Meccanica Dei Fluidi - Lezioni Di Fluidodinamica

Politecnico di Bari DIMeG

Lezioni del corso di Fluidodinamica

anno accademico 2001/2002

Prefazione Queste dispense rappresentano il primo tentativo di mettere su carta le lezioni del corso di Fluidodinamica per Ingegneria Meccanica tenute al Politecnico di Bari dall’anno 1998/1999. Chiaramente sarebbe una forma di presunzione immaginare che alla prima stesura il testo abbia gi` a una forma definitiva, per questo motivo ringrazio anticipatamente tutti coloro che mi segnaleranno errori, o paragrafi poco chiari in modo da migliorare il testo successivamente. Per motivi di tempo non ho incluso nelle dispense esempi numerici ed esercizi che ritengo indispensabili sia per assimilare la teoria sia per acquisire un p` o di sensibilit` a fluidodinamica. Questi argomenti verranno in ogni caso trattati a lezione e verranno inclusi al pi` u presto nel presente materiale. I miei ringraziamenti vanno prima di tutti allo studente Paolo Oresta che mi ha aiutato nella scrittura di parte del materiale e con il suo impegno mi ha permesso di portare a termine il lavoro per l’inizio di questo anno. Parimenti proficui sono stati gli aiuti degli studenti Nicola Stramaglia, Francesco Zumpano e Nunzio Caccavo dei quali ho utilizzato trascrizioni dei loro appunti per ricostruire gli argomenti affrontati a lezione. Un ringraziamento va anche ad Enrico Maggio che ha evidenziato i numerosi errori di battitura presenti nella prima stesura. Desidero ringraziare infine il Prof. Michele Napolitano per aver letto il materiale ed evidenziato alcune imprecisioni. Dedico queste dispense al mio Maestro il Prof. Paolo Orlandi che mi ha avvicinato alla fluidodinamica e mi ha sempre permesso di svolgere liberamente la Ricerca assecondando le mie personali inclinazioni. Marzo 2001, R.V.

Nella seconda versione sono state corrette alcune imprecisioni ed innumerevoli errori di battitura segnalatimi dagli studenti del corso 2000/2001 (dei veri beta-users) che ringrazio sentitamente. Durante l’esposizione della teoria sono stati inseriti degli esempi numerici per rendere pi` u chiara l’applicazione dei concetti. Ottobre 2001, R.V.

1

Indice 1 Generalit` a sui fluidi 1.1 definizione di fluido . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 concetto di continuo . . . . . . . . . . . . . . 1.3 densit`a ed espansione termica . . . . . . . . . 1.4 comprimibilit`a di un fluido . . . . . . . . . . . 1.5 viscosit`a e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 tensione di vapore . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 tensione superficiale . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 ∗ effetto della curvatura della superficie 1.7.2 capillarit`a . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Statica dei fluidi 2.1 pressione in un fluido . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 distribuzione di pressione in un fluido . . . . . . 2.3 variazioni di pressione in un fluido in quiete . . 2.4 atmosfera standard . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 forze di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 pressione costante . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 distribuzione lineare di pressione . . . . 2.5.3 forze di pressione su una superficie curva 2.6 spinta di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 galleggiamento e stabilit`a . . . . . . . . . . . . . 2.8 misuratori di pressione . . . . . . . . . . . . . . 3 Cinematica dei fluidi 3.1 descrizione lagrangiana ed euleriana . . . 3.2 traiettorie, linee di corrente e streaklines 3.3 derivata materiale . . . . . . . . . . . . . 3.4 ∗ accelerazione di Lagrange . . . . . . . . 3.5 ∗ funzione di corrente . . . . . . . . . . . 3.6 analisi del moto nell’intorno di un punto 3.6.1 caso bidimensionale semplificato . 3.6.2 ∗ caso generale tridimensionale . . 1

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5 5 7 8 10 11 16 17 19 21

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25 25 26 29 30 31 32 34 39 41 44 45

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51 51 52 55 58 58 59 59 62

INDICE

2 4 Dinamica dei fluidi 4.1 teorema del trasporto di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 equazione di conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 equazione di bilancio della quantit`a di moto . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 applicazione dell’equazione di bilancio della quantit`a di moto 4.4 equazione di conservazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia . . . ∗ forma differenziale vs forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 4.6 ∗ il tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 ∗ relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 equazioni di Navier–Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 ∗ varie forme dell’equazione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . .

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67 67 70 70 71 72 72 73 74 77 77 78 79 84 87 89 91 92

5 Equazione di Bernoulli 5.1 seconda legge della dinamica 5.2 ∗ equazione di Bernoulli . . 5.3 ∗ teorema di Crocco . . . . . 5.4 tubo di Pitot . . . . . . . . 5.5 tubo di Venturi . . . . . . .

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95 95 97 104 104 106

per un . . . . . . . . . . . . . . . .

fluido ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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∗

Dinamica della vorticit` a 6.1 equazione del trasporto della vorticit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 teoremi di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 . 111 . 116 . 117

7 Soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes 7.1 flusso tra lastre piane e parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 flusso di Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 flusso di Hagen–Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 . 121 . 124 . 127

6

8

∗

Flussi potenziali 8.1 teoria del potenziale . . . . . . . . . . . . 8.2 soluzioni tridimensionali . . . . . . . . . . 8.2.1 sorgente e pozzo . . . . . . . . . . . 8.2.2 doppietta . . . . . . . . . . . . . . 8.3 sovrapposizione di soluzioni tridimensionali 8.3.1 il semicorpo . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 la sfera . . . . . . . . . . . . . . . .

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131 . 131 . 133 . 133 . 134 . 135 . 135 . 138

INDICE

3

8.4

soluzioni bidimensionali . . . . . . . . . . 8.4.1 sorgente e pozzo . . . . . . . . . . . 8.4.2 doppietta . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 vortice libero . . . . . . . . . . . . 8.5 sovrapposizione di soluzioni bidimensionali 8.5.1 il semicorpo . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 il cilindro . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 il cilindro rotante . . . . . . . . . . 9 Strato Limite 9.1 equazioni di Prandtl . . . . . . . . . 9.2 separazione dello strato limite . . . . 9.3 ∗ soluzione simile . . . . . . . . . . . 9.4 equazione integrale dello strato limite 10

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155 . 157 . 158 . 160 . 167

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173 . 173 . 182 . 186 . 189

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195 . 197 . 200 . 204 . 206 . 206 . 212 . 215 . 218 . 219 . 222 . 223 . 229

∗

Turbolenza 10.1 fenomenologia della turbolenza . . . . . . . . . . 10.2 equazioni di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 viscosit`a turbolenta e lunghezza di mescolamento 10.4 turbolenza omogenea ed isotropa . . . . . . . . .

11 Forze fluidodinamiche e similitudini 11.1 teorema di Buckingham ed analisi dimensionale 11.2 similitudine dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 similitudine distorta . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Studio di flussi particolari . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Flusso intorno a corpi immersi . . . . . . 11.4.2 Flussi con superficie libera . . . . . . . . 11.4.3 Flusso nelle macchine rotanti . . . . . . 11.5 Flusso in circuiti chiusi . . . . . . . . . . . . . 11.6 Legge di Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 tubi a sezione non circolare . . . . . . . 11.6.2 perdite concentrate . . . . . . . . . . . . 11.7 forze aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . 12

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141 141 142 143 145 145 145 148

∗

Cenni sui flussi comprimibili 247 12.1 propagazione di piccole perturbazioni e velocit`a del suono . . . . . . . . . . 247 12.2 Flusso quasi unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

13 Alcuni personaggi storici della fluidodinamica

261

14 Bibliografia e letture consigliate

271

4

INDICE

Capitolo 1 Generalit` a sui fluidi 1.1

definizione di fluido

La fluidodinamica `e quella branca della meccanica del continuo che studia la dinamica dei fluidi. Sebbene a livello euristico ognuno di noi intuisce che acqua ed aria sono dei fluidi, mentre un blocco di marmo o un cubo di acciaio non lo sono, la definizione di fluido non `e un concetto ben definito in quanto si basa pi` u sulla risposta del materiale alle sollecitazioni esterne piuttosto che sulla struttura della materia. Per vie molto generali si possono schematizzare i solidi come dei materiali in cui gli atomi o le molecole occupano delle posizioni ben definite (figura 1.1a) e vengono mantenuti in tali posizioni da forze che divengono fortemente repulsive appena la distanza tende a diminuire ed attrattive quando aumenta (figura 1.2). In tale situazione gli atomi vibrano con oscillazioni di piccola ampiezza senza tuttavia modificare la struttura del legame.

a)

b)

c)

Figura 1.1: Disegno schematico della struttura di solidi a), gas b), e liquidi c). Al contrario nei gas (figura 1.1b) gli atomi o molecole non hanno una posizione definita e si muovono di un moto casuale (agitazione termica) variando in continuazione direzione a causa degli urti tra le varie molecole. La distanza media percorsa tra un urto ed il successivo `e detta libero cammino medio (λ) e nei gas questa distanza `e molto pi` u grande della distanza d di equilibrio tra forze attrattive e repulsive. Ci`o giustifica la grande facilit`a che hanno i gas di cambiare volume quando viene variato lo spazio a loro disposizione. 5

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

forza

6

(repulsione) distanza d (attrazione) Figura 1.2: Diagramma indicativo delle forze tra molecole al variare della loro distanza. I liquidi hanno una struttura intermedia tra i solidi ed i gas in quanto sono formati da molecole la cui distanza reciproca `e mediamente dell’ordine di d ma non sono vincolate a mantenere una posizione fissa (figura 1.1c). Da questa struttura ne consegue che un liquido varia la propria forma con estrema facilit`a mentre per avere variazioni di volume servono sollecitazioni esterne estremamente elevate. Per fare degli esempi tangibili, si pu`o pensare ad una particella di un solido come a delle sferette collegare tra loro tramite molle molto rigide; applicando delle forze esterne si possono far variare le distanze relative tra le sferette ma al cessare delle sollecitazioni la disposizione iniziale viene ristabilita. Un semplice modello di gas si potrebbe realizzare con una ventola che tiene in costante agitazione delle palline di polistirolo all’interno di un sacchetto di plastica. Se si varia il volume del sacchetto, le palline tendono comunque a vagare all’interno dell’intero volume messo a disposizione mentre applicando delle forze esterne `e possibile variare tanto il volume quanto la forma dell’involucro. Un liquido, infine, si pu`o pensare come ad un sacchetto di plastica pieno di biglie; applicando delle sollecitazioni tangenziali si pu`o deformare il sacchetto a piacimento, se invece si prova a comprimere l’involucro si ottengono variazioni di volume praticamente nulle 1 . Finora abbiamo descritto alcune propriet`a dei materiali guardando alla loro struttura microscopica, cercando cio`e di dedurre le loro propriet`a in base alla disposizione dei loro atomi o molecole. Abbiamo cos`ı visto come gas e liquidi siano accomunati dalla caratte1

Questa descrizione vuole avere uno scopo puramente introduttivo ed `e ben lungi dal dare una visione completa della struttura della materia. Infatti, esistono sostanze dette solidi amorfi (come il vetro) che pur avendo una struttura simile ad un liquido hanno tutte le caratteristiche esterne dei solidi. Analogamente esistono delle sostanze che si comportano come dei solidi fino ad un certo valore della sollecitazione esterna e come dei fluidi per sollecitazioni oltre il valore di soglia (fluidi di Bingham). Infine le caratteristiche di un materiale dipendono dalle condizioni esterne di pressione e temperatura e spesso in prossimit` a delle transizioni da un stato all’altro si hanno dei materiali ambigui con caratteristiche contemporanee di solidi e liquidi o liquidi e gas.

1.2. CONCETTO DI CONTINUO

7

ristica di cambiare facilmente forma quando sono soggetti ad un’azione esterna di taglio. In base a questa propriet`a definiremo fluido come un materiale in grado di deformarsi indefinitamente quando sottoposto ad una sollecitazione tangenziale esterna ed al cessare di tale azione non recupera la sua forma iniziale. In altre parole, in condizioni di quiete, un fluido resiste solo agli sforzi normali. Bisogna notare come queste definizioni siano di tipo fenomenologico, in quanto prescindono dalla struttura intima del materiale ma considerano solo la sua risposta ad azioni esterne.

1.2

concetto di continuo

Come abbiamo visto in precedenza la definizione di fluido implica la reazione macroscopica di un materiale a delle azioni esterne e richiede quindi la valutazione di quantit`a su scala estremamente pi` u grande rispetto a quella molecolare; ci`o conduce in modo naturale alla definizione del concetto di continuo. Si consideri una qualunque grandezza q (pressione, temperatura velocit`a, energia, etc.) e si valuti la sua dipendenza dall’estensione del volume sul quale viene misurata. In generale si otterr`a un andamento come quello in figura 1.3 dove si possono osservare tre regioni distinte. Nella regione I si hanno variazioni discontinue della grandezza misurata dovute alla insufficienza statistica dei campioni contenuti nel volume di misura; se infatti si misurasse la temperatura o la pressione in un volume di misura cos`ı piccolo da contenere 12, 57 o 200 molecole, la media di q risulterebbe fortemente dipendente dal numero di campioni e quindi dall’estensione del volume stesso. Nella regione II si ha invece un valore stabile di q in quanto il volume di misura contiene un numero elevato di atomi o molecole (> O(106 )) e quindi la media di q risulta indipendente dall’estensione del volume stesso. Nell’ultima parte del grafico, infine (regione III) si hanno nuovamente delle variazioni di q questa volta per`o legate al fatto che le quantit`a sono delle funzioni dello spazio ed il loro valore varia quindi da punto a punto. Abbiamo cos`ı stabilito che per poter parlare di continuo, bisogna avere all’interno del proprio volume di misura un numero sufficientemente elevato di atomi o molecole in modo da avere delle medie indipendenti dal numero di elementi contenuti nel volume stesso. Rimane quindi da stabilire quanto piccolo si pu`o assumere un elemento in modo da mantenere valide le ipotesi di continuo per capire se i fenomeni che avvengono comunemente possono essere studiati utilizzando questa assunzione oppure se si deve considerare la dinamica delle singole molecole. Per fare una stima di massima, si pu`o valutare il volume occupato da una mole di gas in condizioni normali (temperatura T = 15o C e pressione p = 1atm) che `e di circa 22.4 litri; d’altra parte una mole di gas contiene un numero di molecole pari al numero di Avogadro n
6.02 · 1023 da cui si deduce facilmente che in un volume di un dm3 ci sono 2.5 · 1022 molecole, in un mm3 ce ne sono 2.5 · 1016 mentre in un µm3 (ossia in un cubo di un millesimo di millimetro di lato) ce ne sono circa 2.5 · 107 . Questo semplice esempio numerico ci fa capire come nella pressoch´e totalit`a dei flussi incontrati nella vita quotidiana, l’ipotesi di continuo sia ampiamente soddisfatta potendo cos`ı parlare di propriet`a del fluido senza considerare le caratteristiche delle singole molecole appartenenti alla particella fluida. L’esempio precedente, tuttavia, ci fa anche capire

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

8

q I

II

III

volume Figura 1.3: Variazione del valore misurato di una grandezza q in relazione alle dimensioni del volume di misura. come la validit`a o meno dell’ipotesi di continuo dipenda fortemente dalle condizioni esterne di pressione. Se per esempio ci si trovasse in un ambiente con una pressione di 10−5 atm alla temperatura di T = 0o C un volume di un mm3 conterrebbe ‘solo’ 4.08 · 106 molecole ponendo in dubbio l’ipotesi di continuo per dimensioni pi` u piccole. In tale situazione si trova sicuramente la navetta spaziale ‘space shuttle’ quando orbita alla quota di 100km intorno alla terra. L’indice di rarefazione di un gas viene misurato dal numero di Knudsen Kn definito come il rapporto tra il libero cammino medio λ delle molecole e la dimensione L dell’oggetto intorno a cui si considera il flusso. Per poter utilizzare l’ipotesi di continuo deve risultare Kn −→ 0 dovendo cio`e risultare le dimensioni macroscopiche del flusso incomparabilmente pi` u grandi della scala di lunghezza delle collisioni intermolecolari. Al contrario per Kn ≥ 1 le due lunghezze sono comparabili ed in queste condizioni si parla di ‘gas rarefatti’ per i quali bisogna ricorrere a schematizzazioni differenti. Tralasciando tuttavia questi casi molto particolari possiamo affermare che la fluidodinamica tratti essenzialmente dei modelli continui e nello specifico noi ci limiteremo alla trattazione di questi ultimi.

1.3

densit` a ed espansione termica

La densit`a di un fluido misura la quantit`a di massa contenuta nell’unit`a di volume e viene generalmente indicata con il simbolo ρ. La sua unit`a di misura nel Sistema Internazionale (SI) `e Kg/m3 ed il valore dipende sia dalle condizioni esterne di temperatura che da quelle pressione. Mentre nei gas si possono ottenere variazioni considerevoli di densit`a cambiando pressione o temperatura, nei liquidi queste sono normalmente di entit`a modesta anche se in entrambi i casi i loro effetti sono di straordinaria importanza. Un fluido riscaldato, infatti, si espande e diminuisce di densit`a, se quindi il riscaldamento avviene su una

` ED ESPANSIONE TERMICA 1.3. DENSITA

9

porzione limitata di fluido, questo avr`a una densit`a minore dell’ambiente circostante e tender`a a salire. Questo fenomeno `e la causa dei moti atmosferici ed oceanici e viene utilizzato in innumerevoli applicazioni pratiche. 1.3 3

ρ (Kg/m )

1.2

ρaria

1

1.1 0.9995

ρH O .10-3

1

2

0.999

0

4

8

ρH O .10-3

12

2

0.9 0

20

40

o

60

80

100

T ( C) Figura 1.4: Variazione della densit`a con la temperatura per aria ed acqua; nella figura a sinistra `e riportato uno zoom dell’anomalia di variazione per l’acqua. In figura 1.4 `e riportata la variazione di densit`a per aria ed acqua, alla pressione di una atmosfera, in funzione della temperaura dove si nota che in entrambi i casi la densit`a diminuisce al crescere T . Appare chiaro che le variazioni sono di natura non lineare anche se, per piccole variazioni di temperatura si pu`o approssimare la curva con una relazione del tipo ρ − ρ0 ∆ρ = α(T − T0 ), oppure = α∆T, (1.1) ρ0 ρ0 in cui ρ0 `e il valore della densit`a alla temperatura T0 e ρ0 α `e la pendenza locale della curva. α `e generalmente negativo (densit`a decrescente per temperatura crescente) ma di particolare rilevanza risulta l’anomalia dell’acqua che la porta ad avere la sua massima densit`a alla temperatura di T = 4o C. Questo comportamento `e infatti responsabile della sopravvivenza delle forme di vita in acqua, in quanto non permette ad acqua di u profondi. Se supponessimo al temperatura inferiore a T = 4o C di occupare gli strati pi` contrario che l’acqua si comportasse come l’aria (e come la pressoch´e totalit`a dei fluidi) allora la densit`a diminuirebbe in modo monotono con la temperatura e l’acqua pi` u fredda si disporrebbe al di sotto di quella pi` u calda. Al contrario sul fondo degli oceani e dei laghi alpini l’acqua si trova costantemente alla temperatura di T = 4o C ed in base al diagramma di figura 1.4 non c’`e modo per acqua pi` u fredda di prendere il suo posto, garantendo cos`ı la sopravvivenza di flora e fauna.

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

10

1.4

comprimibilit` a di un fluido

Un’importante propriet`a di un fluido `e la sua comprimibilit`a, ossia quanto facilmente varia percentualmente il proprio volume conseguentemente a variazioni di pressione. Supponendo di avere inizialmente un fluido che occupa un volume V si avr`a che dopo aver applicato una differenza di pressione dp il volume iniziale sar`a variato di una quantit`a dV da cui si pu`o definire il modulo di comprimibilit`a come E=−

dp , dV /V

(1.2)

le cui unit`a di misura sono le stesse della pressione (Pa) ed il segno negativo tiene in conto il fatto che per variazioni di pressione positive si hanno diminuzioni di volume, ossia dV negativi. In alcuni casi viene usato l’inverso di E che `e chiamato coefficiente di comprimibilit`a β = 1/E. Ricordando che la massa m `e data dal prodotto di densit`a per volume e differenziando logaritmicamente la relazione m = ρV si ottiene dV /V = −dρ/ρ da cui di ottiene dp . (1.3) E= dρ/ρ Nel caso dei liquidi E assume dei valori estremamente elevati, (E = 2.15 · 109 Pa per l’acqua, E = 2.85 · 1010 Pa per il mercurio, E = 1.3 · 109 Pa per la benzina) indicando che per variazioni di pressione limitate si hanno variazioni di volume praticamente trascurabili, da cui la considerazione dei liquidi come incomprimibili. Per quanto riguarda i gas, evidentemente il valore di E rimane indeterminato fino a quando non si specifica la natura della trasformazione che lega p a ρ (o a V ). Se per esempio si considera la politropica p/ρk = const. si ha: ρk dp − kp

dρ = 0, ρk−1

dp = kp, dρ/ρ

da cui E = kp.

(1.4)

Dalla relazione di sopra si vede che se per esempio la trasformazione `e isoterma p/ρ = const. (k = 1) allora si avr`a E = p mentre per una isentropica p/ργ = const. (k = γ = Cp /Cv rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costante) risulta E = γp 2 . 2

Volendo mettere insieme i risultati di questa sezione e della precendente per le variazioni di densit` a si pu` o scrivere

 ∂ρ ∂ρ ρ dT + dp = ραp dT + dp, (1.5) dρ = ∂T p=const. ∂p T =const. ET dove si `e indicato con αp il coefficiente di espansione termica a pressione costante e con ET il modulo di comprimibilit` a del fluido a temperatura costante. Nel caso in cui il fluido in esame sia un gas che rispetta la legge di stato dei gas perfetti si avr` a, αp = −1/T ed ET = p da cui si ottiene dρ dT dp =− + , ρ T p

(1.6)

come si sarebbe potuto ottenere direttamente per differenziazione logaritmica della legge di stato dei gas perfetti.

` E SFORZI 1.5. VISCOSITA

11 ESEMPIO

Sia dato un fluido di volume iniziale V0 . Sapendo che dopo aver aumentato la sua pressione di ∆p il suo volume diminuisce della percentuale %V calcolare il suo modulo di comprimibilit`a. ∆p = 8GPa, %V = 24.47. Soluzione Dalla definizione di modulo di comprimibilit`a E=−

dp , dV /V

si ottiene per integrazione dV dp =− V E

=⇒

log

∆p Vf =− , V0 E

essendo Vf il volume finale. Ma risulta Vf /V0 = 1 − %V /100 e quindi E = 2.85 · 1010 Pa (il fluido `e cio`e mercurio).

1.5

viscosit` a e sforzi

Si consideri una particella fluida inizialmente a forma di parallelepipedo e si applichi su una sua superficie S una forza F diretta come in figura 1.5a. La particella fluida verr`a quindi sottoposta ad uno sforzo di taglio τ = F/S che la deformer`a come mostrato in figura 1.5b. Poich´e stiamo considerando un fluido, questo si deformer`a con continuit`a sotto l’azione dello sforzo costante τ , quindi invece di determinare la deformazione dovremo determinare la velocit`a di deformazione. Assumendo che la superficie superiore si muova con una velocit`a costante U , in un tempo ∆t percorrer`a una distanza U ∆t producendo una deformazione angolare tg(∆γ) = U ∆t/b
∆γ. Per la velocit`a di deformazione angolare si pu`o scrivere γ˙ = lim∆t→0 ∆γ/∆t = U/b = dU/dy 3 . Se effettuassimo un numero elevato di questi esperimenti con diversi valori di τ scopriremmo che la velocit`a di deformazione angolare γ˙ risulta sempre proporzionale allo sforzo applicato attraveso una costante µ che dipende solamente dal tipo di fluido considerato e dalla sua temperatura. Si potr`a cos`ı scrivere τ = µγ˙ ossia τ =µ

dU , dy

(1.7)

che permette di calcolare lo sforzo generato internamente ad un fluido nota la sua velocit`a di deformazione. Le relazione che lega linearmente la velocit`a di deformazione con gli sforzi `e caratteristica di una classe di fluidi detti ‘fluidi newtoniani’. Sebbene la relazione (1.7) 3

Ci`o risulta vero solo se si suppone che una tale configurazione produca una distribuzione lineare di spostamenti all’interno della particella fluida. La fondatezza di tale assunzione e le ipotesi di validit` a verrano dimostrate rigorosamente in seguito.

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

12 S

U∆t y

τ

F

∆γ

b

a)

b) Figura 1.5: Schema delle deformazione di una particella fluida.

sia la pi` u semplice che si possa immaginare, tutti i fluidi di uso pi` u comune obbediscono abbastanza fedelmente alla relazione appena descritta. Acqua ed aria sono i fluidi pi` u importanti ma anche i vari gas in condizioni non critiche, gli idrocarburi ed il mercurio obbediscono in modo altrettanto fedele alla relazione lineare di sopra.

τ (N/m2 )

oil

τ0

3

2

blood

1

Bingham fluid water

0 100

200

300

400

dU/dy (s−1) Figura 1.6: Diagramma di sforzo vs shear per vari fluidi newtoniani e non. Ci sono, tuttavia, diverse eccezioni al comportamento lineare che rivestono una notevole importanza nella vita quotidiana. Il sangue, ad esempio, reagisce con sforzi che aumentano meno che linearmente con γ˙ (figura 1.6) permettendo cos`ı al cuore di pompare, a parit`a di portata con minore sforzo. Questi fluidi appartengono alla categoria “shear–thinning” e sono caratterizzati da un comportamento pressoch´e newtoniano per bassi valori della velocit`a di deformazione (come il sangue che fluisce nell’aorta) mentre negli altri casi (sangue nei capillari) hanno un comportamento non newtoniano. Una differente classe di fluidi `e costituita da quelli che non danno luogo ad alcuna deformazione per valori dello sforzo di taglio al di sotto di un certo valore limite (τ0 ) mentre presentano una relazione lineare del tipo τ − τ0 = µγ˙ per τ ≥ τ0 . Questi fluidi sono detti di Bingham (figura 1.6) e se si pensa alle dune di sabbia si ha una chiara dimostrazione di

` E SFORZI 1.5. VISCOSITA

13

questo fenomeno; sui lati della duna, infatti, agisce la componente tangenziale della forza di gravit`a che tuttavia produce uno sforzo minore del τ0 caratteristico di quella particolare sabbia. Se per`o cambia la pendenza (per esempio a causa del vento) allora gli strati di sabbia cominciano a ‘scivolare’ gli uni sugli altri fino a ristabilire valori di τ al di sotto di quello di soglia. La trattazione dei diversi tipi di fluido `e studiato dalla disciplina chiamata reologia ed esula comunque dallo scopo delle presenti note che hanno un carattere prevalentemente introduttivo. Per comprendere in che modo la viscosit`a agisce in un fluido, riconsideriamo l’esempio di figura 1.5 in cui un elemento di fluido inizialmente a forma di parallelepipedo viene deformato in seguito al moto traslatorio di una superficie superiore con velocit`a U (figura 1.7). Immediatamente dopo l’inizio della traslazione (t = 0+ ) solamente le molecole di fluido a contatto con la superficie in moto verranno trascinate con essa mentre gli strati inferiori di fluido permarranno nel loro stato di quiete. A causa del moto di agitazione termica, tuttavia, le molecole in moto trasferiranno parte della loro quantit`a di moto a quelle statisticamente ferme che a loro volta inizieranno a muoversi (figura 1.8a). Questo processo raggiunger`a un equilibrio quando si bilancer`a l’azione degli strati superiori di fluido che tenderanno a far muovere tutto l’elementino con velocit`a U e quelli della superficie inferiore che tendono ad arrestare gli strati fino ad una velocit`a U = 0 (figura 1.8b).

U

t0

t1

t2

t3

t4

Figura 1.7: Trasferimento di quantit`a di moto ad istanti successivi tra strati di fluido inizialmente in quiete. Seguendo l’esempio precedente appare evidente come il moto caotico delle molecole causi la diffusione di quantit`a di moto all’interno di un fluido; questa attitudine alla diffusione viene misurata dalla viscosit`a µ le cui dimensioni possono essere facilmente ricavate dalla relazione (1.7) e sono N · s/m2 4 . Il meccanismo microscopico che genera la viscosit`a giustifica anche il fatto che questa quantit`a sia fortemente dipendente dalla temperatura; al crescere di questa infatti, aumenta il moto caotico di agitazione delle molecole e quindi diventer`a pi` u efficiente la 4`

E interessante notare come nel linguaggio quotidiano il concetto di viscosit` a venga spesso confuso con quello di densit` a. Si sente infatti spesso dire ‘un liquido molto denso’ per indicare una sostanza viscosa. Tuttavia densit` a e viscosit`a non sono affatto legate visto che la prima indica la quantit` a di massa contenuta nell’unit` a di volume mentre la seconda indica la facilit` a che ha un fluido a diffondere la quantit` a di moto; per esempio l’olio `e pi` u viscoso dell’acqua ma meno denso come possiamo osservare dal galleggiamento di quest’ultimo sull’acqua.

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

14

y

U

t0

t1

t2 t3

y

t4

U

U

a)

b)

Figura 1.8: a) schema di diffusione di quantit`a di moto tra due strati di fluido inizialmente in moto (particelle nere) e fermo (particelle bianche). b) evoluzione temporale del profilo di velocit`a nell’esempio di figura 1.7.

diffusione secondo quanto precedentemente descritto. Ci`o si osserva a livello macroscopico nei gas con una viscosit`a che cresce con la temperatura. Nei liquidi questo effetto deve competere con uno opposto, cio`e l’indebolirsi del legame che tiene le molecole vicine. All’aumentare dela temperatura si verifica cio`e una maggiore mobilit`a delle molecole che tende a far diminuire la viscosit`a. Quest’ultimo effetto prevale sul primo con la conseguenza che nei liquidi la viscosit`a diminuisce con la temperatura. Un esempio quotidiano di tale fenomeno si osserva quando in cucina si mette dell’olio in una padella. Inizialmente l’olio si muove con difficolt`a aderendo al fondo della padella e fluendo molto lentamente nonostante si disponga la superficie verticalmente; non appena si accende la fiamma, al contrario, si osserva che l’olio fluisce con maggiore facitit`a e, quando `e ben caldo, si comporta ‘come se fosse acqua’. Un grafico della variazione di µ per aria ed acqua `e riportato in figura 1.9 dove si pu`o notare il comportamento opposto al crescere della temperatura caratteristico per gas e liquidi. La pressione ha generalmente un effetto assai ridotto sulla viscosit`a e viene di solito trascurato. Si vedr`a nel seguito che ricorrer`a spesso la quantit`a ν=

µ , ρ

(1.8)

le cui dimensioni sono m2 /s, che prende il nome di viscosit`a cinematica per distinguerla dalla viscosit`a dinamica µ. Dall’equazione (1.8) si pu`o notare che comparendo la densit`a nella definizione di ν quest’ultima ha una dipendenza dalla pressione. Infatti, se un fluido viene compresso la sua densit`a aumenter`a e conseguentemente diminuir`a la viscosit`a cinematica. Questo effetto `e molto importante per i gas mentre si pu`o generalmente trascurare nel caso dei liquidi.

` E SFORZI 1.5. VISCOSITA

15

2.4 2

µ air .10

µ 1.6 . ( N s/m2 )

5

1.2

µH O .10 3

0.8

2

0.4 0 0

20

40

60

80 o

100

T ( C) Figura 1.9: Variazione della viscosit`a con la temperatura per aria ed acqua.

ESEMPIO Sia dato il flusso d’acqua tra due laste piane e parallele come in figura in cui la parete superiore si muove con velocit`a U . Sapendo che il profilo di velocit`a tra le due lastre `e lineare e che la parete inferiore, vincolata ad una molla con costante elastica K, viene spostata di una quantit`a x, determinare il valore di U . l U h

k

h = 4 mm l=1m x = 0.25 cm K = 103 N/m b = 1.3 m b `e la dimensione nella direzione ortogonale al foglio

Soluzione Dalle indicazioni del testo (si vedr`a in seguito che questa `e una soluzione esatta delle equazioni del moto) si ha che il profilo di velocit`a tra le due lastre `e dato da: u(y) = U y/h (se y `e la coordinata ortogonale alle due lastre con origine sulla lastra ferma). La risultante delle forze viscose sulla parete inferiore si ottiene integrando lo sforzo di parete τw = µ(∂u/∂y)y=0 = µU/h sulla superficie della parete F = S τw dS = µU bl/h e questa forza deve eguagliare la reazione della molla F = kx. Da questa relazione si ricava il valore di U = kxh/(µbl) = 6.86 m/s.

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

16

1.6

tensione di vapore

Se riconsideriamo per un istante la schematizzazione di liquido data in figura 1.1c possiamo osservare che le varie molecole pur nel loro moto caotico di agitazione termica sono tenute insieme da delle forze di coesione. A livello statistico, tuttavia, ci saranno delle molecole con energia cinetica maggiore che potranno quindi ‘abbandonare’ la particella fluida. Questo fenomeno si traduce nell’osservazione comune che se un recipiente viene parzialmente riempito di liquido e nello spazio rimanente viene fatto il vuoto si osserva la progressiva formazione di vapore, ossia di molecole di liquido allo stato gassoso, fino al raggiungimento di una condizione di equilibrio (figura 1.10). A livello microscopico, questo equilibrio esprime il bilanciamento statistico tra le molecole che lasciano la fase liquida per entrare in quella gassosa e quelle che seguono il percorso inverso. Il valore di equilibrio della pressione del vapore viene detto tensione di vapore ed il suo valore sar`a fortemente dipendente dalla temperatura. Come ci si aspetta, infatti, a temperature maggiori le molecole saranno animate da un moto di agitazione termica pi` u intenso e quindi un maggior numero avr`a energia cinetica sufficiente a lasciare la fase liquida. La tensione di vapore sar`a quindi una funzione crescente della temperatura e quando questa pressione uguaglia la pressione esterna si verifica l’ebollizione del liquido 5 .

pv

pv T

t Figura 1.10: Schema di formazione della fase gassosa al di sopra di un liquido. Questo fenomeno trova un posto di particolare rilevanza nella tecnologia in quanto, come si vedr`a in seguito, all’interno di un fluido in moto si producono delle zone di bassa pressione dove la velocit`a `e elevata. Se localmente la pressione scende al di sotto della tensione di vapore, il liquido bolle formando delle sacche di gas che quando si richiudono implodono violentemente generando intenso rumore e causando ingenti danni alle strutture. Questo fenomeno `e noto come cavitazione ed `e particolarmente noto ai costruttori di turbine che sono costretti alla periodica sostituzione delle palette a causa della loro usura (vedi figure 1.11 e 1.12). 5

Questo `e il motivo per cui in alta montagna non si riesce a cucinare la pasta al dente. Si verifica infatti che siccome la pressione ambiente diminuisce con la quota, la tensione di vapore dell’acqua bilancia la pressione ambiente a temperature inferiori a T = 100o C (per esempio alla quota di 3000m l’acqua bolle a 90o C) e la pasta cuocendo in acqua a temperatura bassa perde la sua consistenza.

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE

17

Figura 1.11: Visualizzazione della formazione di zone di cavitazione nel flusso intorno ad un’elica per propulsione navale in acqua.

Figura 1.12: Usura della superficie di pala di un’elica navale prodotta dal fenomeno della cavitazione.

1.7

tensione superficiale

Nella sezione 1.1 abbiamo visto che nei liquidi ci sono delle forze coesive che tendono a mantenere le molecole a ‘contatto’ tra loro; ci`o implica che, al contrario dei gas che si

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

18

espandono fino ad occupare l’intero volume messo a loro disposizione, i liquidi formano degli agglomerati compatti in modo da rendere minima la superficie esposta per un dato volume 6 . Questo fenomeno si osserva comunemente quando si formano delle goccie d’acqua su una superficie grassa o sulla carta oleata, oppure quando si dispone del mercurio su un piano. In altre parole, in prossimit`a di un’interfaccia tra un liquido ed un gas o tra liquidi immiscibili, le forze intermolecolari non sono bilanciate in tutte le direzioni e generano un sistema di tensioni che ha lo stesso effetto di una ‘pellicola superficiale’. La presenza di questa ‘pellicola’ pu`o essere evidenziata osservando alcuni insetti in grado di camminare sulla superficie degli stagni come se si muovessero su una membrana elastica, cosa evidentemente impossibile in assenza delle tensioni di suerficie. Le carateristiche di queste tensioni dipendono dalla natura dei due fluidi a contatto e dalla temperatura (oltre che dal grado di purezza dei fluidi) e possono essere sia di natura attrattiva che repulsiva. ` bene osservare che le forze coesive tra molecole sono presenti in tutti i punti del fluido, E sia all’interno che all’interfaccia; nel primo caso, tuttavia queste avranno risultante nulla in quanto si bilanceranno tra loro (figura 1.13a). Nelle zone di interfaccia, al contrario, le molecole non sono circondate dallo stesso fluido su ogni lato e la risultante delle forze di coesione `e diversa da zero (figura 1.13b). Ci`o implica che le molecole all’interno del fluido possono muoversi in qualunque direzione senza che le forze coesive oppongano alcuna resistenza. Viceversa se si prova a spostare una molecola all’interfaccia ulteriormente al di fuori della particella fluida le forze coesive si opporrano generando una tensione allo stesso modo di una membrana elastica.

a)

b)

Figura 1.13: Forze di coesione agenti in un liquido su una molecola interna a) ed `e riportata la configurazione con l’interfaccia all’interfaccia b). Con la linea deformata.

6

In assenza di perturbazioni esterne questa superficie `e quella sferica. Nella realt`a, tuttavia, il fluido `e sottoposto anche all’azione della gravit` a che tende a deformare la superficie. Comunque per goccie particolarmente piccole, poich´e le forze di volume tendono a zero pi` u rapidamente di quelle superficiali, la forza peso si pu` o trascurare e le superfici sono effettivamente delle sfere.

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE

1.7.1

∗

19

effetto della curvatura della superficie

Le azioni di tensione superficiale all’interfaccia tra due fluidi immiscibili genera delle forze tangenti alla superficie stessa che, nel caso di un’interfaccia non piana, induce anche una forza normale e quindi una differenza di pressione tra i fluidi. Per mettere in relazione questa differenza di pressione con le caratteristiche geometriche della superficie, consideriamo lo schema in figura 1.14 in cui viene isolato un elemento di superficie con i lati dl1 e dl2 ortogonali e raggi di curvatura, rispettivamente, r1 ed r2 . Detta σdl2 la forza ortogonale al lato dl2 si ha che la componente in direzione normale risulta dF2 = σdl2 dθ = σ

dl1 dl2 r1

(1.9)

con un’espressione analoga per la forza ortogonale al lato dl1 ; dF1 = σ(dl1 dl2 )/r2 . Queste forze sono bilanciate dalla differenza di pressione tra i fluidi, ottenendo


∆pdl1 dl2 = σdl1 dl2

1 1 + r1 r2






=⇒

∆p = σ

1 1 + r1 r2



(1.10)

con la pressione maggiore dal lato convesso della superficie. ` utile osservare che la quantit`a 1/r1 + 1/r2 , che `e il doppio del raggio di curvatura E medio della superficie, `e un invariante geometrico indipendente dal sistema di riferimento scelto e ci`o torna intuitivamente con il fatto che la differenza di pressione che si genera all’interfaccia tra i due fluidi deve chiaramente essere indipendente dal sistema di riferimento che si sceglie per descrivere il fenomeno.

dθ r1 r2 σdl2 dθ 2

σ dl 1

σdl2 dl1

dθ

dl2

Figura 1.14: Sistema di forze generate dalla tensione superficiale su una superficie curva.

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

20

La situazione appena illustrata si riferisce ad un’unico fluido circondato da un gas oppure da un fluido circondato unicamente da un altro fluido 7 . La configurazione diventa notevolmente pi` u complesa nel caso in cui ci siano pi` u fluidi a contatto sia con un gas che con una superficie solida. Presa come esempio la situazione in figura 1.15 si ha chiaramente che deve risultare (1.11) σ13 − σ23 = σ12 cos α in cui l’angolo di contatto dipende dai valori delle tensioni superficiali dei materiali a contatto. Quando risulta α > π/2 (ossia σ23 > σ13 ) si ha che il fluido 2 non bagna il mezzo 3 (per esempio mercurio su vetro). Se invece | σ13 − σ23 |>| σ12 | l’equazione (1.11) non pu`o evidentemente essere soddisfatta per alcun valore di α implicando che non `e possibile raggiungere una configurazione di equilibrio come quella riportata in figura 1.15. Questa `e la situazione che tipicamente si verifica quando sull’interfaccia aria–acqua si deposita qualche goccia di olio che tende a spandersi uniformemente fino a formare un sottile velo uniforme.

σ12 α σ23 2

1 σ13 3

Figura 1.15: Sistema di forze generate dalla tensione superficiale nel punto di contatto tra tre mezzi diversi (di cui almeno uno sia un liquido). Una situazione comune in cui la tensione superficiale ha un ruolo determinante `e nell’impatto di un corpo con un’interfaccia tra fluid immiscibili. In questo caso, infatti, l’impatto produce una deformazione della superficie con linee a piccolo raggio di curvatura. In queste regioni la tensione superficiale ha un effetto dominante sulle altre forze e tende a generare delle piccole goccie che minimizzano la superficie esposta rispetto al volume di fluido contenuto (figura 1.16). Questo `e lo stesso motivo per cui quando si lascia scendere dal rubinetto un ‘filino’ d’acqua questo prima o dopo si frantuma in piccole gocce. Le particelle fluide, infatti, a causa della forza di gravit`a tenderebbero ad aumentare indefinitamente la loro velocit`a e la vena fluida, per conservare la portata, dovrebbe diventare infinitamente sottile. Accade quindi che la distanza tra punti diametralmente opposti della superficie del getto diviene tanto piccole da permettere alla tensione superficiale di diventare efficace e rompere la vena continua in molteplici gocce (figura 1.17). 7

In questo caso la tensione superficiale σ `e il valore di un fluido rispetto all’altro.

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE

21

Figura 1.16: Deformazioni della superficie libera e frammentazione conseguente all’impatto di una goccia d’acqua con un’interfaccia acqua/aria.

Figura 1.17: Rottura di un getto d’acqua a sezione circdolare di diametro d = 4 mm indotta dalla tensione superficiale.

1.7.2

capillarit` a

Consideriamo infine la combinazione di effetti di tensione superficiale e forza di gravit`a il cui fenomeno pi` u noto `e quello della capillarit`a. In figura 1.18 sono riportati due esempi di comportamento per le interfacce tra aria–acqua–vetro e aria–mercurio–vetro da cui si pu`o vedere che non solo i fenomeni di tensione superficiale dipendono dalla natura dei due fluidi ma anche dalle forze di adesione dei fluidi con il solido. Nell’esempio specifico `e rappresentato un capillare (un tubicino di sezione O(1)mm) in vetro immerso in un recipiente contenente del fluido. A seconda dei casi, l’interfaccia aria–fluido pu`o salire o scendere rispetto al livello esterno e per il calcolo dell’altezza h si procede semplicemente effettuando un bilancio di forze. Se σ esprime il valore della tensione superficiale (in unit`a N/m) la forza totale esercitata dall’interfaccia sar`a pari al perimetro della circonferenza moltiplicata per il valore della tensione ossia 2πRσ orientata come in figura 1.18c. Questa forza, proiettata nella direzione verticale dovr`a bilanciare il peso della colonna di fluido sollevata (o abbassata); risulter`a quindi: 2πRσ cos θ = ρghπR2 ,

⇒

h=

dove si osservi che h `e la quota media dell’interfaccia.

2σ cos θ , ρgR

(1.12)

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

22

Il valore dell’angolo θ `e determinato dal bilancio tra le forze di adesione tra il fluido ed il capillare e le forze di coesione all’interno delle molecole del fluido. Se un fluido tende a ‘bagnare’ una superficie allora le forze di adesione superano quelle di coesione e l’angolo θ sar`a minore di 90o . Sa al contrario il fluido non aderisce al capillare allora saranno le forze di coesione a prevalere su quelle di adesione e l’angolo θ risulter`a maggiore di 90o . La determinazione di θ viene effettuata per via sperimentale ed acqua e mercurio sono due prototipi di fluido per i comportamenti precedentemente descritti risultando, rispettivamente θH2 O
0o e θHg
130o .

R

h

θ

2πRσ

a)

b)

2

c)

ρg π R h Figura 1.18: Esempi di tensione superficiale all’interfaccia tra aria–acqua–vetro a), aria– mercurio–vetro b). Bilancio tra forza peso e tensione superficiale c).

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE

23 ESEMPIO

Assumendo che la linfa salga dalle radici alle foglie di un albero per capillarit`a calcolare il raggio dei vasi linfatici (supposti circolari) per un albero di altezza h = 15 m. Soluzione Come `e stato detto, i fenomeni di tensione superficiale dipendono sia dal fluido e dal suo grado di purezza sia dal materiale con il quale viene a contatto. Tuttavia, volendo attenere una stima di larga massima, si possono assimilare le propriet`a della linfa a quelle dell’acqua ed i vasi linfatici ad un capillare in vetro. In tal caso, ricorrendo alla formula (1.12) avendo posto θ
0 e σ = 7.34 · 10−2 N/m si ottiene 2σ cos θ R= = 9.97 · 10−7 m. ρgh Il presente valore (∼ 1µm) risulta estremamente piccolo ed `e poco probabile che all’interno do un tronco si possa realizzare un condotto, privo di imperfezioni del raggio di 1µm per tutta la sua lunghezza. Nella realt`a il meccanismo che porta la linfa alle foglie `e l’osmosi, in quanto evaporando l’acqua attraverso le foglie si creano concentrazioni maggiori di sali in alto che attirano l’acqua dalle radici.

24

` SUI FLUIDI CAPITOLO 1. GENERALITA

Capitolo 2 Statica dei fluidi Una categoria importante di problemi della fluidodinamica `e costituita da quei fenomeni in cui il fluido si trova in quiete oppure si muove senza generare degli sforzi di taglio; sebbene questa condizione possa sembrare estremamente restrittiva, ci si render`a conto che riguarda una vasta gamma di problemi pratici. Il dimensionamento di una diga, la sollecitazione generata in un serbatoio in pressione, la forma della superficie libera di un liquido in rapida rotazione o il sollevamento in volo di una mongolfiera sono solo alcuni esempi tra molti che incontriamo nella realt`a quotidiana. In tutti questi casi le uniche forze presenti sono forze di pressione e forze di volume, la determinazione della cui risultante `e lo scopo di questa parte della fluidodinamica.

2.1

pressione in un fluido

Volendo determinare la risultante delle forze di pressione su una superficie immersa in un fluido, ci si deve porre immediatamente la domanda di come la pressione dipenda dall’orientamento dell’elemento di superficie su cui agisce. Consideriamo a tale scopo un fluido in quiete dal quale si tolga un elemento a forma di prisma e si consideri il diagramma di corpo libero per tale elemento (figura 2.1).

p dyds z

y x

dz pydzdx

θ ds dx ρ gdxdydz 2

dy

Figura 2.1: Diagramma di corpo libero per un elemento di fluido in quiete. 25

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

26

Essendo l’elemento di fluido in quiete, la risultante delle forze applicate dovr`a essere nulla; considerando quindi l’equilibrio nella direzione verticale z e nella x si ottiene pz dxdy − pdyds cos θ = ρgdxdydz,

px dydz = pdyds sin θ,

(2.1)

da cui osservando che ds sin θ = dz e ds cos θ = dx, si ha: pz − p = ρgdz/2 e p = px . D’altra parte, essendo interessati alla pressione in un punto, possiamo far tendere a zero le dimensioni del prisma mantenendone invariata la forma da cui risulta per dx, dy, dz −→ 0 pz = p,

px = p,

(2.2)

ossia la pressione in un punto ha lo stesso valore indipendente dal valore dell’angolo θ. Se ora ricordiamo che tanto il valore di θ quanto l’orientamento del prisma sono stati scelti in modo del tutto arbitrario arriviamo alla conclusione di validit`a generale che il valore della pressione in un punto `e indipendente dalla direzione in cui agisce, questa affermazione `e nota come Legge di Pascal. Questo esempio ci d`a anche lo spunto per riflettere su un’altra questione molto importante in fluidodinamica. Indicando con dl l’ordine di grandezza dei lati del prisma si ha che le forze di pressione sono proporzionali a dl2 mentre la forza peso `e proporzionale a dl3 . Questa stima `e generale e si pu`o applicare a tutte le forze di superficie e di volume. Ci`o implica che al diminuire delle dimensioni di un corpo, le forze di volume e di superficie non diminuiscono nello stesso modo ma le prime perdono sempre pi` u importanza mentre le seconde diventano preponderanti. Questo effetto si chiama effetto scala ed `e il motivo per cui quando si costruisce un aeromodello non basta ridurre in scala tutte le dimensioni ma bisogna anche cambiare la curvatura dei profili alari per avere un giusto bilanciamento tra il peso dell’aeromodello e la forza di sostentamento (portanza) 1 .

2.2

distribuzione di pressione in un fluido

Dopo aver stabilito che la pressione in un punto agisce in ugual modo in tutte le direzioni bisogna ora capire in che modo la pressione varia all’interno di un fluido in quiete o in moto ma sempre sotto la condizione che non siano presenti degli sforzi tangenziali interni al fluido. In modo simile all’esempio precedente, si consideri un elemento di fluido a forma di parallelepipedo (figura 2.2) e si applichi la seconda legge della dinamica F = ma. Indicando con p il valore della pressione al centro dell’elemento ed utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor si avr`a per le pressioni sulle facce perpendicolari all’asse y p−∂p/∂y(dy/2) e p+∂p/∂y(dy/2) da cui, detta ρ la densit`a del fluido ed ay la componente dell’accelerazione lungo la direzione y si pu`o scrivere l’equilibrio dell’elemento: 







∂p dy ∂p dy p− dxdz − p + dxdz = ρdxdydzay , ∂y 2 ∂y 2

1

⇒

−

∂p = ρay . ∂y

(2.3)

Un altro esempio si ha negli impatti dei corpi; se cade a terra un cucciolo di elefante o un elefante adulto l’effetto sulla struttura ossea certamente non sar` a lo stesso anche se i due animali possono certamente essere considerati in scala.

2.2. DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

27

dz p - δp dy dxdz δy 2 z

p + δp dy dxdz δy 2

p y x

dx

dy ρ gdxdydz

Figura 2.2: Equilibrio delle pressioni per un elemento di fluido.

L’equilibrio si scriver`a in modo del tutto analogo nella direzione x mentre per la direzione verticale z bisogner`a includere tra le forze il peso: 







∂p dz ∂p dz p− dxdy − p + dxdy − ρdxdydzg = ρdxdydzaz , ∂z 2 ∂z 2

(2.4)

ossia −

∂p − ρg = ρay . ∂z

Se ora osserviamo che il gradiente della pressione (in un sistema di coordinate cartesiane) fornisce l’espressione ∇p =

∂p ∂p ∂p xˆ + yˆ + zˆ, ∂x ∂y ∂z

(2.5)

dove xˆ, yˆ e zˆ sono i versori degli assi, ed indicando con f il vettore contente tutte le densit`a di forze di volume (nell’esempio in questione f = −gˆ z ), l’equilibrio dell’elemento di fluido si scrive −∇p + ρf = ρa

(2.6)

che ha validit`a generale qualunque siano f ed a. L’unica restrizione all’applicazione di questa relazione resta quindi l’assenza di sforzi viscosi all’interno del fluido.

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

28

ESEMPIO Un camion trasporta del liquido che riempie per 2/3 il cassone a forma di parallelepipedo, aperto in superficie e con le sponde laterali di altezza H. Se percorre una curva circolare di raggio R alla velocit`a costante U , calcolare la massima velocit`a con cui pu`o percorrere la curva prima che fuoriesca il liquido. U

H l = 2.5 m R = 200 m

h l

H=2m (h = 2H/3)

R

Soluzione In un sistema di riferimento solidale con il camion, sul fluido agiranno la forza peso e quella centrifuga per cui, preso un sistema d’assi come in figura, le equazioni per la statica del fluido saranno: −

∂p − ρg = 0, ∂z

−

∂p U2 +ρ = 0, ∂r R

rispettivamente per le componenti verticale e radiale. D’altra parte per il differenziale della pressione si pu`o scrivere dp =

z

∂p U2 ∂p dz + dr = ρgdz + ρ dr. ∂z ∂r R

. Essendo la superficie libera una superficie iso- h pressione risulta per`o dp = 0 da cui si ricava per la superficie libera U2 U 2r dz = , =⇒ z(r) = + C. dr Rg Rg La costante C si determina in base al volume iniziale di fluido. La condizione critica si ha quando z(r = l) = H e per conservare la massa deve risultare h1 = 2h − H che risulter`a anche il valore di C = z(r = 0). Da ci`o si ricava H = U 2 l/(Rg) + 2h − H ossia U = 2Rg(H − h)/l = 32.34 m/s.

H

g

h1 r

O

2.3. VARIAZIONI DI PRESSIONE IN UN FLUIDO IN QUIETE

2.3

29

variazioni di pressione in un fluido in quiete

La relazione (2.6) permette, come caso particolare, di determinare la variazione di pressione con la quota per un fluido soggetto solamente al peso proprio. In questo caso risulter`a a = 0 ed orientando l’asse z nella stessa direzione ma verso opposto rispetto alla gravit`a f = −gˆ z si ottiene dalla (2.6) dp = −ρg. (2.7) dz Evidentemente l’integrazione di questa relazione fornisce risultati differenti a seconda che la densit`a si possa considerare indipendente o meno dalla coordinata z. Nel caso dei liquidi abbiamo visto che il modulo di comprimibilit`a ha valori estremamente elevati (O[GPa]) e la variazione di densit`a pu`o essere sicuramente trascurata ottenendo cos`ı p(z) = p(0) − ρgz,

(2.8)

in cui p(0) `e il valore della pressione alla quota z = 0 scelta come riferimento. Nel caso dell’acqua (ρ = 1000Kg/m3 ) la relazione (2.8) ci dice che ogni 10 metri di profondit`a (z = −10m) si ha una variazione di pressione ∆p = 98000Pa ossia circa un’atmosfera. Questo fatto dovrebbe essere ben noto a tutti quelli che fanno immersioni in quanto il continuo aumento di pressione con la profondit`a costringe a frequenti compensazioni tra la pressione interna dell’orecchio e quella esterna che agisce sul timpano durante la fase di immersione. Se invece dei liquidi consideriamo i gas, le variazioni di densit`a con la quota non saranno pi` u trascurabili e l’integrazione dell’equazione (2.7) deve tenere conto della forma specifica di ρ(z). Un caso semplice `e costituito da uno strato di gas che obbedisca all’equazione di stato dei gas perfetti e che sia isotermo risultando cos`ı ρ = p/(RT ) con il fattore 1/(RT ) costante in z e dipendente solo dalla temperatura e dal gas specifico considerato. Questa relazione, sostituita nella (2.7) fornisce gp dp =− , dz RT

⇒

dp g =− dz, p RT

(2.9)

da cui si ottiene per integrazione log

g p(z) =− z, p(0) RT

⇒

g

p(z) = p(0)e− RT z ,

(2.10)

da cui si vede che la diminuzione di pressione con la quota `e un esponenziale decrescente. Ci`o implica che pur salendo in quota, prendendo dei ∆z costanti si ottengono dei decrementi di pressione sempre pi` u piccoli; questo effetto si pu`o comprendere intuitivamente osservando che gli strati inferiori dell’atmosfera sono compressi dal peso degli strati superiori e questo peso diminuisce con z per due fattori ı) lo spessore di fluido `e minore ıı) il fluido ha una densit`a sempre minore perch´e meno compresso. ` comunque importante notare che dato il basso valore di densit`a dei gas, le variazioni E di pressione dovute al peso proprio diventano importanti solo per variazioni di quota

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

30

dell’ordine delle centinaia o migliaia di metri. Per provare questa asserzione si pu`o, per esempio applicare la relazione (2.10) all’aria a temperatura ambiente osservando che per una variazione di quota di z = 50m si ha una variazione relativa di pressione di solo lo 0.59%.

2.4

atmosfera standard

Tra i problemi di determinazione di variazioni di pressione con la quota, quello dell’atmosfera riveste una particolare rilevanza pratica a causa di tutte le applicazioni di trasporto aereo, meteorologia e geofisica. Purtroppo le cause che determinano le variazioni di pressione nell’atmosfera sono molteplici e complesse 2 e ci`o ha reso necessaria la definizione di valori standard applicabili ovunque ed in qualunque momento dell’anno in modo da avere dei valori di riferimento.

z (Km) 100

ionosfera

mesopausa

80

mesosfera

60

stratopausa

40 stratosfera

20 tropopausa troposfera

0

158

208

278 T (K)

Figura 2.3: Distribuzione della temperatura con la quota nell’atmosfera. Queste condizioni di riferimento sono state fissate mediando i valori in un anno di tutto il globo alla latitudine 40o nord il che fornisce una temperatura al suolo di T (0) = 288.15K (15o C) ed una pressione di p(0) = 101330Pa. Per le variazioni di temperatura con la quota `e stato provato che nella zona compresa tra 0 ed 11000m (troposfera) si ha una diminuzione lineare di temperatura con gradiente costante pari a τ = 0.0065K/m (ossia 6.5 gradi ogni Km di quota) da cui si ottiene T (z) = T (0) − τ z. (2.11) Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti si possono quindi mettere in relazione p e ρ con la quota 2

Se ci limitiamo solamente a considerare la pressione al suolo, possiamo gi`a notare che questa varia con la latitudine e con le condizioni meteorologiche di ‘alta’ o ‘bassa pressione’ risultando cos`ı funzione del tempo oltre che dello spazio.

2.5. FORZE DI PRESSIONE p = RT, ρ

31

p = R(T (0) − τ z), ρ

ρ=

p , R(T (0) − τ z)

(2.12)

che sostituita nella (2.7) diventa pg dp =− , dz R(T (0) − τ z)

dp g dz =− , p R T (0) − τ z

p(z) = p(0)



T (0) − τ z T (0)



g τR

.

(2.13)

Infine, dalle funzioni T (z) e p(z) si ricava facilmente dall’equazione di stato la funzione per ρ(z). Al di sopra della troposfera c’`e uno strato dello spessore di circa 2Km caratterizzato da un gradiente termico di circa 0.002K/m che `e detto tropopausa. Per quote ancora superiori e fino a circa 50Km c’`e invece la stratosfera caratterizzata da temperatura che inizialmente `e pressoch´e costante (fino a circa 20Km) mentre successivamente aumenta dapprima lievemente e poi in modo pi` u marcato. A quote ancora superiori si entra nella mesosfera dove si osserva una nuova diminuzione di temperatura fino alla quota di 80Km. Al di sopra dei 90Km si ha infine la ionosfera con una temperatura crescente; in questa regione, tuttavia, il valore estremamente basso di densit`a e la ionizzazione dei gas presenti (a causa della radiazione solare) non permette pi` u di utilizzare l’ipotesi di continuo e non verr`a quindi descritta in questa sede.

2.5

forze di pressione

Possiamo a questo punto calcolare il sistema delle forze di pressione che un fluido in quiete esercita su una superficie di forma qualunque il che generalmente richiede il calcolo dellla sua risultante F e della coppia M. Si consideri allo scopo una superficie S (figura 2.4) e, isolato l’elemento d’area dS, si calcoli la forza elementare agente su tale superficie dF = −pndS dove n `e la normale orientata dal lato in cui il fluido ‘bagna’ la superficie. Per la forza totale si avr`a semplicemente:  (2.14) F = −pndS. S

Preso invece un polo O e detto x il vettore che unisce il polo con la forza infinitesima dF si ha  M = −px × ndS. (2.15) S

Bisogna notare che sebbene dal punto di vista teorico la soluzione di questo problema sia elementare e si risolva utilizzando elementi classici della teoria dei vettori, la possibilit`a pratica di calcolare effettivamente gli integrali (2.14 e 2.15) `e alquanto limitata e, nel caso generale, quasi mai possibile per via analitica. Le difficolt`a possono derivare sia dalla complessit`a della superficie e dall’orientazione della sua normale ma anche dalla distribuzione della pressione che in linea di principio potrebbe essere una funzione complicata dello spazio; in questi casi si procede ad una soluzione del problema per via numerica in

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

32

dF=-pn dS dS z x O

n

x y

Figura 2.4: Forza di pressione agente su una superficie. cui la superficie viene discretizzata in tanti elementi sui quali la pressione si possa ritenere costante e gli integrali divengono delle sommatorie discrete. Ci sono tuttavia numerose applicazioni pratiche in cui la pressione `e costante o varia linearmente con la quota (rispettivamente, nei gas per variazioni di quota limitate o nei liquidi) e le superfici in esame sono piane o si possono decomporre in un numero limitato di superfici piane, in tal caso `e possibile risolvere gli integrali trovati per via analitica e trovare delle formule risolutive di grande utilit`a per le applicazioni pratiche.

2.5.1

pressione costante

Iniziamo con il considerare il caso in cui la superficie sia piana e la pressione risulti costante come negli esempi raffigurati nelle figure 2.5 e 2.6. Analizziamo in dettaglio l’esempio di figura 2.5; riprendendo l’espressione (2.14) si ha che la normale `e orientata sempre nello stesso modo su tutta la superficie e la pressione non varia ottenendo cos`ı F = −pSn 3 . La pressione sul fondo del contenitore sar`a data dalla somma della pressione atmosferica u la componente idrostatica risultando p = p0 + ρgh. p0 pi` Per il calcolo della retta d’applicazione consideriamo la direzione x e notiamo che nell’espressione (2.15) la normale `e costantemente ortogonale al braccio x mentre la risultante 3`

E utile evidenziare che, come `e noto dalla meccanica razionale, essendo questo un sistema di vettori paralleli, `e possibile ricondurre le forze di pressione ad un unico vettore risultante senza la necessit` a di calcolarne il momento. In particolare il ‘trinomio invariante’ T = M × F `e identicamente nullo, in quanto M ed F sono ortogonali, e ci` o implica che per caratterizzare il sistema di forze `e sufficiente calcolarne la risultante F ed un appropriato punto d’applicazione tale da bilanciare il momento delle forze dato dalla (2.15).

2.5. FORZE DI PRESSIONE

33

p0

z

h dF y

x

F y

p

rx

x Figura 2.5: Forza di pressione generata da un liquido agente su una superficie orizzontale.

p

pI > p0

0

S F =( pI - p0)S Figura 2.6: Forza di pressione generata da una gas agente su una superficie piana. F dovr`a essere normale al braccio rx . Esplicitando quindi l’integrale in (2.15) si ha 

p

S

xdS =| F | rx , =⇒ p



 S

xdS = pSrx , =⇒ rx =

S

xdS . S

(2.16)

Lo stesso ragionamento pu`o essere effettuato in modo del tutto analogo per determinare il  punto di applicazione della risultante nella direzione y ottenendo l’espressione ry S ydS/S per cui in forma vettoriale  xdS , (2.17) r= S S da cui si vede che in tali circostanze la retta d’applicazione viene determinata esclusivamente dalle caratteristiche geometriche della superficie. L’integrale in (2.17) `e un integrale noto nella geometria ed r corrisponde esattamente alla definizione di centroide di una figura. In conclusione si pu`o quindi affermare che nel caso in cui la superficie sia piana e la pressione abbia un valore costante su tale superficie, il sistema di forze di pressione `e equivalente ad un’unica forza il cui modulo `e dato dal prodotto della pressione per la superficie mentre il punto d’applicazione si trova nel centroide della superficie stessa 4 . 4

Nell’esempio di figura 2.5 `e stata calcolata la forza di pressione come F = −pSn dove essendo

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

34

2.5.2

distribuzione lineare di pressione

Come `e stato mostrato nella sezione 2.3 il caso di una pressione linearmente crescente o decrescente con la quota, concerne tutti quei problemi in cui `e presente un fluido la cui densit`a possa essere considerata costante (generalmente tutti i liquidi). Cerchiamo ora di determinare la risultante delle forze di pressione su una superficie piana immersa in tale fluido e comunque orientata. A tale scopo consideriamo la figura 2.7 e notiamo u il che la pressione alla generica quota z  sar`a la somma di quella atmosferica p0 pi`  contributo ρgz essendo ρ la densit`a del fluido in esame. La forza dovuta alla pressione atmosferica (che `e costante su tutta la superficie S) si determina come mostrato nella sezione precedente e non verr`a considerata ulteriormente nel presente esempio. Utilizzando la (2.14) la componente di pressione linearmente crescente con la quota, dar`a luogo ad una forza pari a F = −ρgn

 S

z  dS = −ρgn cos θ

 S

zdS = −ρg cos θzC Sn = −ρgzC Sn,

(2.18)

dove con zC si `e indicata la coordinata del centroide di S e con zC la coordinata corrispondente sull’asse z  . Per la retta d’applicazione, si possono invece uguagliare i momenti rispetto all’asse x delle forze di pressione e della risultante; per le prime, seguendo la (2.15), si scrive 

M=

S

ρgn × zˆ

z × dF = −

 S



 S

pz × ndS = −ρgˆ z×n −1

z zdS = ρg(cos θ) xˆ

 S

 S

z  zdS =

(2.19)

z 2 dS = ρg(cos θ)−1 xˆIx ,

essendo Ix il momento d’inerzia 5 di S rispetto all’asse x e zˆ e xˆ, rispettivamente i versori degli assi z ed x. Per il momento della risultante si avr`a invece M = zR × F = ρgzC (cos θ)−1 SzR zˆ × n = ρg(cos θ)−1 zC SzR xˆ,

(2.20)

p = p0 +ρgh si `e considerato anche il contributo della pressione atmosferica. Non bisogna per` o dimenticare che c’`e un’ulteriore forza che `e quella prodotta dalla pressione atmosferica che agisce sulla stessa superficie esternamente al sebatoio. Seguendo un ragionamento identico ai precedenti si avr` a una nuova forza F0 = −p0 Sn avente esattamente lo stesso punto di applicazione di F ma verso opposto. Ne conseguir`a che la forza totale applicata ad S sar`a Ftot = −ρghS zˆ. 5 La quantit` a Ix `e indicata con il nome di momento d’inerzia e ci` o pu` o trarre in inganno un quanto c’`e un’altra grandezza definita come IV = V ρr2 dV (con V volume, ρ densit`a ed r distanza del volume elementare dV rispetto ad un generico punto O) che viene pure chiamata momento d’inerzia. Tuttavia l’analisi delle dimensioni delle due quantit` a permette di fare un minimo di chiarezza in quanto la prima (Ix ) dimensionalmente `e una lunghezza alla quarta potenza mentre la seconda `e una massa per una a puramente geometrica e consistentemente lunghezza al quadrato. In altre parole Ix `e una quantit` entra in gioco quando si fanno considerazioni di statica. Al contrario IV (contenendo la massa) `e una quantit` a dipendente dall’inerzia dell’oggetto sotto esame e deve essere considerato nell’analisi di quantit` a dinamiche. In alcuni testi la quantit` a Ix viene chiamata momento di figura per evitare la confusione con IV .

2.5. FORZE DI PRESSIONE

35

p0 dF = -pndS

x θ S dS z

z’

Figura 2.7: Forza di pressione generata da un liquido agente su una superficie generica. per cui uguagliando gli ultimi membri di (2.19) e (2.20) si ottiene zR =

Ix zC S

(2.21)

che ci fornisce la coordinata z in cui `e applicata la risultante delle forze di pressione. Il momento d’inerzia Ix sar`a chiaramente differente a seconda dell’asse x rispetto al quale si valuta ed in linea di principio andrebbe calcolato caso per caso. Tuttavia, utilizzando un noto teorema della meccanica razionale `e possibile, una volta noto Ix per un generico asse x calcolare Ix
rispetto a qualunque asse x . Detto allora Ixc il momento d’inerzia di S rispetto ad un asse parallelo ad x ma passante per il centroide di S si pu`o scrivere (2.22) Ix = Ixc + zC2 S per cui dalla (2.21) zR = zC +

Ixc . zC S

(2.23)

La quantit`a Ixc ha il vantaggio di essere gi`a calcolata per la maggior parte delle figure geometriche regolari per cui in base alla (2.23) risulta banale il calcolo del punto di applicazione della risultante delle pressioni. In figura 2.8 vengono riportati i valori di Ixc per alcune figure geometriche regolari. Osservando inoltre l’espressione (2.23) si nota che il secondo termine a secondo membro `e certamente definito positivo per cui deve risultare zR > zC , ossia il punto di applicazione ` altrettanto interessante della risultante delle forze `e pi` u in basso rispetto al centroide. E osservare che la differenza tra zR e zC non `e costante ma dipende dalla quota di immersione attraverso zC stesso (che `e determinato rispetto ad un asse la cui origine coincide con la

36

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

Figura 2.8: Caratteristiche geometriche di alcune figure regolari. superficie libera del fluido). In particolare, all’aumentare della profondit`a a cui `e immersa S, zC aumenter`a mentre sia S che Ixc rimarranno costanti da cui ne consegue che zR → zC (figura 2.9). Il motivo fisico di ci`o `e che se zC → ∞ la variazione della pressione sulla superficie diventer`a sempre pi` u piccola rispetto alla pressione media e la risultante tender`a a comportarsi come se la pressione fosse costante (e quindi applicata nel centroide). Per quanto riguarda il punto di applicazione della risultante nella direzione x si pu`o notare che, suddividendo S in tante striscie parallele all’asse x su ognuna delle striscie la pressione risulta costante e quindi la forza di pressione deve essere applicata nel centroide dalla striscia; integrando quindi su tutte le striscie elementari si ottiene che la risultante delle forze di pressione `e applicata nella x del centroide. Riassumendo possiamo concludere affermando che: presa una superficie piana immersa in un fluido la cui pressione vari linearmente con la quota e preso un sistema d’assi x − z con l’origine su pelo libero del fluido ed orientato come in figura 2.9 si ha che la risultante

2.5. FORZE DI PRESSIONE

37

pmin zc zr pmax p= ρ gz

pmin zc zr pmax

z

Figura 2.9: Variazione del punto di applicazione della risultante delle forze di pressione con la quota di immersione z.

delle forze di pressione sar`a pari al prodotto della superficie S per la pressione valutata alla quota del centroide zC ed orientata come −n. Tale risultante sar`a applicata in un punto di coordinate (xC , zR ) in cui xC `e la coordinata x del centroide e zR `e un punto pi` u in basso del centroide definito in (2.23).

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

38

ESEMPIO Una paratia come in figura si trova sotto il livello dell’acqua ed `e incernierata in C. Determinare il minimo valore di P per impedire la fuoriuscita di liquido. (Si trascuri il peso proprio della paratia e l’attrito della cerniera. La dimensione b `e ortogonale al foglio.) h1

C

h1 = 7.m l1 = 3 m

h2

h2 = 5 m b=6m

P l1

Soluzione

h1 Dall’equilibrio dei momenti intorno alla cerniera C si ha: F1 b1 + F2 b2 = P h2 con, F1 = ρg(h1 + h2 /2)bh2 = 2795850 N, F2 = ρg(h1 + h2 )l1 b = 2118960 N, b1 = yR − h1 = h2 /2 + bh32 /(12bh2 [(h1 + h2 /2)] = 2.719 m e b2 = l1 /2. Dall’equilibrio dei momenti si ricava, quindi: P = 2156071 N.

C b1

h2

F1 b2 F2 l1

P

2.5. FORZE DI PRESSIONE

39 ESEMPIO

Data la configurazione nell’illustrazione calcolare l’intensit`a della forza F per evitare l’apertura dello sportello incernierato in C. l l1

C θ

l = 1.2 m l1 = 1.4 m b = 1.5 m l2 = 2 m θ = 45o fluido:acqua l2 b `e la dimensione dello sportello F nella direzione ortogonale al foglio.

Soluzione Sul tratto inclinato dello sportello agir`a una forza F1 = ρgh1c A1 = 27677 N, essendo h1c = (l + l1 /2) sin θ = 1.3435 m.  = Questa forza `e applicata nel punto y1R  1.986 m misurato sull’asse y con origine in O . Nello stesso modo, sul tratto verticale agir`a una forza F2 = ρgh2c A2 = 83536.4 N con h2c = (l + l1 ) sin θ + l2 /2 = 2.838 m applicata nel punto y2R = 2.955 m misurato sull’asse y con origine in O. Dall’equilibrio dei momenti intorno alla cerniera C si ha: F1 b1 + F2 b2 = F bF con b1 = yR1 − l = 0.786 m, b2 = y2R − l sin θ = 2.1064 m e bF = l1 sin θ + l2 = 2.99 m da cui si ricava F = 66126 N.

2.5.3

O’

O

l

l1

C b2

b1 F1

θ

bF l2

F2

F y’ y

forze di pressione su una superficie curva

Nelle due sezioni precedenti abbiamo considerato problemi in cui la superficie in esame poteva essere interamente contenuta in un piano e questo ha permesso di ottenere delle formule generali per il calcolo della risultante delle forze di pressione. Ci sono tuttavia delle applicazioni in cui questa ipotesi non pu`o essere applicata e ci`o nonostante `e possibile calcolare la risultante delle forze di pressione senza ricorrere al calcolo esplicito degli integrali (2.14) e (2.15). Si consideri allo scopo la figura 2.10 in cui si voglia calcolare la

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

40

forza risultante sulla superficie esterna che delimita la regione di fluido pi` u scura 6 . Se si isola il volume di fluido delimitato da tale superficie e dalle superfici piane orizzontali e verticali interne al fluido si pu`o tracciare il diagramma di corpo libero per tale volume e determinare le reazioni che la superficie esterna esercita sul fluido. Utilizzando le formule ricavate precedentemente si ricavano facilmente Fy ed Fx da cui dall’equilibrio alla traslazione in x ed y si ha Frx = Fx ,

Fry = Fy + W,

(2.24)

essendo W il peso del volume di fluido racchiuso nella zona evidenziata in figura 2.10. Il vettore della forza risultante avr`a quindi modulo Fr e former`a con l’asse x un angolo α cos`ı determinati:  Fry 2 + F2 , α = tan−1 . (2.25) Fr = Frx ry Frx

Fy

Fx

r

Frx

G

y

x

W Fry

Fr

α

Figura 2.10: Forze di pressione su una superficie curva. Per determinare la retta di applicazione di Fr basta infine equilibrare i momenti delle forze rispetto ad un punto. Se, per esempio si sceglie il baricentro, detti r, rx ed ry , rispettivamente, i bracci di Fr , Frx ed Fry rispetto a G si ricava dall’equilibrio alla rotazione Fr r + Frx rx − Fry ry = 0, 6

(2.26)

Si noti che anche in questo caso il sistema di forze `e equivalente solo ad una risultante applicata in un punto opportuno in quanto, in ogni sezione, tutte le forze sono contenute in un piano (quello del foglio). Nel caso pi` u generale la riduzione del sistema di forze richiederebbe il calcolo di una risultante e di un momento rispetto ad un polo.

2.6. SPINTA DI ARCHIMEDE

41

da cui si ricava r. ESEMPIO Determinare F in modo che lo sportello non si apra sotto la spinta dell’acqua. O

Suggerimento:

h/2 F

4l/5

l h

G

h/2

h=3m b=2m

l/5 Supporre il baricentro nella posizione indicata (sportello incernierato in O)

Soluzione Sul sistema agiranno le 4 forze disegnate in figura e determinate secondo le seguenti formule: F1 ρg3h/4 · bh/2 = 66217.5 N, F2 ρgh/4 · bh/2 = 22072.5 N, F3 = ρgh/2 · bh/2 = 44145 N, F4 = b(h2 /4 − πh2 /16)ρg = 94736 N, aventi braccio rispetto ad O r1 = 3h/4+h/36 = 2.333 m, r2 = h/3 = 1 m, r3 = h/4 = 0.75 m, r4 = h/10 = 0.3 m. Dall’equilibrio dei momenti intorno ad = 0, F h/2 = F1 r1 + F2 r2 + F3 r3 − F4 r4 si ricava F = 137897.8 N.

2.6

O F

F2 F3

h/2

F4

h

F1

spinta di Archimede

Vogliamo ora calcolare la forza esercitata da un fluido che circonda un corpo a causa della variazione di pressione. Riferendoci alla figura 2.11 consideriamo un corpo di forma generica immerso in un fluido e consideriamo il perimetro massimo che circoscrive il corpo in un piano orizzontale 7 indicando con S la superficie delimitata. Se per ogni elemento dS costruiamo un cilindro elementare contenuto nel solido, possiamo calcolare la risultante delle forze di pressione esercitate su tale cilindro che saranno dF = (pl − pu )dS zˆ,

(2.27)

che per integrazione su tutta la superficie S ci fornisce la risultante. Essendo la pressione costante su piani orizzontali possiamo utilizzare la relazione (2.7) per calcolare la differenza 7

In realt` a esistono forme solide per le quali non si pu` o determinare tale perimetro; `e per`o possibile decomporre tali forme in un numero finito di corpi per i quali l’operazione descritta `e definita quindi la procedura ha validit` a generale.

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

42 (pl − pu ); risulta infatti dp = −ρgdz e quindi (pl − pu ) = −

 zu

 zu

dp =

zl

zl

ρgdz,

(2.28)

che sostituita in (2.27) diventa 

F=

S

(pl − pu )dS zˆ =

  zu S

zl



ρgdzdS zˆ =

V

ρgdV zˆ,

(2.29)

da cui, essendo ρ la densit`a del fluido, ne consegue che la forza esercitata dal fluido sul corpo `e una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato dal corpo 8 .

-p un dS

zu

dS

h(x,y) z zl

S

y x

-p ln dS

Figura 2.11: Forze di pressione su corpo immerso in un fluido. Gli stessi ragionamenti fatti per un corpo immerso in un solo fluido, possono essere ripetuti per un corpo immerso parzialmente in un fluido e parzialmente in un altro fluido a densit`a differente (figura 2.12). Se la configurazione risulta stabile, ossia se ρ1 ≥ ρ ≥ ρ2 allora il corpo si disporr`a in una posizione intermedia all’interfaccia tra i due fluidi in modo che la spinta di Archimede bilanci il suo peso. Naturalmente ogni fluido contribuisce alla spinta per la porzione di fluido spostato per cui detti rispettivamente V1 e V2 le frazioni di volume del corpo immerse nei fluidi a densit`a ρ1 e ρ2 e V il volume totale del corpo (con V = V1 + V2 ) dovr`a risultare  V1



ρ1 gdV +

V2

ρ2 gdV = ρgV,

8

(2.31)

L’espressione (2.27) assume una forma particolarmente semplice se la pressione ha una variazione lineare con la quota in quanto risulta pl = pu − ρg(zl − zu ) = pu + ρgh e la (2.27) diventa  (2.30) dF = ρghdS zˆ, da cui F = ρgh hdS zˆ = ρgV zˆ, S

essendo V il volume del solido in esame.

2.6. SPINTA DI ARCHIMEDE

43

oppure nel caso di fluidi incomprimibili

ρ1 V1 g + ρ2 V2 g = ρgV.

(2.32)

A rigore questo ragionamento andrebbe applicato anche quando i due fluidi sono acqua ed aria come per esempio nel caso di una nave; tuttavia avendo l’aria una densit`a di 600−800 volte minore di quella dell’acqua si capisce immediatamente che il contributo alla spinta dell’aria risulta trascurabile rispetto a quello dell’acqua e di solito non si considera 9 .

ρ

2

V2

ρ

V1 ρ 1

Figura 2.12: Galleggiamento per un corpo in equilibrio tra due fluidi a differente densit`a.

9

Uno dei primi esperimenti di cui si abbia traccia scritta sul galleggiamento di un corpo tra due fluidi a differente densit`a `e descritto da Galileo Galilei nel 1630 che riporta:“...Nel fondo di un recipiente ho messo dell’acqua salata e sopra di essa uno strato di acqua pura; ho quindi mostrato che la palla (di cera) rimaneva in equilibrio all’interfaccia tra i due fluidi e quando veniva spinta verso il fondo o sollevata verso l’altro non rimaneva in nessuna delle due posizioni ma ritornava nella posizione iniziale”.

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

44

ESEMPIO Dato il cono a base circolare in figura, determinare l’altezza della porzione di solido immerso nel fluido a densit`a ρ0 . ρ1 ρ h0

h

ρ = 1.15 Kg/dm3 ρ1 = 0.98 Kg/dm3

ρ

0

Soluzione Dal principio di Archimede si ha ρ0 gV0 + ρ1 gV1 = ρgV (essendo, rispettivamente V0 e V1 le frazioni di volume del corpo immerse nei fluidi a densit`a ρ0 e ρ1 , e V il volume totale del corpo). Risultando V1 = V − V0 l’equilibrio al galleggiamento si pu`o scrivere come V0 (ρ0 − ρ1 ) = V (ρ − ρ1 ). D’altra parte i volumi sono dati da V = πd2 h/12 e V0 = πd20 h0 /12 mentre dalla similitudine tra i triangoli si pu`o scrivere d/h = d0 /h0 per cui la precedente relazione diventa: πd20 h0 πd2 h (ρ0 −ρ1 ) = (ρ−ρ1 ), 12 12

=⇒

ρ0 = 1.2 Kg/dm3 h = 0.4 m

d

ρ1

d0 h0

h30 =

h

ρ ρ0

ρ − ρ1 3 h, ρ 0 − ρ1

da cui si ricava h0 = 0.367 m.

2.7

galleggiamento e stabilit` a

Nella sezione precedente abbiamo visto come calcolare la risultante delle pressioni esercitate da un fluido in cui `e immerso un corpo. Tale risultante prende il nome di spinta di Archimede e si calcola in modo identico anche nel caso in cui il corpo sia solo parzialmente immerso nel fluido. In quest’ultimo caso, nascono questioni di stabilit`a visto che il peso del corpo `e applicato nel suo baricentro (ed `e quindi indipendente dall’immersione del corpo) mentre la spinta di galleggiamento `e applicata nel baricentro della regione di fluido spostata (detto centro di spinta) ed `e quindi funzione della posizione del corpo rispetto alla superficie libera del fluido. Nel caso di figura 2.13 si pu`o vedere che per un’oscillazione contenuta del corpo, il punto di applicazione della spinta si sposta in modo tale

2.8. MISURATORI DI PRESSIONE

45

da formare con il peso una coppia stabilizzante che tende cio`e a riportare il corpo nella posizione iniziale.

S

G

S

M G

Figura 2.13: Schema di stabilit`a alla rotazione. Nel caso di corpi simmetrici, il punto di intersezione tra la retta contenente la spinta e l’asse di simmetria del corpo `e detto metacentro e si pu`o immaginare che il corpo oscilli intorno ad un asse ortogonale al piano del foglio e passante per il metacentro 10 ; si pu`o vedere che la configurazione sar`a stabile fino a quando il baricentro si trova al ` di sotto del metacentro mentre nel caso opposto si ha una configurazione instabile. E utile osservare che mentre la spinta ed il suo punto di applicazione dipendono unicamente dall’immersione del corpo, la posizione del baricentro dipende dalla dislocazione delle masse con la conseguenza che la stabilit`a pu`o eseere aumentata o diminuita spostando dei pesi all’interno del corpo. Come esempio si consideri un piccolo natante con sei persone a bordo; se tutte le persone si alzano in piedi, si avr`a un innalzamento del baricentro che, avvicinandosi al metacentro, diminuir`a la stabilit`a del natante. Se infine come caso estremo si immagina che tutte le persone, salendo su una scala, si portino ad un’altezza di 2 − 3 metri si pu`o avere facilmente il ribaltamento della barca.

2.8

misuratori di pressione

In questo paragrafo verranno illustrati alcuni dispositivi di misura della pressione soffermandosi in particolare sul loro principio di funzionamento. Iniziamo con il considerare il dispositivo di figura 2.14a che, per il suo impiego nella misurazione della pressione atmosferica, `e anche detto barometro. Preso un tubo chiuso ad un estremo e riempito di fluido, si pone il lato aperto in un recipiente contenente lo stesso fluido; si osserva allora che la colonna di fluido nel tubo scende fino ad un’altezza h dalla cui misura si pu`o risalire al valore di pressione che insiste sulla superficie libera del fluido nel recipiente. In particolare se questa pressione `e quella atmosferica ed il fluido manometrico `e mercurio, in base alla (2.8) si ottiene: patm = ρHg gh + pHg , 10

(2.33)

Questo in realt` a `e vero solo nel caso in cui siano assenti movimenti di beccheggio, per un corpo simmetrico rispetto al piano del foglio e per piccoli valori dell’angolo di rollio.

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

46

in cui pHg `e la tensione di vapore del mercurio alla temperatura di esercizio. Data la bassa volatilit`a del mercurio si pu`o porre pHg
0 da cui ne consegue il valore ben noto h = 759mm 11 .

p

pHg

p

b

h h

patm

b

ρ1 pa

h2 h1

ρm

ρ

2

pa

Hg a)

b)

c)

Figura 2.14: Schema di funzionamento di dispositivi per la misurazione della pressione: a) barometro, b) manometro, c) manometro ad U. Il dispositivo in figura 2.14b `e simile al precedente ma ha l’estremit`a del tubo aperto; dette quindi pa e pb le pressioni alle due estremit`a del tubo risulter`a pa = ρm gh + pb ,

(2.34)

per cui si pu`o misurare il valore della pressione pb noti pa ed h oppure la differenza di pressione pa − pb conoscendo solamente h. Questo strumento pur essendo molto semplice ha notevoli limitazioni che ne rendono l’uso abbastanza limitato. Innanzi tutto il fluido manometrico ed il fluido di cui bisogna misurare la pressione devono essere immiscibili, il fluido nel tubo deve essere un liquido e la pressione pb non pu`o scendere al di sotto di un valore limite se si vuole evitare la fuoriuscita del fluido manometrico dal tubo. Lo strumento riportato in figura 2.14c risolve alcuni dei problemi appena citati. Se infatti il tubo ha la forma di U e tra il fluido a densit`a ρ1 e quello ambiente viene inserito u necessario che i primi due fluidi siano immiscibili. un terzo fluido a densit`a ρ2 non `e pi` Inoltre dall’equilibrio delle pressioni si ha: pa + ρ1 gh1 = ρ2 gh2 + pb ,

(2.35)

da cui si vede che la massima differenza di pressione pa −pb non dipende pi` u ora solamente dalla lunghezza del tubo ma anche dal valore di ρ2 che pu`o essere quindi variato per aumentare la sensibilit`a o la portata dello strumento. 11

Questa esperienza fu effettuata per la prima volta da Evangelista Torricelli (1608–1647) che fu allievo di Galileo Galilei. La descrizione del dispositivo e dell’esperimento sono contenute in ‘Lezioni Accademiche’ in cui sono riportate una serie di conferenze tenute da Torricelli all’Accademia della Crusca.

2.8. MISURATORI DI PRESSIONE

47

p

b

ρ1 pa

h2 l

2

h1 ρ

2

θ

c) Figura 2.15: Schema di funzionamento del manometro inclinato.

Dagli esempi precedenti `e evidente che il principio di funzionamento di tutti i manometri discussi si riduce alla conversione di una lunghezza h in un valore di pressione una volta nota la densit`a del fluido manometrico ρm . Dalla relazione ∆p = ρm gh si vede quindi che per aumentare la sensibilit`a del manometro bisogna rendere massima h a parit`a di ∆p. A prima vista sembrerebbe che si possa agire solo su ρm , cercando cio`e dei fluidi manometrici con bassa densit`a (alcool, benzina); ad un esame pi` u attento, tuttavia si nota che h `e la lunghezza della colonna di fluido nella direzione di g e se quindi si inclina il tubo si ottengono valori assoluti di lunghezza l che possono crescere a piacimento diminuendo l’inclinazione del tubo. In figura 2.15 `e raffigurato uno di tali dispositivi dal cui equilibrio delle pressioni si ha: pa + ρ1 gh1 = ρ2 gl2 sin θ + pb .

(2.36)

I misuratori descritti in questa sezione hanno il vantaggio di essere estremamente semplici ed economici ma non permettono la lettura di valori precisi, non consentono di misurare pressioni elevate e, a causa dell’inerzia della colonna di fluido, non sono adatti a misure di pressioni rapidamente variabili nel tempo. Per questo motivo nelle applicazioni pratiche vengono usati dei manometri il cui principio di funzionamento `e la deformazione di una superficie a causa delle forze di pressione comunicate dal fluido. Nel caso dei manometri meccanici questa superficie `e generalmente una membrana che costituisce la parete di una camera stagna all’interno della quale c’e’ una pressione nota. Nel caso dei trasduttori elettronici, si sfrutta invece l’effetto piezoelettrico, la propriet`a cio`e che hanno alcuni cristalli (per esempio il quarzo) di generare una differenza di potenziale quando sottoposti a compressione in alcune particolari direzioni. Dalla lettura di questa differenza di potenziale si risale quindi alla pressione per mezzo di un’operazione di taratura dello strumento con delle pressioni note.

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

48

ESEMPIO Dato il dispositivo in figura, calcolare la densit`a del fluido incognito. Come cambierebbero i livelli se tale dispositivo fosse trasportato sulla luna? alcool acqua h1 h3 h4 h2

h1 = 40 cm h2 = 16 cm h4 = 21 cm ρacqua = 1000 Kg/m3

h3 = 32 cm ρalcool = 780 Kg/m3

?

Soluzione Per l’equilibrio deve risultare: gρalcool (h1 − h2 ) + gρh2 = ρacqua (h3 − h4 ) + gρh4 , poich´e il termine g si semplifica a primo e secondo membro, la configurazione di equilibrio e’ indipendente dal valore della gravit`a e quindi sulla luna non cambierebbe nulla. Dalla relazione precedente si pu`o calcolare ρ ottenendo ρ = 1544 Kg/m3 .

2.8. MISURATORI DI PRESSIONE

49

ESEMPIO Dato il dispositivo in figura calcolare l’angolo θ in modo da avere all’equilibrio nel tubo inclinato una colonna di fluido di lunghezza l.

B h1

ρ1

h2

ρ

θ

h1 = 22 cm ρ1 = 10870 Kg/m3 pB = 1.7 atm

h2 = 86 cm ρ2 = 11030 Kg/m3 l = 0.6 m

l

2

Soluzione Dall’equilibrio delle pressioni tra la superficie libera ed il punto B si scrive p0 + ρ1 gh1 + ρ2 gh2 = l sin θρ2 g + pb da cui si ricava



θ = sin

−1

p0 + g(ρ1 h1 + ρ2 h2 ) − pB lρ2 g



= 44o .62.

50

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

Capitolo 3 Cinematica dei fluidi In questo contesto verrano definite alcune propriet`a del moto di un fluido come posizione, velocit`a ed accelerazione indipendentemente dalle forze necessarie a generare il moto; ci occuperemo quindi della cinematica dei fluidi che riveste un’importanza fondamentale oltre che per la descrizione di un flusso anche per la sua visualizzazione sia in un esperimento di laboratorio che in una simulazione numerica.

3.1

descrizione lagrangiana ed euleriana

Quando si analizza il moto di un solido si considera solitamente il moto del suo baricentro ed il suo orientamento (angoli di Eulero) descrivendo la loro evoluzione nel tempo. La descrizione del moto di un fluido risulta in qualche modo pi` u ambigua in quanto il sistema 1 `e composto da particelle fluide in continuo moto relativo e la sola informazione sul baricentro e sugli angoli di Eulero non sono sufficienti a caratterizzare la distribuzione del fluido nello spazio. Si pongono a questo punto due alternative, la prima consiste nel seguire il moto di tutte le particelle fluide nel tempo mantenendo separata la loro identit`a mentre nella seconda si descrive il moto del fluido considerando dei punti fissi nello spazio indipendentemente dalle particelle che li attraversano. Per esempio, quando si seguono le evoluzioni di una rondine nel cielo si sta adottando un punto di vista lagrangiano in quanto si fissa ad un certo istante un oggetto e lo si segue nel tempo. Al contrario, se si osserva il mare attraverso un foro nel ghiaccio praticato dagli eschimesi per la pesca, la descrizione risulta euleriana considerando che si dispone di un punto di osservazione fisso nello spazio attraverso cui passano in continuazione differenti particelle di fluido. Per chiarire meglio consideriamo la figura 3.1 in cui viene raffigurato il moto di due particelle fluide A e B; secondo il primo punto di vista, la descrizione del moto consiste 1

Il concetto di ‘particella fluida’ non deve essere in alcun modo confuso con quello di atomo o molecola. La particella fluida infatti `e un’astrazione concettuale che indica un’insieme abbastanza grande di molecole di fluido da poter considerare valide le ipotesi di continuo ma allo stesso tempo la particella deve avere un’estensione in volume piccola abbastanza da essere caratterizzata da un’unico valore di velocit` a accelerazione, pressione, etc.

51

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

52

uA (t+∆ t)

z P rA (t) rA (t+∆ t)

rB (t+∆ t) x

y

rB (t) uB (t)

Figura 3.1: Traiettorie lagrangiane per due particelle fluide A e B e descrizione euleriana nel punto P . nel descrivere tutte le funzioni rA (t), rB (t), ..... per tutte le particelle fluide del sistema in esame. Nel secondo caso, al contrario si considera ogni punto P fisso nello spazio e si descrive la variazione nel tempo delle grandezze. In particolare dalla figura 3.1 si nota che la particella A passa per P al tempo t mentre la particella B ci passa al tempo t + ∆t risultando uP (t) = uA (t) e uP (t + ∆t) = uB (t + ∆t). La descrizione del moto delle singole particelle fluide viene detta descrizione lagrangiana mentre l’altra descrizione euleriana. Generalmente, essendo impossibile identificare le singole particelle fluide in un flusso, la descrizione lagrangiana non viene praticamente mai utilizzata anche se dal punto di vista teorico ha il vantaggio di fornire delle espressioni di pi` u immediata comprensione per molte grandezze fluidodinamiche.

3.2

traiettorie, linee di corrente e streaklines

Nella sezione precedente abbiamo parlato di traiettoria di una particella fluida senza tuttavia darne una definizione rigorosa; ci`o `e importante in quanto vedremo che in un flusso si possono definire diverse ‘linee’, in generale non coincidenti, ognuna delle quali con un diverso significato. Possiamo definire la traiettoria di una particella fluida come il luogo geometrico dei punti occupati dalla stessa particella in istanti di tempo successivi. Riferendoci alla figura 3.1 si ha quindi che le linee solida e tratteggiata sono rispettivamente le traiettorie delle ` evidente come il concetto di traiettoria sia lagrangiano in quanto particelle fluide A e B. E legato all’identificazione ed al tracciamento di particelle singole.

3.2. TRAIETTORIE, LINEE DI CORRENTE E STREAKLINES

53

Definiamo invece linea di corrente una linea che sia in ogni punto tangente al vettore locale di velocit`a. Se quest’ultima avr`a un’evoluzione non stazionaria, le linee di corrente saranno evidentemente diverse da istante ad istante. Un esempio di linee di corrente in due diversi istanti temporali `e riportato in figura 3.2 dove si pu`o notare che nei punti di intersezione tra le linee le tangenti sono diverse in quanto la velocit`a `e funzione del tempo. Il concetto di linea di corrente `e evidentemente un concetto euleriano in quanto considera per ogni istante temporale la distribuzione spaziale di velocit`a e, fissato un insieme di punti, traccia la linea tangente al vettore velocit`a nei punti considerati. In ogni punto per istanti differenti transiteranno particelle fluide diverse quindi in generale le traiettorie intersecheranno le linee di corrente.

z uP (t) P uP (t+∆ t)

x

y

Figura 3.2: Linee di corrente in due diversi istanti di tempo. La definizione delle streaklines (talvolta tradotte in italiano come ‘linee di fumo’) `e invece un concetto che riguarda principalmente gli esperimenti di laboratorio. Si definisce infatti una streakline come il luogo dei punti occupato ad una dato istante da tutte le particelle fluide che in un istante precedente siano transitate per una posizione stabilita. Questo concetto `e particolarmente utile quando si considerano le visualizzazioni di laboratorio in quanto in questi casi si rilascia un tracciante (fumo, inchiostro, etc.) nel flusso da una posizione prefissata e si segue la traccia lasciata da questa emissione continua nello spazio. Nella figura 3.3 si vede come dalla sorgente S vengano rilasciate delle particelle fluide P per tempi successivi t6 > t5 > ..... > t0 il cui luogo dei punti forma appunto le streakline. Da questo esempio si vede come la definizione di streakline sia essenzialmente operativa e, a meno di casi speciali, queste linee non hanno un particolare significato fisico. Il vasto utilizzo delle streaklines in campo sperimentale `e dovuto al fatto che se il flusso risulta stazionario (ossia se la la velocit`a in ogni punto risulta indipendente dal tempo) le streaklines coincidono sia con le traiettorie che con le linee di corrente. In questo caso le streaklines costituiscono un modo estremamente pratico ed economico per conoscere la

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

54

U P(t3) P(t2) S

P(t4) streakline

P(t1)

P(t5)

P(t0)

P(t6)

Figura 3.3: Esempio di streakline. direzione del vettore velocit`a in ogni punto e la traiettoria delle particelle fluide (figure 3.4, 3.5).

Figura 3.4: Esempio di streaklines intorno ad un modello di camion in un tunnel ad acqua. Per ottenere un’espressione matematica per le varie linee descritte riconsideriamo le loro definizioni: per le traiettorie abbiamo che presa una particella questa si muover`a con la propria velocit`a che sar`a in generale funzione dello spazio e del tempo potendo cos`ı scrivere dr = u(r, t). (3.1) dt L’integrazione di questa espressione fornir`a quindi il valore di r(t) che dipender`a dal suo valore iniziale r(0), se quindi la particella fluida n–esima si trova a passare nella posizione r(0) al tempo t = 0 allora la curva r(t) descriver`a la traiettoria della particella n. Le linee di corrente sono invece definite come quelle linee in ogni punto tangenti al

3.3. DERIVATA MATERIALE

55

Figura 3.5: Esempio di streaklines intorno ad un modello di automobile in una galleria del vento. vettore velocit`a e questo si pu`o esprimere matematicamente nella forma dr u dx dy dz = , =⇒ = = | dr | |u| u(r, t) v(r, t) w(r, t)

(3.2)

in cui, rispettivamente dx, dy e dz sono le componenti cartesiane di dr e u, v e w le componenti di u. La definizione matematica delle streaklines `e pi` u macchinosa in quanto risulta essere il luogo geometrico di tutte le posizioni ri (t) delle particelle i che per un tempo ti ≤ t sono transitate per una posizione r0 : si tratta quindi di definire caso per caso, a seconda del campo di velocit`a, tale luogo geometrico e descriverlo in forma parametrica r(l) (essendo l il parametro) per ogni tempo t.

3.3

derivata materiale

Consideriamo la traiettoria della particella tracciata in figura 3.6 osservando che al tempo t occupa la posizione r(t) mentre al tempo t + ∆t si trova in r(t + ∆t). Volendo quindi calcolare la velocit`a e l’accelerazione della particella al tempo t basta utilizzare le definizioni u(t) = lim

∆t→0

r(t + ∆t) − r(t) , ∆t

a(t) = lim

∆t→0

u(t + ∆t) − u(t) . ∆t

(3.3)

In figura 3.6 queste quantit`a sono state calcolate per via grafica e si pu`o notare che le velocit`a sono tangenti alla traiettoria mentre l’accelerazione ha una componente centripeta dovuta alla curvatura ed una componente tangenziale causata dall’aumento di velocit`a

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

56

` bene notare che le definizioni date sono delle definizioni lagranlungo la traiettoria. E giane in quanto seguono le variazioni di una particella fluida lungo la sua traiettoria. Abbiamo comunque accennato che in fluidodinamica risulta pi` u utile la descrizione euleriana, vogliamo quindi vedere come si passa da una descrizione all’altra per le grandezze considerate. Per quanto riguarda la posizione r(t) non esiste chiaramente una controparte nella descrizione euleriana in quanto in questo caso non ci sono particelle da seguire ma piuttosto delle ‘stazioni di osservazione’ fisse nel tempo.

dr(t) r(t) z

u(t)

r(t+∆ t) r(t) u(t) du(t) u(t+∆ t)

x

u(t+∆ t)

a(t) r(t+∆ t) y

Figura 3.6: Posizione, velocit`a ed accelerazione lungo la traiettoria di una particella fluida. La velocit`a sar`a invece definita in modo analogo nei due casi anche se il loro significato fisico `e sostanzialmente differente; nella descrizione lagrangiana, infatti, la velocit`a sar`a solamente funzione del tempo (u(t)) in quanto si tratta della velocit`a misurata da un osservatore ‘a cavallo’ sempre della stessa particella fluida durante il suo moto. Nella descrizione euleriana, al contrario la velocit`a `e misurata in punti di osservazione fissi quindi il suo valore sar`a funzione del tempo e della stazione di osservazione, ossia u(x, t). Questa differenza pu`o sembrare sottile ma in realt`a cambia completamente il punto di vista del fenomeno e porta ad una profonda differenza nella definizione di accelerazione 2 . Volendo infatti definire quest’ultima grandezza da un punto di vista euleriano, bisogna considerare la variazione di velocit`a nel punto fisso x di una particella fluida la cui posizione al tempo t sia proprio x. Questa particella avr`a tuttavia una posizione x dipendente dal tempo per cui si avr`a per l’accelerazione a(x, t) =

∂u ∂u dx du(x(t), t) = + . dt ∂t ∂x dt

(3.4)

Osservando ora che dx/dt `e la velocit`a della particella che si trova in x al tempo t, e 2

Ci`o non deve far pensare che si tratti di concetti differenti, si tratta infatti solamente della stessa accelerazione valutata da riferimenti differenti.

3.3. DERIVATA MATERIALE

57

quindi anche la velocit`a euleriana nel punto fisso x, si ottiene dall’espressione precedente a(x, t) =

∂u Du ∂u ∂u + ·u= + u · ∇u = , ∂t ∂x ∂t Dt

(3.5)

in cui D • /Dt = ∂ • /∂t + u · ∇• `e chiamato operatore di derivata materiale 3 . Per capire meglio quanto grandi siano le implicazioni di questa espressione, consideriamo un sistema di assi coordinati cartesiani ed indichiamo con ax , ay ed az le componenti di a e con ux , uy ed uz quelle di u. L’espressione (3.5) scritta per componenti risulter`a quindi ∂ux ∂ux ∂ux ∂ux + ux + uy + uz , (3.6) ax = ∂t ∂x ∂y ∂z ay =

∂uy ∂uy ∂uy ∂uy + ux + uy + uz , ∂t ∂x ∂y ∂z

az =

∂uz ∂uz ∂uz ∂uz + ux + uy + uz . ∂t ∂x ∂y ∂z

Risulta subito evidente che le componenti di accelerazione possono esistere anche nel caso di velocit`a indipendente dal tempo (flusso stazionario) in quanto la curvatura della traiettoria e la dipendenza della velocit`a da punto a punto nello spazio sono responsabili del termine u · ∇u che `e detto accelerazione convettiva. Questo risultato non `e affatto sorprendente se ripensiamo al significato di a(x, t) che `e l’accelerazione di una particella fluida che al tempo t occupa la posizione x; se questa particella si muovesse con velocit`a costante lungo una traiettoria circolare, questa dovrebbe possedere l’accelerazione centripeta prodotta dalla curvatura della traiettoria e questa accelerazione dovrebbe comparire anche nella descrizione euleriana. L’altro risultato importante `e che come si osserva dalle (3.6) nella componente di accelerazione ax entrano anche le componenti di velocit`a in y e z e lo stesso accade per le altre direzioni; questo implica che le equazioni della fluidodinamica (che non sono altro che F = ma scritta per un fluido) sono accoppiate spazialmente, cio`e non `e possibile avere informazioni sull’evoluzione in una direzione senza conoscere ci`o che accade nelle altre direzioni. L’ultima informazione che possiamo estrarre dalle (3.6) `e che l’accelerazione `e una funzione non lineare delle velocit`a (e tali risulteranno quindi le equazioni della fluidodinamica). Questo fatto costituisce la maggiore difficolt`a alla soluzione dei problemi fluidodinamici come si vedr`a nel seguito. Per il momento ci limiteremo a riferire che a meno di problemi estremamente semplificati o di condizioni del tutto particolari l’espressione dell’accelerazione rende impossibile la soluzione analitica delle equazioni del moto, limitando l’analisi di problemi complessi a soluzioni numeriche o esperimenti di laboratorio. 3

La notazione u·∇u potrebbe sembrare inconsistente in quanto ∇u `e un tensore mentre u `e un vettore ed il prodotto “righe per colonne” non sembrerebbe possibile. L’espressione precedente va invece intesa come (u · ∇)u che `e definito in modo corretto.

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

58

3.4

∗

accelerazione di Lagrange

In questa sezione mostreremo brevemente un’identit`a vettoriale che torner`a utile per gli argomenti trattati successivamente. Riprendiamo la formula (3.5) per l’accelerazione di una particella fluida ∂u Du = + u · ∇u, (3.7) Dt ∂t e notiamo che, detta ω = ∇ × u la vorticit`a sussiste l’identit`a 1 u · ∇u = ∇u2 + ω × u, 2

(3.8)

da cui si pu`o scrivere

∂u 1 Du (3.9) = + ∇u2 + ω × u. Dt ∂t 2 L’identit`a (3.8) pu`o essere dimostrata come facile esercizio scrivendo ω e u per componenti in un sistema d’assi cartesiano.

3.5

∗

funzione di corrente

Avendo definito le linee di corrente come quelle linee che sono in ogni punto tangenti al vettore velocit`a, risulta naturale introdurre la funzione di corrente come quella funzione le cui isolinee (in due dimensioni o isosuperfici in tre dimensioni) costituiscono le linee di corrente. Limitandoci per semplicit`a al caso bidimensionale si pu`o porre dalla (3.2) dy dx = , =⇒ ux dy − uy dx = 0, ux uy

(3.10)

ottenendo che lungo una linea di corrente la quantit`a ux dy − uy dx non varia. Se allora poniamo (3.11) dψ = ux dy − uy dx avremo che nemmeno la funzione ψ varia lungo una linea di corrente che `e quindi la funzione cercata. La funzione di corrente risulta particolarmente utile quando si voglia determinare la portata in volume tra due punti. Considerato infatti l’esempio di figura 3.7 detto ds l’elemento di lunghezza del segmento che unisce il punto A con B si ha per la portata elementare dQ = u · nds = ux dy − uy dx che, in base alla (3.11) `e proprio uguale a dψ. Per la portata tra A e B si avr`a allora  B

Q=

A

 B

dQ =

A

(ux dy − uy dx) =

 B A

dψ = ψB − ψA ,

(3.12)

per cui se si conosce la funzione di corrente per un flusso, la differenza di ψ tra due punti qualunque ci fornice il valore della portata in volume (per unit`a di lunghezza nella direzione ortogonale al foglio) che passa tra i due punti. L’espressione (3.12) ci dice anche

3.6. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO

59

y

n U

B

ux U

n -u y dy

ds

A

dx

x Figura 3.7: Determinazione della portata (in volume) tra due punti. che questo valore della portata `e indipendente dal percorso seguito per andare da A a B per cui dψ deve essere un differenziale esatto. Notiamo infine che nel caso in cui A e B vengano scelti su una linea di corrente allora risulter`a Q = 0. Ci`o `e consistente con il fatto che un linea di corrente `e sempre tangente al vettore velocit`a e quindi si comporta come una superficie impermeabile da cui il valore nullo di portata.

3.6 3.6.1

analisi del moto nell’intorno di un punto caso bidimensionale semplificato

Concludiamo lo studio della cinematica dei fluidi, considerando lo stato di moto nell’intorno di un punto. Questa analisi ci permetter`a di comprendere in che modo una particella fluida si deforma durante la sua evoluzione e render`a pi` u semplice la definizione degli sforzi in un fluido quando se ne affronter`a la dinamica. Data una regione fluida inizialmente di forma rettangolare, immaginiamo che dopo un intervallo di tempo ∆t sia stata deformata dal campo di velocit`a come in figura 3.8. Osserviamo dalla figura 3.9 che la deformazione totale pu`o essere decomposta in tre moti elementari che verranno ora illustrati. Il primo consiste in una traslazione rigida in cui tutta la regione si muove con la stessa velocit`a u0 uniforme nello spazio. Il secondo moto `e una dilatazione pura in cui l’elemento fluido subisce una variazione di lunghezza dei suoi lati, senza tuttavia ruotare ne variare l’angolo tra i lati del rettangolo. Detta lx la lunghezza in x dell’elemento indeformato ed lx la lunghezza dello stesso lato dopo la deformazione si avr`a lx = lx +

∂ux lx ∆t, ∂x

(3.13)

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

60

da cui si ricava per la velocit`a relativa di dilatazione ˙x in x 1 ∆lx l − lx ∂ux = lim x = . ∆t−→0 lx ∆t ∆t−→0 lx ∆t ∂x

˙x = lim

(3.14)

Un’espressione del tutto analoga si ricava per la direzione y.

t+∆t

y l’x

l’y t

lx ly x

Figura 3.8: Deformazione di un elemento fluido in un tempo ∆t. y

y

y

l’x

lx

lx ly

ly

∆β

l’y

lx u0

∆θ ∆γ ∆α

ly

x

x

(a)

x

(b)

(c)

Figura 3.9: Decomposizione della deformazione di un elemento fluido in moti elementari. Il terzo moto consiste contemporaneamente in una rotazione rigida ed una deformazione angolare che possono essere quantificate calcolando gli angoli ∆α e ∆β di cui ruotano, rispettivamente, i lati lx ed ly nel loro moto. Utilizzando uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine si ha ∆α


∂uy ∂uy lx ∆t = ∆t, ∂x lx ∂x

∆β


∂ux ∆t. ∂y

(3.15)

3.6. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO

61

Per calcolare la velocit`a di deformazione angolare si osserva semplicemente che risulta ∆θ = π/2 + ∆α + ∆β da cui si pu`o porre ∂uy ∂ux ∆θ = + . θ˙ = lim ∆t−→0 ∆t ∂x ∂y

(3.16)

Per la velocit`a di rotazione rigida, da considerazioni geometriche si ottiene ∆γ = ∆α + π/2 − ∆θ/2 = π/4 + (∆α + ∆β)/2 da cui si ha per la velocit`a di rotazione ∆γ 1 = γ˙ = lim ∆t−→0 ∆t 2





∂uy ∂ux . − ∂x ∂y

(3.17)

D’altra parte, dallo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine si pu`o scrivere per la velocit`a lungo x ∂ux ∂ux x+ y, (3.18) ux = ux0 + ∂x ∂y che contiene i termini precedentemente identificati quanto si riscriva nella forma 



1 ∂ux 1 ∂ux 1 ∂uy 1 ∂uy ∂ux x+ + + − y= ux = ux0 + ∂x 2 ∂y 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂x 1 ∂ux x+ ux0 + ∂x 2





∂ux ∂uy 1 + y+ ∂y ∂x 2





∂ux ∂uy − y. ∂y ∂x

Con passaggi analoghi si ottiene per la componente y di velocit`a ∂uy 1 uy = uy0 + y+ ∂y 2





(3.19)

1 ∂uy ∂ux x+ + ∂x ∂y 2





∂uy ∂ux x. − ∂x ∂y

(3.20)

Le espressioni (3.19) e (1.2) possono essere unificate nell’espressione vettoriale 

ux uy





=



ux0 + uy0

1 2



∂ux ∂x

∂uy ∂x

+

∂ux ∂y

1 2



y ∂ux + ∂u ∂y ∂x ∂uy ∂y

 



x + y

0 ∂u y 1 − 2 ∂x

che, considerando le (3.14), (3.16) e (3.17) assume la forma: 

ux uy





=

ux0 uy0





+

˙ ˙x θ/2 ˙ θ/2 ˙y



x y





+

0 −γ˙ γ˙ 0



x y

∂ux ∂y

1 2



y − ∂u ∂x 0 (3.21)

∂ux ∂y



.

(3.22)

Quest’ultima espressione mette in evidenza che lo stato di moto nell’intorno di un punto `e dato da una traslazione rigida, una rotazione rigida descritta da un tensore antisimmetrico ed una dilatazione lineare con una deformazione angolare descritte da un tensore simmetrico. Questi due tensori sono, rispettivamente, la parte simmetrica ed antisimmetrica del tensore gradiente di velocit`a. Una visualizzazione sperimentale della deformazione di particelle fluide `e riportata in figura 3.10 dove viene evidenziata una deformazione pi` u consistende delle particelle vicine alle pareti a causa dei gradienti di velocit`a prodotti dall’aderenza del fluido alla parete (strato limite).

 

x y



,

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

62

Figura 3.10: Deformazione di elementi di fluido (marcati con un tracciante) durante il loro moto all’interno di un canale convergente.

3.6.2

∗

caso generale tridimensionale

Pi` u in generale le stesse conclusioni si ottengono per il caso tridimensionale considerando una particella fluida il cui baricentro al tempo t coincida con l’origine di un sistema di assi cartesiani ed immaginiamo che dopo un tempo ∆t la stessa particella si sia portata in una posizione P sufficientemente vicina da poter ritenere accurato uno sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine. Detto allora x lo spostamento della particella nel tempo ∆t si potr`a scrivere (3.23) uP = uO + ∇u |O ·x + O(x2 ), in cui |O sta ad indicare che il gradiente ∇u `e valutato nel punto O 4 . Essendo u un vettore, il termine ∇u sar`a un tensore che si pu`o quindi decomporre in una parte simmetrica ed una antisimmetrica

1 1 ∇u + ∇uT + ∇u − ∇uT = E + Ω, (3.24) 2 2 da cui, trascurando i termini di ordine superiore al primo, si ottiene dalle espressioni precedenti (3.25) uP = uO + E · x + Ω · x.

∇u =

Poich`e Ω `e un tensore a traccia nulla ed antisimmetrico si pu`o vedere che Ω · x `e un termine di rotazione rigida e, introdotta la vorticit`a come il rotore del campo di velocit`a ω = ∇ × v risulta identicamente 1 Ω · x = ω × x. (3.26) 2 4

Bisogna notare che ∇u `e un tensore ed il temine ∇u · x, indicando il prodotto scalare tra un tensore ` consuetudine in fluidodinamica indicare il prodotto ed un vettore fornisce come risultato un vettore. E scalare tra un tensore ed un vettore con il simbolo “·” al contrario della meccanica dei solidi dove tale operazione `e denotata con ∇u x. Le due notazioni tuttavia indicano di fatto la stessa operazione.

3.6. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO

63

P

z

r(t+∆ t) r(t) O x

x

y

Figura 3.11: Spostamento di una particella fluida in un tempo ∆t. Per il temine E · x si dimostra invece che si tratta di una deformazione pura: ci`o `e particolarmente semplice osservando che essendo E un tensore simmetrico i suoi autovalori saranno reali. Ponendosi quindi nella terna principale formata dagli autovettori di E questo tensore diventa diagonale ed i termini della diagonale sono gli autovalori stessi. Se indichiamo quindi con x , y  e z  le componenti del vettore x nella terna principale risulter`a E · x = λ1 x xˆ + λ2 y  yˆ + λ3 z  zˆ , dove λ1 , λ2 e λ3 sono gli autovalori di E. In base a questa espressione, se quindi un punto si trova inizialmente su uno dei tre assi, esso vi rimarr`a indefinitamente confermando che il tensore E produce un moto di deformazione pura. In conclusione possiamo quindi affermare che lo stato di moto nell’intorno di un punto pu`o essere descritto nel seguente modo 1 (3.27) uP = uO + ω × x + E · x, 2 in cui uO `e una velocit`a di traslazione pura, il secondo termine costituisce una rotazione rigida con velocit`a angolare | ω | /2 mentre il terzo termine `e una deformazione pura. Si considereranno ora dei semplici campi di moto per mostrare in dettaglio la natura dei termini appena descritti. In figura 3.12a `e riportato l’esempio di una rotazione pura con velocit`a angolare Ω costante intorno all’asse z da cui risulta θ = Ωt e quindi x = r cos θ = r cos(Ωt), =⇒ ux = x˙ = −rΩ sin(Ωt) = −Ωy,

(3.28)

y = r sin θ = r sin(Ωt), =⇒ uy = y˙ = −rΩ cos(Ωt) = Ωx, mentre la componente di velocit`a lungo z `e sempre nulla (uz = 0). Se ora calcoliamo gli elementi Eij ed Ωij (con i, j = x, y, z) dei tensori E e Ω in base alle definizioni (3.24) risulter`a (ponendo xx = x, xy = y ed xz = z): 1 Eij = 2



∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi



≡ 0,

(3.29)

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

64 



1 ∂ui ∂uj Ωyx = −Ωxy = Ω, Ωij = − = 0, per ij = xy, yx, (3.30) 2 ∂xj ∂xi da cui si pu`o confermare che un campo di rotazione pura ha tutti gli elementi di E nulli mentre il tensore antisimmetrico Ω risulta diverso dal tensore nullo. Se infine dalla definizione ω = ∇ × u si calcola la vorticit`a si ottiene ∂uy ∂ux j − = 2Ω (3.31) ωz = ωx = ωy ≡ 0, ∂x ∂y da cui si vede che in una rotazione rigida la vorticit`a `e un vettore con stessa direzione e verso del vettore rotazione e modulo doppio.

z

l x(t+∆t)

θ r

y

l x(t)

Ω

x

z

∆β

y

x

a)

y

Ο

∆θ

Β

∆α Α

b)

x c)

Figura 3.12: Esempi di moto nell’intorno di un punto per una particella fluida: a) rotazione pura, b) dilatazione pura, c) deformazione angolare pura. Nella figura 3.12b `e rappresentato un esempio di dilatazione pura, un moto cio`e in cui non c’`e n`e rotazione n`e deformazione angolare. In questo caso si ha banalmente che, poich´e le superfici inizialmente complanari con i piani coordinati rimarranno tali indefinitamente, le componenti di velocit`a (per esempio ux ) devono risultare costanti o al pi` u dipendere dalla sola coordinata corrispondente (x), risultando cos`ı ui = ui0 + ai xi , i = x, y, z. In particolare nell’esempio di figura 3.12b si nota che il vertice del parallelepipedo inizialmente nell’origine degli assi rimane nell’origine anche dopo un tempo ∆t il che implica ui0 = 0, i = x, y, z e quindi ux = ax x,

uy = ay y,

e uz = az z.

(3.32)

Da queste espressioni per le componenti di velocit`a si ricava che Ωij ≡ 0 o in modo equivalente ωi ≡ 0. Per il tensore velocit`a di deformazione risulta invece Eij = 0 per i = j e Eii = ai da cui si vede che in assenza di deformazione angolare i termini fuori diagonale del tensore E sono nulli 5 . 5

Chiaramente l’assenza di deformazione angolare dipende dal sistema di riferimento nel quale viene descritto il moto. Se per esempio lo stesso problema venisse descritto in un sistema di riferimento con gli assi coincidenti con le diagonali del parallelepipedo, allora il tensore E perderebbe la sua struttura diagonale. In generale si pu` o dire che E risulta diagonale solo quando il sistema di riferimento coincide con la terna principale, caso al quale `e sempre possibile ricondursi data la simmetria del tensore E.

3.6. ANALISI DEL MOTO NELL’INTORNO DI UN PUNTO

65

Se infine indichiamo con li (t) la lunghezza dei lati del parallelepipedo al tempo t possiamo calcolare il volume del solido V (t) = lx (t)ly (t)lz (t). Al tempo t + ∆t si avr`a invece li (t + ∆t) = li (t) + ui (li )∆t = li (t) + ai li (t)∆t (3.33) da cui si pu`o scrivere per il volume al tempo t + ∆t V (t + ∆t) = lx (t + ∆t)ly (t + ∆t)lz (t + ∆t) =

(3.34)

(lx + ax lx ∆t)(ly + ay ly ∆t)(lz + az lz ∆t) = = lx ly lz + (ax + ay + az )lx ly lz ∆t + O(∆t2 ) ≈ V (t) + (ax + ay + az )V (t)∆t, da cui si ricava che la variazione relativa di volume nell’unit`a di tempo `e proprio pari alla traccia di E 1 ∆V 1 dV (3.35) = lim = ax + ay + az = ∇ · u, ∆t→0 V ∆t V dt essendo l’ultimo termine la divergenza del campo di velocit`a definita come ∇ · u = ∂ux /∂x + ∂uy /∂y + ∂uz /∂z. Riassumendo i risultati principali di questo esempio abbiamo trovato che in un moto di dilatazione pura, il tensore velocit`a di rotazione Ω ha tutti i termini nulli mentre nel tensore velocit`a di deformazione E sono nulli solo gli elementi fuori dalla diagonale che rappresentano quindi una velocit`a di deformazione angolare. Per i termini sulla diagonale di E abbiamo invece visto che sono diversi da 0 e sono esattamente uguali alle variazioni di velocit`a lineare lungo gli assi (ai ). La somma di tutti i termini sulla diagonale, infine, `e la traccia del tensore E e ci fornisce la variazione relativa nell’unit`a di tempo del volume considerato che `e pari alla divergenza del campo di velocit`a. Se come caso particolare si considerasse un flusso incomprimibile il volume di un suo qualunque elemento deve rimanere costante nel tempo e quindi in base alla (3.35) deve risultare ax + ay + az = 0 da cui si vede che le ai non possono avere tutte lo stesso segno. Da un punto di vista fisico ci`o implica che se due lati si dilatano il terzo si deve accorciare o viceversa. Sempre dalla (3.35) si nota che l’incomprimibilit`a implica ∇ · u = 0; questa relazione costituisce l’equazione di conservazione della massa in forma differenziale per i flussi incomprimibili come verr`a ritrovato per altra via nei capitoli successivi. Per completare il quadro delle possibilit`a ci rimane da considerare il caso di figura 3.12c in cui il campo di moto induce una pura deformazione angolare. Se immaginiamo che inizialmente la forma dell’elemento fluido fosse rettangolare mentre dopo un tempo ∆t l’elemento si `e deformato in un rombo si pu`o allora scrivere utilizzando degli sviluppi in serie di Taylor per le velocit`a (troncati al primo ordine): ∆α ≈ tan(∆α) =

∂uy 1 ∂uy AB = OA∆t = ∆t, OA ∂x OA ∂x

e analogamente ∆β ≈ tan(∆β) =

∂ux ∆t. ∂y

(3.36)

66

CAPITOLO 3. CINEMATICA DEI FLUIDI

Da semplici considerazioni geometriche sulla figura 3.12c risulta inoltre ∆θ = π/2 + ∆α + ∆β per cui possiamo scrivere per la velocit`a di deformazione angolare ∆θ ∆α + ∆β ∂uy ∂ux = lim = + = 2Exy = 2Eyx . θ˙ = lim ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∂x ∂y

(3.37)

Per tutti gli altri elementi di E si ha invece Eij = 0 cos`ı come risulta Ωij ≡ 0, confermando quindi che gli elementi fuori diagonale di E sono legati alla velocit`a di deformazione angolare dell’elemento fluido. In particolare Eij `e pari al doppio della velocit`a di deformazione angolare misurata con i lati inizialmente paralleli agli assi i e j.

Capitolo 4 Dinamica dei fluidi Dopo aver definito le propriet`a fisiche, la statica e la cinematica dei fluidi, affronteremo ora il problema del moto dei fluidi come effetto di forze applicate, sia esternamente che generate all’interno del fluido stesso. Questo argomento costituisce la dinamica dei fluidi e comprende la derivazione delle equazioni di bilancio e conservazione (rispettivamente quantit`a di moto, massa ed energia) e la loro applicazione a volumi di fluido finiti (formulazione integrale) o infinitesimi (differenziale).

4.1

teorema del trasporto di Reynolds

Nel capitolo sulla cinematica dei fluidi abbiamo visto come nella descrizione di un fenomeno sia possibile scegliere due punti di vista, uno legato alle singole particelle fluide (descrizione lagrangiana) e l’altro a posizioni fisse nello spazio (descrizione euleriana); abbiamo anche visto come la derivata materiale permetta di valutare l’accelerazione di una particella fluida che ad un certo istante t passa in un punto fisso nello spazio. Se invece di considerare una singola particella fluida si prende un sistema fluido (ossia un insieme di particelle) ci si pone un problema identico al precedente ma per un sistema finito piuttosto che infinitesimo: il teorema del trasporto di Reynolds permette di legare le quantit`a calcolate per un sistema composto sempre dalle stesse particelle a quelle per un volume fisso nello spazio. Prima di illustrare tale teorema daremo delle definizioni che ci permetteranno, in seguito, di procedere pi` u speditamente. volume materiale e volume di controllo Immaginiamo in un istante t1 di delimitare un volume V (t1 ) contenente delle particelle fluide che identifichiamo in qualche modo. Se fossimo in grado di seguire il moto di tutte le particelle fluide, ad un tempo t2 > t1 avremo che il volume avr`a cambiato posizione e forma(V (t2 )) e lo stesso accadr`a per un tempo successivo t3 > t2 (figura 4.1). Un volume cos`ı definito prende il nome di volume materiale (o sistema materiale o sistema fluido) ed ha la caratteristica di essere composto per qualunque tempo dalle particelle fluide che lo componevano inizialmente. Se al contrario si delimita un volume (fisso o mobile) V0 questo 67

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

68

V (t1 )

V0

V (t2 )

V (t3 )

Figura 4.1: Evoluzione temporale di un volume materiale (disegnato in rosso) e posizione fissa di un volume di controllo. potr`a contenere o meno alcune delle particelle fluide del volume materiale, ma comunque nel tempo queste varieranno e si pu`o verificare (in figura 4.1 per t = t3 ) che il volume fisso non contenga alcuna particella del volume materiale. Il volume V0 `e chiamato volume di controllo e pu`o essere scelto in modo del tutto arbitrario anche se, come si vedr`a nelle applicazioni, una sua definizione in modo oculato semplifica notevolmente la soluzione dei problemi pratici. grandezze intensive ed estensive Definiamo grandezza estensiva B (scalare, vettoriale o tensoriale) una quantit`a il cui valore dipende dall’estensione del volume V considerato mentre una grandezza intensiva b `e una quantit`a indipendente dal valore di V . Per esempio se si misura la temperatura di 1, 2 o 100 metri cubi d’aria questa sar`a sempre la stessa, quindi la temperatura `e una grandezza intensiva. Al contrario se si misurasse la massa dei sistemi precedenti questa evidentemente crescer`a linearmente con il volume del sistema stesso,risultando quindi la massa una grandezza estensiva. In particolare, detta b una grandezza intensiva si pu`o scrivere


B=

V

ρbdV,

(4.1)

essendo ρ la densit`a del fluido nel volume V , e si dir`a che B `e la grandezza estensiva coniugata a quella intensiva b. Per esempio la massa `e la grandezza estensiva coniugata all’unit`a, la quantit`a di moto alla velocit`a. etc. teorema del trasporto di Reynolds Possiamo ora calcolare la variazione nel tempo di una grandezza estensiva B definita in (4.1). Consideriamo allo scopo un volume di controllo V0 fisso che al tempo t viene preso coincidente con il volume materiale V (t); dopo un tempo ∆t il volume materiale si sar`a mosso come disegnato nella figura 4.2.

4.1. TEOREMA DEL TRASPORTO DI REYNOLDS

V(t+∆t)=V+V2

V0 = V(t)=V+V1

n

V1

dV

u V dS

u

n

69

V2

Figura 4.2: Moto relativo dopo un tempo ∆t tra un volume di controllo fisso ed un volume materiale inizialmente coincidenti. Per la variazione nel tempo di B possiamo scrivere d
dB = ρbdV = lim ∆t−→0 dt dt V (t)



V (t+∆t)

ρbdV − ∆t



ρbdV

V (t)

.

(4.2)

In base alla figura 4.2 possiamo scrivere V (t) = V + V1 e V (t + ∆t) = V + V2 da cui dB = lim ∆t−→0 dt



V (ρb)t+∆t dV

+



V2 (ρb)t+∆t dV

−



V (ρb)t dV

−



V1 (ρb)t dV

∆t

,

(4.3)

in cui tutte le funzioni integrande sono calcolate al tempo relativo al volume di appartenenza. Notiamo ora che il primo e terzo integrale dell’equazione (4.3) sono valutati sullo stesso dominio V ma gli integrandi sono calcolati in tempi differenti per cui si ha 

lim

− ∆t

V (ρb)t+∆t dV

∆t−→0



V (ρb)t dV




=

V0

∂ρb dV, ∂t

(4.4)

avendo notato che per t −→ 0, V (t) −→ V0 . Per gli altri due integrali osserviamo dalla figura 4.2 che, detto dS un elemento di superficie del volume V0 , n la sua normale ed u la velocit`a di traslazione risulter`a dV = u · n∆tdS per il volume V2 e dV = −u · n∆tdS per il volume V1 . Il secondo e quarto integrale della (4.3) diventeranno allora 

lim




= lim

∆t−→0

S2

− ∆t

V2 (ρb)t+∆t dV

∆t−→0

(ρb)t+∆t u · ndS +




S1



V1 (ρb)t dV



=

(ρb)t u · ndS =


S0

ρbu · ndS,

(4.5)

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

70

dove si `e indicata con Si la parte di superficie di V0 in comune con il volume Vi e si `e utilizzato il fatto che per t −→ 0, S1 + S2 −→ S0 . Se ora mettiamo insieme i risultati delle (4.4) e (4.5) possiamo scrivere
dB
∂ρb ρbu · ndS, = dV + dt V0 ∂t S0

(4.6)

con la quale abbiamo messo in relazione la grandezza B calcolata su un volume materiale con quantit`a calcolate su un volume di controllo e quindi di pi` u facile valutazione. La relazione (4.6) ci dice che le variazioni di B hanno due cause, una interna al sistema stesso e quindi dovuta a variazioni di b all’interno del volume V . L’altra possibilit`a `e causata da scambi del sistema attraverso la sua superficie, ossia il flusso di b attraverso S. Se la funzione ρbu `e continua e differenziabile allora il secondo integrale della (4.6) si pu`o trasformare utilizzando il teorema della divergenza e scrivere
dB
∂ρb ∇ · (ρbu)dV. = dV + dt V0 ∂t V0

(4.7)

Un’ultima precisazione `e necessaria circa il significato fisico di u a seconda che V0 sia fisso o in movimento. Nel primo caso, risultando nulla la velocit`a di S0 (e di dS) non nascono dubbi e u `e la velocit`a con cui si muove il fluido nel punto considerato. Se, al contrario, V0 `e in movimento, dovendo valutare il flusso di ρb attraverso dS non saremo pi` u interessati alla velocit`a assoluta del fluido ma piuttosto alla velocit`a relativa tra il fluido e la superficie S0 . Indicata allora con v la velocit`a del fluido e con ur quella di S0 risulter`a u = v − ur e quindi
d
dB ρbdV + ρb(v − ur ) · ndS. = dt dt V0 S0

4.2 4.2.1

(4.8)

equazione di conservazione della massa forma integrale

Avremo ora modo di apprezzare la potenza della relazione (4.6) (e le sue forme derivate) nella determinazione delle equazioni di bilancio e di conservazione. Iniziamo dall’equazione di conservazione della massa, prendendo un sistema materiale e avendo, dalla stessa definizione, che la sua massa M non varia nel tempo, ponendo quindi B = M ne conseguir`a dalla (4.1) che b = 1 da cui la conservazione della massa si esprimer`a d
dM ρdV = 0, = dt dt V (t)

(4.9)

oppure in base al teorema del trasporto di Reynolds
V0


∂ρ ρu · ndS = 0. dV + ∂t S0

(4.10)

4.2. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA

71

L’espressione (4.10) esprime la conservazione della massa in forma integrale e risulta particolarmente utile nelle applicazioni quando il fenomeno in esame `e stazionario; in questo caso infatti il primo termine risulta identicamente nullo mentre il secondo fornisce semplicemente il flusso di massa attraverso la superficie del volume di controllo:
S0

ρu · ndS = 0.

(4.11)

L’equazione (4.11) `e particolarmente semplice da applicare nel caso in cui il volume di controllo selezionato abbia un numero finito di porzioni (N ) attraverso le quali ci sia flusso di massa e su queste porzioni le caratterstiche del flusso (velocit`a e densit`a) possano essere considerate costanti. In tal caso, infatti, l’espressione (4.11) diviene N 

ρi ui · ni Si = 0,

(4.12)

i=1

che permette, tramite semplici relazioni algebriche, di determinare un flusso incognito noti gli altri. ESEMPIO Una portata d’aria V˙ entra in un sistema alla pressione p1 ed alla temperatura T1 ed esce alla stessa temperatura ma alla pressione p2 . Sapendo che le sezioni di ingresso ed uscita misurano S1 ed S2 calcolare le velocit`a di ingresso ed uscita del flusso. p 1 n1

p U1

U2 V

T1

n2

S1

S2

V˙ = 12 m3 /s T1 = 188 K p1 = 216 kPa S1 = 0.2 m2 S2 = 1.4 m2 p2 = 30 kPa

Soluzione Dall’equazione di stato applicata alla sezione di ingresso si ricava ρ1 = ˙ = ρ1 V˙ = 48.039 Kg/s ed p1 /(RT1 ) = 4.003 Kg/m3 per cui risulta m U1 = V˙ /S1 = 240.19 m/s. Dalla conservazione della massa deve risultare −ρ1 U1 S1 + ρ2 U2 S2 = 0 (in quanto u1 · n1 = −U1 mentre u2 · n2 = U2 ) da cui si ricava U2 = ρ1 U1 S1 /(ρ2 S2 ) = 61.714 m/s.

4.2.2

forma differenziale

Se il volume di controllo `e fisso e sussistono le condizioni per l’applicazione del teorema della divergenza la (4.10) si pu`o scrivere come
V0





∂ρ + ∇ · (ρu) dV = 0; ∂t

(4.13)

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

72

dobbiamo a questo punto notare che la scelta del volume di controllo V0 `e assolutamente arbitraria mentre la relazione (4.13) impone l’uguaglianza per qualunque scelta di V0 . L’unica possibilit`a affinch´e ci`o si verifichi `e che sia identicamente nulla la funzione integranda, ossia ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0, (4.14) ∂t che `e l’equazione di conservazione della massa in forma differenziale. L’equazione (4.14) si pu`o anche scrivere ∂ρ + u∇ · ρ + ρ∇ · u = 0, (4.15) ∂t da cui emerge che nel caso particolare di flusso incomprimibile Dρ/Dt = 0 la (4.15) si riduce a ∇ · u = 0, (4.16) relazione gi`a trovata per altra via quando si `e considerata l’analisi del moto nell’intorno di un punto 1 .

4.3 4.3.1

equazione di bilancio della quantit` a di moto forma integrale

Per derivare l’equazione di bilancio della quantit`a di moto Q, procediamo in modo analogo  alla sezione precedente. Iniziamo con il definire Q = V0 ρudV e, utilizzando il secondo principio della dinamica possiamo scrivere: dQ = F, dt

(4.17)

dove con F sono state indicate tutte le forze che agiscono sul volume materiale in esame. Il primo membro della (4.17) si pu`o esplicitare tramite il teorema del trasporto di Reynolds, mentre per esprimere F bisogna distinguere i vari tipi di forze che agiscono sul sistema. Senza elencare nel dettaglio tutte le possibili forze agenti sul volume materiale di fluido, possiamo distinguere tra le forze di contatto FS , quelle cio`e che agiscono solo attraverso azioni di contatto sulla superficie S del volume materiale, e le forze di volume FV che agiscono anche sulle particelle fluide interne al volume materiale. Tra le prime possiamo annoverare le forze di pressione e le forze viscose, mentre la forza peso, la forza centrifuga e quella di Coriolis fanno parte della seconda categoria. 1

Se la relazione (4.16) viene risostituita nella (4.15) si ottiene che la derivata materiale della densit` a `e nulla, Dρ ∂ρ + u∇ · ρ = = 0. ∂t Dt Ricordando che la derivata materiale indica la variazione misurata da un osservatore solidale con la particella fluida, `e evidente che la densit`a di una particella in un flusso incomprimibile non pu` o variare e quindi la sua derivata materiale deve essere nulla.

` DI MOTO 4.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA

73

Tra le forze di contatto possiamo ulteriormente distinguere l’azione della pressione da quella delle altre forze (come l’attrito) e porre FS = −




S0

pndS + F S ,

(4.18)

per cui dalla definizione di Q ed il teorema del trasporto di Reynolds si ottiene


∂ρu ρuu · ndS + pndS = F S + FV . (4.19) dV + V0 ∂t S0 S0 Questa espressione trova largo uso nel caso di flussi stazionari e la sua applicazione e relativi esempi verranno trattati in §4.3.3.

4.3.2

forma differenziale

Senza perdita di generalit`a poniamo


FS =

S0

T · ndS




e FV =

V0

ρf dV,

(4.20)

in cui f `e la densit`a delle forze di volume (nel caso della sola forza peso f risulterebbe essere l’accelerazione di gravit`a) mentre T `e il tensore degli sforzi di superficie. Anticipando ora un risultato che sar`a dimostrato successivamente, poniamo T = −pI + τ in cui p `e la pressione, I `e il tensore identit`a e τ `e la parte deviatorica degli sforzi viscosi. In questa decomposizione il tensore degli sforzi di superficie T viene decomposto in una parte isotropa dovuta alla pressione ed una parte deviatorica dovuta alla viscosit` a. Mettendo insieme la definizione di Q, le espressioni (4.17) e (4.20) ed il teorema del trasporto di Reynolds si ottiene




∂ρu ρuu · ndS = − pI · ndS + τ · ndS + ρf dV, (4.21) dV + V0 ∂t S0 S0 S0 V0 che esprime il bilancio di quantit`a di moto in forma integrale. Se `e possibile applicare il teorema della divergenza questa relazione pu`o essere trasformata in 

∂ρu (−∇p + ∇ · τ + ρf )dV, (4.22) + ∇ · (ρuu) dV = ∂t V0 V0 dove si pu`o osservare di nuovo che, dovendo sussistere l’identit`a dei due membri per qualunque scelta del volume di controllo V0 , devono necessariamente risultare uguali le funzioni integrande da cui ∂ρu + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τ + ρf , (4.23) ∂t che `e l’equazione di bilancio della quantit`a di moto in forma differenziale. Come semplice esercizio si pu`o dimostrare che se all’equazione (4.23) viene sottratta l’equazione (4.14) moltiplicata per u si ottiene Du = −∇p + ∇ · τ + ρf , (4.24) Dt che `e un’altra forma differenziale dell’equazione di bilancio della quantit`a di moto. ρ

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

74

4.3.3

applicazione dell’equazione di bilancio della quantit` a di moto

Le relazioni (4.17)–(4.21) possono essere ridotte a forme pi` u maneggevoli per applicazioni pratiche sotto alcune ipotesi semplificative. L’assunzione pi` u comune `e quella di flusso stazionario in cui tutte le variazioni temporali delle grandezze sono nulle. Bisogna osservare che nella pratica un flusso non `e mai strettamente stazionario ossia ∂ • /∂t ≡ 0 ma lo `e quasi sempre in senso statistico. Si verifica infatti che le fluttuazioni delle grandezze rispetto ad i valori medi siano generalmente contenute e ci`o consente di ipotizzare che il termine contenente la derivata temporale della quantit`a di moto sia trascurabile rispetto agli altri. Notiamo a questo punto che, detta S0 la superficie del volume di controllo avremo in certo numero di porzioni Si , i = 1, 2, ..., N attraverso le quali c’`e flusso di massa e la  e impermeabile o soddisfa la condizione di rimanente superficie S = S0 − N i=1 Si che o ` aderenza u = 0 e quindi avr`a un flusso di massa nullo. In tal caso ipotizzando che le grandezze siano costanti su ognuno dei tratti di S0 risulter`a:
S0

ρuu · ndS =

N
 i=1 Si




ρuu · ndS +

S

ρuu · ndS =

N 

ρuu · nSi .

(4.25)

i=1

Distinguendo in modo analogo i contributi del termine di pressione scriviamo
S0

pI · ndS =

N
 i=1 Si

pI · ndS +


S

pI · ndS =

N 

pnSi + Fps

(4.26)

i=1

dove con Fps si `e indicata la risultante di tutte le forze di pressione che la superficie di controllo senza flusso di massa esercita sul fluido (per esempio le reazioni vincolari). Con queste assunzioni l’equazione (4.21) diventa

N 

(ρuu · n + pn)Si = F

(4.27)

i=1

avendo indicato con F la risultante di tutte le forze di volume, quelle viscose e quelle di pressione esercitate dalle porzioni di S0 attraverso cui non transita massa.

` DI MOTO 4.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA QUANTITA ESEMPIO Dell’acqua fluisce nell’ugello in figura dalla sezione 1 alla 2 dove scarica in atmosfera. Determinare modulo e verso delle forze orizzontali e verticali necessarie a mantenere l’ugello fermo. Il peso dell’ugello vuoto `e W ed il volume d’acqua contenuta `e V . L’ugello smaltisce una portata Q. α S2

g

Q S1

α = 40o W = 13 Kg S1 = 0.025 m2 p1 = 1.5 bar

Q = 0.1 m3 /s V = 0.015 m3 S2 = 0.008 m2 (pressione assoluta)

p1

Soluzione Dall’equazione di bilancio della quantit`a di moto, preso il fluido all’interno del condotto come volume di controllo e dette 1 e 2, rispettivamente le sezioni di ingresso ed uscita si ottiene Fy = −ρU12 S1 − (p1 − p0 )S1 + ρU22 sin αS2 + ρgV = −715.61 N Fx = ρU22 cos αS2 = 957.55 N avendo preso l’asse x orizzontale e l’asse y verticale ed orientato verso l’alto. I valori per U1 = 4 m/s ed U2 = 12.5 m/s sono stati ricavati dalla portata Q e la superficie S delle sezioni. Infine, poich´e l’ugello vuoto pesa gi`a W = 127.53 N la forza aggiuntiva verso il basso sar`a Fy = −588.273 N.

75

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

76

ESEMPIO In un canale piano, come in figura, `e presente un flusso stazionario che entra uniformemente con velocit`a U ed esce con profilo parabolico. Sono note le pressioni p1 e p2 uniformi sulle sezioni iniziali e finali ed il fluido `e acqua. Essendo il canale posto verticalmente, calcolare la risultante delle forze viscose per unit`a di profondit`a b. u(y) p2 y l

h = 0.2 m l=b=1m U = 0.5 m/s p1 = 1.15 · 105 Pa p2 = 105 Pa

h

U b

p1

Soluzione Si utilizza l’equazione di bilancio della quantit`a di moto in forma integrale per flussi stazionari. Proiettando l’equazione lungo la direzione verticale positiva si ottiene:
h 2 −ρU bh + ρb u2 (y)dy + bh(p2 − p1 ) + ρgbhl = Fx . 0

In questa relazione c’`e ancora come incognita u(y) che deve avere una forma parabolica e deve preservare la massa:


h 0

da cui

u(y)dy = U h,

=⇒

 2

y y − u(y) = 6U h h

h 2 2 0 u (y)dy = 6U h/5 e di conseguenza Fx = −1030 N.

,

4.4. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA

77

ESEMPIO Un flusso stazionario d’acqua entra nella sezione 1 con portata Q ed esce dopo aver compiuto una curva di 1800 dalla sezione 2. La pressione (media) in 1 `e P1 mentre quella in 2 `e p2 (p2 < p1 ) a causa delle perdite. Sapendo che il tubo ha sezione costante S e che `e orizzontale, calcolare le forze Fx ed Fy necessarie a mantenere fermo il tubo. x

y 2

S = 7.854 · 10−3 m2 p1 = 6 atm

Q = 7.854 · 10−2 m3 /s p2 = 4.5 atm

1

Soluzione Dall’equazione di bilancio della quantit`a di moto in forma integrale si ha: Fx = 0,

Fy = −ρu21 S1 − ρu22 S2 − p1 S1 − p2 S2 = −9924 N,

essendo u1 = u2 = Q/S = 10 m/s.

4.4 4.4.1

equazione di conservazione dell’energia forma integrale

Per la formulazione dell’equazione di conservazione dell’energia per un fluido, partiamo dal primo principio della termodinamica che sancisce, di fatto, l’equivalenza tra le varie forme di energia. Indicando con E il contenuto totale di energia del volume materiale, e con L˙ e Q˙ rispettivamente il lavoro fatto sul sistema ed il calore introdotto nel sistema, entrambi per unit`a di tempo, scriviamo dE ˙ = L˙ + Q. dt

(4.28)

Se ora indichiamo con E l’energia totale specifica, ossia la grandezza intensiva coniugata ad E possiamo scrivere d
dE = ρEdV = L˙ + Q˙ dt dt V

(4.29)

e quindi usando il teorema del trasporto di Reynolds
V0


∂ρE ˙ ρEu · ndS = L˙ + Q, dV + ∂t S0

(4.30)

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

78

che `e l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale. L’espressione (4.30) `e di fondamentale importanza per le applicazioni anche se necessita di maggiori dettagli nelle definizioni di L˙ e Q˙ per poter essere utilizzata. Tali dettagli con esempi verranno forniti in §4.4.3

4.4.2

forma differenziale

In modo analogo alle forze precedentemente introdotte, dividiamo anche L˙ e Q˙ nei contributi di volume e superficie e per il lavoro fatto dalle forze di volume e superficie abbiamo

˙LS = ˙ (T · n) · udS e LV = ρf · udV. (4.31) S0

V0

Per il calore, poniamo q˙ il calore per unit`a di volume generato internamente al sistema (per esempio per processi chimici o assorbimento di radiazione) e K il flusso di calore per unit`a di superficie che entra nel sistema attraverso la superficie esterna. Risultando in base al postulato di Fourier K = −λ∇T (essendo λ la conducibilit`a termica del materiale e ∇T il gradiente di temperatura) possiamo porre Q˙ S = −


S0

K · ndS =


S0

e Q˙ V =

λ∇T · ndS


V0

ρqdV. ˙

(4.32)

Vogliamo brevemente commentare i vari segni negativi che compaiono nella definizione ˙ di QS ; quello nella definizione di K deriva dal fatto che naturalmente il calore va da punti a temperatura maggiore a punti a temperatura minore, ossia si muove in verso opposto  rispetto al gradiente di temperatura. Il segno negativo in Q˙ S = − S0 K · ndS `e invece causato dall’orientamento di n che `e positiva se punta esternamente al sistema. Poich´e K `e positivo se entrante nel sistema il prodotto K · n risulterebbe negativo, per flussi di calore entranti nel sistema, da cui il segno negativo. Utilizzando ora le espressioni (4.29) e (4.30) possiamo scrivere d
dE ρEdV = L˙ S + L˙ V + Q˙ S + Q˙ V , = dt dt V

(4.33)

e quindi usando le definizioni (4.31) e (4.32) ed il teorema del trasporto di Reynolds
V0





∂ρE ρEu · ndS = − p(I · n) · udS + (ττ · n) · udS + ρf · udV + (4.34) dV + ∂t S0 S0 S0 V0


+

S0

λ∇T · ndS +


V0

ρqdV, ˙

che `e l’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale. Usando nelle solite ipotesi il teorema della divergenza si possono ridurre tutti i termini ad un integrale di volume ed ipotizzando un volume di controllo fisso si ha
V0





∂ρE + ∇ · (ρEu) dV = ∂t

(4.35)

4.4. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA


=

V0

79

(−∇ · (pu) + ∇ · (ττ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq) ˙ dV.

Anche in questo caso noteremo che data l’assoluta arbitrariet`a del volume di controllo V0 devono risultare uguali le funzioni integrande a primo e secondo membro della (4.35) da cui ne consegue l’equazione di conservazione dell’energia in forma differenziale ∂ρE + ∇ · (ρEu) = −∇ · (pu) + ∇ · (ττ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq. ˙ ∂t

(4.36)

Analogamente a quanto fatto per il bilancio della quantit`a di moto notiamo che se all’equazione (4.36) sottraiamo l’equazione (4.14) moltiplicata per E otteniamo ρ

DE = −∇ · (pu) + ∇ · (ττ · u) + ρf · u + ∇ · (λ∇T ) + ρq, ˙ Dt

(4.37)

che `e un’ulteriore forma dell’equazione di conservazione dell’energia in forma differenziale.

4.4.3

applicazione dell’equazione di conservazione dell’energia

Similmente al bilancio della quantit`a di moto, l’applicazione delle equazioni (4.28)–(4.34) risulta notevolmente semplificata nel caso in cui si possano fare alcune assunzioni che vengono verificate in numerosi casi pratici. sistemi chiusi Se il sistema `e chiuso, ossia non c’`e flusso di massa attraverso la sua superficie, le equazioni (4.28)-(4.29) possono essere messe in una forma particolarmente utile dal punto di vista applicativo. Infatti, se nell’energia totale specifica E si contempla un contributo cinetico u2 /2, uno potenziale gh ed uno di energia interna e l’equazione (4.29) assume la forma 



u2 d
˙ ρ + gh + e dV = L˙ + Q. dt V 2

(4.38)

Con l’ulteriore ipotesi che il sistema sia caratterizzabile da un unico valore di u, h ed e (per esempio considerandone i valori mediati sul volume e la quota del baricentro),  essendo la massa m = V vρdV costante, la relazione (4.38) si trasforma in 

u2 m + gh + e 2





u2 − + gh + e 2 f in



  = ∆L + ∆Q

(4.39)

ini

che mette in relazione gli stati iniziali e finali del sistema quando siano note le quantit`a di lavoro e calore fatti sul sistema durante il lasso di tempo trascorso tra i due stati.

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

80 sistemi aperti

Se, invece il sistema `e aperto ma il flusso `e stazionario (o statisticamente stazionario) il termine contenente la derivata temporale scompare nella (4.34) che possiamo scrivere come:
S0

ρEu · ndS = −


S0

p(I · n) · udS + Q˙ + L˙ M .

(4.40)

Q˙ indica gli ultimi due termini della (4.34) mentre con L˙ M si `e indicato il lavoro meccanico sul sistema (rappresentato dal terzultimo e quartultimo termine della (4.34)) che si `e  ` importante notare che quest’ultimo distinto dal lavoro delle pressioni S0 p(I · n) · udS. E `e diverso da zero solo su quelle porzioni della superficie di controllo dove si ha flusso di massa in quanto negli altri casi la velocit`a o `e ortogonale ad n (contorno impermeabile) o risulta identicamente nulla (parete con condizione di aderenza). Con le ulteriori ipotesi che il sistema abbia una sola sezione di ingresso (Sin ) ed una sola di uscita (Sout ) e che le grandezze possano considerarsi costanti su tali sezioni gli integrali si semplificano in
S0

ρEu · ndS = E





S0

ρu · ndS = m(E ˙ out − Ein ),




p p(I · n) · udS = ρ n · udS = m ˙ S0 S0 ρ

 

p ρ

(4.41)

 

− out

p ρ

, in

dopo aver osservato che risulta m ˙ out ≡ m ˙ in = m ˙ per la conservazione della massa. Con la stessa definizione per l’energia totale specifica E fatta nella sezione precedente l’equazione (4.40) assume la forma 

m ˙

p u2 + e + + gh 2 ρ





p u2 − + e + + gh 2 ρ out



= Q˙ + L˙ M .

(4.42)

in

I termini e + p/ρ sono per definizione l’entalpia h = Cp T che pu`o talvolta essere nota in ingresso e/o in uscita.

4.4. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ESEMPIO Un cilindro circolare di raggio R contiene dell’aria alla temperatura iniziale T0 ed a pressione atmosferica. Se un pistone, inizialmente ad una distanza h comprime con una forza F il sistema fino all’equilibrio quale sar`a la temperatura finale dell’aria nel cilindro? Considerare il fenomeno isentropico.

R T0 h p

0

R = 0.2 m T0 = 290 K h = 0.5 m F = 4000 N

F Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi chiusi si scrive: 

m





u2 u2 e1 + 1 + gz1 − e0 + 0 + gz0 2 2



= ∆L + ∆Q.

Nella relazione appena scritta risulta gz0 = gz1 ed u0 = u1 = 0 e ∆Q = 0. Dall’equazione di stato dei gas perfetti ρ0 = p0 /(RT0 ) = 1.217 Kg/m3 per cui la massa del sistema `e m = ρ0 πR2 h = 0.0764 Kg. Per determinare la quantit`a di lavoro fatta sul sistema basta osservare che il pistone comprimer`a l’aria fino a quando la pressione interna bilancer`a la forza esterna (somma della forza applicata e di quella esercitata dalla pressione atmosferica) pI = p0 + F/(πR2 ) = 133146 Pa. D’altra parte essendo la trasformazione isentropica dovr`a risultare p0 /pI = (ρ0 /ρI )γ da cui ρI = 1.479 Kg/m3 (con γ = 1.4) e dalla costanza della massa ρ0 h = ρI (h − ∆h) da cui ∆h = 0.088 m. Il lavoro fatto sul sistema sar`a quindi ∆L = (F + p0 πR2 )∆h = 1481.97 J. Infine, essendo e = Cv T dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi chiusi si ricava T1 = T0 + ∆L/(Cv m) = 317 K.

81

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

82

ESEMPIO In una camera di combustione c’`e un flusso di massa di combustibile M˙ . Calcolare la temperatura di uscita del gas utilizzando i dati in figura ad essumendo che il combustibile bruci totalmente tra le sezioni 1 e 2 con potere calorifico inferiore P . (Trascurare il calore scambiato dalla camera di combustione con l’esterno, trascurare la variazione di portata in massa dovuta all’introduzione di combustibile e considerare il gas come perfetto e con le caratteristiche dell’aria). V1 p1

S1 = S2 = 0.1 m2 M˙ = 0.1 Kg/s V2 = 60 m/s T1 = 270 K

V2

T1 l

S1

S2

P = 14000 Kcal/Kg V1 = 16 m/s p1 = 7 atm

Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale per sistemi aperti si scrive: 

m ˙





u22 p2 u21 p1 e2 + + gz2 − e1 + + gz1 + + 2 ρ2 2 ρ1



˙ = L˙ m + Q.

Nella relazione appena scritta risulta gz2 = gz1 , L˙ m = 0 e Q˙ = P M˙ . Dall’equazione di stato dei gas perfetti si ricava ρ1 = p1 /(RT1 ) = 9.153 Kg/m3 e quindi m ˙ = ρ1 S1 u1 = 14.645 Kg/s. Note queste quantit`a si pu`o calcolare T2 dall’equazione di sopra:



M˙ P u2 u2 T2 = + (CV + R)T1 + 1 − 2 /(CV + R) = 666.64 K. m ˙ 2 2

4.4. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA ESEMPIO A causa delle infiltrazioni nel terreno dell’acqua fluisce in modo stazionario da un lago in quota ad uno pi` u in basso di una quota h. Calcolare l’aumento di temperatura dell’acqua causata dal passaggio da una bacino all’altro.

280 m

Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia applicata tra i peli liberi dei due bacini (u1 = u2 = 0, p1 = p2 = p0 ), essendo nulli lavoro e calore trasmessi al sistema si ha m[(CT ˙ + gh)2 − (CT + gh)1 ] = 0, essendo C = 4186.8 J/(Kg K).

∆T = gh/C = 0.656 K,

83

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

84

ESEMPIO Una portata d’aria V˙ entra in un compressore alla pressione p1 ed alla temperatura T1 ed esce alla pressione p2 . Calcolare la potenza assorbita dal compressore sapendo che le sezioni di ingresso ed uscita misurano S1 ed S2 e supponendo l’intero processo isentropico ed il compressore adiabatico.

S1 p1

p2 S2

V

T1

V˙ = 20 m3 /s T1 = 288.15 K p1 = 124 kPa S1 = 1.2 m2 S2 = 0.4 m2 p2 = 630 kPa

Soluzione Dall’equazione di conservazione dell’energia in forma integrale



u22 u21 m ˙ h2 − h1 + − gz2 − gz1 = Q˙ + L˙ m , 2 2 in cui risulta z1 ≈ z2 e Q˙ = 0. Dall’equazione di stato applicata alla sezione di ingresso si ricava ρ1 = ˙ = ρ1 V˙ = 29.988 Kg/s ed U1 = V˙ /S1 = 16.666 m/s. p1 /(RT1 ) = 1.499 Kg/m3 , m L’equazione isentropica tra le sezioni 1 e 2 fornisce T2 = T1 (p2 /p1 )(γ−1)/γ = 458.468 K e dall’equazione di stato ρ2 = p2 /(RT2 ) = 4.788 Kg/m3 . Dalla ˙ conservazione della massa U2 = m/(ρ 2 S2 ) = 15.657 m/s e quindi L˙ m = [Cp (T2 − T1 ) + (U22 − U12 )/2] = 5.13 MW.

4.5

∗

forma differenziale vs forma integrale

Nelle tre sezioni precedenti abbiamo derivato le equazioni di conservazione della massa e dell’energia e di bilancio della quantit`a di moto presentando per ogni equazione una forma integrale ed una differenziale. Ci chiediamo ora quale sia la differenza sostanziale tra le due forme di equazione ed in quali applicazioni utilizzare l’una o l’altra forma; cercheremo di chiarire questo punto mediante due semplici esempi. Nel dispositivo di figura 4.3 vengono a contatto due correnti a velocit`a costante U1 ed U2 e, se il tubo (cilindrico) ha lunghezza sufficiente, con buona approssimazione la corrente in uscita ha velocit`a uniforme; ci chiediamo quale sia il valore della velocit`a di uscita U data la geometria assialsimmetrica di figura. Il problema pu`o essere semplicemente risolto considerando l’equazione di conservazione della massa in forma integrale (4.10) che, data

4.5.

∗

FORMA DIFFERENZIALE VS FORMA INTEGRALE

85

n U

r

u

U2 r2 r1

U1

n n Figura 4.3: Dispositivo per il miscelamento di correnti a diversa velocit`a. la stazionariet`a del flusso si riduce a


S0

ρu · ndS = 0.

(4.43)

Preso allora il volume di controllo indicato in figura con una linea tratteggiata si ha che il mantello cilindrico laterale non d`a alcun contributo in quanto u · n ≡ 0 mentre dai contributi delle superfici di destra e di sinistra risulta
S0

ρu · ndS = −U1 S1 − U2 S2 + U S = 0, =⇒ U =

U1 S1 + U2 S2 , S

(4.44)

risultando S1 = πr12 , S2 = π(r2 − r22 ) e S = πr2 . Come secondo esempio consideriamo un campo bidimensionale di velocit`a e densit`a tali che in un intervallo temporale compreso tra t1 = 1s e t2 = 2s e nell’intorno del punto x = (1, 1/2) possano essere descritti dalle espressioni ρu = (ρux , ρuy ) = (6xt2 + 4t, 4y 2 t + 8xt + 12t2 )Kg/(m2 s); sapendo che nel punto x al tempo t1 = 1s la densit`a vale ρ = 25Kg/m3 calcolare il valore della densit`a nello stesso punto al tempo t2 = 2s. Poich´e questa volta si tratta di determinare il valore locale di una quantit`a bisogner`a usare una relazione differenziale. Presa in particolare l’equazione (4.14) possiamo scrivere ∂ρ = −∇ · (ρu), ∂t

con ∇ · (ρu) = 6t2 + 8yt,

(4.45)

da cui si ottiene per integrazione tra i tempi t1 e t2
t2 ∂ρ t1

∂t

dt = −


t2 t1

(6t2 + 8yt)dt, =⇒ ρ(t2 ) = ρ(t1 ) − [2t3 + 4yt2 ]tt21 = 1Kg/m3 .

(4.46)

Dagli esempi discussi possiamo riassumere dicendo che se in un problema siamo interessati a valori o variazioni puntuali di grandezze fluidodinamiche allora bisogna ricorrere alle relazioni differenziali che forniscono una soluzione estremamente dettagliata (funzioni

86

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

mixing zone Figura 4.4: Esempio di flusso all’interno del dispositivo di miscelamento. La linea spezzata tratteggiata `e un esempio di volume di controllo inappropriato. dello spazio e del tempo) a costo di una notevole complessit`a (pi` u spesso impossibilit`a) di soluzione del problema. Se al contrario, l’obiettivo dell’indagine `e una grandezza globale come un profilo medio di velocit`a o la risultante di forze allora le relazioni in forma integrale sono pi` u utili in quanto permettono sotto opportune condizioni semplificative di determinare le grandezze sul contorno del volume di controllo senza conoscere ci`o che accade al suo interno. Per esempio nel precedente dispositivo di miscelazione, la zona subito a valle dell’inflow, dove le due correnti vengono a contatto, sar`a una regione caratterizzata da intense fluttuazioni e disomogeneit`a del flusso (figura 4.4), per analizzare le quali bisogna senz’altro ricorrere a relazioni di tipo differenziale. Se tuttavia si `e interessati solo a quello che accade nella sezione di uscita del dispositivo allora si pu`o trascurare la dinamica del flusso al suo interno e considerare il miscelatore come una scatola nera nella quale entra un flusso con certe caratteristiche ed esce con altre caratteristiche. La figura 4.4 ci d`a anche lo spunto per discutere la scelta del volume di controllo per la soluzione di un problema. Da un punto di vista teorico, infatti non esistono volumi di controllo sbagliati visto che le relazioni utilizzate sono valide per qualunque V0 . La soluzione dell’esempio precedente, tuttavia ha mostrato che l’uso delle relazioni in forma integrale implica la valutazione di integrali di superficie e la scelta della superficie S0 pu`o risultare determinante per l’effettiva possibilit`a di valutare i suddetti integrali. Se per esempio invece del primo volume di controllo si fosse scelto quello indicato con la linea tratteggiata in figura 4.4, la valutazione del flusso di massa lungo S0 avrebbe richiesto dei dati non disponibili dal problema. Vogliamo infine notare che tutte le equazioni in forma integrale, risultano realmente semplici da risolvere solo quando si riducono alla valutazione di integrali di superficie in quanto in caso contrario, il calcolo degli integrali di volume richiede ugualmente la conoscenza delle quantit`a all’interno del volume di controllo. Ci`o `e particolarmente vero  per il termine non stazionario d/dt V0 ρbdV per la valutazione del quale occore conoscere la distribuzione della grandezza intensiva b nel volume V0 . Nelle applicazioni pratiche, purtroppo, il flusso non `e quasi mai stazionario e ci`o sembrerebbe diminuire fortemente l’utilit`a delle relazioni integrali. Possiamo comunque osservare che se un flusso ha delle fluttuazioni a media nulla, ossia

4.6.

∗

IL TENSORE DEGLI SFORZI

87

se le grandezze fluidodinamiche oscillano nel tempo intorno ad un valore medio che rimane costante, allora il flusso si considera statisticamente stazionario e si pu`o nuovamente tornare ad usare le relazioni integrali per flussi stazionari.

4.6

∗

il tensore degli sforzi

Quando sono state derivate le equazioni di bilancio della quantit`a di moto e di conservazione dell’energia `e stato introdotto il tensore delle forze di superficie T senza specificare come esso sia legato allo stato di moto nell’intorno di un punto; in questa sezione verr`a data la forma esplicita di T e verranno discusse le ipotesi fisiche che determinano la relazione tra sforzi viscosi e campo di velocit`a. Come primo punto bisogna giustificare per T la forma di tensore ed a tale scopo consideriamo le due situazioni disegnate in figura 4.5. Nella prima (figura 4.5a) vogliamo determinare le caratteristiche delle azioni di superficie relativamente ad un contorno piano la cui normale abbia una sola direzione. Possiamo osservare che in questa particolare situazione una forza F applicata alla superficie S generer`a tre sforzi che possiamo definire come sx = Fx /S, sy = Fy /S ed sz = Fz /S. Proseguiamo l’analisi di s osservando che `e definito come le azioni di superficie che il fluido esternamente al sistema esercita sul sistema stesso, la distinzione tra esterno ed interno `e fornita dalla normale il cui verso positivo `e quello uscente. Per il terzo principio della dinamica si ha che l’azione di superficie esercitata dal sistema sull’esterno sar`a punto per punto uguale ed opposta dovr`a quindi risultare s(−n) = −s(n), ossia s `e una funzione dispari di n. Nell’esempio precedente abbiamo visto come si comportano gli sforzi s su una superficie con normale n essendo assegnata una forza F; ricordiamo ora che il nostro scopo `e invece quello di caratterizzare le azioni di superficie (T) per un elemento fluido generico in modo da poter determinare s conoscendo T ed n. Cominciamo con l’osservare che una superficie avr`a un orientamento generico determinato dalla sua normale n = (nx , ny , nz ) e su di essa agir`a un forza F = (Fx , Fy , Fz ) da cui si evince che la determinazione delle azioni di superficie necessita di due informazioni di direzione. Questa osservazione ci porta ad immaginare T = T(F, n) che giustificherebbe per gli elementi di T un forma Tij con i, j = x, y, z. Bisogna notare, tuttavia, che il fatto che gli elementi di T abbiano due indici non implica necessariamente che T sia un tensore, visto che per affermare ci`o bisogna verificare che cambiando sistema di riferimento T si trasformi seguendo le regole dei tensori. Prendiamo ora un elemento di fluido a forma di tetraedro (figura 4.5b) e calcoliamone l’equilibrio sotto l’azione di forze di volume e di superficie; indicando con xˆ, yˆ ed zˆ i versori degli assi si avr`a y )dSy + s(−ˆ z )dSz = ρdV (a − f ). s(n)dS + s(−ˆ x)dSx + s(−ˆ

(4.47)

D’altra parte, per le propriet`a geometriche del tetraedro possiamo scrivere dSx = dS xˆ ·n e lo stesso per le altre superfici, da cui notando che il volume del tetraedro si pu`o esprimere

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

88

S

z

z

F Fz

Fy

n

Fx y

x

x

y

dS

a)

b)

Figura 4.5: Definizione del tensore degli sforzi. come dV = dSh/3, con h l’altezza del tetraedro relativa alla base dS abbiamo s(n) − (s(ˆ x)ˆ x + s(ˆ y )ˆ y + s(ˆ z )ˆ z) · n =

h (a − f ). 3

(4.48)

Se ora si fa tendere a zero il volume del tetraedro mantenendone invariata la forma, si ha che le forze di volume tendono a zero pi` u rapidamente di quelle di superficie (effetto scala) e poich´e il tetraedro si contrae in un punto si ottiene la relazione s(n) = (s(ˆ x)ˆ x + s(ˆ y )ˆ y + s(ˆ z )ˆ z) · n

(4.49)

che ci dice come calcolare lo stato di tensione in un punto di una superficie con normale n note le tensioni in altre tre direzioni ortogonali. Poich´e la relazione (4.49) si pu`o scrivere per componenti nella forma s = Tn oppure per componenti si = Tij nj (risultando Tij = x)ˆ xj + si (ˆ y )ˆ yj + si (ˆ z )ˆ zj )nj ) possiamo effettivamante affermare che per caratterizzare (si (ˆ le azioni di superficie in un punto `e necessario un tensore, cos`ı come precedentemente ipotizzato. Avendo stabilito che le forze di superficie in un punto sono caratterizzate da un tensore (del secondo ordine) ne consegue che per ogni punto abbiamo bisogno di 9 informazioni (Tij , per i, j = x, y, z); ci chiediamo ora se le 9 componenti del tensore sono tutte inipendenti o se c’`e un legame tra loro che permetta di diminuire il numero delle incognite. Consideriamo la figura 4.6 e calcoliamo l’equilibrio alla rotazione intorno all’origine degli assi per l’elemento fluido 2 . Indicando con dz la dimensione dell’elemento nella direzione 2

In realt` a nell’equilibrio alla rotazione dell’elemento fluido andrebbero considerate anche le foze di volume, tuttavia se i momenti delle forze di superficie sono infinitesimi di ordine dl3 quello delle forze di volume sono di ordine dl4 e quindi contraendo il prisma lasciandone invariata la forma i momenti delle forze di volume tendono a zero pi` u rapidamente di quelli relativi alle forze di superficie. Questo `e di nuovo l’effetto scala che rende trascurabili le prime forze rispetto alle seconde per elementi fluidi infinitesimi.

4.7.

∗

RELAZIONI COSTITUTIVE

89

y Tyy

Tx y dx Tyx O

dy

Tn n

Tx x

x

Ttt

Figura 4.6: Equilibrio alla rotazione per un elemento fluido sottoposto alle azioni di superficie. ortogonale al foglio si ha Tyx dydz

dx dy − Txy dxdz = 0, =⇒ Txy = Tyx , 2 2

(4.50)

da cui si vede che il tensore degli sforzi `e simmetrico e quindi le sue componenti indipendenti sono solo 6.

4.7

∗

relazioni costitutive

Dopo aver determinato la forma tensoriale di T vogliamo ora metterlo in relazione con lo stato di moto nell’intorno di un punto. Notiamo subito che nel caso di fluido fermo, le azioni viscose saranno identicamente nulle e l’unica forza di superficie sar`a la pressione, risultando identicamente T = −pI, essendo I la matrice identit`a. In generale tuttavia il fluido sar`a in movimento ed il tensore degli sforzi avr`a anche i termini deviatorici risultando cos`ı T = −pI + τ .

(4.51)

Vogliamo ora determinare come il tensore τ dipende dal campo di velocit`a, o meglio, dalla deviazione della velocit`a rispetto ad una corrente uniforme visto che in questo caso gli sforzi viscosi sono nulli. A tale scopo facciamo due ipotesi giustificate dall’evidenza sperimentale: (ı) τ dipende solo dalla distribuzione istantanea del campo di velocit`a ossia

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

90

la storia di u non influenza il valore di τ , (ıı) il fluido in esame `e isotropo, ossia τ `e indipendente dall’orientamento dell’elemento di fluido 3 . Nelle suddette ipotesi, la forma pi` u generale che pu`o assumere τ `e (scritta per componenti): τij = Aijkl

∂uk + O[(∇u)2 ]. ∂xl

(4.52)

Aggiungiamo l’ulteriore ipotesi che ∇u sia ‘piccolo’ abbastanza da poter trascurare i termini O[(∇u)2 ] e superiori cos`ı da poter scrivere τij = Aijkl

∂uk . ∂xl

(4.53)

Notiamo che τ , e quindi Aijkl , non possono dipendere esplicitamente da u per l’invarianza Galileiana e nemmeno da derivate temporali di u in quanto siamo nell’ipotesi di fluidi senza effetto memoria. Aijkl pu`o dipendere dallo stato del fluido (per esempio dalla temperatura) e persino dagli invarianti del tensore ∇u (ma non dal tensore stesso). Notiamo infine che, essendo τ simmetrico in i e j, tale deve risultare anche il tensore A da cui ne consegue che la forma pi` u generale che pu`o assumere `e Aijkl = aδij δkl + bδik δjl + cδil δjk ,

(4.54)

essendo δij il delta di Kronecker. Osservando che questa espressione, oltre che in i e j, risulta simmetrica anche in k ed l, ne segue b = c. Se ora decomponiamo ∇u nella sua parte simmetrica ed antisimmetrica (∇u|i,j = Eij + Ωij ), scopriamo che quando viene moltiplicato per A sopravvive solo la parte simmetrica in quanto anche A `e simmetrico. Come ultimo passo ricordiamo che τ `e solo la componente deviatorica di T deve quindi risultare identicamente τii ≡ 0 da cui ne consegue τij = aδij Ekk + 2bEij .

(4.55)

Avevamo comunque detto che deve valere τii ≡ 0 e se nella (4.55) si pone i = j si ottiene 2 3a∇ · u + 2b∇ · u = 0, =⇒ a = − b, 3

(4.56)

per cui si `e passati da un tensore Aijkl del quarto ordine con 81 componenti incognite alla sola incognita b. Per collegare b alle propriet`a del fluido si ricorre a prove sperimentali; se per esempio abbiamo un flusso con velocit`a solo nella direzione x che varia lungo la direzione y si ha 3

Queste ipotesi sono valide per la quasi generalit` a fluidi ma non sono applicabili ad alcuni materiali di straordinaria importanza pratica. Esistono infatti fluidi che presentano fenomeni di isteresi e quindi τ dipende anche dalla storia del moto. Ci sono inoltre fluidi anisotropi in cui il valore di τ dipende dall’orientamento della particella fluida. Il sangue, le vernici e le soluzioni polimeriche sono solo alcuni esempi tra molti.

4.8.

EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES

91

sperimentalmente τyx = µdux /dy essendo µ la viscosit`a del fluido, da cui si pu`o congetturare b = µ. Con questa posizione il legame tra τ e lo stato di moto nell’intorno di un punto diventa 2 (4.57) τ = − µ(∇ · u)I + 2µE 3 che `e la relazione costitutiva per fluidi Newtoniani. Prima di concludere la trattazione delle relazioni costitutive si vuole chiarire un punto che non dovrebbe essere sfuggito ad un lettore attento. Nel passare della relazione (4.51) alla (4.53) abbiamo detto di assumere che il gradiente di velocit`a ∇u risulti ‘piccolo’. Naturalmente in fisica piccolo o grande risulta del tutto privo di significato se non si dice rispetto a cosa. Per costruire quindi un termine di confronto riconsideriamo la natura molecolare del fluido esposta all’inizio del testo e risaliamo al meccanismo microscopico che produce gli sforzi viscosi. Abbiamo visto che questi sforzi sono generati dalla diffusione di quantit`a di moto delle singole molecole attraverso delle collisioni tra molecole a differente velocit`a. Considerata la velocit`a con cui si muovono le molecole e lo spazio percorso tra una collisione e la successiva (libero cammino medio) si ha che il tempo medio tra due collisioni successive `e, per i gas a pressione e temperatura ambiente O(10−10 s). D’altra parte l’inverso del gradiente di velocit`a `e dimensionalmente un tempo quindi richiedere che ∇u sia piccolo significa richiedere che la scala temporale associata agli sforzi macroscopici sia molto grande rispetto ai tempi caratteristici microscopici. Nei liquidi i fenomeno sono complicati dalla presenza di legami labili tra le molecole, appare comunque ragionevole assumere che qualunque fenomeno microscopico sia incomparabilmente pi` u rapido rispetto alle variazioni macroscopiche e quindi l’assunzione in (4.53) risulta giustificata.

4.8

equazioni di Navier–Stokes

Dopo aver determinato la relazione tra il tensore degli sforzi viscosi e lo stato di moto nell’intorno di un punto `e finalmente possibile chiudere l’equazione di bilancio della quantit`a di moto che, nella forma data dalla (4.24), aveva una dipendenza da τ rimasto incognito. Se ora sostituiamo la relazione costitutiva (4.57) precedentemente trovata nella (4.24) otteniamo ρ

2 Du = −∇p + ρf − ∇[(µ∇ · u)]I + 2∇ · (µE), Dt 3

(4.58)

che `e chiamata equazione di Navier–Stokes. Nel caso in cui si possa assumere che la viscosit`a del fluido non `e funzione della posizione allora si pu`o scrivere ∇ · (µ∇ · u)I = µ∇(∇ · u),

2∇ · (µE) = µ∇2 u + µ∇(∇ · u),

(4.59)

che risostituiti nella (4.58) danno ρ

Du µ = −∇p + ρf + ∇(∇ · u) + µ∇2 u, Dt 3

(4.60)

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

92

che `e l’equazione di Navier–Stokes per flussi a viscosit`a costante nello spazio. Se infine si aggiunge l’ulteriore ipotesi che il flusso sia incomprimibile, per cui l’equazione di conservazione della massa diventa ∇ · u = 0, allora l’equazione di Navier–Stokes si scrive Du (4.61) = −∇p + ρf + µ∇2 u. ρ Dt Vedremo ora come il numero di equazioni da utilizzare per la soluzione di un problema fluidodinamico dipenda dalla natura del flusso. Infatti se un flusso `e incomprimibile la sua densit`a sar`a costante e quindi non entra tra le incognite del problema. Questo implica che le incognite sono solamente la velocit`a (3 componenti scalari) e la pressione (1 scalare) che ha il solo ruolo cinematico di assicurare l’incomprimibilit`a del flusso. In questo caso abbiamo 4 incognite e dobbiamo quindi utilizzare 4 equazioni che si ottegono dalla (4.61) (1 equazione vettoriale =⇒ 3 equazioni scalari) e dalla conservazione della massa ∇·u = 0 (1 equazione scalare). Nella soluzione dei flussi incomprimibili, quindi, non `e necessario utilizzare la conservazione dell’energia in quanto la conservazione della massa ed il bilancio della quantit`a di moto costituiscono un sistema chiuso in cui il numero di equazioni `e pari al numero delle incognite. Al contrario nel caso di flussi comprimibili, la densit`a `e una variabile del problema e quindi bisogna usare anche l’equazione di conservazione dell’energia (1 equazione scalare). Questa equazione tuttavia introduce come ulteriore incognita la temperatura e quindi richiede l’uso di un’altra relazione per chiudere il problema. Questa relazione `e costituita dall’equazione di stato del fluido considerato che, mettendo in relazione densit`a pressione e temperatura senza introdurre incognite aggiuntive, pareggia il bilancio tra incognite ed equazioni.

4.9

∗

varie forme dell’equazione dell’energia

L’equazione di conservazione dell’energia si presta a varie interpretazioni fisiche che permettono di distinguere l’origine ed il bilancio dei vari termini sorgente. Come primo punto ricordiamo che E `e la densit`a di energia totale di una particella fluida che avr`a una parte cinetica u2 /2 ed una parte di energia interna e. D’altra parte, l’equazione di bilancio per la sola componente cinetica dell’energia si pu`o ottenere facilmente moltiplicando scalarmente per u l’equazione di bilancio della quantit`a di moto (4.24) da cui si ricava D ρ Dt



u2 2



= −u · ∇p + u · ∇ · τ + ρf · u.

(4.62)

Se questa equazione viene sottratta alla (4.37), con la posizione E = u2 /2 + e, si ottiene l’equazione di bilancio dell’energia interna ρ

De = −p∇ · u + τ · E + ∇ · (λ∇T ) + ρq˙ Dt

(4.63)

in cui i termini sorgente hanno sia natura termodinamica che meccanica. In particolare il termine ρq˙ tiene in conto la variazione di energia interna a causa di produzione di

4.9.

∗

VARIE FORME DELL’EQUAZIONE DELL’ENERGIA

93

calore interna alla particella fluida mentre ∇ · (λ∇T ) `e il contributo dovuto al calore che entra nella particella dall’esterno. −p∇ · u `e invece un termine meccanico e rappresenta l’energia interna immagazzinata dal sistema sotto forma di lavoro di pressione. Il temine τ · E `e infine la parte di energia meccanica trasformata in calore a causa degli sforzi viscosi. Questo termine deriva da τ · ∇u che `e la contrazione di due tensori (anche detto doppio prodotto scalare); ricordando per`o che τ `e simmetrico e che ∇u si pu`o decompore in parte simmetrica ed antisimmetrica ne consegue che nel prodotto sopravvive solo la parte simmetrica di ∇u da cui il termine τ · E. Sostituendo a τ ed E le loro espressioni in funzione del gradiente di velocit`a si pu`o dimostrare che il temine τ · E `e definito positivo ed `e omogeneo di grado 1 in µ potendo cos`ı scrivere τ · E = µφ. Il fatto che questo termine sia sempre positivo ci dice che la trasformazione di energia meccanica in calore da parte dei termini viscosi pu`o andare in un solo verso e non si pu`o mai verificare il contrario. Questa osservazione introduce la questione della reversibilit`a dei vari processi di trasformazione dell’energia da una forma all’altra. Per comprendere meglio questo punto, ricordiamo alcune definizioni della termodinamica     1 1 δQ , dS = (4.64) =⇒ T dS = de + pd de = δQ − pd ρ T ρ essendo S l’entropia e Q il calore entrante nel sistema 4 . Dall’ultima delle (4.64) si ottiene ρ

De DS ρp Dρ DS = ρT + 2 = ρT − p∇ · u, Dt Dt ρ Dt Dt

(4.65)

avendo notato che per la conservazione della massa risulta Dρ/Dt + ρ∇ · u ≡ 0. Sostituendo l’uguaglianza di sopra nella (4.63) si arriva quindi all’equazione di bilancio dell’entropia DS = µφ + ∇ · (λ∇T ) + ρq, ˙ (4.66) ρT Dt in cui non compare pi` u il termine −p∇ · u che `e quindi di tipo reversibile. Nel caso particolare in cui il flusso abbia gli effetti viscosi, la conducibilit`a termica e la produzione interna di calore trascurabili, allora l’equazione (4.66) si riduce a DS = 0, Dt

(4.67)

che, ricordando il significato della derivata materiale, afferma la costanza dell’entropia di una particella fluida durante la sua evoluzione. Se infine il flusso `e anche stazionario la (4.67) diventa u · ∇S = 0 che `e equivalente ad affermare che le variazioni di entropia avvengono solo in direzione ortogonale alle linee di corrente, oppure l’entropia lungo una linea di corrente rimane costante. 4

In queste definizioni si `e usata la convenzione di indicare con d i differenziali esatti e con δ le semplici variazioni infinitesime. Per esempio dS `e un differenziale esatto mentre δQ `e una variazione infinitesima e sussistendo la dS = δQ/T si ha che 1/T `e il fattore integrante.

94

CAPITOLO 4. DINAMICA DEI FLUIDI

Capitolo 5 Equazione di Bernoulli In questo capitolo verranno integrate alcune relazioni esposte precedentemente che assumeranno una forma particolarmente semplice, sia per le applicazioni, che per l’interpretazione fisica.

5.1

seconda legge della dinamica per un fluido ideale

In questa sezione si considera il moto di una particella fluida in un flusso non viscoso e stazionario nel caso in cui sia soggetta alle sole forze di pressione e di gravit`a. Si vuole analizzare, in particolare, la forma che assume la seconda legge della dinamica in tale contesto in quanto pu`o essere posta in una forma particolarmente semplice ed utile per le applicazioni fluidodinamiche. Si assuma, per semplicit`a, che il campo di moto sia anche bidimensionale e che una linea di corrente sia come quella in figura 5.1, se s `e la coordinata che corre lungo la linea di corrente ed R(s) il raggio di curvatura locale, la generica particella fluida che al tempo t = t si trova nel punto s = s con velocit`a U (s) avr`a le componenti di accelerazione tangenziale e normale alla linea di corrente as =

dU ∂U ds ∂U = =U |s=s dt ∂s dt ∂s

e an =

U2 |s=s , R

(5.1)

dove la prima espressione si ottiene semplicemente dalla regola di derivazione di una funzione composta mentre la seconda `e l’espressione dell’accelerazione centrifuga. Si consideri ora una particella fluida di dimensioni ds e dn, rispettivamente, nelle direzioni tangenti e normali alla linea di corrente nel punto s = s, e calcolino le risultanti delle forze Fs ed Fn nelle due direzioni. Detta p le pressione nel baricentro della particella, nella direzione s agiranno le forze di pressione 

Fsp = [ps1 − ps2 ]dn =





ds ds ∂p ∂p |s=s |s=s p− − p+ ∂s 2 ∂s 2 95



dn = −

∂p |s=s dsdn (5.2) ∂s

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

96 z

s=s

U(s)

R(s)

s

x

Figura 5.1: Disegno schematico di linee di corrente. e, procedendo analogamente per la direzione normale, si ottiene Fnp = −

∂p |s=s dsdn. ∂n

(5.3)

Oltre alle forze di pressione sulla particella fluida agisce la gravit`a che, formando un angolo π − θ con la normale alla linea di corrente, fornisce le due componenti di forza peso: Fsg = −ρg sin θ |s=s dsdn e Fng = −ρg cos θ |s=s dsdn, (5.4) ` posibile a questo punto scrivere la seconda legge dove ρdsdn `e la massa della particella. E della dinamica F = ma per la particella fluida proiettandone le componenti nelle direzioni tangenziale e normale alla linea stessa. Utilizzando le espressioni (5.1), (5.3) e (5.4) per le accelerazioni e le forze si ottiene ρdsdnU

∂U ∂p |s=s = − |s=s dsdn − ρg sin |s=s θdsdn ∂s ∂s

oppure ∂ ∂s



(5.5)



ρU 2 ∂p ∂z |s=s + |s=s + ρg |s=s , 2 ∂s ∂s

(5.6)

dove si `e utilizzata l’ipotesi ρ = cost. e l’identit`a sin θ|s=s ≡ ∂z/∂s|s=s in cui cui z `e una coordinata misurata su una asse con origine arbitraria ed orientato in verso opposto rispetto alla gravit`a. L’espressione (5.6) pu`o essere integrata nella forma

∂ ρU 2 + p + ρgz ∂s 2



= 0. s=s

(5.7)

∗

5.2.

EQUAZIONE DI BERNOULLI

97

g z pn2

ps2 p s=s

ps1

pn1

ds

θ

dn ds dz

dz

θ

dn

Figura 5.2: Forze sulla particella fluida. che, quando si osservi che s `e un punto qualunque sulla linea di corrente, implica che la quantit`a tra parentesi quadre deve essere costante lungo una linea di corrente, ρU 2 + p + ρgz = cost. lungo una linea di corrente 2 che `e una forma particolare dell’equazione di Bernoulli. Procedendo in modo analogo per la direzione normale si scrive U2 ∂p |s=s = − |s=s dsdn − ρg cos θ |s=s dsdn R ∂n che utilizzando le stesse ipotesi precedenti pu`o essere scritta come ρdsdn

(5.8)

(5.9)




U2 dn + p + ρgz = cost. lungo la normale ad una linea di corrente (5.10) R La relazione sancisce che, nelle ipotesi in cui ci siamo posti, il budget energetico di una particella fluida rimane costante e durante il suo moto pu`o solo convertire, in modo reversibile, i vari contributi (cinetico, di pressione e potenziale) nell’una o nell’altra forma senza aumentare o diminuire l’energia totale. L’interpretazione fisica della relazione (5.9) `e invece meno immediata ed `e legata al cambio di direzione del moto di una particella in cui la forza centrifuga deve essere bilanciata da una combinazione di gradiente normale di pressione e forza peso. La sua forma integrata `e data in (5.10) ed `e comunque di minor interesse applicativo rispetto alla (5.8). ρ

5.2

∗

equazione di Bernoulli

L’equazione di bilancio della quantit`a di moto (o, in modo equivalente, l’equazione di conservazione dell’energia) assume una forma particolarmente semplice ed utile nelle ap` bene anticipare che queste plicazioni quando si facciano alcune ipotesi semplificative. E

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

98

ipotesi potrebbero sembrare troppo restrittive, limitando fortemente l’applicabilit`a dei risultati ottenuti; si vedr`a al contrario che, con buona approssimazione, queste ipotesi vengono verificate da molti problemi pratici riuscendo cos`ı a ricavare facilmente delle informazioni sul comportamento del sistema. Si consideri l’equazione di bilancio della quantit`a di moto nella forma (4.58) che riportiamo di seguito ρ

2 ∂u + ρu · ∇u = −∇p + ρf − ∇(µ∇ · u) + 2∇ · (µE), ∂t 3

(5.11)

e riprendiamo la formula dell’accelerazione di Lagrange secondo cui possiamo scrivere u · ∇u = ∇

u2 + ω × u. 2

(5.12)

Supponiamo inoltre che il vettore f contenga solo forze di massa conservative cos`ı che si possa porre f = −∇G dove G `e una funzione potenziale indipendente dal tempo 1 . Indicando inoltre con F (µ) una funzione omogenea di grado 1 in µ contenente tutti i termini viscosi, possiamo porre l’equazione (5.11) nella forma ∇

∇p ∂u F (µ) u2 + ∇G + =− −ω ×u+ . 2 ρ ∂t ρ

(5.13)

Dall’espressione (5.13) possiamo notare che il primo e secondo termine del primo membro sono gi`a in forma di gradiente mentre il terzo termine non lo `e. Se per`o ipotizzassimo l’incomprimibilit`a del flusso potremmo scrivere ∇p/ρ = ∇(p/ρ) e potremmo porre l’equazione (5.13) nella forma 

u2 p +G+ ∇ 2 ρ



=−

∂u F (µ) −ω ×u+ . ∂t ρ

(5.14)

L’ipotesi di incomprimibilit`a del flusso pu`o essere rilassata considerando una densit`a dipendente unicamente dalla pressione; in tali ipotesi, infatti `e possibile porre ∇p/ρ =  dp/ρ. Per dimostrarlo basta osservare che se J(p) = dp/ρ, presa una generica curva s deve risultare ∂J dp 1 dp dJ = · = . (5.15) ds ∂p ds ρ ds Se notiamo ora che dJ/ds e dp/ds sono rispettivamente ∇J · sˆ e ∇p · sˆ, ossia le proiezioni dei gradienti lungo la direzione tangente ad s allora risulter`a in generale ∇J = ∇p/ρ che `e la tesi 2 . 1

L’indipendenza di G dal tempo non `e un’ipotesi aggiuntiva ma `e condizione necessaria per la conservativit` a del campo di forze. Infatti se cos`ı non fosse si potrebbe percorrere un circuito chiuso partendo ed arrivando nello stesso punto in due istanti diversi ed ottenere due valori diversi del potenziale. In tal caso il lavoro delle forze descritte da G sarebbe dipendente dal percorso seguito e ci` o e contrario alle ipotesi di partenza. 2 Maggiori ragguagli sul significato fisico di flusso barotropico verranno dati quando si parler` a della dinamica della vorticit` a.

5.2.

∗

EQUAZIONE DI BERNOULLI

99

Se la densit`a non `e costante ma dipende unicamente dalla pressione il flusso si dice barotropico e l’equazione (5.13) si pu`o porre nella forma 


u2 dp +G+ ∇ 2 ρ



=−

∂u F (µ) −ω ×u+ . ∂t ρ

(5.16)

Queste relazioni diventano di particolare utilit`a pratica quando le azioni viscose possono considerarsi trascurabili (F (µ) = 0) ed il flusso stazionario (∂u/∂t = 0) 3 . In tali ipotesi, ω ×u che si annulla in tre casi: infatti, il secondo membro delle (5.14) e (5.16) si riduce a −ω ω = 0), ıı) vorticit`a e velocit`a sono allineate (ω ω × u ≡ 0, flussi ı) il flusso `e irrotazionale (ω di Beltrami), ııı) le equazioni (5.14) e (5.16) vengono valutate lungo una linea di corrente. Quest’ultima condizione risulta pi` u evidente se si considera che il prodotto vettore ω × u sar`a un vettore ortogonale sia a ω che a u e tale dovr`a risultare il vettore a primo membro delle (5.14) e (5.16); se ci si muove lungo una linea di corrente questa dovr`a essere punto per punto tangente alla velocit`a e quindi ortogonale al vettore ω × u da cui ne consegue che si pu`o scrivere 

u2 p +G+ 2 ρ



= const.,

(5.17)

per un flusso incomprimibile, oppure l’equivalente derivata dalla (5.16) per un flusso barotropico. Questa relazione ci dice che se ci troviamo nei primi due casi precedentemente elencati la quantit`a a primo membro della (5.17) deve rimanere costante in tutto il flusso, nel terzo caso deve rimanere costante lungo una linea di corrente ossia, data la stazionariet`a del flusso, per una particella fluida lungo il suo moto. Naturalmente lo stesso ragionamento si potrebbe ripetere per un linea che risulta in ogni punto tangente al vettore ω ; queste linee sono dette linee vorticose ed anche lungo questi percorsi la quantit`a in (5.17) rimane costante. Risulta utile osservare che l’equazione (5.17) non afferma altro che la costanza dell’energia di una particella fluida. Per esempio se nel potenziale c’`e solo quello dovuto alla gravit`a g risulta G = gh, essendo h la quota fissata rispetto ad un riferimento arbitrario; in questo caso l’equazione (5.17) afferma che l’energia di una particella fluida lungo la sua evoluzione non pu`o n´e aumentare n´e diminuire ma pu`o solo convertisi tra le forme cinetica, potenziale e di pressione in modo tale che il budget totale rimanga costante.

3

In realt` a l’ipotesi di stazionariet` a del flusso potrebbe essere rilassata introducendo il potenziale di velocit`a. Tuttavia l’espressione risultante ha scarsa utilit` a pratica a non viene qui considerata.

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

100

ESEMPIO Dal carrello in figura fuoriesce dell’acqua da un foro circolare di diametro d. Assumendo il deflusso perfetto e orizzontale e che, sia le variazioni di massa del sistema sia le variazioni di quota del livello siano inizialmente trascurabili, calcolare la legge oraria del carrello che parte da fermo.

h U θ

d

h = 6 m d = 10 cm θ = 15o Massa del sistema m = 200 Kg.

Soluzione Applicando l’equazione di Bernoulli tra il pelo libero del serbatoio e l’uscita √ del getto si ha che il getto d’acqua fuoriesce con una velocit`a orizzontale U = 2gh = 10.844 m/s. D’altra parte, applicando il bilancio di quantit`a di moto in forma integrale al volume d’acqua contenuta nel carrello si ha che, se quest’ultimo si muove con una velocit`a V (t) parallela al piano inclinato, il getto produce una spinta orizzontale pari a F = ρU (U − V (t) cos θ)πd2 /4. Applicando quindi il secondo principio della dinamica nella direzione parallela al piano inclinato si ottiene: F cos θ − mg sin θ = ma, e risolvendo questa equazione si determina la legge oraria s(t). In particolare, ponendo s(t) ˙ = V (t) e s¨(t) = a, l’equazione diventa s¨ − As˙ = B,

A=

πd2 ρU cos2 θ , 4m

la cui soluzione `e s(t) =

B = g sin θ −

 B  At Bt e − 1 − . 2 A A

πd2 ρU 2 cos θ 4m

5.2.

∗

EQUAZIONE DI BERNOULLI

101

ESEMPIO Il recipiente cilindrico in figura `e pieno d’acqua fino all’orlo. Calcolare il tempo necessario al suo svuotamento se effettuato con un tubo di diametro d con effetti viscosi trascurabili. Calcolare la situazione finale nel caso in cui ci siano perdite per attrito nel tubo e siano assimilabili ad una differenza di pressione costante pf .

h R

h=2m h1 = 2 m R = 0.5 m d = 2 cm pf = 23053 Pa

h1 d Soluzione Indicando, con A e B gli estremi del tubo, rispettivamente, nel contenitore ed all’esterno, si pu`o scrivere l’equazione di Bernoulli risultando UA = 0, pA = ρgh,  2 UB = 4Q/(πd ), pB = p0 ed hA − hB = h1 da cui UB = 2g(h + h1 ) = 4Q/(πd2 ). Osserviamo ora che la quota del fluido nel recipiente varia nel tempo in quanto il livello diminuisce, detto quindi dV il volume infinitesimo di fluido che transita nel tubo in un tempo dt risulta πd2  πd2 2g(h + h1 )dt = −πR2 dh, UB dt = dV = Qdt = 4 4 essendo dh la variazione di livello del liquido nel recipiente. Integrando gli ultimi due membri dell’uguaglianza precedente si ottiene il tempo di svuotamento del serbatoio T ,
T 0



R dt = d

2

4
h dh √ √ , 2g 0 h + h1

=⇒

8 T =√ 2g



R d

2 



[ h + h1 − h1 ] = 661.24 s.

Nel caso in cui ci siano delle perdite per attrito, all’equilibrio si arrester`a il flusso, per cui, dall’equazione di Bernoulli generalizzata, si avr`a l’equilibrio quando h = pf /(ρg) − h1 = 0.35 m.

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

102

ESEMPIO Nel condotto in figura entra dell’acqua nella sezione S1 a velocit`a u1 ed esce nell’ambiente attraverso la sezione S2 . Sapendo che gli effetti viscosi sono nulli (trascurabili) calcolare le forze in x ed y necessarie a mantenere il condotto fermo. y x

θ

u1 S1

S2

S1 = 0.12 m2 S2 = S1 /3 θ = 30o u1 = 7.2 m/s Suggerimento: notare che le sezioni S1 ed S2 sono alla stessa quota. Trascurare la forza peso.

Soluzione Dalla conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 si ha ρu1 S1 = ρu2 S2 ⇒ u2 = 3u1 = 21.6 m/s. Essendo gli effetti viscosi trascurabili, tra le sezion 1 e 2 si pu`o anche applicare l’equazione di Bernoulli: p1 /ρ + u21 /2 = p2 /ρ + u22 /2 ⇒ p1 = p0 + 4ρu21 = 308660 Pa (avendo tenuto conto della conservazione della massa, che i termini gravitazionali non ci sono in quanto le sezioni sono alla stessa quota, e che p2 = p0 = 101300 Pa perch´e il getto `e immesso in atmosfera libera). Applicando ora l’equazione di bilancio della quantit`a di moto proiettata nelle direzioni x ed y si ottiene rispettivamente: Fx = ρu22 S2 cos θ − [ρu21 + (p1 − p0 )]S1 = −14941.88 N e Fy = −ρu22 S2 sin θ = −9311.2 N. (Da notare che in questa soluzione non si `e considerata la forza peso. Considerando anche quest’ultima verrebbe un risultato differente per la Fy ).

y x

u1 n1 p

θ

p

2

1

S1

S2

n2 u2

5.2.

∗

EQUAZIONE DI BERNOULLI

103

ESEMPIO Da un ugello piano di larghezza D e profondit`a b (nella direzione ortogonale al foglio) esce verticalmente un getto d’acqua ad una velocit`a U . Ad una distanza H `e posto un semicilindro di diametro d e profondit`a b che rimane in equilibrio sospeso dalla spinta del getto. Calcolare il peso del guscio semicilindrico sapendo che il volume di fluido costantemente in transito nel semicilindro (volume delimitato dalla linea tratteggiata in figura) `e 1/4 del volume del semicilindro stesso. (Si trascurino le azioni viscose tra fluido e superficie del semicilindro). d

H

D = 5 cm d = 50 cm U = 5 m/s H = 40 cm b = 25 cm

U D

Soluzione Dall’equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2 si ha u21 /2+ p1 /ρ + gh1 = u22 /2 + p2 /ρ + gh2 ossia u2 = (U 2 − 2gH) (in quanto P1 e p2 sono entrambe uguali alla pressione atmosferica in quanto la vena fluida non `e confinata). D’altra parte, dalla conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 si ottiene la relazione ρbDU = ρbd2 u2 da cui si ricava lo spessore della vena fluida nella sezione 2. Poich´e le sezioni 2 e 3 sono alla stessa quota ed alla stessa pressione, essendo le azioni viscose trascurabili, deve essere necessariamente | u2 |=| u3 | (dall’equazione di Bernoulli). Dalla conservazione della massa (essendo la densit`a costante) ne conseguir`a che anche le sezioni della vena fluida in 2 e 3 devono essere uguali S2 = S3 . Infine, applicando il bilancio della quantit`a di moto nella direzione verticale al volume di fluido contenuto nel solido si avr`a: −ρu22 S2 − ρu23 S3 = −ρgV + Fx , Fx = −454.7 N. Il peso del guscio sar`a quindi −Fx .

d

2 3

3

H U 1

D

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

104

5.3

∗

teorema di Crocco

Sfruttando alcune definizioni della termodinamica e l’equazione dell’energia in termini di entropia introdotta nel precedente capitolo si pu`o porre l’equazione di Bernoulli in una forma utile nei casi in cui si debbano calcolare le variazioni di temperatura in un flusso. Differenziando infatti la definizione di entalpia h = e + p/ρ ed utilizzando le relazioni introdotte in (4.64) si ottiene ∇p = ∇h − T ∇S. (5.18) ρ Questa uguaglianza, sostituita nella (5.13) con le ipotesi di flusso stazionario e non viscoso, d`a   u2 ∇ (5.19) + G + h = T ∇S − ω × u, 2 dove si noti che non `e stata usata l’ipotesi di barotropicit`a del flusso. L’utilit`a dell’espressione (5.19) appare evidente qualora si ricordi che se alle presenti ipotesi si aggiungono quelle di conducibilit`a termica trascurabile ed assenza di produzione interna di calore l’equazione dell’entropia diventava u · ∇S = 0. Poich´e questo implica che il gradiente di entropia lungo una linea di corrente `e nullo ma tale risulta anche la proiezione del vettore ω × u ne consegue che u2 + G + h = const., 2

(5.20)

lungo una linea di corrente. La relazione (5.19) pu`o anche essere interpretata con un’ottica invertita rispetto alla precedente, ossia in base alla (5.20) lungo una linea di corrente il primo membro della (5.19) deve essere nullo e quindi deve valere la T ∇S = ω × u,

(5.21)

implicando che un flusso stazionario ed isentropico (ossia con S =const. lungo una linea di corrente) avr`a l’entropia uniforme nello spazio (flusso omentropico) solo se risulta ω ≡ 0 (flusso irrotazionale) o nel caso particolarissimo di ω parallela ovunque ad u (flusso di Beltrami). Questo risultato `e particolarmente interessante quando si osservi che mette in relazione la vorticit`a la cui definizione `e puramente cinematica con l’entropia che `e una grandezza termodinamica.

5.4

tubo di Pitot

Un’applicazione importante dell’equazione di Bernoulli si ha nelle misure di velocit`a alle quali si pu`o risalire da differenze di pressione. Si consideri infatti il dispositivo disegnato in figura 5.3 investito da una corrente uniforme a velocit`a U . Presi i punti 1 e 2 come in figura si ha che in 1 la vena fluida viene arrestata (punto di ristagno) e, in base all’equazione di Bernoulli, tutta la sua energia cinetica viene convertita in energia di pressione. Al

5.4. TUBO DI PITOT

105

contrario, la vena fluida lambisce il punto 2 senza essere perturbata 4 mantenendo quindi la stessa velocit`a e pressione del flusso all’infinito. La pressione misurata in 2 `e detta pressione statica in quanto non contiene alcun contributo cinetico, la pressione misurata in 1 `e invece chiamata pressione totale perch´e `e comprensiva anche di tutto il contributo cinetico ρU 2 /2 che `e detto pressione dinamica.

p

p1

2

U 2 1

Figura 5.3: Disegno schematico di un tubo di Pitot. Applicando quindi l’equazione di Bernoulli tra i punti 1 e 2 si ha p2 p1 U22 U2 + gh2 + = 1 + gh1 + , =⇒ U = 2 ρ 2 ρ



2(p1 − p2 ) , ρ

(5.22)

essendo U2 = U , U1 = 0 ed avendo trascurato la variazione di quota h1 − h2 in quanto piccola. Dalla relazione (5.22) si vede quindi che pur non conoscendo il valore assoluto di pressione `e sufficiente misurare la differenza di pressione tra 1 e 2 per risalire al valore della velocit`a U . La misura di pressione pu`o essere effettuata tramite un manometro differenziale applicato alle estremit`a dei due tubi concentrici disegnati in figura 5.3. Questa tecnica di misura `e particolarmente utile negli aerei sia perch´e non possono utilizzare sistemi simili a quelli delle automobili, sia perch´e per il sostentamento aerodinamico `e rilevante solo la velocit`a rispetto all’aria piuttosto che quella rispetto al suolo. Il tubo di Pitot deve essere allineato perfettamente con la direzione della corrente per rendere effettivamente il punto 1 un punto di ristagno (U1 = 0) poich´e in caso contrario si misura una velocit`a minore di quella reale. Per questo motivo le misure di velocit`a devono essere effettuate ‘spazzando’ il settore angolare nell’intorno della direzione presunta di allineamento in modo da trovare la posizione nella quale si rileva la massima differenza di pressione. Uno svantaggio di questo strumento `e che a causa dell’inerzia delle colonne di fluido contenuto nei condotti concentrici pu`o misurare solo pressioni costanti o lentamente variabili nel tempo. 4

In realt` a sono presenti fenomeni di strato limite di cui si parler` a in seguito. Per i ragionamenti sulla pressione, comunque, la vena fluida si comporta come se fosse effettivamente indisturbata.

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

106

5.5

tubo di Venturi

In figura 5.4 `e riportato uno schema di un misuratore di portata detto tubo di Venturi il cui principio di funzionamento `e basato sull’equazione di Bernoulli. Notando infatti che tra le sezioni 1 e 2 `e presente una piccola variazione di diametro si avr`a un’accelerazione del flusso in corrispondenza della sezione 2 per mantenere costante la portata Q = U1 A1 = U2 A2 . Dall’equazione di Bernoulli segue che deve prodursi una differenza di pressione tra le sezioni 1 e 2 in modo da compensare la variazione di velocit`a ossia, in formule, si ottiene U22 p2 p1 U2 + gh2 + = 1 + gh1 + , 2 ρ 2 ρ

(5.23)

e dovendo essere U1 A1 = U2 A2    Q = U2 A2 = A2 

2(p1 − p2 ) ρ[1 − (A2 /A1 )2 ]

(5.24)

che permette di misurare la portata nota la geometria del condotto e la differenza di pressione tra le sezioni 1 e 2.

U

A1

A2 h

Figura 5.4: Disegno schematico di un tubo di Venturi. Se per esempio si misura la variazione di pressione con un tubo ad U, detta ρm la densit`a del fluido manometrico ed h la differenza di quota tra i due menischi risulta p1 − p2 = ρm gh da cui leggendo la quota h si risale alla portata. Analogamente a quanto `e stato visto per i manometri, anche per questo strumento si pu`o variare la sensibilit`a cercando di rendere massima la differenza di pressione per una data portata. Ci`o si pu`o ottenere facilmente agendo sulla strozzatura in 2 anche se considerazioni energetiche, suggeriscono di limitare a qualche percento la variazione di sezione. Il motivo fisico di tale limitazione sar`a compreso con lo studio dei fenomeni di strato limite, in questa sede si accenner`a solo al fatto che nella sezione divergente del condotto si possono verificare dei distacchi della vena fluida dalla parete laterale che provocano delle perdite di energia (figura 5.5). Molti dispositivi di uso quotidiano utilizzano un tubo di Venturi anche se questo non viene utilizzato per misure di portata ma per generare differenze di pressione all’interno

5.5. TUBO DI VENTURI

107

a)

total energy

E

U2 2 p ρ

total energy

E

x

separated flow region

b)

energy loss

U2 2 p ρ x

Figura 5.5: Andamento del flusso e di energia cinetica e di pressione in un tubo di Venturi: a) in assenza di separazione, b) con separazione del flusso.

di un condotto. Su questa differenza di pressione si basa per esempio il funzionamento del (ormai vecchio) carburatore a farfalla, dell’aerografo e dei vaporizzatori per profumi. Se infatti in corrispondenza della sezione di gola si mette un condotto che pesca del liquido da un sebatoio questo viene aspirato nel condotto dove incontrando una corrente ad elevata velocit`a viene nebulizzato (figura 5.6).

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

108

Figura 5.6: Principio di funzionamento del vaporizzatore per profumi.

ESEMPIO Calcolare la portata in massa sapendo che nel condotto scorre del petrolio (ρo = 800 Kg/m3 e che nel tubo ad U c’`e acqua.

1

2

h = 4 cm A1 = 0.8 m2

A2 = 0.6 m2

h

Soluzione Applicando la conservazione della massa tra le sezioni 1 e 2 ρV1 S1 = ρV2 S2 e l’equazione di Bernoulli (lungo la linea di corrente tracciata con una linea tratteggiata) p1 + ρu21 /2 = p2 + ρu22 /2 si ottiene:

2(p2 − p1 ) u1 = ρ[1 − (A21 /A22 )]

1 2

= 1.123 m/s,

con p2 − p1 = ρH2 O gh.

Nota u1 si ricava la portata in massa M˙ = ρu1 A1 = 718.76 Kg/s.

5.5. TUBO DI VENTURI

109 ESEMPIO

In una galleria del vento viene posto un tubo di Pitot. Se la velocit`a media della corrente `e U , la densit`a del gas in galleria del vento `e ρ e la differenza di quota nel tubo ad U tra i due menischi del fluido manometrico `e h, determinare la densit`a del fluido manometrico. Determinare, inoltre la portata in volume nella sezione della galleria supponendo che sia rettangolare con i lati l1 ed l2 . h

l1

U = 28 m/s ρ = 0.632 Kg/m3 l2 = 0.4 m U l1 = 0.3 m

h = 3.6 cm

Soluzione Per calcolare la differenza di pressione tra i due rami del tubo di Pitot, basta ricordare che un ramo misura la pressione statica mentre l’altro, arrestando completamente la vena fluida, misura la pressione totale per cui dall’equazione di Bernouilli si ottiene ∆p = p1 − p2 = ρU 2 /2 che combinata con la legge di Stevino ∆p = ρm gh = ρU 2 /2 fornisce ρm = 702.2 Kg/m3 . Per la portata in volume si ha infine Q = U A = 3.36 m3 /s.

110

CAPITOLO 5. EQUAZIONE DI BERNOULLI

Capitolo 6 ∗ Dinamica della vorticit` a 6.1

equazione del trasporto della vorticit` a

Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come la vorticit`a ω = ∇ × u abbia un ruolo fondamentale nella determinazione delle caratteristiche cinematiche e dinamiche di un flusso. Per esempio dall’equazione di Bernoulli abbiamo visto che l’energia totale si mantiene costante in tutto il campo solo se risulta ω = 0 ovunque mentre in base al teorema di Crocco un flusso irrotazionale sar`a anche omentropico (aggiungendo anche altre ipotesi). In base a questi esempi appare evidente che la comprensione della generazione, dinamica ed evoluzione della vorticit`a risulta fondamentale nello studio della fluidodinamica. Ci`o `e ancora pi` u vero se si considera che, come si vedr`a successivamente, l’analisi di un flusso irrotazionale pu`o essere trattato con molte semplificazioni rispetto al caso generale. Per derivare un’equazione di evoluzione della vorticit`a basta ricordare la sua definizione e fare quindi il rotore dell’equazione di bilancio della quantit`a di moto. Prima di procedere con tale operazione, ricordiamo che il termine convettivo dall’accelerazione pu`o essere scritto utilizzando l’accelerazione di Lagrange e che il rotore di un gradiente `e identicamente nullo da cui 



u2 ω × u). ∇ × (u · ∇u) = ∇ × ∇ + ω × u = +∇ × (ω 2

(6.1)

Utilizzando un’identit`a vettoriale si pu`o porre ulteriormente ω × u) = u · ∇ω ω − ω · ∇u − u∇ · ω + ω ∇ · u, ∇ × (ω

(6.2)

in cui gli ultimi due termini sono nulli, il primo in quanto la divergenza di un rotore `e identicamente nulla, il secondo perch´e ipotizziamo per semplicit`a il flusso incomprimibile. Se a questo punto si applica il rotore all’equazione (4.61) si ottiene ∇×

∂u ∇p + ∇ × (u × ω ) = −∇ × + ∇ × f + ν∇ × (∇2 u), ∂t ρ 111

(6.3)

CAPITOLO 6.

112

∗

` DINAMICA DELLA VORTICITA

essendo ν = µ/ρ la viscosit`a cinematica supposta costante. Sfruttando le propriet`a commutative dei vari operatori e le relazioni appena derivate si pu`o scrivere ω ∇ρ × ∇p ∂ω ω = ν∇2ω + ∇ × f + + ω · ∇u + u · ∇ω ∂t ρ2

(6.4)

che `e l’equazione del trasporto della vorticit`a. I termini a primo membro della (6.4) sono quelli della derivata materiale di ω e quantificano la sua variazione per una particella fluida, misurata da un osservatore che si muove con la particella stessa. I termini a secondo membro sono invece le cause della variazione ed il primo termine rappresenta la diffusione, analogamente all’equazione della quantit`a di moto 1 . Il secondo termine rappresenta la generazione di vorticit`a prodotta dalle forze di massa; osserviamo comunque che se queste forze sono conservative e possono essere quindi espresse da un gradiente f = −∇G allora risulta ∇ × ∇G ≡ 0, ossia le forze conservative non contribuiscono in alcun modo alla generazione della vorticit`a. Un caso che capita frequentemente `e costituito dalla forza peso che, essendo conservativa, non genera vorticit`a. Il terzo temine, detto termine baroclino, produce la vorticit`a nel caso in cui il gradiente di densit`a non sia allineato con quello di pressione. Nel caso in cui ρ =const., il gradiente di densit`a `e nullo ovunque ed il termine baroclino non `e presente. Una possibilit`a pi` u generale `e invece quella di flusso barotropico in cui la densit`a non `e costante ma risulta ρ = ρ(p). Abbiamo infatti visto in §5.2 che in tale caso il gradiente di ρ `e collineare con quello di p ed il termine baroclino risulta identicamente nullo.

ρ1

<

ρ2

∆

ρ

<

<

ω

ρ

1

ρ

p

2

∆

a)

b)

c)

Figura 6.1: Schema di generazione di vorticit`a baroclina per differenza di densit`a. Nelle figure 6.1 e 6.2 sono riportati due esempi di generazione di vorticit`a prodotta dal termine baroclino. Nel primo caso si hanno fluidi a differente densit`a (per esempio acqua ed olio) tenuti separati verticalmente da un setto. In questa configurazione il gradiente 1

Il termine viscoso `e anche un termine sorgente per la vorticit` a nel caso in cui siano presenti delle pareti dove il fluido deve soddisfare la condizione di aderenza. Questo punto sar` a visto in maggior dettaglio nell’analisi dei fenomeni di strato limite.

` 6.1. EQUAZIONE DEL TRASPORTO DELLA VORTICITA

T2

113

> ω

T1

<

Figura 6.2: Schema di generazione di vorticit`a baroclina per differenza di densit`a indotta da variazioni di temperatura. di pressione `e verticale (pressione idrostatica) mentre quello di densit`a `e orizzontale e localizzato all’interfaccia tra i due fluidi. Nell’istante in cui il setto viene tolto il fluido pi` u pesante tender`a a scivolare verso il basso prendendo il posto del fluido pi` u leggero che si disporr`a negli strati superiori; ci`o induce una rotazione nell’intero sistema che produce appunto la vorticit`a nella direzione ortogonale al foglio. Se il sistema non avesse perdite viscose il fluido oscillerebbe indefinitamente convertendo in ogni periodo energia potenziale in cinetica e viceversa. Al contrario per ogni oscillazione parte dell’energia viene convertita in modo irreversibile in calore e per tempi lunghi il sistema assume la configurazione stabile mostrata in figura 6.1c. Un secondo esempio di generazione baroclina di vorticit`a `e quello dei termosifoni. L’aria a contatto con il termosifone, infatti, aumenta di temperatura e per dilatazione termica diventa pi` u leggera e sale. Dell’aria fredda viene quindi aspirata dal basso e portata a contatto con il radiatore che di nuovo la scalda e cos`ı via. Riferendoci allo schema di figura 6.2 si nota che in questo modo viene generata una circolazione a grande scala che contiene della vorticit`a nella direzione ortogonale al foglio, come indicato dall’equazione (6.4). Abbiamo detto in precedenza che per non avere produzione baroclina di vorticit`a non `e necessario avere una distribuzione di densit`a costante ma `e sufficiente che il flusso sia barotropico ossia ρ = ρ(p). Il fatto che la densit`a debba essere funzione solo della pressione si pu`o comprendere fisicamente con il seguente esempio: consideriamo una particella sferica di fluido con densit`a non costante e concentriamoci solo sulle forze di massa e quelle di pressione. Dalla seconda legge della dinamica possiamo scrivere 1 (6.5) a = − ∇p. ρ Il vettore accelerazione a `e applicato nel baricentro della sfera la cui posizione dipende

CAPITOLO 6.

114

∗

` DINAMICA DELLA VORTICITA

dalla distribuzione di densit`a all’interno della stessa. Al contrario, la risultante delle forze di pressione sar`a applicata al centro della sfera in quanto risultante di vettori normali alla superficie ed `e indipendente dalla distribuzione delle masse nella sfera. D’altra parte l’equazione (6.5) ci dice solamente che le due forze sono uguali e che la loro risultante `e nulla ma ci`o non preclude la possibilit`a che venga generato un momento sulla particella stessa. Questa coppia in generale esiste e provoca la rotazione della particella fluida, in altre parole genera la vorticit`a, a meno che ∇ρ e ∇p non siano allineati (flusso barotropico). In questo caso, infatti anche se i vettori sono applicati in punti differenti essi hanno la stessa retta d’applicazione ed il loro momento `e nullo. Questo `e il caso dell’atmosfera (calma) in cui la densit`a aumenta con il diminuire della quota ed il suo gradiente `e quindi allineato con il gradiente della pressione idrostatica.

∆

ρ ∆

∆

∆

a

p

∆

G

1 p ρ

ρ

∆

1 p ρ

p

O

O G

a a)

b)

Figura 6.3: Coppia baroclina su una particella fluida: a) flusso non barotropico, b) flusso barotropico. L’ultimo termine a secondo membro dell’equazione (6.4) che ci rimane da analizzare `e ω · ∇u; prima di considerare il suo significato, comunque, vogliamo riassumere i risultati finora trovati. Abbiamo descritto il significato fisico dei termini sorgente di vorticit`a nella (6.4) trovando dei casi in cui questi termini sono nulli; in particolare se il flusso `e non viscoso (ν = 0), le forze di massa sono conservative e il flusso `e a densit`a costante oppure barotropico allora i tre termini precedentemente descritti si annullano e l’equazione (6.4) si scrive ω ∂ω ω = ω · ∇u. + u · ∇ω (6.6) ∂t Una prima importante considerazione `e che tutti questi termini sono omogenei nella vorω /∂t = 0 ed il flusso rimarr`a ticit`a se quindi inizialmente risulta ω = 0 si otterr`a ∂ω irrotazionale indefinitamente. Una seconda considerazione riguarda il termine ω · ∇u che, indipendentemente dal suo significato fisico, risulta identicamente nullo in due dimensioni. Ci`o si verifica in quanto la vorticit`a `e un vettore ortogonale al piano mentre la velocit`a deve necessariamente essere

` 6.1. EQUAZIONE DEL TRASPORTO DELLA VORTICITA

115

contenuta nel piano. L’equazione (6.6) implica quindi che per un flusso bidimensionale con viscosit`a trascurabile forze di massa conservative e flusso barotropico la vorticit`a obbedisce a ω ω Dω ∂ω ω= + u · ∇ω =0 (6.7) ∂t Dt ossia la vorticit`a di una particella fluida rimane invariata durante il suo moto. Nel caso pi` u generale di flusso tridimensionale il termine ω · ∇u non `e invece nullo ed ha un ruolo fondamentale nella dinamica della vorticit`a. Per capirne meglio il suo significato, scriviamone una componente in un sistema di assi cartesiani ed analizziamo i vari termini: ∂u ∂u ∂u ω · ∇u) · xˆ = ωx x + ωy x + ωz x . (6.8) (ω ∂x ∂y ∂z Il primo termine agisce quando c’`e un gradiente di velocit`a nella stessa direzione della vorticit`a ed avr`a quindi un’azione di stiramento (vortex stretching). Riferendoci alla figura 6.4 vediamo che se un tubo fluido viene allungato, per la conservazione del momento angolare la sua velocit`a di rotazione deve aumentare e di conseguenza la vorticit`a. Questo meccanismo `e quindi di autoamplificazione a causa dei gradienti di velocit`a e senza necessit`a di sorgenti esterne. Gli altri termini tendono invece a ruotare parte della vorticit`a preesistente da una componente all’altra a causa di gradienti trasversali di velocit`a (vortex tilting). Sempre riferendoci alla figura 6.4 vediamo infatti che in presenza di un gradiente di ux nella direzione y una struttura contenente unizialmente solo ωy dopo un certo tempo cambia direzione convertendo parte della sua ωy in ωx .

δ ux δx

y

x ωy y <

< x

<

ωx

<

<

<

ωx ux

x

ux

ωy δ ux δy

y <

<

y

x

a)

ω ωx b)

Figura 6.4: Schema del meccanismo di azione del termine di vortex streching: a) vortex stretching, b) vortex tilting.

CAPITOLO 6.

116

6.2

∗

` DINAMICA DELLA VORTICITA

teorema di Kelvin

Avendo mostrato l’equazione di trasporto della vorticit`a ed il significato fisico dei suoi termini, sar`a ora semplice dimostrare alcuni teoremi sui vortici 2 e comprenderne la rilevanza fluidodinamica. Iniziamo con il definire l’intensit`a di un vortice ,Γ, come la circuitazione del suo campo di velocit`a lungo un percorso chiuso contenente interamente il vortice oppure (in base al teorema di Stokes) come il flusso di vorticit`a attraverso la superficie racchiusa (figura 6.5):


Γ=

∂S

u · dl =




S

ω · ndS

(6.9)

la quantit`a Γ `e detta circolazione.

z ω

y

n

x

dl Figura 6.5: Calcolo della circolazione di una regione vorticosa (indicata in rosso). Se ora immaginiamo di tracciare una linea chiusa nel fluido come in figura 6.5 e di identificare tutte le particelle attraversate si possono seguire nel tempo le singole particelle e quindi l’evoluzione temporale della linea (detta linea materiale). Il teorema di Kelvin dice che in un fluido barotropico, con forze viscose trascurabili e soggetto a forze di massa conservative, la circolazione calcolata lungo una linea materiale chiusa `e costante nel tempo dΓ = 0. (6.10) dt Dalle definizioni si ha infatti:

Ddl Du d
dΓ u · dl = u· = · dl + ; (6.11) dt dt ∂S Dt ∂S Dt ∂S 2

Il termine vortice `e un concetto che ognuno di noi possiede a livello pi` u o meno intuitivo. Per i nostri scopi `e sufficiente definire un vortice come una regione compatta a vorticit` a non nulla e con delle linee di corrente chiuse (in un riferimento solidale al vortice stesso). Questa definizione, cos`ı come tutte quelle finora proposte in letteratura, pu` o tuttavia essere invalidata con dei controesempi.

6.3. TEOREMI DI HELMHOLTZ

117

dl’= − u ∆t +dl + u’∆t

u’∆t dl’ dl u ∆t

Figura 6.6: Calcolo della derivata materiale per una linea materiale. e nelle presenti ipotesi dall’equazione di bilancio della quantit`a di moto si ha (ponendo G il potenziale delle forze di massa conservative)
∂S







Du dp · dl = − + ∇G · dl ≡ 0, ∇ Dt ρ ∂S

(6.12)

in quanto si tratta di differenziali esatti integrati su un circuito chiuso. Per il secondo integrale si ha invece considerando il circuito materiale in figura 6.6 dl − dl (u − u)∆t + dl − dl Ddl = lim = lim = du, ∆t−→0 ∆t−→0 Dt ∆t ∆t

(6.13)

da cui si ottiene per il secondo integrale
∂S

u·


du2 Ddl
u · du = = ≡ 0, Dt ∂S ∂S 2

(6.14)

di nuovo in quanto differenziale esatto integrato su un circuito chiuso. I risultati delle (6.13) e (6.14) dimostrano la tesi ((6.10).

6.3

teoremi di Helmholtz

Come conseguenza del teorema di Kelvin appena dimostrato si hanno tre teoremi che si applicano a delle strutture vorticose che ora definiamo. In analogia con le linee di corrente si possono introdurre le linee vorticose come quelle linee che in ogni punto sono tangenti al vettore vorticit`a. Preso allora un circuito chiuso C consideriamo le linee vorticose attraversate da C che costituiranno una superficie detta superficie vorticosa mentre il volume di fluido all’interno `e definito tubo vorticoso (figura 6.7). I teorema di Helmholtz: nelle stesse ipotesi del teorema di Kelvin (flusso non viscoso, barotropico e forze di massa conservative) la circolazione in un tubo vorticoso si mantiene costante lungo il tubo stesso.

CAPITOLO 6.

118

ω

∗

` DINAMICA DELLA VORTICITA

ω

S C ω

ω

ω

Figura 6.7: Definizione di tubo vorticoso. Per dimostrare tale affermazione osserviamo che la divergenza della vorticit`a `e identicamente nulla (in quanto ω = ∇ × u) e applicando quindi il teorema della divergenza al volume delimitato dal tubo vorticoso come in figura 6.8 si ottiene 0≡


V

∇ · ω dV =


S

ω · ndS = 


S1

ω · ndS +


S2



ω · ndS +


Sl

ω · ndS. 

(6.15)

Osserviamo ora che risulta S1 ω · ndS = −Γ1 , S2 ω · ndS = Γ2 e Sl ω · ndS ≡ 0 in quanto ω e n sono ortogonali sulla superficie laterale. Dall’equazione (6.15) ne consegue quindi Γ1 = Γ2 ma data l’arbitrariet`a delle sezioni 1 e 2 lo stesso ragionamento si pu`o ripetere per qualunque altra sezione il che dimostra che la circolazione Γ si mantiene costante lungo il tubo vorticoso. II teorema di Helmholtz: nelle stesse ipotesi precedenti le particelle fluide contenute all’interno di un tubo vorticoso vi permangono indefinitamente o, in altre parole, un tubo vorticoso `e un tubo materiale. Se prendiamo infatti la superficie laterale di un tubo vorticoso deve risultare identica mente Sl ω · ndS ≡ 0; se per assurdo una particella interna al tubo vorticoso (e quindi contenente della vorticit`a) attraversasse la superficie laterale verrebbe violata nell’istante dell’attraversamento tale relazione il che `e impossibile. III teorema di Helmholtz: l’intensit`a di un tubo vorticoso si mantiene costante nel tempo. Dal primo teorema di Helmholtz si ha infatti che la circolazione `e costante lungo il tubo vorticoso ma ci`o non preclude che essa sia una funzione del tempo. Ci`o `e escluso tuttavia dal teorema di Kelvin in quanto per ogni sezione deve risultare dΓ/dt = 0 che dimostra la tesi.

6.3. TEOREMI DI HELMHOLTZ

Sl nl

119

n2

ω ω

S1 ω

S2

n1 Figura 6.8: Flussi di vorticit`a in un tubo vorticoso.

120

CAPITOLO 6.

∗

` DINAMICA DELLA VORTICITA

Capitolo 7 Soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes Nei capitoli precedenti abbiamo visto come in generale il moto di un fluido abbia una componente di accelerazione non stazionaria ed una convettiva. La seconda implica la non linearit`a delle equazioni di Navier–Stokes rendendo praticamente impossibile la soluzione analitica. Ci sono tuttavia alcuni casi speciali in cui a causa di particolari condizioni iniziali ed al contorno i termini non lineari sono identicamente nulli e le equazioni di Navier–Stokes ammettono una soluzione analitica. Vedremo nel dettaglio che queste soluzioni sono fisicamente ammissibili solo per valori molto limitati del numero di Reynolds il che rende la loro applicabilit`a a fenomeni reali praticamene nulla. Ci`o nonostante queste soluzioni hanno un grande interesse fluidodinamico in quanto permettono di comprendere alcuni meccanismi che sono presenti anche in flussi pi` u complessi.

7.1

flusso tra lastre piane e parallele

Consideriamo il flusso tra due lastre piane e parallele, poste ad una distanza h come in figura 7.1 ed assumiamo che data la particolare geometria delle piastre il fluido si muova unicamente nella direzione x ossia uy = uz ≡ 0. Assumiamo, inoltre che il flusso sia incomprimibile per cui dall’equazione di conservazione della massa si ricava ∂ux ∂uy ∂uz + + = 0, ∂x ∂y ∂z

=⇒

∂ux = 0, ∂x

(7.1)

il che implica per la ux di non avere variazioni nella direzione della corrente. Essendo le lastre infinitamente estese nella direzione z `e lecito aspettarsi che il flusso non abbia variazioni in questa direzione per cui possiamo affermare che la componente di velocit`a ux sar`a funzione solo della direzione y. Se alle ipotesi fatte si aggiunge quella di stazionariet`a le equazioni di Navier–Stokes si riducono a ∂ 2 ux ∂p (7.2) +µ 2 , 0=− ∂x ∂y 121

122CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ∂p − ρg, ∂y ∂p 0=− , ∂z rispettivamente nelle direzioni x, y e z. Integrando la seconda delle (7.2) si ottiene per la pressione p = −ρgy + f (x) da cui si vede che la pressione varia idrostaticamente nella direzione y mentre il suo comportamento in x dipende dalla f incognita. Ci`o significa che il gradiente di pressione in x ∂p/∂x dipende unicamente dalla f che possiamo pensare come un dato del problema. Integrando allora la prima delle (7.2) si ottiene: 0=−

1 ∂p ∂ux = y + A, ∂y µ ∂x

ux (y) =

1 ∂p y 2 + Ay + B, µ ∂x 2

(7.3)

dove le costanti A e B dipendono dalle condizioni al contorno ed avendo assunto che il gradiente di pressione sia costante in x (il che implica che f sia al pi` u una funzione lineare della variabile x). Dovendo il flusso soddisfare le condizioni di aderenza alle piastre, dovr`a risultare u(0) = 0 ed u(h) = 0 da cui si ottiene ux (y) =

1 ∂p 2 (y − yh). 2µ ∂x

(7.4)

l

111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111

y

h g

u

u(y)

000000000000000000000000000000 x 111111111111111111111111111111 ∆p Figura 7.1: Schema di flusso tra due lastre piane e parallele. Abbiamo cos`ı visto che il profilo di velocit`a `e parabolico e la velocit`a massima si ha quindi al centro (y = h/2) essendo


(ux )max = ux

h 2

1 ∂p h2 =− . 2µ ∂x 4

(7.5)

Bisogna notare che la velocit`a `e negativa se il gradiente di pressione `e positivo; infatti ∂p/∂x > 0 indica che la pressione `e crescente nella direzione x e consistentemente il flusso si muove nella direzione opposta. D’altra parte dall’analisi `e noto che il valore medio di

7.1. FLUSSO TRA LASTRE PIANE E PARALLELE

123

una funzione parabolica `e pari ai 2/3 del valore massimo per cui risulta per la velocit`a media nel condotto: 2 1 ∂p h2 . ux = (ux )max = − 3 3µ ∂x 4

(7.6)

Volendo infine calcolare la portata in volume che attraversa il condotto (per unit`a di profondit`a nella direzione ortogonale al foglio) si ha semplicemente

Q = ux h = −

1 ∂p h3 , 3µ ∂x 4

(7.7)

dove si osservi che allo stesso risultato si perviene integrando il profilo parabolico (7.4) su tutta l’altezza del canale. Questa integrazione viene lasciata al lettore come facile esercizio. Se indichiamo con l la lunghezza di un tratto di canale e ∆p la differenza di pressione applicata ai suoi estremi possiamo scrivere ∂p/∂x = ∆p/l da cui vediamo che le velocit`a e la portata sono direttamente proporzionali alla differenza di pressione applicata ed inversamente proporzionali alla lunghezza del canale. Ci`o potrebbe indurre a pensare che si pu`o aumentare a piacimento tanto la portata quanto la velocit`a facendo crescere il gradiente di pressione; nella pratica oltre un certo valore non si osserva pi` u il comportamento previsto dalla teoria in quanto il flusso cessa di essere piano (uy = 0, uz = 0) e stazionario. Questa soglia `e fissata dal numero di Reynolds

Re =

ρux h  1400 µ

(7.8)

che quando eccede il valore limite produce un flusso turbolento 1 .

1

Sperimentalmente non si osserva un salto improvviso da flusso laminare a turbolento per il valore del Re indicato. Il flusso infatti inizia a mostrare un comportamento dapprima non stazionario con la produzione di regioni isolate con flusso fortemente tridimensionale fino a quando questa condizione non viene raggiunta da tutto il flusso. Questo regime viene detto di transizione alla turbolenza e le sue caratteristiche dipendono oltre che dal flusso anche dalla presenza di disturbi esterni, dalle condizioni di finitura superficiale delle lastre etc.

124CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ESEMPIO Tra due lastre piane e parallele infinitamente estese e poste ad una distanza h fluisce una portata in massa d’aria pari a m ˙ (per unit`a di profondit`a b). Supponendo il flusso laminare, calcolare la differenza di pressione tra le due sezioni poste ad una distanza l nella direzione della corrente. Verificare che con i dati assegnati sia valida l’ipotesi di flusso laminare (usare aria a 15 o C, ρ = 1.23 Kg/m3 e µ = 1.79 · 10−5 Ns/m2 .) l h

h = 1.3cm

b

l = 2.5 m M˙ = 0.02 Kg/ms

x

Soluzione Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per il flusso tra due lastre piane e parallele si ha: V = h2 ∆p/(12µl) ed M˙ = ρhV da cui ∆p = 12µlM˙ /(ρh3 ) = 3.97 Pa. Il valore della velocit`a media `e V = 1.25 m/s da cui risulta Re = V h/ν = 1116 < 1400.

7.2

flusso di Couette

Una facile estensione del precedente esempio `e costituita dal caso in cui una delle due pareti si muova con velocit`a U , per esempio la parete superiore. Mettendoci nelle stesse ipotesi del caso precedente si giunge quindi all’integrazione delle equazioni (7.2) ma con le condizioni al contorno ux (0) = 0 e ux (h) = U da cui si ottiene: ux (y) =

1 ∂p 2 y (y − yh) + U . 2µ ∂x h

(7.9)

Da questa espressione si vede che la nuova soluzione `e simile alla precedente ma con un termine aggiuntivo che tiene in conto la nuova condizione al contorno. In particolare se il gradiente di pressione `e nullo il profilo di velocit`a `e lineare ed unisce la parete inferiore ferma alla parete superiore in moto con velocit`a U . In forma adimensionale il profilo (7.9) si pu`o scrivere come h2 ∂p ux (y) = U 2µU ∂x






y2 y y − + = −Π(η 2 − η) + η, 2 h h h

(7.10)

in cui si nota che il profilo dipende dalla variabile η = y/h e dal gruppo adimensionale Π = −h2 /(2µU ) · ∂p/∂x; il profilo (7.10) per alcuni valori di Π `e riportato in figura 7.2.

7.2. FLUSSO DI COUETTE

125

U 111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000 Π0

u(y)

111111111111111111111111111111 x 000000000000000000000000000000 Figura 7.2: Profili di velocit`a per il flusso di Couette.

L’espressione adimensionale (7.10) permette di vedere immediatamente che per Π = −1 il profilo ha tangente verticale per y = 0 mentre per valori Π < −1 si ha l’inversione del segno della velocit`a.

Naturalmente anche in questo caso la soluzione non `e fisicamente realizzabile per qualunque valore dei parametri in quanto la transizione alla turbolenza invalida ben presto le ipotesi fatte inizialmente. Nel flusso di Couette, tuttavia non si pu`o trovare un semplice valore di soglia del numero di Reynolds in quanto questo dipende sia da U che dal gradiente di pressione.

126CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ESEMPIO Due lastre piane e parallele infinitamente estese distano tra loro h. Sapendo che la lastra superiore trasla in direzione x con una velocit`a U e che il liquido tra le lastre `e olio, calcolare la forza che bisogna applicare ad una superficie di dimensioni l e b per mantenere tale stato di moto. l h

U

l=2m b = 1.3 m ρ = 912 Kg/m3

b

U = 1.5 m/s h = 0.5 cm ν = 4.2 · 10−4 m2 /s

x

Soluzione Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per flussi piani sappiamo che tra le due lastre si svilupper`a un profilo di velocit`a lineare u(y) = U y/h e quindi lo sforzo di parete sar`a dato da τw = µdu/dy|w = µU/h = 115N/m2 . La forza totale esercitata dal fluido sulla parete sar`a quindi F = s τw dS = τw S = 299 N. (Per µ si `e usato il valore µ = νρ = 0.383 Ns/m2 .)

7.3. FLUSSO DI HAGEN–POISEUILLE

127

ESEMPIO Tra due lastre piane parallele ed infinitamente estese scorre un flusso laminare, stazionario, piano e viscoso. La lastra inferiore si muove a velocit`a U mentre quella superiore `e fissa. Sapendo che la portata in volume per unit`a di larghezza (nella direzione ortogonale al foglio) vale q, ˙ calcolare la differenza di pressione ∆p che `e necessario applicare su una lunghezza l per ottenere tale situazione.

l q

l = 6 cm U = 2.4 m/s q˙ = 0.008 m2 /s

h

h = 4 mm µ = 1.5 Ns/m2

U Soluzione Integrando la relazione dp/dx = µd2 u/dy 2 con le condizioni al contorno u(0) = U ed u(h) = 0 si ottiene u(y) = Risultando d’altra parte q˙ =

Uy 1 dp 2 (y − hy) − + U. 2µ dx h

h 0




u(y)dy = U h/2 − dp/dxh3 /(12µ) si ricava

dp Uh = − q˙ − dx 2



12µ = −9 · 105 Pa, h3

e quindi ∆p = dp/dx · l = −54000 Pa.

7.3

flusso di Hagen–Poiseuille

Consideriamo un tubo a sezione circolare di raggio R di lunghezza l alle cui estremit`a `e applicata una differenza di pressione ∆p, e cerchiamo di determinare il campo di velocit`a all’interno del tubo. Se assumiamo il flusso incomprimibile, stazionario e con un’unica componente di velocit`a allineata decondo l’asse del tubo, possiamo utilizzare delle equazioni simili a quelle ricavate in §7.1. In questo esempio, per`o, data la simmetria assiale del problema conviene scrivere le equazioni in coordinate cilindriche ottenendo 0 = −ρg sin θ − 0 = −ρg cos θ −

∂p ∂r 1 ∂p r ∂θ

(7.11)

128CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES 1 ∂ ∂ux ∂p +µ r , ∂x r ∂r ∂r essendo gli assi orientati come in figura 7.3. L’integrazione delle prime due (7.11) ci dice che la pressione varia nella direzione verticale in modo idrostatico, mentre nella direzione x la sua distribuzione dipende da una funzione incognita f che in generale sar`a un dato del problema: p = −ρgr sin θ + f (x) = ρgy + f (x). (7.12) 0=−

e, di nuovo, facciamo l’ipotesi che il gradiente di pressione ∂p/∂x sia indipendente da x allora la terza delle (7.11) pu`o essere facilmente integrata ottenendo: r

∂ux 1 ∂p 2 = r + A, ∂r 2µ ∂x

ux =

1 ∂p 2 r + A ln r + B 4µ ∂x

(7.13)

essendo le costanti A e B determinate in base alle condizioni al contorno. Imponendo la condizione di aderenza alla parete (ux (R) = 0) e che la soluzione rimanga finita all’asse (ux (0) = ∞) si ottiene A = 0,

B=−

1 ∂p 2 R , 4µ ∂x

ux (r) =

1 ∂p 2 (r − R2 ), 4µ ∂x

(7.14)

che d`a un profilo parabolico di velocit`a in ogni sezione.

r

y

u(y) θ

z x

g

R

u Figura 7.3: Flusso di Hagen–Poiseuille. Dal profilo (7.14) si pu`o calcolare la velocit`a massima che si ottiene all’asse (r = 0) con 1 ∂p 2 (ux )max = − (7.15) R 4µ ∂x valendo le osservazioni fatte nei precedenti esempi circa il segno del gradiente di pressione. Per il calcolo della velocit`a media bisogna tenere in conto il fattore metrico r delle coordinate cilindriche da cui 1S 1  R  2π 1 ∂p 2 (ux )max ux = ux (r)dS = ux (r)rdrdθ = − R = . 2 S 0 πR 0 0 8µ ∂x 2

(7.16)

7.3. FLUSSO DI HAGEN–POISEUILLE

129

Da queste espressioni si pu`o calcolare la portata in volume

 S

Q = ux S =

0

ux (r)dS =

πR4 ∂p 8µ ∂x

(7.17)

noto il gradiente di pressione ∂p/∂x = ∆p/l. Questa semplice soluzione rimane valida per valori del numero di Reynolds

Re =

ρux 2R  2100, µ

(7.18)

mentre per valori maggiori si ha l’insorgere di un flusso transizionale e quindi della turbolenza. Questo valore di soglia `e stato determinato per la prima volta da O. Reynolds in un famoso esperimento del 1883 nel quale oltre ad osservare la dinamica transizionale del flusso all’interno di un tubo `e stato anche dimostrato che i parametri del flusso non intervenivano separatamente ma come un gruppo adimensionale Re = ρux 2R/µ. ESEMPIO i Dato un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza l sia applicata alle estremit`a del tubo una differenza di pressione ∆p. Se nel tubo fluisce acqua, determinare il massimo ∆p applicabile per mantenere valida la soluzione di Hagen–Poiseuille. Quanto vale la portata in massa in tali condizioni? ∆p R

l = 3 m R = 0.5 cm l

Soluzione Dalle soluzioni esatte delle equazioni di Navier–Stokes per il flusso in un tubo cilindrico si sa che vale la soluzione laminare per numeri di Reynolds Re = V 2R/ν ≤ 2100 = ReC . V `e la velocit`a media nella sezione del tubo e vale V = R2 ∆p/(8µl). Combinando la verie relazioni si ricava ∆p = ReC 4µlν/R3 = 201.6 Pa. Per la portata in massa, basta calcolarla dalla definizione: M˙ = ρQ = ρV πR2 = 1.65 · 10−2 Kg/s.

130CAPITOLO 7. SOLUZIONI ESATTE DELLE EQUAZIONI DI NAVIER–STOKES ESEMPIO Dato il flusso in figura, calcolare la velocit`a massima e la risultante delle forze viscose. Verificare a posteriori se `e valida l’ipotesi di flusso laminare. ∆p

d = 1 cm ∆p = 12000 Pa ρ = 850 Kg/m3

D

l

l=3m ν = 10−1 cm2 /s fluido: olio.

Soluzione Dalle soluzioni esatte dele equazioni di Navier–Stokes si ha che il profilo di velocit`a per un tubo cilindrico `e dato da u(r) =

1 dp 2 (r − R2 ). 4µ dz

La velocit`a massima si ha quindi per r = 0 ottenendo umax = ∆pR2 /(4lνρ) = 2.94 m/s. La risultante delle forze viscose si ottiene integrando lo sforzo di parete τw =  µ(du/dr)r=R = R(dp/dz)/2 sul mantello cilindrico del tubo F = S τw dS = 2πRlτw = πR2 ∆p = 0.9424 N. Per verificare la laminarit`a del flusso bisogna valutare il numero di Reynolds Re = uD/ν = 1470 < 2100; verificato!.

Capitolo 8 ∗ Flussi potenziali In questo capitolo verranno studiati dei particolari flussi nei quali gli effetti della viscosit`a possono essere trascurati. I flussi potenziali (o correnti euleriane) sono stati storicamente di grande utilit`a in quanto possono essere ricondotti allo studio di equazioni lineari con la conseguente facilit`a di trattazione matematica. Con questa teoria `e stato possibile ottenere le prime informazioni sul campo di moto intorno a corpi pi` u o meno complessi anche se la teoria non era in grado di calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo. Di seguito verrano riportati prima alcuni fondamenti della teoria e quindi degli esempi di flussi bidimensionali e tridimensionali.

8.1

teoria del potenziale

Ci sono molte situazioni in fluidodinamica in cui il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscose per un dato flusso `e estremamente elevato; tale rapporto si misura con il numero di Reynolds definito come Re = U L/ν essendo rispettivamente U ed L una velocit`a ed una lunghezza caratteristiche del fenomeno e ν la viscosit`a cinematica del fluido. Quando questo parametro `e molto grande, l’effetto dei termini viscosi `e confinato ad un sottile strato di fluido in prossimit`a del corpo dove i gradienti di velocit`a sono estremamente elevati mentre il resto del flusso ha una dinamica indipendente dalla viscosit`a. In tale situazione si possono verificare essenzialmente due eventualit`a: la prima `e che il flusso rimanga attaccato al corpo e quindi la regione in cui i termini viscosi sono rilevanti risulta molto piccola rispetto al campo esterno, la seconda `e che il flusso si distacchi dal corpo e quindi la regione di flusso influenzata dalla viscosit`a si estende anche lontano dal corpo. In quest’ultimo caso la distinzione tra regione interna ed esterna (cio`e tra zona potenziale e zona viscosa) diventa meno chiara ed inoltre le due estensioni sono confrontabili. Nel primo caso, al contrario, la zona potenziale `e molto pi` u estesa di quella viscosa e lo studio della prima pu`o fornire informazioni utili sul flusso intorno al corpo. Se effettivamente l’effetto della viscosit`a `e trascurabile supponendo le eventuali forze di massa conservative ed il flusso barotropico (o incomprimibile) si pu`o applicare il teorema di Kelvin che ci dice che la circolazione Γ calcolata su qualunque linea materiale chiusa C non varia nel tempo. In particolare se inizialmente risulta ω = 0 allora tale dovr`a rimanere 131

CAPITOLO 8.

132

potential region U

∗

FLUSSI POTENZIALI

U boundary layer

U

separated region viscous region a)

b)

Figura 8.1: Flusso intorno ad un corpo: a flusso attaccato, b flusso separato. La zona indicata in rosso `e la zona ‘viscosa’. anche per tempi successivi in quanto se per assurdo venisse prodotta una vorticit`a diversa da zero, sarebbe possibile trovare un circuito materiale C  che la contiene ottenendo Γ = 0. Ma essendo inizialmente ω = 0 ovunque la circolatione calcolata sulla stessa linea materiale C  al tempo t = 0 avrebbe dato Γ = 0 e ci`o `e contro il teorema di Kelvin. Da ci`o si deduce che nelle ipotesi del teorema di Kelvin, un flusso inizialmente irrotazionale rimane tale indefinitamente. Essendo ω = ∇ × u ≡ 0, `e allora possibile definire una funzione potenziale φ tale che u = ∇φ in quanto risulta identicamente ω = ∇ × u = ∇ × (∇φ) ≡ 0. Se in aggiunta si considera per semplicit`a il flusso incomprimibile, allora l’equazione di conservazione della massa si scrive ∇ · u = 0, che, combinata con la definizione di potenziale fornisce: ∇2 φ = 0.

(8.1)

Questa equazione deve essere completata con le condizioni al contorno che sono ∂φ = v · n, sul corpo e φ = φ∞ all ∞, ∂n

(8.2)

essendo la prima la condizione di impermeabilit`a con n la normale alla superficie del corpo e v la velocit`a del corpo e la seconda la condizione di congruneza del potenziale con la corrente indisturbata. Con queste condizioni `e possibile risolvere l’equazione (8.1) che fornisce la funzione potenziale φ in tutto lo spazio. Una volta noto φ si pu`o calcolare u e quindi dall’equazione di Bernoulli, che per un flusso irrotazionale si scrive u2 /2 + G + p/ρ = const., si pu`o calcolare la pressione 1 . Il vantaggio principale di questa formulazione `e che la soluzione del flusso potenziale richiede l’equazione differenziale (8.1) da cui si ricava il potenziale (e quindi la velocit`a) 1

Facciamo notare che come anticipato nel capitolo 5 per i flussi potenziali si pu` o rilassare nell’equazione di Bernoulli l’ipotesi di flusso stazionario. Risultando infatti u = ∇φ risulta ∂u/∂t = ∇(∂φ/∂t) e

8.2. SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI

133

e la soluzione dell’equazione di Bernoulli per il calcolo della pressione. La prima equazione `e lineare e, valendo il principio di sovrapposizione degli effetti, `e possibile adottare tutte le procedure di soluzione per serie note dall’analisi matematica e la costruzione di soluzioni complesse mediante addizione di pi` u soluzioni semplici. L’equazione per la pressione `e invece non lineare, ma la non linearit`a `e di tipo algebrico e quindi non presenta particolari difficolt`a. A titolo di confronto, volendo risolvere lo stesso problema con le equazioni di Navier–Stokes per flussi incomprimibili bisognerebbe risolvere un’equazione differenziale non lineare vettoriale (tre equazioni scalari) pi` u la conservazione della massa che `e differenziale lineare. Chiaramente tanta semplicit`a nella trattazione ha il prezzo di non poter calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo (paradosso di d’Alembert); esempi di tale paradosso verranno dati attraverso lo studio di flussi particolari.

8.2 8.2.1

soluzioni tridimensionali sorgente e pozzo

Consideriamo un punto nello spazio in cui sia localizzata una sogente di massa, la cui portata in volume sia Q; in assenza di forze esterne o altre correnti questa massa dovr`a distribuirsi equamente in tutte le direzioni, generando una velocit`a radiale ur uniforme in un sistema di coordinate sferiche con origine nella sorgente (figura 8.2). Per la con servazione della massa dovr`a risultare Q = S ur dS che, essendo la velocit`a uniforme, diventa Q Q = ur 4πr2 , =⇒ ur (r) = (8.4) 4πr2 e per integrazione si ottiene la funzione potenziale φ(r) = −

Q m +c=− +c 4πr r

(8.5)

avendo posto m = Q/(4π) come intensit`a della sorgente. Lo stesso ragionamento pu`o essere ripetuto in modo identico per un pozzo giungendo a delle relazioni uguali alle precedenti. Tutta la trattazione pu`o essere quindi unificata utilizzando la (8.5) sia per la sorgente che per il pozzo risultando nel primo caso m > 0 mentre nel secondo m < 0. Per affermare che la (8.5) sia effettivamente una funzione potenziale bisogna dimostrare che soddisfi l’equazione ∇2 φ = 0; ci`o si ottiene facilmente notando che φ dipende solo dalla coordinata radiale e scrivendo quindi il laplaciano in coordinate sferiche risulta 1 ∂ ∂φ 1 ∂ ∂ ∇ φ = 2 r2 = − 2 r2 r ∂r ∂r r ∂r ∂r 2





m ≡ 0, r

(8.6)

l’equazione (5.16), essendo ω ≡ 0 diventa: u2 +G+ 2



dp ∂φ + = const. ρ ∂t

(8.3)

CAPITOLO 8.

134

∗

FLUSSI POTENZIALI

che dimostra la tesi. Come facile esercizio si pu`o vedere che lo stesso risultato si ottiene utilizzando un sitema di assi Cartesiani.

ur

S Q

r

Figura 8.2: Schema di flusso generato da un sorgente in tre dimensioni.

8.2.2

doppietta

Si supponga ora di avere una sorgente ed un pozzo di uguale intensit`a m posti ad una distanza ∆ lungo l’asse delle x e sia A un punto qualunque nello spazio. Per la propriet`a additiva il potenziale in A sar`a φ = φ S + φP = −

m m r S − rP rS2 − rP2 + =m =m , rS rP rS rP rS rP (rS + rP )

(8.7)

avendo posto c = 0. Se il sistema di riferimento `e scelto in modo che l’origine coincida con la sorgente allora risulta rS2 = x2 + y 2 + z 2 ed rP2 = (x − ∆)2 + y 2 + z 2 da cui rS2 − rP2 = −∆2 + 2∆x. Supponiamo ora di far tendere a zero la distanza ∆ facendo crescere progressivamente m in modo che il prodotto m∆ = k rimanga costante, in tal caso si ottiene −k∆ + 2kx kx = 3, ∆−→0 rS rP (rS + rP ) r

lim φ = lim

∆−→0

(8.8)

in quanto per ∆ −→ 0 rS = rP = r. Ci poniamo di nuovo la domanda se la soluzione trovata in (8.8) `e soluzione dell’equazione del potenziale; la risposta `e si in quanto ∂(−k/r)/∂x = kx/r3 e −k/r `e soluzione dell’equazione. Si pu`o allora scrivere ∇2

∂ 2 −k kx ∂ −k = ∇2 = ∇ ≡ 0. 3 r ∂x r ∂x r

(8.9)

8.3. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI

135

Allo stesso risultato si poteva pervenire ricordando dall’analisi matematica che la derivata di una funzione armonica `e ancora una funzione armonica, se quindi il potenziale della sorgente `e soluzione dell’equazione di Laplace, lo deve essere anche quello della doppietta.

z A rs rp ∆ S

x P

y Figura 8.3: Doppietta in tre dimensioni.

8.3

sovrapposizione di soluzioni tridimensionali

Come abbiamo detto in precedenza, uno dei vantaggi fondamentali della teoria potenziale `e che l’equazione (8.1) `e lineare quindi se φ1 e φ2 sono soluzioni della (8.1) dovr`a necessariamente risultarlo anche φ = φ1 + φ2 . In questo modo si riescono a costruire delle soluzioni intorno a corpi di forma relativamente complicata partendo dalle soluzioni elementari precendentemente esposte. Nel seguito di questa sezione verranno mostrati alcuni esempi classici, indicando la modalit`a per costruire soluzioni pi` u complesse.

8.3.1

il semicorpo

Osserviamo preliminarmente che una corrente uniforme con velocit`a U diretta nella direzione positiva dell’asse delle x avr`a un potenziale φU = U x e questa soluzione soddisfa l’equazione (8.1). In questo esempio viene considerata una corrente uniforme orientata nella direzione positiva dell’asse delle x ed una sorgente posta nell’origine di un sistema di assi. Il potenziale per questa configurazione `e φ = Ux −

m , r

(8.10)

CAPITOLO 8.

136

∗

FLUSSI POTENZIALI

da cui si ottiene per le velocit`a ux =

mx ∂φ =U+ 3 , ∂x r

e uy =

my ∂φ = 3. ∂y r

(8.11)

Da queste espressioni si vede che il campo di velocit`a `e simmetrico rispetto all’asse x per cui basta studiare il flusso nel semipiano meridiano x–y con y ≥ 0. Se nella prima delle (8.11) si annulla la ux si trova un punto di ristagno in x = −a = − m/U da cui si scrive


a2 x ux = U 1 + 3 r



e uy = U

a2 y . r3

(8.12)

Da queste espressioni si deduce che all’approssimarsi della corrente al corpo questa viene frenata e le linee di corrente si allargano. Per calcolare quale sia la forma del corpo, basta verificare la condizione di equilibrio tra le portate in volume della corrente traslazionale e della sorgente.

y

2a

U r

θ a

S z

x

Figura 8.4: Semicorpo potenziale tridimensionale. La portata totale della sorgente `e QT = 4πm distribuita uniformemente su tutto l’angolo solido per cui una frazione di angolo solido Ω smaltir`a la portata Q/QT = Ω/4π. Dato allora un cono di semiapertura θ si ha  θ

dΩ = 2π sin θdθ, =⇒ Ω =

0

2π sin θdθ = 2π(1 − cos θ)

(8.13)

da cui si ottiene Q = 2πm(1 − cos θ). Se invece consideriamo la portata dovuta al flusso traslazionale si otterr`a in generale Q = πy 2 U e le due portate saranno uguali quando y 2 U = 2a2 U (1 − cos θ) 

y = a 2(1 − cos θ) e x = −y cotg θ.

(8.14)

8.3. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI

137

Per θ = 0, si ottiene y = 0 mentre la x assume una forma indeterminata 0 · ∞; tuttavia sostituendo la prima delle (8.14)√nella seconda √ ed utilizzando elementari trasformazioni trigonometriche si ottiene x = − 2a cos θ/ 1 + cos θ che tende effettivamente a −a per θ −→ 0. Notiamo inoltre che per θ −→ π, x −→ ∞ ed y −→ 2a da cui si vede che il corpo rimane aperto. Alla stessa conclusione si poteva giungere osservando che all’infinito tutta la portata della sorgente deve essere smaltita con una velocit`a ux = U quindi 4πm = πy 2 U =⇒ y = 2a. Si ha in generale che se la somma delle intensit`a di sorgenti e pozzi non `e nulla il corpo deve necessariamente rimanere aperto in quanto tutta la portata immessa dalle sorgenti non viene bilanciata da quella riassorbita dai pozzi.

ESEMPIO Il semicorpo tridimensionale in figura `e investito da una corrente uniforme d’acqua U nella direzione x. Sapendo che la pressione nel punto A `e PA calcolare il valore della pressione nel punto B. U

B

A

y

a x

U = 10 m/s B = (0, 3), A = (−2, 0) Coordinate Cartesiane espresse in metri.

Soluzione Il potenziale del semicorpo tridimensionale `e dato da φ = −U r cos θ − m/r + c (per il sistema di riferimento  polare in figura). Risulta inoltre a = (m/U ) da cui si ricava m = 22.5 m3 /s. Per le componenti di velocit`a sappiamo che ur = ∂φ/∂r = −U cos θ + m/r2 ed uθ ∂φ/∂θ = U sin θ da cui essendo A = (r = 2, θ = 0) e B = (r = 3, θ = π/2) si ottiene uA = (−4.375, 0), uB = (2.5, 10) e quindi | uA |2 = 16.14 ed | uB |2 = 106.25 (velocit`a in m/s). Applicando infine, l’equazione di Bernoulli tra i punti A e B si pu`o scrivere: pB = pA +ρ[(u2A −u2B )/2+g(hA −hB )] = 102995 Pa.

U θ

B

pA = 175870 Pa | a |= 1.5 m

y

r A

a x

CAPITOLO 8.

138

8.3.2

∗

FLUSSI POTENZIALI

la sfera

Vogliamo ora vedere quale flusso possiamo ottenere dalla sovrapposizione di una corrente uniforme e di una doppietta nell’origine degli assi il cui potenziale φD `e dato dalla relazione (8.8).

y U

A r θ

z x

D

Figura 8.5: Sezione meridiana della sovrapposizione di una corrente uniforme ed una doppietta nell’origine. Per il potenziale totale si pu`o quindi scrivere φ = Ux +

kx r3

(8.15)

√ da cui si osserva che, essendo r = x2 + y 2 + z 2 questo potenziale `e simmetrico sia rispetto all’asse y che all’asse z (ci`o si osserva sostituendo y a −y e z a −z), ossia il flusso `e assialsimmetrico rispetto ad x. Questa circostanza suggerisce di utilizzare un sistema di coordinate sferiche come in figura 8.5 da cui si ha x = −r cos θ e quindi




k φ = − rU + 2 cos θ. r

(8.16)

Per il calcolo delle velocit`a radiale ed azimutale possiamo scrivere




∂φ 2k ur = ∇φ · rˆ = = −U + 3 cos θ, ∂r r






1 ∂φ k uθ = ∇φ · θˆ = = U + 3 sin θ. (8.17) r ∂θ r

Da queste espressioni si vede che la velocit`a radiale `e sempre nulla sulla superficie descritta da
1 2k 2k 3 = U, ossia r = = R, (8.18) r3 U che `e una sfera con centro nella doppietta e raggio dato dalla (8.18).

8.3. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI TRIDIMENSIONALI

139

Sostituendo il valore di R trovato nella seconda delle (8.17) si ottiene il profilo di velocit`a azimutale sulla superficie della sfera stessa


kU uθ = −U + 2k



3 sin θ = U sin θ, 2

(8.19)

che quindi assume il valore massimo per θ = π/2 u(θ) = 3U/2 ed il minimo per θ = 0 e θ = π con u(θ) = 0. Per la distribuzione di pressione si utilizza l’equazione di Bernoulli scritta tra un punto all’∞ nella corrente indisturbata e l’altro sulla superficie della sfera u(θ)2 p(θ) U 2 p∞ + + gh∞ = + + gh(θ), 2 ρ 2 ρ

(8.20)

da cui, trascurando le variazioni di quota si ottiene per il coefficiente di pressione Cp =

p(θ) − p∞ 9 u(θ)2 = 1 − sin2 θ. = 1 − 2 2 ρU /2 U 4

(8.21)

Da questa relazione si vede che la pressione massima si ha per θ = 0 e θ = π con Cp = 1 (punti di ristagno) mentre la minima `e nel punto θ = π/2 dove vale Cp = −5/4. Nei punti in cui sin θ = 2/3 (θ  42o e θ  138o ) si ha Cp = 0 ed u(θ) = U .

Cp U θ

r

Figura 8.6: Distribuzione del coefficiente di pressione sulla superficie della sfera (flusso potenziale). Gli andamenti descritti sono riportati nelle figure 8.6 e 8.7 da cui risulta evidente la simmetria del coefficiente di pressione tra la parte frontale e la parte posteriore della sfera. Questo significa che partendo dal punto di ristagno anteriore (θ = 0) dove la velocit`a `e zero e tutta l’energia cinetica `e stata convertita in pressione, il flusso accelera costantemente

CAPITOLO 8.

140

u( θ ) U 3/2

FLUSSI POTENZIALI

Cp(θ) 1

1

0

∗

π/2

0

π θ

π/2

π

θ

−9/4 a)

b)

Figura 8.7: Diagrammi della distribuzione di velocit`a e coefficiente di pressione sulla superficie di una sfera. In figura `e riportata solo la met`a superiore, la met`a inferiore si ottiene per riflessione.

fino al punto θ = π/2 in cui si ha il massimo della velocit`a ed il minimo di pressione. Appena superato il punto θ = π/2 il flusso ricomincia a decelerare ed aumentare la sua pressione e nel punto di ristagno posteriore su ha una situazione speculare rispetto al quello anteriore.

Mancando l’effetto dei termini viscosi, le uniche azioni che il fluido pu`o esercitare sul corpo sono quelle normali di pressione che in questa configurazione hanno risultante nulla per tutte le componenti.

Questo `e un caso particolare del paradosso di d’Alembert che si dimostra per corpi di forma qualunque in condizioni di flusso incomprimibile e stazionario.

Si vedr`a nei capitoli successivi che questo flusso `e ideale e nella pratica non si realizza. Infatti le azioni viscose del flusso alla parete trasformano in modo irreversibile parte dell’energia cinetica in calore e nella zona a valle del punto θ = π/2 il flusso non riesce a far aumentare la pressione fino al valore che aveva in θ = 0. Ci`o provoca uno sbilanciamento della distribuzione di pressione e quindi una resistenza.

8.4. SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

141

ESEMPIO Una sfera di raggio R `e investita da una corrente d’acqua a velocit`a costante U e pressione della corrente indisturbata p∞ . Sapendo che la sfera `e composta da due gusci poggiati come in figura ed utilizzando la teoria potenziale, calcolare la forza con cui la semisfera di sinistra spinge su quella di destra. U

R

R = 0.3 m U = 7 m/s p∞ = 101300 Pa

Soluzione Dalla formula per il coefficiente di pressione per una sfera cp = 1 − (9/4) sin2 θ si ricava la forza di pressione nella direzione x 

y



1 2 xndS = dFx = −pˆ ρU cp + p∞ cos θ2πR2 sin θdθ, 2

θ

da cui per la forza sulla semisfera si ha  π/2

Fx =

0



x



1 9 sin(2θ) p∞ + ρU 2 − sin2 θ πR2 dθ 2 4





1 9ρU 2 πR2 Fx = πR p∞ + ρU 2 − = 27776 N. 2 16 Se si assume che la pressione all’interno della sfera `e p∞ allora risulta Fx = −πR2 ρU 2 /16 = −865 N. 2

8.4

soluzioni bidimensionali

Seguendo dei ragionamenti del tutto analoghi a quelli precedentemente riportati per uno spazio a tre dimensioni, si trovano le soluzioni potenziali in due dimensioni. Nel seguito ne verrano riportate alcune a titolo di esempio con dei flussi di interesse pratico ottenuti dalla loro sovrapposizione.

8.4.1

sorgente e pozzo

Si supponga di avere una sorgente di massa puntiforme da cui esce una portata volumetrica Q in uno spazio piano. La portata attraverso la circonferenza con centro nella sorgente e raggio r sar`a Q = 2πrur da cui ur = Q/(2πr). D’altra parte essendo ur = ∂φ/∂r si pu`o

CAPITOLO 8.

142

∗

FLUSSI POTENZIALI

ottenere per integrazione il potenziale φ=

Q ln r + c = m ln r + c, 2π

(8.22)

con la costante c che pu`o essere fissata arbitrariamente in quanto nella determinazione delle velocit`a entrano solo i gradienti del potenziale.

y

ur r x

S

Figura 8.8: Sorgente bidimensionale. Naturalmente se la portata Q `e negativa allora si avr`a un pozzo il cui potenziale sar`a φ = −m ln r + c.

8.4.2

doppietta

Data una sorgente ed un pozzo aventi la stessa intensit`a m e disposti come in figura 8.9 si ha per il potenziale nel generico punto A φ = m ln rS − m ln rP + c

(8.23)

 √ essendo rS = x2 + y 2 e rP = (x − ∆)2 + y 2 . Ponendo senza perdita di generalit`a c = 0, con queste espressioni si pu`o scrivere 

r S − rP rS = m ln 1 + φ = m ln rP rP








rS2 − rP2 = m ln 1 + . rP (rS + rP )

(8.24)

Assumendo che ∆ sia un parametro piccolo e ricordando che ln(1 + x)  x + O(x2 ) la (8.24) si scrive m∆(2x − ∆) ; (8.25) φ rP (rS + rP )

8.4. SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

143

se ora si fa il limite per ∆ −→ 0 mantenendo costante il prodotto k = m∆ (intensit`a di doppietta) si ha che rP −→ rS −→ r e per il potenziale si ottiene kx m∆(2x − ∆) = 2, ∆−→0 rP (rS + rP ) r

φ = lim

(8.26)

che `e il potenziale cercato. Con un calcolo diretto si pu`o agevolmente verificare che l’espressione (8.26) soddisfa l’equazione del potenziale.

y A rs rp ∆ S

x P Figura 8.9: Doppietta bidimensionale.

8.4.3

vortice libero

Immaginiamo di avere una vorticit`a ω distribuita uniformemente all’interno di una circonferenza di raggio R, questa avr`a una circolazione Γ = ωπR2 . Se ora si fa tendere a zero il raggio R della circonferenza, aumentando contemporaneamente l’intensit`a della vorticit`a in modo che la circolazione Γ rimanga costante, si ottiene una singolarit`a nella vorticit`a di circolazione finita (figura 8.10a). Per calcolare il potenziale di questo flusso basta osservare che in base al teorema di Stokes la circolazione Γ pu`o essere calcolata mediante la circuitazione della velocit`a lungo un qualunque percorso chiuso contenente la singolarit`a. Se in particolare si sceglie una circonferenza con centro nella singolarit`a e raggio r si ha: Γ (8.27) Γ = 2πruθ , =⇒ uθ = 2πr da cui essendo 1 ∂φ Γ uθ = , =⇒ φ = θ + c. (8.28) r ∂θ 2π

CAPITOLO 8.

144

∗

FLUSSI POTENZIALI

Questa soluzione essendo lineare in θ `e sicuramente soluzione dell’equazione di Laplace ed `e quindi il potenziale cercato. Le linee equipotenziale sono delle rette uscenti dall’origine e la velocit`a indotta `e puramente tangenziale (velocit`a azimutale) (figura 8.10b).

ω

y

φ= const.

uθ r x

θ

R r y

x φ= const.

uθ

a)

b)

Figura 8.10: a) Singolarit`a di vortice libero. b) Velocit`a tangenziale indotta e linee equipotenziali. ESEMPIO Nei punti S, P, D vengono posti, rispettivamente, una sorgente di intensit`a mS , un pozzo di intensit`a mP ed una doppietta di intensit`a k (quest’ultima allineata con l’asse x). Calcolare la differenza di pressione tra i punti A e B. Il corpo risultante dalla sovrapposizione delle 3 soluzioni assegnate `e aperto o chiuso? mS = 0.3 m2 /s mP = 0.3 m2 /s k = 0.5 m3 /s A = (0, 0) S = (−1, −1) B = (1, 2) D = (3, 0) B = (1, 1) Coordinate in metri, flusso bidimensionale, fluido:acqua (trascurare la gravit`a). Soluzione 2 con ri = L’espressione del potenziale `e Φ = m(ln rS − ln rP ) + k(x − xD )/rD 

(x − xi )2 + (y − yi )2 , i = S, D, P . Per derivazione da queste espressioni si ottiene: 







∂Φ x−1 y 2 − (x − 3)2 x+1 − + k , =m ux = ∂x (x + 1)2 + (y + 1)2 (x − 1)2 + (y − 2)2 [(x − 3)2 + y 2 ]2 y+1 ∂Φ y−2 2y(x − 3) uy = =m − −k . 2 2 2 2 ∂ (x + 1) + (y + 1) (x − 1) + (y − 2) [(x − 3)2 + y 2 ]2 Sostituendo ad x ed y i valori delle coordinate in A e B si ottiene u2A = 0.0967 m2 /s2 ed u2B = 0.20725 m2 /s2 . Applicando quindi l’equazione di Bernoulli si ha pA − pB = ρ(u2B − u2A )/2 = 55.255 Pa.

8.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

8.5 8.5.1

145

sovrapposizione di soluzioni bidimensionali il semicorpo

Seguendo l’esempio riportato in §8.3.1, ma utilizzando le soluzioni singolari bidimensionali, sovrapponiamo una corrente uniforme nella direzione positiva dell’asse delle x con una sorgente posta nell’origine degli assi (figura 8.11). Abbiamo immediatamente per il potenziale φ = U x + m ln r, o φ = −U r cos θ + m ln r, (8.29) in un sistema di riferimento polare. Noto il potenziale si possono calcolare immediatamente le velocit`a ur =

∂φ m = −U cos θ + , ∂r r

uθ =

1 ∂φ = −U r sin θ. r ∂θ

(8.30)

Da queste espressioni si nota che sull’asse x (θ = 0 e θ = π) risulta uθ ≡ 0 e gli eventuali punti in cui risultasse ur = 0 ci darebbero dei punti di ristagno. Dalla prima delle (8.30) si vede che la condizione ur = 0 non `e mai verificata per θ = π mentre per θ = 0 si ha un punto di ristagno per r = m/U = a (x = −m/U ). Per calcolare il contorno del corpo si procede in modo del tutto analogo al caso tridimensionale, si bilancia cio`e la portata proveniente dalla corrente uniforme e quella uscente dalla sorgente su una generica linea ortogonale all’asse x. Le due portate saranno in equilibrio quando U y = 2πm

θ 2π

(8.31)

da cui, utilizzando la definizione di a, si ottiene per x ed y y = aθ

e x = y cotg θ.

(8.32)

Essendo la sorgente nell’origine l’unica sorgente di massa (che non `e bilanciata da alcun pozzo) ci aspettiamo che il corpo trovato debba rimanere aperto. Si ha infatti che per x −→ ∞, y −→ πa ossia all’infinito tutta la portata della sorgente deve essere smaltita con una velocit`a ux = U quindi 2πm = 2yU =⇒ y = πa. Analogamente al caso tridimensionale per θ −→ 0 si ottiene una forma indeterminata per la x; tuttavia sostituendo l’espressione per la y nella x si ottiene x = −a cos θ · θ/ sin θ che tende a −a per θ −→ 0 (osservando che limx−→0 (sin x/x) = 1).

8.5.2

il cilindro

Analogamente al caso tridimensionale, vogliamo ora sovrapporre una corrente uniforme di intensit`a U nella direzione positiva dell’asse delle x con una doppietta disposta come in §8.4.2. Per il potenziale si pu`o quindi scrivere kx φ = Ux + 2 , r






k oppure φ = − U r + cos θ, r

(8.33)

CAPITOLO 8.

146

∗

FLUSSI POTENZIALI

y

πa

U r θ a

x

S

Figura 8.11: Semicorpo potenziale bidimensionale. se si prende un sistema d’assi polari come in figura 8.13. Dall’espressione del potenziale si possono calcolare le componenti radiale ed azimutale della velocit`a ottenendo




∂φ k ur = = − U − 2 cos θ, ∂r r






1 ∂φ k = U + 2 sin θ. uθ = r ∂θ r

(8.34)

Da queste espressioni si vede che a radiale risulta identicamente nulla per il  la velocit` valore costante del raggio R = k/U per qualunque θ. Ci`o significa che la circonferenza di raggio R si comporta come una superficie solida (impermeabile) nei confronti del flusso che quindi rappresenta il flusso intorno ad un cilindro. Sulla superficie del cilindro il valore della velocit`a azimutale `e uθ = 2U sin θ

(8.35)

da cui si vede che ci sono due punti di ristagno a θ = 0 e θ = π. I punti in cui la velocit`a `e massima sono a θ = π/2 e θ = 3π/2 dove uθ = 2U ed infine la velocit`a vale U nei punti θ = π/6 e θ = 5π/6 (ed i punti simmetrici rispetto all’asse x). Applicando l’equazione di Bernoulli tra un punto all’∞ nella corrente indisturbata e l’altro sul corpo possiamo calcolare il coefficiente di pressione sulla superficie del cilindro: u(θ)2 p(θ) U 2 p∞ + + gh∞ = + + gh(θ), 2 ρ 2 ρ

(8.36)

da cui, trascurando le variazioni di quota si ottiene Cp =

p(θ) − p∞ u(θ)2 = 1 − 4 sin2 θ. = 1 − ρU 2 /2 U2

(8.37)

Anche in questo caso si ha una simmetria della distribuzione di pressione sul corpo sia rispetto all’asse x che y con la conseguenza che tutti i coefficienti di forza risultano

8.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

147

Figura 8.12: Visualizzazione sperimentale tramite l’analogia di Hele–Shaw delle linee di corrente nel flusso potenziale bidimensionale intorno ad un semicorpo.

nulli. Di nuovo ci troviamo di fronte ad un caso particolare del paradosso di d’Alembert che vale per corpi di forma qualunque nell’ipotesi di flusso potenziale.

Dal confronto con le espressioni analoghe per la sfera si osserva che in corrispondenza del punto θ = π/2 si ha una velocit`a maggiore nel cilindro rispetto alla sfera e, conseguentemente, una maggiore diminuzione di pressione. Ci`o si spiega facilmente osservando che a parit`a di diametro un cilindro crea un ‘bloccaggio’ del flusso maggiore di una sfera quindi, per la conservazione della massa, la velocit`a deve aumentare. Per esempio, se in un condotto a sezione rettangolare l × D viene posta una sfera di diametro D, la superficie a disposizione per il passaggio del flusso sar`a SS = lD − πD2 /4 mentre nel caso di un cilindro si ha SC = lD − D2 da cui risulta SS > SC per πD2 /4 < D2 che `e sempre verificata.

CAPITOLO 8.

148

∗

FLUSSI POTENZIALI

y U

A r θ D

x

Figura 8.13: Sovrapposizione di una corrente uniforme ed una doppietta nell’origine (caso bidimensionale). ESEMPIO Lungo il perimetro di un cilindro sono praticati due fori a cui `e collegato un manometro ad U come in figura. Se la differenza di quota tra i due menischi `e h ed il fluido manometrico `e alcool (ρm = 780 Kg/m3 ) calcolare la velocit`a della corrente d’aria che investe il cilindro. (Trascurare gli effetti viscosi).

U

h = 2.06cm θ = 30o

θ h

Soluzione Essendo gli effetti viscosi trascurabili il flusso intorno al cilindro sar`a potenziale e per il coefficiente di pressione sulla sua superficie si ha cp = 2(p − p∞ )/(ρU 2 ). Per θ = 30o risulta cp = 0 mentre per θ = 180o cp = 1, di conseguenza p(30o ) = p∞ e p(180o ) = p∞ + ρU 2 /2. Combinando questo risultato con la legge di Stevino si ottiene ∆p = p(180o ) − p(30o ) = ρU 2 /2 = ρm gh da cui di ricava U = (2ρm gh/ρ)1/2 = 16 m/s.

8.5.3

il cilindro rotante

Come ultimo esempio di flusso bidimiensionale potenziale vogliamo studiare il cilindro rotante che si ottiene sovrapponendo una corrente uniforme con una doppietta ed un vortice libero, entrambi posti nell’origine degli assi. La peculiarit`a di questo flusso `e

8.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

149

Cp U o

30

Figura 8.14: Distribuzione del coefficiente di pressione sulla superficie del cilindro (flusso potenziale). dovuta al fatto che pur essendo potenziale riesce a generare una forza sul corpo diversa da zero; questa circostanza `e dovuta ad una particolarit`a del flusso indotto dal vortice libero che verr`a spiegata in dettaglio successivamente. Aggiungendo il potenziale di vortice libero a quello del cilindro della sezione precedente si ottiene, rispettivamente, per il potenziale e le velocit`a:




k Γ cos θ + θ, φ = − Ur + r 2π




k ur = − U − 2 cos θ, r




(8.38)



k Γ uθ = U + 2 sin θ + . r 2πr

(8.39)

senza rotazione, il flusso Poich´e la velocit`a radiale ur `e rimasta invariata rispetto al caso  sar`a ancora quello intorno ad un cilindro di raggio R = k/U . Al contrario, risulta mutata la velocit`a azimutale che sulla superficie del cilindro vale uθ = 2U sin θ +

Γ . 2πr

(8.40)

La prima conseguenza della rotazione `e lo spostamento dei punti di ristagno avendo sulla superficie del cilindro uθ = 0 per Γ sin θ = − 4πRU

−1

ossia θ = − sin





Γ , 4πRU

(8.41)

CAPITOLO 8.

150

∗

FLUSSI POTENZIALI

Cp(θ)

u( θ ) U 2

1

1

0 π/2

0

π/2

π

θ

π θ

−3 a)

b)

Figura 8.15: Diagrammi della distribuzione di velocit`a e coefficiente di pressione sulla superficie di un cilindro. In figura `e riportata solo la met`a superiore, la met`a inferiore si ottiene per riflessione. con la condizione che risulti Γ/(4πRU ) ≤ 1. Quando questo fattore `e proprio uguale ad 1 i due punti di ristagno saranno coincidenti in un solo punto a θ = −π/2 e 3π/2 (per Γ > 0). Se infine risulta Γ/(4πRU ) > 1 il punto di ristagno non sar`a pi` u sulla superficie del cilindro ma nel flusso sulla linea θ = −π/2 (dove comunque ur = 0) e per un valore del raggio r tale che
 R2 Γ . (8.42) U 1+ 2 = r 2πr Uno schema delle tre situazioni `e riportato in figura 8.17. Non `e superfluo notare che la circolazione si pu`o determinare dalla velocit`a di rotazione Ω del cilindro come Γ = 2πΩR2 ; tenendo fissa la velocit`a della corrente U e le dimensioni del cilindro R la posizione dei punti di ristagno pu`o essere determinata semplicemente variando la velocit`a di rotazione del cilindro. Dagli schemi di figura 8.17 `e evidente che la rotazione del cilindro rompe la simmetria rispetto al diametro orizzontale e questa dissimmetria dovr`a riflettersi anche nella pressione. Dall’equazione di Bernoulli si ottiene infatti: 1 2 ρΓ2 ρU Γ sin θ 2 2 , p(θ) = p∞ + ρU − 2ρU sin θ − 2 2 − 2 8π R πR

(8.43)

in cui l’ultimo termine, avendo una dipendenza lineare in sin θ, riflette proprio la mancanza di simmetria. Riferendoci alla figura 8.13, e ricordando che le forze di pressione hanno direzione opposta alla normale uscente, possiamo scrivere per le componenti della forza Fx =

 2π 0

p cos θRdθ = 0,

Fy =

 2π 0

p sin θRdθ = ρU Γ.

(8.44)

8.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

151

Figura 8.16: Visualizzazione sperimentale tramite l’analogia di Hele–Shaw delle linee di corrente nel flusso potenziale bidimensionale intorno ad un cilindro.

Ai due risultati di sopra si perviene facilmente sostituendo la (8.43) nelle (8.44) ed osservando che l’unico termine ad integrale non nullo `e l’ultimo della (8.43) moltiplicato per sin θ. Lo svolgimento analitico degli integrali in (8.44) viene lasciato come facile esercizio. Il risultato trovato sulla forza `e un caso particolare del teorema di Kutta–Joukowsky che d`a come espressione della forza F = ρU×Γ in cui Γ `e un vettore che ha la circolazione come intensit`a e la stessa direzione e verso della vorticit`a associata. Il risultato pi` u importante di questo teorema `e che non `e possibile generare una forza (di pressione) su un corpo se non si ha una circolazione netta. A questo punto appare chiaro l’effetto del vortice libero che generando una circolazione nel cilindro `e in grado di produrre una forza, altrimenti impossibile nell’ambito della teoria potenziale. La generazione della forza indotta dalla rotazione di un cilindro investito da una corrente `e anche nota come effetto Magnus che ha notevoli implicazioni nella balistica (moto di proiettili e missili in rapida rotazione, lanci e tiri ‘ad effetto’ nello sport, etc.). In passato si `e anche provato a sfruttare questa forza per fini propulsivi come `e mostrato in figura 8.18 con la ‘Flettner–rotorship’ un’imbarcazione ideata da Anton Flettner nel 1922 in cui una spinta addizionale era fornita dai due cilindri rotanti che fungevano da fumaioli. Sebbene tale sistema non sia stato utilizzato successivamente si `e comunque visto che, in linea di principio, poteva essere vantaggioso.

CAPITOLO 8.

152

∗

FLUSSI POTENZIALI

Ω

Ω

Ω

θ

θ

a)

b)

c)

Figura 8.17: Schema delle linee di corrente per un cilindro rotante potenziale bidimensionale: a) Γ < 4πRU , b) Γ = 4πRU , c) Γ > 4πRU . ESEMPIO Dato un cilindro a sezione circolare di diametro D investito da una corrente d’acqua uniforme a velocit`a U , quale deve essere la velocit`a di rotazione Ω del cilindro in modo da avere i due punti di ristagno come in figura? Quanto vale la forza per unit`a di lunghezza in tali condizioni? U

D θ P1

θ

θ = 300 U = 8 m/s D = 1. m ipotizzare il flusso potenziale

P2

Soluzione Per il flusso potenziale intorno ad un cilindro circolare si ha che la velocit`a tangenziale sulla superficie del corpo `e uθ = 2U sin θ + Γ/(2πR), la posizione angolare dei punti di ristagno `e quindi data da uθ = 0, ossia sin θ = −Γ/(4πU R). Essendo per le condizioni della figura i punti di ristagno a θ = −π/3 e θ = 7π/6 si ricava Γ = 25.132 m2 /s. Dovendo quindi risultare Γ = 2πRΩ · R si ricava Ω = 16rad/s. Infine dal teorema di Kutta–Joukowsky si ha F = ρU Γ = 201056 N/m diretta verso l’alto.

8.5. SOVRAPPOSIZIONE DI SOLUZIONI BIDIMENSIONALI

153

Figura 8.18: Immagine dell’imbarcazione ideata da Flettner con sistema di propulsione basato sull’effetto Magnus.

154

CAPITOLO 8.

∗

FLUSSI POTENZIALI

Capitolo 9 Strato Limite Come abbiamo visto nel capitolo precedente, sotto alcune ipotesi, il flusso intorno ad un corpo pu`o essere analizzato con un modello di flusso non viscoso il che semplifica notevolmente la trattazione conducendo alla formulazione potenziale. Sebbene questo approccio fornisca delle informazioni molto utili, esso presenta delle pesanti limitazioni come l’impossibilit`a di calcolare le forze esercitate dal flusso sul corpo (paradosso di d’Alembert). Evidentemente, l’ipotesi di trascurare i termini viscosi dalle equazioni del moto non `e applicabile ovunque; in particolare, in un flusso reale il fluido a contatto con il corpo deve avere la stessa velocit`a del corpo (condizione di aderenza) che non coincider`a con la velocit`a potenziale. Questa differenza di velocit`a genera dei forti grandienti in prossimit`a del corpo che renderanno non trascurabili gli sforzi viscosi. Il sottile strato di fluido adiacente al corpo dove i termini viscosi non si possono trascurare (o pi` u precisamente dove i termini viscosi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli inerziali nel bilancio della quantit`a di moto) viene detto strato limite (figura 9.1).

y

U

potential flow

boundary layer

δ x L

Figura 9.1: Flusso uniforme su una lastra piana: la zona indicata in rosso `e la zona ‘viscosa’ dove non pu`o essere applicata la teoria potenziale. 155

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

156

Per comprendere i punti essenziali della fisica di questo fenomeno, consideriamo il flusso stazionario su una lastra piana ad incidenza nulla come in figura 9.1 ed ipotizziamo per semplicit`a tale flusso incomprimibile e bidimensionale. Dalle equazioni di conservazione della massa e bilancio della quantit`a di moto si scrive ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(9.1)











∂u 1 ∂p ∂u ∂2u ∂2u + , +v =− +ν u ∂x ∂y ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂v 1 ∂p ∂2v ∂2v ∂v + , +v =− +ν u ∂x ∂y ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 avendo indicato, rispettivamente, con u e v le componenti di velocit`a ux e uy . Richiamando il concetto che nello strato limite i termini viscosi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli inerziali, possiamo quantificare il suo spessore δ. Riferiamoci alla seconda delle (9.1) che rappresenta il bilancio di quantit`a di moto nelle direzione della corrente x; detta L la lunghezza della lastra in x dovr`a risultare δ L da cui si intuisce che il secondo termine viscoso deve essere molto pi` u grande del primo. D’altra parte, dei due termini convettivi il primo ci d`a il trasporto di quantit`a di moto parallelamente alla lastra che sar`a ostacolato appunto dai temini viscosi all’interno dello strato limite. Da queste considerazioni ne segue che possiamo porre u

∂ 2u ∂u ≈ ν 2, ∂x ∂y

da cui



=⇒

U2 U ν 2 L δ

(9.2)

1

L νL 2 =√ , δ (9.3) U Re avendo assunto che la velocit`a parallela alla lastra sia dello stesso ordine di U e definendo il numero di Reynods Re = U L/ν (con Re  1). Noto lo spessore δ `e possibile calcolare la relazione tra u e v. Dovendo infatti i due termini dell’equazione di conservazione della massa essere dello stesso ordine di grandezza si ha √ ∂v U v v Re U ∂u ≈ , =⇒   , =⇒ v  √ , (9.4) ∂x ∂y L δ L Re da cui si vede immediatamente che nello strato limite, oltre ad avere una dimensione molto pi` u piccola dell’altra δ L si ha anche una velocit`a molto pi` u piccola dell’altra v u. Questa caratteristica fu intuita per la prima volta da Prandtl all’inizio del secolo che formul`o la teoria dello strato limite basandosi sul fatto che il fenomeno avviene nelle due direzioni x ed y con scale differenti. Volendo dare una stima sulle forze viscose si pu`o calcolare lo sforzo di parete


∂u τw = µ ∂y

 w

U U√ µ =µ Re = δ L



µρU 3 L

(9.5)

9.1. EQUAZIONI DI PRANDTL

157

da cui si vede che questo cresce come U 3/2 mentre diminuisce all’aumentare della lunghezza della lastra L. Per il calcolo della resistenza totale si pu`o integrare lo sforzo di parete su tutta la superficie della lastra per cui detta b la dimensione della lastra in figura 9.1 nella direzione ortogonale al foglio si ha  L

D=b

0



τ dx = 2b µρU 3 L,

(9.6)

√ da cui emerge che la resistenza aumenta solo come L. Ci`o `e dovuto al fatto che lo spessore dello strato limite cresce con la coordinata x e lo sforzo di parete diminuisce per cui le regioni pi` u lontane dal bordo d’attacco contribuiscono meno alla resistenza rispetto a quelle pi` u vicine. Se vogliamo infine calcolare il coefficiente d’attrito possiamo scrivere 

cf =

D 4 ν √ . = 4 = 1 2 bL U L ρU Re 2

(9.7)

Bisogna notare che queste relazioni sono basate su considerazioni sull’ordine di grandezza delle varie quantit`a quindi danno delle informazioni solo qualitative sul fenomeno. Per avere delle informazioni quantitative `e necessario risolvere in qualche modo le equazioni (9.1) cercando di introdurre le semplificazioni delle ipotesi di strato limite.

9.1

equazioni di Prandtl

Abbiamo a questo punto a disposizione gli elementi per derivare le equazioni nelle ipotesi di strato limite. Le √lunghezze nelle direzioni x ed y, verranno√infatti scalate rispettivamente con L e δ = L/ Re mentre le velocit`a u e v con U ed U/ Re. Introducendo allora delle lunghezze e velocit`a adimensionali definite come x∗ =

x , L

y∗ =

y y√ Re, = δ L

u∗ =

u , U

v∗ =

v v√ Re = δ U

(9.8)

si ottiene per sostituzione nelle (9.1) √ U Re ∂v ∗ U ∂u∗ √ + = 0, L ∂x∗ Re L ∂y ∗

(9.9)

√
 U 2 ∗ ∂u∗ Re ∗ ∂u∗ U ∂ 2 u∗ U Re ∂ 2 u∗ U2 ρU 2 1 ∂p∗ u v +√ =− +ν + 2 , L ∂x∗ ∂y ∗ L ρ ∂x∗ L2 ∂x∗ 2 L ∂y ∗ 2 Re L √ √
 U ∂ 2 v ∗ U Re ∂ 2 v ∗ U 2 ∗ ∂v ∗ U 2 ∗ ∂v ∗ ρU 2 Re 1 ∂p∗ √ u + √ v =− +ν √ + . L ρ ∂y ∗ L2 ∂y ∗ 2 L Re ∂x∗ L Re ∂y ∗ ReL2 ∂x∗ 2 Da queste relazioni, facendo il limite per Re −→ ∞ e ricordando che Re = U L/ν si ricava ∂u∗ ∂v ∗ + = 0, (9.10) ∂x∗ ∂y ∗

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

158 u∗

∗ dp∗ ∂ 2 u∗ ∂u∗ ∗ ∂u + v = − + , ∂x∗ ∂y ∗ dx∗ ∂y ∗ 2





∂p∗ 1 =O −→ 0, ∗ ∂y Re dove l’ultima equazione deriva dall’osservazione che nella terza delle (9.9) il gradiente di √ pressione deve essere dello stesso ordine di grandezza degli altri termini (O(1/ Re)) 1 . Dal confronto delle equazioni (9.10) con le (9.1) si vede che ci sono evidenti differenze con notevoli semplificazioni delle seconde rispetto alle prime. Come prima osservazione notiamo che la pressione ha variazione nulla nella direzione ortogonale alla corrente che quindi non varia attraverso lo strato limite: ∂p∗ /∂y ∗ = 0. Ci`o indica che la pressione nello strato limite `e imposta dal campo esterno che pu`o essere facilmente determinato dalla teoria potenziale; inoltre il temine di pressione nella seconda delle (9.10) non solo `e una derivata ordinaria perch´e dipendente solo da x ma non `e nemmeno un’incognita del problema visto che viene dal flusso esterno. L’altra caratteristica importante `e che la seconda delle (9.10) ha un solo termine viscoso avendo perso il termine di derivata seconda nella direzione x. Da un punto di vista fisico questo significa che il flusso ad una certa coordinata x nella direzione della corrente dipende solo da ci`o che succede per x ≤ x al contrario delle (9.1) la cui soluzione in un punto dipende dal flusso in tutto il resto del campo. Matematicamente ci`o si esprime dicendo che le equazioni (9.10) sono paraboliche in x mentre le (9.1) sono ellittiche, avendo questa distinzione anche profonde implicazioni nelle metodologie di soluzione che risultano molto pi` u difficili per le seconde rispetto alle prime. Un’altra caratteristica importante delle equazioni (9.10) `e che la loro forma `e indipendente dal numero di Reynolds. Ci`o implica che una volta trovata la soluzione questa sar`a applicabile a tutte le situazioni geometricamente simili potendo poi trovare i valori dimensionali di velocit`a e lunghezze attraverso le definizioni (9.8).

9.2

separazione dello strato limite

Analizzando le equazioni di Prandtl per lo strato limite abbiamo visto che portano a delle notevoli semplificazioni pur fornendo tutta l’informazione necessaria all’analisi del flusso. Ci chiediamo ora fino a che punto possiamo usare le equazioni semplificate e quale fenomeno fisico ne precluda la validit`a. Ripercorrendo le ipotesi che ci hanno portato alle equazioni (9.10) notiamo che risulta essenziale la forte differenza di scala δ L; da un punto di vista fisico, infatti ci`o ha implicato che tutte le variazioni in y fossero molto pi` u intense di quelle in x permettendo di trascurare alcuni termini. Si pu`o verificare tuttavia che, a causa dell’azione frenante dell’attrito, il flusso tenda a separare ed una particella fluida inizialmente in prossimit`a della parete venga trasportata lontano da essa; in questi casi l’approssimazione di strato limite cessa di essere valida. 1

Nello sviluppare tutti questi passaggi abbiamo anche supposto che la scala di adimensionalizzazione o si verifica delle pressioni sia P = ρU 2 ossia che il numero di Ruark ρU 2 /P = Ru sia uguale ad 1. Ci` sempre a meno che nel problema non subentri una forzante di pressione imposta dall’esterno.

9.2. SEPARAZIONE DELLO STRATO LIMITE

159

Analizziamo pi` u in dettaglio lo schema di figura 9.2 osservando che a causa della diffusione lo spessore dello strato limite δ cresce con la coordinata x nei primi 3 profili. Con la crescita di δ diminuisce progressivamente il gradiente di velocit`a alla parete fino ad un punto in cui questo valore pu`o diventare nullo. Nella figura 9.2 ci`o accade in S dove si osserva che, dovendo necessariamente il profilo di velocit`a recuperare il valore U per y −→ ∞, il profilo in questo punto deve avere un cambio di concavit`a. Si osservi che anche nel terzo profilo la concavit`a non `e unica per cui il cambio di concavit`a non pu`o essere utilizzato come criterio per l’identificazione della separazione. Al contrario si pu`o affermare che essendo un punto di separazione caratterizzato dalla condizione ∂u/∂y|w = 0 il cambio di concavit`a nel profilo di velocit`a `e condizione necessaria per la separazione. Se utilizziamo il fatto che alla parete (y ∗ = 0) la condizione di aderenza implica ∗ u = v ∗ = 0 la seconda delle (9.10) alla parete diventa dp∗ = dx∗




∂ 2 u∗ ∂y ∗ 2



,

(9.11)

w

da cui si vede che la concavit`a del profilo di velocit`a alla parete dipende dal gradiente di pressione imposto dal flusso esterno. In particolare se il gradiente di pressione `e sempre negativo, ossia se il flusso `e sempre accelerato, il profilo di velocit`a sar`a convesso e la situazione illustrata in figura 9.2 non potr`a mai verificarsi.

U y

S

x

Figura 9.2: Separazione dello strato limite su una lastra piana. Al contrario se il flusso si muove da zone a pressione minore verso zone a pressione maggiore il gradiente di pressione sar`a positivo e la concavit`a del profilo di velocit`a a parete sar`a positiva. In questo contesto, si pu`o verificare che in qualche punto il profilo raggiunga la condizione di gradiente nullo a parete e quindi il flusso separi. Nelle figure 9.3 e 9.4 sono riportate due visualizzazioni di laboratorio di separazioni di strato limite. Nella prima la separazione avviene in un divergente a causa della diminuzione di velocit`a del flusso esterno e conseguente aumento di pressione. In figura 9.4

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

160

viene mostrato, invece, che proprio a causa dell’effetto del gradiente di pressione sullo strato limite le situazioni di contrazione ed espansione non sono simmetriche verificandosi il distacco del flusso dalla parete solo nel secondo caso.

Figura 9.3: Visualizzazione sperimentale della separazione dello strato limite all’inizio di un divergente. Evidentemente dall’insorgere della zona di separazione in poi non sar`a pi` u vero che le variazioni nella direzione y saranno pi` u grandi di quelle in x e quindi non si potranno pi` u usare le equazioni (9.10) ma piuttosto le (9.1). Riguardo alla relazione (9.11) si deve notare che non `e necessario conoscere effettivamente la pressione ma basta conoscere il campo esterno di velocit`a. Considerando infatti la prima delle (9.1) e ricordando che il flusso esterno ha solo la componente di velocit`a parallela al corpo e che i termini viscosi sono trascurabili si ottiene −(1/ρ)dp/dx = U dU/dx. Osserviamo infine che la separazione dello strato limite `e un fenomeno che si cerca di evitare nelle applicazioni pratiche in quanto provoca delle perdite di energia meccanica. Per esempio nell’aerodinamica esterna degli autoveicoli la presenza di bolle di separazione aumenta il coefficiente di resistenza e quindi il consumo di carburante.

9.3

∗

soluzione simile

Una delle possibilit`a per risolvere le equazioni (9.10) `e di fare ricorso alle soluzioni simili. In particolare, poich´e nella direzione x non c’`e una scala di lunghezze assegnata si pu`o ipotizzare che il profilo di velocit`a assuma un forma simile in x. Matematicamente ci`o si esprime dicendo che prese due coordinate x1 ed x2 ed il campo di velocit`a u(x, y) deve

9.3.

∗

SOLUZIONE SIMILE

161

Figura 9.4: Visualizzazione sperimentale del flusso attraverso un’improvvisa contrazione e successiva espansione.

Figura 9.5: Profili di velocit`a a varie sezioni ed evoluzione della regione di separazione per il flusso all’interno di un condotto divergente. valere



u x1 , f (xy 1 ) g(x1 )



=

u x2 , f (xy 2 ) g(x2 )

,

(9.12)

dove f e g sono due funzioni di forma. In altre parole la soluzione u(x, y) `e simile se `e possibile far coincidere i profili di velocit`a per due sezioni qualunque introducendo un fattore di scala per la velocit`a e per la coordinata y. Dato il problema in esame, il fattore di scala per la velocit`a `e la velocit`a del flusso esterno U mentre la funzione con cui scalare la y sar`a lo spessore dello strato limite δ. Se ora introduciamo la funzione di corrente possiamo porre per le velocit`a u = ∂ψ/∂y

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

162

e v = −∂ψ/∂x per cui la seconda delle (9.10) (in forma dimensionale) diviene ∂ψ ∂ 2 ψ dU ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ 3ψ = U − + ν ∂y ∂x∂y ∂x ∂y 2 dx ∂y 3

(9.13)

in cui si possono fare le seguenti posizioni 

f (x) = δ(x) = e per le velocit`a

νx , U



y U η(x, y) = =y , δ(x) νx

ψ(x, η) =

√

νxU f (η)

(9.14)



U ∂ψ ∂η √ ∂ψ = = νxU f  (η) = U f , u= ∂y ∂η ∂y νx

(9.15)



√ y U 1 νU ∂ψ νU f (η) − νxU f  (η) = −v = = √ [f (η) − ηf  (η)]. 3 ∂x 2 νx 2 x 2 νxU Sostituendo queste velocit`a nella (9.13) ed assumendo un gradiente esterno di pressione nullo (U dU/dx) si ricava Uf







U η 1 − f  + 2 x 2





νU U U [ηf  − f ]U f  = νU f  x νx νx

(9.16)

che opportunamente semplificata si riduce a 1 f  + f f  = 0. 2

(9.17)

Questa equazione `e nota come equazione di Blasius che pu`o essere risolta con le seguenti condizioni al contorno u(y = 0) = 0 ⇒ f  (0) = 0,

v(y = 0) = 0 ⇒ f (0) = 0,

(9.18)

u(y −→ ∞) = U ⇒ f  (η −→ ∞) = 1; abbiamo cos`ı un’equazione differenziale ordinaria non lineare del 3o ordine con 3 condizioni al contorno che permettono di risolvere il problema (per esempio per integrazione numerica).

In figura 9.6 viene riportata una visualizzazione in acqua del profilo di strato limite di Blasius da cui si pu`o dedurre l’andamento della funzione f  (η) al variare di η. I valori di f sono di solito tabulati ed alcuni dati sono riportati nella tabella 9.1, da cui si possono fare alcune considerazioni. Il valore di f  (η) (e quindi di u/U ) parte da 0 per η = 0 e tende asintoticamente ad 1; convenzionalmente si pu`o definire lo spessore dello strato limite come come la distanza dalla parete a cui la velocit`a u raggiunge il 99%  della U . Dalla tabella si vede che ci`o accade per η  5 per cui si ha δ  5 νx/U . Il

9.3. η 0 1 3 5 7 8

∗

SOLUZIONE SIMILE

f 0 0.166 1.397 3.28 5.28 6.279

163

f  f 0 0.332 0.3298 0.323 0.8461 0.161 0.991 0.01591 0.99992 0.00022 1.0000 0.00001 Tabella 9.1: Valori tabulati per la funzione f e le sue derivate

valore u = 0.99U `e tuttavia arbitrario e se si scegliesse u = 0.999U si otterrebbe η  6 per cui nasce l’esigenza di una definizione pi` u oggettiva di spessore che prescinda dalla determinazione di valori di soglia arbitrari. Osserviamo a tal fine che a causa della condizione di aderenza, considerata una distanza h dalla parete tale che u  U si ha che la portata in volume Q risulta pi` u piccola di quella che si avrebbe se il flusso fosse potenziale(figura 9.7). Ci si pu`o allora chiedere quale sia la distanza dalla parete δ ∗ tale che considerando il flusso tra δ ∗ ed h costante ed uniforme si ottiene esattamente il flusso Q. Questa distanza si trova semplicemente imponendo che   h  h  ∞ u udy, =⇒ U δ ∗ = (U − u)dy, =⇒ δ ∗ = 1− dy, (9.19) U (h − δ ∗ ) = U 0 0 0 essendo stato esteso l’integrale all’infinito in quanto u/U = 1 per y > h. Usando la soluzione di Blasius si pu`o quindi scrivere    ∞ √ νx νx ∗  δ = [1 − f (η)]dη νxU = [η − f (η)]η−→∞ = 1.72 , (9.20) U U 0 ossia circa 1/3 di δ. Da un punto di vista fisico questa distanza ci dice di quanto dovremmo spostare verso l’esterno il contorno del corpo in un’ipotetico flusso potenziale per compensare la perdita di flusso di massa dovuto alla condizione di aderenza; questa distanza `e chiamata spessore di spostamento. Riferendoci alla figura 9.1 si tratta di trovare la distanza δ ∗ per cui le due aree indicate abbiano lo stesso valore. Sempre a causa della condizione di aderenza si ha una diminuzione di flusso di quantit`a di moto per cui seguendo il ragionamento precedente si pu`o trovare uno spessore analogo θ (detto spessore di quantit`a di moto) tale che:    ∞  ∞  ∞ √ u u u(U − u)dy =⇒ θ = 1− dy = f  (η)[1 − f  (η)]dη νxU ρU 2 θ = ρ U U 0 0 0 (9.21)  che integrato numericamente d`a θ = 0.664 νx/U . Al bordo dello strato limite la quantit`a ηf  −f ∼ v `e sempre positiva quindi la velocit`a normale al bordo dello strato limite non `e nulla. La linea y = δ(x) non `e conseguentemente una linea di corrente non essendo verificata la relazione v/u = dy/dx. Per l’attrito di parete si ha


∂u τw = µ ∂y



w





U3 ρµU 3 = µf  (0) = 0.332 νx x

(9.22)

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

164

U

U f’(η) η

Figura 9.6: Visualizzazione sperimentale di un profilo di Blasius in acqua. mentre per la resistenza  L

D=b

0



τw dx = 0.332b ρµU 3

 L d 0



√ = 0.664b ρµU 3 L. x

(9.23)

Per il coefficiente d’attrito si pu`o infine scrivere cf =

D 1 ρU 2 bL 2

1.328 = √ . Re

(9.24)

Vogliamo ricordare che tutte queste considerazioni sono valide nel caso in cui il flusso sia bidimensionale, stazionario ed in assenza di gradiente di pressione imposto dal flusso esterno. Queste condizioni sono eccessivamente restrittive per le applicazioni pratiche, tuttavia il fatto di disporre di una soluzione esatta ci permette di utilizzare lo strato limite su una lastra piana come flusso test per validare eventuali metodi approssimati che permettano di risolvere pi` u facilmente anche casi pi` u complessi. Come ultima osservazione dobbiamo sottolineare che i risultati trovati valgono per flussi laminari, flussi cio`e in cui il fluido scorre sopra la lastra come se fosse formato da tante lamine parallele che scorrono una rispetto all’altra. Ci`o si verifica nella realt`a solo per numeri di Reynolds minori di 2 · 105 –5 · 105 ed il valore esatto dipende dalle perturbazioni nel flusso esterno e dalla rugosit`a della lastra. Per valori superiori del

∗

9.3.

SOLUZIONE SIMILE

165

y

U

δ∗ Figura 9.7: Definizione di spessore di spostamento.

numero di Reynolds si ha la transizione del flusso alla turbolenza condizione in cui il flusso `e completamente tridimensionale e non stazionario. A questa condizione si accenner`a in un capitolo successivo. ESEMPIO Data la lastra in figura investita da un profilo di velocit`a UX (z), calcolare la densit`a del fluido sapendo che la forza sulla lastra (considerata bagnata da un solo lato) `e F . l z

b

Ux(z)

Ux (z) = 5z 2 m/s F = 6ˆ xN

l=1m µ = 10−1 Ns/m2

b2 = 0.5 m

x

Essendo il flusso laminare e non essendo prescritto alcun profilo di velocit`a approssimatosi possono usare le formule di Blasius che danno per lo sforzo di parete τw = 0.332 ρµU 3 /x, con x la coordinata nella direzione della corrente misurata a partire dal bordo d’attacco della lastra. Per la forza sulla lastra si avr`a quindi  b l

F =

0

0



τw dxdz = 0.332 ρµ53

 b 0

z 3 dz

 l dx 0

 b4 √ √ = 0.332 ρµ53 2 l. x 4

Ricavando da questa relazione ρ si ottiene ρ = 26755 Kg/m3 .

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

166 ESEMPIO

La resistenza di una lastra piana L1 ad incidenza nulla ed investita da una corrente a velocit`a U1 `e pari a D1 . Calcolare la resistenza di una seconda lastra L2 investita dallo stesso fluido della lastra precedente ma a velocit`a U2 . b1

U1

L1

U2

b2

l1

L2

D1 = 290 N b1 = l1 = 1. m U1 = 20 cm/s b2 = 1.3 m l2 = 1.5 m U2 = 11 cm/s

l2

Soluzione Essendo il flusso laminare su lastre piane ad incidenza nulla (e non essendo specificato alcun tipo di profilo di velocit`a approssimato) si pu`o usare la soluzione di Blasius che fornisce

τw = 0.332

ρµU 3 , x

 b l

D=

0

0

 √ τw dS = 0.664 ρµU 3 b l.

 √ √ Per la prima lastra si ha D1 = 0.664 ρµb1 l1 U13 da cui si ricava ρµ. Per la seconda lastra si potr`a quindi scrivere 

 U2 √ D2 = 0.664 ρµb2 l2 U23 = D1 U1

 32

b2 b1




l2 l1

1 2

= 188.3 N.

9.4. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE

167

ESEMPIO La ‘ventola’ in figura ha due pale ad incidenza nulla e ruota in aria a velocit`a costante Ω. Calcolare la potenza necessaria a mantenere la ventola in rotazione supponendo il flusso laminare e localmente bidimensionale (ossia ogni striscia di pala parallela al lato h si comporta indipendentemente dalle altre).

h = 20 cm l = 0.5 m

Ω = 150 giri/min

Soluzione Prendendo un asse y allineato con il bordo d’attacco della pala ed un asse x ortogonale, Essendo lo strato limite laminare e bidimensionale, risulter`a

dF = τ dxdy = 0.332

ρµΩ3 y 3 dxdy x

con U (y) = Ωy la velocit`a che investe ogni striscia di pala ed x la distanza dal bordo d’attacco. Per il momento dispetto all’asse di rotazione risulta  l  yh/l

dM = ydF,

M=

0

0



0.332 0.332 ρµΩ3 y 5/2 x−1/2 dxdy = 2



ρµΩ3 h 4 l . l

Considerando ora che ogni pala ha 2 superfici bagnate ed il rotare ha due pale ne risulta che la potenza sar`a data da 

W = 4M Ω = 0.664 ρµhΩ5/2 l7/2 = 0.1232 W.

9.4

equazione integrale dello strato limite

Nella sezione precedente abbiamo visto un caso in cui l’equazione per lo strato limite pu`o essere risolta in modo esatto trovando la soluzione in ogni punto del campo. In generale questa procedura non pu`o essere seguita in quanto la soluzione analitica presenta delle difficolt`a insormontabili. Una possibile alternativa consiste nel richiedere che l’equazione non sia soddisfatta puntualmente ma che lo sia una sua media effettuata su tutto lo spessore dello strato limite. Partendo allora dalle equazioni per lo strato limite ed integrando in direzione normale alla parete fino ad un’altezza h (essendo h grande abbastanza da essere per qualunque x al di fuori dello strato limite) si ottiene:  h
∂u 0

∂u dU +v −U u ∂x ∂y dx








µ  h ∂ 2u dy = dy. ρ 0 ∂y 2

(9.25)

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

168

Il secondo membro dopo l’integrazione pu`o essere immediatamente posto uguale a −τw /ρ risultando ∂u/∂y = 0 per y = h. Dall’equazione di continuit`a ricaviamo  y ∂v ∂u ∂u =− =⇒ v = − dy, ∂x ∂y 0 ∂x

che possiamo sostituire nel primo membro della (9.25)  h
∂u

∂u  y ∂u dU u − dy − U ∂x ∂y 0 ∂x dx

0

(9.26)



dy = −

τw . ρ

(9.27)

Integrando il secondo termine per parti  h
∂u  y ∂u

∂y

0

0

∂x



dy dy = U

 h ∂u 0

∂x

dy −

 h 0

u

 h ∂u ∂u dy = (U − u)dy. ∂x 0 ∂x

(9.28)

Risostituendo l’espressione trovata nella (9.27), aggiungendo e sottraendo il termine ∂uU/∂x nell’integrale e combinando opportunamente i termini si ottiene  h ∂ 0

∂x

[u(U − u)]dy +

 h dU 0

dx

(U − u)dy =

τw . ρ

(9.29)

Osserviamo ora che poich´e h non dipende da x le derivazioni in x possono essere portate fuori dal segno di integrale. Inoltre per y > h tutte le funzioni integrande vanno a zero quindi gli integrali si possono estendere fino all’∞ da cui, ricordando le espressioni per lo spessore di spostamento e di quantit`a di moto si ottiene dU τw dθU 2 + δ∗U = . dx dx ρ

(9.30)

Questa `e l’equazione integrale dello strato limite anche detta equazione di von Karm´an che mette in relazioni le grandezze integrali dello strato limite con lo sforzo di parete. L’essenza della soluzione di questa equazione consiste nell’assumere un profilo di velocit`a che soddisfi le condizioni al contorno e la continuit`a con la soluzione esterna e procedere con il calcolo di δ ∗ , θ e τw i cui valori saranno funzione della coordinata x e dei parametri liberi assunti nel profilo di velocit`a. Sostituendo il risultato in (9.30) si otterr`a un’equazione differenziale dalla cui soluzione si ottengono le formule per δ ∗ , θ e τw e quindi per le quantit`a derivate. A titolo di esempio consideriamo il flusso intorno ad una lastra piana ad incidenza nulla per il quale abbiamo la soluzione esatta di Blasius come termine di paragone. Risultando il gradiente di pressione esterno nullo (dU/dx = 0) l’equazione integrale si riduce a U2

τw dθ = . dx ρ

(9.31)

Assumendo come profilo di velocit`a u/U = y/δ = η si ha che questo soddisfa la condizione di aderenza alla parete (u = 0 per y = 0) e la continuit`a con la soluzione esterna (u = U per y = δ). Dalle definizioni di θ e τw abbiamo θ=

  ∞ u 0



 1 u δ 1− dy = η(1 − η)δdη = , U U 6 0




∂u τw = µ ∂y



y=0

U =µ , δ

(9.32)

9.4. EQUAZIONE INTEGRALE DELLO STRATO LIMITE

169

e sostituendo queste espressioni nella (9.31) si ottiene una semplice equazione differenziale in δ



√ µU νx U 2 dδ = =⇒ δ = 12 , 6 dx ρδ U

(9.33)

che ci d`a l’espressione per lo spessore dello strato limite in funzione di x. Noto δ(x) `e possibile procedere a ritroso e calcolare tutte le altre quantit`a



νx θ = 0.557 , U





νx δ = 1.732 , U ∗

τw 0.288

ρµU 3 , x

(9.34)

mentre per il coefficiente d’attrito e la resistenza si ottiene



ν cf = 1.152 , UL



D = 0.576b ρµU 3 L.

(9.35)

Tutti questi valori vanno confrontati con la soluzione esatta di Blasius e dal confronto si vede che nonostante il profilo u/U = η sia il pi` u semplice che si possa usare i valori numerici non vengono troppo dissimili da quelli esatti. Valori ancora pi` u prossimi a quelli esatti si possono comunque ottenere utilizzando profili di velocit`a pi` u complicati che replichino anche le caratterstiche di curvatura del profilo di Blasius (funzioni cubiche, seno oppure funzioni a tratti). Vogliamo infine ricordare che se il contorno del corpo non `e di forma semplice, se il gradiente di pressione non `e nullo o se il profilo non `e simile la procedura di soluzione (concettualmente identica) si complica notevolmente e si deve ricorrere a diverse funzioni a seconda del gradiente di pressione. Alla fine si giunge comunque ad un’equazione differenziale per δ(x) dalla cui soluzione si ricavano δ ∗ , θ e τw .

CAPITOLO 9. STRATO LIMITE

170 ESEMPIO

Data una lastra piana ad incidenza nulla investita da una corrente uniforme d’aria a velocit`a U , considerando il flusso laminare ed assegnato l’andamento del profili di velocit`a u(y), determinare l’andamento dello sforzo di parete in funzione di x  3

1 y u(y) =− U 2 δ

U

u(y) =1 U

δ

u(y)

 

3 y + , 2 δ

δ≥y

δ 4000

Figura 10.1: Disegno schematico dell’esperimento di Reynolds. mento e si misura la stessa quantit`a nello stesso punto per lo stesso intervallo temporale si ottengono dei segnali notevolmente differenti se confrontati istantaneamente mentre essi hanno le stesse caratteristiche statistiche (valore medio, deviazione standard, etc.).

Exp.1

Exp.2

1.08 1.06 1.04 1.02 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.88

1.08 1.06 1.04 1.02 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.88

u/U

u/U

0

5

10

15

T

20

25

0

5

10

15

20

25

T

Figura 10.2: Segnali turbolenti di velocit`a per due realizzazioni successive dello stesso esperimento. Questa osservazione sembra a prima vista inconciliabile con la natura delle equazioni che governano il fenomeno, cio`e le equazioni di Navier–Stokes; essendo infatti le equazioni di tipo deterministico ed avendo condizioni iniziali ed al contorno definite si ha che anche la soluzione deve essere deterministica nello spazio e nel tempo. Questo dilemma `e stato risolto da Lorentz che nel 1963 mostr`o che alcuni sistemi non lineari possono avere una tale sensibilit`a alle condizioni iniziali che perturbazioni inapprezzabili nei parametri di

CAPITOLO 10.

174

∗

TURBOLENZA

partenza determinano rapidamente soluzioni completamente differenti 2 . A tale scopo si consideri il sistema di equazioni x˙ = σ(y − x),

(10.1)

y˙ = ρx − y − xz, z˙ = −βz + xy, in cui i parametri valgono σ = 10, β = 8/3 e ρ = 35 con le condizioni iniziali x(0) = 0.5, y(0) = 0.1 e z(0) = 0.3; la soluzione di questo sistema `e riportata in figura 10.3 dove il tempo `e il parametro lungo la curva si pu`o osservare il noto attrattore di Lorentz. In figura 10.4, viene riportata invece con una linea continua l’andamento temporale per una della variabile y(t) del sistema (10.1). Se, lasciando tutto invariato, si considerano le condizioni iniziali x(0) = 0.5, y(0) = 0.100001 e z(0) = 0.3 si nota che dopo un intervallo di tempo iniziale (in questo caso t ≥ 15 ma il valore dipende dalle condizioni iniziali e dai parametri σ, β e ρ) le due soluzioni differiscono nei valori istantanei e possono essere confrontate solo nei valori medi e nell’ampiezza delle fluttuazioni (figura 10.4, linea tratteggiata).

z

70 60 50 40 30 20 10 0

-25 -20

-15 -10

-5 0 5 10 15 20

initial condition

x

0 -10 -20 -30

10

20

30

40

y

Figura 10.3: Attrattore di Lorentz nello spazio tridimensionale x–y–z. Facendo un parallelo con le equazioni di Navier–Stokes possiamo annoverare tra i parametri iniziali sicuramente il campo di velocit`a, la pressione e la geometria del condotto, ma anche la distribuzione iniziale di temperatura (che determina la viscosit`a del fluido) 2

Questo esempio `e stato preso dal testo ‘Turbulent Flows’ by S.B. Pope, Cambridge Univ. Press, 2000).

10.1. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA

175

30 20 10

y(t)

0

-10 -20 -30 0

10

20

30

t

40

50

60

Figura 10.4: Evoluzione temporale della variabile y(t) soluzione dell’equazione di Lorentz: condizioni iniziali originali, condizioni iniziali perturbate. la presenza di eventuali impurit`a e le condizioni di finitura superficiale del tubo. Questi ultimi parametri non possono essere controllati in modo arbitrariamente preciso e ci`o determina (attraverso la non linearit`a delle equazioni) la dinamica non deterministica precedentemente descritta. In altre parole, per quanto si cerchi di mantenere controllati tutti i parametri di un esperimento `e impossibile che due relizzazioni successive dello stesso fenomeno abbiano le condizioni iniziali replicate con una precisione infinita e ci`o porta inevitabilmente a soluzioni divergenti nel tempo. I termini non lineari sono anche gli artefici della produzione di fluttuazioni ‘locali’ di velocit`a che comportano la generazione di strutture fluidodinamiche di piccola scala. Riconsiderando infatti l’esempio del flusso nel condotto, ci si convince facilmente che la differenza di pressione imposta ∆p fornisce energia solamente al moto medio, mentre la dispersione dell’inchiostro in tutto il flusso richiede l’azione di strutture piccole rispetto al diametro del tubo in grado di miscelare localmente il colorante con il fluido non marcato; come viene trasferita l’energia dal moto a grande scala fino alle strutture pi` u piccole? Per rispondere a questa domanda consideriamo l’equazione di Burgers, un’equazione monodimensionale, che ha tutte le caratteristiche principali delle equazioni di Navier– Stokes tranne il termine di pressione: ∂u ∂ 2u ∂u +u =ν 2 . ∂t ∂x ∂ x

(10.2)

Immaginiamo ora che l’intervallo di definizione della soluzione sia x ∈ [0, 2π) e che la soluzione sia periodica in x con media nulla; con queste ipotesi `e possibile espandere la

∗

CAPITOLO 10.

176

sin(3x)

sin(x)

sin(5x)

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

L1

-0.5

-0.5

-1

0

L3

-0.5

-1 0

1.57

3.14

x

4.71

6.28

TURBOLENZA

L5

-1 0

1.57

3.14

x

4.71

6.28

0

1.57

3.14

x

4.71

6.28

Figura 10.5: Esempio di variazione di lunghezza d’onda Lk con il numero d’onda k. u(x, t) con una serie di seni u(x, t) =

∞


Ak (t) sin(kx),

(10.3)

k=1

in cui la dinamica della soluzione `e tenuta in conto dai coefficienti Ak (t) mentre la base di seni soddisfa automaticamente le condizioni al contorno. A titolo di esempio vengono riportate in figura 10.5 le funzioni seno per k = 1, 3, 5 da cui si pu`o notare che la lunghezza della singola onda (detta appunto lunghezza d’onda) `e pari ad Lk = 2π/k e che il gradiente della curva diventa tanto pi` u ripido quanto pi` u aumenta k. Con questo semplice esempio abbiamo quindi imparato che l’indice k ci d`a l’informazione sulla dimensione della struttura e sui gradienti spaziali che, rispettivamente, diminuiscono ed aumentano al crescere di k. Avendo fatto questa precisazione, possiamo utilizzare la sommatoria (10.3) per esprimere i singoli termini della (10.2) ed ottenere ∞ ∂u
= A˙ k (t) sin(kx), ∂t k=1

(10.4)

∞ ∂u
Ak (t)k cos(kx), = ∂x k=1 ∞
∂2u Ak (t)k 2 sin(kx), = − ∂ 2x k=1

u

∞ ∞
∂u
Al (t)Am (t)m sin(lx) cos(mx) = = ∂x l=1 m=1

∞ ∞

Al (t)Am (t)m l=1 m=1

2

{sin[(l + m)x] + sin[(l − m)x]}.

Questi termini possono essere risostituiti nell’equazione (10.2) che diventa ∞
k=1

A˙ k (t) sin(kx)+

∞ ∞

Al (t)Am (t)m l=1 m=1

2

{sin[(l+m)x]+sin[(l−m)x]} = −ν

∞


Ak (t)k 2 sin(kx).

k=1

(10.5)

10.1. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA

177

Osservando ora la propriet`a di ortogonalit`a delle funzioni seno  2π 0

sin(px) sin(qx)dx = πδpq ,

abbiamo che moltiplicando l’equazione (10.5) per sin(kx) ed integrando tra 0 e 2π si ottiene A˙ k (t)π +

∞ ∞

πAl (t)Am (t)m l=1 m=1

2

= −πνk 2 Ak (t),

k = 1, 2, ...., ∞,

essendo la doppia sommatoria ristretta ai soli m ed l tali che l + m = k ed l − m = k ossia A˙ k +

∞
m=1



m

Am Ak−m Am Ak+m + 2 2



= −νk 2 Ak ,

k = 1, 2, ...., ∞.

(10.6)

L’equazione appena trovata indica che le variazioni nel tempo della quantit`a di moto nel modo k–esimo (A˙ k ) hanno due cause, una lineare ed una non lineare. Per comprendere meglio l’effetto dei due termini sorgente immaginiamo per un istante di cancellare dall’equazione di partenza (10.2) i termini non lineari, ottenendo che la (10.6) diventa 2 A˙ k = −νk 2 Ak , =⇒ Ak (t) = Ak (0)e−νk t ,

k = 1, 2, ...., ∞,

(10.7)

da cui si nota che ogni componente Ak decresce inesorabilmente nel tempo tanto pi` u rapidamente quanto pi` u `e viscoso il fluido e quanto pi` u `e piccola la struttura (ossia quanto pi` u grande `e k). L’altro risultato notevole `e che in assenza di termini non lineari l’evoluzione di ogni modo Ak `e indipendente dagli altri; ci`o implica che una condizione iniziale che contenesse solamente un numero finito di Ak (0) (per esempio k = 1, 3, 8) evolverebbe unicamente con i modi 1, 3, 8 ognuno decrescendo nel tempo indipendentemente dagli altri secondo la soluzione appena ricavata. In figura 10.6 `e riportata la soluzione in termini di u(x, t) e di Ak (t) dell’equazione (10.7) in cui si vede che effettivamente solo i coefficienti Ak presenti nella condizione iniziale determinano la dinamica del fenomeno e che questi decrescono nel tempo tanto pi` u rapidamente quanto pi` u `e grande k. Al contrario, la presenza dei termini non lineari modifica completamente la dinamica del fenomeno, trasferendo quantit`a di moto dalla componente k alle componenti k − m e k + m. Per illustrare pi` u in dettaglio questo concetto, immaginiamo che il numero di termini della sommatoria (10.3) sia limitato a 3 invece che infinito. L’equazione (10.6) scritta per componenti risulterebbe allora: 1 2 3 A˙ 1 + (A1 A0 + A1 A2 ) + (A2 A−1 + A2 A3 ) + (A3 A−2 + A3 A4 ) = −νA1 , 2 2 2 1 2 3 A˙ 2 + (A1 A1 + A1 A3 ) + (A2 A0 + A2 A4 ) + (A3 A−1 + A3 A5 ) = −νA2 , 2 2 2 1 2 3 A˙ 3 + (A1 A2 + A1 A4 ) + (A2 A1 + A2 A5 ) + (A3 A0 + A3 A6 ) = −νA3 , 2 2 2

(10.8)

∗

CAPITOLO 10.

178 3

TURBOLENZA

1

2 0.75 1

u(x)0

Ak

0.5

-1 0.25 -2 -3

0 0

1.57

3.14

x

4.71

6.28

0

2

4

6

k

8

10

12

14

Figura 10.6: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers (senza i termini non lineari) ν = 10. A sinistra e’ riportata l’evoluzione temporale di u(x, t), rispettivamente per t = 0, t = 0.5 e t = 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi. e osservando che risulta Ap ≡ 0 per p ≤ 0 e p > 3 si riducono a A1 A2 A˙ 1 + + A2 A3 = −νA1 , 2

(10.9)

A1 A1 A1 A3 A˙ 2 + + , = −4νA2 2 2 3A1 A2 A˙ 3 + = −9νA3 . 2 Se ora consideriamo una condizione iniziale contenente solo A1 (per esempio un seno come il primo pannello di figura 10.7) si vede che a causa del termine A1 A1 /2 risulter`a nell’istante iniziale A˙ 2 = 0 indicando che parte della quantit`a di moto viene trasferita nella componente A2 . D’altra parte, quando risulta A2 = 0, anche il temine 3A1 A2 /2 verr`a attivato nell’equazione per A3 e quindi anche la terza struttura verr`a interessata dal moto del flusso. Se ricordiamo quindi che al crescere di k diminuisce la dimensione della struttura, abbiamo che i termini non lineari hanno come effetto quello di trasferire il ‘moto’ (e quindi l’energia) dalle strutture grandi a quelle pi` u piccole 3 con un meccanismo detto di ‘cascata’ dai moti a grande scala verso quelli pi` u piccoli e locali. In particolare se nell’esempio precedente invece di limitare a 3 il numero di termini ne avessimo infiniti, avremmo un trasferimento di energia verso strutture sempre pi` u piccole (k grandi) in un tempo tanto pi` u lungo quanto pi` u distante risulterebbe k dal modo k = 1 contenente energia nella condizione iniziale. Questa osservazione ci pone quindi un nuovo 3

Ci`o non `e vero nella turbolenza bidimensionale dove l’effetto combinato dei termini non lineari ed i termini viscosi crea un trasferimento in direzione opposta rispetto al caso monodimensionale e tridimensionale. Questo spiega la formazione di strutture di grande scala nell’atmosfera e negli oceani (grandi circolazioni e correnti).

10.1. FENOMENOLOGIA DELLA TURBOLENZA

179

interrogativo e cio`e se il trasferimento dell’energia procede indefinitamente fino a k = ∞ oppure se interviene qualche meccanismo in grado di bloccare questa cascata. La risposta `e fornita dalla soluzione analitica (10.7) da cui si vede come la viscosit`a diminuisca rapidamente il contenuto energetico del modo k–esimo all’aumentare di k. Se in particolare questa diminuzione `e sufficientemente rapida, si pu`o inibire il trasferimento di energia verso numeri d’onda k elevati semplicemente perch´e l’energia viene dissipata prima ancora che riesca ad essere trasferita. In pratica la viscosit`a opera un ‘taglio’ sulla dimensione minima della struttura che `e possibile generare (o sul k massimo) in un flusso e questo taglio dipende sia dal valore della viscosit`a ν sia da quanto velocemente l’energia viene trasferita da un modo all’altro; si potrebbe verificare, infatti, che il flusso di energia verso le piccole scale `e cos`ı rapido che la viscosit`a `e costretta a ‘spostare’ il k di taglio verso valori maggiori dove pu`o agire pi` u efficientemente. Le considerazioni appena fatte sono mostrate mediante due esempi in cui si riporta la soluzione dell’equazione di Burgers, entrambe con la medesima condizione iniziale, ma con due diversi valori di viscosit`a. Confrontando le figure 10.7 e 10.8 si nota come nel caso a viscosit`a minore la curva presenti un gradiente pi` u ripido in corrispondenza del punto x = π. Ragionando in termini di Ak abbiamo quindi che la soluzione con viscosit`a u elevati rispetto alla soluzione pi` u viscosa. Ci`o `e confermato piccola conterr`a Ak con k pi` dai pannelli di destra delle figure 10.7 e 10.8 che riportano l’evoluzione temporale della distribuzione degli Ak , consistentemente con gli argomenti precedentemente discussi. 1

1

0.5

0.75

u(x)

0

Ak 0.5

-0.5

0.25

-1

0 0

1.57

3.14

x

4.71

6.28

0

2

4

6

8

k

10

12

14

Figura 10.7: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers ν = 10−1 . A sinistra e’ t = 0, t = 0.5 e riportata l’evoluzione temporale di u(x, t), rispettivamente per t = 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi. Riconsiderando con quest’ottica l’esperimento di Reynolds per il flusso all’interno di tubi, si comprende che se il numero di Reynolds `e piccolo (Re < 2100) gli effetti viscosi prevalgono su quelli inerziali (non lineari) e, essendo inibito ogni trasferimento di energia, il moto medio a grande scala non degenera in strutture pi` u piccole. Al contrario, quando gli effetti inerziali prevalgono su quelli viscosi (Re > 4000) il trasferimento tra i modi sar`a attivato ed il moto inizialmente uniforme produrr`a strutture fluidodinamiche pi` u piccole.

CAPITOLO 10.

180 1

1

0.5

0.75

u(x)

0

Ak 0.5

-0.5

0.25

-1

∗

TURBOLENZA

0 0

1.57

3.14

x

4.71

6.28

0

2

4

6

k

8

10

12

14

Figura 10.8: Evoluzione temporale dell’equazione di Burgers ν = 10−3 . A sinistra e’ t = 0, t = 0.5 e riportata l’evoluzione temporale di u(x, t), rispettivamente per t = 1. A destra ci sono i coefficienti Ak per gli stessi tempi. Queste ultime osservazioni costituiscono la base di partenza della teoria della turbolenza tridimensionale che illustreremo brevemente in una sezione successiva.

10.2

equazioni di Reynolds

Nella sezione precedente abbiamo visto che in un flusso turbolento, anche con condizioni al contorno e forzanti stazionarie, il campo di velocit`a `e non stazionario con oscillazioni non deterministiche intorno ad un valore medio che eventualmente pu`o dipendere anch’esso dal tempo. ` utile chiarire immediatamente che questa dinamica cos`ı complessa `e interamente E contenuta nelle equazioni di Navier–Stokes che sono in grado di descrivere il moto e l’interazione di tutte le scale di moto, fino alle pi` u piccole e dissipative. Purtroppo dal punto di vista pratico, l’estremo dettaglio con cui queste equazioni descrivono il flusso costituisce al tempo stesso la debolezza del modello in quanto le risorse di calcolo necessarie per la risoluzione di queste equazioni crescono vertiginosamente con il numero di Reynolds (∼ Re3 ). Se si considera che nei problemi pratici si ha Re = 106 − 109 si capisce immediatamente che una soluzione del problema con un metodo ‘diretto’ `e tecnicamente impossibile. D’altra parte per alcune applicazioni pratiche la sola conoscenza delle grandezze medie pu`o essere sufficiente per la soluzione del problema, ci si chiede quindi se sia possibile, partendo dalle equazioni di Navier–Stokes, derivare delle equazioni pi` u semplici per le sole grandezze medie. A tal fine, iniziamo con l’osservare che dato un qualunque segnale dipendente dal tempo (nella fattispecie la velocit`a) `e possibile decomporlo in un valore medio ed una fluttuazione. Nel caso in cui il valore medio sia costante nel tempo allora si pu`o porre: u(x, t) = U(x) + u (x, t),

(10.10)

10.2. EQUAZIONI DI REYNOLDS

181

risultando 1T u(x, t)dt T−→∞ T 0

u (x, t) = u(x, t) − U(x), (10.11)

e

U(x) =< u(x, t) >= lim

in cui tutta la non stazionariet`a del segnale `e nella fluttuazione (figura 10.9). Dalle definizioni risulta identicamente < u (x, t) >≡ 0, propriet`a che torner`a utile nella decomposizione delle equazioni del moto.

u

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

=U

0.2

+ u’

0.2

0.2

0

0

0

-0.2

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4 0

5

10

t

15

20

-0.4 0

5

10

t

15

20

0

5

10

t

15

20

Figura 10.9: Decomposizione di un segnale statisticamente stazionario in parte media e parte fluttuante. Se la velocit`a media risulta invece anch’essa funzione del tempo allora l’operazione di media non va effettuata per un tempo infinito ma su un’intervallo finito che risulti molto grande rispetto alle scale temporali delle fluttuazioni ma abbastanza breve se confrontato con i tempi di variazione del campo medio 4 (figura 10.10).

u

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

=U

0.2

+ u’

0.2

0.2

0

0

0

-0.2

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4 0

5

10

t

15

20

-0.4 0

5

10

t

15

20

0

5

10

t

15

20

Figura 10.10: Decomposizione di un segnale statisticamente non stazionario in parte media e parte fluttuante. La decomposizione appena illustrata pu`o naturalmente essere effettuata per la pressione p e per tutte le altre variabili dipendenti delle equazioni di Navier–Stokes e di conservazione della massa. Per semplicit`a tratteremo solo il caso ρ = const. (flusso incomprimibile 4

Questa operazione `e ben definita quando esiste una netta separazione tra i periodi delle piccole fluttuazioni e quelli del campo medio. In turbolenza questa eventualit` a si verifica assai raramente (a meno che non ci siano forzanti periodiche imposte esternamente) e la decomposizione in parte media e parte fluttuante pu` o presentare delle ambiguit` a.

∗

TURBOLENZA

e ∇ · u = 0,

(10.12)

CAPITOLO 10.

182

omogeneo) per cui, l’equazione di continuit`a si pu`o decomporre in ∇ · u = ∇ · (U + u ) = 0,

=⇒

∇ · U = 0,

rispettivamente per la velocit`a media e quella fluttuante. La seconda delle (10.12) `e stata ottenuta dalla prima dopo aver affettuato un’operazione di media, aver notato che < u >≡ 0 e che l’operazione di media e di divergenza commutano (in quanto entrambi operatori lineari). La terza delle (10.12) `e infine ottenuta semplicemente per sottrazione della seconda dalla prima. Per decomporre in modo analogo le equazioni di Navier–Stokes 1 ∂u + ∇ · (uu) = − ∇p + ν∇2 u, ∂t ρ

(10.13)

osserviamo che per tutti i termini, tranne quello non lineare possiamo porre ∂u ∂U ∂u = + , ∂t ∂t ∂t

∇p = ∇P + ∇p ,

∇2 u = ∇2 U + ∇2 u .

(10.14)

Il termine non lineare si decompone invece secondo ∇ · (uu) = ∇ · [(U + u )(U + u ) = ∇ · (UU) + ∇ · (Uu ) + ∇ · (u U) + ∇ · (u u ). (10.15) Se ora sostituiamo i termini cos`ı decomposti nell’equazione (10.13) e ne facciamo la media, osservando che risulta < Uu >=< u U >≡ 0 mentre < u u > = 0 si ottiene 1 ∂U + ∇ · (UU) + ∇ · (< u u >) = − ∇P + ν∇2 U, ∂t ρ

(10.16)

e sottraendo questa equazione dalla (10.13) si ricava l’equazione per le fluttuazioni ∂u 1 + ∇ · (u u ) + ∇ · (Uu ) + ∇ · (u U) − ∇ · (< u u >) = − ∇p . + ν∇2 u , (10.17) ∂t ρ L’equazione (10.16) e la seconda delle (10.12) costituiscono le equazioni della dinamica del campo medio e se non fosse per il termine ∇·(< u u >) queste sarebbero identiche alla (10.13) e la prima delle (10.12) che sono le equazioni di partenza. La differenza potrebbe sembrare marginale ma mentre il sistema originale di equazioni `e chiuso (4 equazioni nelle 4 incognite u e p) le equazioni del campo medio rimangono 4 a fronte di un numero di incognite che sale a 13, u , p ed il tensore 5 del secondo ordine < u u >. Questo problema `e noto come ‘chiusura’ della turbolenza e si presenta sempre con un numero di incognite superiore al numero delle equazioni ogni volta che si tenta di derivare un’equazione per la turbolenza. Una conferma di questa affermazione si pu`o ottenere ricavando l’equazione per < u u > dalla (10.17) dopo averla moltiplicata per u ed averne effettuato la media. 5

Notando evidenti propriet` a di simmetria del tensore < u
u
> il numero delle incognite si riduce a 10, non risolvendo comunque il problema della chiusura.

10.2. EQUAZIONI DI REYNOLDS

183

Infatti, poich´e l’equazione (10.16) introduce un’incognita aggiuntiva, potremmo essere tentati di ricavarne un’equazione per chiudere il problema. Purtroppo se effettivamente derivassimo questa nuova equazione noteremmo che l’evoluzione di < u u > introduce la nuova incognita < u u u > e la procedura potrebbe essere ripetuta all’infinito senza mai riuscire a bilanciare il numero di incognite con le equazioni. Si otterrebbe cio`e una gerarchia di equazioni in cui le incognite sono sempre superiori ripetto alle relazioni disponibili rendendo impossibile la soluzione esatta del problema. La via comunemente utilizzata `e quindi quella di troncare il numero di equazioni ad un certo ordine e modellare le incognite di ordine superiore con delle relazioni approssimate. Chiaramente maggiore `e l’ordine a cui si tronca la gerarchia, maggiore sar`a il numero delle incognite da modellare e conseguentemente la complessit`a del modello utilizzato. Lasceremo ai testi specialistici del settore la disamina dei numerosi modelli ed equazioni di ordine elevato mentre in queste note ci limiteremo al semplice caso in cui i termini < u u > vengono modellati con una semplice ipotesi di ‘gradiente diffusivo’. Per comprendere il significato fisico di tale approssimazione, riconsideriamo l’equazione (10.16) e riscriviamola nella forma ∂U 1 + ∇ · (UU) = − ∇P + ∇ · (2νE− < u u >), ∂t ρ

con E =

1 (∇U + ∇UT ) (10.18) 2

da cui si osserva che i termini < u u > possono essere considerati come degli sforzi aggiuntivi (detti sforzi di Reynolds) che sottraggono energia al campo medio per trasferirla alle fluttuazioni. Identificando queste fluttuazioni come la componente turbolenta del moto, detta K l’energia cinetica turbolenta (per unit`a di massa) definita come 1 1 K = (< ux ux > + < uy uy > + < uz uz >) = T r(< u u >), 2 2

(10.19)

si pu`o, analogamente al caso laminare, porre per la parte deviatorica degli sforzi di Reynolds, 2 (10.20) − < u u > + KI = 2νT E, 3 in cui νT `e la viscosit`a turbolenta ed `e la nuova incognita del problema. Con questa posizione l’equazione (10.16) assume la forma ∂U 1 + ∇ · (UU) = − ∇P∗ + ∇ · (2ν ∗ E), ∂t ρ

(10.21)

che `e identica all’equazione originale avendo usato la pressione modificata P ∗ = P + 2K/3 ed avendo definito una viscosit`a ‘totale’ ν ∗ = ν + νT . Sebbene le espressioni (10.20) e (10.21) possano sembrare particolarmente attraenti data la loro semplicit`a, `e bene sottolineare che nascondono diverse insidie, sia matematiche che fluidodinamiche. Infatti, mentre ν `e una propriet`a molecolare del fluido e nelle ipotesi ρ = const. `e costante in tutto il campo, νT `e una propriet`a del flusso il cui valore cambia in ogni punto del campo e nel

184

CAPITOLO 10.

∗

TURBOLENZA

tempo (νT = νT (x, t)) ed il suo comportamento varia da problema a problema. Inoltre, anche se a prima vista la relazione (10.20) sembra solo aver spostato l’incognita < u u > nell’incognita νT , dobbiamo osservare che la prima `e un tensore del secondo ordine mentre la seconda `e uno scalare. L’equazione (10.20) implica quindi che il primo e secondo membro abbiano le stesse direzioni principali ossia che gli autovettori dei due tensori siano paralleli. Questa propriet`a non `e giustificabile teoricamente ed infatti una verifica diretta della (10.20) attraverso simulazioni numeriche ed esperimenti di laboratorio ha mostrato che ci`o non `e verificato per la maggior parte dei flussi; questo ‘disallineamento’ porta in qualche caso a piccole differenze tra le soluzioni calcolate e quelle misurate, mentre altre volte induce errori grossolani. Ricordiamo infine che, anche accettando in modo acritico l’equazione (10.20), il problema non risulta ancora chiuso in quanto le equazioni sono sempre 4 mentre le incognite sono ancora 5 (U, p e ν ∗ oppure νT ). A questo proposito abbiamo detto che νT dipende dal flusso, ossia a seconda che si stia studiando un flusso a valle di un’ostacolo, uno strato limite o un getto turbolento, esistono leggi empirico–euristiche (spesso con correzioni sperimentali o ad hoc) che permettono di calcolare la νT dalla geometria del problema o dalle caratteristiche del flusso medio e quindi di chiudere il sistema di equazioni. Anche in questo caso, la descrizione di tutti i modelli per la νT viene lasciata ai testi di modellistica della turbolenza mentre in queste note ci limiteremo a commentare un particolare modello algebrico basato sul concetto di lunghezza di mescolamento. Ricordiamo tuttavia che alcuni modelli possono essere u tanto complicati da richiedere per il calcolo della νT un set di equazioni differenziali pi` complesse di quello per il calcolo del campo medio.

10.3

viscosit` a turbolenta e lunghezza di mescolamento

Uno dei primi tentativi effettuati per la determinazione della viscosit`a turbolenta `e stato fatto costruendo un’analogia tra la turbolenza e la diffusione a livello molecolare della quantit`a di moto. Ricordiamo infatti brevemente che la diffusione molecolare avviene a causa degli urti casuali tra molecole dovuti al moto di agitazione termica. Dalla teoria cinetica dei gas ne consegue che, detta V la met`a della velocit`a media delle molecole e λ il libero cammino medio si ottiene ν ≈ Vλ. Se allora si identificano i vortici pi` u piccoli del flusso come le ‘molecole’ della turbolenza si pu`o immaginare che questi, dopo aver percorso una distanza ad una velocit`a V , interagiscano mescolandosi tra loro e quindi diffondendo la quantit`a di moto. Il problema della determinazione di νT si tradurr`a quindi nella valutazione di (detta appunto lunghezza di mescolamento) e di V . In figura 10.11 `e riportato uno schema di flusso (tipo strato limite) sul quale si possono effettuare semplici ragionamenti intuitivi per determinare l’andamento di e V . Per questo flusso, infatti, la velocit`a media U sar`a prevalentemente orizzontale ed il suo profilo dipender`a dalla coordinata normale alla parete y. Immaginiamo quindi di posizionarci alla distanza y ∗ dalla parete ed osservare in quel punto sia fluttuazioni di velocit`a verso

` TURBOLENTA E LUNGHEZZA DI MESCOLAMENTO 10.3. VISCOSITA

185

y

v

y*

l

u*

u

l x

Figura 10.11: Schema di flusso per la definizione di lunghezza di mescolamento e viscosit`a turbolenta. il basso che verso l’alto. Nel primo caso, una particella inizialmente nella posizione y ∗ + l verr`a trasportata in y ∗ generando una fluttuazione di velocit`a orizzontale u+ ≈ ∆U+ = U (y ∗ + l) − U (y ∗ )  l

dU , dy

avendo troncato lo sviluppo in serie di Taylor per la velocit`a al primo ordine. Analogamente, le fluttuazioni verso l’alto porteranno una particella fluida inizialmente nella posizione y ∗ − l in y ∗ inducendo una fluttuazione di velocit`a u− ≈ ∆U− = U (y ∗ ) − U (y ∗ − l)  −l

dU . dy

Statisticamente avremo quindi che le fluttuazioni di velocit`a orizzontale in y ∗ avranno un modulo pari a    dU  1      u = (|u+ | + |u− |) = l   . 2 dy Osserviamo ora che per la conservazione della massa, una variazione positiva di u (particella che si muove da y ∗ + l ad y ∗ ) induce una fluttuazione negativa di v mentre l’opposto accade per una particella che si muove da y ∗ − l ad y ∗ . Ci`o implica che si pu`o porre v  ≈ −c1 u con c1 costante di ordine uno e che il prodotto u v  deve essere sicuramente negativo. Con queste ipotesi si pu`o scrivere    2  dU 2     2  dU  < u v >= −c2 |u ||v | = −c1 c2 l   = −    dy   dy   





2

(10.22)

CAPITOLO 10.

186

∗

TURBOLENZA

in cui c2 `e ancora una costante di ordine uno, `e la lunghezza di mescolamento e

|dU/dy| = V `e la velocit`a cercata. Ci`o si evince facilmente confrontando la relazione appena trovata con la (10.20) ed osservando che per questo semplice flusso risulta 2E12 = dU/dy da cui si ricava νT = V = 2 |dU/dy|. L’ultimo punto che rimane da chiarire `e come determinare in funzione della geometria del flusso. Prandtl nel 1925 osserv`o che risultando alla parete (y = 0) u ≡ 0 anche gli sforzi turbolenti dovranno essere nulli in quel punto; con questo vincolo l’assunzione pi` u semplice per la `e

= Ay. (10.23) Prandtl suppose anche che, tranne che per gli strati di fluido immediatamente adiacenti alla parete, gli sforzi turbolenti fossero molto pi` u grandi degli sforzi puramente viscosi, che quindi erano trascurabili, e che i primi si mantenessero di intensit`a costante. Indicando con τT /ρ = − < u v  > gli sforzi turbolenti l’assunzione (10.23) implica quindi 

2

 dU  τT = 2   , =⇒  dy  ρ



dU τT = Ay =⇒ U ρ dy



ρ 1 = ln y + C, τT A

(10.24)

che fornisce l’andamento della velocit`a media U in funzione della distanza dalla parete. D’altra parte, queste ipotesi non possono essere applicate alla parete dove, a causa della condizione di aderenza, il flusso deve essere laminare. In quella regione infatti si deve assumere che gli sforzi turbolenti siano trascurabili, mentre quelli viscosi sono i pi` u rilevanti e sono approssimativamente costanti (che `e equivalente ad ammettere che il profilo di velocit`a alla parete sia linearizzabile). Indicando quindi lo sforzo viscoso di parete come  dU  τw  , (10.25) =ν ρ dy y=0 

`e possibile definire delle scale di velocit`a e lunghezza uτ = τw /ρ e δτ = ν/uτ dette, rispettivamente velocit`a e lunghezza d’attrito, con le quali `e possibile adimensionalizzare le quantit`a della turbolenza di parete. In particolare, la relazione (10.25) con τw costante pu`o essere facilmente integrata 

ρ U= τw



τw y + c =⇒ U + = y + , ρ ν

(10.26)

dovendo risultare c = 0 per le condizioni alla parete ed avendo indicato U =U U = uτ +



ρ τw

e

y y y = = δτ ν +



ρ τw

(10.27)

dette quantit`a di parete. Allo stesso modo, uτ e δτ possono essere utilizzate per rendere adimensionale la (10.24) che assume la forma 1 (10.28) U + = ln y + + β α

10.4. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA

187

in cui α = 0.4 e β = 5.5 sono delle costanti in cui sono compresi tutti i fattori di normalizzazione e risultano universali per tutti i flussi turbolenti di parete che ricadono nella tipologia della figura 10.11. 25 20 15

+ U

10 5 0 0.1

1

10

y+

100

1000

Figura 10.12: Andamento della velocit`a media in funzione della distanza dalla coordinata y (quantit`a di parete). Le linee indicano gli andamenti teorici, mentre i simboli sono valori misurati. Un andamento tipico della velocit`a normalizzata U + in funzione delle coordinate di parete y + `e riportato in figura 10.12 da cui si nota che il flusso ha due comportamenti distinti. Il primo per y + ≤ 5 in cui la U + segue la legge (10.26); questa regione `e detta sottostrato laminare ed `e caratterizzata da sforzi puramente viscosi di intensit`a circa costante. La seconda regione per y + ≥ 30 segue la legge riportata in (10.28) ed `e dovuta a sforzi turbolenti di intensit`a costante. La regione intermedia (5 ≤ y + ≤ 30) `e una regione di sovrapposizione dei due regimi in cui sia sforzi viscosi che turbolenti hanno rilevanza sul fenomeno. Il profilo di velocit`a di figura 10.12 mostra chiaramente che l’assunzione (10.23) per la lunghezza di mescolamento descrive in modo adeguato la dinamica della turbolenza di parete. Questo risultato, tuttavia, non deve trarre in inganno in quanto una tale semplificazione funziona solo nel caso in cui nel flusso non ci sono separazioni, in assenza di gradienti di pressione esterni e per geometrie piane. Nelle applicazioni pratiche la geometria del flusso `e solitamente pi` u complicata e devono essere utilizzati modelli pi` u complessi e con fisica meno intuitiva.

10.4

turbolenza omogenea ed isotropa

L’esempio della soluzione di Burgers ha mostrato come nelle equazioni di evoluzione di un fluido ci sono i termini viscosi e quelli non lineari che hanno meccanismi di azione

188

CAPITOLO 10.

∗

TURBOLENZA

completamente diversi ed in competizione tra loro. I primi, infatti, sono dissipativi ed hanno un’azione locale, interessano cio`e singolarmente i vari modi senza implicare alcuna interazione. L’efficacia con cui viene dissipata l’energia cresce con il quadrato del numero d’onda k e quindi con l’inverso del quadrato della dimensione della struttura. I secondi, al contrario, data la loro natura non lineare sono responsabili del trasferimento di energia tra i vari modi senza alterarne il valore globale. Sebbene le equazioni di Navier–Stokes abbiano una struttura pi` u complessa dell’equazione di Burgers, l’azione dei temini non lineari e di quelli viscosi `e analoga a quella appena descritta e questa dinamica ha dato spunto a molti scienziati del ventesimo secolo per ipotizzare lo scenario evolutivo della turbolenza. In particlare Richardson nel 1922 immagin`o che l’energia entri nel flusso alle scale pi` u grandi e, attraverso meccanismi di instabilit`a, vengano prodotti vortici pi` u piccoli che a loro volta generano vortici ancora pi` u piccoli e cos`ı via fino a quando le dimensioni non sono talmente piccole che la viscosit`a dissipa le strutture impedendo ogni ulteriore trasferimento 6 . Questa descrizione implica un trasferimento a cascata (essenzialmente non viscosa) dell’energia dalle scale pi` u grandi del moto verso quelle sempre pi` u piccole fino alle scale dissipative dove la viscosit`a trasforma tutta l’energia in calore. Lo scenario appena presentato descrive in modo abbastanza fedele ci`o che accade in un flusso turbolento anche se, senza ulteriori ipotesi, non `e possibile quantificare il fenomeno descritto; per esempio, quanto piccole sono le dimensioni a cui prevalgono gli effetti viscosi, e cosa succede tra le scale in cui l’energia viene immessa nel flusso e quelle a cui viene dissipata? Questi quesiti hanno trovato una risposta solo recentemente quando Kolmogorov nel 1941 ha pubblicato i risultati di una sua teoria applicabile alla turbolenza omogenea ed isotropa 7 . ` bene precisare subito che la turbolenza omogenea ed isotropa `e un’astrazione conE cettuale e che non `e mai riprodotta in modo esatto da alcun sistema fisico reale. Tuttavia la sua utilit`a per lo studio della turbolenza `e duplice in quanto da un lato semplifica enormemente la trattazione teorica e permette quindi una migliore comprensione della fisica, dall’altro si osserva che tutti i sistemi reali soddisfano ‘localmente’ le condizioni di omogeneit`a ed isotropia. Quest’ultima asserzione costituisce la prima ipotesi fondamentale di Kolmogorov e cio`e “per numeri di Reynolds sufficientemente elevati le strutture fluidodinamiche piccole in un flusso turbolento sono statisticamente isotrope”. In questa affermazione ‘strutture fluidodinamiche piccole’ `e inteso rispetto alle scale di moto in cui l’energia turbolenta 6

L’asserzione di Richardson era:“Big whorls have little whorls, which feed on their velocity and little whorls have lesser whorls and so on to viscosity”. 7 La turbolenza si definisce omogenea ed isotropa, rispettivamente, quando le sue caratteristiche statistiche non dipendono dalla posizione nello spazio e sono uguali in tutte le direzioni. Tecnicamente la definizione rigorosa richiede l’introduzione di variabili random; detta infatti u(x) una variabile random funzione della posizione x (per esempio la velocit`a) questa `e definibile mediante tutti i suoi momenti  a di statistici (media, deviazione standard, etc.) < um >= f (x)um du dove f (x) `e la funzione densit` probabilit` a. Un fenomeno si definisce omogeneo se la funzione f (x) `e indipendente dalla posizione x. La definizione di isotropia richiede invece che f (x) sia invariante sotto ogni rotazione e riflessione degli assi in x.

10.4. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA

189

viene immessa nel flusso e questa osservazione chiarisce anche perch´e vengano richiesti ‘numeri di Reynolds sufficientemente elevati’. Ci`o infatti implica che gli effetti inerziali siano di gran lunga pi` u importanti di quelli viscosi rendendo possibile un lungo processo di cascata dell’energia dalle strutture pi` u grandi alle pi` u piccole. Se si ipotizza che ad ogni passo della cascata le strutture perdano sempre pi` u memoria delle caratteristiche dei vortici che hanno innescato la cascata, si conclude facilmente che le strutture pi` u fini di qualunque flusso turbolento hanno tutte le stesse caratteristiche. Si avr`a quindi che le piccole scale generate dietro un cilindro o a valle di un getto hanno la stessa statistica nonostante le scale pi` u grandi abbiano una dinamica completamente differente. La seconda ipotesi di Kolmogorov trae spunto dall’osservazione che la dinamica della turbolenza dipende da quanto rapidamente l’energia viene trasferita dalle grandi alle piccole scale e dal valore della viscosit`a che fissa il numero d’onda k a cui viene operato il taglio nel trasferimento di energia. Se il fenomeno fluidodinamico `e statisticamente stazionario, essendo la cascata dall’energia non viscosa, si deduce che, detta l’energia cinetica turbolenta (per unit`a di massa) prodotta nell’unit`a di tempo, questa sar`a anche l’energia dissipata nell’unit`a di tempo 8 . Con questa osservazione si pu`o comprendere la seconda ipotesi di Kolmogorov che dice:“per numeri di Reynolds sufficientemente elevati, le caratteristiche delle piccole scale di tutti i flussi turbolenti sono universali e sono determinate dalla viscosit`a ν e dalla potenza dissipata .” Questa osservazione potrebbe apparire di scarsa utilit`a per stime quantitative, tuttavia considerazioni di tipo dimensionle ci portano a concludere che con e ν c’`e un solo modo per costruire delle scale di lunghezza, velocit`a e tempo. In particolare, osservando che `e un’energia per unit`a di tempo e unit`a di massa si ottiene

η=

ν3

1/4

,

uη = (ν )

1/4

,

tη =

 1/2 ν

,

(10.29)

rispettivamente per la lunghezza, velocit`a e tempo delle scale dissipative (le pi` u piccole). Ricordiamo ora, che per un processo stazionario coincide con la potenza immessa nel flusso dalle scale di moto pi` u grandi; dette quindi U ed L, rispettivamente, la velocit`a e la lunghezza caratteristiche di queste scale, si ottiene da considerazioni dimensionali ` utile osservare che in questa stima dimensionale non `e stata considerata

= U 3 /L. E la viscosit`a in quanto per le strutture pi` u grandi gli effetti viscosi sono trascurbili e le questioni energetiche devono coinvolgere fattori puramente inerziali. Dalla stima per e dalle relazioni (10.29), ricordando la definizione del numero di Reynolds Re = U L/ν, si ottiene: L = Re3/4 , η

U = Re1/4 , uη

T = Re1/2 , tη

(10.30)

dove T = L/U `e la scala dei tempi dei moti a grande scala. 8

Infatti, se cos`ı non fosse, l’energia si dovrebbe accumulare alle scale intermedie che, avendo un contenuto di energia variabile nel tempo, non potrebbero essere statisticamente stazionarie.

CAPITOLO 10.

190

∗

TURBOLENZA

Queste relazioni permettono di stimare i rapporti tra le caratteristiche delle scale pi` u grandi e quelle pi` u piccole in un flusso turbolento in funzione del solo numero di Reynolds ed hanno ripercussioni di straordinaria importanza pratica per le misure sperimentali, per le simulazioni numeriche e per la possibilit`a di predizione di un flusso turbolento. Dopo aver messo in relazione le strutture pi` u piccole con le pi` u grandi, rimane da analizzare la dinamica delle strutture intermedie con dimensione r tale che L r η. In base a quanto visto finora, `e facile convincersi che la viscosit`a avr`a un’influenza trascurabile in quanto agisce solo alle scale pi` u piccole. D’altra parte l’energia viene immessa nel flusso dalle scale pi` u grandi da cui ne consegue che le scale intermedie vedranno solo un flusso di energia in transito, proveniente dai grandi vortici e trasferito verso i vortici dissipativi. In base a quanto detto, la terza ipotesi di Kolmogorov afferma che per numeri di Reynolds sufficientemente elevati le caratteristiche (la statistica) delle strutture di dimensione r (con L r η) sono universali e dipendono unicamente da (e quindi sono indipendenti da ν). Ci`o comporta che se ur `e la velocit`a delle scale di dimensione r si ottiene u3r U U3 = = , =⇒ ur = 1/3 r1/3 , r L L

e tr =

r L1/3 2/3 = r . ur U

(10.31)

Queste stime indicano che le strutture con scale r intermedie tra L ed η hanno una velocit`a caratteristica che cresce solo come r1/3 mentre i tempi caratteristici crescono come r2/3 . La conseguenza di ci`o `e che i vortici pi` u grandi hanno le velocit`a pi` u intense ed una dinamica pi` u lenta mentre per i gradienti di velocit`a ∇u ∼ ur /r ≈ r−2/3 si ha che quelli pi` u intensi sono alle scale pi` u piccole 9 . Notiamo a margine che dall’ultima ipotesi si deriva la famosa legge di potenza (k−5/3 ) per lo spettro di energia. Se infatti si definisce lo spettro come E(k) tale che K=

 ∞ 0

E(k)dk,

(10.32)

con K energia cinetica per unit`a di massa del flusso, dalla terza ipotesi di kolmogorov e da argomenti dimensionali si ottiene E(k) = C 2/3 k −5/3 , in cui C `e una costante universale 10 .

9

Da questa stima sembrerebbe che i gradienti diventino infiniti per r −→ 0, mentre in realt` a bisogna ricordare che le formule (10.31) valgono solo per L r η. Viceversa quando r −→ 0 risulta r dello stesso ordine di η ed il campo di velocit` a si ‘regolarizza’ essendo ur ∼ r con dei gradienti finiti. 10 A questo risultato si giunge facilmente ricordando che dimensionalmente k `e l’inverso di una lunghezza da cui ne consegue che le dimensioni di E(k) sono una velocit` a al quadrato per una lunghezza (ossia quelle di un’energia cinetica per unit` a di massa moltiplicata per una lunghezza). D’altra parte nel range inerziale si dispone solo di
per poter soddisfare requisiti dimensionali per cui ponendo [E(k)] = C[
α k β ] = [U 2 L] si ricava α = 2/3 e β = −5/3.

10.4. TURBOLENZA OMOGENEA ED ISOTROPA

0.1 0.01 0.001 1e-04 1e-05 E(k) 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 0.01

191

−5/3

range inerziale 0.1

1

k

10

100

Figura 10.13: Spettro della turbolenza omogenea ed isotropa. La linea `e la legge di potenza k −5/3 riportata per confronto.

192

CAPITOLO 10.

∗

TURBOLENZA

Capitolo 11 Forze fluidodinamiche e similitudini Da un punto di vista ingegneristico, le grandezze di maggior interesse in uno studio fluidodinamico sono le forze che il fluido esercita sul corpo, sia localmente che integrate su tutta la struttura. Per esempio un aereo in volo si sostiene grazie alle forze di pressione che il fluido esercita sui pannelli di rivestimento dell’ala; la determinazione delle forze locali sar`a importante per dimensionare lo spessore dei pannelli di rivestimento ed il tipo di rivettatura mentre l’entit`a della forza integrata sezione per sezione servir`a per il dimensionamento della trave alare (longherone) (figura 11.1).

forze sulla trave alare

forze di pressione locali Figura 11.1: Schema di forze locali ed integrate su un’ala tridimensionale. Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, la soluzione per via analitica di problemi fluidodinamici `e relegata a casi estremamente semplici e di scarsissima applicabilit`a pratica per cui di regola si ricorre all’analisi sperimentale. In questo caso, tuttavia, ci si scontra immediatamente con problemi pratici che risulteranno immediatamente evidenti con un esempio pratico. Immaginiamo di voler determinare la forza di resistenza R alla quale `e sottoposto un cilindro infinitamente lungo investito da un flusso ortogonale all’asse. Identifichiamo le grandezze significative per studiare il problema in: 193

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

194

U, D, a, ρ, µ con U velocit`a del flusso indisturbato, D diametro del cilindro, ρ densit`a del fluido, µ viscosit`a dinamica del fluido ed a velocit`a del suono. Individuate le grandezze che influiscono sulla resistenza R si tratta quindi di determinare una funzione f tale che R = f (U, D, a, ρ, µ), (11.1) funzione che non possiamo definire teoricamente, ma solo tramite una prova sperimentale. Volendo procedere in modo sistematico, per valutare l’influenza di ogni parametro sulla resistenza R, bisogna fissarne quattro e variare il rimanente per un numero discreto di valori; per esempio, fissati D, a, ρ e µ, eseguiamo le prove facendo variare la velocit`a U . I dati che si ottengono formeranno una curva che sar`a tanto pi` u continua quanto pi` u i valori di velocit`a per cui si sono effettuate le prove sono numerosi (figura 11.2).

R

a,D,µ,ρ

R

U

a,U,µ,ρ

D

Figura 11.2: Variazione della resistenza con la velocit`a ed il diametro lasciando invariati gli altri parametri. Per ogni serie di prove si otterrebbero quindi dei grafici come quelli di figura 11.2 applicabili sono per il set di valori fissati. Appare allora chiaro che se volessimo esplorare la dipendenza di R da U in modo completo dovremmo ripetere delle prove come quelle riportate in figura 11.2 per tutti i possibili valori dei parametri. Si arriva quindi facilmente alla conclusione che in un problema cos`ı semplice, accontentandoci di avere ogni curva interpolata su dieci punti, bisogna effettuare 105 prove sperimentali per conoscere la dipendenza di R dai parametri selezionati 1 . A parte l’impossibilit`a pratica di effettuare un cos`ı elevato numero di prove, sorge immediatamente il problema della fruibilit`a dei dati ottenuti: se immaginiamo infatti di organizzare i risultati come in figura 11.2 otterremmo 104 grafici la cui consultabilit`a sarebbe sicuramente problematica. C’`e inoltre il problema dei costi del modello in quanto 1

In realt` a le prove sono molte di pi` u in quanto oogni caso andrebbe ripetuto pi` u volte per poter calcolare un valore medio della resistenza e poter stimare l’errore di misura. Lasceremo comunque queste considerazioni al di fuori della presente trattazione.

11.1. TEOREMA DI BUCKINGHAM ED ANALISI DIMENSIONALE

195

far variare D implica effettuare prove con cilindri di dimensioni diverse. Se invece del cilindro si immagina di dover fare delle prove su un modello in scala di un aereo, di un’automobile o di una nave (i cui modelli possono costare alcune decine di milioni) si capisce immediatamente che c’`e un solo modello a disposizione e da quello bisogna estrarre tutta l’informazione necessaria. Evidentemente c’`e un metodo sperimentale pi` u semplice che permette effettuare un ridotto numero di prove ed organizzare l’informazione in modo razionale; questo metodo si basa sulla teoria della similitudine dinamica che poggia le sue fondamenta sul teorema di Buckingham. La similitudine dinamica permette anche di rispondere ad un’altra domanda che ci si deve porre quando si effettua un esperimento: se si effettuano le prove sperimentali su un modello in scala, come si utilizzano le informazioni ottenute sul fenomeno di dimensioni reali? Sebbene il quesito potrebbe sembrare banale, la risposta `e stata trovata solo nel secolo scorso attraverso innumerevoli tentativi in diverse direzioni.

11.1

teorema di Buckingham ed analisi dimensionale

Il teorema di Buckingham si basa sull’assunzione che le relazioni utilizzate siano dimensionalmente omogenee, ossia che tutti i termini di un’equazione abbiano le stesse dimensioni. Se questa ipotesi `e verificata si pu`o affermare che se un fenomeno `e governato da N parametri attraverso una relazione del tipo f (P1 , P2 , ..., PN ) = 0, , e questi N parametri possono essere descritti da K dimensioni fondamentali (K numero minimo), `e allora possibile studiare il fenomeno tramite N − K gruppi adimensionali Πj con una relazione del tipo g(Π1 , Π2 , ..., ΠN −K ) = 0. Per passare dalla funzione f alla funzione g si deve individuare una base di K variabili Pi che vengono utilizzate per adimensionalizzare le rimanenti e le K variabili devono avere le seguenti caratteristiche: 1. contengano tutte le K dimensioni fondamentali; 2. siano tra loro indipendenti, cio`e non devono da sole costituire un gruppo adimensionale. Riconsideriamo ora il precedente esempio del cilindro e vediamo come procedere praticamente: Per prima cosa scriviamo le dimensioni relative alle grandezze che descrivono il fenomeno, indicando con L la lunghezza, M la massa e T il tempo [R] = [M LT 2 ] [U ] = [LT −1 ] [ρ] = [M L−3 ]

196

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

[µ] = [M L−1 T −1 ] [D] = [L] [a] = [LT −1 ] da cui osserviamo che risulta K = 3 ( M , L, T ) e N = 6 ( R,U , a, ρ, µ ) con N − K = 3 si ha pertanto: R = f (U, D, a, ρ, µ) ⇐⇒ Π1 = g(Π2 , Π3 ). Per trovare i gruppi adimensionali Π1 , Π2 , Π3 , utilizziamo il metodo delle variabili ripetute che consiste nell’isolare i K parametri in modo da far comparire tutte le dimensioni fondamentali. Per esempio la terna ( U , D, a ) non `e accettabile poich´e in queste variabili manca la dimensione M , mentre la terna ( U , D, ρ) va bene perch´e contiene tutte le dimensioni fondamentali M , L, T . Consideriamo come K variabili D, U , ρ, assicurandoci che i parametri scelti siano tra loro indipendenti, cio`e la seguente equazione deve ammettere come unica soluzione quella banale, [D]α [U ]β [ρ]γ = M 0 L0 T 0 , che equivalentemente si pu`o scrivere: Lα Lβ T −β M γ L−3γ = M 0 L0 T 0 , ed esplicitando i termini si ha:    α + β − 3γ = 0  

−β = 0 γ = 0.

Il sistema, avendo determinante non nullo, ha come unica soluzione α = β = γ = 0 e quindi la base `e indipendente; inoltre se la base non sodisfacesse la condizione 1, la matrice del sistema conterrebbe una colonna nulla e quindi non avrebbe rango massimo; di conseguenza la condizione 1 `e condizione necessaria per soddisfare la condizione 2. Determiniamo i parametri adimensionali imponendo le seguenti condizioni: Π1 = U α Dβ ργ µ,

Π2 = U α Dβ ργ a,

Π3 = U α Dβ ργ R

(11.2)

con α, β, γ costanti incognite, tali da rendere adimensionali i gruppi Πj , con j=1, 2, 3, costruiti affiancando al gruppo U α Dβ ργ le variabili che non formano la base prese una alla volta. Imponendo l’adimensionalit`a dei gruppi formati si ottiene:

11.1. TEOREMA DI BUCKINGHAM ED ANALISI DIMENSIONALE



















197



M 0 L0 T 0 = M L−1 T −1 Lα T −α Lβ M γ L−3γ = M (1+γ) L(−1+α+β−3γ) T (−1−α) ,  







M 0 L0 T 0 = LT −1 Lα T −α Lβ M γ L−3γ = M γ L(1+α+β−3γ) T (−1−α) , 





M 0 L0 T 0 = M LT −2 Lα T −α Lβ M γ L−3γ = M (γ−1) L(1+α+β−3γ) T (−2−α) ,

da cui, ponendo l’uguaglianza fra gli esponenti dei termini omologhi si ottengono i seguenti gruppi adimensionali: Π1 =

µ , U Dρ

Π2 =

a , U

Π3 =

R . ρU 2 D2

(11.3)

Con questi gruppi adimensionali si giunge quindi ad una relazione del tipo

R a µ =g , 2 2 ρU D U Dρ U



,

(11.4)

che `e il risultato del teorema di Buckingham. Bisogna notare che la determinazione della funzione g richiede ancora delle prove sperimentali ma con evidente vantaggio rispetto alla relazione originale (11.1). Imponendo infatti le stesse richieste sulla sperimentazione, cio`e avere informazioni su curve ricavate interpolando dieci punti, occorrono 102 esperimenti usando la funzione “g” contro i 105 necessari per determinare la funzione “f”. Analizzando l’espressione (11.4) scopriamo che la forza del teorema di Buckingham consiste nel riunire le variabili in gruppi adimensionali ed escludere tutte quelle prove che danno lo stesso numero adimensionale. Per esempio nella relazione (11.1) avremmo variato separatamente µ, U D e ρ ognuno indipendentemente dall’altro mentre al contrario l’espressione (11.4) ci dice che questi parametri agiscono in modo combinato quindi qualunque set di valori di µ, U D e ρ che fornisca lo stesso valore per il gruppo µ/(U Dρ) dar`a lo stesso risultato in g. A patto di soddisfare le ipotesi di completezza dimensionale ed indipendenza, qualunque set di K variabili `e corretto per la determinazione dei gruppi adimensionali. Nel caso precedente, ad esempio, le terne (a, D, ρ) o (µ, ρ, U ) potevano essere ugualmente utilizzate giungendo chiaramente ad una relazione finale diversa dalla (11.4) e contenente differenti gruppi adimensionali. Sebbene in linea di principio non ci sia una funzione g migliore delle altre, praticamente `e invalso l’uso di alcuni gruppi adimensionali per i quali `e disponibile una maggiore esperienza sperimentale ed una letteratura pi` u vasta. L’operazione precedente alla determinazione della funzione g, quindi, `e quella di rendere pi` u ‘comoda’ la sua espressione, per cui solitamente si cerca di ottenere gruppi adimensionali noti. Notiamo a tal fine che da un punto di vista dimensionale un parametro si pu`o moltiplicare per un fattore numerico, oppure usarne l’inverso o sostituire un suo termine con uno dimensionalmente equivalente senza alterarne il significato. Chiaramente la funzione g assumer`a una forma completamente differente ma ci`o non costituisce un problema visto che `e ancora da determinare sperimentalmente. Riferendoci sempre

198

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

all’esempio considerato osserviamo che i seguenti gruppi adimensionali sono largamente usati in fluidodinamica Re =

U Dρ , µ

M=

U , a

cD =

R

, 1 ρU 2 S 2

(11.5)

dove S `e la superficie frontale del cilindro esposta alla corrente fluida, Re `e il numero di Reynolds, M `e il numero di Mach e cD `e il coefficiente di resistenza. La relazione (11.4) `e qundi equivalente alla seguente cD = h(Re, M ),

(11.6)

per la quale sono disponibili molti risultati in letteratura. La trasformazione di parametri adimensionali in una forma nota nasconde talvolta delle insidie alle quali bisogna fare attenzione analizzando fisicamente le operazioni compiute. Per esempio la sostituzione del primo membro della (11.4) con il termine cD implica la moltiplicazione per un fattore 2 e la sostituzione di D2 con S. Se con S si intende la superficie frontale del cilindro per unit`a di lunghezza allora l’operazione `e lecita ma se, al contrario, S = Dl `e la superficie frontale allora si `e introdotto involontariamente un altro parametro che `e la lunghezza assiale del cilindro l e questo non `e ammesso a meno che non si introduca a secondo membro il nuovo gruppo adimensionale l/D. La sostituzione di S con Dl non `e ammessa in quanto nella (11.1) non era stata inizialmente contemplata la lunghezza del cilindro l tra le variabili del fenomeno. Questa osservazione pone in risalto il fatto che la selezione iniziale delle variabili `e la fase pi` u delicata di tutto il processo di analisi. La mancata inclusione di un parametro fondamentale porterebbe infatti ad una relazione finale priva degli effetti fisici pi` u rilevanti. Al contrario, considerare dei parametri ininfluenti produrrebbe delle relazioni finali inutilmente complicate che renderebbero troppo costosa o impossibile la sperimentazione.

11.2

similitudine dinamica

La relazione (11.6) d`a la risposta ad una delle prime domande di questo capitolo cio`e: come utilizzare i risultati ottenuti su un modello per il fenomeno in dimensioni reali? Osserviamo infatti che nella (11.6) compaiono solo gruppi adimensionali e non c’`e riferimento esplicito alle dimensioni del modello, questo implica che la funzione h si applica ugualmente al fenomeno reale ed a quello in scala ed i dati ottenuti per un caso possono essere applicati all’altro. La relazione (11.6) dice in particolare che se sono uguali i gruppi adimensionali per fenomeno reale e fenomeno in scala allora saranno uguali anche i coefficienti di forza ossia i due fenomeni avvengono in condizioni di similitudine dinamica. Se osserviamo poi che anche le equazioni della fluidodinamica possono essere espresse in forma adimensionale allora si vede che i campi di moto saranno cinematicamente simili ossia i valori adimensionali di velocit`a pressione densit`a etc. saranno gli stessi in punti corrispondenti.

11.2. SIMILITUDINE DINAMICA

199

Per riassumere possiamo dire che se due fenomeni sono geometricamente simili ed hanno i gruppi adimensionali uguali allora avranno gli stessi coefficienti di forza ed un campo di moto cinematicamente simile permettendo di trasferire informazioni da un caso all’altro.

fenomeno reale

U

D

R

fenomeno in scala Dm Rm Um ρm

ρ

νm

ν

Figura 11.3: Esempio di similitudine dinamica per un edificio investito dal vento.

Figura 11.4: Prova in galleria del vento di un modello di edificio e della sua interazione con il centro abitativo circostante in determinate condizioni di vento.

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

200

Riferendoci sempre all’esempio del cilindro immaginiamo che il fenomeno reale si svolga in aria a Re = 105 , per un cilindro di diametro D = 1m e lunghezza l = 2m mentre per modello in scala 1 : 20 in acqua in condizioni di similitudine dinamica viene misurata una resistenza Rm = 8N. Vogliamo calcolare quale sar`a la forza di resistenza sul prototipo. Co2 Sm ), me primo passo calcoliamo il coefficiente di resistenza del modello cD = 2Rm /(ρm Um per il quale ci serve la velocit`a. Questa possiamo ricavarla dall’uguaglianza dei numeri di Reynolds Re = Rem = 105 , da cui, nota la viscosit`a cinematica dell’acqua si ricava Um = 2m/s. Dal calcolo del coefficiente di resistenza si ottiene facilmente cD = 0.8 per cui per il cilindro di dimensioni reali si avr`a R = ρU 2 ScD /2 = 1.N.

ESEMPIO In un fenomeno di fluidodinamica geofisica in aria, si stima che l’energia dissipata E `e funzione della velocit`a di rotazione Ω del sistema, della velocit`a del fluido U , della sua densit`a ρ, dell’accelerazione di gravit`a g e delle dimensioni caratteristiche del fenomeno l. In un laboratorio si riproduce il fenomeno in acqua in scala fS e si misura un’energia dissipata Em . Calcolare l’energia dissipata nel fenomeno reale. Se la velocit`a in laboratorio `e Um quanto vale la U del fenomeno reale? fs = 1 : 105

Em = 2.04 J Um = 0.003 m/s

Soluzione La relazione `e del tipo E = f (Ω, U, l, g, ρ) che, risultando N = 6 e K = 3, pu`o essere scritta con 3 parametri adimensionali Π3 = F (Π1 , Π2 ). Dal metodo delle variabili ripetute si ricava Π1 = U/(Ωl), Π2 = g/(Ω2 l) e Π3 = E/(Ω2 l5 ρ). Dall’uguaglianza dei parametri adimensionali tra esperimento √ e fenomeno reale 4 17 si ottiene: E = Em ρ/(ρm fs ) = 2.5297 · 10 J e U = Um / fs = 0.9486 m/s, essendo fs = lm /l.

11.2. SIMILITUDINE DINAMICA

201 ESEMPIO

Lo scambio termico C di un dispositivo viene misurato dal rapporto tra la potenza termica smaltita e la differenza di temperatura ([C] = W/K). Da un’analisi preliminare risulta che C = f (U, ρ, k, ∆T, L) in cui U `e la velocit`a, ρ la densit`a e k la diffusivit`a termica del fluido. ∆T `e la differenza di temperatura applicata ed L una dimensione del dispositivo. Se l’unica grandezza che varia `e U e per un modello di dimensione Lm lo scambio termico vale Cm , quanto vale C per un un dispositivo di dimensione L? Lm = 0.4 m Cm = 80 W/K L = 2 m Soluzione In base al teorema di Buckingham essendoci N = 6 variabili e K = 4 dimensioni fondamentali il fenomeno pu`o essere descritto mediante N − K = 2 parametri adimensionali. Utilizzando il metodo delle variabili ripetute si ha una delle possibili soluzioni:

C∆T k =g . U 3 ρL2 UL In condizioni di similitudine dovranno risultare uguali i gruppi adimensionali ed essendo U l’unica grandezza che varia (oltre naturalmente ad L e C) si ottiene k k Lm =⇒ U = Um = , UL Um Lm L da cui C = Cm Lm /L = 16 W/K.

Cm ∆T C∆T U 3 L2 = =⇒ C = C m 3 ρL2 3 L2 U 3 ρL2 Um Um m m

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

202

ESEMPIO Il calore C che smaltisce un particolare dispositivo in aria a 15 o C `e espresso dalla relazione C = f (g, ∆T, α, H, ν, ρ) con g accelerazione di gravit`a, ∆T differenza di temperatura, α coefficiente di espansione termica, H dimensione principale, ν viscosit`a cinematica e ρ densit`a del fluido. Se un modello in scala fS funzionante in acqua alla temperatura di 20 o C per un dato ∆Tm smaltisce il calore Cm , quale sar`a il ∆T di funzionamento ed il calore smaltito dal dispositivo reale in condizioni di similitudine dinamica? fS = 1 : 7 ∆Tm = 1.8 o C

Cm = 280 J

Soluzione Dal teorema di Buckingham, risultando N = 7 e K = 4 si ha che la relazione si pu`o esprimere tramite 3 parametri adimensionali. Prendendo come variabili ripetute ∆T , H, ν e ρ si ottiene C =F Hρν 2





gH 3 , α∆T , ν2

da cui si ricava facilmente ∆T = ∆Tm αm /α = 0.108 K e C = Cm (H/Hm )(ρ/ρm )(ν/νm )2 = 435.93 J (con i valori per α = 3.48 · 10−3 K−1 per l’aria e αm = 2.10 · 10−4 K−1 per ’acqua).

11.3

similitudine distorta

Nell’esempio del paragrafo precedente `e stato in realt`a commesso un ‘errore’ che costituisce praticamente la regola in campo sperimentale. Ricordiamo, infatti, che la condizione di similitudine dinamica prevede che tutti i gruppi adimensionali che governano il fenomeno debbano essere gli stessi per poter applicare i risultati della simulitudine dinamica. Considerando che la velocit`a del suono in acqua `e di circa 1500m/s si ha che se calcoliamo il numero di Mach di esperimento e fenomeno reale si ha, rispettivamente Mm = Um /am = 0.0013, M = U/a = 0.0044; poich´e risulta M = Mm verrebbe da concludere che la similitudine dinamica non `e rispettata! Prima di tirare delle conclusioni, vediamo mediante un esempio con parametri leggermente differenti se `e possibile mantenere la similitudine dinamica in qualche altro modo. Si consideri il problema del cilindro in cui siano assegnati i seguenti dati: D = 1.5 m,

U = 50 m/s,

Dm = 30 cm

Abbiamo per i parametri adimensionali: Re =

Ud U dρ = ; ν µ

Rem =

ρm Um Dm µ

11.3. SIMILITUDINE DISTORTA

M=

203

U ; a

Mm =

Um am

Un primo modo per avere lo stesso numero di Reynolds `e quello di aumentare di cinque volte la velocit`a del flusso lasciando invariate le altre grandezze. In questo modo si ottiene lo stesso numero di Reynolds, ma diverso numero di Mach Mm = 0.7.

M = 0.147,

Proviamo allora a cambiare il fluido, considerando l’acqua al posto dell’aria, e utilizziamo una velocit`a per il modello tale da conservare la similitudine dinamica del numero di Reynolds: Re = Rem ⇒

Um =

Um = 5

Ud Um Dm = νaria νacqua

νacqua d U νaria Dm

1 50 = 25 m/s 10

Anche se la similitudine del numero di Reynolds `e rispettata, non lo `e quella del numero di Mach; infatti M = 0.147 Mm =

Um 25 = = 0.016 am 1500

Sembrerebbe che non ci sia via di uscita perch´e qualunque accorgimento si cerchi di adottare nasconde comunque degli inconvenienti dovuti al fatto che non si riescono a fissare i parametri in conformit`a con le regole dell’analisi dimensionale 2 . In realt`a sebbene le due soluzioni proposte sembrano essere equivalenti in quanto portano entrambe ad un differenza nel numero di Mach da un punto di vista fluidodinamico sono profondamente differenti e mentre la prima risulta inaccettabile, la seconda costitui` infatti noto nella fluidodinamica sce la procedura effettivamente adottata nei laboratori. E 2

Una possibilit` a estrema `e usare lo stesso fluido ma aumentarne la densit`a nell’esperimento ρM = 5ρ, mantenendo la velocit` a del modello pari a quella del prototipo e conservando l’uguaglianza del numero di Mach. L’aumento della densit` a del fluido pu` o essere ottenuta, per esempio, aumentandone la pressione e contemporaneamente diminuendone la temperatura (per evitare l’aumento della velocit` a del suono) anche se questa soluzione risulta estremamente costosa e pericolosa per la presenza di gas in pressione. In aggiunta questo stratagemma diventa tanto pi` u oneroso quanto pi` u diventa grande la scala del modello e produce delle forze estremamente elevate sui modelli a causa della crescita con ρm della pressione dinamica.

204

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

che gli effetti della comprimibilit`a in un flusso divengono apprezzabili solo per numeri di Mach > 0.3 mentre al di sotto di questo valore di soglia il flusso si comporta come incomprimibile. Questo implica che per M ≤ 0.3 il numero di Mach non `e un parametro che governa il flusso e quindi pu`o essere trascurato. Alla luce di questo risultato appare allora chiaro che la prima soluzione che d`a Mm = 0.7 non fornir`a dati in similitudine dinamica in quanto il flusso sar`a influenzato da effetti di comprimibilit`a che sono assenti nel fenomeno reale. Al contrario la seconda soluzione con Mm = 0.016 fornir`a dei risultati in perfetta similitudine dinamica nonostante la differenza tra i numeri di Mach. In questa categoria di flussi ricade anche l’esempio della sezione precedente i cui risultati sono quindi corretti. Questi esempi di similitudine vengono chiamati di similitudine distorta per distinguerli dalla similitudine esatta in cui tutti i parametri adimensionali sono uguali. In questo campo non ci sono delle regole fisse ma ci si affida piuttosto alla sensibilit`a ed esperienza dello sperimentatore che conosce quali paramentri pu`o trascurare e quali invece deve preservare fedelmente per ottenere risultati utilizzabili in pratica.

11.4

Studio di flussi particolari

In questa sezione mostreremo attraverso degli esempi tipici come si applica l’analisi dimensionale a problemi applicativi. Rimane inteso che i seguenti esempi sono solo alcuni tra i problemi pi` u comuni mentre, in generale, bisogna ricorrere alla teoria per trovare i gruppi adimensionali di interesse.

11.4.1

Flusso intorno a corpi immersi

In questa categoria ricadono tutti i flussi in cui uno stesso fluido ‘bagna’ completamente uno o pi` u corpi e non sono presenti fenomeni di superficie libera. Un vento in atmosfera che investe un palazzo, un’automobile che corre in autostrada, un aereo in volo di crociera o un sottomarino in immersione profonda sono tutti flussi intorno a corpi immersi. Al contrario, una nave in mare aperto o persino un sottomarino con il periscopio in emersione (ossia con lo scafo immerso di qualche metro) non possono essere analizzati nell’ambito di questa schematizzazione in quanto i fenomeni di deformazione della superficie libera non vengono contemplati nella scelta dei parametri di interesse. Indicando con q una generica grandezza da determinare la relazione che si utilizza per questa tipologia di problemi `e la seguente: q = f (L, l, , ρ, µ, U, a) in cui L `e la dimensione caratteristica del corpo, l tiene in conto le altre dimensioni (eventualmente l pu`o essere del tipo li i = 1, ...., M per corpi di geometria complessa), caratterizza la rugosit`a superficiale, ρ `e la densit`a del fluido, µ la sua viscosit`a dinamica, U la velocit`a della corrente indisturbata ed a la velocit`a del suono. Un’ispezione delle dimensioni dei parametri elencati rivela immediatamente K = 3 per cui se q non introduce

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI

205

dimensioni aggiuntive la relazione di sopra si pu`o mettere nella forma

l ρU D U Πq = g , , , L L µ a



.

Il primo parametro d`a le dimensioni dell’oggetto in forma adimensionale, il secondo `e la rugosit`a relativa, il terzo il numero di Reynolds ed il quarto il numero di Mach. Dalla relazione di sopra si pu`o osservare che, dando per scontata la similitudine geometrica (il che include anche la condizione sulla rugosit`a superficiale), il parametro Πq dipende solo dal numero di Reynolds Re e dal numero di Mach M a. Prendiamo come esempio un aereo la cui velocit`a di crociera sia U = 400Km/h ed un suo modello in scala 1 : 10 e proviamo a calcolare il rapporto tra le forze di resistenza D. Supponendo rispettati i rapporti l/L ed /L, imponiamo preliminarmente la similitudine sul numero di Reynolds assumendo di utilizzare lo stesso fluido per cui µ = µm . Osserviamo immediatamente che se pensassimo di aumentare la velocit`a del modello di un fattore 10 per compensare il fattore di scala geometrico otterremmo una velocit`a Um = 4000Km/h  1100m/s che `e chiaramente inaccettabile in quanto in regime ampiamente supersonico e quindi non renderebbe possibile nemmeno la similitudine distorta. Se decidiamo allora di lasciare invariata la velocit`a della prova U = UM l’unica possibilit`a che ci rimane `e aumentare la densit`a del fluido del modello di dieci volte rispetto a quella del prototipo, preservando cos`ı tanto la similitudine in Re quanto quella in M a. Ricordando ora che il coefficiente di resistenza `e uguale per il modello e per il prototipo, possiamo scrivere per le forze: cD = cDm D 1 ρU 2 L2 2

=

Dm =

Dm 1 ρ U 2 L2 2 m m m

ρm L2m D ρ L2

Dm =

1 D 10

con D e Dm forza di resistenza rispettivamente sul prototipo e sul modello. Un modo sicuramente pi` u semplice per effettuare questa prova, consiste nel cambiare tipo di fluido ed utilizzarne uno con viscosit`a minore di quella dell’aria. In questo caso si deve quasi sicuramente rinunciare alla similitudine in Mach, tuttavia essendo il Mach del prototipo M a  0.32 si `e giusto al limite per poter trascurare gli effetti della comprimibilit`a ed un qualunque esperimento con un Mach minore del valore trovato darebbe risultati simili. Viene lasciato al lettore, come facile esercizio, lo studio della similitudine con un fluido differente.

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

206

ESEMPIO In una galleria del vento viene posto un modello di sciatore durante un salto (sci nordico) con una dimensione caratteristica di 40 cm ed investito da una velocit`a di 67.5 Km/h in una corrente d’acqua. Sapendo che la resistenza e la portanza misurate sul modello sono rispettivamente 4500 N e 5400 N, calcolare le forze corrispondenti avvertite da uno sciatore con dimensione caratteristica di 2 m in condizioni di similitudine dinamica. Perch´e l’esperimento non `e stato fatto in aria? L D

Soluzione In condizioni di similitudine dinamica modello e sciatore devono avere lo stesso Reynolds Um Lm /νm = U L/ν, U = ν/νm · Lm /L · Um = 50. m/s. I coefficienti 2 di forza devono essere gli stessi risultando: cL = 2Lm /(ρm Um Sm ) e quindi L = 2 2 ρU ScL = 1190.4 N (avendo usato la relazione S/Sm = L /L2m ). Procedendo analogamente per la resistenza si ha D = 992 N. Se l’esperimento fosse stato fatto in aria, per mantenere la similitudine sul numero di Reynolds sarebbe stata necessaria una velocit`a Um = 281.2 m/s sconfinando cos`ı nel campo dei flussi comprimibili.

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI

207

ESEMPIO Un grattacielo alto h con una pianta quadrata di superficie S deve essere costruito in una zona dove mediamente si hanno venti di velocit`a massima U con un profilo come in figura. Facendo le prove su un modello in scala fS in condizioni di similitudine dinamica si ottiene un coefficiente di resistenza pari a CD (basato sul valore di velocit`a media). Calcolare il valore della resistenza del grattacielo e le condizioni per un esperimento in acqua.

U

h = 150 m CD = 0.85 a = h/3 2 S = 900 m U = 15 m/s fS = 1 : 75 Per il calcolo della resistenza utilizzare la h superficie frontale del grattacielo.

a

Soluzione La velocit`a media `e data da:



   h 1h 1  a Uy 1 Ua U= U dy = U dy = dy + + U (h − a) = 12.5 m/s. h 0 h 0 a h 2 a 2

Per la resistenza D = ρU SF CD = 3.705 · 105 N (essendo SF la superficie frontale del grattacielo pari a SF = 30 · 150 = 4500 m2 . Per l’esperimento, dovendo uguagliare i numeri di Reynolds si avr`a U L/ν = U m Lm /νm U m = U · L/Lm · νm /ν = 62.5 m/s.

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

208

ESEMPIO Per determinare la portanza di un aereo al decollo in atmosfera standard viene effettuato un esperimento in galleria del vento su un modello in scala fS e per mantenere la similitudine dinamica viene pressurizzata la galleria del vento. Calcolare la pressione di esercizio dell’esperimento sapendo che il rapporto tra la velocit`a del prototipo e quella del modello `e U/Um . Sapendo inoltre che sul modello viene misurata una portanza Lm calcolare la portanza sul prototipo. Ipotizzare uguali le temperature delU/Um = 1/3 fs = 1 : 20 l’aria nell’esperimento e nel fenome- L = 90500 N m no reale. Soluzione Un aereo al decollo ha velocit`a ancora contenute, il parametro fondamentale di similitudine sar`a quindi il numero di Reynolds. Re = Rem implica che ρm /ρ = µm U L/(µUm Lm ) = 1 · U/Um · 1/fS = 6.66 ossia, essendo i due fenomeni alla stessa temperatura (pρ = const.) pm = 6.66p0 = 6.66 atm. Dall’uguaglianza tra i coefficienti di portanza L = Lm · ρ/ρm (U/Um )2 · S/Sm = 603340 N. ESEMPIO Misurando il coefficiente di resistenza di un albero mediante un modello in galleria del vento in scala fs si ottiene un valore CD . Sapendo che l’albero viene investito da un vento di velocit`a U calcolare le condizioni sperimentali per realizzare la similitudine. Se la superficie frontale dell’albero pu`o essere stimata come S = 0.55H 2 calcolare le forze di resistenza sull’albero e sul modello. U

H

fs = 1 : 8 H = 16 m U = 12 m/s CD = 1.22

Soluzione Affinch´e valga la similitudine dinamica ci deve essere l’uguaglianza tra i numeri di Reynolds per l’albero e per il modello in galleria del vento Re = Rem , ossia U L/ν = Um Lm /νm . Trattandosi per entrambi i casi di aria a pressione ambiente si ha ν = νm e quindi Um = U L/Lm = U/fS = 96 m/s (notare che non `e importante definire la grandezza L in quanto alla fine entra in gioco solo il fattore di scala fS ). Quindi dalla definizione di resistenza: D = ρU 2 (0.55H 2 )CD /2 = 2 2 (0.55Hm )CD /2 = 15138 N. 15138 N e Dm = ρm Um

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI ESEMPIO Nel primo tentativo di volo con esito positivo (1903) i fratelli Wright usarono un aereo con superficie alare S, apertura alare L che, utilizzando una potenza P , vol`o per alcune decine di secondi ad una velocit`a U . Calcolare il coefficiente di resistenza dell’aereo. Sapendo che la galleria del vento dei fratelli Wright non poteva contenere modelli pi` u grandi di Lm , dire se questi furono in grado di effettuare esperimenti in similitudine dinamica. S

L

S = 57 m2 L = 13.44 m U = 60 Km/h P = 5100 W Lm = 40 cm

Soluzione Dalla relazione P = DU (con D la forza di resistenza) si pu`o scrivere P = ρU 3 SCD /2 da cui CD = 2P/(ρU 3 S) = 0.0311. Per avere la similitudine dinamica modello e prototipo devono avere lo stesso numero di Reynolds (per queste basse velocit`a di volo), ne consegue che Um Lm /νm = U L/ν ossia Um = U L/Lm = 560 m/s. Questa velocit`a purtroppo a temperatura ambiente darebbe un valore del numero di Mach pari a M a = 1.64 il che invaliderebbe completamente i risultati dell’esperimento. (A parte il fatto che la galleria del vento dei fratelli Wright non era in grado di raggiungere velocit` a cos`ı elevate, a quei tempi non erano nemmeno noti gli effetti del numero di Reynolds sui coefficienti di portanza e resistenza. Infatti i fratelli Wright effettuarono le prove in galleria a numeri di Reynolds considerevolmente pi` u bassi di quelli di volo ottenendo dei risultati solamente indicativi per le prestazioni del prototipo.

209

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

210

ESEMPIO Un cartellone pubblicitario di superficie S viene investito da un vento costante di velocit`a U e necessita di due pali di sostegno per contrastare l’azione della corrente. Se un cartellone geometricamente simile (anche nella lunghezza dei pali) di superficie tripla venisse investito da una corrente a velocit`a doppia di quanti pali (identici ai precedenti tranne che per la lunghezza) si avrebbe bisogno per mantenere i pali in posizione? U S

Suggerimento: considerare in entrambi i casi il flusso in regime di turbolenza sviluppata ed approssimare il numero dei pali all’intero pi` u vicino.

Soluzione Sul cartellone agir`a una resistenza D = ρU 2 SCD /2 che generar`a un momento alla base dei pali 2Ml = M = Dl, con Ml il momento sopportato da ogni singolo palo. Per il cartellone 2 Sm CD /2lm , in scala si avr`a Mm = Dm lm = ρUm dove si e’ tenuto conto che il CD `e lo stesso in entrambi i casi in quanto il flusso `e in regime di turbolenza sviluppata. Ponendo Mm = nMl e ricavando il CD dall’espressione di M si ottiene 

Um n= U



S

D

√ Sm lm 2 = 4 · 3 · 3 ≈ 42, S l

avendo approssimato il risultato all’intero pi` u prossimo.

11.4.2

Flussi con superficie libera

Quando un corpo si muove tra due fluidi immiscibili o, in modo equivalente uno dei due fluidi si muove in presenza o meno di un corpo, si ha inevitabilmente la deformazione dell’interfaccia tra i fluidi con la generazione di onde o comunque di fenomeni che coinvolgono scambi tra energia cinetica e potenziale. Due esempi tipici di questi flussi sono una nave che produce delle onde durante la sua navigazione oppure dell’acqua che passa da un bacino idrico ad un fiume attraverso una diga. Su una scala pi` u piccola questi fenomeni si possono osservare anche in un bicchiere, mettendo sul fondo uno strato d’acqua ed in

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI

211

superficie uno d’olio. Agitando il bicchiere si osserva la formazione di ‘onde interne’ la cui dinamica `e appunto regolata da fenomeni di superficie libera. Per questi flussi una qualunque quantit`a incognita q sar`a esprimibile tramite una relazione del tipo: q = f (µ, ρ, U, g, σ, , L, l) in cui g `e l’accelerazione di gravit`a e σ la tensione superficiale. In base al teorema di Buckingham, questa espressione `e equivalente alla seguente forma:

l U U Lρ ρLU 2 , ,√ , , Πq = h L L gL µ σ



(11.7)

in cui compaiono i nuovi parametri We =

ρLU 2 σ

e

U Fr = √ , gL

che sono rispettivamente il numero di Weber ed il numero di Froude. Il primo tiene in conto tutti i fenomeni relativi alla tensione superficiale e sar`a importante per descrivere la dinamica su piccola scala. Il numero di Froude, al contrario, esprime il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle di gravit`a ed `e un parametro rilevante per tutti i fenomeni che coinvolgono bilanci di energia potenziale. I parametri l/L ed /L sono gli stessi discussi nella sezione precedente e coinvolgono la similitudine geometrica. Questi di solito si suppongono simili anche se mantenere la similitudine sulla rugosit`a relativa pu`o alle volte risultare di difficile realizzazione sperimentale. Il numero di Reynolds esprime al solito il rapporto tra le forze d’inerzia e quelle viscose e la sua influenza sul fenomeno va valutata caso per caso. Nei flussi intorno a carene di navi o dighe, il numero di Reynolds `e solitamente dell’ordine delle centinaia di milioni o miliardi indicando che il flusso si trova in regime di turbolenza sviluppata. In questo caso la dipendenza del flusso dal numero di Reynolds diventa trascurabile rispetto agli effetti degli altri parametri e pu`o essere semplificato dalla relazione (11.7). Questa operazione, tuttavia, nasconde un’insidia in quanto l’eliminazione di Re dalla (11.7) non implica che nel fenomeno non ci sono effetti viscosi ma solo che la loro entit`a non dipende dal valore del numero di Reynolds; ci`o implica che quando si realizza l’esperimento in scala si deve essere sicuri che questo avvenga in regime di turbolenza sviluppata cos`ı come nel fenomeno reale. Consideriamo come esempio il caso di una diga con dimensione caratteristica L = 20m e portata pari a Q = 125 m3 /s, il cui modello `e in scala 1 : 15 da cui risulta che Lm = L/15 = 1.33 m. La scala di velocit`a nella diga reale sar`a U = Q/cL2 x con c costante che dipende dalla geometria della diga e la portata del modello `e quindi Qm = cUm L2m .

212

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

Poich´e in questo caso n´e il numero di Weber n´e quello di Reynolds contano, imponiamo la similitudine sul numero di Froude: √



Um =

U Um =√ , gm L m gL

gm g

1/2 

Lm L

1/2

Q , cL2

essendo g = gM . Dai calcoli fatti sulla scala delle velocit`a del prototipo e sulla portata smaltita dal modello, risulta: 1 Q , Um = √ 15 cL2

1 Q 2 L = 0.143 m3 /s. Qm = c √ 2 m cL 15 Vediamo cosa accade alla scala dei tempi: TU Tm Um , = L Lm

Tm =

U Lm T = Um L

Q Tm = Qm



Lm L

Q cL2 Qm cL2m

Lm T, L

3

T = 0.258T.

Il risultato ottenuto indica che l’analisi dimensionale permette di costruire modelli nei quali il fenomeno si sviluppa pi` u velocemente. Quindi se il fenomeno impiega 24 ore per svilupparsi nella diga, nel modello impiega solo 6 ore, per cui `e possibile, per esempio, prevedere tempestivamente l’evoluzione di un incidente con una sperimentazione in laboratorio.

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI

213

ESEMPIO Per un prototipo di nave lungo 200 m, del peso di 105 tonnellate e con velocit`a di crociera di 18 nodi, viene realizzato un modello in scala fS = 1 : 30. Calcolare le condizioni sperimentali per una prova sul modello in similitudine dinamica. Quale dovr`a essere il peso del modello? Citare gli accorgimenti che dovranno essere presi per gli eventuali parametri non in similitudine (similitudine distorta). Soluzione In questo problema, avendo la superficie√libera un ruolo √ fondamentale bisogna = Um / gm Lm , ed essendo le acmantenere la similitudine in Froude U/ gL  √ celerazioni di gravit`a identiche si ha Um = U Lm /L = U fS = 3.286 nodi = 1.69 m/s. Se il rapporto di scala tra le dimensioni lineari `e fS , il rapporto tra i volumi sar`a fS3 e lo stesso dovr`a risultare per le forze peso. Quindi Pm = P/fS3 = 3703 Kg. Per il numero di Reynolds, se si usa lo stesso fluido (ν = νm ) si avr`a: Rem = √ 3/2 Um Lm /νm = U fS · LfS · 1/ν = Re · fS . Essendo i numeri di Reynolds diversi (similitudine distorta) si dovr`a essere sicuri che entrambi i flussi siano nello stesso regime (turbolento). ESEMPIO Per studiare le caratteristiche di una diga ne viene realizzato un modello in scala FS . Se la portata che smaltisce il modello `e Qm , quale sar`a la portata smaltita dalla diga reale? Commentare le ipotesi fatte ed il tipo di similitudine ottenuta (esatta o distorta). ricorda: dimensionalmente una portata in volume `e data da una velocit`a fs = 1 : 200 Qm = 90 l/m per una superficie. Soluzione Essendo unfenomeno consuperficie libera bisogna in  preservare la similitudine  Froude. U/ (gL) = UM / (gLM ) da cui U = UM (L/LM ) = UM (1/fS ). 

5/2

La portata sar`a Q = U S = UM (1/fS ) · SM /fS2 = QM /FS (848.5m3 /s).

11.4.3

= 5.09 · 107 l/min

Flusso nelle macchine rotanti

Rispetto agli esempi precedentemente elencati, nelle macchine rotanti entra come parametro fondamentale la velocit`a di rotazione. Una qualunque grandezza q si pu`o quindi esprimere dalla relazione q = f (L, l, , Q, µ, ρ, Ω) essendo Q la portata smaltita dalla macchina ed Ω la sua velocit`a di rotazione. Si noter`a che non `e stata inserita una scala di velocit`a U in quanto questa `e ricavabile sia dal

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

214

rapporto tra portata Q ed una superficie caratteristica (S ∼ L2 ) sia dalla velocit`a di rotazione attraverso U = ΩL. Ricorrendo al teorema di Buckingham la relazione appena scritta si riduce a:

l Q ΩL2 ρ ΩL , . , , , Πq = g L L ΩL3 µ a I parametri l/L e /L sono fissati dalla similitudine geometrica mentre il numero di Reynolds Re = ΩL2 ρ/µ pu`o essere trascurato se il regime di flusso tra prototipo e modello `e lo stesso. Per il numero di Mach M = ΩL/a valgono le considerazioni fatte nei precedenti esempi, quindi si pu`o trascurare se prototipo e modello lavorano entrambi nel regime M ≤ 0.3 altrimenti sar`a un parametro di similitudine da rispettare. Il rapporto Q/(ΩL2 ) `e il coefficiente di flusso cQ ed `e un parametro fondamentale per la similitudine. Nelle macchine rotanti il parametro Πq pu`o essere il rendimento “η”, il coefficiente di prevalenza “cH ” oppure il coefficiente di potenza “cP ”, definiti come segue: η=

PU , PI

cH =

gh , Ω2 L2

cP =

PI , ρΩ2 L2

con PI potenza immessa, PU potenza utile ed h la prevalenza cio`e l’altezza della colonna fluida equivalente alla differenza di pressione che la macchina pu`o creare (nel caso si tratti di una pompa).

efficienza

h (m) 20

prevalenza

15

100 80 η 60 40 20 0

4.2

10 5

1.4

0 0.063

CΗ

.16

.020

.10

0.126 0.189 Q (m 3/s)

0 0.252

.015 C

CP

2.8

potenza

0

CΗ .21

PΙ (kw) 5.6

100 80 η 60 40 20 0

η

P

.010

.05

.05

0

0 0

0.025

0.050 CQ

0.075

0.10

Figura 11.5: Curve caratterstiche di un pompa (curve dimensionali ed adimensionali). Supponiamo di volere determinare le caratteristiche di una pompa che abbia dimensione L = 8inch, ed Ω = 1200rpm operante nelle condizioni di massima efficienza, note le caratteristiche di una pompa geometricamente simile con dimensione caratteristica di LM = 12inch funzionante alla velocit`a di rotazione ΩM = 1000rpm. Dalle curve caratteristiche con le quantit`a dimensionali si ricavano delle curve analoghe per i parametri adimensionali come `e mostrato in figura 11.5. Dal grafico (η, cQ ) si ricava

11.4. STUDIO DI FLUSSI PARTICOLARI

215

per le condizioni di massima efficienza cQ = 0.0625, e dalla sua definizione il valore della portata Q = cQ L3 Ω = 0.176 m3 /s. Conoscendo il valore di “cQ ”, determiniamo dal grafico (cP , cQ ) il valore del coefficiente di potenza pari a 0.015 e, ricordando che il fluido `e acqua, calcoliamo la “PI ” dalla seguente relazione: PI = cP ρΩ3 L3 = 405KW

Infine dal grafico (cH , cQ ) calcoliamo il valore di cH e, di conseguenza, quello di h come segue: 



h = cH L2 Ω2 /g = 18.34m

ESEMPIO Il salto di pressione attraverso una pompa di forma assegnata `e ∆p = f (D, Ω, ρ, Q) essendo D una dimensione caratteristica, Ω la velocit`a di rotazione, ρ la densit`a del fluido e Q la sua portata. Un modello funzionante in acqua di diametro Dm , alla velocit`a angolare Ωm fornisce una curva come in figura. Stimare il ∆p per una pompa geometricamente simile di dimensione D operante in acqua alla velocit`a angolare Ω. ∆ p (KPa) 56 42

Ωm = 40π rad/s Dm = 25 cm Ω = 60π rad/s D = 32 cm

28 14 Q (m3/s) .015

.03

.045

.06

Soluzione Dalle relazioni fornite si nota che ci sono N = 5 grandezze in gioco descritte dimensionalmente da K = 3 dimensioni fondamentali. In base al teorema di Buckingham si ha che lo stesso fenomeno pu`o essere descritto da N − K = 2 parametri adimensionali. L’applicazione del metodo della variabili ripetute (scegliendo come terna fondamentale D, Ω e ρ) fornisce Π1 = ∆p/(ρD2 Ω2 ) e Π2 = Q/(ΩD3 ). Noti quindi D ed Ω di modello e prototipo `e possibile riscalare la curva in figura ed ottenere il ∆p per la pompa simile.

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

216

ESEMPIO Si supponga che la prevalenza H di una pompa sia esprimibile tramite la relazione H = f (W, Ω, ρ, l, ν) in cui W `e la potenza assorbita, Ω la velocit`a di rotazione, ρ e ν la densit`a e la viscosit`a cinematica del fluido di lavoro ed l una dimensione caratteristica. Sapendo che un modello di dimensione lm con fluido acqua assorbe una potenza Wm ed ha una prevalenza Hm , calcolare W ed H per una pompa geometricamente simile in scala f = 2.3 : 1 (ossia il prototipo `e 2.3 volte pi` u grande del modello) che lavora in olio in similitudine dinamica. Hm = 21 m lm = 16 cm f = 2.3 : 1 νolio = 10−5 m2 /s Soluzione

Wm = 6.1 kW ρolio = 850 Kg/m3

Applicando il teorema di Buckingham risulta N = 6 e K = 3 per cui si pu`o esprimere la relazione con 3 parametri adimensionali.



W ν H , 2 . =g 3 5 l ρΩ l l Ω Uguagliando i parametri adimensionali si ottiene quindi H = Hm l/lm = Hm f = 48.3 m.

Ω = Ωm

11.5

lm l

2 



ν , νm

ρ W = Wm ρm



l

5 

lm

Ω Ωm

3

= Wm

ρ lm ρm l



ν νm

3

= 1.604 Mw.

Flusso in circuiti chiusi

Nella classe dei flussi in circuiti chiusi rientrano tutti quei flussi in cui un fluido scorre all’interno di un sistema tubi, contemplando anche eventuali variazioni di sezione, gomiti, valvole, rubinetti etc., come in figura 11.6. Bisogna notare che l’aggettivo chiuso del circuito non si riferisce al fatto che il circuito si chiuda su se stesso ma all’assenza di superfici libere che vanno trattate come mostrato precedentemente. In questa categoria di flussi, detta q la generica quantit`a da determinare possiamo scrivere q = h(l, D, , ρ, µ, U ), che, applicando il teorema di Buckingham, pu`o essere ridotta alla forma



l ρU D . , , Πq = g D D µ

(11.8)

In questa relazione, al solito, il rapporto l/D descrive la geometria del sistema, la rugosit`a

11.6. LEGGE DI DARCY-WEISBACH

217

relativa /D esprime la natura della superficie dell’oggetto, mentre il numero di Reynolds ρU D/µ esprime il regime di moto del flusso nel condotto.

l4

d3

l3 U

d1

d2

l1

l2

Figura 11.6: Esempio di flusso in circuiti chiusi. Come esempio consideriamo una valvola con una dimensione caratteristica D = 60cm e supponiamo che smaltisca una portata Q = 0.1 m3 /s. Ci chiediamo quale deve essere la portata di un modello in scala con dimensione Dm = 7.5cm. Osserviamo che, essendo un problema in scala, sono rispettati i rapporti l/D e /D, per cui rimane da verificare la similitudine sul numero di Reynolds. Dalla portata della valvola, possiamo calcolare una scala di velocit`a per il prototipo U = Q/D2 quindi, imponendo l’uguaglianza del numero di Reynolds: UD Um Dm Dνm = U, , =⇒ Um = ν νm Dm ν ed assumendo di utilizzare lo stesso fluido nell’esperimento e nel fenomeno reale (ν = νm ), Um =

0.60 · 0.1 · 1 = 2.22 m/s. 0.075 · 0.36

Con questa velocit`a e con il diametro del modello siamo quindi in grado di calcolare la portata richiesta 2 = 0.0125 m3 /s. Qm = Um Dm

11.6

Legge di Darcy-Weisbach

Sebbene la trattazione di questi flusso rientri a tutti gli effetti nell’ambito dell’analisi dimensionale, la rilevanza pratica di circuiti per il trasporto di fluidi ha dato origine a delle formule empiriche di grande utilit`a nelle applicazioni pratiche.

218

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

Consideriamo un tubo a sezione circolare di lunghezza l e diametro costante D attraverso cui passa una portata Q di un fluido viscoso; assumendo il flusso incomprimibile possiamo mettere un relazione la velocit`a media nel tubo con la portata attraverso Q=

(πU D2 ) . 4

Per questo flusso, essendo gli effetti viscosi non trascurabili, non sarebbe possibile applicare l’equazione di Bernoulli, tuttavia, aggiungendo un termine correttivo h che tenga conto degli effetti viscosi si pu`o porre: p2 U22 p1 U12 + + gz1 = + + gz2 + gh. ρ 2 ρ 2

(11.9)

Dalla conservazione della massa si deduce che, essendo il diametro costante, le velocit`a nelle due sezioni sono uguali e quidi l’equazione di Bernoulli diventa: p1 p2 + gz1 = + gz2 + gh, ρ ρ

(11.10)

e, se si suppone inoltre nulla la variazione di quota delle sezioni del condotto, si ha p1 p2 p1 − p2 = + gh, =⇒ h = . ρ ρ ρg

(11.11)

L’interpretazione fisica di questa relazione `e che l’effetto dei termini viscosi `e equivalente ad una sezione di uscita posta ad una quota pi` u alta di h rispetto alla sezione di entrata oppure, in base alla (11.10), a parit`a di ∆p la presenza dei termini viscosi diminuisce di h la quota massima raggiungibile z2 =

∆p + z1 − h. ρg

Esplicitando invece la relazione precedente rispetto a z1 si nota che partendo dalla quota z2 , ed arrivando alla quota z1 < z2 , (mantenendo una portata Q) si genera un differenza di pressione minore rispetto al caso non viscoso ρgz1 = ρgz2 − ∆p + ρgh. In definitiva sia per portare in quota il fluido che per farlo tornare indietro occorre sempre una differenza di pressione pi` u grande del caso non viscoso e ci`o esprime la dissipativit`a del termine h in contrasto con la reversibilit`a della trasformazione dell’energia potenziale in energia cinetica nel caso ideale. Per mettere ora in relazione le perdite dovute agli effetti viscosi con le grandezze adimensionali osserviamo che possiamo esprimere la differenza di pressione alle estremit`a del tubo come

l U Dρ ∆p =φ . , , 1 D D µ ρU 2 2

11.6. LEGGE DI DARCY-WEISBACH

219

Figura 11.7: Diagramma di Moody. In base ad innumerevoli osservazioni sperimentali `e stato visto che l’effetto del parametro l/D interviene linearmente nella funzione φ il che implica fisicamente che le perdite per attrito in un tubo di lunghezza 2l saranno doppie rispetto ad un tubo identico ma di met`a lunghezza (nel caso in cui il flusso all’interno del tubo sia in regime di turbolenza sviluppata) 3 . Questo risultato implica

l ∆p

U Dρ = Φ , 1 2 D D µ ρU 2 3



Notiamo√ che ci`o non si verifica nel regime laminare in quanto in uno strato limite la forza√ di resistenza a perdite per attrito che sono solo 2 volte pi` u cresce come l e quindi una lastra di lunghezza 2l avr` grandi di una di lunghezza l

220

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

per cui definendo il fattore d’attrito f

∆p D

U Dρ f = 1 2 =Φ , D µ ρU l 2



si ottiene ∆p

1 ρU 2 2

=

l f. D

Ricordando infine dalla (11.11) che h = ∆p/ρg si giunge alla legge di Darcy-Weisbach: h=

1 U2 l f, 2 g D

(11.12)

che consente di calcolare le perdite per effetti viscosi nota la geometria del condotto (l/D), la velocit`a media del flusso (U ) ed il fattore d’attrito f . Osservando criticamente la relazione (11.12) dovremmo concludere che non abbiamo fatto alcun passo in avanti in quanto abbiamo espresso una quantit`a incognita h in funzione del fattore d’attrito f che non `e noto a priori. In realt`a il fattore d’attrito si determina facilmente dal diagramma di Moody (figura 11.7) che consente, noto il valore di /D ed il numero di Reynolds del tubo, di determinare f . Questo diagramma `e stato molto utilizzato nel passato in quanto l’assenza di calcolatori elettronici rendeva problematico l’utilizzo di formule implicite non lineari. Attualmente queste formule possono essere agevolemente impiegate anche con l’ausilio di una calcolatrice programmabile rendendo pi` u rapido il calcolo di f . Una di tali formule `e quella di Colenbrook

2.51

/D 1 √ √ = −2 log + 3.7 f Re f



,

(11.13)

che `e stata ottenuta come fit empirico del grafico del diagramma di Moody.

11.6.1

tubi a sezione non circolare

In molte applicazioni pratiche i circuiti per il trasporto del fluido hanno sezione non circolare (per esempio negli impianti di condizionamento dove i condotti hanno una sezione quadrata) ed in questi casi il diagramma di Moody non pu`o essere utilizzato nella forma descritta nella precedente sezione. Evidentemente, si potrebbe ripetere una campagna di misure, cosi`ı come `e stato fatto per i tubi a sezione circolare per ottenere un diagramma, analogo a quello di Moody, ma specifico per la particolare geometria di interesse. Data tuttavia la grande variet`a di geometrie possibili questa procedura non viene seguita e si preferisce ricavare delle informazioni, seppur approssimate, direttamente dal grafico di figura 11.7 anche se il tubo non `e circolare. A tal fine si definisce il diametro idraulico Dh come il rapporto tra l’area della sezione trasversale del tubo S divisa per un quarto del perimetro bagnato

11.6. LEGGE DI DARCY-WEISBACH

221

P/4; in questo modo per un condotto a sezione quadrata il diametro idraulico `e proprio pari al lato, mentre per una sezione rettangolare Dh `e il prodotto dei lati diviso per la loro media. Dopo aver calcolato Dh per una data geometria, questo viene usato per valutare il numero di Reynolds Re = U Dh /ν, la rugosit`a relativa /Dh da cui si ricava il fattore d’attrito f dal grafico 11.7 e quindi la perdita di carico hf = f (l/Dh )U 2 /(2g); la velocit`a media U viene calcolata dividendo la portata in volume Q di fluido che transita nel condotto per la sua sezione S. Questo tipo di approssimazione, permette di risolvere agevolmente problemi per i quali non esiste un diagramma specifico per le perdite di carico oppure flussi in cui si hanno tubi di geometria diversa in uno stesso circuito. Normalmente, per condizioni di flusso turbolento completamente sviluppato l’errore rimane contenuto intorno a valori del 15%: per quei problemi nei quali `e richiesta un’accuratezza maggiore bisogna allora ricorrere a diagrammi specifici o prove sperimentali ad hoc.

1. .75 .5

.6

K .4 .2

.25 0

A1

.25

.5

.75

1

A 2 /A1 A2 h= k V22 2g

0

A1

.25

.5

.75

A1 /A2

1

A2 h= k V12 2g

Figura 11.8: Esempio di grafico per la determinazione delle perdite concentrate per variazioni di sezione repentine.

11.6.2

perdite concentrate

L’assunzione che gli effetti viscosi siano proporzionali alla lunghezza l del condotto funziona nel caso di condotti a sezione uniforme in cui il flusso sia in un regime di turbolenza completamente sviluppata. Riferendoci alla figura 11.6 appare evidente come ci siano dei componenti, come i gomiti, il rubinetto e la variazione di sezione, in cui tale condizione non `e assolutamente verificata. L’analisi sperimentale mostra comunque che in corrispondenza di tali tratti del circuito si verificano delle perdite di energia la cui entit`a pu`o superare quella nei tratti rettilinei. Chiaramente, l’entit`a delle perdite viscose dipende dalla forma dei componenti, dal modo in cui sono accoppiati con i tratti rettilinei di tubo oltre che dalla portata che li attraversa. Queste perdite vengono dette perdite concentrate (hc ) e vengono quantificate attraverso dei coefficienti empirici Kc

222

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

A

B

Figura 11.9: A: coefficiente di perdita Kc in un gomito a 90o in funzione del raggio di curvatura e della finitura superficiale; B: perdite associate ad una variazione di direzione del flusso con angoli retti (a) flusso senza ‘guide’, (b) flusso con guide.

A

B

Figura 11.10: A: coefficiente di perdita Kc per differenti modalit`a di uscita del flusso: (a) Kc = 1., (b) Kc = 1., (c) Kc = 1., (d) Kc = 1.. B: coefficiente di perdita Kc per differenti modalit`a di ingresso del flusso: (a) Kc = 0.8, (b) Kc = 0.5., (c) Kc = 0.2, (d) Kc = 0.04.

U2 hc = Kc . 2g L’effetto di ognuno di questi componenti `e quindi assimililabile ad una perdita concentrata equivalente ad una quota parte dell’energia cinetica del flusso. I valori numerici di Kc possono essere trovati sia in forma di tabella in cui `e specificata la forma del componente, il materiale con cui `e costruito ed il modo in cui `e collegato con

11.6. LEGGE DI DARCY-WEISBACH

223

i tubi rettilinei oppure in forma di grafico come gli esempi forniti nelle figure 11.8, 11.9, 11.10.

ESEMPIO Data la presente configurazione determinare la portata in massa di olio che attraversa il condotto. l1

p

1

l2 d

p

2

p1 − p2 = 106 Pa d = 0.3 inch l2 = 6 m l1 = 10 m 3 ρolio = 840 Kg/m µolio = 0.01 Ns/m2 tubi commerciali gomito avvitato Stimare le perdite concentrate (assumendo valori opportuni dei Kj ), giustificando le assunzioni fatte.

Soluzione Dall’equazione di Bernoulli generalizzata scriviamo p1 + ρU12 /2 + ρgh1 = p2 +  ρU22 /2 + ρgh2 + f (l1 + l2 )U 2 ρ/(2d) + j Kj ρU 2 /2, essendo U la velocit`a nel condotto e risultando U1 = 0, U2 = U . Osservando che h1 − h2 = l2 si ricava per U: 2 (p1 − p2 ) + ρgl2 U2 = ,  ρ 1 + f (l1 + l2 )/d + j Kj 

dove j Kj = K1 + K2 + K3 = 0.5 + 1.5 + 1. = 3. ottenute da tabelle per la strozzatura in ingresso, per il gomito e per la sezione di uscita. Dalle tabelle per tubi commerciali ricaviamo /d = 0.0059 da cui iterando sul diagramma di Moody tra f e Re = U d/ν si ottiene U  4.78 m/s (ricordiamo che per la procedura iterativa conviene partire da un valore di tentativo di f nella parte piatta del diagramma di Moody che per /d = 0.0059 fornisce f  0.032). La portata in massa nel condotto sar`a quindi m ˙ = ρU πd2 /4 = 0.183 Kg/s.

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

224

ESEMPIO Dato il circuito in figura, calcolare la pressione pI nel serbatoio per avere una portata Q uscente dal rubinetto. h1 = 2 m h2 = 4 m l1 = l2 = l3 = 3 m d2 = 5 cm d4 = 2.5 cm d3 = 15 cm 1. .6 K .4 .75 pI Q = 500 l/min .5 .2 .25 h1 Fluido:acqua 0 .25 .5 .75 1 0 .25 .5 .75 1 Tubi commerciali a sezione circolare. A1 /A2 A 2 /A1 Rubinetto con k = 2 basato sulla velocit`a A1 A2 h= k V22 A1 A2 h= k V12 h2 d2 2g 2g nel tubo (in d2 ). Trascurare le perdite distribuite C d3 D d d2 2 nel serbatoio. d4 l1 Raccordo serbatotio–tubo k = 0.5 basato l3 l2 sulla velocit`a nel tubo. Per le variazioni di sezione in C e D vedi tabelle. Gomito avvitato. Soluzione Prendendo i due peli liberi dei serbatoi come sezioni A e B e scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata si ottiene: pA = pI , uA = 0, pB = p0 e uB = 4Q/(πd24 ) = 16.976 m/s, hA − hB = h1 + h2 e quindi: 




li u2i
u2j u2 pI = p0 − ρg(h1 + h2 ) + ρ B + ρg  fi kj  . + 2 d 2g 2g i i j

Dalla costanza della portata si ha u2 = 4Q/(πd22 ) = 4.244m/s e u3 = 4Q/(πd23 ) = 0.4715m/s. Dal diagramma di Moody con Re2 = u2 d2 /ν = 212206, /d1 = 0.0009 e Re3 = u3 d3 /ν = 70570, /d2 = 0.0003 si ottiene rispettivamente f2 = 0.021 ed f2 = 0.026 con cui si possono calcolare le perdite di carico distribuite. D’altra parte, noti i valori di kj si possono calcolare anche le perdite concentrate ottenendo:


fi

i


j

li u2i h2 + l1 + l3 u22 l2 u23 = f2 + f3 = 3.861 m, di 2g d2 2g d3 2g kj

u2j u2 = (0.5 + 1.5 + 2 + 0.8 + 0.5) 2 4.82 m. 2g 2g

Note le perdite si calcola infine pI ottenendo pI = 271666 Pa.

11.6. LEGGE DI DARCY-WEISBACH ESEMPIO Dato il circuito in figura, quale deve essere il livello dell’acqua H nel serbatoio per avere una portata Q? h1 = 2 m h2 = 2.5 m l2 = 3 m l1 = 2.2 m H d2 = 3 cm d1 = 1.5 cm C hS = 1 m Q = 100 l/min d

= 0.1.5 mm pI = 150000 Pa h1 1 l1 Tubi circolari in cemento E pI Trascurare le perdite nei due serbatoi D d1 D ed F gomiti avvitati d2 h2 h Gomito in E con k = 1.8 basato sulla S d2 velocit`a in d1 . Raccordo in C con k = 0.5 F basato sulla velocit`a in d1 l2 Attenzione: H viene molto grande (> 20m) ed il disegno non `e in scala. Soluzione Prendendo i due peli liberi dei serbatoi come sezioni A e B e scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata si ottiene: pA = p0 , uA = 0, pB = pI e uB = 0, hA − hB = H + h1 + h2 − hS e quindi: H = hS − h1 − h2 +

pI − p0
li u2i
u2j fi kj . + + ρg di 2g 2g i j

Dalla costanza della portata si ha u1 = 4Q/(πd21 ) = 9.431m/s e u2 = 4Q/(πd22 ) = 2.358m/s. Dal diagramma di Moody con Re1 = u1 d1 /ν = 141471, /d1 = 0.0066 e Re2 = u2 d2 /ν = 70735, /d2 = 0.0033 si ottiene rispettivamente f1 = 0.034 ed f2 = 0.029 con cui si possono calcolare le perdite di carico distribuite. D’altra parte, noti i valori di kj si possono calcolare anche le perdite concentrate ottenendo:


fi

i

li u2i h1 + l1 2 h2 + l2 u22 u1 /2g + f2 = f1 = 44.94 m, di 2g d1 d2 2g


j

kj

u2j u2 u2 = (kC + kD + kE ) 1 + kF 2 = 17.67 m. 2g 2g 2g

Note le perdite si calcola infine H ottenendo H = 64.08 m.

225

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

226

ESEMPIO Nel dispositivo in figura transita una portata Q, calcolare il valore della pressione pA necessaria a mantenere il sistema in condizioni stazionarie. l1

l2

A p

d1

D

d2

A

C

l3

d3

.6

θ

K .4 .2 0

.25

.5

A 2 /A1

.75

1

A2 h= k V22

A1

l1 = 4 m l2 = 3 m l3 = 8 m d2 = 3 cm d3 = 1 cm d1 = 10 cm d3 = 0.12 mm Q = 27 l/min θ = 30o B raccordo in D k = 1 basato sulla velocit`a del tubo con diametro d3 , rubinetto k = 2.

2g

Soluzione Scrivendo l’equazione di Bernoulli generalizzata tra A e B si ha
li Ui2
Uj2 UA2 U2 pA pB fi kj , + + ghA = B + + ghB + + 2 ρ 2 ρ di 2 2 i j

risultando: UA = 4Q/(πd21 ) = 0.0573 m/s, UB = 4Q/(πd23 ) = 5.7295 m/s, pB = p0 e hB − hA = −l3 sin θ = −4 m. Per i tre tratti si ha, rispettivamente,

/d1 = 0.0012 e Re1 = 5116, /d2 = 0.004 e Re2 = 17051 e /d3 = 0.012 e Re3 = 47746 per cui dal diagramma di Moody si ottiene f1 = 0.038, f2 = 0.034 e f3 = 0.04. Per le perdite concentrate e distribuite risulta quindi
j

kj

Uj2 U2 U2 = 0.5 2 (1 + 2) 3 = 49.342 m2 /s2 , 2 2 2


i

fi

li Ui2 = 525.92 m2 /s2 . di 2

Dalla prima espressione si ricava quindi pA = 653734 Pa.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

227 ESEMPIO

Il dispositivo in figura rappresenta un circuito di raffreddamento in cui entra acqua alla pressione pA a sinistra ed esce nell’ambiente dal rubinetto in B dopo aver attraversato il dispositivo da raffreddare schematizzato con una perdita di carico concentrata con K = 20. Con i dati a disposizione, calcolare la portata d’acqua che smaltisce il circuito. l3

l2

R

l1 A

k=20 l4

d

l1 = 2 m l2 = 5 m l3 = 4 m l4 = 1 m R=3m d = 1.5 cm

= 0.02 mm pA = 4 atm B tutti i diametri sono costanti, gomiti avvitati, rubinetto con k = 2.

Soluzione Dall’equazione di Bernoulli generalizzata scritta tra A e B, risultando UA = UB = U , pB = p0 ed hA − hB = R − l2 , si ottiene U2 =

2[(pA − p0 )/ρ + g(R − l2 )]   f i (li /d) + j kj

ossia in termini numerici

U=

568.56 1218.88f + 26.5

1/2

Dal valore di rugosit`a relativa /d = 0.0013 si ipotizza dal diagramma di Moody un valore per il fattore d’attrito f = 0.02 di primo tentativo e, iterando nell’espressione sopra si ottiene U = 3.125 m/s da qui si ricava la portata Q = U πd2 /4 = 5.522 · 10−4 m3 /s = 0.552 l/s. Il valore f = 0.02 `e stato ottenuto dalla parte piatta della curva del diagramma di Moody. Dal valore f1 = 0.002 si `e ottenuto rispettivamente U1 = 3.343 m/s e Re1 = 44772. All’iterazione successiva con questi dati risultava f2 = 0.026, U2 = 3.125 m/s e Re2 = 41852. L’iterazione `e stata a questo punto fermata non potendo apprezzare, manualmente e su un grafico logaritmico, variazioni del numero di Reynolds pi` u piccole di alcune centinaia.

11.7

forze aerodinamiche

Nella prima parte di questo capitolo abbiamo visto come la similitudine dinamica permetta di determinare delle grandezze di interesse per un problema mediante un esperimento in scala ridotta. Questa tecnica, anche se estremamente potente da un punto di vista quantitativo, non d`a alcuna informazione sui meccanismi fisici presenti nel flusso e quindi

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

228

non permette di migliorare la comprensione fluidodinamica di un fenomeno. Ci`o `e particolarmente importante quando si voglia progettare un dispositivo con certe caratteristiche fluidodinamiche (per esempio un’automobile con basso coefficiente di resistenza) piuttosto che valutare il comportamento di un sistema gi`a esistente. Tra le varie quantit`a fluidodinamiche le forze occupano un posto di particolare rilievo in quanto da esse dipende sia il dimensionamento della struttura che il suo comportamento dinamico. Per esempio, nella progettazione di un ponte sopra un fiume si deve tener conto sia della forza che la corrente del fiume esercita sui piloni, sia della forza che eventuali raffiche di vento esercitano sulla struttura sovrastante. In aggiunta, essendo queste forze non stazionarie bisogna anche evitare che le frequenze proprie del ponte siano vicine alle frequenze delle forze in quanto l’instaurarsi di fenomeni di risonanza pu`o portare al collasso della struttura anche per forze di modesta entit`a. In generale preso un corpo di forma qualunque ed isolato un suo elemento di superficie si avr`a che la forza sar`a generata dall’azione della pressione che agisce normalmente alla superficie e dagli sforzi viscosi che invece agiscono tangenzialmente (figura 11.11).

- pn τw dS

θ

U y

x

S

Figura 11.11: Schema di forze locali di pressione e viscose. Dallo schema di figura appare chiaro che se dS `e l’elemento infinitesimo di superficie del corpo risulter`a dF = (−pn + τ w )dS da cui per integrazione si ottiene 

F=

S

(−pn + τ w )dS

(11.14)

che `e la forza cercata. A dispetto della sua semplicit`a l’espressione (11.14) non `e praticamente mai calcolabile per via analitica in quanto la conoscenza della funzione integranda presuppone la determinazione dei campi di pressione e velocit`a nell’intorno del corpo che a loro volta sono governati dalle equazioni di Navier–Stokes.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

229

Data l’impossibilit`a di valutare esplicitamente la (11.14) consideriamo allora come semplice esempio il flusso intorno ad un cilindro circolare e cerchiamo almeno di vedere in che modo agiscono i due termini della funzione integranda ed in quali casi uno diventa preponderante rispetto all’altro.

a

b

Figura 11.12: Linee di corrente per il flusso intorno ad un cilindro: (a) flusso potenziale, (b) flusso viscoso. (La zona marcata in rosso indica una bolla di ricircolazione con il flusso separato). Iniziamo con il ricordare che nel caso di flusso potenziale le linee di corrente sono come in figura 11.12a e che a causa della loro simmetria tra la parte frontale e quella posteriore del cilindro danno una risultante nulla delle forze di pressione. In aggiunta, nelle ipotesi di flusso potenziale le azioni tangenziali sono identicamente nulle da cui si conclude che il flusso esercita un sistema di forze a risultante nulla sul corpo (paradosso di d’Alembert). Nel caso reale le cose vanno in modo ben diverso come `e schematizzato nella figura 11.12b. Si osserva infatti che gi`a per numeri di Reynolds O(50) lo strato limite separa immediatamente a valle della sezione massima generando una scia vorticosa e non stazionaria. ` intuitivo che un primo effetto della viscosit`a `e quello di generare degli sforzi viscosi E sulla superficie del cilindro che indurranno delle forze assenti nel caso potenziale. Il confronto tra le figure 11.12a e 11.12b mostra tuttavia che la viscosit`a produce un evidente fenomeno di separazione il cui effetto non si pu`o confinare ad un sottile strato di fluido adiacente al corpo. La separazione dello strato limite si spiega facilmente ricordando che la velocit`a tangenziale sul contorno del corpo calcolata secondo la teoria potenziale `e uθ = 2U sin θ in cui U `e la velocit`a della corrente all’∞ e θ la coordinata azimutale misurata a partire dal punto di ristagno anteriore. Questa espressione ci dice che il flusso esterno accelera tra θ = 0 e θ = π/2 mentre deve decelerare tra θ = π/2 e θ = π. In base all’equazione di Bernoulli si ha quindi una pressione decrescente (gradiente di pressione favorevole) per 0 ≤ θ ≤ π/2 ed una pressione crescente (gradiente di pressione sfavorevole) per π/2 < θ ≤ π. Lo strato limite si trover`a quindi nelle condizioni di separare nella seconda met`a del cilindro e poich´e parte dell’energia cinetica `e stata dissipata per effetti viscosi gi`a nella prima met`a del cilindro la separazione si verifica inevitabilmente per numeri di Reynolds maggiori di circa 50. La maggiore conseguenza di questa separazione `e il mancato recupero della pressione a valle del cilindro che induce quindi una dissimmetria

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

230

tra monte e valle come mostrato in figura 11.13. Evidentemente, questa dissimmetria produrr`a una forza di pressione la cui risultante `e diretta come il flusso ed `e quindi una forza di resistenza; per il cilindro, e pi` u in generale per tutti i corpi tozzi, il termine di pressione nella (11.14) risulta dominante rispetto a quello viscoso che per numeri di Reynolds sufficientemente elevati diventa trascurabile.

flusso potenziale

Cp(θ) 1 0

π/2

π

θ Re > 10 6 Re < 10

5

−3 Figura 11.13: Coefficiente di pressione per un cilindro bidimensionale: confronto tra flusso potenziale e flusso viscoso. Osservando la figura 11.13 potrebbe sembrare singolare il fatto che si ha un recupero di pressione maggiore nel flusso a Re > 106 rispetto al quello a Re < 105 . Questo comportamento `e dovuto alla transizione dello strato limite da laminare a turbolento; in quest’ultimo caso, infatti, la diffusione di quantit`a di moto dal flusso esterno all’interno dello strato limite risulta molto pi` u efficiente del caso laminare e, con una maggiore energia cinetica, lo strato limite riesce a risalire pi` u a lungo la zona con gradiente avverso 4 di pressione prima di separare (figura 11.14). Una realizzazione di laboratorio della fenomenologia appena descritta `e riportata in 4

Questo fenomeno `e ben noto ai costruttori di palle da golf i quali provocano artificialmente la transizione alla turbolenza dello strato limite mediante delle irregolarit` a della superficie (dimples). In questo modo si riesce a diminuire la resistenza della palla che pu` o quindi percorrere uno spazio maggiore, rispetto ad una con superficie liscia, a parit` a di quantit` a di moto iniziale.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

231

S

S

a)

b)

Figura 11.14: Schema di scia a valle di un cilindro bidimensionale: a) flusso laminare, b) flusso turbolento. figura 11.15 dove si pu`o notare le minore estensione della zona di separazione nel flusso in regime turbolento rispetto al caso laminare.

a)

b)

c)

d)

Figura 11.15: Visualizzazione sperimentale del flusso intorno ad una sfera a) flusso laminare, b) flusso turbolento. I pannelli c) e d) riportano degli ingrandimenti delle zone, rispettivamente, di separazione e di transizione. L’evoluzione con il numero di Reynolds di tutti i fenomeni descritti viene riassunta nella figura 11.16 in cui `e riportato l’andamento del coefficiente di resistenza CD in funzione di Re. Ricordiamo che il coefficiente di resistenza `e definito come 2D (11.15) CD = ρU 2 S dove D `e il modulo della forza di resistenza ed S `e la superficie frontale del cilindro. Nel primo tratto, per Re < 1 si ha il coefficiente di resistenza che diminuisce come −1 Re (CD  16π/Re) e quindi la resistenza D cresce linearmente con la velocit`a. Questo

232

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

Figura 11.16: Coefficiente di resistenza per un cilindro bidimensionale.

Figura 11.17: Coefficiente di resistenza per una sfera. comportamento `e tipico di tutti i flussi a numeri di Reynolds estremamente bassi e deriva dal poter trascurare i termini inerziali nelle equazioni di Navier–Stokes; in questo regime (regime di Stokes) si ha quindi un semplice bilanciamento tra forze di pressione e forze viscose e la resistenza `e generata oltre che dalle azioni tangenziali anche dalla deformazione del fluido intorno al corpo (che per bassi Re non `e pi` u limitato ad uno strato sottile adiacente alla superficie stessa). Da un punto di vista teorico questo comportamento pu`o essere facilmente compreso ricorrendo all’analisi dimensionale. Per velocit`a del flusso estremamente ridotte, infatti,

11.7. FORZE AERODINAMICHE

233

non solo gli effetti della comprimibilit`a ma anche quelli inerziali sono ininfluenti e per la resistenza D del cilindro si pu`o porre D = f (U, d, µ). Il teorema di Buckingham ci dice che questa relazione deve essere governata da un solo parametro adimensionale, ossia D = C, µdU o, in termini di coefficiente di resistenza CD , CD =

D 1 ρU 2 S 2

=

2CµdU 2C = , ρU 2 S Re

(11.16)

essendo S = Ad2 (con A costante dipendente dal particolare corpo) e C = C/A: questa relazione rispetta l’andamento trovato nel primo tratto della curva in figura 11.16. Bisogna notare che il valore specifico di C dipende dal corpo considerato (per esempio per un cilindro si ha CD  16π/Re e quindi C  8π mentre per una sfera risulta CD = 24/Re ossia C = 12) al contrario l’andamento CD ∼ 1/Re `e caratteristico di tutti i flussi a numeri di Reynolds minori o uguali all’unit`a (flussi di Stokes). Tornando alla figura 11.16, un secondo tratto interessante `e quello in cui il numero di Reynolds `e compreso tra 2 · 104 e 3 · 105 dove il CD `e costante e vale circa 1.2. In questo tratto i fenomeni di separazione sono ormai completi e la resistenza di pressione d`a il contributo dominante alla resistenza totale; consistentemente il CD rimane costante anche se con l’aumentare del numero di Reynolds aumentano gli sforzi viscosi alla parete. In base alla definizione (11.15) un coefficiente di resistenza costante implica una resistenza u rapidamente che nel caso precedente. che cresce con U 2 e quindi molto pi` 5 6 Per 5 · 10 ≤ Re ≤ 10 si verifica una brusca diminuzione del coefficiente di resistenza dovuto alla transizione da regime laminare a turbolento precedentemente discussa. Vale la pena di notare che durante la transizione si ha una cos`ı brusca diminuzione del CD che persino la resistenza D diminuisce lievemente. Per Re > 106 tuttavia, il coefficiente di resistenza si attesta nuovamente ad un valore costante (CD  0.6) e la resistenza ricomincia a crescere come U 2 . Purtroppo, a parte pochissime eccezioni, tutte le applicazioni pratiche si trovano in questa condizione che implica un elevato dispendio di energia per mantenere lo stato di moto. Nel flusso intorno ad un cilindro si pu`o affermare che la forza di resistenza `e generata essenzialmente dalla distribuzione di pressione sul corpo a sua volta determinata dai fenomeni di separazione dello strato limite. Questa caratteristica `e comune a tutti i flussi intorno a corpi tozzi in cui si generano intensi gradienti sfavorevoli di pressione. Il comportamento del cilindro bidimensionale `e caratteristico di tutti i corpi tozzi per alcuni dei quali vengono riportati in tabella alcuni coefficienti di resistenza per il flusso in regime di turbolenza sviluppata (figure 11.18–11.20). Se un corpo, al contrario, `e affusolato i gradienti di pressione saranno pi` u deboli ed i fenomeni di separazione possono essere generalmente evitati. Un tipico esempio di corpo affusolato `e il profilo alare in cui la resistenza `e quasi totalmente generata dagli sforzi viscosi; le forze prodotte da questi ultimi, tuttavia sono di entit`a pi` u modesta rispetto

234

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

alle forze di pressione e, per fare un esempio, il profilo in figura con dimensione trasversale 10d ha lo stesso coefficiente di resistenza di un cilindro circolare di diametro d.

La distribuzione di pressioni su un corpo, comunque, non genera solo forze di resistenza ma anche una forza ortogonale alla direzione della corrente detta portanza L. Questa forza viene prodotta quando la distribuzione di pressione sulla superficie del corpo non ha simmetria rispetto ad un piano orizzontale e pu`o essere quindi prodotta da corpi asimmetrici oppure da corpi simmetrici disposti asimmetricamente rispetto alla direzione della corrente. Analogamente alla resistenza anche per la portanza si pu`o definire un suo coefficiente

cL =

2L , ρU 2 S

per il quale possono essere applicati tutti i risultati della similitudine dinamica.

` intuitivo immaginare che detto α l’angolo di incidenza di un profilo rispetto alla E corrente, al crescere di α crescer`a il coefficiente di portanza cL (in quanto aumenta la dissimmetria delle pressioni tra le superfici superiore ed inferiore) ma aumenter`a anche il coefficiente di resistenza cD (perch´e aumenta la superficie frontale nella direzione ortogonale al flusso). Per i profili alari `e usuale riportare in un unico grafico i coefficienti di resistenza e di portanza ponendo l’angolo di incidenza come parametro. L’andamento di figura 11.22 `e caratteristico dei profili alari e, pi` u in generale, dei corpi affusolati. In particolare si osserva che al crescere di α non si ha un aumento indefinito del cL ma dopo una valore limite dell’angolo di incidenza si ha un crollo improvviso del cL ed un brusco aumento del cD . Ci`o si verifica quando si ha il distacco dello strato limite dal corpo che, in pratica, si comporta come un corpo tozzo (vedi figura 11.23). Questa condizione `e detta di stallo ed `e particolarmente indesiderata nei velivoli in quanto viene bruscamente a mancare la forza di sostentamento a fronte di un forte aumento di resistenza.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

235 ESEMPIO

Una sfera d’acciaio di diametro d precipita in acqua alla velocit`a U . Con quale velocit`a ‘precipiterebbe’ la stessa sfera immersa nel mercurio? ρf e = 7800 Kg/m3 ρhg = 13600 Kg/m3 d = 15 cm U = 5.775 m/s Soluzione Dal bilancio tra spinta di Archimede e forza peso in acqua si ha 4 d3 1 d2 π (ρF e − ρH2 O )g = ρH2 O U 2 π CD , =⇒ CD = 0.4. 3 8 2 4 Da una relazione analoga per il mercurio    4dg(ρF e − ρHg ) U = − = −1.446 m/s,

3ρHg CD

(la sfera si muove verso l’alto). I numeri di Reynolds sono in entrambi i casi > 3 · 105 ed il CD `e approssimativamente indipendente dal Reynolds.

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

236

ESEMPIO Una vettura procede in autostrada alla velocit`a U1 impiegando una potenza P1 con un consumo di carburante f c1 . Assumendo trascurabili tutti i fattori tranne quelli aerodinamici e che il consumo di carburante varii linearmente con la potenza, quale sar`a il consumo di carburante alla velocit`a U2 ? Se il motore pu`o erogare una potenza massima Pmax , quale `e la velocit`a massima raggiungibile dall’automobile? f c1 = 4.41 l/h Pmax = 9.5P1 U1 = 75 Km/h U2 = 130 Km/h Soluzione Se la vettura procede a velocit`a costante, la spinta del motore bilancer`a la resistenza aerodinamica (abbiamo supposto tutti gli altri fattori trascurabili) si avr`a quindi per la resistenza D e la potenza P , rispettivamente, D = 1 ρU 2 ScD , P = DU = 12 ρU 3 ScD . Avendo assunto il consumo di carburante 2 linearmente dipendente dalla potenza si pu`o porre f c = A · P , essendo A una costante. Utilizzando tutte le relazioni precedenti per le velocit`a U1 ed U2 ed osservando che, in regime turbolento il coefficiente di resistenza diventa indipenU3 P2 = 12 ρU23 ScD = P1 U23 , e dente dal Reynolds si ottiene: P1 = 12 ρU13 ScD , f c1 = A · P 1 , massima infine

f c2 = A · P2 =

f c1 PP21

=

U3 f c1 U23 1

1

= 22.96 l/h. Per la velocit`a 

Pmax

1 3 U3 Pmax = ρUmax ScD = P1 max =⇒ Umax = U1 3 2 U1 P1

orza aggiuntiva verso il basso sar`a Fy = −588.273 N.

 13

= 159 Km/h.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

237 ESEMPIO

Un corpo ha un andamento del coefficiente di resistenza con il numero di Reynolds come riportato in figura. Il corpo ha una dimensione caratteristica L e, quando viene investito da una corrente a velocit`a U1 , fornisce un valore di resistenza D1 . Sapendo che il fluido ha viscosit`a ν, calcolare il valore della resistenza quando la velocit`a del fluido `e U2 . CD 1.2 1.0 0.8

L = 0.25 m U1 = 3 m/s D1 = 1.35 N ν = 1.5 · 10−5 m2 /s U2 = 90 m/s

0.6 0.4 0.2

Re 104

105

106

107

Soluzione Noti U1 , L e ν si ricava Re1 = 50000 per cui dal grafico si ha cD1 = 1.2 e dall’espressione D1 = ρU12 ScD1 /2 si ricava ρS = 0.25 Kg/m. Dal valore di U2 si calcola quindi Re2 = 1.5 · 106 e dal grafico cD2 = 0.35. Il valore di D2 risulta quindi D2 = ρU22 ScD2 /2 = 354.375 N.

238

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI ESEMPIO

La formazione dei chicchi di grandine `e dovuta a correnti ascensionali all’interno delle nubi che consentono il continuo accumulo di ghiaccio intorno ad un nucleo fino a quando il peso proprio del singolo chicco diventa troppo grande e cade al suolo. Per un vento ascensionale di 130 Km/h, quanto pu`o valere il diametro di un chicco di grandine? Fare tutte le assunzioni ritenute necessarie e giustificarle. Soluzione L’andamento del coefficiente di resistenza CD per una sfera in funzione del numero di Reynolds presenta due “plateau”: il primo CD1  0.4 per 103 ≤ Re ≤ 2·105 ed il secondo CD2  0.2 per Re > 5 · 105 . D’altra parte, dal bilancio tra resistenza, peso e spinta di Archimede, per un chicco di grandine supposto sferico risulta 4 1 ρa U 2 SCD = πR3 g(ρg − ρa ) 2 3 con ρa la densit`a dell’aria, ρg = 920 Kg/m3 la densit`a del ghiaccio S = πR2 ed R il raggio della sfera. Dall’espressione sopra si ricava R=

3ρa U 2 CD 8g(ρg − ρa )

che, per CD1 = 0.2 fornisce R1 = 1.35 cm mentre per CD2 = 0.4 risulta R2 = 2.7 cm. Per i numeri di Reynolds risulta invece Re1 = 64800 e Re2 = 129600 la seconda soluzione, quindi, R2 == 2.7 cm `e quella giusta.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

Figura 11.18: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma.

239

240

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

Figura 11.19: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

Figura 11.20: Il coefficiente di resistenza per corpi di varia forma.

241

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

242

d

10d

a)

b)

Figura 11.21: Il coefficiente di resistenza per un cilindro bidimensionale di diametro d e per un profilo alare di spessore 10d sono circa uguali.

1.4

CL

.14

CD

1.4

1.2

.12

1.2

1.0

.10

1.0

.8

.08

.8

.6

.06

.6

.4

.04

.4

.2

.02

.2

0

2 4 6 8 10 12 14 16 18

a)

α

0

α b)

2 4 6 8 10 12 14 16 18

CL

.02 .04 .06 .08 .10 .12 .14

CD c)

Figura 11.22: Esempi di portanza a) e resistenza b) in funzione dell’angolo di incidenza per un corpo affusolato, e polare del profilo c).

α=0o

α>15o

Figura 11.23: Visualizzazione sperimentale delle linee di corrente intorno ad un profilo alare bidimensionale (NACA 0012) a basso ed alto angolo di incidenza.

11.7. FORZE AERODINAMICHE

243

L L U

U

a)

b)

Figura 11.24: Esempi di corpi in grado di generare portanza: a) corpo asimmetrico, b) corpo simmetrico disposto asimmetricamente nella corrente.

244

CAPITOLO 11. FORZE FLUIDODINAMICHE E SIMILITUDINI

Capitolo 12 ∗ Cenni sui flussi comprimibili Nei capitoli precedenti abbiamo visto che in molte applicazioni pratiche la dinamica dei flussi si pu`o considerare incomprimibile anche se il fluido in questione `e un gas. In particolare `e stato accennato che se il numero di Mach `e approssimativamente minore di 0.3 i fenomeni associati alla comprimibilit`a si possono trascurare; questa assunzione tuttavia cessa di essere valida per i flussi ad ‘alta velocit`a’ o pi` u in generale quando si voglia tenere conto degli effetti di velocit`a di propagazione finita delle perturbazioni. In questo capitolo verranno brevemente accennati alcuni di questi fenomeni lasciandone l’analisi pi` u approfondita ai testi specializzati di gasdinamica.

12.1

propagazione di piccole perturbazioni e velocit` a del suono

Per comprendere in modo pi` u intuitivo il motivo per cui le perturbazioni si propagano nei fluidi con velocit`a finita conviene per un istante ricordare che una particella fluida `e in realt`a composta da un elevatissimo numero di molecole 1 in continua collisione tra loro in quanto animate da un moto di agitazione termica. Ci`o implica che una perturbazione applicata in un punto di un fluido si propaga al suo interno a causa degli urti caotici tra le molecole e giunge in un altro punto solo dopo un tempo finito che dipende dalla frequenza delle collisioni tra molecole e quindi dalla temperatura del fluido stesso. Se ora ritorniamo al nostro modello di fluido continuo, perdiamo l’identit`a delle singole molecole ma manteniamo il concetto di velocit`a finita di propagazione dei disturbi, quindi delle perturbazioni di temperatura, densit`a etc. non saranno avvertite istantaneamente ovunque ma viaggeranno con una velocit`a propria a. Per calcolare tale velocit`a supponiamo di avere un condotto di lunghezza L, sezione S √ , con L S, nel quale `e presente del fluido. Ad un’estremit`a del condotto `e posto un 1

Ricordiamo infatti che l’ipotesi di continuo si basa sul fatto che dei volumi di fluido di dimensioni ‘infinitesime’ rispetto alle dimensioni caratteristiche del flusso [O(µm3 )] contengono sempre un cos`ı elevato numero di molecole da poter definire velocit` a, densit` a, temperatura, etc. in modo statisticamente significativo.

245

CAPITOLO 12.

246

∗

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

pistone che al tempo t1 = 0+ inizia a muoversi con una velocit`a infinitesima dU spostando il fluido adiacente alla parete del pistone nella direzione del moto (che supponiamo verso destra).

t1= 0+ dU a)

t2 > t1

dU b)

t 3> t 2 dU

c) Figura 12.1: Moto del fluido all’interno di un tubo in conseguenza della partenza impulsiva di un pistone. Dopo un tempo t2 = t1 + dt il pistone si sar`a spostato trascinando nel suo moto le particelle fluide immediatamente adiacenti e modificandone le loro variabili di stato. Per esempio, riferendoci alla figura 12.1 si vede che nell’intervallo [t1 , t2 ] le particelle inizialmente contenute nel volumetto di controllo tratteggiato sono ancora rimaste al suo interno (in quanto la perturbazione di velocit`a non si `e ancora propagata oltre tale volumetto) mentre `e diminuito lo spazio a loro disposizione. In tale volume si avr`a quindi un aumento di densit`a, pressione e temperatura oltre che di velocit`a. Per un tempo t3 > t2 (figura 12.1c) il fronte della perturbazione si sar`a spostato ulteriormente verso destra accrescendo la regione di fluido interessata dall’azione di compressione del pistone. Isolando una regione di fluido a cavallo dell’onda di compressione

` DEL SUONO247 12.1. PROPAGAZIONE DI PICCOLE PERTURBAZIONI E VELOCITA si ha la situazione riportata in figura 12.2a, situazione chiaramente non stazionaria data la velocit`a di propagazione a dell’onda.

u2 = du p2 = p+dp T2 = T+dT ρ2 = ρ+dρ

a

u1 = p1 = T1 = ρ1 =

u2 = -a+du p2 = p+dp T2 = T+dT ρ2 = ρ+dρ

0 p T ρ

u1 = p1 = T1 = ρ1 =

S

a)

-a p T ρ

b)

Figura 12.2: a) Stato del fluido a monte e valle dell’onda di compressione, b) la stessa situazione precedente in un riferimento solidale all’onda. Se tuttavia si riconsidera la stessa configurazione in un riferimento solidale all’onda (ossia si somma al flusso una velocit`a pari ad a e diretta verso sinistra) si ottiene una situazione stazionaria che pu`o essere facilmente analizzata utilizzando il volume di controllo indicato dalla linea tratteggiata in figura 12.2b. Dall’equazione di conservazione della massa in forma integrale per flussi stazionari si ottiene: ρaS = (ρ + dρ) (a − du) S,

(12.1)

che esplicitata e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si scrive adρ = ρdu. Applicando quindi il bilancio della quantit`a di moto al volume di controllo risulta: ρa2 S − (ρ + dρ)(a − du)2 S + pS − (p + dp)S = 0,

(12.2)

che, dopo aver sostituito dalla (12.1) ρa = ((ρ + dρ)(a − du), diventa ρadu = dp,

(12.3)

e mettendo a sistema le equazioni (12.1) e (12.3) si ha: 

adρ = ρdU ⇒ ρadu = dp



dp du = adρ ρ ⇒ a2 = . ρadu = dp dρ

Osserviamo ora che, essendo la variazione di velocit`a del pistone infinitesima, si pu`o considerare con buona approssimazione la trasformazione `e isentropica. Pertanto risulta che la velocit`a del suono `e calcolata dall’espressione: 

  ∂p a=

∂ρ

S

∗

CAPITOLO 12.

248

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

che `e valida per qualsiasi fluido che subisce una trasformazione isentropica. Introducendo il modulo elastico del fluido, definito dalla seguente relazione: E ∂p = ∂ρ ρ si ha quindi:



E . ρ I valori di E sono riportati nelle tabelle da cui si possono ricavare i valori di velocit`a di propagazione delle piccole perturbazioni; nella seguente tabella vengono riportati alcuni esempi. a=

Benzina Mercurio Acqua

E = 1.3 · 109 N/m E = 2.85 · 1010 N/m E = 2.15 · 109 N/m

ρ = 680Kg/m3 ρ = 13600Kg/m3 ρ = 1000Kg/m3

a = 1382m/s a = 1447m/s a = 1581m/s

Nel caso particolare in cui il fluido in questione sia un gas perfetto, si pu`o ricavare dalle relazioni per una trasformazione isentropica e l’equazione di stato: p = C, ργ

p = RT, ρ

la velocit`a del suono per gas perfetto: 

 ∂p ∂ρ

p =C ργ p = RT ρ

 = Cγργ−1 ∂p γγ ⇒ = Cρ = γRT ⇒ a = γRT . p = RT ∂ρ ρ ρ

Da questa espressione si nota che la velocit`a del suono in un gas dipende dalla natura del gas attraverso γ ed R e dalla sua temperatura; questa espressione conferma la descrizione intuitiva data all’inizio di questo capitolo secondo cui la propagazione di un disturbo in un gas `e dovuto all’interazione successiva delle sue molecole attraverso le collisioni indotte dal moto di agitazione termica. Nella seguente tabella si riportano a titolo di esempio le velocit`a del suono per alcuni gas e per differenti temperature. Argon Elio Aria Aria

γ = 1.666 γ = 1.666 γ = 1.4 γ = 1.4

R = 207.85J/(KgK) R = 2078.5J/(KgK) R = 277.13J/(KgK) R = 277.13J/(KgK)

T T T T

= 293K = 293K = 293K = 800K

a = 246.78m/s a = 1005.45m/s a = 337.16m/s a = 557.12m/s

Supponiamo ora che la velocit`a del pistone subisca pi` u incrementi infinitesimi dU in successione. In base a quanto appena visto, ogni incremento di velocit`a dar`a luogo ad

` DEL SUONO249 12.1. PROPAGAZIONE DI PICCOLE PERTURBAZIONI E VELOCITA un’onda di compressione la cui velocit`a dipende dalle condizioni termodinamiche del fluido in cui si propaga. Osservando che in ogni compressione il fluido subisce un incremento di temperatura, si ha che, dopo la prima, ogni onda si propaga in un fluido preriscaldato dall’onda che la precede e quindi con una velocit`a maggiore dell’onda che insegue e minore dell’onda che precede (figura 12.3). Ci`o implica che, dopo un tempo finito la coda del treno di onde raggiunger`a la testa dando luogo ad un’unica perturbazione che si muove con una velocit`a intermedia tra quella delle singole perturbazioni. Chiaramente la coalescenza di pi` u perturbazioni di ampiezza infinitesima dar`a luogo ad un disturbo finito detto urto; `e interessante notare che questo si propagher`a con una velocit`a maggiore di quella del suono a quella temperatura un quanto la velocit`a dell’urto `e maggiore di quella della prima onda di compressione.

t1

a)

b)

a1

a2

a3

t2 > t1

a1

a2 a3

t3 > t2

a c) Figura 12.3: Coalescenza di onde di compressione generate ad istanti successivi. Un altro fatto interessante `e che la fenomenologia non `e simmetrica per un moto del pistone verso sinistra. Se infatti il pistone si muovesse verso sinistra, inizierebbe la √ propagazione a destra di un’onda di espansione con velocit`a a1 = γRT , essendo T la

CAPITOLO 12.

250

∗

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

temperatura del fluido indisturbato. Il passaggio di quest’onda lascerebbe a valle un fluido espanso e quindi pi` u freddo a temperatura T2 = T − dT ; un’onda di espansione √ successiva si dovrebbe quindi propagare in un fluido pi` u freddo con una velocit`a a2 = γRT2 < a1 . Ci`o implica che un treno di onde di espansione inizialmente equispaziate tenderebbe sempre di pi` u a distanziarsi in quanto la ‘testa’ si propaga a velocit`a maggiore rispetto alla ‘coda’ precludendo cos`ı la formazione di ‘urti di espansione’. Questa eventualit`a `e peraltro preclusa dal secondo principio della termodinamica in quanto un urto di espansione comporterebbe una variazione di entropia negativa; questi argomenti rientrano tuttavia nell’ambito della gasdinamica e vengono lasciati ai testi specializzati.

12.2

Flusso quasi unidimensionale

Dato un flusso all’interno di un condotto si avr`a in generale che le sue variabili saranno funzione delle coordinate spaziali e del tempo. In qualche caso, tuttavia, `e possibile che la dipendenza da alcune direzioni spaziali e dal tempo si possa trascurare semplificando notevolmente il problema. Per esempio, nella geometria a sezione variabile come quella di figura 12.4 la componente u di velocit`a lungo l’asse del condotto avr`a un profilo come quello rappresentato con la linea tratteggiata; tale profilo soddisfa la condizione di aderenza alla parete mentre, fuori dallo strato limite, ha la distribuzione piatta caratteristica dei flussi turbolenti. Se il regime di flusso permane turbolento lungo tutto il condotto il profilo di velocit`a si pu`o ragionevolmente assumere simile lungo tutta la lunghezza del condotto, rendendo sufficiente la sola conoscenza della velocit`a media per caratterizzare il flusso. In molte applicazioni, inoltre (specialmente quelle aeronautiche), la lunghezza di tali condotti `e limitata, rendendo trascurabile tanto l’effetto dei termini viscosi quanto gli scambi di calore e permettendo quindi l’uso del modello di fluido perfetto. Notiamo a margine che in un modello di flusso senza termini viscosi la condizione di aderenza non pu`o essere soddisfatta alle pareti dove invece il vettore velocit`a `e tangente al contorno. In un condotto a sezione variabile ci`o comporta la generazione di una componente di velcocit`a v ortogonale all’asse del condotto e se vogliamo che v risulti trascurabile rispetto ad u deve essere v = u tan α ≈ uα = udh/dx  u ossia dh/dx  1. Questa condizione implica che il condotto abbia una sezione lentamente variabile ossia che le pareti formino un angolo piccolo con l’asse x. Descriviamo quantitativamente il flusso quasi unidimensionale partendo dalle equazioni di conservazione della massa, della quantit`a di moto e dell’energia scritte in forma differenziale. ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 ∂t



∂u µ ρ + u∇ · u = −∇p + ∇ (∇ · u) + µ∇2 u + ρf ∂t 3



∂E ρ + u∇E ∂t



= −u∇p + µΦ + ρq + ∇ · (k∇T ) + u · f .

12.2. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE

251

α

u

y

v

h(x) u1

u2

x

Figura 12.4: Schema di condotto a sezione variabile con un flusso quasi monodimensionale. Se supponiamo che il flusso sia non viscoso: µ = 0 ed anche termicamente non conducente ∇ · (k∇T ) = 0, che le forze di volume siano trascurabili f = 0, e che la produzione interna di calore risulti nulla q = 0 le equazioni di conservazione diventano: ∂ρ + ∇ · (ρu) = 0 ∂t



∂u ρ + u∇ · u = −∇p ∂t

∂E ρ + u∇E ∂t



= −u∇p.

In forma integrale, su un volume di controllo V di superficie S, (figura 12.4) la conservazione della massa assume la forma  V

ossia

 ∂ρ dV + ρu · ndS = 0 ∂t S

 ∂  ρdV = − ρu · ndS ∂t V S 



 ∂  x2 ρdS dx = − ρu · ndS ∂t x1 S S  x2  ∂ ρSdx = − ρu · ndS ∂t x1 S

CAPITOLO 12.

252

∗

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

Sl dh 1 dS dx = 2 dx

V

S1 2h(x)

u1

dx x1

S2 u2 x2

y x

p

Figura 12.5: Bilancio su un volume di controllo in un condotto a sezione variabile. 

essendo ρ = S1 S ρdS la densit`a media sulla sezione. Sia la densit`a che la velocit`a sono grandezze non costanti in y che possono essere scomposte nella somma di due contributi dei quali uno rappresenta il valore medio e l’altro ne rappresenta lo scostamento; in quest’ottica quindi il prodotto ρu diventa: ρu = (ρ + δρ) (u + δu) = ρu + δρδu + uδρ + ρδu. Se ora si suppone che gli scostamenti rispetto alla media siano notevolmente pi` u piccoli della media stessa si pu`o porre: ρu = ρ u da cui ne consegue per la conservazione della massa

 ∂  x2 ρSdx = − ρu · ndS ∂t x1 S oppure, notando che u `e la componente lungo l’asse del condotto del vettore u,

∂  x2 ρSdx = − [(ρ · uS)2 − (ρ · uS)1 ] ∂t x1

 x2 ∂  x2 ∂ ρSdx = − (ρ · uS) dx ∂t x1 x1 ∂x   x ∂ ∂ ∂ ∂ (ρS) + (ρ · uS) dx = 0 ⇒ (ρS) + (ρ · uS) = 0. ∂x ∂t ∂x x1 ∂t

Introducendo la derivata materiale D/Dt = ∂/∂t+u∂/∂x (indicata con D per distinguerla da quella con la velocit`a u) l’equazione di conservazione della massa si pu`o scrivere come: Dρ ∂u ρ · u dS +ρ + = 0. Dt ∂x S dx

12.2. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE

253

Procediamo ora in modo analogo per il bilancio della quantit`a di moto in forma integrale:  V

   s2 ∂ (bp sin α) ds (ρu) dV + ρuu · ndS + pndS = − ∂t S S s1



   x2 ∂ dx (bp sin α) (ρu) dV + ρuu · ndS + pndS = − cos α V ∂t S S x1 in cui il termine a secondo membro `e la reazione vincolare (di pressione) data dalla superficie laterale del condotto, b `e la sua profondit`a nella direzione ortogonale al foglio. e considerando che S = 2hb Notando inoltre che α `e piccolo si ha tgα = sinα = α = dh dx 1 dS = da cui risulta dh dx 2b dx  V



ossia  x2 ∂ x1

∂t



   x2 ∂ 1 dS (ρu) dV + ρuu · ndS + pndS = − 2bp − dx ∂t 2b dx S S x1

(ρSu) dx +

 x2 ∂  x1

∂t

ρSu

2



dx +

 x2 ∂ x1

∂t

(pS) dx −

 x2 ∂S x1

p

∂x

dx = 0

 ∂ ∂  ∂ ∂S ρSu2 + (ρSu) + (pS) − p ∂t ∂t ∂t ∂x    ∂ ∂ dS (ρSu) + =0 ρ · u2 + p S − p ∂t ∂x dx ∂ che, tenendo conto del’equazione di conservazione della massa scritta come S ∂ρ + ∂x (ρ · uS) = ∂t 0, diventa

∂u ∂u ∂p +u =0 ρ + ∂t ∂x ∂x

In modo del tutto analogo si pu`o trattare l’equazione dell’energia che diventa 







∂ u2 u2 p ∂ ρ e+ S + ρSu e + + ∂t 2 ∂x 2 ρ



=0

(12.4)

e, tenendo conto dell’equazione della conservazione della massa e quella della quantit`a di moto, De ∂u u · p dS ρ +p + =0 Dt ∂x S dx Infine, calcolando il termine S1 dS dall’equazione della conservazione della massa scritta in dx forma di derivata materiale dall’equazione dell’energia si ottiene : De D +p Dt Dt



1 ρ

=0⇔

Ds =0 Dt

Quest’ultima equazione indica che il flusso `e isentropico cio`e che l’entropia di ogni particella non cambia lungo la sua traiettoria.

∗

CAPITOLO 12.

254

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

Per allegerire la notazione, da ora in poi ometteremo il simbolo · per denotare le quantit`a mediate; se facciamo l’ulteriore ipotesi che il flusso sia stazionario le equazioni di conservazione si semplificano in d (ρSu) = 0 dx

=⇒

ρSu = cost

(12.5)

  d  2 dS ρu + p S − p =0 dx dx Se moltiplichiamo l’equazione (12.5) per u e la sottraiamo alla (12.6)

ρSu

du dp +S =0 dx dx

=⇒

u

du 1 dp + =0 dx ρ dρ

(12.6)

(12.7)

quindi l’equazione della quantit`a di moto in forma differenziale si scrive: udu +

dp =0 ρ

(12.8)

Una forma utile dell’equazione di conservazione dell’energia si ottiene dalla (12.4) nell’ipotesi di stazionariet`a dopo avere sottratto la (12.5) moltiplicata per E e la (12.6) moltiplicata per u

u2 p d + e+ dx 2 ρ



=0

(12.9)

che sancisce la natura omoenergetica del flusso, ossia con energia costante ovunque e non solo lungo una linea di corrente. Le relazioni appena trovate possono essere sfruttate in modo semplice per trovare l’andamento di grandezze fluidodinamiche e termodinamiche all’interno del condotto al variare della sua sezione. Per flusso isentropico si ha pρ−γ = C e differenziando entrambi i membri si ha dp + p (−γ) ρ−γ−1 dρ = 0 ργ

dp dρ =γ p ρ

dp =

γp dρ ρ

e, utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti p/ρ = RT e la definizione di velocit`a del suono a2 = γRT , dp = γRT dρ dp = a2 dρ (12.10) L’equazione di conservazione della massa `e ρuS = C e dalla differenziazione logaritmica si ottiene dρ du dS + + = 0. (12.11) ρ u S Mettendo a sistema la relazione (12.8) con la seconda delle (12.10) ricava una relazione differenziale tra la densit`a del fluido, la velocit`a del flusso ed il numero di Mach

12.2. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE 

dp = a2 dρ dρ u ⇒ = − 2 du dp udu + ρ = 0 ρ a

255

⇒

dρ du = −M 2 ρ u

Sostituendo l’ultima delle precedenti nella (12.11) si ottiene la relazione tra variazione di velocit`a e variazione di sezione il cui comportamento dipende dal numero di Mach. dal sistema dell’equazione precedentemente trovata con l’equazione di conservazione della massa ricaviamo l’equazione differenziale tra la velocita del flusso e la sezione sulla quale viene la velocit`a `e calcolata ed il numero di Mach  dρ ρ

dρ ρ

  = −M 2 du dS 2 du u ⇒ 1 − M =− du dS + u + S =0 u S

1 dS du = 2 (12.12) u M −1 S il legame tra densit`a e sezione sulla quale `e calcolata e il numero di Mach si trova dal seguente sistema  dρ ρ du u

= −M 2 du dρ M 2 dS u =− 2 dS ⇒ 1 = M 2 −1 S ρ M −1 S

Differenziando l’equazione dell’isentropica abbiamo visto che dp = γ dρ e dal seguente p ρ sistema troviamo la relazione tra pressione e sezione e numero di Mach.    dρ ρ

dp p

= γ dρ dp M 2 dS ρ ⇒ = −γ 2 = − MM2 −1 dS p M2 − 1 S S

+ dρ − dT = 0 differenziando l’equazione di stato dei gas perfetti risulta che dp p ρ T dp dρ che accoppiata all’equazione differenziale dell’isentropica, p = γ ρ ,fornisce la seguente relazione: dT dρ = (γ − 1) T ρ dT du = − (γ − 1) M 2 T u dT M 2 dS = − (γ − 1) 2 T M −1 S Ricapitolando le equazioni ricavate sono:

CAPITOLO 12.

256

∗

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

du 1 dS =− 2 u M −1 S dT du M 2 dS = − (γ − 1) M 2 = (γ − 1) 2 T u M −1 S M 2 dS du dρ = −M 2 = 2 ρ u M −1 S

(12.13)

dp du M 2 dS = −γM 2 =γ 2 p u M −1 S Analizziamo la variazione delle grandezze temodinamiche al variare della sezione di un condotto attraversato da due tipi di flusso uno subsonico e l’altro supersonico. 

M 1⇒

dS > 0 → du < 0, dT > 0, dρ > 0, dp > 0 dS < 0 → du > 0, dT < 0, dρ < 0, dp < 0 dS > 0 → du > 0, dT < 0, dρ < 0, dp < 0 dS < 0 → du < 0, dT > 0, dρ > 0, dp > 0

Il fenomeno pi` u interessante da notare `e che in base all’equazione (12.12) la velocit`a di un flusso reagisce in modo opposto alle variazioni di sezione e seconda che il numero di Mach sia maggiore o minopre di 1. In particolare se il flusso `e subsonico (M < 1) per una dS negativa si avr`a una du positiva e viceversa, ossia il flusso accelera se la sezione del condotto diminuisce mentre decelera se la sezione si allarga. Al contrario, se il flusso `e supersonico (M > 1) variazioni di sezione e di velocit`a avranno segno concorde e quindi il flusso accelera se la sezione cresce in x e decelera se la sezione si riduce. Il motivo di tale comportamento `e dovuto al fatto che velocit`a e densit`a si comportano in modo opposto rispetto alle variazioni di sezione (confronta le equazioni 12.12 e 12.13) e mentre per M < 1 le variazioni di velocit`a superano quelle di densit`a nei flussi supersonici accade il fenomeno opposto. Un’altra importante osservazione `e che la transizione di un flusso da subsonico a supersonico o viceversa, in un condotto a sezione variabile pu`o avvenire solo in corrispondenza di una gola dove dS = 0. Se infatti ci`o non accadesse, in corrispondenza di M = 1 si avrebbero variazioni infinite di tutte le quantit`a indicando l’impossibilit`a di far avvenire il fenomeno. L’ultima questione che si vuole brevemente menzionare `e la variazione di alcune grandezze lungo l’asse di un condotto a sezione variabile nel caso in cui valgano le equazioni (12.5), (12.7) e (12.9).

12.2. FLUSSO QUASI UNIDIMENSIONALE

257

Ricordando che l’entalpia per un gas perfetto `e h = e+p/ρ = cp T con il calore specifico γR riscriviamo l’equazione di conservazione dell’energia a pressione costante pari a cp = γ−1 tra due generiche sezioni del condotto ottenendo:

u2 cp T + 2





2

u2 = cp T + 2



,

(12.14)

1

e, se in particolare si ha una sezione in cui la velocit`a `e nulla si ottiene u2 cp T1 + 1 = cp T0 , (12.15) 2 dove T0 `e detta temperatura totale e misura l’energia totale del sistema. Bisogna notare che la relazione sopra costituisce anche una definizione della temperatura totale che pu`o essere calcolata indipendentemente dal fatto che nel condotto si verifichi o meno la condizione u = 0 in qualche sezione. Con qualche trasformazione la relazione 12.15 assume la forma u21 T0 =1+ T1 2cp T1 γ − 1 u21 T0 =1+ T1 2 RγT1 T0 γ − 1 u21 =1+ T1 2 a21 γ−1 2 T0 =1+ M1 T1 2 se il flusso `e isentropico valgono le relazioni: 

γ  γ−1





p0 T0 = p1 T1

1





γ γ−1





1

γ−1 2 = 1+ M1 2

γ − 1 2 γ−1 ρ0 T0 γ−1 = = 1+ M1 ρ1 T1 2 con le quali `e possibile definire la pressione e densit`a totali del flusso. In forma equivalente, utilizzando la definizione cp = γR/(γ − 1) ed introducendo la velocit`a del suono si pu‘øporre l’equazione di conservazione dell’energia nella forma γRT1 u21 γRT2 u22 + = + γ−1 2 γ−1 2 a21 u2 a22 u2 + 1 = + 2 γ−1 2 γ−1 2 (γ − 1) 2 (γ − 1) 2 u1 = a22 + u2 2 2 e nuovamente `e possibile definire la velocit`a del suono totale a0 ponendo in qualche sezione u = 0. a21 +

258

CAPITOLO 12.

∗

CENNI SUI FLUSSI COMPRIMIBILI

Capitolo 13 Alcuni personaggi storici della fluidodinamica

Archimede di Siracusa (Siracusa [Italia] 287 A.C., Siracusa [Italia] 212 A.C.)

Leonardo da Vinci (Vinci [Italia] 1452, Cloux [Francia] 1519)

259

260 CAPITOLO 13. ALCUNI PERSONAGGI STORICI DELLA FLUIDODINAMICA

Simon Stevin (Bruges [Belgio] 1548, The Hague [Olanda] 1620)

Galileo Galilei (Pisa [Italia] 1564, Arcetri [Italia] 1642)

Blaise Pascal (Clermont [Francia] 1623, Parigi [Francia] 1662)

261

Sir Isaac Newton (Woolsthorpe [Inghilterra] 1643, London [Inghilterra] 1727)

Daniel Bernoulli (Groningen [Olanda] 1700, Basilea [Svizzera] 1782)

Leonhard Euler (Basilea [Svizzera] 1707, San Pietroburgo [Russia] 1783)

262 CAPITOLO 13. ALCUNI PERSONAGGI STORICI DELLA FLUIDODINAMICA

Jean Le Rond d’Alembert (Parigi [Francia] 1717, Parigi [Russia] 1783)

Giuseppe Luigi Lagrange (Torino [Italia] 1736, Parigi [Francia] 1813)

Pierre Simon Laplace (Beaumont en Auge [Francia] 1749, Parigi [Francia] 1827)

263

Claude Louis marie Henri Navier (Dijon [Francia] 1785, Parigi [Francia] 1836)

William Froude (Dartington [Inghilterra] 1810, Simonstown [Sud Africa] 1879)

George Gabriel Stokes (Skreen [Irlanda] 1819, Cambridge [Inghilterra] 1903)

264 CAPITOLO 13. ALCUNI PERSONAGGI STORICI DELLA FLUIDODINAMICA

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (Posdam [Germania] 1821, Berlino [Germania] 1894)

Lord Kelvin (William Thomson) (Belfast [Irlanda] 1824, Netherhall [Scozia] 1907)

Ernst Mach (Turas [Repubblica Ceca] 1838, Vaterstetten [Germania] 1916)

265

Osborn Reynolds (Belfast [Irlanda] 1842, Watchet [Inghilterra] 1912)

Lord Rayleigh (John William Strutt) (Langford Grove [Inghilterra] 1842, Terling Place [Inghilterra] 1919)

Valentin Joseph Boussinesq ([France] 1842, [France] 1929)

266 CAPITOLO 13. ALCUNI PERSONAGGI STORICI DELLA FLUIDODINAMICA

Martin Wilhelm Kutta (Pitschen [Polonia] 1867, F¨ urstenfeldbruck [Germania] 1944)

Ludwig Prandtl (Freising [Germania] 1875, Gottinga [Germania] 1953)

Lewis Fry Richardson (Newcastle upon Tyne [Inghilterra] 1881, Kilmun [Scozia] 1953)

267

Theodore von Karman (Budapest [Ungheria] 1881, Aquisgrana [Germania] 1963)

Geoffrey Ingram Taylor (St. John’s Wood [Inghilterra] 1886, Cambridge [Inghilterra] 1975)

Andrey Nikolaevich Kolmogorov (Tambov [Russia] 1903, Mosca [Russia] 1987)

268 CAPITOLO 13. ALCUNI PERSONAGGI STORICI DELLA FLUIDODINAMICA

Subrahmannyan Chandrasekar (Lahore [India (attualmente Pakistan)] 1910, Chicago [USA] 1995)

George Keith Batchelor (Melbourne [Australia] 1920, Cambridge [England] 2000)

Sir Michael James Lighthill (Parigi [Francia] 1924, Sark [Channel Islands] 1998)

Bibliografia e letture consigliate Alexandrou, A., 2001, Principles of fluid mechanics, Prentice Hall, New Jersey. Anderson, J.D., 1990, Modern compressible flow, McGraw–Hill, New York. Batchelor, G.K., 1970, An introduction to fluid mechanics, Cambridge University Press, Cambridge. Lamb, H. Sir, 1945, Hydrodynamics, Dover, New York. Lugt, H.J., 1983, Vortex flow in Nature and technology, Wiley & Sons, New York. Lugt, H.J., 1996, Introduction to vortex theory, Vortex Flow Press, Maryland. Panton, R.L., 1984, Incompressible flow, Wiley & Sons, New York. Pope, S.B., 2000, Turbulent flows, Cambridge University Press, Cambridge. Prandtl, L. & Tietjens, O.G., 1934, Applied hydro– and aeromechanics, Dover, New York. Prandtl, L. & Tietjens, O.G., 1934, Fundamentals of hydro– and aeromechanics, Dover, New York. Young, D.F., Munson, B. R. & Okiishi, T.H., 1997, A brief introduction to fluid mechanics, Wiley & Sons, New York. Sabetta, F., 1999, Gasdinamica, Edizioni Ingegneria 2000, Roma. Saffman, P.G., 1993, Vortex dynamics, Cambridge University Press, Cambridge. Schlicting, H., 1968, Boundary layer theory, McGraw–Hill, New York. Shapiro, A., 1953, The dynamics and thermodynamics of compressible fluid flow Ronald Press, New York. Tennekes, H., & Lumley, J.L., 1972, A first course in turbulence, MIT Press, New York. ‘The Japan Society of Mechanical Engineers’, 1988, Visualized flow, Pergamon Press, Oxford. 269

270 CAPITOLO 13. ALCUNI PERSONAGGI STORICI DELLA FLUIDODINAMICA Tokaty, G.A., 1994, History and philosophy of fluid mechanics, Dover, New York. van Dyke, M., 1982, An album of fluid motion, The Parabolic Press, Stanford, CA.


 



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