540,3 m/s e

Ma1 =

50 V1 = = 0,0925 c1 540,3

Nella sezione di uscita si ha

c2 =

p

k2 RT2 =

p 1,288 × 0,1889 × 1000 × 400 = 312,0 m/s

` l’equazione dell’energia 12.75, scritta tra Per il calcolo della velocita, le due sezioni, fornisce

c p T1 +

V2 V12 = c p T2 + 2 2 2

da cui

V2 = =

q p

V12 + 2c p (T1 − T2 ) =

502 + 2 × 0,8438 × 1000 × (1200 − 400) = 1163 m/s

Conseguentemente,

Ma2 =

V2 1163 = = 3,73 c2 312,0

Discussione I calori specifici e il loro rapporto variano con la temperatura. In particolare, si ha:

− per T = 400 K

c p = 0,9383 kJ/(kg · K)

k = 1,252

− per T = 1200 K

c p = 1,278 kJ/(kg · K)

k = 1,173

e, conseguentemente,

− c1 = 516 m/s

V1 =

50 m/s

− c2 = 308 m/s

V2 = 1356 m/s

Ma1 = 0,0969 Ma2 = 4,41

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18 Capitolo 2

Pertanto, l’ipotesi di calori specifici costanti e uguali ai valori alla temperatura ambiente porta a sottostimare i valori del numero di Mach sia nella sezione iniziale (del 4,5%) che nella sezione finale (del 15,4%).

2.35 Calcolare il rapporto tra le velocita` del suono iniziale e finale in aria inizialmente a 60 ◦ C e alla pressione di 1,5 MPa che si espande fino alla pressione di 0,4 MPa. Ipotesi L’aria a temperatura ambiente si comporta come un gas perfetto con calori specifici costanti.

Proprieta` Per l’aria, la costante dell’equazione di stato dei gas perfetti e` R = 0,287 kJ/(kg · K). Il rapporto tra i calori specifici e` k = 1,4. Tale valore varia con la temperatura, ma in questo caso in maniera trascurabile.

Analisi Una trasformazione isoentropica di un gas ideale con calori specifici costanti e` descritta dall’equazione 12.6

p2 = p1



T2 T1

k/(k−1)

da cui

 T2 = T1

p2 p1

(k−1)/k



0,4 = (60 + 273) 1,5

(1,4−1)/1,4 = 228,3 K

Per la 2.41, nell’ipotesi di k = costante, il rapporto rc tra le velocita` del suono iniziale e finale, e`

s s √ c1 k1 RT1 T1 60 + 273 rc = = = 1,21 =√ = c2 T2 228,3 k2 RT2

Viscosita’ ` Da cosa ha origine nei liquidi e nei gas? La 2.36 Cos’e` la viscosita? viscosita` dinamica e` maggiore nei liquidi o nei gas?

Analisi La viscosita` e` una sorta di misura di quanto e` ”appiccicoso” un fluido. Piu` precisamente, essa misura la resistenza che un fluido oppone alle forze che tendono a farlo scorrere. A causa ` infatti, tra strati di fluido contigui che scorrono l’uno della viscosita, rispetto all’altro nascono delle forze tangenziali di attrito interno. Nei liquidi la viscosita` e` causata dalle forze molecolari di coesione, nei gas dal moto di collisione molecolare. La viscosita` dinamica e` maggiore nei liquidi che nei gas.

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2.37 Cos’e` un fluido newtoniano? L’acqua e` un fluido newtoniano? Analisi Sono chiamati fluidi newtoniani quei fluidi per i quali la velocita` di deformazione angolare e` direttamente proporzionale allo sforzo tangenziale, per qualunque valore di esso. Per tali fluidi, la viscosita` dinamica e` il valore (costante) del rapporto tra sforzo tangenziale e velocita` di deformazione angolare. Molti dei fluidi piu` comuni, come l’acqua, l’aria, la benzina e il petrolio, sono fluidi newtoniani.

2.38 Due piccole biglie di vetro identiche vengono fatte cadere in due contenitori uguali, uno pieno di acqua, l’altro di olio. Quale ´ biglia raggiunge per prima il fondo del contenitore? Perche?

Analisi La biglia che cade in acqua raggiunge il fondo del contenitore per prima, perche´ l’acqua ha una viscosita` molto minore di quella dell’olio e, quindi, offre una resistenza al moto minore.

2.39 Come varia la viscosita` dinamica dei liquidi e dei gas con la temperatura?

Analisi La viscosita` dinamica dei liquidi diminuisce all’aumentare della temperatura; viceversa, quella dei gas aumenta all’aumentare della temperatura.

2.40 Come varia la viscosita` cinematica dei liquidi e dei gas con la temperatura?

Analisi La viscosita` cinematica e` il rapporto tra la viscosita` dina` Nei liquidi sia la viscosita` dinamica che la densita` mica e la densita. ´ pero, ` la pridiminuiscono all’aumentare della temperatura. Poiche, ma diminuisce piu` della seconda, anche il loro rapporto diminuisce all’aumentare della temperatura. Nei gas, all’aumentare della temperatura, la viscosita` dinamica aumenta mentre la densita` diminuisce. Pertanto, la viscosita` cinematica dei gas aumenta all’aumentare della temperatura.

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Proprieta` dei fluidi

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20 Capitolo 2 V = 0,8 m/s

50 cm 30 cm F 20º

2.41 Un blocco parallelepipedo (50 cm × 30 cm × 20 cm) del peso di 150 N deve scorrere a velocita` costante di 0,8 m/s su un piano inclinato con un coefficiente di attrito di 0,27. Calcolare (a) la forza F che deve essere applicata nella direzione orizzontale e (b) di quanto diminuisce in percentuale tale forza se tra il blocco e il piano inclinato viene posto uno strato di olio, dello spessore di 0,4 mm, avente viscosita` dinamica di 0,012 Pa · s.

150 N

Ipotesi Il coefficiente di attrito e lo spessore dello strato di olio si mantengono costanti.

Analisi V = 0,8 m/s

50 cm 30 cm

F1 Fa α

P

(a) Sul blocco, oltre alla forza orizzontale incognita F1 e al peso proprio P, agiscono la reazione d’appoggio R1 e la forza di attrito Fa , in direzione, rispettivamente, ortogonale e parallela al piano di scorrimento, inclinato di α rispetto all’orizzontale. Se il blocco si muove a velocita` costante, la sua accelerazione e` nulla e quindi la somma delle forze ad esso applicate e` anch’essa nulla. Pertanto, deve essere

R1

F1 + P + R1 + Fa = 0 e, proiettando, rispettivamente, in direzione orizzontale e in direzione verticale

F1 − R1 sen α − Fa cos α = 0

(1)

−P + R1 cos α − Fa sen α = 0

(2)

Esprimendo la forza di attrito come

Fa = f R1

(3)

e sostituendo la (3) nella (2) si ottiene

R1 =

P 150 = = 177 N cos α − f sen α cos 20 − 0,27 × sen 20

e, infine, dalla (1)

F1 = R1 (sen α + f cos α) = = 177 × (sen 20 + 0,27 × cos 20) = 105 N (b) Nel caso in cui tra il blocco e il piano sia presente uno strato V = 0,8 m/s

50 cm

30 cm

F2 Fτ α

P R2

olio h = 0,4 mm

d’olio, nell’equilibrio delle forze, al posto della forza di attrito Fa compare la forza tangenziale Fτ esercitata dall’olio sulla superficie di appoggio del blocco. Per la condizione di aderenza, l’olio aderisce sia alla superficie del piano inclinato, che e` ferma, sia alla superficie di appoggio del blocco, che si muove con velocita` V . Se h e` lo spessore dello strato di olio, il gradiente di velocita` e` pari a V / h . Pertanto, per la legge di Newton 2.48, la

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Proprieta` dei fluidi

forza tangenziale puo` essere espressa come

Fτ = τ A = µA

V 0,8 = 0,012 × 0,5 × 0,2 × = 2,4 N h 0,4 × 10−3

Introducendo nella (2) Fτ al posto di Fa ed esplicitando R , si ha

R2 =

150 + 2,4 × sen 20 P + Fτ sen α = = 160 N cos α cos 20

e dalla (1)

F2 = R2 sen α + Fτ cos α = = 160 × sen 20 + 2,4 × cos 20 = 57,0 N La riduzione percentuale della forza e`

105 − 57 F1 − F2 = = 0,457 = 45,7% F1 105 Discussione Lubrificando la superficie di contatto, la forza neces` saria per spingere il blocco si riduce quasi della meta.

2.42 Un fluido di viscosita` µ scorre all’interno di una tubazione circolare. Il profilo di velocita` nella tubazione e` dato dalla v(r ) = ` che si vmax (1 − r n /R n ), dove vmax e` il valore massimo della velocita, ha in corrispondenza dell’asse, r e` la distanza radiale dall’asse e v(r ) e` la velocita` alla distanza r . Esprimere la forza di trascinamento per unita` di lunghezza che il fluido esercita sulla parete della tubazione.

Analisi Per la legge di Newton 2.48, lo sforzo tangenziale alla parete τ0 , considerando che dv/dr < 0, e`     d rn dv = −µ vmax 1− n = τ0 = −µ dr r =R dr R r =R   nr n−1 nµ vmax = −µ vmax − n = R R r =R La forza di trascinamento esercitata dal fluido sulla parete interna della tubazione di lunghezza L risulta, quindi,

F = τ0 A 0 =

nµ vmax 2π R L = 2nπ µ vmax L R

e, per unita` di lunghezza,

F/L = 2nπ µ vmax

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v(r) = vmax (1 − r n /R n ) R vmax

r

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22 Capitolo 2 lastra fissa h1 H 1 mm

V H 1 m/s

h2 H 2,6 mm

VL H 0,3 m/s

F

2.43 Una lastra piana sottile di 20 cm × 20 cm e` spinta orizzontalmente alla velocita` di 1 m/s all’interno di uno strato di olio spesso 3,6 mm, posto tra due lastre piane parallele, una ferma e l’altra in movimento con velocita` di 0,3 m/s. La viscosita` dinamica dell’olio e` 0,027 Pa · s. Supponendo che in ciascuno strato di olio la velocita` ` individuando vari linearmente, (a) tracciare il profilo di velocita, ` ` il punto in cui la velocita e nulla, e (b) calcolare la forza che deve essere applicata alla lastra per mantenerla in moto.

lastra in movimento

Ipotesi All’interno di ciascuno strato di olio, il profilo di velocita` e` lineare.

Analisi (a) Per la condizione di aderenza e l’ipotesi di variazione lineare,

lastra fissa

V H 1 m/s

h1 h2

yA

VL H 0,3 m/s

F

i profili di velocita` nei due strati di olio hanno l’andamento mostrato in figura. La distanza y A dalla lastra inferiore del ` essendo, per la similitudine punto A in cui si annulla la velocita, tra i triangoli,

lastra in movimento

h2 − yA V = yA VL vale

yA =

2,6 h2 = = 0,60 mm V 1 +1 +1 VL 0,3

(b) Le forze di trascinamento agenti sulle superfici superiore e inferiore della lastra sono, rispettivamente,



dv Fs = A0 τ0s = A0 µ dy

 = A0 µ s

= 0,2 × 0,2 × 0,027 ×



dv Fi = A0 τ0i = A0 µ dy

 = A0 µ i

= 0,2 × 0,2 × 0,027 ×

V −0 = h1 1 = 1,08 N 0,001

VL = yA 0,3 = 0,54 N 0,0006

ed hanno ambedue verso opposto a quello del moto. Per l’equilibrio delle forze agenti sulla lastra, la forza F da applicare alla lastra per mantenerla in moto deve essere pari alla loro somma

F = Fs + Fi = 1,08 + 0,54 = 1,62 N

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Proprieta` dei fluidi

2.44 Un corpo tronco-conico ruota a velocita` angolare costante di 200 rad/s in un contenitore pieno di olio SAE 10W a 20 ◦ C (µ = 0,1 Pa · s). Calcolare la potenza necessaria per mantenere il moto, supponendo che lo spessore dell’olio sia ovunque di 1,2 mm. Calcolare, inoltre, la diminuzione di potenza richiesta quando la temperatura dell’olio aumenta a 80 ◦ C (µ = 0,0078 Pa · s).

Ipotesi Lo spessore dell’olio si mantiene costante.

contenitore

D H 12 cm L H 12 cm

τ0 = µ

Vr ωr dv =µ =µ dr h h

Conseguentemente, la forza di trascinamento, il corrispondente momento rispetto all’asse di rotazione e la potenza associata valgono

d F = τ0 d A = µ

ωr dA h

dM = r dF = µ

ωr 2 dA h

µω M= h

Z

r2 d A A

µω2 P = ωM = h

Z

r2 d A A

Superficie superiore La superficie di una corona circolare di raggi r ed r + dr e` d A = 2πr dr . Per cui

Ps =

=

µω2 h

Z

D/2

r 2 2πr dr =

0

2π µω2 h



4  D/2

r 4

= 0

2π µω2 h

Z

D/2

r 3 dr =

0

π µω2 D 4 32 h

Superficie inferiore Sostituendo d a D , si ha

Pi =

π µω2 d 4 32 h

Superficie laterale La superficie laterale di un anello tronco conico di raggio r e altezza dz e` d A = 2πr dz . Il raggio del tronco di cono

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z d H 4 cm

Analisi In un punto qualunque di fluido, a distanza r dall’asse, a contatto con la superficie del corpo in rotazione, il gradiente di velocita` e` pari a Vr / h , essendo h lo spessore dello strato di olio e Vr = ωr la velocita` tangenziale in quel punto. Pertanto, lo sforzo tangenziale nel punto e`

23

r olio SAE 10W

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24 Capitolo 2

varia linearmente lungo la verticale z dal valore d/2 per z = 0 al valore D/2 per z = L , per cui

r=

D−d d + z 2 2L

e, differenziando,

dr =

D−d dz 2L

Esplicitando dz e sostituendo nell’espressione di d A, in definitiva, si ha

d A = 2πr dz =

4π L r dr D−d

per cui

µω2 Pl = h =

Z 0

D/2

4π L 4π µω2 L r r dr = (D − d) h(D − d) 2



r4 4

 D/2 = d/2

π µω2 L D 4 − d 4 16 h D−d

La potenza totale vale quindi

" #  4 1 − (d/D)4 π µω2 4 d + 2L P = Ps + Pi + Pl = D 1+ 32 h D D−d in cui d/D = 4/12 = 1/3. Sostituendo

π 0,1 × 2002 × × 0,124 × 32 0,0012 " #  4 1 1 − (1/3)4 × 1+ + 2 × 0,12 × = 270 W 3 0,12 − 0,04

P=

` la potenza richiesta Poiche´ la potenza e` proporzionale alla viscosita, a 80 ◦ C e`

P80 =

µ80 0,0078 P20 = × 270 = 21,1 kW µ20 0,1

La riduzione di potenza 1P e`

1P = P80 − P20 = 270 − 21,1 = 249 W pari al 92% di quella richiesta a 20 ◦ C.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

2.45 L’intercapedine tra i cilindri di un viscosimetro, alti 75 cm, e` di 0,12 cm. Ponendo il cilindro interno, del diametro di 15 cm, in rotazione a 200 gpm, si misura un momento di 0,8 N · m. Determinare

Proprieta` dei fluidi

25

200 gpm 0,12 cm fluido

la viscosita` del fluido contenuto nell’intercapedine.

Ipotesi 1 Il cilindro interno e` completamente immerso nell’olio.

cilindro in quiete

2 Gli effetti viscosi alle due estremita` del cilindro interno sono trascurabili. 3 Il fluido e` newtoniano.

Analisi Indicando con M il momento, s lo spessore dell’intercapedine, h l’altezza del liquido nell’intercapedine, R il raggio del cilindro interno ed n il numero di giri al secondo, per la 2.53, si ha µ=

Ms 4π 2 hn R 3

=

4×

π2

0,8 × 0,0012 = × 0,75 × 200/60 × (0,15/2)3

= 0,0231 Pa · s

2.46 Lontano dall’imbocco, il moto di un fluido in una tubazione circolare e` unidimensionale e il profilo di velocita` in regime laminare e` v(r ) = vmax (1 − r 2 /R 2 ), dove R e` il raggio della tubazione, r e` la distanza radiale dall’asse e vmax e` il valore massimo della velo` che si ha in corrispondenza dell’asse. Esprimere (a) la forza cita, di trascinamento che il fluido esercita sulla parete di un tratto di tubazione di lunghezza L e (b) calcolarne il valore nel caso di acqua a 20 ◦ C, R = 0,08 m, L = 15 m, vmax = 3 m/s e µ = 0,0010 Pa · s.

Analisi (a) Per la legge di Newton 2.48, essendo dv/dr < 0, lo sforzo tangenziale alla parete della tubazione e`

   d r2 dv = −µvmax 1− 2 = dr r =R dr R r =R   2 2r = −µvmax − 2 = µvmax R r =R R 

τ0 = −µ

Pertanto, la forza di trascinamento esercitata dal fluido sulla parete risulta

F = A0 τ0 = 2π R L

2 µvmax = 4π Lµvmax R

(b) Per i valori assegnati, si ha F = 4π Lµvmax = 4 × π × 15 × 0,001 × 3 = 0,565 N

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2 v = vmax 1 − r 2 R

(

R vmax

r

)

26 Capitolo 2

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Tensione superficiale e capillarita’ 2.47 Cos’e` la tensione superficiale? Da cosa e` causata? Analisi La superficie di separazione tra un liquido e un altro liquido o tra un liquido e un gas, per effetto della differenza fra le forze di attrazione molecolare tra i due fluidi a contatto, e` in uno stato tensionale simile a quello di una membrana. Immaginando di effettuare un taglio sulla superficie, la tensione superficiale e` il modulo della forza, per unita` di lunghezza, che bisogna applicare sui due lembi del taglio per mantenerli in contatto.

2.48 In una bolla di sapone e` maggiore la pressione interna o quella esterna?

Analisi In una bolla di sapone e` maggiore la pressione interna. Essa, infatti, tende la superficie della bolla.

` Da cosa e` causata? Com’e` influenzata 2.49 Cos’e` la capillarita? dall’angolo di contatto?

Analisi Il fenomeno della capillarita` e` l’innalzamento o l’abbassamento che la superficie libera del liquido all’interno di un tubo di piccolo diametro subisce rispetto al livello della superficie libera del liquido in cui il tubo e` parzialmente immerso. Il nome deriva dal fatto che tale effetto e` di qualche rilevanza solo quando il diametro del tubo e` molto piccolo, dell’ordine del diametro di un capello, e, pertanto, il tubo o canalicolo e` chiamato capillare. Il fenomeno e` causato dalla tensione superficiale che, in presenza di una superficie di separazione con forte curvatura, com’e` quella che si crea all’interno di un tubo di piccolo diametro, da` luogo ad un salto di pressione tra intradosso ed estradosso della superficie. Tale differenza di pressione comporta, appunto, una differenza di livello con la superficie libera del liquido esterno al tubicino. La curvatura della superficie libera all’interno del tubicino (menisco) e` determinata dalla risultante tra forze molecolari di adesione (tra le molecole del liquido e quelle della parete) e forze molecolari di coesione (tra le molecole del liquido). Se prevalgono le prime si dice che il liquido bagna la parete (caso dell’acqua); nel caso contrario, si dice che il liquido non bagna la parete (come nel caso del mercurio). L’angolo di contatto, cioe` l’angolo che la tangente alla superficie del liquido forma con la parete in corrispondenza del punto di contatto, e` minore di 90◦ nel primo caso e maggiore di 90◦ nel secondo. Essendo il salto di pressione funzione del coseno dell’angolo di contatto, esso risulta positivo nel primo caso e negativo nel secondo. Pertanto, nel primo caso il menisco si innalza rispetto alla superficie libera esterna, nel secondo si abbassa.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Proprieta` dei fluidi

2.50 Inserendo un tubicino in un liquido si forma un angolo di contatto di 110◦ . Il livello del liquido nel tubicino si alza o si abbassa? ´ Perche?

Analisi Il fenomeno e` retto dalla 2.57 h=

4σs cos φ ρg D

in cui h e` la risalita capillare, σs la tensione superficiale, φ l’angolo di contatto, ρ la densita` del liquido e D il diametro del tubicino. Pertanto, essendo cos 110◦ < 0, il livello del liquido nel tubicino si abbassa.

2.51 La risalita capillare e` maggiore in un tubo di grande o di piccolo diametro?

Analisi Per la 2.57, la risalita capillare e` inversamente proporzionale al diametro del tubo e, quindi, e` maggiore in un tubo di piccolo diametro.

2.52 Un tubicino di vetro con diametro di 1 mm e` inserito in un volume di kerosene a 20 ◦ C. L’angolo di contatto del kerosene con una superficie di vetro e` 26◦ . Essendo la densita` del kerosene di 820 kg/m3 , determinare la risalita nel tubicino. Ipotesi Il kerosene e` a contatto con aria a pressione atmosferica. Proprieta` La tensione superficiale del kerosene a contatto con aria a 20 ◦ C e` σs = 0,028 N/m. Analisi Per la 2.57, si ha h=

4σs 4 × 0,028 cos φ = × cos 26 = ρg D 820 × 9,81 × 0,001 = 0,0125 m = 1,25 cm

2.53 Inserendo un tubicino del diametro di 1,9 mm in un liquido di densita` 960 kg/m3 si osserva che il liquido risale di 5 mm, formando un angolo di contatto di 15◦ . Determinare la tensione superficiale del liquido.

Ipotesi Il liquido e` a contatto con aria a pressione atmosferica. Analisi Per la 2.57, si ha σs =

ρg Dh 960 × 9,81 × 0,0019 × 0,005 = = 0,0232 N/m 4 cos φ 4 × cos 15

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1 mm

h kerosene

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28 Capitolo 2

2.54 Le sostanze nutritive disciolte nell’acqua giungono fino alle parti piu` alte delle piante attraverso piccoli canalicoli in parte a ` Calcolare a quale altezza risale per capillarita` causa della capillarita. la soluzione d’acqua in un canalicolo del diametro di 0,005 mm, supponendo che le caratteristiche della soluzione siano uguali a quelle dell’acqua a 20 ◦ C e che l’angolo di contatto sia di 15◦ .

Proprieta` La tensione superficiale dell’acqua a 20 ◦ C e` σs = 0,073 N/m. La densita` della soluzione puo` essere assunta pari a ρ = 1000 kg/m3 . Analisi Per la 2.57, si ha h=

4σs 4 × 0,073 cos φ = × cos 15 = 5,75 m ρg D 1000 × 9,81 × 0,000005

Discussione Nella realta` altri effetti, come la differenza di potenziale chimico, contribuiscono alla risalita della soluzione nell’albero.

2.55 La tensione superficiale di un liquido viene misurata usando una pellicola di liquido sospesa su un filo rigido a U con un lato mobile lungo 8 cm. Determinare la tensione superficiale del liquido in aria, se la forza necessaria per spostare il filo e` di 0,012 N.

Analisi Per la 2.54, si ha σs =

0,012 F = = 0,075 N/m 2b 2 × 0,08

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Proprieta` dei fluidi

2.56 Per effetto della tensione superficiale una pallina di metallo puo` galleggiare sull’acqua. Calcolare il diametro massimo che puo` avere una pallina di acciaio avente densita` di 7800 kg/m3 perche´ possa galleggiare in acqua a 20 ◦ C.

Ipotesi 1 La pallina viene poggiata lentamente sulla superficie dell’acqua, cos`ı che gli effetti di inerzia risultino trascurabili. 2 In corrispondenza del massimo diametro, l’angolo di contatto e` φ = 0◦ .

Proprieta` La tensione superficiale dell’acqua a 20 ◦ C e` σs = 0,073 N/m. Analisi La forza F esercitata dalla tensione superficiale sulla pallina di diametro D e il peso P della pallina di volume W possono essere espressi, rispettivamente, come

F = π Dσs e

P = mg = ρgW = ρgπ D 3 /6 In condizioni di equilibrio si ha F = P , per cui, eguagliando e ricavando il diametro, si ha

s D=

6σs = ρg

s

6 × 0,073 = 0,00239 m = 2,39 mm 7 800 × 9,81

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σs

P

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30 Capitolo 2

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Riepilogo 2.57 La pressione assoluta in una ruota d’automobile e` di 290 kPa all’inizio di un viaggio e di 310 kPa alla fine. Determinare l’aumento percentuale della temperatura assoluta dell’aria nella ruota, supponendo che il suo volume, pari a 0,022 m3 , rimanga costante.

Ipotesi L’aria puo` essere trattata come un gas perfetto. Analisi L’equazione di stato dei gas perfetti 2.4 pw = RT in cui p e` la pressione, w il volume specifico, R la costante del gas e T la temperatura assoluta, scritta per le due situazioni, eliminando la costante R , fornisce

pw2 pw1 = T1 T2 da cui, rimanendo costante il volume

T2 p2 310 = = = 1,069 T1 p1 290 Pertanto, durante il viaggio, la temperatura assoluta dell’aria contenuta nella ruota e` aumentata del 6,9%.

2.58 Un contenitore di 20 m3 contiene azoto alla temperatura di 25 ◦ C e alla pressione di 800 kPa. Facendo fuoriuscire una parte di azoto, la pressione nel contenitore scende a 600 kPa. Calcolare la quantita` di azoto fuoriuscito, essendo la temperatura scesa a 20 ◦ C. Ipotesi L’azoto puo` essere trattato come un gas perfetto. Proprieta` Per l’azoto, la costante dell’equazione di stato dei gas perfetti e` R = 0,297 kPa · m3 /(kg · K). Analisi Per l’equazione di stato dei gas perfetti 2.4, essendo il volume specifico w pari al rapporto tra il volume W del contenitore e la massa m del gas, la massa iniziale e la massa finale valgono, rispettivamente,

m1 =

p1 W RT1

e

m2 =

p2 W RT2

per cui la massa di azoto fuoriuscito 1m = m 1 − m 2 e`

  p1 W p2 W W p1 p2 1m = − = − = RT1 RT2 R T1 T2   20 800 600 = × − = 42,9 kg 0,297 25 + 273 20 + 273

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

2.59 Nelle tubazioni di aspirazione degli impianti di sollevamento, essendo di solito la pressione piuttosto bassa, esiste rischio di cavitazione, particolarmente quando la temperatura del fluido e` elevata. Determinare la temperatura massima che puo` avere l’acqua sollevata, per evitare la cavitazione, quando nella sezione subito a monte della pompa la pressione assoluta e` di 6500 Pa.

Proprieta` La temperatura di saturazione dell’acqua alla pressione di 6500 Pa e` Ts = 37,5 ◦ C. Analisi Per evitare la cavitazione, la temperatura deve rimanere ovunque al di sotto della temperatura di saturazione alla pressione assegnata. Pertanto, indicando con T la temperatura, deve ovunque essere

T < Ts = 37,5 ◦ C

2.60 Un contenitore chiuso e` parzialmente riempito di acqua a 60 ◦ C. Se, mantenendo costante la temperatura, tutta l’aria al di sopra del volume d’acqua viene fatta fuoriuscire, quanto vale la pressione assoluta nello spazio che rimane?

Proprieta` La pressione di saturazione dell’acqua a 60 ◦ C e` ps = 19,94 kPa. Analisi Quando tutta l’aria al di sopra del volume d’acqua viene fatta fuoriuscire, nello spazio rimane vapore d’acqua e nel contenitore si ha una miscela satura di acqua-vapore alla pressione assegnata. In una miscela bifase di una sostanza pura, la tensione di vapore e` pari alla pressione di saturazione in corrispondenza della temperatura assegnata. Per cui, nello spazio al di sopra del volume d’acqua si ha una pressione

p = ps = 19,94 kPa

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Proprieta` dei fluidi

31

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32 Capitolo 2 v(y) = 4vmax [y/h – (y/h)2]

h y

vmax

2.61 Si consideri il moto laminare tra due lastre piane parallele orizzontali indefinite di un fluido newtoniano di viscosita` µ. Il moto e` unidimensionale e il profilo di velocita` e` dato dalla v(y) = 4vmax [y/ h − (y/ h)2 ], nella quale y e` la distanza del generico punto dalla lastra inferiore, h la distanza tra le due lastre e vmax la velocita` massima, che si ha in corrispondenza della mezzeria. Esprimere la forza di trascinamento per unita` di area esercitata dal fluido su entrambe le lastre nella direzione del moto.

Analisi Per la legge di Newton 2.48, lo sforzo tangenziale sulla superficie della lastra inferiore puo` essere espresso come



dv τ0 = µ dy



 = 4µ vmax y=0

 = 4µ vmax

1 2y − 2 h h

d dy

 = y=0



y y2 − 2 h h

 = y=0

4µ vmax h

Per la simmetria, sulla superficie della lastra superiore lo sforzo tangenziale assume lo stesso valore. Essendo lo sforzo tangenziale, per definizione, il rapporto fra la forza che agisce tangenzialmente alla superficie e l’area della stessa, su entrambe le pareti si ha, dunque, una forza di trascinamento per unita` di superficie pari a

τ0 =

menisco h 8 e` praticamente uguale a 0,6 e per valori di h/a compresi tra 2 e 8 varia da 0,54 a 0,6 (vedi 13.74). In effetti, introducendo il coefficiente di contrazione C c , l’altezza della sezione contratta (prima sezione a valle della paratoia in cui la corrente e` lineare) e` h 2 = aC c per cui, eguagliando le due espressioni della portata, si ha

µ= r

Cc

1+

aCc h

6.35 In una pompa centrifuga, una portata d’acqua di 0,12 m3 /s entra in direzione assiale, con velocita` media di 7 m/s, ed esce in direzione radiale, come mostrato in figura. Calcolare la spinta sull’albero.

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24 applicata al volume di fluido compreso tra la sezione 1 di ingresso e la sezione 2 di uscita dalla girante, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la girante, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo 51 = 0 perche´ l’ingresso avviene a pressione atmosferica e I = 0 perche´ il moto e` permanente, la spinta S sull’albero, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G + 52 + M1 − M2 Il peso G e` verticale e i vettori 52 ed M2 giacciono su un piano verticale. Per cui, proiettando sull’orizzontale nel verso della corrente si ha

Sx = M1 = ρ QV = 1000 × 0,12 × 7 = 840 N

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pala girante 0,12 m3/S

albero

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34 Capitolo 6

6.36 Una corrente d’acqua, che percorre una tubazione ad asse orizzontale, del diametro di 200 mm, con una velocita` media di 4 m/s, imbocca una curva che devia orizzontalmente la corrente di 180◦ . Calcolare la componente orizzontale della spinta sulla

A1

V

1 y x

V

Sx

A2 2

curva, essendo la pressione e il coefficiente di ragguaglio dei flussi di quantita` di moto nella sezione di ingresso 1 e in quella di uscita 2 dalla curva, rispettivamente, p1 = 78,5 kPa, β1 = 1,01 e p2 = 72,3 kPa, β2 = 1,03.

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra la sezione di ingresso 1 della curva e quella di uscita 2, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la parete della curva, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente, la spinta S che la corrente esercita sulla curva, uguale e contraria a 50 , e`

S = −50 = G + 51 + 52 + M1 − M2 Il peso G e` verticale. I flussi di quantita` di moto M1 e M2 sono vettori diretti come le velocita` nelle rispettive sezioni, per cui sono ambedue orizzontali. Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, i flussi di quantita` di moto hanno, rispettivamente, modulo

M1 = β1 ρ AV 2 = 1,01 × 1000 ×

π × 0,2002 × 42 = 508 N 4

M2 = β2 ρ AV 2 = 1,03 × 1000 ×

π × 0,2002 × 42 = 518 N 4

La spinta 51 ha direzione orizzontale in quanto ortogonale alle sezione 1 e modulo pari al prodotto della pressione p1 nel baricentro della sezione per l’area A1 della sezione, per cui

51 = p1 A = 78 500 ×

π × 0,2002 = 2,47 kN 4

Per il teorema di Bernoulli applicato tra le sezioni 1 e 2, essendo ` per le z 2 = z 1 e V2 = V1 = V , dovrebbe essere p2 = p1 . In realta, perdite di carico lungo il percorso tra le due sezioni (vedi Capitolo 8), la pressione deve diminuire nel senso del moto e, pertanto, si ha p2 < p1 . La spinta 52 e` ortogonale alle sezione 2 e ha modulo

52 = p2 A2 = 72 300 ×

π × 0,2002 = 2,27 kN 4

Rispetto al sistema di riferimento di figura ed assumendo l’asse z

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Equazione della quantita` di moto

verticale verso l’alto, la spinta ha componenti

Sx = 51 + M1 + 52 + M2 = 2470 + 508 + 2270 + 518 = 5,77 kN Sy = 0 kN Sz = −G La spinta, pertanto, ha componente orizzontale

SO = Sx = 5,77 kN diretta come l’asse x .

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36 Capitolo 6

6.37 Una corrente d’acqua, che percorre una tubazione ad asse orizzontale, del diametro di 200 mm, con una velocita` media di 5 m/s, imbocca una curva a sezione decrescente che devia orizzontalmente la corrente di 180◦ prima di immettersi in una tubazione del diametro di 150 mm. Calcolare la componente orizzontale della

V1

1 y x

Sx

V2

2

spinta sulla curva, essendo la pressione e il coefficiente di ragguaglio dei flussi di quantita` di moto nella sezione di ingresso 1 e in quella di uscita 2 dalla curva, rispettivamente, p1 = 88,7 kPa, β1 = 1,02 e p2 = 81,4 kPa, β2 = 1,04.

Analisi Come nell’esercizio precedente, la spinta S che la corrente esercita sulla curva e`

S = −50 = G + 51 + 52 + M1 − M2 Il peso G e` verticale. I flussi di quantita` di moto M1 e M2 sono vettori diretti come le velocita` nelle rispettive sezioni, per cui sono ambedue orizzontali. Per l’equazione di continuita` si ha

Q = V1 A1 = V2 A2 da cui

V2 =

A1 V1 = A2



D1 D2

2

 V1 =

0,200 0,150

2 × 5 = 8,89 m/s

Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, i flussi di quantita` di moto hanno, rispettivamente, modulo

M1 = β1 ρ A1 V12 = 1,02 × 1000 × M2 = β2 ρ A2 V22 = 1,04 × 1000 ×

π × 0,2002 × 52 = 801 N 4

π × 0,1502 × 8,892 = 1450 N 4

La spinta 51 ha direzione orizzontale in quanto ortogonale alle sezione 1 e modulo pari al prodotto della pressione p1 nel baricentro della sezione per l’area A1 della sezione, per cui

51 = p1 A1 = 88 700 ×

π × 0,2002 = 2,79 kN 4

Per il teorema di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2, essendo z 1 = z 2 , e`

p2 = p1 + ρ

52 − 8,892 V12 − V22 = 88 700 + 1000 × = 61 700 Pa 2 2

` per effetto delle perdite di carico (vedi Capitolo 8), si ha In realta, un’ulteriore diminuzione di pressione e, pertanto, p2 = 51,4 kPa. La spinta 52 e` ortogonale alle sezione 2 e ha modulo

52 = p2 A2 = 51 400 ×

π × 0,1502 = 908 N 4

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Equazione della quantita` di moto

Rispetto al sistema di riferimento di figura ed assumendo l’asse z verticale verso l’alto, la spinta ha componenti

Sx = 51 + M1 + 52 + M2 = 2790 + 801 + 908 + 1450 = 5,95 kN Sy = 0 kN Sz = −G La spinta, pertanto, ha componente orizzontale

SO = Sx = 5,95 kN diretta come l’asse x .

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38 Capitolo 6

z V2

2

x

50 cm V1

6.38 Una corrente d’acqua, che percorre una tubazione ad asse orizzontale del diametro di 250 mm, alla pressione di 300 kPa, con una velocita` di 8 m/s, imbocca una curva a 90◦ che si collega a una tubazione ad asse verticale con diametro di 150 mm. Il baricentro della sezione di ingresso nella curva e` a una quota di 50 cm rispetto alla sezione di sbocco. Calcolare la spinta sulla curva, trascurando il peso dell’acqua ed essendo il coefficiente di ragguaglio dei flussi di quantita` di moto pari a 1,04.

1 M1

51 θ S

52 −M2

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra la sezione di ingresso 1 della curva e quella di uscita 2, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la parete della curva, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente, la spinta S che la corrente esercita sul gomito, uguale e contraria a 50 , e`

S = −50 = G + 51 + 52 + M1 − M2 Il peso G e` trascurabile. I flussi di quantita` di moto M1 e M2 sono vettori diretti come le velocita` nelle rispettive sezioni. Per l’equazione di continuita` si ha

Q = V1 A1 = V2 A2 da cui

A1 V2 = V1 = A2



D1 D2

2

 V1 =

0,250 0,150

2 × 8 = 22,2 m/s

Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, i flussi di quantita` di moto hanno, rispettivamente, modulo

M1 = β1 ρ A1 V12 = 1,04 × 1000 × M2 = β2 ρ A2 V22 = 1,04 × 1000 ×

π × 0,2502 × 82 = 3,27 kN 4

π × 0,1502 × 22,22 = 9,06 kN 4

La spinta 51 ha direzione orizzontale in quanto ortogonale alle sezione 1 e modulo pari al prodotto della pressione p1 nel baricentro della sezione per l’area A1 della sezione, per cui

51 = p1 A1 = 300 000 ×

π × 0,2502 = 14,7 kN 4

Per il teorema di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2, essendo

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Equazione della quantita` di moto

z 2 − z 1 = 0,5 m, si ha p2 = p1 + ρg (z 1 − z 2 ) + ρ

V12 − V22 = 2

= 300 000 + 1000 × 9,81 × (−0,5) + 1000 ×

82 − 22,22 = 2

= 80,7 kPa per cui la spinta 52 , che e` ortogonale alle sezione 2, ha modulo

52 = p2 A2 = 80 700 ×

π × 0,1502 = 1,43 kN 4

Rispetto al sistema di riferimento di figura, la spinta ha componenti

Sx = 51 + M1 = 14,7 + 3,27 = 18,0 kN Sz = −52 − M2 = −1,43 − 9,06 = −10,5 kN modulo

S=

q

Sx2 + Sz2 =

p 18,02 + 10,52 = 20,8 kN

ed e` inclinata, rispetto alla direzione x positiva, di un angolo

θ = arctan

Sz −10,5 = −30,3◦ = arctan Sx 18,0

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40 Capitolo 6

V1

1

S

θ

orizzontale della spinta sulla curva, essendo la pressione e il coefficiente di ragguaglio dei flussi di quantita` di moto nella sezione di ingresso 1 e in quella di uscita 2 dalla curva, rispettivamente, p1 = 66,4 kPa, β1 = 1,01 e p2 = 58,3 kPa, β2 = 1,03. Per quale valore di θ si ha la massima spinta?

y x

6.39 Una corrente d’acqua, che percorre una tubazione ad asse orizzontale, del diametro di 300 mm, con una velocita` media di 6 m/s, imbocca una curva a sezione decrescente che devia orizzontalmente la corrente di un angolo θ = 135◦ prima di immettersi in una tubazione del diametro di 200 mm. Calcolare la componente

2 V2

S φ 51

−M2 52

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra la sezione di ingresso 1 della curva e quella di uscita 2, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la parete della curva, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

M1 θ

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente, la spinta S che la corrente esercita sulla curva, uguale e contraria a 50 , e`

S = −50 = G + 51 + 52 + M1 − M2 Il peso G e` verticale. I flussi di quantita` di moto M1 e M2 sono vettori diretti come le velocita` nelle rispettive sezioni, per cui sono ambedue orizzontali. Per l’equazione di continuita` si ha

Q = V1 A1 = V2 A2 da cui

A1 V2 = V1 = A2



D1 D2

2

 V1 =

0,300 0,200

2 × 6 = 13,5 m/s

Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, i flussi di quantita` di moto hanno, rispettivamente, modulo

M1 = β1 ρ A1 V12 = 1,01 × 1000 × M2 = β2 ρ A2 V22 = 1,03 × 1000 ×

π × 0,3002 × 62 = 1,78 kN 4

π × 0,2002 × 13,52 = 5,90 kN 4

La spinta 51 ha direzione orizzontale in quanto ortogonale alle sezione 1 e modulo pari al prodotto della pressione p1 nel baricentro della sezione per l’area A1 della sezione, per cui

51 = p1 A1 = 96 400 ×

π × 0,3002 = 6,81 kN 4

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Equazione della quantita` di moto

Per il teorema di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2, essendo z 1 = z 2 , si ha

p2 = p1 + ρ

62 − 13,52 V12 − V22 = 96 400 + 1000 × = 23 300 Pa 2 2

` per effetto delle perdite di carico (vedi Capitolo 8), si ha In realta, un’ulteriore diminuzione di pressione e, pertanto, p2 = 18,3 kPa. La spinta 52 e` ortogonale alle sezione 2 e ha modulo

52 = p2 A2 = 18 300 ×

π × 0,2002 = 575 N 4

Rispetto al sistema di riferimento di figura ed assumendo l’asse z verticale verso l’alto, la spinta ha componenti

Sx = 51 + M1 − (52 + M2 ) cos θ = = 6810 + 1780 − (575 + 5900) × cos 135 = 13,2 kN Sy = (52 + M2 ) sen θ = (575 + 5900) × sen 135 = 4,58 kN Sz = −G La spinta, pertanto, ha componente orizzontale

SO =

q

Sx2 + Sy2 =

p 13,22 + 4,582 = 13,9 kN

inclinata, rispetto alla direzione x positiva, di un angolo

φ = arctan

Sy 4,58 = arctan = 19,2◦ Sx 13,2

Per θ > 90◦ si ha cos θ < 0 per cui nell’espressione di Sx i valori di 5+ M relativi alla sezione 2 si sommano a quelli relativi alla sezione 1. Come si puo` facilmente desumere anche dal poligono delle forze riportato in figura, al crescere di θ aumenta Sx e diminuisce S y . Il valore massimo della spinta si ha quando il valore assoluto di cos θ e` massimo, cioe` per θ = 180◦ .

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42 Capitolo 6 2m A 1

2 4 m/s

120 mm 3m

6.40 Una tubazione del diametro di 120 mm e` costituita da un tratto verticale lungo 3 m, seguito da un tratto orizzontale lungo 2 m e da un gomito a 90◦ da cui defluisce verticalmente verso il basso, come mostrato in figura, una portata d’acqua alla velocita` di 4 m/s. Essendo la massa della tubazione, piena d’acqua, di 15 kg per metro di lunghezza, calcolare il momento che agisce sul collegamento tra il tratto verticale e quello orizzontale (punto A). Cosa cambierebbe se lo sbocco fosse rivolto verso l’alto anziche´ verso il basso?

Analisi Sul tratto di tubazione a valle del punto A agisce una forza F, risultante del peso proprio P della tubazione e della spinta dinamica S della corrente che vi defluisce. L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24 applicata al volume di fluido compreso tra la sezione orizzontale 1 all’estremita` iniziale del primo gomito e la sezione 2 di sbocco, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la tubazione, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e 52 = 0 perche´ lo sbocco e` in atmosfera, la spinta S, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G + 51 + M1 − M2 ` pertanto, La forza che agisce sulla tubazione a valle della sezione 1 e,

F = P + S = P + G + 51 + M1 − M2 Il peso P della tubazione e il peso G del liquido sono applicati nel baricentro del tratto di tubazione e diretti verso il basso. La ´ a meno delle piccole perdite di carico tra spinta 51 ∼ = 0 perche, le due sezioni, essendo esse alla stessa quota e avendo la stessa ` per il teorema di Bernoulli e` p1 = p2 = 0. Essa, comunque, velocita, non darebbe in ogni caso alcun contributo al momento rispetto ad A perche´ essendo applicata nel baricentro della sezione avrebbe braccio nullo. Essendo i flussi di quantita` di moto diretti come ` quest’ultima considerazione vale anche per M1 . i vettori velocita, Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua e D = 0,120 m il diametro della tubazione, il flusso di quantita` di moto uscente ha modulo

M2 = ρ QV2 = ρ

π D2 2 π × 0,1202 V2 = 1000 × × 42 = 181 N 4 4

Il peso complessivo, essendo L = 2 m la lunghezza del tratto di tubazione ed m = 15 kg la massa complessiva per metro di lunghezza, vale

P + G = mgL = 15 × 9,81 × 2 = 294 N

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Equazione della quantita` di moto

Pertanto, essendo b1 = 1 m il braccio del peso e b2 = 2 m il braccio di −M2 , il momento di F rispetto al punto A, assumendo come positivo il verso orario, vale

M = (P + G)b1 − M2 b2 = 294 × 1 − 181 × 2 = −68 N · m Se lo sbocco fosse rivolto verso l’alto anziche´ verso il basso, cambierebbe soltanto il verso di −M2 per cui il valore del momento rispetto al punto A sarebbe

Ma = (P + G)b1 + M2 b2 = 294 × 1 + 181 × 2 = 656 N · m

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44 Capitolo 6

6.41 In un irrigatore da giardino una portata di 30 l/s entra dal basso attraverso l’asse di rotazione e fuoriesce da due ugelli, identici, in direzione tangenziale, facendo ruotare l’irrigatore nel piano orizzontale alla velocita` di 250 gpm. Ciascun ugello, del diametro di 25 mm, dista di 60 cm dall’asse di rotazione. Calcolare la potenza elettrica che si potrebbe produrre collegando un generatore alla testata rotante.

generatore elettrico Vr Va R = 60 cm Va Vu ω

Vu Va

ω Va

Q = 30 l/s Vr

Analisi Rispetto ad un sistema di riferimento assoluto il moto e` periodico in quanto le sue caratteristiche si ripetono identicamente ad ogni giro in ogni punto. Assumendo come volume di controllo, fisso nello spazio, un cilindro coassiale con l’irrigatore, di raggio tale da intersecare i getti e base attraversata dalla corrente di alimentazione, per l’equazione della quantita` di moto 6.23, la risultante F delle forze agenti su tale volume e` uguale alla differenza tra il flusso di quantita` di moto uscente M2 e quello entrante M1

F = M2 − M1 Poiche´ il fluido entra verticalmente dal basso attraverso l’asse di rotazione, la quantita` di moto entrante non da` luogo ad alcun momento rispetto all’asse. Invece, i getti uscenti orizzontalmente dagli ugelli, attraversando tangenzialmente la superficie di controllo, danno luogo ad una coppia di braccio 2R e modulo M2 . Pertanto, il volume di controllo e` sottoposto ad un momento con verso orario

M = 2R M2 Il calcolo di M2 va effettuato nel sistema di riferimento fisso del volume di controllo, come prodotto della portata in massa ρ Q/2 uscente dal volume di controllo attraverso ciascuno dei due ugelli per la velocita` di efflusso Va assoluta. Infatti, per la conservazione della massa, essendo i due ugelli identici, la portata effluente da

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Equazione della quantita` di moto

45

ciascuno di essi e` pari alla meta` della portata Q che alimenta l’irrigatore. Essendo As l’area della sezione di sbocco dell’ugello, la velocita` di efflusso in un sistema di riferimento rotante in senso antiorario solidalmente con l’irrigatore e`

Vr =

Q 0,030 = = 30,6 m/s 2As 2 × π × 0,0252 /4

La velocita` tangenziale dell’ugello, essendo n = 250 il numero di giri al minuto dell’irrigatore e ω = 2πn/60 la sua velocita` angolare, e`

Vu = ω R =

2 × π × 250 2πn R= × 0,60 = 15,7 m/s 60 60

La velocita` di efflusso Va nel sistema di riferimento fisso e` diretta in senso opposto alla velocita` tangenziale dell’ugello, per cui la velocita` relativa e`

Vr = Va + Vu Conseguentemente, la velocita` assoluta vale

Va = Vr − Vu = 30,6 − 15,7 = 14,9 m/s Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua e β = 1 il coefficiente di ragguaglio del flusso di quantita` di moto, il momento, avente verso orario, sul volume di controllo e`

M = 2R M2 = 2Rβρ

Q Va = Rρ QVa = 2

= 0,60 × 1000 × 0,030 × 14,9 = 268 N · m Il momento cos`ı calcolato e` esercitato dall’albero sul volume di controllo e quindi sull’irrigatore. Conseguentemente, l’irrigatore esercita sull’albero un momento antiorario che, collegando un generatore alla testata rotante, potrebbe produrre, per la 5.85, una potenza elettrica

PF = ωM =

2π n 2 × π × 250 M= × 268 = 7,01 kW 60 60

In alternativa all’approccio precedente, si scelga un sistema di riferimento solidale con l’irrigatore, in rotazione con velocita` angolare ω, avente origine sull’asse di rotazione dell’irrigatore, asse x orizzontale diretto radialmente con verso positivo verso l’esterno, asse y tangenziale e asse z verticale, positivo verso l’alto. Assumendo come volume di controllo il volume di fluido all’interno dell’irrigatore, esso risulta delimitato da una sezione orizzontale di alimentazione, dalle due sezioni di sbocco e dalla parete dell’irrigatore. Applicando l’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24 a tale volume di fluido, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la parete, la sezione di alimentazione e le sezioni di sbocco esercitano sul liquido ed M1 e M2 i flussi di quantita` di moto entranti e uscenti, si

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y

R = 60 cm

Vr

x ω Vr

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46 Capitolo 6 ha

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e 52 = 0 perche´ lo sbocco e` in atmosfera, la spinta S sull’irrigatore, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G + 51 + M1 − M2 Il vettore G, risultante delle forze di massa, essendo a R l’accelerazione nel sistema di riferimento rotante solidalmente con l’irrigatore, e`

Z G=

ρa R d W W

Essendo il sistema prescelto un sistema non inerziale, sul fluido agisce un sistema di forze apparenti costituito dalla forza di trascinamento e dalla forza di Coriolis. Infatti, l’accelerazione a I nel sistema inerziale e` la somma dell’accelerazione a R nel sistema non inerziale, dell’accelerazione di trascinamento aT e dell’accelerazione di Coriolis aC

a I = a R + aT + aC L’accelerazione di trascinamento, cioe` l’accelerazione di un punto fermo rispetto al sistema mobile, e` la somma dell’accelerazione di traslazione del sistema mobile, dell’accelerazione tangenziale e dell’accelerazione centripeta

aT = a0 +

dω × r + ω × (ω × r) dt

per cui, essendo v la velocita` in un punto a distanza r dal centro di rotazione, si ha

a I = a R + a0 +

dω × r + ω × (ω × r) + 2ω × v dt

In un sistema rotante a velocita` angolare costante ω, se l’origine e l’asse z del riferimento mobile coincidono con quelli del riferimento fisso, si annullano i termini dell’accelerazione di traslazione del sistema mobile e dell’accelerazione tangenziale, per cui l’accelerazione a I nel sistema inerziale e`

a I = a R + ω × (ω × r) + 2ω × v Pertanto, nel sistema rotante con l’irrigatore, il risultante delle forze di massa, essendo a I = g, e`

Z

  ρ g − ω × (ω × r) − 2ω × v d W

G= W

I vettori 51 e M1 sono verticali e hanno retta d’azione coincidente con l’asse di rotazione. Anche il vettore accelerazione di gravita` g e` verticale, mentre l’accelerazione centrifuga e` diretta radialmente ed

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazione della quantita` di moto

ha, quindi, momento nullo rispetto all’asse di rotazione. Pertanto, le uniche forze che generano un momento sull’irrigatore sono la componente di G dovuta all’accelerazione di Coriolis e il vettore −M2 , che e` somma di due vettori uguali e contrari ai flussi di quantita` di moto uscenti attraverso le due sezioni di sbocco. La componente del vettore G dovuta all’accelerazione di Coriolis

Z GC = −

ρ (2ω × v) d W W

da` luogo ad un momento

Z

  r × ρ (2ω × v) d W = −2ρ

MC = − W

Z

  r × (ω × v) d W W

Essendo ω = ωk e v = vx i, si ha ω × v = ωvx j e

r × (ω × v) = r × (ωvx j) = r i × (ωvx j) = ωr vx k per cui

Z MC = −2ρ

ωr vx k d W W

Essendo A l’area della sezione trasversale del braccio, la portata Q b che attraversa ciascun braccio, assumendo per semplicita` che la velocita` sia distribuita uniformemente lungo la sezione, e`

Q Qb = = 2

Z vx d A = vx A A

Esprimendo l’elementino di volume infinitesimo come d W = Adr , ciascun braccio da` luogo ad un momento orario (in quanto la sua direzione e` quella di −k) di modulo

Z MC = 2ρ

R

Z ωr vx A dr = 2ρωvx A

0

= ρω

R

r dr = 2ρω 0

Q R2 = 2 2

Q 2 R 2

Il vettore −M2 e` una coppia di braccio 2R e modulo M2 che da` luogo ad un momento antiorario. Il calcolo di M2 va effettuato nel sistema di riferimento solidale con l’irrigatore, come prodotto della portata in massa ρ Q/2 uscente attraverso ciascuno dei due ugelli per la velocita` di efflusso Vr . Essendo Vu la velocita` tangenziale dell’ugello e Va la velocita` di efflusso rispetto ad un sistema di riferimento assoluto, il momento complessivo M sull’irrigatore ha, quindi, verso antiorario e vale

M = 2Rρ

Q Q 2 Vr − 2ρω R = 2 2

= Rρ Q(Vr − ω R) = Rρ Q(Vr − Vu ) = Rρ QVa espressione coincidente con quella ottenuta sopra.

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48 Capitolo 6

6.42 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare il momento che agisce sul sostegno nel caso in cui l’irrigatore, per qualche motivo, si blocchi.

R = 60 cm

V

Analisi Assumendo come volume di controllo il volume di fluido

M V

all’interno dell’irrigatore, delimitato da una sezione orizzontale di alimentazione, dalle due sezioni di sbocco e dalla parete dell’irrigatore, l’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la parete, la sezione di alimentazione e le sezioni di sbocco esercitano sul liquido ed M1 e M2 i flussi di quantita` di moto entranti e uscenti, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e 52 = 0 perche´ lo sbocco e` in atmosfera, la spinta S sull’irrigatore, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G + 51 + M1 − M2 I vettori G, 51 e M1 sono verticali e hanno retta d’azione coincidente con l’asse di rotazione. Pertanto, le uniche forze che generano un momento sull’irrigatore sono i vettori −M2 che sono uguali e contrari ai flussi di quantita` di moto uscenti attraverso le due sezioni di sbocco. Questi due vettori hanno verso opposto a quello delle rispettive velocita` di efflusso e modulo uguale. Sull’irrigatore agisce, quindi, una coppia di braccio 2R e modulo M2 , che tende a farlo ruotare in direzione contraria a quella della velocita` di efflusso, cioe` un momento antiorario

M = 2R M2 essendo M2 il modulo del flusso di quantita` di moto uscente dal volume di controllo attraverso ciascuno dei due ugelli. Per la conservazione della massa, essendo i due ugelli identici, la portata effluente da ciascuno di essi e` pari alla meta` della portata Q che alimenta l’irrigatore. Pertanto, essendo A l’area della sezione di sbocco dell’ugello, la velocita` di efflusso e`

V =

Q 0,030 = = 30,6 m/s 2A 2 × π × 0,0252 /4

Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua e β = 1 il coefficiente di ragguaglio del flusso di quantita` di moto, il momento che agisce sull’irrigatore con verso antiorario e`

M = 2R M2 = 2Rβρ

Q V = Rρ QV = 2

= 0,60 × 1000 × 0,030 × 30,6 = 551 N · m

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazione della quantita` di moto

6.43 In un irrigatore da giardino una portata di 30 l/s entra dal basso attraverso l’asse di rotazione e fuoriesce da tre ugelli, identici, in direzione tangenziale, facendo ruotare l’irrigatore nel piano orizzontale. Ciascun ugello, del diametro di 25 mm, dista di 40 cm dall’asse di rotazione. In tali condizioni, sull’irrigatore agisce un momento di 50 N · m, dovuto all’attrito. Calcolare la velocita` di rotazione dell’irrigatore.

Vr Va Va Va Va ω

Vu

MR = 50 N·m

R = 40 cm

Va Q = 30 l/s

Va

Analisi Rispetto ad un sistema di riferimento assoluto il moto e` periodico in quanto le sue caratteristiche si ripetono identicamente ad ogni giro in ogni punto. Assumendo come volume di controllo, fisso nello spazio, un cilindro coassiale con l’irrigatore, di raggio tale da intersecare i getti e base attraversata dalla corrente di alimentazione, per l’equazione della quantita` di moto 6.23, la risultante F delle forze agenti su tale volume e` uguale alla differenza tra il flusso di quantita` di moto uscente M2 e quello entrante M1

F = M2 − M1 Poiche´ il fluido entra verticalmente dal basso attraverso l’asse di rotazione, la quantita` di moto entrante non da` luogo ad alcun momento rispetto all’asse. Invece, i getti uscenti orizzontalmente dagli ugelli, attraversando tangenzialmente la superficie di controllo, danno luogo ad un momento di verso orario

M = 3R M2 essendo M2 il modulo del flusso di quantita` di moto uscente dal volume di controllo attraverso ciascuno dei tre ugelli. Il calcolo di M2 va effettuato nel sistema di riferimento fisso del volume di controllo, come prodotto della portata in massa ρ Q/3 uscente dal volume di controllo attraverso ciascuno dei tre ugelli per la velocita` di efflusso Va assoluta. Infatti, per la conservazione della massa, essendo i tre ugelli identici, la portata effluente da ciascuno di essi e` pari a un terzo della portata Q che alimenta l’irrigatore. Il momento cos`ı calcolato e` esercitato dall’albero sul volume di controllo e

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50 Capitolo 6

quindi sull’irrigatore. Esso coincide con il momento resistente M R . Pertanto, essendo il coefficiente di ragguaglio del flusso di quantita` di moto β = 1, si ha

M = 3R M2 = 3Rβρ

Q Va = Rρ QVa = M R 3

da cui

Va =

MR Rρ Q

Essendo A l’area della sezione di sbocco dell’ugello, la velocita` di efflusso in un sistema di riferimento rotante in senso antiorario solidalmente con l’irrigatore e`

Vr =

Q 3A

mentre, se ω e` la velocita` angolare assunta dall’irrigatore, la velocita` tangenziale dell’ugello e`

Vu = ω R La velocita` di efflusso Va nel sistema di riferimento fisso e` diretta in senso opposto alla velocita` tangenziale dell’ugello, per cui la velocita` relativa e`

Vr = Va + Vu e, dunque,

Va = Vr − Vu Introducendo le espressioni precedenti, si ha

MR Q = − ωR Rρ Q 3A da cui, essendo la densita` dell’acqua ρ = 1000 kg/m3 ,

 Q MR − = 3A Rρ Q   0,030 50 1 = × − = 0,40 3 × π × 0,0252 /4 0,40 × 1000 × 0,030

1 ω= R



= 40,5 rad/s corrispondente, in giri al minuto, a

n=ω

60 60 = 40,5 × = 387 gpm 2π 2×π

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Equazione della quantita` di moto

6.44 Una corrente d’acqua percorre, con una velocita` media di 4 m/s, una tubazione ad asse orizzontale, del diametro di 100 mm, che termina con un ugello la cui sezione terminale ha un diametro di 50 mm. La corrente sbocca nell’atmosfera. Calcolare la componente orizzontale della spinta sull’ugello, assumendo per il coefficiente di ragguaglio del flusso di quantita` di moto il valore β = 1,02.

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra la sezione di ingresso 1 dell’ugello e la sezione contratta 2, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la parete dell’ugello, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e 52 = 0 perche´ nella sezione contratta la pressione e` ovunque pari a quella al contorno e, pertanto, nulla, la spinta S che la corrente esercita sull’ugello, uguale e contraria a 50 , e`

S = −50 = G + 51 + M1 − M2 Il peso G e` verticale. I flussi di quantita` di moto M1 e M2 sono vettori diretti come le velocita` nelle rispettive sezioni, per cui sono ambedue orizzontali. Per l’equazione di continuita` si ha Q = V1 A1 = V2 A2 e introducendo un coefficiente di contrazione Cc = A2 /Au come rapporto tra l’area A2 della sezione contratta e l’area Au della sezione terminale dell’ugello, si ha

V2 =

A1 D12 A1 V1 V1 = V1 = A2 C c Au Cc Du2

Ponendo C c = 0,85 risulta

V2 =

0,1002 × 4 = 18,8 m/s 0,85 × 0,0502

Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, i flussi di quantita` di moto hanno, rispettivamente, modulo

M1 = β1 ρ A1 V12 = 1,02 × 1000 ×

π × 0,1002 × 42 = 128 N 4

M2 = β2 ρ A2 V22 = 1,02 × 1000 × 0,85 ×

π × 0,0502 × 18,82 = 4

= 603 N La spinta 51 ha direzione orizzontale in quanto ortogonale alle sezione 1 e modulo pari al prodotto della pressione p1 nel baricentro della sezione per l’area A1 della sezione. Per il teorema di Bernoulli

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V2

V1 2 1

51

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52 Capitolo 6

tra le sezioni 1 e 2, essendo z 1 = z 2 , e`

p1 = p2 + ρ

V22 − V12 18,82 − 42 = 0 + 1000 × = 169 kPa 2 2

per cui

51 = p1 A1 = 169 000 ×

π × 0,1002 = 1,33 kN 4

Pertanto, la componente orizzontale della spinta sull’ugello e` diretta come il getto e vale

SO = 51 + M1 − M2 = 1330 + 128 − 603 = 855 N

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Equazione della quantita` di moto

` colpendo le 6.45 In una turbina Pelton, un getto ad alta velocita, pale della turbina, la mette in rotazione. Come indicato in figura, il getto e` deviato dalla pala di un angolo β . Dimostrare che la potenza P di una ruota Pelton di raggio R che ruota con velocita` angolare costante ω e` data dalla relazione

P = ρω R Q(V − ω R)(1 − cos β) essendo ρ la densita` dell’acqua, Q la portata e V la velocita` del getto. Calcolare, altres`ı, la potenza di una ruota Pelton di raggio R = 2 m, che ruota a 150 gpm, per Q = 1 m3 /s, V = 50 m/s e β = 160◦ .

R

−M2

! albero

M1

V € !R

ugello V

!R

Analisi Come nell’esercizio 6.27, la componente nella direzione del getto della spinta su una pala ferma ha modulo

S0 = M1 − 2M2 cos β = = ρ QV − 2ρ

Q V cos β = ρ QV (1 − cos β) = 2

= ρ AV 2 (1 − cos β) Se la turbina ruota con velocita` angolare ω, la pala ha una velocita` tangenziale ω R . In tal caso, come nell’esercizio 6.12, considerando un volume di controllo in movimento con la pala, nell’espressione della spinta al posto della velocita` V va introdotta la velocita` relativa V − ω R . Per cui, la spinta sulla pala e`

S1 = ρ A(V − ω R)2 (1 − cos β) Tale spinta e` minore di quella che la pala riceve quando e` ferma sia perche´ diminuisce la velocita` di impatto del getto sulla pala, sia perche´ diminuisce la portata. Infatti, la portata entrante nel volume di controllo in movimento e` pari al prodotto dell’area A del getto per la velocita` relativa V − ω R , mentre la portata del getto e` AV . La differenza fra le due portate, pari a Aω R , non produce, quindi, ` alcuna spinta sulla pala ma serve solo ad allungare il getto. Se, pero, come nel caso della turbina Pelton, alla pala che si e` appena allontanata ne subentra subito un’altra, viene di fatto utilizzata l’intera portata, per cui la spinta che l’insieme delle pale riceve dal getto

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54 Capitolo 6 vale

S = ρ AV (V − ω R)(1 − cos β) = ρ Q(V − ω R)(1 − cos β) Moltiplicando la spinta per il braccio R rispetto all’asse della turbina si ha il momento

M = ρ R Q(V − ω R)(1 − cos β) e, per la 5.85, la potenza

P = ωM = ρω R Q(V − ω R)(1 − cos β) Sostituendo i valori assegnati, essendo

ω=

2π 2×π n= × 150 = 15,7 rad/s 60 60

risulta

P = ρω R Q(V − ω R)(1 − cos β) = = 1000 × 15,7 × 2 × 1 × (50 − 15,7 × 2) × (1 − cos 160) = = 1,13 MW

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazione della quantita` di moto

Riepilogo 6.46 Nell’impianto di figura defluisce acqua con una portata di 30 l/s in ingresso. Attraverso il tronco di tubazione 3 defluisce in atmosfera la portata di 8 l/s. Essendo le pressioni relative pari a 100 kPa e a 50 kPa, in corrispondenza, rispettivamente, della flangia 2 e della flangia 1, calcolare le componenti secondo x e z delle forze

z

che si scaricano sulle flange.

22 l/s

100 mm

30 l/s

50 mm

Analisi La forza F che si scarica sulle flange e` la risultante del peso proprio P del tronco di tubazione compreso tra le due flange e della spinta dinamica S che il liquido esercita sulle pareti della tubazione stessa. Pertanto, si ha

F=P+S L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra le sezioni 1 e 2, compreso il tratto verticale fino alla sezione 3 di sbocco nell’atmosfera, essendo 50 , 51 , 52 e 53 le forze che, rispettivamente, la parete, la sezione 1, la sezione 2 e la sezione 3 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + 53 + I + M1 − M2 − M3 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e 53 = 0 perche´ lo sbocco e` in atmosfera, la spinta S che la corrente esercita sulla curva, uguale e contraria a 50 , e`

S = −50 = G + 51 + 52 + M1 − M2 − M3 Il peso G e` verticale. I flussi di quantita` di moto sono vettori diretti come le velocita` nelle rispettive sezioni. Essendo la densita` dell’acqua ρ = 1000 kg/m3 e A1 , A2 e A3 le aree delle rispettive sezioni, assumendo β = 1,03, essi hanno, rispettivamente, modulo

M1 = βρ

Q 21 = 1,03 × 1000 × A1

0,0302 = 472 N 0,0502 π× 4

M2 = βρ

Q 22 = 1,03 × 1000 × A2

0,0222 = 63,5 N 0,1002 π× 4

M3 = βρ

Q 23 = 1,03 × 1000 × A3

0,0082 = 93,3 N 0,0302 π× 4

Le spinte 51 e 52 sono ortogonali alle rispettive sezioni ed hanno modulo pari al prodotto della pressione pG nel baricentro per l’area

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8 l/s x

3 2

1

30 mm

55

56 Capitolo 6

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della sezione, per cui

51 = pG1 A1 = 50 000 ×

π × 0,0502 = 98,1 N 4

52 = pG2 A2 = 100 000 ×

π × 0,1002 = 785 N 4

Ipotizzando che il tratto di tubazione compreso fra le due flange abbia una lunghezza L = 10D1 = 10 × 0,100 = 1 m e diametro costante D = 0,075 m pari al diametro medio, il termine G risulta

G = ρg

π × 0,0752 π D2 L = 1000 × 9,81 × × 1 = 43,3 N 4 4

Analogamente, ipotizzando che il tubo abbia uno spessore s = 4 mm e sia costituito da materiale di densita` ρm = 8000 kg/m3 , il peso P del tratto compreso tra le due flange risulta

P = ρm gπ DLs = 8000 × 9,81 × π × 0,075 × 1 × 0,004 = 74,0 N La forza che si scarica sulle flange ha componenti

Fx = Sx = 51 + M1 + 52 + M2 = 98,1 + 472 + 785 + 63,5 = = 1420 N Fz = −P + Sz = −P − G − M3 = −74,0 − 43,3 − 93,3 = −211 N modulo

F=

q

Fx2 + Fz2 =

p 14202 + 2112 = 1436 N

ed e` inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo

θ = arctan

Fz −211 = arctan = −8,45◦ Fx 1420

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazione della quantita` di moto

6.47 Un getto orizzontale, del diametro di 50 mm e velocita` di 30 m/s, colpisce una lastra piana verticale ferma. Che forza bisogna applicare alla lastra per mantenerla in equilibrio?

Analisi Per l’equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale, alla lastra bisogna applicare una forza F uguale e contraria alla spinta S che su di essa esercita il getto. L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra una sezione trasversale del getto 1 e la sezione 2 di uscita dal bordo della lastra, tenendo presente che il termine I = 0 perche´ il moto e` permanente e che le pressioni relative sono ovunque nulle tranne che sulla superficie della lastra, diviene

G + F + M1 − M2 = 0 Pertanto, si ha

F = −G − M1 + M2 Il vettore G e` verticale e il flusso di quantita` di moto uscente M2 giace su un piano verticale, per cui, proiettando sull’orizzontale, essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, si ha

F = M1 = ρ AV 2 = 1000 ×

π × 0,0502 × 302 = 1,77 kN 4

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z 2 x V1 1

F

2 V2

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58 Capitolo 6

6.48 Un getto orizzontale, del diametro di 50 mm e velocita` di 30 m/s, colpisce il vertice di un cono ad asse orizzontale che devia le traiettorie di 45◦ rispetto alla direzione originale. Che forza bisogna

2

45° 30 m/s

F

45° 1

y

x

cono

2

applicare al cono per mantenerlo in equilibrio?

Analisi Per l’equilibrio alla traslazione, la forza F da applicare al cono e` uguale e contraria alla spinta S che il getto esercita sul cono. L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra una sezione 1 del getto a monte del cono e la sezione 2 al bordo di uscita dal cono, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, il cono, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e 51 = 52 = 0 perche´ nelle due sezioni la pressione relativa e` nulla, la spinta S che la corrente esercita sul cono, uguale e contraria a 50 , e`

S = −50 = G + M1 − M2 Il flusso di quantita` di moto entrante M1 e` diretto come l’asse x ed ha modulo

M1 = ρ QV La sezione 2 al bordo di uscita dal cono e` assimilabile ad una corona circolare di raggio interno pari a quello della base del cono e spessore pari allo spessore che assume la lamina di liquido dopo avere lambito la superficie laterale del cono. Per il teorema di Bernoulli, essendo la pressione ovunque pari alla pressione atmosferica e le differenze di quota trascurabili, la velocita` ha ovunque lo stesso valore V = 30 m/s. Nella sezione di uscita le traiettorie non sono parallele tra loro in quanto tangenti in ogni punto del bordo di uscita alla superficie laterale del cono e, quindi, inclinate tutte di 45◦ rispetto all’asse x . Pertanto, per la 6.11, il flusso di quantita` di moto uscente e`

Z M2 =

ρv (v · n) d A = ρV

2

Z

A2

ndA A2

essendo n il versore normale a d A, variabile con d A ma sempre inclinato di 45◦ rispetto all’asse del cono. Essendo nulla, per simmetria, la componente in direzione y , il vettore M2 e` orizzontale ed ha modulo 2

Z

n d A = ρV 2 A2 cos 45 = ρV Q cos 45

M2 = ρV cos 45 A2

Essendo il peso G trascurabile, anche la spinta e` orizzontale, e` diretta come l’asse x ed ha modulo

S = M1 − M2 = ρ QV − ρ QV cos 45 = = ρ QV (1 − cos 45) = ρ AV 2 (1 − cos 45) = = 1000 × π × 0,0502 /4 × 302 × (1 − cos 45) = 517 N

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Equazione della quantita` di moto

6.49 Un treppiedi sorregge un ugello, con sezione terminale del diametro di 30 mm, da cui defluisce un getto orizzontale d’acqua. Calcolare la velocita` di sbocco e la portata per il valore massimo della spinta, pari a 600 N, che il treppiedi e` in grado di sopportare.

Ipotesi L’ugello e` sagomato come nell’esercizio 6.45, in modo che nella sezione di sbocco le traiettorie siano rettilinee e parallele.

Analisi Come nell’esercizio 6.30, se la corrente in ingresso nel volume di controllo ha direzione verticale, l’unica forza orizzontale che agisce sul volume e` il flusso di quantita` di moto uscente, in quanto allo sbocco la pressione relativa e` nulla. Pertanto, la forza orizzontale S che si scarica sul treppiedi e` uguale e contraria al flusso di quantita` di moto M2 nella sezione di sbocco. Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua e β = 1 per l’uniformita` della ` la spinta ha modulo distribuzione di velocita,

S = M2 = ρV 2 A Imponendo che la spinta sia pari al valore massimo che il treppiedi e` in grado di sopportare, la velocita` di efflusso massima del getto risulta

s V =

S = ρA

s

600 = 29,1 m/s 1000 × π × 0,0302 /4

a cui corrisponde una portata

Q = V A = V A = 29,1 ×

π × 0,0302 = 20,6 l/s 4

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ugello D = 30 mm

treppiedi

59

60 Capitolo 6

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

6.50 Un’astronave, che ha una massa di 8000 kg, si muove a velocita` costante di 450 m/s. Per rallentarla, viene acceso un motore a razzo a combustibile solido, i cui gas di combustione vengono scaricati, per 5 s, nella stessa direzione dell’astronave, con portata costante di 70 kg/s e velocita` media di 1500 m/s. Considerando costante la massa totale dell’astronave, calcolare la decelerazione dell’astronave nei 5 s, la variazione di velocita` nello stesso intervallo di tempo e la spinta sull’astronave.

Analisi Si tratta del moto di un corpo in assenza di forze esterne, in cui la massa m del sistema si puo` considerare costante. In tal caso, sul corpo agisce una spinta dinamica S data dalla 6.28 S = (ma)W =

X ne

βi Q mi Vi −

X

βi Q mi Vi

nu

pari alla differenza tra i flussi di quantita` di moto entranti nel volume di controllo attraverso le n e sezioni di imbocco e quelli uscenti attraverso le n u sezioni di sbocco. Nel caso in esame, attraverso l’unica sezione di sbocco, si ha il flusso di quantita` di moto uscente Mu , per cui, indicando con il pedice u le grandezze riferite al flusso dei gas di combustione in uscita, si ha

S=m

dV = −Mu = −Q mu Vu dt

La velocita` V dell’astronave e la velocita` Vu dei gas di combustione hanno la stessa direzione, per cui, proiettando nella direzione del moto, si ha

S=m

dV = −Q mu Vu = −70 × 1500 = −105 kN dt

Per effetto di tale spinta, agente con verso opposto a quello del moto, l’astronave subisce una accelerazione negativa

a=

dV Q mu 70 =− Vu = − × 1500 = −13,1 m/s2 dt m 8000

Se tale decelerazione e` costante per un tempo 1t , si ha una diminuzione di velocita`

1V = a1t = −13,1 × 5 = −65,6 m/s

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Equazione della quantita` di moto

6.51 Il motore di un aereo espelle, dalla sezione di coda, gas di scarico con portata di 18 kg/s e velocita` relativa V = 250 m/s. In fase di atterraggio, il getto di scarico viene deviato di 160◦ da un invertitore di spinta, che, esercitando un’azione frenante sull’aereo, ne facilita l’atterraggio su piste corte. Calcolare la spinta sull’aereo prima e dopo che venga posizionato l’invertitore di spinta.

Analisi In assenza di invertitore di spinta, la spinta S sull’aereo e` uguale e contraria al flusso della quantita` di moto M2 del getto formato dai gas di scarico. Essa ha, pertanto, la stessa direzione del moto dell’aereo e modulo

S = M2 = ρ QV = Q m V = 18 × 250 = 4500 N In fase di atterraggio, il getto esercita sull’invertitore una spinta Sa diretta in senso opposto al moto dell’aereo, frenandolo. Infatti, l’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di gas di scarico compreso tra la sezione 1 a monte dell’invertitore e quella 2 al bordo di uscita dall’invertitore, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, l’invertitore di spinta, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente, 51 = 52 = 0 perche´ nelle due sezioni la pressione relativa e` nulla e G trascurabile, la spinta Sa che la corrente esercita sull’invertitore, uguale e contraria a 50 , e`

Sa = −50 = M1 − M2 Il flusso di quantita` di moto entrante M1 e` diretto come il getto ed ha modulo

M1 = ρ QV = Q m V La sezione 2 al bordo di uscita dall’invertitore di spinta e` assimilabile ad una corona circolare di raggio esterno pari a quello della base del dispositivo e spessore pari a quello che assume il fluido dopo avere lambito la superficie interna dell’invertitore. Per il teorema di Bernoulli, essendo la pressione ovunque pari alla pressione atmosferica e le differenze di quota trascurabili, la velocita` ha ovunque lo stesso valore. Nella sezione di uscita le traiettorie non sono parallele tra loro in quanto tangenti in ogni punto del bordo di uscita alla superficie interna dell’invertitore e, quindi, inclinate tutte dello stesso angolo rispetto all’asse del dispositivo. Pertanto, per la 6.11, il flusso di quantita` di moto uscente e`

Z M2 =

ρv (v · n) d A = ρV A2

2

Z ndA A2

essendo n il versore normale a d A, variabile con d A ma sempre inclinato di 160◦ rispetto alla direzione del getto. Essendo nulla,

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61

invertitore di spinta

160°

250 m/s

invertitore di spinta

62 Capitolo 6

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

per simmetria, la componente in direzione ortogonale al getto, il vettore M2 ha la stessa direzione del getto, verso opposto ed ha modulo 2

Z

n d A = ρV 2 A2 cos 160 = ρV Q cos 160

M2 = ρV cos 160 A2

Pertanto, la spinta Sa sull’invertitore e` diretta come il getto ed ha modulo

S = M1 − M2 = ρ QV − ρ QV cos 160 = = ρ QV (1 − cos 160) = Q m V (1 − cos 160) = = 1,8 × 250 × (1 − cos 160) = 8730 N La spinta frenante esercitata dal getto dei gas di scarico sull’aereo ` quindi, poco meno del doppio con l’inserimento dell’invertitore e, della spinta motrice esercitata sull’aereo, in assenza di invertitore.

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Equazione della quantita` di moto

63

6.52 Una pattinatrice, la cui massa e` di 60 kg, in piedi sul ghiaccio con i pattini ai piedi (attrito trascurabile), regge in mano un tubo flessibile (peso trascurabile), da cui sbocca un getto del diametro di 20 mm in direzione orizzontale parallela ai pattini. La velocita` di sbocco e` di 10 m/s. Nell’ipotesi di partenza dalla quiete, calcolare la velocita` della pattinatrice dopo 5 s e la distanza percorsa, il tempo necessario per percorrere 5 m e la velocita` in quel momento.

Analisi Come nell’esercizio 6.30, considerando un volume di controllo in cui la corrente in ingresso ha direzione verticale, l’unica forza orizzontale che agisce sul volume e` il flusso di quantita` di moto uscente, in quanto allo sbocco la pressione relativa e` nulla. Pertanto, la forza orizzontale S che si scarica sulla pattinatrice e` uguale e contraria al flusso di quantita` di moto Mu nella sezione di sbocco. Essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua e β = 1 per ` la spinta ha modulo l’uniformita` della distribuzione di velocita,

S = Mu = ρ AV 2 = 1000 ×

π × 0,0202 × 102 = 31,4 N 4

Per la seconda legge di Newton, la pattinatrice e` sottoposta ad un’accelerazione costante, in direzione contraria a quella del getto, di modulo

a=

S 31,4 = = 0,523 m/s2 m 60

che la fa muovere di moto uniformemente accelerato. Pertanto, partendo dalla quiete, la sua velocita` al tempo t = 5 s e`

V p = at = 0,523 × 5 = 2,62 m/s e in tale intervallo di tempo percorre una distanza

d=

1 2 1 at = × 0,523 × 52 = 6,54 m 2 2

Analogamente, partendo dalla quiete, il tempo t1 necessario per percorrere la distanza d1 = 5 m, e`

r t1 =

2d1 = a

s

2×5 = 4,37 s 0,523

istante in cui la pattinatrice ha raggiunto la velocita`

V p1 = at1 = 0,523 × 4,37 = 2,29 m/s

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10 m/s D = 20 mm

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64 Capitolo 6

6.53 Un serbatoio cilindrico di diametro D0 e` montato su un car-

h SO

Vu

rello che puo` muoversi su un piano orizzontale praticamente senza attrito. In prossimita` del fondo, e` praticata una piccola apertura di diametro D dalla quale fuoriesce un getto orizzontale che mette in movimento il contenitore. Considerando la diminuzione della massa d’acqua nel tempo e ritenendo trascurabile la massa del carrello e del contenitore, scrivere le relazioni che forniscono in funzione del tempo l’accelerazione e la velocita` del sistema e lo spazio percorso.

Analisi Se le dimensioni della luce sono tali da dar luogo ad un abbassamento molto lento del livello idrico nel serbatoio, il processo di efflusso puo` essere studiato, con buona approssimazione, come se il moto fosse permanente. Per cui, essendo il fluido incomprimibile, tra un punto all’interno del serbatoio, il cui carico e` uguale alla quota z s della superficie libera rispetto ad un piano di riferimento, e la sezione u di sbocco, dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, trascurando le perdite di carico lungo il percorso, per il teorema di Bernoulli, ponendo α = 1, si ha

zs = zu +

Vu2 2g

Essendo h = z s − z u il dislivello tra la superficie libera e la quota della sezione di sbocco, la velocita` media allo sbocco risulta

Vu =

p p 2g(z s − z u ) = 2gh

Il movimento del carrello e` causato dalla componente orizzontale della spinta S che l’acqua esercita sulle pareti del serbatoio. L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24 applicata al volume di fluido contenuto nel serbatoio fino alla sezione 2 di sbocco, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, le pareti del serbatoio, la superficie libera e la sezione di sbocco esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo 51 = 52 = 0 perche´ la superficie libera e lo sbocco sono a pressione atmosferica, I = 0 perche´ il moto e` permanente e M1 = 0 perche´ non vi e` ingresso di fluido nel volume di controllo, la spinta S sul serbatoio, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G − M2 Pertanto, la componente orizzontale della spinta ha verso opposto al flusso di quantita` di moto uscente e, essendo Q la portata e ρ la densita` dell’acqua, modulo

SO = Mu = ρ QVu Essendo A l’area della luce, Au l’area della sezione contratta subito a valle di essa e C c il loro rapporto, si ha anche

SO = ρ QVu = ρ Au Vu2 = ρCc AVu2 = ρCc

π D2 2gh 4

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Equazione della quantita` di moto

Il contenitore di massa

m=ρ

π D02 h 4

subisce, per la seconda legge di Newton, un’accelerazione

a=

2ρghCc π D 2 /4 SO D2 = = 2gC c m ρh π D02 /4 D02

che risulta indipendente dall’altezza d’acqua nel contenitore e, dunque, costante nel tempo. Il carrello, partendo dalla quiete, si muove, quindi, di moto uniformemente accelerato con una velocita`

V = at = 2gCc

D2 t D02

funzione lineare del tempo. Lo spazio percorso x(t) si calcola per integrazione della

d x = V dt = 2gCc

D2 t dt D02

che, imponendo la condizione x = 0 per t = 0, fornisce

x = gCc

D2 2 t D02

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66 Capitolo 6

pala

6.54 In una pompa centrifuga elicoidale, una portata d’acqua di 0,2 m3 /s entra in direzione assiale, con una velocita` media di 5 m/s, ed esce in atmosfera con una inclinazione di 60◦ rispetto all’oriz-

60°

zontale, come mostrato in figura. Calcolare la forza che si scarica sull’albero in direzione assiale, supponendo che l’area della sezione di sbocco sia la meta` di quella di ingresso.

0,2 m3/S

albero

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24 applicata al volume di fluido compreso tra la sezione 1 di ingresso e la sezione 2 di uscita dalla girante, essendo 50 , 51 e 52 le forze che, rispettivamente, la girante, la sezione 1 e la sezione 2 esercitano sul liquido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo 51 = 52 = 0 perche´ l’ingresso e lo sbocco sono a pressione atmosferica e I = 0 perche´ il moto e` permanente, la spinta S sull’albero, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G + M1 − M2 Il vettore G e` verticale mentre i flussi di quantita` di moto sono ` Pertanto, proiettando sull’asse diretti come le rispettive velocita. nel verso della corrente, si ha

S = M1 − M2 cos 60 = ρ Q(V1 − V2 cos 60) Essendo l’area A2 della sezione di sbocco pari alla meta` dell’area A1 ` della sezione di ingresso e, per l’equazione di continuita,

Q = V1 A1 = V2 A2 si ha

V2 =

A1 A1 V1 = V1 = 2V1 A2 0,5A1

La componente in direzione assiale della spinta sull’albero ha, quindi, modulo

S = ρ Q (V1 − V2 cos 60) = ρ QV1 (1 − 2 cos 60) = = ρ QV1 (1 − 2 × 0,5) = 0 N Discussione Nel caso in esame, il particolare valore del rapporto tra le aree di ingresso e di uscita e il valore dell’angolo di deviazione all’uscita fanno s`ı che la spinta in direzione assiale sia nulla. In generale, quindi, il valore della spinta in direzione assiale puo` essere variato agendo opportunamente sul rapporto tra tali aree e sull’angolo di deviazione.

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Equazione della quantita` di moto

6.55 Un satellite avente una massa di 5000 kg orbita attorno alla terra a velocita` V0 . Per alterarne l’orbita, da un razzo sul satellite vengono scaricati, nel verso opposto a quello di V0 , 100 kg di gas combusti per 2 s, alla velocita` relativa di 3000 m/s. Calcolare (a) la spinta sul satellite, (b) l’accelerazione del satellite nei 2 s e (c) la variazione di velocita` del satellite.

Satellite

Analisi

Vgas

(a) Si assuma un sistema di riferimento solidale col satellite e avente come asse x la direzione di V0 . Sul satellite non agiscono forze esterne e la sua massa puo` essere considerata praticamente costante. Pertanto, puo` essere applicata l’equazione 6.28

S=

X ne

βi Q mi Vi −

X

βi Q mi Vi

nu

secondo la quale sul satellite agisce una spinta dinamica pari alla differenza fra i flussi di quantita` di moto entranti e uscenti. Il flusso entrante e` nullo. Quello uscente e` pari al prodotto Q m Vgas della portata di massa del gas scaricato per la velocita` relativa del gas. La portata e` data dal rapporto tra la massa m gas del gas e il tempo di scarico 1t

Qm =

m gas 100 = = 50 kg/s 1t 2

Pertanto, il satellite riceve nella direzione del moto una spinta di modulo

S = 0 − Q m Vgas = −50 × (−3000) = 150 kN (b) Per la seconda legge di Newton, la spinta S, unica forza agente, imprime al satellite di massa m un’accelerazione di modulo a=

S 150 000 = = 30 m/s2 m 5000

diretta come la spinta.

(c) Essendo a = d V /dt = costante, il satellite subisce una variazione di velocita`

1V = a1t = 30 × 2 = 60 m/s

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x

V0

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68 Capitolo 6

6.56 Un getto del diametro di 7 cm e velocita` di 15 m/s e` diretto verticalmente verso l’alto. Calcolare il peso di una piastra piana circolare in equilibrio sotto l’azione del getto a un’altezza di 2 m al di sopra della sezione iniziale del getto.

P 2

Analisi Per l’equilibrio alla traslazione verticale, il peso P della piastra deve essere uguale e contrario alla spinta S che il getto esercita

1

h

V 0

sulla piastra. Come nell’esercizio 6.9, l’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra la sezione 1 del getto subito a monte della piastra e la sezione 2 di uscita dal bordo della piastra, tenendo presente che il termine I = 0 perche´ il moto e` permanente e che le pressioni relative sono ovunque nulle tranne che sulla superficie della piastra, diviene

getto

G + 50 + M1 − M2 = 0 avendo indicato con 50 la risultante delle forze di superficie che la piastra esercita sul fluido. La spinta dinamica S che il liquido esercita sulla piastra e` uguale e contraria a quella che la piastra esercita sul liquido. Pertanto, si ha

S = −50 = G + M1 − M2 Il vettore G e` verticale ed e` pari al peso del volume di liquido considerato. Il flusso di quantita` di moto uscente M2 e` orizzontale e nullo per simmetria. Pertanto, la spinta S e` verticale, e` diretta verso l’alto ed ha modulo

S = −G + M1 ∼ = M1 = ρ QV1 essendo il peso G trascurabile rispetto a M1 . Il getto di diametro D e velocita` V ha una portata

Q = AV =

π D2 π × 0,0702 V = × 15 = 57,7 l/s 4 4

Applicando il teorema di Bernoulli tra la sezione iniziale 0 del getto e la sezione 1 posta ad una altezza h al di sopra di tale sezione, essendo p0 = p1 = 0, si ha

V02 V2 =h+ 1 2g 2g da cui

V1 =

q

V02 − 2gh =

p 152 − 2 × 9,81 × 2 = 13,6 m/s

Pertanto, essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, si ha

P = S = ρ QV1 = 1000 × 0,0577 × 13,6 = 787 N

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Equazione della quantita` di moto

6.57 Risolvere l’esercizio precedente nel caso in cui la piastra sia a un’altezza di 5 m al di sopra della sezione iniziale del getto. Analisi Se la sezione 1 e` posta ad un’altezza h = 5 m rispetto alla sezione iniziale del getto, si ha

V1 =

q

V02 − 2gh =

p 152 − 2 × 9,81 × 5 = 11,3 m/s

e, conseguentemente,

P = S = ρ QV1 = 1000 × 0,0577 × 11,3 = 650 N

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69

McGraw-Hill

gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

7

Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

ANALISI DIMENSIONALE E MODELLAZIONE

7

SOMMARIO Una dimensione e` una misura (priva di valore numerico) di una quantita` fisica, mentre un’unita` e` un modo per assegnare un numero a quella dimensione. Le dimensioni fondamentali sono: lunghezza, massa, tempo, corrente elettrica, temperatura, quantita` di materia e intensita` luminosa. Tutte le altre dimensioni possono essere ottenute come combinazione di queste sette dimensioni fondamentali. Tutte le equazioni matematiche devono essere dimensionalmente omogenee, cioe` tutti gli addendi dell’equazione devono avere le stesse dimensioni. Questo principio fondamentale puo` essere applicato a un’equazione per renderla adimensionale, identificando opportuni gruppi o parametri adimensionali. L’analisi dimensionale consente di ridurre

il numero di parametri indipendenti necessari a definire un problema. Il metodo delle variabili ripetute e` una procedura passo-passo che aiuta a individuare i parametri adimensionali. Quando tutti i corrispondenti gruppi adimensionali relativi a un modello e al prototipo sono uguali, si ha similitudine dinamica ed e` possibile predire il comportamento del prototipo sulla base di prove effettuate sul modello. Tuttavia, non sempre e` possibile avere l’uguaglianza tra tutti i gruppi. In tali casi, le prove su modello vengono effettuate in condizioni di similitudine incompleta, cioe` facendo in modo che siano uguali i valori dei parametri piu` importanti ed estrapolando i risultati del modello alle condizioni del prototipo.

Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Analisi dimensionale e modellazione

SOLUZIONI Dimensioni e unita’, dimensioni fondamentali ` 7.1 Che differenza c’e` tra dimensioni e unita?

Analisi Una dimensione e` una misura (priva di valore numerico) di una quantita` fisica, mentre una unita` e` un modo per assegnare un numero a quella dimensione.

7.2 Elencare le sette dimensioni fondamentali. Qual e` la loro ` particolarita?

Analisi Le sette dimensioni fondamentali sono: lunghezza, massa, tempo, corrente elettrica, temperatura, quantita` di materia e intensita` luminosa. Qualunque altra dimensione puo` essere ottenuta come combinazione di quelle fondamentali.

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3

4

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Capitolo 7

7.3 Nel Sistema Internazionale le dimensioni fondamentali sono massa, lunghezza e tempo. In passato, gli ingegneri usavano come dimensioni fondamentali forza, lunghezza e tempo. Scrivere le ` tensione superficiale e viscosita` nel sistema dimensioni di densita, forza-lunghezza-tempo.

Analisi Nel Sistema Internazionale la forza e` un’unita` derivata le cui dimensioni sono, per la seconda legge di Newton,

    forza = massa × accelerazione =  = massa ×

velocita`



tempo

=



   lunghezza 1 = massa × × = MLT−2 tempo tempo Assumendo come unita` fondamentale la forza [F], la massa diviene un’unita` derivata le cui dimensioni, dalla relazione precedente, risultano

    massa = FL−1 T2 Tenendo presente tale relazione, per la 2.1 si ha



       massa massa densita` = = = ML−3 = FL−4 T2 3 volume lunghezza





La tensione superficiale, data dal rapporto tra una forza e una lunghezza, ha dimensioni

  tensione superficiale =



   forza = FL−1 lunghezza

Analogamente, per la 2.48





viscosita` =



sforzo gradiente di velocita`

 =

 =

 forza lunghezza × = lunghezza2 velocita`



   forza tempo −2 = × lunghezza × = FTL lunghezza2 lunghezza

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Analisi dimensionale e modellazione

7.4 Elencare le dimensioni fondamentali dell’accelerazione, della velocita` angolare e dell’accelerazione angolare.

Analisi L’accelerazione e` la variazione di velocita` nell’unita` di tempo. Pertanto, ha dimensioni

        velocita` lunghezza 1 accelerazione = = × = LT−2 tempo tempo tempo La velocita` angolare e` l’angolo di rotazione di un generico elemento nell’unita` di tempo, per cui





     angolo 1 velocita` angolare = = = T−1 tempo tempo 

L’accelerazione angolare e` la variazione di velocita` angolare nell’unita` di tempo. Pertanto, ha dimensioni

    velocita` angolare accelerazione angolare = = tempo     1 angolo = T−2 × = tempo tempo

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Capitolo 7

7.5 Elencare le dimensioni fondamentali del calore specifico a pressione costante, del peso specifico e dell’entalpia specifica.

Analisi Il calore specifico a pressione costante e` la quantita` di calore necessaria per aumentare di 1 ◦ C la temperatura dell’unita` di massa con una trasformazione isobara. Per la 2.11, ha le dimensioni del rapporto fra entalpia specifica e temperatura. Poiche´ l’entalpia specifica ha le dimensioni di una energia per unita` di massa e l’energia ha le dimensioni di una forza per una lunghezza, si ha

  calore specifico p =    energia 1 entalpia = × = = temperatura massa temperatura   forza × lunghezza 1 = × = massa temperatura   1 massa × lunghezza lunghezza × × = = tempo2 massa temperatura 

   1 lunghezza2 × = L2 T−2 2−1 = 2 tempo temperatura 

Il peso specifico e` il peso dell’unita` di volume, per cui

   massa × lunghezza 1 forza = × = volume tempo2 lunghezza3   = ML−2 T−2

  peso =



L’entalpia specifica e` un’energia per unita` di massa e, pertanto, ha dimensioni



     energia forza × lunghezza entalpia specifica = = = massa massa   massa × lunghezza lunghezza × = = tempo2 massa   = L2 T−2

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Analisi dimensionale e modellazione

7.6 Elencare le dimensioni fondamentali dell’energia, dell’energia specifica e della potenza.

Analisi L’energia, come il lavoro, e` il prodotto di una forza per una lunghezza. Quindi, ha dimensioni

      lunghezza 2 −2 × lunghezza = ML T energia = massa × tempo2 L’energia specifica, cioe` l’energia per unita` di massa, e` il rapporto tra energia e massa, per cui

    energia energia specifica = = massa    lunghezza2 1 = massa × × = L2 T−2 2 tempo massa 

La potenza e` l’energia nell’unita` di tempo e, quindi, ha dimensioni

    energia = potenza = tempo     lunghezza2 1 2 −3 = massa × × = ML T tempo2 tempo

7.7 Il momento di una forza e` il prodotto vettoriale della forza

F

per il braccio, come indicato in figura. Quali sono le dimensioni fondamentali del momento di una forza? In quali unita` si misura?

Analisi Trattandosi del prodotto di una lunghezza per una forza, il momento ha dimensioni



     lunghezza momento = lunghezza × massa × = ML2 T−2 2 tempo

In termini di dimensioni fondamentali, il momento e` il prodotto di una massa per una lunghezza al quadrato diviso un tempo al quadrato. Si misura in newton per metro (N · m).

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M=F×r

punto O

r

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8

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Capitolo 7

Omogeneita’ dimensionale 7.8 Spiegare il principio di omogeneita` dimensionale. Analisi Il principio di omogeneita` dimensionale afferma che tutti gli addendi di un’equazione devono avere le stesse dimensioni. Nell’analisi di un problema deve essere rispettata anche l’omogeneita` delle unita` di misura, cioe` tutti gli addendi devono essere espressi con le stesse unita` di misura.

7.9 L’accelerazione totale di una particella di fluido, che e` l’accele-

particella di fluido al tempo t particella di fluido al tempo t + dt

razione di una particella seguita nel suo moto, e` definita (Capitolo 4) come

v H v(x, y, z, t) m (x, y, z)

a(x, y, z, t) =

∂v dv = + (v · ∇) v dt ∂t

Quali sono le dimensioni fondamentali dell’operatore gradiente? Quali sono le dimensioni dei termini dell’equazione?

a H a(x, y, z, t) F

Analisi Il gradiente di una funzione scalare e` un vettore che ha come componenti le derivate della funzione nelle tre direzioni coordinate, cioe`

 ∇≡

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂y



Pertanto, le dimensioni primarie dell’operatore gradiente sono l’inverso di una lunghezza. Le dimensioni dei termini dell’equazione sono, nell’ordine:

  accelerazione = 

     forza lunghezza 1 = = massa × × = LT−2 2 massa tempo massa 

velocita`

tempo





   lunghezza 1 = × = LT−2 tempo tempo





velocita` × ∇ × velocita` =

   1 lunghezza lunghezza = × × = LT−2 tempo lunghezza tempo 

Quindi, tutti i termini hanno in effetti le stesse dimensioni.

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Analisi dimensionale e modellazione

Adimensionalizzazione delle equazioni 7.10 Qual e` il motivo principale per il quale conviene adimensionalizzare un’equazione?

Analisi Il motivo principale per il quale conviene adimensionalizzare una equazione e` quello di ridurre il numero di parametri di un problema.

7.11 Nel moto permanente di un fluido incomprimibile, la velocita` di deformazione cubica e` nulla (Capitolo 4), per cui

V

∂v y ∂vx ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z L

Per un certo campo di moto, siano, rispettivamente, V e L la velocita` e la lunghezza caratteristiche. Definite le variabili adimensionali

x∗ =

x L

y∗ =

y L

z∗ =

z L

vx∗ =

vx V

v ∗y =

vy V

vz∗ =

vz V

adimensionalizzare l’equazione e identificare i parametri notevoli che vi dovessero comparire.

Analisi Sostituendo nell’equazione data alle variabili dimensionali le corrispondenti espressioni, funzioni delle variabili adimensionali, si ottiene

∂ (V vx∗ ) ∂ (V v ∗y ) ∂ (V vz∗ ) + + =0 ∂ (L x ∗ ) ∂ (L y ∗ ) ∂ (Lz ∗ ) che, mettendo in evidenza V /L e semplificando, diventa

∂v ∗y ∂vz∗ ∂vx∗ + + =0 ∂ x ∗ ∂ y ∗ ∂z∗ Nell’equazione adimensionale non compaiono parametri adimensionali. Infatti, l’equazione deriva da considerazioni puramente cinematiche che non coinvolgono alcuna proprieta` del fluido.

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10 Capitolo 7

7.12 In una galleria del vento viene misurata la distribuzione di

galleria del vento V∞

modello

p∞ , ρ sostegno sonda di pressione

carrelli

pressione sul profilo alare del modello di un aeroplano. La velocita` dell’aria nella galleria e` sufficientemente bassa affinche´ gli effetti della comprimibilita` possano essere trascurati. In tale situazione, l’equazione di Bernoulli e` valida ovunque tranne che nelle immediate vicinanze delle pareti solide e nella regione di scia dietro il modello (Capitolo 5). Lontano dal modello, l’aria si muove con velocita` V∞ e pressione p∞ e la sua densita` ρ e` praticamente costante. Poiche´ nel moto dell’aria gli effetti della gravita` sono trascurabili, il teorema di Bernoulli si puo` scrivere:

manovelle

1 1 2 p + ρv 2 = p∞ + ρV∞ 2 2 Adimensionalizzare l’equazione e scrivere l’espressione del coefficiente di pressione C p , definito come

Cp =

p − p∞ 2 /2 ρV∞

in ciascun punto del campo di moto in cui vale l’equazione di Bernoulli.

Analisi Adimensionalizzando l’equazione, dividendo ciascun termine per la pressione dinamica ρV∞2 /2, si ottiene p v2 p∞ + = +1 2 2 ρV∞ /2 V∞ ρV∞2 /2 Riordinando, l’espressione del coefficiente di pressione risulta

Cp =

p − p∞ v2 = 1 − ρV∞2 /2 V∞2

Analisi dimensionale e similitudine 7.13 Illustrare quali sono gli scopi principali dell’analisi dimensionale.

Analisi Gli scopi principali dell’analisi dimensionale sono: -

-

generare parametri adimensionali utili per la sperimentazione su modello e per la scrittura e interpretazione dei risultati sperimentali ottenere leggi di scala per trasferire al prototipo i risultati ottenuti su modello prevedere, a volte, l’andamento delle relazioni tra parametri.

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Analisi dimensionale e modellazione

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7.14 Illustrare le condizioni necessarie perche´ si abbia similitudine completa tra modello e prototipo.

Analisi In generale, per un campo di moto qualunque, si ha similitudine completa tra il modello e il prototipo quando e` soddisfatta la condizione di similitudine dinamica (e quindi anche le condizioni di similitudine geometrica e cinematica).

7.15 Un gruppo di studenti deve progettare un sottomarino a propulsione umana per una gara che deve svolgersi in un lago con acqua alla temperatura di 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 ; µ = 1,138 × 10−3 Pa · s). La lunghezza complessiva del prototipo, che in immersione dovrebbe essere in grado di muoversi alla velocita` di 0,560 m/s, e` di 2,24 m. Il gruppo costruisce un modello, in scala 1:8, per testarlo in una galleria del vento. Il sostegno che collega il modello alla bilancia dinamometrica e` protetto da uno scudo cos`ı che la resistenza aerodinamica dello stesso sostegno non influenzi il valore misurato dalla bilancia. Nella galleria del vento, l’aria e` a pressione atmosferica e alla temperatura di 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 ; µ = 1,849 × 10−5 Pa · s). Che valore deve avere la velocita` dell’aria perche´ si abbia similitudine?

Analisi Perche´ si abbia similitudine completa, devono essere uguali i valori del numero di Reynolds del modello e del prototipo

Rem =

ρ p Vp L p ρm Vm L m = Re p = µm µp

per cui la velocita` dell’aria deve essere

Vm = V p

ρ p L p µm 999,1 1,849 × 10−5 = 0,560 × ×8× = ρm L m µ p 1,184 1,138 × 10−3

= 61,4 m/s Discussione Alla temperatura di 25 ◦ C la velocita` del suono e` di circa 340 m/s, per cui nella galleria il numero di Mach e` Ma = 61,4/340 = 0,181. Essendo Ma < 0,3 l’aria puo` essere trattata come un fluido incomprimibile.

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galleria del vento modello Fr

V p∞, ρ

sostegno scudo

bilancia dinamometrica

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12 Capitolo 7

7.16 Con riferimento all’esercizio precedente, gli studenti misurano in galleria del vento, sul loro modello di sottomarino, ponendo molta cura nel mantenere le condizioni necessarie ad assicurare la similitudine col prototipo, una forza di 2,3 N. Calcolare il valore della forza corrispondente nel prototipo.

Analisi Essendo gia` assicurata l’uguaglianza del numero di Reynolds, per le 7.13 deve essere anche

Fr p Fr m = ρm Vm2 L 2m ρ p V p2 L 2p da cui

Fr p = Fr m

ρp ρm



Lp Lm

2 

Vp Vm

2

999,1 = 2,3 × × 82 × 1,184



0,56 61,4

2 =

= 10,3 N Discussione Nonostante la velocita` del prototipo in acqua sia notevolmente inferiore a quella dell’aria nel modello, essendo la densita` dell’acqua molto piu` alta di quella dell’aria e il prototipo 8 volte piu` grande del modello, la forza risultante nel prototipo risulta quasi 5 volte piu` grande di quella misurata nel modello.

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Analisi dimensionale e modellazione

7.17 Con riferimento all’esercizio 7.15, potendo gli studenti accedere solamente a una galleria del vento molto piu` piccola, il modello viene costruito in scala 1:24, anziche´ 1:8. Che velocita` deve avere l’aria nella galleria del vento perche´ si abbia similitudine? Cosa c’e` nei risultati che induce a riflettere?

Analisi Perche´ si abbia similitudine completa, devono essere uguali i valori del numero di Reynolds del modello e del prototipo

Rem =

ρ p Vp L p ρm Vm L m = Re p = µm µp

per cui la velocita` dell’aria deve essere

Vm = V p

ρ p L p µm 999,1 1,849 × 10−5 = 0,560 × × 24 × = ρm L m µ p 1,184 1,138 × 10−3

= 184 m/s Rispetto all’esercizio 7.15, essendo rimaste invariate tutte le condizioni, ad eccezione del rapporto di scala pari a un terzo del precedente, la velocita` dell’aria nel modello, che e` proporzionale all’inverso del ` anche il rapporto di scala, risulta triplicata. Risulta triplicato, pero, numero di Mach Ma = 184/340 = 0,542 che e` troppo alto perche´ l’aria possa essere trattata come incomprimibile. Nella galleria, pertanto, i test devono essere condotti con una velocita` dell’aria pari a quella massima corrispondente a Ma = 0,3, cioe` ad una velocita` ` pero, ` non vale piu` la Vm = 0,3 × 340 = 102 m/s. Per tale velocita, ` quindi, cercare di estrapolare i similitudine di Reynolds. Si puo, risultati a valori di Re maggiori o sperare che il fenomeno risulti indipendente da Re (vedi Figura 7.23).

7.18 Alcune gallerie del vento sono pressurizzate. Se in una galleria del vento la pressione dell’aria aumenta di 1,5 volte, di quanto ` a parita` di tutto il resto, il numero di Reynolds? aumentera,

Analisi Supponendo che l’aria si comporti come un gas ideale, se la pressione aumenta di un fattore 1,5, mantenendosi la temperatura costante, anche la sua densita` aumentera` nello stesso rapporto e, di conseguenza, anche il numero di Reynolds, a parita` di tutto il resto, aumentera` di un fattore 1,5.

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14 Capitolo 7

7.19 Si deve stimare la resistenza all’avanzamento di una nuova automobile sportiva alla velocita` di 100 km/h e a una temperatura dell’aria di 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 ; µ = 1,849 × 10−5 Pa · s). Viene pertanto costruito un modello in scala 1:4 da testare in galleria del

galleria del vento Vm

ρm , µ m Lm Frm

tapis roulant

bilancia dinamometrica

vento. Anche nella galleria del vento, la temperatura dell’aria e` di 25 ◦ C. La forza di trascinamento dell’aria viene misurata con una bilancia dinamometrica e il movimento della strada (rispetto all’automobile) viene simulato facendo scorrere un tapis roulant sotto il modello. Calcolare la velocita` che deve avere l’aria nella galleria del vento perche´ si abbia similitudine tra modello e prototipo.

Analisi Perche´ si abbia similitudine completa, devono essere uguali i valori del numero di Reynolds del modello e del prototipo

Rem =

ρ p Vp L p ρm Vm L m = Re p = µm µp

per cui la velocita` dell’aria deve essere

Vm = V p

ρ p L p µm = V p × 4 = 100 × 4 = 400 m/s ρm L m µ p

valore molto alto e che potrebbe non essere realizzabile nella galleria.

7.20 Con riferimento all’esercizio precedente, nelle condizioni che assicurano la similitudine tra modello e prototipo, la resistenza del modello nella galleria del vento vale 16,5 N. Calcolare il valore della forza corrispondente nel prototipo.

Analisi Nell’ipotesi che sia gia` assicurata l’uguaglianza del numero di Reynolds, per le 7.13 deve essere anche

Fr p Fr m = 2 2 ρm Vm L m ρ p V p2 L 2p da cui

Fr p = Fr m

ρp ρm



Lp Lm

2 

Vp Vm

2

 2 1 = 16,5 × 4 × = 16,5 N 4 2

Discussione Essendo le proprieta` dell’aria uguali nel prototipo e nel modello, la resistenza all’avanzamento risulta uguale nel modello e nel prototipo. Il risultato sarebbe, naturalmente, diverso se nella galleria l’aria si trovasse a temperatura e/o pressione diversa.

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Analisi dimensionale e modellazione

7.21 Volendo far corrispondere, in una galleria del vento, il numero di Reynolds del prototipo di un grande veicolo con quello di un modello a scala ridotta, e` meglio che l’aria nella galleria del vento ´ sia, a parita` di tutto il resto, a 10 ◦ C o a 50 ◦ C? Perche? ´ in similitudine di Reynolds, la velocita` nel modello Analisi Poiche, risulta

Vm = V p

ρ p L p µm ρm L m µ p

quando il rapporto di scala tra le lunghezze del modello e quelle del prototipo e` piccolo, puo` succedere (come ad esempio nel caso dell’esercizio 7.19) che la velocita` Vm nel modello risulti molto elevata. Per ridurre tale valore di velocita` si puo` allora agire sulle proprieta` dell’aria nel modello e, in particolare, sulla viscosita` e sulla ` Poiche´ al diminuire della temperatura dell’aria la viscosita` densita. decresce e la densita` aumenta, la velocita` Vm diminuisce perche´ e` direttamente proporzionale alla prima e inversamente proporzionale alla seconda. Nel caso considerato, pertanto, e` meglio che l’aria nella galleria del vento sia a 10 ◦ C piuttosto che a 50 ◦ C. In particolare, essendo a 10 ◦ C la viscosita` µ10 = 1,778 × 10−5 Pa · s e la densita` ρ10 = 1,246 kg/m3 e a 50 ◦ C µ50 = 1,963 × 10−5 Pa · s e ρ50 = 1,092 kg/m3 , il rapporto tra i due valori del numero di Reynolds corrispondenti e`

ρ10 V10 L 10 Re10 ρ10 µ50 1,246 1,963 × 10−5 µ10 = = = × = 1,26 ρ50 V50 L 50 Re50 ρ50 µ10 1,092 1,778 × 10−5 µ50 Pertanto, a parita` di tutto il resto, provando con aria a 10 ◦ C si puo` raggiungere un numero di Reynolds piu` alto del 26% di quello che si puo` raggiungere provando con aria a 50 ◦ C.

Discussione Bisogna, comunque, tener conto di altri fattori. Innanzitutto, la potenza della pompa usata per assicurare il moto dell’aria in galleria e` proporzionale alla portata in massa e quin` Inoltre, la velocita` del suono e` di cresce al crescere della densita. proporzionale alla radice quadrata della temperatura, per cui, a parita` di velocita` dell’aria, il numero di Mach e` piu` alto a basse temperature e, quindi, gli effetti della comprimibilita` diventano piu` significativi.

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16 Capitolo 7

Parametri adimensionali e metodo delle variabili ripetute 7.22 Un contenitore cilindrico in rotazione attorno al suo asse verω superficie libera

h

ticale si muove di moto rigido insieme al liquido che lo riempie. La differenza di quota h tra due punti sulla superficie libera, al bordo e sull’asse, e` funzione della velocita` angolare ω, della densita` ρ del fluido, dell’accelerazione di gravita` g e del raggio R del contenitore. Utilizzare il metodo delle variabili ripetute per stabilire una relazione adimensionale tra i parametri.

Analisi I parametri adimensionali vengono determinati col metog

ρ R

do delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 5 parametri. Quindi, n = 5 e

h = f (ω, ρ, g, R) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

  = T−1

    h = L

  ω

   −2  g = LT

    R = L

    ρ = ML−3

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 3 = 2. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente h , si scelgono ω, ρ e R . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = h · ωa1 · ρ b1 · R c1 = h i = L · (T−1 )a1 · (ML−3 )b1 · (L)c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = Mb1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −a i T = T 1

0 = −a1

a1 = 0

i  0 h L = L · L−3b1 · Lc1

0 = 1 − 3b1 + c1

c1 = −1



Il gruppo 51 risulta, quindi,

51 =

h R

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Analisi dimensionale e modellazione

Il primo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 52 = M L T = g · ωa2 · ρ b2 · R c2 = h i = (LT−2 ) · (T−1 )a2 · (ML−3 )b2 · (L)c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M2

0 = b2

b2 = 0

 0  h −2 −a i T = T ·T 2

0 = −2 − a2

a2 = −2

i  0 h L = L · L−3b2 · Lc2

0 = 1 − 3b2 + c2

c2 = −1

Il gruppo 52 risulta, quindi,

52 =

g ω2 R

Osservando che il prodotto ω R e` la velocita` del contenitore in corrispondenza del bordo, se si inverte 52 e se ne estrae la radice quadrata si ottiene il gruppo modificato 502

ωR 502 = √ gR che e` un numero di Froude. Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

h = f (Fr) R ` non essendo contenuta in alcuno dei Discussione La densita, gruppi finali, non e` un parametro significativo.

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18 Capitolo 7

7.23 Uno strato limite e` una regione sottile (di solito lungo una

y ρ, µ

δ(x) x

V∞

parete solida) nella quale gli effetti viscosi sono importanti e il moto e` rotazionale. Nel caso dello strato limite su una lastra piana sottile, lo spessore δ dello strato limite alla generica ascissa x e` funzione di x , della velocita` V∞ della corrente indisturbata, della densita` ρ e della viscosita` µ del fluido. Usando il metodo delle variabili ripetute, stabilire una relazione adimensionale tra δ e le variabili da cui dipende.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 5 parametri. Quindi, n = 5 e

δ = f (x, V∞ , ρ, µ) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

    δ = L

    x = L

    ρ = ML−3

    µ = ML−1 T−1



   V∞ = LT−1

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 3 = 2. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente δ , si scelgono x, ρ e V∞ . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = δ · x a1 · ρ b1 · V∞c1 = h i = L · (L)a1 · (ML−3 )b1 · (LT−1 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = Mb1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −c i T = T 1

0 = −c1

c1 = 0

i  0 h L = L · La1 · L−3b1 · Lc1

0 = 1 + a1 − 3b1 + c1



a1 = −1 Il gruppo 51 risulta quindi

5=

δ x

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Il primo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 52 = M L T = µ · x a2 · ρ b2 · V∞c2 = h i = (ML−1 T−1 ) · (L)a2 · (ML−3 )b2 · (LT−1 )c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb2

0 = 1 + b2

b2 = −1

 0  h −1 −c i T = T ·T 2

0 = −1 − c2

c2 = −1

i  0  h −1 a2 −3b L = L · L · L 2 · L c2

0 = −1 + a2 − 3b2 + c2 a2 = −1

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

µ ρV∞ x

Invertendo 52 , si ottiene un numero di Reynolds

502 = Rex =

ρV∞ x µ

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

δ = f (Rex ) x

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20 Capitolo 7

7.24 Un moto alla Couette e` il moto di un fluido tra due lastre piane parallele, a distanza h l’una dall’altra, di cui quella superiore in moto con velocita` V e l’altra ferma. Con riferimento al moto permanente e bidimensionale nel piano x y di un fluido incomprimibile,

V ρ, µ h

vx y x

usando il metodo delle variabili ripetute, stabilire una relazione adimensionale tra la componente vx della velocita` secondo x nel generico punto a distanza y dalla lastra inferiore e la velocita` V della lastra superiore, la distanza h fra le lastre, la viscosita` µ del fluido e la sua densita` ρ .

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 6 parametri. Quindi, n = 6 e

vx = f (µ, V, h, ρ, y) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  vx = LT     h = L

   −1 −1  µ = ML T

   −1  V = LT

   [ρ = ML−3

    y = L

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 6 − 3 = 6. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente vx e notando che h e y hanno le stesse dimensioni ma che tra le due e` preferibile una lunghezza fissa piuttosto che una variabile, si scelgono V, ρ e h . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 5 1 = M L T = v x · V a 1 · ρ b1 · h c1 = h i = (LT−1 )(LT−1 )a1 · (ML−3 )b1 · (L)c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −1 −a i T = T ·T 1

0 = −1 − a1

a1 = −1

i  0 h L = L · La1 · L−3b1 · Lc1

0 = 1 + a1 − 3b1 + c1 c1 = 0

Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

vx V

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Analisi dimensionale e modellazione

Il primo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 5 2 = M L T = µ · V a 2 · ρ b2 · h c2 = h i = (ML−1 T−1 ) · (LT−1 )a2 · (ML−3 )b2 · (L)c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb2

0 = 1 + b2

b2 = −1

 0  h −1 −a i T = T ·T 2

0 = −1 − a2

a2 = −1

i  0  h −1 a L = L · L 2 · L−3b2 · Lc2

0 = −1 + a2 − 3b2 + c2 c2 = −1

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

µ ρV h

Invertendo 52 , si ottiene un numero di Reynolds

502 = Re =

ρV h µ

Il secondo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 53 = M L T = y · V a3 · ρ b3 · h c3 = h i = (L) · (LT−1 )a3 · (ML−3 )b3 · (L)c3 Imponendo che 53 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M3

0 = b3

b3 = 0 a3 = 0



i  h T0 = T−a3

0 = −a3



i  h L0 = L · La3 · L−3b3 · Lc3

0 = 1 + a3 − 3b3 + c3 c3 = −1

Il gruppo 53 risulta quindi

53 =

y h

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

 vx y = f Re, V h

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22 Capitolo 7

7.25 Si consideri lo stesso moto dell’esercizio precedente durante il transitorio, cioe` considerando anche il tempo t come variabile aggiuntiva. Stabilire una relazione adimensionale tra la componente vx della velocita` secondo x e le variabili da cui dipende.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 7 parametri. Quindi, n = 7 e

vx = f (µ, V, h, ρ, y, t) Fase 2 Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  vx = LT     h = L

    µ = ML−1 T−1    [ρ = ML−3

   −1  V = LT        y = L t = T

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 7 − 3 = 4. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Analogamente a quanto fatto nel problema precedente, si scelgono V, ρ e h. Fase 5 Il 5 dipendente e i due 5 indipendenti sono uguali a quelli ottenuti nel problema precedente. In questo caso c’e` un ulteriore gruppo 54 indipendente

i   h 0 0 0i h 54 = M L T = t · V a4 · ρ b4 · h c4 = h i = (T) · (LT−1 )a4 · (ML−3 )b4 · (L)c4 Imponendo che 54 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = Mb4

0 = b4

b4 = 0

i  0 h T = T · T−a4

0 = 1 − a4

a4 = 1

i  0 h a L = L 4 · L−3b4 · Lc4

0 = a4 − 3b4 + c4

c4 = −1



Il gruppo 54 risulta quindi

54 =

tV h

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

vx = f V



y tV Re, , h h



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Analisi dimensionale e modellazione

7.26 La velocita` del suono in un gas perfetto e` funzione del rapporto k tra i calori specifici, della temperatura assoluta T e della costante del gas R . Stabilire una relazione adimensionale tra questi parametri.

c

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 4 parametri. Quindi, n = 4 e

c = f (k, T, R) Le dimensioni primarie dei parametri sono

Fase 2

   −1  c = LT

    k = 1

    T = 2

   2 −2  R = L · T · 2−1

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (L, T, 2) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 4 − 3 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente c, la scelta e` limitata ai tre parametri indipendenti k, T e R . Tuttavia, poiche´ k e` adimensionale, conviene assumere j = 2, per cui i parametri 5 sono k = n − j = 4 − 2 = 2. Si scelgono, quindi, T e R . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente



k, T, R

i h i  h 51 = L0 T0 20 = c · T a1 · R b1 = h i = (LT−1 ) · (2)a1 · (L2 · T−2 2−1 )b1

Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h L = L · L2b1

0 = 1 + 2b1

b1 = −

1 2

 0  h −1 −2b i T = T ·T 1

0 = −1 − 2b1

b1 = −

1 2

i  0 h a 2 = 2 1 · 2−b1

0 = a 1 − b1

a 1 = b1

sistema di 3 equazioni nelle 2 incognite a1 e b1 Fortunatamente, i due valori di b1 coincidono. Il gruppo 51 risulta quindi

51 = √

c RT

Il 5 indipendente e`

52 = k

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24 Capitolo 7

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Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

√

c RT

= f (k)

Discussione L’analisi dimensionale non consente, in generale, di determinare la formulazione esatta della relazione funzionale. Tuttavia, in questo caso, il risultato ottenuto coincide con la 2.41 √ (c = k RT ), che fornisce la velocita` del suono in un gas ideale.

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Analisi dimensionale e modellazione

7.27 Si consideri che la velocita` del suono sia funzione del rapporto k tra i calori specifici, della temperatura assoluta T , della costante universale dei gas Ru e della massa molare M . Stabilire una relazione adimensionale tra questi parametri.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 5 parametri. Quindi, n = 5 e

c = f (k, T, Ru , M) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  c = LT 

    k = 1

   Ru = ML2 · T−2 · 2−1 · N−1

    T = 2

    M = MN−1

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono cinque (M, L, T, 2, N) per cui, in prima istanza, si assume j = 5. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 5 = 0. Ovviamente, non e` possibile che non vi siano parametri 5. Si assume, quindi, j = 4, per cui i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 4 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 4 bisogna scegliere quattro variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente c, la scelta e` limitata ai quattro parametri indipendenti k, T, Ru e M . Tuttavia, poiche´ k e` adimensionale, conviene assumere j = 3, per cui i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 3 = 2. Si scelgono, quindi, T, Ru e M . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0 0 0i h 51 = M L T 2 N = c · T a1 · Rub1 · M c1 = h i = (LT−1 ) · (2)a1 · (ML2 · T−2 2−1 N−1 )b1 · (MN−1 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h b M = M 1 · Mc1

0 = b1 + c1

c1 = −b1

i  h L0 = L · L2b1

0 = 1 + 2b1

b1 = −

1 2

 0  h −1 −2b i T = T ·T 1

0 = −1 − 2b1

b1 = −

1 2

i  0 h a 2 = 2 1 · 2−b1

0 = a 1 − b1

a 1 = b1

i  0  h −b N = N 1 · N−c1

0 = −b1 − c1

c1 = −b1



sistema di 5 equazioni nelle 3 incognite a1 , b1 e c1 . Fortunatamente, i due valori di b1 sono coincidenti cos`ı come i due valori di c1 . Il

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26 Capitolo 7

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gruppo 51 risulta, quindi,

√ c M 51 = √ Ru T Il 5 indipendente e`

52 = k Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

√ c M = f (k) √ Ru T Discussione Essendo R = Ru /M , la relazione funzionale ottenuta coincide con quella dell’esercizio precedente.

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7.28 Si consideri che la velocita` del suono sia funzione solamente della temperatura assoluta T e della costante del gas R . Stabilire una relazione adimensionale tra questi parametri.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 3 parametri. Quindi, n = 3 e

c = f (T, R) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  c = LT

   2 −2  R = L · T · 2−1

    T = 2

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (L, T, 2) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 3 − 3 = 0. Ovviamente, non e` possibile che non vi siano parametri 5. Si assume, quindi, j = 2, per cui i parametri 5 sono k = n − j = 3 − 2 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 2 bisogna scegliere due variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente c, la scelta e` limitata ai due parametri indipendenti T e R . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente



i h i  h 51 = L0 T0 20 = c · T a1 · R b1 = h i = (LT−1 ) · (2)a1 · (L2 · T−2 2−1 )b1

Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h L = L · L2b1

0 = 1 + 2b1

b1 = −

1 2

 0  h −1 −2b i T = T ·T 1

0 = −1 − 2b1

b1 = −

1 2

i  0 h a 2 = 2 1 · 2−b1

0 = a 1 − b1

a 1 = b1

sistema di 3 equazioni nelle 2 incognite a1 e b1 . Fortunatamente, i due valori di b1 sono coincidenti. Il gruppo 51 risulta, quindi,

51 = √

c RT

Fase 6 Vi e` un solo 5, che non e` funzione di alcun altro parametro. Per cui deve essere necessariamente costante. La relazione funzionale finale risulta

√

c RT

= costante

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28 Capitolo 7

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Discussione Il risultato ottenuto rappresenta un caso “fortunato”. Infatti, pur avendo, erroneamente, omesso di considerare tra i parametri il rapporto k tra i calori specifici, il √ risultato ottenuto e` corretto se alla costante si attribuisce il valore k .

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7.29 Si consideri che la velocita` del suono sia funzione solamente della pressione p e della densita` ρ del gas. Stabilire una relazione adimensionale tra questi parametri, verificando che il risultato sia √ coerente con l’equazione c = k RT . Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 3 parametri. Quindi, n = 3 e

c = f ( p, ρ) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  c = LT

    p = ML−1 T−2

   −3  ρ = ML

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 3 − 3 = 0. Tale risultato, ovviamente, non e` corretto. Si assume, quindi, j = 2, per cui i parametri 5 sono

k =n− j =3−2=1 Fase 4 Poiche´ j = 2 bisogna scegliere due variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente c, la scelta e` limitata ai due parametri indipendenti p e ρ . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = c · pa1 · ρ b1 = h i = (LT−1 ) · (ML−1 T−2 )a1 · (ML−3 )b1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = Ma1 · Mb1

0 = a 1 + b1

a1 = −b1

i  0 h L = L · L−a1 · L−3b1

0 = 1 − a1 − 3b1

b1 =

 0  h −1 −2a i T = T ·T 1

0 = −1 − 2a1

a1 = −



1 2 1 2

sistema di 3 equazioni nelle 2 incognite a1 e b1 . Fortunatamente, i due valori di a1 sono coincidenti. Il gruppo 51 risulta quindi

r 51 = c

ρ p

Fase 6 Vi e` un solo 5, che non e` funzione di alcun altro parametro. Per cui deve essere necessariamente costante. La relazione

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30 Capitolo 7

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funzionale finale risulta

r c

ρ = costante p

da cui, per l’equazione di stato dei gas perfetti,

r c = costante

√ p = costante RT ρ

Discussione L’analisi dimensionale √ non consente di determinare il valore della costante, uguale a k .

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7.30 Si chiama moto di puro scorrimento quello di minuscole particelle di aerosol o microrganismi che si muovono in aria o in acqua con numero di Reynolds molto piccolo (Re  1). Nei moti di puro scorrimento, la resistenza Fr che un corpo incontra e` funzione solo della sua velocita` V , di una lunghezza caratteristica L del corpo e della viscosita` µ del fluido. Utilizzando l’analisi dimensionale, stabilire la relazione che lega Fr alle variabili indipendenti.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 4 parametri. Quindi, n = 4 e

Fr = f (V, L , µ) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   Fr = MLT−2

   −1  V = LT

    L = L

    µ = ML−1 T−1



Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 4 − 3 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente Fr , si scelgono V, L e µ. Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = Fr · V a1 · L b1 · µc1 = h i = (MLT−2 ) · (LT−1 )a1 · (L)b1 · (ML−1 T−1 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mc1

0 = 1 + c1

c1 = −1

i  0  h −2 −a T = T · T 1 · T−c1

0 = −2 − a1 − c1

a1 = −1

i  0 h L = L · La1 · Lb1 · L−c1

0 = 1 + a 1 + b1 − c1 b1 = −1

Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

Fr µV L

Fase 6 Poiche´ esiste un solo gruppo adimensionale, esso non puo`

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Fr V

µ L

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32 Capitolo 7

essere funzione di qualcos’altro, cioe` deve essere costante:

Fr = costante = k µV L per cui

Fr = kµV L Pertanto, nei moti di puro scorrimento la resistenza offerta dal fluido alla particella e` proporzionale a µV L .

Discussione La costante di proporzionalita` risulta funzione della forma della particella.

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Analisi dimensionale e modellazione

7.31 Una minuscola particella di aerosol di densita` ρ p e diametro caratteristico D p cade liberamente in aria di densita` ρ e viscosita` µ. Se la particella e` sufficientemente piccola, risulta valida l’approssimazione di moto di puro scorrimento e la velocita` terminale di sedimentazione V dipende solo da D p , da µ, dall’accelerazione di gravita` g e dalla differenza di densita` (ρ p − ρ). Utilizzando l’analisi dimensionale, stabilire la relazione che lega V alle variabili indipendenti.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 5 parametri. Quindi, n = 5 e

V = f (D p , ρ p − ρ, µ, g) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  V = LT     µ = ML−1 T−1



   Dp = L

    ρ p − ρ = ML−3

   −2  g = LT

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 3 = 2. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Si scelgono D p , la differenza di densita` (ρ p − ρ ) e g . Fase 4 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = V · D ap1 · (ρ p − ρ)b1 · g c1 = h i = (LT−1 ) · (L)a1 · (ML−3 )b1 · (LT−2 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = Mb1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −1 −2c i T = T ·T 1

0 = −1 − 2c1

c1 = −

1 2

i  0 h L = L · La1 · L−3b1 · Lc1

0 = 1 + a1 − 3b1 + c1 a1 = −

1 2



Il gruppo 51 risulta quindi

51 = p

V g Dp

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Dp ρp

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ρ, µ g

V

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34 Capitolo 7

che e` un numero di Froude. Il 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 52 = M L T = µ · D ap2 · (ρ p − ρ)b2 · g c2 = h i = (ML−1 T−1 ) · (L)a2 · (ML−3 )b2 · (LT−2 )c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb2 

i  h T0 = T−1 · T−2c2

i  0  h −1 a L = L · L 2 · L−3b2 · Lc2

0 = 1 + b2

b2 = −1

0 = −1 − 2c2

c2 = −

1 2

0 = −1 + a2 − 3b2 + c2 a2 = −

3 2

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

µ

3/2

Invertendo e scrivendo D p

502 che, se si considera che di Reynolds.

3/2 √

(ρ p − ρ)D p come D p

p

g

D p si ottiene

p (ρ p − ρ)D p g D p = µ

p

` e` una sorta di numero g D p e` una velocita,

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

V p = f g Dp

! p (ρ p − ρ)D p g D p µ

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Analisi dimensionale e modellazione

7.32 Combinando i risultati degli esercizi 7.30 e 7.31, scrivere l’equazione della velocita` di sedimentazione V di una particella di aerosol in aria, verificando che sia coerente con la relazione funzionale ottenuta nell’esercizio precedente (a velocita` costante, il peso della particella deve essere uguale alla resistenza al moto).

Analisi Uguagliando il peso P sommerso della particella alla resistenza al moto Fr , utilizzando il risultato dell’esercizio 7.30, si puo` scrivere

P = k1 (ρ p − ρ)g D 3p = Fr = k2 µV D p essendo k1 e k2 due costanti, dipendenti dalla forma della particella. ` risulta Ricavando la velocita,

V =k

(ρ p − ρ)g D 2p µ p

essendo k = k1 /k2 . Dividendo ambo i membri per g D p , si ottiene una relazione coerente con quella ottenuta nell’esercizio precedente.

7.33 Una minuscola particella di aerosol cade in aria a velocita` di sedimentazione costante V . Il numero di Reynolds e` sufficientemente piccolo da poter considerare valida l’approssimazione di moto di puro scorrimento. Se il diametro della particella raddoppia, in che percentuale aumenta, a parita` di tutto il resto, la velocita` di caduta? Se invece raddoppia la differenza di densita` (ρ p − ρ ), in che percentuale aumenta, a parita` di tutto il resto, la velocita` di caduta?

Analisi Il risultato del problema precedente mostra che la velocita` di sedimentazione V e` proporzionale alla differenza di densita` ρ p −ρ e al quadrato del diametro della particella. Pertanto, se il diametro raddoppia, la velocita` aumenta di un fattore 22 = 4, mentre se ` raddoppia la differenza di densita` raddoppia anche la velocita.

Discussione Le conclusioni appena tratte valgono fino a che il moto rimane di puro scorrimento, cioe` finche´ il numero di Reynolds Re e` molto basso. Poiche´ aumentando la velocita` aumenta dello stesso fattore anche Re, le conclusioni potrebbero non essere corrette qualora per i nuovi valori di Re il moto non fosse piu` di puro scorrimento.

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36 Capitolo 7 ε

p1

V D

ρ, µ L

p2

7.34 Un fluido incomprimibile di densita` ρ e viscosita` µ defluisce, con velocita` media V , in una tubazione orizzontale a sezione circolare di diametro D , lunghezza L e scabrezza ε . Il moto e` completamente sviluppato, cioe` il profilo di velocita` nella sezione trasversale non varia nella direzione del moto. Il fluido e` mantenuto in movimento dalla differenza di pressione 1p = p1 − p2 che si stabilisce tra due generiche sezioni, per vincere le resistenze al moto. Usando il metodo delle variabili ripetute, stabilire una relazione adimensionale tra 1p e gli altri parametri nel problema.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 7 parametri. Quindi, n = 7 e

1p = f (ρ, µ, V, D, L , ε) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

    1p = ML−1 T−2     µ = ML−1 T−1     D = L

    ρ = ML−3    −1  V = LT     L = L

    ε = L

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 7 − 3 = 4. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente 1p e notando che i parametri ε, L e D hanno le stesse dimensioni per cui se ne puo` scegliere solo una, si scelgono V, ρ e D . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = 1p · V a1 · ρ b1 · D c1 = h i = (ML−1 T−2 ) · (LT−1 )a1 · (ML−3 )b1 · (L)c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb1  0  h −2 −a i T = T ·T 1 i  0  h −1 a L = L · L 1 · L−3b1 · Lc1

0 = 1 + b1

b1 = −1

0 = −2 − a1

a1 = −2

0 = −1 + a1 − 3b1 + c1 c1 = 0

Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

1p ρV 2

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Analisi dimensionale e modellazione

Il primo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 5 2 = M L T = µ · V a 2 · ρ b2 · D c2 = h i = (ML−1 T−1 ) · (LT−1 )a2 · (ML−3 )b2 · (L)c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb2  0  h −1 −a i T = T ·T 2 i  0  h −1 a L = L · L 2 · L−3b2 · Lc2

0 = 1 + b2

b2 = −1

0 = −1 − a2

a2 = −1

0 = −1 + a2 − 3b2 + c2 c2 = −1

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

µ ρV D

che e` l’inverso del numero di Reynolds

502 =

ρV D µ

Il secondo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 53 = M L T = L · V a3 · ρ b3 · D c3 = h i = (L) · (LT−1 )a3 · (ML−3 )b3 · (L)c3 Imponendo che 53 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M3  0  h −a i T = T 3 i  0 h L = L · La3 · L−3b3 · Lc3

0 = b3

b3 = 0

0 = −a3

a3 = 0

0 = 1 + a3 − 3b3 + c3 c3 = −1

Il gruppo 53 risulta quindi

53 =

L D

Analogamente, si puo` concludere che, avendo ε le stesse dimensioni di L , il terzo gruppo indipendente risultera`

54 =

ε D

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

1p L ε = f (Re, , ) 2 ρV D D

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37

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38 Capitolo 7

7.35 In regime laminare, il moto non dipende dalla scabrezza della parete. Nella tubazione dell’esercizio precedente, la portata Q risulta quindi funzione del diametro D della tubazione, della viscosita` µ del fluido e del gradiente di pressione d p/d x . In che percentuale aumenta la portata se, a parita` di tutto il resto, il diametro della tubazione raddoppia?

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 4 parametri. Quindi, n = 4 e

Q = f (D, µ, Fase 2

dp ) dx

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   3 −1  Q = LT

    D = L 

    µ = ML−1 T−1

   dp = ML−2 T−2 dx

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 4 − 3 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente, rimangono le altre tre. Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

  a1    h 0 0 0i dp b1 c1 51 = M L T = Q · · D ·µ = dx h i = (L3 T−1 ) · (ML−2 T−2 )a1 · (L)b1 · (ML−1 T−1 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h a M = M 1 · Mc1

0 = a 1 + c1

i  0  h −1 −2a T = T · T 1 · T−c1

0 = −1 − 2a1 − c1

c1 = −a1

a1 = −1 i  0  h 3 −2a L = L · L 1 · Lb1 · L−c1

0 = 3 − 2a1 + b1 − c1 b1 = −4

Il gruppo 51 risulta quindi

51 = 

Qµ  dp D4 dx

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Analisi dimensionale e modellazione

Fase 6 Poiche´ esiste un solo gruppo adimensionale, esso deve essere costante, per cui 51 = costante = k e, quindi,

D4 Q=k µ



dp dx



Pertanto, essendo la portata proporzionale alla quarta potenza del diametro, se il diametro raddoppia, la portata aumenta di un fattore 24 = 16.

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39

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40 Capitolo 7

7.36 Una pompa, la cui sezione di ingresso ha diametro D , quando la sua girante ruota con velocita` angolare ω solleva una portata Q di un liquido di densita` ρ e viscosita` µ. Stabilire una relazione adimensionale tra questi parametri e l’incremento di pressione 1p subito dal fluido.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 6 parametri. Quindi, n = 6 e

1p = f (ρ, ω, D, µ, Q) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1 −2  1p = ML T     D = L

    ρ = ML−3

   −1  ω = T

    µ = ML−1 T−1

   3 −1  Q = LT

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 6 − 3 = 3. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Si scelgono ρ, ω e D . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = 1p · ρ a1 · ωb1 · D c1 = h i = (ML−1 T−2 ) · (ML−3 )a1 · (T−1 )b1 · (L)c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Ma1

0 = 1 + a1

a1 = −1

i  0  h −1 −3a L = L · L 1 · Lc1

0 = −1 − 3a1 + c1

c1 = −2

 0  h −2 −b i T = T ·T 1

0 = −2 − b1

b1 = −2

Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

1p ρω2 D 2

Il primo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 52 = M L T = µ · ρ a2 · ωb2 · D c2 = h i = (ML−1 T−1 ) · (ML−3 )a2 · (T−1 )b2 · (L)c2

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Analisi dimensionale e modellazione

Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Ma2

0 = 1 + a2

a2 = −1

i  0  h −1 −3a L = L · L 2 · Lc2

0 = −1 − 3a2 + c2

c2 = −2

 0  h −1 −b i T = T ·T 2

0 = −1 − b2

b2 = −1

Il gruppo 52 risulta quindi

µ ρωD 2

52 =

che e` l’inverso di una sorta di numero di Reynolds

ρωD 2 µ

502 = Il secondo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 5 3 = M L T = Q · ρ a 3 · ω b3 · D c3 = h i = (L3 T−1 ) · (ML−3 )a3 · (T−1 )b3 · (L)c3 Imponendo che 53 sia adimensionale si ottiene

 0 h a i M = M3 

i  h L0 = L3 · L−3a3 · Lc3

 0  h −1 −b i T = T ·T 3

0 = a3

a3 = 0

0 = 3 − 3a3 + c3

c3 = −3

0 = −1 − b3

b3 = −1

Il gruppo 53 risulta quindi

53 =

Q ωD 3

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

1p = f ρω2 D 2



ρωD 2 Q , µ ωD 3



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42 Capitolo 7

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Prove sperimentali e similitudine incompleta 7.37 Qual e` la regola da seguire per evitare che in galleria del vento le pareti influenzino il moto attorno a un modello? Perche´ si avrebbero errori di misura se non si seguisse tale regola?

Analisi Se il rapporto tra l’area frontale del modello e l’area della sezione trasversale della galleria non e` piccolo, l’aria accelera attorno al modello in maniera significativa, per cui il moto non puo` piu` considerarsi non confinato. Conseguentemente, non e` piu` pienamente soddisfatta la similitudine cinematica e cio` porta, ad esempio, ad una resistenza aerodinamica maggiore. Pertanto, si segue la regola che l’area frontale del modello sia inferiore al 7,5% dell’area della sezione trasversale della galleria in corrispondenza del tratto di prova.

7.38 Qual e` il valore limite del numero di Mach al di sotto del quale e` accettabile l’approssimazione di fluido incomprimibile? Perche´ le prove in galleria del vento vanno condotte con numero di Mach inferiore a tale valore?

Analisi Il numero di Mach Ma e` dato dal rapporto tra la velocita` v del moto e la velocita` c con la quale si propaga il suono nel mezzo aeriforme. La variazione della densita` di un gas in moto dipende dal numero di Mach. Poiche´ per Ma < 0,3 le variazioni di densita` ` e` possibile sono all’incirca inferiori al 5%, in tal caso, per semplicita, studiare il moto del gas come fosse incomprimibile senza commettere un errore apprezzabile. Quindi, le prove in galleria del vento ´ per vanno condotte con numero di Mach inferiore a 0,3 perche, valori superiori, per la comprimibilita` dell’aria non sussisterebbe piu` la similitudine tra modello e prototipo.

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Analisi dimensionale e modellazione

43

7.39 Abitualmente, un modello e` piu` piccolo del prototipo. In quali situazioni e` meglio che il modello sia piu` grande del prototipo?

Analisi Le situazioni in cui risulta piu` utile un modello piu` grande del prototipo sono relative a campi di moto di dimensioni ridotte e/o con velocita` elevate. In tali casi, infatti, un modello di dimensioni maggiori e con velocita` minori rende le misure e la visualizzazione del moto piu` semplici e precise. Alcuni esempi sono: -

il moto degli insetti il moto di sedimentazione di piccole particelle in acqua o in aria il moto di goccioline d’acqua all’interno delle nuvole il moto in tubi di diametro molto piccolo il moto in sistemi biologici, come quello del sangue nei capillari o dell’aria nei bronchi.

7.40 Qual e` il motivo della presenza dei tapis roulant nelle prove in galleria del vento su modelli di autoveicoli? Se la galleria non e` dotata di tapis roulant, quale soluzione alternativa si puo` adottare?

galleria del vento tratto di prova

Analisi Osservando il moto di un’automobile da un sistema di riferimento solidale con essa, sia l’aria che la superficie stradale vanno ` Quando si effettuano incontro all’automobile con la stessa velocita. prove in galleria del vento su modelli di autoveicoli, l’aria e` in moto attorno al modello ma, se il pavimento e` fermo, le caratteristiche del moto in galleria non sono uguali a quelle del prototipo. In particolare, al di sotto del modello si sviluppa uno strato limite di velocita` la cui presenza rende non pienamente soddisfatta la similitudine cinematica. In alternativa all’uso del tapis roulant, si potrebbe collocare il modello su una sottile lastra (falso pavimento) posta subito al di sopra dello strato limite del pavimento, in modo da ridurre lo spessore dello strato limite e rendere cos`ı la sua influenza sul moto praticamente trascurabile.

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V

falso pavimento

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44 Capitolo 7 c h

g

ρ, µ

7.41 La celerita` c con cui si propaga un’onda sulla superficie di un liquido e` funzione dell’altezza h , dell’accelerazione di gravita` g , della densita` del fluido ρ e della viscosita` µ. Usando l’analisi dimensionale, mostrare che in un problema di moto ondoso in acque basse sia il numero di Froude sia il numero di Reynolds sono parametri adimensionali significativi. Manipolare i gruppi 5 in modo da ottenere i parametri nella forma

c Fr = √ = f (Re) gh in cui Re = ρch/µ.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 5 parametri. Quindi, n = 5 e

c = f (h, g, ρ, µ) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  c = LT     ρ = ML−3

   −2  g = LT     µ = ML−1 T−1

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 3 = 2. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Si scelgono h, ρ e g . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = c · h a1 · ρ b1 · g c1 = h i = (LT−1 ) · (L)a1 · (ML−3 )b1 · (LT−2 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −1 −2c i T = T ·T 1 i  0 h L = L · La1 · L−3b1 · Lc1

0 = −1 − 2c1

c1 = −

1 2

a1 = −

1 2

0 = 1 + a1 − 3b1 + c1

Il gruppo 51 risulta quindi

c 51 = √ gh

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Analisi dimensionale e modellazione

che e` un numero di Froude. Il 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 5 2 = M L T = µ · h a 2 · ρ b2 · g c2 = h i = (ML−1 T−1 ) · (L)a2 · (ML−3 )b2 · (LT−2 )c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = M · Mb2

0 = 1 + b2

b2 = −1

 0  h −1 −2c i T = T ·T 2

0 = −1 − 2c2

c2 = −

i  0  h −1 a L = L · L 2 · L−3b2 · Lc2

0 = −1 + a2 − 3b2 + c2



a2 = −

1 2

3 2

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

µ √ ρh 3/2 g

Invertendo, scrivendo h 3/2 come h ottiene

502 =

√

h e moltiplicando per 51 , si

ρch µ

che e` un numero di Reynolds. Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

V Fr = √ = f (Re) gh con

Re =

ρch µ

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45

46 Capitolo 7

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7.42 Una piccola galleria del vento di un laboratorio didattico ha una sezione trasversale di 50 cm × 50 cm ed e` lunga 1,2 m. La massima velocita` dell’aria e` di 50 m/s. Alcuni studenti devono costruire un modello di un autotreno, lungo 15 m, largo 2,5 m e alto 3,6 m, per studiare l’effetto dell’arrotondamento della parte posteriore del rimorchio sulla resistenza aerodinamica. In galleria del vento l’aria e` a pressione atmosferica e alla temperatura di 25 ◦ C. Qual e` la massima scala alla quale gli studenti possono costruire il modello affinche´ il moto attorno a esso non sia influenzato in maniera significativa dalle pareti della galleria? Qual e` il massimo valore del numero di Reynolds del modello che puo` essere raggiunto? E` possibile raggiungere il campo di valori in cui il moto risulta indipendente dal numero di Reynolds?

Analisi Affinche´ il moto attorno al modello non sia influenzato in maniera significativa dalle pareti della galleria, l’area frontale del modello deve essere inferiore al 7,5% dell’area della sezione trasversale della galleria in corrispondenza del tratto di prova. Essendo l’area della sezione trasversale in tale tratto

A = 0,5 × 0,5 = 0,25 m2 il modello puo` avere un’area frontale massima pari al 7,5% di tale valore, cioe`

Am = 0,075 × 0,25 = 0,01875 m2 Essendo l’area frontale del prototipo

A p = 2,5 × 3,6 = 9 m2 si ha un rapporto di scala tra le aree

Am 0,01875 = = 0,002083 Ap 9 e un rapporto di scala tra le lunghezze

p Lm = 0,002083 = 0,04564 Lp pari a 1:22 circa. Il massimo valore del numero di Reynolds che puo` essere raggiunto si ha in corrispondenza del massimo valore di velocita` in galleria e della massima larghezza del modello L max

L max = 0,04564 × L p = 0,04564 × 2,5 = 0,114 m per cui, avendo l’aria a 25 ◦ C densita` ρ = 1,184 kg/m3 e viscosita` µ = 1,849 × 10−5 Pa · s, si ha

Remax =

ρVmax L max 1,184 × 50 × 0,114 = = 365 300 µ 1,849 × 10−5

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Analisi dimensionale e modellazione

I risultati dell’Esempio 7.8, sintetizzati nella figura sotto riportata, mostrano che il coefficiente di resistenza aerodinamica non dipende piu` dal numero di Reynolds per valori di Re > 5,5 × 105 . Pertanto, con le prove effettuabili nella galleria del vento, essendo Remax = 3,55 × 105 , non e` possibile raggiungere il campo di valori di Re in cui il moto e` indipendente dal numero di Reynolds. 1,4 Cr

1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 2

3

4

5

6

7

8

Re × 10–5

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48 Capitolo 7

V (m/s)

Fr m (N)

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0,29 0,64 0,96 1,41 1,55 2,10 2,65 3,28 4,07 4,91

7.43 Si deve testare in galleria del vento un modello in scala 1:16 di una nuova vettura sportiva. Il prototipo e` lungo 4,37 m, alto 1,30 m ` e largo 1,69 m. La galleria e` dotata di tapis roulant la cui velocita, durante le prove, e` sempre uguale a quella dell’aria. Al variare della velocita` dell’aria nella galleria, vengono rilevati i valori di resistenza aerodinamica del modello riportati nella tabella. Calcolare i valori del coefficiente di resistenza Cr m del modello e riportarne i valori in un grafico in funzione del numero di Reynolds Rem , usando, nel calcolo del coefficiente di resistenza, l’area frontale del modello (larghezza × altezza) e, nel calcolo del numero di Reynolds, la larghezza del modello come lunghezza caratteristica. Stabilire se c’e` similitudine dinamica tra modello e prototipo e se e` stato raggiunto il campo di valori in cui il moto risulta indipendente dal numero di Reynolds. Stimare, inoltre, la resistenza aerodinamica del prototipo, quando questo viaggia a una velocita` di 29 m/s, ipotizzando che l’aria, in galleria del vento e attorno al prototipo, sia a pressione atmosferica e a una temperatura di 25 ◦ C.

Analisi Il coefficiente di resistenza del modello ed il numero di Reynolds sono, rispettivamente,

Cr m =

Fr m 1 ρm Vm2 Am 2

e

Rem =

ρm Vm L m µm

Essendo

Lm 1 = 0,0625 = Lp 16 si ha

L m = 0,0625 L p = 0,0625 × 1,69 = 0,106 m Cr m

Re 

0,571 0,560 0,472 0,444 0,339 0,337 0,326 0,319 0,320 0,319

5

0,68 × 10 1,01 × 105 1,35 × 105 1,69 × 105 2,03 × 105 2,37 × 105 2,71 × 105 3,04 × 105 3,38 × 105 3,72 × 105

Am = A p

1 16

2

= 1,30 × 1,69 × 0,06252 = 0,00858 m2

Per i valori di velocita` Vm e resistenza aerodinamica Fr m rilevati nel modello, avendo l’aria a 25 ◦ C densita` ρ = 1,184 kg/m3 e viscosita` µ = 1,849 × 10−5 Pa · s, si ottengono i valori del coefficiente di resistenza Cr m e di Re riportati nella tabella a fianco. Il numero di Reynolds del prototipo, alla velocita` di 29 m/s, pari a 104 km/h, e`

Re p =

ρ p Vp L p 1,184 × 29,0 × 1,69 = = 31,4 × 105 µp 1,849 × 10−5

cioe` circa 8 volte quello del modello alla velocita` massima di prova.

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Analisi dimensionale e modellazione

Pertanto, non essendo uguali i due numeri di Reynolds, non esiste similitudine dinamica. Dalla tabella o dal grafico di Cr in funzione di Re riportato a fianco emerge che, per Re > 3 × 105 , Cr non dipende da Re e vale circa 0,32. Pertanto, tale risultato si puo` estrapolare a valori del numero di Reynolds maggiori del valore di soglia (3 × 105 ). Alla velocita` di 29 m/s, essendo

49

0,60 Crm 0,55 0,50 0,45 0,40

2

A p = 1,30 × 1,69 = 2,197 m la forza di trascinamento sul prototipo risulta

Fr p =

1 1 Cr ρ p V p2 A p = × 0,32 × 1,184 × 29,02 × 2,197 = 2 2

= 350 N

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0,35 0,30 0

1

2

3

4

Re × 10–5

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50 Capitolo 7

Riepilogo 7.44 Stabilire quale delle seguenti affermazioni e` vera, giustificando brevemente la risposta: a) b) c) d)

la similitudine cinematica e` condizione necessaria e sufficiente per la similitudine dinamica; la similitudine geometrica e` condizione necessaria per la similitudine dinamica; la similitudine geometrica e` condizione necessaria per la similitudine cinematica; la similitudine dinamica e` condizione necessaria per la similitudine cinematica.

Analisi a) b) c) d)

Falso: la similitudine cinematica e` condizione necessaria ma non sufficiente per la similitudine dinamica; Vero: non puo` aversi similitudine dinamica se modello e prototipo non sono geometricamente simili; Vero: non puo` aversi similitudine cinematica se modello e prototipo non sono geometricamente simili; Falso: e` possibile avere similitudine cinematica (il rapporto tra le velocita` nel modello e nel prototipo e` uguale in tutti i punti) senza che si abbia similitudine dinamica (il rapporto tra le forze nel modello e nel prototipo non e` uguale nei diversi punti).

7.45 Citare qualche esempio di moto nel modello e nel prototipo caratterizzati da similitudine geometrica e stesso numero di Reynolds, ma non da similitudine cinematica.

Analisi Alcuni esempi potrebbero essere i seguenti: -

-

-

prove in galleria del vento su un modello di automobile in cui e` soddisfatta la similitudine geometrica e assicurata l’uguaglianza tra i numeri di Reynolds ma e` assente il tapis-roulant, per cui non e` soddisfatta la similitudine cinematica; prove in galleria del vento su un modello di aeroplano in cui e` soddisfatta la similitudine geometrica e assicurata l’uguaglianza tra i numeri di Reynolds ma non quella tra i numeri di Mach, per cui non e` soddisfatta la similitudine cinematica; modello di moto a superficie libera in cui e` soddisfatta la similitudine geometrica e assicurata l’uguaglianza tra i numeri di Reynolds ma non quella tra i numeri di Froude, per cui non e` soddisfatta la similitudine cinematica.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Analisi dimensionale e modellazione

7.46 Quando un missile colpisce il bersaglio, si ha un’esplosione dalla quale parte un’onda d’urto che si propaga in ogni direzione. Il salto di pressione 1p attraverso l’onda e la distanza r dal punto in cui si ha l’esplosione sono funzioni del tempo t , della velocita` del suono c e della quantita` di energia E prodotta dall’esplosione. (a) Stabilire una relazione adimensionale tra 1p e gli altri parametri e tra r e gli altri parametri. (b) Misurando il tempo dall’istante in cui si ha l’esplosione, di quanto diminuisce 1p al tempo 2t rispetto al valore al tempo t ?

Analisi (a)

I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Nel primo problema compaiono 4 parametri. Quindi,

Fase 1

n =4e 1p = f (t, c, E) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

    1p = ML−1 T−2    −1  c = LT

   t = T     E = ML2 T−2

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 4 − 3 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente, la scelta e` limitata ai tre parametri indipendenti t, c e E . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente



i h i  h 51 = M0 L0 T0 = 1p · t a1 · cb1 · E c1 = h i = (ML−1 T−2 ) · (T)a1 · (LT−1 )b1 · (ML2 T−2 )c1

Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mc1

0 = 1 + c1 c1 = −1

i  0  h −1 b L = L · L 1 · L2c1

0 = −1 + b1 + 2c1 b1 = 3

i  0  h −2 a T = T · T 1 · T−b1 · T−2c1

0 = −2 + a1 − b1 − 2c1 a1 = 3

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boom! r

c E

1p

onda d’urto

51

52 Capitolo 7

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Il gruppo 51 risulta quindi

51 = 1p

t 3 c3 E

Fase 6 Vi e` un solo 5, che non e` funzione di alcun altro parametro. Per cui deve essere necessariamente costante. La relazione funzionale finale risulta

1p = costante

E t 3 c3

Passando al secondo problema, si hanno ancora 4 parametri. Fase 1 Si ha n = 4 e

r = f (t, c, E) Fase 2 Le dimensioni primarie dei parametri sono

    r = L

   t = T

   −1  c = LT

   2 −2  E = ML T

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 4 − 3 = 1. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente, la scelta e` limitata ai tre parametri indipendenti t, c e E . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente



i h i  h 51 = M0 L0 T0 = r · t a1 · cb1 · E c1 = h i = (L) · (T)a1 · (LT−1 )b1 · (ML2 T−2 )c1

Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

 0 h c i M = M1

0 = c1 c1 = 0

i  0 h L = L · Lb1 · L2c1

0 = 1 + b1 + 2c1 b1 = −1

i  0 h a T = T 1 · T−b1 · T−2c1

0 = a1 − b1 − 2c1 a1 = −1

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Analisi dimensionale e modellazione

Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

r tc

Fase 6 Vi e` un solo 5, che non e` funzione di alcun altro parametro. Per cui deve essere necessariamente costante. La relazione funzionale finale risulta

r = costante · tc (b)

La prima relazione funzionale mostra che 1p e` inversamente proporzionale a t 3 . Pertanto, se al tempo t1 il salto di pressione e` 1p1 , al tempo t2 = 2t1 si ha

1p2 =

1p1 1p1 = 3 2 8

Discussione Il salto di pressione attraverso l’onda d’urto decresce rapidamente col tempo (e con la distanza dal punto in cui avviene l’esplosione).

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53

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54 Capitolo 7

µ h

7.47 Si consideri il moto permanente, in regime laminare, di un

vx(y) vmax

y x

fluido incomprimibile tra due lastre piane parallele indefinite, bidimensionale nel piano x y , forzato da un gradiente di pressione d p/d x costante e negativo (moto alla Poiseuille). Per le caratteristiche del moto, non ci sono effetti di inerzia e la densita` non e` un parametro significativo. La componente vx della velocita` nella direzione del moto risulta funzione della distanza h tra le due lastre, del gradiente di pressione d p/d x , della viscosita` µ e della coordinata verticale y . Utilizzando l’analisi dimensionale, stabilire una relazione tra tali variabili.

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 5 parametri. Quindi, n = 5 e

 vx = f Fase 2



dp h, , µ, y dx



Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  vx = LT

    h = L

   dp = ML−2 T−2 dx

    µ = ML−1 T−1

    y = L

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 5 − 3 = 2. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente e la lunghezza y , che ha le stesse dimensioni di h ma e` una quantita` variabile, si scelgono h, d p/d x e µ. Fase 5 Si deriva il 5 dipendente



51



 b1 h i h i dp 0 0 0 a1 = M L T = vx · h · · µ c1 = dx h i = (LT−1 ) · (L)a1 · (ML−2 T−2 )b1 · (ML−1 T−1 )c1

Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h b M = M 1 · Mc1

0 = b1 + c1

b1 = −c1

i  0  h −1 −2b T = T · T 1 · T−c1

0 = −1 − 2b1 − c1

c1 = 1

i  0 h L = L · La1 · L−2b1 · L−c1

0 = 1 + a1 − 2b1 − c1 a1 = −2

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Il gruppo 51 risulta quindi

51 = 

vx µ  dp h2 dx

Il 5 indipendente e` direttamente

52 =

y h

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

51 = 

y vx µ  = f dp h h2 dx

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Analisi dimensionale e modellazione

55

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56 Capitolo 7

7.48 Nell’esercizio precedente, la velocita` e` massima in corrispondenza della mezzeria. Stabilire una relazione adimensionale che esprima la velocita` massima vmax in funzione della distanza h tra le lastre, del gradiente di pressione d p/d x e della viscosita` del fluido µ. Stabilire, inoltre, di quanto varia vmax se, a parita` di tutto il resto, raddoppia la distanza h tra i piani o il gradiente d p/d x e qual e` il numero minimo di prove sperimentali necessarie per descrivere la relazione completa tra vmax e le variabili da cui essa dipende.

Analisi Utilizzando i risultati del problema precedente, poiche´ vmax ha le stesse dimensioni di vx , si puo` direttamente concludere che il gruppo dipendente risultera`

51 = 

vmax µ  dp h2 dx

e che esso sara` l’unico gruppo, poiche´ tra i parametri non compare piu` y . Non dovendo 51 dipendere da null’altro, esso dovra` essere costante

51 = 

vmax µ  =k dp 2 h dx

per cui

vmax

h2 =k µ



dp dx



Pertanto, la velocita` massima risulta proporzionale al gradiente di pressione e al quadrato della distanza tra i piani. Per cui, se raddoppia il gradiente di pressione, la velocita` massima raddoppia, mentre se raddoppia la distanza tra i piani, la velocita` massima aumenta di un fattore 22 = 4. Per determinare il valore della costante, poiche´ esiste un solo gruppo adimensionale, e` sufficiente, in teoria, condur` per ridurre l’effetto degli re un’unica prova sperimentale. In realta, errori sperimentali, e` opportuno condurre piu` prove e calcolare la costante come valore medio di quelli delle singole prove.

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Analisi dimensionale e modellazione

7.49 La caduta di pressione 1p = p1 − p2 in un tratto di tubazione cilindrica puo` essere espressa in funzione dello sforzo tangenziale alla parete τ0 . In termini di gruppi adimensionali, sono due i parametri che figurano nel problema: il rapporto 1p/ρV 2 (numero di Eulero Eu) e l’indice di resistenza λ. Usando il volume di controllo indicato in figura, stabilire una relazione che esprima λ in funzione di Eu.

Analisi L’equazione globale dell’equilibrio dinamico 6.24, applicata al volume di fluido compreso tra le sezioni 1 e 2, essendo 50 , 51 e 52 le spinte che, rispettivamente, la parete della tubazione e le sezioni di ingresso e di uscita esercitano sul fluido, diviene

G + 50 + 51 + 52 + I + M1 − M2 = 0 Essendo I = 0 perche´ il moto e` permanente e i flussi di quantita` di moto entranti e uscenti uguali e contrari, per cui M1 − M2 = 0, la spinta S che il fluido esercita sulla parete, uguale e contraria a 50 , risulta

S = −50 = G + 51 + 52 Proiettando nella direzione del moto, che per semplicita` si assume orizzontale, la componente Sx della spinta del fluido sulla parete e`

Sx = 51 − 52 = p1

π D2 π D2 π D2 − p2 = 1p 4 4 4

Tale forza risulta da una distribuzione di sforzi tangenziali τ0 sulla parete della tubazione, distribuzione che, per la simmetria rispetto all’asse e per l’uniformita` del moto, e` uniforme sull’intera superficie laterale del volume di controllo. Pertanto, essendo L la distanza tra le due sezioni, si ha

Sx = 1p

π D2 = τ0 π DL 4

da cui

1p =

4L τ0 D

Dividendo ambo i membri per ρV 2 , al fine di ottenere un numero di Eulero al primo membro, si ha

1p 1 4L 1 L Eu = = τ0 = ρV 2 ρV 2 D 2 D



8τ0 ρV 2



La quantita` tra parentesi all’ultimo membro, adimensionale, e` l’indice di resistenza λ della formula di Darcy-Weisbach (vedi Capitolo 8). Pertanto, in definitiva, si ha

λ=

8τ0 D = 2 Eu 2 ρV L

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57

volume di controllo p1

p2

τ0 V D

1

ρ, µ L

2

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58 Capitolo 7

D

g

ρ, µ

h d

7.50 Un liquido di densita` ρ e viscosita` µ fuoriesce da una luce di diametro d praticata sul fondo orizzontale di un recipiente cilindrico di diametro D . Inizialmente, l’altezza del liquido nel recipiente e` h . Usando l’analisi dimensionale, stabilire una relazione che leghi la velocita` di efflusso V ai parametri da cui dipende. Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo

V

delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 7 parametri. Quindi, n = 7 e

V = f (d, D, ρ, µ, h, g) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

   −1  V = LT     ρ = ML−3

    d = L    −1 −1  µ = ML T

    D = L     h = L

   −2  g = LT

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 7 − 3 = 4. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente e i parametri che hanno le stesse dimensioni, si scelgono h, ρ e g . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = V · h a1 · ρ b1 · g c1 = h i = (LT−1 ) · (L)a1 · (ML−3 )b1 · (LT−2 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −1 −2c i T = T ·T 1 i  0 h L = L · La1 · L−3b1 · Lc1

0 = −1 − 2c1

c1 = −

1 2

a1 = −

1 2

0 = 1 + a1 − 3b1 + c1

Il gruppo 51 risulta quindi

V 51 = √ gh che e` un numero di Froude. I gruppi indipendenti 52 e 53 si ottengono immediatamente come

52 =

d h

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Analisi dimensionale e modellazione

e

53 =

D h

` L’ultimo gruppo e` quello che contiene la viscosita:

i   h 0 0 0i h 5 4 = M L T = µ · h a 4 · ρ b4 · g c4 = h i = (ML−1 T−1 ) · (L)a4 · (ML−3 )b4 · (LT−2 )c4 Imponendo che 54 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb4

0 = 1 + b4

b4 = −1

 0  h −1 −2c i T = T ·T 4 i  0  h −1 a L = L · L 4 · L−3b4 · Lc4

0 = −1 − 2c4

c4 = −

1 2

0 = −1 + a4 − 3b4 + c4 a4 = −

3 2

Il gruppo 54 risulta quindi

µ

54 =

√ ρh 3/2 g

Invertendo e scrivendo h 3/2 come h

504 = che, essendo

√

√

h , si ottiene

√ ρh gh µ

` e` un numero di Reynolds. gh una velocita,

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

V = f √ gh



√  d D ρh gh , , h h µ

Discussione Scegliendo variabili ripetute diverse, si otterrebbero gruppi adimensionali diversi e, conseguentemente, una relazione funzionale diversa ma egualmente valida.

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59

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60 Capitolo 7

7.51 Con riferimento all’esercizio precedente, stabilire una relazione adimensionale che fornisca il tempo necessario perche´ il contenitore si svuoti, in funzione dei seguenti parametri indipendenti: diametro d della luce, diametro D del contenitore, densita` ρ , viscosita` µ, altezza iniziale del liquido h e accelerazione di gravita` g .

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, in particolare seguendo la procedura passopasso in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 7 parametri. Quindi, n = 7 e il tempo di vuotamento e`

tv = f (d, D, ρ, µ, h, g) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

    tv = T     ρ = ML−3

    d = L    −1 −1  µ = ML T

    D = L     h = L

   −2  g = LT

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 7 − 3 = 4. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente e i parametri che hanno le stesse dimensioni, si scelgono (come nel problema precedente) h, ρ e g . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = tv · h a1 · ρ b1 · g c1 = h i = (T) · (L)a1 · (ML−3 )b1 · (LT−2 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

 0 h b i M = M1 i  0 h T = T · T−2c1 i  0 h a L = L 1 · L−3b1 · Lc1

0 = b1

b1 = 0

0 = 1 − 2c1

c1 =

0 = a1 − 3b1 + c1

a1 = −

1 2 1 2

Il gruppo 51 risulta quindi

r 51 = tv

g h

I gruppi indipendenti sono uguali a quelli derivati nel problema precedente. Fase 6 La relazione funzionale finale risulta, pertanto,

r tv

g = f h



√  d D ρh gh , , h h µ

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Analisi dimensionale e modellazione

7.52 Si vuole stabilire sperimentalmente il tempo necessario perche´ un contenitore, simile a quello dell’esercizio 7.50, si svuoti completamente del suo contenuto di glicole etilenico. Poiche´ condurre esperimenti alla scala del prototipo usando glicole etilenico sarebbe troppo costoso, si decide di effettuare le prove su un modello, geometricamente simile, in scala 1:4, usando acqua come liquido di prova. La temperatura del glicole etilenico nel prototipo e` di 60 ◦ C, a cui corrisponde una viscosita` cinematica di 4,75×10−6 m2 /s. Che temperatura deve avere l’acqua nel modello perche´ si abbia similitudine completa? Se nel modello viene misurato un tempo di svuotamento di 4,53 min, qual e` il tempo necessario perche´ il prototipo si svuoti completamente?

Analisi Si puo` utilizzare il risultato ottenuto nel problema precedente, per il quale e`

r tv

g = f h



√  d D ρh gh , , h h µ

Poiche´ modello e prototipo sono geometricamente simili, e` (d/ h)m = (d/ h) p e (D/ h)m = (D/ h) p . Perche´ si abbia similitudine completa, si deve allora assicurare l’uguaglianza dell’ultimo gruppo. Pertanto, deve essere



√   √  ρh gh ρh gh = µ µ m p

e cioe`

ρp ρm = µm µp



hp hm

3/2

Essendo il rapporto tra viscosita` e densita` pari alla viscosita` cinematica ν ed essendo h p / h m = 4, dall’ultima relazione si ha

 νm = ν p

hp hm

−3/2

= 4,75 × 10−6 × 4−3/2 = 5,94 × 10−7 m2 /s

L’acqua ha una viscosita` cinematica uguale a tale valore quando e` alla temperatura di 45,8 ◦ C. Il tempo necessario perche´ il prototipo si svuoti completamente si calcola uguagliando i gruppi adimensionali corrispondenti

 r   r  g g tv = tv h m h p da cui

s tvp = tvm

√ hp = 4,53 × 4 = 9,06 min hm

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61

prototipo Dp ρp , µp

hp dp

g

modello ρm , µm

Dm

hm dm

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62 Capitolo 7

7.53 Un getto liquido fuoriesce da una luce sul fondo di un contenitore, avente diametro d molto piccolo rispetto al diametro D del contenitore stesso (d  D). I dati sperimentali mostrano che la velocita` media V di efflusso del getto e` praticamente indipendente da d , D , ρ e µ. In particolare, per un ampio intervallo di valori dei parametri, V risulta funzione solo dell’altezza h e dell’accelerazione di gravita` g . Se, a parita` di tutto il resto, l’altezza h raddoppia, di che fattore aumenta la velocita` media del getto?

Analisi Il problema e` simile a quello affrontato nell’esercizio 7.50, con la differenza che le variabili d, D, ρ e µ non compaiono piu` e si ha

V = f (h, g) per cui l’unico gruppo risulta il numero di Froude

V = costante 51 = √ gh Se l’altezza h raddoppia, dovendosi mantenere√ costante il numero di Froude, la velocita` V aumenta di un fattore 2.

Vs ρ, µ h

vx y x Vi

7.54 Si consideri il moto permanente, bidimensionale nel piano x y , di un fluido incomprimibile tra due lastre piane parallele indefinite, a distanza h l’una dall’altra, di cui quella inferiore in moto con velocita` Vi e la superiore in moto con velocita` Vs . Stabilire una relazione adimensionale tra la componente vx della velocita` secondo x e la viscosita` µ del fluido, le velocita` Vs e Vi delle due lastre, la distanza totale h tra le lastre, la densita` ρ del fluido e la distanza y dalla lastra inferiore. Analisi Se si osserva il moto con riferimento ad un sistema solidale con la lastra inferiore, esso appare analogo a quello studiato nell’esercizio 7.24, in cui la lastra superiore si muove con velocita` Vs − Vi . La procedura passo-passo per il metodo delle variabili ripetute fornisce dunque risultati analoghi e, in particolare,

 vx y = f Re, Vs − Vi h in cui

Re =

ρ(Vs − Vi ) h µ

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Analisi dimensionale e modellazione

7.55 La forza di reazione F sull’ugello di un idrante e` funzione della velocita` V1 nella sezione di ingresso, della differenza di pressione 1p = p1 − p2 tra la sezione di ingresso e quella di uscita, della densita` ρ , della viscosita` µ, dell’area della sezione di ingresso A1 , dell’area della sezione di uscita A2 e della lunghezza dell’ugello L . Stabilire una relazione adimensionale per F = f (V1 , 1p, ρ, µ, A1 , A2 , L) utilizzando V1 , A1 e ρ come variabili ripetute. Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 8 parametri. Quindi, n = 8 e

F = f (V1 , 1p, ρ, µ, A1 , A2 , L) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

    F = MLT−2    −1 −2  1p = ML T    2 A1 = L

   V1 = LT−1     ρ = ML−3    2 A2 = L 

    µ = ML−1 T−1     L = L

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 8 − 3 = 5. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Si scelgono V1 , A1 e ρ . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = F · V1a1 · Ab11 · ρ c1 = h i = (MLT−2 ) · (LT−1 )a1 · (L2 )b1 · (ML−3 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mc1  0  h −2 −a i T = T ·T 1 i  0 h L = L · La1 · L2b1 · L−3c1

0 = 1 + c1

c1 = −1

0 = −2 − a1

a1 = −2

0 = 1 + a1 + 2b1 − 3c1 b1 = −1

Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

F ρV12 A1

Il primo 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 52 = M L T = 1p · V1a2 · Ab12 · ρ c2 = h i = (ML−1 T−2 ) · (LT−1 )a2 · (L2 )b2 · (ML−3 )c2

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A1 V1 p1

63 A2

r d1

F x

V2 p2

L

64 Capitolo 7

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Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mc2  0  h −2 −a i T = T ·T 2 i  0  h −1 a L = L · L 2 · L2b2 · L−3c2

0 = 1 + c2

c2 = −1

0 = −2 − a2

a2 = −2

0 = −1 + a2 + 2b2 − 3c2 b2 = 0

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

1p ρV12

` Il secondo gruppo indipendente e:

i   h 0 0 0i h 53 = M L T = µ · V1a3 · Ab13 · ρ c3 = h i = (ML−1 T−1 ) · (LT−1 )a3 · (L2 )b3 · (ML−3 )c3 Imponendo che 53 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mc3  0  h −1 −a i T = T ·T 3 i  0  h −1 a L = L · L 3 · L2b3 · L−3c3

0 = 1 + c3

c3 = −1

0 = −1 − a3

a3 = −1

0 = −1 + a3 + 2b3 − 3c3 b3 = −

1 2

Il gruppo 53 risulta quindi

53 =

µ √

ρV1 A1

Il suo inverso

503

√ ρV1 A1 = = Re µ

essendo Re il numero di Reynolds. Gli altri due gruppi indipendenti, costruiti rispettivamente con i parametri A2 e L , che contengono la sola lunghezza, sono di immediata individuazione, essendo semplicemente

54 =

A2 A1

e

L 55 = √ A1

Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

F = f ρV12 A1



1p A2 L , Re, ,√ 2 A1 ρV1 A1



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Analisi dimensionale e modellazione

7.56 Quando un tubicino di piccolo diametro D viene inserito in un liquido a superficie libera, il liquido risale nel tubicino fino a una certa altezza h . La risalita h e` funzione della densita` del liquido ρ , del diametro del tubo D , dell’accelerazione di gravita` g , dell’angolo di contatto φ e della tensione superficiale σs del liquido. Stabilire una relazione adimensionale tra h e i parametri elencati e confrontarla con l’equazione esatta 2.57.

φ

g

Analisi I parametri adimensionali vengono derivati col metodo delle variabili ripetute, seguendo la procedura passo-passo in sei fasi. Fase 1 Nel problema compaiono 6 parametri. Quindi, n = 6 e

h = f (ρ, g, σs , D, φ) Fase 2

Le dimensioni primarie dei parametri sono

    ρ = ML−3

   −2  g = LT

    D = L

    φ = 1

    h = L     σs = MT−2

Fase 3 Le dimensioni fondamentali sono tre (M, L, T) per cui, in prima istanza, si assume j = 3. Se questo valore e` corretto, i parametri 5 sono k = n − j = 6 − 3 = 3. Fase 4 Poiche´ j = 3 bisogna scegliere tre variabili ripetute. Escludendo la variabile dipendente e il parametro adimensionale, si scelgono D, ρ e g . Fase 5 Si deriva il 5 dipendente

i   h 0 0 0i h 51 = M L T = h · D a1 · ρ b1 · g c1 = h i = (L) · (L)a1 · (ML−3 )b1 · (LT−2 )c1 Imponendo che 51 sia adimensionale si ottiene

i  h M0 = Mb1

0 = b1

b1 = 0

 0  h −2c i T = T 1

0 = −2c1

c1 = 0

i  0 h L = L · La1 · L−3b1 · Lc1

0 = 1 + a1 − 3b1 + c1



a1 = −1 Il gruppo 51 risulta quindi

51 =

h D

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ρ, σs

D

h

65

66 Capitolo 7

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Il 5 indipendente e`

i   h 0 0 0i h 52 = M L T = σs · D a2 · ρ b2 · g c2 = h i = (MT−2 ) · (L)a2 · (ML−3 )b2 · (LT−2 )c2 Imponendo che 52 sia adimensionale si ottiene

i  0 h M = M · Mb2

0 = 1 + b2

b2 = −1

 0  h −2 −2c i T = T ·T 2

0 = −2 − 2c2

c2 = −1

i  0 h a L = L 2 · L−3b2 · Lc2

0 = a2 − 3b2 + c2 a2 = −2

Il gruppo 52 risulta quindi

52 =

σs ρg D 2

L’angolo di contatto φ costituisce il secondo gruppo indipendente:

53 = φ Fase 6 La relazione funzionale finale risulta

h = f D



σs ,φ ρg D 2



L’equazione esatta 2.57 e`

h=

4σs cos φ ρg D

che risulta della stessa forma dell’equazione adimensionale trovata, poiche´ questa puo` essere scritta anche come

51 = costante × 52 × cos 53

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gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

8

Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

8

CORRENTI IN PRESSIONE SOMMARIO Il moto di un fluido puo` avvenire con modalita` differenti, chiamate regimi di moto. Il regime di moto laminare e` caratterizzato da traiettorie parallele e regolari, mentre il regime di moto turbolento e` caratterizzato da fluttuazioni della velocita` e movimento molto irregolare. Il numero di Reynolds Re e` definito come Re =

VD ρV D = µ ν

(8.7)

Il moto in una tubazione e` laminare per Re < 2300, turbolento per Re > 4000. La zona del campo di moto che risente degli effetti degli sforzi tangenziali viscosi e` chiamata strato limite di velocita. ` La regione compresa tra la sezione di imbocco di una tubazione e quella in cui lo strato limite arriva a occupare l’intera sezione si chiama regione d’ingresso. La lunghezza di tale regione, chiamata lunghezza d’ingresso, in moto turbolento ha uno sviluppo pari a circa 10 volte il diametro. Nella restante regione, detta di moto completamente sviluppato, l’indice di resistenza si mantiene costante. Nel moto laminare completamente sviluppato in una tubazione circolare, la velocita` massima vmax e la velocita` media V valgono

vmax = 2V

(8.18)

e

V =

1 ρg J D2 32 µ

(8.31)

essendo J la cadente piezometrica (o cadente), cioe` la differenza di quota piezometrica (o la perdita di carico) per unita` di percorso. La portata vale

Q =VA=

π ρg J D4 128 µ

(8.30)

In generale, qualunque sia il regime di moto,

la cadente si puo` esprimere con la formula di Darcy-Weisbach

J =λ

1 V2 D 2g

(8.32)

come proporzionale al rapporto tra l’altezza cinetica e il diametro attraverso il coefficiente λ, detto indice di resistenza. Per il moto laminare in una tubazione circolare, risulta

λ = 64/Re

(8.34)

Per tubazioni non circolari, nelle precedenti relazioni al posto del diametro va introdotto il diametro idraulico definito come Di = 4Ri , essendo il raggio idraulico Ri = A/C b , dove A e` l’area della sezione occupata dal liquido e C b il suo perimetro. In regime turbolento l’indice di resistenza e` funzione del numero di Reynolds e della scabrezza relativa ε/D ed e` espresso dalla formula di Colebrook

  2,51 1 ε 1 √ + √ = −2 log 3,71 D λ Re λ

(8.64)

Il grafico di questa formula e` noto come abaco di Moody. Trattandosi di una formula implicita, il calcolo di λ richiede l’uso di un metodo iterativo. In alternativa, conviene usare formule esplicite approssimate della formula di Colebrook, come, per esempio, la formula

  1 1 ε 5,8 + √ = −2 log 3,71 D Re0,9 λ

(8.65)

Le perdite dovute alla presenza lungo una tubazione di singolarita` quali valvole, curve, gomiti, raccordi a T, imbocchi, sbocchi, convergenti e divergenti sono chiamate perdite localizzate. Esse sono normalmente espresse in funzione dell’altezza cinetica tramite un coefficiente di perdita K . Per

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Capitolo 8

ciascun elemento, la perdita di carico si calcola come

V 2g

(8.85)

Tra due sezioni alle estremita` di una tubazione costituita da n tratti di diametro Di e lunghezza L i ` la perdita nella quale siano inserite m singolarita, di carico complessiva vale

1H =

n X i=1

λi

p1 V2 + α1 1 + 1H P = ρg 2g V2 p2 + α2 2 + 1HT + 1Hd = z2 + ρg 2g

z1 +

2

1H = K

sezioni 1 e 2 e`

m V j2 L i Vi2 X + Kj Di 2g 2g j=1

essendo 1H P la prevalenza della pompa, 1HT il salto utile della turbina e 1Hd la perdita di carico complessiva tra le due sezioni. La potenza meccanica PP che la pompa fornisce al fluido e la potenza elettrica PE assorbita dal motore della pompa si calcolano come

Se il sistema ha diametro costante, la perdita di carico totale diventa

  2 m L X V 1H = λ + Kj D 2g j=1 Una rete di distribuzione e` costituita da un gran numero di tubazioni collegate fra loro. Si chiama nodo della rete un punto in cui si ha una variazione delle caratteristiche geometriche o idrauliche della rete. Si chiama lato la tubazione che congiunge due nodi e maglia una successione di lati che partendo da un generico nodo individua un percorso che torna a chiudersi sul nodo di partenza. Lo studio di una rete si basa su due semplici principi: (1) la conservazione della massa deve essere soddisfatta in ogni nodo e (2) la perdita di carico tra due nodi deve essere la stessa per tutti i possibili percorsi tra i due nodi. La verifica di una rete richiede la risoluzione di un sistema di equazioni di cui una parte non lineari. I problemi di progetto, che le sole equazioni idrauliche non bastano a rendere determinati, vengono risolti introducendo delle condizioni dette di minima passivita` con le quali, tra tutte le soluzioni tecnicamente possibili, si individua quella economicamente piu` conveniente. Quando piu` tubazioni sono collegate in serie, a ciascuna tubazione compete la stessa portata. ` Quando una tubazione si dirama in due (o piu) tubazioni in parallelo che poi si ricongiungono in un nodo a valle, la portata totale e` la somma delle portate nelle singole tubazioni in parallelo ma la perdita di carico e` la stessa in ciascuna di tali tubazioni. Per un sistema in cui sia inserita una pompa o una turbina, l’equazione dell’energia tra due

(5.108)

PP =

ρg Q1H P ηP

e

PE =

ρg Q1H P ηP M

(8.109)

dove η P M e` il rendimento del gruppo pompamotore, prodotto del rendimento della pompa e del rendimento del motore. La curva che riporta la prevalenza in funzione della portata viene chiamata curva dell’impianto. La curva che da` il carico fornito dalla pompa in funzione della portata e` chiamata curva caratteristica della pompa. Il punto di funzionamento di un impianto di sollevamento e` il punto di intersezione della curva dell’impianto con la curva caratteristica. Si chiamano lunghe condotte le tubazioni che hanno una lunghezza pari almeno a 1000 K T D in cui K T e` la somma dei coefficienti delle perdite di carico localizzate presenti nella tubazione di diametro D . I calcoli idraulici relativi alle lunghe condotte vengono effettuati trascurando:

• • •

le perdite localizzate rispetto a quelle continue; le altezze cinetiche rispetto alle altezze piezometriche; la differenza fra la lunghezza effettiva della tubazione e quella della sua proiezione orizzontale.

Strumenti e tecniche di misura della portata e della velocita` possono essere divisi in tre categorie principali: (1) tecniche e strumenti di misura della portata, come i misuratori a strozzamento, a turbina, volumetrici, a sezione variabile e a ultrasuoni; (2) tecniche di misura della velocita` puntuale, come il tubo di Pitot, gli anemometri termici e la velocimetria laser; (3) tecniche di misura della velocita` a campo intero, come la velocimetria a immagini di particelle.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

SOLUZIONI Moto laminare e moto turbolento 8.1 Perche´ i liquidi vengono convogliati, generalmente, in tubazioni circolari? Analisi La maggior parte dei liquidi viene convogliata all’interno di tubazioni circolari perche´ la sezione trasversale di forma circolare e` in grado di resistere a notevoli differenze di pressione tra l’interno e l’esterno senza subire deformazioni significative.

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a D

b

8.2 Qual e` il significato fisico del numero di Reynolds? Come viene definito per il moto in una tubazione circolare di diametro interno D ? E per il moto in un condotto rettangolare con sezione trasversale a × b? Analisi Il numero di Reynolds Re e` un parametro adimensionale, proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze viscose, dal cui valore dipende il regime di moto. Per Re molto grandi, il numeratore e` molto piu` grande del denominatore e, pertanto, le forze di inerzia sono nettamente prevalenti rispetto alle forze viscose; queste non sono percio` in grado di smorzare le fluttuazioni casuali e rapide della velocita` per cui il moto risulta turbolento. Viceversa, per valori bassi del numero di Reynolds, le forze viscose sono grandi abbastanza da sopprimere tali fluttuazioni; pertanto, il moto si mantiene ”per filetti rettilinei”, cioe` laminare. Le forze di inerzia sono proporzionali alla densita` del fluido e al quadrato della velocita` ed inversamente proporzionali ad una lunghezza caratteristica della geometria del campo di moto. Le forze viscose sono, invece, proporzionali alla viscosita` ed alla prima potenza della velocita` ed inversamente proporzionali al quadrato della lunghezza caratteristica. Pertanto, essendo V la velocita` media della corrente, µ la viscosita` del fluido, ρ la sua densita` e ν = µ/ρ la viscosita` cinematica, per il moto in pressione in una tubazione circolare di diametro interno D , assumendo quest’ultimo come lunghezza caratteristica, il numero di Reynolds e`

Re =

VD ρV D = µ ν

Per una tubazione circolare piena il raggio idraulico Ri , pari al rapporto tra area e perimetro (o contorno bagnato), vale

Ri =

A π D 2 /4 D = = Cb πD 4

per cui la lunghezza caratteristica e` D = 4Ri . Generalizzando tale risultato, per le sezioni diverse dalla circolare si assume come lunghezza caratteristica il diametro idraulico

Di = 4Ri Per un condotto rettangolare di sezione trasversale a × b, si ha

Di = 4Ri =

2ab 4ab = 2(a + b) a+b

per cui

Re =

V Di V 2ab = ν ν a+b

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` 8.3 Un oggetto si muove in aria e poi in acqua con la stessa velocita. Quale dei due moti ha il numero di Reynolds piu` grande?

Analisi Essendo il numero di Reynolds inversamente proporzionale alla viscosita` cinematica ed essendo quest’ultima molto piu` piccola per l’acqua (a 25 ◦ C, ν = 0,89 × 10−6 m2 /s) che per l’aria (a ` il 25 ◦ C, ν = 15,6 × 10−6 m2 /s), a parita` di dimensioni e velocita, numero di Reynolds risulta piu` grande in acqua che in aria.

8.4 Qual e` il valore del numero di Reynolds al di sopra del quale il moto in una tubazione diventa turbolento?

Analisi Il valore generalmente accettato del numero di Reynolds al di sopra del quale il moto laminare in pressione in una tubazione circolare non e` piu` stabile e` Recr = 2300. Per valori del numero di Reynolds maggiori di Recr il moto puo` continuare a essere laminare o divenire turbolento in maniera casuale. Tuttavia, per la maggior parte delle situazioni pratiche, si puo` ritenere che in una tubazione a sezione circolare il moto sia laminare per Re < 2300, turbolento per Re > 4000 e instabile per valori intermedi.

8.5 Si consideri il moto di aria e acqua in tubazioni dello stesso diametro, alla stessa temperatura e con la stessa velocita` media. ´ Quale dei due moti e` piu` probabile che sia turbolento? Perche? ´ a parita` di temperatura, velocita` e dimensioni, il Analisi Poiche, numero di Reynolds risulta piu` grande in acqua che in aria (vedi Esercizio 8.3), e` piu` probabile che sia turbolento il moto dell’acqua.

8.6 Cos’e` il diametro idraulico? Com’e` definito? A cosa e` uguale, per una tubazione circolare di diametro D ? Analisi Il diametro idraulico e` una lunghezza caratteristica del moto dei fluidi, pari al quadruplo del raggio idraulico, cioe` del rapporto tra l’area A della sezione e il suo contorno bagnato C b . Pertanto,

Di = 4Ri = 4

A Cb

Per una tubazione circolare in pressione, esso coincide con il diametro D della tubazione. Infatti, si ha

Di = 4

A π D2 1 =4 =D Cb 4 πD

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8.7 Com’e` definita la lunghezza d’ingresso in una tubazione? Tale lunghezza e` maggiore in moto laminare o in moto turbolento?

Analisi La regione di ingresso e` la zona compresa tra la sezione iniziale della tubazione e quella in cui lo strato limite raggiunge l’asse; la sua dimensione nella direzione del moto e` chiamata lunghezza di ingresso. In regime di moto laminare tale lunghezza risulta notevolmente maggiore (tranne che per Re molto bassi) di quella che si ha in regime di moto turbolento.

8.8 Nel moto laminare in una tubazione circolare, lo sforzo tangenziale alla parete τ0 e` maggiore in prossimita` dell’imbocco della ´ E in regime turbolento? tubazione o piu` a valle? Perche?

Analisi Sia in regime laminare che in regime turbolento, lo sforzo tangenziale alla parete τ0 e` massimo in prossimita` dell’imbocco della tubazione, dove lo spessore dello strato limite e` minimo e ` a cui τ0 e` proporzionale, e` massimo. quindi il gradiente di velocita, Esso diminuisce poi gradualmente fino al valore che assume nella regione di moto completamente sviluppato.

8.9 In regime turbolento, la scabrezza della parete quale effetto ha sulla perdita di carico? E in regime laminare?

Analisi In regime turbolento, l’indice di resistenza (e, quindi, la perdita di carico) dipende sia dal numero di Reynolds che dalla scabrezza relativa. In particolare, la perdita aumenta all’aumentare della scabrezza. In regime laminare, invece, la scabrezza della parete non ha alcuna influenza sulla resistenza al moto, che dipende solo dal numero di Reynolds.

Moto completamente sviluppato 8.10 Nella regione di moto completamente sviluppato, lo sforzo tangenziale alla parete τ0 varia lungo la direzione del moto? Analisi No. Nella regione di moto completamente sviluppato lo sforzo tangenziale alla parete τ0 si mantiene costante nella direzione del moto, indipendentemente dal regime di moto.

8.11 Quale proprieta` del fluido e` responsabile dello sviluppo dello ` strato limite di velocita?

Analisi Lo sviluppo dello strato limite di velocita` e` causato dalla viscosita` del fluido.

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8.12 Nella regione di moto completamente sviluppato, il profilo di velocita` varia lungo la direzione del moto?

Analisi No. Nella regione di moto completamente sviluppato il profilo di velocita` si mantiene inalterato nella direzione del moto, indipendentemente dal regime di moto.

8.13 Nel moto in una tubazione, che legame c’e` tra l’indice di resistenza e la cadente piezometrica? Per una portata assegnata, che legame c’e` tra la perdita di carico tra due sezioni e la potenza di una pompa necessaria per garantire il moto?

Analisi La cadente piezometrica J e` proporzionale al rapporto tra l’altezza cinetica e il diametro, con coefficiente di proporzionalita` pari all’indice di resistenza λ. Pertanto,

J =λ

V2 2g D

Per una portata Q assegnata, la potenza PF che una pompa deve cedere a un fluido di densita` ρ per garantire il moto tra due sezioni poste a distanza L e` pari al prodotto della portata in peso ρg Q per la perdita di carico J L tra le due sezioni, per cui

PF = ρg Q L J = ρg Q L λ

V2 V2 = ρQL λ 2g D 2D

8.14 Perche´ lo sforzo tangenziale in corrispondenza dell’asse di una tubazione e` nullo?

Analisi Lo sforzo tangenziale e` proporzionale al gradiente di velo` Poiche´ in corrispondenza dell’asse della tubazione il profilo di cita. velocita` ha un massimo, il gradiente e, quindi, lo sforzo tangenziale sono entrambi nulli.

8.15 Perche´ lo sforzo tangenziale in corrispondenza della parete di una tubazione e` massimo?

Analisi Lo sforzo tangenziale e` proporzionale al gradiente di velo` che e` massimo in corrispondenza della parete. Pertanto, anche cita, lo sforzo tangenziale e` massimo in corrispondenza della parete.

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8.16 Se la lunghezza di una tubazione raddoppia, la perdita di carico tra le sezioni di estremita` diventa il doppio, piu` del doppio, meno del doppio, la meta` o rimane invariata?

Analisi La perdita di carico tra le sezioni di estremita` di una tubazione e` proporzionale alla lunghezza della tubazione, per cui se tale lunghezza raddoppia anche la perdita di carico diventa il doppio.

8.17 In una tubazione circolare, la portata, in regime di moto laminare, e` pari alla meta` del prodotto della velocita` in corrispondenza ´ dell’asse per l’area della sezione trasversale. Perche?

Analisi In regime laminare, la velocita` massima vmax in corrispondenza dell’asse e` pari al doppio della velocita` media V nella sezione. Pertanto, essendo A l’area della sezione trasversale, si ha Q =VA=

vmax A 2

8.18 In una tubazione circolare, in regime di moto laminare, a quale distanza dall’asse la velocita` e` uguale alla velocita` media?

Analisi In una tubazione circolare, in regime di moto laminare, il profilo di velocita` e` esprimibile con una funzione parabolica del tipo

  r2 v = 2V 1 − 2 R Ponendo v = V , si ha

1−

r2 1 = 2 R 2

da cui

R r=√ 2

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8.19 In una tubazione circolare, in regime di moto laminare, se il ` rimanendo la portata e la diametro della tubazione diventa la meta, lunghezza della tubazione immutate, la perdita di carico diventa il doppio, il triplo, il quadruplo o aumenta di un fattore 8 o 16?

Analisi In una tubazione circolare di diametro D , in regime di moto laminare, l’indice di resistenza e`

λ=

µ 64 = 64 Re ρV D

per cui la cadente risulta

J =λ

V2 V2 µ µ V = 64 = 32 2g D ρV D 2g D ρg D 2

Introducendo la portata Q = V A, si ha

J = 32

µ V µ 4Q 1 µ Q = 32 = 128 2 2 2 ρg D ρg π D D ρg π D 4

` quindi, proporzionale all’inverso della quarta La perdita di carico e, ` a potenza del diametro. Pertanto, se il diametro diventa la meta, parita` di tutto il resto, la perdita di carico aumenta di un fattore 16.

8.20 Cos’e` la viscosita` turbolenta? Da cosa e` causata? Analisi La viscosita` turbolenta µt e` causata dai vortici turbolenti e tiene conto del trasporto di quantita` di moto di tali vortici. Per analogia con la legge di Newton, essa e` il coefficiente di proporzionalita` tra lo sforzo tangenziale turbolento e il gradiente del valore medio temporale v¯ della componente della velocita` locale nella direzione del moto, per cui

τturb = µt

d v¯ dy

essendo y la direzione ortogonale a quella del moto.

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10 Capitolo 8

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8.21 Elaborando i risultati sperimentali relativi a una particolare tubazione, risulta che la perdita di carico e` data dalla relazione 1H = 0,0826 λL Q 2 /D 5 , in cui λ e` l’indice di resistenza, L e` la lunghezza della tubazione, Q e` la portata e D il diametro. La costante 0,0826 e` dimensionale o adimensionale?

Analisi Confrontando le dimensioni di ambo i membri della relazione assegnata, si ha

       2   L = 0,0826 · L · L3 T−1 · L−5

per cui la costante ha dimensioni

    0,0826 = L−1 T2

pari all’inverso di un’accelerazione. Infatti, in generale, si ha

1H = J L = λ

V2 Q2 L 8 Q2 λL L=λ = 2g D (π D 2 /4)2 2g D gπ 2 D5

8.22 In una tubazione circolare, in regime di moto laminare, se la viscosita` del fluido si dimezza (per esempio riscaldando il fluido), rimanendo la portata costante, come varia la perdita di carico? Analisi In una tubazione circolare di diametro D , in regime di moto laminare, la perdita di carico per unita` di percorso e` (vedi Esercizio 8.19)

J = 128

µ Q ρg π D 4

e risulta, quindi, direttamente proporzionale alla viscosita` del fluido. ` la perdita di carico, a parita` Pertanto, se la viscosita` diventa la meta, di tutto il resto, si dimezza anch’essa.

8.23 Nel moto di un fluido in una tubazione orizzontale a diametro costante, che relazione c’e` tra la perdita di carico e la perdita di pressione tra due sezioni? Come si passa dall’una all’altra?

Analisi In una tubazione orizzontale a diametro costante, essendo costante sia la quota che l’altezza cinetica, la perdita di carico tra due sezioni 1 e 2 e` pari al rapporto tra la perdita di pressione fra le due sezioni e il peso specifico del fluido. Infatti, si ha

    p1 α1 V12 p2 α2 V22 p1 − p2 1H = z 1 + + − z2 + + = = ρg 2g ρg 2g ρg =

1p ρg

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8.24 In una tubazione circolare con pareti lisce in cui defluisce aria in regime di moto laminare, l’indice di resistenza e` diverso da ´ zero? Perche?

Analisi L’indice di resistenza e` diverso da zero perche´ in un fluido in moto a contatto con una parete, liscia o meno, si sviluppa, per la condizione di aderenza, un gradiente di velocita` e, quindi, degli sforzi tangenziali. Quando la parete e` liscia lo sforzo risulta inferiore ai valori che esso assume in presenza di pareti scabre.

´ per alti valori del numero di Reynolds, l’indice di 8.25 Perche, resistenza e` indipendente da Re?

Analisi In moto laminare l’indice di resistenza e` inversamente proporzionale al numero di Reynolds. In moto turbolento, al crescere del numero di Reynolds aumenta il contributo degli sforzi turbolenti rispetto a quelli viscosi e, conseguentemente, l’indice di resistenza diminuisce molto piu` gradualmente che in moto laminare. Se il tubo e` scabro, a partire da un certo valore di Re, tanto piu` piccolo quanto maggiore e` la scabrezza, l’indice di resistenza non diminuisce piu` e rimane costante, divenendo, quindi, indipendente da Re. In tal caso, si dice che il regime di moto e` puramente turbolento. Questo comportamento e` dovuto al fatto che lo spessore δ del substrato laminare aderente alla parete, per la 8.51, e` inversamente proporzionale a Re. Per cui, al crescere di Re, dal substrato laminare emerge via via un numero sempre maggiore di protuberanze, cosa che favorisce lo sviluppo ulteriore della turbolenza fino a rendere del tutto trascurabile il contributo degli sforzi viscosi. Quando cio` accade, l’indice di resistenza non dipende piu` dalla viscosita` e, quindi, neanche dal numero di Reynolds.

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8.26 In una tubazione del diametro di 15 mm, lunga 40 m, in cui defluisce olio di densita` ρ = 910 kg/m3 e viscosita` µ = 0,042 Pa · s, la differenza di pressione tra le sezioni di estremita` e` di 730 kPa. Calcolare la portata nel caso in cui l’asse della tubazione e` (a) orizzontale, (b) inclinato di 20◦ verso l’alto, (c) inclinato di 20◦ verso il basso.

Analisi Essendo la tubazione di piccolo diametro ed il fluido piuttosto viscoso, e` ragionevole ipotizzare che il regime di moto possa essere laminare. In tal caso, per la 8.25, essendo θ l’angolo che l’asse della tubazione forma con l’orizzontale, si ha

Q= =

π (1p − ρgL sen θ ) 4 D = 128 µL π × 0,0154 × (730 000 − 910 × 9,81 × 40 × sen θ ) = 128 × 0,042 × 40

= (0,5397 − 0,2640 × sen θ ) × 10−3 m3 /s (a)

tubazione orizzontale: θ = 0◦

Q = (0,5397 − 0,2640 × sen 0) × 10−3 = = 0,540 × 10−3 m3 /s (b)

tubazione inclinata verso l’alto: θ = 20◦

Q = (0,5397 − 0,2640 × sen 20) × 10−3 = = 0,449 × 10−3 m3 /s (c)

tubazione inclinata verso il basso: θ = −20◦

  Q = 0,5397 − 0,2640 × sen(−20) × 10−3 = = 0,630 × 10−3 m3 /s

L’ipotesi di moto laminare e` verificata in tutti e tre i casi perche´ il numero di Reynolds massimo, che e` quello relativo al caso in cui la portata e` la massima, e`

Re =

ρV D 4ρ Q 4 × 910 × 0,630 × 10−3 = = = µ µπ D 0,042 × π × 0,015

= 1160 < 2300 Discussione Il moto e` mantenuto dalla differenza di quota piezometrica. La gravita` non ha, ovviamente, alcuna influenza sul moto in una tubazione orizzontale, mentre, a parita` di 1p , favorisce o ostacola il moto, rispettivamente, quando la tubazione e` inclinata verso il basso o verso l’alto.

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8.27 Da un serbatoio a superficie libera, pieno di olio di densita` ρ = 850 kg/m3 e viscosita` cinematica ν = 0,00062 m2 /s, e` derivata una tubazione del diametro di 20 mm e lunghezza di 40 m, la cui sezione terminale e` 3 m al di sotto della superficie libera del serbatoio. Calcolare la portata, nell’ipotesi di perdite localizzate trascurabili.

Analisi Il moto e` mantenuto dalla differenza di carico totale 1H tra il serbatoio e la sezione di sbocco. Per la 5.108, non essendo presenti pompe o turbine, tra un punto del liquido all’interno del serbatoio, il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento, e la sezione u di sbocco, dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, essendo 1Hd le perdite di carico lungo il percorso, si ha

  V2 1H = z s − z u + u = 1Hd 2g Trascurando l’altezza cinetica della corrente nella sezione di sbocco della tubazione ed esprimendo la perdita nella tubazione in funzione della cadente J , si ha

1H = z s − z u = 1Hd = J L da cui

J=

zs − zu 3 = = 0,075 L 40

Essendo la tubazione di piccolo diametro ed il fluido piuttosto viscoso, e` ragionevole ipotizzare che il regime di moto possa essere laminare. In tal caso, nota la cadente, per la 8.30 (formula di Poiseuille), si ha

Q=

π g J 4 π × 9,81 × 0,075 × 0,0204 D = = 128 ν 128 × 0,00062

= 4,66 × 10−6 m3 /s L’ipotesi di moto laminare e` verificata perche´

Re =

VD 4Q 4 × 4,66 × 10−6 = = = 0,479 < 2300 ν νπ D 0,00062 × π × 0,020

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14 Capitolo 8

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8.28 In una tubazione del diametro di 4 mm, lunga 15 m, defluisce acqua a 10 ◦ C (ρ = 999,7 kg/m3 e µ = 1,307 × 10−3 Pa · s) con una velocita` media di 0,6 m/s. Calcolare la perdita di carico tra le sezioni di estremita` e la potenza necessaria per vincere tale perdita.

Analisi Essendo Re =

ρV D 999,7 × 0,6 × 0,004 = = 1836 < 2300 µ 1,307 × 10−3

il moto e` laminare. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.34

λ=

64 Re

per cui, esprimendo la cadente J con la 8.32 (formula di DarcyWeisbach), si ha

J =λ

V2 64 0,62 = × = 0,160 2g D 1836 2 × 9,81 × 0,004

Pertanto, la perdita di carico tra le sezioni di estremita` della tubazione e`

1H = J L = 0,160 × 15 = 2,40 m Essendo la portata

Q =VA=V

π D2 π × 0,0042 = 0,6 × = 7,54 × 10−6 m3 /s 4 4

la potenza necessaria per vincere tale perdita e`

PF = ρg Q1H = 999,7 × 9,81 × 7,54 × 10−6 × 2,40 = = 0,177 W

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8.29 In una tubazione di acciaio (ε = 0,02 mm), del diametro di 50 mm, lunga 30 m, defluisce acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1, 138 × 10−3 Pa · s), con una portata di 6 l/s. Calcolare la perdita di carico tra le sezioni di estremita` e la potenza necessaria per vincere tale perdita.

Analisi Essendo il numero di Reynolds Re =

4ρ Q 4 × 999,1 × 0,006 ρV D = = = µ µπ D 1,138 × 10−3 × π × 0,050

= 134 000 > 2300 il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook)

  2,51 1 ε 1 √ = −2 log √ + λ Re λ 3,71 D che, essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere risolta utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = = −2 log √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,02 = −2 log × √ + 3,71 50 134 000 × λi Assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, cioe` ipotizzando che il moto sia puramente turbolento, si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0159 - 0,0194 - 0,0191 - 0,0191. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0192 che differisce dal precedente solo dello 0,5%. Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), la cadente J risulta

J =λ

V2 λ 8λQ 2 8 × 0,0191 × 0,0062 Q2 = = = = 2g D 2g D (π D 2 /4)2 gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,0505

= 0,182 Pertanto, la perdita di carico tra le sezioni di estremita` della tubazione e`

1H = J L = 0,182 × 30 = 5,46 m La potenza necessaria per vincere tale perdita e`

PF = ρg Q1H = 999,1 × 9,81 × 0,006 × 5,46 = 321 W

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30 m

50 mm

15

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16 Capitolo 8

8.30 In una tubazione di plastica (ε = 0), lunga 100 m, deve essere convogliata aria alla temperatura di 38 ◦ C e alla pressione di 1 bar (ρ = 1,135 kg/m3 e µ = 1,907 × 10−5 Pa · s) con una portata di 300 l/s. Calcolare il minimo valore da assegnare al diametro della tubazione affinche´ la perdita di carico sia inferiore a 15 m. Analisi Essendo L = 100 m la lunghezza della tubazione, alla perdita di carico di 15 m corrisponde la cadente J=

1H 15 = = 0,150 L 100

Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), il diametro D , oltre che dalla cadente J e dalla portata Q , dipende dall’indice di resistenza λ. Infatti, si ha

D=



8λQ 2 gπ 2 J

1/5

=



λ K

1/5

(1)

con

K =

9,81 × π 2 × 0,150 gπ 2 J = = 20,17 m−5 8Q 2 8 × 0,3002

e, per la 8.64 (formula di Colebrook),

  1 2,51 1 ε √ + √ = −2 log λ Re λ 3,71 D

(2)

Il sistema formato dalle equazioni 1 e 2 nelle due incognite λ e D , puo` essere risolto per successive approssimazioni, come nell’Esempio 8.4, o utilizzando per il calcolo di λ la formula approssimata 8.73

  1 ε 1/5 1 8 + λ √ = −2 log Re λ1/5 1,8 D λ scritta in funzione di parametri che non contengono il diametro. Per la 8.71, si ha

Re λ1/5 =

4ρ Q 1/5 4 × 1,135 × 0,300 K = × 20,171/5 = 41 460 µπ 1,907 × 10−5 × π

Essendo ε = 0, la 8.73 diviene

8 1 8 = −2 log √ = −2 log 1/5 Re λ 41 460 λ da cui λ = 0,01812. Sostituendo nell’espressione di D , si ottiene

D=



λ K

1/5

=



0,01812 20,17

1/5

= 0,246 m

Conseguentemente, la tubazione deve avere il diametro commerciale subito superiore a quello calcolato. Avendo effettuato il calcolo

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con una formula approssimata, e` opportuno comunque verificare che col diametro calcolato la perdita risulti effettivamente inferiore a quella assegnata. Si ha

Re =

4ρ Q 4 × 1,135 × 0,300 = = 92 400 µπ D 1,907 × 10−5 × π × 0,246

La formula ricorsiva 8.67

  2,51 1 ε 1 2,51 = −2 log = −2 log √ + √ √ 3,71 D λi+1 Re λi 92 400 × λi assumendo come valore iniziale il valore λ = 0,01812 prima ottenuto, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,01831 - 0,01829 - 0,01829. Sostituendo nella formula di Darcy-Weisbach, si ottiene

J=

8 × 0,01829 × 0,32 8λQ 2 = = 0,151 gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,2465

e

1H = J L = 0,151 × 100 = 15,1 m valore praticamente uguale a quello assegnato. Pertanto, la tubazione deve avere un diametro di almeno 246 mm.

8.31 In una tubazione circolare, in regime di moto laminare, a R/2 dalla parete la velocita` vale 1,5 m/s. Quanto vale la velocita` in corrispondenza dell’asse della tubazione?

Analisi In regime laminare, il profilo di velocita` e` esprimibile con una funzione parabolica del tipo

v = vmax



r2 1− 2 R



essendo vmax la velocita` massima, che si ha in corrispondenza dell’asse. Sostituendo il valore dato, si ha

    (R/2)2 1 3 v R/2 = vmax 1 − = v 1 − = vmax max R2 4 4 da cui

vmax =

4 4 v R/2 = × 1,5 = 2 m/s 3 3

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18 Capitolo 8 µ µ r2 vx(r) = 2 1 − –– 2 R R

8.32 In una tubazione del diametro di 40 mm, in regime di moto laminare, il profilo di velocita` e` dato dalla relazione



r2 vx (r ) = 2 1 − 2 R



[m/s]

Calcolare la velocita` media, la velocita` massima e la portata.

Analisi In regime laminare, il profilo di velocita` e` esprimibile con una funzione parabolica del tipo

v = vmax



r2 1− 2 R



Confrontando con l’espressione assegnata, si ha

vmax = 2 m/s Per la 8.18 la velocita` media e`

V =

vmax 2 = = 1 m/s 2 2

per cui la portata risulta

Q =VA=V

π × 0,0402 π D2 =1× = 0,00126 m3 /s 4 4

8.33 Risolvere l’esercizio precedente per una tubazione del diametro di 100 mm. Analisi I valori di velocita` massima e velocita` media risultano uguali a quelli dell’esercizio precedente. Il diametro e` invece pari a 100/40 = 2,5 volte il diametro dell’esercizio precedente. Poiche´ la portata, a parita` di velocita` media, e` funzione del quadrato del diametro, la nuova portata e` pari a 2,52 = 6,25 volte quella precedente. Infatti, si ha

Q =VA=V

π D2 π × 0,1002 =1× = 0,00785 m3 /s 4 4

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8.34 In una tubazione del diametro di 400 mm defluisce olio, di densita` ρ = 894 kg/m3 e viscosita` µ = 2,33 Pa · s, con una velocita` media di 0,5 m/s. Calcolare la potenza richiesta per mantenere il moto in un tratto di tubazione lungo 300 m. Analisi La potenza richiesta e` uguale a quella dissipata tra le due ` quindi, pari al prodotto sezioni di estremita` della tubazione ed e, della portata in peso per la perdita di carico 1H tra le due sezioni. Essendo

Re =

894 × 0,5 × 0,400 ρV D = = 76,7 < 2300 µ 2,33

il moto e` laminare. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.34

λ=

64 Re

per cui, esprimendo la cadente J con la 8.32 (formula di DarcyWeisbach), si ha

J =λ

V2 64 V 2 64 0,52 = = × = 2g D Re 2g D 76,7 2 × 9, 81 × 0,400

= 0,0266 Pertanto, la perdita di carico tra le sezioni di estremita` della tubazione e`

1H = J L = 0,0266 × 300 = 7,98 m Essendo la portata

Q =VA=V

π D2 π × 0,4002 = 0,5 × = 0,0628 m3 /s 4 4

la potenza necessaria per mantenere il moto e`

PF = ρg Q1H = 894 × 9,81 × 0,0628 × 7,98 = 4400 W

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20 Capitolo 8

8.35 In una condotta a sezione quadrata, in regime di moto laminare, di quanto varia la cadente se la velocita` media del fluido nella condotta raddoppia?

Analisi In regime laminare, l’indice di resistenza in una condotta a sezione diversa dalla circolare e` dato dalla 8.38

λ=

cf Re

in cui c f = 56,9 e` il coefficiente di forma per una sezione quadrata (vedi Tabella 8.1). Introducendo tale espressione nella formula 8.32 di Darcy-Weisbach, la cadente

J=

cf V2 ν V2 νV = cf = cf Re 2g Di V Di 2g Di 2g Di2

risulta direttamente proporzionale alla velocita` media della corrente. Per una sezione quadrata di lato l , per la quale il diametro idraulico e`

Di = 4

A l2 =4 =l Cb 4l

risulta

J = cf

νV νV = cf 2 2gl 2 2g Di

Quindi, se, a parita` di tutto il resto, raddoppia la velocita` media, raddoppia anche la cadente.

Discussione Il risultato e` valido per il moto laminare in generale, indipendentemente dalla forma della sezione trasversale della condotta.

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8.36 In un tubo liscio, in regime di moto turbolento, di quanto varia la cadente se la velocita` media raddoppia? E in un tubo scabro, in moto puramente turbolento? Analisi In regime di moto turbolento in tubo liscio, per Re < 105 l’indice di resistenza puo` essere espresso con la 8.83 (formula di Blasius)

λ = 0,316 Re−0,25 per cui la cadente risulta

J =λ

V2 = 0,316 2g D



ρV D µ

−0,25

ν 0,25 V 1,75 V2 = 0,316 2g D 2g D 1,25

` Pertanto, se la veloproporzionale alla potenza 1,75 della velocita. cita` raddoppia, la cadente aumenta di un fattore 21,75 = 3,36. In generale, in regime di moto turbolento in tubo liscio, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.56 (formula di Prandtl-von Karm ´ an) ´

1 2,51 √ = −2 log √ λ Re λ In tal caso, non e` possibile esprimere in forma esplicita la legge di ` Poiche, ´ pero, ` all’aumentare variazione della cadente con la velocita. della velocita` e quindi del numero di Reynolds l’indice di resistenza diminuisce con una potenza di Re avente esponente compreso tra −0,25 (formula di Blasius) e 0 (λ indipendente da Re - moto puramente turbolento), si puo` affermare che, al crescere della velo` nel moto turbolento in tubo liscio, la cadente e` proporzionale cita, ad una potenza della velocita` avente esponente compreso tra 1,75 (Re < 105 ) e 2 (per Re molto grande). Per cui, se la velocita` raddoppia, la cadente aumenta di un fattore, crescente al crescere di ` in un tubo liscio, Re, compreso tra 21,75 = 3,36 e 22 = 4. In realta, la condizione di moto puramente turbolento non viene raggiunta neanche per Re molto grandi. In un tubo scabro, in moto puramente turbolento, l’indice di resistenza non dipende dal numero di Reynolds ma solo dalla scabrezza relativa, essendo

  1 1 ε √ = −2 log 3,71 D λ In tale condizione, pertanto, la cadente e` proporzionale al quadrato ` Per cui, se questa raddoppia, la cadente aumenta di della velocita. un fattore 22 = 4.

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22 Capitolo 8 7m

150 mm aria 7 m/s

8.37 In una condotta in acciaio (ε = 0,045 mm), lunga 7 m, a sezione rettangolare di 150 mm × 200 mm, defluisce aria alla pressione di 1 bar ed alla temperatura di 35 ◦ C (ρ = 1,145 kg/m3 e µ = 1,895 × 10−5 Pa · s), con una velocita` media di 7 m/s. Calcolare la potenza che deve avere una ventola per vincere le perdite.

200 mm

Analisi La potenza richiesta e` uguale a quella dissipata tra le due ` quindi, pari al prodotto sezioni di estremita` della condotta ed e, della portata in peso per la perdita di carico 1H tra le due sezioni. Essendo

Di = 4

0,200 × 0,150 A =4× = 0,171 m Cb 2 × (0,200 + 0,150)

risulta

Re =

ρV Di 1,145 × 7 × 0,171 = = 72 300 > 2300 µ 1,895 × 10−5

per cui il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), che, essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere risolta utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 ε 1 2,51 = = −2 log √ + √ 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 0,045 1 = −2 log × √ + 3,71 171 72 300 × λi Assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0145 - 0,0211 - 0,0203 - 0,0204 - 0,0204. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0204. Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), la cadente J risulta

J =λ

V2 72 = 0,0204 × = 0,298 2g D 2 × 9,81 × 0,171

La perdita di carico tra le sezioni di estremita` della tubazione e`

1H = J L = 0,298 × 7 = 2,08 m per cui, essendo la portata

Q = V A = 7 × 0,200 × 0,150 = 0,210 m3 /s la potenza necessaria per mantenere il moto e`

PF = ρg Q1H = 1,145 × 9,81 × 0,210 × 2,08 = 4,91 W

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8.38 In una tubazione di rame (ε = 0,0015 mm), del diametro di 20 mm, lunga 100 m, defluisce acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s), con una portata di 0,5 l/s. Calcolare la potenza necessaria per mantenere il moto.

Analisi La potenza necessaria per mantenere il moto e` uguale a ` quella dissipata tra le due sezioni di estremita` della condotta ed e, quindi, pari al prodotto della portata in peso per la perdita di carico 1H tra le due sezioni. Essendo

Re =

4ρ Q 4 × 999,1 × 0,0005 ρV D = = = µ µπ D 1,138 × 10−3 × π × 0,020

= 28 000 > 2300 il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook)

  2,51 1 ε 1 √ = −2 log √ + λ Re λ 3,71 D che, essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere risolta utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = = −2 log √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,0015 = −2 log × √ + 3,71 20 28 000 × λi Assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0113 - 0,0266 - 0,0238 - 0,0241 - 0,0241. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0241. Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), la cadente J risulta

J =λ

V2 8λQ 2 8 × 0,0241 × 0,00052 = = = 0,156 2g D gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,0205

Pertanto, la perdita di carico tra le sezioni di estremita` della tubazione e`

1H = J L = 0,156 × 100 = 15,6 m La potenza necessaria per vincere tale perdita e`

PF = ρg Q1H = 999,1 × 9,81 × 0,0005 × 15,6 = 76,4 W

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24 Capitolo 8 15 m 50 kPa olio

15 mm

8.39 Da una tubazione, del diametro di 15 mm, defluisce in atmosfera olio di densita` ρ = 876 kg/m3 e viscosita` µ = 0,24 Pa · s. In una sezione a 15 m dallo sbocco, la pressione relativa vale 50 kPa. Calcolare la portata nella tubazione quando il suo asse e` (a) orizzontale, (b) inclinato di 8◦ verso l’alto e (c) inclinato di 8◦ verso il basso.

Analisi Essendo la tubazione di piccolo diametro ed il fluido piuttosto viscoso, e` ragionevole ipotizzare che il regime di moto possa essere laminare. In tal caso, per la 8.25, essendo θ l’angolo che l’asse della tubazione forma con l’orizzontale, si ha

π (1p − ρgL sen θ ) 4 D = 128 µL π × 0,0154 = × (50 000 − 876 × 9,81 × 15 × sen θ ) = 128 × 0,24 × 15

Q=

= (0,01726 − 0,04449 × sen θ ) × 10−3 m3 /s (a)

tubazione orizzontale: θ = 0◦

Q = (0,01726 − 0,04449 × sen 0) × 10−3 = = 0,0173 × 10−3 m3 /s (b)

tubazione inclinata verso l’alto: θ = 8◦

Q = (0,01726 − 0,04449 × sen 8) × 10−3 = = 0,0111 × 10−3 m3 /s (c)

tubazione inclinata verso il basso: θ = −8◦

  Q = (0,01726 − 0,04449 × sen (−8) × 10−3 = = 0,0234 × 10−3 m3 /s

L’ipotesi di moto laminare e` verificata in tutti e tre i casi perche´ il numero di Reynolds massimo, che e` quello relativo al caso in cui la portata e` la massima, e`

Re =

ρV D 4ρ Q 4 × 876 × 0,0234 × 10−3 = = = 7,25 < 2300 µ µπ D 0,24 × π × 0,015

Discussione Il moto e` mantenuto dalla differenza di quota piezometrica. La gravita` non ha, ovviamente, alcuna influenza sul moto in una tubazione orizzontale, mentre, a parita` di 1p , favorisce o ostacola il moto, rispettivamente, quando la tubazione e` inclinata verso il basso o verso l’alto.

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8.40 In una tubazione orizzontale del diametro di 20 mm defluisce in atmosfera glicerina di densita` ρ = 1252 kg/m3 e viscosita` µ = 0,27 Pa · s, con una portata di 0,035 l/s. Calcolare (a) la pressione relativa a una distanza di 25 m dallo sbocco e (b) l’inclinazione verso il basso che deve avere la tubazione, affinche´ con la stessa portata la pressione al suo interno sia ovunque pari alla pressione atmosferica.

Analisi (a)

Essendo

Re =

4ρ Q 4 × 1252 × 0,035 × 10−3 ρV D = = = µ µπ D 0,27 × π × 0,020

= 10,3 < 2300 il moto e` laminare. In tal caso, essendo θ l’angolo che l’asse della tubazione forma con l’orizzontale e 1p la differenza di pressione tra due sezioni a distanza L , vale la 8.25

Q=

π (1p − ρgL sen θ ) 4 D 128 µL

da cui, essendo θ = 0,

1p = 128

QµL 0,035 × 10−3 × 0,27 × 25 = 128 × = π D4 π × 0,0204

= 60 200 Pa Poiche´ lo sbocco e` in atmosfera la pressione relativa ps nella sezione di sbocco e` nulla, per cui la pressione relativa p nella sezione a distanza L dallo sbocco vale

p = ps + 1p = 0 + 1p = 60 200 Pa (b)

Se la tubazione e` inclinata, dalla 8.25 si ha

1p = 128

QµL + ρgL sen θ π D4

per cui l’inclinazione per la quale la pressione relativa e` ovunque nulla (cioe` 1p = 0), risulta

sen θ = −128

Qµ 0,035 × 10−3 × 0,27 = −128 × = ρgπ D 4 1252 × 9,81 × π × 0,0204

= −0,196 da cui

θ = arcsen (−0,196) = −11,3◦

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26 Capitolo 8

8.41 In un impianto di condizionamento, in una condotta di acciaio (ε = 0,045 mm) rettangolare di 200 mm × 300 mm viene convogliata aria calda alla temperatura di 40 ◦ C ad una pressione di 105 kPa (ρ = 1,169 kg/m3 e µ = 1,918 × 10−5 Pa · s), con una portata di 0,5 m3 /s. Calcolare la caduta di pressione e la perdita di carico in un tratto lungo 40 m. Analisi Essendo Di = 4

0,200 × 0,300 A =4× = 0,240 m Cb 2 × (0,200 + 0,300)

e

V =

Q 0,5 = = 8,33 m/s A 0,200 × 0,300

risulta

Re =

ρV Di 1,169 × 8,33 × 0,240 = = 122 000 > 2300 µ 1,918 × 10−5

per cui il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), che, essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere risolta utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = −2 log = √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 0,045 1 = −2 log × √ + 3,71 240 122 000 × λi Assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0135 - 0,0188 - 0,0183 - 0,0183. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0183. Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), la cadente J risulta

J =λ

V2 8,332 = 0,0183 × = 0,270 2g Di 2 × 9,81 × 0,240

Pertanto, la perdita di carico in un tratto di lunghezza L = 40 m e`

1H = J L = 0,270 × 40 = 10,8 m Tale perdita e` pari alla differenza tra i carichi totali nelle sezioni 1 e 2 alle estremita` del tratto



α1 V12 p1 1H = H1 − H2 = z 1 + + ρg 2g





p2 α2 V22 − z2 + + ρg 2g



´ trattandosi di fluido di piccolo peso specifico, l’effetto della Poiche,

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differenza tra le quote geodetiche e` trascurabile e le altezze cinetiche sono uguali, si ha

p2 1p p1 1H = H1 − H2 ∼ − = = ρg ρg ρg da cui

1p ∼ = ρg1H = 1,169 × 9,81 × 10,8 = 124 Pa

8.42 In una tubazione orizzontale, del diametro di 50 mm, defluisce glicerina di densita` ρ = 1252 kg/m3 e viscosita` µ = 0,27 Pa · s, con una velocita` media di 3,5 m/s. Calcolare la caduta di pressione in un tratto lungo 10 m. Analisi Essendo Re =

ρV D 1252 × 3,5 × 0,050 = = 811 < 2300 µ 0,27

il moto e` laminare. In tal caso, l’indice di resistenza e` espresso dalla 8.34

λ=

64 Re

per cui, esprimendo la cadente J con la 8.32 (formula di DarcyWeisbach), si ha

J =λ

V2 64 V 2 64 3,52 = = × = 0,985 2g D Re 2g D 811 2 × 9,81 × 0,050

Pertanto, la perdita di carico in un tratto di tubazione di lunghezza L = 10 m e`

1H = J L = 0,985 × 10 = 9,85 m Essendo la tubazione orizzontale e a sezione costante si ha z = costante e V = costante, per cui (vedi esercizio precedente) la caduta di pressione e`

1p = ρg1H = 1252 × 9,81 × 9,85 = 121 000 Pa

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28 Capitolo 8

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8.43 In una tubazione di rame (ε = 0,0015 mm), del diametro di 5 mm, lunga 30 m, defluisce ammoniaca liquida alla temperatura di −20 ◦ C (ρ = 665,1 kg/m3 e µ = 2,361 × 10−4 Pa · s), con una portata di 0,05 kg/s. Calcolare la perdita di carico e la potenza necessaria per vincere le perdite nella tubazione.

Analisi La potenza necessaria e` pari al prodotto della portata in peso g Q m per la perdita di carico 1H tra le due sezioni. Essendo Re =

4Q m 4 × 0,05 ρV D = = = µ µπ D 2,361 × 10−4 × π × 0,005

= 54 000 > 2300 il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  2,51 1 1 ε = −2 log = √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   0,0015 1 2,51 = −2 log × √ + 3,71 5 54 000 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0149 - 0,0225 - 0,0215 - 0,0216 - 0,0216. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0217. Per la 8.32, la cadente J risulta

J =λ

8λQ 2 8 × 0,0216 × 0,052 V2 = 2 2m 5 = = 2g D ρ gπ D 665,12 × 9,81 × π 2 × 0,0055

= 3,23 Pertanto, la perdita di carico tra le sezioni di estremita` della tubazione e`

1H = J L = 3,23 × 30 = 96,9 m La potenza necessaria per vincere tale perdita e`

PF = g Q m 1H = 9,81 × 0,05 × 96,9 = 47,5 W

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8.44 Uno scambiatore di calore a fascio tubiero, costituito da 80 tubicini di ottone (ε = 0,0015 mm), del diametro di 10 mm e lunghezza di 1,5 m, trasferisce calore all’acqua che scorre nei tubicini a 60 ◦ C (ρ = 983,3 kg/m3 e µ = 0,467 × 10−3 Pa · s), con una portata di 15 l/s. Calcolare la perdita di carico in ciascun tubicino e la potenza richiesta per mantenere il moto all’interno del fascio tubiero. Calcolare, inoltre, qual e` la riduzione, in percentuale, della portata d’acqua nei tubicini, mantenendo costante la potenza, se, dopo un lungo periodo di funzionamento, si formano sulle superfici interne delle incrostazioni a cui corrisponde una scabrezza equivalente di 0,4 mm.

Analisi Trattandosi di tubi in parallelo, la portata totale Q e` la somma delle portate nei singoli tubi mentre la perdita di carico e` la stessa in ciascuna tubazione. Poiche´ i tubi hanno tutti le stesse caratteristiche (scabrezza, diametro e lunghezza), la portata q in ciascun tubicino risulta

q=

15 Q = = 0,1875 l/s n 80

Essendo

Re =

ρV D 4ρq 4 × 983,3 × 0,1875 × 10−3 = = = µ µπ D 0,467 × 10−3 × π × 0,010

= 50 300 > 2300 il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = = −2 log √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,0015 = −2 log × √ + 3,71 10 50 300 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0130 - 0,0227 - 0,0213 - 0,0214 - 0,0214. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0214. Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), la cadente J risulta

J =λ

V2 8λq 2 8 × 0,0214 × 0,18752 × 10−6 = = = 0,622 2g D gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,0105

La perdita di carico tra le sezioni di estremita` risulta pertanto

1H = J L = 0,622 × 1,5 = 0,933 m La potenza richiesta per mantenere il moto all’interno del fascio

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80 tubi 1,5 m

10 mm acqua

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30 Capitolo 8

tubiero e` la somma della potenza dissipata nei singoli tubi, per cui

PF = nρgq1H = ρg Q1H = 983,3 × 9,81 × 0,015 × 0,933 = = 135 W Al variare della scabrezza dei tubicini, rimanendo costante la potenza, rimane costante anche il prodotto

Q1H =

PF ρg

Indicando col pedice 1 i valori che le varie grandezze assumono a seguito dell’aumento della scabrezza, si ha

Q1H = Q 1 1H1 = Q 1 J1 L = Q 1 8L

=

n 2 gπ 2 D 5

λ1 Q 31 =

8λ1 q12 L= gπ 2 D 5

PF ρg

da cui

Q1 = =





PF n 2 gπ 2 D 5 1 ρg 8L λ1

1/3

=

135 802 × 9,81 × π 2 × 0,0105 × 983,3 × 9,81 8 × 1,5

1/3

−1/3

λ1

=

−1/3

= 0,004164 λ1

Se, considerato l’elevato valore della scabrezza relativa, si ipotizza che il moto sia puramente turbolento, vale la 8.57

    1 ε1 1 0,4 1 = −2 log = −2 log × √ 3,71 D 3,71 10 λ1 da cui λ1 = 0,0646. Introducendo tale valore nell’espressione della portata, si ha −1/3

Q 1 = 0,004164 λ1

= 0,004164 × 0,0646−1/3 = 0,0104 m3 /s

a cui corrisponde un numero di Reynolds

Re1 =

4ρq1 4ρ Q 1 4 × 983,3 × 0,0104 = = = µπ D nµπ D 80 × 0,467 × 10−3 × π × 0,010

= 34 900 Secondo la 8.63 perche´ il moto sia puramente turbolento deve

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essere

    400 3,71 400 3,71 Re ≥ log = log = 19 700 ε/D ε/D 0,4/10 0,4/10 per cui l’ipotesi di moto puramente turbolento puo` ritenersi soddisfatta. Pertanto, a parita` di potenza dissipata, per effetto dell’aumento di scabrezza si ha una variazione di portata, in percentuale,

1Q = 100

10,4 − 15 Q1 − Q = 100 × = −30,7% Q 15

Discussione Per quanto l’aumento di scabrezza (da 0,0015 a 0,4 mm) sia molto elevato, la riduzione di portata e` solo del 30,7%.

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32 Capitolo 8

Perdite localizzate 8.45 Cosa sono le perdite localizzate in una corrente in pressione? Com’e` definito il coefficiente K ? Analisi Le perdite localizzate sono le perdite causate dalla pre` quali valvole, gomiti, curve, pezzi speciali, imsenza di singolarita, bocchi, sbocchi, allargamenti, restringimenti ... Trattandosi di fenomeni dissipativi di tipo turbolento, la generica perdita di carico localizzata 1H e` esprimibile in funzione del quadrato della velocita` media come

1H = K

V2 2g

essendo K un coefficiente sperimentale, dipendente soprattutto dalla geometria del campo di moto.

8.46 Cos’e` la lunghezza equivalente usata per esprimere le perdite localizzate in una corrente in pressione? In che relazione e` con il coefficiente K ?

Analisi La lunghezza equivalente L e e` definita come la lunghezza del tronco di tubazione che causa una perdita continua uguale a quella localizzata. Eguagliando la perdita continua di un tratto di tubazione di lunghezza L e alla perdita localizzata, si ha

J Le = λ

V2 V2 Le = K 2g D 2g

da cui

Le =

K D λ

` pertanto, essere messa in conto nel calLa perdita localizzata puo, colo delle perdite continue semplicemente incrementando di L e la lunghezza effettiva della tubazione.

8.47 Arrotondare l’imbocco di una tubazione che effetto ha sul coefficiente della corrispondente perdita? Trascurabile, significativo o molto significativo?

Analisi In un imbocco a spigolo vivo, la perdita localizzata e` pari alla meta` dell’altezza cinetica della corrente ( K = 0,5). Se l’imbocco viene arrotondato, la perdita di carico e` funzione del rapporto tra il raggio di curvatura r del raccordo e il diametro D della tubazione. Per r/D > 0,20 la perdita e` praticamente nulla. Pertanto, arrotondare l’imbocco di una tubazione ha un effetto molto significativo sulla riduzione della corrispondente perdita.

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33

8.48 In un allargamento graduale di sezione (divergente) la perdita e´ maggiore che in un restringimento graduale (convergente). ´ Perche?

Analisi Le perdite nei divergenti sono maggiori di quelle nei convergenti perche´ nei primi i fenomeni di distacco di vena sono piu` accentuati.

8.49 In una tubazione ad asse orizzontale il diametro aumenta bruscamente da D1 = 80 mm a D2 = 160 mm. Essendo V1 = 6 m/s e p1 = 300 kPa e α1 = α2 = 1,06, calcolare la pressione p2 a valle del brusco allargamento e stimare l’errore che si commette trascurando la perdita di carico localizzata.

Analisi Tra una sezione 1 subito a monte del brusco allargamento e la prima sezione 2 a valle di esso nella quale le traiettorie sono di nuovo sensibilmente rettilinee e parallele, si ha

z1 +

p1 α1 V12 p2 α2 V22 + = z2 + + + 1H ρg 2g ρg 2g

in cui 1H e` la perdita di carico per brusco allargamento che, per la 8.88, vale

1H = α

(6 − 1,5)2 (V1 − V2 )2 = 1,06 × = 1,09 m 2g 2 × 9,81

essendo, per l’equazione di continuita` 5.26

A1 V2 = V1 = V1 A2



D1 D2

2

=6×



80 160

2

= 1,5 m/s

Essendo la densita` dell’acqua ρ = 1000 kg/m3 , la tubazione orizzontale e α1 = α2 = α , si ha

V12 − V22 − ρg1H = 2   62 − 1,52 = 300 000 + 1000 × 1,06 × − 9,81 × 1,09 = 307 kPa 2

p2 = p1 + ρα

Trascurando la perdita di carico localizzata, la pressione risulterebbe

p2 = p1 + ρα

V12 − V22 = 2

= 300 000 + 1000 × 1,06 ×

62 − 1,52 = 318 kPa 2

cioe` sarebbe maggiore di 11 kPa, con un errore del 3,6%.

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D1 = 80 mm acqua

D2 = 160 mm 6 m/s 300 kPa

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34 Capitolo 8

Reti di distribuzione 8.50 In una rete in pressione ci sono due tratti, di diverso diametro e uguale lunghezza e scabrezza, collegati in serie. Confrontare le portate e le perdite di carico nei due tratti. ` nelle due tubazioni collegate Analisi Per l’equazione di continuita, in serie la portata e` la stessa, mentre, essendo in ciascun tratto

1H = J L = λ

V2 8λQ 2 L= L 2g D gπ 2 D 5

la perdita di carico e` notevolmente maggiore nel tratto a diametro minore.

8.51 In una rete in pressione ci sono due tratti, di diverso diametro J1L1 H J2L2

e uguale lunghezza e scabrezza, collegati in parallelo. Confrontare le portate e le perdite di carico nei due tratti.

Analisi In due tubazioni 1 e 2 collegate in parallelo, la portata totale Q si ripartisce nelle due tubazioni per cui Q1

Q = Q1 + Q2 1 Q

Q 2 Q2

mentre la perdita di carico e` la stessa in ciascuna tubazione, in quanto i carichi nei nodi da cui esse si dipartono e si ricongiungono sono gli stessi per ambedue le tubazioni. Pertanto, si ha

J1 L 1 = J2 L 2 ed esplicitando le cadenti

8λ1 Q 21 8λ2 Q 22 L = L2 1 gπ 2 D15 gπ 2 D25 da cui la 8.104

Q1 = Q2

s

λ2 L 2 λ1 L 1



D1 D2

5

Se i due tratti hanno la stessa lunghezza, trascurando la dipendenza dell’indice di resistenza dal diametro, la portata di ciascuna tubazione e` proporzionale al diametro elevato a 5/2 e, pertanto, risulta maggiore nel tratto a diametro maggiore.

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8.52 In una rete in pressione ci sono due tratti, dello stesso diametro e diversa lunghezza, collegati in parallelo. Confrontare le perdite di carico nei due tratti.

Analisi Il carico nel nodo da cui si dipartono le due tubazioni e` lo stesso per ambedue le tubazioni cos`ı come il carico nel nodo in cui esse si ricongiungono. Pertanto, la perdita di carico nei due tratti e` la stessa.

8.53 E` corretto affermare che in un impianto di sollevamento da un serbatoio a quota inferiore a uno a quota superiore, se le perdite sono trascurabili, la prevalenza della pompa e` pari al dislivello geodetico tra le superfici libere dei serbatoi?

Analisi Si. L’equazione dell’energia 5.108, scritta tra un punto nel serbatoio di monte la cui superficie libera e` a quota z m e un punto in quello di valle la cui superficie libera e` a quota

zv = zm + Y ` fornisce la 8.108 essendo, in tal caso, nulle le velocita,

1H P = z v − z m + 1Hd = Y + 1Hd in cui 1H P e` la prevalenza della pompa e 1Hd la somma delle perdite di carico nelle tubazioni. Secondo tale relazione, la prevalenza della pompa e` pari alla somma del dislivello geodetico Y tra le superfici libere dei due serbatoi e delle perdite di carico 1Hd nelle tubazioni. Quindi, se le perdite sono trascurabili, la prevalenza della pompa e` pari al solo dislivello geodetico Y .

8.54 Cos’e` il punto di funzionamento di un impianto di sollevamento?

Analisi In un diagramma portata-prevalenza, il punto di funzionamento e` il punto in cui si intersecano la curva dell’impianto e la curva caratteristica della pompa. Pertanto, le sue coordinate corrispondono ai valori di portata sollevata e di prevalenza richiesti dall’impianto e, allo stesso tempo, forniti dalla pompa.

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36 Capitolo 8

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8.55 Con riferimento a un impianto di sollevamento, definire, nel diagramma prevalenza-portata, la curva dell’impianto, la curva caratteristica e il punto di funzionamento.

Analisi Per un impianto assegnato, riportando in un grafico, in ordinata, la prevalenza totale 1H P in funzione della portata Q si ottiene una curva, avente la concavita` verso l’alto, chiamata curva dell’impianto (o della domanda). Il comportamento della pompa, cioe` l’energia che essa e` in grado di fornire all’unita` di peso di fluido in funzione della portata Q , e` rappresentato nello stesso grafico mediante una curva sperimentale, che prende il nome di curva caratteristica. 100

1HP (m)

ηP (%)

ηP 40

80 punto di funzionamento

30

60

curva dell’impianto 20

40 curva caratteristica

Y 10

0

0

1

2

3

4

20

5

6 Q (m3/s)

0

I valori di portata e di prevalenza che si stabiliscono nell’impianto sono individuati dal punto di intersezione tra la curva dell’impianto e la curva caratteristica, chiamato punto di funzionamento. In questo punto, infatti, la prevalenza fornita dalla pompa eguaglia quella richiesta dal sistema per quella portata.

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8.56 Tra due serbatoi, collegati da una tubazione di ghisa (ε = 0,25 mm), del diametro di 60 mm, lunga 40 m, nella quale e` presente una saracinesca completamente aperta ( K = 0,2), defluisce, ` acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s), per gravita, con una portata di 270 l/min. L’imbocco e` ben raccordato. Calcolare il dislivello tra le superfici libere dei due serbatoi. Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio di monte il cui carico e` pari alla quota z m della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e un punto in quello di valle il cui carico e` pari alla quota z v = z m − Y della superficie libera, si ha

z m = z v + 1Hd

(1)

essendo 1Hd la somma delle perdite di carico continue e localizzate tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di DarcyWeisbach) e le perdite localizzate nella saracinesca e allo sbocco con la 8.85, si ha

  2 V2 V2 L V 1Hd = J L + K +α = λ +K +α 2g 2g D 2g

(2)

Conglobando in un unico coefficiente K T = K + α i coefficienti delle perdite di carico localizzate e introducendo la 2 nella 1, questa diviene



L z m − z v = Y = 1Hd = λ + K T D



V2 2g

Essendo

V =

Q Q 0,270/60 = = = 1,59 m/s 2 A π D /4 π × 0,0602 /4

e

Re =

998 × 1,59 × 0,060 ρV D = = 95 000 > 2300 µ 1,002 × 10−3

il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε 1√ = −2 log = √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,25 = −2 log × √ + 3,71 60 95 000 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0287 - 0,0299 - 0,0298 - 0,0298. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce diretta-

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Y 60 mm

40 m K = 0,2

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38 Capitolo 8

mente il valore 0,0301 che differisce dal precedente dello 0,9%. Pertanto, assumendo per il coefficiente di Coriolis il valore α = 1,06 per cui K T = 0,2 + 1,06 = 1,26, si ha



L Y = λ + KT D



  V2 40 1,592 = 0,0298 × + 1,26 × = 2g 0,060 2 × 9,81 = (19,9 + 1,26) × 0,129 = 2,73 m

Discussione In questo caso, le perdite localizzate sono poco meno di 1/16 del totale delle perdite, per cui, trascurandole, si commetterebbe un errore di poco inferiore al 6%.

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Correnti in pressione

8.57 Un impianto di sollevamento convoglia acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s) da un serbatoio piu` basso a uno piu` alto, attraverso due tubazioni in plastica (ε = 0), del diametro di 30 mm e di 50 mm, lunghe 25 m, collegate in parallelo. La superficie libera del serbatoio piu` basso e` a quota z A = 2 m; quella del serbatoio piu` alto e` a quota z B = 9 m. Il gruppo pompamotore ha un rendimento del 68% e, a regime, assorbe 7 kW di potenza elettrica. Le perdite localizzate e quelle continue nei tratti che vanno dai nodi ai serbatoi si possono ritenere trascurabili. Calcolare la portata sollevata e le portate in ciascuna delle due tubazioni in parallelo.

Analisi Essendo Y = z B − z A il dislivello geodetico tra la superfici libere dei serbatoi e 1Hd le perdite di carico lungo uno dei due percorsi possibili tra la pompa e il serbatoio di valle, per la 8.108, la prevalenza totale e`

1H P = Y + 1Hd Per la 8.109, essendo η P M il rendimento del gruppo pompa-motore e PE la potenza elettrica assorbita, si ha

Q1H P =

η P M PE ρg

e, introducendo l’espressione di 1H P ,

Q(Y + 1Hd ) =

η P M PE ρg

(1)

equazione nelle due incognite Q e 1Hd . Essendo trascurabili sia le perdite localizzate che quelle continue nei tratti che vanno dai nodi ai serbatoi, 1Hd e` solamente la perdita di carico continua in una delle due tubazioni in parallelo. La 8.95 scritta per il tratto 2, di diametro D2 = 50 mm, diviene

1Hd = J2 L 2 =

8λ2 Q 22 L 2 = k2 Q 22 gπ 2 D25

(2)

Per la 8.104, la portata nel tratto 1 e`

Q1 = Q2

s

λ2 L 2 λ1 L 1



D1 D2

5

= k1 Q 2

(3)

Inoltre, per la conservazione della massa, si ha

Q = Q 2 + Q 1 = Q 2 + k1 Q 2 = Q 2 (1 + k1 )

(4)

Introducendo la 4 e la 2 nella 1, questa diviene

Q 2 (1 + k1 )(Y + k2 Q 22 ) =

η P M PE ρg

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(5)

39

zB = 9 m 25 m 30 mm zA = 2 m

50 mm

pompa

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40 Capitolo 8

equazione di terzo grado nell’incognita Q 2 . In effetti, i coefficienti k1 e k2 sono funzione degli indici di resistenza λ1 e λ2 che, a loro volta, sono funzione attraverso il numero di Reynolds delle portate Q 1 e Q 2 . La 5 va dunque risolta con un metodo iterativo, in modo tale che il valore dei coefficienti possa essere via via corretto. Svolgendo i prodotti al primo membro, la 5 diviene

(1 + k1 )k2 Q 32 + (1 + k1 )Y Q 2 −

η P M PE =0 ρg

e, piu` semplicemente, con ovvio significato dei simboli,

F(Q 2 ) = a Q 32 + cQ 2 − d = 0

(6)

Utilizzando quale metodo iterativo il metodo di Newton, il valore dell’incognita Q 2 alla iterazione i + 1 e` dato dalla formula ricorsiva

Q 2,i+1 = Q 2,i −

F(Q 2,i ) F 0 (Q 2,i )

(7)

essendo il termine al denominatore la derivata prima della funzione, per cui

F 0 (Q 2 ) = 3a Q 22 + c

(8)

Il calcolo puo` essere condotto assegnando un valore iniziale arbitrario alla portata Q 2 e calcolando

Re2 =

4ρ Q 2 4 × 998 = Q 2 = 25,36 × 106 Q 2 µπ D2 1,002 × 10−3 × π × 0,050

e l’indice di resistenza λ2 con la formula approssimata 8.65

5.8 1 √ = −2 log 0,9 Re λ Con la stessa formula si passa al calcolo dell’indice di resistenza λ1 del tratto 1, avendo assegnato un valore iniziale arbitrario a Re1 . Conseguentemente, si puo` passare al calcolo dei coefficienti

k1 =

k2 =

s

λ2 L 2 λ1 L 1



D1 D2

5

=

s

25 × 25



30 50

5 s

λ2 = 0,2789 λ1

s

λ2 λ1

8 × 25 8L 2 λ = λ2 = 6,610 × 106 λ2 5 2 2 9,81 × π 2 × 0,0505 gπ D2

a = (1 + k1 )k2 c = (1 + k1 )Y = (1 + k1 ) (z B − z A ) = 7 (1 + k1 )

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41

Essendo

d=

η P M PE 0,68 × 7000 = = 0,4862 ρg 998 × 9,81

si possono, infine, calcolare i valori di F con la 6, di F 0 con la 8, il nuovo valore dell’incognita Q 2 mediante la 7 e la portata Q 1 con la 3. Aggiornati i valori dei coefficienti, si ripete il calcolo arrestandolo quando la differenza tra due valori successivi dell’incognita e` trascurabile. Come si puo` notare dalla tabella sotto riportata, il procedimento converge abbastanza rapidamente. I calcoli sono stati effettuati assumendo i valori iniziali Q 2 = 10 l/s e Re1 = 200 000.

Q2

Re2

λ2

(l/s) 10,00 15,86 14,73 14,60 14,59

Q1

Re1

λ1

a

c

200 000 182 700 161 200 158 800 158 600

0,01557 0,01584 0,01624 0,01629 0,01629

125 100 113 500 114 900 115 100 115 100

8,908 8,812 8,801 8,800 8,800

−0,2720 0,1063 0,0110 0,0006 0,0000

F

F0

(l/s) 253 600 402 200 373 600 370 300 370 100

0,01487 0,01364 0,01383 0,01385 0,01385

4,32 3,81 3,76 3,75

46,43 94,47 83,65 82,42 82,35

Si possono, quindi, assumere come soluzione i valori

Q 2 = 14,6 l/s Q 1 = 3,75 l/s Q = Q 1 + Q 2 = 3,75 + 14,6 = 18,3 l/s Assumendo valori iniziali piuttosto distanti dalla soluzione il numero di iterazioni aumenta, ma sempre in maniera accettabile. come dimostra la tabella che segue nella quale i calcoli sono stati effettuati assumendo i valori iniziali Q 2 = 36 l/s e Re1 = 900 000.

Q2

Re2

λ2

(l/s) 36,00 24,68 18,15 15,31 14,66 14,60 14,59

Q1

Re1

λ1

a

c

F

F0

900 000 290 600 199 600 166 900 159 400 158 700 158 600

0,01184 0,01449 0,01557 0,01613 0,01628 0,01629 0,01629

99 800 105 000 110 700 114 100 115 000 115 100 115 100

8,950 8,821 8,805 8,801 8,800 8,800 8,800

4,4926 1,3105 0,3360 0,0584 0,0051 0,0003 0,0000

397,00 200,73 118,26 89,09 82,94 82,38 82,35

(l/s) 913 000 626 000 460 400 388 300 371 700 370 200 370 100

0,01181 0,01260 0,01331 0,01373 0,01384 0,01385 0,01385

6,88 4,72 3,95 3,77 3,75 3,75

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42 Capitolo 8

8.58 Dal fondo di un serbatoio cilindrico a superficie libera, del diametro di 3 m, inizialmente pieno d’acqua per un’altezza di 2 m,

acqua

fuoriesce con imbocco a spigolo vivo una tubazione orizzontale del diametro di 100 mm, lunga 100 m, che sbocca in atmosfera. Nell’ipotesi che l’indice di resistenza della tubazione sia pari a 0,015, calcolare la velocita` iniziale del getto e il tempo necessario perche´ il serbatoio si svuoti.

2m

3m 100 m

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio di monte il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

zs = zu +

αV 2 + 1Hd 2g

(1)

essendo 1Hd la somma delle perdite di carico continue e localizzate tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e la perdita localizzata all’imbocco con la 8.85, si ha



L 1Hd = λ + K D



V2 2g

Sostituendo nella 1 e introducendo il dislivello Y = z s − z u , si ha

  2   2 αV 2 L V L V V2 Y = + λ +K = α+λ +K = Kp 2g D 2g D 2g 2g Assumendo per il coefficiente di Coriolis il valore α = 1,04 ed essendo il coefficiente della perdita all’imbocco K = 0,5, risulta

Kp = α + λ

L 100 + K = 1,04 + 0,015 × + 0,5 = 16,5 D 0,100

per cui la velocita` iniziale del getto e`

Vi =

s

2gY = Kp

s

2 × 9,81 × 2 = 1,54 m/s 16,5

Il processo di svuotamento del serbatoio e` un processo di moto vario durante il quale il dislivello h tra la superficie libera nel serbatoio e la sezione di sbocco passa dal valore iniziale h = Y = 2 m, a serbatoio completamente pieno, al valore h = 0 che assume a serbatoio completamente vuoto. Al generico istante t , trascurando la dipendenza dell’indice di resistenza dal numero di Reynolds e quindi dalla velocita` stessa, la velocita` e` ancora espressa dalla relazione

V =

s

2gh Kp

Nel generico intervallo di tempo dt , il volume d W = Qdt che

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fuoriesce dal serbatoio causa una diminuzione dh del livello nel serbatoio, di area trasversale A costante, tale che Adh + d W = 0, per cui deve essere

Qdt = −Adh ` essendo D il diametro della tubazione e D0 quello del serbatocioe, io,

π D2 4

s

π D02 2gh dt = − dh Kp 4

da cui

D2 dt = − 02 D

s

K p −1/2 h dh 2g

Integrando tra l’istante iniziale t = 0 in cui h = Y e l’istante tv in cui il serbatoio e` vuoto, per cui h = 0, si ha

s

D2 tv = − 02 D D2 = 02 D =

s

Kp 2g



h 1/2 1/2

0

=

Y

D2 K p 2K p √ Y = 02 g D g

s

D2 K p 2gY = 02 Vi = Kp D g

32 16,5 × × 1,54 = 2331 s = 38,9 min 0,1002 9,81

Discussione Dimezzando la lunghezza della tubazione, cioe` per L 1 = 50 m, si ha K p1 = α + λ

L1 50 + K = 1,04 + 0,015 × + 0,5 = 9,04 D 0,100

Pertanto, per la diminuzione delle perdite, la velocita` iniziale aumenta divenendo

Vi1 =

s

2gY = K p1

s

2 × 9,81 × 2 = 2,08 m/s 9,04

e, conseguentemente, il tempo necessario per lo svuotamento del serbatoio si riduce al valore

tv1 =

D02 K p1 32 9,04 V = × × 2,08 = 1730 s = 28,8 min i1 2 2 D g 0,100 9,81

´ per esempio, Se, poi, le perdite continue fossero trascurabili perche, la lunghezza del tubo e` molto piccola, si avrebbe

K p2 = α + K = 1,04 + 0,5 = 1,54

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43

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44 Capitolo 8

con un aumento della velocita` iniziale a

Vi2 =

s

2gY = K p2

s

2 × 9,81 × 2 = 5,05 m/s 1,54

ed una conseguente riduzione del tempo di svuotamento al valore

tv2 =

D02 K p2 32 1,54 V = × × 5,05 = 713 s = 11,9 min i2 2 2 D g 0,100 9,81

cioe` a poco piu` di un quarto del tempo necessario con la tubazione della lunghezza assegnata.

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45

8.59 Per svuotare piu` velocemente il serbatoio dell’esercizio precedente, si installa una pompa, poco a valle dell’imbocco. Ipotizzando che l’indice di resistenza della tubazione sia ancora pari a 0,015, ´ a serbatoio calcolare la potenza che deve avere la pompa perche, pieno, nella tubazione si abbia una velocita` media di 4 m/s e il tempo di svuotamento del serbatoio, nell’ipotesi che tale velocita` si mantenga costante. Valutare se, collocando la pompa in prossimita` dello sbocco, esiste il rischio che si abbia cavitazione, essendo la temperatura dell’acqua di 30 ◦ C e, quindi, la tensione di vapore pv = 4,246 kPa.

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio di monte il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

1H P + z s = z u +

αV 2 + 1Hd 2g

(1)

essendo 1H P la prevalenza della pompa e 1Hd la somma delle perdite di carico continue e localizzate tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e la perdita localizzata all’imbocco con la 8.85, essendo il coefficiente della perdita all’imbocco K = 0,5, si ha

  2   L V 100 42 = 0,015 × + 0,5 × = 1Hd = λ + K D 2g 0,100 2 × 9,81 = 12,6 m Sostituendo nella 1, assumendo per il coefficiente di Coriolis il valore α = 1,04 ed introducendo il dislivello Y = z s − z u , la prevalenza risulta

1H P = −Y +

αV 2 1,04 × 42 + 1Hd = −2 + + 12,6 = 11,5 m 2g 2 × 9,81

A 30 ◦ C la densita` dell’acqua e` ρ = 996 kg/m3 ed essendo la portata

Q =VA=V

π D2 π × 0,1002 =4× = 0,0314 m3 /s 4 4

la potenza della pompa risulta

PF = ρg Q1H P = 996 × 9,81 × 0,0314 × 11,5 = 3530 W Se la velocita` nella tubazione si mantiene costante e pari a 4 m/s, il serbatoio di volume

W =

π D02 π × 32 Y = × 2 = 14,1 m3 4 4

si svuota in un tempo

tv =

W 14,1 = = 450 s = 7,5 min Q 0,0314

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acqua

2m

3m pompa 4 m/s

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46 Capitolo 8

La prevalenza della pompa, per definizione e` uguale alla differenza tra i carichi totali HV e HM nelle sezioni, rispettivamente, subito a valle e subito a monte della pompa. Pertanto, si ha



αVV2 pV 1H P = HV − HM = z V + + ρg 2g





pM αVM2 − zM + + ρg 2g



ed, essendo la tubazione orizzontale e a diametro costante,

1H P =

pV − p M ρg

da cui

p M = pV − ρg1H P Se si collocasse la pompa in prossimita` dello sbocco, nella sezione a valle della pompa la pressione avrebbe praticamente lo stesso valore che allo sbocco, cioe` sarebbe alla pressione atmosferica patm . In tal caso, la pressione a monte della pompa risulterebbe

p M = patm − ρg1H P = 101 300 − 996 × 9,81 × 11,5 = = −11 100 Pa La pressione assoluta a monte della pompa avrebbe, quindi, valore negativo, cosa fisicamente impossibile perche´ i fluidi non sono in grado di resistere ad apprezzabili sforzi di trazione. Pertanto, la pompa va collocata sufficientemente a monte dello sbocco, ad una distanza tale che p M sia positiva e maggiore della tensione di vapore pv del liquido a quella temperatura. La distanza massima L max della pompa dall’imbocco si ottiene scrivendo la 5.108 tra un punto nel serbatoio di monte e la sezione subito a monte della pompa e imponendo che in tale sezione la pressione sia almeno pari alla tensione di vapore del liquido, cioe` ponendo p M = pv . Si ha

zs +

  2 pv L max V patm =z+ + λ +K ρg ρg D 2g

da cui





 2g D − K = 2 V λ    101 300 − 4246 2 × 9,81 0,100 = 2+ × − 0,5 × = 2 996 × 9,81 4 0,015

L max =

zs − z +

patm − pv ρg

= 94,2 m Naturalmente, per tener conto del fatto che via via che il serbatoio si vuota il livello diminuisce e con esso la pressione a monte della pompa, conviene installare la pompa in posizione ancora piu` vicina

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al serbatoio. Analogamente, per evitare il rischio di cavitazione, e` opportuno che la pressione assoluta a monte della pompa sia pari ad almeno 3 metri di colonna d’acqua. Nella condizione di serbatoio quasi vuoto per cui z s1 − z ∼ = 0, imponendo che l’altezza piezometrica assoluta a monte della pompa sia pari a 3 m, si ottiene una distanza massima dall’imbocco

L max1

  2g D patm = z s1 − z + −3 −K = 2 ρg V λ    2 × 9,81 0,100 101 300 −3 × − 0,5 × = = 0+ 2 996 × 9,81 4 0,015 

= 56,9 m notevolmente minore di quella prima calcolata.

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48 Capitolo 8

8.60 Dal fondo di un contenitore cilindrico, alto 15 cm, fuoriesce un tubo verticale del diametro di 10 mm, lungo 25 cm, in cui defluisce olio a 20 ◦ C (ρ = 888,1 kg/m3 e µ = 0,8374 Pa · s). L’olio olio

10 mm

15 cm

nel contenitore viene mantenuto a livello costante, aggiungendone dall’alto. Calcolare la portata e quanto essa vale in percentuale della portata che si avrebbe in assenza di perdite.

25 cm

olio

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

zs = zu +

αV 2 + 1Hd 2g

essendo 1Hd la somma delle perdite di carico continue e localizzate tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e la perdita localizzata all’imbocco con la 8.85, e introducendo il dislivello Y = z s − z u , si ha

  2 L V αV 2 + λ +K Y = 2g D 2g Essendo il coefficiente della perdita all’imbocco K = 0,5 e ipotizzando che il moto sia laminare per cui il coefficiente di Coriolis α = 2, si ha

Y = (α + K )

= (α + K )

=

64 L V 2 V2 + = 2g Re D 2g V2 64µ L V 2 V 2 32µL V = + = (α + K ) + 2g ρV D D 2g 2g ρg D 2

2 + 0,5 2 32 × 0,8374 × 0,25 V = 0,127 V 2 + 7,69 V V + 2 × 9,81 888,1 × 9,81 × 0,0102

da cui, essendo Y = 0,40 m, si ottiene l’equazione di secondo grado in V

0,127 V 2 + 7,69 V − 0,40 = 0 la cui soluzione e` V = 0,0520 m/s. Pertanto, risulta

Q =VA=V

π D2 π × 0,0102 = 0,0520 × = 0,00408 l/s 4 4

L’ipotesi di moto laminare e` soddisfatta perche´

Re =

ρV D 888,1 × 0,0520 × 0,010 = = 0,551 < 2300 µ 0,8374

In assenza di perdite sia continue che localizzate (imbocco ben

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raccordato), si ha 1Hd = 0 per cui

V0 = e

p

2gY =

p

2 × 9,81 × 0,40 = 2,80 m/s

Q 0 = V0 A = 2,80 ×

π × 0,0102 = 0,220 l/s 4

Il rapporto tra le due portate e`

0,00408 Q = = 0,0185 Q0 0,220 ` quindi, appena l’1,85% di quella calcolata in La portata effettiva e, assenza di perdite di carico.

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50 Capitolo 8

8.61 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi in cui (a) venga raddoppiato il diametro e (b) venga raddoppiata la lunghezza del tubo.

Analisi (a)

Se il diametro assume il valore D1 = 2D , l’equazione del moto scritta nell’esercizio precedente diviene

Y = (α + K )

V12 32µL + V1 = 2g ρg D12

= 0,127 V12 + 7,69

1 D2 V = 0,127 V12 + 7,69 × V1 2 1 4 D1

da cui

0,127 V12 + 1,92 V1 − 0,40 = 0 la cui soluzione e` V1 = 0,206 m/s. Essendo V1 = 3,96 V e D1 = 2D , si ha Re1 = 7,92 Re = 7,92 × 0,551 = 4,36 < 2300. La portata e`

Q 1 = V1 A1 = 0,206 ×

π × 0,0202 = 0,0647 l/s 4

In assenza di perdite, la velocita` di efflusso e` uguale a quella dell’esercizio precedente mentre la portata, essendo funzione quadratica del diametro, si quadruplica. Per cui,

Q 01 = 4Q 0 = 4 × 0,220 = 0,880 l/s e

Q1 0,0647 = = 0,0735 Q 01 0,880 ` quindi, pari al 7,35% di quella calcolata La portata effettiva e, in assenza di perdite di carico. (b)

Se la lunghezza del tubo raddoppia assumendo il valore L 2 = 2 × 0,25 = 0,50 m, essendo il tubo verticale, aumenta anche il dislivello che assume il valore Y2 = 0,15 + 0,50 = 0,65 m. Pertanto, l’equazione del moto scritta nell’esercizio precedente diviene

V22 32µL 2 + V2 = 2g ρg D 2 L2 = 0,127 V22 + 7,69 V2 = 0,127 V22 + 7,69 × 2 V2 L

Y2 = (α + K )

da cui

0,127 V22 + 15,4 V2 − 0,65 = 0

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` quindi, la cui soluzione e` V2 = 0,0422 m/s. La portata e,

Q 2 = V2 A = 0,0422 ×

π × 0,0102 = 0,00331 l/s 4

In assenza di perdite, la velocita` di efflusso aumenta per l’aumento del dislivello, per cui

V02 =

p

2gY2 =

e la portata diviene

p

2 × 9,81 × 0,65 = 3,57 m/s

Q 02 = V02 A = 3,57 ×

π × 0,0102 = 0,280 l/s 4

Il rapporto tra le due portate risulta

Q2 0,00331 = = 0,0118 Q 02 0,280 per cui la portata effettiva e` appena l’1,18% di quella che si avrebbe se le perdite di carico fossero trascurabili.

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52 Capitolo 8

8.62 Una zona residenziale e` servita da un impianto di sollevamento che convoglia una portata Q = 0,7 m3 /s attraverso una condotta di lunghezza L = 1500 m, avente diametro interno D1 = 900 mm e scabrezza ε1 = 3 mm. Volendo ridurre i costi di sollevamento, si pensa di rivestire le pareti interne della tubazione con uno strato di bitume dello spessore di 20 mm, in modo che la scabrezza si riduca al valore ε2 = 0,04 mm. Considerato che la pompa funziona con continuita` tutto l’anno, calcolare di quanto si ridurrebbe il costo annuo dell’energia necessaria per il sollevamento, tenendo conto del fatto che il diametro interno della tubazione diverrebbe D2 = 860 mm e assumendo un costo del chilowattora pari a 0,20 e.

Analisi La potenza dissipata nella tubazione e` Pd = ρg Q1Hd in cui 1Hd e` la somma delle perdite di carico continue e localizzate. Non considerando queste ultime perche´ non dipendenti dalla scabrezza ed esprimendo la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), si ha

Pd = ρg Q J L = ρg Q λ

V2 8ρ L Q 3 λ 8Q 2 L = ρg Q λ 2 5 L = 2g D gπ D π 2 D5

Avendo l’acqua densita` ρ = 1000 kg/m3 e viscosita` cinematica ν = 10−6 m2 /s, nel primo caso risulta

Re =

VD 4Q 4 × 0,7 = = −6 = 990 × 103 ν νπ D 10 × π × 0,900

per cui il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  2,51 1 ε 1 = −2 log = √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 3 = −2 log × √ + 3,71 900 990 × 103 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0269 - 0,0271 - 0,0271. La potenza dissipata, pertanto, risulta

Pd1 =

8ρ L Q 3 λ1 8 × 1000 × 1500 × 0,73 0,0271 = × = 19,1 kW π 2 D15 π2 0,9005

con un costo annuo di energia elettrica

C1 = 0,20 × 365 × 24 × 19,1 = 33 500 e Nel secondo caso si ha

Re =

4Q 4 × 0,7 = −6 = 1036 × 103 νπ D 10 × π × 0,860

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Correnti in pressione

La formula ricorsiva 8.67

  2,51 1 1 0,04 = −2 log × √ √ + 3,71 900 λi+1 1036 × 103 × λi

assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0103 - 0,0126 - 0,0125 - 0,0125. Conseguentemente, la potenza dissipata nella tubazione diviene

Pd2 = Pd1

λ2 λ1



D1 D2

5

0,0125 = 19,1 × × 0,0271



0,900 0,860

5

= 11,1 kW

con una diminuzione del 42% e un’analoga riduzione del costo annuo dell’energia elettrica che diviene

C2 = 0,20 × 365 × 24 × 11,1 = 19 400 e Pertanto, la diminuzione della scabrezza della tubazione comporta un risparmio di 14 100 e sul costo annuo dell’energia necessaria per il sollevamento .

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54 Capitolo 8

acqua

8.63 Da un serbatoio cilindrico a superficie libera, a livello costante, viene derivata acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s), attraverso due tubazioni orizzontali in plastica (ε = 0), collegate in serie. La prima tubazione e` lunga 20 m e ha un diametro di 100 mm, la seconda e` lunga 35 m e ha un diametro di 60 mm. La

18 m

20 m

35 m

differenza di quota tra la superficie libera nel serbatoio e l’asse delle tubazioni e` di 18 m. L’imbocco e` a spigolo vivo e la diminuzione di diametro e` brusca. Calcolare la portata.

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

zs = zu +

αVu2 + 1Hd 2g

essendo 1Hd la somma delle perdite di carico continue tra i due punti e delle perdite localizzate dovute all’imbocco a spigolo vivo e al brusco restringimento tra la tubazione 1 di diametro D1 = 100 mm e la tubazione 2 di diametro D2 = 60 mm. Per la perdita di imbocco si ha K 1 = 0,5 mentre per la perdita per brusco restringimento, essendo il rapporto tra le aree pari a D22 /D12 = (60/100)2 = 0,36, dal grafico di figura 8.41 si puo` assumere K 2 = 0,33. Esprimendo le perdite continue nelle due tubazioni con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e le perdite localizzate con la 8.85 ed introducendo il dislivello Y = z s − z u , si ha

  2   2 αVu2 L1 V1 L2 V2 Y = + λ1 + K1 + λ2 + K2 2g D1 2g D2 2g Essendo Vu = V2 , esprimendo le velocita` in funzione della portata si ottiene

    L1 Q2 L2 Q2 Y = λ1 + K1 + λ + K + α = 2 2 D1 D2 2g A21 2g A22

     L2 L1 1 1 Q2 = λ1 + K1 + λ2 + K2 + α = D1 D2 A21 A22 2g   20 35 + 0,5 λ2 × + 0,33 + 1   λ1 × Q2 0,100 0,060   =  + × =     2  π × 0,1002 2  2 × 9,81 π × 0,0602 4

4

= (8,902 + 165,4 λ1 + 3723 λ2 ) × 103 Q 2 da cui, essendo Y = 18 m,

Q=

s

18 (8,902 + 165,4 λ1 + 3723 λ2 ) × 103

(1)

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equazione che fornisce la portata, noti i valori degli indici di resistenza delle due tubazioni. Esprimendo gli indici di resistenza con la formula approssimata 8.65

5,8 1 √ = −2 log 0,9 Re λ in funzione dei rispettivi numeri di Reynolds e quindi della portata, si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite che puo` essere risolto con un metodo iterativo. Come valore iniziale della portata si puo` assumere quello che si ottiene trascurando le perdite continue (λ1 = λ2 = 0), per cui

Q=

r

18 = 0,0450 m3 /s = 45,0 l/s 8902

Col valore approssimato della portata Q si passa al calcolo dei numeri di Reynolds e degli indici di resistenza delle due tubazioni. Tali valori, inseriti nella 1, forniscono un nuovo valore della portata, che, se il procedimento e` convergente, risulta piu` vicino alla soluzione. Il calcolo si arresta quando tra due valori successivi della portata la differenza e` trascurabile. Come si puo` notare dalla tabella sotto riportata, il procedimento risulta abbastanza rapidamente convergente e fornisce per la portata il valore Q = 16,7 l/s.

Q (l/s)

Re1

λ1

Re2

λ2

45, 0 18, 0 16, 8 16, 7 16, 7

503 300 201 300 187 900 186 800

0, 01310 0, 01555 0, 01576 0, 01578

838 800 335 500 312 200 311 300

0, 01198 0, 01411 0, 01429 0, 01431

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56 Capitolo 8

8.64 Un agricoltore pompa acqua alla temperatura di 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s) da un fiume a un serbatoio, attraverso una tubazione in plastica (ε = 0), del diametro di 125 mm, lunga 400 m, il cui imbocco e` rivolto contro corrente 15 m

2 m/s

per sfruttarne la pressione dinamica. La velocita` della corrente in prossimita` dell’imbocco e` di 2 m/s. La differenza di quota tra il fiume e la superficie libera del serbatoio e` di 15 m. Calcolare la potenza elettrica assorbita dal motore della pompa, il cui rendimento complessivo e` del 70%, nel caso in cui venga sollevata una portata di 20 l/s.

Analisi Per la 5.108, tra un punto 1 della corrente nel fiume poco a monte dell’imbocco della tubazione, avente quota piezometrica pari alla quota z 1 del pelo libero rispetto ad un generico piano di riferimento e velocita` V1 = 2 m/s, e un punto 2 all’interno del serbatoio, il cui carico e` pari alla quota z 2 della superficie libera rispetto allo stesso piano di riferimento, si ha

1H P + z 1 +

V12 = z 2 + 1Hd 2g

essendo 1H P la prevalenza della pompa e 1Hd la somma delle perdite di carico continue e localizzate tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e la perdita localizzata allo sbocco con la 8.85 in cui K = α = 1 ed introducendo il dislivello Y = z 2 − z 1 , si ha

  2 V12 L V 1H P = Y − + λ +1 2g D 2g Essendo

Re =

ρV D 4ρ Q 4 × 999,1 × 20 × 10−3 = = = 179 000 µ µπ D 1,138 × 10−3 × π × 0,125

il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.56 (formula di Prandtl-von Karm ´ an ´ per i tubi lisci), puo` essere calcolato con la formula ricorsiva 8.67 ponendo ε = 0

2,51 2,51 1 = −2 log √ = −2 log √ √ λi+1 Re λi 179 000 × λi Adottando come valore iniziale il valore fornito dalla 8.83 (formula di Blasius)

λ = 0,316 Re−0,25 = 0,316 × 179 000−0,25 = 0,0154 si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0161 - 0,0160 - 0,0160. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0159 che differisce dal precedente dello 0,5%. Pertanto, essendo

V =

Q 0,020 = = 1,63 m/s A π × 0,1252 /4

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si ha

  2 V12 L V 1H P = Y − + λ +1 = 2g D 2g   22 400 1,632 = 15 − + 0,0160 × +1 × = 2 × 9,81 0,125 2 × 9,81 = 21,9 m La potenza elettrica assorbita dal motore della pompa e` pari a

PE =

1 ηP M

ρg Q1H P =

999,1 × 9,81 × 0,020 × 21,9 = 0,7

= 6,13 kW

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58 Capitolo 8

8.65 Un serbatoio contenente acqua alla temperatura di 40 ◦ C (ρ = 992,1 kg/m3 e µ = 0,653 × 10−3 Pa · s) alimenta a gravita` alcune docce all’aperto. Ogni doccia e` alimentata da una tubazione in acciaio zincato (ε = 0,02 mm), del diametro di 20 mm, lunga 20 m, nella quale e` inserita una valvola a globo completamente aperta ( K = 10). Calcolare a quale quota deve essere la superficie libera del serbatoio, rispetto alla sezione di uscita della doccia, perche´ si abbia una portata di 0,7 l/s.

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha 20 m

zs = zu +

K = 10

αVu2 + 1Hd 2g

essendo 1Hd la somma della perdita di carico continua tra i due punti e delle perdite localizzate dovute all’imbocco a spigolo vivo e alla valvola. Per la perdita di imbocco si ha K 1 = 0,5 mentre per la valvola a globo completamente aperta si puo` assumere K 2 = 10 (vedi Tabella 8.4). Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di DarcyWeisbach) e le perdite localizzate con la 8.85, si ha

  αVu2 L αV 2 zs = zu + + λ + K1 + K2 2g D 2g Essendo

Re =

ρV D 4ρ Q 4 × 992,1 × 0,7 × 10−3 = = = µ µπ D 0,653 × 10−3 × π × 0,020

= 67 700 > 2300 il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = −2 log = √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,020 = −2 log × √ + 3,71 20 67 700 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0196 - 0,0233 - 0,0231 - 0,0231. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0233 che differisce dal precedente dello 0,8%. Pertanto, essendo

V =

Q 0,7 × 10−3 = = 2,23 m/s A π × 0,0202 /4

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e ipotizzando che l’area dei fori di uscita dal diffusore della doccia sia tale da dar luogo ad una velocita` di 4 m/s con α = 1, si ha

  αVu2 L αV 2 zs − zu = + λ + K1 + K2 = 2g D 2g   42 20 2,232 = + 0,0231 × + 0,5 + 10 × = 2 × 9,81 0,020 2 × 9,81 = 9,34 m

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60 Capitolo 8

8.66 Due serbatoi, pieni fino alla stessa quota, sono collegati da una tubazione in ghisa (ε = 0,25 mm) del diametro di 60 mm, lunga 40 m, attraverso la quale defluisce acqua a 10 ◦ C (ρ = 999,7 kg/m3 e µ = 1,307 × 10−3 Pa · s), con una portata iniziale di 8 l/s. Nella

aria

40 m 60 mm

tubazione, il cui imbocco e` a spigolo vivo, sono inserite una valvola di non ritorno ( K = 2) e una saracinesca completamente aperta ( K = 0,2). Il serbatoio di alimentazione e` in pressione. Calcolare la pressione relativa dell’aria all’interno del serbatoio di alimentazione.

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio di monte il cui carico e` pari alla quota piezometrica z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e un punto nel serbatoio di valle, il cui carico e` pari alla quota z v = z s della superficie libera rispetto allo stesso piano di riferimento, si ha

zs +

p = z s + 1Hd ρg

essendo 1Hd la somma della perdita di carico continua tra i due punti e delle perdite localizzate dovute all’imbocco a spigolo vivo ( K 1 = 0,5), alla valvola di non ritorno ( K 2 = 2), alla saracinesca ( K 3 = 0,2) e allo sbocco ( K 4 = α = 1). Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e le perdite localizzate con la 8.85, si ha



L p = ρg1Hd = ρg λ + K T D P

in cui K T =

Re =



V2 2g

K i = 0,5 + 2 + 0,2 + 1 = 3,7. Essendo

4ρ Q 4 × 999,7 × 8 × 10−3 ρV D = = = µ µπ D 1,307 × 10−3 × π × 0,060

= 130 000 > 2300 il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 1 ε 2,51 = = −2 log √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,25 = −2 log × √ + 3,71 60 130 000 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0287 - 0,0296 - 0,0296. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0298 che differisce dal precedente dello 0,8%. Essendo

V =

Q 8 × 10−3 = = 2,83 m/s A π × 0,0602 /4

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la pressione relativa dell’aria all’interno del serbatoio risulta

  ρV 2 L = p = λ + KT D 2   40 999,7 × 2,832 = 0,0296 × + 3,7 × = 93 800 Pa 0,060 2

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62 Capitolo 8 18 m3

20 m 5m 50 mm pompa

8.67 Da un serbatoio interrato contenente nafta (ρ = 920 kg/m3 e µ = 0,045 Pa · s) fuoriesce, con imbocco ben raccordato, una tubazione di plastica (ε = 0) del diametro di 50 mm, lunga 20 m, mediante la quale viene riempita un’autocisterna, inizialmente vuota. La differenza di quota tra il livello nel serbatoio e la sezione di sbocco della tubazione e` di 5 m. Il tempo necessario per riempire l’autocisterna, che ha una capacita` di 18 m3 , e` di 30 min. Calcolare la potenza della pompa, che ha un rendimento dell’82%. Analisi Noti il volume W dell’autocisterna e il tempo tr necessario per riempirla, la portata Q e` Q=

18 W = = 0,010 m3 /s tr 30 × 60

Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

1H P + z s = z u +

αVu2 + 1Hd 2g

essendo 1H P la prevalenza della pompa e 1Hd la perdita di carico continua tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), essendo Vu = V , si ha

  2 L V 1H P = z u − z s + λ + α D 2g Essendo

Re =

4ρ Q 4 × 920 × 0,010 ρV D = = = 5210 > 2300 µ µπ D 0,045 × π × 0,050

il moto e` turbolento. Pertanto, essendo ε = 0 e Re < 105 , l’indice di resistenza puo` essere calcolato con la 8.83 (formula di Blasius)

λ = 0,316 Re−0,25 = 0,316 × 5 210−0,25 = 0,0372 Essendo

V =

0,010 Q = = 5,10 m/s A π × 0,0502 /4

ed assumendo per il coefficiente di Coriolis il valore α = 1, la prevalenza risulta



 2 L V 1H P = z u − z s + λ + α = D 2g   20 5,102 = 5 + 0,0372 × +1 × = 26,1 m 0,050 2 × 9,81

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La potenza della pompa e` pari, pertanto, a

PP =

PF ρg Q1H P 920 × 9,81 × 0,010 × 26,1 = = = ηP ηP 0,82

= 2,87 kW

8.68 Due tubazioni collegate in parallelo, aventi l’una diametro

L2

doppio dell’altra, hanno la stessa lunghezza e la stessa scabrezza. Calcolare il rapporto tra le portate nelle due tubazioni, ipotizzando che abbiano lo stesso indice di resistenza.

Analisi Per la 8.104, si ha s s  5   λ2 L 2 D 1 5 D1 Q1 = = = 25/2 = 5,66 Q2 λ1 L 1 D 2 D2 Pertanto, nel tratto a diametro doppio, defluisce una portata 5,66 volte maggiore di quella che defluisce nel tratto a diametro piu` piccolo.

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2

1

Q2

Q1

D2

D1 = 2D2 L1 = L2

63

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64 Capitolo 8

10 m 0,4 m3/s L = 2 000 m

8.69 Una tubazione avente scabrezza ε = 0,03 mm deve convogliare una portata di 400 l/s di benzina (ρ = 680 kg/m3 e ν = 4,29 × 10−7 m2 /s) in un serbatoio posto a 2 km di distanza. Calcolare il valore minimo da assegnare al diametro della tubazione affinche´ le perdite continue siano al massimo pari a 10 m.

Analisi Essendo L = 2000 m la lunghezza della tubazione, alla perdita di carico di 10 m corrisponde la cadente J=

10 1H = = 0,005 L 2000

Per la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), il diametro D , oltre che dalla cadente J e dalla portata Q , dipende dall’indice di resistenza λ. Infatti, si ha

D=



8λQ 2 gπ 2 J

1/5

=



λ K

1/5

(1)

con

K =

gπ 2 J 9,81 × π 2 × 0,005 = = 0,3782 m−5 8Q 2 8 × 0,4002

e, per la 8.64 (formula di Colebrook),

  1 2,51 1 ε √ + √ = −2 log λ Re λ 3,71 D

(2)

Il sistema formato dalle equazioni 1 e 2 nelle due incognite λ e D puo` essere risolto per successive approssimazioni, come nell’Esempio 8.4, o utilizzando per il calcolo di λ la formula approssimata 8.73

  1 ε 1/5 1 8 + λ √ = −2 log Re λ1/5 1,8 D λ scritta in funzione di parametri che non contengono il diametro. Per la 8.71, si ha

Re λ1/5 =

4Q 1/5 4 × 0,400 K = × 0,37821/5 = 977 400 νπ 4,29 × 10−7 × π

e per la 8.72

ε 1/5 λ = εK 1/5 = 0,03 × 10−3 × 0,37821/5 = 2,470 × 10−5 D Introducendo tali valori nella formula approssimata 8.73, si ha

  1 8 1 −5 + × 2,470 × 10 √ = −2 log 977 400 1,8 λ da cui λ = 0,01152. Sostituendo nell’espressione di D , si ottiene

D=



λ K

1/5

=



0,01152 0,3782

1/5

= 0,497 m

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Conseguentemente, la tubazione deve avere il diametro commerciale subito superiore a quello calcolato. Avendo effettuato il calcolo con una formula approssimata, e` opportuno comunque verificare che col diametro calcolato la perdita risulti effettivamente inferiore a quella assegnata. Si ha

Re =

4ρ Q 4 × 1,135 × 0,300 = = 2,389 × 106 µπ D 1,907 × 10−5 × π × 0,246

La formula ricorsiva 8.67

  1 ε 2,51 1 = −2 log = √ + √ 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0, 03 = −2 log √ + 3,71 497 92 400 × λi assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,01090 - 0,01192 - 0,01188 - 0,01188. Sostituendo nella formula di Darcy-Weisbach, si ottiene

J=

8λQ 2 8 × 0,01188 × 0,32 = = 0,00518 gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,4975

e

1H = J L = 0,00518 × 2000 = 10,4 m valore di poco superiore a quello assegnato. Pertanto, la tubazione deve avere un diametro di poco superiore a 497 mm. Ripetendo il calcolo di verifica per D = 500 mm si ottiene, infatti, 1H = 10,05 m, valore praticamente uguale a quello assegnato.

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65

66 Capitolo 8

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8.70 In una rete di distribuzione idrica, costituita da tubazioni in ghisa (ε = 0,25 mm), c’e` un tratto con due tubazioni in parallelo, del diametro di 300 mm. La tubazione A, nella quale defluisce una portata di 0,3 m3 /s, e` lunga 1000 m, mentre la tubazione B e` lunga 3000 m. Ipotizzando che l’acqua sia a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s) e che il moto sia puramente turbolento, calcolare la portata nella tubazione B. Verificare, inoltre, l’ipotesi di moto puramente turbolento, cioe` che l’indice di resistenza sia praticamente indipendente dal numero di Reynolds.

1000 m 0,3 m3/s

A 300 mm

B

300 mm 3000 m

Analisi In due tubazioni collegate in parallelo la perdita di carico e` la stessa in ciascuna tubazione, in quanto il carico nel nodo da cui esse si dipartono e` lo stesso per ambedue le tubazioni cos`ı come il carico nel nodo in cui esse si ricongiungono. Pertanto, indicando con i pedici 1 e 2 le grandezze relative, rispettivamente, alle tubazioni A e B, si ha

J1 L 1 = J2 L 2 ed esprimendo la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach)

8λ2 Q 22 8λ1 Q 21 L = L2 1 gπ 2 D15 gπ 2 D25 da cui la 8.104

Q1 = Q2

s

λ2 L 2 λ1 L 1



D1 D2

5

e, quindi,

Q2 = Q1

s

λ1 L 1 λ2 L 2



D2 D1

5

= 0,3 ×

s

λ1 × λ2

r

1000 0,3 =√ × 3000 3

s

λ1 λ2

Se il moto e` puramente turbolento in ambedue le tubazioni, poiche´ in tal caso l’indice di resistenza dipende solo dalla scabrezza relativa ε/D , risulta λ1 = λ2 e, quindi,

0,3 Q 2 = √ = 0,173 m3 /s 3

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67

cui corrisponde un numero di Reynolds

Re2 =

4ρ Q 2 4 × 999,1 × 0,173 = = 645 000 gπ D2 1,138 × 10−3 × π × 0,300

Secondo la 8.63, perche´ il moto sia puramente turbolento deve essere

Re ≥

3,71 400 3,71 400 log = log = 1,75 × 106 ε/D ε/D 0,25/300 0,25/300

Pertanto, l’ipotesi di moto puramente turbolento non puo` ritenersi soddisfatta. Conseguentemente, l’indice di resistenza λ2 dipende anche dal numero di Reynolds e, quindi, dalla portata. Essendo, poi,

Re1 =

4ρ Q 1 4 × 999,1 × 0,3 = = 1,12 × 106 gπ D1 1,138 × 10−3 × π × 0,300

anche l’indice di resistenza della tubazione A e` espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook). Essendo noti i valori di Re e di ε/D , esso puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = = −2 log √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 0,25 1 = −2 log × √ + 3,71 300 1,12 × 106 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0188 - 0,0191 - 0,0191. Introducendo tale valore nell’espressione di Q 2 , si ha

0,3 Q2 = √ × 3

s

0,0191 3 m /s λ2

equazione che puo` essere risolta con un metodo iterativo, partendo dal valore di λ2 relativo alla condizione di moto puramente turbolento e calcolando i valori successivi con la formula approssimata 8.65. Come si puo` notare dalla tabella riportata a fianco, si ottiene Q 2 = 0,172 m3 /s, valore praticamente uguale a quello calcolato nell’ipotesi di moto puramente turbolento. Quindi, la dipendenza degli indici di resistenza dal numero di Reynolds influenza in maniera assolutamente trascurabile la distribuzione delle portate. Il rapporto tra le due portate dipende, infatti, dal rapporto tra gli indici di resistenza che varia molto poco al variare di Re.

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Q2 (m3 /s)

0,175 0,172 0,172

Re2

λ2

652 400 641 200

0, 0188 0,0194 0,0194

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68 Capitolo 8 K = 2,1 0,3 A 1000 m

m3/s

8.71 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi in cui nella tubazione A sia inserita una saracinesca parzialmente chiusa ( K = 2,1) e nella tubazione B una valvola a globo completamente aperta ( K = 10). Ipotizzare che il moto sia puramente turbolento e che le altre perdite localizzate siano trascurabili.

Analisi In due tubazioni in parallelo, la perdita di carico e` la stessa

B K = 10 3000 m

in ciascuna tubazione. Quindi, esprimendo la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e le perdite localizzate con la 8.85, si ha

    L2 Q 21 Q 22 L1 = λ 1Hd = λ1 + K1 + K 2 2 D1 D2 2g A21 2g A22 da cui, essendo D1 = D2 = D ,

r

L1 + K1 D Q2 = Q1 r L2 λ2 + K2 D λ1

Nell’ipotesi di moto puramente turbolento e` λ1 = λ2 = λ = 0,0188, per cui

Q2 = Q1

s

= 0,3 ×

λL 1 + D K 1 = λL 2 + D K 2 s

0,0188 × 1000 + 0,300 × 2,1 = 0,172 m3 /s 0,0188 × 3000 + 0,300 × 10

portata praticamente uguale a quella calcolata nell’esercizio precedente, in assenza di perdite localizzate. Quindi, almeno in questo caso, la presenza di perdite di carico localizzate diverse nelle due tubazioni influenza la distribuzione delle portate in maniera assolutamente trascurabile.

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8.72 Una tubazione di acciaio inossidabile del diametro di 600 mm (ε = 0,002 mm), lunga 12 km, convoglia acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s) da una sorgente fino al serbatoio di testa della rete cittadina, all’incirca alla stessa quota geodetica, con una portata di 0,9 m3 /s. Trascurando le perdite localizzate, (a) calcolare la potenza elettrica assorbita dall’impianto di pompaggio, essendo il rendimento del gruppo pompa-motore ` preferibile usare una sola pompa di grande potenza o del 74%. E diverse pompe piu` piccole, di uguale potenza complessiva, poste ´ (b) Calcolare la spesa giornaliera per lungo la tubazione? Perche? energia elettrica, nell’ipotesi di un costo unitario di 0,25 e/kWh.

0,9 m3/s pompa

Analisi (a)

Per la 5.108, tra un punto del serbatoio di alimentazione e un punto del serbatoio di testa della rete, aventi per ipotesi la stessa quota piezometrica, essendo 1H P la prevalenza della pompa, per l’ipotesi di perdite localizzate trascurabili, si ha

1H P = 1Hd = J L = λ

8λQ 2 V2 L L= 2g D gπ 2 D 5

Essendo

Re =

4ρ Q 4 × 950,6 × 0,9 = = 7,12 × 106 µπ D 0,255 × 10−3 × π × 0,600

il moto e` turbolento. Pertanto, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 1 ε 2,51 = = −2 log √ + √ 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,002 = −2 log × √ + 3,71 600 7,12 × 106 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,00684 - 0,00894 - 0,00878 0,00879 - 0,00879. Essendo

1H P =

8λQ 2 8 × 0,00879 × 0,92 × 12 000 L = = 90,9 m gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,6005

la potenza elettrica assorbita dall’impianto di pompaggio e`

PE =

PF ρg Q1Hd 950,6 × 9,81 × 0,9 × 90,9 = = = ηP M ηP M 0,74

= 1030 kW Usando una sola pompa, questa dovrebbe fornire l’intera prevalenza e, quindi, tra le sezioni subito a valle e subito a monte della pompa si avrebbe una differenza di altezza piezometrica

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1HP

pompa

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70 Capitolo 8

di 90,9 m e una differenza di pressione

1p = ρg1H P = 950,6 × 9,81 × 90,9 = 848 kPa 1HP1

1HP2

Volendo evitare sollecitazioni cos`ı elevate sulla tubazione, e` preferibile usare 2 o 3 pompe piu` piccole, di uguale potenza complessiva, poste lungo la tubazione. In tal modo, l’incremento di pressione viene suddiviso in 2 o 3 incrementi minori subito a valle di ogni pompa e le sollecitazioni sulla tubazione risultano corrispondentemente ridotte.

pompa 2 pompa 1 1HP = 1HP1 + 1HP2

(b)

Nell’ipotesi che l’impianto funzioni con continuita` nelle 24 ore, il consumo giornaliero di energia elettrica e` pari a 1030 × 24 = 24 700 kWh, con una spesa giornaliera

C = 0,25 × 24 700 = 6180 e

8.73 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi che la tubazione sia in ghisa (ε = 0,25 mm). Analisi Rispetto all’esercizio precedente si ha solo il cambiamento dell’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook). Essendo noti i valori di Re e di ε/D , utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = = −2 log √ + √ 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 0,25 1 = −2 log × √ + 3,71 600 7,12 × 106 × λi

assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0160 - 0,0161 - 0,0161. Quindi, l’aumento della scabrezza dovuto all’adozione di tubazioni in ghisa comporta un aumento dell’indice di resistenza dell’83% (0,0161/0,00879 = 1,83) rispetto a quello che si ha impiegando tubazioni in acciaio inossidabile, come nel caso precedente. Poiche´ le perdite di carico variano linearmente con l’indice di resistenza, di altrettanto aumentano la prevalenza, la potenza della pompa e il costo giornaliero dell’energia elettrica. Infatti, si ha

1H P =

8λQ 2 8 × 0,0161 × 0,92 × 12 000 L = = 167 m gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,6005

e

PE =

PF ρg Q1Hd 950,6 × 9,81 × 0,9 × 167 = = = 1890 kW ηP M ηP M 0,74

con una spesa giornaliera per energia elettrica

C = 0,25 × 1890 × 24 = 11 300 e

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8.74 Negli edifici con impianto di acqua calda centralizzato, per evitare che si debba aspettare che venga scaricata una gran quantita` di acqua fredda prima che quella calda cominci a fuoriuscire, l’acqua calda viene mantenuta in costante movimento in un apposito circuito. In un circuito di questo tipo, costituito da una tubazione in acciaio (ε = 0,02 mm) del diametro di 20 mm, lunga 40 m, con due saracinesche completamente aperte ( K = 0,2), la temperatura dell’acqua e` di 60 ◦ C (ρ = 983,3 kg/m3 e µ = 0,467 × 10−3 Pa · s) e il rendimento della pompa e` del 70%. Calcolare la potenza della pompa di ricircolo per una velocita` media dell’acqua nella tubazione di 2,5 m/s.

K = 0,2

K = 0,2

Analisi In un impianto di circolazione, per la 8.108, essendo nulla la prevalenza geodetica, la prevalenza della pompa e` pari alla somma delle perdite di carico nel circuito. Pertanto, esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e le perdite localizzate con la 8.85, si ha

  2 L V 1H P = 1Hd = λ + K T D 2g nella quale, per la presenza delle due saracinesche completamente aperte, K T = 2 × 0,2 = 0,4. Essendo

Re =

ρV D 983,3 × 2,5 × 0,020 = = 105 000 µ 0,467 × 10−3

il moto e` turbolento. Pertanto, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 0,02 = −2 log × √ + √ 3,71 20 λi+1 105 000 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0196 - 0,0222 - 0,0221 - 0,0221. Si ha



 2 L V 1H P = λ + K T = D 2g   2,52 40 + 0,4 × = 14,2 m = 0,0221 × 0,020 2 × 9,81 per cui, essendo

Q =VA=V

π × 0,0202 π D2 = 2,5 × = 0,785 l/s 4 4

la potenza della pompa e`

PP =

ρg Q1Hd 983,3 × 9,81 × 0,785 × 10−3 × 14,2 = = 154 W ηP 0,70

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pompa

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72 Capitolo 8

8.75 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi di tubazione in plastica (ε = 0). Analisi Rispetto all’esercizio precedente si ha solo il cambiamento dell’indice di resistenza, espresso direttamente dalla 8.56 (formula di Prandtl-von Karm ´ an ´ per i tubi lisci), che puo` essere calcolato con la formula ricorsiva 8.67 ponendo ε = 0

2,51 2,51 1 = −2 log √ = −2 log √ √ λi+1 Re λi 105 000 × λi Adottando come valore iniziale il valore fornito dalla 8.83 (formula di Blasius)

λ = 0,316 Re−0,25 = 0,316 × 105 000−0,25 = 0,0176 si ottengono, nell’ordine, i valori: 0,0178 - 0,0178. Quindi, la riduzione della scabrezza dovuta all’adozione di una tubazione in plastica, che puo` essere considerata un tubo liscio, fa si che l’indice di resistenza si riduca all’81% (0,0178/0,0221 = 0,81) di quello che si ha impiegando una tubazione in acciaio, come nel caso precedente. Poiche´ le perdite di carico continue variano linearmente con l’indice di resistenza, praticamente di altrettanto si riducono la prevalenza e la potenza della pompa. Infatti, si ha

 2  L V = 1H P = λ + K T D 2g   40 2,52 = 0,0178 × + 0,4 × = 11,5 m 0,020 2 × 9,81 e

PP = =

PF ρg Q1Hd = = ηP ηP 983,3 × 9,81 × 0,785 × 10−3 × 11,5 = 124 W 0,70

pari ambedue all’81% dei valori ottenuti nell’esercizio precedente.

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Lunghe condotte 8.76 In una tubazione del diametro di 300 mm, che si stacca da un serbatoio con imbocco ben raccordato, sono presenti due saracinesche, una valvola a fuso e una valvola a farfalla. La tubazione sbocca in un serbatoio a livello costante. Quale deve essere la lunghezza minima della tubazione perche´ possa essere considerata una lunga condotta? Analisi Una tubazione puo` essere considerata una lunga condotta se ha una lunghezza tale da dar luogo a perdite continue nettamente maggiori di quelle localizzate, cioe` se l’insieme delle perdite di carico localizzate e` dell’ordine di qualche percento delle perdite continue. A valvole completamente aperte, dalla Tabella 8.4 si ha K = 0,2 per le saracinesche, K = 0,20 per la valvola a fuso e K = 0,30 per la valvola a farfalla. Pertanto, considerando anche la perdita localizzata allo sbocco per la quale K = 1, per la 8.87 l’insieme delle perdite localizzate e` pari alla perdita continua in un tratto di tubazione avente lunghezza equivalente

Le =

KT D λ

in cui K T = 2×0,2+0,20+0,30+1 = 1,9 e` la somma dei coefficienti delle perdite localizzate, λ e` l’indice di resistenza della tubazione e D il diametro. Ammettendo che tali perdite siano trascurabili qualora non superino il 4% delle perdite continue, deve essere

L e ≤ 0,04 L e, pertanto, la tubazione deve avere una lunghezza minima

L min =

1 KT 1 Le = D 0,04 0,04 λ

Il valore dell’indice di resistenza dipende dalla scabrezza e dal numero di Reynolds. Non essendo precisati ne´ il valore della portata, ne´ la natura del liquido convogliato ne´ il materiale di cui e` costituita la tubazione, non e` possibile effettuarne il calcolo. Per λ = 0,025 si ha

L min =

1,9 1 × D = 1900 D = 1900 × 0,300 = 570 m 0,04 0,025

Se, prudenzialmente, si pone λ = 0,010 la lunghezza minima aumenta a 4750 D = 1425 m.

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74 Capitolo 8

8.77 Una tubazione del diametro di 400 mm, lunga 6,4 km, collega due serbatoi a livello costante. Qual e` il valore massimo della somma dei coefficienti delle perdite localizzate perche´ queste possano essere trascurate rispetto alle perdite continue?

Analisi Per la 8.87 l’insieme delle perdite localizzate e` pari alla perdita continua in un tratto di tubazione avente lunghezza equivalente

Le =

KT D λ

in cui K T e` la somma dei coefficienti delle perdite localizzate, λ e` l’indice di resistenza della tubazione e D il diametro. Ammettendo che le perdite localizzate siano trascurabili qualora non superino il 4% delle perdite continue, deve essere

Le =

KT D ≤ 0,04 L λ

per cui

K T max = 0,04

L 6400 λ = 0,04 × λ = 640 λ D 0,400

Il valore dell’indice di resistenza dipende dalla scabrezza e dal numero di Reynolds. Non essendo precisati ne´ il valore della portata, ne´ la natura del liquido convogliato ne´ il materiale di cui e` costituita la tubazione, non e` possibile effettuarne il calcolo. Per λ = 0,025 si ha

K T max = 640 λ = 640 × 0,025 = 16 Se, prudenzialmente, si pone λ = 0,010 il coefficiente della somma delle perdite localizzate ammissibili si riduce a 640 × 0,010 = 6,4.

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8.78 Una tubazione di acciaio, bitumata internamente (indice di scabrezza di Strickler a tubi nuovi c = 100 m1/3 /s), avente diametro di 400 mm e lunghezza di 9,6 km, collega due serbatoi a livello costante, tra i cui peli liberi vi e` un dislivello di 60 m. Calcolare il

Correnti in pressione

75

A

60 m

valore della portata idrica convogliata tra i due serbatoi a tubi usati (c = 80 m1/3 /s) e l’entita` del carico che una valvola deve dissipare a tubi nuovi perche´ venga convogliata la stessa portata.

B

Q

Analisi La tubazione ha una lunghezza pari a 9600/0,400 = 24 000 ` quindi, essere considerata una lunga condotta. In tal diametri. Puo, caso, per la 8.112, la cadente J e` pari al rapporto tra il dislivello Y tra i peli liberi dei due serbatoi e la lunghezza L della condotta, per cui

J=

60 Y = = 0,00625 L 9600

Ipotizzando che il moto sia puramente turbolento, conviene esprime la cadente con la formula monomia quadratica 8.80, ottenuta esprimendo il coefficiente C della formula di Che´ zy con la formula di Strickler,

J = 10,3

Q2 c2 D 5,33

dalla quale

Q=

s

1 J c2 D 5,33 = 10,3

s

1 × 0,00625 × 802 × 0,4005,33 = 10,3

= 0,171 m3 /s A tubi nuovi, la stessa portata da` luogo ad una perdita di carico minore del dislivello disponibile. Infatti, indicando con c N l’indice di scabrezza di Strickler a tubi nuovi e con J N la relativa cadente, per la 8.80 si ha

JN =

c2 J= c2N



80 100

2

× 0,00625 = 0,00400

Si ha quindi del carico in esubero, pari alla differenza tra il carico disponibile Y e quello dissipato nella tubazione. La valvola deve, pertanto, dissipare un carico

A 1H

60 m

1H = Y − JN L = 60 − 0,00400 × 9600 = 21,6 m I risultati ottenuti sono corretti nella misura in cui lo e` l’ipotesi di moto puramente turbolento. Per verificare la correttezza di tale ipotesi, e` necessario calcolare il numero di Reynolds e verificare che sia maggiore del valore limite fornito dalla 8.63. ` e` necessario determinare i valori delPreliminarmente, pero, l’indice di scabrezza ε corrispondenti agli indici di scabrezza di Strickler assegnati. Dal confronto tra le tabelle 8.2 e 8.3, si puo`

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B

Q

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76 Capitolo 8

assumere ε = 0,10 mm a tubi nuovi e ε = 0,80 mm a tubi usati. Pertanto, nella situazione a tubi usati, perche´ il moto sia puramente turbolento deve essere

Re ≥

3,71 400 3,71 400 log = × log = 654 000 ε/D ε/D 0,80/400 0,80/400

Essendo

Re =

4Q 4 × 0,171 = −6 = 546 000 νπ D 10 × π × 0,400

l’ipotesi di moto puramente turbolento non e` verificata. Pertanto, conviene esprimere la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) che, introducendo la portata, diviene

J=

8λQ 2 gπ 2 D 5

da cui

Q=

=

r

gπ 2 J D 5 = 8λ

r

9,81 × π 2 × 0,00625 × 0,4005 1 ×√ = 8 λ

0,02783 √ λ

Essendo

√ VD Re λ = ν =

r

Dp 2g D J = 2g D J = 2 V ν

0,400 p × 2 × 9,81 × 0,400 × 0,00625 = 88 590 10−6

dalla 8.64 (formula di Colebrook) si ottiene

  1 2,51 1 ε = √ = −2 log √ + λ Re λ 3,71 D   2,51 1 0,80 = −2 log + = 6,492 88 590 3,71 400 da cui λ = 0,0237 e

Q=

0,02783 = 0,02783 × 6,492 = 0,181 m3 /s √ λ

valore superiore di poco piu` del 5% rispetto a quello calcolato con ´ la formula di Chezy. Con tale valore di portata, essendo

Re =

4Q 4 × 0,181 = −6 = 575 000 νπ D 10 × π × 0,400

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a tubi nuovi, cioe` per ε = 0,10 mm, dalla 8.65 si ha λ N = 0,0158. Per cui, per la 8.32

JN =

λN 0,0158 J= × 0,00625 = 0,00417 λ 0,0237

La valvola deve, pertanto, dissipare un carico

1H = Y − JN L = 60 − 0,00417 × 9600 = 20,0 m valore inferiore di circa il 7% rispetto a quello calcolato con la ´ formula di Chezy.

Discussione Le differenze percentuali tra i risultati ottenuti esprimendo la cadente con una formula monomia quadratica, valida nell’ipotesi di moto puramente turbolento, e quelli che si ottengono utilizzando le formule di validita` piu` generale rientrano nell’ordine di approssimazione di questo tipo di calcoli, in cui le incertezze legate alla valutazione della scabrezza delle tubazioni rendono illusoria una precisione maggiore. La semplificazione dei calcoli che ne deriva giustifica ampiamente l’adozione delle formule monomie specie nello studio delle reti e delle lunghe condotte.

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78 Capitolo 8 A

50 m 1

B 2

M 40 l/s

8.79 Una tubazione di acciaio, bitumata internamente (indice di scabrezza di Strickler a tubi usati c = 80 m1/3 /s), avente diametro di 300 mm e lunghezza di 24,2 km, collega due serbatoi a livello costante, tra i cui peli liberi vi e` un dislivello di 50 m. A meta` del percorso, in corrispondenza di un nodo, viene erogata una portata di 40 l/s. Calcolare le portate che percorrono i due lati della tubazione e il carico nel nodo.

Analisi Per scrivere il sistema di equazioni che regge il problema e` necessario ipotizzare il verso di percorrenza della portata nel lato 2 congiungente il nodo M con il serbatoio B posto alla quota piu` bassa. Se, infatti, non vi e` alcun dubbio sul fatto che nel lato 1 la portata defluisca dal serbatoio A verso il nodo M, per quanto riguarda il lato 2 possono verificarsi ambedue le situazioni in dipendenza del valore che assume il carico HM nel nodo M: la portata sara` diretta dal nodo al serbatoio B se il carico in M risultera` maggiore della quota della superficie libera del serbatoio, cioe` se HM > z B ; viceversa, sara` diretta dal serbatoio B verso il nodo M se risultera` HM < z B . Nel primo caso, il serbatoio A alimenta sia il nodo M che il serbatoio B; nel secondo caso, il nodo e` alimentato da ambedue i serbatoi. Nel primo caso, essendo Q M = 40 l/s la portata erogata nel nodo M e Q 1 e Q 2 rispettivamente le portate nei lati 1 e 2, il sistema e` costituito dalle equazioni

A

50 m 1

 z A − HM = J1 L 1 = K 1 Q 21    HM − z B = J2 L 2 = K 2 Q 22    Q1 = Q M + Q2

B

Q1 2

M zA

HM 40 l/s

Q2

zB

in cui, esprimendo la cadente con la 8.80 ed essendo L 1 = L 2 = L/2,

z=0

K1 = K2 =

10,3 c2 D 5,33

L 10,3 24 200 = 2 × = 5,33 2 80 × 0,300 2

= 11 920 m−5 · s2

A

50 m 1

B

Q1 2

M 40 l/s

Q2

A

50 m HM = zB

1 Q1 M QM

2 Q2 = 0

B

Se l’ipotesi non e` corretta, il sistema non fornisce una radice reale per Q 2 . Pertanto si verifica il secondo caso, che e` retto dal sistema di equazioni

 z A − HM = J1 L 1 = K 1 Q 21    z B − HM = J2 L 2 = K 2 Q 22    Q1 + Q2 = Q M

Volendo evitare il rischio di risolvere il sistema sbagliato, il verso di percorrenza di Q 2 puo` essere determinato calcolando il valore che assumerebbe la portata Q 1 se il carico in M fosse pari al livello di B, cioe` per HM = z B . In tal caso, si avrebbe

z A − z B = J1 L 1 = K 1 Q 21

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da cui

Q1 =

r

zA − zB = K1

r

50 = 0,0648 m3 /s = 64,8 l/s 11 920

Essendo Q 1 > Q M , l’ipotesi piu` corretta e` la prima: nel nodo si ` infatti, un carico maggiore di z B in modo che l’esubero di stabilira, portata rispetto a quella richiesta al nodo possa essere convogliato in B. Ovviamente, essendo HM > z B , la portata Q 1 effettiva sara` minore di quella appena calcolata. Il sistema da risolvere e` dunque il primo, che eliminando il carico al nodo si puo` riscrivere come

(

z A − z B = J1 L 1 + J2 L 2 = K 1 Q 21 + K 2 Q 22 Q1 = Q M + Q2

Eliminando Q 1 , si ha

z A − z B = K 1 (Q M + Q 2 )2 + K 2 Q 22 Sviluppando il quadrato del binomio e riordinando si ottiene l’equazione di secondo grado in Q 2

(K 1 + K 2 )Q 22 + 2K 1 Q M Q 2 + K 1 Q 2M − (z A − z B ) = = 2×11 920 Q 22 + 2×11 920×0,040 Q 2 + 11 920×0,0402 − 50 = = 23 840 Q 22 + 953,8 Q 2 − 30,92 = 0 la cui radice positiva e` Q 2 = 0,0212 m3 /s = 21,2 l/s. Conseguentemente, si ha

Q 1 = Q M + Q 2 = 40 + 21,2 = 61,2 l/s e

HM = z A − K 1 Q 21 = z A − 11 920 × 0,06122 = z A − 44,7 m o, per controllo,

HM = z B + K 2 Q 22 = z B + 11 920 × 0,02122 = z B + 5,3 m e, sottraendo la seconda dalla prima,

z A − z B = K 1 Q 21 + K 2 Q 22 = 44,7 + 5,3 = 50 m

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80 Capitolo 8

8.80 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare la portata

A

50 m HM = zB

1

B

erogata nel nodo quando il carico al nodo e` uguale a quello del serbatoio di valle.

Analisi Per la 8.112 scritta tra il serbatoio A e il nodo M, si ha

Q1 M QM = Q1

z A − HM = J1 L 1 = K 1 Q 21

2 Q2 = 0

in cui, esprimendo la cadente con la 8.80 ed essendo L 1 = L/2,

K1 =

10,3 c2 D 5,33

L1 =

802

10,3 24 200 × = 11 920 m−5 · s2 5,33 × 0,300 2

Essendo, per ipotesi, HM = z B la portata nel lato 2 e` nulla e conseguentemente la portata Q M erogata nel nodo M e` uguale alla portata Q 1 che defluisce nel lato 1. Si ha, dunque,

Q M = Q1 =

r

zA − zB = K1

r

50 = 0,0648 m3 /s = 11 920

= 64,8 l/s

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8.81 L’adduttrice di un acquedotto deve convogliare una portata di 0,2 m3 /s tra due serbatoi a livello costante, tra i cui peli liberi vi e` un dislivello di 82 m. La lunghezza del tracciato e` di 12,5 km. Calcolare il valore del diametro minimo che deve avere la tubazione, nell’ipotesi che sia di acciaio, bitumata internamente (indice di scabrezza di Strickler a tubi usati c = 80 m1/3 /s).

Analisi Per la 8.112, essendo Y = 82 m il dislivello tra i peli liberi dei due serbatoi, L = 12 500 m la lunghezza della tubazione e J la cadente, si ha

J=

82 Y = = 0,00656 L 12 500

Ipotizzando che il moto sia puramente turbolento ed esprimendo la cadente con la formula monomia quadratica 8.80, ottenuta esprimendo il coefficiente C della formula di Che´ zy con la formula di Strickler,

J = 10,3

Q2 c2 D 5,33

si ha



Q2 D = 10,3 2 c J

1/5,33

 = 10,3 ×

0,22 802 × 0,00656

1/5,33

=

= 0,420 m Volendo risolvere il problema in maniera piu` generale, cioe` abbandonando l’ipotesi di moto puramente turbolento, bisogna esprimere la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), nella quale il diametro D , oltre che dalla cadente J e dalla portata Q , dipende dall’indice di resistenza λ. Infatti, si ha

D=



8λQ 2 gπ 2 J

1/5

=



λ K

1/5

(1)

con

K =

gπ 2 J 9,81 × π 2 × 0,00656 = = 1,985 m−5 8Q 2 8 × 0,22

e, per la 8.64 (formula di Colebrook),

  2,51 1 ε 1 √ = −2 log √ + λ Re λ 3,71 D

(2)

Il sistema formato dalle equazioni 1 e 2 nelle incognite λ e D puo` essere risolto per successive approssimazioni, come indicato nell’Esempio 8.4. In alternativa, per il calcolo di λ, in sostituzione della (2) si puo`

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81

Y

Q

L

82 Capitolo 8

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utilizzare la formula approssimata 8.73

  8 1 ε 1/5 1 + λ √ = −2 log Re λ1/5 1,8 D λ in cui λ e` scritta in funzione di parametri che non contengono il diametro. Seguendo tale approccio, per la 8.71, si ha

Re λ1/5 =

4 × 0,2 4Q 1/5 K = −6 × 1,9851/5 = 292 100 νπ 10 × π

e, per la 8.72,

ε 1/5 λ = εK 1/5 = 0,8 × 10−3 × 1,9851/5 = 91,76 × 10−5 D avendo assunto ν = 10−6 m2 /s e ε = 0,8 mm. Introducendo tali valori nella 8.73, si ha

  8 1 ε 1/5 1 + = λ √ = −2 log Re λ1/5 1,8 D λ   8 1 −5 = −2 log + × 91,76 × 10 292 100 1,8 da cui λ = 0,02338. Introducendo, infine, tale valore nella (1), si ottiene

D=



λ K

1/5

=



0,02338 1,985

1/5

= 0,411 m

valore appena inferiore a quello calcolato, nell’ipotesi di moto puramente turbolento, con la formula di Strickler.

Discussione La differenza tra il diametro minimo ottenuto esprimendo la cadente con una formula monomia quadratica, valida nell’ipotesi di moto puramente turbolento, e quello calcolato utilizzando le formule di validita` piu` generale e` assolutamente tra` pertanto, piu` che scurabile. L’adozione delle formule monomie e, giustificata dalle semplificazioni che ne derivano. Cio` e` ancor piu` vero nei calcoli di progetto in considerazione del fatto che, in tal caso, il calcolo serve solo a individuare il diametro commerciale immediatamente superiore al diametro risultante dal calcolo.

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83

8.82 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare il valore del carico che una valvola deve dissipare a tubi nuovi (indice di scabrezza di Strickler a tubi nuovi c = 100 m1/3 /s) perche´ venga convogliata la portata di progetto.

Analisi A tubi nuovi la portata assegnata da` luogo ad una perdita di carico minore del dislivello disponibile. Infatti, indicando con c N l’indice di scabrezza di Strickler a tubi nuovi e con JN la relativa cadente, per la 8.80 si ha

c2 JN = 2 J = cN



80 100

2

× 0,00656 = 0,004198

Si ha quindi del carico in esubero pari alla differenza tra il carico disponibile Y e quello dissipato nella tubazione. La valvola deve, pertanto, dissipare un carico

1H = Y − JN L = 82 − 0,004198 × 12 500 = 29,5 m Discussione Il calcolo e` stato effettuato assumendo che il diametro della tubazione sia pari a quello calcolato e non, come e` necessario nella pratica, al diametro commerciale immediatamente superiore. Nella pratica, per l’aumento del diametro rispetto a quello minimo teorico, la valvola dovra` dissipare un carico maggiore di quello derivante dalla sola condizione di tubi nuovi.

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1H Q

L

Y

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84 Capitolo 8

8.83 Il sistema di figura e` costituito da tubazioni di acciaio, bi-

A B 1 2 Q1 M

Q2

C

3

Q3

tumate internamente (indice di scabrezza di Strickler a tubi usati c = 80 m1/3 /s), aventi diametro D = 450 mm. Essendo z A = 375 m, z B = 330 m, z C = 300 m, L 1 = 10 500 m, L 2 = 7500 m e L 3 = 9500 m, determinare la distribuzione delle portate e il carico al nodo.

Analisi Nell’ipotesi che la portata Q 2 sia diretta dal nodo M verso il serbatoio B, la distribuzione di portate e` determinata dal sistema di equazioni 8.116

 z − HM = J1 L 1 = K 1 Q 21   A     HM − z B = J2 L 2 = K 2 Q 22

A B 1 2 Q1 M

Q2

3

  HM − z C = J3 L 3 = K 3 Q 23     Q1 = Q2 + Q3

C

Q3

nelle quali, esprimendo la cadente con la 8.80,

K1 = K2 = K3 =

10,3 c12 D15,33 10,3 c22 D25,33 10,3 c32 D35,33

L1 = L2 = L3 =

10,3 × 10 500 = 1192 m−5 · s2 802 × 0,4505,33 802

10,3 × 7500 = 851,3 m−5 · s2 × 0,4505,33

802

10,3 × 9500 = 1078 m−5 · s2 × 0,4505,33

Sommando la prima equazione alla seconda e sottraendo la seconda dalla terza si ottiene

 z A − z B = K 1 Q 21 + K 2 Q 22    z B − z C = K 3 Q 23 − K 2 Q 22    Q1 = Q2 + Q3

sistema che conviene risolvere con un metodo iterativo. Per esempio, fissato un valore per Q 2 , si puo` ricavare il valore di Q 1 dalla prima equazione e quello di Q 3 dalla seconda, dalle quali si ha

Q1 = Q2 (m3 /s)

Q1 (m3 /s)

Q3 (m3 /s)

0,000 0,028 0,024 0,025 0,025

0,194 0,193 0,193 0,193 0,193

0,167 0,169 0,168 0,168 0,168

s

z A − z B − K 2 Q 22 K1

e

Q3 =

s

z B − z C + K 2 Q 22 K3

e con i valori di Q 1 e di Q 2 cos`ı ottenuti ricavare un nuovo valore di Q 2 dalla terza, ripetendo il procedimento finche´ tra i valori di due iterazioni successive le differenze risultino trascurabili. Come evidenziato nei calcoli della tabella a fianco, in cui, per ` il valore iniziale di Q 2 e` stato posto uguale a zero (il che semplicita, equivale a ipotizzare che sia HM = z B ), risulta Q 1 = 0,193 m3 /s, Q 2 = 0,025 m3 /s, Q 3 = 0,168 m3 /s e HM = 330,5 m.

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8.84 L’impianto di figura deve sollevare una portata di 50 l/s da un lago a un serbatoio il cui pelo libero e` 60 m piu` in alto. La lunghezza della tubazione (indice di scabrezza di Strickler a tubi usati c = 80 m1/3 /s) e` di 7,6 km. Nell’ipotesi che l’impianto debba funzionare ininterrottamente, calcolare il diametro commerciale (multiplo di 50 mm) della tubazione e la potenza della pompa.

Analisi Per un impianto che deve funzionare con continuita` tutto l’anno, la velocita` di massimo tornaconto e` di circa 1 m/s. Un primo valore del diametro si puo` ottenere imponendo, appunto, che la velocita` media abbia tale valore. Essendo

A=

0,050 Q = = 0,050 m2 V 1

e

D=

r

4A = π

r

4 × 0,050 = 0,252 m π

si puo` assegnare alla tubazione, come valore di primo tentativo, il diametro commerciale D = 250 mm, che e` il piu` vicino a quello calcolato . Volendo verificare che tale diametro sia effettivamente il piu` conveniente, bisogna calcolare la passivita` o costo annuo in base ai costi effettivi e ripetere il calcolo per i diametri commerciali subito superiori e subito inferiori. Per la 8.98, il costo annuo per unita` di lunghezza della tubazione e`

C A = rC T + C E in cui il primo addendo rappresenta i costi di ammortamento e manutenzione, pari a una quota r del costo delle tubazioni C T , dipendente dal tasso di interesse e dal piano di ammortamento dell’opera e il secondo e` il costo di esercizio C E , pari al costo dell’energia dissipata in condotta. I calcoli riportati nella tabella che segue sono stati effettuati ponendo r = 0,15 ed assumendo per C T i valori desunti da un prezzario regionale per le opere pubbliche, per il costo del chilowattora un valore medio ck = 0,20 e e per il rendimento del gruppo pompa-motore il valore η P M = 0,70. Il costo di esercizio C E e` dato dalla 8.100, che esprimendo la cadente con la 8.80 e tenendo presente che l’impianto funziona con continuita` tutto l’anno per cui t A = 365 × 24 × 3600, diviene

CE =

1 ck ρgk 3 1 ck 10,3 10−6 Q tA = 10−6 ρg 2 n Q 3 t A = n 3,6 ηP M D 3,6 ηP M c D

= 10−3 ×

0,20 10,3 365 × 24 × 103 × 9,81 × × 0,0503 × = 2 0,70 80 D 5,33

= 0,00494

1 D 5,33

e

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60 m 50 l/s pompa

85

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86 Capitolo 8

Come si puo` notare dai valori riportati nell’ultima colonna della tabella e dal grafico a fianco, in prossimita` del minimo la curva della passivita` e` piuttosto piatta. Infatti, i valori relativi ai diametri di 250, 300 e 350 mm sono praticamente coincidenti. Il costo annuo minimo si ha per la tubazione di diametro D = 300 mm, a cui corrisponde una velocita` media V = 0,71 m/s.

(€) 120

80 CE CA

40

D (mm)

rCT 0 0

100

200

400 D (mm)

300

150 200 250 300 350 400 450

CT (e) 42, 10 65, 50 88, 10 111, 70 134, 20 153, 50 178, 90

rC T (e) 6, 32 9, 83 13, 22 16, 76 20, 13 23, 03 26, 84

CE (e) 121, 65 26, 25 7, 99 3, 02 1, 33 0, 65 0, 35

CA (e) 127, 96 36, 08 21, 21 19, 78 21, 46 23, 68 27, 18

V (m/s) 2, 83 1, 59 1, 02 0, 71 0, 52 0, 40 0, 31

Con tale valore del diametro, essendo Y = 60 m la prevelenza geodetica, la prevalenza totale della pompa e`

1H = Y + J L = Y + 10,3 Y

1H

= 60 + 10,3 × Q

Q2 L= c2 D 5,33

0,0502 × 7600 = 78,7 m 802 × 0,3005,33

pompa

Pertanto, la potenza che la pompa deve cedere al fluido vale

PF = ρg Q1H = 1000 × 9,81 × 0,050 × 78,7 = 38,6 kW

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8.85 L’adduttrice di un acquedotto deve convogliare una portata di 0,35 m3 /s tra due serbatoi a livello costante, tra i cui peli liberi vi e` un dislivello di 76 m. La lunghezza del tracciato e` di 18,5 km. Calcolare il valore del diametro minimo che deve avere la tubazione, nell’ipotesi che sia di acciaio, bitumata internamente (indice di scabrezza di Strickler a tubi usati c = 80 m1/3 /s).

Analisi Per la 8.112, essendo Y = 76 m il dislivello tra i peli liberi dei due serbatoi, L = 18 500 m la lunghezza della tubazione e J la cadente, si ha

J=

76 Y = = 0,004108 L 18 500

Ipotizzando che il moto sia puramente turbolento ed esprimendo la cadente con la formula monomia quadratica 8.80, ottenuta esprimendo il coefficiente C della formula di Che´ zy con la formula di Strickler,

J = 10,3

Q2 c2 D 5,33

si ha

 1/5,33  1/5,33 Q2 0,352 D = 10,3 2 = 10,3 × 2 = c J 80 × 0,004108 = 0,566 m

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87

Y

Q

L

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88 Capitolo 8

Y

Q L

1

L2

8.86 Con riferimento all’esercizio precedente, ipotizzando che i diametri commerciali siano multipli di 50 mm, determinare le lunghezze dei due tratti a diametro D1 < Dt e D2 > Dt , subito minore e subito maggiore del diametro Dt calcolato. Analisi Essendo Dt = 566 mm, il diametro commerciale subito inferiore e` D1 = 550 mm e quello subito superiore D2 = 600 mm. Le lunghezze da assegnare ai due tratti sono date dalla soluzione del sistema di equazioni 8.120

(

J1 L 1 + J2 L 2 = Y L1 + L2 = L

da cui, ricavando L 2 dalla seconda, sostituendo nella prima e riordinando si ottiene

L1 =

Y − J2 L J1 − J2

Esprimendo la cadente con la formula monomia quadratica 8.80, si ha

J1 = 10,3 ×

0,352 = 0,00477 802 × 0,5505,33

J2 = 10,3 ×

0,352 = 0,00300 802 × 0,6005,33

e

per cui

L1 =

Y − J2 L 76 − 0,00300 × 18 500 = = 11 580 m J1 − J2 0,00477 − 0,00300

e

L 2 = L − L 1 = 18 500 − 11 580 = 6920 m

Misura della velocita’ e della portata 8.87 Su quali considerazioni principali si basa la scelta di un misuratore di portata?

Analisi La scelta di un misuratore di portata si basa su dimensio` perdita di carico e principio di ni, costi, accuratezza, versatilita, funzionamento.

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89

8.88 Descrivere come sia possibile misurare la portata con un tubo di Pitot.

Analisi Il tubo di Pitot misura l’altezza cinetica in un punto come differenza tra pressione dinamica e pressione statica. Dall’altezza cinetica si risale facilmente alla velocita` nel punto. Nota la velocita` in un numero di punti sufficientemente significativo di una sezione trasversale, la portata puo` essere ottenuta per via indiretta come sommatoria delle portate relative all’area di pertinenza di ciascun punto, ottenute moltiplicando la velocita` nel punto per l’area stessa.

8.89 Qual e` il principio di funzionamento dei misuratori a strozzamento? 1Hd

Analisi Se la corrente e` costretta a passare attraverso una sezione ristretta (strozzatura) la sua velocita` media aumenta e, conseguentemente, aumenta anche la sua altezza cinetica. L’aumento di altezza cinetica, funzione sia dell’entita` dello strozzamento che della portata, da` luogo, per il teorema di Bernoulli, ad una corrispondente diminuzione 1h di quota piezometrica. Misurando tale variazione con un manometro o un trasduttore differenziale si ottiene per via indiretta la portata della corrente. Per un generico misuratore a strozzamento la portata e` data dalla 8.132

Q = C p AR

r

1h

d

2g1h 1 − m2

in cui m = (d/D)2 , detto rapporto di strozzamento, e` il rapporto tra l’area A R della luce di diametro d e l’area della tubazione di diametro D e C p e` un coefficiente di portata determinato sperimentalmente, che tiene conto delle perdite di carico 1Hd tra le due sezioni di misura e che dipende, oltre che da m , anche dal numero di Reynolds e dalle caratteristiche costruttive del misuratore.

8.90 Come funzionano i misuratori volumetrici? Perche´ vengono spesso utilizzati per la benzina, l’acqua e il metano?

Analisi Il funzionamento dei misuratori volumetrici si basa sul riempimento e lo svuotamento continuo di una camera di misura e sul conteggio del numero di cicli carico-scarico. Essi vengono usati quando interessa non tanto misurare la portata (volume defluito nell’unita` di tempo) quanto piuttosto il volume totale di fluido versato in un contenitore o defluito attraverso una sezione in un determinato lasso di tempo. Cio` accade, in particolare, per le forniture di acqua, benzina o altri fluidi in cui il corrispettivo e` commisurato al volume di fluido fornito e non alla maggiore o minore rapidita` della fornitura.

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D

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90 Capitolo 8

8.91 Qual e` il principio di funzionamento dei misuratori a turbina?

Analisi Un’elica investita da una corrente fluida ruota con velocita`

` tanto maggiore quanto piu` grande e` la velocita` della corrente. E, quindi, possibile misurare indirettamente la velocita` del fluido attraverso la misura della velocita` di rotazione di un’elica investita dal fluido, previa apposita taratura. Il funzionamento dei misuratori a turbina e` basato su tale principio. Un misuratore a turbina e` costituito da un tronchetto di tubazione, filettata o flangiata agli estremi, in cui e` inserita un’elica, preceduta da una camera di regolarizzazione del moto. Un sensore, generando un impulso ogni volta che un determinato punto dell’elica vi passa accanto, consente di determinarne la velocita` di rotazione.

8.92 Qual e` il principio di funzionamento dei rotametri? Analisi Il rotametro a gravita` consiste di un tubo trasparente verticale tronco-conico, a sezione di area crescente verso l’alto, contenente un galleggiante libero di muoversi al suo interno. Quando il fluido, proveniente dal basso, scorre nel tubo conico, sul galleggiante agiscono il peso e la spinta dinamica della corrente, che e` proporzio` All’aumentare dell’area della sezione trasversale nale alla velocita. dell’apparecchio la velocita` diminuisce e con essa anche la spinta dinamica. Pertanto, il galleggiante si posiziona in corrispondenza della sezione trasversale in cui la velocita` da` luogo alla spinta dinamica che bilancia il peso del galleggiante. Tarando l’apparecchio, si puo` leggere la portata su una scala graduata riportata direttamente sul tubo. I rotametri a molla, nei quali la spinta dinamica della corrente e` bilanciata dalla reazione della molla, possono essere posizionati anche orizzontalmente.

8.93 Qual e` la differenza tra il principio di funzionamento degli anemometri termici e quello dei velocimetri laser-Doppler?

Analisi Un anemometro termico e` costituito da un sensore riscaldato elettricamente e mantenuto a temperatura costante. Il sensore, cedendo calore al fluido circostante, tende a raffreddarsi tanto piu` velocemente quanto maggiore e` la velocita` del fluido. Quindi, quanto piu` e` grande la velocita` della corrente tanto maggiore e` la differenza di potenziale necessaria per mantenere il sensore alla temperatura prefissata. Pertanto, misurando la differenza di potenziale applicata o la corrente elettrica che attraversa il sensore si ha una misura indiretta della velocita` del fluido. Invece, la velocimetria laser-Doppler si basa sull’emissione di un raggio di luce monocromatica altamente coerente verso il punto di misura, sulla raccolta della luce riflessa dalle minuscole particelle nell’area di interesse e sulla determinazione della variazione di frequenza della radiazione riflessa a causa dell’effetto Doppler, variazione che puo` essere messa in relazione con la velocita` del fluido nell’area di interesse.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti in pressione

91

8.94 Qual e` la differenza tra la velocimetria laser-Doppler e la velocimetria a immagini di particelle? Analisi Con la velocimetria laser-Doppler si misura la velocita` in un punto, mentre con la velocimetria a immagini di particelle e` possibile rilevare la distribuzione di velocita` istantanea in un piano del campo di moto, ottenendo, quindi, una mappa istantanea. Entrambi sono metodi non invasivi basati sull’utilizzo di raggi laser.

8.95 In una tubazione del diametro di 100 mm sono state effettuate, lungo il raggio di una sezione trasversale, in punti a distanza r

r (mm)

V (m/s)

0 10 20 30 40

6,4 6,1 5,2 4,4 2,0

dall’asse, le misure di velocita` riportate nella tabella. Calcolare la portata.

Analisi In generale, nota la velocita` in un numero di punti sufficientemente significativo di una sezione trasversale, la portata puo` essere ottenuta per via indiretta come sommatoria delle portate relative all’area di pertinenza di ciascun punto, assumendo come velocita` media dell’area la velocita` nel punto. Nel caso in esame, per la simmetria assiale del moto, ai punti di ogni circonferenza coassiale ` Suddividendo alla tubazione compete un unico valore di velocita. la sezione trasversale in tante corone circolari quanti sono i valori rilevati della velocita` ed attribuendo a ciascuna di esse un unico va` la portata totale e` pari alla sommatoria delle portate lore di velocita, di ciascuna corona circolare. Pertanto, essendo Ai l’area della generica corona circolare e Vi il valore della velocita` media, si ha

Q=

X

Ai Vi =

5 X 1


2 2 π rest − rint V i i

1 2 3

in cui rest ed rint sono, rispettivamente, il raggio delle circonferenze esterna e di quella interna della generica corona. Suddividendo la sezione in cinque corone, di spessore uguale pari a 1/5 del raggio della tubazione, ed assumendo come valore della velocita` media di ciascuna corona il valore che compete alla circonferenza mediana, calcolato come media dei valori noti alle circonferenze esterna ed interna della corona, si hanno i valori sotto riportati.

i

rest (mm)

rint (mm)

Ai (mm2 )

Vi (m/s)

Vm,i (m/s)

Ai Vi (l/s)

1 2 3 4 5

10 20 30 40 50

0 10 20 30 40

314 942 1570 2200 2830

6,4 6,1 5,2 4,4 2,0

6,25 5,65 4,80 3,20 1,00

1,96 5,32 7,54 7,04 2, 83

Sommando i valori dell’ultima colonna, risulta Q = 24,7 l/s.

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4 5

0 10 20 30 40

r

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92 Capitolo 8

100 mm

8.96 In una tubazione orizzontale di diametro 100 mm, in cui defluisce acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s), e` inserito un diaframma la cui luce ha un diametro di 50 mm. Tra i

50 mm

menischi dei due rami di un manometro differenziale a mercurio, inserito tra monte e valle del diaframma, si misura un dislivello di 150 mm. Calcolare la portata.

Analisi Il manometro differenziale fornisce la differenza delle

150 mm

quote piezometriche fra le due sezioni di misura, che, per la 3.21, essendo la densita` del mercurio ρm = 13 600 kg/m3 , risulta

1h = 1

ρm − ρ 13 600 − 999,1 = 0,150 × = 1,89 m ρ 999,1

Per la 8.132, essendo per i diaframmi C p = 0,61 per Re > 30 000, si ha

Q = C p AR

r

2g1h = 1 − m2

π × 0,0502 = 0,61 × × 4

s

2 × 9,81 × 1,89 = 7,53 l/s 1 − (0,050/0,100)4

Il valore assunto per il coefficiente di portata C p e` corretto perche´

Re =

1Hd 1h

4ρ Q 4 × 999,1 × 7,53 × 10−3 = = 84 200 > 30 000 µπ D 1,138 × 10−3 × π × 0,100

8.97 In una tubazione del diametro di 30 mm, in cui defluisce ammoniaca a 10 ◦ C (ρ = 624,6 kg/m3 e µ = 1,697 × 10−4 Pa · s), e` inserito un boccaglio, avente diametro della sezione terminale di

15 mm. La differenza di pressione tra le sezioni di misura e` di 4 kPa. Calcolare la portata.

15 mm

30 mm

Analisi Per la 8.132, essendo per i boccagli C p = 0,96 per Re > 30 000, si ha r r 2g1h 21p/ρ = C p AR = Q = C p AR 2 1−m 1 − m2 s π × 0,0152 2 × 4000/624,6 = 0,96 × × = 0,627 l/s 4 1 − (0,015/0,030)4 Il valore assunto per il coefficiente di portata C p e` corretto perche´

Re =

4 × 624,6 × 0,627 × 10−3 4ρ Q = = 98 000 > 30 000 µπ D 1,697 × 10−4 × π × 0,030

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Correnti in pressione

8.98 In una tubazione del diametro di 500 mm, in cui defluisce acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s), e` inserito un diaframma la cui luce ha un diametro di 300 mm. Calcolare la differenza di pressione tra le sezioni subito a monte e a valle del diaframma e la perdita di carico, quando la portata e` di 250 l/s.

93

1Hd 1h

Analisi Essendo Re =

4 × 998 × 250 × 10−3 4ρ Q = = 634 000 > 30 000 µπ D 1,002 × 10−3 × π × 0,500 300 mm

il coefficiente di portata del diaframma e` C p = 0,61. Pertanto, per la 8.132, e`

1h =

500 mm

0,2502 Q2 1 − m2 1 − (0,300/0,500)4 = × = 1,49 m 2g C 2p A2R 2 × 9,81 0,612 ×(π ×0,3002 /4)2

per cui la differenza di pressione, potendosi porre z 1 ∼ = z 2 , risulta

1p = ρg1h = 998 × 9,81 × 1,49 = 14 600 Pa Il brusco restringimento dovuto alla presenza del diaframma causa l’insorgenza di vortici e, quindi, di perdite di carico significative nel tratto subito a valle della sezione contratta, dove la corrente decelera per tornare ad assumere la velocita` di monte. Tale rallentamento da` luogo ad un parziale recupero della pressione, che tuttavia rimane sempre inferiore a quella di monte, denotando con cio` che parte dell’energia di pressione e` andata perduta. Per valutare la perdita e` quindi necessario disporre un’ulteriore presa di pressione a sufficiente distanza (almeno un paio di diametri) dal diaframma. Dal grafico di fig. 8.80, per d/D = 300/500 = 0,6 risulta che la perdita 1Hd e` pari al 64% di 1h e, quindi,

1Hd = 0,64 1h = 0,64 × 1,49 = 0,954 m

8.99 In una tubazione orizzontale del diametro di 50 mm, in cui defluisce acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 ), e` inserito un venturimetro, la cui sezione ristretta ha un diametro di 30 mm. La differenza di pressione tra le sezioni di misura e` di 5 kPa. Calcolare la portata, assumendo C p = 0,98. Analisi Per la 8.132, si ha r 21p/ρ Q = C p AR = 1 − m2 π × 0,0302 = 0,98 × × 4

50 mm

30 mm

∆p H 5 kPa

s

2 × 5000/999,1 = 2,35 l/s 1 − (0,030/0,050)4

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94 Capitolo 8

150 mm

aria

1

60 mm

manometro differenziale ad acqua

8.100 In una tubazione del diametro di 150 mm, in cui defluisce aria a 20 ◦ C (ρ = 1,204 kg/m3 ), e` inserito un venturimetro, la cui sezione ristretta ha un diametro di 60 mm. Alle sezioni di misura e` collegato un manometro differenziale ad acqua, che puo` misurare al massimo una differenza di 40 cm tra le quote dei menischi nei due rami. Calcolare la massima portata che il venturimetro puo` misurare, assumendo C p = 0,98.

Analisi Nell’aria, che e` un fluido di piccolo peso specifico, le variazioni di pressione dovute alle variazioni di quota sono trascurabili. Pertanto, anche nel caso di venturimetro inclinato, la differenza di quota piezometrica 1h tra le due sezioni di inserzione del manometro e` dovuta solo alla differenza di pressione, per cui si ha

1h =

1p ρg

Essendo la densita` ρ dell’aria molto piu` piccola della densita` ρm del liquido manometrico, per la 3.22, la differenza di pressione tra i due rami del manometro e`

1p = ρm g1 Pertanto, con un dislivello massimo 1max = 40 cm tra i due menischi, per la 8.132, la portata massima misurabile e`

Q max = C p A R

r

2g1h = C p AR 1 − m2

r

r

21p/ρ = 1 − m2

2g1max ρm /ρ = 1 − m2 s π × 0,0602 2 × 9,81 × 0,40 × 998/1,204 × = = 0,98 × 4 1 − (0,060/0,150)4 = C p AR

= 0,2264 m3 /s pari ad una portata di massa

Q m,max = ρ Q max = 1,204 × 0,2264 = 0,273 kg/s

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Correnti in pressione

8.101 In una tubazione orizzontale del diametro di 30 mm, in cui defluisce acqua a 10 ◦ C (ρ = 999,7 kg/m3 e µ = 1,307 × 10−3 Pa · s), e` inserito un boccaglio avente diametro della sezione terminale di

30 mm

15 mm

15 mm. La differenza di pressione tra le sezioni di misura e` di 3 kPa. Calcolare la portata, la velocita` media nella tubazione e la perdita di carico causata dal boccaglio.

Analisi Per la 8.132, assumendo C p = 0,96, si ha Q = C p AR

r

21p/ρ = 1 − m2

π × 0,0152 = 0,96 × × 4

1p = 3 kPa

s

2 × 3000/999,7 = 0,429 l/s 1 − (0,015/0,030)4

Essendo

Re =

4ρ Q 4 × 999,7 × 0,429 × 10−3 = = 13 900 < 30 000 µπ D 1,307 × 10−3 × π × 0,030

il coefficiente di portata e` funzione di m e di Re. In particolare, si ha

C p = 0,9975 − 6,53

r

d/D = 0,9975 − 6,53 × Re

r

0,015/0,030 = 13 900

= 0,958 valore praticamente identico a quello prima assunto. Il graduale restringimento dovuto alla presenza del boccaglio causa l’insorgenza di vortici e, quindi, di perdite di carico nel tratto subito a valle della sezione terminale del boccaglio, dove la corrente decelera per tornare ad assumere la velocita` di monte. Tale rallentamento da` luogo ad un parziale recupero della pressione, che tuttavia rimane sempre inferiore a quella di monte, denotando con cio` che parte dell’energia di pressione e` andata perduta. Per valutare la perdita e` quindi necessario disporre un’ulteriore presa di pressione a sufficiente distanza (almeno un paio di diametri) dal boccaglio. Dal grafico di fig. 8.80, per d/D = 15/30 = 0,5 risulta che la perdita 1Hd e` pari al 61% di 1h e, quindi,

1Hd = 0,61 1h = 0,61

1p 3000 = 0,61 × = ρg 999,7 × 9,81

= 0,187 m

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95

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96 Capitolo 8

8.102 In una tubazione ad asse verticale, del diametro di 80 mm, in cui defluisce propano liquido a 10 ◦ C (ρ = 514,7 kg/m3 ), e` inserito un venturimetro, la cui sezione ristretta ha un diametro di 50 mm. Il manometro misura una differenza di pressione di 7 kPa. Calcolare la portata, assumendo C p = 0,98. 50 mm

Analisi Il manometro metallico a cui fanno capo le due prese di

30 cm 1p H 7 kPa

80 mm

pressione e` un manometro differenziale che fornisce la differenza di pressione tra i due punti di ingresso del manometro, cioe` tra due punti alla stessa quota. Quindi, nel calcolo della differenza di quota piezometrica tra i due punti di presa non si deve tener conto della differenza di quota esistente tra i due punti, perche´ l’indicazione manometrica, espressa in colonna di liquido, e` uguale alla differenza tra le quote piezometriche nelle due sezioni di misura. Infatti, se il liquido fosse ´ per la legge in quiete, il manometro indicherebbe 1p = 0 perche, di Stevin, a tutti i punti di uno stesso fluido in quiete compete la stessa quota piezometrica. Pertanto, per la 8.132, si ha

r 2g1h 21p/ρ = C A = Q = C p AR p R 1 − m2 1 − m2 s π × 0,0502 2 × 7000/514,7 = 0,96 × × = 4 1 − (0,050/0,080)4 r

= 10,9 l/s

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Correnti in pressione

8.103 In una tubazione orizzontale del diametro di 40 mm, in cui defluisce acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s), e`

aria

inserito un boccaglio avente diametro della sezione terminale di 20 mm. Tra le sezioni di misura e` inserito un manometro differenziale ad aria tra i cui menischi c’e` un dislivello di 32 cm. Calcolare la portata, la velocita` media nella tubazione e la perdita di carico causata dal boccaglio.

32 cm

Analisi Essendo l’aria un fluido di piccolo peso specifico, la differenza di pressione dovuta alla differenza di quota e` trascurabile. Pertanto, nell’aria all’interno del manometro la pressione puo` essere considerata costante. Essendo i due menischi alla stessa pressione, la differenza 1h di quota piezometrica tra le due sezioni tra le quali e` inserito il manometro e` pari proprio al dislivello manometrico 1. Pertanto, per la 8.132, assumendo C p = 0,96, si ha

r 2g1h 2g1 = C p AR = Q = C p AR 2 1−m 1 − m2 s 2 × 9,81 × 0,32 π × 0,0202 = = 0,96 × × 4 1 − (0,020/0,040)4 r

= 0,780 l/s Essendo

Re =

4 × 998 × 0,780 × 10−3 4ρ Q = = 24 700 < 30 000 µπ D 1,002 × 10−3 × π × 0,040

il coefficiente di portata e` funzione di m e di Re. In particolare, si ha

C p = 0,9975 − 6,53

r

d/D = 0,9975 − 6,53 × Re

r

0,020/0,040 = 24 700

= 0,968 valore superiore di appena lo 0, 8% rispetto a quello prima assunto. Dal grafico di fig. 8.80, per d/D = 20/40 = 0,5 risulta che la perdita 1Hd e` pari al 61% di 1h e, quindi,

1Hd = 0,61 1h = 0,61 1 = 0,61 × 0,32 = 0,195 m

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40 mm

20 mm

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98 Capitolo 8

Riepilogo 8.104 Un uomo deve riempire un recipiente con un tubo da giardino e, ricordando che l’aggiunta di un ugello alla parte terminale del tubo fa aumentare la velocita` del getto, si chiede se cos`ı facendo riuscira` a riempire il recipiente in un tempo minore. In effetti, ci ´ vorra` un tempo minore, maggiore o uguale? Perche?

Analisi L’aggiunta di un elemento qualsiasi ad un circuito fa au` mentare la perdita di carico complessiva tra le sezioni di estremita. ` rimanendo invariato il carico disponibile, da` luogo ad una riCio, duzione della portata. Pertanto, aggiungendo l’ugello, per riempire il recipiente sara` necessario un tempo maggiore.

R

³ ³ vx(r) = 2 1 − 400r2

8.105 In una tubazione circolare, in regime di moto laminare, il profilo di velocita` e` espresso dalla relazione vx (r ) = 2 (1−400 r 2 ) m/s, essendo r la distanza, lungo il raggio, dall’asse della tubazione. Calcolare il raggio della tubazione, la velocita` media e la velocita` massima della corrente.

Analisi In regime laminare, il profilo di velocita` e` esprimibile con una funzione parabolica del tipo

  r2 v(r ) = vmax 1 − 2 R in cui vmax e` la velocita` massima della corrente e R e` il raggio della tubazione. Eguagliando col profilo dato, si ha

r2 = 400 r 2 R2 da cui

R=

r

1 = 0,050 m 400

e

vmax = 2 m/s In regime laminare, la velocita` media V e` pari alla meta` della massima, per cui

V =

vmax 2 = = 1 m/s 2 2

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8.106 In una tubazione circolare orizzontale, lunga 25 m, in cui defluisce, in regime di moto laminare, acqua a 5 ◦ C (ρ = 999,9 kg/m3 e µ = 1,519×10−3 Pa·s), il profilo di velocita` e` espresso dalla relazione vx (r ) = 0,3 (1 − 2500 r 2 ) m/s, essendo r la distanza, lungo il raggio, dall’asse della tubazione. Calcolare la portata, la caduta di pressione nella tubazione e la potenza dissipata.

Analisi In regime laminare, il profilo di velocita` e` esprimibile con una funzione parabolica del tipo

  r2 v(r ) = vmax 1 − 2 R in cui vmax e` la velocita` massima della corrente e R e` il raggio della tubazione. Eguagliando col profilo dato, si ha

r2 = 2500 r 2 R2 da cui

R=

r

1 = 0,020 m 2500

e

vmax = 0,3 m/s La velocita` media V e` pari alla meta` della massima, per cui

V =

vmax 0,3 = = 0,15 m/s 2 2

e

Q = V A = V π R 2 = 0,15 × π × 0,0202 = 0,188 l/s Per la 8.21, la caduta di pressione fra le sezioni di estremita` della tubazione vale

1p =

128 × 1,519 × 10−3 × 25 × 0,188 × 10−3 128µL Q = = π D4 π × 0,0404

= 114 Pa a cui, essendo z = costante e V = costante, corrisponde una perdita di carico

1Hd =

1p 114 = = 0,0116 m ρg 999,9 × 9,81

ed una potenza dissipata

Pd = ρg Q1Hd = Q1p = 0,188 × 10−3 × 114 = 0,0214 W

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Correnti in pressione

99

R

³ ³ vx(r) = 0,3 1 − 2 500r2

100

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Capitolo 8

R

µ µ vx(r) = 0,3 1 − 2 500r2

8.107 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi che la tubazione sia inclinata verso l’alto di 12◦ rispetto all’orizzontale. Analisi Rispetto all’esercizio precedente varia solo l’inclinazione θ della tubazione. Pertanto, e` diversa solo la caduta di pressione che, rispetto alla caduta di pressione 1por dell’esercizio precedente, per la 8.25, risulta

1pin =

128µL Q + ρgL sen θ = 1por + ρgL sen θ = π D4

= 114 + 999,9 × 9,81 × 25 × sen 12 = 51 100 Pa a cui, essendo V = costante, corrisponde una perdita di carico

    p2 p1 − p2 p1 1Hd = z 1 + − z2 + = z1 − z2 + = ρg ρg ρg = −L sen θ +

=

1pin 1por + ρgL sen θ = −L sen θ + = ρg ρg

1por ρg

evidentemente uguale a quella dell’esercizio precedente perche´ essa non dipende dall’inclinazione della tubazione. Anche la potenza dissipata nella tubazione rimane uguale a quella dell’esercizio precedente.

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8.108 Un’abitazione sulla riva di un fiume viene rinfrescata, nel periodo estivo, facendovi circolare aria refrigerata dall’acqua fresca del corso d’acqua. L’impianto e` costituito da una tubazione in acciaio inossidabile (ε = 0,005 mm), immersa nel fiume, del diametro di 200 mm, lunga 15 m, in cui scorre aria a 15 ◦ C (ρ = 1,225 kg/m3 e µ = 1,802 × 10−5 Pa · s), con velocita` media di 3 m/s. Calcolare la potenza della ventola necessaria per vincere le perdite nella tubazione, ipotizzando un rendimento complessivo del 62%.

Analisi La prevalenza 1H P della ventola deve essere pari alle perdite di carico nella tubazione. Pertanto, non essendovi perdite localizzate, si ha

1H P = 1Hd = J L = λ

V2 L 2g D

Essendo

Re =

ρV D 1,225 × 3 × 0,200 = = 40 800 > 2300 µ 1,802 × 10−5

il moto e` turbolento. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), essendo noti i valori di Re e di ε/D , puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67

  1 2,51 1 ε = = −2 log √ √ + 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 1 0,005 = −2 log × √ + 3,71 200 40 800 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0093 - 0,0245 - 0,0216 - 0,0220 - 0,0219 - 0,0220. In alternativa, la formula approssimata 8.65 fornisce direttamente il valore 0,0219. Pertanto,

1Hd = λ

V2 0,0220 × 32 × 15 L= = 0,757 m 2g D 2 × 9,81 × 0,200

Essendo

Q =VA=V

π D2 π × 0,2002 =3× = 0,0942 m3 /s 4 4

la potenza elettrica assorbita dalla ventola risulta

PE =

PF ρg Q1H P 1,225 × 9,81 × 0,0942 × 0,757 = = = ηP M ηP M 0,62

= 1,38 W

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Correnti in pressione aria

3 m/s fiume

101

102

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Capitolo 8

5m

8.109 Dalla parete di un serbatoio fuoriesce, con imbocco ben raccordato, un breve tronco di tubazione, del diametro di 30 mm, seguito da un altro breve tronco a 90◦ dal primo. Il serbatoio e` pieno d’acqua per un’altezza di 5 m rispetto alla sezione di sbocco. Calcolare la portata effluente nel caso in cui il collegamento tra i due tronchi sia realizzato con una curva ( K = 0,3) o con un gomito ( K = 1,1).

Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

zs = zu +

αVu2 + 1Hd 2g

essendo 1Hd la somma delle perdite di carico che in questo caso, per la brevita` del tronco di tubazione, consistono unicamente nella perdita localizzata dovuta al cambio di direzione. Ponendo α = 1 e Y = z s − z u ed esprimendo la perdita localizzata con la 8.85, essendo Vu = V , si ha

Y =

V2 V2 V2 +K = (1 + K ) 2g 2g 2g

da cui

Q = AV = A

r

2gY 1+K

Nel caso della curva ( K c = 0,3), si ha

π D2 Qc = 4

s

2gY π × 0,0302 = × 1 + Kc 4

s

2 × 9,81 × 5 = 1 + 0,3

= 6,14 l/s Se il collegamento tra i due tronchi e` realizzato con un gomito ( K g = 1,1), essendo

√ Q la portata diviene

Qg = Qc

s

p 1 + K = A 2gY = costante

1 + Kc = 6,14 × 1 + Kg

s

1 + 0,3 = 4,83 l/s 1 + 1,1

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8.110 Dalla parete di un serbatoio si stacca, con imbocco a spigolo vivo, una tubazione in ghisa (ε = 0,25 mm) costituita da due tratti in serie tra i quali e` posta una pompa. La prima tubazione ha un diametro di 80 mm ed e` lunga 20 m, la seconda ha un diametro di 60 mm ed e` lunga 35 m. Il serbatoio contiene acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s) per un’altezza di 30 m rispetto alla sezione di sbocco. Calcolare la prevalenza della pompa e la potenza necessaria per mantenere il moto di una portata di 18 l/s. Analisi Per la 5.108, tra un punto nel serbatoio il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

1H P + z s = z u +

αVu2 + 1Hd 2g

essendo 1H P la prevalenza della pompa e 1Hd la somma delle perdite di carico continue e localizzate tra i due punti. Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di DarcyWeisbach) e la perdita di imbocco con la 8.85, si ha

V12 + J2 L 2 = 2g   2 V1 L 2 V22 L1 + λ2 = λ1 +K D1 2g D2 2g

1Hd = J1 L 1 + K

Essendo

Re1 =

4ρ Q 4 × 999,1 × 0,018 = = 252 000 > 2300 µπ D1 1,138 × 10−3 × π × 0,080

e Re2 > Re1 , il moto e` turbolento in entrambe le tubazioni. In tal caso, l’indice di resistenza, espresso dalla 8.64 (formula di Colebrook), puo` essere calcolato utilizzando la formula ricorsiva 8.67, che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, per la prima tubazione i valori: 0,02645 - 0,02698 - 0,02697 - 0,02697 e per la seconda i valori: 0,02874 - 0,02906 0,02906. Essendo

V1 =

4Q 4 × 0,018 = = 3,58 m/s 2 π × 0,0802 π D1

e

D2 V2 = V1 12 = 3,58 × D2



0,080 0,060

2

= 6,37 m/s

le velocita` medie nelle due tubazioni, Y = z s − z u = 30 m l’altezza d’acqua nel serbatoio rispetto alla sezione di uscita e Vu = V2 , la

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Correnti in pressione

acqua

30 m pompa 35 m 20 m

80 mm

60 mm

103

104

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Capitolo 8

prevalenza totale della pompa e`



L1 1H P = −Y + λ1 +K D1



  2 L2 V12 V2 + λ2 +α = 2g D2 2g

 3,582 20 + 0,5 × + = −30 + 0,0270 × 0,080 2 × 9,81 

  35 6,372 + 0,0291 × +1 × = 0,060 2 × 9,81

= 11,9 m La potenza che la pompa deve cedere al fluido risulta

PF = ρg Q1H P = 999,1 × 9,81 × 0,018 × 11,9 = 2,10 kW

L2 2

1

Q2

8.111 Due tubazioni 1 e 2 collegate in parallelo, aventi l’una lunghezza L 1 doppia dell’altra, hanno lo stesso diametro e la stessa

D

scabrezza. Calcolare il rapporto tra le portate nelle due tubazioni, ipotizzando che abbiano lo stesso indice di resistenza. D

Q1 L1 = 2L2

Analisi Per la 8.105, si ha s s r   Q1 λ2 L 2 D1 5 L2 1 = = = = 0,707 Q2 λ1 L 1 D2 L1 2 Pertanto, nella tubazione 1, di lunghezza doppia della 2, la portata sara` pari al 71% di quella che percorre la tubazione 2.

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Correnti in pressione

8.112 Una tubazione che convoglia una portata di 1 m3 /s di petrolio a 40 ◦ C (ρ = 876 kg/m3 e µ = 0,2177 Pa · s) si divide in due rami paralleli in acciaio (ε = 0,045 mm). La tubazione 1 ha un diametro di 300 mm ed e` lunga 500 m, la tubazione 2 ha un diametro di 450 mm ed e` lunga 800 m. Calcolare la portata in ciascuna delle

petrolio 1 m3/s

1

300 mm

450 mm

due tubazioni.

Analisi Per la 8.105 e` s   λ2 L 2 D1 5 Q1 = Q2 = λ1 L 1 D2 = Q2

s

λ2 λ1

s

800 × 500



2

0,300 0,450

5

= 0,459 Q 2

s

λ2 = k Q2 λ1

avendo posto

p k = 0,459 λ2 /λ1

Per la conservazione della massa, si ha, inoltre,

Q = Q 1 + Q 2 = k Q 2 + Q 2 = (k + 1)Q 2 Se il regime di moto e` puramente turbolento in ambedue le tubazioni e, quindi, gli indici di resistenza sono indipendenti dalla portata, calcolato il coefficiente k , tale relazione fornisce immediatamente il valore di Q 2 . Non conoscendo a priori il regime di moto nelle due tubazioni, il problema puo` essere risolto solo con un metodo iterativo, assumendo come valori iniziali degli indici di resistenza quelli di moto puramente turbolento e calcolando i valori successivi con la formula approssimata 8.65. Cos`ı procedendo, si ottengono i valori

Q 1 = 0,301 m3 /s

e

Q2 = 0,699 m3 /s

Come si puo` notare dalla tabella sotto riportata, il procedimento converge abbastanza rapidamente.

λ1

λ2

k

Q2 (m3 /s)

Q1 (m3 /s)

Re2

Re1

0, 0130 0, 0377 0, 0378

0, 0120 0, 0333 0, 0333

0, 441 0, 432 0, 431

0, 694 0, 698 0, 699

0, 306 0, 302 0, 301

7903 7955

5232 5154

Si puo` notare come la soluzione non differisca molto da quella iniziale, pur essendo i valori degli indici di resistenza molto diversi da quelli assunti come valori iniziali. Cio` perche´ la distribuzione delle portate dipende dal rapporto tra gli indici di resistenza e non dal loro valore.

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500 m

800 m

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Capitolo 8

75 l/min 15 m

400 kPa

8.113 Da una tubazione, in cui defluisce acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s) con una pressione di 400 kPa, viene derivata, con imbocco ben raccordato, una tubazione in ghisa (ε = 0,25 mm) destinata ad alimentare una fontanella. Nella tubazione, lunga 15 m, sono inseriti tre curve ( K = 0,3), una saracinesca completamente aperta ( K = 0,2) e un rubinetto completamente aperto ( K = 5). Calcolare, trascurando le differenze di quota, il valore minimo del diametro affinche´ venga derivata una portata di 75 l/min.

Analisi Per la 5.108, tra una sezione all’interno della tubazione principale subito a monte dell’imbocco della derivazione e la sezione di sbocco del rubinetto, trascurando le differenze di quota e l’altezza cinetica della corrente nella tubazione principale, si ha

p αVu2 = + 1Hd ρg 2g essendo 1Hd la somma della perdita di carico continua tra le due sezioni e delle perdite localizzate dovute alla presenza delle tre curve ( K 1 = 0,3), della saracinesca ( K 2 = 0,2) e del rubinetto ( K 3 = 5). Esprimendo la perdita continua con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach) e le perdite localizzate con la 8.85, si ha

  2 V2 V2 L V 1Hd = λ L + KT = λ + KT 2g D 2g D 2g P in cui K T = K i = 3 × 0,3 + 0,2 + 5 = 6,1. Sostituendo nell’equazione del moto, essendo Vu = V , si ottiene 

L p = ρg λ + K T + α D



  V2 L 8ρ Q 2 = λ + KT + α 2g D π 2 D4

da cui, assumendo α = 1,

  1/4 L 8ρ Q 2 D = λ + KT + α = D π2 p   1/4 8 × 998 × (0,075/60)2 λ + 7,1 × = 15 × = D π 2 × 400 × 103 D (m)

Re

λ

0,0122 0,0215 0,0183 0,0191 0,0189 0,0190

129 600 73 700 86 600 82 900 83 900

0,0495 0,0409 0,0430 0,0424 0,0426

 1/4  λ −9 + 7,1 × 3,163 × 10 = 15 × D L’indice di resistenza e` anch’esso funzione del diametro, per cui conviene risolvere con un metodo iterativo, assumendo un valore iniziale arbitrario per il diametro, calcolando quindi il numero di Reynolds, l’indice di resistenza con la formula approssimata 8.65 e quindi un nuovo valore del diametro dalla relazione sopra scritta. Il calcolo si arresta quando tra due valori successivi del diametro la differenza e` sufficientemente piccola. Nei calcoli riportati nella tabella a fianco il valore iniziale del diametro e` stato calcolato po-

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Correnti in pressione

107

nendo λ = 0, cioe` trascurando le perdite continue. Si puo` notare come il metodo converga abbastanza rapidamente. Il diametro minimo risulta pari a 1,9 cm.

8.114 Risolvere l’esercizio precedente per il caso in cui la tubazione sia in plastica (ε = 0). Analisi Rispetto all’esercizio precedente cambia solo la scabrezza della tubazione. Pertanto, basta ripetere il calcolo ponendo ε = 0 nella formula approssimata 8.65. I calcoli riportati nella tabella a fianco mostrano che il diametro minimo si riduce a 1,65 cm.

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D (m)

Re

λ

0,0122 0,0172 0,0164 0,0165

129 600 92 000 96 600

0,0170 0,0182 0,0180

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Capitolo 8

8.115 Determinare il diametro della tubazione di un impianto di sollevamento che deve convogliare una portata di 4 m3 /s di acqua pompa

4 m3/s

da una sorgente fino a un serbatoio, posto praticamente alla stessa quota, a una distanza di 10 km. Considerata la lunghezza della tubazione, le perdite localizzate si possono ritenere trascurabili rispetto a quelle continue, per le quali puo` essere assunto un indice di resistenza di 0,015. Si puo` ritenere, inoltre, che il costo di ammortamento e manutenzione sia uguale al 12% del costo della tubazione, pari a 200+600 D1,4 e/m, con D in m. Per il costo di esercizio, si supponga che l’impianto debba funzionare con continuita` ogni giorno, per 24 ore al giorno, che il costo dell’energia elettrica sia di 0,20 e/kWh e che il rendimento complessivo della pompa sia del 70%.

Analisi Per un impianto che deve funzionare con continuita` tutto l’anno, la velocita` di massimo tornaconto e` dell’ordine di 1 m/s. Un primo valore del diametro si puo` ottenere imponendo, appunto, che la velocita` media abbia tale valore. Essendo

A=

4 Q = = 4 m2 V 1

e

D=

r

4A = π

r

4×4 = 2,26 m π

si puo` assumere come primo valore D = 2200 mm. Per determinare il diametro piu` conveniente, bisogna calcolare la passivita` o costo annuo in base ai costi effettivi e ripetere il calcolo per i diametri commerciali subito superiori e subito inferiori. Per la 8.98, il costo annuo per unita` di lunghezza della tubazione e`

C A = rC T + C E in cui il primo addendo rappresenta i costi di ammortamento e manutenzione, pari a una quota r del costo delle tubazioni C T , dipendente dal tasso di interesse e dal piano di ammortamento dell’opera e il secondo e` il costo di esercizio C E , pari al costo dell’energia dissipata in condotta. Se E d e` l’energia (in kWh) dissipata in un anno in condotta per unita` di lunghezza, ck il costo del chilowattora ed η P M il rendimento del gruppo pompa-motore, si ha

C E = η P M ck E d La potenza Pd dissipata in condotta per unita` di lunghezza, essendo la cadente J pari all’energia dissipata dall’unita` di peso di fluido per unita` di lunghezza, risulta

Pd = ρg Q J ed, esprimendo la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach),

Pd = ρg Q

8λρ Q 3 λV 2 8λQ 2 = ρg Q = 2g D gπ 2 D 5 π 2 D5

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Correnti in pressione

109

Pertanto, in un impianto che funziona con continuita` tutto l’anno, indicando con n h il numero di ore in un anno, l’energia dissipata in un anno, espressa in kWh, e`

Ed =

1 8λρ Q 3 1 n h Pd = nh 2 1000 1000 π D5

per cui

CE = =

1 8λρ Q 3 η P M ck n h 2 = 1000 π D5 1 8 × 0,015 × 1000 43 × 0,70 × 0,20 × 24 × 365 × = 1000 π2 D5

= 1948

1 D5

e

I calcoli sono riportati nella tabella che segue. Come si puo` notare dai valori della penultima colonna e dal grafico a fianco, in prossimita` del minimo la curva della passivita` e` piuttosto piatta. Infatti, i valori relativi ai diametri compresi tra 1900 e 2200 mm differiscono di meno del 2%. Il costo annuo minimo si ha per la tubazione di diametro D = 2000 mm, a cui corrisponde una velocita` media di 1,27 m/s.

(€)

400 CA 300 rCT 200

D (mm)

CT (e)

rC T (e)

CE (e)

CA (e)

V (m/s)

1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400

1566 1674 1783 1895 2566 1566 1566

188 201 214 227 241 255 269

103,1 78,7 60,9 47,7 37,8 30,3 24,5

291,0 279,5 274,9 275,1 278,9 285,3 293,7

1,57 1,41 1,27 1,15 1,05 0,96 1,88

100 CE 0 1 200

1 600

2 000

2 400

Con tale valore del diametro, la prevalenza totale della pompa e`

8λQ 2 8 × 0,015 × 42 1H = J L = L = × 10 000 = 6,19 m gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 25 Pertanto, la potenza che la pompa deve cedere al fluido vale

PF = ρg Q1H = 1000 × 9,81 × 4 × 6,19 = 243 kW

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1H

pompa

4 m3/s

2 800 D (mm)

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Capitolo 8

1 HT

70 m

8.116 In un impianto idroelettrico, la turbina viene alimentata da una tubazione in ghisa (ε = 0,25 mm) del diametro di 350 mm, lunga 200 m, con una portata di 0,8 m3 /s di acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s). La differenza di quota tra la superficie libera del serbatoio di monte e quella del serbatoio di valle e` di 70 m. Calcolare la potenza elettrica dell’impianto, trascurando le perdite localizzate ed ipotizzando un rendimento complessivo del gruppo turbina-alternatore pari all’84%.

Analisi Per la 5.108, essendo Y il dislivello tra le quote delle superfici libere dei serbatoi, si ha

1HT = Y − 1Hd in cui 1Hd , in presenza di sole perdite continue, e`

1Hd = J L = λ

8λL Q 2 V2 L= 2g D gπ 2 D 5

Essendo

Re =

4ρ Q 4 × 998 × 0,8 = = 2,90 × 106 µπ D 1,002 × 10−3 × π × 0,350

il moto e` turbolento. Pertanto, l’indice di resistenza, dato dalla 8.64 (formula di Colebrook), puo` essere calcolato con la formula ricorsiva 8.67

  1 ε 1 2,51 = = −2 log √ + √ 3,71 D λi+1 Re λi   2,51 0,25 1 = −2 log × √ + 3,71 350 2,90 × 106 × λi che, assumendo come valore iniziale quello che si ottiene annullando il primo addendo dell’argomento del logaritmo, fornisce, nell’ordine, i valori: 0,0181 - 0,0182 - 0,0182. Pertanto, la perdita di carico risulta

1Hd =

8λL Q 2 8 × 0,182 × 200 × 0,82 = = 36,7 m gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × 0,3505

Essendo il salto utile

1HT = Y − 1Hd = 70 − 36,7 = 33,3 m la potenza elettrica dell’impianto e` pari a

PE = ηT A ρg Q1HT = 0,84 × 998 × 9,81 × 0,8 × 33,3 = = 219 kW

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Correnti in pressione

111

8.117 Riconsiderare l’esercizio precedente, ipotizzando che, per ridurre le perdite, il diametro della tubazione venga triplicato, mantenendo inalterata la portata. Determinare l’aumento percentuale della potenza rispetto al caso precedente.

Analisi Rispetto all’esercizio precedente, se il diametro della tubazione viene triplicato, a parita` di portata il numero di Reynolds si riduce a 1/3 del precedente, per cui

Re =

1 × 2,90 × 106 = 0,967 × 106 3

Per l’indice di resistenza, la formula ricorsiva 8.67 fornisce nell’ordine i valori: 0,0142 - 0,0151 - 0,0151. Pertanto, la perdita di carico diviene

1Hd =

8λL Q 2 8 × 0,151 × 200 × 0,82 = = 0,125 m gπ 2 D 5 9,81 × π 2 × (3 × 0,350)5

pari a 1/294 della perdita dell’esercizio precedente. Infatti, essendo la cadente inversamente proporzionale alla quinta potenza del diametro, le perdite, triplicando il diametro, si riducono di un fattore 35 = 243. Anche l’indice di resistenza si riduce, di un fattore 1,21, per cui la perdita risulta complessivamente ridotta di un fattore 243 × 1,21 = 294. Il salto utile diviene

1HT = Y − 1Hd = 70 − 0,125 = 69,9 m La potenza elettrica dell’impianto risulta

PE = ηT A ρg Q1HT = 0,84 × 998 × 9,81 × 0,8 × 69,9 = = 460 kW con un aumento del 110% rispetto al caso precedente.

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1 HT

70 m

112

Capitolo 8

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8.118 Un fluido molto viscoso fuoriesce da un serbatoio attraverso un tubicino di piccolo diametro. Il regime di moto risulta laminare. Stabilire la legge che descrive l’andamento della quota del fluido nel serbatoio in funzione del tempo, trascurando sia le perdite localizzate sia l’altezza cinetica della corrente.

H d

D

L

Analisi Per la 5.108, tra un punto all’interno del serbatoio, il cui carico e` pari alla quota H della superficie libera rispetto alla sezione di sbocco, e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, trascurando le perdite di carico localizzate e l’altezza cinetica allo sbocco, si ha

H = 1Hd = J L Essendo il moto laminare, si puo` esprimere la cadente J con la 8.31 (formula di Poiseuille), ottenendo

H = JL =

128 µ Q L π ρg d 4

Il processo di svuotamento del serbatoio e` un processo di moto vario durante il quale il dislivello h tra la superficie libera nel serbatoio e la sezione di sbocco passa dal valore iniziale H , a serbatoio completamente pieno, al valore nullo che assume a serbatoio completamente vuoto. Al generico istante t , la portata e` espressa dalla relazione

Q=

π ρg h 4 d 128 µ L

Nel generico intervallo di tempo dt , il volume d W = Qdt che fuoriesce dal serbatoio causa una diminuzione dh del livello nel serbatoio, di area trasversale A costante, tale che Adh + d W = 0, per cui deve essere

Qdt = −Adh ` essendo D il diametro del serbatoio, cioe,

π ρg h 4 π D2 d dt = − dh 128 µ L 4

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti in pressione

da cui

dt = −32

µL D 2 −1 h dh ρg d 4

e, integrando tra l’istante iniziale t = 0 in cui h = Y e il generico istante t ,

t = −32

h µL D 2  ln h H = 4 ρg d


µL D 2 µL D 2 ln h − ln H = 32 ln = −32 ρg d 4 ρg d 4



H h



8.119 Con riferimento all’esercizio precedente, si ipotizzi che l’altezza iniziale nel serbatoio sia H = 40 cm, il diametro del tubo d = 6 mm, la sua lunghezza L = 0,65 m e il diametro del serbatoio D = 0,63 m. Calcolare la viscosita` cinematica del fluido, sapendo che ci vogliono 2842 s perche´ il livello nel serbatoio si abbassi a 36 cm. Analisi Nota la legge che descrive il processo di svuotamento del serbatoio in funzione del tempo

t = 32

µL D 2 ln ρg d 4



H h



ricavando la viscosita` cinematica ν = µ/ρ , si ha

ν=

=

1 g d4 t
= 2 32 L D ln H/ h

1 9,81 0,0064 2842
= 4,15 × 10−5 m2 /s × × × 32 0,65 0,632 ln 40/36

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114

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

Capitolo 8

8.120 Dallo scarico di fondo di una piscina fuori terra, del diametro di 10 m e piena d’acqua per un’altezza di 2 m, e` derivata, con

10 m

1 Hd

2m

25 m 50 mm

imbocco ben raccordato, una tubazione orizzontale di plastica, del diametro di 50 mm, lunga 25 m. Calcolare il valore iniziale della portata e il tempo necessario per svuotare completamente la piscina, ipotizzando che l’indice di resistenza della tubazione sia pari a 0,018. Utilizzando, inoltre, il valore iniziale della portata, controllare che il valore ipotizzato per l’indice di resistenza sia accettabile.

Analisi Per la 5.108, tra un punto all’interno della piscina il cui carico e` pari alla quota z s della superficie libera rispetto ad un generico piano di riferimento e la sezione di sbocco u dove la pressione relativa e` nulla perche´ l’efflusso e` in atmosfera, si ha

zs = zu +

αVu2 + 1Hd 2g

essendo 1Hd la somma delle perdite di carico lungo il percorso. In assenza di perdite localizzate, esprimendo la cadente con la 8.32 (formula di Darcy-Weisbach), essendo Vu = V , ponendo Y = z s − z u , si ha

  2 V2 V2 L V Y = +λ L = λ +1 2g 2g D D 2g da cui

V =

s

√ 2g Y = λL/D + 1

s

√ 2 × 9,81 Y = 0,018 × 25/0,050 + 1

√ = 1,40

Y m/s

Pertanto, la velocita` iniziale risulta

Vi = 1,40 ×

√ 2 = 1,98 m/s

che da` luogo alla portata

Q i = AVi =

π D2 π × 0,0502 Vi = × 1,98 = 3,89 l/s 4 4

Il processo di svuotamento del serbatoio e` un processo di moto vario durante il quale il dislivello h tra la superficie libera nel serbatoio e la sezione di sbocco passa dal valore iniziale Y = 2 m, a serbatoio completamente pieno, al valore nullo che assume a serbatoio completamente vuoto. Al generico istante t , trascurando la dipendenza dell’indice di resistenza dal numero di Reynolds e quindi dalla velocita` stessa, la velocita` e` ancora espressa dalla relazione

V =

s

√ √ 2g h = 1,40 h m/s λL/D + 1

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti in pressione

Nel generico intervallo di tempo dt , il volume d W = Qdt che fuoriesce dal serbatoio causa una diminuzione dh del livello nel serbatoio, di area trasversale A0 costante, tale che A0 dh + d W = 0, per cui deve essere

Qdt = −A0 dh ` essendo D0 il diametro del serbatoio, cioe,

π D02 π D2 V dt = − dh 4 4 ` e, introducendo l’espressione della velocita,

√ π D02 π D2 1,40 h dt = − dh 4 4 da cui

dt = −

D02 1 dh 102 1 dh = − √ √ = −28 570 h −1/2 dh 2 2 D 1,40 h 0,050 1,40 h

Integrando tra l’istante iniziale t = 0 in cui h = Y e l’istante tv in cui il serbatoio e` vuoto, per cui h = 0, si ha



h 1/2 tv = −28 570 1/2

0

√ = 57 140

Y = 57 140 ×

√ 2 = 80 800 s

Y

pari a 22 ore e 27 minuti. La tubazione di plastica si comporta come un tubo liscio, per cui l’indice di resistenza puo` essere calcolato ponendo ε = 0 nella formula approssimata 8.65. All’inizio del processo di svuotamento si ha

Rei =

ρVi D 998 × 1,98 × 0,050 = = 98 600 µ 1,002 × 10−3

e, quindi,

1 5,8 √ = −2 log 0,9 = 0,01796 Re λ praticamente uguale al valore 0,018 assunto nei calcoli.

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McGraw-Hill

gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

9

Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

9

EQUAZIONI INDEFINITE DEL MOTO DEI FLUIDI

SOMMARIO Le equazioni che esprimono la legge di conservazione della massa (equazione di continuita) ` e la seconda legge di Newton (equazione della quantita` di moto) in forma indefinita, cioe` valida per ogni punto del campo di moto, sono, rispettivamente,

∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 ∂t

` le 3 componenti della 10 incognite (la densita, velocita` e le 6 del tensore degli sforzi). Per rendere determinato il problema, e` necessario introdurre ulteriori relazioni tra gli sforzi ` dette equazioni coe le componenti della velocita, stitutive. Per i fluidi incomprimibili newtoniani si perviene, cos`ı, alla equazione di Navier-Stokes

(9.6) ρ

e

ρ

dv = ρg + ∇ · σi j dt

(9.47)

in cui σi j e` il tensore degli sforzi. Nel moto bidimensionale di un fluido incomprimibile, si puo` definire una funzione ψ , detta funzione di corrente, tale che

vx =

∂ψ ∂y

e

vy = −

∂ψ ∂x

(9.20)

Curve a ψ costante sono linee di flusso del campo di moto. La differenza tra i valori che ψ assume in corrispondenza di due linee di flusso e` uguale alla portata per unita` di larghezza tra le due linee di flusso. L’equazione della quantita` di moto scritta in forma scalare, associata all’equazione di conti` costituisce un sistema di 4 equazioni in nuita,

dv = ρg − ∇ p + µ∇ 2 v dt

(9.59)

` che per che, associata all’equazione di continuita, un fluido incomprimibile si semplifica nella

∇ ·v=0

(9.18)

costituisce un sistema di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine. Tale sistema ammette soluzione analitica solo per campi di moto dalla geometria semplice e in regime di moto laminare. Vengono riportati alcuni esempi in cui, assegnato ` si determina l’espressione del il campo di velocita, campo di pressione, o in cui, note le condizioni al contorno, si determina il campo di velocita` e di pressione per un campo di moto di geometria assegnata. Nei casi di moto turbolento o di geometrie piu` complicate, tranne qualche caso in cui e` possibile pervenire a soluzioni approssimate, e` necessario l’impiego di tecniche di integrazione numerica.

Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazioni indefinite del moto dei fluidi

SOLUZIONI Problemi di base 9.1 Qual e` la differenza tra dominio del moto e volume di controllo? Analisi Quando si e` interessati alle caratteristiche globali del moto, come, ad esempio, la portata che attraversa la superficie di contorno di un volume, e` sufficiente prendere in considerazione una regione dello spazio chiamata volume di controllo. Nell’analisi di un volume di controllo, l’interno del volume e` trattato come una “scatola nera” per cui non e` possibile (ne´ necessario) conoscere i valori che ` grandezze caratteristiche del moto, come la pressione o la velocita, assumono in punti interni. Nell’analisi differenziale di un problema di moto, invece, le equazioni del moto dei fluidi vengono applicate a qualunque punto ed in ciascun punto nel campo di moto all’interno di una regione chiamata dominio del moto.

9.2 Quando due o piu` equazioni differenziali sono accoppiate? Analisi Due o piu` equazioni differenziali sono accoppiate quando le incognite compaiono in piu` equazioni, per cui non e` possibile risolverle separatamente.

9.3 In un problema di moto vario tridimensionale di un fluido incomprimibile e isotermo, quante sono le incognite? Quali sono le equazioni che consentono di risolvere il problema?

Analisi Le incognite sono quattro (le tre componenti della velocita` vx , v y e vz e la pressione p ) legate da quattro equazioni (una esprimente la conservazione della massa e tre equazioni scalari esprimenti la seconda legge di Newton, che e` una relazione vettoriale).

9.4 Enunciare il teorema della divergenza. Analisi Il teorema della divergenza dice che l’integrale, esteso ad un volume W , della divergenza di un vettore e` uguale all’integrale, esteso alla superficie A di contorno di W , della componente del vettore localmente normale ad A. Dato un vettore G e la sua divergenza ∇ ·G, il teorema della divergenza (o teorema di Gauss) puo` essere scritto come

Z

I ∇ · G dW = W

G · ndA A

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Capitolo 9

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9.5 Calcolare la divergenza del vettore 1 G = 2x z i − x 2 j − z 2 k 2 e spiegare il significato del risultato.

Analisi L’operatore divergenza ∇ ·G di un vettore fornisce la somma delle derivate parziali di ciascuna componente del vettore rispetto alla direzione corrispondente, cioe`

 ∇ ·G=

∂G y ∂G x ∂G z + + ∂x ∂y ∂z

 =

 1 2
∂ ∂ ∂ 2 − x + (−z ) = 2z − 2z = 0 (2x z) + = ∂x ∂y 2 ∂z 

` per la 9.18 il fluido sarebbe Se il vettore G fosse il vettore velocita, incomprimibile.

Equazione di continuita’ 9.6 Scrivere l’equazione di continuita` ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 ∂t in coordinate cartesiane nella forma piu` esplicita possibile.

Analisi In coordinate cartesiane, l’operatore divergenza e` ∇=

∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

per cui, essendo

ρv = ρvx i + ρv y j + ρvz k esplicitando il prodotto scalare, l’equazione di continuita` diviene

∂ρv y ∂ρ ∂ρvx ∂ρvz + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z o ancora

∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ + vx + vy + vz +ρ ∂t ∂x ∂y ∂z



∂v y ∂vx ∂vz + + ∂x ∂y ∂z

 =0

Quest’ultima, introducendo la derivata totale e l’operatore divergenza, per la 4.12 si puo` scrivere anche nella forma piu` sintetica

dρ + ρ ∇ ·v = 0 dt

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.7 In un moto permanente tridimensionale, il campo di velocita` e` definito dalla

v = (vx , v y , vz ) = (ax y 2 − b) i + cy 3 j + d x y k con a , b, c e d costanti. In quali condizioni il fluido si comporta come incomprimibile?

Analisi Perche´ il fluido si comporti come incomprimibile, il campo di velocita` deve soddisfare la 9.18

∇ ·v = 0 per cui

∇ ·v =

∂v y ∂vz ∂vx + + = ay 2 + 3cy 2 = 0 ∂x ∂y ∂z

Conseguentemente, perche´ il fluido si comporti come incomprimibile deve essere soddisfatta la condizione

a = −3c

9.8 In un moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile, la componente della velocita` secondo x e` vx = ax + b, con a e b costanti. Scrivere un’espressione per la componente v y . Analisi Poiche´ il moto e` permanente e il fluido e` incomprimibile, e` valida la 9.18, per cui, in coordinate cartesiane, essendo il moto bidimensionale, deve essere

∂v y ∂vx =− ∂y ∂x Essendo

∂vx =a ∂x e` anche

∂v y = −a ∂y e, integrando rispetto a y

v y = −ay + f (x) nella quale, trattandosi di una integrazione parziale, al posto della costante di integrazione, appare una funzione di x .

Discussione Qualunque funzione di x fornisce una v y che soddisfa la 9.18, poiche´ in tale equazione la v y appare derivata solo rispetto a y .

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9.9 In un moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile, la componente della velocita` secondo x e` vx = ax 2 − bx y , con a e b costanti. Scrivere un’espressione per la componente v y . Analisi Poiche´ il moto e` permanente e il fluido e` incomprimibile, e` valida la 9.18, per cui, in coordinate cartesiane, essendo il moto bidimensionale, deve essere

∂v y ∂vx =− ∂y ∂x Essendo

∂vx = 2ax − by ∂x e` anche

∂v y = −2ax + by ∂y e, integrando rispetto a y

v y = −2ax y +

by 2 + f (x) 2

nella quale, trattandosi di una integrazione parziale, al posto della costante di integrazione, appare una funzione di x .

Discussione Qualunque funzione di x fornisce una v y che soddisfa la 9.18, poiche´ in tale equazione la v y appare derivata solo rispetto a y .

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.10 In un moto permanente tridimensionale di un fluido incomprimibile, la componente della velocita` secondo x e` vx = ax + bx y + cy 2 e quella secondo y e` v y = ax z − byz 2 , con a, b e c costanti. Scrivere un’espressione per la componente vz . Analisi Poiche´ il moto e` permanente e il fluido e` incomprimibile, e` valida la 9.18, per cui, in coordinate cartesiane, deve essere

∂v y ∂vz ∂vx =− − ∂z ∂x ∂y Essendo

∂vx = a + by ∂x e

∂v y = −bz 2 ∂y e` anche

∂vz = −a − by + bz 2 ∂z e, integrando rispetto a z

vz = −(a + by)z +

bz 3 + f (x, y) 3

nella quale, trattandosi di una integrazione parziale, al posto della costante di integrazione, appare una funzione di x e y .

Discussione Qualunque funzione di x e y fornisce una vz che soddisfa la 9.18, poiche´ in tale equazione la vz appare derivata solo rispetto a z .

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Capitolo 9

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Funzione di corrente 9.11 Cosa rappresentano le curve su cui la funzione di corrente e` ` costante? Qual e` la loro utilita?

Analisi Le curve su cui la funzione di corrente e` costante rappresentano linee di flusso del campo di moto. Esse permettono dunque di visualizzare il campo di velocita` istantaneo.

9.12 In un moto bidimensionale, a che cosa e` uguale la differenza tra i valori che la funzione di corrente assume su due linee di flusso?

Analisi In un moto bidimensionale, la differenza tra i valori che la funzione di corrente assume in due linee di flusso e` uguale alla portata per unita` di larghezza tra le due linee di flusso.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.13 Si consideri il moto permanente bidimensionale, nel piano xy, di un fluido incomprimibile tra due lastre piane parallele indefinite, a distanza h , di cui quella superiore in moto con velocita` V e quella inferiore in quiete (moto alla Couette). Il campo di velocita` e` espresso dalla v = (vx , v y ) = (V y/ h) i + 0 j. Scrivere un’espressione per la funzione di corrente lungo la linea verticale tratteggiata in fi` ψ = 0 in corrispondenza della lastra gura, ponendo, per semplicita, inferiore. Quanto vale ψ in corrispondenza del piano superiore?

Analisi Dalla prima delle 9.20 si ha ∂ψ y = vx = V ∂y h Integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x , piuttosto che una costante, visto che l’integrazione e` parziale, si ottiene

ψ=

V 2 y + g(x) 2h

Per la seconda delle 9.20, deve essere

vy = −

∂ψ = −g 0 (x) ∂x

in cui g 0 (x) = dg/d x , perche´ g e` funzione della sola variabile x . Eguagliando tale espressione con quella assegnata (v y = 0), si ha g 0 (x) = 0 da cui g(x) = costante = C . Sostituendo nell’espressione di ψ , si ottiene infine

ψ=

V 2 y +C 2h

Imponendo che sia ψ = 0 in corrispondenza della lastra inferiore, cioe` per y = 0, si ha

ψ=

V 2 y +C =0+C =0 2h

da cui C = 0, per cui l’espressione finale di ψ e`

ψ=

V 2 y 2h

Essendo tale espressione indipendente da x , essa e` valida non solo lungo la linea verticale tratteggiata in figura, ma lungo qualunque altra verticale in tutto il campo di moto. Infatti, anche il campo di velocita` assegnato e` indipendente da x , perche´ il moto e` completamente sviluppato. Il valore ψs che la funzione di corrente assume in corrispondenza della lastra superiore, cioe` per y = h , e`

ψs =

V 2 h h =V 2h 2

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V

h

vx = V

y h

y x

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10 Capitolo 9

9.14 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare la portata ` integrando il campo di tra le due lastre, per unita` di profondita, velocita` e confrontare il risultato con quello ottenibile direttamente dai valori della funzione di corrente. ` con riferimento ad una Analisi Integrando il campo di velocita, profondita` unitaria, la portata risulta

Z

Z vdA =

Q=

Z

h

vx dy = 0

A

h

0

V V  2 h h y dy = y 0=V h 2h 2

Dai valori della funzione di corrente, indicando con ψs e ψi i valori che la funzione di corrente assume, rispettivamente, in corrispondenza della lastra superiore e di quella inferiore, si ha direttamente

Q = ψs − ψi = V

h h −0= V 2 2

risultato coincidente col precedente.

9.15 Con riferimento al moto alla Couette dell’esercizio 9.13, per il caso in cui e` V = 3 m/s e h = 3 cm, disegnare alcune linee di flusso per valori della funzione di corrente a differenza costante. ´ Queste linee di flusso risultano equidistanti? Perche?

Analisi Dalla ψ = (V /2h)y 2 si ha r 2h y= ψ V Con i valori assegnati, in corrispondenza della lastra superiore la funzione di corrente assume il valore

ψs = V

h 3 × 0,03 = = 0,045 m2 /s 2 2

mentre in corrispondenza della lastra inferiore assume il valore ψi = 0. Dividendo la differenza tra i due valori in 9 intervalli uguali, e` possibile tracciare le 10 linee di flusso aventi valori della funzione di corrente corrispondenti alla differenza costante

1ψ = V = 3 m/s

h = 3 cm

0,040 0,030 0,020 0,010 0,005 y

ψ = 0 m2/s

x

ψs − ψi 0,045 − 0 = = 0,005 m2 /s 9 9

Tali linee di flusso non risultano equidistanti. Infatti, essendo la portata per unita` di profondita` tra due successive linee di flusso sempre pari a 0,005 m2 /s ed essendo la velocita` crescente linearmente dal valore nullo sulla lastra inferiore al valore V = 3 m/s sulla lastra superiore, la distanza tra due linee di flusso successive diminuisce verso l’alto.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

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9.16 Si consideri il moto permanente di un fluido incomprimibile, in regime di moto laminare, tra due lastre piane parallele indefinite, a distanza h , forzato da un gradiente di pressione d p/d x costante e negativo. La componente della velocita` secondo x e`

vx =


1 dp 2 y − hy 2µ d x

Analisi Per la prima delle 9.20, si ha
∂ψ 1 dp 2 = vx = y − hy ∂y 2µ d x Integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x , piuttosto che una costante, visto che l’integrazione e` parziale, si ha



y3 y2 −h 3 2

 + g(x)

Per la seconda delle 9.20, si ha

vy = −

∂ψ = −g 0 (x) ∂x

in cui g 0 (x) = dg/d x , perche´ g e` funzione della sola variabile x . Eguagliando tale espressione con quella assegnata (v y = 0), si ha g 0 (x) = 0 da cui g(x) = costante = C e, sostituendo nell’espressione di ψ ,

1 dp ψ= 2µ d x



y3 y2 −h 3 2

 +C

Imponendo che sia ψ = 0 in corrispondenza della lastra inferiore, cioe` per y = 0, risulta C = 0. Per cui, l’espressione finale di ψ e`

1 dp ψ= 2µ d x



y3 y2 −h 3 2



Essendo tale espressione indipendente da x , essa e` valida non solo lungo la linea verticale tratteggiata in figura, ma lungo qualunque altra verticale in tutto il campo di moto. Infatti, anche il campo di velocita` assegnato e` indipendente da x , perche´ il moto e` completamente sviluppato. Il valore ψs che la funzione di corrente assume in corrispondenza della lastra superiore, cioe` per y = h , e`

1 dp ψ= 2µ d x



h3 h2 −h 3 2

 =−

h y x

in cui µ e` la viscosita` del fluido. La componente della velocita` secondo y e` v y = 0. Scrivere un’espressione per la funzione di corrente lungo la linea verticale tratteggiata in figura, ponendo, per ` ψ = 0 in corrispondenza della lastra inferiore. Quanto semplicita, vale ψ in corrispondenza della lastra superiore?

1 dp ψ= 2µ d x

vx(y)

1 dp 3 h 12µ d x

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12 Capitolo 9

9.17 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare la portata ` integrando il campo di tra le due lastre, per unita` di profondita, velocita` e confrontare il risultato con quello ottenibile direttamente dai valori della funzione di corrente. ` con riferimento ad una Analisi Integrando il campo di velocita, profondita` unitaria, la portata risulta h

h




1 dp 2 Q= vx dy = y − hy dy = 2µ d x 0 0  h   1 d p y3 y2 1 d p h3 h3 1 dp 3 = −h = − =− h 2µ d x 3 2 0 2µ d x 3 2 12µ d x Z

Z

Dai valori della funzione di corrente, indicando con ψs e ψi i valori che la funzione di corrente assume, rispettivamente, in corrispondenza della lastra superiore e di quella inferiore, si ha direttamente

Q = ψs − ψi = −

1 dp 3 1 dp 3 h −0=− h 12µ d x 12µ d x

risultato coincidente col precedente.

9.18 Con riferimento al moto dell’esercizio 9.16, il fluido e` acqua a 20 ◦ C (µ = 1,002 × 10−3 Pa · s). Per il caso in cui e` d p/d x = −20 000 N/m3 e h = 1,2 mm, disegnare alcune linee di flusso per valori della funzione di corrente a differenza costante. Queste linee ´ di flusso risultano equidistanti? Perche?

Analisi Con i valori assegnati, la funzione di corrente   1 d p y3 y2 ψ= −h 2µ d x 3 2 sulla lastra superiore assume il valore

ψs = −

1 dp 3 −20 000 × 0,00123 h =− = 0,00287 m2 /s 12µ d x 12 × 1,002 × 10−3

mentre sulla lastra inferiore assume il valore ψi = 0. Dividendo la differenza tra i due valori in 7 intervalli uguali, e` possibile tracciare le 8 linee di flusso aventi valori della funzione di corrente corrispondenti alla differenza costante

1ψ = vx(y)

0,00287 0,00205

h

0,00123 0,00041 y ψ = 0 m2/s

x

ψs − ψi 0,00287 − 0 = = 0,000410 m2 /s 7 7

Tali linee di flusso non risultano equidistanti. Infatti, essendo la portata per unita` di profondita` tra due successive linee di flusso sempre pari a 0,000410 m2 /s ed essendo la velocita` crescente con legge parabolica dal valore nullo sulle pareti al valore massimo sull’asse, la distanza tra due linee di flusso successive e` crescente dall’asse verso le pareti.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.19 Per monitorare la qualita` dell’aria, vengono prelevati campioni tramite una sonda allineata con la direzione del vento, aspirando l’aria tramite una pompa. Perche´ le misure siano corrette, la velocita` Vi dell’aria all’interno della sonda deve essere uguale a quella Ve del vento all’esterno. Se l’aspirazione e` eccessiva, la velocita` all’interno della sonda risulta maggiore. Si consideri per semplicita` un caso bidimensionale, in cui la sonda sia alta h = 4,5 mm e larga (nella direzione ortogonale a quella della figura) b = 52 mm. I valori della funzione di corrente sulle linee di flusso divisorie superiore e inferiore sono, rispettivamente, ψs = 0,150 m2 /s e ψi = 0,105 m2 /s. Calcolare la portata, in m3 /s, e la velocita` media Vi dell’aria all’interno della sonda.

linee di flusso divisorie ψ H ψs

sonda

Vi

h

Ve

ψ H ψi

Analisi La portata per unita` di larghezza e` pari alla differenza tra i valori della funzione di corrente in corrispondenza delle linee di flusso divisorie superiore e inferiore, per cui la portata totale e`

Q = (ψs − ψi )b = (0,150 − 0,105) × 0,052 = 0,00234 m3 /s mentre la velocita` media Vi dell’aria all’interno della sonda e` data dal rapporto tra la portata e l’area della sezione trasversale della sonda

Vi =

Q (ψs − ψi )b ψs − ψi 0,150 − 0,105 = = = = 10 m/s bh bh h 0,0045

Discussione All’interno della sonda le linee di flusso sono piu` ´ essendo la velocita` media Vi maggiore delvicine tra loro perche, la velocita` esterna Ve , perche´ si mantenga costante il valore della portata per unita` di larghezza, la distanza tra le linee deve essere minore.

9.20 Si supponga che, nell’esercizio precedente, l’aspirazione di aria sia troppo debole anziche´ eccessiva. Tracciare l’andamento delle linee di flusso in questo caso, indicando le linee di flusso divisorie superiore e inferiore.

linee di flusso divisorie ψ H ψs

sonda

Analisi Se l’aspirazione e` troppo debole, la portata d’aria all’interno della sonda e` troppo bassa e la velocita` media Vi risulta inferiore a quella Ve del vento all’esterno, Le linee di flusso, per quanto rilevato nella discussione del problema precedente, sono piu` fitte all’esterno e si allargano all’interno della sonda.

9.21 Con riferimento all’esercizio 9.19, quanto vale la velocita` del vento, se la distanza tra le linee di flusso divisorie e` di 5,8 mm? Analisi Con riferimento al campo di moto all’esterno della sonda, la velocita` media Ve del vento risulta Ve =

ψs − ψi 0,150 − 0,105 = = 7,76 m/s he 0,0058

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h

Ve

ψ H ψi

Vi

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14 Capitolo 9

9.22 Si consideri un moto bidimensionale di un fluido incompri-

y ψ2

V

ψ1 ψ0 H 0 − ψ1 − ψ2

x

mibile, con distribuzione di velocita` costante in direzione trasversale, per il quale la componente della velocita` secondo x e` vx = V e la componente della velocita` secondo y e` v y = 0. Scrivere un’espressione della funzione di corrente e, per V = 8,9 m/s, calcolare ` tra le linee ψ2 e ψ0 , essendo ψ2 la portata per unita` di profondita, una linea orizzontale a y = 0,5 m e, sull’asse x , ψ0 = 0.

Analisi Per la prima delle 9.20, si ha ∂ψ = vx = V ∂y Integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x , piuttosto che una costante, visto che l’integrazione e` parziale, si ottiene

ψ = V y + g(x) Per la seconda delle 9.20, si ha

vy = −

∂ψ = −g 0 (x) ∂x

in cui g 0 (x) = dg/d x , perche´ g e` funzione della sola variabile x . Eguagliando tale espressione con quella assegnata (v y = 0), si ha g 0 (x) = 0 da cui g(x) = costante = C e, sostituendo nell’espressione di ψ ,

ψ = Vy +C Imponendo che sia ψ = 0 per y = 0, si ha C = 0. Per cui, l’espressione finale di ψ e`

ψ = Vy che per y = 0,5 fornisce

ψ2 = V y = 8,9 × 0,5 = 4,45 m2 /s ` tra le linee ψ2 e ψ0 e` Pertanto, la portata per unita` di profondita, pari a

q = ψ2 − ψ0 = 4,45 − 0 = 4,45 m2 /s La portata puo` essere calcolata anche come prodotto della velocita` per l’area della sezione trasversale, alta y = 0,5 m e di profondita` unitaria,

q = V y = 8,9 × 0,5 = 4,45 m2 /s

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

15

9.23 La funzione di corrente di un moto permanente bidimensionale, nel piano x y , di un fluido incomprimibile e` ψ = ax 2 +bx y+cy 2 , con a , b e c costanti. Scrivere l’espressione delle componenti di velo` cita` vx e v y e verificare che sia soddisfatta l’equazione di continuita. Analisi Per le 9.20, le componenti della velocita` sono vx =

∂ψ = bx + 2cy ∂y

vy = −

∂ψ = −2ax − by ∂x

Per un fluido incomprimibile in moto permanente l’equazione di continuita` e` la 9.18

∇ ·v =

∂v y ∂vz ∂vx + + =0 ∂x ∂y ∂z

che diviene b − b + 0 = 0 e, pertanto, risulta soddisfatta.

9.24 Si consideri un moto bidimensionale di un fluido incomprimibile, con direzione inclinata di α sull’orizzontale e distribuzione di velocita` costante in direzione trasversale, per il quale la componente della velocita` secondo l’asse x e` vx = V cos α e la componente della velocita` secondo l’asse y e` v y = V sen α . Scrivere un’espressione della funzione di corrente.

Analisi Per la prima delle 9.20, si ha ∂ψ = vx = V cos α ∂y Integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x , piuttosto che una costante, visto che l’integrazione e` parziale, si ha

ψ = V y cos α + g(x) Per la seconda delle 9.20, si ha

vy = −

∂ψ = −g 0 (x) ∂x

in cui g 0 (x) = dg/d x , perche´ g e` funzione della sola variabile x . Eguagliando tale espressione con quella assegnata (v y = V sen α ), si ottiene

v y = −g 0 (x) = V sen α da cui g 0 (x) = −V sen α e g(x) = −x V sen α + C , essendo C una costante, perche´ g e` funzione della sola x . Sostituendo nell’espressione di ψ , si ha infine

ψ = V (y cos α − x sen α) + C

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y ψ2 ψ1

V

α x

ψ0 −ψ1 −ψ2

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16 Capitolo 9

9.25 Il risultato di una simulazione numerica, relativa al campo di moto all’interno di una diramazione asimmetrica in una condotta a sezione rettangolare, mostra le linee di flusso riportate in figura, con ψ in m2 /s. Che percentuale di portata defluisce nel ramo superiore?

ψ H 4,15 h

ψ H 2,03

ψ H 2,80

Analisi La portata per unita` di larghezza e` pari alla differenza tra i valori della funzione di corrente tra due linee di flusso. Nel tratto a monte della diramazione, con riferimento ad una larghezza unitaria, la portata vale

qm = ψs − ψi = 4,15 − 2,03 = 2,12 m2 /s mentre nel ramo superiore e`

qs = ψs − ψi,s = 4,15 − 2,80 = 1,35 m2 /s pari a 1,35/2,12 = 0,637 = 63,7% della portata totale.

9.26 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare l’altezza h , in cm, del ramo principale quando in esso la velocita` media e` di 11,4 m/s.

Analisi L’altezza del ramo principale e` pari al rapporto tra la portata per unita` di larghezza che defluisce in tale ramo e la velocita` media

h=

qm 2,12 = = 0,186 m = 18,6 cm Vm 11,4

9.27 Osservando le linee di flusso di un certo campo di moto, tracciate per valori della funzione di corrente a differenza costante, com’e` possibile individuare le zone in cui la velocita` del fluido e` maggiore?

Analisi Se le linee di flusso sono tracciate per valori della funzione di corrente a differenza costante, essendo tale differenza pari alla portata per unita` di larghezza che defluisce tra due linee contigue, la velocita` del fluido e` maggiore dove le linee sono piu` vicine tra loro.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.28 In corrispondenza dello spigolo in una parete, il fluido si separa, formando una zona di ricircolo, come mostrato dalle linee di flusso tracciate nella figura. Il valore della funzione di corrente in corrispondenza della parete e` zero, mentre quello in corrispondenza della linea di flusso piu` in alto, tra quelle tracciate, e` ψs . Il valore della funzione di corrente all’interno della zona di ricircolo e` positivo o negativo? Dov’e` che ψ assume valore minimo?

Analisi Nel moto bidimensionale di un fluido incomprimibile, la portata per unita` di larghezza e` pari alla differenza tra i valori della funzione di corrente tra due linee di flusso. Per esempio, nel caso in esame, la differenza ψs − ψ0 = ψs e` una quantita` positiva e rappresenta la portata per unita` di larghezza che defluisce tra la linea di flusso piu` in alto e la parete. Tra tali linee, il moto e` da sinistra verso destra. Nella zona di ricircolo, la differenza tra il valore ψ0 della funzione di corrente sulla linea di flusso divisoria, nullo, e il valore ψi corrispondente ad una linea di flusso interna rappresenta la portata per unita` di larghezza tra tali linee e, poiche´ nella parte superiore della zona di ricircolo il moto e` sempre da sinistra verso destra, anche tale differenza deve essere positiva, cosa che puo` risultare solo se ψi e` negativa. Analogamente, nella parte inferiore della zona di ricircolo il moto e` da destra verso sinistra, e dunque la differenza tra ψi e il valore ψ0 della funzione di corrente sulla parete, nullo, deve essere negativa, come assicurato solo da valori negativi di ψi . Pertanto, il valore della funzione di corrente all’interno della zona di ricircolo e` negativo e ψ assume valore minimo al centro della zona di ricircolo.

Discussione Quanto rilevato sopra non significa che all’interno delle zone di ricircolo la funzione di corrente assuma valori sempre negativi. Infatti, la funzione di corrente e` definita sempre a meno ` quindi, assumere valori diversi senza che le di una costante e puo, caratteristiche del moto cambino.

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ψ H ψs

ψH0 zona di ricircolo

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18 Capitolo 9

9.29 Per indicare la direzione del moto, porre delle frecce sulle

ψ1 H 0,030 m2/s

linee di flusso del campo di moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile in una condotta curva, riportato in figura, ` all’incirca, la velocita` nel punto P . e calcolare, per h = 5 cm, qual e,

P

Analisi Per la definizione di funzione di corrente data dalle 9.20,

h ψ2 H 0,042

m2/s

ψ1 H 0,030 m2/s

il moto va da sinistra verso destra quando i valori della funzione di corrente sono crescenti nella direzione verticale y positiva (verso l’alto). Nel caso considerato, ψ cresce nella direzione y negativa, per cui il moto e` diretto da destra verso sinistra. La velocita` nel punto P puo` essere assunta pari alla velocita` media tra le linee di flusso ψ1 e ψ2 , che a sua volta puo` essere calcolata come rapporto tra la portata per unita` di larghezza tra tali linee (pari alla differenza tra i valori di ψ ) e la loro distanza h . Per cui, si ha

vP =

ψ2 − ψ1 0,042 − 0,030 = = 0,24 m/s h 0,05

Discussione Le proprieta` del fluido non hanno alcuna influenza

P h ψ2 H 0,042 m2/s

sul valore di velocita` calcolato, che e` stato desunto unicamente dalle caratteristiche cinematiche del moto. Pertanto, tale valore di velocita` e` lo stesso per qualunque fluido incomprimibile il cui campo di moto sia quello di figura.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.30 Risolvendo numericamente le equazioni del moto, si sono ottenute le linee di flusso riportate in figura, relative al moto permanente bidimensionale attorno a un profilo alare, la cui corda misura c = 9,0 mm. I valori della funzione di corrente sono in m2 /s. Il fluido e` aria a temperatura ambiente. Tracciare il vettore velocita` in corrispondenza dei punti A e B , calcolarne il valore in A e spiegare come viene generata la portanza.

A

1,70

1,71

1,68

1,69

1,66

1,67 c

1,64

1,65 1,63

1,62 B

1,61

1,60

Analisi Per la definizione di funzione di corrente data dalle 9.20, il moto va da sinistra verso destra quando i valori della funzione di corrente sono crescenti nella direzione verticale y positiva (verso l’alto). Poiche´ il moto avviene da sinistra verso destra, il vettore velocita` nei punti A e B e` diretto da sinistra verso destra.

A

1,70

1,71

vA

1,68

1,69

1,66

1,67 c

1,64 vB

1,62

1,65 1,63

B 1,61

1,60

Il modulo della velocita` in A, nota la distanza h A tra le due linee di flusso in prossimita` del punto A, puo` essere calcolato come rapporto tra la portata per unita` di larghezza tra tali linee (pari alla differenza tra i valori di ψ ) e la loro distanza. Misurando con un righello direttamente sul disegno, risulta h A ∼ = 0,032 c = 0,032×9 = 0,29 mm. Pertanto,

vA =

ψ2 − ψ1 1,66 − 1,65 = = 34 m/s hA 0,29 × 10−3

La velocita` in B , essendo la distanza h B tra le due linee di flusso in prossimita` del punto B maggiore di h A , e` minore della velocita` in A.

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19

20 Capitolo 9

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Risulta h B ∼ = 1,7 h A e, pertanto,

vB =

hA 1 vA = × 34 = 20 m/s hB 1,7

Essendo le velocita` al di sopra del profilo alare maggiori di quelle al di sotto, le pressioni sulla superficie inferiore del profilo, per il teorema di Bernoulli, sono maggiori delle pressioni sulla superficie superiore. Da cio` deriva la spinta diretta verso l’alto, che prende il nome di portanza.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

Equazione della quantita’ di moto e condizioni al contorno 9.31 Discutere il significato di ciascun termine dell’equazione della quantita` di moto

Z

Z

W

Z d ρgd W + σi j · nd A − ρvd W + dt W A Z − ρv (v · n) d A = 0 A

Analisi Il primo termine dell’equazione e` il risultante delle forze di massa agenti sul volume di controllo, il secondo e` il risultante delle forze di superficie agenti sul volume di controllo, il terzo e` la variazione nell’unita` di tempo della quantita` di moto del volume di controllo e l’ultimo e` il flusso totale di quantita` di moto attraverso la superficie di controllo. Essendo

Z

Z

W

d ρgdW + σi j · nd A = dt A

Z

Z ρv (v · n) d A = 0

ρvd W + W

A

il risultante delle forze agenti sul volume di controllo, somma delle forze di massa e delle forze di superficie, e` uguale alla somma della variazione nell’unita` di tempo della quantita` di moto del volume di controllo e del flusso totale di quantita` di moto attraverso la superficie di controllo.

9.32 Un aereo viaggia a velocita` costante V . Quali sono le condizioni al contorno in corrispondenza della parete esterna dell’aereo e a notevole distanza da esso (a) in un sistema di riferimento solidale con la superficie terrestre e (b) in un sistema di riferimento solidale con l’aereo?

Analisi (a)

In un sistema di riferimento solidale con la superficie terrestre, in corrispondenza della parete esterna dell’aereo, per la condizione di aderenza, l’aria si muove con la stessa velocita` della parete e, pertanto, e` ovunque v = V . A notevole distanza dall’aereo, l’aria e` in quiete e, pertanto, e` v = 0.

(b)

In un sistema di riferimento solidale con l’aereo, la parte esterna dell’aereo e` ferma e dunque, sempre per la condizione di aderenza, anche l’aria a contatto con essa, per cui e` v = 0. A notevole distanza dall’aereo, l’aria si muove verso l’aereo con velocita` uguale e opposta a quella dell’aereo e, pertanto, e` v = −V .

Discussione Per la condizione di aderenza, qualunque sia il sistema di riferimento scelto, in corrispondenza di una parete solida il fluido deve assumere la stessa velocita` della parete.

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V

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22 Capitolo 9

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9.33 Cosa sono le equazioni costitutive? In quali equazioni della meccanica dei fluidi vengono usate?

Analisi Le equazioni costitutive sono relazioni che esprimono le componenti del tensore degli sforzi in funzione delle componenti della velocita` e della pressione. Esse vengono usate nell’equazione di Cauchy per rendere determinato il problema della risoluzione di un campo di moto.

9.34 Qual e` la differenza principale tra fluidi newtoniani e fluidi non newtoniani?

Analisi Per i fluidi newtoniani lo sforzo tangenziale e` proporzionale alla velocita` di deformazione angolare. Per i fluidi non newtoniani il legame tra sforzo tangenziale e velocita` di deformazione angolare e` non lineare. La maggior parte dei fluidi di comune impiego, come l’aria e altri gas, l’acqua, il kerosene, la benzina e altri derivati del petrolio, sono fluidi newtoniani.

Discussione Le equazioni di Navier-Stokes valgono solo per i fluidi newtoniani. Equazioni analoghe per fluidi non newtoniani potrebbero essere ricavate dall’equazione di Cauchy, introducendo in essa gli appropriati legami costituivi non lineari.

9.35 Definire i fluidi viscoelastici, pseudoplastici, dilatanti e alla Bingham.

Analisi Un fluido viscoelastico e` un fluido che ritorna (parzialmente o totalmente) alla sua forma originale dopo che lo sforzo applicato viene rimosso. Un fluido pseudoplastico e` un fluido che al crescere della sollecitazione diventa meno viscoso. Un fluido dilatante e` un fluido che diviene tanto piu` viscoso quanto piu` e` sollecitato. In un fluido plastico alla Bingham e` necessario superare uno sforzo di soglia perche´ esso cominci a scorrere.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.36 Tra due lastre piane parallele, di larghezza b = 0,75 m e lunghezza L = 1,5 m, distanti h = 2,5 mm, scorre olio motore alla temperatura di 60 ◦ C (ρ = 864 kg/m3 e µ = 72,5 × 10−3 Pa · s). Allo sbocco la pressione relativa e` nulla, mentre all’imbocco e` pari a 1 bar. Noto il campo di velocita` (vedi esercizio 9.16), calcolare la portata e il numero di Reynolds, usando come dimensione caratteristica la distanza h , e stabilire se il moto e` laminare o turbolento.

Analisi Il campo di velocita` e` definito dalle equazioni vx =

1 dp 2 (y − hy) 2µ d x

vy = 0

Essendo il gradiente di pressione

1p 1p 0 − 100 000 dp = = = = −66 700 N/m3 dx 1x L 1,5 la portata risulta

Z

Z vx d A =

Q=

0

A

=

h

1 dp 2 (y − hy)b dy = 2µ d x

  1 dp 1 3 1 2 h b y − hy = 2µ d x 3 2 0

=−

1 dp 3 66 700 × 0,00253 × 0,75 = 0,898 l/s h b= 12 d x 12 × 72,5 × 10−3

Essendo la velocita` media

V =

Q 0,898 × 10−3 = = 0,479 m/s hb 0,0025 × 0,75

il numero di Reynolds risulta

Re =

ρV h 864 × 0,479 × 0,0025 = = 14,3 µ 72,5 × 10−3

e, pertanto, il moto e` laminare.

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ps

h

pi

b

y L x

V

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24 Capitolo 9

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9.37 Si consideri il campo di velocita` di un moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile

v = (vx , v y ) = (ax + b) i + (−ay + c) j con a , b e c costanti. Esprimere la pressione in funzione di x e y .

Analisi Il campo di velocita` soddisfa l’equazione di continuita` 9.60a perche´

∂v y ∂vx + =a−a =0 ∂x ∂y La componente in direzione x dell’equazione di Navier-Stokes, espressa dalla 9.60b, essendo nullo il termine della gravita` per ipotesi, nulle le derivate rispetto a z perche´ il moto e` bidimensionale nel piano x y e nulla la derivata rispetto al tempo perche´ il moto e` permanente, risulta



∂vx ∂vx ρ vx + vy ∂x ∂y



 2  ∂p ∂ vx ∂ 2 vx =− +µ + ∂x ∂x2 ∂ y2

Essendo

∂vx =a ∂x

e

∂vx =0 ∂y

sono nulle anche le derivate seconde, per cui

  ∂p = −ρ a(ax + b) = −ρa(ax + b) ∂x Analogamente, in direzione y vale la 9.60c che diviene



∂v y ∂v y ρ vx + vy ∂x ∂y



 2  ∂ vy ∂ 2vy ∂p =− +µ + ∂y ∂x2 ∂ y2

Essendo

∂v y =0 ∂x

e

∂v y = −a ∂y

sono nulle anche le derivate seconde, per cui

  ∂p = −ρ − a(−ay + c) = ρa(−ay + c) ∂y Perche´ sia fisicamente possibile, il campo di pressione p(x, y) deve essere espresso da una funzione regolare, cioe` infinitamente derivabile rispetto a x e a y , in quanto non possono esserci discontinuita` in p ne´ nelle sue derivate. Se questa condizione e` verificata, l’ordine di derivazione e` ininfluente (Figura 9.30). Poiche´ le derivate miste

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

delle due relazioni

∂2 p ∂ = ∂ x∂ y ∂x



∂2 p ∂ = ∂ y∂ x ∂y



∂p ∂y



∂p ∂x



=0

e

=0

risultano uguali, la condizione e` soddisfatta. Ne consegue che il campo di velocita` assegnato e` fisicamente possibile. Per il calcolo della p(x, y), l’integrazione parziale della

∂p = −ρa(ax + b) ∂x fornisce

 p(x, y) = −ρa

 1 2 ax + bx + g(y) 2

nella quale, essendo l’integrazione parziale, invece di una costante e` stata aggiunta una funzione arbitraria dell’altra variabile y . Derivando rispetto a y ed uguagliando alla

∂p = ρa(−ay + c) ∂y si ha

g 0 (y) = ρa(−ay + c) dalla quale, integrando rispetto a y , si ottiene

  1 2 g(y) = ρa − ay + cy + C 2 nella quale C e` una costante di integrazione arbitraria. Sostituendo nella espressione di p , si ha infine



   1 2 1 2 p(x, y) = −ρa ax + bx + ρa − ay + cy + C = 2 2   1 2 1 2 = −ρa ax + bx + ay − cy + C = 2 2  
1 2 2 = −ρa a x + y + bx − cy + C 2

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26 Capitolo 9 z x parete fissa

fluido ρ, µ

parete fissa

g

h

9.38 Si consideri il moto permanente bidimensionale di un fluido ` in regime laminare, viscoso incomprimibile che scorre per gravita, tra due lastre piane verticali indefinite, distanti h . Non essendovi applicato alcun gradiente di pressione esterno, all’interno del campo di moto la pressione e` ovunque costante per l’equilibrio tra la forza di gravita` e le forze viscose. Calcolare il campo di velocita` e tracciarne il profilo, utilizzando opportune variabili adimensionali. Analisi Seguendo la procedura indicata in Figura 9.31, si ha: Fase 1 Definizione del problema e della geometria: vedi figura. Fase 2 Posizione delle ipotesi e delle condizioni al contorno. Ipotesi: 1. Il moto e` bidimensionale nel piano x z , per cui v y = 0. 2. La velocita` e` diretta ovunque come l’asse z , per cui vx = 0. Condizioni al contorno: essendo h s = h/2 il semispessore della corrente, per x = −h s e per x = h s si ha vx = v y = vz = 0 (condizione di aderenza). Fase 3 Semplificazione delle equazioni. Si ha vx = 0 per l’ipotesi 2 e v y = 0 per l’ipotesi 1, per cui l’equazione di continuita` 9.60a diviene

∂vz =0 ∂z Ne deriva che vz non e` funzione di z . In altre parole, il profilo di velocita` e` lo stesso per qualunque valore di z , cioe` il moto e` uniforme. Per l’ipotesi 1, vz puo` essere, quindi, funzione solo di x . Le equazioni di Navier-Stokes 9.60b e 9.60c nelle direzioni x e y , essendo ovunque vx = v y = 0 ed agendo la gravita` solo in direzione z , sono identicamente soddisfatte (tutti i termini sono nulli in entrambe le equazioni). In direzione z , la 9.60d

 ρ

 ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz + vx + vy + vz = ∂t ∂x ∂y ∂z   2 ∂p ∂ 2 vz ∂ 2 vz ∂ vz = ρgz − + + +µ ∂z ∂x2 ∂ y2 ∂z 2

essendo ∂vz /∂t = 0 perche´ il moto e` permanente, vx = v y = 0 per ` ∂ p/∂z = 0 perche´ la le ipotesi 2 e 1, ∂vz /∂z = 0 per la continuita, pressione e` ovunque costante e ∂ 2 vz /∂ y 2 = ∂ 2 vz /∂z 2 = 0 perche´ vz e` funzione solo di x , diviene

ρgz + µ

∂ 2 vz =0 ∂x2

e, essendo gz = −g e vz funzione della sola x per cui la derivata parziale coincide con la derivata totale,

d 2 vz ρg = dx2 µ Fase 4 Risoluzione delle equazioni differenziali. Integrando due volte, si ha

vz =

ρg 2 x + C1 x + C2 2µ

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazioni indefinite del moto dei fluidi

27

Fase 5 Applicazione delle condizioni al contorno. Applicando le condizioni al contorno definite nella fase 2, si ha: per x = −h s

0=

ρg (−h s )2 + C1 (−h s ) + C2 2µ

e per x = h s

0=

ρg 2 h + C1 h s + C2 2µ s

da cui

C1 = 0

e

C2 = −

ρg 2 h 2µ s

Quindi, la legge di distribuzione della velocita` tra la parete e la mezzeria e`

vz =

ρg 2 ρg 2 ρg 2 x − hs = (x − h 2s ) 2µ 2µ 2µ

Essendo ovunque −h s < x < h s , vz e` ovunque negativa, cioe` diretta verso il basso. Fase 6 Verifica dei risultati. Partendo dai risultati ottenuti si puo` verificare che le equazioni differenziali e le condizioni al contorno ` scritta in sono soddisfatte. La legge di distribuzione della velocita, forma adimensionale, ponendo

x x∗ = hs

e

2µvz vz∗ = ρgh 2s

diviene

vz∗ = x ∗2 − 1

0,0 vz * −0,2 −0,4 −0,6 −0,8 −1,0

parete

mezzeria

−1,2 −1,0 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2

0,0 x*

Discussione La legge di distribuzione della velocita` e` identica a quella trovata nell’Esempio 9.10

vz∗ = ξ ∗ (ξ ∗ − 2) in cui un film di olio di spessore h s scorre per gravita` su una parete piana verticale indefinita. L’unica differenza e` la posizione dell’origine dell’asse ξ , che nell’esempio e` sulla parete, invece che sulla superficie libera, dove ξ = h s e, quindi, ξ ∗ = 1. Effettuando il cambio di origine si ha ξ ∗ = 1 − x ∗ , per cui la legge di distribuzione della velocita` dell’esempio, nel riferimento adottato per questo problema, diviene

  vz∗ = ξ ∗ (ξ ∗ − 2) = (1 − x ∗ ) (1 − x ∗ ) − 2 = = (1 − x ∗ )2 − 2(1 − x ∗ ) = x ∗2 − 1 cioe` identica a quella sopra ottenuta.

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28 Capitolo 9

9.39 Con riferimento all’esercizio precedente, scrivere un’espressione della portata per unita` di profondita` in funzione di ρ , µ, h e g . Confrontare il risultato con quello dell’Esempio 9.10 in cui il fluido, a parita` di tutto il resto, scorre su una lastra verticale con una superficie libera al posto della seconda lastra. Discutere le differenze, fornendone una spiegazione fisica.

Analisi Con riferimento all’esercizio precedente, la portata per unita` di profondita` si calcola per integrazione del profilo di velocita`

Z

hs

Z

hs

vz d x =

q= −h s

−h s



ρg = 2µ

 h s ρg 2 ρg x 3 (x − h 2s ) d x = − h 2s x = 2µ 2µ 3 −h s

 h 3s h 3s ρg 4 3 ρg 3 3 3 − hs + − hs = − hs = − h 3 3 2µ 3 12µ

Il segno negativo dipende dall’aver assunto il verso verticale positivo verso l’alto, mentre il moto risulta diretto verso il basso. Analogamente, integrando il profilo di velocita` dell’Esempio 9.10, relativo ad un film di olio di spessore h s pari al semispessore della corrente dell’esercizio precedente, la portata risulta

Z

hs

Z vz d x =

q= 0

ρg = 2µ

0



hs

 h s ρg ρg x 3 2 x(x − 2h s ) d x = − x hs = 2µ 2µ 3 0

 h 3s ρg 2 3 ρg 3 − hs − 0 + 0 = − h s = − h 3s 3 2µ 3 3µ

Come gia` rilevato nella discussione dell’esercizio precedente, il profilo di velocita` dell’Esempio 9.10 e` identico al profilo relativo alla meta` del campo dell’esercizio precedente. Pertanto, la portata dell’Esempio 9.10 e` esattamente uguale alla meta` di quella dell’esercizio precedente.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.40 Si consideri il moto permanente laminare di un fluido incomprimibile newtoniano in una tubazione circolare infinitamente lunga di diametro D inclinata di α rispetto all’orizzontale. Il fluido ` non essendovi applicato alcun gradiente si muove solo per gravita, di pressione (dp/d x = 0). Scelto un sistema di riferimento avente l’asse x coincidente con l’asse della tubazione, positivo nella direzione del moto, scrivere un’espressione per la componente vx della velocita` in funzione della distanza r lungo il raggio e degli altri parametri del problema e calcolare la portata e la velocita` media.

Analisi Seguendo la procedura indicata in Figura 9.31, si ha: Fase 1 Definizione del problema e della geometria: vedi figura. Fase 2 Posizione delle ipotesi e delle condizioni al contorno. Ipotesi: 1. La velocita` e` diretta ovunque come l’asse x , per cui la componente radiale vr e` ovunque nulla. 2. Il campo di moto e` a simmetria assiale, per cui la componente vθ = 0 e tutte le derivate parziali rispetto a θ sono anch’esse nulle. Condizioni al contorno: per r = R , v = 0; per r = 0, per la condizione di simmetria la velocita` ha un massimo, per cui ∂vx /∂r = 0. Fase 3 Scrittura e semplificazione delle equazioni differenziali. Essendo vr = 0 per l’ipotesi 1 e ∂vθ /∂θ = 0 per l’ipotesi 2, l’equazione di continuita` 9.61a

1 ∂(r vr ) 1 ∂(vθ ) ∂vx + + =0 r ∂r r ∂θ ∂x diviene ∂vx /∂ x = 0. Ne deriva che vx non e` funzione di x . In altre parole, il profilo di velocita` e` lo stesso per qualunque valore di x , cioe` il moto e` uniforme. Pertanto, vx puo` essere funzione solo di r . In direzione x , la 9.61d

 ρ

 ∂vx vθ ∂vx ∂vx ∂vx + vr + + vx = ∂t ∂r r ∂θ ∂x     ∂p 1 ∂ ∂vx 1 ∂ 2 vx ∂ 2 vx = ρgx − +µ r + 2 + ∂x r ∂r ∂r r ∂θ 2 ∂x2

essendo ∂vx /∂t = 0 perche´ il moto e` permanente, vr = vθ = 0 per le ` ∂ 2 vx /∂θ 2 = ∂ 2 vx /∂ x 2 = 0 ipotesi 1 e 2, ∂vx /∂ x = 0 per la continuita, perche´ vx e` funzione solo di r e d p/d x = 0 perche´ il fluido si muove ` diviene solo per gravita,



1 ∂ 0 = ρgx + µ r ∂r

  ∂vx r ∂r

e, essendo gx = g sen α e vx funzione solo di r per cui la derivata parziale coincide con la derivata totale,

1 d r dr

  dvx ρg sen α r =− dr µ

Tutti i termini della 9.61b e della 9.61c sono nulli.

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ρ, µ

D

r R x g

α

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30 Capitolo 9

Fase 4 Risoluzione delle equazioni differenziali. Integrando una prima volta, si ha

r

dvx ρg sen α r 2 =− + C1 dx µ 2

in cui C 1 e` una costante. Dividendo ambo i membri per r e integrando una seconda volta, si ottiene

vx = −

ρg sen α 2 r + C1 ln r + C2 4µ

in cui C 2 e` una seconda costante di integrazione. Fase 5 Applicazione delle condizioni al contorno. Per r = 0, dalla prima relazione si ha

r

dvx = 0 + C1 = 0 dx

da cui C 1 = 0. Alla parete, per r = R , si ha

vx = −

ρg sen α 2 R + C2 = 0 4µ

da cui

C2 =

ρg sen α 2 R 4µ

Quindi, la legge di distribuzione della velocita` e`

vx =

ρg sen α 2 (R − r 2 ) 4µ

cioe` parabolica, come nell’Esempio 9.11. Fase 6 Verifica dei risultati. Partendo dal risultato ottenuto si puo` verificare che le equazioni differenziali e le condizioni al contorno ` si ha sono soddisfatte. Per integrazione del profilo di velocita,

Z

Z

R

ρg sen α 2 (R − r 2 ) 2πr dr = 4µ 0  R 2 πρg sen α r4 πρg sen α 4 2r = R − = R 2µ 2 4 0 8µ

vx d A =

Q= A

per cui la velocita` media, pari al rapporto tra la portata e l’area della sezione trasversale, risulta

V =

Q πρg sen α 4 1 ρg sen α 2 = = R R 2 A 8µ πR 8µ

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

Riepilogo 9.41 Perche´ l’ipotesi di fluido incomprimibile e l’approssimazione di temperatura costante vanno spesso insieme? Analisi L’ipotesi di fluido incomprimibile comporta che la densita` si mantenga costante, il che, a sua volta, significa che non e` possibile tener conto delle conseguenze che una variazione di temperatura ha sulla densita` stessa. Pertanto, ipotizzare che la densita` sia costante comporta che sia tale anche la temperatura.

9.42 Per ciascuna delle seguenti equazioni, dire come viene chiamata, quali sono le ipotesi di base e qual e` il significato fisico:

∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 ∂t ∂ (ρv) + ∇ · (ρv ⊗ v) = ρg + ∇ · σi j ∂t dv = ρg − ∇ p + µ∇ 2 v ρ dt

a) b) c)

Analisi (a)

` Esprime la legge di conservazione Equazione di continuita. della massa in forma indefinita.

(b)

Equazione di Cauchy o equazione della quantita` di moto in forma indefinita. Esprime la seconda legge di Newton per il generico elementino infinitesimo di fluido.

(c)

Equazione di Navier-Stokes. E’ l’espressione che assume l’equazione di Cauchy per i fluidi newtoniani, cioe´ per i fluidi per i quali vale la proporzionalita` tra sforzo tangenziale e velocita` di deformazione angolare.

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32 Capitolo 9

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9.43 Elencare le fasi della risoluzione delle equazioni di Navier` Stokes e dell’equazione di continuita.

Analisi Nella procedura usata per la risoluzione delle equazioni di Navier-Stokes e dell’equazione di continuita` possono essere individuate sei fasi: Fase 1 Definizione del problema e della geometria, identificando tutte le dimensioni e i parametri significativi. Fase 2 Posizione delle ipotesi e delle condizioni al contorno, introducendo le ipotesi, le approssimazioni, le semplificazioni e le condizioni al contorno piu` appropriate. Fase 3 Scrittura e semplificazione delle equazioni differenziali, semplificando quanto piu` possibile le equazioni. Fase 4 Risoluzione delle equazioni differenziali, integrando le equazioni e introducendo una o piu` costanti di integrazione. Fase 5 Applicazione delle condizioni al contorno per determinare le costanti. Fase 6 Verifica dei risultati.

Discussione Non sempre l’ordine delle varie fasi e` quello sopra riportato. Per esempio, quando le equazioni vengono risolte numericamente, le condizioni al contorno vengono applicate prima dell’integrazione delle equazioni.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.44 Assumendo che siano note le opportune condizioni al contorno e le proprieta` del fluido, specificare quale delle affermazioni seguenti e` vera o falsa, giustificando la risposta: a) nel moto di un fluido incomprimibile con proprieta` costanti ci sono, in generale, quattro incognite; b) nel moto di un fluido comprimibile ci sono, in generale, cinque incognite; c) nel moto di un fluido incomprimibile, l’equazione di continuita` e l’equazione di Cauchy sono sufficienti per calcolare tutte le incognite; d) nel moto di un fluido incomprimibile newtoniano con proprieta` costanti, l’equazione di continuita` e l’equazione di NavierStokes sono sufficienti per calcolare tutte le incognite.

Analisi (a)

Vero. Le incognite sono la pressione p e le tre componenti della velocita` vx , v y e vz .

(b)

Falso. Nel moto di un fluido comprimibile sono incognite la pressione p , le tre componenti della velocita` vx , v y e vz e la densita` ρ , a sua volta funzione della temperatura T . Le incognite sono percio` sei ( p , vx , v y , vz , ρ e T ).

(c)

Falso. Nell’equazione di Cauchy figurano le componenti incognite del tensore degli sforzi, che devono essere scritte in funzione della pressione e della velocita` utilizzando le equazioni costitutive del fluido.

(d)

Vero. Nel moto di un fluido incomprimibile con proprieta` costanti le incognite sono la pressione p e le tre componenti della velocita` vx , v y e vz . Pertanto, l’equazione di continuita` e l’equazione di Navier-Stokes sono sufficienti per calcolare tutte le incognite.

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34 Capitolo 9

9.45 Risolvere l’Esempio 9.10, ipotizzando che la parete si muova verso l’alto con velocita` V e controllare che i risultati, per V = 0, coincidano con quelli dell’esempio. Adimensionalizzare le equazioni, come nell’esempio, introducendo numero di Froude e numero di Reynolds, e riportare su un grafico, commentando i risultati, vz * in funzione di x * per Fr = 0,5 e Re = 0,5; 1,0 e 5,0. Analisi L’Esempio 9.10, considera il moto laminare, piano e permanente di un film di olio incomprimibile, di spessore h , che scorre per gravita` su una parete piana verticale indefinita. La pressione risulta uguale a quella atmosferica in ogni punto del campo, mentre la velocita` e` diretta ovunque verticalmente e varia con la distanza x dalla parete con la legge parabolica

vz =

ρg x(x − 2h) 2µ

essendo ρ la densita` e µ la viscosita` del fluido. Nel problema in esame, sono diverse solo le condizioni al contorno in corrispondenza della parete dove, al posto di vz = 0, si ha vz = V . Pertanto, e` valida la legge di distribuzione di velocita` dell’Esempio 9.10

vz =

ρg 2 x + C1 x + C2 2µ

nella quale appaiono ancora le costanti di integrazione da determinare in base alle condizioni al contorno. Fase 5 Applicazione delle condizioni al contorno. Per x = 0, si ha

vz = 0 + 0 + C 2 = V da cui C 2 = V . Per x = h , cioe` sulla superficie libera, lo sforzo tangenziale e` trascurabile e, pertanto, per la legge di Newton, il gradiente di velocita` e` nullo, come nell’Esempio 9.10. Per cui

∂vz ρg = h + C1 = 0 ∂x µ da cui

C1 = −

ρg h µ

Quindi, la legge di distribuzione della velocita` e`

vz =

ρg 2 ρg ρg x − hx + V = − x(x − 2h) + V 2µ µ 2µ

Essendo ovunque x < h , il primo addendo di vz e` negativo e il secondo positivo. Quindi, almeno in una porzione del campo di moto la velocita` e` diretta verso l’alto.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

Fase 6 Verifica dei risultati. Partendo dai risultati ottenuti si puo` verificare che le equazioni differenziali e le condizioni al contorno ` scritta in sono soddisfatte. La legge di distribuzione della velocita, forma adimensionale, ponendo ∗

vz∗

e

x = x/ h

1,0 vz *

Fr = 0,5

0,5 Re = 0,5

2µvz = ρgh 2

0,0

diviene

−0,5 2

vz∗ = x ∗ (x ∗ − 2) +

Fr 2µ V = x ∗ (x ∗ − 2) + 2 ρV h gh Re

Re = 1

parete

2

−1,0

Re = 5 0,0

0,5

1,0 x*

Discussione Per qualunque valore di Fr e di Re il profilo di velocita` ha pendenza nulla in corrispondenza della superficie libera. Se V e` sufficientemente elevata, la portata defluisce verso l’alto.

9.46 Con riferimento all’esercizio precedente, esprimere la portata per unita` di profondita` Q / L del film di olio che scorre sulla parete, in funzione della velocita` V della parete e degli altri parametri del problema. Quanto deve valere la velocita` V , in funzione di ρ , µ, h e g , perche´ tale portata sia nulla? Quanto vale V per un film di olio di spessore 5,0 mm con ρ = 888 kg/m3 e µ = 0,80 Pa · s? ` la portata per unita` di Analisi Integrando il profilo di velocita, profondita` risulta h

h

 ρg x(x − 2h) + V d x = vz d x = 2µ 0 0    h ρg x 2 2 ρg 3 2 = − x h + Vx = − h + Vh = 2µ 3 3 2µ 0   ρg 2 =h − h +V 3µ

Q = L

Z

Z



Affinche´ la portata sia nulla deve, pertanto, essere V0 = ρgh 2 /(3µ) e, per un film di olio di spessore 5,0 mm con ρ = 888 kg/m3 e µ = 0,80 Pa · s,

V0 =

ρg 2 888 × 9,81 h = × 0,0052 = 0,0907 m/s 3µ 3 × 0,80

Discussione Per V > V0 la portata netta, cioe` la differenza tra la portata diretta verso l’alto, in prossimita` della parete, e quella diretta verso il basso, in prossimita` della superficie libera, e` positiva, cioe` la portata diretta verso l’alto e` maggiore di quella diretta verso il basso. L’opposto si ha per valori di V minori di V0 .

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36 Capitolo 9

9.47 Si consideri il campo di velocita` di un moto permanente tridimensionale

v = (vx , v y , vz ) = = (ax z 2 − by) i + cx yz j + (dz 3 + ex z 2 ) k con a , b, c, d ed e costanti. In quali condizioni il fluido si comporta come incomprimibile? Quali sono le dimensioni fondamentali delle costanti?

Analisi Affinche´ il fluido si possa considerare incomprimibile, deve essere soddisfatta l’equazione di continuita` nella forma 9.18

∂v y ∂vx ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z in qualunque punto del campo di moto, cioe` per qualunque valore di x , y , z . Per cui, deve essere

az 2 + cx z + 3dz 2 + 2ex z = 0 che puo` essere scritta anche come

(a + 3d)z 2 + (c + 2e)x z = 0 da cui

a = −3d

e

c = −2e

` ciascun termiNella relazione che rappresenta il campo di velocita, ne deve avere le dimensioni di una velocita` (lunghezza su tempo, cioe` [L · T−1 ]), per cui



     v = L · T−1 · L−3 = L−2 · T−1 2 xz         v b = = L · T−1 · L−1 = T−1 y         v c = = L · T−1 · L−3 = L−2 · T−1 x yz         v d = 3 = L · T−1 · L−3 = L−2 · T−1 z         v e = = L · T−1 · L−3 = L−2 · T−1 2 xz   a =

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

37

9.48 Scrivere l’equazione di Navier-Stokes per un liquido incomprimibile in quiete. La gravita` agisce in direzione −z . Partendo dalla forma vettoriale dell’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile, spiegare perche´ alcuni termini possono essere trascurati e scrivere la forma finale dell’equazione.

Analisi L’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile 9.59

ρ

dv = ρg − ∇ p + µ∇ 2 v dt

per un liquido in quiete, essendo v = 0 ovunque e g = −gk, diventa

∇ p = −ρgk che, essendo l’asse z verticale e diretto verso l’alto, mostra come la pressione in un fluido in quiete aumenti verso il basso, cioe` al diminuire della quota, e sia costante in tutti i punti posti alla stessa quota.

9.49 Scrivere l’equazione di Navier-Stokes per un liquido incomprimibile accelerato come un corpo rigido in una direzione arbitraria. La gravita` agisce in direzione −z . Partendo dalla forma vettoriale dell’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile, spiegare perche´ alcuni termini possono essere trascurati e scrivere la forma finale dell’equazione.

Analisi L’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile 9.59

ρ

dv = ρg − ∇ p + µ∇ 2 v dt

per un liquido che si muove come un corpo rigido, essendo ∇ 2 v = 0, perche´ sono nulli gli scorrimenti relativi all’interno del volume, e g = −gk, diventa

∇ p + ρgk = −ρa nella quale a e` l’accelerazione a cui e` sottoposto il fluido.

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superficie libera a

g

particella di fluido a

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38 Capitolo 9

9.50 In corrispondenza di un brusco restringimento, l’altezza di y

V1 h1

h2

x

ψH0

un campo di moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile, simulato numericamente, varia da h 1 = 120 mm ` distribuita a h 2 = 46 mm. Nella sezione di ingresso la velocita, uniformemente, e` V1 = 18,5 m/s. Per la risoluzione numerica delle equazioni e` necessario specificare il valore della funzione di corrente sul contorno del dominio. Posto ψ = 0 in corrispondenza della parete inferiore, determinare il valore da assegnare a ψ sulla parete superiore, sulla sezione sinistra e sulla sezione destra del contorno.

Analisi Nel moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile, la portata per unita` di larghezza e` pari alla differenza tra i valori ψs e ψi che la funzione di corrente assume, rispettivamente, sulle pareti superiore e inferiore. Di conseguenza, la velocita` media e` pari al rapporto tra tale differenza e la distanza tra le pareti, per cui, nel tratto a monte del restringimento si ha

V1 =

ψs − ψi h1

da cui

ψs = ψi + V1 h 1 = 0 + 18,5 × 0,120 = 2,22 m2 /s Essendo la velocita` uniformemente distribuita, ψ varia linearmente nella direzione ortogonale alle linee di flusso, per cui sulla sezione sinistra e`

ψsin = ψi +

ψs − ψi y = ψi + V1 y = 18,5 y h1

relazione che puo` essere scritta direttamente integrando la prima delle 9.20, per la quale si ha

vx = V1 =

∂ψ ∂y

Nella sezione destra del contorno, supponendo che essa disti dal restringimento tanto da poter ritenere che la velocita` sia distribuita uniformemente, per la conservazione della massa si ha

V2 = V1

h1 120 = 18,5 × = 48,3 m/s h2 46

e, pertanto, in tale sezione

ψdes = ψi + V2 y = 48,3 y

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.51 All’interno di una tubazione di diametro D e lunghezza L , inclinata di α sull’orizzontale, defluisce acqua in moto permanente, in regime laminare. Nelle sezioni di ingresso e di uscita e` p1 = p2 = pa , ` Assunto un per cui l’acqua si muove solo per effetto della gravita. sistema di riferimento avente l’asse x coincidente con l’asse della tubazione, scrivere un’espressione della velocita` media V in funzione dei parametri assegnati ρ , g , D , 1z , µ e L , utilizzando l’approccio globale, e confrontare il risultato con quello ottenuto nell’esercizio 9.40 usando l’approccio differenziale. Utilizzando l’analisi dimensionale, scrivere un’espressione adimensionale per V in funzione degli stessi parametri e mettere i gruppi 5 in relazione tra loro in modo da avere un’espressione che corrisponda all’espressione analitica esatta.

Analisi Con l’approccio globale, per la 5.108, tra la sezione 1 di ingresso e la sezione 2 di uscita, si ha z1 +

p1 V2 p2 V2 + α1 1 = z 2 + + α2 2 + 1Hd ρg 2g ρg 2g

relazione che, essendo p1 = p2 = 0 e V1 = V2 = V perche´ la sezione trasversale e` costante, diviene

z 1 − z 2 = 1Hd = J L = λ

V2 L 2g D

In regime laminare si ha λ = 64/Re, per cui

z1 − z2 = λ

64µ V 2 32µV V2 L= L= L 2g D ρV D 2g D ρg D 2

dalla quale, essendo z 1 − z 2 = L sen α ,

V =

ρg sen α 2 ρg D 2 z 1 − z 2 = D 32µ L 32µ

e, introducendo il raggio R = D/2,

V =

ρg sen α 2 R 8µ

espressione identica a quella ottenuta nell’Esercizio 9.40, usando l’approccio differenziale. Utilizzando l’analisi dimensionale, poiche´ V e` funzione di ρ , g , D , z 1 − z 2 , µ ed L , nel problema ci sono 7 parametri. Essendo le dimensioni fondamentali tre (M, L, T), i parametri 5 sono 7 − 3 = 4. Scegliendo le variabili ripetute ρ, g e D , i gruppi 5 risultano

V 51 = √ gD

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p1

39

g D L V

x

p2

Δz ρ, µ

α

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40 Capitolo 9

√ ρD gD 52 = µ 53 =

z1 − z2 D

54 =

L D

La relazione finale e`

V = f √ gD



√  ρ D g D z1 − z2 L , , µ D D

I gruppi ottenuti possono essere combinati tra loro per ottenere una relazione dalla struttura analoga a quella della relazione prima ottenuta, se si scrive

51 =

52 53 32 54

che equivale a

√ 1 ρ D g D z1 − z2 D V = √ 32 µ L L gD da cui

V =

ρg D 2 z 1 − z 2 ρg sen α 2 = D 32µL L 32µ

che coincide con la relazione precedente. La forma finale della relazione, che la sola analisi dimensionale non avrebbe consentito di ottenere, e` stata ricavata dal confronto con la relazione nota.

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.52 Scrivere la forma vettoriale delle seguenti equazioni: a) equazione di continuita` per un fluido incomprimibile; b) equazione di continuita` per un fluido comprimibile; c) equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile. Per ogni equazione non lineare, precisare quali sono i termini che la rendono tale.

Analisi (a)

L’equazione di continuita` per un fluido incomprimibile

∇ ·v=0 e` lineare. (b)

L’equazione di continuita` per un fluido comprimibile

∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 ∂t e` non lineare. Il termine che la rende tale e` il secondo, che contiene il prodotto del vettore velocita` v e della densita` ρ , ` per ipotesi, comprimibile. variabile in quanto il fluido e, (c)

L’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile

ρ

dv = ρg − ∇ p + µ∇ 2 v dt

e` non lineare. Infatti, il termine dell’accelerazione totale dv/dt , che puo` essere scritto come

∂v + (v · ∇)v ∂t contiene il prodotto della variabile v e delle sue derivate, cosa che lo rende non lineare.

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41

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

42 Capitolo 9

9.53 Su una parete piana, inclinata di α sull’orizzontale, un corpo di peso P scivola, con velocita` V , su un film sottile, di spessore h , di olio di viscosita` µ. Indicando con A l’area della superficie di contatto

g

h V

ρ, µ A

α

tra il corpo e il film di olio, scrivere l’espressione analitica esatta dello spessore h incognito, in funzione di V , P , A, α e µ. Utilizzando l’analisi dimensionale, ricavare un’espressione adimensionale di h in funzione dei parametri assegnati e mettere i gruppi 5 in relazione tra loro in modo da ottenere l’espressione esatta.

Analisi Per l’equilibrio alla traslazione nella direzione del piano inclinato, deve essere

P sen α = τ A essendo τ lo sforzo tangenziale che agisce sulla superficie di contatto del corpo con l’olio, che per un moto alla Couette e` τ = µ(dvx /dy) = µV / h . Per cui, si ha

h=

µV A µV = τ P sen α

Utilizzando l’analisi dimensionale, poiche´ h e` funzione di V , A, P , α e µ, nel problema ci sono 6 parametri. Essendo le dimensioni fondamentali tre ( M , L , T ), i parametri 5 sono 6–3 = 3. Scegliendo le variabili ripetute V , A e P , i gruppi 5 risultano

h 51 = √ A √ µV A 52 = P 53 = α La relazione finale e`

! √ µV A ,α P

h √ = f A

I gruppi ottenuti possono essere combinati tra loro per ottenere una relazione dalla struttura analoga a quella della relazione ottenuta prima, se si scrive

51 =

52 sen 53

che equivale a

√ h µV A 1 √ = P sen α A da cui

h=

µV A P sen α

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

9.54 L’intercapedine tra due lastre piane parallele orizzontali indefinite contiene due liquidi non miscibili tra loro. La lastra inferiore e` ferma, mentre quella superiore si muove con velocita` costante V . A causa degli effetti viscosi determinati dal moto della lastra superiore si genera un moto alla Couette. I liquidi possono essere considerati incomprimibili e il loro moto permanente, unidimensionale e laminare. In corrispondenza della lastra inferiore (z = 0) la pressione vale p0 . (a) Elencare le sei condizioni al contorno per ` la velocita` e la pressione. (b) Scrivere l’espressione della velocita, suddividendo il dominio in due porzioni in corrispondenza dei due fluidi e esprimendo separatamente v1 (z), per il primo fluido, e v2 (z), per il secondo. (c) Scrivere l’espressione dl campo di pressione. (d) Ipotizzando che il fluido 1 sia acqua e il fluido 2 olio motore, entrambi a 80 ◦ C, e che sia h 1 = 5,0 mm, h 2 = 8,0 mm e V = 10,0 m/s, tracciare il profilo di velocita` e discutere i risultati.

Analisi (a)

Condizioni al contorno. Per la condizione di aderenza alle pareti, si ha: per z = 0

vx = 0

(1)

vx = V

(2)

e per z = h 1 + h 2

All’interfaccia, velocita` e sforzo tangenziale sono uguali per ambedue i fluidi, per cui per z = h 1

vx1 = vx2

(3)

e

µ1

dvx1 dvx2 = µ2 dz dz

(4)

In corrispondenza della lastra inferiore la pressione ha il valore assegnato, per cui per z = 0

p1 = p0

(5)

mentre all’interfaccia deve avere lo stesso valore per ambedue i fluidi, per cui per z = h 1

p1 = p2 (b)

(6)

Espressione della velocita. ` Seguendo la procedura di Figura 9.31, si ha: Fase 1 Definizione del problema e della geometria: vedi figura. Fase 2 Posizione delle ipotesi e delle condizioni al contorno. Ipotesi: 1. Il moto e` bidimensionale nel piano verticale x z , da cui v y = 0 e la velocita` e` diretta come l’asse x , da cui vz = 0. 2. I fluidi sono incomprimibili e newtoniani, in moto permanente laminare. 3. La pressione p e` costante con x . Condizioni al contorno: vedi punto (a).

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lastra in movimento interfacccia

h2

h1

z x

43

V fluido 2

ρ2, µ 2

fluido 1

ρ1, µ 1

44 Capitolo 9

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Fase 3 Semplificazione delle equazioni. Essendo v y = vz = 0, l’equazione di continuita` 9.60a diviene ∂vx /∂ x = 0 per cui vx non e` funzione di x . In altre parole, il profilo di velocita` e` lo stesso per qualunque valore di x , cioe` il moto e` uniforme. Quindi, per l’ipotesi 1, vx e` funzione solo di z . Essendo ∂vx /∂t = 0 per l’ipotesi di moto permanente, ` v y = vz = 0, gx = 0, ∂ p/∂ x = 0 ∂vx /∂ x = 0 per la continuita, 2 2 ` l’equazione per l’ipotesi 3 e ∂ vx /∂ x = 0 per la continuita, del moto 9.60b in direzione x

 ρ

 ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx + vx + vy + vz = ∂t ∂x ∂y ∂z  2  ∂p ∂ vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx = ρgx − +µ + + ∂x ∂x2 ∂ y2 ∂z 2

diviene

d 2 vx =0 dz 2 in cui la derivata parziale e` diventata una derivata totale perche´ vx e` funzione della sola z . Analogamente, l’equazione 9.60d in direzione z , essendo l’asse z positivo verso l’alto per cui g = −gk e gz = −g , diviene

dp = −ρg dz ´ in cui la derivata parziale e` diventata una derivata totale perche, per l’ipotesi 3, p e` funzione solo di z . Fase 4 Risoluzione delle equazioni differenziali. Integrando due volte la 9.60b si ottiene

vx1 = C1 z + C2

(7)

vx2 = C3 z + C4

(8)

valide rispettivamente nello strato di fluido 1 e nello strato di fluido 2, nelle quali C 1 , C 2 , C 3 e C 4 sono delle costanti di integrazione. Analogamente, integrando la 9.60d, si ha

p1 = −ρ1 gz + C5

(9)

p2 = −ρ2 gz + C6

(10)

Fase 5 Applicazione delle condizioni al contorno. Dalle prime quattro condizioni al contorno si ottiene il sistema di equazioni

 C2 = 0      V = C3 (h 1 + h 2 ) + C4  C1 h 1 = C3 h 1 + C4     µ1 C 1 = µ2 C 3

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Equazioni indefinite del moto dei fluidi

45

la cui soluzione fornisce

C1 =

µ2 V µ2 h 1 + µ1 h 2 C2 = 0

µ1 V µ2 h 1 + µ1 h 2   µ2 h 1 − µ1 h 1 C4 = V µ2 h 1 + µ1 h 2 C3 =

e, sostituendo nella (7) e nella (8),

vx1 =

vx2

(c)

µ2 V z µ2 h 1 + µ1 h 2

  µ1 V µ2 h 1 − µ1 h 1 = z+V = µ2 h 1 + µ1 h 2 µ2 h 1 + µ1 h 2   V µ1 (z − h 1 ) + µ2 h 1 ) = µ2 h 1 + µ1 h 2

Espressione del campo di pressione. Dalle condizioni al contorno 5 e 6, si ottengono le costanti

C 5 = p0 C6 = p0 − gh 1 (ρ1 − ρ2 ) che introdotte, rispettivamente, nella 9 e nella 10 forniscono

p1 = p0 − ρ1 gz p2 = p0 − gh 1 (ρ1 − ρ2 ) − ρ2 gz (d)

◦

Distribuzione della velocita. ` A 80 C la densita` e la viscosita` dell’acqua valgono, rispettivamente, ρ1 = 972 kg/m3 e µ1 = 0,355 × 10−3 Pa · s. Alla stessa temperatura, per l’olio motore, si ha ρ2 = 852 kg/m3 e µ2 = 32,0 × 10−3 Pa · s. ` tracciati nella figura a fianco, Ambedue i profili di velocita, sono lineari. A causa dell’alta viscosita` dell’olio motore, la velocita` nello strato superiore e` praticamente costante.

Discussione La distribuzione della pressione e` di tipo idrostatico perche´ p e` funzione lineare della sola z . Per la stabilita` dell’equilibrio, il baricentro del sistema deve essere quanto piu` in basso possibile. Pertanto, lo strato superiore deve essere piu` leggero di quello inferiore. Quindi, l’olio motore, avendo densita` minore di quella dell’acqua, si dispone superiormente e l’acqua inferiormente.

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14 z (mm) 12 10

olio motore

8 6 4

acqua

2 0 0

2

4

6

8

10

12

V (m/s)

McGraw-Hill

gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

10 Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

SOLUZIONI APPROSSIMATE DELL’EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES

10

SOMMARIO Nella pratica, la risoluzione del campo di moto di un fluido con l’equazione di Navier-Stokes presenta difficolta` sormontabili solo se la geometria e` molto semplice o attraverso l’impiego di metodi di integrazione numerica. Pertanto, spesso, e` necessario introdurre delle approssimazioni, che possono essere diverse in funzione delle caratteristiche del moto nelle varie regioni del campo analizzato. Per individuare il tipo di approssimazione piu` appropriato in una regione, adimensionalizzando l’equazione di Navier-Stokes, si perviene all’espressione

∂v∗ St ∗ + (v∗ · ∇ ∗ )v∗ = ∂t 1 1 ∗2 ∗ = 2 g∗ − Eu∇ ∗ p ∗ + ∇ v Re Fr

` l’equazione di Navier-Stokes mine della gravita, adimensionalizzata diviene

St

1 ∗2 ∗ ∂v∗ + (v∗ · ∇ ∗ )v∗ = −Eu∇ ∗ p ∗ + ∇ v ∗ ∂t Re

Le regioni di moto in cui le forze viscose risultanti sono trascurabili rispetto alle forze di pressione o alle forze di inerzia sono chiamate regioni di moto non viscoso. In tali regioni, l’equazione di Navier-Stokes perde il termine della viscosita` e si semplifica nell’equazione di Eulero



 ∂v ρ + (v · ∇)v = ρg − ∇ p ∂t (10.6)

in cui figurano i parametri adimensionali St (numero di Strouhal), Fr (numero di Froude), Eu (numero di Eulero) e Re (numero di Reynolds). In tale equazione, essendo le variabili adimensionali (indicate con l’asterisco) tutte di ordine di grandezza 1, l’importanza relativa di ciascun termine dipende solo dall’ordine di grandezza del proprio coefficiente rispetto a quello degli altri. Il termine che contiene la gravita` diventa tanto piu` ininfluente quanto maggiore e` il numero di Froude. Con l’eccezione dei moti a superficie libera, il termine della gravita` puo` essere trascurato. L’unico effetto della gravita` e` quello di sovrapporre una distribuzione di pressione idrostatica al campo di pressione dinamica. Eliminando il ter-

(10.7)

Da tale equazione puo` essere ricavata l’equazione di Bernoulli, valida lungo ciascuna linea di flusso all’interno del campo di moto. Le regioni di un campo di moto in cui le singole particelle di fluido non ruotano vengono chiamate regioni di moto irrotazionale (o a potenziale). In tali regioni, la vorticita` delle particelle di fluido e` trascurabile e l’equazione di NavierStokes, essendo trascurabile il termine viscoso, si semplifica nuovamente nell’equazione di Eulero. L’equazione di Bernoulli diventa, di conseguenza, piu` restrittiva, perche´ la costante risulta la stessa in tutto il campo di moto e non solo lungo ciascuna linea di flusso. Nei moti irrotazionali, soluzioni di campi di moto elementari possono essere sommate per ottenere soluzioni di campi piu` complessi (sovrapposizione).

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Capitolo 10

L’equazione di Eulero non e` in grado di soddisfare la condizione di aderenza al contorno in corrispondenza di una parete. Per stabilire un legame tra la regione di moto in cui l’equazione di Eulero costituisce un’approssimazione soddisfacente dell’equazione di Navier-Stokes e la regione prossima alla parete in cui tale approssimazione e` inaccettabile, viene usata l’approssimazione di strato limite. Si suppone cioe` l’esistenza di un moto non viscoso o irrotazionale ovunque, tranne che in una regione sottile in prossimita` delle pareti solide o all’interno di scie, getti e strati di mescolamento. L’approssimazione di strato limite e` valida per moti ad alti numeri di Reynolds. Si riconosce, ` che, per quanto alto possa essere il numero pero, di Reynolds, all’interno dello strato limite, essendo il moto viscoso e rotazionale, i termini viscosi non sono mai trascurabili. Le equazioni dello strato limite per il moto laminare, permanente, bidimensionale di un fluido incomprimibile nel piano x y , in assenza di effetti gravitazionali, sono

∂v y ∂vx + =0 ∂x ∂y

(10.46)

e

vx

∂vx ∂vx ∂ Vx ∂ 2 vx + vy = Vx +ν 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

(10.63)

Le caratteristiche dello strato limite vengono individuate da diverse grandezze, quali lo spessore δ , lo spessore di spostamento δ ∗ e lo spessore di quantita` di moto θ . Queste quantita` possono essere calcolate esattamente per uno strato limite laminare lungo una lastra piana, in condizioni di gradiente di pressione nullo nella direzione del moto. All’aumentare del numero di Reynolds lungo la lastra, il regime di moto diventa turbolento. In tal caso, il profilo di velocita` e` esprimibile mediante relazioni semi-empiriche (legge di potenza o legge logaritmica). ´ ´ L’equazione integrale di von Karm an

d d Vx ∗ τ0 (Vx2 θ ) + Vx δ = dx dx ρ

(10.86)

valida per strati limite laminari o turbolenti, consente di calcolare caratteristiche globali quali lo spessore o il coefficiente di attrito.

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Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

SOLUZIONI Problemi di base 10.1 Spiegare la differenza tra soluzione esatta e soluzione approssimata dell’equazione di Navier-Stokes.

Analisi Una soluzione dell’equazione di Navier-Stokes e` detta esatta se essa e` la soluzione dell’equazione completa di tutti i suoi termini. Una soluzione e` detta approssimata se essa e` la soluzione di una forma semplificata dell’equazione, cioe` priva di uno o piu` termini, che possono anche essere diversi per regioni diverse del campo di moto.

10.2 Un ventilatore e` appoggiato sul pavimento di una stanza molto grande. Individuare le regioni dello spazio in cui (a) l’aria puo` essere considerata in quiete; (b) il moto puo` essere considerato irrotazionale; (c) puo` essere considerata valida l’approssimazione di strato limite e (d) nessuna approssimazione puo` essere considerata valida e, quindi, e` necessario risolvere l’equazione di Navier-Stokes completa.

Analisi (a)

A monte del ventilatore, a grande distanza da esso, l’aria puo` essere considerata in quiete.

(b)

In vicinanza del ventilatore, il moto puo` essere considerato irrotazionale.

(c)

In prossimita` del pavimento, sia a monte che a valle del venti` latore, si sviluppa uno strato limite di velocita.

(d)

A valle del ventilatore, a causa della presenza di vortici turbolenti, non puo` essere considerata valida alcuna approssimazione e, quindi, bisogna risolvere l’equazione completa.

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Capitolo 10

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10.3 Spiegare come un’appropriata adimensionalizzazione dell’equazione di Navier-Stokes possa essere di aiuto per ottenere soluzioni approssimate.

Analisi Se le grandezze assunte per rendere adimensionali le variabili sono scelte in maniera opportuna, tale cioe` che ciascuna di esse caratterizzi effettivamente il campo di moto, l’ordine di grandezza delle variabili adimensionali e` 1. Ne consegue che, a parte i coefficienti, i termini dell’equazione di Navier-Stokes scritta in forma adimensionale sono tutti di ordine di grandezza 1. Pertanto, l’importanza relativa di ciascun termine dipende solo dall’ordine di grandezza del proprio coefficiente rispetto a quello degli altri. In tal modo, e` facile capire se e quale termine puo` essere trascurato perche´ molto piccolo rispetto agli altri.

10.4 Qual e` il criterio che consente di determinare se un’approssimazione dell’equazione di Navier-Stokes e` appropriata o meno?

Analisi Il criterio e` quello di confrontare l’ordine di grandezza dei diversi termini nell’equazione: quando i termini trascurati risultano tanto piccoli da non essere significativi rispetto agli altri, l’approssimazione e` appropriata. Affinche´ tale criterio sia utile, e` indispensabile che le variabili vengano adimensionalizzate usando grandezze effettivamente rappresentative del campo di moto. In caso contrario, l’analisi degli ordini di grandezza puo` condurre a risultati errati.

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Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

10.5 Nella forma adimensionale 10.6 dell’equazione di NavierStokes per un fluido incomprimibile figurano quattro parametri adimensionali. Descrivere il significato fisico di ciascuno di essi, spiegando cosa succede fisicamente quando il parametro e` molto piccolo o molto grande.

Analisi Nell’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile scritta in forma adimensionale

St

∂v∗ 1 1 ∗2 ∗ + (v∗ · ∇ ∗ )v∗ = 2 g∗ − Eu∇ ∗ p ∗ + ∇ v ∗ ∂t Re Fr

figurano il numero di Strouhal, il numero di Froude, il numero di Eulero e il numero di Reynolds.

•

Il numero di Strouhal St = f L/V e` il rapporto tra un tempo caratteristico del moto L/V e un periodo caratteristico 1/ f . Se il moto e` permanente, il periodo e` infinito ( f = 0) e, quindi, St = 0 per cui e` nullo il primo addendo della 10.6 che contiene le derivate parziali rispetto al tempo. Se il periodo e` molto grande rispetto al tempo caratteristico del moto, St e` molto piccolo e il moto puo` essere considerato quasi-permanente, per cui il termine che contiene le derivate parziali rispetto al tempo puo` essere considerato trascurabile. Se, al contrario, St e` molto grande, la frequenza caratteristica f e` grande e il moto e` vario, per cui il termine contenente le derivate parziali rispetto al tempo non puo` essere trascurato.

•

Il numero di Froude Fr = V / gL e` proporzionale al rapporto ` Nell’equazione esso appare tra forze di inerzia e forze di gravita. al denominatore. Per cui, se Fr e` molto grande, il termine della gravita` puo` essere trascurato in quanto le forze dovute alla gravita` sono piccole rispetto alle forze di inerzia.

•

Il numero di Eulero Eu = ( p0 − p∞ )/ρV 2 e` il rapporto tra una differenza di pressione caratteristica del moto (forza di pressione) ed una pressione dinamica (forza di inerzia). Se Eu e` molto piccolo, il termine di pressione puo` essere trascurato perche´ la forza di pressione e` molto piccola rispetto alla forza di inerzia.

•

Il numero di Reynolds Re = ρV D/µ e` proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze viscose. Nell’equazione esso appare al denominatore. Per cui, se Re e` molto grande, il termine viscoso puo` essere trascurato perche´ le forze viscose sono piccole rispetto alle forze di inerzia.

√

Discussione Le approssimazioni di cui sopra possono essere valide in alcune regioni del campo di moto e non in altre; pertanto, nello stesso campo di moto e` possibile che in regioni diverse valgano approssimazioni diverse.

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Capitolo 10

10.6 Si consideri l’efflusso da una luce praticata sul fondo di un serbatoio cilindrico di diametro D , molto piu` grande del diametro d della luce e dello stesso ordine di grandezza dell’altezza d’acqua h . Si vuole giustificare matematicamente l’assunzione di fluido in

D h

ρ, µ Vs d Ve

g

quiete ovunque tranne che in prossimita` della luce. Si assuma come velocita` caratteristica la velocita` Vs nel serbatoio, come lunghezza caratteristica l’altezza d’acqua h , come tempo caratteristico il tempo ts necessario perche´ il serbatoio si svuoti e come differenza di pressione caratteristica la quantita` ρgh , pari alla differenza tra le pressioni sul fondo del serbatoio e sulla superficie libera, nell’ipotesi di fluido in quiete. Sostituendo queste quantita` nella forma adimensionale 10.6 dell’equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile, verificare, analizzando gli ordini di grandezza, che ` Conper d  D rimangono solo i termini di pressione e di gravita. frontare, in particolare, l’ordine di grandezza di ciascun termine e i parametri adimensionali St, Eu, Fr e Re, ricordando che la velocita` √ di efflusso Ve ∼ gh .

Analisi Indicando con il simbolo ∼ l’ordine di grandezza, si ha ts ∼ h/Vs e, pertanto,

St =

h fL = ∼1 V ts Vs

` si ha Per la continuita,

Q=

πd 2 π D2 Ve = Vs 4 4

da cui

Ve D2 = 2 Vs d Essendo

Ve ∼

p

gh

risulta

Eu =

p0 − p∞ ρgh Ve2 D4 = ∼ = ρVs2 ρVs2 Vs2 d4

Analogamente, si ha

Vs Vs d2 = 2 Fr = √ ∼ Ve D gh e

Re =

ρVs h ρVs D ρVe d Vs D d2 D d ∼ = ∼ Ree 2 = Ree µ µ µ Ve d D d D

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Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

Pertanto, nell’equazione di Navier-Stokes adimensionale 10.6

St

1 ∗2 ∗ ∂v∗ 1 + (v∗ · ∇ ∗ )v∗ = 2 g∗ − Eu∇ ∗ p ∗ + ∇ v ∗ ∂t Re Fr

i termini a primo membro hanno ordine di grandezza 1, mentre i termini a secondo membro risultano

D4 1 ∗ g ∼ Fr2 d4 Eu ∇ ∗ p ∗ ∼

D4 d4

1 D 1 ∗2 ∗ ∇ v ∼ Re Ree d Essendo D  d , i termini a primo membro sono trascurabili rispetto ai primi due a secondo membro, mentre se D/d ∼ Ree anche ` l’ultimo termine a secondo membro ha ordine di grandezza 1 ed e, quindi, trascurabile. In tale ipotesi, nell’equazione rimangono solo i termini di gravita` e di pressione, per cui la forma dimensionale dell’equazione approssimata e`

∇ p = ρg

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Capitolo 10

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Moto non viscoso 10.7 In che senso l’equazione di Eulero puo` essere considerata un’approssimazione dell’equazione di Navier-Stokes? In quali regioni del campo di moto ne costituisce un’approssimazione ragionevole?

Analisi Poiche´ l’equazione di Eulero coincide con l’espressione che l’equazione di Navier-Stokes assume quando si trascura il termine viscoso, essa puo` essere considerata un’approssimazione dell’equazione di Navier-Stokes per un fluido perfetto, cioe` privo di ` Tale approssimazione risulta valida anche per i fluidi reali viscosita. nelle regioni del campo di moto in cui le forze viscose risultano trascurabili, cioe` quelle in cui il moto e` caratterizzato da numeri di Reynolds molto alti.

Discussione In prossimita` di pareti solide le forze viscose sono sempre significative. Pertanto, in tali regioni l’equazione di Eu` invece, valida nelle regioni di moto lero non e` valida. Essa e, irrotazionale.

10.8 Scrivere l’equazione di Eulero nella forma piu` esplicita possibile in coordinate cartesiane, assumendo che la gravita` agisca secondo una direzione qualunque.

Analisi Dalla forma vettoriale   ∂v ρ + (v · ∇)v = ρg − ∇ p ∂t

(10.7)

si ottengono le corrispondenti relazioni scalari

 ρ

∂vx ∂vx ∂vx ∂vx + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z

 = ρgx −

∂p ∂x

 ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂p = ρg y − + vx + vy + vz ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y   ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz ∂p ρ + vx + vy + vz = ρgz − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z 

uguali alle espressioni scalari dell’equazione di Navier-Stokes 9.60b, 9.60c e 9.60d senza i termini viscosi.

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10.9 In una regione di un campo di moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile il campo di velocita` e` dato dalla

v = (vx , v y ) = (ax + b) i + (−ay + cx) j Provare che in questa regione il moto puo` essere considerato non viscoso.

Analisi Essendo ∂ 2vy ∂ 2vy ∂ 2 vx ∂ 2 vx = = = =0 ∂x2 ∂ y2 ∂x2 ∂ y2 i termini viscosi delle 9.60b e 9.60c risultano identicamente nulli. Pertanto, nella regione data, il moto puo` essere considerato non viscoso.

Moto irrotazionale 10.10 Quale proprieta` del moto determina se in una regione il moto e` rotazionale o irrotazionale? ` Se essa e` zero (o, comunque, trascurabile), il Analisi La vorticita. moto e` irrotazionale; nel caso contrario, il moto e` rotazionale.

Discussione Un’altra proprieta` che puo` essere usata per determinare se il moto sia rotazionale o irrotazionale e` la velocita` angolare: il ` vettore velocita` angolare e` infatti pari alla meta` del vettore vorticita.

10.11 Con riferimento al campo di moto attorno a un asciugacapelli, identificare le regioni in cui il moto puo` essere considerato irrotazionale e quelle in cui l’approssimazione di moto irrotazionale risulterebbe inadeguata.

Analisi Se l’aria parte dalla quiete, il moto puo` certamente essere considerato irrotazionale lontano dall’asciugacapelli. Esso si mantiene irrotazionale anche via via che l’aria si avvicina all’asciugacapelli, tranne che nelle immediate vicinanze della superficie di aspirazione. All’interno dell’asciugacapelli, invece, il moto e` certamente rotazionale.

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High Med low Off

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10 Capitolo 10

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10.12 Qual e` la differenza tra l’equazione di Bernoulli per una regione di moto non viscoso rotazionale e una di moto viscoso irrotazionale? Quale delle due rappresenta una condizione piu` restrittiva?

Analisi L’equazione di Bernoulli gz +

p v2 + =C ρ 2

e` la stessa sia per una regione di moto non viscoso rotazionale che per una di moto viscoso irrotazionale. ` nella prima l’equazione e` valida solo lungo ciascuna linea Pero, di flusso, per cui il valore di C e` lo stesso su ciascuna linea di flusso ma puo` variare da linea a linea. Invece, in una regione di moto viscoso irrotazionale, il valore di C e` lo stesso in tutto il campo di moto. Pertanto, l’approssimazione di moto irrotazionale e` piu` restrittiva dell’approssimazione di moto non viscoso.

10.13 In figura sono tracciate alcune linee di flusso relative a un linee di flusso

moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile, in una regione in cui il moto puo` essere considerato anche irrotazionale. Tracciare qualitativamente alcune curve equipotenziali.

Analisi Per tracciare le linee equipotenziali si deve tenere conto del fatto che esse intersecano le linee di flusso sempre perpendicolarmente. A questo scopo, puo` essere utile tracciare per interpolazione alcune linee aggiuntive tra le linee di flusso assegnate, riportate in figura con tratto piu` sottile.

linee di flusso 90°

linee equipotenziali

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Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

10.14 Si consideri il campo di velocita` di un moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile

v = (vx , v y ) = (ax + b) i + (−ay + c) j Provare che in questa regione il moto e` irrotazionale e scrivere ` un’espressione della funzione potenziale di velocita.

Analisi Affinche´ il moto sia irrotazionale la vorticita` deve essere ovunque nulla. Essendo il moto bidimensionale nel piano x y , l’unica componente della vorticita` che potrebbe essere non nulla e` quella in direzione z

ωz =

∂v y ∂vx ∂ ∂ − = (−ay + c) − (ax + b) = 0 − 0 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y

che risulta identicamente nulla. Pertanto, il moto e` irrotazionale. ` quindi, possibile generare una funzione potenziale di velocita` φ . E, Per le 10.17, si ha

vx =

∂φ ∂x

e

vy =

∂φ ∂y

Esplicitando la componente della velocita` secondo x , dalla prima si ha

vx =

∂φ = ax + b ∂x

che, integrando e aggiungendo una funzione arbitraria di y , piuttosto che una costante, perche´ l’integrazione e` parziale, fornisce

1 φ = ax 2 + bx + f (y) 2 Per la seconda delle 10.17, si ha

v y = −ay + c =

∂φ ∂y

che, eguagliando con la derivata dell’espressione di φ , fornisce

v y = −ay + c =

∂φ = f 0 (y) ∂y

Integrando, si ha

1 f (y) = − ay 2 + cy + C 2 per cui l’espressione finale di φ e`

1 φ = a(x 2 − y 2 ) + bx + cy + C 2

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12 Capitolo 10

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10.15 Commentare le differenze e le analogie tra l’approssimazione di moto irrotazionale e quella di moto non viscoso. Citare un esempio per ciascun tipo di moto.

Analisi L’approssimazione di moto irrotazionale e quella di moto non viscoso comportano entrambe l’eliminazione del termine viscoso dall’equazione di Navier-Stokes, che si semplifica cos`ı nell’equazione di Eulero. In entrambi i casi, per integrazione, si ottiene l’equazione di Bernoulli. Nell’approssimazione di moto non viscoso si assume che il termine viscoso sia trascurabile: per esempio, in un fluido in moto di rotazione rigida gli effetti della viscosita` sono nulli e quindi il fluido, pur essendo viscoso, puo` essere studiato come se non lo fosse. Nell’approssimazione di moto irrotazionale si assume che la ` che e` una misura della rotazionalita` delle particelle di vorticita, fluido, sia tanto piccola da risultare trascurabile. In tal caso, le particelle di fluido non ruotano anche se si deformano per effetto della ` In altre parole, in una regione di moto irrotazionale ciaviscosita. scuna particella di fluido e` soggetta a sforzi viscosi a risultante nullo. Esempi di moto irrotazionale viscoso sono i moti irrotazionali con linee di flusso curve, come i vortici piani o il moto irrotazionale attorno ad un cilindro.

Discussione In entrambi i casi, l’equazione di Navier-Stokes non contiene i termini viscosi, anche se per ragioni diverse: nell’ap` prossimazione di moto non viscoso perche´ si trascura la viscosita; ´ essendo nulla nell’approssimazione di moto irrotazionale perche, ` i termini viscosi sono a due a due uguali e opposti. la vorticita,

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Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

10.16 Con riferimento al campo di velocita` di un moto permanente bidimensionale e irrotazionale di un fluido incomprimibile, caratterizzato dalla funzione potenziale di velocita`

φ = 5(x 2 − y 2 ) + 2x − 4y a) calcolare le componenti della velocita` vx e v y ; b) verificare che in questa regione il moto sia effettivamente irrotazionale; c) scrivere un’espressione della funzione di corrente.

Analisi (a)

(b)

Per le 10.17 e`

vx =

∂φ = 10x + 2 ∂x

vy =

∂φ = −10y − 4 ∂y

Affinche´ il moto sia irrotazionale, la vorticita` deve essere ovunque nulla. Essendo il moto bidimensionale nel piano x y , l’unica componente della vorticita` non nulla puo` essere quella in direzione z

ωz =

∂v y ∂vx ∂ ∂ − = (−10y − 4) − (10x + 2) = 0 − 0 ∂x ∂y ∂x ∂y

che risulta identicamente nulla. Pertanto, il moto e` effettivamente irrotazionale. (c)

Per la prima delle 9.20, si ha

∂ψ = vx = 10x + 2 ∂y che, integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x , piuttosto che una costante, perche´ l’integrazione e` parziale, fornisce

ψ = 10x y + 2y + f (x) Derivando rispetto a x , uguagliando a v y per la seconda delle 9.20, integrando e sostituendo nell’espressione di ψ , si ha

−

∂ψ = −10y − f 0 (x) = v y = −10y − 4 ∂x f 0 (x) = 4 f (x) = 4x + C ψ = 10x y + 4x + 2y + C

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14 Capitolo 10

10.17 Si consideri un moto bidimensionale di un fluido incomprimibile, con direzione inclinata di α sull’orizzontale e distribuzione di velocita` V costante in direzione trasversale. Nell’ipotesi in cui il

y

V

moto sia irrotazionale, derivare la funzione potenziale di velocita` e la funzione di corrente.

α x

Analisi Si tratta di un moto irrotazionale piano, per il quale le componenti della velocita` rispetto agli assi coordinati valgono

vx = vy =

∂φ ∂ψ = = V cos α ∂x ∂y

∂ψ ∂φ =− = V sen α ∂y ∂x

Integrando la prima rispetto a x e aggiungendo una funzione arbitraria di y , piuttosto che una costante, perche´ l’integrazione e` parziale, si ottiene

φ = V x cos α + f (y) Derivando rispetto a y , uguagliando a v y e integrando, si ha

vy =

∂φ = f 0 (y) = V sen α ∂y

f (y) = V y sen α + C1 Poiche´ la funzione potenziale e` definita a meno di una costante,

C1 puo` assumere un valore arbitrario, che conviene porre uguale a zero. Per cui, l’espressione finale di φ e` φ = V x cos α + V y sen α Analogamente, integrando la vx rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di x , piuttosto che una costante, perche´ l’integrazione e` parziale, si ottiene

ψ = V y cos α + g(x) Derivando rispetto a x , uguagliando a v y e integrando, si ha

vy = −

∂ψ = −g 0 (x) = V sen α ∂x

g(x) = −V x sen α + C2 Poiche´ la funzione di corrente e` definita a meno di una costante,

C2 puo` assumere un valore arbitrario, che conviene porre uguale a zero. Per cui, l’espressione finale di ψ e` ψ = V y cos α − V x sen α

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Strati limite 10.18 Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni, che si riferi-

y

scono allo strato limite laminare su una lastra piana, e` vera o falsa, giustificando la risposta: a) in qualunque punto sulla lastra, di ascissa generica x , all’aumentare del numero di Reynolds, aumenta anche lo spessore dello strato limite; b) all’aumentare della velocita` all’esterno dello strato limite, aumenta anche lo spessore dello strato limite; c) all’aumentare della viscosita` del fluido, aumenta anche lo spessore dello strato limite; d) all’aumentare della densita` del fluido, aumenta anche lo spessore dello strato limite.

Analisi (a)

Falso. All’aumentare del numero di Reynolds, a parita` di tutto il resto, il rapporto tra le forze viscose e le forze di inerzia diminuisce e lo spessore dello strato limite diminuisce.

(b)

Falso. All’aumentare di V aumenta anche il numero di Reynolds e lo spessore dello strato limite diminuisce.

(c)

Vero. Poiche´ il numero di Reynolds e` inversamente proporzio` quando aumenta la viscosita` Re diminuisce nale alla viscosita, e, pertanto, lo spessore dello strato limite aumenta.

(d)

Falso. Poiche´ il numero di Reynolds e` proporzionale alla den` quando aumenta la densita` aumenta anche Re e, pertanto, sita, lo spessore dello strato limite diminuisce.

10.19 Gli strati limite sono di solito associati alla presenza di una ` altri casi in cui l’approssimazione di strato parete. Ci sono, pero, limite risulta appropriata. Citare tre di tali casi, spiegando perche´ e` possibile usare l’approssimazione di strato limite.

Analisi Altre regioni di moto per le quali l’approssimazione di strato limite puo` essere appropriata sono i cosiddetti strati limite liberi, cioe` quei casi in cui, pur in assenza di pareti solide, le forze viscose e la vorticita` non sono trascurabili. E` questo il caso di getti, scie e strati di mescolamento.

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V

regione esterna x

V

strato limite

δ(x)

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16 Capitolo 10

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10.20 Nella figura, che schematizza lo strato limite laminare che si sviluppa lungo una lastra piana, sono riportati alcuni profili di velocita` e lo spessore dello strato limite δ(x). Tracciare qualitativamente alcune linee di flusso nel campo di moto e indicare se la curva δ(x) e` una linea di flusso. V

y

V

δ(x) x strato limite

Analisi In figura sono riportate 5 linee di flusso, le quali per rispettare la conservazione della massa devono attraversare la curva δ(x), che, pertanto, non puo` essere essa stessa una linea di flusso. V

linee di flusso

y

V

δ(x) x strato limite

Discussione Sempre per la conservazione della massa, all’aumentare dello spessore dello strato limite, le linee di flusso devono allontanarsi l’una dall’altra e, al crescere di x , dalla parete solida. Lo ` pero, ` inferiore spostamento verso l’alto delle linee di flusso con x e, all’aumento di δ .

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10.21 Una lastra piana liscia e` immersa in aria a 30 ◦ C (ρ = 1,164 kg/m3 e µ = 1,872 × 10−5 Pa · s) che si muove con velocita` di 25,0 m/s. Per quale valore di x sulla lastra, all’interno dello strato limite insorge la turbolenza? E per quale valore di x sulla lastra, all’interno dello strato limite il moto diventa puramente turbolento?

Analisi Nel caso di una lastra piana liscia in una corrente indefinita e uniforme, il processo di transizione al regime turbolento inizia per il valore del numero di Reynolds critico Rex,critico ∼ = 105 e continua finche´ lo strato limite non diventa assolutamente turbolento per Rex ∼ = 3 × 106 . Pertanto, essendo

Rex,critico =

ρV x = 105 µ

la turbolenza, all’interno dello strato limite, insorge all’ascissa

µ 1,872 × 10−5 = 105 × = 0,06 m xi ∼ = 105 × ρV 1,164 × 25 Lo strato limite diventa assolutamente turbolento per Rex ∼ = 3×106 , cioe` all’ascissa

µ xf ∼ = 30 xi = 30 × 0,06 = 2 m = 3 × 106 × ρV Discussione I risultati sono riportati con una sola cifra significativa per mettere in rilievo il fatto che essi derivano da relazioni approssimate. Nei problemi reali, i valori di xi e di x f per i quali, rispettivamente, insorge la turbolenza e lo strato limite diventa assolutamente turbolento dipendono da diversi fattori, quali la scabrezza della superficie, disturbi nel campo di moto, curvatura della parete ...

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18 Capitolo 10 V

strato limite

10.22 Un piccolo mezzo sottomarino si muove in acqua a 5 ◦ C (ρ = 999,9 kg/m3 e µ = 1,519 × 10−3 Pa · s) con una velocita` di 10 km/h. Il veicolo ha una pinna con una corda di 50 cm. Lo strato limite sulla pinna e` laminare o turbolento?

Analisi Anche se la pinna non e` una lastra piana, si possono usare c

le relazioni valide per le lastre piane per avere una risposta che puo` ritenersi corretta con sufficiente approssimazione. In corrispondenza del bordo posteriore della pinna, ponendo l’ascissa x pari al valore della corda, il numero di Reynolds vale

Rex =

ρV c 999,9 × 10 × 0,50 = = 9,14 × 105 µ 3,6 × 1,519 × 10−3

Per una lastra piana liscia, il processo di transizione inizia per Rex,critico ∼ = 105 e continua finche´ lo strato limite non diventa assolutamente turbolento per Rex ∼ = 3 × 106 . Con riferimento a tali valori e considerando che, abitualmente, viene ignorata la fase di transizione e si usa il valore Rex,cr = 5 × 105 per stabilire se uno strato limite sia piu` probabilmente laminare (Rex < Rex,cr ) o turbolento (Rex > Rex,cr ), si puo` affermare che nel caso in esame lo strato limite sulla pinna e` piu` probabilmente turbolento.

10.23 In una piccola galleria del vento, la velocita` dell’aria nel tratto in cui si effettuano le prove, lungo 50 cm, e` di 2,25 m/s. La temperatura dell’aria e` di 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849×10−5 Pa·s). Supponendo che, a monte del tratto in cui si effettuano le prove, lo spessore dello strato limite sia trascurabile, stabilire se in tale tratto lo strato limite e` laminare o turbolento.

Analisi Alla fine del tratto, il numero di Reynolds vale Re L =

ρV L 1,184 × 2,25 × 0,50 = 7,20 × 104 = µ 1,849 × 10−5

Essendo Re L inferiore al valore Rex,critico ∼ = 105 in corrispondenza del quale nello strato limite insorge la turbolenza, nel tratto in questione lo strato limite e` laminare.

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10.24 Con riferimento all’esercizio precedente, supponendo che il regime di moto si mantenga laminare, stimare lo spessore dello strato limite, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantita` di moto alla fine del tratto in cui si effettuano le prove. Confrontare i tre risultati e commentarli.

Analisi Alla fine del tratto in cui si effettuano le prove, essendo Re L = 7,20 × 104 , lo spessore dello strato limite, per la 5 dell’Esempio 10.1, risulta

4,91 × 0,50 4,91 L=p δ=√ = 0,00915 m = 9,15 mm Re L 7,20 × 104 Per la 10.67, lo spessore di spostamento e`

1,72 × 0,50 1,72 L=p = 0,00321 m = 3,21 mm δ∗ = √ Re L 7,20 × 104 mentre lo spessore di quantita` di moto, per la 10.73, risulta

0,664 0,664 × 0,50 θ=√ L= p = 0,00124 m = 1,24 mm Re L 7,20 × 104

10.25 In uno strato limite laminare su lastra piana, e` maggiore lo ´ spessore dello strato limite o lo spessore di spostamento? Perche?

Analisi E` maggiore lo spessore dello strato limite. Infatti, a parita` di x , esso e` circa il triplo dello spessore di spostamento. Quest’ultimo e` la distanza di cui, per effetto dello strato limite, viene allontanata dalla parete la linea di flusso appena fuori lo strato limite. Essendo pari allo spessore di una corrente uniforme che sostituisce il deficit di portata di massa all’interno dello strato limite, esso deve necessariamente risultare minore dello spessore dello strato limite.

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20 Capitolo 10

D

10.26 In una galleria del vento, il tratto in cui si effettuano misure in regime laminare e` lungo 60 cm e ha un diametro di 400 mm. L’aria e` a 20 ◦ C (ρ = 1,204 kg/m3 e µ = 1,825 × 10−5 Pa · s). Se all’imbocco del tratto la velocita` dell’aria e` di 2,0 m/s, di quanto aumenta alla

D − 2δ∗ δ∗

sezione iniziale

fine del tratto, in corrispondenza dell’asse della galleria?

Analisi Alla fine del tratto in cui si effettuano le prove, il numero

sezione finale

di Reynolds e`

Re L =

1,204 × 2,0 × 0,60 ρV L = = 7,92 × 104 µ 1,825 × 10−5

Pertanto, per la 10.67, lo spessore di spostamento risulta

1,72 1,72 × 0,60 δ∗ = √ L=p = 0,00367 m = 3,67 mm Re L 7,92 × 104 Se Vi e Ai sono, rispettivamente, la velocita` e l’area della sezione trasversale della galleria all’imbocco e V f e A f i corrispondenti valori alla fine del tratto di prova, per la conservazione della massa, e`

Vi Ai = V f A f A causa dello strato limite, il raggio della sezione finale si riduce dello spessore di spostamento δ ∗ . Pertanto, A f < Ai e

 2 Di Ai = Vi = V f = Vi Af Di − 2δ ∗ 2  0,400 = 2,08 m/s = 2,0 × 0,400 − 2 × 0,00367 ` a causa dello spessore di spostamento, la velocita` aumenta di cioe, circa il 4%.

a

a

sezione iniziale

10.27 Risolvere l’esercizio precedente ipotizzando che la sezione trasversale della galleria sia quadrata, con lato di 40 cm. Confrontare

a − 2δ∗ a − 2δ∗ sezione finale

i risultati con quelli del caso precedente e commentarli. δ∗

Analisi Essendo il numero di Reynolds e lo spessore di spostamento uguali a quelli del problema precedente, la velocita` nella sezione finale del tratto di prova risulta

 2 Ai a = Vi V f = Vi = Af a − 2δ ∗  2 0,400 = 2,0 × = 2,08 m/s 0,400 − 2 × 0,00367 cioe` la velocita` aumenta ancora del 4% circa, come nel caso precedente.

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Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

10.28 In corrispondenza di due punti 1 e 2 all’interno di uno strato limite laminare di un fluido di densita` ρ e viscosita` µ, tramite due prese statiche vengono misurate, rispettivamente, le pressioni p1 e p2 . La distanza tra i due punti e` piccola rispetto alla dimensione caratteristica L del corpo (1x = x 2 − x 1  L ). Essendo V1 la velocita` all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 1, scrivere un’espressione della velocita` V2 all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 2 in funzione di p1 , p2 , 1x , V1 , ρ e µ.

Analisi In uno strato limite, la pressione nella direzione normale alla parete e` praticamente costante, pur potendo variare in direzione x lungo la parete. Pertanto, per ciascun valore di x , la pressione subito all’esterno dello strato limite e` uguale al valore in corrispondenza della parete solida. All’esterno dello strato limite, dalla 10.62

dV 1 dp +V =0 ρ dx dx si ha

1 dp dV =− dx ρV d x Se la distanza 1x e` piccola, si puo` porre

dV V2 ∼ 1x = V1 + dx e

dp 1x p2 ∼ = p1 + dx per cui la relazione precedente, moltiplicando ambedue i membri per 1x , diviene

dV 1 dp 1 1x = − 1x ∼ ( p2 − p1 ) V2 − V1 ∼ = =− dx ρV1 d x ρV1 da cui

p2 − p1 V2 ∼ = V1 − ρV1 Discussione La velocita` V2 non dipende da 1x ne´ da µ, ma soltanto da p1 , p2 , V1 e ρ .

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V2 regione esterna strato limite

V1 δ p1 x1

x parete

prese statiche

p2 x2

21

22 Capitolo 10

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10.29 Un trasduttore di pressione differenziale molto sensibile collegato a due prese statiche, poste in corrispondenza di due punti 1 e 2 sulla parete di uno strato limite laminare, indica che p1 − p2 = 2,44 Pa. Il fluido e` aria a 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849 × 10−5 Pa · s). Essendo V1 = 10,3 m/s la velocita` all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 1, calcolare la velocita` V2 all’esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 2. Analisi Nell’ipotesi che la distanza tra i punti 1 e 2 sia piccola, si puo` utilizzare il risultato del problema precedente, per cui

−2,44 p2 − p1 = 10,3 − = 10,5 m/s V2 ∼ = V1 − ρV1 1,184 × 10,3 In conseguenza della piccola diminuzione di pressione si ha, quindi, ` un piccolo aumento di velocita.

10.30 Descrivere le cinque fasi della procedura di risoluzione dello strato limite.

Analisi Quando si usa l’approssimazione di strato limite, si utilizza la seguente procedura di risoluzione: Fase 1 Risoluzione del moto esterno, ignorando lo strato limite e assumendo che la regione al di fuori dello strato limite sia approssimativamente non viscosa e/o irrotazionale. Trasformazione delle coordinate, se necessario, per ottenere Vx (x). Fase 2 Assunzione dell’ipotesi di strato limite sottile, cos`ı da poterlo considerare ininfluente sulla risoluzione del moto esterno. Fase 3 Risoluzione delle equazioni dello strato limite 10.46 e 10.63, usando le condizioni al contorno appropriate. Sulla parete solida, la condizione di aderenza: vx = v y = 0 per y = 0; sul bordo dello strato limite, le condizioni di moto esterno note: vx → Vx (x) per y → ∞ e in una posizione a monte, per x = xin , un profilo di velocita` iniziale vx = vx,in (y). Fase 4 Calcolo delle quantita` di interesse nel campo di moto: lo spessore δ(x), lo sforzo tangenziale alla parete, la forza di trascinamento totale, ecc. Fase 5 Verifica dell’approssimazione di strato limite: lo strato limite deve risultare sottile.

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10.31 Elencare alcuni dei limiti dell’approssimazione di strato limite.

Analisi L’approssimazione di strato limite e` condizionata dai seguenti fattori:

•

Perche´ l’approssimazione dello strato limite sia sufficientemente accurata, bisogna che il numero di Reynolds sia sufficientemente alto (cioe` che δ/L sia sufficientemente piccolo). Per la 10.59, se Re L = 1 000, si ha δ/L ∼ 0,03 (3%); per Re L = 10 000, si ha δ/L ∼ 0, 01 (1%).

•

La 10.54, secondo la quale il gradiente di pressione nella direzione y e` nullo, non vale se il raggio di curvatura della parete e` dello stesso ordine di grandezza dello spessore δ (Fig. 10.38). In tal caso, infatti, non e` possibile trascurare gli effetti dell’accelerazione centripeta dovuti alla curvatura delle linee di flusso. Per cui, affinche´ lo strato limite sia sufficientemente sottile in modo che l’approssimazione sia valida, deve essere δ  R .

•

Se il numero di Reynolds e` troppo alto, lo strato limite non rimane laminare. In particolare, lo strato limite laminare su lastra piana liscia comincia la transizione verso la turbolenza per Rex ∼ = 105 , anche se, nella pratica, imperfezioni della parete, vibrazioni, rumori e oscillazioni nella corrente possono portare ad un innesco precoce del processo di transizione. Se il moto e` di transizione o turbolento, la 10.63 non e` valida.

•

Se il fluido si distacca dalla parete, nella regione di separazione l’approssimazione di strato limite non vale. Il motivo principale e` che in tale regione il moto si puo` invertire, non essendo cos`ı soddisfatta la natura parabolica delle equazioni dello strato limite.

10.32 Immergendo una lastra rettangolare in una corrente d’aria, su entrambi i lati della lastra si forma uno strato limite laminare. Se un lato ha lunghezza doppia dell’altro, la resistenza al moto e` maggiore quando e` ortogonale alla velocita` (a) il lato minore o (b) il ´ lato maggiore? Perche?

V (a)

Analisi La resistenza al moto e` maggiore nel caso (b). Infatti, la resistenza al moto e` data dal prodotto dello sforzo tangenziale medio per l’area della superficie della lastra, che e` uguale in entrambi i casi. All’interno di uno strato limite laminare, lo sforzo tangenziale alla parete e` inversamente proporzionale alla radice quadrata della distanza x dall’origine (vedi Esempio 10.1). Pertanto, tanto minore e` la lunghezza della parete nella direzione del moto, tanto piu` grande e` il valore medio dello sforzo. Ne consegue che, a parita` di area, la resistenza al moto e` tanto maggiore quanto piu` corto e` il lato ` come appunto nel caso (b). parallelo alla velocita,

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V

(b)

23

24 Capitolo 10

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10.33 Su una lastra piana liscia, lunga 3 m, scorre aria a 20 ◦ C (ρ = 1,204 kg/m3 e µ = 1,825 × 10−5 Pa · s) con una velocita` di 5 m/s. Stabilire se lo strato limite sulla lastra e` piu` probabilmente laminare, di transizione o turbolento. Calcolare gli spessori dello strato limite alla fine della lastra, nel caso in cui lo strato limite sia ovunque laminare e ovunque turbolento e confrontarli.

Analisi Al bordo di uscita della lastra il numero di Reynolds e` Re L =

1,204 × 5,0 × 3 ρV L = = 9,90 × 105 −5 µ 1,825 × 10

Per una lastra piana liscia, il processo di transizione inizia per Rex,critico ∼ = 105 e continua finche´ lo strato limite non diventa assolutamente turbolento per Rex ∼ = 3 × 106 . Con riferimento a tali valori e considerando che, abitualmente, viene ignorata la fase di transizione e si usa il valore Rex,cr = 5 × 105 per stabilire se uno strato limite sia piu` probabilmente laminare (Rex < Rex,cr ) o turbolento (Rex > Rex,cr ), si puo` affermare che nel caso in esame lo strato limite e` laminare nella parte iniziale della lastra e di transizione piu` a valle. In presenza di qualche causa di disturbo (quali, per esempio, vibrazioni o irregolarita` nella regione esterna), nella parte finale della lastra lo strato limite potrebbe essere puramente turbolento. Se lo strato limite e` ovunque laminare, al bordo di uscita dalla lastra il suo spessore, per la 5 dell’Esempio 10.1, e`

4,91 4,91 × 3 L=p = 0,0148 m = 14,8 mm δ=√ Re L 9,90 × 105 Se lo strato limite e` ovunque turbolento, lo spessore e le altre proprieta` dello strato limite possono essere determinate solo per via empirica o semi-empirica, in funzione dell’espressione adottata per esprimere il profilo di velocita` all’interno dello strato limite. Se tale profilo viene espresso con la legge di potenza 10.74, lo spessore dello strato limite turbolento al bordo di uscita dalla lastra piana liscia risulta

δ=

0,16 1/7 Re L

L=

0,16 × 3 = 0,0668 m = 66,8 mm (9,90 × 105 )1/7

Quindi, se lo strato limite fosse ovunque turbolento, il suo spessore sarebbe circa 4,5 volte il valore che avrebbe se fosse ovunque laminare, a parita` di numero di Reynolds. Nel caso in esame, il valore reale dello spessore e` compreso, probabilmente, tra questi due valori estremi.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Soluzioni appross. dell’equ. di Navier-Stokes

10.34 Su una lastra piana liscia, lunga 40 cm, scorre aria a 20 ◦ C (ρ = 1,204 kg/m3 e µ = 1,825 × 10−5 Pa · s) con una velocita` di 5 m/s. La lastra, che ha il bordo d’attacco arrotondato, e` spessa 7,5 mm. Calcolare lo spessore apparente della lastra alla distanza di 25 cm, cos`ı come viene percepito dalla corrente all’esterno dello strato limite.

Analisi Alla distanza di 25 cm dal bordo di attacco, e` Rex =

ρV x 1,204 × 5,0 × 0,25 = = 82 500 µ 1,825 × 10−5

per cui lo strato limite e` piu` probabilmente laminare. Lo spessore di spostamento, per la 10.67, e`

1,72 × 0,25 1,72 = 0,00150 m = 1,50 mm δ∗ = √ x=p Rex 8,25 × 104 e, pertanto, avendo la lastra spessore h = 7,5 mm, lo spessore apparente h a alla distanza di 25 cm e`

h a = h + 2δ ∗ = 7,5 + 2 × 1,5 = 10,5 mm Discussione Il numero di Reynolds e` molto prossimo al valore Rex,critico ∼ = 105 in corrispondenza del quale insorge la turbolenza. Pertanto, se nel campo di moto fossero presenti dei disturbi o se la lastra fosse scabra, lo strato limite sarebbe di transizione e lo spessore di spostamento risulterebbe maggiore.

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V

h x

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26 Capitolo 10

10.35 La separazione del moto e` piu` difficile quando lo strato ´ limite e` laminare o quando e` turbolento? Perche?

Analisi Quando un fluido scorre a velocita` sufficientemente ele-

punto di distacco

vata su una superficie curva, esiste un punto in corrispondenza del quale esso si stacca dalla superficie; tale processo e` chiamato separazione dello strato limite. A valle del punto di distacco, si ha una regione di ricircolo nella quale la direzione del moto in prossimita` della parete solida si inverte. Infatti, quando un fluido scorre su una superficie curva (ad esempio, un profilo alare), il fluido puo` accelerare (attorno alla parte anteriore del profilo) o decelerare (attorno alla parte posteriore). Poiche´ nella regione esterna allo strato limite vale l’equazione di Bernoulli, dalla quale deriva la 10.62

1 dp d Vx + Vx =0 ρ dx dx se il fluido accelera, Vx aumenta nella direzione del moto e la pressione p diminuisce lungo x . Viceversa, ad una diminuzione di velocita` corrisponde un aumento di pressione nella direzione del moto. Quest’ultima condizione, se il gradiente di pressione e` sufficientemente elevato, puo` determinare la separazione dello strato ´ al crescere del gradiente di pressione nella dilimite. Cio` perche, rezione del moto, aumenta l’inclinazione della tangente al profilo della velocita` in prossimita` della parete, fino a diventare verticale, in corrispondenza del verificarsi della separazione, e addirittura ad invertirsi, nella regione di ricircolo. y y y y y — δ

1,2

y Vx (x)

Vx (x)

Vx (x)

Vx (x)

Vx (x)

δ(x) 1

τ0 0,6

x

δ(x)

vx

v x δ(x)

δ(x)

0,8

τ0

x

δ(x)

vx τ0

x

vx zona di inversione del moto

vx τ0 = 0

x

τ0

x

laminare 0,4 0,2 turbolento 0 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1 vx /Vx

In uno strato limite turbolento, il profilo di velocita` e` molto piu` pieno di quanto non lo sia in uno strato limite laminare. Pertanto, affinche´ uno strato limite turbolento si separi e` necessario un gradiente di pressione molto piu` grande di quello sufficiente a far separare uno strato limite laminare.

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10.36 Calcolare il fattore di forma H per uno strato limite laminare e per uno turbolento lungo una lastra piana, supponendo che quello turbolento lo sia fin dall’inizio. Perche´ H viene chiamato fattore di forma?

Analisi Il fattore di forma, definito come rapporto tra lo spessore di spostamento δ ∗ e lo spessore di quantita` di moto θ , e` cos`ı chiama` to perche´ il suo valore dipende dalla forma del profilo di velocita. Per uno strato limite laminare lungo una lastra piana, per le 10.67 e 10.73, il fattore di forma Hlam e` pari a

1,72 x √ δ Rex = 2,59 = = 0,664 θ x √ Rex ∗

Hlam

Per uno strato limite turbolento, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantita` di moto possono essere determinati solo per via empirica o semi-empirica, in funzione dell’espressione adottata per esprimere il profilo di velocita` al suo interno. Se tale profilo viene espresso con la legge di potenza 10.74, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantita` di moto dello strato limite turbolento (nell’ipotesi che sia ovunque turbolento) su una lastra piana liscia risultano, rispettivamente,

δ∗ =

0,020 x Re1/7 x

e

θ=

0,016 x Re1/7 x

Esprimendo, invece, il profilo di velocita` con la legge di potenza 10.74 corretta sulla base di dati sperimentali, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantita` di moto risultano, rispettivamente,

δ∗ =

0,048 x Re1/5 x

e

θ=

0,037 x Re1/5 x

Nei due casi, il fattore di forma Hturb per uno strato limite turbolento su lastra piana liscia risulta, rispettivamente,

Hturb =

δ∗ 0,020 = = 1,25 θ 0,016

Hturb =

δ∗ 0,048 = = 1,30 θ 0,037

Quindi, per uno strato limite laminare su lastra piana liscia, il fattore di forma risulta poco piu` del doppio di quello che si ha per uno strato limite ovunque turbolento. Se ne deduce che il fattore di forma e` tanto piu` piccolo quanto piu` il profilo di velocita` e` ”pieno” e, conseguentemente, quanto meno il fluido tende a staccarsi dalla parete.

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28 Capitolo 10

Riepilogo 10.37 Dire quale delle seguenti affermazioni e` vera o falsa, spiegando la risposta: a) la funzione potenziale di velocita` puo` essere definita per moti tridimensionali; b) affinche´ sia possibile definire la funzione di corrente, la vorticita` deve essere nulla; ` c) affinche´ sia possibile definire la funzione potenziale di velocita, la vorticita` deve essere nulla; d) la funzione di corrente puo` essere definita solo per campi di moto bidimensionali.

Analisi (a)

Vero. Per definire la funzione potenziale di velocita` non e` necessario che il moto sia bidimensionale. Infatti, essa puo` essere definita per qualunque moto irrotazionale.

(b)

Falso. La funzione di corrente puo` essere definita per qualunque campo di moto bidimensionale, indipendentemente dal ` valore della vorticita.

(c)

Vero. La funzione potenziale di velocita` puo` essere definita solo per campi di moto irrotazionali, dove cioe` la vorticita` e` nulla.

(d)

Vero. La funzione di corrente e` definita dall’equazione di continuita` e vale solo per campi di moto bidimensionali.

10.38 Una canoa di alluminio si muove sulla superficie di un lago alla velocita` di 8 km/h. La temperatura dell’acqua e` di 10 ◦ C. Il fondo della canoa e` piatto e lungo 4 m. Stabilire se lo strato limite sul fondo della canoa e` laminare o turbolento. V x strato limite

δ(x)

Proprieta` Per l’acqua alla temperatura di 10 ◦ C e` ρ = 999,7 kg/m3 e µ = 1,307 × 10−3 Pa · s. Analisi Il numero di Reynolds in corrispondenza del punto terminale della canoa risulta

Rex =

ρV x 999,7 8 = × 4 = 6,80 × 106 × −3 µ 1,307 × 10 3,6

Poiche´ Rex e` molto piu` grande di Rex,cr = 5 × 105 , nella parte terminale della canoa lo strato limite e` turbolento.

Discussione Essendo il fondo della canoa non perfettamente regolare ne´ perfettamente piatto e per la presenza di perturbazioni nell’acqua dovute al moto ondoso, alle pagaiate ecc. e` da ritenere che la transizione alla turbolenza avvenga molto piu` rapidamente che nel caso ideale di Fig. 10.27.

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gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

11 Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

MOTO ATTORNO AI CORPI: RESISTENZA E PORTANZA

11

SOMMARIO Un fluido in moto attorno a un corpo immerso esercita sul corpo una forza la cui componente nella direzione del moto e` chiamata azione di trascinamento, mentre quella nella direzione normale al moto e` chiamata portanza. Analogamente, se un corpo immerso in un fluido e` in moto, il fluido esercita sul corpo nella direzione del moto una forza chiamata resistenza all’avanzamento (o resistenza al moto). La resistenza al moto dovuta agli sforzi tangenziali sulle pareti solide e` chiamata ` resistenza d’attrito ed e` proporzionale alla viscosita; quella dovuta agli sforzi normali, proporzionali alla pressione, e` chiamata resistenza di forma perche´ dipende dalla forma del corpo. Il coefficiente di resistenza Cr e il coefficiente di portanza C p sono due quantita` adimensionali che rappresentano le caratteristiche di resistenza e di portanza di un corpo e vengono definiti come

Cr =

Fr 1 ρV 2 A 2

(11.5)

e

Cp =

Fp 1 ρV 2 A 2

larghezza). Il coefficiente di resistenza dipende, in generale, dal numero di Reynolds, specialmente per numeri di Reynolds inferiori a 104 , tendendo, per la maggior parte delle geometrie, a diventare costante per valori elevati di Re. Cos`ı come la resistenza al moto e` somma della resistenza d’attrito e della resistenza di forma, il coefficiente di resistenza e` la somma del coefficiente d’attrito e del coefficiente di forma. In corrispondenza di valori elevati della ve` un fluido che si muove attorno a un corpo locita, si distacca dalla superficie solida (distacco di vena), dando luogo a una regione di distacco tra il corpo e la corrente. Questo fenomeno puo` verificarsi anche nel caso di corpi affusolati, come i profili alari, se l’angolo di incidenza, che e` l’angolo formato dalla corda (linea che unisce le punte anteriore e posteriore del profilo) con la direzione del moto, e` sufficientemente grande. Il distacco puo` verificarsi sulla superficie superiore dell’ala riducendo drasticamente la portanza (stallo). Nel moto di un fluido su una lastra piana, di lunghezza L , parallela alla direzione del moto, la resistenza di forma e` nulla. Il coefficiente d’attrito medio sull’intera lastra vale

(11.6)

essendo A l’area di riferimento del corpo, che, generalmente, e` l’area frontale del corpo (proiezione su un piano normale alla direzione del moto) e, per i corpi affusolati, come un profilo alare, e` l’area planimetrica (o area in pianta, cioe` lunghezza per

1,33 Ca = √ Re L

(11.16)

0,074 Ca = √ 5 Re L

(11.17)

e

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Capitolo 11

rispettivamente, per moto ovunque laminare (Re L < 5 × 105 ) e per moto ovunque turbolento (Re L ≥ 5×105 ), essendo Re L = V L/ν . Se la lastra e` sufficientemente lunga perche´ il moto diventi turbolento ma non tanto lunga da poter trascurare la regione laminare, il coefficiente d’attrito medio sull’intera lastra piana risulta

1742 0,074 − Ca = √ 5 Re L

Re L

(11.20)

Le espressioni precedenti valgono per lastra liscia. Per lastra scabra, in regime turbolento il coefficiente d’attrito cresce al crescere della scabrezza relativa, cioe` del rapporto tra l’indice di scabrezza ε e la lunghezza L della lastra. In regime di moto puramente turbolento, il coefficiente d’attrito e` indipendente dal numero di Reynolds ed e` funzione solo della scabrezza relativa. In tal caso, per il calcolo del coefficiente d’attrito si puo` usare la formula di Schlichting

 ε −2,5 Ca = 1,89 − 1,62 log L

(11.21)

applicabile per superfici scabre (ε/L > 10−4 ) e per Re > 106 .

In regime turbolento, in generale, il coefficiente di resistenza aumenta con la scabrezza. Nel moto attorno a corpi non affusolati, come cilindri o sfere, un aumento della scabrezza puo` invece dar luogo a una diminuzione del coefficiente di resistenza, in quanto la scabrezza fa s`ı che la transizione alla turbolenza avvenga per un valore piu` piccolo del numero di Reynolds. Di conseguenza, il distacco dello strato limite avviene piu` a valle, determinando una scia piu` stretta e quindi una considerevole diminuzione della resistenza di forma. La velocita` minima di decollo o di atterraggio di un velivolo di peso P e area planimetrica A e`

s Vmin =

2P C p,max ρ A

(11.23)

Per un peso assegnato, la velocita` di decollo o atterraggio puo` essere minimizzata rendendo massimo il prodotto del coefficiente di portanza e dell’area dell’ala. Nei grandi aerei, cio` si ottiene estraendo in fase di decollo o di atterraggio i flap. Quando un cilindro o una sfera immersi in un fluido ruotano a velocita` angolari sufficientemente elevate, si genera una portanza (effetto Magnus).

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

SOLUZIONI Resistenza e portanza 11.1 Quand’e` che il moto di un fluido attorno a un corpo e` bidimensionale, tridimensionale e a simmetria assiale? Di che tipo e` il moto dell’aria attorno a una automobile?

Analisi Il moto di un fluido attorno ad un corpo e` bidimensionale quando il corpo e` lungo, a sezione trasversale costante, investito da una corrente con velocita` ortogonale all’asse del corpo (come, ad esempio, nel caso del vento che soffia su un lungo cavo elettrico, in direzione perpendicolare all’asse). Se il corpo e` simmetrico rispetto ad un asse parallelo alla direzione del moto, il moto bidimensionale e` a simmetria assiale (come nel caso del moto di un proiettile in aria). Il moto e` tridimensionale nel caso piu` generale in cui non puo` essere considerato bidimensionale o a simmetria assiale. Il moto attorno ad una automobile e` tridimensionale.

11.2 Che differenza c’e` tra un corpo tozzo e un corpo affusolato? Una palla da tennis e` un corpo tozzo o affusolato?

Analisi Un corpo e` affusolato se la sua forma e` studiata in modo che essa sia allineata con le linee di flusso del campo di moto. Altrimenti un corpo e` tozzo e tende a bloccare il moto. Una palla da tennis e` un corpo tozzo.

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Capitolo 11

11.3 Cos’e` la resistenza al moto? Da cosa e` causata? Cosa si fa di solito per renderla minima?

Analisi La resistenza al moto (o resistenza all’avanzamento di un corpo in moto in un fluido in quiete) e` la componente nella direzione del moto della risultante degli sforzi normali e tangenziali che il fluido esercita sulla superficie del corpo. Gli sforzi normali hanno modulo proporzionale alla pressione, mentre gli sforzi tangenziali sono sforzi di tipo viscoso. La resistenza la moto dipende quindi dal valore dello sforzo tangenziale alla parete τ0 , dalla differenza di pressione che si crea tra la parte anteriore e quella posteriore del corpo e dal suo orientamento. Quando la velocita` del fluido e` troppo alta perche´ esso riesca a seguire la curvatura del corpo, il fluido si distacca dal corpo in un punto a valle del quale si determina una regione con pressioni molto basse. In tal caso, la grande differenza di pressione che si crea tra la parte anteriore e quella posteriore del corpo da` luogo ad una resistenza molto alta. La resistenza al moto di un corpo puo` essere ridotta sagomandolo opportunamente, in modo da ritardare il distacco di vena. Cos`ı facendo, ritardando la separazione dello strato limite, si riduce la differenza di pressione tra la parte anteriore e quella posteriore del corpo, ma, se l’area della superficie di contatto col fluido aumenta, si puo` avere contemporaneamente l’aumento del contributo degli sforzi viscosi. Pertanto, uno studio che miri a ridurre la resistenza al moto di un corpo deve considerare entrambi gli effetti e cercare, quindi, di minimizzare la loro somma. In particolare, la sagomatura, che fa diminuire anche vibrazioni e rumore, e` vantaggiosa solo per alti numeri di Reynolds, cioe` per velocita` piuttosto elevate, per le quali si ha quasi sicuramente il distacco di vena. A bassi numeri di Reynolds la sagomatura non da` alcun beneficio, anzi puo` essere dannosa, perche´ in tal caso, essendo la resistenza quasi interamente di tipo viscoso, se la sagomatura comporta un aumento dell’area di contatto col fluido si ha un aumento del coefficiente di resistenza e non una sua diminuzione.

11.4 Citare dei casi in cui si desidera avere un’elevata resistenza al moto.

Analisi Per rallentarne al massimo la velocita` di caduta, e` desiderabile che la resistenza al moto di un paracadute sia quanto piu` elevata possibile, cos`ı come, affinche´ siano ridotti al minimo gli effetti della diffusione di un inquinante, e` desiderabile che l’inquinante nel suo moto incontri la maggiore resistenza possibile. Analogamente, una barca a vela ricevera` una spinta tanto maggiore e, quindi, si muovera` tanto piu` velocemente quanto maggiore e` l’azione di trascinamento del vento sulle vele.

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.5 Cos’e` la portanza? Da cosa e` causata? Gli sforzi tangenziali alla parete danno un contributo alla portanza?

Analisi La portanza e` la componente nella direzione normale a quella del moto della risultante degli sforzi che il fluido esercita sulla superficie del corpo e tende a far muovere il corpo in tale direzione. La portanza e` generata soprattutto dalla differenza di pressione che si genera tra la superficie inferiore e quella superiore del corpo. Invece, il contributo degli sforzi tangenziali e` spesso molto modesto, soprattutto per corpi affusolati per i quali gli sforzi tangenziali agiscono quasi parallelamente alla direzione del moto.

11.6 Nel moto di un fluido attorno a un corpo, vengono misurate la resistenza al moto, la velocita` della corrente a monte del corpo e la densita` del fluido. Come puo` essere determinato il coefficiente di resistenza? Quale area si deve usare nei calcoli?

Analisi Note la resistenza al moto Fr , la velocita` della corrente V a monte del corpo e la densita` del fluido ρ , il coefficiente di resistenza puo` essere immediatamente determinato dalla 11.5

Cr =

Fr 1 ρV 2 A 2

in cui A e` generalmente l’area frontale, cioe` la superficie proiezione del corpo sul piano normale alla direzione del moto o, in altre parole, l’area che vedrebbe chi guardasse il corpo dal punto di vista della corrente in arrivo.

11.7 Nel moto di un fluido attorno a un corpo affusolato, come un profilo alare, vengono misurate la portanza, la velocita` della corrente a monte del corpo e la densita` del fluido. Come puo` essere determinato il coefficiente di portanza? Quale area si deve usare?

Analisi Note la portanza F p , la velocita` della corrente V a monte del corpo e la densita` del fluido ρ , il coefficiente di portanza puo` essere immediatamente determinato dalla 11.6

Cp =

Fp 1 ρV 2 A 2

in cui A e` l’area planimetrica, cioe` la superficie proiezione del corpo su un piano ortogonale alla portanza.

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Capitolo 11

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11.8 Cos’e` l’area frontale di un corpo immerso in un fluido in movimento? Quando si deve usare tale area nel calcolo della resistenza e della portanza?

Analisi L’area frontale di un corpo immerso in un fluido in movimento e` la superficie proiezione del corpo sul piano normale alla direzione del moto o, in altre parole, l’area che vedrebbe chi guardasse il corpo dal punto di vista della corrente in arrivo. Essa va usata nel calcolo della resistenza al moto e della portanza su corpi tozzi.

11.9 Cos’e` l’area planimetrica di un corpo immerso in un fluido in movimento? Quando si deve usare tale area nel calcolo della resistenza e della portanza?

Analisi L’area planimetrica e` la superficie proiezione del corpo su un piano ortogonale alla portanza. Essa va usata nel calcolo della resistenza al moto e della portanza su corpi affusolati.

11.10 Cos’e` la velocita` terminale? Come si calcola? Analisi La velocita` terminale e` la massima velocita` che puo` raggiungere un corpo in caduta libera. Quando tutte le forze che agiscono sul corpo (peso, spinta di galleggiamento e resistenza al moto) si fanno equilibrio tra loro, essendo nulla la forza risultante che agisce su di esso, il corpo, per la seconda legge di Newton, e` sottoposto ad accelerazione nulla. Conseguentemente, la sua velocita` rimane costante e, non potendo piu` aumentare, e` la massima che il corpo puo` raggiungere.

11.11 Che differenza c’e` tra resistenza d’attrito e resistenza di forma? Quale delle due e` piu` significativa per corpi affusolati come i profili alari?

Analisi La resistenza di attrito e` la parte dell’azione di trascinamento derivante dagli sforzi tangenziali e dipende dal valore dello sforzo tangenziale alla parete e dall’orientamento del corpo. La resistenza di forma e` proporzionale all’area frontale e alla differenza di pressione che si crea tra la parte anteriore e quella posteriore del corpo immerso. Generalmente, per i corpi affusolati e` piu` significativa la resistenza di attrito.

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.12 Che influenza ha la scabrezza sul coefficiente d’attrito in regime laminare e in regime turbolento?

Analisi In regime laminare il coefficiente di attrito dipende solo dal numero di Reynolds e, quindi, la scabrezza non ha alcuna influenza su di esso. In regime turbolento, il coefficiente di attrito dipende, in generale, sia dal numero di Reynolds che dalla scabrezza. Questa fa sentire i suoi effetti solo quando le irregolarita` della parete sporgono al di fuori del substrato viscoso, dando luogo ad un aumento del coefficiente di attrito tanto maggiore quanto maggiore e` la scabrezza.

11.13 In generale, come varia il coefficiente d’attrito con il numero di Reynolds per valori di Re (a) bassi e medi e (b) alti (Re > 104 )? Analisi (a)

Per valori medi e bassi del numero di Reynolds, il coefficiente di attrito, in generale, diminuisce al crescere di Re.

(b)

Per Re > 104 , esso e` praticamente indipendente da Re.

11.14 Sul fronte e sul retro di un corpo di forma cilindrica vengono montate delle carenature per renderlo piu` affusolato. Nell’ipotesi che il moto sia sempre turbolento, qual e` l’effetto di tale operazione su (a) coefficiente d’attrito, (b) coefficiente di forma e (c) coefficiente di resistenza?

V

carenature

Analisi cilindro

(a)

Il coefficiente di attrito aumenta

(b)

Il coefficiente di forma diminuisce.

(c)

Complessivamente, il coefficiente di resistenza diminuisce.

11.15 Sagomando un corpo per renderlo piu` affusolato, come variano (a) il coefficiente d’attrito e (b) il coefficiente di forma? Rendendo un corpo piu` affusolato, la sua resistenza al moto diminuisce sempre?

Analisi (a)

Il coefficiente di attrito aumenta

(b)

Il coefficiente di forma diminuisce.

Di conseguenza, nei moti ad alto numero di Reynolds, la resistenza al moto diminuisce, essendo dovuta prevalentemente alla resistenza di forma. Invece, nei moti con basso valore di Re, la resistenza al moto aumenta, essendo dovuta soprattutto alla resistenza di attrito.

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Capitolo 11

11.16 Perche´ il coefficiente di resistenza di un corpo che si muove nella scia di quello che lo precede si riduce notevolmente?

Analisi Nella regione di scia di un corpo in movimento le pressioni sono molto basse. Per questo, se un corpo in movimento entra nella regione di scia di quello che lo precede, incontra una resistenza all’avanzamento notevolmente minore. Pertanto, il suo coefficiente di resistenza diminuisce.

11.17 Per determinare il coefficiente di resistenza di un’automobile, alta 1,40 m e larga 1,65 m, nelle condizioni di progetto di aria alla pressione di 1013 hPa, a 25 ◦ C (ρ = 1,164 kg/m3 ) e alla velocita` di 90 km/h, in una galleria del vento, su un modello in scala 1:1, viene misurata una resistenza di 300 N. Quanto vale il coefficiente di resistenza dell’automobile?

Analisi Note la velocita` V della corrente a monte dell’automobile, l’area frontale A dell’automobile, la densita` ρ dell’aria e la resistenza al moto Fr , per la 11.5 e` Cr =

Fr 1 ρV 2 A 2

=  0,5 × 1,164 ×

300 = 0,357  90 2 × 1,40 × 1,65 3,6

Discussione Il valore del coefficiente di resistenza dipende dalle condizioni di prova. Pertanto, affinche´ i coefficienti di resistenza di autovetture diverse siano confrontabili, e` necessario che le prove siano effettuate nelle stesse condizioni. Tali condizioni sono fissate dagli enti nazionali e internazionali preposti alla standardizzazione.

11.18 Un’automobile viaggia alla velocita` di 80 km/h. Calcolare il valore della velocita` da utilizzare nell’analisi del campo di moto se (a) l’aria e` in quiete, (b) c’e` vento con una velocita` di 30 km/h in direzione opposta a quella del moto dell’automobile e (c) c’e` vento con una velocita` di 50 km/h nella stessa direzione del moto dell’automobile.

Analisi Nell’analisi del campo di moto, bisogna considerare la velocita` relativa che, nei tre casi considerati, risulta rispettivamente (a)

80 km/h,

(b)

80 + 30 = 110 km/h

(c)

80 − 50 = 30 km/h.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.19 La risultante degli sforzi su un corpo immerso vale 700 N e la sua retta d’azione forma un angolo di 35◦ con la direzione del moto del fluido. Calcolare la resistenza e la portanza sul corpo.

Analisi Se F e` la risultante degli sforzi che il fluido esercita sul corpo, la resistenza Fr e la portanza F p sono, rispettivamente, le componenti di F nella direzione del moto e nella direzione ortogonale a quella del moto. Per cui,

Fr = F cos 35 = 700 × cos 35 = 573 N F p = F sen 35 = 700 × sen 35 = 402 N

11.20 Nel moto di aria alla pressione di 1013 hPa e a 5 ◦ C (ρ = 1,269 kg/m3 e µ = 1,754 × 10−5 Pa · s) attorno a una sfera, del diametro di 120 mm, viene misurata un’azione di trascinamento di 5,2 N. La resistenza di forma, ottenuta integrando la distribuzione della pressione, misurata usando sensori collegati alla parete, e` di

4,9 N. Nell’ipotesi che il moto sia turbolento, calcolare il coefficiente d’attrito della sfera e verificare l’ipotesi.

Analisi Dalle 11.7, sommando membro a membro e dividendo per la prima, si ha

Ca + C f Fa + F f = Ca Fa da cui, essendo

Fr = Fa + F f

e

Cr = C a + C f

si ha

Ca =

Fr − F f Fa Fa (Ca + C f ) = Cr = Cr Fa + F f Fr Fr

Nell’ipotesi di moto turbolento, il coefficiente di resistenza di una sfera e` Cr = 0,2 (vedi Tabella 11.2). Per cui, risulta

Ca =

Fr − F f 5,2 − 4,9 Cr = × 0,2 = 0,0115 Fr 5,2

Essendo, per la 11.5,

s V=

Fr = ρ ACr /2

s

5,2 × 0,2 = 60,2 m/s 0,5 × 1,269 × π × 0,1202 /4

risulta

Re =

ρV D 1,269 × 60,2 × 0,120 = = 5,23 × 105 > 2 × 105 µ 1,754 × 10−5

Pertanto, lo strato limite e` turbolento (vedi Paragrafo 11.6) e, quindi, il valore di Cr e` corretto.

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9

V F H 700 N 35°

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10 Capitolo 11

11.21 Un segnale stradale circolare, del diametro di 50 cm, retto da un palo alto 2,2 m, e` sollecitato dal vento che puo` raggiungere la velocita` di 150 km/h, alla pressione di 100 kPa e alla temperatura di 10 ◦ C (ρ = 1,231 kg/m3 ). Calcolare l’azione di trascinamento sul segnale e il momento che si scarica alla base del palo che lo sostiene, trascurando l’azione di trascinamento sul palo.

Analisi Per la 11.5, essendo per un disco sottile Cr = 1,1 (vedi Tabella 11.2), l’azione di trascinamento e`

1 1 Fr = Cr ρV 2 A = × 1,1 × 1,231 × 2 2



150 3,6

2 ×π ×

0,502 = 4

= 231 N Tale forza, causata da una corrente a velocita` uniformemente distribuita, e` applicata sul centro del segnale circolare, a distanza b dalla base, per cui alla base del palo si scarica un momento

M = Fr b = 231 × (2,2 + 0,25) = 566 N · m

11.22 L’azione del vento e` una delle sollecitazioni principali di cui tener conto nel progetto dei sostegni dei grandi cartelloni pubblicitari, come testimoniato dai frequenti casi di cartelloni divelti dai venti forti. Calcolare l’azione esercitata su un cartellone, alto 2,4 m e largo 6 m, da un vento che soffia in direzione ortogonale al cartellone a 150 km/h, alla pressione di 100 kPa e alla temperatura di 10 ◦ C (ρ = 1,231 kg/m3 ).

Analisi Per la 11.5, essendo per una lastra rettangolare sottile Cr = 1,9 (vedi Tabella 11.1 o Figura 11.12), l’azione di trascinamento risulta

1 1 Fr = Cr ρV 2 A = × 1,9 × 1,231 × 2 2



150 3,6

2 × 2,4 × 6 =

= 29,2 kN

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.23 Sul tetto di un camper e` collocato un serbatoio d’acqua cilindrico, del diametro di 0,5 m e lungo 2 m. Calcolare l’Sul tetto di un camper e` collocato un serbatoio d’acqua cilindrico, del diametro di 0,5 m e lungo 2 m. Calcolare l’aumento di potenza richiesto dalla presenza del serbatoio quando il camper viaggia alla velocita` di 95 km/h, in aria alla pressione di 87 kPa e a 20 ◦ C (ρ = 1,028 kg/m3 ), e il serbatoio e` montato con l’asse (a) parallelo o (b) ortogonale alla direzione del moto.

Analisi Essendo, per l’aria a 20 °C, µ = 1,83 × 10−5 Pa · s, si ha Re =

ρV D 1,028 × 95/3,6 × 0,5 = = 7,41 × 105 > 104 µ 1,83 × 10−5

per cui sono utilizzabili i valori dei coefficienti di resistenza riportati nelle Tabelle 11.1 e 11.2. (a)

Nel caso in cui il serbatoio cilindrico e` in asse alla direzione del moto, essendo L/D = 2/0,5 = 4, dalla tabella 11.2 si ha Cr = 0,9. Per la 11.5, la resistenza al moto risulta

1 1 Fr = Cr ρV 2 A = × 0,9 × 1,028 × 2 2



95 3,6

2 ×π ×

0,52 = 4

= 63,2 N L’aumento di potenza 1P richiesto dalla presenza del serbatoio e` dato dal prodotto della resistenza opposta dal serbatoio ` Per cui, si ha, per la velocita.

1P = Fr V = 63,2 × 95/3,6 = 1,67 kW (b)

Se il serbatoio e` montato ortogonalmente alla direzione del moto, e` assimilabile ad una barra circolare ortogonale alla direzione del moto, per cui Cr = 0,3. Pertanto, la resistenza al moto vale

1 1 Fr = Cr ρV 2 A = × 0,3 × 1,028 × 2 2



95 3,6

2 × 2 × 0,5 =

= 107 N e l’aumento di potenza 1P richiesto assume il valore

1P = Fr V = 107 × 95/3,6 = 2,82 kW

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2m

0,5 m

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12 Capitolo 11

11.24 Una sfera, del diametro di 4 mm, di materiale plastico di densita` ρ = 1150 kg/m3 , viene lasciata cadere in acqua a 20 ◦ C. Calcolare la sua velocita` terminale.

Analisi La velocita` terminale di un oggetto in caduta libera e` quella che il corpo raggiunge quando tutte le forze che agiscono su di esso, cioe` il peso P , la spinta di galleggiamento Sg e la resistenza al moto Fr , si fanno equilibrio tra loro. Per la 3.52, essendo ρa = 998 kg/m3 la densita` dell’acqua, la spinta di galleggiamento e`

Sg = ρa gW = ρa g

π D3 6

mentre, per la 11.5, la resistenza al moto e`

1 1 π D2 Fr = Cr ρa V 2 A = Cr ρa V 2 2 2 4 La velocita` terminale viene raggiunta quando Fr = P − Sg cioe` per

1 π D2 π D3 Cr ρa V 2 = (ρ − ρa )g 2 4 6 da cui

s   4 ρ gD V = −1 3 ρa Cr Essendo Cr funzione del numero di Reynolds (vedi Figura 11.30), e` necessario procedere per successive approssimazioni. Risulta

s   4 ρ gD V = −1 = 3 ρa Cr s   4 1 150 9,81 × 0,004 0,0893 × −1 × = √ = m/s 3 998 Cr Cr

Cr 4

e, essendo, per l’acqua a 20 ◦ C, µ = 1,002 × 10−3 Pa · s,

2

998 × 0,0893 × 0,004 1 356 ρV D = × = √ √ µ 1,002 × 10−3 Cr Cr √ In Figura 11.30, per Re = 400 si legge Cr = 0,65 √ da cui Re Cr = 322 e per Re = 500 si legge Cr = 0,60 da cui Re Cr = 387. Pertanto, Cr e` compreso tra 0,60 e 0,65. Ponendo Cr = 0,63, risulta

cilindro

Re =

1 0,6 0,4

sfera

0,2 102

103

Re

0,0893 0,0893 V = √ = √ = 0,113 m/s Cr 0,63

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.25 In presenza di vento forte, i veicoli molto alti, come camper o autocarri, rischiano il ribaltamento, soprattutto se si trovano in zone aperte e sono scarichi. Si consideri un autocarro con vano di carico chiuso, alto 2,60 m, lungo 9,10 m e largo 2,40 m, avente una massa di 5000 kg. La distanza tra il bordo inferiore e il piano stradale e` di 1,00 m. Si supponga che il veicolo venga sollecitato da un forte vento laterale (ρ = 1,1 kg/m3 ). Ipotizzando che il peso sia uniformemente distribuito, calcolare la velocita` limite del vento, superata la quale l’autocarro si rovescia lateralmente.

13

2,40 m 9,10 m

2,60 m

1,00 m

Analisi In corrispondenza dell’equilibrio limite al ribaltamento laterale, le ruote poste sul lato sollecitato dal vento perdono aderenza e la reazione del terreno sull’autocarro agisce solo attraverso le ruote poste sul lato opposto. Oltre a tale reazione del terreno, sull’autocarro agiscono il peso proprio P , che per l’ipotesi di peso uniformemente distribuito e` una forza applicata nel baricentro del volume dell’autocarro, e l’azione di trascinamento Fr esercitata dal vento, che, se la velocita` del vento e` uniforme, e` una forza ortogonale alla parete verticale laterale e applicata sul baricentro della parete stessa. Per l’eguaglianza dei momenti rispetto all’asse attorno cui l’autocarro tende a ruotare, in condizioni di equilibrio limite, indicando con b P il braccio del peso e con b F il braccio dell’azione di trascinamento, si ha

Pb P = Fr b F Indicando con h = 2,60 m l’altezza del vano dell’autocarro, con b = 2,40 m la sua larghezza, con L = 9,10 m la sua lunghezza e con h b la distanza del bordo inferiore del vano dal piano stradale, per la 11.5, si ha

1 mgb P = Cr ρV 2 h Lb F 2 ed, essendo b P = b/2 e b F = h b + h/2,

  b 1 h 2 mg = Cr ρV h L h b + 2 2 2 da cui, ponendo Cr = 2,25 per interpolazione dei valori relativi ad una barra rettangolare di sezione b×h , in quanto b/ h = 2,40/2,60 = 0,92 (vedi Tabella 11.1), la velocita` limite del vento risulta

s

mgb = Cr ρh L(h b + h/2)

s

5 000 × 9,81 × 2,4 = 29,6 m/s 2,25 × 1,1 × 2,6 × 9,10 × (1 + 2,6/2)

V =

=

pari a 106 km/h.

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2,40 m 9,10 m bP

Fr bF

1,00 m

2,60 m P

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14 Capitolo 11

11.26 Un ciclista, con una massa di 80 kg, percorre sulla sua bicicletta, avente una massa di 15 kg, una strada in discesa, inclinata di 12◦ rispetto all’orizzontale. In posizione eretta, il ciclista ha un’area frontale di 0,45 m2 e un coefficiente di resistenza pari a 1,1; in posizione di gara, l’area frontale e` 0,4 m2 e il coefficiente di resistenza vale 0,9. Calcolare la velocita` terminale del ciclista in aria di densita` 1,25 kg/m3 , quando egli non pedala ne´ frena, trascurando l’attrito di rotolamento e quello ai cuscinetti.

Analisi Il ciclista raggiunge la velocita` terminale quando la componente del suo peso P nella direzione del moto e la resistenza al ` essendo θ l’angolo che la moto Fr si fanno equilibrio tra loro, cioe, strada forma con l’orizzontale, quando

Fr = P sen θ Per la 11.5, deve essere, quindi,

1 Cr ρV 2 A = mg sen θ 2 da cui

s V =

2mg sen θ = Cr ρ A

s

2 × 95 × 9,81 × sen 12 1 × = 1,25 Cr A

17,6 m/s =√ Cr A Pertanto, quando e` in posizione eretta, la velocita` terminale del ciclista risulta

17,6 17,6 Ve = √ =√ = 25,0 m/s Cr A 1,1 × 0,45 e, in posizione di gara,

17,6 17,6 Vg = √ =√ = 29,3 m/s Cr A 0,9 × 0,4 pari, rispettivamente, a 90 e a 105 km/h.

Discussione La notevole influenza che la posizione ha sulla resistenza al moto spiega l’attenzione che durante le gare i ciclisti pongono nell’assumerne una corretta.

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.27 Per misurare la velocita` del vento, si usa spesso un mulinello costituito da semisfere che possono ruotare attorno a un perno su un piano verticale o orizzontale. Un mulinello, costituito da due coppie di semisfere del diametro di 80 mm, i cui centri distano 25 cm, a causa di un problema meccanico, e` bloccato nella posizione di figura. Calcolare il momento torcente che agisce sul perno quando la velocita` del vento, di densita` 1,25 kg/m3 , e` di 15 m/s.

Analisi Sul perno agiscono i momenti delle due azioni di trascinamento Fr s e Fri che il vento esercita, rispettivamente, sulle semisfere superiore e inferiore, i quali hanno verso opposto, per cui, se b e` la distanza tra il centro di ciascuna semisfera e il perno, il momento risultante M e`

M = (Fr s − Fri )b e, per la 11.5, essendo d il diametro di ciascuna semisfera,

 M=

 1 1 πd 2 1 2 2 Cr s ρV A − Cri ρV A b = (Cr s − Cri )ρV 2 b 2 2 2 4

Essendo Cr s = 1,2 per la semisfera superiore e Cri = 0,4 per quella inferiore (vedi Tabella 11.2), sul perno agisce un momento

1 πd 2 M = (Cr s − Cri )ρV 2 b= 2 4 0,082 1 × 0,125 = = × (1,2 − 0,4) × 1,25 × 152 × π × 2 4 = 0,0706 N · m

11.28 Un contenitore di forma sferica, del diametro di 1,5 m, completamente immerso in acqua dolce, e` trainato da un battello alla velocita` di 4 m/s. Calcolare la potenza necessaria, supponendo che il regime di moto sia turbolento.

Analisi Per la 11.5, essendo, nell’ipotesi di moto turbolento, Cr = 0,2 (vedi Tabella 11.2), la resistenza al moto esercitata dall’acqua sul contenitore sferico di diametro d e` 1 1 πd 2 Fr = Cr ρV 2 A = Cr ρV 2 = 2 2 4 =

1 1,52 × 0,2 × 1 000 × 42 × π × = 2,83 kN 2 4

Pertanto, la potenza P necessaria per trainarla e`

P = Fr V = 2,83 × 4 = 11,3 kW

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25 cm

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16 Capitolo 11

11.29 Quando un veicolo si muove con velocita` costante su una strada orizzontale, trascurando l’attrito ai cuscinetti delle ruote, la potenza trasmessa alle ruote viene utilizzata per vincere la resistenza aerodinamica e l’attrito per rotolamento, pari al prodotto del coefficiente d’attrito al rotolamento per il peso del veicolo. Un’automobile, avente una massa di 950 kg, un coefficiente di resistenza di 0,32, un’area frontale di 1,8 m2 e un coefficiente d’attrito al rotolamento di 0,04, trasmette alle ruote una potenza massima di 80 kW. Assumendo per l’aria una densita` di 1,20 kg/m3 , calcolare (a) la velocita` in corrispondenza della quale la resistenza per rotolamento risulta uguale alla resistenza aerodinamica e (b) la velocita` massima che puo` essere raggiunta dall’automobile.

Analisi (a)

Essendo P il peso complessivo del veicolo, Car il coefficiente di attrito al rotolamento e Fr la resistenza aerodinamica, si ha

Fr = Car P e, per la 11.5,

1 Cr ρV 2 A = Car P 2 da cui

s V =

Car mg 2 = Cr ρ A

s 2×

0,04 950 × 9,81 × = 32,8 m/s 0,32 1,20 × 1,8

pari a 118 km/h. (b)

La velocita` dell’automobile raggiunge il valore massimo quando la potenza necessaria per vincere la resistenza per rotolamento e la resistenza aerodinamica a quella velocita` raggiunge la potenza massima Pmax trasmessa alle ruote. Per cui

 Pmax =

 1 2 Cr ρVmax A + Car P Vmax 2

da cui l’equazione di terzo grado in Vmax

1 3 Cr ρVmax A + Car P Vmax − Pmax = 2   0,32 3 = × 1,20 × 1,8 Vmax + (0,04 × 950 × 9,81) Vmax + 2 3 − 80 × 103 = 0,346Vmax + 373Vmax − 80 × 103 = 0

la cui soluzione e` Vmax = 55,5 m/s, pari a 200 km/h. Per tale ` la resistenza al moto risulta velocita,

1 1 2 Fr = Cr ρVmax A = × 0,32 × 1,20 × 55,52 × 1,8 = 1060 N 2 2 Copyright © 2015, 2011, 2008 McGraw-Hill Education (Italy), S.r.l.

Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

Essendo la resistenza per rotolamento pari a 373 N, essa e` pari al 26% della resistenza totale. Infatti

373 Car P = = 0,260 Fr + Car P 1060 + 373 Pertanto, la potenza massima serve per poco piu` di un quarto a superare la resistenza per rotolamento e per i rimanenti tre quarti per superare la resistenza aerodinamica.

11.30 Il coefficiente di resistenza di un’automobile aumenta quan-

tettuccio chiuso

do vengono aperti i finestrini o il tettuccio apribile. Un’automobile ha un’area frontale di 1,60 m2 e un coefficiente di resistenza di 0,32 con finestrini e tettuccio chiusi, che diventa pari a 0,41 quando si apre il tettuccio. Assumendo per l’aria una densita` di 1,20 kg/m3 , calcolare l’incremento di potenza richiesto dall’apertura del tettuccio quando l’automobile viaggia alla velocita` di (a) 60 km/h e (b) 120 km/h.

Analisi Indicando con Pa la potenza necessaria per vincere la resistenza al moto a tettuccio aperto e con Pc il corrispondente valore

Cr H 0,32

a tettuccio chiuso, la differenza tra i due valori, per la 11.5, e`

1 1 1P = Pa − Pc = Cra ρV 3 A − Cr c ρV 3 A = 2 2 1 = ρV 3 A(Cra − Cr c ) 2 (a)

Cr H 0,41

Alla velocita` di 60 km/h, l’incremento di potenza richiesto e`

1 1Pa = ρV 3 A(Cra − Cr c ) = 2   1 60 3 = × 1,20 × × 1,60 × (0,41 − 0,32) = 2 3,6 = 0,400 kW (b)

Alla velocita` di 120 km/h, l’incremento di potenza diviene

 1Pb = 1Pa

Vb Va

3

 = 400 ×

120 60

3 = 3,20 kW

Discussione Essendo la potenza proporzionale al cubo della ve` quando questa raddoppia la potenza aumenta di un fattore locita, 23 = 8.

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tettuccio aperto

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18 Capitolo 11

11.31 Un sottomarino ha una forma che puo` essere assimilata a quella di un ellissoide del diametro di 5 m, lungo 25 m. Calcolare la

40 km/h

potenza necessaria perche´ esso possa muoversi orizzontalmente alla velocita` di 40 km/h in acqua di mare (ρa = 1025 kg/m3 ). Calcolare, inoltre, la potenza necessaria per trainare il sottomarino in aria ` Ipotizzare che il moto sia (ρ = 1,30 kg/m3 ) alla stessa velocita. turbolento in entrambi i casi.

Analisi La potenza P necessaria perche´ il sottomarino si muova a velocita` V e` pari al prodotto della velocita` per la resistenza al moto 1 Fr = Cr ρV 2 A 2 per cui

1 P = Fr V = Cr ρV 3 A 2 Per un ellissoide con L/D = 25/5 = 5 in regime turbolento si ha un coefficiente di resistenza Cr = 0,1 (vedi Tabella 11.2). Per cui, il valore della potenza, in acqua di mare, risulta

π D2 1 = Pa = Fr V = Cr ρa V 3 2 4   1 40 3 52 = × 0,1 × 1 025 × ×π × = 1 380 kW 2 3,6 4 e in aria

P = Pa

ρ 1,30 = 1 380 × = 1,75 kW ρa 1 025

Discussione Il rapporto tra le potenze necessarie per trainare il sottomarino in acqua e in aria e` uguale al rapporto tra le densita` dei due fluidi, pari a circa 800.

Moto su lastra piana 11.32 Quale proprieta` dei fluidi e` responsabile dello sviluppo dello ` Che influenza ha la velocita` sullo spessore strato limite di velocita? dello strato limite?

Analisi La viscosita` e` la proprieta` dei fluidi responsabile dello ` Tanto piu` grande e` la velocita` sviluppo dello strato limite di velocita. (e quindi il numero di Reynolds) piu` lo strato limite e` “forzato” contro la parete e, pertanto, piu` esso e` sottile.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.33 Nel moto di un fluido su una lastra piana, cosa rappresenta il coefficiente d’attrito? Che rapporto ha con la forza di trascinamento che agisce sulla lastra? ` in generale, un indice della resiAnalisi Il coefficiente di attrito e, stenza d’attrito, cioe` di quella parte, dovuta agli sforzi tangenziali, della forza di trascinamento che un fluido in moto esercita su un corpo immerso. Per una lastra piana, la forza di trascinamento coincide con la resistenza d’attrito e, pertanto, il coefficiente di attrito coincide con il coefficiente di resistenza.

11.34 Nel moto laminare su lastra piana, come cambia, con la posizione, il coefficiente d’attrito locale?

Analisi Nel moto laminare su lastra piana il coefficiente d’attrito locale e` inversamente proporzionale alla radice quadrata della distanza dallo spigolo iniziale della lastra.

11.35 Nel moto laminare su lastra piana, come si calcola il coefficiente d’attrito medio?

Analisi Nel moto laminare su lastra piana il coefficiente di attrito medio si ottiene integrando il valore locale sulla intera lunghezza L della lastra e dividendo il risultato per L . Esso puo` essere determinato anche sperimentalmente, misurando la resistenza al moto e dividendone il valore per la pressione dinamica ρV 2 /2.

11.36 Un olio leggero, alla temperatura di 23 ◦ C 3 (ρ = 886 kg/m e µ = 0,638 Pa · s), defluisce, con velocita` di 1,8 m/s, su una lastra piana lunga 5 m. Calcolare l’azione di trascinamento, per unita` di larghezza, esercitata dall’olio sulla lastra.

Analisi Essendo al bordo di uscita della lastra Re L =

ρV L 886 × 1,8 × 5 = = 1,25 × 104 < 5 × 105 µ 0,638

il moto e` ovunque laminare. Pertanto, il coefficiente di attrito medio e` espresso dalla 11.16

1,33 1,33 Ca = √ =p = 0,0119 Re L 1,25 × 104 Conseguentemente, per la 11.11, l’azione di trascinamento esercitata dall’olio sulla lastra, per unita` di larghezza, e`

1 1 Fr = Fa = Ca ρV 2 A = ×0,0119×886×1,82 ×5×1 = 85,4 N 2 2

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20 Capitolo 11

5 °C 55 km/h 4m

10 m

11.37 In una giornata invernale, sulla parete di una costruzione, alta 4 m e lunga 10 m, soffia tangenzialmente un forte vento, alla pressione di 1013 hPa e temperatura di 5 ◦ C (ρ = 1,269 kg/m3 e µ = 1,754 × 10−5 Pa · s). Calcolare l’azione di trascinamento sulla parete, supponendo che la superficie sia liscia, per una velocita` del vento di 55 km/h e per una velocita` doppia. Quanto e` realistico studiare il moto dell’aria sulla parete come un moto su lastra piana?

Analisi Per V1 = 55 km/h, essendo al bordo di uscita dalla parete Re L1 =

ρV1 L 1,269 × 55/3,6 × 10 = = 1,11 × 107 > 5 × 105 µ 1,754 × 10−5

il moto e` laminare solo nella parte iniziale della parete e turbolento nella parte restante. In tal caso, se la parete puo` essere considerata liscia, per la 11.20, il coefficiente di attrito medio Ca1 e`

1 742 1 742 0,074 0,074 − − =√ = 0,00273 Ca1 = √ 5 5 7 Re L1 1,11 × 107 Re L1 1,11 × 10 Pertanto, per la 11.11, l’azione di trascinamento esercitata dal vento sulla parete risulta

1 1 Fr 1 = Ca1 ρV12 A = × 0,00273 × 1,269 × 2 2



55 3,6

2 × 10 × 4 =

= 16,2 N Per la velocita` V2 = 110 km/h, doppia della precedente, il numero di Reynolds Re L2 e` anch’esso il doppio e il moto e` ancora laminare nella parte iniziale della parete e turbolento nella parte restante. Per la 11.20, il coefficiente di attrito medio e`

1 742 0,074 1 742 0,074 − Ca2 = √ − =√ = 0,00243 5 5 Re L2 2,22 × 107 2,22 × 107 Re L2 L’azione di trascinamento diviene

Fr 2 = Fr 1

Ca2 V22 0,0243 = 16,2 × × 22 = 57,7 N 2 0,0273 Ca1 V1

pari a circa il quadruplo del caso precedente, essendo essa proporzionale al quadrato della velocita` (che raddoppia) e risultando il coefficiente di attrito medio poco diverso dal precedente.

Discussione Studiare il moto dell’aria sulla parete come un moto su lastra piana non e` molto realistico. Infatti, quando la corrente d’aria investe l’edificio, si ha separazione del moto in corrispondenza degli spigoli laterali. Pertanto, un calcolo corretto dell’azione di trascinamento richiederebbe lo studio del moto dell’aria attorno all’intero edificio. Inoltre, e` poco realistica l’ipotesi che la parete possa considerarsi liscia.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.38 Un impianto industriale produce una lamina di plastica continua, larga 1,2 m e spessa 2 mm, a una velocita` di 15 m/min. La lamina e` raffreddata su entrambe le facce da una corrente d’aria a 1013 hPa e a 60 ◦ C (ρ = 1,059 kg/m3 e µ = 2,008 × 10−5 Pa · s), che si muove con velocita` di 3 m/s in direzione normale a quella della lamina. La corrente d’aria ha una larghezza tale da essere attraversata in 2 s da un punto sulla lamina. Calcolare l’azione di trascinamento esercitata dall’aria nella direzione del suo moto.

aria 3 m/s foglio di plastica

Analisi Essendo al bordo di uscita dalla lamina Re L =

ρV L 1,059 × 3 × 1,2 = = 1,90 × 105 < 5 × 105 −5 µ 2,008 × 10

il moto e` ovunque laminare. Pertanto, per la 11.16, il coefficiente di attrito medio e`

1,33 1,33 Ca = √ =p = 0,00305 Re L 1,90 × 105 Considerando che la corrente d’aria raffredda entrambe le facce della lamina e che, essendo V f = 15 m/min la velocita` di produzione della lamina, la lunghezza del tratto da raffreddare e`

 s = V f 1t =

15 60

 × 2 = 0,5 m

per la 11.11, l’azione di trascinamento esercitata dall’aria sulle due facce della lamina, la cui larghezza e` b = 1,2 m, essendo l’area complessiva A = 2bs , risulta

1 1 Fr = Ca ρV 2 A = × 0,00305 × 1,059 × 32 × 2 × 1,2 × 0,5 = 2 2 = 0,0174 N

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15 m/min

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22 Capitolo 11 aria 25 °C

70 km/h

11.39 Il tetto della carrozza di un treno e` largo 3,2 m e lungo 25 m. Calcolare la resistenza al moto esercitata sul tetto dall’aria, a 1013 hPa e a 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849 × 10−5 Pa · s), quando il treno viaggia a 70 km/h. Analisi Essendo Re L =

ρV L 1,184 × 70/3,6 × 25 = = 3,11 × 107 > 5 × 105 µ 1,849 × 10−5

il moto e` laminare solo nella parte iniziale della superficie e turbolento nella parte restante. In tal caso, se la parete puo` essere considerata liscia, per la 11.20, il coefficiente di attrito medio Ca e`

1 742 0,074 0,074 1 742 − =p = 0,00229 Ca = √ − 5 5 6 Re L 31,1 × 106 Re L 31,1 × 10 Pertanto, per la 11.11, la resistenza al moto esercitata sul tetto dall’aria risulta

1 1 Fr = Ca ρV 2 A = × 0,00229 × 1,184 × 2 2



70 3,6

2 × 3,2 × 25 =

= 41,0 N Analisi Essendo Re L piuttosto elevato, il coefficiente di attrito medio potrebbe essere calcolato considerando il moto ovunque turbolento (cioe` trascurando il tratto laminare), senza commettere un errore apprezzabile. Nella pratica, a causa della scabrezza, la resistenza al moto avra` un valore piu` elevato di quello calcolato.

11.40 Nel moto laminare di un fluido su una lastra piana, di quanto aumenta l’azione di trascinamento se la velocita` raddoppia (supponendo che il regime di moto si mantenga laminare)?

Analisi L’azione di trascinamento su una lastra piana e` data dalla 11.11

1 Fr = Fa = Ca ρV 2 A 2 nella quale il coefficiente di attrito medio, in regime di moto laminare, e` dato dalla 11.16. Pertanto, si ha

1 1 1,33 1 1,33 Fr = Ca ρV 2 A = √ ρV 2 A = √ ρV 2 A = 2 2 Re L 2 ρV L/µ 1 1,33 = √ ρ AV 3/2 2 ρ L/µ Essendo l’azione di trascinamento proporzionale alla velocita` elevata a 3/2, se essa raddoppia l’azione di trascinamento aumenta di un fattore 23/2 = 2,83.

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.41 Su una lastra piana scorre aria, a 1013 hPa e a 25 ◦ C (ρ = 1, 184 kg/m3 e µ = 1, 849 × 10−5 Pa · s), alla velocita` di 8 m/s. Calcolare la distanza dal bordo d’attacco del punto in cui il moto diventa turbolento e lo spessore dello strato limite corrispondente.

Analisi Il valore critico del numero di Reynolds in corrispondenza del quale lo strato limite diviene turbolento e`

Recr =

ρV x = 5 × 105 µ

Tale valore viene raggiunto alla distanza dal bordo d’attacco

x = Recr

1,849 × 10−5 µ = 5 × 105 × = 0,976 m ρV 1,184 × 8

in cui lo spessore dello strato limite, per la 5 dell’Esempio 10.1, risulta

4,91 4,91 × 0,976 δx = √ x= √ = 0,00678 m = 6,78 mm Rex 5 × 105

11.42 Risolvere l’esercizio precedente nel caso in cui il fluido sia acqua (ρ = 997 kg/m3 e µ = 0,891 × 10−3 Pa · s). Analisi Se il fluido e` acqua, procedendo come nell’esercizio precedente, il moto diventa turbolento alla distanza dal bordo d’attacco

x = Recr

µ 0,891 × 10−3 = 5 × 105 × = 0,056 m ρV 997 × 8

in cui lo spessore dello strato limite risulta

4,91 4,91 × 0,0559 δx = √ x= √ = 0,00039 m = 0,39 mm Rex 5 × 105

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24 Capitolo 11

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Moto attorno a cilindri e sfere 11.43 Nel moto attorno a un cilindro, perche´ quando il regime di moto diventa turbolento il coefficiente di resistenza diminuisce bruscamente?

Analisi Quando il regime di moto diventa turbolento, il punto in cui lo strato limite si separa si sposta piu` a valle e pertanto la regione di scia ha dimensioni piu` ridotte e in essa la pressione e` meno bassa. Di conseguenza, il coefficiente di forma, che e` proporzionale alla differenza di pressione che si crea tra la parte anteriore e quella posteriore del cilindro, non appena il regime di moto diviene turbolento diminuisce bruscamente e, con esso, anche il coefficiente di resistenza. Quindi, nel campo di valori di Re per cui si ha il passaggio dal moto laminare a quello turbolento, la brusca diminuzione del coefficiente di forma comporta una improvvisa diminuzione della ` specie per un corpo resistenza al moto con conseguenti instabilita, in volo.

11.44 Nel moto attorno a un corpo tozzo, come un cilindro, che differenza c’e` tra resistenza d’attrito e resistenza di forma?

Analisi Nel moto di un fluido attorno ad un corpo tozzo, la resistenza di forma, che e` la parte dell’azione di trascinamento derivante dagli sforzi normali che il fluido esercita sulla superficie del corpo, e` preponderante rispetto alla resistenza di attrito, che e` invece la parte derivante dagli sforzi tangenziali. Pertanto, la resistenza di forma e` molto maggiore della resistenza di attrito (tranne che per numeri di Reynolds molto bassi).

´ nel moto attorno a un cilindro, quando il regime e` 11.45 Perche, turbolento la separazione viene ritardata?

Analisi In regime turbolento, il ritardo nel distacco e` dovuto alle oscillazioni rapide del fluido nella direzione ortogonale a quella del moto, che consentono allo strato limite di mantenersi piu` a lungo verso valle prima che esso si separi, con una scia piu` stretta e una resistenza di forma inferiore.

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

25

11.46 Una tubazione del diametro di 60 mm attraversa, completamente immersa, la sezione trasversale di un corso d’acqua, larga 30 m. La velocita` media della corrente e` di 1,5 m/s e la sua temperatura e` di 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s). Calcolare l’azione di trascinamento esercitata dalla corrente sulla tubazione.

Analisi Essendo D = 0,060 m il diametro della tubazione e V = 1,5 m/s la velocita` della corrente, si ha Re =

ρV D 998 × 1,5 × 0,060 = = 8,96 × 104 µ 1,002 × 10−3

per cui il coefficiente di resistenza risulta Cr ∼ = 1,1 (vedi Figura 11.30). Essendo l’area frontale della tubazione pari al prodotto della larghezza L della sezione trasversale del corso d’acqua e del diametro, l’azione di trascinamento e`

1 1 Fr = Cr ρV 2 L D = × 1,1 × 998 × 1,52 × 30 × 0,06 = 2 2 = 2,22 kN

11.47 Calcolare l’azione di trascinamento esercitata, quando l’aria e` alla pressione di 1013 hPa e alla temperatura di 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849 × 10−5 Pa · s), da un vento di 30 km/h sulle braccia nude aperte di una persona, assimilando ciascun braccio a un cilindro del diametro di 80 mm, lungo 60 cm.

Analisi Essendo D il diametro del braccio e V la velocita` del vento, si ha

Re =

ρV D 1,184 × 30/3,6 × 0,08 = 4,27 × 104 = µ 1,849 × 10−5

per cui il coefficiente di resistenza risulta Cr ∼ = 1,0 (vedi Figura 11.30). Essendo l’area frontale di ciascun braccio pari al prodotto della lunghezza L e del diametro D , l’azione di trascinamento su entrambe le braccia e`

1 Fr = 2 Cr ρV 2 L D = 2 1 = 2 × × 1,0 × 1,184 × 2



30 3,6

2 × 0,6 × 0,08 =

= 3,95 N

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aria 25 °C, 30 km/h

26 Capitolo 11

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11.48 Una lunga tubazione fuori terra, del diametro di 80 mm, attraversa una zona esposta a forti venti. Calcolare l’azione di trascinamento esercitata dal vento per unita` di lunghezza della tubazione, quando l’aria e` alla pressione di 1013 hPa e alla temperatura di 5 ◦ C (ρ = 1,269 kg/m3 e µ = 1,754 × 10−5 Pa · s) e la velocita` del vento e` di 50 km/h, ortogonale alla tubazione.

Analisi Essendo D il diametro della tubazione e V la velocita` del vento, si ha

Re =

1,269 × 50/3,6 × 0,08 ρV D = 8,04 × 104 = µ 1,754 × 10−5

per cui il coefficiente di resistenza risulta Cr ∼ = 1,0 (vedi Figura 11.30). Essendo l’area frontale della tubazione, per unita` di lunghezza, pari al diametro D , l’azione di trascinamento e`

1 1 Fr = Cr ρV 2 L D = × 1,0 × 1,269 × 2 2



50 3,6

2 × 1 × 0,08 =

= 9,79 N

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Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.49 Calcolare la velocita` terminale di chicchi di grandine (ρg = 910 kg/m3 ) del diametro di 8 mm che cadono in aria a 1013 hPa e a 5 ◦ C (ρ = 1,269 kg/m3 e µ = 1,754 × 10−5 Pa · s). Analisi Un oggetto in caduta libera raggiunge la velocita` massima, chiamata velocita` terminale, quando tutte le forze che agiscono sul corpo, cioe` il peso P , la spinta di galleggiamento Sg e la resistenza al moto Fr , si fanno equilibrio tra loro. Nel caso in esame, essendo ` la spinta di galleggiamento Sg e` l’aria un fluido di piccola densita, trascurabile, per cui, esprimendo la resistenza al moto con la 11.5, la velocita` terminale si ha quando

1 Cr ρV 2 A = ρg gW 2 da cui, essendo A = π D 2 /4 e W = π D 3 /6,

s V =

2ρg gW = Cr ρ A

s

4 ρg g D 3 ρ Cr

Essendo Cr funzione del numero di Reynolds (vedi Figura 11.30), e` necessario procedere per successive approssimazioni. Risulta

s V =

4 ρg g D = 3 ρ Cr

s

4 × 910 × 9,81 × 0,008 1 1 = 8,66 √ m/s 3 × 1,269 Cr Cr

e

ρV D 1,269 × 8,66 × 0,008 1 1 = √ = 5 010 √ −5 µ 1,754 × 10 Cr Cr √ In Figura 11.30, per Re = 6 000 si legge Cr = 0,40 da √ cui Re Cr = 3 800 e per Re = 8 000 si legge Cr = 0,40 da cui Re Cr = 5 060. Pertanto, Cr = 0,40 e Re =

1 8,66 V = 8,66 √ = √ = 13,7 m/s Cr 0,40

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Cr 2

cilindro

1 0,6 0,4 0,2

sfera 103

104 Re

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28 Capitolo 11

11.50 Una pallina da ping pong sospesa su un getto d’aria che si

getto d’aria

muove verso l’alto, torna sempre verso il centro del getto quando la si sposta da questa posizione. Spiegare questo fenomeno, usando l’equazione di Bernoulli, e calcolare la velocita` dell’aria, a 1013 hPa e a 5 ◦ C (ρ = 1,269 kg/m3 e µ = 1,754 × 10−5 Pa · s), per mantenere in equilibrio una pallina che ha una massa di 2,6 g e un diametro di 38 mm.

pallina

Analisi Spostando la pallina verso l’esterno del getto, essa torna sempre verso il centro perche´ la distribuzione di velocita` all’inter` infatti, per effetto della no del getto non e` uniforme. La velocita, resistenza dell’aria in quiete, ha valore massimo sull’asse del getto e valore nullo all’interfaccia con l’aria in quiete. Conseguentemente, per il teorema di Bernoulli, la pressione in corrispondenza dell’asse e` minore. Sulla pallina agiscono il suo peso P (verticale, diretto verso il basso), la spinta di galleggiamento Sg (verticale, diretta verso l’alto) e l’azione di trascinamento Fr (verticale, diretta verso l’alto). Essen` la spinta di galleggiamento do l’aria un fluido di piccola densita, Sg e` trascurabile, per cui, essendo m la massa della pallina, D il suo diametro e V la velocita` del getto ed esprimendo l’azione di trascinamento con la 11.5, si ha equilibrio quando

1 Cr ρV 2 A = mg 2 e, quindi, per una velocita`

s V =

2gm = Cr ρ A

s

8gm Cr ρπ D 2

Essendo Cr funzione del numero di Reynolds (vedi Figura 11.30), e` necessario procedere per successive approssimazioni. Risulta

s V =

8gm = Cr ρπ D 2

s

8 × 9,81 × 0,0026 1 1 = 5,96 √ m/s 2 1,269 × π × 0,038 Cr Cr

e

Cr

Re =

2

cilindro

ρV D 1,269 × 5,96 × 0,038 1 1 = √ = 16 400 √ µ 1,754 × 10−5 Cr Cr √

1

In Figura 11.30, per Re = 20 000 si legge Cr = 0,45 da√ cui Re Cr = 13 400 e per Re = 40 000 si legge Cr = 0,50 da cui Re Cr = 28 300. Ponendo Cr = 0,46, risulta

0,6 0,4 sfera 0,2 104

105

Re

1 5,96 V = 5,96 √ = √ = 8,79 m/s Cr 0,46

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

29

Portanza 11.51 Perche´ per un profilo alare il contributo degli effetti viscosi ` di solito, trascurabile? alla portanza e,

Analisi La portanza e` la componente nella direzione normale a quella del moto degli sforzi che un fluido in movimento esercita sul corpo. Un corpo affusolato, come un profilo alare, ha una forma studiata in modo che esso sia quasi allineato con le linee di flusso del campo di moto; pertanto, gli sforzi viscosi, che agiscono tangenzialmente alla superficie, sono praticamente paralleli al moto e non danno un contributo significativo alla portanza.

11.52 Nel moto dell’aria attorno a un profilo alare simmetrico, con angolo di incidenza nullo, la portanza e` nulla o diversa da zero? e la resistenza?

direzione della portanza

Fp

Fr

α V

direzione dello sforzo tangenziale

punti di ristagno

Analisi Nel moto dell’aria attorno ad un profilo alare, poiche´ il contributo degli sforzi tangenziali e` trascurabile, la portanza puo` essere calcolata semplicemente integrando la distribuzione di pressione sulla superficie del profilo. La pressione sulla superficie varia nella direzione del moto, ma rimane sostanzialmente costante all’interno dello strato limite nella direzione normale alla superficie, per cui e` possibile ignorare il sottile strato limite attorno al profilo e calcolare la distribuzione di pressione sul profilo ipotizzando che il moto sia irrotazionale. In tali condizioni, quando l’angolo di incidenza e` nullo, la distribuzione di pressione e` simmetrica, i punti di ristagno si trovano in corrispondenza dei bordi di entrata e di uscita e la portanza sul profilo e` nulla. La resistenza al moto, invece, e` diversa da zero.

11.53 Nel moto dell’aria attorno a un profilo alare asimmetrico, con angolo di incidenza nullo, la portanza e` nulla o diversa da zero? e la resistenza?

Analisi Sul profilo non simmetrico con un angolo di incidenza nullo, la portanza e` diversa da zero e deriva dal fatto che sulla faccia superiore si ha una velocita` maggiore che sulla faccia inferiore e quindi, per il teorema di Bernoulli, una pressione minore. Anche la resistenza al moto e` diversa da zero.

11.54 Nel moto dell’aria attorno a un profilo alare simmetrico, con un angolo di incidenza di 5◦ , la portanza e` nulla o diversa da zero? e la resistenza?

Analisi Nel moto dell’aria attorno ad un profilo alare simmetrico, con un angolo di incidenza di 5°, sia la portanza che la resistenza sono diverse da zero.

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punti di ristagno

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30 Capitolo 11

11.55 Cos’e` lo stallo? Cosa lo causa? Analisi Lo stallo e` l’improvvisa diminuzione di portanza su un

Fp Fr

profilo alare che si verifica quando l’angolo di incidenza supera ` causato dal distacco completo della vena un certo valore critico. E fluida sull’intera superficie superiore del profilo.

11.56 Per un profilo alare, la resistenza e la portanza aumentano ambedue con l’angolo di incidenza. Quale delle due aumenta di ` piu?

Analisi Un profilo alare deve dar luogo alla massima portanza con la minima resistenza. Esso e` tanto piu` efficiente quanto piu` e` alto, a parita` di angolo di incidenza, il rapporto portanza-resistenza, cioe` il rapporto tra il coefficiente di portanza C p e quello di resistenza Cr . Al crescere dell’angolo di incidenza, il coefficiente di portanza aumenta piu` del coefficiente di resistenza. Il loro rapporto puo` raggiungere valori attorno a 100 finche` il profilo non va in stallo (vedi Figura 11.39).

11.57 Perche´ i grandi aerei usano i flap nelle fasi di decollo e atterraggio? Puo` un aereo decollare e atterrare senza flap?

Analisi I flap sono superfici retrattili che servono a variare sia la forma che le dimensioni delle ali degli aerei per aumentarne la portanza e permettere cos`ı all’aereo di atterrare e decollare a velocita` basse. Un aereo puo` decollare e atterrare senza flap, ma ha bisogno di velocita` piu` elevate, con conseguenze sia sulla lunghezza della pista necessaria che sulla sicurezza in generale.

punti di ristagno

11.58 Nel moto dell’aria attorno a una pallina sferica, la portanza e` nulla o diversa da zero? E se la pallina sta ruotando? (a) pallina in quiete

portanza punti di ristagno

velocità alta, pressione bassa

velocità bassa, pressione alta

Analisi La portanza su una pallina sferica e` nulla se la pallina si muove senza ruotare o se la pallina ruota attorno ad un asse parallelo alla direzione del moto. Se la pallina ruota attorno ad un asse perpendicolare alla direzione del moto, essa, per la condizione di aderenza, trascina con se´ un po’ di fluido. Il campo di moto che ne risulta e` la sovrapposizione del campo di moto del fluido attorno alla pallina in quiete e di quello generato dalla rotazione della pallina in un fluido in quiete. I punti di ristagno si spostano piu` in basso e il moto non e` piu` simmetrico rispetto al piano orizzontale che contiene l’asse di rotazione. Per l’equazione di Bernoulli la pressione media nella parte superiore della pallina e` inferiore a quella nella meta` inferiore e quindi sulla pallina agisce una forza risultante verso l’alto (portanza).

(b) pallina in rotazione

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.59 Appena colpita, una pallina da tennis, avente massa di 57 g e diametro di 64 mm, ha una velocita` di 92 km/h e ruota in senso antiorario a 4200 gpm in aria a 1013 hPa e a 25 ◦ C (ρ = 1,184 kg/m3 e µ = 1,849 × 10−5 Pa · s). Determinare se la pallina, subito dopo essere stata colpita, si muove verso l’alto o verso il basso a causa dell’effetto combinato della gravita` e della rotazione.

Analisi La pallina, per effetto della rotazione, e` sottoposta all’ef` una portanza, che, essendo D fetto Magnus. Su di essa agisce, cioe, il suo diametro e V la velocita` con cui trasla, per la 11.6 vale Fp =

1 π D2 1 C p ρV 2 A = C p ρV 2 2 2 4

Il coefficiente di portanza e` funzione della velocita` angolare della pallina, che, essendo n il numero di giri al minuto, risulta

ω=

2πn 2 × π × 4 200 = = 440 rad/s 60 60

Dalla figura 11.44, valida per Re = 6 × 104 , in corrispondenza dell’ascissa

440 × 0,064 1 ωD = = 0,551 rad 2 V 2 × 92/3,6 si legge C p ∼ = 0,11. Pertanto, la portanza vale

Fp =

1 π D2 C p ρV 2 = 2 4

1 = × 0,11 × 1,184 × 2



92 3,6

2 ×

π × 0,0642 = 0,137 N 4

Poiche´ il peso proprio della pallina

P = mg = 0,057 × 9,81 = 0,559 N risulta maggiore della portanza, la pallina si muove verso il basso sotto l’azione di una forza risultante, di modulo

F = P − F p = 0,559 − 0,137 = 0,422 N Discussione Il valore adottato per il coefficiente di portanza C p puo` essere considerato accettabile in quanto

Re =

1,184 × 92/3,6 × 0,064 ρV D = = 10,5 × 104 µ 1,849 × 10−5

cioe` non e` troppo diverso dal valore 6 × 104 per il quale sono validi i valori riportati nella Figura 11.44.

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31

4200 gpm

92 km/h

32 Capitolo 11

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

11.60 Un aereo decolla alla velocita` di 190 km/h quando e` a pieno ` se il peso viene aumentato del carico. A quale velocita` decollera, 20%?

Analisi La velocita` V di decollo di un aereo e` quella in corrispondenza della quale la portanza risulta uguale al suo peso P . Esprimendo la portanza con la 11.6 ed eguagliandola al peso, si ottiene la 11.23

s V =

2P C pρ A

secondo la quale la velocita` di decollo e` proporzionale alla radice quadrata del peso. Per cui

√ p P2 V2 = V1 √ = 190 × 1,2 = 208 km/h P1

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.61 Al livello del mare, un aereo decolla a una velocita` di 220 km/h, in 15 s. In un aeroporto che si trova a una altitudine di 1600 m (ρ = 1,048 kg/m3 ), calcolare per lo stesso aereo (a) la velocita` di decollo, (b) il tempo di decollo e (c) la lunghezza aggiuntiva che deve avere la pista di decollo, ipotizzando in entrambi i casi che l’accelerazione sia costante.

Analisi (a)

220 km/h

Per la 11.23

s V =

2P C pρ A

la velocita` di decollo e` inversamente proporzionale alla radice quadrata della densita` dell’aria. Pertanto, assumendo per l’aria al livello del mare una densita` ρm = 1,225 kg/m3 , si ha

s √ ρm 1,225 V = Vm √ = 220 × = 238 km/h ρ 1,048 (b)

Se, al decollo, il moto e` uniformemente accelerato, l’accelerazione a e` pari al rapporto tra velocita` V e tempo t . Per cui, se l’accelerazione e` indipendente dalla quota di decollo, si ha

s √ ρm V V V 1,225 t= = = tm = √ tm = ×15 = 16,2 s a Vm /tm Vm ρ 1,048 (c)

In un moto uniformemente accelerato di un corpo che all’istante t = 0 parte dalla quiete, lo spazio s percorso in un tempo t e` s = at 2 /2. Pertanto, al decollo l’aereo percorre uno spazio

L=

1 2 1 V 2 1 at = t = Vt 2 2 t 2

Conseguentemente, la differenza fra gli spazi di decollo ad alta quota e al livello del mare e`

1 (V t − Vm tm ) = 2  √    √ ρm ρm 1 1 ρm = Vm √ −1 = √ tm − Vm tm = Vm tm 2 ρ ρ 2 ρ   1 220 1,225 = × × 15 × − 1 = 77,4 m 2 3,6 1,048

1L = L − L m =

Discussione La densita` dell’aria ha un effetto notevole sulle condizioni di decollo, per cui e` importante tenere conto del suo valore, in particolare quando si progetta una pista in localita` ad alta quota.

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33

34 Capitolo 11

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

11.62 Le ali di un piccolo aereo, avente massa totale di 1800 kg, hanno un’area planimetrica di 42 m2 . Calcolare i coefficienti di resistenza e di portanza di questo aereo quando viaggia a un’altitudine di 4000 m (ρ = 0,819 kg/m3 ), alla velocita` costante di 280 km/h con una potenza di 190 kW.

Analisi Se l’aereo viaggia a velocita` costante, la risultante delle forze che agiscono su di esso e` nulla. In particolare, un bilancio di forze nella direzione del moto assicura che la resistenza all’avanzamento Fr deve essere uguale alla spinta S sull’aereo. Se P e` la potenza necessaria per assicurare il moto a velocita` costante V , essendo P = SV , si ha Fr = S = P/V , per cui il coefficiente di resistenza, per la 11.5, risulta

Cr =

Fr 1 ρV 2 A 2

=

P 1 ρV 3 A 2

=

190 × 103 =   1 280 2 × 42 × 0,819 × 2 3,6

= 0,0235 In direzione verticale, il peso dell’aereo deve essere uguale alla portanza F p , per cui il coefficiente di portanza, per la 11.6 risulta

Cp =

Fp 1 ρV 2 A 2

=

mg 1 ρV 2 A 2

=

1 800 × 9,81 =   1 280 2 × 42 × 0,819 × 2 3,6

= 0,170 Discussione I valori calcolati valgono per la condizione di moto a velocita` costante. Infatti, in fase di decollo e di atterraggio, essi possono risultare sensibilmente diversi soprattutto perche´ l’angolo di incidenza e` diverso da zero.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

35

Riepilogo 11.63 Un cartellone pubblicitario, alto 2 m e largo 4 m, e` ancorato a un blocco di calcestruzzo, largo 4 m e spesso 15 cm (ρc = 2300 kg/m3 ), attraverso due pali del diametro di 50 mm, alti 4 m. Affinche´ il cartellone sia in grado di resistere a venti di 150 km/h (ρ = 1,30 kg/m3 ) provenienti da qualunque direzione,

4m 2m

calcolare (a) l’azione di trascinamento massima sul cartellone, (b) la forza di trascinamento sui pali e (c) il valore minimo della lunghezza del blocco di calcestruzzo.

4m calcestruzzo

Analisi (a)

L’azione di trascinamento sul cartellone e` massima quando la direzione del vento e` ortogonale al piano del cartellone. Essendo V la velocita` del vento, b = 4 m la larghezza del cartellone e h c = 2 m la sua altezza, per la 11.5 e`

1 1 Fr = Cr ρV 2 bh c = × 1,9 × 1,30 × 2 2



150 3,6

2 ×4×2=

= 17,2 kN nella quale si e` posto Cr = 1,9 (vedi Tabella 11.1). (b)

L’azione di trascinamento Fr p su ciascun palo, se D = 50 mm e` il diametro del palo e h p = 4 m la sua altezza, vale

1 1 Fr p = ρV 2 Dh p = × 0,3 × 1,30 × 2 2



150 3,6

2 × 0,050 × 4 =

= 67,7 N nella quale si e` posto Cr p = 0,3 (vedi Tabella 11.1). (c)

Le forze del vento sul tabellone e sui due pali esercitano un momento risultante che tende a farlo ruotare attorno all’asse orizzontale passante per il lato inferiore piu` lungo del blocco di calcestruzzo, opposto al lato da cui proviene il vento. A tale momento si oppone quello stabilizzante del peso P del blocco stesso. Il valore minimo L min della lunghezza del blocco di calcestruzzo e` quello per cui si ha equilibrio tra i due momenti. Essendo s = 15 cm lo spessore del blocco, br = h p + h/2 + s = 4 + 1 + 0,15 = 5,15 m il braccio dell’azione di trascinamento sul cartellone, br p = h p /2 + s = 2 + 0,15 = 2,15 m il braccio dell’azione di trascinamento sul palo e b p = L min /2 il braccio del peso del blocco, si ha

Fr br + 2Fr p br p = Pb p ed, essendo P = ρc gWc = ρc gs L min b,

Fr br + 2Fr p br p = ρc gs L min b

L min 2

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4m 0,15 m

36 Capitolo 11

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

da cui

s

2(Fr br + 2Fr p br p ) = ρc gsb

s

2 × (17 200 × 5,15 + 2 × 67,7 × 2,15) = 3,62 m 2 300 × 9,81 × 0,15 × 4

L min =

=

Analisi La lunghezza ottenuta e` piuttosto elevata e poco pratica. Per ridurne il valore, si puo` aumentare lo spessore del blocco di calcestruzzo o ancorare il blocco al terreno, in modo che la sua stabilita` non sia piu` affidata solamente al peso proprio ma aumenti grazie alle forze di ancoraggio.

30 km/h

11.64 Una barca di plastica, il cui fondo puo` essere considerato una superficie piana larga 1,5 m e lunga 4 m, scorre su acqua a 15 ◦ C (ρ = 999,1 kg/m3 e µ = 1,138 × 10−3 Pa · s), alla velocita` di 30 km/h. Calcolare la resistenza che la barca incontra e la potenza necessaria per superarla.

Analisi Essendo L = 4 m la lunghezza della barca, in corrispondenza del bordo posteriore si ha

Re L =

ρV L 999,1 × 30/3,6 × 4 = 29,3 × 106 = µ 1,138 × 10−3

Poiche´ tale numero e` piuttosto elevato, si puo` ritenere trascurabile la lunghezza del tratto in regime laminare e, quindi, considerare che il moto nello strato limite sia ovunque turbolento. In tal caso, per la 11.17, il coefficiente di attrito e`

0,074 0,074 Ca = √ =p = 0,00238 5 5 Re L 29,3 × 106 Pertanto, per la 11.11, la resistenza al moto esercitata dall’acqua sul fondo della barca, essendo b = 1,5 m la sua larghezza, risulta

1 Fr = Fa = Ca ρV 2 Lb = 2 1 = × 0,00238 × 999,1 × 2



30 3,6

2 × 4 × 2 = 661 N

La potenza P necessaria per superare tale resistenza e` pari al prodotto della forza per la velocita`

P = Fr V = 661 ×

30 = 5,51 kW 3,6

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.65 Un paracadutista e il suo paracadute, del diametro di 8 m, pesano complessivamente 950 N. Calcolare la velocita` terminale del paracadutista, nell’ipotesi in cui la densita` dell’aria sia di 1,2 kg/m3 .

8m

Analisi Un oggetto in caduta libera raggiunge la velocita` terminale quando si annulla la risultante delle forze agenti, cioe` il peso P , la spinta di galleggiamento Sg e la resistenza al moto Fr . ` la Nel caso in esame, essendo l’aria un fluido di piccola densita, spinta di galleggiamento e` trascurabile, per cui, per la 11.5, essendo D = 8 m il diametro del paracadute, deve essere

π D2 1 Cr ρV 2 =P 2 4

950 N

da cui, ponendo Cr = 1,3 (vedi Tabella 11.2),

s V =

8P = Cr ρπ D 2

s

8 × 950 = 4,92 m/s 1,3 × 1,2 × π × 82

pari a 17,7 km/h.

Discussione Raggiunta la velocita` terminale, la discesa del paracadutista continua a velocita` costante perche´ e` nulla la risultante delle forze che agiscono su di esso. Una analisi piu` accurata potrebbe tener conto delle variazioni della densita` dell’aria con l’altitudine.

11.66 Una mongolfiera del diametro di 5 m e massa di 230 kg, sospesa in aria ferma, viene improvvisamente colpita dal vento alla velocita` di 40 km/h. Calcolare il valore iniziale dell’accelerazione.

5m

Ipotesi 1 La forma della mongolfiera puo` essere assimilata a quella di una sfera. 2 La corrente e` uniforme e orizzontale.

Analisi Per la 11.5, l’azione di trascinamento che la corrente esercita sul pallone, di diametro D = 5 m, essendo ρ = 1,2 kg/m3 la densita` dell’aria e Cr = 0,2 (vedi Tabella 11.2), e` 2

1 πD 1 Fr = Cr ρV 2 = × 0,2 × 1,2 × 2 4 2



40 3,6

2

2

×

V = 40 km/h

π ×5 = 4 m = 230 kg

= 291 N Per la seconda legge di Newton, il pallone, di massa m = 230 kg, e` sottoposto ad un’accelerazione iniziale

a=

Fr 291 = = 1,26 m/s2 m 230

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38 Capitolo 11

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11.67 Calcolare la forza di trascinamento esercitata dal vento, alla velocita` di 65 km/h, pressione di 1013 hPa e temperatura di 15 ◦ C, su un cavo elettrico lungo 160 m e con diametro di 6 mm. Ipotesi Il vento spira in direzione ortogonale al cavo. Analisi Alla pressione di 1013 hPa ed alla temperatura di 15 ◦ C, l’aria ha densita` ρ = 1,225 kg/m3 e viscosita` cinematica ν = 1,47 × 10−5 m2 /s, per cui Re =

65/3,6 × 0,006 VD = = 7,37 × 103 ν 1,47 × 10−5

Per tale valore di Re, in Figura 11.30 si legge Cr = 1,25. Per la 11.5, si ha

1 Fr = Cr ρV 2 L D = 2 1 = × 1,25 × 1,225 × 2



65 3,6

2 × 160 × 0,006 = 240 N

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto attorno ai corpi: resistenza e portanza

11.68 Gli specchietti retrovisori laterali della automobili, che in passato avevano la forma di un semplice disco, vengono da alcuni decenni realizzati con una forma arrotondata, con lo scopo di ridurre il coefficiente di resistenza dell’automobile e, di conseguenza, il consumo di carburante. Calcolare il carburante (ρ = 0,75 kg/l) e il denaro risparmiati in un anno, se uno specchietto circolare, del diametro di 13 cm, viene sostituito da uno specchietto di forma semisferica, dello stesso diametro, supponendo che l’automobile percorra 24 000 km all’anno, alla velocita` media di 95 km/h. Il costo del carburante, il potere calorifico e il rendimento complessivo del motore sono pari, rispettivamente, a 1,3 e/l, 44 000 kJ/kg e 30%.

Analisi In ambedue i casi la resistenza che lo specchietto, di diametro D , oppone al moto e` data dalla 11.5, nella quale Cr = 1,1 per lo specchietto piatto e Cr = 0,4 per quello semisferico (Tabella 11.2). Nel primo caso, essendo ρa = 1,20 kg/m3 la densita` dell’aria, si ha π D2 1 1 = × 1,1 × 1,20 × Fr = Cr ρa V 2 2 4 2



95 3,6

2 ×

π × 0,132 = 4

= 6,10 N Moltiplicando Fr per la percorrenza annua L si ottiene l’energia dissipata dallo specchietto e, dividendo per il rendimento complessivo ` che risulta del motore η M , l’energia che questo deve fornire in piu,

EM =

Fr L 6,10 × 24 000 = = 488 000 kJ/anno ηM 0,30

Dividendo per il potere calorifico Hi del carburante, si ha il consumo annuo m c di carburante

mc =

EM 488 000 = = 11,1 kg/anno Hi 44 000

pari ad appena

Wc =

mc 11,1 = = 14,8 l/anno ρ 0,750

con un costo annuo di 14,8 × 1,3 = 19,2 e. Utilizzando uno specchietto semisferico, la resistenza al moto si riduce nel rapporto 0,4/1,1 = 0,36. Pertanto, il costo annuo del carburante si riduce a 7,00 e con un risparmio del 64%.

Discussione La sostituzione di uno specchietto piatto con uno semisferico comporta un risparmio percentualmente elevato, ma piccolo in assoluto. Un risparmio significativo si puo` avere, invece, agendo su tutte le parti dell’automobile, eliminando o arrotondando gli spigoli, com’e` ormai usuale. Analogamente, per ridurre i consumi, nei grossi aerei i carrelli scompaiono nella fusoliera e in quelli piccoli le ruote sono opportunamente carenate.

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specchietto piatto 95 km/h

D = 13 cm

specchietto semisferico 95 km/h

D = 13 cm

39

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40 Capitolo 11

11.69 La viscosita` di un fluido puo` essere determinata dalla legge sferetta di vetro

di Stokes misurando la velocita` terminale di un oggetto sferico lasciato cadere nel fluido. A tale scopo, si puo` riportare su un grafico la distanza percorsa in funzione del tempo, fino a che la curva diventa una retta. In un esperimento di questo tipo, viene lasciata cadere una sferetta di vetro (ρv = 2500 kg/m3 ), del diametro di 3 mm, in un fluido di densita` ρ = 875 kg/m3 . La sua velocita` terminale risulta 0,12 m/s. Determinare la viscosita` del fluido, trascurando gli effetti di parete.

Analisi Un oggetto in caduta libera raggiunge la velocita` terminale quando tutte le forze che agiscono sul corpo, cioe` il peso P , la spinta di galleggiamento Sg e l’azione di trascinamento Fr , si fanno equilibrio tra loro. Per la 3.46, essendo D = 3 mm il diametro della sferetta, la spinta di galleggiamento e`

Sg = ρgW = ρg

π D3 6

mentre, ipotizzando che il moto sia di puro scorrimento (Re < 1), per la 11.9 (legge di Stokes), la resistenza al moto e`

Fr = 3π µV D La velocita` terminale viene raggiunta quando

Fr = P − Sg cioe` per

3π µV D = (ρv − ρ)g

π D3 6

da cui

π D3 2 6 = 1 (ρ − ρ) g D = v 3π V D 18 V

(ρv − ρ)g µ= =

1 9,81 × 0,0032 × (2 500 − 875) × = 0,0664 Pa · s 18 0,12

Essendo

Re =

ρV D 875 × 0,12 × 0,003 = = 4,74 µ 0,0664

l’ipotesi di moto di puro scorrimento (Re < 1) non puo` considerarsi verificata. Tuttavia, il calcolo puo` considerarsi ancora corretto, in quanto la legge di Stokes puo` essere usata finche´ Re < 10, perche´ la separazione dello strato limite inizia per Re ∼ = 10.

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McGraw-Hill

gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

12 Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

12

MOTO DEI FLUIDI COMPRIMIBILI

SOMMARIO Nello studio del moto di un fluido ad alta velocita` ` e` necessario tener conto della sua comprimibilita. Cio` e` particolarmente vero nel caso dei gas. In tale tipo di problemi vengono abitualmente chiamate grandezze di ristagno i valori che le grandez` temperatura ...) assumono ze (pressione, densita, quando il fluido subisce un completo arresto con una trasformazione adiabatica. Nel caso frequentissimo in cui le variazioni di energia potenziale sono trascurabili, tali grandezze coincidono con le grandezze totali. Per distinguerle da tali grandezze, quelle originali vengono chiamate grandezze statiche. In particolare, l’entalpia di ristagno e` definita come

V2 hT = h + 2

(12.1)

La temperatura di ristagno di un gas perfetto con calori specifici costanti e`

TT = T +

V2 2c p

(12.5)

e rappresenta la temperatura raggiunta da un gas ideale che si arresta adiabaticamente. Le grandezze di ristagno sono legate alle grandezze statiche dalle relazioni

pT = p



ρT = ρ



TT T

k/(k−1)

TT T

1/(k−1)

(12.7)

(12.8)

Una perturbazione infinitesima si propaga in un

mezzo fluido con la stessa velocita` con cui vi si propaga il suono. In un gas ideale avente costante R , temperatura T e rapporto tra i calori specifici k , la velocita` del suono vale

c=

√ k RT

(2.41)

Il numero di Mach e` il rapporto tra la velocita` del fluido e la velocita` del suono nel fluido in quelle condizioni

Ma =

V c

(2.42)

Un moto e` definito sonico quando Ma = 1; subsonico quando Ma < 1; supersonico quando Ma > 1; ipersonico quando Ma  1 e transonico quando Ma ∼ = 1. Lo stato sonico viene chiamato anche stato critico; analogamente, vengono chiamate grandezze critiche i valori, contraddistinti da un asterisco, che le varie grandezze assumono per Ma = 1. Un ugello e` un tronco di tubazione a sezione decrescente nel senso del moto (ugello convergente). La velocita` massima che un fluido puo` raggiungere in un ugello convergente e` la velocita` del suono. Perche´ il fluido possa superare la velocita` del suono e` necessario che al tratto convergente segua un tratto a sezione crescente nel senso del moto (divergente). Un ugello a sezione prima decrescente nel senso del moto e poi crescente prende il nome di ugello convergente-divergente. La sezione di area minima e` chiamata gola ed e` quella in corrispondenza della quale la velocita` del fluido e` pari a quella del suono. Il rapporto tra grandezze di ristagno e grandezze statiche in funzione del numero di Mach e`

2

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

Capitolo 12

dato dalle relazioni

e



TT =1+ T

 k−1 Ma2 2

s (12.19)

Ma2 =

(k − 1)Ma21 + 2 2k Ma21 − k + 1

(12.38)

   k/(k−1) pT k−1 = 1+ Ma2 p 2

(12.20)

T2 2 + Ma21 (k − 1) = T1 2 + Ma22 (k − 1)

(12.34)

   1/(k−1) k−1 ρT 2 = 1+ Ma ρ 2

(12.21)

p2 1 + k Ma21 2k Ma21 − k + 1 = = p1 k+1 1 + k Ma22

(12.37)

Se al posto delle grandezze statiche si introducono le grandezze critiche si hanno i rapporti critici, che si ottengono dalle relazioni precedenti ponendo Ma = 1. Si ottiene

2 T∗ = TT k+1 p∗ = pT



ρ∗ = ρT



2 k+1

k/(k−1)

2 k+1

1/(k−1)

(12.22)

(12.23)

(12.24)

La pressione che vige nell’ambiente in cui sbocca un ugello e` chiamata contropressione. Per tutti i valori di contropressione minori della pressione critica p ∗ , la pressione nella sezione di sbocco di un ugello convergente e` pari a quella critica. In tali condizioni, si ha Ma = 1, la portata di massa e` massima e il flusso e` soffocato. Per un certo intervallo di valori della contropressione, in un fluido in moto supersonico (nel tratto divergente di un ugello convergentedivergente) si forma una onda d’urto normale, attraverso la quale il fluido subisce un brusco aumento di pressione e temperatura e una brusca diminuzione di velocita` fino a valori subsonici. Attraverso tale onda, il moto e` marcatamente irreversibile e, pertanto, non puo` essere considerato isoentropico. Tra le grandezze a monte dell’onda (1) e quelle a valle (2) sussistono le relazioni

TT 1 = TT 2

Tali relazioni valgono anche per un’onda obliqua, se il numero di Mach viene scritto usando la componente della velocita` normale all’onda. Il moto unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con scambi di calore e resistenze trascurabili prende il nome di flusso di Rayleigh. Nel flusso di Rayleigh, il fluido, tra una sezione in cui ha lo stato 1 e una in cui ha lo stato 2, scambia con l’esterno una quantita` di calore

qc = c p (T2 − T1 ) +

V22 − V12 = c p (TT 2 − TT 1 ) 2 (12.54)

Il moto unidimensionale adiabatico di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze non trascurabili prende il nome di flusso di Fanno. Nel flusso di Fanno, il fluido, partendo da una sezione in cui il numero di Mach ha il valore Ma, raggiunge lo stato sonico in una sezione posta a distanza L ∗ tale da soddisfare la relazione

1 − Ma2 k + 1 (k + 1)Ma2 λm L ∗ = + ln Di 2k kMa2 2 + (k − 1)Ma2 (12.88) in cui λm e` l’indice di resistenza medio. La lunghezza L del tratto compreso tra due sezioni in cui il numero di Mach vale, rispettivamente, Ma1 e Ma2 deve soddisfare la relazione

λm L = Di



λm L ∗ Di



 − 1

λm L ∗ Di

 (12.89) 2

Nel flusso di Fanno, la temperatura di ristagno TT si mantiene costante.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto dei fluidi comprimibili

SOLUZIONI Grandezze di ristagno 12.1 Negli impianti di condizionamento dell’aria, per misurare la temperatura si utilizza una sonda inserita nella corrente. Poiche´ a contatto della sonda la velocita` del fluido si annulla, la sonda misura, ` la temperatura di ristagno. L’errore che si commette e` un in realta, errore significativo?

Analisi No. L’errore che si commette non e` un errore significativo, perche´ negli impianti di condizionamento dell’aria le velocita` del fluido sono molto basse, per cui la temperatura statica e la temperatura di ristagno, che differiscono per il termine V 2 /2c p , sono praticamente coincidenti.

Discussione Se, invece, il moto dell’aria fosse stato supersonico, l’errore sarebbe stato significativo.

12.2 Una corrente di aria alla temperatura di 320 K defluisce in un condotto alla velocita` di (a) 1, (b) 10, (c) 100 e (d) 1000 m/s. Determinare la temperatura misurata, nei vari casi, da una sonda posta all’interno del condotto.

aria

Ipotesi Il processo di ristagno e` isoentropico. Proprieta` Il valore del calore specifico a pressione costante e` c p = 1,005 kJ/(kg · K). Analisi La sonda misura la temperatura dell’aria che si arresta completamente, cioe` la temperatura di ristagno. Per la 12.5, si ha (a)

TT = T +

12 V2 = 320 + = 320,00 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

(b)

TT = 320 +

102 = 320,05 K 2 × 1,005 × 1000

TT = 320 +

1002 = 324, 98 K 2 × 1,005 × 1000

TT = 320 +

10002 = 817,51 K 2 × 1,005 × 1000

(c)

(d)

Discussione A bassa velocita` la temperatura di ristagno e` praticamente identica alla temperatura statica. Per velocita` elevate, la differenza tra i due valori diventa notevole.

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320 K V

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Capitolo 12

12.3 Aria alla pressione di ristagno di 100 kPa e alla temperatura di ristagno di 27 ◦ C viene compressa isoentropicamente fino alla pressione di ristagno di 900 kPa. Calcolare la potenza assorbita dal compressore per una portata di 0,06 kg/s.

900 kPa

aria 0,06 kg/s

100 kPa 27 °C

PP

Ipotesi 1 Il moto dell’aria e` isoentropico. 2 L’aria si comporta come un gas ideale.

Proprieta` Il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi Per la 12.7, la temperatura di ristagno all’uscita del compressore e`

 TT 2 = TT 1

pT 2 pT 1

(k−1)/k

 = (273,2 + 27) ×

900 100

(1,4−1)/1,4 =

= 562,4 K Per la 12.10, trascurando le variazioni di energia potenziale e gli scambi di calore con l’esterno, il lavoro meccanico l1 per unita` di massa risulta

l1 = c p (TT 2 − TT 1 ) = 1,005 × (562,4 − 300,2) = 263,5 kJ/kg per cui, nell’ipotesi di rendimento unitario, la potenza PP assorbita dal compressore per la portata Q m = 0,06 kg/s e`

PP = Q m l1 = 0,06 × 263,5 = 15,8 kW

12.4 Una corrente d’aria in moto con una velocita` di 570 m/s ha una pressione di ristagno di 0,6 MPa e una temperatura di ristagno di 400 ◦ C. Calcolare la pressione statica e la temperatura statica. Ipotesi 1 Il moto dell’aria e` isoentropico. 2 L’aria si comporta come un gas ideale.

Proprieta` Ad una temperatura media presunta di 600 K, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, c p = 1,051 kJ/(kg · K) e k = 1,376.

Analisi Per la 12.5, la temperatura statica e` T = TT −

5702 V2 = (273,2 + 400) − = 518,6 K 2c p 2 × 1,051 × 1000

e la pressione statica, per la 12.7,

 p = pT

T TT

k/(k−1)

 = 0,6 ×

518,6 673,2

1,376/(1,376−1) = 0,231 MPa

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12.5 Gas combusti alla pressione di ristagno di 1,0 MPa e alla temperatura di ristagno di 820 ◦ C si espandono isoentropicamente in una turbina fino alla pressione di ristagno di 100 kPa. Essendo k = 1,33 e R = 0,287 kJ/(kg · K), calcolare la potenza dalla turbina

1 MPa 820 °C

per unita` di portata.

Ipotesi 1 Il processo di espansione e` isoentropico. 2 I gas combusti

gas combusti PT

si comportano come gas ideali.

Analisi Per la 12.7, la temperatura di ristagno all’uscita della turbina e`

 TT 2 = TT 1

pT 2 pT 1

(k−1)/k

 = (273,2 + 820) ×

100 1000

100 kPa

(1,33−1)/1,33 =

= 617,4 K Per la 12.18, il calore specifico a pressione costante e`

cp =

kR 1,33 × 0,287 = = 1,157 kJ/(kg · K) k−1 1,33 − 1

Per la 12.10, trascurando le variazioni di energia potenziale e gli scambi di calore con l’esterno, il lavoro meccanico per unita` di massa vale

l2 = c p (TT 1 − TT 2 ) = 1,157 × (273,2 + 820 − 617,4) = = 550,5 kJ/kg per cui, nell’ipotesi di rendimento unitario, la potenza PT della turbina per la portata Q m = 1 kg/s e`

PT = Q m l2 = 1 × 550,5 = 550 kW

Moto isoentropico unidimensionale 12.6 Nella sezione di sbocco di un ugello convergente la velocita` e` pari a quella del suono. Se, mantenendo inalterate le condizioni all’imbocco, si riduce ulteriormente l’area della sezione di sbocco, cosa accade (a) alla velocita` e (b) alla portata?

Analisi (a)

La velocita` allo sbocco rimane costante e uguale alla velocita` del suono.

(b)

La portata nell’ugello diminuisce perche´ diminuisce l’area della sezione trasversale allo sbocco.

Discussione In un convergente, la massima velocita` allo sbocco ` si deve e` quella sonica. Per aumentare ulteriormente la velocita, aggiungere un tratto divergente.

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12.7 Nel marzo 2004 la NASA ha provato con successo un velivolo dotato di un motore sperimentale a combustione supersonica (chiamato scramjet) che ha raggiunto il valore record di Mach 7. Se ha volato in aria alla temperatura di −20 ◦ C, quale velocita` ha raggiunto?

Ipotesi L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti.

Proprieta` La costante dell’aria e il rapporto tra i calori specifici sono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi La velocita` del suono, per la 2.41, e` p √ c = k RT = 1,4 × 0,287 × 1000 × (273,2 − 20) = 319 m/s per cui la velocita` raggiunta dal velivolo e`

V = c Ma = 319 × 7 = 2233 m/s = 8040 km/h

12.8 Un aereo di linea viaggia alla velocita` di 920 km/h alla quota di 10 km, dove la temperatura dell’aria e` di −50 ◦ C. Il moto dell’aereo e` subsonico o supersonico?

Ipotesi L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti.

Proprieta` La costante dell’aria e il rapporto tra i calori specifici sono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi La velocita` del suono, per la 2.41, e` p √ c = k RT = 1,4 × 287 × (273,2 − 50) = 299 m/s = = 1080 km/h e, pertanto, il numero di Mach risulta Ma =

V 920 = = 0,85 c 1080

Essendo Ma < 1, il moto dell’aereo e` subsonico.

Discussione Gli aerei si mantengono sufficientemente lontani dalla velocita` Mach 1 per evitare le instabilita` associate alla condizione di moto transonico.

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12.9 Anidride carbonica in quiete alla pressione di 1200 kPa e alla temperatura di 600 K viene accelerata isoentropicamente fino a Mach 0,6. Determinare i valori raggiunti dalla pressione e dalla temperatura.

Ipotesi L’anidride carbonica si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici e` k = 1,288. Analisi L’anidride carbonica inizialmente e` in quiete. Pertanto, la temperatura e la pressione di ristagno sono uguali ai valori iniziali, per cui TT = T1 = 600 K e pT = p1 = 1200 kPa. Per la 12.19, si ha

T =

2 × 600 2TT = = 570 K 2 2 + (1,288 − 1) × 0,62 2 + (k − 1)Ma

e, per la 12.7,

 p = pT

T TT

k/(k−1)

 = 1200 ×

570 600

1,288/(1,288−1) =

= 954 kPa ` sia la pressione che la Discussione All’aumentare della velocita, temperatura diminuiscono perche´ una parte dell’energia interna viene convertita in energia cinetica.

12.10 Qual e` la pressione minima che puo` essere raggiunta in corrispondenza della gola di un ugello convergente-divergente da una corrente di aria che nella sezione di imbocco ha velocita` trascurabile e pressione di 800 kPa?

800 kPa

aria

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto attraverso l’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici dell’aria e` k = 1,4. Analisi La pressione minima che puo` essere raggiunta in corrispondenza della gola e` pari alla pressione critica p ∗ , che, per la 12.23, vale ∗



p = pT

2 k+1

k/(k−1)

 = 800 ×

2 1,4 + 1

1,4/(1,4−1) =

= 423 kPa Discussione Il valore calcolato e` quello che la pressione assume in corrispondenza della gola quando il moto a valle di essa e` supersonico.

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p*

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Capitolo 12

12.11 Quali sono la pressione minima e la temperatura minima che una corrente di elio a 0,7 MPa, 800 K e 100 m/s puo` raggiungere 0,7 MPa 800 K 100 m/s

in corrispondenza della gola di un ugello convergente-divergente? elio

Ipotesi 1 L’elio si comporta come un gas ideale con calori specifici p*, T*

costanti. 2 Il moto attraverso l’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` Il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, c p = 5,1926 kJ/(kg · K) e k = 1,667. Analisi La pressione minima e la temperatura minima che possono essere raggiunte in corrispondenza della gola sono pari ai rispettivi valori critici p ∗ e T ∗ , a loro volta funzione dei valori di ristagno pT e TT . Per la 12.5, si ha

TT = T +

V2 1002 = 800 + = 801 K 2c p 2 × 5,1926 × 1000

e, per la 12.7,

 pT = p

TT T

k/(k−1)

 = 0,7 ×

801 800

1,667/(1,667−1) =

= 0,702 MPa Pertanto, i valori critici di pressione e temperatura, per la 12.23 e la 12.22, risultano ∗



p = pT

2 k+1 

= 0,702 ×

T ∗ = TT

k/(k−1) =

2 1,667 + 1

1,667/(1,667−1) = 0,342 MPa

2 2 = 801 × = 601 K k+1 1,667 + 1

Discussione I valori calcolati sono quelli che la pressione e la temperatura assumono in corrispondenza della gola quando il moto a valle di essa e` supersonico.

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12.12 Un aereo e` progettato per viaggiare a Mach 1,4 alla quota di 8000 m, dove la temperatura dell’atmosfera e` di 236,15 K. Calcolare la temperatura di ristagno sul bordo anteriore dell’ala.

Ipotesi L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti.

Proprieta` La costante dell’aria, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Per la 2.41, la velocita` del suono e` c=

p √ k RT = 1,4 × 0,287 × 1000 × 236,15 = 308 m/s

per cui la velocita` dell’aereo e`

V = c Ma = 308 × 1,4 = 431 m/s Per la 12.5, la temperatura di ristagno risulta

TT = T +

431 V2 = 236,15 + = 329 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

Discussione In un processo di ristagno, la temperatura del gas aumenta come conseguenza della trasformazione dell’energia cinetica in entalpia.

Moto isoentropico negli ugelli 12.13 Cosa accadrebbe se, volendo rallentare un fluido in moto supersonico, lo si facesse defluire in un divergente?

Analisi Facendo defluire in un divergente un fluido in moto supersonico, il fluido, invece che rallentare, accelera ulteriormente.

Discussione Il contrario accade se il moto del fluido e` subsonico.

12.14 Cosa accadrebbe se, volendo accelerare ulteriormente un fluido in moto supersonico, lo si facesse defluire in un divergente?

Analisi Facendo defluire in un divergente un fluido in moto supersonico, il fluido accelera ulteriormente.

Discussione Il contrario accade se il moto del fluido e` subsonico.

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10 Capitolo 12

12.15 In un fluido in moto subsonico in un ugello convergente, fissate le condizioni all’imbocco, qual e` l’effetto di un abbassamento della contropressione fino al valore critico sui valori (a) della velocita` e (b) della pressione nella sezione di sbocco? e (c) sulla portata?

Analisi In un fluido in moto subsonico in un ugello convergente, nella sezione di sbocco, abbassando la contropressione fino al valore critico: (a)

la velocita` e` pari alla velocita` del suono;

(b)

la pressione e` pari alla pressione critica;

(c)

la portata assume il valore massimo possibile.

Discussione In queste condizioni, il moto e` soffocato o in choking.

12.16 In un fluido in moto subsonico in un ugello convergente con pressione critica allo sbocco, fissate le condizioni all’imbocco, qual e` l’effetto di un abbassamento della contropressione ben al di sotto del valore critico sui valori (a) della velocita` e (b) della pressione nella sezione di sbocco? e (c) sulla portata?

Analisi In un fluido in moto subsonico in un ugello convergente con pressione critica allo sbocco, l’abbassamento della contropressione ben al di sotto del valore critico non produce alcun effetto nella sezione di sbocco (a)

` ne´ sulla velocita,

(b)

ne´ sulla pressione,

(c)

ne´ sulla portata.

Discussione In queste condizioni, il moto e` gia` soffocato, per cui un ulteriore abbassamento della contropressione non ha alcuna influenza su cio` che accade a monte della sezione di sbocco.

12.17 Confrontare, a parita` di condizioni nella sezione di imbocco, i valori della portata che si stabilisce, rispettivamente, in un ugello convergente e in un ugello convergente-divergente aventi la stessa area di gola.

Analisi Se la contropressione e` sufficientemente bassa da consentire che si abbiano condizioni soniche in corrispondenza della gola, i valori della portata nei due ugelli sono identici. Se, invece, in corrispondenza della gola il moto non e` sonico, la portata nell’ugello col tratto divergente e` maggiore, perche´ tale tratto agisce come diffusore subsonico.

Discussione Se, in corrispondenza della gola, il moto e` soffocato, quello che accade a valle non ha alcuna influenza sul moto a monte della gola.

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12.18 In cosa il numero di Mach critico differisce dal numero di Mach Ma? Analisi Il numero di Mach critico Ma∗ e` pari al rapporto tra la velocita` locale del fluido e la velocita` del suono in corrispondenza della gola, mentre il numero di Mach Ma e` pari al rapporto tra la velocita` locale del fluido e la velocita` locale del suono.

Discussione Le due quantita` coincidono quando sono calcolate in corrispondenza della gola in condizioni di moto soffocato.

12.19 Nel moto isoentropico di un fluido in un convergentedivergente avente velocita` subsonica in corrispondenza della go` (b) la, qual e` l’effetto del tratto divergente sui valori di (a) velocita, pressione e (c) portata?

Analisi (a)

La velocita` diminuisce,

(b)

la pressione aumenta,

(c)

la portata di massa rimane costante.

Discussione Lo stesso accade per i fluidi incomprimibili.

12.20 Se in corrispondenza della gola un fluido ha velocita` diversa dal valore sonico, e` possibile accelerarlo fino a velocita` supersoni´ che? Perche?

Analisi No, se il moto in corrispondenza della gola e` subsonico ´ in tal caso, il tratto divergente funziona da diffusore e fa perche, decelerare il fluido. ´ Si, se il moto in corrispondenza della gola e` supersonico perche, in tal caso, il tratto divergente fa accelerare ulteriormente il fluido.

Discussione La seconda situazione puo` aversi solo se a monte dell’ugello esiste un altro ugello convergente-divergente e la differenza di pressione e` sufficiente per rendere il moto soffocato nella gola dell’ugello di monte.

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12 Capitolo 12

√ 12.21 Per un gas ideale si ha Q m,max /A∗ = apT / TT , cioe` la√ portata di massa massima per unita` di area dipende solo da pT / TT . ´ Determinare il valore della costante a per un gas ideale per Perche? il quale si abbia k = 1,4 e R = 0,287 kJ/(kg · K). Analisi Per la 12.26 Q m,max pT =√ ∗ A TT

r

k R



2 k+1

(k+1)/[2(k−1)]

Pertanto, assegnati k e R , la portata di√massa massima per unita` di area e` proporzionale al rapporto pT / TT con coefficiente

r a= s =

k R



2 k+1

(k+1)/[2(k−1)] =

1,4 × 0,287 × 1000



2 1,4 + 1

2,4/0,8 = 0,0404

√ K/(m/s)

Discussione Quando nella gola il moto e` sonico, la portata di massa e` determinata dalle condizioni di ristagno.

12.22 Nella sezione di ingresso di un convergente-divergente, una 1,2 MPa V= 0

corrente di aria in moto isoentropico ha velocita` trascurabile e pressione di 1,2 MPa. Calcolare il valore della contropressione per la quale nella sezione di uscita si ha Ma2 = 1,8.

aria

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici Ma2 = 1,8

costanti. 2 Il moto attraverso l’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici e` k = 1,4. Analisi Nella sezione di ingresso, essendo la velocita` trascurabile, la pressione di ristagno e` uguale alla pressione p1 , per cui pT = p1 = 1,2 MPa Essendo il moto isoentropico, la pressione di ristagno rimane costante lungo tutto l’ugello. Nella sezione di uscita, noto il numero di Mach, la pressione, per la 12.20, risulta

 p2 = p T

k−1 1+ Ma22 2

−k/(k−1) =

 −1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 1,2 × 1 + × 1,8 = 0,209 MPa 2

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12.23 Nella sezione di ingresso di un ugello, una corrente di aria in moto isoentropico ha velocita` di 150 m/s, pressione di 0,6 MPa e temperatura di 420 K. Calcolare i valori che la temperatura e la pressione assumono nella sezione in cui la velocita` del fluido eguaglia quella del suono. Calcolare il rapporto tra l’area di tale sezione e l’area della sezione di ingresso.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto attraverso l’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` Il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi Nella sezione di ingresso la temperatura e la pressione di ristagno, rispettivamente, per la 12.5 e la 12.7, risultano

TT = T1 +  p T = p1

TT T1

1502 V12 = 420 + = 431 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

k/(k−1)

 = 0,6 ×

431 420

1,4/(1,4−1) = 0,658 MPa

Tali valori si mantengono costanti lungo tutto l’ugello, perche´ il moto e` isoentropico. Rispettivamente, per la 12.22 e la 12.23, i valori critici di temperatura e pressione risultano

T ∗ = TT ∗



p = pT

2 k+1

2 2 = 431 × = 359 K k+1 1,4 + 1

k/(k−1)

 = 0,658 ×

2 1,4 + 1

1,4/(1,4−1) = 0,348 MPa

Nella sezione di ingresso, si ha

c1 =

p p k RT1 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 420 = 411 m/s

e Ma1 =

150 V1 = = 0,365 c1 411

Per la 12.27, il rapporto tra l’area della sezione in cui il moto e` sonico e l’area della sezione di ingresso vale

   2 k − 1 2 −(k+1)/[2(k−1)] A∗ = Ma1 1+ Ma1 = A1 k+1 2  −2,4/0,8 2 1,4 − 1 2 = 0,365 × × 1+ × 0,365 = 0,583 1,4 + 1 2 

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0,6 MPa 420 K 150 m/s

aria

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14 Capitolo 12

12.24 Risolvere il problema precedente nell’ipotesi che la velocita` all’ingresso sia trascurabile. 0,6 MPa 420 K V= 0

Analisi Nella sezione di ingresso, essendo la velocita` trascurabile, aria

la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno sono uguali alla temperatura e alla pressione, per cui

TT = T1 = 420 K pT = p1 = 0,6 MPa Tali valori si mantengono costanti lungo tutto l’ugello, perche´ il moto e` isoentropico. Rispettivamente, per la 12.22 e la 12.23, i valori critici di temperatura e pressione risultano

T ∗ = TT

p ∗ = pT



2 2 = 420 × = 350 K k+1 1,4 + 1

2 k+1

k/(k−1)

 = 0,6 ×

2 1,4 + 1

1,4/(1,4−1) =

= 0,317 MPa Nella sezione di ingresso, essendo V1 ∼ = 0, e` anche Ma1 = 0. Per la 12.27, il rapporto tra l’area della sezione in cui il moto e` sonico e l’area della sezione di ingresso vale

   A∗ 2 k − 1 2 −(k+1)/[2(k−1)] = Ma1 1+ Ma1 =0 A1 k+1 2

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12.25 Un gas ideale con k = 1,4 defluisce isoentropicamente in un ugello in condizioni per le quali il numero di Mach assume il valore 2,4 in una sezione avente area di 36 cm2 . Calcolare l’area della sezione in cui il numero di Mach vale 1,2.

Ipotesi Il moto e` permanente, unidimensionale e isoentropico. Analisi Essendo il moto isoentropico, le grandezze di ristagno e quelle critiche si mantengono costanti lungo tutto l’ugello. Noto il valore del numero di Mach Ma1 in una sezione di area A1 , per la 12.27 l’area A∗ della gola risulta

  2 k − 1 2 −(k+1)/[2(k−1)] A = A1 Ma1 1+ Ma1 = k+1 2  −2,4/0,8  0,4 2 × 1+ × 2,42 = 14,98 cm2 = 36 × 2,4 × 2,4 2 

∗

Pertanto, ancora per la 12.27, l’area della sezione in cui Ma2 = 1,2 risulta

   A∗ k − 1 2 (k+1)/[2(k−1)] 2 A2 = 1+ Ma2 = Ma2 k + 1 2   2,4/0,8 14,98 2 0,4 2 = × × 1+ × 1,2 = 15,4 cm2 1,2 2,4 2

12.26 Risolvere il problema precedente per un gas ideale con k = 1,33. Ipotesi Il moto e` permanente, unidimensionale e isoentropico. Analisi Essendo il moto isoentropico, le grandezze di ristagno e quelle critiche si mantengono costanti lungo tutto l’ugello. Noto il valore del numero di Mach Ma1 in una sezione di area A1 , per la 12.27 l’area A∗ della gola risulta

  2 k − 1 2 −(k+1)/[2(k−1)] 1+ Ma1 = k+1 2  −2,33/0,66  2 0,33 2 × 1+ × 2,4 = 14,0 cm2 = 36 × 2,4 × 2,33 2

A∗ = A1 Ma1



Pertanto, ancora per la 12.27, l’area della sezione in cui Ma2 = 1,2 risulta

   A∗ 2 k − 1 2 (k+1)/[2(k−1)] 1+ Ma2 = A2 = Ma2 k + 1 2   2,33/0,66 14,0 2 0,33 2 = × × 1+ × 1,2 = 14,4 cm2 1,2 2,33 2

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16 Capitolo 12

Onde d’urto e onde di espansione 12.27 E` possibile che un’onda d’urto si formi nel tratto conver´ gente di un ugello convergente-divergente? Perche?

Analisi No. Infatti, affinche´ si formi un’onda d’urto, il moto deve essere supersonico, ma nel tratto convergente di un ugello convergentedivergente il moto e` sempre subsonico.

Discussione Se sussistono le condizioni, un’onda d’urto puo` eventualmente formarsi nel tratto divergente.

12.28 Cosa rappresenta un punto sulla linea di Fanno? e sulla linea di Rayleigh? Cosa rappresentano i punti intersezione tra le due curve?

Analisi La linea di Fanno e` il luogo degli stati che soddisfano le equazioni di conservazione della massa e dell’energia. La linea di Rayleigh e` il luogo degli stati che soddisfano le equazioni di conservazione della massa e della quantita` di moto. I punti intersezione tra le due curve rappresentano gli stati che soddisfano le equazioni di conservazione della massa, dell’energia e della quantita` di moto.

12.29 A valle di un’onda d’urto normale, il numero di Mach puo` ´ essere maggiore di 1? Perche? Analisi No. Per la seconda legge della termodinamica, a valle di un’onda d’urto normale il moto deve essere subsonico. Quindi, il numero di Mach deve essere minore di 1.

Discussione Attraverso un’onda d’urto normale, il moto passa sempre dalle condizioni supersoniche a quelle subsoniche.

12.30 Qual e` l’influenza di un’onda d’urto normale (a) sulla velo` (b) sulla temperatura statica, (c) sulla temperatura di ristagno, cita, (d) sulla pressione statica e (e) sulla pressione di ristagno?

Analisi Attraverso un’onda d’urto normale (a)

la velocita` diminuisce,

(b)

la temperatura statica aumenta,

(c)

la temperatura di ristagno non varia,

(d)

la pressione statica aumenta,

(e)

la pressione di ristagno diminuisce.

Discussione Inoltre, il numero di Mach passa da un valore maggiore di 1 (moto supersonico) a un valore minore di 1 (moto subsonico).

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12.31 In quali condizioni si forma un’onda d’urto obliqua? In che cosa differisce da un’onda d’urto normale?

Analisi Un’onda d’urto obliqua si forma quando un gas in moto a velocita` supersonica incontra un ostacolo cuneiforme appuntito o arrotondato. Mentre le onde d’urto normali sono perpendicolari alla direzione del moto, le onde d’urto oblique sono inclinate rispetto alla direzione del moto. Inoltre, le onde normali sono rettilinee mentre le onde oblique possono essere rettilinee o curve, in funzione della forma della superficie.

Discussione Mentre attraverso un’onda d’urto normale il numero di Mach passa da un valore maggiore di 1 (moto supersonico) a un valore minore di 1 (moto subsonico), a valle di un’onda d’urto obliqua il moto puo` essere sia supersonico che subsonico.

12.32 A monte di un’onda d’urto obliqua, il moto deve necessariamente essere supersonico? A valle di un’onda d’urto obliqua, il moto deve necessariamente essere subsonico?

Analisi Affinche´ si formi un’onda d’urto obliqua, a monte il moto deve essere necessariamente supersonico, ma a valle di essa il moto puo` essere supersonico, sonico o subsonico.

Discussione Anche a monte di un’onda d’urto normale il moto deve essere necessariamente supersonico, ma a valle di essa il moto deve essere necessariamente subsonico.

12.33 Attraverso (a) un’onda d’urto normale, (b) un’onda d’urto obliqua e (c) un’onda di espansione di Prandtl-Meyer, le relazioni valide per il moto isoentropico di un gas perfetto sono applicabili?

Analisi Le relazioni valide per il moto isoentropico di un gas perfetto: (a)

non sono applicabili attraverso un’onda d’urto normale;

(b)

non sono applicabili attraverso un’onda d’urto obliqua;

(c)

sono applicabili attraverso un’onda di espansione di PrandtlMeyer.

Discussione Il moto attraverso un’onda d’urto qualunque comporta perdite di energia (irreversibili) e, pertanto, non puo` essere isoentropico.

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18 Capitolo 12 onda d’urto normale

18 kPa aria 205 K 740 m/s

12.34 A monte di un’onda d’urto normale, una corrente di aria ha velocita` di 740 m/s, pressione di 18 kPa e temperatura di 205 K. Calcolare la pressione di ristagno e il numero di Mach a monte ` il numero di dell’onda e la pressione, la temperatura, la velocita, Mach e la pressione di ristagno a valle dell’onda.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 A monte dell’onda d’urto, il moto e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` La costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Rispettivamente, per la 12.5 e la 12.7, a monte dell’onda d’urto, la temperatura e la pressione di ristagno valgono

TT 1 = T1 +

 p T 1 = p1

TT 1 T1

V12 7402 = 205 + = 477,4 K 2c p 2 × 1,005 × 1000 k/(k−1)

 = 18 ×

477,4 205

1,4/(1,4−1) = 347 kPa

La velocita` del suono e il numero di Mach risultano

c1 =

p p k RT1 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 205 = 287 m/s Ma1 =

V1 740 = = 2,58 c1 287

A valle dell’onda d’urto, rispettivamente, per la 12.38, la 12.37, la 12.34 e la 12.20, si ha

s Ma2 =

(k − 1) Ma21 + 2 = 2k Ma21 − k + 1

p2 = p1

T2 = T1

s

(1,4 − 1) × 2,582 + 2 = 0,506 2 × 1,4 × 2,582 − 1,4 + 1

1 + k Ma21 1 + 1,4 × 2,582 = 18 × = 137 kPa 1 + 1,4 × 0,5062 1 + k Ma22

1 + Ma21 (k − 1)/2 1 + 2,582 × (1,4 − 1)/2 = 205× = 455 K 1 + 0,5062 ×(1,4 − 1)/2 1 + Ma22 (k − 1)/2

pT 2

 k/(k−1) k−1 2 = p2 1 + Ma2 2  1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 = 137 × 1 + × 0,5062 = 163 kPa 2

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Essendo

c2 =

p p k RT2 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 454 = 427 m/s

la velocita` risulta

V2 = c2 Ma2 = 427 × 0,506 = 216 m/s

12.35 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare la variazione di entropia attraverso l’onda normale.

Analisi Per la 12.39, la variazione di entropia attraverso l’onda d’urto normale risulta

s2 − s1 = c p ln

T2 p2 − R ln = T1 p1

= 1,005 × ln

137 455 − 0,287 × ln = 0,218 kJ/(kg · K) 205 18

Discussione Il passaggio attraverso un’onda d’urto e` un processo fortemente dissipativo, per cui si genera una grande quantita` di entropia.

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20 Capitolo 12 onda d’urto normale 1 MPa 300 K V= 0

aria

1

2

Ma1 = 2,4

12.36 All’imbocco del convergente-divergente di una galleria del vento supersonica, una corrente di aria ha velocita` trascurabile, pressione di 1 MPa e temperatura di 300 K. Calcolare la pressione, ` il numero di Mach e la pressione di la temperatura, la velocita, ristagno a valle dell’onda d’urto normale che si forma nella sezione di uscita a Mach 2,4.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 A monte dell’onda d’urto, il moto e` permanente, unidimensionale e isoentropico. 3 L’onda d’urto si forma in corrispondenza della sezione di sbocco.

Proprieta` La costante del gas e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi All’imbocco, essendo la velocita` trascurabile, le grandezze di ristagno coincidono con le rispettive grandezze statiche, per cui pT = 1 MPa e TT = 300 K. Tali valori, per l’ipotesi di moto isoentropico, si mantengono costanti fino alla sezione subito a monte dell’onda d’urto. In tale sezione, la temperatura e la pressione, rispettivamente, per la 12.19 e la 12.7, valgono

T1 =

2 TT 2 × 300 = 139 K = 2 2 + (1,4 − 1) × 2,42 2 + (k − 1) Ma1 

p1 = p T

T1 TT

k/(k−1)

 =1×

139 300

1,4/0,4 = 0,0684 MPa

A valle dell’onda d’urto, rispettivamente, per la 12.38, la 12.37, la 12.34 e la 12.20, si ha

s Ma2 =

p2 = p1

T2 = T1

(k − 1) Ma21 + 2 2k Ma21 − k + 1

s =

(1,4 − 1) × 2,42 + 2 = 0,523 2 × 1,4 × 2,42 − 1,4 + 1

1 + k Ma21 1 + 1,4 × 2,42 = 0,0684 × = 0,448 MPa 1 + 1,4 × 0,5232 1 + k Ma22

1 + Ma21 (k − 1)/2 1 + 2,42 × (1,4 − 1)/2 = 284 K = 139 × 1+0,5232 ×(1,4 − 1)/2 1 + Ma22 (k − 1)/2 k/(k−1) k−1 2 = p2 1 + Ma2 2  1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 0,448 × 1 + × 0,523 = 0,540 MPa 2 

pT 2

Essendo

c2 =

p p k RT2 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 284 = 338 m/s

la velocita` risulta

V2 = c2 Ma2 = 338 × 0,523 = 177 m/s

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12.37 All’imbocco di un convergente-divergente, una corrente di aria ha velocita` trascurabile, pressione di 2,0 MPa e temperatura di 100 ◦ C. Se il rapporto tra l’area della sezione di sbocco e l’area della gola e` pari a 3,5, quale deve essere il valore della contropressione perche´ in corrispondenza dello sbocco si formi un’onda d’urto normale?

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale. 2 A monte dell’onda d’urto, il moto e` permanente, unidimensionale e isoentropico. 3 L’onda d’urto si forma in corrispondenza della sezione di sbocco.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici e` k = 1,4. Analisi Il rapporto tra l’area della sezione di sbocco e l’area della gola, per la 12.27, e` funzione solo del numero di Mach nella sezione di sbocco e del rapporto fra i calori specifici. Si ha, infatti,

  (k+1)/[2(k−1)] 1 2 k−1 A1 2 = 1+ Ma1 A∗ Ma1 k + 1 2 che, sostituendo le grandezze note, diviene

  2,4/0,8 1,4 − 1 2 (1 + 0,2 Ma21 )3 1 2 1+ Ma1 = 3,5 = Ma1 1,4 + 1 2 1,728 Ma1 equazione soddisfatta per Ma1 = 2,8. Per l’ipotesi di moto isoentropico, la pressione di ristagno e` costante e, pertanto, pari alla pressione all’imbocco. Questa, a sua volta, essendo la velocita` all’imbocco trascurabile, e` uguale alla pressione statica, per cui pT = 2,0 MPa. Nella sezione di sbocco, a monte dell’onda d’urto, per la 12.20, si ha

 p1 = p T

k−1 Ma21 1+ 2

−k/(k−1) =

 −1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 2,0 × 1 + × 2,8 = 0, 0737 MPa 2 Per la 12.37e la 12.38, la contropressione, uguale alla pressione a valle dell’onda d’urto, risulta

p2 = p1

1 + k Ma21 2k Ma21 − k + 1 = p = 1 k+1 1 + k Ma22

= 0, 0737 ×

2 × 1,4 × 2,82 − 1,4 + 1 = 0,662 MPa 1,4 + 1

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onda d’urto normale 2 MPa 100 °C V= 0

aria

1

2

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22 Capitolo 12

12.38 Con riferimento all’esercizio precedente, quale deve essere il valore della contropressione perche´ l’onda d’urto normale si formi in una sezione di area doppia rispetto a quella della gola?

Analisi Come nell’esercizio precedente, per la 12.27 deve essere   (k+1)/[2(k−1)] 1 2 k−1 A1 2 = 1+ Ma1 A∗ Ma1 k + 1 2 che, sostituendo le grandezze note, diviene

2=

  2,4/0,8 2 1,4 − 1 1 (1 + 0,2 Ma21 )3 1+ Ma21 = Ma1 1,4 + 1 2 1,728 Ma1

equazione soddisfatta per Ma1 = 2,2. Essendo ancora pT = 2,0 MPa, nella sezione di sbocco, a monte dell’onda d’urto, per la 12.20, si ha

 p1 = p T

k−1 1+ Ma21 2

−k/(k−1) =

 −1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 = 2,0 × 1 + × 2,22 = 0,187 MPa 2 La contropressione risulta

p2 = p1

1 + k Ma21 2k Ma21 − k + 1 = p = 1 k+1 1 + k Ma22

= 0,187 ×

12.39 Una corrente di aria a Mach 5 investe un corpo bidimen-

onda d’urto obliqua Ma1

θ Ma 2

Ma1 = 5

2 × 1,4 × 2,22 − 1,4 + 1 = 1,025 MPa 1,4 + 1

sionale cuneiforme. Mediante il grafico della Figura 12.35, stimare l’angolo di inclinazione minimo e l’angolo di deviazione massimo dell’onda d’urto obliqua rettilinea che si genera.

Analisi Per Ma = 5, dalla Figura 12.35 si legge

β δ

angolo di inclinazione minimo:

βmin = 12◦

angolo di deviazione massimo:

θmax = 41,5◦

Discussione Al crescere del numero di Mach, l’angolo di inclinazione minimo diminuisce, mentre l’angolo di deviazione massimo aumenta.

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12.40 Una corrente di aria a Mach 2,4, pressione di 70 kPa e temperatura di 260 K, investe un corpo bidimensionale cuneiforme con semiangolo di apertura di 10◦ . Calcolare il numero di Mach a valle e la pressione e la temperatura sulla faccia superiore del corpo, quando il suo asse forma un angolo di 25◦ con la direzione del moto.

Ipotesi 1 Il moto e` permanente. 2 Lo strato limite sulla parete del corpo e` molto sottile. 3 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici dell’aria e` k = 1,4. Analisi Per l’ipotesi 2, si puo` ritenere che sia θ ∼ = δ = 25−10 = 15◦ . Per la 12.49, si ha

r

r q k+1 k−1 2 ν(Ma1 ) = arctan (Ma1 − 1) − arctan Ma21 − 1 = k−1 k+1 s s p 2,4 0,4 = × arctan × (2,42 − 1) − arctan 2,42 − 1 = 36,75◦ 0,4 2,4 Per la 12.48, il valore della funzione di Prandtl-Meyer a valle e`

ν(Ma2 ) = θ + ν(Ma1 ) = 15 + 36,75 = 51,75◦ Noto il valore della funzione di Prandtl-Meyer ν(Ma2 ), il calcolo del valore del numero di Mach Ma2 che soddisfa la 12.49 non e` immediato in quanto l’equazione e` implicita in Ma2 . Si deve, pertanto, fare ricorso ad un metodo iterativo. L’equazione risulta soddisfatta per Ma2 = 3,105. Considerando il moto isoentropico, si ha pT = costante e, quindi,

p2 = p1

p2 / p T p1 / p T

e, introducendo la 12.20,

p2 / p T [1 + (k − 1) Ma22 /2]−k/(k−1) = = p1 p1 / p T [1 + (k − 1) Ma21 /2]−k/(k−1)  −1,4/0,4 1 + 0,4 × 3,1052 /2 = 70 × = 23,8 kPa 1 + 0,4 × 2,42 /2

p2 = p1

Analogamente, essendo TT = costante, introducendo la 12.19, si ha

T2 /TT [1 + (k − 1) Ma22 /2]−1 = T1 = T1 /TT [1 + (k − 1) Ma21 /2]−1 −1  1 + 0,4 × 3,1052 /2 = 260 × = 191 K 1 + 0,4 × 2,42 /2

T2 = T1

Discussione Trattandosi di un processo di espansione, i valori del numero di Mach e della pressione a valle sono entrambi inferiori a quelli di monte.

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Ma2 Ma1 = 2,4 25° 10°

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24 Capitolo 12

Ma1 H 3,6

12.41 Una corrente di aria a Mach 3,6, pressione di 40 kPa e temperatura di 280 K, e` costretta a subire un’espansione mediante una deviazione di 15◦ . Calcolare il numero di Mach, la pressione e la

θ Ma 2 δ = 15°

temperatura dell’aria a valle dell’espansione.

Ipotesi 1 Il moto e` permanente. 2 Lo strato limite sulla parete del corpo e` molto sottile. 3 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici dell’aria e` k = 1,4. Analisi Per l’ipotesi 2, si puo` ritenere che sia θ ∼ = δ = 15◦ . Per la 12.49, si ha

r

r q k+1 k−1 2 ν(Ma1 ) = arctan (Ma1 − 1) − arctan Ma21 − 1 = k−1 k+1 s s p 2,4 0,4 = × arctan × (3,62 − 1) − arctan 3,62 − 1 = 60,09◦ 0,4 2,4 Per la 12.48, il valore della funzione di Prandtl-Meyer a valle e`

ν(Ma2 ) = θ + ν(Ma1 ) = 15 + 60,09 = 75,09◦ Noto il valore della funzione di Prandtl-Meyer ν(Ma2 ), il calcolo del valore del numero di Mach Ma2 che soddisfa la 12.49 non e` immediato in quanto l’equazione e` implicita in Ma2 . Si deve, pertanto, fare ricorso ad un metodo iterativo. L’equazione risulta soddisfatta per Ma2 = 4,81. Considerando il moto isoentropico, si ha pT = costante e, quindi,

p2 = p1

p2 / p T p1 / p T

e, introducendo la 12.20,

[1 + (k − 1) Ma22 /2]−k/(k−1) p2 / p T = p1 = p1 / p T [1 + (k − 1) Ma21 /2]−k/(k−1) −1,4/0,4  1 + 0,4 × 4,812 /2 = 8,31 kPa = 40 × 1 + 0,4 × 3,62 /2

p2 = p1

Analogamente, essendo TT = costante, introducendo la 12.19, si ha

[1 + (k − 1) Ma22 /2]−1 T2 /TT = T1 = T1 /TT [1 + (k − 1) Ma21 /2]−1 −1  1 + 0,4 × 4,812 /2 = 280 × = 179 K 1 + 0,4 × 3,62 /2

T2 = T1

Discussione Trattandosi di un processo di espansione, i valori del numero di Mach e della pressione a valle sono entrambi inferiori a quelli di monte.

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Moto con scambio di calore e resistenze trascurabili (Flusso di Rayleigh) 12.42 Quali sono le caratteristiche dei flussi di Rayleigh? Analisi La caratteristica principale dei flussi di Rayleigh e` la presenza di scambi di calore attraverso le pareti del condotto. Le altre ipotesi che li caratterizzano sono quelle di moto permanente e unidimensionale e di resistenza delle pareti trascurabile.

12.43 Nei flussi di Rayleigh, come cambia l’entropia del fluido quando esso assorbe o cede calore?

Analisi Nei flussi di Rayleigh, non essendovi fenomeni irreversibili come sono le dissipazioni dovute alla resistenza delle pareti, l’entropia del fluido puo` variare solo nel caso di scambi di calore con l’esterno. Pertanto, essa aumenta quando il fluido riceve calore, diminuisce quando il fluido cede calore.

12.44 Fornendo calore a un flusso di Rayleigh subsonico di aria, il numero di Mach aumenta da 0,92 a 0,95. La temperatura T dell’aria aumenta, diminuisce o rimane costante? E la temperatura di ristagno TT ?

Analisi In un flusso di Rayleigh, per la 12.54, fornire calore al fluido fa aumentare la temperatura di ristagno sia nel moto subsonico che nel moto supersonico. Anche la temperatura aumenta (vedi Figura 12.46), tranne √ che nel caso di moto subsonico per valori di Ma compresi tra 1/ k e 1. Per l’aria√ si ha k = 1,4, per cui la temperatura inizia a diminuire per Ma = 1/ 1,4 = 0,845. Pertanto, nel caso in esame, la temperatura diminuisce.

Discussione Questa conclusione sembra in contrasto con quanto suggerito dall’intuito. La diminuzione di temperatura e` dovuta, per ` la 12.5, al notevole aumento di velocita.

12.45 Nel flusso di Rayleigh subsonico, qual e` l’effetto del riscal` E nel flusso di Rayleigh damento del fluido sulla sua velocita? supersonico?

Analisi Come indica la linea di Rayleigh (vedi Figura 12.46), in un flusso subsonico, al crescere dell’entropia, fornendo cioe` calore al fluido, il numero di Mach tende a 1 (da valori minori di 1 perche´ il moto e` subsonico). Cio` vuol dire che la velocita` del fluido via via aumenta. Anche in un flusso supersonico, al crescere dell’entropia il numero di Mach tende a 1, pero` da valori maggiori di 1 perche´ il moto e` supersonico. Cio` vuol dire che la velocita` via via diminuisce.

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26 Capitolo 12

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12.46 Un flusso di Rayleigh subsonico viene riscaldato fino a fargli raggiungere condizioni soniche in corrispondenza della sezione di uscita. Continuando a riscaldare il fluido, nella sezione di uscita il moto diventa subsonico, supersonico o rimane sonico?

Analisi La linea di Rayleigh (vedi Figura 12.46) indica chiaramente che l’ulteriore riscaldamento di un fluido che sia gia` nello stato critico (Ma = 1) non produce alcun aumento della sua velocita` perche´ nel punto di massima entropia si ha, comunque, Ma = 1. Pertanto, l’ulteriore riscaldamento del fluido da` luogo ad un moto soffocato.

Discussione Non c’e` modo, in questo caso, di rendere il moto supersonico.

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12.47 Fornendo a una corrente d’aria in moto subsonico in una tubazione una quantita` di calore pari a 52 kJ/kg, il moto diviene soffocato. In tali condizioni, la velocita` e` di 620 m/s e la pressione statica e` di 270 kPa. Trascurando la resistenza delle pareti, calcolare ` la temperatura statica e la pressione statica i valori che la velocita, hanno all’ingresso della tubazione.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Nella sezione 2 in cui il moto e` soffocato si ha Ma2 = 1, per cui la velocita` del suono in tale sezione e`

V2 620 = 620 m/s = Ma2 1

c2 = Per la 2.41 e`

c2 =

p

k RT2

da cui

T2 =

c22 6202 = = 957 K kR 1,4 × 0,287 × 1000

Per la 12.5, la temperatura di ristagno e`

TT 2 = T2 +

V22 6202 = 957 + = 1148 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

Nota la temperatura di ristagno nella sezione 2 e il calore qc = 52 kJ/kg fornito alla corrente, per la 12.54, la temperatura di ristagno nella sezione 1 di ingresso vale

TT 1 = TT 2 −

52 qc = 1148 − = 1096 K cp 1,005

La temperatura critica TT∗ e` pari alla temperatura di ristagno nella sezione 2, in quanto Ma2 = 1, per cui

TT∗ = TT 2 = 1148K Per la 12.67,

TT 1 (k + 1)Ma21 [2 + (k − 1)Ma21 ] = TT∗ (1 + kMa21 )2

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27

52 kJ/kg p1 T1 Ma1

aria

p2 = 270 kPa

V2 = 620 m/s

Ma2 = 1

moto soffocato

28 Capitolo 12

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e, sostituendo i valori noti,

2,4 × Ma21 × (2 + 0,4 × Ma21 ) 1096 = 1148 (1 + 1,4 × Ma21 )2 equazione che risulta soddisfatta per Ma1 = 0,779. All’ingresso della tubazione, per la 12.66, la 12.65 e la 12.64 si ha, rispettivamente,

V1 = V ∗

T1 = T

∗



(1 + k) Ma21 (1 + 1,4) × 0,7792 = 620 × = 488 m/s 1 + 1,4 × 0,7792 1 + kMa21

Ma1 (1 + k) 1 + kMa21

p1 = p ∗

2



0,779 × (1 + 1,4) = 957 × 1 + 1,4 × 0,7792

2 = 978 K

1 + 1,4 1+k = 270 × = 350 kPa 2 1 + 1,4 × 0,7792 1 + kMa1

Discussione Come indicato dalla linea di Rayleigh (Figura 12.46), in un moto subsonico che, fornendo calore al fluido, diventa sonico, la temperatura diminuisce, mentre la velocita` aumenta.

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12.48 In una turbina a gas, una portata d’aria di 0,3 kg/s dal compressore passa alla camera di combustione nello stato T1 = 550 K, p1 = 600 kPa e Ma1 = 0,2. Mentre l’aria defluisce nel condotto con resistenze trascurabili, il processo di combustione le fornisce una quantita` di calore pari a 200 kJ/s. Calcolare il numero di Mach nella sezione di uscita e la diminuzione della pressione di ristagno pT 1 − pT 2 .

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili). 2 La camera di combustione e` a sezione costante. 3 L’aumento di massa dovuto alla immissione di combustibile e` trascurabile.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispet˙ tivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Rispettivamente, per la 12.19 e la 12.20, nella sezione di ingresso la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno valgono

TT 1

  k−1 2 Ma1 = = T1 1 + 2   1,4 − 1 2 = 550 × 1 + × 0,2 = 2 = 554 K

k/(k−1) k−1 2 Ma1 = = p1 1 + 2  1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 = 600 × 1 + × 0,22 = 2 

pT 1

= 617,0 kPa Essendo Q m = 0,3 kg/s la portata di massa, cioe` la massa d’aria che entra nell’unita` di tempo e Q c = 200 kJ/s la quantita` di calore fornita dal processo di combustione nell’unita` di tempo, il calore qc ricevuto dall’unita` di massa e`

qc =

Qc 200 = = 666,7 kJ/kg Qm 0,3

Per la 12.54, la temperatura di ristagno nella sezione uscita vale

TT 2 = TT 1 +

qc 666,7 = 554 + = 1217 K cp 1,005

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29

200 kJ/s p1 = 600 kPa

T1 = 550 K

Ma1 = 0,2

camera di combustione

Ma2

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30 Capitolo 12

Per la 12.67, il valore critico della temperatura di ristagno e`

TT∗ = TT 1

(1 + kMa21 )2 = (k + 1) Ma21 [2 + (k − 1) Ma21 ]

= 554 ×

(1 + 1,4 × 0,22 )2 = (1,4 + 1) × 0,22 × [2 + (1,4 − 1) × 0,22 ]

= 3192 K Nella sezione 2, ancora per la 12.67, si ha

(k + 1) Ma22 [2 + (k − 1) Ma22 ] TT 2 = TT∗ (1 + kMa22 )2 e, sostituendo i valori noti,

1217 (1,4 + 1) × Ma22 × [2 + (1,4 − 1) × Ma22 ] = 3192 (1 + 1,4 × Ma22 )2 equazione che risulta soddisfatta per Ma2 = 0,319. Per la 12.68, il valore critico della pressione di ristagno e`

 −k/(k−1) 1 + kMa21 2 + (k − 1) Ma21 = k+1 k+1  −1,4/0,4 1 + 1,4 × 0,22 2 + 0,4 × 0,22 = 617,0 × × = 1,4 + 1 1,4 + 1

pT∗ = pT 1

= 499, 8 kPa per cui, ancora per la 12.68, la pressione di ristagno nella sezione di uscita risulta

pT 2

 k/(k−1) 2 + (k − 1) Ma22 k+1 = = k+1 1 + kMa22 1,4/0,4  1,4 + 1 2 + 0,4 × 0,3192 = 499,8 × × = 1 + 1,4 × 0,3192 1,4 + 1 pT∗

= 595,2 kPa Pertanto, la pressione di ristagno diminuisce di

1pT = pT 1 − pT 2 = 617,0 − 595,2 = 21,8 kPa

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12.49 Nella sezione di ingresso di una condotta rettangolare, una corrente d’aria ha T1 = 300 K, p1 = 420 kPa e Ma1 = 2. Durante il suo moto, all’aria viene ceduta una quantita` di calore pari a 55 kJ/kg. Calcolare la temperatura e il numero di Mach all’uscita della condotta, nell’ipotesi di resistenze trascurabili.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Per la 2.41, nella sezione di ingresso si ha p p k RT1 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 300 = 347 m/s

c1 =

Conseguentemente,

V1 = Ma1 c1 = 2 × 347 = 694 m/s e, per la 12.5,

TT 1 = T1 +

6942 V12 = 300 + = 539,6 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

Per la 12.54, la temperatura di ristagno nella sezione di uscita risulta

TT 2 = TT 1 +

qc 55 = 539,6 + = 594,3 K cp 1,005

Per la 12.67, il valore critico della temperatura di ristagno e`

TT∗ = TT 1

(1 + kMa21 )2 (k + 1) Ma21 [2 + (k − 1)Ma21 ]

= 539,6 ×

(1 + 1,4 × 22 )2 = 680,1 K (1,4 + 1) × 22 × [2 + (1,4 − 1) × 22 ]

Nella sezione di uscita, ancora per la 12.67, si ha

TT 2 (k + 1) Ma22 [2 + (k − 1)Ma22 ] = TT∗ (1 + kMa22 )2 e, sostituendo i valori noti,

594,3 (1,4 + 1) × Ma22 × [2 + (1,4 − 1) × Ma22 ] = 680,1 (1 + 1,4 × Ma22 )2 equazione che risulta soddisfatta per Ma2 = 1,642.

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55 kJ/kg p1 = 420 kPa

T1 = 300 K

Ma1 = 2

aria

31

32 Capitolo 12

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Per la 12.65, la temperatura critica risulta



∗

T = T1

Ma1 (1 + k) 1 + kMa21

−2



2 × (1 + 1,4) = 300 × 1 + 1,4 × 22

−2 =

= 567,2 K per cui, ancora per la 12.65, la temperatura nella sezione di uscita risulta

T2 = T

∗



Ma2 (1 + k) 1 + kMa22

2



1,642 × (1 + 1,4) = 567,2 × 1 + 1,4 × 1,6422

2 =

= 386,4 K Discussione Come indicato dalla linea di Rayleigh (Figura 12.46), in un moto supersonico, fornendo calore al fluido, la temperatura aumenta.

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Moto dei fluidi comprimibili

12.50 Risolvere l’esercizio precedente nell’ipotesi che all’aria venga sottratta una quantita` di calore pari a 55 kJ/kg. Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Per la 2.41, nella sezione di ingresso si ha c1 =

p p k RT1 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 300 = 347 m/s

Conseguentemente,

V1 = Ma1 c1 = 2 × 347,2 = 694 m/s e, per la 12.5,

TT 1 = T1 +

6942 V12 = 300 + = 540 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

Per la 12.54, la temperatura di ristagno nella sezione di uscita risulta

TT 2 = TT 1 +

qc −55 = 540 + = 485 K cp 1,005

Per la 12.67, il valore critico della temperatura di ristagno e`

TT∗ = TT 1

(1 + kMa21 )2 = (k + 1) Ma21 [2 + (k − 1)Ma21 ]

= 540 ×

(1 + 1,4 × 22 )2 = 681 K (1,4 + 1) × 22 × [2 + (1,4 − 1) × 22 ]

Nella sezione di uscita, ancora per la 12.67, si ha

TT 2 (k + 1) Ma22 [2 + (k − 1)Ma22 ] = TT∗ (1 + kMa22 )2 e, sostituendo i valori noti,

485 (1,4 + 1) × Ma22 × [2 + (1,4 − 1) × Ma22 ] = 681 (1 + 1,4 × Ma22 )2 equazione che risulta soddisfatta per Ma2 = 2,48.

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55 kJ/kg p1 = 420 kPa

T1 = 300 K

Ma1 = 2

aria

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34 Capitolo 12

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Per la 12.65, la temperatura critica risulta



∗

T = T1

Ma1 (1 + k) 1 + kMa21

−2



2 × (1 + 1,4) = 300 × 1 + 1,4 × 22

−2 =

= 567 K per cui, ancora per la 12.65, la temperatura nella sezione di uscita risulta

T2 = T

∗



Ma2 (1 + k) 1 + kMa22

2



2,48 × (1 + 1,4) = 567 × 1 + 1,4 × 2,482

2 =

= 217,5 K Discussione Come indicato dalla linea di Rayleigh (Figura 12.46), in un moto supersonico, sottraendo calore al fluido, la temperatura diminuisce.

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12.51 Una corrente di aria in moto supersonico, con resistenze trascurabili, in una tubazione del diametro di 10 cm, nella sezione di ingresso ha TT 1 = 600 K, pT 1 = 210 kPa e Ma1 = 1,8. Lungo il ` Calcolare percorso l’aria viene riscaldata per diminuirne la velocita. fino a quale temperatura puo` essere riscaldata senza farne variare la portata di massa.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Rispettivamente, per la 12.19 e la 12.20, nella sezione di ingresso la temperatura statica e la pressione statica risultano

 T1 = TT 1

k−1 1+ Ma21 2

−1

−1  0,4 2 = 600 × 1 + × 1,8 = 2

= 364 K

−k/(k−1) k−1 2 Ma1 = p1 = p T 1 1 + 2  −1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 210 × 1 + × 1,8 = 36,5 kPa 2 

` la velocita` Conseguentemente, nella sezione di ingresso, la densita, e la portata di massa valgono, rispettivamente,

ρ1 =

p1 36,5 = = 0,349 kg/m3 RT1 0,287 × 364

p p V1 = Ma1 c1 = Ma1 k RT1 = 1,8 × 1,4 × 287 × 364 = 688 m/s Q m = ρ1 A1 V1 = 0,349 × π × 0,102 /4 × 688 = 1,89 kg/s La temperatura a cui si puo` portare il fluido senza causare variazioni della portata di massa e` pari alla temperatura critica T ∗ , che, per la 12.65, risulta ∗

T2 = T = T1



1 + kMa21 Ma1 (1 + k)

2

1 + 1,4 × 1,82 = 364 × 1,8 × (1 + 1,4) 

= 598 K

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2 =

35

qc pT1 = 210 kPa

TT1 = 600 K

Ma1 = 1,8

aria Ma2 = 1

36 Capitolo 12

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La temperatura di ristagno TT 2 e` pari alla temperatura critica di ristagno, che, per la 12.67, vale

TT 2 = TT∗ = TT 1 = 600 ×

(1 + kMa21 )2 = (k + 1)Ma21 [2 + (k − 1)Ma21 ]

(1 + 1,4 × 1,82 )2 = (1,4 + 1) × 1,82 × [2 + (1,4 − 1) × 1,82 ]

= 717 K Per la 12.69, la quantita` massima di calore che puo` essere ceduta al fluido, senza farne variare la portata, e`

qc = c p (TT∗ − TT 1 ) = 1,005 × (717 − 600) = 118 kJ/kg Discussione Riscaldando ulteriormente il fluido, la portata di massa diminuisce.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto adiabatico con resistenze non trascurabili (Flusso di Fanno) 12.52 Quali sono le caratteristiche dei flussi di Fanno? Analisi La caratteristica principale dei flussi di Fanno e` la presenza della resistenza al moto causata dalle pareti del condotto. Le altre ipotesi sono quelle di moto permanente, unidimensionale e adiabatico.

Discussione La caratteristica principale dei flussi di Rayleigh e` lo scambio di calore con l’esterno e l’assenza di resistenza delle pareti; quella dei flussi di Fanno e` la resistenza delle pareti e l’assenza di scambio di calore con l’esterno.

12.53 Nei flussi di Fanno, che influenza ha la resistenza delle pareti sull’entropia del fluido?

Analisi Nei flussi di Fanno, la resistenza delle pareti fa sempre aumentare l’entropia.

Discussione Se cos`ı non fosse, non sarebbe soddisfatta la seconda legge della termodinamica.

12.54 In un flusso di Fanno, a causa della resistenza della tubazione, il numero di Mach passa da 0,70 nella sezione di ingresso a 0,90 nella sezione di uscita. La temperatura di ristagno TT , la pressione di ristagno pT e l’entropia s del fluido aumentano, diminuiscono o rimangono costanti?

Analisi Nei flussi di Fanno subsonici, all’aumentare del numero di Mach, la temperatura di ristagno TT rimane costante, la pressione di ristagno pT diminuisce e l’entropia s del fluido aumenta. Discussione La resistenza delle pareti causa perdite irreversibili che si traducono in una diminuzione della pressione di ristagno e in un aumento dell’entropia. La temperatura di ristagno, invece, essendo il moto adiabatico, rimane costante nella direzione del moto.

12.55 In un flusso di Fanno, a causa della resistenza della tubazione, il numero di Mach passa da 1,8 nella sezione di ingresso a 1,2 nella sezione di uscita. La temperatura di ristagno TT , la pressione di ristagno pT e l’entropia s del fluido aumentano, diminuiscono o rimangono costanti?

Analisi Nei flussi di Fanno supersonici, quando il numero di Mach diminuisce, la temperatura di ristagno TT rimane costante, la pressione di ristagno pT diminuisce e l’entropia s del fluido aumenta.

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Moto dei fluidi comprimibili

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38 Capitolo 12

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Discussione La resistenza delle pareti causa perdite irreversibili che si traducono in una diminuzione della pressione di ristagno e in un aumento dell’entropia. La temperatura di ristagno, invece, essendo il moto adiabatico, rimane costante nella direzione del moto.

12.56 Nel flusso di Fanno subsonico, qual e` l’effetto delle resistenze ` E in quello supersonico? sulla velocita?

Analisi Per effetto della resistenza delle pareti, la velocita` aumenta nel flusso di Fanno subsonico e diminuisce nel flusso di Fanno supersonico.

Discussione Queste conclusioni, che sembrano in contrasto con quanto suggerito dall’intuito, derivano dall’andamento della linea di Fanno, che rispetta le equazioni di conservazione.

12.57 Un flusso di Fanno subsonico accelera, a causa della resistenza delle pareti, fino a raggiungere lo stato sonico in corrispondenza della sezione di uscita della condotta. Aggiungendo un tratto di condotta a valle di tale sezione, nella sezione il moto diventa subsonico, supersonico o rimane sonico? e la portata di massa aumenta, diminuisce o rimane costante?

Analisi Essendo il moto soffocato, nella sezione di uscita si mantiene lo stato sonico. Se si aggiunge un altro tratto di condotta, la portata di massa diminuisce.

Discussione Poiche´ il moto non puo` diventare supersonico (non esiste una gola), le condizioni di moto cambiano in modo da mantenere le condizioni soniche nella sezione di sbocco.

12.58 Un flusso di Fanno supersonico rallenta, a causa della resistenza delle pareti, fino a raggiungere lo stato sonico in corrispondenza della sezione di uscita della condotta. Aggiungendo un tratto di condotta a valle di tale sezione, nella sezione il moto diventa subsonico, supersonico o rimane sonico? e la portata di massa aumenta, diminuisce o rimane costante?

Analisi Nella sezione di uscita, si mantiene lo stato sonico. Se si aggiunge un altro tratto di condotta, la portata di massa rimane costante, perche´ il moto a monte non ne e` influenzato.

Discussione Il valore della portata di massa e` fissato dalle condizioni di ristagno di monte e dalle dimensioni della gola; pertanto, la portata di massa non varia se aumenta la lunghezza della condotta. ` aumentando tale lunghezza, si forma un’onda d’urto. Pero,

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12.59 Nella sezione di ingresso di una tubazione del diametro di 15 cm, una corrente d’aria ha V1 = 150 m/s, T1 = 500 K e p1 = 200 kPa. Essendo il moto adiabatico e l’indice di resistenza medio pari a 0,014, calcolare a quale distanza dalla sezione di ingresso la velocita` dell’aria si raddoppia e di quanto diminuisce la pressione nel tratto tra le due sezioni.

Moto dei fluidi comprimibili

p1 = 200 kPa

V1 = 150 m/s

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Nella sezione di ingresso, si ha p p c1 = k RT1 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 500 = 448 m/s Ma1 =

150 V1 = = 0,335 m/s c1 448

e, per la 12.88,



λm L ∗ Di

=

1 − Ma21 k + 1 (k + 1) Ma21 + = ln 2k k Ma21 2 + (k − 1) Ma21

=

1 − 0,3352 1,4 + 1 (1,4 + 1) × 0,3352 + × ln = 1,4 × 0,3352 2 × 1,4 2 + 0,4 × 0,3352

 1

= 3,91 Per la 12.92, si ha, inoltre,

V1 = Ma1 V∗

s

k+1 = 0,335 × 2 + (k − 1) Ma21

s

1,4 + 1 = 2 + 0,4 × 0,3352

= 0,363 Nella sezione 2 si ha V2 = 2V1 e, pertanto,

V2 2V1 = ∗ = 2 × 0,363 = 0,726 V∗ V Dalla 12.92, scritta per la sezione 2, si ha

s Ma2 =

2(V2 /V ∗ )2 = (k + 1) − (k − 1)(V2 /V ∗ )2

s

2 × 0,7262 = 2, 4 − 0, 4 × 0,7262

= 0,694

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V2 = 2V1

Ma = 1 p* T* V*

L*1

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di resistenza si mantiene costante.

L *2

L

T1 = 500 K

x

39

ipotetico allungamento del condotto fino allo stato sonico

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

40 Capitolo 12

e, per la 12.88,



λm L ∗ Di =

 = 2

1 − Ma22 k + 1 (k + 1) Ma22 + ln = 2k k Ma22 2 + (k − 1) Ma22

1,4 + 1 (1,4 + 1) × 0,6942 1 − 0,6942 + × ln = 0,220 1,4 × 0,6942 2 × 1,4 2 + 0,4 × 0,6942

Per la 12.89, la lunghezza L del tratto compreso fra le sezioni in cui il numero di Mach assume i valori Ma1 e Ma2 e`

 L=

λm L ∗ Di



 − 1

λm L ∗ Di

 2

Di 0,15 = (3,91 − 0,220) × = λm 0,014

= 39,5 m La 12.90 fornisce la pressione, adimensionalizzata rispetto alla pressione critica p ∗ , in funzione del numero di Mach. Scrivendo la 12.90, rispettivamente, per la sezione 1 e la sezione 2 si ha

1 p1 = ∗ p Ma1

s

k+1 2 + (k − 1)Ma21

p2 1 = ∗ p Ma2

s

k+1 2 + (k − 1)Ma22

Dividendo membro a membro, si ottiene

p1 Ma2 = p2 Ma1

s

2 + (k − 1) Ma22 2 + (k − 1) Ma21

da cui

s

2 + (k − 1) Ma21 = 2 + (k − 1) Ma22 s 2 + (1,4 − 1) × 0,3352 0,335 = 200 × × = 93,2 kPa 0,694 2 + (1,4 − 1) × 0,6942

Ma1 p2 = p1 Ma2

La diminuzione di pressione tra la sezione 1 e la sezione 2 vale, pertanto,

1p = p1 − p2 = 200 − 93,2 = 107 kPa Discussione La lunghezza sonica della sezione 2 e`   λm L ∗ Di 0,15 ∗ L2 = = 0,220 × = 2,36 m Di 2 λm 0,014 Pertanto, per raggiungere le condizioni soniche basterebbe aggiungere, a valle della sezione 2, un tratto di condotta lungo 2,36 m.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

12.60 Nella sezione di ingresso di una tubazione del diametro di 4 cm, lunga 15 m, una corrente d’aria ha V1 = 70 m/s, T1 = 500 K e p1 = 300 kPa. Essendo il moto adiabatico e l’indice di resistenza medio pari a 0,023, calcolare il numero di Mach e la velocita` nella sezione di uscita e la portata di massa.

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di resistenza si mantiene costante.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Nella sezione di ingresso, si ha p p c1 = k RT1 = 1,4 × 0,287 × 1000 × 500 = 448 m/s V1 70 = = 0,156 m/s c1 448

Ma1 = e, per la 12.88,



λm L ∗ Di



(k + 1) Ma21 1 − Ma21 k + 1 + ln = 2k k Ma21 2 + (k − 1) Ma21 1 − 0,1562 1,4 + 1 (1,4 + 1) × 0,1562 = + × ln = 1,4 × 0,1562 2 × 1,4 2 + 0,4 × 0,1562 =

1

= 25,6 Per la 12.89, l’analoga quantita` nella sezione di uscita 2, vale



λm L ∗ Di



 = 2

λm L ∗ Di

 − 1

0,023 × 15 λm L = 25,6 − = 17,0 Di 0,04

valore in corrispondenza del quale la 12.88, risolta con un metodo iterativo, risulta soddisfatta per Ma2 = 0,187. Nella sezione di ingresso si ha

ρ1 =

p1 300 = = 2,09 kg/m3 RT1 0,287 × 500

per cui la portata di massa risulta

Q m = ρ1 A1 V1 = 2,09 × π × 0,042 /4 × 70 = 0,184 kg/s Discussione La lunghezza sonica della sezione 2 e`   λm L ∗ Di 0,04 ∗ L2 = = 17,0 × = 29,6 m Di 2 λm 0,023 Pertanto, affinche´ il numero di Mach aumenti da 0,156 a 0,187 e` necessaria una lunghezza di 15 m, mentre e` sufficiente una lunghezza di 29,4 m perche´ il numero di Mach passi da 0,187 a 1. Cio` perche´ il numero di Mach, in prossimita` delle condizioni soniche, aumenta molto rapidamente.

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Moto dei fluidi comprimibili L *2

L p1 = 300 kPa

T1 = 500 K

Ma2

V1 = 70 m/s

Ma = 1 p* T* V*

L*1 x

41

ipotetico allungamento del condotto fino allo stato sonico

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42 Capitolo 12

12.61 In una stanza, l’aria a TT = 300 K e pT = 100 kPa viene aspirata da una pompa attraverso un tubicino, del diametro di 2 cm e lungo 50 cm, il cui imbocco e` ben raccordato mediante un ugello pT = 100 kPa TT = 300 K

D = 2 cm λ = 0,018 L = 50 cm

pompa a vuoto

convergente. Il moto puo` essere considerato isoentropico nell’ugello e adiabatico nel tubo; l’indice di resistenza medio e` pari a 0,018. Calcolare la massima portata di massa che puo` essere aspirata e il numero di Mach all’ingresso del tubo.

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di resistenza si mantiene costante.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi La portata di massa massima si ha nelle condizioni di moto soffocato, per le quali nella sezione di uscita si ha Ma2 = 1, cioe` condizioni soniche. Pertanto, la lunghezza L = 0,50 m della tubazione a monte di tale sezione coincide con la lunghezza L ∗ , data dalla 12.88, necessaria perche´ il fluido, partendo dallo stato definito dal numero di Mach Ma1 raggiunga lo stato sonico. Si ha, pertanto,

λm L ∗ 0,018 × 0,50 = = 0,45 Di 0,02 valore in corrispondenza del quale la 12.88, risolta con un metodo iterativo, risulta soddisfatta per Ma1 = 0,611. Per l’ipotesi di moto isoentropico nell’ugello si ha TT 1 = TT e pT 1 = pT , per cui i valori di temperatura e pressione nella sezione di ingresso, rispettivamente, per la 12.19 e la 12.20, risultano

 T1 = TT 1

k−1 1+ Ma21 2

−1



1,4 − 1 = 300 × 1 + × 0,6112 2

−1 =

= 279 K e

−k/(k−1)  k−1 2 p1 = p T 1 1 + Ma1 = 2  −1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 100 × 1 + × 0,611 = 77,7 kPa 2 La densita` e la velocita` valgono, rispettivamente,

ρ1 =

p1 77,7 = = 0,970 kg/m3 RT1 0,287 × 279

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

e

p p V1 = Ma1 c1 = Ma1 k RT1 = 0,611 × 1,4 × 287 × 279 = = 205 m/s per cui la portata di massa risulta

Q m = ρ1 A1 V1 = 0,970 × π × 0,022 /4 × 205 = 0,0625 kg/s Discussione Il valore calcolato e` quello della portata massima che puo` defluire nella condotta per le assegnate condizioni all’ingresso. Tale valore non puo` aumentare neanche diminuendo ulteriormente la pressione all’uscita.

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Moto dei fluidi comprimibili

43

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44 Capitolo 12

pT = 100 kPa TT = 300 K

D = 2 cm λ = 0,025 L=1m

pompa a vuoto

12.62 Risolvere l’esercizio precedente nel caso di indice di resistenza medio di 0,025 e lunghezza del tubo di 1 m. Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di resistenza si mantiene costante.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi La portata di massa massima si ha nelle condizioni di moto soffocato, per le quali nella sezione di uscita si ha Ma2 = 1, cioe` condizioni soniche. Pertanto, la lunghezza L = 1,00 m della tubazione a monte di tale sezione coincide con la lunghezza L ∗ , data dalla 12.88, necessaria perche´ il fluido, partendo dallo stato definito dal numero di Mach Ma1 raggiunga lo stato sonico. Si ha, pertanto,

0,025 × 1,00 λm L ∗ = = 1,25 Di 0,02 valore in corrispondenza del quale la 12.88, risolta con un metodo iterativo, risulta soddisfatta per Ma1 = 0,479. Per l’ipotesi di moto isoentropico nell’ugello si ha TT 1 = TT e pT 1 = pT , per cui i valori di temperatura e pressione nella sezione di ingresso, rispettivamente, per la 12.19 e la 12.20, risultano

 T1 = TT 1

k−1 Ma21 1+ 2

−1



1,4 − 1 = 300 × 1 + × 0,4792 2

−1 =

= 287 K  −k/(k−1) k−1 p1 = p T 1 1 + Ma21 = 2  −1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 100 × 1 + × 0,479 = 85,5 kPa 2 La densita` e la velocita` valgono, rispettivamente,

ρ1 =

p1 85,5 = = 1,04 kg/m3 RT1 0,287 × 287

p p V1 = Ma1 c1 = Ma1 k RT1 = 0,479 × 1,4 × 287 × 287 = = 163 m/s per cui la portata di massa risulta

Q m = ρ1 A1 V1 = 1,04 × π × 0,022 /4 × 163 = 0,0533 kg/s

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto dei fluidi comprimibili

12.63 Nella sezione di ingresso di una tubazione del diametro di 5 cm, lunga 4 m, una corrente d’aria ha p1 = 80 kPa, T1 = 380 K e Ma1 = 2,8. A 3 m dall’ingresso, si forma un’onda d’urto normale. Essendo il moto adiabatico e l’indice di resistenza medio pari a 0,007,

T1 = 380 K Ma1 = 2,8

` la temperatura e la pressione nella sezione di calcolare la velocita, uscita.

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di resistenza si mantiene costante.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Per la 12.88, nella sezione di ingresso si ha 

λm L ∗ Di

 = 1

1 − Ma21 k + 1 (k + 1) Ma21 ln + = 2k k Ma21 2 + (k − 1) Ma21

2,4 2,4 × 2,82 1 − 2,82 + = 0,4898 m × ln 1,4 × 2,82 2 × 1,4 2 + 0,4 × 2,82

=

Pertanto, lo stato sonico si raggiunge in una sezione posta ad una distanza dalla sezione di ingresso pari a



L ∗1

=

λm L ∗ Di



0,05 Di = 0,04898 × = 3,50 m λm 0,007

1

Tale distanza e` maggiore della distanza L 2 = 3 m della sezione in corrispondenza della quale si forma l’onda d’urto. Pertanto, il moto a monte dell’onda d’urto e` effettivamente supersonico. Per la 12.89, se L = L 2 − L 1 e` la lunghezza del tratto compreso fra le sezioni 1 e 2 nelle quali il numero di Mach assume i valori Ma1 e Ma2 , si ha



λm L Di



 =

λm L ∗ Di



 − 1

λm L ∗ Di

 2

Nella sezione posta subito a monte dell’onda d’urto, essendo L = L 2 − L 1 = 3 − 0 = 3 m, si ha

λm L 0,007 × 3 = = 0,420 Di 0,05 e, per la 12.89,



λm L ∗ Di



 =

2

λm L ∗ Di



 −

1

λm L Di

 = 0,4898 − 0,420 = 0,0698

In corrispondenza di tale valore, la 12.88 risulta soddisfatta per Ma2 = 1,315. Scrivendo la 12.91, rispettivamente, per la sezione 1 e

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p1 = 80 kPa

L1 = 3 m

onda d’urto normale

45

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46 Capitolo 12

per la sezione 2 e dividendo membro a membro, si ottiene

T1 2 + (k − 1) Ma22 = T2 2 + (k − 1) Ma21 da cui

T2 = T1

2 + (k − 1) Ma21 2 + 0,4 × 2,82 = 380 × = 725 K 2 + 0,4 × 1,3152 2 + (k − 1) Ma22

Analogamente, dalla 12.90

s

2 + (k − 1) Ma21 = 2 + (k − 1) Ma22 s 2,8 2 + (1,4 − 1) × 2,82 × = 235 kPa = 80 × 1,315 2 + (1,4 − 1) × 1,3152

Ma1 p2 = p1 Ma2

Per la 12.38, il numero di Mach Ma3 subito a valle dell’onda d’urto e`

s Ma3 =

(k − 1) Ma22 + 2 = 2k Ma22 − k + 1

s

0,4 × 1,3152 + 2 = 0,778 2 × 1,4 × 1,3152 − 0,4

Rispettivamente, per la 12.37 e la 12.34, la pressione e la temperatura risultano

p3 = p2

T3 = T2

1 + 1,4 × 1,3152 1 + kMa22 = 435 kPa = 235 × 1 + 1,4 × 0,7782 1 + kMa23

1 + Ma22 (k − 1)/2 1 + 1,3152 × 0,2 = 725 × = 870 K 1 + 0,7782 × 0,2 1 + Ma23 (k − 1)/2

A valle dell’onda d’urto, si ha ancora un flusso di Fanno fino alla sezione di uscita 4, dove il moto e` sonico. Pertanto, scrivendo la 12.91 per la sezione 3 e per la sezione 4 e dividendo membro a membro si ottiene il rapporto fra le due temperature, da cui

T4 = T3

2 + (k − 1) Ma23 2 + 0,4 × 0,7782 = 870 × = 813 K 2 2 + 0,4 × 12 2 + (k − 1) Ma4

Analogamente, dalla 12.90,

s

2 + (k − 1) Ma23 = 2 + (k − 1) Ma24 s 0,778 2 + (1,4 − 1) × 0,7782 = 435 × × = 327 kPa 1 2 + (1,4 − 1) × 12

Ma3 p4 = p3 Ma4

` infine, risulta La velocita,

p p V4 = Ma4 c4 = Ma4 k RT4 = 1 × 1,4 × 287 × 813 = 572 m/s

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

12.64 Nella sezione di ingresso di una tubazione del diametro di 5 cm, una corrente d’aria ha p1 = 200 kPa, T1 = 550 K e Ma1 = 0,4. Essendo il moto adiabatico, l’indice di resistenza medio pari a 0,016 e il numero di Mach all’uscita della tubazione pari a 0,8, calcolare la ` la temperatura e la pressione lunghezza della tubazione e la velocita, nella sezione di uscita.

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante). 2 Lungo la condotta l’indice di resistenza si mantiene costante.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Per la 12.88, nella sezione di ingresso 1 in cui Ma1 = 0,4 e nella sezione di uscita 2 in cui Ma2 = 0,8 si ha, rispettivamente,   1 − Ma21 k + 1 (k + 1) Ma21 λm L ∗ = + ln = Di 1 2k k Ma21 2 + (k − 1) Ma21 1 − 0,42 2,4 2,4 × 0,42 = + ln = 2,31 1,4 × 0,42 2 × 1,4 2 + 0,4 × 0,42   λm L ∗ 1 − Ma22 k + 1 (k + 1) Ma22 + = = ln Di 2 2k k Ma22 2 + (k − 1) Ma22 2,4 1 − 0,82 2,4 × 0,82 + = 0,0723 = ln 1,4 × 0,82 2 × 1,4 2 + 0,4 × 0,82 Per la 12.89, la lunghezza L della tubazione e`

 L=

λm L ∗ Di



λm L ∗ − Di 1 

 2

Di 0,05 = (2,31−0,0723)× = 6,99 m λm 0,016

Scrivendo la 12.91, rispettivamente, per la sezione 1 e per la sezione 2 e dividendo membro a membro si ottiene il rapporto fra le due temperature, da cui

T2 = T1

2 + (k − 1) Ma21 2 + 0,4 × 0,42 = 550 × = 503 K 2 2 + 0,4 × 0,82 2 + (k − 1) Ma2

Analogamente, dalla 12.90,

s

2 + (k − 1) Ma21 = 2 + (k − 1) Ma22 s 0,4 2 + (1,4 − 1) × 0,42 = 200 × × = 95,7 kPa 0,8 2 + (1,4 − 1) × 0,82

Ma1 p2 = p1 Ma2

` infine, risulta La velocita,

p p V2 = Ma2 c2 = Ma2 k RT2 = 0,8 × 1,4 × 287 × 503 = 360 m/s

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Moto dei fluidi comprimibili

p1 = 200 kPa

47

Ma2 = 0,8

T1 = 550 K

Ma1 = 0,4

L

48 Capitolo 12

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Riepilogo 12.65 Nella sezione di ingresso di una condotta a diametro variabile, una corrente di azoto ha p1 = 100 kPa, T1 = 400 K e Ma1 = 0,3. Essendo il moto permanente e isoentropico, calcolare la temperatura, la pressione e il numero di Mach nella sezione di area ridotta del 20%.

Ipotesi 1 L’azoto si comporta come un gas ideale con k = 1,4. 2 Il moto attraverso l’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Analisi Per la 12.27, nella sezione di ingresso, in cui Ma1 = 0,3, il rapporto tra l’area A1 della sezione e l’area A∗ della gola vale   (k+1)/[2(k−1)] 1 2 k−1 A1 2 = 1 + Ma = 1 A∗ Ma1 k + 1 2   2,4/0,8 1 2 0,4 2 = × × 1+ × 0,3 = 2,035 0,3 2,4 2 Nella sezione 2, di area ridotta del 20%, si ha A2 = 0,8A1 . Pertanto,

A1 A2 = 0,8 ∗ = 0,8 × 2,035 = 1,628 ∗ A A valore per il quale la 12.27 risulta soddisfatta per Ma = 0,389 e per Ma = 1,957. Poiche´ la condotta e` convergente e il moto nella sezione di ingresso e` subsonico, va assunto il valore subsonico. Pertanto, Ma2 = 0,389. Per l’ipotesi di moto isoentropico, le grandezze di ristagno si mantengono costanti. Quindi, per la 12.20 e la 12.19, rispettivamente, la pressione e la temperatura nella sezione 2 risultano

p2 = p1

p2 / p T [1 + (k − 1)Ma22 /2]−k/(k−1) = p1 = p1 / p T [1 + (k − 1)Ma21 /2]−k/(k−1)  −1,4/0,4 1 + 0,4 × 0,3892 /2 = 100 × = 95,9 kPa 1 + 0,4 × 0,32 /2

T2 = T1

[1 + (k − 1)Ma22 /2]−1 T2 /TT = T1 = T1 /TT [1 + (k − 1)Ma21 /2]−1  −1 1 + 0,4 × 0,3892 /2 = 400 × = 395 K 1 + 0,4 × 0,32 /2

Discussione In un ugello convergente, via via che il fluido accelera, diminuiscono sia la temperatura che la pressione .

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

12.66 Risolvere l’esercizio precedente per Ma1 = 0,6. Ipotesi 1 L’azoto si comporta come un gas ideale con k = 1,4. 2 Il moto attraverso l’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Analisi Per la 12.27, nella sezione di ingresso, in cui Ma1 = 0,5, il rapporto tra l’area A1 della sezione e l’area A∗ della gola vale   (k+1)/[2(k−1)] 1 2 k−1 A1 2 = 1+ Ma1 = A∗ Ma1 k + 1 2   2,4/0,8 2 0,4 1 2 × × 1+ × 0,5 = 1,340 = 0,5 2,4 2 Nella sezione 2, di area ridotta del 20%, si ha A2 = 0,8A1 . Pertanto,

A2 A1 = 0,8 = 0,8 × 1,340 = 1,072 A∗ A∗ valore per il quale la 12.27 risulta soddisfatta per Ma = 0,734 e per Ma = 1,313. Poiche´ la condotta e` convergente e il moto nella sezione di ingresso e` subsonico, va assunto il valore subsonico. Pertanto, Ma2 = 0,734. Per l’ipotesi di moto isoentropico, le grandezze di ristagno si mantengono costanti. Quindi, per la 12.20 e la 12.19, rispettivamente, la pressione e la temperatura nella sezione 2 risultano

p2 = p1

p2 / p T [1 + (k − 1)Ma22 /2]−k/(k−1) = = p1 p1 / p T [1 + (k − 1)Ma21 /2]−k/(k−1)  −1,4/0,4 1 + 0,4 × 0,7342 /2 = 100 × = 82,9 kPa 1 + 0,4 × 0,52 /2

T2 = T1

T2 /TT [1 + (k − 1)Ma22 /2]−1 = T1 = T1 /TT [1 + (k − 1)Ma21 /2]−1  −1 1 + 0,4 × 0,7342 /2 = 400 × = 379 K 1 + 0,4 × 0,52 /2

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Moto dei fluidi comprimibili

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50 Capitolo 12

12.67 La spinta sviluppata dal motore di un Boeing 777 vale circa 380 kN. Nell’ipotesi che il moto sia soffocato, calcolare la portata di massa d’aria negli ugelli quando la temperatura esterna e` di 295 K e la pressione e` di 95 kPa. Ipotesi 1 L’aria e i gas combusti si comportano come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto dei gas combusti negli ugelli e` isoentropico. 3 Nella sezione di imbocco la velocita` e` trascurabile. 4 Nella sezione di sbocco il moto e` soffocato. Proprieta` Per i gas combusti la costante del gas e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K) e k = 1,33. Analisi Nella sezione di sbocco il moto e` soffocato, per cui Ma2 = 1. Pertanto, la velocita` e`

p √ V2 = Ma2 c2 = Ma2 k RT = 1 × 1,33 × 287 × 295 = = 335,6 m/s La spinta S sviluppata dal motore e` pari al prodotto Q m V , per cui la portata di massa risulta

Qm =

S 380 000 = = 1130 kg/s V 335,6

Discussione I gas combusti sono composti soprattutto da azoto (presente nell’aria in una percentuale del 78% circa) e, pertanto, il loro comportamento puo` essere approssimato a quello dell’aria.

12.68 Una sonda termica viene inserita in una condotta nella quale defluisce aria alla velocita` di 190 m/s. Se la sonda indica 85 ◦ C, qual e` la vera temperatura dell’aria? 85 °C aria 190 m/s

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il processo di ristagno e` isoentropico.

Proprieta` Il valore del calore specifico a pressione costante e` c p = 1,005 kJ/(kg · K). Analisi L’aria che colpisce la sonda si arresta completamente, per cui la temperatura misurata dalla sonda e` la temperatura di ristagno TT . Per la 12.5, la temperatura statica vale

T = TT −

V2 1902 = 85 − = 67,0 ◦ C 2c p 2 × 1,005 × 1000

Discussione In un processo di ristagno, se la velocita` del fluido e` piuttosto elevata l’aumento di temperatura e` molto significativo e deve, pertanto, essere sempre messo in conto, a meno che gli effetti della comprimibilita` siano trascurabili.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto dei fluidi comprimibili

12.69 Nella sezione di ingresso di uno scambiatore di calore, una corrente di azoto ha p1 = 150 kPa, T1 = 10 ◦ C e V1 = 100 m/s. Attraversando lo scambiatore in moto permanente, l’azoto riceve una quantita` di calore pari a 150 kJ/kg; all’uscita ha una pressione di 100 kPa e una velocita` di 200 m/s. Calcolare la pressione di ristagno e la temperatura di ristagno all’ingresso e all’uscita dello scambiatore.

Ipotesi 1 L’azoto si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto dell’azoto nello scambiatore e` isoentropico.

Proprieta` Il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, c p = 1,039 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi Nella sezione di ingresso dello scambiatore, la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno, rispettivamente, per la 12.5 e la 12.7, valgono

TT 1 = T1 +

 p T 1 = p1

TT 1 T1

V12 1002 = 10 + = 14,8 ◦ C 2c p 2 × 1,039 × 1000

k/(k−1)

 = 150 ×

14,8 + 273,2 10 + 273,2

1,4/0,4 = 159 kPa

Per la 12.10, essendo qc = q1 − q2 = 150 kJ/kg il calore ricevuto dal fluido, si ha

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) da cui

TT 2 = TT 1 +

qc 150 = 14,8 + = 159,2 ◦ C cp 1,039

Per la 12.5, la temperatura nella sezione di uscita risulta

T2 = TT 2 −

V22 2002 = 159 − = 139,9 ◦ C 2c p 2 × 1,039 × 1000

Per la 12.7, la pressione di ristagno vale

 p T 2 = p2

TT 2 T2

k/(k−1)

 = 100 ×

159,2 + 273,2 139,9 + 273,2

1,4/0,4 =

= 117 kPa Discussione Per velocita` elevate, i valori di ristagno possono essere notevolmente diversi dai corrispondenti valori statici.

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51

150 kJ/kg p1 = 150 kPa

T1 = 10 °C

azoto

V1 = 100 m/s p2 = 100 kPa

V2 = 200 m/s

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52 Capitolo 12

12.70 Un aereo viaggia in moto subsonico alla quota di 5000 m, dove la pressione vale 54 kPa e la temperatura 256 K. Un tubo di Pitot misura una differenza di 22 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Calcolare la velocita` dell’aereo e il numero di Mach.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il processo di ristagno e` isoentropico.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi Per la 12.20, il rapporto tra la pressione di ristagno e la pressione statica e` funzione del numero di Mach. Si ha, infatti,

  k − 1 2 k/(k−1) pT = 1+ Ma p 2 da cui

v # "  u (k−1)/k u 2 p T Ma = t −1 = k−1 p v u u =t

2 × 1,4 − 1

"

54 + 22 54

#

(1,4−1)/1,4

− 1 = 0,716

Pertanto, la velocita` dell’aereo e`

p √ V = Ma c = Ma k RT = 0,716 × 1,4 × 287 × 256 = = 230 m/s Discussione Misurando una differenza di pressione, si puo` ottenere la velocita` in maniera semplice e accurata.

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Moto dei fluidi comprimibili

12.71 Nella sezione di ingresso di un ugello, una corrente di elio ha p1 = 0,6 MPa, T1 = 560 K e V1 = 120 m/s. Considerando il moto isoentropico, calcolare la temperatura e la pressione dell’elio nella sezione in cui la velocita` e` pari a quella del suono. Che rapporto c’e` tra l’area di tale sezione e l’area della sezione di ingresso?

Ipotesi 1 L’elio si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto nell’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` Per l’elio la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 2,0769 kJ/(kg · K), c p = 5,1926 kJ/(kg · K) e k = 1,667.

Analisi Nella sezione di ingresso, rispettivamente, per la 12.5 e la 12.7, la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno valgono

TT 1 = T1 +

 p T 1 = p1

TT 1 T1

1202 V12 = 560 + = 561,4 K 2c p 2 × 5,1926 × 1000

k/(k−1)

 = 0,6 ×

561,4 560

1,667/0,667 = 0,6038 MPa

Per l’ipotesi di moto isoentropico, tali valori rimangono costanti lungo l’ugello. Nella sezione terminale dell’ugello la velocita` e` pari a quella del suono, per cui si ha Ma2 = 1 mentre la temperatura e la pressione assumono i valori critici, che, rispettivamente, per la 12.22 e la 12.23, risultano

T ∗ = TT

p ∗ = pT



2 2 = 561,4 × = 421,0 K k+1 1,667 + 1

2 k+1

k/(k−1)

 = 0,6038 ×

2 2,667

1,667/0,667 =

= 0,2941 MPa Nella sezione di ingresso, il numero di Mach vale

Ma1 =

V1 V1 120 =√ =√ = 0,0862 c1 k RT1 1,667×2,0769×1000×560

per cui, per la 12.27, il rapporto tra l’area della gola (in cui Ma2 = 1) e l’area della sezione di ingresso risulta

   A∗ 2 k − 1 2 −(k+1)/[2(k−1)] = Ma1 Ma1 = 1+ A1 k+1 2   −2,667/(2×0,667) 2 0,667 = 0,0862× 1+ ×0,08622 = 0,153 2,667 2

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0,6 MPa 560 K 120 m/s

elio Ma = 1

53

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54 Capitolo 12

12.72 Risolvere l’esercizio precedente per il caso di velocita` all’ingresso trascurabile. 0,6 MPa 560 K V=0

Ipotesi 1 L’elio si comporta come un gas ideale con calori specifici

elio Ma = 1

costanti. 2 Il moto nell’ugello e` permanente, unidimensionale e isoentropico.

Proprieta` Per l’elio la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 2,0769 kJ/(kg · K), c p = 5,1926 kJ/(kg · K) e k = 1,667.

Analisi Nella sezione di ingresso, essendo la velocita` trascurabile, la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno coincidono con i valori statici

TT 1 = T1 = 560 K pT 1 = p1 = 0,6 MPa Per l’ipotesi di moto isoentropico, tali valori rimangono costanti lungo l’ugello. Nella sezione terminale dell’ugello la velocita` e` pari a quella del suono, per cui si ha Ma2 = 1 mentre la temperatura e la pressione assumono i valori critici, che, rispettivamente, per la 12.22 e la 12.23, risultano

T ∗ = TT

∗



p = pT

2 2 = 560 × = 419,9 K k+1 1,667 + 1

2 k+1

k/(k−1)

 = 0,6 ×

2 2,667

1,667/0,667 =

= 0,2923 MPa Nella sezione di ingresso, essendo la velocita` trascurabile, si ha Ma1 ∼ = 0, per cui, per la 12.27, il rapporto tra l’area della gola (in cui Ma2 = 1) e l’area della sezione di ingresso risulta

   2 k − 1 2 −(k+1)/[2(k−1)] ∼ A∗ = Ma1 1+ Ma1 =0 A1 k+1 2 Pertanto, essendo A1 /A∗ ∼ = 1/0 = ∞, l’area della sezione di ingresso e` molto piu` grande dell’area della gola.

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Moto dei fluidi comprimibili

12.73 Nella sezione di ingresso di un ugello convergentedivergente, una corrente di azoto ha una temperatura di 310 K e una pressione di 620 kPa. In una sezione in cui il numero di Mach e` pari a 3,0 si forma un’onda d’urto normale. Calcolare la tempera` il numero di Mach e la pressione di tura, la pressione, la velocita, ristagno a valle dell’onda d’urto e confrontare tali valori con quelli di una corrente d’aria nelle stesse condizioni.

Ipotesi 1 L’azoto si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto nell’ugello e` permanente, unidimensionale, isoentropico e adiabatico. 3 Nella sezione di ingresso la velocita` e` trascurabile.

Proprieta` Per l’azoto la costante del gas e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,297 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Per l’aria si ha R = 0,287 kJ/(kg · K) e k = 1,4. Analisi Nella sezione di ingresso, essendo la velocita` trascurabile, la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno coincidono con i valori statici

TT i = Ti = 310 K pT i = pi = 620 kPa Per l’ipotesi di moto isoentropico, tali valori rimangono costanti lungo l’ugello, per cui nella sezione 1 a monte dell’onda d’urto si ha TT 1 = TT i e pT 1 = pT i . Per Ma1 = 3,0 la temperatura e la pressione, rispettivamente per la 12.19 e la 12.17, risultano

T1 =

2 × 310 2 TT 1 = = 110,7 K 2 2 + (1,4 − 1) × 3,02 2 + (k − 1)Ma1 

p1 = p T 1

T1 TT 1

k/(k−1)

 = 620 ×

110,7 310

1,4/0,4 = 16,9 kPa

Nella sezione 2 a valle dell’onda d’urto, per la 12.38, si ha

s Ma2 =

(k − 1) Ma21 + 2 = 2k Ma21 − k + 1

s

(1,4 − 1) × 3,02 + 2 = 0,475 2 × 1,4 × 3,02 − 1,4 + 1

Rispettivamente, per la 12.34, la 12.37 e la 12.20, la temperatura, la pressione e la pressione di ristagno risultano

T2 = T1

1 + Ma21 (k − 1)/2 1 + 3,02 × (1,4 − 1)/2 = 110,7 × = 1 + 0,4752 × (1,4 − 1)/2 1 + Ma22 (k − 1)/2

= 297 K

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55

onda d’urto normale 620 kPa 310 K V= 0

azoto

1

2

Ma1 = 3

56 Capitolo 12

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p2 = p1

1 + k Ma21 1 + 1,4 × 3,02 = 16,9 × = 175 kPa 1 + 1,4 × 0,4752 1 + k Ma22

 k/(k−1) k−1 Ma22 p T 2 = p2 1 + = 2  1,4/(1,4−1) 1,4 − 1 2 = 175 × 1 + × 0,475 = 204 kPa 2 La velocita` risulta

p p V2 = Ma2 c2 = Ma2 k RT2 = 0,475 × 1,4 × 297 × 297 = = 167 m/s Nel caso di aria, rispetto all’azoto cambia solo il valore della costante del gas R che appare unicamente nell’espressione della velocita` del suono. Pertanto, l’unico risultato diverso e` quello relativo alla velocita` che, a valle dell’onda, risulta

p p V2 = Ma2 c2 = Ma2 k RT2 = 0,475 × 1,4 × 287 × 297 = = 164 m/s

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Moto dei fluidi comprimibili

12.74 Un aereo viaggia a Mach 0,8 alla quota di 7000 m, dove la pressione vale 41,1 kPa e la temperatura 242,7 K. Nel diffusore all’ingresso del motore il numero di Mach allo sbocco e` 0,3. Calcolare l’aumento di pressione statica nel diffusore e l’area della sezione di sbocco per una portata di 65 kg/s.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto nel diffusore e` permanente, unidimensionale, isoentropico e adiabatico.

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Nella sezione di ingresso del diffusore, rispettivamente, ` la temperatura di ristagno e la per la 2.41, la 12.5 e la 12.7, la velocita, pressione di ristagno valgono

p p V1 = Ma1 c1 = Ma1 k RT1 = 0,8 × 1,4 × 287 × 242,7 = = 249,8 m/s

TT 1 = T1 +

 p T 1 = p1

TT 1 T1

249,82 V12 = 242,7 + = 273,7 K 2c p 2 × 1005

k/(k−1)

 = 41,1 ×

273,7 242,7

1,4/(1,4−1) = 62,6 kPa

Per ipotesi, il fluido non scambia lavoro ne´ calore con l’esterno, per cui, trascurando le variazioni di energia potenziale e introducendo l’entalpia, l’equazione dell’energia 5.99 diviene

h1 +

V12 V2 = h 2 + 2 = costante 2 2

Per un gas perfetto con calori specifici costanti, per la seconda delle 2.12, si ha 1h = c p 1T , per cui l’equazione precedente diviene

T1 +

V12 V2 = T2 + 2 = costante 2c p 2c p

o, per la 12.5,

TT 1 = TT 2 = costante Essendo il moto isoentropico, nella sezione terminale del diffusore la pressione di ristagno, per la 12.7, vale

 p T 2 = p2

TT 2 T2

k/(k−1)

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diffusore

57

compressore

T1 = 242,7 K

p1 = 41,1 kPa

motore

Ma1 = 0,8 Ma2 = 0,3

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58 Capitolo 12

e, introducendo la 12.6,

 p T 2 = p1

T2 TT 2 T1 T2

k/(k−1)

 = p1

TT 2 T1

k/(k−1)

Essendo TT 1 = TT 2 , si ha, infine,

 p T 2 = p1

TT 1 T1

k/(k−1) = pT 1 = 62,6 kPa

La velocita` puo` essere espressa come

p p p V2 = Ma2 c2 = Ma2 k RT2 = 0,3 × 1,4 × 287 T2 = = 6,01

p

T2 m/s

La temperatura statica, per la 12.5, risulta

T2 = TT 2 −

6,012 V22 = 273,7 − T2 2c p 2 × 1005

da cui

T2 =

273,7 = 268,9 K 6,012 1+ 2 × 1005

La pressione statica, per la 12.7, risulta

 p2 = p T 2

T2 TT 2

k/(k−1)

 = 62,6 ×

268,9 273,7

1,4/0,4 = 58, 8 kPa

Lungo il diffusore la pressione, pertanto, aumenta di

1p = p2 − p1 = 58,8 − 41,1 = 17,7 kPa Essendo, infine,

ρ2 =

58,8 p2 = = 0,762 kg/m3 RT2 0,287 × 268,9

e

V2 = 6,01

p

T2 = 6,01 ×

p 268,9 = 98,6 m/s

l’area della sezione terminale del diffusore risulta

A2 =

Qm 65 = = 0,865 m2 ρ2 V2 0,762 × 98,6

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Moto dei fluidi comprimibili

12.75 In un ugello, una corrente di elio si espande passando da velocita` trascurabile, temperatura di 500 K e pressione di 1 MPa alla pressione di 0,1 MPa. Considerando il moto isoentropico, calcolare l’area della gola e l’area della sezione di uscita per una portata di 0,46 kg/s e spiegare perche´ l’ugello deve essere convergentedivergente.

Ipotesi 1 L’elio si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto nell’ugello e` permanente, unidimensionale, isoentropico e adiabatico.

Proprieta` Per l’elio la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 2,0769 kJ/(kg · K), c p = 5,1926 kJ/(kg · K) e k = 1,667.

Analisi Nella sezione di ingresso, essendo la velocita` trascurabile, la temperatura di ristagno e la pressione di ristagno coincidono con i valori statici

TT 1 = T1 = 500 K pT 1 = p1 = 1 MPa Per l’ipotesi di moto isoentropico, tali valori rimangono costanti lungo l’ugello per cui nella sezione di uscita 2 si ha TT 2 = TT 1 e pT 2 = pT 1 . Nella gola il moto avviene in condizioni critiche. Rispettivamente, per la 12.22 e la 12.23, la temperatura critica e la pressione critica risultano

2 2 = 500 × = 375 K k+1 1,667 + 1

T ∗ = TT

p ∗ = pT



2 k+1

k/(k−1)

 =1×

2 1,667 + 1

1,667/(1,667−1) =

= 0,487 MPa Essendo

V ∗ = c∗ =

p √ k RT ∗ = 1,667 × 2076,9 × 375 = 1139 m/s

e, per l’equazione di stato,

ρ∗ =

p∗ 487 = = 0,625 kg/m3 ∗ RT 2,0769 × 375

l’area della gola risulta

A∗ =

Qm 0,46 = = 6,46 cm2 ∗ ∗ ρ V 0,625 × 1139

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1 MPa 500 K V= 0

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elio 0,1 MPa

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60 Capitolo 12

Nota la pressione p2 = 0,1 MPa nella sezione di uscita, per la 12.20 si ha

  pT k − 1 2 k/(k−1) = 1+ Ma2 p2 2 da cui

v "  k−1 # v " # u u  0,667 u 2 u 2 pT k 1 1,667 t t × −1 = −1 = Ma2 = k−1 p2 0,667 0,1 = 2,13 Essendo Ma2 > 1, l’ugello deve necessariamente essere convergentedivergente. Per la 12.19, si ha

T2 =

2 × 500 2 TT = = 199 K 2 2 + (1,667 − 1) × 2,132 2 + (k − 1) Ma2

Essendo

p p V2 = Ma2 c2 = Ma2 k RT2 = 2,13 × 1,667 × 2076,9 × 199 = = 1768 m/s e, per l’equazione di stato,

ρ2 =

p2 100 = = 0,242 kg/m3 RT2 2,0769 × 199

l’area della sezione di uscita risulta

A2 =

Qm 0,46 = = 10,8 cm2 ρ2 V2 0,242 × 1768

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Moto dei fluidi comprimibili

61

12.76 Il tubo di Pitot puo` essere usato per effettuare misure di velocita` anche in un fluido comprimibile, purche´ si usi una relazione ` Usare la relazione valida per che tenga conto della comprimibilita. i fluidi incomprimibili puo` comportare, infatti, errori grossolani. Si consideri un tubo di Pitot inserito in una corrente d’aria in moto supersonico. La presenza del tubo causa la formazione di un’onda ` sapendo che la pressiod’urto a monte di esso. Calcolare la velocita, ne di ristagno e la temperatura di ristagno sono, rispettivamente, pari a 620 kPa e a 340 K e che la pressione statica a monte del tubo e` di 110 kPa.

Ipotesi 1 L’aria si comporta come un gas ideale con calori specifici costanti. 2 Il moto dell’aria e` permanente e unidimensionale.

Proprieta` Il rapporto tra i calori specifici dell’aria e` k = 1,4. Analisi La parte frontale del tubo di Pitot e` arrotondata e, pertanto, a monte di essa si forma un’onda d’urto obliqua, la cui analisi e` molto complessa. Tuttavia, subito a monte del punto di ristagno, puo` essere considerata come un’onda d’urto normale. Attraverso l’onda d’urto la temperatura di ristagno si mantiene costante, per cui la temperatura di ristagno TT 1 nella sezione 1 a monte dell’onda d’urto e` uguale alla temperatura di ristagno TT 2 = 340 K nella sezione 2 a valle di essa. Essendo note la pressione di ristagno pT 2 a valle dell’onda d’urto e la pressione statica p1 a monte di essa, e` possibile calcolare il numero di Mach a monte e a valle dell’onda d’urto. Per la 12.20 si ha

 k/(k−1) pT 2 k−1 2 = 1+ Ma2 p2 2 e, dividendo per p1 ,

k/(k−1)  p2 k−1 pT 2 2 Ma2 = 1+ p1 p1 2

(1)

Eguagliando la 12.36 e la 12.37, si ha

q 1 + Ma21 (k − 1)/2 p2 1 + kMa21 q = = p1 1 + kMa22 Ma2 1 + Ma22 (k − 1)/2 Ma1

da cui, risolvendo in funzione di Ma1 , si ottiene la relazione analoga alla 12.38

s Ma1 =

(k − 1) Ma22 + 2 2k Ma22 − k + 1

Introducendo tale espressione, la 12.37 diviene

p2 1 + kMa21 k+1 = = 2 p1 1 + kMa2 2kMa22 − k + 1

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(2)

p1 = 110 kPa onda d’urto

pT2 = 620 kPa TT2 = 340 K

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62 Capitolo 12

Sostituendo nella (1), si ha

  pT 2 k+1 k − 1 2 k/(k−1) = 1+ Ma2 p1 2 2kMa22 − k + 1

(3)

relazione che, conoscendo il valore a primo membro, consente di determinare il valore di Ma2 . Per

620 pT 2 = = 5,6364 p1 110 la (3) e` soddisfatta dal valore Ma2 = 0,5775. A monte dell’onda d’urto, per la (2) si ha

s Ma1 =

(k − 1)Ma22 + 2 2kMa22 − k + 1

s =

(1,4 − 1) × 0,57752 + 2 = 2,0 2 × 1,4 × 0,57752 − 1,4 + 1

Per la 12.19, la temperatura risulta

T1 =

TT 1 340 = = 189 K 2 1 + (1,4 − 1) × 2,02 /2 1 + (k − 1) Ma1 /2

per cui la velocita` vale

p p V1 = Ma1 c1 = Ma1 k RT1 = 2,0 × 1,4 × 287 × 189 = 551 m/s Discussione Per la 12.30, introducendo l’equazione di stato dei gas perfetti 2.4, si ha

V2 =

ρ1 p1 T2 V1 = V1 ρ2 p2 T1

Rispettivamente, per la 12.37 e la 12.34, si ha

p1 1 + kMa22 1 + 1,4 × 0,57752 = = = 0,2223 p2 1 + 1,4 × 2,02 1 + kMa21 T2 2 + Ma21 (k − 1) 2 + 2,02 × (1,4 − 1) = = = 1,687 T1 2 + 0,57752 × (1,4 − 1) 2 + Ma22 (k − 1) per cui

V2 =

p1 T2 V1 = 0,22226 × 1,6874 × 551 = 207 m/s p2 T1

Pertanto, la formazione dell’onda d’urto fa s`ı che che la velocita` misurata dal tubo di Pitot sia notevolmente diversa da quella del fluido.

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12.77 Nella sezione di ingresso di una tubazione del diametro di 20 cm, una corrente d’aria ha pT 1 = 240 kPa, TT 1 = 350 K e Ma1 = 1,2. Durante il moto, l’aria viene raffreddata. La resistenza delle pareti e` trascurabile. Calcolare la quantita` di calore sottratta all’aria, per unita` di tempo, sapendo che il numero di Mach all’uscita e` Ma2 = 2,0.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Rispettivamente, per la 12.19 e la 12.20, nella sezione di ingresso la temperatura statica e la pressione statica risultano

T1 =

TT 1 350 = = 271,7 K 2 1 + (1,4 − 1) × 1,22 /2 1 + (k − 1) Ma1 /2

p1 =

240 pT 1 = = 2 k/(k−1) (1 + 0,2 × 1,22 )1,4/0,4 [1 + (k − 1) Ma1 /2]

= 98,97 kPa La velocita` vale

V1 = Ma1 c1 = Ma1

p

k RT1 = 1,2 ×

p 1,4 × 287 × 271,7 =

= 396,5 m/s Essendo, per l’equazione di stato 2.4,

ρ1 =

p1 98,97 = = 1,269 kg/m3 RT1 0,287 × 271,7

la portata di massa risulta

Q m = ρ1 AV1 = 1,269 × π × 0,202 /4 × 396,5 = 15,81 kg/s La quantita` di calore qc che, per unita` di massa, l’aria scambia con l’esterno e` funzione della differenza fra le temperature di ristagno nelle sezioni di ingresso e di uscita. Infatti, per la 12.54,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) La temperatura di ristagno adimensionale e` funzione solo del nu-

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Moto dei fluidi comprimibili

63

qc pT1 = 240 kPa

TT1 = 350 K

aria

Ma1 = 1,2

Ma2 = 2

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64 Capitolo 12

mero di Mach, essendo, per la 12.67,

  (k + 1) Ma2 2 + (k − 1)Ma2 TT =
2 TT∗ 1 + kMa2 Rispettivamente, nella sezione di ingresso e in quella di uscita si ha

  (k + 1) Ma21 2 + (k − 1)Ma21 TT 1 = =
2 TT∗ 1 + kMa21   (1,4 + 1) × 1,22 × 2 + (1,4 − 1) × 1,22 = 0,9787 =
2 1 + 1,4 × 1,22   (k + 1) Ma22 2 + (k − 1)Ma22 TT 2 = =
2 TT∗ 1 + kMa22   (1,4 + 1) × 2,02 × 2 + (1,4 − 1) × 2,02 = = 0,7934
2 1 + 1,4 × 2,02 per cui

TT 2 =

0,7934 TT 2 TT∗ TT 1 = × 350 = 283,7 K ∗ TT TT 1 0,9787

e, conseguentemente,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) = 1,005 × (283,7 − 350) = −66,6 kJ/kg La quantita` di calore scambiata dall’aria, nell’unita` di tempo, risulta

Q m qc = 15,81 × (−66,6) = −1053 kW Discussione Il segno negativo conferma che si tratta di calore ` Infatti, per la 12.19, sottratto all’aria per aumentarne la velocita. nella sezione di uscita la temperatura statica vale

T2 =

TT 2 284 = = 157,6 K 2 1 + (1,4 − 1) 2,02 /2 1 + (k − 1) Ma2 /2

per cui la velocita` risulta

V2 = Ma2 c2 = Ma2

p p k RT2 = 2,0 × 1,4 × 287 × 157,6 =

= 503,3 m/s

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12.78 Una corrente di aria che defluisce in una condotta di 10 × 10 cm di lato viene riscaldata lungo il percorso. Nella sezione di ingresso si ha p1 = 350 kPa, T1 = 420 K e Ma1 = 0,6. Trascurando la resistenza delle pareti, calcolare la massima quantita` di calore che puo` essere trasferita all’aria per unita` di tempo, senza che le condizioni all’ingresso vengano influenzate.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Le condizioni di moto nella sezione di ingresso non cambiano finche´ il moto non diventa soffocato, cioe` finche´ nella sezione di uscita non si ha Ma2 = 1. Nella sezione di ingresso la velocita` e la densita` valgono

V1 = Ma1 c1 = Ma1

p p k RT1 = 0,6 × 1,4 × 287 × 420 =

= 246,5 m/s

ρ1 =

p1 350 = = 2,904 kg/m3 RT1 0,287 × 420

per cui la portata di massa risulta

Q m = ρ1 AV1 = 2,904 × 0,12 × 246,5 = 7,157 kg/s La quantita` di calore qc che, per unita` di massa, l’aria scambia con l’esterno e` funzione della differenza fra le temperature di ristagno nelle sezioni di ingresso e di uscita. Infatti, per la 12.54,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) Nella sezione di ingresso, per la 12.5, la temperatura di ristagno vale

TT 1 = T1 +

V12 246,52 = 420 + = 450,2 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

e, per la 12.67,

  (k + 1) Ma21 2 + (k − 1)Ma21 TT 1 = =
2 TT∗ 1 + kMa2 1

  (1,4 + 1) × 0,62 × 2 + (1,4 − 1) × 0,62 = = 0,8189
2 1 + 1,4 × 0,62

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Moto dei fluidi comprimibili qc p1 = 350 kPa

T1 = 420 K

Ma1 = 0,6

aria

65

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66 Capitolo 12

Nella sezione di uscita, per definizione, si ha

TT 2 =1 TT∗ per cui

TT 2 =

TT 2 TT∗ 1 TT 1 = × 450,2 = 549,8 K TT∗ TT 1 0,8189

e, conseguentemente,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) = 1,005 × (549,8 − 450,2) = 100,0 kJ/kg La quantita` di calore ricevuta dall’aria, nell’unita` di tempo, risulta

Q m qc = 7,157 × 100,0 = 716 kW Discussione Nella sezione di uscita, la temperatura statica, che, per la 12.19, e`

T2 =

549,8 TT 2 = = 458,1 K 2 1 + (1,4 − 1) × 12 /2 1 + (k − 1) Ma2 /2

raggiunge il valore massimo per le condizioni assegnate. Un ulteriore riscaldamento del fluido darebbe luogo ad una diminuzione della portata di massa.

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Moto dei fluidi comprimibili qc

12.79 Risolvere l’esercizio precedente per il caso in cui il fluido sia elio.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’elio la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 2,077 kJ/(kg · K), c p = 5,193 kJ/(kg · K) e k = 1,667.

Analisi Le condizioni di moto nella sezione di ingresso non cambiano finche´ il moto non diventa soffocato, cioe` finche´ nella sezione di uscita non si ha Ma2 = 1. Nella sezione di ingresso la velocita` e la densita` valgono

V1 = Ma1 c1 = Ma1

p p k RT1 = 0,6 × 1,667 × 2077 × 420 =

= 723,5 m/s

ρ1 =

350 p1 = = 0,4012 kg/m3 RT1 2,207 × 420

per cui la portata di massa risulta

Q m = ρ1 AV1 = 0,4012 × 0,12 × 723,5 = 2,903 kg/s La quantita` di calore qc che, per unita` di massa, l’elio scambia con l’esterno e` funzione della differenza fra le temperature di ristagno nelle sezioni di ingresso e di uscita. Infatti, per la 12.54,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) Nella sezione di ingresso, per la 12.5, la temperatura di ristagno vale

TT 1 = T1 +

723,52 V12 = 420 + = 470,4 K 2c p 2 × 5,193 × 1000

e, per la 12.67,

  (k + 1) Ma21 2 + (k − 1)Ma21 TT 1 = =
2 TT∗ 1 + kMa2 1

  (1,667 + 1) × 0,62 × 2 + (1,667 − 1) × 0,62 = = 0,8400
2 1 + 1,667 × 0,62 Nella sezione di uscita, per definizione, si ha

TT 2 =1 TT∗

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p1 = 350 kPa

T1 = 420 K

Ma1 = 0,6

elio

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68 Capitolo 12 per cui

TT 2 =

TT 2 TT∗ 1 TT 1 = × 470,4 = 560,0 K TT∗ TT 1 0,8400

e, conseguentemente,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) = 5,193 × (560,0 − 470,4) = 465,2 kJ/kg La quantita` di calore ricevuta dall’elio, nell’unita` di tempo, risulta

Q m qc = 2,903 × 465,2 = 1350 kW Discussione Nella sezione di uscita, la temperatura statica, che, per la 12.19, e`

T2 =

TT 2 560,0 = 419,9 K = 2 1 + (1,667 − 1) × 12 /2 1 + (k − 1) Ma2 /2

raggiunge il valore massimo per le condizioni assegnate. Un ulteriore riscaldamento del fluido darebbe luogo ad una diminuzione della portata di massa.

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Moto dei fluidi comprimibili

12.80 Una corrente di aria che defluisce in un condotto con resi` stenze trascurabili viene riscaldata per farne aumentare la velocita. All’ingresso, si ha V1 = 100 m/s, T1 = 400 K e p1 = 35 kPa, mentre all’uscita Ma2 = 0,8. Calcolare la quantita` di calore ceduta all’aria, in kJ/kg, e la massima quantita` di calore che puo` essere trasferita all’aria senza ridurne la portata.

Ipotesi Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Rayleigh (moto permanente e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costante con resistenze trascurabili).

Proprieta` Per l’aria la costante del gas, il calore specifico a pressione costante e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,287 kJ/(kg · K), c p = 1,005 kJ/(kg · K) e k = 1,4.

Analisi Nella sezione di ingresso, rispettivamente, per la 2.41 e la 12.5, il numero di Mach e la temperatura di ristagno valgono

V1 100 Ma1 = √ =√ = 0,2494 k RT1 1,4 × 287 × 400

TT 1 = T1 +

V12 4002 = 100 + = 405,0 K 2c p 2 × 1,005 × 1000

La quantita` di calore qc che, per unita` di massa, l’aria scambia con l’esterno e` funzione della differenza fra le temperature di ristagno nelle sezioni di ingresso e di uscita. Infatti, per la 12.54,

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) La temperatura di ristagno adimensionale e` funzione solo del numero di Mach, essendo, per la 12.67,

  (k + 1) Ma2 2 + (k − 1)Ma2 TT =
2 TT∗ 1 + kMa2 Rispettivamente, nella sezione di ingresso e in quella di uscita si ha

  (k + 1) Ma21 2 + (k − 1)Ma21 TT 1 = =
2 TT∗ 1 + kMa2 1

  (1,4 + 1) × 0,24942 × 2 + (1,4 − 1) × 0,24942 = =
2 1 + 1,4 × 0,24942 = 0,2558

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69

qc p1 = 35 kPa

T1 = 400 K

aria

V1 = 100 m/s Ma2 = 0,8

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70 Capitolo 12

  (k + 1) Ma22 2 + (k − 1)Ma22 TT 2 = =
2 TT∗ 1 + kMa2 2

  (1,4 + 1) × 0,82 × 2 + (1,4 − 1) × 0,82 = 0,9639 =
2 1 + 1,4 × 0,82 per cui

TT 2 =

TT 2 TT∗ 0,9639 TT 1 = × 405,0 = 1526 K ∗ TT TT 1 0,2558

Conseguentemente, la quantita` di calore ceduta all’aria risulta

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) = 1,005 × (1526 − 405) = 1126 kJ/kg La massima quantita` di calore che puo` essere trasferita all’aria senza ridurne la portata corrisponde al raggiungimento della condizione di moto soffocato nella sezione di uscita, condizione per la quale Ma2 = 1. In tal caso, per definizione, si ha

TT 2 =1 TT∗ e, conseguentemente,

TT 2 =

TT 2 TT∗ 1 × 405,0 = 1583 K TT 1 = ∗ TT TT 1 0,2558

per cui la quantita` di calore ceduta all’aria diviene

qc = c p (TT 2 − TT 1 ) = 1,005 × (1583 − 405) = 1184 kJ/kg Discussione Quella calcolata e` la massima quantita` di calore che puo` essere trasferita all’aria senza ridurne la portata. Infatti, se il fluido venisse ulteriormente riscaldato, la portata di massa diminuirebbe.

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Moto dei fluidi comprimibili

12.81 Gas combusti con R = 0,280 kJ/(kg · K) e k = 1,33 defluiscono adiabaticamente in una condotta del diametro di 10 cm. Nella sezione di ingresso si ha Ma1 = 2, T1 = 510 K e p1 = 180 kPa. Alla distanza di 2 m dall’ingresso, si forma un’onda d’urto normale. Es` sendo l’indice di resistenza medio pari a 0,010, calcolare la velocita, la temperatura e la pressione nella sezione di uscita.

Ipotesi 1 Sono valide tutte le ipotesi che caratterizzano i flussi di Fanno (moto permanente, adiabatico e unidimensionale di un gas ideale con calori specifici costanti in una condotta a sezione costan te). 2 L’indice di resistenza si mantiene costante lungo la condotta.

Proprieta` Per i gas combusti la costante del gas e il rapporto tra i calori specifici valgono, rispettivamente, R = 0,280 kJ/(kg · K) e k = 1,33. Analisi Per la 12.88, nella sezione di ingresso si ha   1 − Ma21 k + 1 (k + 1) Ma21 λm L ∗ = ln + = Di 1 2k k Ma21 2 + (k − 1) Ma21 =

2,4 2,4 × 2,02 1 − 2,02 + × ln = 0,3402 m 1,4 × 2,02 2 × 1,4 2 + 0,4 × 2,02

Pertanto, lo stato sonico si raggiunge in una sezione posta ad una distanza dalla sezione di ingresso pari a

L ∗1

 =

λm L ∗ Di



Di 0,10 = 0,3402 × = 3,40 m λm 0,010

1

Tale distanza e` maggiore della distanza L 2 = 2 m della sezione in corrispondenza della quale si forma l’onda d’urto. Pertanto, il moto a monte dell’onda d’urto e` effettivamente supersonico. Per la 12.89, se L = L 2 − L 1 e` la lunghezza del tratto compreso fra le sezioni 1 e 2 nelle quali il numero di Mach assume i valori Ma1 e Ma2 , si ha



Nella

sezione

λm L Di



 =

subito

a

λm L ∗ Di



 − 1

monte

λm L ∗ Di

dell’onda

 2

d’urto,

essendo

L = L 2 − L 1 = 2 − 0 = 2 m, si ha 0,010 × 2 λm L = = 0,20 Di 0,10 e, per la 12.89,



λm L ∗ Di



 =

2

λm L ∗ Di



 −

1

λm L Di

 = 0,3402 − 0,200 = 0,1402

In corrispondenza di tale valore la 12.88 risulta soddisfatta per Ma2 = 1,476. Scrivendo la 12.91, rispettivamente, per la sezione 1 e per la sezione 2 e dividendo membro a membro, si ottiene

T1 2 + (k − 1) Ma22 = T2 2 + (k − 1) Ma21

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p1 = 180 kPa

T1 = 510 K Ma1 = 2

onda d’urto normale λ = 0,010

L1 = 2 m

71

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72 Capitolo 12 da cui

2 + 0,33 × 2,02 2 + (k − 1) Ma21 = 510 × = 622,7 K 2 + 0,33 × 1,4762 2 + (k − 1) Ma22

T2 = T1

Analogamente, dalla 12.90

s

2 + (k − 1) Ma21 = 2 + (k − 1) Ma22 s 2,0 2 + (1,33 − 1) × 2,02 = 180 × × = 269,5 kPa 1,476 2 + (1,33 − 1) × 1,4762

Ma1 p2 = p1 Ma2

Per la 12.38, il numero di Mach Ma3 subito a valle dell’onda d’urto e`

s Ma3 =

(k − 1) Ma22 + 2 = 2k Ma22 − k + 1

s

0,33 × 1,4762 + 2 = 0,7053 2 × 1,33 × 1,4762 − 0,33

Rispettivamente, per la 12.37 e la 12.34, la pressione e la temperatura risultano

p3 = p2

1 + kMa22 1 + 1,33 × 1,4762 = 269,5 × = 632,1 kPa 1 + 1,33 × 0,70532 1 + kMa23

T3 = T2

1 + Ma22 (k − 1)/2 1 + 1,4762 × 0,33/2 = 622,7 × = 1 + 0,70532 × 0,33/2 1 + Ma23 (k − 1)/2

= 782,3 K A valle dell’onda d’urto, si ha ancora un flusso di Fanno fino alla sezione di uscita 4, dove il moto e` sonico. Pertanto, scrivendo la 12.91 per la sezione 3 e per la sezione 4 e dividendo membro a membro, si ottiene il rapporto fra le due temperature, da cui

T4 = T3

2 + (k − 1) Ma23 2 + 0,33 × 0,70532 = 782,3 × = 727 K 2 + 0,33 × 12 2 + (k − 1) Ma24

Analogamente, dalla 12.90,

s

2 + (k − 1) Ma23 = 2 + (k − 1) Ma24 s 0,7053 2 + (1,33 − 1) × 0,70532 = 632,1 × = 430 kPa × 1 2 + (1,33 − 1) × 12

Ma3 p4 = p3 Ma4

` infine, risulta La velocita,

p p V4 = Ma4 c4 = Ma4 k RT4 = 1 × 1,33 × 280 × 727 = 520 m/s

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12.82 Esprimere il rapporto tra la pressione di ristagno a valle di un’onda d’urto e la pressione statica a monte in funzione di k e del numero di Mach di monte Ma1 . Analisi A valle dell’onda d’urto, per la 12.20, il rapporto tra la pressione di ristagno pT 2 e la pressione statica p2 , e`  k/(k−1) k−1 pT 2 2 = 1+ Ma2 p2 2 Per la 12.37, essendo p1 la pressione statica a monte dell’onda d’urto, si ha

p2 = p1

1 + k Ma21 1 + k Ma22

Sostituendo nella precedente, si ottiene

k/(k−1)  pT 2 1 + k Ma21 k−1 2 1+ Ma2 = p1 2 1 + k Ma22 ed, essendo, per la 12.38,

Ma22 =

(k − 1) Ma21 + 2 2k Ma21 − k + 1

si ha, infine,

pT 2 = p1  k/(k−1) (k − 1)Ma21 /2 + 1 (1 + k Ma21 )(2k Ma21 − k + 1) 1+ = (k Ma21 + 1)(k + 1) 2k Ma21 /(k − 1) − 1 Discussione In maniera analoga, si possono ottenere altri rapporti tra i parametri a monte e a valle dell’onda d’urto.

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Moto dei fluidi comprimibili

73

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gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

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CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA SOMMARIO Il moto di un liquido in canali aperti o in condotte di cui occupa solo la parte inferiore e` detto a superficie libera. Perche´ una corrente si muova di moto uniforme (velocita` costante lungo ciascuna traiettoria), il canale deve essere cilindrico o prismatico e l’altezza della corrente deve essere costante in tutte le sezioni. Il raggio idraulico Ri e` definito come rapporto tra l’area A occupata dal liquido e il suo contorno solido C b , cioe` Ri = A/C b . Il numero di Froude Fr della corrente in una sezione e` definito come rapporto tra la velocita` media V nella sezione e la celerita` delle piccole perturbazioni, cioe`

Fr = √

V V =√ g A/B gh m

(13.6)

essendo B la larghezza in superficie e h m l’altezza della sezione rettangolare equivalente. Per un canale rettangolare con altezza della corrente uguale ad h , risulta

V Fr = √ gh La corrente e` lenta se Fr < 1, critica se Fr = 1, veloce se Fr > 1. L’altezza della corrente in condizioni di stato critico e` chiamata altezza critica ed e` indicata con il simbolo k , cos`ı come la velocita` e` chiamata velocita` critica. Dalla condizione Fr = 1 si ottiene la velocita` critica

Vc =

p

g A/B

(13.10)

Moltiplicando per l’area si ottiene la portata in condizioni di stato critico, che vale

p

Q = AVc = A g A/B

(13.11)

da cui, elevando al quadrato e raccogliendo i

termini funzione dell’altezza k , si ha

Q2 A3 = B g

(13.12)

relazione che definisce l’altezza critica per una sezione di forma generica. Per una sezione rettangolare di larghezza b, per la quale A = bk = Bk , risulta

s 3

k=

Q2 gb2

(13.9)

Il carico totale in una sezione, misurato rispetto al fondo della sezione, prende il nome di energia specifica

E =h+

αV 2 2g

(13.20)

in cui h e` la quota piezometrica e αV 2 /2g e` l’altezza cinetica. Il bilancio di energia tra due sezioni a distanza d x si esprime come

dE =i−J dx

(13.32)

in cui i e` la pendenza del canale e J e` la cadente, cioe` la perdita di carico per unita` di percorso. In condizioni di moto uniforme, il pelo libero, che coincide con la linea piezometrica, e` parallelo al fondo per cui e`

J =i

(13.33)

In considerazione delle dimensioni dei canali e dell’elevato valore della scabrezza, generalmente il regime di moto di una corrente a pelo libero risulta puramente turbolento. Pertanto, conviene

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´ esprimere la cadente con la formula di Chezy, che, introducendo la pendenza del canale, diviene

p Q = A0 C0 Ri0 i

(13.37)

in cui il pedice indica i valori relativi al moto uni´ forme. Esprimendo il coefficiente di Chezy con la formula di Gauckler-Strickler 1/6

(13.38)

C = c Ri

in cui c e` l’indice di scabrezza, l’equazione del moto uniforme diviene 2/3

Q = c A0 Ri0

√ i

(13.40)

I profili che il pelo libero assume in condizioni di moto permanente dipendono dalla pendenza del canale e dalla condizione al contorno che genera il profilo. I diversi possibili profili sono individuati da una lettera che indica il tipo di pendenza del canale e da un numero che si riferisce all’altezza iniziale del profilo in rapporto all’altezza di moto uniforme e all’altezza critica. Il passaggio da corrente veloce a corrente lenta avviene attraverso un risalto idraulico. Le altezze h 1 e h 2 che la corrente assume rispettivamente subito a monte e subito a valle del risalto prendono il nome di altezze coniugate. Per un canale rettangolare, esse sono legate dalla relazione

h2 1 = −1 + h1 2

s

k3 1+8 3 h1

!

(h 2 − h 1 )3 4h 1 h 2

(13.64)

(13.67)

Nelle correnti a superficie libera la regolazione della portata avviene mediante paratoie a battente, cioe` pareti mobili, piane o a settore circolare, che, sbarrando parzialmente la sezione, lasciano aperta una luce nella parte inferiore della sezione. La portata effluente da una luce rettangolare sotto una paratoia e`

p Q = µab 2gh

p Q = µs bh s 2gh s

(13.71)

in cui a e` l’altezza della luce, b la larghezza, h

(13.77)

in cui h s e` il carico (altezza d’acqua rispetto al bordo dello stramazzo) e µs il coefficiente d’efflusso dello stramazzo. Il coefficiente di efflusso e` somma di una costante (pari a circa 0,4) e di una quantita` che tiene conto dell’altezza cinetica della corrente a monte dello stramazzo, espressa in funzione del rapporto h s /a tra il carico e l’altezza dello stramazzo. Gli altri stramazzi sono preceduti da una vasca di calma, per cui il loro coefficiente d’efflusso risulta costante. La legge di efflusso dello stramazzo triangolare con angolo di apertura θ rispetto alla verticale e`

Q=

Il risalto e` un fenomeno molto dissipativo. Infatti, in percentuale dell’energia della corrente in arrivo, la dissipazione puo` arrivare a oltre l’80%. La perdita vale

1E =

l’altezza d’acqua a monte della paratoia e µ un coefficiente di efflusso, funzione, in generale, del rapporto h/a e dell’angolo θ che la tangente al bordo inferiore della paratoia forma con l’orizzontale. Gli stramazzi sono dispositivi per la misura della portata delle correnti a superficie libera. Gli stramazzi a spigolo vivo sbarrano la sezione nella parte inferiore lasciando superiormente una luce di varia forma (rettangolare, triangolare, trapezia, circolare ecc.). Lo stramazzo Bazin e` uno stramazzo rettangolare di larghezza b uguale a quella del canale, la cui portata puo` essere espressa con la formula

p 8 µ tan θ h 2s 2gh s 15

(13.83)

in cui µ ∼ = 0,6 e` il coefficiente di efflusso delle luci a battente. Lo stramazzo Cipolletti e` uno stramazzo a sezione trapezia con lati di pendenza 1:4 rispetto alla verticale, per il quale µs = 0,415. Lo stramazzo a larga soglia fa parte della famiglia dei misuratori a risalto, nei quali la misura si basa sul fatto che un adeguato innalzamento del fondo o restringimento della sezione costringe la corrente a passare attraverso lo stato critico. Lo stramazzo a larga soglia e` costituito da un gradino sul fondo opportunamente raccordato in modo che le perdite possano essere trascurate. Il carico h s dello stramazzo e` l’altezza della corrente a monte dello stramazzo, misurata rispetto al piano della soglia. Se l’altezza cinetica di monte e` molto piccola rispetto al carico, la portata di uno stramazzo rettangolare di larghezza b e`

p Q = 0,385 bh s 2gh s

(13.91)

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SOLUZIONI Numero di Froude e celerita’ 13.1 Che differenza c’e` tra moto a superficie libera e moto in pressione?

Analisi Il moto di un liquido e` a superficie libera quando avviene in canali aperti o in condotte chiuse di cui il liquido occupa solo la parte inferiore; esso e` caratterizzato dalla presenza di una interfaccia liquido-gas (in genere aria a pressione atmosferica) chiamata appunto superficie libera. In un moto in pressione, invece, il fluido riempie completamente la sezione della condotta (che deve pertanto essere chiusa), sul cui intradosso ha, in genere, pressione maggiore di quella atmosferica.

13.2 Da cosa dipende la portata che si stabilisce in un canale a superficie libera ` cioe` e` causato Analisi In un canale, il moto avviene per gravita, dalla pendenza del fondo o, in altre parole, dall’abbassamento del fondo nella direzione del moto. Pertanto, la portata che si stabilisce in un canale dipende dall’equilibrio dinamico tra la forza di gravita` e la resistenza al moto offerta dalle pareti solide. Nel caso in cui il moto sia vario, entrano in gioco anche le forze di inerzia.

13.3 Qual e` l’andamento della linea piezometrica in una corrente a superficie libera?

Analisi In una corrente a superficie libera, poiche´ la pendenza del fondo del canale e` abitualmente molto piccola, le sezioni trasversali possono essere considerate verticali, anziche´ perpendicolari al fondo. In tale ipotesi, potendosi considerare la corrente lineare, la quota del pelo libero in ciascuna sezione trasversale rappresenta la quota piezometrica della corrente in quella sezione e, pertanto, la linea piezometrica della corrente coincide con il profilo della superficie libera.

13.4 In una corrente a superficie libera, in moto permanente, la pendenza della superficie libera coincide con la pendenza del fondo del canale?

Analisi No. In moto permanente la pendenza della superficie libera non coincide con la pendenza del fondo, cioe` il fondo e il pelo libero non sono paralleli, perche´ l’altezza della corrente non e` la stessa in tutte le sezioni trasversali.

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13.5 Quali condizioni debbono essere soddisfatte perche´ il moto di una corrente a superficie libera si possa definire uniforme? Come deve essere il canale?

Analisi Perche´ un moto sia uniforme (velocita` costante lungo ciascuna traiettoria) e` necessario che la sezione trasversale si mantenga costante. In una corrente a superficie libera e` dunque necessario che il canale sia cilindrico (o prismatico) e che si mantenga costan` a te nella direzione del moto anche l’altezza della corrente. Cio, sua volta, comporta che siano costanti anche la pendenza e la scabrezza del canale. Pertanto, nella pratica, e` ben difficile che una corrente a superficie libera sia uniforme; tuttavia, la condizione di moto uniforme puo` essere considerata raggiunta, con buona approssimazione, in tratti molto lunghi di canali a sezione, scabrezza e pendenza costanti.

13.6 Cos’e` l’altezza di moto uniforme? Analisi In condizioni di moto uniforme, si mantengono costanti nella direzione del moto sia l’altezza che la velocita` media e, di conseguenza, anche l’energia specifica. Pertanto, il profilo del pelo libero e la linea dell’energia sono entrambi paralleli al fondo. Conseguentemente, in condizioni di moto uniforme, essendo i la pendenza del fondo e J la pendenza della linea dell’energia, si ha

i=J Essendo V la velocita` media, Ri il raggio idraulico e C il coefficiente ´ ´ di Chezy, la cadente J puo` essere espressa con la formula di Chezy 8.74

J=

V2 C 2 Ri

per cui, introducendo la pendenza del fondo, la velocita` di moto uniforme e`

p V0 = C0 Ri0 i in cui il pedice 0 (zero) indica i valori che le grandezze assumono nella condizione di moto uniforme, cioe` per l’altezza d’acqua di moto uniforme h = h 0 . Moltiplicando per l’area A0 si ottiene l’espressione della portata di moto uniforme

p Q = A0 C0 Ri0 i in cui A0 , C 0 e Ri0 sono funzioni note dell’altezza di moto uniforme h0.

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13.7 Quali cause determinano il fatto che una corrente a superficie libera sia non uniforme?

Analisi La presenza nel canale di un ostacolo, come una paratoia, o una variazione della pendenza o della sezione causano la variazione dell’altezza della corrente e quindi l’allontanamento dalla condizione di moto uniforme. Un moto non uniforme e` detto rapidamente variato se le variazioni dell’altezza della corrente sono grandi rispetto alla distanza in cui avvengono (come nel moto a valle di una paratoia o in corrispondenza di un salto di fondo) e gradualmente variato nel caso contrario, cioe` se le variazioni dell’altezza sono graduali. In generale, si ha moto rapidamente variato fra tratti in moto gradualmente variato e tratti in moto uniforme o viceversa.

13.8 Cos’e` il raggio idraulico di una corrente a superficie libera? In che rapporto e` con il diametro idraulico?

Analisi Il raggio idraulico e` definito come il rapporto fra l’area A della sezione effettivamente occupata dal liquido (area bagnata) ed il perimetro C b della sezione a contatto col liquido (contorno bagnato)

Ri =

A Cb

Analogamente a quanto fatto per una corrente in pressione, il diametro idraulico e` definito come

Di = 4

A = 4Ri Cb

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13.9 Cos’e` il numero di Froude? Com’e` definito? Qual e` il suo significato fisico?

Analisi Il numero di Froude e` V V V Fr = √ =√ =√ gL g A/B gh m ` V la velocita` media della corrente in cui g e` l’accelerazione di gravita, e L una lunghezza caratteristica, data dal rapporto tra l’area A della sezione e la larghezza B che la corrente assume in superficie. Per un canale a sezione rettangolare tale rapporto e` pari all’altezza h della corrente; per un canale a sezione di forma qualunque e` uguale all’altezza h m della sezione rettangolare di pari area. Dal punto di vista fisico il quadrato del numero di Froude e` ` Se, proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze di gravita. infatti, si moltiplicano numeratore e denominatore del quadrato del numero di Froude per il prodotto ρ A della densita` per l’area, si ha



1 2 ρV 2 A 2 V ρA 2 2 = Fr = gLρ A mg

 ∝

forze di inerzia forze di gravita`

La velocita` al denominatore del numero di Froude e` pari alla velocita` c con cui si propaga nel liquido una perturbazione di altezza infinitesima (celerita). `

13.10 Note l’altezza e la velocita` media della corrente, come si stabilisce se la corrente e` lenta, critica o veloce?

Analisi Le correnti a pelo libero sono classificate come lente, critiche o veloci in funzione del valore assunto dal numero di Froude. In particolare, la corrente e` lenta

se

critica

se

veloce

se

Fr < 1 (V < c) Fr = 1 (V = c) Fr > 1 (V > c)

Pertanto, il fronte d’onda negativo di una piccola perturbazione e` in grado di risalire una corrente lenta ma non una corrente veloce.

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13.11 Cos’e` l’altezza critica? Come si calcola? Analisi L’altezza critica k e` l’altezza che la corrente assume nella condizione di stato critico, cioe` per Fr = 1. Per un canale rettangolare di larghezza b in cui defluisce una portata Q , si calcola dalla 13.9

s 3

k=

Q2 gb2

mentre per un canale di forma qualunque, di area A e larghezza in superficie B , si calcola dalla 13.12

Q2 A3 = B g relazione la cui soluzione, nota la geometria della sezione e quindi le funzioni A = A(h) e B = B(h), richiede, in genere, il ricorso a un metodo iterativo.

13.12 A monte di un risalto idraulico, la corrente deve essere necessariamente veloce? E, a valle, deve essere necessariamente lenta?

Analisi Il risalto idraulico si verifica nel passaggio dalla condizione di corrente veloce a quella di corrente lenta. Pertanto, a monte di esso, la corrente deve essere necessariamente veloce e, a valle, necessariamente lenta.

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13.13 Calcolare la celerita` delle piccole perturbazioni in una corrente a superficie libera quando l’altezza della corrente e` (a) di 10 cm e (b) di 80 cm. Analisi Se il canale e` a sezione rettangolare, la celerita` delle piccole perturbazioni e` data dalla 13.18

c=±

p

gh

Pertanto, (a)

se l’altezza della corrente e` di 10 cm

c=± (b)

p

p gh = ± 9,81 × 0,10 = ± 0,990 m/s

se l’altezza della corrente e` di 80 cm

c=±

p

p gh = ± 9,81 × 0,80 = ± 2,80 m/s

Discussione La relazione 13.18, secondo la quale la celerita` e` proporzionale alla radice quadrata dell’altezza d’acqua, e` valida per acque basse, come quelle che si muovono nei canali a pelo libero, e non per corpi d’acqua molto profondi, come gli oceani, nei quali la celerita` e` indipendente dalla altezza d’acqua. In ogni caso, la celerita` non dipende dalle proprieta` del fluido e, pertanto, a parita` di altezza d’acqua, essa risulta uguale per tutti i liquidi. Cio` perche´ l’analisi effettuata non tiene conto degli effetti ` fanno s`ı che le onde vengano smorzate e viscosi che, nella realta, quindi annullate. Per canali a sezione non rettangolare, nell’espressione della celerita` va introdotta l’altezza media h m = A/B , essendo B la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera.

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13.14 In un canale a sezione rettangolare molto larga defluisce in moto uniforme acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002×10−3 Pa·s), con velocita` media di 2 m/s e altezza di 0,3 m. Determinare (a) se il moto e` laminare o turbolento e (b) se la corrente e` lenta o veloce.

Analisi (a)

Essendo il raggio idraulico Ri pari a un quarto del diametro idraulico, il numero di Reynolds calcolato assumendo come dimensione caratteristica il raggio idraulico

Re =

ρV Ri µ

e` pari a un quarto del numero di Reynolds calcolato assumendo come dimensione caratteristica il diametro idraulico. Conseguentemente, mentre nei moti in pressione il regime e` laminare per Re < 2000 circa, nei moti a superficie libera il moto e` laminare per Re < 500 circa. Nel caso in esame, potendosi porre il raggio idraulico pari all’altezza h 0 della corrente perche´ la sezione trasversale e` rettangolare molto larga, risulta

Re =

ρV0 Ri0 ∼ ρV0 h 0 998 × 2 × 0,3 = = 5,98 × 105 = µ µ 1,002 × 10−3

e pertanto il moto e` turbolento. (b)

La corrente e` veloce perche´

2 V0 =√ = 1,17 > 1 Fr = √ gh 0 9,81 × 0,3 Discussione Nella pratica, il moto delle correnti a superficie libera e` sempre turbolento.

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RH1m

13.15 In un canale a sezione circolare, del diametro di 2 m, defluisce in moto uniforme acqua a 20 ◦ C (ρ = 998 kg/m3 e µ = 1,002 × 10−3 Pa · s), con velocita` media di 2 m/s e altezza di 0,5 m. Determinare il raggio idraulico, il numero di Reynolds e il regime di moto.

h0 = 0,5 m

Analisi Utilizzando le relazioni riportate in Figura 13.5, si ha     0,5 h = arccos 1 − = arccos 0,5 = θ = arccos 1 − R 1 = 1,047 rad

Ri =

θ − sen θ cos θ 1,047 − 0,866 × 0,5 A =R =1× = Cb 2θ 2 × 1,047

= 0,293 per cui

Re =

ρV Ri 998 × 2 × 0,293 = = 5,84 × 105 µ 1,002 × 10−3

e pertanto il moto e` turbolento. Essendo la larghezza in superficie

B = 2R sen θ l’altezza media risulta

hm =

A θ − sen θ cos θ 1,047 − 0,866 × 0,5 =R =1× = B 2 sen θ 2 × 0,866

= 0,355 m e, quindi,

Fr = √

V 2 =√ = 1,07 > 1 gh m 9,81 × 0,355

per cui la corrente e` veloce.

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13.16 In un canale a sezione rettangolare, largo 2 m, defluisce in moto uniforme acqua a 15 ◦ C, con velocita` media di 4 m/s e altezza di 40 cm. Determinare se la corrente e` lenta o veloce. h0 H 0,4 m

Analisi Essendo 4 V =√ Fr = √ = 2,02 > 1 gh 9,81 × 0,4

bH2m

la corrente e` veloce.

13.17 Durante un temporale, l’acqua di pioggia defluisce su una superficie inclinata con velocita` di 1,3 m/s e altezza di 2 cm. Determinare se la corrente e` lenta o veloce.

Analisi Essendo V 1,3 Fr = √ = 2,93 > 1 =√ gh 9,81 × 0,02 la corrente e` veloce.

13.18 Calcolare la celerita` di un’onda solitaria generata a mare da una forte scossa sismica in una zona in cui la profondita` dell’acqua e` di 2 km.

Analisi La relazione 13.18 e` valida solo per perturbazioni di altezza infinitesima in acque basse e non in acque profonde, nelle quali le onde dovute all’azione del vento si propagano con una celerita` che dipende sostanzialmente dalla lunghezza d’onda. Le onde solitarie generate da scosse sismiche (tsunami), a differenza delle onde dovute all’azione del vento, possono avere lunghezze dell’ordine dei 100 km e altezze di qualche decina di metri. La loro propagazione e` descrivibile con la teoria delle onde lunghe ` anche nell’oceano su profondita` limitate, per le quali la celerita, ` profondo, dipende sostanzialmente dalla profondita. Pertanto, nel caso in esame, e` ancora applicabile la 13.18, per cui

c=

p

gh =

p

9,81 × 2000 = 140 m/s

pari a 504 km/h.

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V H 1,3 m/s

h H 2 cm

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12 Capitolo 13

Energia specifica ed equazione dell’energia 13.19 Com’e` definita l’energia specifica di una corrente a superficie libera?

αV 2 2g

h

Analisi Nello studio delle correnti a superficie libera, il carico totale viene riferito, invece che a un piano orizzontale unico per l’intera corrente, al piano orizzontale passante per il punto piu` basso di ciascuna sezione. Per distinguere il carico cos`ı calcolato dal carico totale propria` che rappresenta sempre l’energia mecmente detto, questa quantita, canica dell’unita` di peso di fluido, viene chiamata energia specifica e indicata col simbolo E . In una generica sezione in cui h e` l’altezza d’acqua rispetto al punto piu` basso della sezione, A l’area della sezione liquida, V la velocita` media e Q la portata, l’energia specifica e`

E

E =h+

αV 2 α Q2 =h+ 2g 2g A2

Questa definizione comporta che, nei bilanci di energia tra due diverse sezioni trasversali della stessa corrente, si debba tener conto del fatto che esiste una differenza di quota tra i piani rispetto ai quali e` misurata E nelle due sezioni.

13.20 In due canali, aventi la stessa sezione trasversale, defluisce la stessa portata. Se in un canale la corrente e` lenta e nell’altro e` veloce, e` possibile che le due correnti abbiano la stessa energia specifica? ´ Perche?

Analisi Si, e` possibile. A parita` di portata, infatti, se E > E min , esistono due diverse altezze d’acqua, una lenta e una veloce, alle quali corrisponde lo stesso valore di energia specifica.

h Q H costante

EHh corrente lenta Fr < 1

h02

13.21 In una corrente lenta, al crescere dell’altezza d’acqua, rek

stando invariata la portata, come varia l’energia specifica?

Fr H 1

corrente veloce Fr > 1

h01

Analisi Se la corrente e` lenta, al crescere dell’altezza d’acqua, a portata costante, l’energia specifica aumenta.

E min

E0

E

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13.22 In una corrente veloce, al crescere dell’altezza d’acqua, re-

h

stando invariata la portata, come varia l’energia specifica?

Q H costante

EHh

Analisi Se la corrente e` veloce, al crescere dell’altezza d’acqua, a portata costante, l’energia specifica diminuisce.

13.23 In un canale una certa portata defluisce in condizioni critiche. La sua energia specifica e` maggiore di quella che avrebbe se defluisse come corrente lenta?

13

corrente lenta Fr < 1

Fr H 1

k h2 h1

corrente veloce Fr > 1

E min E2

Analisi No. Quando una certa portata si muove in condizioni

E1

E

critiche, la sua energia specifica e` la minima richiesta per il passaggio di quella portata. Pertanto, la stessa portata, qualora defluisca come corrente lenta o come corrente veloce, dovra` avere energia specifica maggiore.

13.24 In una corrente a superficie libera, in moto uniforme, l’energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto? Oppure diminuisce a causa delle perdite di carico?

Analisi L’energia specifica di una corrente a superficie libera e` pari alla somma dell’altezza d’acqua e dell’altezza cinetica della corrente. Per una corrente in moto uniforme, l’altezza d’acqua e la velocita` media (e quindi anche l’altezza cinetica) nelle diverse sezioni trasversali mantengono gli stessi valori. Pertanto, l’energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto. Cio` vuol dire, semplicemente, che il carico, misurato rispetto al punto piu` basso di ciascuna sezione, ha lo stesso valore in tutte le sezioni. Poiche´ il fondo si abbassa della pendenza i per unita` di lunghezza, anche il carico totale, a causa delle perdite, diminuisce di i per unita` di lunghezza per cui, in moto uniforme, e` J = i .

13.25 Com’e` definita la linea dell’energia? In quali condizioni e` parallela al fondo del canale?

Analisi Con riferimento al profilo longitudinale di una generica corrente a superficie libera, la linea dell’energia si ottiene riportando sulla verticale di ciascuna sezione, a partire dal punto sul profilo di corrente, un segmento pari all’altezza cinetica della velocita` media. Poiche´ il profilo della superficie libera coincide con la linea piezometrica della corrente, la linea cos`ı ottenuta coincide con la linea dei carichi totali della corrente. In moto uniforme l’energia specifica si mantiene costante nella direzione del moto e, pertanto, la linea dell’energia e` parallela al fondo del canale.

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V02 2g

α linea dell’energia E0 V0

h0 α

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14 Capitolo 13

13.26 Come si esprime il carico totale in una sezione di una corrente a superficie libera? Che legame ha con l’energia specifica?

αV 2 2g

H

h

Analisi Essendo z la quota geodetica di un generico punto di una sezione di una corrente a superficie libera, p/ρg la sua altezza piezometrica, αV 2 /2g l’altezza cinetica della corrente nella sezione, z f la quota del fondo della sezione e h l’altezza d’acqua rispetto al

E

fondo, il carico totale nella sezione e` zf

H =z+ zH0

p αV 2 αV 2 + = zf +h + ρg 2g 2g

Essendo l’energia specifica E in una sezione uguale al carico totale nella sezione misurato rispetto al piano orizzontale passante per il punto piu` depresso, per ciascuna sezione si ha

H = zf +h +

αV 2 = zf + E 2g

13.27 In una corrente a superficie libera, in moto permanente, se le perdite di carico sono trascurabili, la pendenza della linea dei carichi totali e` uguale a quella del fondo?

Analisi No. La pendenza della linea dei carichi totali (o linea dell’energia) e` pari alla cadente, cioe` alla perdita di carico per unita` di percorso. Pertanto, se le perdite sono trascurabili, la linea dell’energia e` orizzontale.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti a superficie libera

13.28 Scrivere l’equazione che esprime il bilancio dell’energia tra due generiche sezioni di una corrente a superficie libera. Come si puo` calcolare la perdita?

Analisi Con riferimento a due generiche sezioni 1 e 2 di una corrente a superficie libera, essendo E 1 ed E 2 i valori che l’energia specifica assume, rispettivamente, nelle due sezioni e 1Hd la perdita

E1

15

JL

V12 2g

V22 2g

h1 L

h2

E2

iL

di carico tra le due sezioni, per la 13.28, si ha z1

z 1 + E 1 = z 2 + E 2 + 1Hd in cui z 1 e z 2 sono le quote del punto piu` depresso di ciascuna sezione rispetto ad un piano di riferimento arbitrario. Esprimendo la perdita di carico come prodotto della cadente J per la lunghezza L del tratto compreso tra le due sezioni, si ha

z1 + E1 = z2 + E2 + J L Se il canale e` a pendenza i costante, e` z 1 − z 2 = i L , per cui

E 1 = E 2 − (i − J )L Per le correnti a superficie libera, la cadente puo` essere espressa, come per le correnti in pressione, con la formula di Darcy-Weisbach 8.32, purche´ quale lunghezza significativa si assuma non il diametro ma il diametro idraulico. Essendo, per la 13.3, Di = 4Ri si ha

J =λ

V2 8g Ri

nella quale l’indice di resistenza λ e` ancora esprimibile con la formula di Colebrook 8.64, introducendo un coefficiente di forma nell’argomento del logaritmo. Per gli elevati valori che nella pratica assumono sia la scabrezza che il raggio idraulico, le correnti a superficie libera sono caratterizzate da elevati valori del numero di Reynolds, per cui, nella quasi totalita` dei casi, esse si muovono in regime di moto puramente turbolento. Pertanto, in questo tipo di problemi e` preferibile usare ´ le formule pratiche, riconducibili tutte alla formula di Chezy 8.74

J=

V2 C 2 Ri

nella quale il coefficiente C e` una quantita` che ha le dimensioni della radice quadrata di una accelerazione, il cui valore varia tra circa 30 m1/2 /s per piccoli canali con pareti scabre a circa 90 m1/2 /s per grandi canali con superfici lisce.

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x1

z2 zH 0

x2

x

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16 Capitolo 13

13.29 In un canale a sezione rettangolare, largo 0,8 m, defluisce una portata di 0,7 m3 /s con un’altezza di 0,35 m. Calcolare la velocita` media e stabilire se la corrente e` lenta o veloce. Quale altezza assumerebbe la corrente se il suo carattere cinematico variasse?

h H 0,35 m

Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l’altezza della corrente e Q la portata, la velocita` media e`

b H 0,8 m

V =

Q 0,7 Q = = = 2,50 m/s A bh 0,8 × 0,35

Essendo

V 2,5 Fr = √ =√ = 1,35 > 1 gh 9,81 × 0,35 la corrente e` veloce. L’energia specifica della corrente, per la 13.20, ponendo α = 1, e`

E =h+

2,502 V2 = 0,35 + = 0,669 m 2g 2 × 9,81

A parita` di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.20, per cui

E = hL +

0,72 1 Q2 = h + = L 2 2 2 2 × 9,81 × 0,8 h 2L 2gb h L

= h L + 0,0390

1 = 0,669 m h 2L

da cui

h 3L − 0,669h 2L + 0,0390 = 0

hL (m)

F (m3 )

F0 (m2 )

0,600 0,549 0,532 0,530 0,530

0,01416 0,00282 0,00027 0,00000

0,27720 0,16948 0,13780 0,13423

equazione di 3° grado in h L che deve avere due radici reali positive (vedi Figura 13.13), una minore e l’altra maggiore dell’altezza critica. La terza radice e` anch’essa reale, ma negativa e, pertanto, priva di significato fisico. Conoscendo il significato fisico dell’equa` cercare l’unica radice di interesse zione, conviene, per semplicita, (in questo caso, quella di corrente lenta) con un metodo iterativo. Con il metodo di Newton, indicando con Fi e con Fi0 i valori che la funzione e la sua derivata prima assumono alla generica iterazione i -esima, si ha

h L ,i+1 = h L ,i

h 3L ,i − 0,669 × h 2L ,i + 0,0390 Fi − 0 = h L ,i − Fi 3 × h 2L ,i − 2 × 0,669 × h L ,i

Assumendo come valore iniziale un valore poco inferiore a E , si ottengono i valori riportati a fianco per cui h L = 0, 530 m.

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Correnti a superficie libera

13.30 In un canale a sezione rettangolare, largo 1 m, defluisce una corrente con una velocita` media di 4 m/s e un’altezza di 0,4 m. Calcolare (a) l’altezza critica, (b) il valore minimo dell’energia specifica, (c) l’energia specifica della corrente e (d) l’altezza che la corrente assumerebbe se il suo carattere cinematico variasse.

Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l’altezza della corrente e V la velocita` media, la portata e` Q = V A = V bh = 4 × 1 × 0,4 = 1,60 m3 /s (a)

L’altezza critica, per la 13.9, e`

s 3

k= (b)

Q2 = gb2

1,62 = 0,639 m 9,81 × 12

3 3 k = × 0,639 = 0,959 m 2 2

L’energia specifica della corrente, per la 13.20, ponendo α = 1, e`

E =h+ (d)

3

Per un canale a sezione rettangolare, l’energia minima e` data dalla 13.23

E min = (c)

s

V2 42 = 0,4 + = 1,22 m 2g 2 × 9,81

La corrente e` veloce perche´ h < k . A parita` di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.20, per cui

E = hL +

1,62 1 Q2 = = h + L 2 2 2 2 × 9,81 × 1 h 2L 2gb h L

= h L + 0,130

1 = 1,22 m h 2L

equazione di 3° grado in h L di cui interessa determinare solo la radice maggiore dell’altezza critica, cioe` quella di corrente lenta. Considerato che il secondo addendo dell’equazione dell’energia e` l’altezza cinetica, che in corrente lenta e` certamente piu` piccola (e spesso molto piu` piccola) dell’altezza della corrente, in alternativa al metodo di Newton, piu` generale ma piu` laborioso, e` piu` conveniente risolvere l’equazione dell’energia utilizzando la formula ricorsiva

h L ,i+1 = 1,22 −

0,130 h 2L ,i

Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,13 - 1,12 - 1,12 per cui h L = 1, 12 m.

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h H 0,4 m

bH1m

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18 Capitolo 13

13.31 In un canale a sezione rettangolare, largo 6 m, defluisce una portata di 12 m3 /s di acqua a 10 ◦ C con un’altezza di 0,55 m. h H 0,55 m bH6m

Stabilire se la corrente e` lenta o veloce e calcolare (a) l’altezza critica e (b) l’altezza che essa assumerebbe se il suo carattere cinematico variasse.

Analisi Essendo b la larghezza del canale, h l’altezza della corrente e Q la portata, la velocita` media e` V =

Q Q 12 = = = 3,64 m/s A bh 6 × 0,55

Essendo

V 3,64 Fr = √ =√ = 1,57 > 1 gh 9,81 × 0,55 la corrente e` veloce. (a)

L’altezza critica, per la 13.9, e`

s 3

k= (b)

Q2 = gb2

s 3

122 = 0,742 m 9,81 × 62

L’energia specifica della corrente, per la 13.20, ponendo α = 1, e`

E =h+

3,642 V2 = 0,55 + = 1,23 m 2g 2 × 9,81

A parita` di energia specifica, se la stessa portata defluisse come corrente lenta, la sua altezza h L dovrebbe ancora soddisfare la 13.20, per cui

E = hL +

122 Q2 1 = h + = L 2 2 2 2 × 9,81 × 6 h 2L 2gb h L

= h L + 0,204

1 = 1,23 m h 2L

equazione di 3° grado in h L di cui interessa determinare solo la radice maggiore dell’altezza critica, cioe` quella di corrente lenta. Pertanto, considerato che il secondo addendo dell’equazione dell’energia e` l’altezza cinetica, che in corrente lenta e` certamente piu` piccola dell’altezza della corrente, conviene risolvere utilizzando la formula ricorsiva

h L ,i+1 = 1,23 −

0,204 h 2L ,i

Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,10 - 1,06 - 1,05 - 1,04 - 1,04 per cui h L = 1,04 m.

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Correnti a superficie libera

13.32 In un canale a sezione rettangolare, largo 4 m, defluisce in condizioni critiche una corrente di acqua con una velocita` media di 3 m/s. Calcolare la portata.

Analisi Una corrente che defluisce in condizioni critiche ha altezza d’acqua pari all’altezza critica k e velocita` media pari alla velocita` critica Vc . In un canale a sezione rettangolare vale la 13.7 Vc =

p

Vc H 3 m/s bH4m

gk

per cui la portata critica, essendo b la larghezza del canale, e`

Q c = Ac Vc = bkVc = b

1 Vc2 4 × 33 Vc = bVc3 = = 11,0 m3 /s g g 9,81

13.33 In un canale a sezione circolare, del diametro di 0, 5 m, defluisce una corrente con velocita` media di 2,8 m/s e altezza di 0,25 m. Stabilire se la corrente e` lenta o veloce e calcolare la portata. Analisi Essendo l’altezza h della corrente pari alla meta` del diametro D , la sezione trasversale e` un semicerchio di area A = π D 2 /8 e larghezza in superficie B = D . Pertanto, essendo, per la 13.6, Fr = √

V 2,8 V =√ = 2,02 > 1 =√ g A/B gπ D/8 9,81 × π × 0,5/8

la corrente e` veloce. La portata e`

Q =VA=V

π × 0,52 π D2 = 2,8 × = 0,275 m3 /s 8 8

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D H 0,5 m h = 0,25 m

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20 Capitolo 13

30° h = 1,73 m

b= 2m

13.34 In un canale a sezione trapezia, largo al fondo 2 m, con sponde inclinate di 30◦ rispetto alla verticale, defluisce una portata di 12 m3 /s, con un’altezza di 1,73 m. Stabilire se la corrente e` lenta o veloce e calcolare la velocita` media.

Analisi Se b e` la larghezza del fondo del canale, h l’altezza con cui defluisce la corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, Q la portata e A l’area della sezione trasversale (vedi Figura 13.5), la velocita` media della corrente e`

V =

Q Q 12 = = = A (b + h tan θ )h (2 + 1,73 × tan 30) × 1,73

= 2,31 m/s Essendo B la larghezza che la corrente assume in superficie, si ha

hm =

(b + h tan θ )h (2 + 1,73 × tan 30) × 1,73 A = = = B b + 2h tan θ 2 + 2 × 1,73 × tan 30

= 1,30 m per cui, essendo

Fr = √

V 2,31 =√ = 0,647 < 1 g A/B 9,81 × 1,30

la corrente e` lenta.

13.35 Risolvere l’esercizio precedente per una portata di 24 m3 /s. Analisi A parita` di area A della sezione, la velocita` e` direttamente proporzionale alla portata. Per cui, se la portata raddoppia, raddoppiano sia la velocita` che il numero di Froude. Pertanto, si ha

V = 2 × 2,31 = 4,62 m/s e

Fr = 2 × 0,647 = 1,29 > 1 per cui la corrente e` veloce.

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Correnti a superficie libera

Moto uniforme e sezioni di minimo costo 13.36 In una corrente a superficie libera, in moto uniforme, all’aumentare della pendenza del canale, mantenendosi costante la portata, l’altezza di moto uniforme (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?

Analisi La risposta esatta e` (b), cioe` l’altezza di moto uniforme diminuisce. Infatti, essendo Q la portata, c l’indice di scabrezza della formula di Gauckler-Strickler, A0 l’area della sezione trasversale, Ri0 il raggio idraulico ed i la pendenza, per la 13.40, si ha Q 2/3 A0 Ri0 = √ c i ed essendo sia A0 che Ri0 funzioni crescenti dell’altezza di moto uniforme h 0 , quest’ultima, mantenendo costanti la portata e la scabrezza, all’aumentare della pendenza diminuisce.

13.37 E` corretto affermare che, in una corrente a superficie libera, in moto uniforme, la perdita di carico tra due sezioni puo` essere calcolata semplicemente moltiplicando la pendenza del canale per la distanza tra le due sezioni?

Analisi Si. Infatti, in moto uniforme, il profilo del pelo libero e la linea dell’energia sono paralleli al fondo e pertanto, vale la 13.33

i=J Essendo la perdita di carico tra due sezioni pari al prodotto della cadente J per la distanza tra le due sezioni, in moto uniforme essa e` uguale al prodotto della pendenza del canale per tale distanza.

13.38 Per una corrente a superficie libera, in moto uniforme, la portata

puo`

essere

calcolata

dalla

relazione

di

´ Chezy

´ Q = A0 C0 (Ri,0 i)1/2 . Qual e` il legame tra il coefficiente di Chezy C e l’indice di resistenza λ?

Analisi Uguagliando le espressioni della cadente 13.34 (formula di ´ Darcy-Weisbach) e 13.35 (formula di Chezy), si ha

J =λ

V2 V2 = 2 8g Ri C Ri

da cui

r C=

8g λ

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22 Capitolo 13

13.39 La sezione di minimo costo di un canale e` quella che, a parita` di area, ha il raggio idraulico piu` piccolo o piu` grande?

Analisi A parita` di area, la sezione di minimo costo e` quella che ha il contorno bagnato piu` piccolo e, quindi, il raggio idraulico piu` grande. Infatti, il costo di costruzione di un canale a superficie libera si puo` ritenere, in linea di massima, proporzionale alle sue dimensioni e quindi, per unita` di lunghezza, all’area della sezione trasversale. Per la 13.40, essendo

√ √ 2/3 Q = c i A0 Ri0 = c i A0



A0 Cb0

2/3

√ A5/3 = c i 02/3 Cb0

a parita` di area, scabrezza e pendenza, la forma della sezione che convoglia la portata maggiore e` quella a cui compete il contorno bagnato minore. Analogamente, a parita` di portata da convogliare, la forma della sezione che da` luogo all’area minore e, quindi, al minimo costo, e` quella che ha il contorno bagnato minore.

13.40 La sezione di minimo costo di un canale, a parita` di area, e` quella (a) circolare, (b) rettangolare, (c) trapezoidale o (d) triangolare?

Analisi La risposta esatta e` (a), cioe` la sezione circolare. Infatti, il cerchio e` la figura geometrica che, a parita` di area, ha il perimetro minimo. Quindi, la sezione trasversale piu` conveniente per un canale aperto e` quella semicircolare.

13.41 Per un canale rettangolare, la sezione di minimo costo e` ` (b) il doppio, (c) quella per cui l’altezza della corrente e` (a) la meta, uguale o (d) un terzo della larghezza del canale? hH b 2

Analisi La risposta esatta e` (a). Infatti, per la 13.45, una sezione rettangolare e` di minimo costo se l’altezza della corrente e` pari alla meta` della larghezza della sezione.

b

13.42 Per un canale trapezoidale con larghezza di base b, la sezione di minimo costo e` quella √ per cui la lunghezza del lato inclinato e` (a) b, (b) b/2, (c) 2b o (d) 3b? b

hH 3 b 2

b

30°

Analisi La risposta esatta e` (a), cioe` la lunghezza del lato inclinato e` uguale alla base. Infatti, per la 13.48, una sezione trapezia e` di minimo costo se le sponde sono inclinate di 30◦ sulla verticale, cioe` se la sezione e` la meta` di un esagono regolare.

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Correnti a superficie libera

13.43 Si consideri una corrente in moto uniforme in un canale le cui pareti sono di mattoni (c = 80 m1/3 /s). Se, a causa della crescita di alghe sulle pareti, il valore di c si dimezza, mantenendosi costanti le dimensioni della sezione√trasversale, la portata (a) raddoppia, (b) diminuisce di un fattore 2, (c) rimane uguale, (d) si dimezza o (e) diminuisce di un fattore 21/3 ?

Analisi La risposta esatta e` (d), cioe` la portata si dimezza. Infatti, in moto uniforme, la portata Q , l’area A, il raggio idraulico Ri , l’indice di scabrezza c di Gauckler-Strickler e la pendenza i sono legate fra loro dalla 13.40 2/3

Q = c A0 Ri0

√ i

secondo la quale la portata e` direttamente proporzionale a c, per ` anche la portata si dimezza. cui se esso diventa la meta,

13.44 In un canale a sezione trapezia, con pareti di cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), largo alla base 0,6 m e con sponde inclinate di 40◦ rispetto alla verticale, la corrente ha un’altezza di moto uniforme di 0,45 m. La pendenza del canale e` dello 0,7%. Calcolare la portata.

h0 H 0,45 m

Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico,

b H 0,6 m

si ha (vedi Figura 13.5)

A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (0,6 + 0,45 × tan 40◦ ) × 0,45 = 0,440 m2

Cb0 = b +

2h 0 2 × 0,45 = 0,6 + = 1,78 m cos θ cos 40

Ri0 =

0,440 A0 = = 0,247 m Cb0 1,78

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

p √ i = 90 × 0,440 × 0,2472/3 × 0,007 = 1,30 m3 /s

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θ H 40°

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24 Capitolo 13 B = 10 m

h0 = 2,2 m

b= 5m

13.45 In un canale a sezione trapezia, in muratura ordinaria (c = 65 m1/3 /s), largo alla base 5 m, defluisce, in moto uniforme, una portata di 40 m3 /s con un’altezza di 2,2 m alla quale corrisponde una larghezza in superficie di 10 m. Calcolare la pendenza del canale. Analisi Essendo b la larghezza alla base, B la larghezza in superficie e h 0 l’altezza d’acqua, le pareti laterali formano con la verticale un angolo

θ = arctan

(B − b)/2 (10 − 5)/2 = arctan = 48,7◦ h0 2,2

per cui l’area A0 , il contorno bagnato C b0 e il raggio idraulico della sezione trasversale risultano (vedi Figura 13.5)

A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (5 + 2,2 × tan 48,7) × 2,2 = 16,5 m2

Cb0 = b +

2 × 2,2 2h 0 =5+ = 11,7 m cos θ cos 48,7

Ri0 =

A0 16,5 = 1,41 m = Cb0 11,7

Per la 13.40, se c e` l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme, la pendenza i del canale e`

i=

Q2 4/3

c2 A20 Ri0

=

402 = 0,000880 = 0,088% 652 × 16,52 × 1,414/3

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Correnti a superficie libera

13.46 Con riferimento all’esercizio precedente, nell’ipotesi che l’altezza d’acqua massima nella sezione sia di 2,4 m, calcolare la portata massima che puo` essere convogliata nel canale.

Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi Figura 13.5)

48,7° h0 = 2,4 m

b= 5m

A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (5 + 2,4 × tan 48,7) × 2,4 = 18,6 m2

Cb0 = b +

2h 0 2 × 2,4 =5+ = 12,3 m cos θ cos 48,7

Ri0 =

A0 18,6 = = 1,51 m Cb0 12,3

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata massima che defluisce in condizioni di moto uniforme con l’altezza massima e` 2/3

Q = c A0 Ri0

p √ i = 65 × 18,6 × 1,512/3 × 0,00088 = 47,2 m3 /s

Pertanto, un aumento dell’altezza di poco inferiore al 10% comporta un aumento della portata di quasi il 20%. Cio` conferma che, in moto uniforme, la portata aumenta piu` che linearmente con l’altezza (vedi Figura 13.18a).

13.47 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, in un canale a sezione circolare, con pareti di cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), del diametro di 2 m, con pendenza di fondo dello 0,15%, ` quando la sezione trasversale del canale e` piena per meta.

Analisi Per la 13.40, essendo D il diametro, h 0 = D/2 l’altezza di moto uniforme, A0 l’area della sezione trasversale, Ri0 = D/4 il raggio idraulico, c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata e`

Q=

2/3 c A0 Ri0

= 90 ×

√ π D2 i =c 8

π × 22 × 8



D 4

2/3

√ i=

 2/3 p 2 × 0,0015 = 3,45 m3 /s 4

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DH2m h0 = 1 m

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26 Capitolo 13

13.48 In due canali a sezione rettangolare identici, larghi 3 m, defluisce la stessa portata, con un’altezza di 3 m. Se i due canali ven3m

3m

3m

3m

gono uniti, formando un unico canale a sezione rettangolare, largo 6 m, di quanto aumenta, in percentuale, la portata di una corrente con altezza di 3 m, rispetto a quella che transitava complessivamente nei due canali?

Analisi Per la 13.40, essendo b = 3 m la larghezza del canale, h 0 l’altezza della corrente, c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza, si ha Q=

2/3 c A0 Ri0

√ i = c A0



A0 Cb0

2/3

√ √ i =c i

(bh 0 )5/3 (b + 2h 0 )2/3

per cui il rapporto tra la portata Q u che transita, con la stessa altezza, nell’unico canale di larghezza 2b e la portata 2Q che transita complessivamente nei due canali e`

1 Qu = 2Q 2  =



A0u A0

5/3 

b + 2h 0 b + h0

Cb0 Cb0u

2/3

 =

2/3

1 = 2



3+2×3 3+3

2bh 0 bh 0

5/3 

b + 2h 0 2b + 2h 0

2/3 =

2/3 = 1,31

Pertanto, unendo i due canali, la portata aumenta del 31%.

Discussione Le due situazioni considerate, essendo uguale la pendenza, la scabrezza e l’area della sezione trasversale, differiscono solamente per la lunghezza del contorno bagnato. Quest’ultimo, infatti, mancando due pareti verticali, diminuisce di 2h 0 . Dimi` nuendo il contorno bagnato, diminuisce la resistenza al moto e cio, a parita` di tutte le altre condizioni, comporta un aumento della portata convogliata.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti a superficie libera

13.49 In un canale a sezione trapezia, con pareti rivestite di cemento non lisciato (c = 75 m1/3 /s), largo alla base 5 m e con sponde inclinate di 45◦ rispetto alla verticale, defluisce, in moto uniforme, una portata di 25 m3 /s. La pendenza del canale e` dello 0,2%. Calcolare l’altezza di moto uniforme. Q = 25 m3/s

45°

h0 b=5m

Analisi In una sezione trapezia, essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 Cb0 = b +

Ri0 =

2h 0 cos θ

A0 Cb0

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

√ i

funzione implicita dell’incognita h 0 . Per la risoluzione si puo` usare un qualunque metodo iterativo o, piu` semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo

Q 25 2/3 = 7,454 m8/3 A0 Ri0 = √ = √ 75 × 0,002 c i si ottiene

h0 (m)

A0 (m2 )

Cb0 (m)

Ri0 (m)

√ Q/(c i) (m8/3 )

1, 00 1, 20 1, 30 1, 27 1, 26

6, 00 7, 44 8, 19 7, 96 7, 89

7, 83 8, 39 8, 68 8, 59 8, 56

0, 766 0, 886 0, 944 0, 927 0, 921

5, 025 6, 865 7, 881 7, 569 7, 467

per cui si puo` assumere come soluzione il valore h 0 = 1,26 m.

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27

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28 Capitolo 13

13.50 Risolvere l’esercizio precedente nel caso in cui il canale sia in terra con molta vegetazione (c = 30 m1/3 /s). Analisi Con la stessa portata e la stessa pendenza del problema precedente, risulta

25 Q 2/3 A0 Ri0 = √ = = 18,63 m8/3 √ 30 × 0,002 c i Assegnando ad h 0 valori di tentativo scelti opportunamente, si ha

h0 (m)

A0 (m2 )

Cb0 (m)

Ri0 (m)

√ Q/(c i) (m8/3 )

2,00 2,20 2,10 2,12

14,0 15,8 14,9 15,1

10,7 11,2 10,9 11,0

1,31 1,41 1,36 1,37

16,79 19,93 18,32 18,64

per cui si puo` assumere come soluzione il valore h 0 = 2,12 m.

Q = 3 m3/s h0 = 1 m b = 1,5 m

45°

13.51 In un canale a sezione trapezia in terra (c = 60 m1/3 /s), largo alla base 1,5 m e con sponde inclinate di 45◦ rispetto alla verticale, deve essere convogliata in moto uniforme una portata di 3 m3 /s. Calcolare la pendenza da assegnare al fondo in modo che l’altezza di moto uniforme non sia superiore a 1 m.

Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 = 1 m l’altezza della corrente, θ l’angolo che le sponde formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi Figura 13.5)

A0 = (b + h 0 tan θ )h 0 = (1,5 + 1 × tan 45◦ ) × 1 = 2,50 m2 Cb0 = b +

2h 0 2×1 = 1,5 + = 4,33 m cos θ cos 45◦

Ri0 =

A0 2,50 = = 0,577 m Cb0 4,33

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme, la pendenza minima da assegnare al fondo risulta

i=

!2

Q 2/3

c A0 Ri0



3 = 60 × 2,5 × 0,5772/3

2 = 0,000833 = 0,083%

Per pendenze inferiori a tale valore l’altezza di moto uniforme risulta superiore al valore assegnato.

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13.52 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, in un canale triangolare con pareti in legno piallato (c = 90 m1/3 /s), inclinate di 45◦ rispetto alla verticale, con una pendenza di fondo dello 0,5% e un’altezza di 0,4 m. Analisi Essendo h 0 l’altezza della corrente, B la larghezza della sezione in corrispondenza della superficie libera, θ l’angolo che le pareti formano con la verticale, C b0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale e Ri0 il raggio idraulico, si ha A0 =

B 2h 0 tan θ h0 = h 0 = h 20 tan θ = 0,42 × tan 45 = 0,16 m2 2 2 Cb0 = 2

0,4 h0 =2× = 1,13 m cos θ cos 45

Ri0 =

A0 0,16 = = 0,141 m Cb0 1,13

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

p √ i = 90 × 0,16 × 0,1412/3 × 0,005 =

= 0,276 m3 /s

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45° h0 = 0,4 m

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30 Capitolo 13

Q H 2 m3/s

h0

13.53 Un canale a sezione rettangolare con pareti in cemento non lisciato (c = 75 m1/3 /s), largo 1,8 m, deve convogliare in moto uniforme una portata di 2 m3 /s. La pendenza del canale e` dello 0,15%. Calcolare l’altezza minima delle pareti. Analisi In un canale a sezione rettangolare, essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, C b0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il raggio idraulico, si ha

b H 1,8 m

A = Bh 0 Cb0 = b + 2h 0 Ri0 =

A0 Cb0

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

√ i

funzione implicita dell’incognita h 0 . Per la risoluzione si puo` usare un qualunque metodo iterativo o, piu` semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo

Q 2 2/3 = 0,6885 m8/3 A0 Ri0 = √ = √ 75 × 0,0015 c i si ottiene

h0 (m)

A0 (m2 )

Cb0 (m)

Ri0 (m)

√ Q/(c i) (m8/3 )

1,00 0,80 0,70 0,71

1,80 1,44 1,26 1,28

3,80 3,40 3,20 3,22

0,474 0,424 0,394 0,397

1,094 0,812 0,677 0,690

per cui si puo` assumere come soluzione il valore h 0 = 0,71 m. L’al` chiatezza delle pareti deve essere maggiore di h 0 di una quantita, mata franco, tale da garantire che eventuali ondulazioni in superficie siano contenute all’interno del canale.

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13.54 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, nel canale avente la sezione trasversale schematizzata in figura e pendenza del fondo dello 0,2%. 5m

10 m

1

2

2m 1,5 m

c1 H 70

m1/3/s

c2 H 30 m1/3/s

2m

Analisi Per la presenza del contorno a scabrezza diversa e` opportuno suddividere il canale nelle due sottosezioni indicate in figura e calcolare la portata totale come somma delle portate di ciascuna sottosezione. Per la sottosezione 1, composta da una sezione trapezia avente base b1 = 2 m, altezza h 1 = 1,5 m e sponde inclinate di θ = 45◦ sormontata da una sezione rettangolare di base b2 = 5 m e altezza h 2 = 2 m, si ha

A0 = (b1 + h 1 tan θ )h 1 + b2 h 2 = (2 + 1,5×tan 45)×1,5 + 5×2 = = 15,25 m2

Cb0 = b1 +

2h 1 2 × 1,5 + h2 = 2 + + 2 = 8,24 m cos θ cos 45

Ri0 =

2/3

Q 1 = c1 A0 Ri0

A0 15,25 = = 1,85 m Cb0 8,24

p √ i = 70 × 15,25 × 1,852/3 × 0,002 =

= 71,9 m3 /s La sottosezione 2 e` una sezione rettangolare di larghezza b = 10 m e altezza h 2 . Per cui, si ha

A0 = bh 2 = 10 × 2 = 20,0 m2 Cb0 = b + h 2 = 10 + 2 = 12,0 m

Ri0 =

2/3

Q 2 = c2 A0 Ri0

A0 20,0 = = 1,67 m Cb0 12,0

p √ i = 30 × 20,0 × 1,672/3 × 0,002 =

= 37,8 m3 /s

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32 Capitolo 13

Pertanto, la portata totale vale

Q = Q 1 + Q 2 = 71,9 + 37,8 = 110 m3 /s All’intera sezione, che ha area e contorno bagnato pari alla somma delle analoghe quantita` delle due sottosezioni e, quindi, raggio idraulico

Ri0 =

15,25 + 20,0 = 1,74 m 8,24 + 12,0

compete un indice di scabrezza medio

c=

Q

2/3 √ A0 Ri0 i

=

110 = 48 m1/3 /s √ 2/3 35,25 × 1,74 × 0,002

13.55 Due canali a sezione circolare, in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), del diametro di 1,2 m, con pendenza del fondo dello 0,15%, confluiscono in un terzo canale a sezione circolare, in cemento lisciato, avente la stessa pendenza. Se i due canali sono pieni per meta` della loro altezza, determinare il diametro da assegnare al terzo canale perche´ funzioni anch’esso con un’altezza d’acqua pari a meta` del diametro. Analisi Per la 13.40, in un canale a sezione circolare di diametro D , se h 0 = D/2 e` l’altezza di moto uniforme, A0 l’area della sezione trasversale, Ri0 = D/4 il raggio idraulico, c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata e` Q=

2/3 c A0 Ri0

√ π D2 i =c 8



D 4

2/3

√ i = K D 8/3

Pertanto, se d e` il diametro dei due canali di monte e D il diametro incognito del canale di valle, avendo i tre canali lo stesso valore di K , deve essere

2K d 8/3 = K D 8/3 da cui

D = 23/8 d = 1,30 × 1,2 = 1,56 m valore indipendente sia dalla scabrezza che dalla pendenza dei canali.

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13.56 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme con un’altezza di 25 cm, in un canale a sezione circolare, in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), del diametro di 1 m, con pendenza del fondo dello 0,2%. Analisi Essendo R il raggio, h 0 l’altezza della corrente, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale e Ri0 il raggio idraulico, si ha (vedi Figura 13.5)



h0 θ = arccos 1 − R



  0,25 = arccos 1 − = arccos 0,5 = 0,5

= 1,047 rad

A0 = R 2 (θ − sen θ cos θ ) = 0,52 × (1,047 − 0,866 × 0,5) = = 0,154 m2

Cb0 = 2θ R = 2 × 1,047 × 0,5 = 1,047 m

Ri0 =

0,154 A0 = 0,147 m = Cb0 1,047

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

p √ i = 90 × 0,154 × 0,1472/3 × 0,002 =

= 0,173 m3 /s

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R H 0,5 m

0,25 m

33

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34 Capitolo 13

13.57 Un canale, con pareti in cemento solo parzialmente intonacate (c = 60 m1/3 /s), deve convogliare, in moto uniforme, una portata di 4 m3 /s. La pendenza del fondo e` dello 0,15%. Calcolare le dimensioni della sezione di minimo costo quando questa e` di forma (a) semicircolare, (b) rettangolare e (c) trapezia.

Analisi (a)

La sezione circolare di minimo costo e` quella semicircolare piena fino al bordo. Per la 13.40, un canale a sezione circolare di diametro D ed altezza di moto uniforme h 0 = D/2, essendo A0 = π D 2 /8 l’area della sezione trasversale, Ri0 = D/4 il raggio idraulico, c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, convoglia la portata

Q=

2/3 c A0 Ri0

√ π D2 i =c 8



D 4

2/3

√ i

da cui 2/8



D=4

8Q √ cπ i

3/8

2/8

=4

 ×

8×4 √ 60 × π × 0,0015

3/8 =

= 2,46 m e

Cb0 = (b)

πD π × 2,46 = = 3,86 m 2 2

Per la 13.45, la sezione rettangolare di minimo costo e` quella di larghezza b pari al doppio dell’altezza h 0 della corrente. Pertanto, ponendo nella 13.40 h 0 = b/2, si ha

 

Q bh 0 2/3 √ = A0 Ri0 = bh 0 b + 2h 0 c i b2 = 2

2/3

b =b  2

b

b 2

2/3

 b b+2 2

=

 2/3 b 4

da cui

b = 42/8



2Q √ c i

3/8

= 42/8 ×



2×4 √ 60 × 0,0015

3/8 = 2,25 m

e

Cb0 = b + 2h = b + b = 2b = 2 × 2,25 = 4,5 m

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(c)

Correnti a superficie libera

Per la 13.47 e la 13.48 la sezione trapezia di minimo costo e` la meta` di un esagono regolare. Per cui, essendo θ = 30◦ e h = b cos θ (vedi Figura 13.28), l’area, il contorno bagnato e il raggio idraulico valgono, rispettivamente,

A0 = (b + h tan θ )h = (b + b sen θ )b cos θ = √ 3 3 2 = b2 (1 + sen 30) cos 30 = b 4 Cb0 = b +

2h = b + 2b = 3b cos θ

√ √ A0 3 3 b2 3 Ri0 = = = b Cb0 4 3b 4 Sostituendo nella 13.40, si ha

√ Q 3 3 2 2/3 b √ = A0 Ri0 = 4 c i

√ !2/3 3 311/6 b = 5/3 b8/3 4 4

da cui

45/8 b = 11/16 3



Q √ c i

3/8

45/8 = 11/16 × 3



4 √ 60 × 0,0015

3/8 =

= 1,37 m e

Cb0 = 3b = 3 × 1,37 = 4,11 m Discussione La sezione semicircolare ha il contorno bagnato mi` pertanto, la piu` conveniente. nore ed e,

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36 Capitolo 13

13.58 Un canale a sezione rettangolare, con pendenza del fondo dello 0, 05%, deve convogliare, in moto uniforme, una portata di 20 m3 /s. Calcolare la larghezza di minimo costo quando le pareti sono (a) in cemento non lisciato (c = 75 m1/3 /s) e (b) in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s). Analisi Per la 13.45, la sezione rettangolare di minimo costo e` quella di larghezza b pari al doppio dell’altezza h 0 della corrente. Pertanto, ponendo nella 13.40 h 0 = b/2, si ha  

Q bh 0 2/3 √ = A0 Ri0 = bh 0 b + 2h 0 c i

2/3

b =b  2

b

b 2

b+2

2/3 b2 = 2

 b

 2/3 b 4

2

da cui

b=4 (a)

2/8



2Q √ c i

3/8 =4

2/8

×

1 2 × 20 √ c 0,0005

3/8 =

23,45 m c3/8

Nel caso di pareti in cemento non lisciato, si ha

b= (b)



23,45 = 4,65 m 753/8

Lisciando le pareti, la larghezza si riduce a

b=

23,45 = 4,34 m 903/8

Moto gradualmente e rapidamente variato. Risalto idraulico 13.59 Che differenza c’e` tra moto uniforme e moto gradualmente variato?

Analisi Il moto di una corrente e` uniforme se la velocita` si mantiene costante lungo ciascuna traiettoria. Perche´ tale condizione sia verificata deve mantenersi costante, nella direzione del moto, la sezione trasversale e, quindi, l’altezza d’acqua. Di conseguenza, si mantiene costante anche l’energia specifica. Per cui, in moto uniforme, la linea dell’energia e` parallela al fondo e, quindi, la cadente ` J = i. J e` uguale alla pendenza i del fondo. Si ha, cioe, Il moto permanente di una corrente e` detto gradualmente variato se le variazioni di altezza e di velocita` nella direzione del moto sono graduali, per cui il profilo del pelo libero ha pendenze modeste e ` In tal caso, l’energia non vi sono variazioni brusche o discontinuita. specifica non si mantiene costante nella direzione del moto e, quindi, J 6= i .

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti a superficie libera

13.60 Che differenza c’e` tra moto gradualmente variato e moto rapidamente variato?

Analisi In un canale cilindrico o prismatico qualunque causa di disturbo della corrente, come la presenza di una paratoia o la variazione della pendenza del fondo o della scabrezza, comporta la variazione dell’altezza della corrente e quindi l’allontanamento dalla condizione di moto uniforme. In tal caso il moto e` detto rapidamente variato se le variazioni dell’altezza della corrente sono grandi rispetto alla distanza in cui avvengono e gradualmente variato nel caso contrario, cioe` se le variazioni dell’altezza sono graduali. Le correnti gradualmente variate possono essere studiate con l’approccio unidimensionale, riferendosi cioe` all’altezza d’acqua ed ` invece, alla velocita` media nelle successive sezioni trasversali. Cio, non e` sempre possibile nello studio del moto rapidamente variato.

13.61 Nel moto permanente di una corrente lenta in un canale orizzontale, nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?

Analisi Si verifica il caso (b), cioe` l’altezza della corrente diminuisce nella direzione del moto. Infatti, in un canale a pendenza nulla (i = 0), il numeratore a secondo membro della 13.54

O2

dh i−J = dx 1 − Fr2 h

risulta sempre negativo. Nel caso di corrente lenta si ha Fr < 1, per cui il denominatore a secondo membro e` sempre positivo. Quindi, in tali ipotesi, risulta dh/d x < 0, per cui al crescere di x l’altezza d’acqua h diminuisce e si stabilisce il profilo O2 (vedi Tabella 13.2).

k

i= 0

13.62 Nel moto permanente in un canale a debole pendenza, se l’altezza della corrente e` maggiore di quella di moto uniforme, nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?

Analisi Si verifica il caso (a). cioe` l’altezza della corrente aumenta nella direzione del moto. Infatti, in un canale a debole pendenza, l’altezza di moto uniforme h 0 e` maggiore dell’altezza critica k , per cui se, come nel caso in esame, l’altezza h della corrente e` maggiore di h 0 , e` anche h > k e, quindi, Fr < 1. Conseguentemente, il denominatore a secondo membro della 13.54

D1

dh i−J = dx 1 − Fr2 e` positivo. Essendo, poi, h > h 0 la cadente J e` minore di quella relativa alla condizione di moto uniforme e, pertanto, J < i . Quindi, essendo positivo anche il numeratore, risulta dh/d x > 0, per cui al crescere di x l’altezza d’acqua h aumenta e si stabilisce il profilo D1.

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h h0

k

i < ic

37

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38 Capitolo 13

13.63 Nel moto permanente di una corrente veloce in un canale orizzontale, nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?

Analisi Si verifica il caso (a), cioe` l’altezza della corrente aumenta nella direzione del moto. Infatti, in un canale a pendenza nulla (i = 0), il numeratore a secondo membro della 13.54

dh i−J = dx 1 − Fr2

O3

k h i=0

risulta sempre negativo. Nel caso di corrente veloce l’altezza della corrente e` minore dell’altezza critica e si ha Fr > 1, per cui il denominatore a secondo membro e` sempre negativo. Quindi, in tali ipotesi, risulta dh/d x > 0, per cui al crescere di x l’altezza d’acqua h aumenta e si stabilisce il profilo O3 (vedi Tabella 13.2).

13.64 Nel moto permanente in un canale a debole pendenza, se la corrente e` lenta e ha altezza minore di quella di moto uniforme, nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?

Analisi Si verifica il caso (b), cioe` l’altezza della corrente diminuisce nella direzione del moto. Infatti, se la corrente e` lenta si ha Fr < 1. Conseguentemente, il denominatore a secondo membro della 13.54 D2

k

h0

h

i < ic

dh i−J = dx 1 − Fr2 e` positivo. Essendo, poi, h < h 0 , la cadente J e` maggiore di quella relativa alla condizione di moto uniforme e, pertanto, J > i . Quindi, il numeratore a secondo membro e` negativo, per cui dh/d x < 0 e al crescere di x l’altezza d’acqua h diminuisce dando luogo al profilo D2 (vedi Tabella 13.2).

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Correnti a superficie libera

39

13.65 Nel moto permanente in un canale a forte pendenza, se l’altezza della corrente e` minore di quella di moto uniforme, nella direzione del moto l’altezza della corrente (a) aumenta, (b) diminuisce o (c) rimane costante?

Analisi Si verifica il caso (a), cioe` l’altezza della corrente aumenta nella direzione del moto. Infatti, in un canale a forte pendenza, l’altezza di moto uniforme h 0 e` minore dell’altezza critica k , per cui se, come nel caso in esame, l’altezza h della corrente e` minore di h 0 , e` anche h < k e, quindi, Fr > 1. Conseguentemente, il denominatore a secondo membro della 13.54

dh i−J = dx 1 − Fr2 e` negativo. Essendo, poi, h < h 0 la cadente J e` maggiore di quella relativa alla condizione di moto uniforme e, pertanto, J > i . Quindi, essendo negativo anche il numeratore, risulta dh/d x > 0, per cui al crescere di x l’altezza d’acqua h aumenta e si stabilisce il profilo F3.

13.66 In un canale a sezione rettangolare, con pareti in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), largo 3 m, con pendenza del fondo dello 0,2%, defluisce in moto uniforme una corrente con un’altezza di 1,2 m. Determinare se, per questa portata, il canale e` a pendenza debole, forte o critica.

F3

k h i > ic

h0 H 1,2 m

Analisi Essendo b la larghezza alla base, h 0 l’altezza della corrente, Cb0 il contorno bagnato, A0 l’area della sezione trasversale ed Ri0 il bH3m

raggio idraulico, si ha

A0 = bh 0 = 3 × 1,2 = 3,60 m2 Cb0 = b + 2h 0 = 3 + 2 × 1,2 = 5,40 m Ri0 =

A0 3,60 = = 0,667 m Cb0 5,40

Per la 13.40, essendo c l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i la pendenza del canale, la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

p √ i = 90 × 3,60 × 0,6672/3 × 0,002 = 11,1 m2 /s

Essendo, per la 13.9,

s 3

k=

Q2 = gb2

s 3

11,12 = 1,12 m < h0 9,81 × 32

il canale e` a debole pendenza (per la portata Q = 11,1 m3 /s).

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h0

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40 Capitolo 13 h0

b

13.67 Calcolare l’intervallo di valori dell’altezza d’acqua per cui un canale in cemento non lisciato (c = 75 m1/3 /s), con sezione rettangolare molto larga e pendenza del fondo dello 0,7%, risulta a forte pendenza.

Analisi Per un canale a sezione rettangolare molto larga, per il quale si possa ritenere l’altezza d’acqua h trascurabile rispetto alla larghezza b, si ha Ri =

bh ∼ =h b + 2h

per cui, per la 13.40, la portata di moto uniforme risulta 2/3

Q = c A0 Ri0

√ √ 5/3 i = cbh 0 i

Quando la portata defluisce con altezza di moto uniforme h 0 = k la pendenza dell’alveo viene definita critica. In tali condizioni la portata deve soddisfare anche la 13.8

p Q = bk gk Eguagliando le due relazioni e ricavando l’altezza h c = k = h 0 per la quale la portata defluisce in condizioni di stato critico, si ottiene

3  g 3  9,81 hc = 2 = 0,0155 m = c i 752 × 0,007 alla quale corrisponde, per unita` di larghezza, una portata critica

qc =

p p p Q = k gk = h c gh c = 0,01553/2 × 9,81 = 0,00604 m2 /s b

Per determinare le condizioni con le quali defluisce una generica portata maggiore o minore di qc , e` necessario porre a confronto l’altezza di moto uniforme h 0 e l’altezza critica k . Se h 0 > k la corrente e` lenta e, nel caso opposto, e` veloce. Dalle tre relazioni precedenti si ha 5/3 h0

√   Q k gk g 1/2 3/2 = √ = √ =k = k 3/2 h 1/6 √ c cb i c i c i

da cui, dividendo ambo i membri per k 5/3



h0 k

5/3

 =

hc k

1/6

Per cui, per tutte le portate minori di qc , per le quali k < h c , poiche´ il rapporto h 0 /k > 1 (cioe` h 0 > k ), la corrente e` lenta e il canale e` a debole pendenza.

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Correnti a superficie libera

41

Viceversa, per le portate maggiori di qc , per le quali k > h c , si ha h 0 < k e, pertanto, la corrente uniforme e` veloce e il canale e` a forte pendenza. Essendo l’altezza di moto uniforme crescente al crescere della portata, alle portate q < qc per le quali il canale risulta a debole pendenza competono altezze h 0 < h c e, viceversa, alle portate q > qc per le quali il canale risulta a forte pendenza competono altezze h 0 > h c . Ne consegue che il canale risulta a forte pendenza per tutte le altezze di moto uniforme maggiori di h c = 0,0155 m.

´ a volte, si fa in modo che la corrente generi un 13.68 Perche, risalto idraulico? Come si misura l’efficienza di un risalto?

Analisi Ad un risalto idraulico e` associata una perdita di energia che puo` essere anche molto rilevante. Pertanto, quando una corrente idrica possiede energia in eccesso, che e` necessario o opportuno dissipare, si sfrutta proprio tale fenomeno. Cio` accade, in particolare, al piede di vene stramazzanti, ad esempio, dallo sfioratore di uno sbarramento o da una briglia. In tal caso, al piede della vena si realizza una vasca (vasca di dissipazione) dimensionata in modo che al suo interno si formi un risalto che fa perdere alla corrente l’energia in eccesso. La misura dell’efficienza di un risalto e` espressa dalla frazione di energia dissipata rispetto a quella posseduta. Tale frazione, al crescere del numero di Froude Fr1 della corrente in arrivo aumenta rapidamente, passando, nel caso di canale rettangolare, dal 10% per Fr1 ∼ = 2 al 70% per Fr1 ∼ = 9.

80 1E (% ) E1 40 0

1

3

5

7

9

11 Fr1

13.69 Calcolare la perdita di carico che si ha in un risalto in un canale molto largo, a monte del quale la corrente ha un’altezza di 35 cm e una velocita` media di 12 m/s.

1E

Analisi Essendo V1 12 Fr1 = √ =√ = 6,48 gh 1 9,81 × 0,35

V1 = 12 m/s

h1 = 0,35 m

per la 13.66, e` 1

  q  p h1 0,35  2 h2 = −1 + 1 + 8Fr1 = × −1 + 1 + 8 × 6,482 = 2 2 = 3,04 m e, per la 13.67,

1E =

h2

(h 2 − h 1 )3 (3,04 − 0,35)3 = = 4,57 m 4h 1 h 2 4 × 0,35 × 3,04

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2

V2

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42 Capitolo 13

13.70 In un canale a sezione rettangolare, in un risalto l’altezza della corrente passa da 0,6 m a 3 m. Calcolare la velocita` media e il numero di Froude a monte e a valle del risalto e la percentuale di energia dissipata.

Analisi Essendo, per la 13.66 v " # v # u u "   2 2 u1 u1 2h 2 2×3 t t Fr1 = +1 −1 = +1 −1 = 8 h1 8 0,6 = 3,87 m a monte del risalto, per la 13.6, la velocita` media della corrente e`

p p V1 = Fr1 gh 1 = 3,87 × 9,81 × 0,6 = 9,39 m/s ` Q = V1 A1 = V2 A2 , a valle del risalto la Essendo, per la continuita, corrente ha velocita` media

V2 = V1

h1 9,39 × 0,6 = = 1,88 m/s h2 3

per cui

V2 1,88 1,88 = 0,347 Fr2 = √ =√ =√ gh 2 gh 2 9,81 × 3 Per la 13.69, la frazione di energia dissipata e`

    3,872 0,6 3 Fr21 h 1 3 1+ × 1E 2 h2 2 3 =1−  =    =1− 2 E1 0,6 3,872 Fr1 h1 × 1+ 1+ 3 2 h2 2 1+

= 0,376 pari a piu` di un terzo dell’energia meccanica posseduta dalla corrente a monte.

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13.71 In un canale a sezione rettangolare, largo 8 m, a valle di una paratoia si forma un risalto. A monte del risalto, la corrente ha un’altezza di 1,2 m e una velocita` media di 9 m/s. Calcolare (a) l’altezza della corrente e il numero di Froude subito a valle del risalto, (b) la perdita di carico e l’efficienza del risalto e (c) l’energia meccanica dissipata.

Analisi (a)

9 V1 =√ = 2,62 Fr1 = √ gh 1 9,81 × 1,2 per la 13.66, e`

h2 =

=

  q h1 −1 + 1 + 8Fr21 = 2  p 1,2  × −1 + 1 + 8 × 2,622 = 3,89 m 2

e, quindi, essendo per la continuita` Q = V1 h 1 = V2 h 2

V2 h 1 V1 1,2 9 Fr2 = √ = = ×√ = 0,449 √ h 2 gh 2 3,89 gh 2 9,81 × 3,89 (b)

Il risalto e` un fenomeno localizzato. Pertanto, la differenza tra le quota di fondo delle sezioni subito a monte e subito a valle del risalto e` trascurabile. Conseguentemente, la perdita di carico coincide con la perdita di energia specifica, che per la 13.67, risulta

1E =

(h 2 − h 1 )3 (3,89 − 1,2)3 = = 1,04 m 4h 1 h 2 4 × 1,2 × 3,89

L’efficienza del risalto, cioe` la frazione di energia dissipata rispetto a quella posseduta, e` espressa dalla 13.69

    Fr21 h 1 3 1,2 3 2,622 1+ 1+ × 1E 2 h2 2 3,89 =1−   =   =1− 2 E1 1,2 2,622 h1 Fr1 × 1+ 1+ 3,89 2 h2 2 = 0,195 (c)

1E

V1 = 9 m/s

Essendo il carico l’energia meccanica dell’unita` di peso di fluido, l’energia meccanica dissipata in un certo intervallo di tempo e` pari al prodotto della perdita di carico per il peso del fluido transitato in quell’intervallo di tempo. Pertanto, l’energia dissipata dal risalto nell’unita` di tempo (cioe` la po-

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h2

h1 = 1,2 m 1

Essendo

43

2

V2

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44 Capitolo 13

tenza dissipata) e` pari al prodotto della perdita di carico per la portata in peso, per cui, essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, si ha

Pd = ρg Q1E = ρgbh 1 V1 1E = = 1000 × 9,81 × 8 × 1,2 × 9 × 1,04 = 881 kW

13.72 In un canale a sezione rettangolare defluisce una portata di 70 m3 /s. Un risalto si localizza tra un’altezza di 0,5 m e una di 4 m. Calcolare la potenza meccanica dissipata nel risalto.

1E

Analisi Per la 13.67, l’energia specifica dissipata nel risalto e`

V2 Q = 70

m3/s

h2 = 4 m

h1 = 0,5 m 1

2

1E =

(h 2 − h 1 )3 (4 − 0,5)3 = = 5,36 m 4h 1 h 2 4 × 0,5 × 4

La potenza meccanica dissipata nel risalto, cioe` l’energia meccanica dissipata nell’unita` di tempo di tempo, e` pari al prodotto dell’energia specifica dissipata per il peso del fluido transitato nell’unita` di tempo, cioe` per la portata in peso. Per cui, essendo ρ = 1000 kg/m3 la densita` dell’acqua, si ha

Pd = ρg Q1E = 1000 × 9,81 × 70 × 5,36 = 3680 kW

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13.73 A valle di un risalto, la corrente ha un’altezza di 2 m e una velocita` media di 3 m/s. Calcolare l’altezza e la velocita` media a

1E

monte del risalto e la percentuale di energia dissipata.

Analisi Nel caso di canale a sezione rettangolare, la 13.63 h1 + h2 =

2k 3 h1h2



h1 h2

2 +

h1 k3 −2 3 =0 h2 h2

equazione di secondo grado la cui radice positiva e`

h1 1 = −1 + h2 2

s

k3 1+8 3 h2

!

che, introducendo il numero di Froude Fr2 della corrente a valle del risalto

Fr2 =

V22 1 Q2 k3 = = gh 2 gh 2 b2 h 22 h 32

diviene

  q h2 2 h1 = −1 + 1 + 8Fr2 2 Nel caso in esame, essendo

3 V2 =√ Fr2 = √ = 0,677 gh 2 9,81 × 2 risulta

h1 =

V2 = 3 m/s

V1

h1

1

consente, nota una delle due altezze coniugate, di determinare l’altra. In particolare, moltiplicando ambo i membri per h 1 e dividendo per h 22 , si ottiene

 p 2 −1 + 1 + 8 × 0,6772 = 1,16 m 2

` Essendo, per la continuita,

Q = V1 A1 = V2 A2 il numero di Froude della corrente a monte del risalto e`

V1 h 2 V2 2 3 Fr1 = √ = = ×√ = 1,53 √ h 1 gh 1 1,16 gh 1 9,81 × 1,16

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45

h2 = 2 m

2

46 Capitolo 13

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Per la 13.69, la frazione di energia dissipata e`

    Fr21 h 1 3 1,532 1,16 3 1+ 1+ × 1E 2 h2 2 2 =1−   =   =1− 2 E1 1,532 1,16 h1 Fr1 × 1+ 1+ 2 2 h2 2 = 0,0242 Discussione Essendo il numero di Froude a monte poco superiore a 1, il risalto e` molto debole. Pertanto, la percentuale di energia dissipata e` molto piccola.

Regolazione e misura della portata 13.74 Com’e` definito il coefficiente di efflusso µ di una paratoia? Da quali parametri dipende il suo valore?

Analisi In tutti i processi di efflusso la portata e` proporzionale al prodotto dell’area di efflusso per la velocita` torricelliana conseguente a un’altezza h opportunamente scelta. Il coefficiente di ` dipendente soprattutto dalla geometria del campo proporzionalita, di moto, e` chiamato coefficiente di efflusso. Anche nell’efflusso da una paratoia, il coefficiente di efflusso µ e` il rapporto tra la portata effluente e il prodotto dell’area della luce (larghezza b e apertura a ) per la velocita` torricelliana dell’altezza h della corrente a monte della paratoia, come espresso dalla 13.71

p Q = µab 2gh La portata puo` essere calcolata anche esprimendo l’eguaglianza tra l’energia della corrente nella sezione a monte della paratoia e l’energia nella sezione contratta, nell’ipotesi che le perdite tra le due sezioni siano nulle. Si ottiene cos`ı la 13.70

s Q = Cc ab

2gh 1 + aCc / h

nella quale C c e` il coefficiente di contrazione. Eguagliando le due espressioni, si ha la 13.72

µ= r

Cc

1+

aCc h

secondo la quale il coefficiente di efflusso dipende dal coefficiente di contrazione e dal rapporto h/a , tendendo a C c per h/a che tende all’infinito.

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47

13.75 La portata derivata da un serbatoio in un canale rettangolare, largo 5 m, viene regolata tramite una paratoia piana verticale. Il livello nel serbatoio e` di 14 m rispetto al fondo del canale e la paratoia lascia aperta una luce di altezza 1 m. Calcolare la portata quando l’altezza della corrente a valle della paratoia e` di 3 m.

h H 14 m

Analisi Per la 13.71

h2 H 3 m

aH1m

p Q = µab 2gh in cui, essendo la vena effluente sommersa, il coefficiente di efflusso e` funzione sia di h/a che di h 2 /a . Essendo h/a = 14/1 = 14 e h 2 /a = 3/1 = 3, dal grafico di Figura 13.55 risulta µ = 0,59 e pertanto

p p Q = µab 2gh = 0,59 × 1 × 5 × 2 × 9,81 × 14 = = 48,9 m3 /s Discussione Pur essendo la vena effluente sommersa, il coefficiente di contrazione ha lo stesso valore che compete all’efflusso di una vena libera perche´ il rapporto h 2 /a e` piccolo (vedi Figura 13.55).

13.76 In un canale a sezione rettangolare, largo 5 m, e` inserita una paratoia piana verticale che lascia aperta sul fondo una luce di 0,75 m. Calcolare la portata, quando l’altezza della corrente a monte della paratoia e` di 2 m.

Analisi Trattandosi di efflusso libero da paratoia piana verticale, il

hH2m

coefficiente di efflusso puo` essere calcolato con la 13.74

µ=

0,61

0,61 = 0,550 a = 0,75 1 + 0,29 1 + 0,29 × h 2

o letto dal grafico di Figura 13.55, che per h/a = 2/0,75 = 2,67 fornisce µ = 0,52. Utilizzando il primo valore, per la 13.71 si ha

p p Q = µab 2gh = 0,550 × 0,75 × 5 × 2 × 9,81 × 2 = = 12,9 m3 /s

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sezione contratta a H 0,75 m

aCc

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48 Capitolo 13

13.77 A monte di una paratoia piana verticale, che lascia aperta sul fondo una luce di 0,3 m, l’altezza della corrente e` di 1,5 m. Calcolare la portata per unita` di larghezza e il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta.

Analisi Trattandosi di efflusso libero da paratoia piana verticale, il

h H 1,5 m

coefficiente di efflusso puo` essere calcolato con la 13.74 sezione contratta a H 0,3 m

µ=

aCc

0,61 = 0,577 a = 0,3 1 + 0,29 1 + 0,29 × h 1,5 0,61

o letto dal grafico di Figura 13.55, che per h/a = 1,5/0,3 = 5 fornisce µ = 0,56. Utilizzando il primo valore, per la 13.71 la portata per unita` di larghezza risulta

q=

p p Q = µa 2gh = 0,577 × 0,3 × 2 × 9,81 × 1,5 = b

= 0,939 m2 /s Per calcolare il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta e` necessario calcolare l’altezza d’acqua h c in corrispondenza di tale sezione. Essendo h c = aC c , il calcolo e` immediato se e` noto il valore del coefficiente di contrazione. Dalla 13.72, noto il coefficiente di efflusso, si ottiene l’equazione di secondo grado in C c

Cc2

  aCc =0 −µ 1+ h 2

la cui radice positiva fornisce C c = 0,61. Pertanto, essendo h c = 0,3 × 0,61 = 0,183 m, il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta risulta

Vc q 0,939 = 3,83 Frc = √ = √ = √ gh c h c gh c 0,183 × 9,81 × 0,183

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Correnti a superficie libera

13.78 Risolvere l’esercizio precedente per il caso in cui l’efflusso sia rigurgitato con un’altezza della corrente a valle di 1 m. Analisi Per la 13.71 p Q = µab 2gh in cui, essendo la vena effluente sommersa, il coefficiente di efflusso e` funzione sia di h/a che di h 2 /a . Essendo

h 1,5 = =5 a 0,3 e

h2 1 = = 3,3 a 0,3 dal grafico di Figura 13.55, per interpolazione, si puo` porre µ = 0,42 e, pertanto, la portata per unita` di larghezza risulta

q=

p p Q = µa 2gh = 0,42 × 0,3 × 2 × 9,81 × 1,5 = b

= 0,684 m2 /s Per calcolare il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta bisognerebbe conoscere l’altezza d’acqua in corrispondenza di tale sezione. La vena effluente, pur essendo sommersa, ha ancora altezza h c = aCc uguale a quella del problema precedente, essendo rimasta immutata la geometria del campo di moto. Ma, poiche´ l’efflusso e` rigurgitato, essa e` sovrastata da un’altezza d’acqua incognita. Se l’effetto di tale altezza d’acqua si potesse considerare trascurabile, essendo h c = 0,3 × 0,61 = 0,183 m, il numero di Froude in corrispondenza della sezione contratta risulterebbe

q 0,684 Vc = √ = Frc = √ = 2,79 √ gh c h c gh c 0,183 × 9,81 × 0,183

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h H 1,5 m h2 H 1 m a H 0,3 m

49

50 Capitolo 13

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13.79 Cos’e` uno stramazzo a spigolo vivo? Come vengono classificati gli stramazzi a spigolo vivo?

Analisi Uno stramazzo a spigolo vivo e` un dispositivo per la misura della portata delle correnti a superficie libera. Esso e` costituito da una parete verticale ortogonale alla direzione del moto, che lascia aperta superiormente una luce. Il bordo della luce e` a spigolo vivo in modo da favorire il distacco della vena liquida dal bordo al quale tenderebbe ad aderire per effetto delle forze di adesione liquido-solido. Gli stramazzi a spigolo vivo vengono classificati in base alla forma della luce (rettangolare, trapezia, triangolare, circolare ecc.).

hs H 0,80 m

13.80 Calcolare la portata in un canale a sezione rettangolare, largo 4 m, in cui e` inserito uno stramazzo Bazin alto 0,75 m, a monte del quale l’altezza della corrente e` 1,55 m. Analisi Essendo h s = 0,80 m il carico sullo stramazzo, per la 13.80

a = 0,75 m

il carico efficace e`

h e = h s + 0,0011 = 0,80 + 0,0011 = 0,801 m per cui, per la 13.79, essendo a = 0,75 m l’altezza del petto dello stramazzo, il coefficiente di efflusso e`

µs = 0,402 + 0,054

he 0,801 = 0,402 + 0,054 × = 0,460 a 0,75

Per la 13.77, essendo b = 4 m la larghezza della base dello stramazzo, la portata e`

p Q = µs bh e 2gh e = = 0,460 × 4 × 0,801 ×

p 2 × 9,81 × 0,801 = 5,84 m3 /s

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti a superficie libera

13.81 In un canale a sezione rettangolare, largo 3 m, e` inserito uno stramazzo Bazin. La portata massima nel canale e` di 4 m3 /s e a monte dello stramazzo l’altezza della corrente non deve superare

1,5 m. Calcolare l’altezza del petto dello stramazzo. Analisi Per la 13.77, si ha

a

p Q 4 = 0,301 m3/2 µs h e h e = √ = √ b 2g 3 × 2 × 9,81 nella quale, per la 13.79

µs = 0,402 + 0,054

he a

essendo a l’altezza incognita del petto dello stramazzo ed h e il carico efficace. Per la 13.80

h s = h e − 0,0011 in cui h s e` il carico sullo stramazzo. Quest’ultimo e` pari alla differenza tra l’altezza h m = 1,50 m della corrente a monte dello stramazzo e il petto a dello stramazzo, per cui

a = h m − h s = h m − h e + 0,0011 = 1,50 − h e + 0,0011 = = 1,5011 − h e Sostituendo nella prima equazione, si ottiene

 0,402 + 0,054

he 1,5011 − h e



3/2 h 3/2 e = 0,301 m

relazione che conviene risolvere per successive approssimazioni. Considerato che il secondo addendo del termine in parentesi e` molto piu` piccolo del primo, si puo` assumere come valore iniziale quello che si ottiene trascurando tale addendo e utilizzare la formula ricorsiva

2/3

  h e,i+1 =  

h H 1,50 m

0,301 0,402 + 0,054 ×

h e,i 1,5011 − h e,i

  

Procedendo in tal modo, si ottengono i valori 0,8246 - 0,7453 0,7589 - 0,7568 - 0,7571 - 0,7571 per cui si puo` assumere h e = 0,7571 m. Conseguentemente, risulta

a = 1,5011 − h e = 1,5011 − 0,7571 = 0,744 m

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52 Capitolo 13

13.82 Nel passaggio di una corrente lenta sopra una soglia, in assenza di perdite, l’altezza della corrente sulla soglia aumenta, diminuisce o si mantiene costante?

h1

h V

Analisi Nel passaggio di una corrente lenta sopra una soglia, se la corrente e` dotata di energia sufficiente a farle superare l’ostacolo (cioe` se l’energia specifica sulla soglia e` maggiore dell’energia minima), il profilo in corrispondenza della soglia si deprime leggermente.

a

13.83 Calcolare la portata effluente da uno stramazzo triangolare con angolo di apertura di 60◦ quando il carico sullo stramazzo e` di 1,0 m.

30° hs H 1 m

Analisi Essendo h s = 1,0 m il carico sullo stramazzo e θ = 30◦ l’angolo di apertura rispetto alla verticale, per la 13.83 si ha

Q= =

p 8 µ tan θ 2g h 5/2 = s 15 p 8 × 0,6 × tan 30 × 2 × 9,81 × 15/2 = 0,818 m3 /s 15

13.84 Nel passaggio di una corrente sopra una soglia, l’energia h

k a

specifica sulla soglia diminuisce all’aumentare dell’altezza della soglia. Qual e` il carattere cinematico della corrente quando l’energia raggiunge il valore minimo?

Analisi Sulla soglia l’energia specifica della corrente diminuisce per l’innalzamento del fondo. Finche´ la differenza tra l’energia a monte della soglia e l’altezza della soglia e` superiore al valore minimo che l’energia specifica deve avere perche´ la portata assegnata attraversi la sezione in corrispondenza della soglia, la presenza della soglia causa solo un leggero abbassamento del profilo se la corrente e` lenta e un aumento dell’altezza d’acqua se essa e` veloce. Al crescere dell’altezza della soglia, l’energia specifica sulla soglia raggiunge il valore minimo per la portata assegnata e, pertanto, la corrente sulla soglia e` in stato critico. Se l’altezza della soglia aumenta ulteriormente, la corrente non ha energia sufficiente a superare l’ostacolo. In tal caso, a monte della soglia la corrente e` costretta a rigurgitare per dissipare meno energia e presentarsi, cos`ı, davanti alla soglia con l’energia minima sufficiente per superare l’ostacolo. Pertanto, sulla soglia si ha ancora stato critico.

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13.85 In un canale a sezione rettangolare molto larga la corrente passa sopra una soglia alta 20 cm. A monte della soglia, l’altezza della corrente e` di 1,2 m e la velocita` media di 1,5 m/s. Determinare l’altezza della corrente sulla soglia.

Analisi Essendo b la larghezza del canale, h = 1,2 m l’altezza della corrente e V = 1,5 m/s la velocita` media, la portata e` Q = bhV . Per cui, per la 13.9, l’altezza critica e`

s 3

k=

s 3

(bhV )2 = gb2

(hV )2 = g

s 3

(1,2 × 1,5)2 = 0,691 m 9,81

Per la 13.23, l’energia minima e`

E min =

3 3 k = × 0,691 = 1,04 m 2 2

L’energia E della corrente a monte della soglia e`

E =h+

V2 1,52 = 1,2 + = 1,31 m 2g 2 × 9,81

e pertanto, essendo

E − a = 1,31 − 0,20 = 1,11 > 1,04 = E min la corrente ha energia sufficiente per superare la soglia. L’altezza h 1 sulla soglia deve soddisfare la 13.87

h 31 − (E − a) h 21 +

V2 2 h =0 2g

che diviene

h 31 − 1,11 h 21 +

(1,5 × 1,2)2 = h 31 − 1,11 h 21 + 0,165 = 0 2 × 9,81

equazione di 3° grado di cui interessa determinare solo la radice maggiore di k in quanto la corrente a monte della soglia e` lenta (perche´ h > k ). Pertanto, dividendo per h 21 , si puo` utilizzare la formula ricorsiva

h 1,i+1 = 1,11 −

0,165 h 21,i

Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori 0,976 0,937 - 0,922 - 0,916 - 0,913 - 0,912 - 0,912, per cui h 1 = 0,912 m.

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h H 1,20 m

h1

V H 1,5 m/s a H 0,20 m

53

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54 Capitolo 13

13.86 In un canale a sezione rettangolare molto larga, la corrente defluisce in moto uniforme con un’altezza di 0,8 m e una velocita` media di 5 m/s. Calcolare l’altezza della corrente in corrispondenza di una soglia alta 20 cm.

h1 h H 0,8 m V H 5 m/s

a H 0,20 m

Analisi Essendo b la larghezza del canale, h = 0,8 m l’altezza della corrente e V = 5 m/s la velocita` media, la portata e` Q = bhV . Per

soglia

cui, per la 13.9, l’altezza critica e`

s 3

k=

(bhV )2 gb2

s 3

=

(hV )2 g

s 3

=

(0,8 × 5)2 = 1,18 m 9,81

Per la 13.23, l’energia minima e`

E min =

3 3 k = × 1,18 = 1,77 m 2 2

L’energia E della corrente a monte della soglia e`

E =h+

V2 52 = 0,8 + = 2,07 m 2g 2 × 9,81

e, pertanto, essendo

E − a = 2,07 − 0,20 = 1,87 > 1,77 = E min la corrente ha energia sufficiente per superare la soglia. L’altezza h 1 sulla soglia deve soddisfare la 13.87

h 31 − (E − a) h 21 +

V2 2 h =0 2g

che diviene

h 31 − 1,87 h 21 +

h 1,i (m)

F (m3 )

F0 (m2 )

0,800 0,921 0,932 0,932 0,932

0,13020 0,00961 0,00010 0,00000

−1,0720 −0,8990 −0,8795 −0,8793

(5 × 0,8)2 = h 31 − 1,87 h 21 + 0,815 = 0 2 × 9,81

equazione di 3° grado di cui interessa determinare solo la radice minore di k in quanto la corrente a monte della soglia e` veloce (perche´ h < k ). Considerato che il secondo addendo dell’equazione dell’energia e` l’altezza cinetica, che in corrente veloce e` dello stesso ordine di grandezza o piu` grande dell’altezza della corrente, non e` possibile procedere come nel problema precedente in quanto si otterrebbe solo la radice maggiore di k , cioe` quella di corrente lenta. Conviene, quindi, usare il metodo di Newton. Si ha, pertanto,

h 1,i+1 = h 1,i −

h 31,i − 1,87h 21,i + 0,815 Fi = h − 1,i Fi0 3 h 21,i − 2 × 1,87 h 1,i

in cui Fi e Fi0 sono i valori che la funzione e la sua derivata prima assumono alla generica iterazione i -esima. Assumendo come valore iniziale il valore che l’altezza d’acqua assume a monte della soglia, si ottengono i valori riportati a fianco, per cui h 1 = 0,932 m.

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13.87 Su quale principio si basa il funzionamento degli stramazzi a larga soglia?

Analisi Lo stramazzo a larga soglia e` una soglia rettangolare di altezza tale da costringere la corrente a rigurgitare verso monte per recuperare l’energia che le manca per superare l’ostacolo. In tali condizioni, a monte della soglia la corrente e` sicuramente lenta, mentre sulla soglia passa per lo stato critico. Misurando l’altezza della corrente in una sezione sufficientemente a monte della soglia ed esprimendo l’eguaglianza dell’energia tra la sezione di misura e la sezione in stato critico sulla soglia in cui l’energia e` minima, si ottiene un’equazione di terzo grado nell’altezza critica k che risolta consente di determinare la portata. Se il rigurgito causato dalla soglia e` tale da potere ritenere trascurabile l’altezza cinetica della corrente a monte di essa, la portata e` espressa dalla relazione 13.91

p Q = µs bh s 2gh s in cui h s e` l’altezza d’acqua nella sezione di misura, riferita al piano della soglia, b e` la larghezza del canale e µs = 0,385 il coefficiente d’efflusso dello stramazzo.

13.88 In un canale rettangolare largo 5 m e` inserito uno stramazzo a larga soglia alto 1 m, a monte del quale l’altezza della corrente e` 1,6 m. Calcolare la portata. Analisi Essendo

h H 1,6 m aH 1 m

h s = h − a = 1,6 − 1 = 0,6 m il carico sullo stramazzo e b = 5 m la larghezza del canale, per la 13.91 si ha

p p Q = µs bh s 2gh s = 0,385 × 5 × 0,6 × 2 × 9,81 × 0,6 = = 3,96 m3 /s

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k

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56 Capitolo 13

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Riepilogo 13.89 In un canale a sezione trapezia con larghezza al fondo di 4 m e sponde inclinate di 45◦ defluisce, in moto uniforme, una portata di 18 m3 /s con un’altezza di 0,6 m. Determinare se la corrente e` lenta o veloce. Q = 18 m3/s 45°

h0 = 0,6 m b=4m

Analisi Essendo b = 4 m la larghezza del fondo, h = 0,6 m l’altezza della corrente, θ = 45◦ l’angolo che le pareti laterali formano con la verticale, l’area A della sezione e la larghezza in superficie B risultano (vedi Figura 13.5), rispettivamente,

A = (b + h tan θ ) h = (4 + 0,6 × tan 45◦ ) × 0,6 = 2,76 m2 B = b + 2h tan θ = 4 + 2 × 0,6 × tan 45◦ = 5,20 m Essendo

V =

Q 18 = = 6,52 m/s A 2,76

e, per la 13.6,

Fr = √

6,52 V =√ = 2,86 > 1 g A/B 9,81 × 2,76/5,20

la corrente e` veloce.

Q H 8 m3/s

13.90 In un canale a sezione rettangolare largo 2 m defluisce una portata di 8 m3 /s. Calcolare l’altezza d’acqua al di sotto della quale la corrente diventa veloce.

Analisi Essendo l’altezza critica s 3

k= bH2m

Q2 = gb2

s 3

82 = 1,18 m 9,81 × 22

la corrente e` veloce per tutti i valori di altezza inferiori a 1,18 m.

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13.91 Determinare il carattere cinematico di una corrente con velocita` media di 4 m/s e altezza (a) 0,2 m, (b) 2 m e (c) 1,63 m. Analisi (a)

Essendo

V 4 Fra = √ =√ = 2,86 > 1 gh a 9,81 × 0,2 la corrente e` veloce. (b)

Essendo

4 V =√ = 0,903 < 1 Frb = √ gh b 9,81 × 2 la corrente e` lenta. (c)

Essendo

4 V =√ = 1,00 Frc = √ gh c 9,81 × 1,63 la corrente e` critica.

13.92 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, con un’altezza di 0,9 m in un canale a sezione rettangolare, largo 1,5 m, con pendenza del fondo dell’1% e scabrezza c = 80 m1/3 /s. Analisi Essendo b = 1,5 m la larghezza della sezione, h 0 = 0,9 m l’altezza di moto uniforme, c = 80 m1/3 /s l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler, i = 0,01 la pendenza del canale, A0 l’area della sezione trasversale e Ri0 il raggio idraulico, per la 13.40 la portata che defluisce in moto uniforme e`

Q=

2/3 c A0 Ri0

√ i = cbh 0 

= 80 × 1,5 × 0,9 ×



bh 0 b + 2h 0

2/3

1,5 × 0,9 1,5 + 2 × 0,9

√ i= 2/3 ×

p 0,01 =

= 5,95 m3 /s

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h0 H 0,9 m

b H 1,5 m

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58 Capitolo 13

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13.93 Un canale a sezione trapezia, con larghezza al fondo di 4 m e sponde inclinate di 60◦ rispetto alla verticale, ha pendenza del fondo dello 0,1% e pareti di mattoni (c = 80 m1/3 /s). Calcolare la portata che defluisce nel canale con un’altezza di moto uniforme di 2 m.

2m

60°

4m

Analisi Essendo b = 4 m la larghezza del fondo, h 0 = 2 m l’altezza di moto uniforme, θ = 60◦ l’angolo che le sponde formano con la verticale, l’area A0 della sezione trasversale, il contorno bagnato C b0 e il raggio idraulico Ri0 risultano (vedi figura 13.5), rispettivamente, A0 = (b + h 0 tan θ ) h 0 = (4 + 2 × tan 60) × 2 = 14,9 m2

Cb0 = b +

2×2 2h 0 =4+ = 12,0 m cos θ cos 60

Ri0 =

A0 14,9 = = 1,24 m Cb0 12,0

Essendo c = 80 m1/3 /s l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e i = 0,001 la pendenza del canale, per la 13.40 la portata di moto uniforme e` 2/3

Q = c A0 Ri0

p √ i = 80 × 14,9 × 1,242/3 × 0,001 =

= 43,7 m3 /s

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13.94 Un collettore a sezione circolare in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), del diametro di 2 m, deve convogliare una portata di 12 m3 /s. Calcolare la pendenza del fondo affinche´ l’altezza di moto uniforme non superi 1,5 m. Analisi In un canale a sezione circolare di diametro D = 2 m, essendo h 0 = 1,5 m l’altezza di moto uniforme, l’area della sezione trasversale A0 , il contorno bagnato C b0 e il raggio idraulico Ri0 , essendo

    2h 0 2 × 1,5 2π θ = arccos 1 − = arccos 1 − = D 2 3 risultano (vedi Figura 13.5), rispettivamente,

D2 22 A0 = (θ − sen θ cos θ ) = × 4 4



2π 2π 2π − sen × cos 3 3 3

 =

= 2,53 m2

Cb0 = 2

2 2π D θ =2× × = 4,19 m 2 2 3

Ri0 =

A0 2,53 = = 0,603 m Cb0 4,19

Essendo c = 90 m1/3 /s l’indice di scabrezza di Gauckler-Strickler e Q = 12 m3 /s la portata che defluisce in condizioni di moto uniforme, per la 13.40, la pendenza i del canale e`

i=

!2

Q 2/3

c A0 Ri0

 =

12 90 × 2,53 × 0,6032/3

2 = 0,00545

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R=1m

h0 = 1,5 m

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60 Capitolo 13

13.95 Un canale a sezione rettangolare con pareti di cemento non lisciato (c = 75 m1/3 /s) deve convogliare, in moto uniforme, una portata di 5,4 m3 /s. Calcolare la larghezza del canale cui corrisponde il minimo costo quando la pendenza del fondo e` (a) dello 0,15% e (b) dello 0,60%. Analisi Per la 13.45 la sezione rettangolare di minimo costo e` quella che ha larghezza b pari al doppio dell’altezza h 0 della corrente. La 13.40, ponendo h 0 = b/2 diviene  

bh 0 Q 2/3 √ = A0 Ri0 = bh 0 b + 2h 0 c i b2 = 2

2/3 =b

b  2

b

b 2

2/3

 b b+2 2

=

 2/3 b 4

da cui

 b= 4

2/3

2Q √ c i 

= 0,684 × (a)

3/8



= 4 1 √ i

2 × 5,4 1 × ×√ 75 i

3/8 =

3/8

Nel primo caso, si ha

 ba = 0,684 × (b)

2/3

1 √ 0,0015

3/8 = 2,31 m

Con la pendenza maggiore , si ha

 bb = 0,684 ×

1 √ 0,0060

3/8 = 1,78 m

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13.96 Risolvere l’esercizio precedente per un canale a sezione trapezia.

Analisi Per la 13.47 e la 13.48 la sezione trapezia di minimo costo e` la meta` di un esagono regolare. Per cui, essendo θ = 30◦ e h = b cos θ (vedi Figura 13.28), l’area, il contorno bagnato e il raggio idraulico valgono, rispettivamente,

A0 = (b + h tan θ )h = (b + b sen θ )b cos θ = √ 3 3 2 b = b (1 + sen 30) cos 30 = 4 2

Cb0 = b +

2h = b + 2b = 3b cos θ

√ √ A0 3 3 b2 3 = = b Ri0 = Cb0 4 3b 4 Sostituendo nella 13.40, si ha

√ Q 3 3 2 2/3 b √ = A0 Ri0 = 4 c i

√ !2/3 3 311/6 b = 5/3 b8/3 4 4

da cui

45/8 b = 11/16 3



Q √ c i 

= 0,417 × (a)

3/8

1 √ i

45/8 = 11/16 × 3

5,4 1 ×√ 75 i

3/8

3/8

Nel primo caso, si ha

 ba = 0,417 × (b)



1 √ 0,0015

3/8 = 1,41 m

Con la pendenza maggiore , si ha

 bb = 0,417 ×

1 √ 0,0060

3/8 = 1,09 m

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=

61

62 Capitolo 13

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13.97 Calcolare la portata che defluisce, in moto uniforme, nel canale con la sezione trasversale composita di figura, se la pendenza del fondo e` dello 0,9%. 6m

10 m

1m

c2 H 30 m1/3/s

c1 H 50 m1/3/s

1m

Analisi Per la presenza del contorno a scabrezza diversa e` opportuno suddividere il canale in due sottosezioni a scabrezza uguale e calcolare la portata totale come somma delle portate di ciascuna sottosezione. La sottosezione 1 e` una sezione rettangolare di larghezza b1 = 6 m e altezza h 1 = 2 m. Per cui, si ha

A0 = b1 h 1 = 6 × 2 = 12,0 m2 Cb0 = b1 + h 1 +

h1 = 6 + 2 + 1 = 9,00 m 2

12,0 A0 = = 1,33 m Cb0 9,00 p √ 2/3 Q 1 = c1 A0 Ri0 i = 50 × 12,0 × 1,332/3 × 0,009 = 68,8 m3 /s Ri0 =

La sottosezione 2 e` una sezione rettangolare di larghezza b2 = 10 m e altezza h 2 = 1 m. Per cui, si ha

A0 = b2 h 2 = 10 × 1 = 10,0 m2 Cb0 = b2 + h 2 = 10 + 1 = 11,0 m A0 10,0 = = 0,909 m Cb0 11,0 p √ 2/3 Q 2 = c2 A0 Ri0 i = 30 × 10,0 × 0,9092/3 × 0,009 = 26,7 m3 /s Ri0 =

Pertanto, la portata totale vale

Q = Q 1 + Q 2 = 68,8 + 26,7 = 95,5 m3 /s All’intera sezione, che ha area e contorno bagnato pari alla somma delle analoghe quantita` delle due sottosezioni e, quindi, raggio idraulico

Ri0 =

12,0 + 10,0 = 1,10 m 9,00 + 11,0

compete un indice di scabrezza medio

c=

Q

2/3 √ A0 Ri0 i

=

95,5 = 43 m1/3 /s √ 22,0 × 1,102/3 × 0,009

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13.98 Si considerino un canale a sezione rettangolare largo b e uno a sezione circolare con diametro D , aventi uguale pendenza e uguale scabrezza, nei quali defluisce la stessa portata quando l’altezza d’acqua nel canale rettangolare e` uguale a b e nel canale circolare e` D /2. Determinare il rapporto tra b e D .

Analisi In un canale a sezione rettangolare di larghezza b e altezza di moto uniforme h 0 = b, per la 13.40, si ha 2/3  2 2/3  Q b 1 bh 0 2/3 2 =b = 2/3 b8/3 √ = A0 Ri0 = bh 0 b + 2h 0 3b 3 c i In un canale circolare di diametro D e altezza di moto uniforme h 0 = D/2, si ha

Q π D2 2/3 √ = A0 Ri0 = 8 c i



π D 2 /8 π D/2

2/3 =

π D 8/3 8 × 42/3

Uguagliando le due relazioni, si ha

1 32/3

b8/3 =

π D 8/3 8 × 42/3

da cui

b = D



π × 32/3 8 × 42/3

3/8 = 0,655

Discussione Il contorno bagnato del canale a sezione rettangolare e` pari a b + 2b = 3b = 3 × 0,655 D = 1,97 D , mentre quello del canale circolare e` π D/2 = 1,57 D .

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64 Capitolo 13

13.99 In un canale a sezione circolare, del diametro di 1,2 m e pendenza dello 0,4%, defluisce una portata di 1,25 m3 /s con un’altezza pari al raggio. Calcolare l’indice di scabrezza di Strickler delle pareti del canale e il numero di Froude della corrente.

R = 0,6 m

h0 = 0,6 m

Analisi Essendo D il diametro, h 0 = D/2 l’altezza di moto uniforme e B = D la larghezza in superficie, per la 13.40, la portata e`

Q=

2/3 c A0 Ri0

√ π D2 i =c 8



π D 2 /8 π D/2

2/3

√ i

da cui

c=

8 × 42/3 Q 8 × 42/3 × 1,25 = = 78 m1/3 /s √ √ 8/3 π D 8/3 π × 1,2 × 0,004 i

Per la 13.6, essendo

hm =

π D2 πD π × 1,2 A = = = = 0,471 m B 8D 8 8

si ha

Fr = √

1 V Q 1 8Q = √ = √ 2 A gh m πD gh m gh m = π×

1,22

8 × 1,25 = 1,03 √ × 9,81 × 0,471

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13.100 In un canale a sezione rettangolare molto larga la corrente attraversa una soglia alta 20 cm. A monte della soglia, l’altezza della corrente e` di 1,8 m e la velocita` media di 1,25 m/s. Calcolare l’altezza, la velocita` e il numero di Froude della corrente sulla soglia.

Analisi Essendo b la larghezza del canale, h = 1,8 m l’altezza della corrente e V = 1,25 m/s la velocita` media, la portata e` Q = bhV . Per cui, per la 13.9, l’altezza critica e`

s 3

k=

(bhV )2 gb2

s 3

=

(hV )2 g

s 3

=

(1,8 × 1,25)2 = 0,802 m 9,81

Per la 13.23, l’energia minima e`

E min =

3 3 k = × 0,802 = 1,20 m 2 2

L’energia E della corrente a monte della soglia e`

E =h+

V2 1,252 = 1,8 + = 1,88 m 2g 2 × 9,81

e, pertanto, essendo E − a = 1,88 − 0,20 = 1,68 > 1,20 = E min , la corrente ha energia sufficiente per superare la soglia. L’altezza h 1 sulla soglia deve soddisfare la 13.87

h 31 − (E − a) h 21 +

V2 2 h =0 2g

che diviene

h 31 − 1,68 h 21 +

(1,25 × 1,8)2 = h 31 − 1,68 h 21 + 0,258 = 0 2 × 9,81

equazione di 3° grado di cui interessa determinare solo la radice maggiore di k in quanto la corrente a monte della soglia e` lenta (perche´ h > k ). Pertanto, dividendo per h 21 , si puo` utilizzare la formula ricorsiva

h 1,i+1 = 1,68 −

0,258 h 21,i

Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori ` 1,59 - 1,58 - 1,58, per cui h 1 = 1,58 m. Essendo, per la continuita, Q = bhV = bh 1 V1 , il numero di Froude risulta

V1 h V 1,8 × 1,25 Fr = √ = = = 0,362 √ √ h 1 gh 1 gh 1 1,58 × 9,81 × 1,58 Discussione Sulla soglia il profilo si deprime perche´ h 1 + a = 1,58 + 0,20 = 1,78 m < 1,80 m = h . Cio` perche´ la corrente a monte della soglia, oltre ad avere energia sufficiente, e` una corrente lenta.

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Correnti a superficie libera

h H 1,8 m

h1

V H 1,25 m/s a H 0,20 m

65

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66 Capitolo 13

13.101 Con riferimento all’esercizio precedente, calcolare l’altezza minima della soglia per la quale la corrente sulla soglia e` in condizioni critiche.

Analisi Nota l’energia E a monte della soglia, la minima altezza a della soglia per la quale la corrente sulla soglia e` in stato critico, cioe` con l’energia minima E min , e` quella per la quale E min + a = E da cui, con riferimento al problema precedente,

a = E − E min = 1,88 − 1,20 = 0,68 m

13.102 A monte di una paratoia piana, che lascia aperta sul fondo una luce di 0,3 m, l’altezza della corrente e` di 1,8 m. Calcolare la portata per unita` di larghezza e la velocita` della corrente nella sezione contratta.

Analisi Essendo h = 1,8 m l’altezza d’acqua a monte della paratoia e a = 0,3 m l’altezza della luce, per la 13.74, il coefficiente di efflusso

h H 1,8 m

e` sezione contratta

µ= a H 0,3 m

aCc

0,61

0,61 = 0,582 a = 0,3 1 + 0,29 1 + 0,29 × h 1,8

Per la 13.71, la portata per unita` di larghezza e`

q=

p p Q = µa 2gh = 0,582 × 0,30 × 2 × 9,81 × 1,8 = b

= 1,04 m2 /s Per calcolare la velocita` in corrispondenza della sezione contratta e` necessario conoscere l’altezza d’acqua h c in corrispondenza di tale sezione. Essendo h c = aC c , il calcolo e` immediato se e` noto il valore del coefficiente di contrazione. Dalla 13.72, noto il coefficiente di efflusso, si ottiene l’equazione di secondo grado in C c

Cc2

  aCc −µ 1+ =0 h 2

la cui radice positiva fornisce C c = 0,61. Pertanto, essendo h c = 0,3 × 0,61 = 0,183 m, la velocita` in corrispondenza della sezione contratta risulta

Vc =

q 1,04 = = 5,68 m/s hc 0,183

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti a superficie libera

67

13.103 Calcolare la percentuale di energia meccanica della corrente dissipata in un risalto, a monte del quale la corrente ha un’altezza di 45 cm e una velocita` media di 8 m/s.

1E

Analisi Nell’ipotesi che il canale sia a sezione rettangolare, essendo 8 V1 =√ Fr1 = √ = 3,81 gh 9,81 × 0,45 per la 13.66, l’altezza coniugata di valle e`



h2 =

h1 −1 + 2

q



1 + 8Fr21 =

 p 0,45  × −1 + 1 + 8 × 3,812 = 2

= 2,21 m Per la 13.69, la frazione di energia dissipata e`

    0,45 3 Fr21 h 1 3 3,812 × 1+ 1+ 1E 2 h2 2 2,21 =1− = 1 −  =   2 E1 0,45 3,812 h1 Fr1 × 1+ 1+ 2,21 2 h2 2 = 0,369

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V1 = 8 m/s

h2

h1 = 0,45 m

1

2

V2

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68 Capitolo 13

13.104 Dal serbatoio a monte di una diga viene sfiorata acqua la 1E

V2 h2 = 4 m

V1 h1 = 0,5 m 1

2

cui energia in eccesso viene dissipata attraverso un risalto idraulico che porta l’altezza della corrente da 0,50 m a 4 m. Calcolare la velocita` della corrente a monte e a valle del risalto e la potenza meccanica dissipata per unita` di larghezza.

Analisi Essendo, rispettivamente, h 1 = 0,50 m e h 2 = 4 m le altezze coniugate di monte e di valle, dalla 13.66, esplicitando il numero di Froude Fr1 , si ha

v " # v # u " u 2 2 u 1  2h 2 u1 2 × 4 Fr1 = t +1 −1 =t +1 −1 = 8 h1 8 0,5 = 6,00 Per la 13.6, la velocita` V1 della corrente a monte del risalto e`

p p V1 = Fr1 gh 1 = 6,00 × 9,81 × 0,5 = 13,3 m/s ` V1 h 1 = V2 h 2 e a valle, essendo, per la continuita,

V2 = V1

13,3 × 0,5 h1 = = 1,66 m/s h2 4

Per la 13.67, l’energia specifica dissipata nel risalto e`

1E =

(h 2 − h 1 )3 (4 − 0,5)3 = 5,36 m = 4h 1 h 2 4 × 0,5 × 4

Essendo tale quantita` la perdita di energia meccanica per unita` di peso, la potenza meccanica dissipata per unita` di larghezza e` data dal prodotto di tale perdita per il peso di fluido che transita, per unita` di larghezza, nell’unita` di tempo, cioe` per la portata in peso ρgq = ρgh 1 V1 . Essendo la densita` dell’acqua ρ = 1000 kg/m3 , si ha

Pd = ρgh 1 V1 1E = 1000 × 9,81 × 0,5 × 13,3 × 5,36 = = 350 kW

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

13.105 In un canale a sezione rettangolare, largo 3 m, e` inserito uno stramazzo Bazin alto 1,1 m. Calcolare la portata per un valore del carico sullo stramazzo di 0,60 m. Analisi Essendo h s = 0,60 m il carico sullo stramazzo, per la 13.80 il carico efficace e`

h e = h s + 0,0011 = 0,60 + 0,0011 = 0,601 m Per la 13.79, essendo a = 1,1 m l’altezza del petto dello stramazzo, il coefficiente di efflusso risulta

µs = 0,402 + 0,054

he 0,601 = 0,402 + 0,054 × = 0,432 a 1,1

Per la 13.77, essendo b = 3 m la larghezza del canale, si ha

p p Q = µs bh e 2gh e = 0,432 × 3 × 0,601 × 2 × 9,81 × 0,601 = = 2,67 m3 /s

13.106 Si considerino due canali a sezione rettangolare identici, di larghezza pari a 3,6 m. In un canale e` inserito uno stramazzo Bazin, nell’altro uno stramazzo a larga soglia. Entrambi gli stramazzi hanno un’altezza di 60 cm. Calcolare la portata nei due canali, quando l’altezza della corrente a monte degli stramazzi e` 1,5 m.

Analisi Il carico h s sui due stramazzi e` uguale ed e` pari alla differenza tra l’altezza della corrente a monte e l’altezza del petto dello stramazzo Bazin o della soglia. Per cui,

h s = 1,5 − 0,60 = 0,90 m Nel caso dello stramazzo Bazin, per la 13.80 il carico efficace e`

h e = h s + 0,0011 = 0,90 + 0,0011 = 0,901 m Per la 13.79, essendo a = 0,60 m l’altezza del petto dello stramazzo,

µs = 0,402 + 0,054

he 0,901 = 0,402 + 0,054 × = 0,483 a 0,60

per cui, per la 13.77, essendo b = 3,6 m la larghezza del canale, la portata risulta

p p Q = µs bh e 2gh e = 0,483 × 3,6 × 0,901 × 2 × 9,81 × 0,901 = = 6,59 m3 /s Nel caso dello stramazzo a larga soglia, per la 13.91 si ha

p p Q = µs bh s 2gh s = 0,385 × 3,6 × 0,90 × 2 × 9,81 × 0,90 = = 5,24 m3 /s

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Correnti a superficie libera hs H 0,60 m

a = 1,10 m

69

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70 Capitolo 13

H=2m

F2 F2

k i = 0,01

h0

13.107 Da un lago si stacca con imbocco ben raccordato un canale a sezione rettangolare in cemento lisciato (c = 90 m1/3 /s), largo 3 m, con pendenza del fondo dell’1%. La quota della superficie libera del lago rispetto al fondo della sezione di imbocco del canale e` di 2 m. Calcolare la portata defluente nel canale e definire l’andamento del profilo del pelo libero.

Analisi Essendo l’imbocco del canale (incile) ben raccordato, nella prima sezione del canale la corrente ha la stessa energia del liquido in quiete nel lago. Pertanto, essendo H = 2 m la quota della superficie libera del lago rispetto al fondo della sezione di imbocco, b la larghezza del canale, Q la portata e h , V e A, rispettivamente, l’altezza della corrente, la velocita` media e l’area della sezione, si ha

H =h+

1 V2 =h+ 2g 2g



Q bh

2

L’ulteriore legame tra portata e altezza d’acqua nella sezione di imbocco dipende dal carattere cinematico della corrente che si stabilisce nell’alveo. Infatti, se l’alveo risulta a debole pendenza, la corrente di moto ` quindi, uniforme e` lenta e, pertanto, e` governata da valle e non puo, essere influenzata dalla presenza del lago a monte. Pertanto, nell’alveo, supposto indefinito verso valle, si stabilisce ovunque moto uniforme. All’equazione dell’energia va, quindi, associata l’equazione del moto uniforme 13.40. Per cui, il problema e` retto dal sistema costituito dalle due equazioni

   Q 2 1    H = h + 0   2g bh 0   √   Q=c i

(bh 0 )5/3 (b + 2h 0 )2/3

Se, invece, l’alveo risulta a forte pendenza, la corrente uniforme e` una corrente veloce e, quindi, e` influenzata da monte, cioe` dall’imbocco, dove, provenendo la corrente dalla quiete, si stabilisce lo stato critico, come nel passaggio da un alveo a debole pendenza ad uno a forte pendenza (vedi Figura 13.34). Nel canale si stabilisce un profilo di corrente veloce accelerata in alveo a forte pendenza, cioe` un profilo del tipo F2, che tende asintoticamente a raggiungere l’altezza di moto uniforme all’infinito a valle. Pertanto, in tal caso, all’equazione dell’energia va associata l’equazione 13.9 che esprime la condizione di stato critico per un canale a sezione rettangolare. Il ` quindi, retto dal sistema costituito dalle due equazioni problema e,

 Vc2 k 3   H = k + =k+ = k    2g 2 2  s   3 Q2    k =  gb2

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Correnti a superficie libera

la cui soluzione e` immediata. Ricavando, infatti, la portata dalla seconda e introducendovi la prima, si ha

2 Q = bk gk = b H 3 p

r

p p 2 2 g H = √ bH 2g H = 0,385bH 2g H 3 3 3

relazione uguale alla 13.91 valida per lo stramazzo a larga soglia. Non essendo noto a priori il carattere cinematico della corrente che si stabilisce nel canale, in quanto esso dipende anche dalla portata incognita, e` necessario fare una ipotesi plausibile, in base al valore della pendenza, e, risolto il problema, verificare che l’ipotesi sia corretta. Nel caso in esame, la pendenza e` tale per cui e` molto probabile che il canale risulti a forte pendenza. In tale ipotesi, si ha

p p Q = 0,385bH 2g H = 0,385 × 3 × 2 × 2 × 9,81 × 2 = = 14,5 m3 /s La verifica dell’ipotesi di alveo a forte pendenza richiede il calcolo dell’altezza di moto uniforme e dell’altezza critica. Per la risoluzione dell’equazione del moto uniforme 13.40 si puo` usare un qualunque metodo iterativo o, piu` semplicemente, assegnare ad h 0 valori di tentativo che, se scelti opportunamente, consentono di pervenire alla soluzione abbastanza rapidamente. Procedendo in tal modo, essendo

Q 14,5 2/3 = 1,61 m8/3 A0 Ri0 = √ = √ 90 × 0,01 c i si ottiene

h0 (m)

A0 (m2 )

Cb0 (m)

Ri0 (m)

√ Q/(c i) (m8/3 )

1,00 0,90 0,80 0,82

3,00 2,70 2,40 2,46

5,00 4,80 4,60 4,64

0,600 0,563 0,522 0,530

2,134 1,840 1,555 1,611

per cui si puo` assumere come soluzione il valore h 0 = 0,82 m. Essendo

k=

2 2 H = × 2 = 1,33 m > 0,82 m = h 0 3 3

l’alveo e` a forte pendenza e, pertanto, l’ipotesi e` corretta. Il profilo del pelo libero e` un profilo F2 che parte dall’altezza critica k = 1,33 m e tende asintoticamente a raggiungere l’altezza di moto uniforme h 0 = 0,82 m.

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72 Capitolo 13

13.108 Risolvere l’esercizio precedente, nell’ipotesi che la pendenza del fondo del canale sia dello 0,2%. H=2m

F2

k i = 0,002

h0

Analisi Nel caso in esame, la pendenza e` tale per cui e` molto probabile che il canale risulti a debole pendenza. In tale ipotesi, all’equazione che esprime l’uguaglianza dell’energia tra il liquido in quiete nel lago e la sezione di imbocco, va associata l’equazione del moto uniforme 13.40 in quanto, essendo il canale indefinito verso valle, nel canale si stabilisce il moto uniforme. Per cui, il problema e` retto dal sistema costituito dalle due equazioni

   1 Q 2    H = h0 +   2g bh 0   √   Q=c i

(bh 0 )5/3 (b + 2h 0 )2/3

che va risolto con un metodo iterativo. In particolare, la seconda, dividendo per l’area bh 0 ed elevando al quadrato, diviene



Q bh 0

2

2



=c i

bh 0 b + 2h 0

4/3

Introducendo questa equazione in quella dell’energia, si ottiene

c2 i H = h0 + 2g



bh 0 b + 2h 0

4/3

equazione nella sola incognita h 0 che, considerato che il secondo addendo a secondo membro e` l’altezza cinetica e che tale termine, essendo la corrente lenta, e` piu` piccolo dell’altezza della corrente, puo` essere risolta usando la formula ricorsiva

h 0,i+1

c2 i =H− 2g



bh 0,i b + 2h 0,i

902 × 0,002 =2− × 2 × 9,81  = 2 − 0,826 ×

4/3 = 

3 h 0,i 3 + 2 h 0,i

3 h 0,i 3 + 2 h 0,i

4/3 =

4/3

Assumendo come primo valore quello che si ottiene trascurando il secondo addendo a secondo membro, si ottengono i valori 1,33 1,48 - 1,44 - 1,45 - 1,45, per cui h 0 = 1,45 m. Per la 13.40, la portata e`

Q=c

p (bh 0 )5/3 √ (3 × 1,45)5/3 i = 90 × × 0,002 = 2/3 2/3 (b + 2h 0 ) (3 + 2 × 1,45)

= 14,3 m3 /s

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

Essendo, per la 13.9,

s 3

k=

Q2 = gb2

s 3

14,32 = 1,32 m < 1,45 m = h 0 9,81 × 32

l’ipotesi di alveo a debole pendenza e` corretta. Il profilo e` parallelo al fondo con altezza h 0 = 1,45 m.

Discussione Il fatto che la portata risulti appena inferiore a quella dell’esercizio precedente e` puramente casuale. Infatti, nel caso di corrente lenta, la portata dipende dalla scabrezza e dalla pendenza del canale, variando i quali essa varia notevolmente (finche´ rimane lenta). In particolare, facendo aumentare la pendenza del fondo a partire da un valore molto piccolo, la portata aumenta finche´ raggiunge il valore massimo per un valore della pendenza pari alla pendenza critica. A partire da tale valore della pendenza, nella prima sezione del canale si stabilisce lo stato critico e la portata non aumenta piu` (se non facendo aumentare H o la larghezza b del canale).

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Correnti a superficie libera

73

McGraw-Hill

gli eserciziari di

Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro

MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

CAPITOLO

14 Mc Graw Hill

Education

CAPITOLO

INTRODUZIONE ALLA FLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE

14

SOMMARIO I codici di fluidodinamica computazionale (CFD) sono in continua evoluzione e tendono a diventare di uso sempre piu` comune. Inizialmente, la CFD era un campo riservato agli specialisti in grado di scrivere i codici e di disporre di supercomputer o di computer capaci di grandi prestazioni. Negli ultimi decenni la commercializzazione a un costo ragionevole di diversi codici CFD e, ancor piu` recentemente, la disponibilita` di codici open source, con caratteristiche sempre piu` sofisticate e interfacce user-friendly per personal computer, hanno ampliato fortemente il numero di coloro che la utilizzano abitualmente. Come mostrato in ` una griglia scadente, l’erraquesto capitolo, pero, ta identificazione del regime di moto, condizioni al contorno inappropriate e/o un qualunque altro tipo di errore possono condurre a soluzioni che non sono fisicamente corrette. Pertanto, e` fondamentale che chi usa la CFD abbia solide nozioni dei fondamenti della meccanica dei fluidi e che, in tutti i casi in cui e` possibile, i risultati siano validati tramite il confronto con dati sperimentali. Con l’adozione di queste cautele, la CFD e` sicuramente uno strumento di grande aiuto per la risoluzione di svariati problemi di tipo applicativo. Per evidenziare le problematiche relative alla scelta della griglia, delle condizioni al contorno e delle ipotesi assunte a base delle varie simulazioni, sono esaminati diversi esempi di simulazioni di casi di moto laminare e turbolento. Per il moto laminare di un fluido incomprimibile, la fluidodinamica computazione fornisce risultati eccellenti, anche nel caso di moto vario con distacco del mo-

to. Di fatto, le soluzioni CFD per il moto laminare sono “esatte” nel senso che la loro correttezza e` limitata solo dalla risoluzione della griglia e dalle condizioni al contorno. ` Molti casi di interesse applicativo sono, pero, di moto turbolento. La simulazione numerica diretta (DNS) dei campi di moto turbolento anche complessi ha grandi potenzialita` e algoritmi ormai ben collaudati per risolvere le equazioni del moto (equazione di continuita` e equazioni di Navier-Stokes). Purtroppo, la risoluzione di tutte le piccole scale di un moto turbolento ad alti numeri di Reynolds richiede computer piu` veloci di diversi ordini di grandezza rispetto anche alle piu` potenti macchine oggi disponibili. Nella pratica ingegneristica si usano, pertanto, modelli di turbolenza, cioe` equazioni di trasporto semiempiriche che consentono di modellare (invece di risolvere) il mescolamento e la turbolenza aggiuntivi causati dai vortici turbolenti. Anche con questi modelli, bisogna accertarsi che la griglia sia sufficientemente fitta e che le condizioni imposte al contorno siano le piu` appropriate, anche se, comunque, indipendentemente da quanto e` fitta la griglia o appropriate le condizioni al contorno, i risultati di una simulazione di moto turbolento sono accettabili nella misura in cui sia valido, per quel particolare problema, il modello di turbolenza usato. Infatti, nessun modello di turbolenza e` applicabile indifferentemente a qualunque moto turbolento. Cio` nonostante, tali modelli forniscono risultati accettabili per molti problemi di tipo applicativo.

2

Capitolo 14

Y. C ¸ engel, J. Cimbala - per l’edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro

Sono mostrati anche esempi di applicazione della CFD a casi di moto di fluidi comprimibili e a casi di moto a superficie libera. In tutti i casi emerge, comunque, l’importanza che sull’affidabilita` dei risultati hanno la scelta di un dominio di calcolo appropriato, di condizioni al contorno che rispecchino la realta` fisica, di una griglia sufficientemente fitta e adeguata alle caratteristiche del campo di moto, di modelli e approssimazioni appropriate.

Poiche´ i computer continuano a diventare piu` veloci e potenti, non si puo` dubitare del fatto che la CFD assumera` un ruolo sempre piu` importante nel progetto e nell’analisi di problemi di tipo applicativo anche molto complessi. Quanto esposto in questo breve capitolo ha, comunque, il solo scopo di aprire uno spiraglio sul complesso e affascinante mondo della fluidodinamica computazionale, con la speranza che possa spronare ad approfondirne la conoscenza.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

SOLUZIONI Introduzione, generazione della griglia e condizioni al contorno 14.1 Per simulare il moto laminare di un fluido newtoniano incomprimibile in un campo bidimensionale ( x,y ), in assenza di effetti di superficie libera, viene usato un codice CFD, imponendo le condizioni al contorno appropriate. Elencare le variabili incognite del problema e le corrispondenti equazioni utilizzate per la soluzione.

Analisi In questo tipo di problema ci sono solo tre incognite: vx , v y e p (o p 0 ). Oltre a opportune condizioni al contorno, sono necessarie, pertanto, tre equazioni: l’equazione di continuita` e le equazioni del moto (equazioni di Navier-Stokes) in direzione x e in direzione y .

Discussione Il codice di calcolo risolve le equazioni differenziali scritte in forma discretizzata.

14.2 Scrivere una definizione di poche righe, facendo anche qualche esempio, per ciascuna delle seguenti voci: (a) dominio di calcolo, (b) griglia, (c) equazione di trasporto, (d) equazioni accoppiate. Analisi (a)

Un dominio di calcolo e` una regione dello spazio (bi- o tridimensionale) nella quale vengono risolte numericamente le equazioni del moto. Il contorno di un dominio 2D e` costituito da tre o piu` lati, quello di un dominio 3D da 4 o piu` facce. Sul contorno del dominio debbono essere imposte opportune condizioni al contorno.

(b)

La griglia di calcolo viene ottenuta dividendo il dominio in minuscole celle. Ogni cella puo` essere considerata come un piccolissimo volume di controllo per il quale vengono risolte le equazioni di conservazione in forma discretizzata.

(c)

Un’equazione di trasporto e` una equazione differenziale che rappresenta il modo in cui una proprieta` viene trasportata all’interno del campo di moto. In meccanica dei fluidi, le equazioni di trasporto sono anche equazioni di conservazione. Ad esempio, l’equazione di continuita` e l’equazione di Navier-Stokes sono equazioni differenziali che rappresentano il trasporto e la conservazione, rispettivamente, della massa e della quantita` di moto.

(d)

Due equazioni sono accoppiate se almeno una delle incognite appare in entrambe, per cui non possono essere risolte sepa` questo il caso della meccanica dei fluidi, dove, ratamente. E per esempio, nell’equazione di continuita` e nelle equazioni di ` Navier-Stokes appare ciascun componente della velocita.

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Introduzione alla CFD

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Capitolo 14

14.3 Qual e` la differenza tra un nodo e un lato e che relazione hanno essi con le celle? Nella Figura 14.E3, quanti nodi e quanti lati ci sono su ciascun lato del dominio?

Analisi Si chiamano nodi i vertici delle celle. Sono, quindi, i punti Figura 14.E3

di intersezione di 2 o piu` lati nel caso di un dominio 2D e i punti di intersezione di 3 o piu` facce nel caso 3D. In un dominio bidimensionale, i lati sono i segmenti che delimitano le celle e ne costituiscono il contorno. Il dominio di figura ha 6 nodi e 5 lati (celle) sui lati di contorno superiore e inferiore e 5 nodi e 4 lati (celle) sull’altra coppia di lati.

14.4 Per il semplice dominio bidimensionale della Figura 14.E3, mantenendo invariata la distribuzione dei nodi, schematizzare una griglia strutturata a celle quadrangolari e una griglia non strutturata a celle triangolari. Da quante celle risulta formata ciascuna delle due griglie? Commentare.

Analisi

(a) griglia strutturata

(b) griglia non strutturata La griglia strutturata risulta formata da 5 × 4 = 20 celle; quella non strutturata ha 36 celle.

Discussione La griglia non strutturata di figura e` solo una delle infinite griglie che si possono costruire; pertanto, forma, dimensioni e numero di celle possono variare considerevolmente.

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Meccanica dei fluidi - 3a ed. - Soluzioni degli esercizi

14.5 Per il semplice dominio bidimensionale della Figura 14.E3, mantenendo invariata la distribuzione dei nodi, schematizzare una griglia strutturata a celle quadrangolari e una griglia non strutturata poligonale nella quale vi siano almeno una cella triangolare, almeno una cella quadrangolare e almeno una cella pentagonale, cercando di evitare celle troppo distorte. Da quante celle risulta formata ciascuna delle due griglie? Commentare.

Analisi

(a) griglia strutturata

(b) griglia non strutturata

(c) griglia non strutturata

(d) griglia non strutturata Anche mantenendo invariata la distribuzione dei nodi, una griglia non strutturata poligonale puo` assumere numerose configurazioni. La griglia strutturata e` formata da 5 × 4 = 20 celle. Le griglie poligonali (b), (c) e (d) hanno, rispettivamente 22, 21 e 18 celle triangolari, quadrangolari e pentagonali. La presenza delle celle poligonali comporta una notevole riduzione del numero di celle rispetto alle 36 celle triangolari dell’esercizio precedente. Ridurre il numero di celle e` particolarmente opportuno quando si dispone di computer di capacita` limitate.

Discussione Pur mantenendo invariata la distribuzione dei nodi sul contorno, e` possibile costruire un grande numero di griglie aventi forma, dimensioni e numero di celle estremamente variabili.

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Capitolo 14

14.6 Elencare e commentare le otto fasi della simulazione CFD del moto permanente laminare di un fluido.

Analisi Le fasi della simulazione CFD, nell’ordine presentato nel testo, sono: 1.

scelta del dominio e generazione della griglia di calcolo;

2.

assegnazione delle condizioni al contorno;

3.

definizione delle proprieta` fisiche del fluido;

4.

scelta dei parametri numerici e degli algoritmi di risoluzione;

5.

definizione delle condizioni iniziali;

6.

svolgimento del processo iterativo;

7.

restituzione dei risultati;

8.

calcolo delle proprieta` globali.

Discussione L’ordine di alcune fasi (in particolare, di quelle comprese tra la 2 e la 5) puo` essere scambiato.

14.7 Per simulare il moto tra due lastre piane parallele indefinite

dominio di calcolo imbocco

Figura 14.E7

sbocco

al cui interno e` inserito un cilindro, anch’esso di lunghezza indefinita, si sceglie il dominio di calcolo schematizzato nella Figura 14.E7. Spiegare il motivo per cui, nel dominio di calcolo, lo sbocco deve essere posto a una distanza dal cilindro maggiore di quella dell’imbocco.

Analisi Nel moto di un fluido attorno a un corpo tozzo, a valle del corpo si ha distacco di vena e formazione di una scia nella quale si ha inversione del moto e rilascio di vortici. Pertanto, a valle dell’ostacolo, il dominio deve essere esteso per una lunghezza sufficientemente maggiore di quella della zona interessata da inversione del moto. ` per A monte del corpo, invece, non si verifica nulla di tutto cio, ` cui e sufficiente che il dominio abbia inizio a una distanza dal corpo pari a 2-3 volte la dimensione caratteristica dell’ostacolo. Lo sbocco dista, quindi, dall’ostacolo ben piu` di quanto ne disti l’imbocco.

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14.8 Evidenziare brevemente l’importanza che ciascuna delle seguenti voci ha in una simulazione CFD: (a) condizioni iniziali, (b) residui, (c) numero di iterazioni, (d) postprocessing. Analisi (a)

In una simulazione CFD, le equazioni differenziali che reggono il fenomeno, scritte in forma discretizzata, vengono risolte iterativamente per ciascuna cella del dominio. Il processo iterativo ha inizio assegnando dei valori iniziali a tutte le variabili incognite. In un moto permanente tali condizioni iniziali ´ se il processo conpossono essere del tutto arbitrarie, perche, verge, esse non hanno alcuna influenza sulla soluzione, ma, eventualmente, solo sulla maggiore o minore rapidita` di convergenza e, in definitiva, sul tempo di calcolo. Nel caso di problemi di moto vario, invece, il fenomeno dipende dalle condizioni iniziali e, pertanto, perche´ la soluzione sia corretta esse debbono essere note.

(b)

Il residuo e` una misura di quanto differiscono dai valori “esatti” i valori che le variabili assumono in una generica iterazione. Il residuo si calcola portando tutti i termini di ciascuna equazione a primo membro e calcolando il valore che le funzioni assumono per tali valori delle variabili. Se i valori delle variabili fossero quelli ”esatti” le funzioni risulterebbero nulle cos`ı come la loro somma, detta, appunto, ”residuo”. Si dice che il metodo iterativo ”converge” verso la soluzione se il residuo risulta via via decrescente. In caso contrario si dice che il metodo ”diverge”.

(c)

Il processo iterativo risulta tanto piu` rapidamente convergente quanto minore e` il numero di iterazioni necessario, cioe` il numero di aggiustamenti che le variabili debbono subire per ` il processo iterativo si arrivare al valore ”esatto”. In realta, arresta quando il residuo raggiunge un valore sufficientemente piccolo e tale da far ritenere che la soluzione cos`ı ottenuta sia accettabile, cioe` che differisca da quella ”esatta” di quantita` trascurabili. Tanto piu` grande e` il numero di iterazioni, tanto maggiore e` il tempo di calcolo.

(d)

Il postprocessing e` la fase, successiva al raggiungimento della soluzione, destinata all’elaborazione dei risultati in modo da restituirli in forma facilmente comprensibile e, quindi, principalmente, in forma grafica. In tale fase vengono elaborati, per esempio, i grafici che riproducono i campi di velocita` e di pressione o i calcoli delle proprieta` globali o di altre grandezze, quali ad esempio la vorticita` ecc. La fase di postprocessing e` molto meno onerosa, in termini di impegno della CPU, del ´ processo iterativo in se.

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Capitolo 14

14.9 Illustrare sinteticamente in che modo si riesce a velocizzare il processo iterativo usando: (a) il multigridding e (b) lo pseudointervallo temporale di integrazione.

Analisi (a)

Il multigridding consiste nel pervenire alla soluzione utilizzando griglie di calcolo dapprima grossolane e poi, via via, piu` fitte. In tal modo, il processo di convergenza viene velocizzato. Infatti, la griglia grossolana fornisce rapidamente le caratteristiche principali del campo di moto, cioe` l’ordine di grandezza delle variabili. Tali valori, assunti come valori iniziali della griglia piu` fitta, consentono di pervenire alla soluzione in tempi di calcolo piu` ridotti.

(b)

Alcuni codici CFD pervengono alla soluzione di un problema di moto permanente considerandola come lo stato a cui il moto tende nel tempo partendo da uno stato arbitrario. Pertanto, il problema viene studiato come un problema di moto vario, usando uno pseudo-intervallo temporale di integrazione. Poiche´ il moto e` di fatto permanente, all’aumentare del “tempo” il campo di moto tende a raggiungere la configurazione di moto permanente. In alcuni casi, questa tecnica consente di raggiungere piu` rapidamente la soluzione.

Discussione Esistono altri “trucchi” per velocizzare il processo iterativo, che, spesso, richiede lunghi tempi di calcolo.

14.10 Elencare le condizioni al contorno applicabili sul lato destro del dominio di calcolo bidimensionale schematizzato in Figura lato sul quale specificare le condizioni al contorno

Figura 14.E10

´ 14.E10, specificando anche quali sono quelle non applicabili e perche.

Analisi Il lato indicato in figura puo` essere una parete, un imbocco o uno sbocco per cui e` possibile applicare le condizioni alla parete, le condizioni di imbocco relative alla velocita` o alla pressione e le condizioni di sbocco relative alla pressione. Potrebbe essere applicabile anche la condizione di simmetria. Infatti, dal punto di vista numerico, poiche´ dove sussiste la condizione di simmetria sono posti pari a zero i gradienti delle variabili nella direzione normale, non vi e` alcun motivo matematico perche´ sul lato curvo in questione non possa essere imposta la condizione di simmetria. ` una forzatura immaginare una situazione reale nella Sarebbe, pero, quale un lato curvo come quello di figura costituisca una condizione di simmetria. Le condizioni al contorno non applicabili sono le condizioni di periodicita` e le condizioni all’interno. Infatti, il lato curvo in questione non puo` essere periodico perche´ non c’e` un altro lato del contorno del dominio che ha la stessa forma. Quanto alle condizioni all’interno, non possono, ovviamente, essere imposte su un lato che appartiene al contorno del dominio.

Discussione Condizioni al contorno corrette non garantiscono risultati significativi dal punto di vista fisico.

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14.11 Qual e` il metodo standard per la verifica dell’adeguatezza della risoluzione della griglia?

Analisi Il metodo standard consiste nel ripetere la simulazione aumentando la risoluzione della griglia (possibilmente, di un fattore 2 in ogni direzione). Se i risultati non cambiano in maniera apprezzabile, la griglia originaria puo` ritenersi adeguata. Se, invece, le differenze fra le due soluzioni sono apprezzabili, e` probabile che la risoluzione della griglia originaria sia inadeguata. In tal caso, bisogna provare ripetutamente con griglie sempre piu` fitte fino a che due soluzioni successive non risultino praticamente identiche.

Discussione Bisogna sempre aver ben presente che, se non si specificano correttamente le condizioni al contorno o se non viene impiegato un modello di turbolenza appropriato al tipo di moto da simulare, non basta usare una griglia sufficientemente fitta a garantire che la soluzione sia corretta dal punto di vista fisico.

14.12 Per simulare il moto di aria incomprimibile in corrispondenza dei gomiti di una condotta rettangolare bidimensionale, si sbocco sceglie un dominio di calcolo formato da quattro blocchi (Figura 14.E12). La corrente entra nel blocco 4 dal lato superiore ed esce dal blocco 1 dal lato sinistro. Sono note la velocita` Vi all’imbocco e la pressione ps allo sbocco. Elencare le condizioni al contorno da imporre ai lati di ogni blocco.

Analisi All’imbocco e` fissata la velocita` e allo sbocco la pressione. Tutti gli altri lati che delimitano il dominio sono pareti. I tre lati che separano i blocchi devono essere considerati interni, come indicato in figura. pressione nota parete

parete sbocco ps

imbocco

interno

Vi

velocità nota

parete

parete interno

parete interno parete

Discussione Condizione necessaria per la correttezza di una simulazione e` che ciascuna condizione al contorno venga specificata correttamente.

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blocco 1 ps

Figura 14.E12

imbocco Vi blocco 2 blocco 4 blocco 3

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10 Capitolo 14 p+∆p sbocco

14.13 Mantenendo invariate le altre condizioni al contorno, per

p

simulare la presenza di un ventilatore, in corrispondenza del lato imbocco comune ai blocchi 1 e 2 del dominio di Figura 14.E12, si impone un

blocco 1 ps ventilatore

Vi blocco 2 blocco 4 blocco 3

Figura 14.E13

brusco aumento della pressione. Rispetto al caso senza ventilatore, ´ E cosa la pressione all’imbocco aumenta o diminuisce? Perche? ´ accade alla velocita` allo sbocco? Perche?

Analisi Rispetto al caso senza ventilatore, rimanendo invariata la pressione allo sbocco (uguale a quella dell’ambiente circostante) e` praticamente invariata anche quella subito a valle del ventilatore, che e` maggiore di quella allo sbocco solo della caduta di pressione che si ha nel breve tratto del blocco 1. Invece, se 1p e` l’aumento di pressione causato dal ventilatore, subito a monte del ventilatore la pressione deve essere inferiore di 1p a quella esistente nel caso senza ventilatore. Conseguentemente, anche all’imbocco la pressione dovra` avere un valore inferiore. Poiche´ la velocita` all’imbocco rimane la stessa in entrambi i ` per ipotesi, casi, la portata di massa (e di volume, poiche´ il fluido e, incomprimibile) deve essere la stessa in entrambi i casi. Pertanto, anche allo sbocco la velocita` rimane invariata.

Discussione Il risultato e` condizionato dall’avere mantenuto invariata la condizione all’imbocco. Eliminando tale vincolo che, in ` la presenza del ventilatore faeffetti, nelle situazioni reali non c’e, rebbe diminuire la pressione all’imbocco e aumentare la velocita` (all’imbocco come allo sbocco).

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14.14 Per simulare il moto attorno a un profilo alare con un certo angolo di incidenza, si sceglie un dominio di calcolo di cui la Figura 14.E14 mostra solo la parte in prossimita` del profilo (il dominio di calcolo si estende ben oltre la regione delimitata dalla linea tratteggiata). Schematizzare, all’interno di tale regione, due griglie grossolane, una strutturata a celle quadrangolari e una non strutturata a celle triangolari, infittendole dove opportuno. Illustrare vantaggi e svantaggi di ciascun tipo di griglia.

Analisi A contatto della parete si forma un sottile strato limite, ` Pertanto, all’interno del quale esistono elevati gradienti di velocita. in prossimita` della parete entrambe le griglie devono essere molto fitte e avere celle molto piccole in modo che il campo di moto all’interno dello strato limite possa essere risolto adeguatamente. Nella figura che segue, sono schematizzate due griglie grossolane, entrambe piu` fitte intorno alla parete.

(a) griglia strutturata

(b) griglia non strutturata La griglia strutturata (chiamata griglia a C poiche´ si avvolge attorno al profilo alare come una lettera “C”) consente di ottenere un’alta risoluzione, in prossimita` della parete, con un numero relativamente limitato di celle. La griglia non strutturata e` piu` semplice da generare, specie in domini dalla geometria complessa (in particolare quando esistono superfici a curvatura elevata) e nelle zone di passaggio da superfici ` lo svantaggio di richiedere, curve a superfici piane. Presenta, pero, a parita` di risoluzione, un numero maggiore di celle rispetto ad una griglia strutturata.

Discussione Naturalmente, ci sono numerose altre possibilita` di costruire una griglia attorno al profilo alare in questione.

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Figura 14.E14

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12 Capitolo 14

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14.15 Schematizzare, all’interno della regione dell’esercizio precedente, una griglia ibrida grossolana e illustrare i vantaggi di tale tipo di griglia.

Analisi La griglia ibrida schematizzata in figura e` strutturata in prossimita` della parete e non strutturata lontano da essa.

Una griglia ibrida presenta i vantaggi della griglia strutturata e della griglia non strutturata. In prossimita` della parete, infatti, la griglia strutturata e` sufficientemente fitta da consentire la risoluzione del moto all’interno dello strato limite con un numero ridotto di celle. Invece, allontanandosi dalla parete, la griglia non strutturata consente di aumentare rapidamente le dimensioni delle celle adattandosi meglio alla forma del dominio di calcolo, in particolare in vicinanza di spigoli.

Discussione In genere, conviene scegliere una griglia strutturata. ` spesso, piu` conveniente di una griglia non Una griglia ibrida e, strutturata.

14.16 All’imbocco di un campo di moto puo` essere fissata la velocita` o la pressione. Qual e` la differenza? Perche´ non e` possibile fissare entrambi i valori?

Analisi I valori che la pressione e la velocita` assumono in una sezione sono legati fra di loro dall’equazione del moto, per cui, fissato che sia l’uno, l’altro e` univocamente determinato. Quindi, se in corrispondenza di un imbocco viene fissata la pressione, non e` ` e viceversa. Per tale motivo, se possibile fissare anche la velocita, in un imbocco (o in uno sbocco) viene fissata la pressione, il codice CFD automaticamente fornisce la velocita` in corrispondenza di quel ` il codice fornisce la contorno. Analogamente, se si fissa la velocita, pressione.

Discussione Fissare entrambi i valori comporterebbe delle incongruenze, in corrispondenza di quella porzione del contorno, dovute al mancato rispetto dell’equazione del moto.

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14.17 Elencare sei delle condizioni al contorno usate per risolvere problemi di moto di fluidi incomprimibili. Di ciascuna, fare una breve descrizione e un esempio.

Analisi Le condizioni al contorno considerate nel testo sono le seguenti: -

Asse. Condizione che, nei campi di moto a simmetria assiale, consente di studiare il moto in sole due dimensioni. La soluzione si ottiene immaginando di far ruotare il dominio piano attorno all’asse di simmetria. Esempio: tutti i corpi a simmetria assiale (cilindro, siluro ...).

-

Ventilatore. Condizione con la quale, in corrispondenza di una faccia (o lato) interna, si impone una brusca variazione della pressione. Esempio: la sezione di una tubazione in pressione in corrispondenza della quale e` inserito un ventilatore.

-

Interno. Condizione che si impone, nei domini multiblocco, in corrispondenza dell’interfaccia tra due blocchi con la quale il fluido viene forzato ad attraversare la faccia (o il lato) comune ai due blocchi senza subire alcuna variazione, cos`ı come avviene nel passaggio da una cella interna a una adiacente. Esempio: tutti i casi in cui sono presenti griglie multiblocco, all’interfaccia tra qualunque coppia di blocchi.

-

Efflusso. Condizione allo sbocco con la quale velocita` e, se necessario, turbolenza e temperatura vengono forzate ad avere gradiente nullo nella direzione normale a quella dello sbocco. Esempio: la sezione di sbocco di una tubazione sufficientemente lunga perche´ il moto vi si possa ritenere uniforme, cioe` con velocita` costante lungo ciascuna traiettoria.

-

` Condizione che, nei casi in cui il dominio di calcolo Periodicita. e` costituito da parti che si ripetono identicamente, consente di prendere in esame solo una di tali parti. In tal caso, si impone che il fluido attraversi ciascuna di queste parti con identiche ` pressione, temperatura ecc.). proprieta` (velocita, Esempio: uno scambiatore di calore costituito da diverse file di ` tubicini sfalsate con regolarita.

-

Pressione all’imbocco. Condizione con la quale viene fissata ` all’imbocco. la pressione (ma non la velocita) Esempio: la camera di prova ad alta pressione di una galleria del vento di tipo intermittente.

-

Pressione allo sbocco. Condizione con la quale viene fissata la ` allo sbocco. pressione (ma non la velocita) Esempio: la sezione di sbocco in atmosfera di una tubazione in pressione.

-

Simmetria. Condizione con la quale le variabili di campo vengono forzate ad avere valori speculari rispetto a un piano di simmetria. In corrispondenza di tale piano, vengono eguagliati a zero i gradienti di tutte le variabili nella direzione normale

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14 Capitolo 14

a quella del piano. Il fluido non puo` attraversare un piano di simmetria. Esempio: nel moto di un fluido che investe un cilindro, il piano mediano rispetto al quale la meta` inferiore del campo di moto e` l’immagine speculare della meta` superiore. -

Velocita` all’imbocco. Condizione con la quale viene fissata la velocita` (ma non la pressione) all’imbocco. Esempio: la sezione di ingresso nel campo di moto di una corrente a velocita` costante.

-

Parete. Condizione con la quale viene imposta la condizione di aderenza, cioe` di velocita` relativa nulla, (o un’altra condizione relativa al valore dello sforzo tangenziale) su quelle parti del contorno che non sono attraversate da fluido. Esempio: la superficie di un profilo alare investito da un fluido o la parete di una tubazione in pressione.

Discussione Per ottenere una soluzione accurata, devono essere usate condizioni al contorno appropriate. Si possono applicare diversi tipi di condizioni al contorno; quelle sopra elencate sono le piu` importanti.

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14.18 Il moto di un fluido incomprimibile all’interno del dominio considerato nell’Esercizio 14.7 viene simulato con un modello di

imbocco In

turbolenza, ipotizzando che il moto sia stazionario (permanente Vi in media) e che vi sia simmetria rispetto al piano mediano (Figura 14.E18). Sono note la velocita` Vi all’imbocco e la pressione ps allo Figura 14.E18 sbocco. Generare una griglia a blocchi (non piu` di sei o sette blocchi quadrangolari) e schematizzare una griglia grossolana a celle quadrangolari, avendo cura di infittirla in prossimita` delle pareti e di evitare la presenza di celle molto distorte. Definire, inoltre, le condizioni al contorno da imporre ai lati di ogni blocco.

Analisi Grazie alla simmetria rispetto al piano mediano, si puo` considerare solo la meta` del dominio. Come indicato nella figura che segue, conviene suddividere la zona attorno al cilindro in quattro blocchi, per passare dalla forma circolare a quella rettangolare, e aggiungere altri due blocchi rettangolari, uno a monte e l’altro a valle del cilindro. La griglia strutturata grossolana a celle quadrangolari schematizzata in figura e` piu` fitta in prossimita` delle pareti sia del cilindro che della lastra e non ha celle molto distorte. blocco 3

blocco 1

blocco 4

blocco 2 blocco 5 piano di simmetria

blocco 6

Le condizioni al contorno sono riportate nella figura successiva. Sul contorno inferiore del dominio vige la condizione di simmetria, su quello superiore cos`ı come sul contorno che delimita il cilindro vige la condizione di parete. L’imbocco e` a velocita` nota, mentre allo sbocco e` fissata la pressione. All’interno, vi sono cinque interfacce tra blocchi. parete

parete

interno

interno

imbocco (velocità nota)

sbocco (pressione nota)

simmetria

parete

simmetria

Discussione Volendo risolvere in maniera piu` adeguata il moto all’interno dello strato limite a contatto della parete superiore, conviene introdurre, come indicato nella figura in basso, un ulteriore blocco (7) che si sviluppa, lungo il contorno superiore, per tutta la sua lunghezza. blocco 3

blocco 1

blocco 4

blocco 2 blocco 5 piano di simmetria

blocco 7

blocco 6

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sbocco Out piano di simmetria

ps

16 Capitolo 14

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14.19 Il moto di un fluido incomprimibile nel dominio schematizzato nella Figura 14.E19 viene simulato con un modello di turbolenza, ipotizzando che il moto sia stazionario (permanente in media) e che vi sia simmetria rispetto al piano mediano. Sono note la velocita` Vi all’imbocco e la pressione ps allo sbocco. Generare una griglia a blocchi e schematizzare una griglia grossolana a celle quadrangolari, avendo cura di infittirla in prossimita` delle pareti e di evitare la presenza di celle molto distorte. Definire, inoltre, le condizioni al contorno da imporre ai lati di ogni blocco. piano di simmetria imbocco

sbocco

Vi

ps

Figura 14.E19

Analisi Per la simmetria, basta considerare solo meta` del dominio. Come indicato in figura, conviene suddividere la zona semicircolare in un blocco centrale rettangolare avente ciascuno dei tre lati interni comune a un blocco con un lato curvo. Sia a monte che a valle della zona semicircolare, e` sufficiente aggiungere un solo blocco con un lato curvo. La griglia grossolana a celle quadrangolari e` leggermente piu` fitta in prossimita` delle pareti e non ha celle molto distorte. Le celle sono infittite anche in prossimita` dell’interfaccia tra i blocchi 1 e 2 e i blocchi 4 e 5, dove si potrebbe avere distacco del moto. blocco 3

blocco 2

blocco 4

blocco 1

blocco 5

blocco 6 piano di simmetria

Come indicato nella figura che segue, sul contorno inferiore vige la condizione di simmetria, mentre su quello superiore e sul contorno che delimita il cilindro vige la condizione di parete. L’imbocco e` a velocita` nota, mentre allo sbocco e` nota la pressione. All’interno, vi sono sette interfacce tra blocchi. parete

parete interno sbocco (pressione nota) interno

interno imbocco (velocità nota}

simmetria

simmetria

Discussione Naturalmente, la suddivisione in blocchi puo` essere effettuata anche in altro modo.

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14.20 Dovendo utilizzare un codice CFD che e` in grado di gestire solo griglie composte da blocchi elementari, si deve ridisegnare la griglia strutturata multiblocco della Figura 14.E20. Rinumerare i blocchi, specificare quanti lati in i e in j sono contenuti in ciascun blocco elementare, calcolare il numero totale di celle e verificare che, nella trasformazione, tale numero si mantiene invariato.

blocco 3 (5 × 8)

17

blocco 2 (5 × 16)

Analisi L’unico blocco non elementare e` il blocco 2, che pertanto deve essere suddiviso in modo che al blocco 1 corrisponda un solo blocco elementare. Come indicato nella figura sotto riportata, cio` comporta la suddivisione del vecchio blocco 2 in tre blocchi eleblocco 4 mentari (blocchi 2, 3 e 9) e, a catena, la suddivisione del vecchio blocco 6 (5 × 16) (8 × 16) blocco 6 nei blocchi 10, 11 e 12 e la suddivisione del vecchio blocco 4 nei tre blocchi 5, 6 e 7. La nuova struttura multiblocco e` composta, pertanto, da 12 blocchi elementari aventi lo stesso numero Figura 14.E20 complessivo di celle (464) dei 6 blocchi originari.

blocco 10 (4 × 8)

blocco 4 (5 × 8)

blocco 11 (8 × 8)

blocco 3 (5 × 4) blocco 2 (5 × 8)

blocco 5 (8 × 4)

blocco 6 (5 × 8)

blocco 7 (5 × 4)

blocco 9 (5 × 4)

blocco 12 (4 × 8)

blocco 1 (12 × 8)

blocco 8 (5 × 8)

Discussione Anche nei casi in cui si disponga di un codice CFD in grado di gestire griglie multiblocco non elementari, puo` essere conveniente, perche´ piu` facile, creare griglie composte solamente da blocchi elementari.

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blocco 5 (5 × 8)

blocco 1 (12 × 8)

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18 Capitolo 14

14.21 Disponendo di un codice CFD in grado di gestire bloc-

blocco 3 (5 × 8)

blocco 2 (5 × 16)

chi non elementari, mantenendo inalterata la griglia, combinare i blocchi della Figura 14.E20 in modo da ridurne il numero a tre.

Analisi Volendo ridurre a 3 soli blocchi i 6 blocchi del dominio della Figura 14.E20, conviene combinare in un unico blocco i blocchi

blocco 4 (5 × 16)

blocco 6 (8 × 16)

Figura 14.E20

blocco 5 (5 × 8)

blocco 1 (12 × 8)

2, 3, 4 e 5. Si ottiene cos`ı un blocco ad anello che avvolge il quadrato centrale e che e` costituito da 5 × 48 = 240 celle. Come indicato nella figura sotto riportata, complessivamente, la nuova griglia, mantenendo lo stesso numero di 464 celle della griglia originaria, e` costituita solo da tre blocchi non elementari.

blocco 3 (8 × 16)

blocco 1 (12 × 8) blocco 2 (5 × 48)

Discussione I blocchi come il blocco 2 di figura prendono il nome, per ovvi motivi, di griglie a O.

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14.22 In uno scambiatore di calore, di cui la Figura 14.E22 riporta la sezione trasversale, si vuole che a valle di ogni stadio il fluido si mescoli il piu` possibile. Lo scambiatore e` costituito da varie dozzine di tubi rettangolari, disposti parallelamente, inclinati ad alto angolo di incidenza in modo da assicurare il distacco della vena dall’ostacolo e il mescolamento nella scia a valle di esso. Per verificare quale configurazione geometrica fornisca le prestazioni migliori, il campo di moto bidimensionale viene simulato con un modello di turbolenza, ipotizzando che il moto sia stazionario (permanente in media). Schematizzare il dominio di calcolo piu` semplice possibile, tenendo presente che il campo di moto si estende periodicamente verso l’alto e verso il basso della regione rappresentata in figura, e definire le condizioni al contorno.

Analisi Sfruttando la periodicita` della geometria del campo di moto, basta considerare una sola striscia di passaggio tra due tubi contigui. Nella prima delle figure sotto riportate la striscia e` parallela ai tubi e delimitata dai lati inferiori di due tubi adiacenti; nella ` seconda la striscia ha i lati paralleli al vettore velocita.

imbocco (velocità nota)

parete periodico (di "prua")

parete

periodico (di "poppa")

sbocco (pressione nota o efflusso)

parete imbocco (velocità nota)

periodico (di "prua") periodico (di "poppa") parete

sbocco (pressione nota o efflusso)

Le condizioni al contorno sono identiche in entrambi i domini. Sulle parti a contatto con i tubi vige la condizione di parete. Sui contorni periodici superiore e inferiore, a monte (prua) e a valle (poppa) dei tubi, si impongono due diverse coppie di condizioni di periodicita` di tipo traslazionale. Infine, all’imbocco e` nota la ` mentre allo sbocco si puo` fissare il valore della pressione velocita, o imporre la condizione di efflusso, a seconda delle informazioni disponibili e dell’estensione della zona a valle dei tubi.

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Figura 14.E22

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20 Capitolo 14

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14.23 Per il dominio di calcolo dell’Esercizio 14.22, schematizzare una griglia strutturata multiblocco a blocchi elementari quadrangolari con risoluzione grossolana a celle quadrangolari.

Analisi Se si dispone di un codice CFD che non richiede che la distribuzione dei nodi sia esattamente la stessa per la coppia di lati periodici e che consente di imporre condizioni al contorno diverse su diverse parti del lato di un blocco, la griglia grossolana, con riferimento al dominio della prima figura dell’esercizio precedente, puo` essere quella tracciata nella figura che segue.

blocco 2

blocco 1 blocco 3 blocco 4

blocco 5

In effetti, tale griglia non e` propriamente a blocchi elementari. Infatti, ciascuno dei lati superiori dei blocchi 2 e 3 e` suddiviso in due, in quanto su ciascuna parte vigono condizioni al contorno diverse (una parte del lato e` periodica, mentre l’altra e` una parete). Se, inoltre, come nella maggior parte dei casi, il codice CFD richiede che la distribuzione dei nodi sia esattamente la stessa per la coppia di lati periodici, e` necessario adottare uno schema piu` elaborato, come quello tracciato nella figura sotto riportata, in cui la distribuzione dei nodi sulla coppia di lati periodici e` identica, a spese della maggiore complessita` (8 blocchi anziche´ 5) e della asimmetria piu` elevata. blocco 3 blocco 2

blocco 4

blocco 1

blocco 8

blocco 5 blocco 6 blocco 7

Discussione Nel secondo schema, alcune celle hanno moderata asimmetria, soprattutto in prossimita` dei vertici dei blocchi 2 e 6 e all’interno del blocco 8. Per ridurre l’asimmetria, si puo` adottare uno schema piu` complesso.

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14.24 Nel risolvere il dominio di calcolo dell’Esercizio 14.22, si nota che il codice ha difficolta` a convergere e che c’e` inversione del moto allo sbocco (lato all’estrema destra del dominio). Perche´ c’e` inversione del moto? Cosa bisogna fare per eliminare il problema?

Analisi L’inversione del moto allo sbocco, di solito, e` dovuta all’insufficiente estensione del dominio verso valle. Nel caso in esame, gli elementi rettangolari dello scambiatore sono inclinati di 35° rispetto alla corrente per cui si ha sicuramente distacco del moto e la formazione di grandi vortici di ricircolo nella scia. Per consentire ai vortici di richiudersi e alla corrente di svilupparsi nuovamente, e` necessario aumentare le dimensioni del dominio di calcolo nella direzione del moto verso valle.

Discussione Il verificarsi dell’inversione del moto viene segnalato espressamente da molti codici CFD.

14.25 Scelta la configurazione geometrica migliore per il singolo stadio dello scambiatore di calore dell’Esercizio 14.22, si vuole simulare la configurazione a due stadi. Per favorire il mescolamento, la seconda fila di tubi rettangolari e` sfalsata e inclinata in direzione opposta a quella della prima fila (Figura 14.E25). Schematizzare il dominio di calcolo, tenendo presente che il campo di moto si estende periodicamente verso l’alto e verso il basso della regione rappresentata in figura, e definire le condizioni al contorno.

Analisi Per la periodicita` della geometria del campo di moto, basta considerare una sola striscia di passaggio tra due tubi contigui, come nella figura sotto riportata, nella quale i lati periodici, che possono intersecare i tubi in qualunque punto, sono paralleli al ` vettore velocita. parete imbocco (velocità nota)

periodico (di "prua")

parete

parete periodico (di "poppa")

periodico (di "centro")

sbocco (pressione nota o efflusso)

parete

In figura sono indicate anche le condizioni al contorno. Sulle parti a contatto con i tubi vige la condizione di parete. Sui contorni periodici superiore e inferiore, a monte (prua), nella zona centrale e a valle (poppa) dei tubi, si impongono tre diverse coppie di condizioni di periodicita` di tipo traslazionale. Infine, all’imbocco e` nota la ` mentre allo sbocco si puo` fissare il valore della pressione velocita, o imporre la condizione di efflusso, a seconda delle informazioni disponibili e dell’estensione della zona a valle dei tubi.

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Figura 14.E25

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14.26 Definire la topologia dei blocchi di una griglia strutturata multiblocco a celle quadrangolari per il dominio di calcolo dell’Esercizio 14.25. La griglia deve essere a blocchi elementari quadrilateri. Cercare di realizzare blocchi il piu` possibile rettangolari per evitare celle molto distorte negli spigoli e tenere conto che il codice CFD usato richiede che la distribuzione dei nodi su coppie di lati periodici sia identica (nel processo di generazione della griglia, i due lati di una coppia periodica sono “collegati”).

Analisi Il dominio di calcolo definito nell’esercizio precedente puo` essere suddiviso in blocchi elementari nel modo schematizzato nella figura che segue. Si e` ipotizzato che i lati periodici non possano essere suddivisi in parti su cui vigono condizioni al contorno diverse. La griglia ha 16 blocchi elementari.

1 5

2 4

6

3

16 7 12

15

8 13 11

9

14

10

E` stato necessario suddividere la coppia centrale di lati periodici in due (i lati superiori dei blocchi 6 e 7 e quelli inferiori dei blocchi 9 e 10), ma cio` non costituisce un problema se ciascuna coppia periodica e` costituita da due lati di uguale misura e con lo stesso numero di nodi. Tutti i blocchi sono quasi-rettangolari in modo da avere celle non molto distorte.

Discussione Questa configurazione di blocchi non e` particolar` quindi, piuttosto mente semplice. La generazione della griglia sara, ` comunque, bene speso in quanlaboriosa. Il maggior lavoro sara, to, riducendo l’asimmetria delle celle, e` possibile ridurre il tempo di calcolo e ottenere risultati piu` accurati. Questa configurazione consente anche di infittire le celle in prossimita` delle pareti e nella regione di scia.

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Esercizi CFD Questi esercizi richiedono un codice CFD.

14.27 La Figura 14.E27 riporta lo schema di una biforcazione a Y bidimensionale, con le coordinate dei vertici in metri. Generare tre griglie grossolane, mantenendo invariata la distribuzione dei nodi su tutti i lati del dominio di calcolo: (a) griglia strutturata multiblocco, (b) griglia non strutturata triangolare, (c) griglia non strutturata quadrilatera. Confrontare il numero di celle e valutare la qualita` di ciascuna griglia.

Analisi La prima delle tre griglie riportate nelle figure che seguono

(4,5; 3,5) (5; 3)

(0; 1)

(5; 0,5) (2,5; 0,5) (0; 0)

e` una griglia multiblocco strutturata, costituita da quattro blocchi, Figura 14.E27 per un totale di 1060 celle, tutte con indice di distorsione molto piccolo. La seconda e` una griglia triangolare non strutturata, costituita da un solo blocco di 1996 celle.

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(2; 1)

(5; 0)

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La terza e` una griglia non strutturata quadrilatera, costituita da un unico blocco di 833 celle.

Confrontando le tre griglie, si nota che la griglia non strutturata triangolare ha troppe celle, mentre la griglia non strutturata ` si infittiscono quadrangolare ha il minor numero di celle, che, pero, dove non e` necessario, come in prossimita` degli sbocchi. Per la geometria assegnata, la griglia migliore sembra essere la prima, cioe` la griglia strutturata multiblocco quadrangolare, che ha solo il 27% di celle in piu` rispetto alla griglia non strutturata quadrangolare, ma consente di controllare molto meglio l’infittimento delle celle. In nessuna delle tre griglie ci sono celle con indice di distorsione molto alto.

Discussione Cambiando il codice usato per la generazione della griglia e/o la distribuzione dei nodi sui lati del dominio, si puo` ottenere una grande varieta` di risultati.

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14.28 Scelta una delle griglie generate nell’Esercizio 14.27, eseguire il codice per il moto laminare di aria con velocita` all’imbocco Vi = 0,02 m/s e lo stesso valore di pressione allo sbocco sui due rami. Calcolare la caduta di pressione tra l’imbocco e lo sbocco e la portata in ciascun ramo. Tracciare, inoltre, le linee di flusso.

Analisi Scelta la griglia strutturata multiblocco quadrangolare, con una pressione relativa nulla allo sbocco dei due rami, all’imbocco si ottiene una pressione media di 8,74 × 10−5 Pa. Pertanto, la caduta di pressione attraverso la biforcazione risulta solo di 8,74 × 10−5 Pa (praticamente trascurabile). La figura che segue riporta le linee di flusso. La portata si ripartisce per il 57,8% nel ramo superiore e per il restante 42,2% nel ramo inferiore.

Discussione I tratti a valle risultano sufficientemente lunghi, in quanto non si ha inversione del moto allo sbocco dei due rami. Il moto tende a distaccarsi in corrispondenza dell’angolo superiore sinistro del ramo superiore.

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14.29 Con la stessa griglia dell’Esercizio 14.28, eseguire il codice per aria in moto turbolento con velocita` uniformemente distribuita all’imbocco Vi = 10,0 m/s e lo stesso valore di pressione allo sbocco sui due rami. Usare il modello di turbolenza k– con le leggi di parete, ponendo l’intensita` della turbolenza all’imbocco I = 0,1 e la scala di lunghezza turbolenta l = 0,50D = 0,5 m. Calcolare la caduta di pressione tra l’imbocco e lo sbocco e la portata in ciascun ramo. Tracciare, inoltre, le linee di flusso e confrontare i risultati con quelli di moto laminare dell’Esercizio 14.28.

Analisi Con la stessa griglia dell’esercizio precedente e con una pressione relativa nulla allo sbocco dei due rami, all’imbocco si ottiene una pressione media di 3,295 Pa. Pertanto, la caduta di pressione attraverso la biforcazione risulta di 3,295 Pa, valore significativamente maggiore di quello ottenuto per il moto laminare ` tenuto presente che nel caso nell’esercizio precedente. Va, pero, turbolento la velocita` all’imbocco e` 500 volte maggiore di quella del caso laminare. Le linee di flusso sono tracciate nella figura sotto riportata. La portata che defluisce nel ramo superiore e` il 54,4% del totale, mentre il rimanente 45,6% defluisce nel ramo inferiore. Rispetto al caso laminare, si ha un leggero incremento (il 3,4% del totale) della portata che defluisce nel ramo inferiore. Le linee di flusso, che a prima vista sembrano uguali a quelle del caso laminare, sono caratterizzate, invece, da una spaziatura tra le linee piu` uniforme. Cio` indica che la distribuzione di velocita` e` piu` uniforme (piu` “piena”), come ci si deve attendere in presenza di turbolenza.

Discussione Anche in questo caso, non si ha inversione del moto allo sbocco dei due rami e il moto tende a distaccarsi in corrispondenza dell’angolo superiore sinistro del ramo superiore.

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Degli esercizi che seguono si riporta, per completezza, il testo ma non la soluzione (che richiede un codice CFD), ricordando che, in funzione del codice di generazione della griglia, del codice di calcolo, della scelta del dominio di calcolo ecc. si possono ottenere risultati diversi. 14.30 Definire un dominio di calcolo per studiare lo sviluppo dello strato limite su una lastra piana, per Re = 10 000. Generare una griglia molto grossolana e poi infittirla ripetutamente finche´ la soluzione diventa indipendente dalla griglia. Commentare.

14.31 Ripetere l’Esercizio 14.30 per uno strato limite turbolento, per Re = 106 , e commentare.

14.32 Sul soffitto di una stanza sono collocate una presa d’aria, da cui l’aria entra a velocita` nota, e una bocchetta d’estrazione dalla quale l’aria esce a pressione nota (Figura 14.E32). Simulare il moto ` che il moto sia dell’aria nella stanza, ipotizzando, per semplicita, bidimensionale (stanza infinitamente lunga) e usando una griglia rettangolare strutturata. Tracciare le linee di flusso e il campo di velocita` e commentare.

presa d’aria

bocchetta d’estrazione

pavimento Figura 14.E32

14.33 Ripetere l’Esercizio 14.32 usando una griglia triangolare non strutturata e mantenendo invariato tutto il resto. Si ottengono gli stessi risultati dell’Esercizio 14.32 ? Confrontare i risultati e commentare.

14.34 Ripetere l’Esercizio 14.32 cambiando la posizione delle bocchette. Confrontare i risultati e commentare.

14.35 Generare un dominio di calcolo per studiare il moto di aria comprimibile in un ugello convergente con pressione atmosferica allo sbocco (Figura 14.E35) e resistenze trascurabili. Eseguire diversi calcoli aumentando via via la pressione pi all’imbocco. Per quale valore di pi il moto diviene soffocato? Che succede aumentando ulteriormente la pressione all’imbocco? Commentare.

imbocco (pressione nota)

Figura 14.E35

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sbocco (pressione nota)

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14.36 Ripetere l’Esercizio 14.35 rimuovendo l’ipotesi di resistenze trascurabili. Il moto e` turbolento, le pareti sono lisce e su di esse vale la condizione di aderenza. Confrontare i risultati con quelli dell’Esercizio 14.35 e commentare.

V

14.37 Generare un dominio di calcolo per studiare il moto lamiFr

nare di un fluido incomprimibile attorno a un corpo affusolato infinitamente lungo nella direzione normale al disegno (Figura 14.E37), in modo da potere considerare il moto come bidimensionale, e calcolare il valore del coefficiente di resistenza Cr . Ripetere il calcolo con corpi di forma diversa.

Figura 14.E37

14.38 Ripetere l’Esercizio 14.37 ipotizzando che il corpo sia a sim` Conmetria assiale rispetto ad un asse parallelo al vettore velocita. frontare col caso precedente. In quale dei due casi il coefficiente di resistenza e` piu` basso? Commentare.

14.39 Ripetere l’Esercizio 14.37 nell’ipotesi di moto turbolento. Confrontare col caso laminare. In quale dei due casi il coefficiente di resistenza e` piu` basso? Commentare.

14.40 Generare un dominio di calcolo per studiare onde di Mach

Ma = 2 ?

Figura 14.E40

in un moto supersonico bidimensionale. Il dominio deve avere forma rettangolare con un imbocco supersonico (Ma = 2,0) e una piccola protuberanza sulla parete inferiore (Figura 14.E40). Considerando aria e l’approssimazione di moto non viscoso, generare un’onda di Mach come quella schematizzata. Misurare l’angolo di Mach e confrontarlo con quello teorico (Capitolo 12). Cosa accade quando l’onda di Mach colpisce la parete opposta? Scompare o viene riflessa? In quest’ultimo caso, qual e` l’angolo di riflessione? Commentare.

14.41 Ripetere l’Esercizio 14.40 per diversi valori del numero di Mach, compresi tra 1,1 e 3,0. Riportare in forma grafica l’angolo di Mach calcolato in funzione del numero di Mach, confrontare col valore teorico (Capitolo 12) e commentare.

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Riepilogo 14.42 Indicare se ciascuna delle seguenti affermazioni e` vera o falsa, giustificando brevemente le risposte:

a) via via che la griglia di calcolo viene infittita, la validita` di una soluzione CFD migliora sempre;

b) l’equazione di Navier-Stokes, proiettata sull’asse x , e` un’equazione di trasporto;

c) in una griglia bidimensionale, a parita` di numero di nodi, una griglia strutturata ha di norma un numero di celle minore di una griglia non strutturata a celle triangolari; d) la soluzione CFD di un moto turbolento mediato nel tempo e` buona nella misura in cui lo e` il modello di turbolenza usato nei calcoli.

Analisi a) Falso: se le condizioni al contorno non sono corrette, se il dominio di calcolo non e` sufficientemente grande ecc., la soluzione puo` essere priva di significato fisico, indipendentemente da quanto fitta e` la griglia.

b) Vero: le equazioni ottenute proiettando l’equazione di NavierStokes in qualunque direzione sono anch’esse equazioni di trasporto.

c) Vero: le celle quadrangolari di una griglia 2D strutturata comportano meno celle di una griglia 2D a celle triangolari.

d) Vero: i modelli di turbolenza sono approssimazioni della realta` fisica, non applicabili indifferentemente a qualunque caso.

14.43 Nell’Esercizio 14.19 si approfitta della simmetria esistente tra la parte superiore e quella inferiore del campo di moto e si ` Perche´ considera come dominio di calcolo solo una delle due meta. non si puo` sfruttare in maniera analoga la simmetria geometrica che esiste tra la parte sinistra e quella destra?

Analisi Anche se la geometria e` perfettamente simmetrica, il campo di moto non e` simmetrico. Infatti, la corrente imbocca la camera circolare come un getto, distaccandosi in corrispondenza degli spigoli, mentre, dal lato opposto della camera, il fluido entra nel tratto successivo come in un imbocco, senza apprezzabile distacco.

Discussione In presenza di effetti non permanenti o di fluttuazioni importanti dall’alto verso il basso e viceversa, non e` possibile considerare nemmeno la simmetria tra parte superiore e parte inferiore del campo di moto.

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30 Capitolo 14

14.44 Per determinare il valore della caduta di pressione e il coeffiimbocco

Figura 14.E44

sbocco

ciente della perdita di carico localizzata causata dal brusco restringimento in una condotta bidimensionale viene utilizzato il dominio di calcolo schematizzato in Figura 14.E44. Il calcolo viene effettuato nelle ipotesi di fluido incomprimibile in moto permanente turbolento, usando un modello di turbolenza.

a) Come potrebbero essere modificati il dominio di calcolo e la griglia per ottenere gli stessi risultati in un tempo dimezzato?

b) Nella scelta del dominio di calcolo potrebbe essere stato commesso un errore fondamentale. Quale? Cosa sarebbe opportuno modificare?

Analisi a) Se non si e` interessati alle fluttuazioni turbolente (che possono essere asimmetriche), si puo` eliminare meta` del campo ` cioe, ` ritenere che il piano mediano sia di di moto. Si puo, simmetria tra la meta` superiore e la meta` inferiore del campo di moto. In tal modo, si dimezzano le dimensioni della griglia e si dimezza, all’incirca, anche il tempo di calcolo.

b) La lunghezza del tratto di valle, pari circa a due volte il diametro, e` troppo piccola, per cui lo sbocco non e` sufficientemente lontano dalla sezione in cui si ha il brusco restringimento. E’ probabile che, in corrispondenza del contorno di tale sezione, si abbia distacco del moto e che allo sbocco si abbia inversione del moto. In ogni caso, la condotta non e` lunga abbastanza perche´ il moto diventi completamente sviluppato. E’, quindi, necessario estendere sensibilmente la lunghezza del secondo tratto.

Discussione Anche il tratto di monte e` troppo breve. Se all’imbocco si impone il profilo di velocita` di moto completamente sviluppato, i risultati saranno probabilmente corretti. Ma sarebbe, comunque, meglio estendere anche la lunghezza di tale tratto.

14.45 I computer moderni e piu` performanti sono quelli mul` di svariate decine o centinaia di microtiprocessore, dotati, cioe, processori ciascuno dei quali svolge in simultanea una parte del codice. Qual e` il tipo di griglia che puo` sfruttare meglio questa caratteristica?

Analisi Poiche´ nei computer multiprocessore (calcolatori paralleli) tutti i processori lavorano contemporaneamente, il tipo di griglia che puo` sfruttare al meglio questa caratteristica e` la griglia multiblocco. Infatti, ogni processore puo` cos`ı lavorare su uno dei blocchi. Se i processori sono tutti uguali (uguale velocita` e uguale RAM), la massima efficienza si ha quando i blocchi hanno dimensioni simili.

Discussione Durante il processo iterativo i processori devono comunicare tra loro, scambiandosi le informazioni relative alle interfacce tra i blocchi.

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14.46 Qual e` la differenza tra la tecnica multigriglia (multigridding) e l’analisi multiblocco (multiblocking)? Come possono essere usate per aumentare la velocita` dei calcoli? Possono essere usate insieme?

Analisi Con la tecnica multigriglia, si risolve il campo di moto dapprima su una griglia grossolana e poi su griglie via via piu` fitte. In tal modo, il processo di convergenza e` piu` veloce. Infatti, con la griglia grossolana si determinano velocemente valori grossolani delle variabili che, utilizzati come valori iniziali del processo di iterazione su una griglia piu` fitta. fanno ridurre sensibilmente il tempo di calcolo necessario per la sua risoluzione. L’analisi multiblocco consiste nel suddividere il campo di moto in piu` zone o blocchi. Come rilevato nell’esercizio precedente, usando un computer multiprocessore tale tecnica consente una notevole riduzione del tempo di calcolo. L’analisi multiblocco puo` essere utile anche nei casi in cui, trattando l’intero dominio come un unico blocco, e` necessaria troppa RAM. In tal caso, con l’analisi multiblocco il codice CFD lavora su un blocco alla volta. Cos`ı e` richiesta meno RAM, anche se le informazioni relative ai blocchi inattivi devono essere salvate in memoria e continuamente scambiate con la RAM. Non c’e` alcuna ragione per cui non si possa usare la tecnica multigriglia su ciascun blocco, separatamente. Pertanto, multigridding e multiblocking possono essere usati insieme.

Discussione Nonostante lo scambio di dati richieda tempo, nel caso di grandi griglie l’analisi multiblocco puo` fare, a volte, la differenza tra riuscire o non riuscire a effettuare le simulazioni.

14.47 Nella simulazione di un dominio di calcolo dalla geometria piuttosto complessa, anche quando si disponga di un codice CFD capace di generare velocemente griglie triangolari non strutturate e di risolverle, generare una griglia multiblocco strutturata, pur richiedendo un tempo maggiore, puo` essere piu` conveniente. ´ Quando? Perche?

Analisi Ci sono diverse ragioni per cui una griglia strutturata puo` essere “migliore” di una non strutturata. Innanzitutto, una griglia strutturata puo` avere una risoluzione migliore, con un minor numero di celle, di una non strutturata. Cio` e` particolarmente importante nei casi in cui e` necessario ridurre la memoria necessaria e il tempo di CPU. Con una griglia strutturata la soluzione puo` convergere piu` rapidamente e i risultati possono essere piu` accurati. Inoltre, con una griglia multiblocco, e` piu` facile infittire le celle in alcuni blocchi e nelle zone in cui e` necessaria una risoluzione alta, perche´ con una griglia strutturata e` possibile esercitare un maggiore controllo sulla griglia stessa.

Discussione Come gia` piu` volte rilevato, il tempo impiegato a generare una buona griglia e` tempo ben speso.

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32 Capitolo 14

14.48 Simulare il moto permanente turbolento attorno a un cilindro che ruota attorno al suo asse (Figura 14.E48). In tali condizioni

ω

sul cilindro agisce una forza verticale (effetto Magnus). Come e` diretta? Verso l’alto o verso il basso? Tracciare le linee di flusso e il punto di ristagno di monte.

V D

Figura 14.E48

Vedi nota che precede l’esercizio 14.30

14.49 Per il cilindro rotante della Figura 14.E48, derivare un parametro adimensionale per la velocita` di rotazione rispetto alla velocita` della corrente indisturbata (combinando le variabili ω, D e V in un gruppo 5 adimensionale). Ripetere i calcoli dell’Esercizio 14.48 per diversi valori della velocita` angolare ω, usando identiche condizioni all’imbocco per tutti i casi. Tracciare, infine, il grafico dei coefficienti di resistenza e di portanza in funzione del parametro adimensionale e commentare.

Vedi nota che precede l’esercizio 14.30

stanza

14.50 Simulare il moto non viscoso bidimensionale di aria attraverso una fessura lungo il pavimento di una stanza (Figura 14.E50). Calcolare la componente verticale v y della velocita` in funzione della distanza y dalla fessura.

y

pavimento x

Vedi nota che precede l’esercizio 14.30 Figura 14.E50

14.51 Ripetere l’Esercizio 14.50, considerando il moto laminare anziche´ non viscoso. Confrontare i risultati con quelli del moto non viscoso. Tracciare le isolinee di vorticita` e verificare se e dove l’approssimazione di moto irrotazionale risulta appropriata.

Ipotesi 1. Il moto e` permanente. 2. Il moto e` laminare. Analisi Rispetto all’esercizio precedente, il campo di moto non cambia molto, tranne che per la presenza di un sottile strato limite lungo il pavimento. La vorticita` e` confinata a una regione in prossimita` del pavimento; altrove, essa risulta trascurabile, per cui l’approssimazione di moto irrotazionale risulta appropriata ovunque tranne che in prossimita` del pavimento.

Discussione L’approssimazione di moto irrotazionale e` molto utile nei moti caratterizzati da aspirazione di fluido, come nelle applicazioni relative al controllo dell’inquinamento dell’aria (cappe aspiranti ecc.).

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