Meccanica applicata alle macchine.pdf

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Alessandro Gasparetto

MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Appunti delle lezioni

www.mechatronics.it

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Indice 1 Meccanica delle superfici 1.1 Richiami sulle caratteristiche dei solidi . . . . . . 1.1.1 Proprietà di volume . . . . . . . . . . . . . 1.2 Fenomeni superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Contatti superficiali . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Contatti lineari e puntiformi . . . . . . . . 1.3 Forze agenti negli accoppiamenti . . . . . . . . . . 1.3.1 Contatto di strisciamento e attrito radente 1.3.2 Influenza della rugosità delle superfici . . . 1.3.3 Influenza delle condizioni operative . . . . 1.4 Relazioni fondamentali dell’usura . . . . . . . . . 1.4.1 Coefficiente di durata . . . . . . . . . . . .

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3 4 6 6 6 8 11 11 15 16 22 23

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25 25 28 30 31

3 Il rendimento 3.1 Rendimento delle macchine poste in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rendimento delle macchine poste in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Moto retrogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 35 36 37

4 Accoppiamento motore-utilizzatore 4.1 Caratteristica del motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Funzionamento da motore, da freno o da generatore . . . . . . . . 4.3 Campi operativi di un motore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Curva caratteristica del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Luogo dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Accoppiamento diretto motore-utilizzatore . . . . . . . . . . . . . 4.7 Accoppiamento motore-utilizzatore mediante riduttore di velocità 4.7.1 Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore . . . . . . . 4.7.2 Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo 4.8 Funzionamento a regime e in transitorio . . . . . . . . . . . . . .

41 41 45 46 47 48 49 50 52 54 55

2 Forze di contatto per le coppie elementari 2.1 Attrito di rotolamento . . . . . . . . . . . 2.2 Coppia prismatica . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Coppia rotoidale . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Piano inclinato . . . . . . . . . . . . . . .

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II

INDICE 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15

Stabilità del funzionamento a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transitorio e tempo di avviamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con riduttore di velocità . . . Effetti della variazione del rapporto di trasmissione . . . . . . . . . . . . . . Criteri di verifica e di scelta del motore e del riduttore . . . . . . . . . . . . Scelta del motore e del riduttore per carichi a velocità costante . . . . . . . . Scelta del motore e del riduttore per carichi statici . . . . . . . . . . . . . . . 4.15.1 Adattamento statico dei campi operativi . . . . . . . . . . . . . . . . 4.15.2 Cambi di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16 Scelta del motore e del riduttore per carichi dinamici . . . . . . . . . . . . . 4.16.1 Adattamento dinamico del motore al carico . . . . . . . . . . . . . . 4.17 Regime periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17.1 Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema meccanico a un grado di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17.2 Grado di irregolarità del moto periodico . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17.3 Progetto del volano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18 Equilibramento dei rotori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.1 Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un meccanismo 5 Organi per la trasmissione del moto: gli ingranaggi 5.1 Ruote di frizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ruote dentate piane ad evolvente . . . . . . . . . . . 5.3 Ruote dentate cilindriche a denti diritti . . . . . . . . 5.4 Ruote cilindriche a denti elicoidali . . . . . . . . . . . 5.5 Ingranaggi conici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Ingranaggi ad assi sghembi . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi . . . . . 5.6.2 Ingranaggi ipoidi . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Ingranaggi a vite . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Rotismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Rotismi ordinari . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Rotismi epicicloidali . . . . . . . . . . . . . .

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6 Altri organi di trasmissione del moto 6.1 Trasmissione del moto mediante organi flessibili . . . . . . 6.1.1 Cinghie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Catene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Paranchi di sollevamento . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante . 6.3 Giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Giunto di Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici 6.3.3 Altri giunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Sistemi vite-madrevite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Vite-madrevite a filetto rettangolare . . . . . . . .

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57 58 59 63 65 67 68 68 71 71 73 74 75 76 77 80 81

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85 85 88 93 95 99 102 102 103 103 110 110 112

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117 117 117 124 125 128 129 129 133 135 136 137

INDICE

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140 141 142 144 147 148 151 154 155

7 Camme 7.1 Legge del moto del cedente . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Tracciamento di una camma . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Camma piana con punteria centrata a rotella . 7.2.2 Camma piana con punteria eccentrica a rotella 7.2.3 Camma piana con punteria a piattello piano . 7.2.4 Camma piana con bilanciere a rotella . . . . . 7.3 Analisi cinetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Leggi del moto elementari . . . . . . . . . . . . . . .

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159 160 163 165 166 166 166 167 169

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173 173 175 177 180 181 182 183 183

6.5

6.6 6.7

6.4.2 Vite-madrevite a filetto trapezio . 6.4.3 Vite a circolazione di sfere . . . . Frizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Frizioni a disco . . . . . . . . . . 6.5.2 Frizioni coniche . . . . . . . . . . Freni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuscinetti . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Classificazione dei cuscinetti . . . 6.7.2 Criteri di selezione dei cuscinetti .

. . . . . . . . .

8 Meccanica delle vibrazioni 8.1 Oscillatore semplice . . . . . . . . . . . . . 8.2 Risposta libera . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . 8.4 Risposta a forzanti non sinusoidali . . . . . 8.4.1 Risposta ad una forzante periodica 8.4.2 Risposta ad un impulso . . . . . . . 8.4.3 Risposta ad una forzante generica . 8.5 Vibrazioni torsionali . . . . . . . . . . . .

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INDICE

Capitolo 1 Meccanica delle superfici Lo studio delle interazioni superficiali fra i membri, modellati come corpi solidi, è un argomento fondamentale della Meccanica delle Macchine. Infatti: • l’attrito è legato al movimento relativo dei membri (in genere deve essere combattuto come fonte di perdite e di temperature elevate, altre volte è necessario al funzionamento delle macchine) • l’usura colpisce le superfici dei membri a contatto delle macchine provocando un decadimento progressivo delle caratteristiche funzionali. L’usura, inoltre è fonte di: – aumento dei giochi – aumento della rumorosità – comparsa dei fenomeni d’urto – aumento delle vibrazioni e di sollecitazioni per fatica – disuniforme distribuzione delle pressioni – imprecisioni di funzionamento La classificazione delle interazioni fra i membri solidi può essere fatta dal punto di vista geometrico, da quello chimico-fisico e da quello cinematico. Dal punto di vista geometrico (Fig.1.1) si hanno contatti: • superficiali • lineari • puntiformi Sotto il profilo fisico-chimico il contatto può essere • diretto fra i due membri accoppiati • indiretto o mediato dalla presenza di sostanze lubrificanti 3

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CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.1: Tipi di contatto geometrici

??? ?????? ω

v

v

Strisciamento

Rotolamento

Urto

Figura 1.2: Tipi di contatto cinematici

In termini cinematici (Fig.1.2) i contatti possono essere • di strisciamento • di rotolamento • d’urto

1.1

Richiami sulle caratteristiche dei solidi

Le deformazioni dei solidi possono essere di tipo elastico o anelastico (plastiche o viscoelastiche). Per i metalli, la deformazione elastica è praticamente indipendente dalla velocità di deformazione e il ritorno allo stato indeformato è pressoché istantaneo con ciclo di isteresi irrilevante. La presenza di un’eventuale fase di deformazione plastica prima della rottura caratterizza il materiale come duttile o fragile. Dopo ogni deformazione plastica, al cessare della sollecitazione che l’ha provocata, il materiale duttile non torna nella configurazione originaria ma resta soggetto ad una deformazione residua (nel grafico in Fig.1.4 tale deformazione residua è indicata con ǫ0 ).

1.1. RICHIAMI SULLE CARATTERISTICHE DEI SOLIDI

Figura 1.3: Caratteristiche dei solidi

Figura 1.4: Materiali duttili, materiali fragili ed elastomeri

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CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

1.1.1

Proprietà di volume

Tra le proprietà di volume è importante ricordare la durezza, che è definita come la resistenza offerta dal materiale alla penetrazione di un corpo più duro. Di solito viene utilizzata la durezza alla penetrazione HB (prova di Brinell ) (Fig.1.3). Per i metalli puri la durezza di Brinell è pari a circa tre volte il carico unitario di snervamento1 σs : (1.1) HB ∼ = 3σs

1.2

Fenomeni superficiali

I fenomeni superficiali determinano la grandezza e la direzione delle forze scambiate negli accoppiamenti, l’entità e la natura dei fenomeni dissipativi, il deterioramento delle caratteristiche funzionali per effetto dell’usura, imponendo vincoli nella scelta dei materiali da costruzione e dei trattamenti cui gli stessi debbono essere sottoposti e vincoli nella forma dei membri accoppiati. Dal punto di vista geometrico si è già visto come i contatti possano essere superficiali, lineari o puntiformi: • i contatti fra superfici di contatto nominalmente combacianti sono tipici delle coppie elementari (guide, viti, cuscinetti) • i contatti lineari e puntiformi sono caratteristici di molte coppie superiori con membri rigidi: ruote dentate, camme, piste con interposti elementi rotolanti. Questa suddivisione teorica, che trae origine dalla forma geometrica ideale dei membri a contatto, non è tuttavia realizzata in pratica per varie cause, quali: • la presenza di giochi • l’irregolarità delle forme dei corpi • la deformabilità delle loro superfici

1.2.1

Contatti superficiali

Si considerino due superfici accoppiate soggette all’azione di una forza esterna normale Fn all’area di contatto. Essa teoricamente è estesa all’intera superficie, in realtà è limitata ad alcune areole deformate, in quanto le superfici dei corpi solidi a contatto presentano ondulazioni e rugosità superficiali (Fig.1.5). La massima distanza fra i picchi delle ondulazioni superficiali, per superfici prodotte industrialmente, è in genere compresa fra 0.7 mm e 1.2 mm. La rugosità superficiale (Ra) varia invece tra millesimi e centesimi di millimetro. Imprecisioni di lavorazione e deformazione dei membri, per effetto delle tensioni e/o della temperatura, fanno dunque sì che il contatto avvenga non su tutta la superficie geometrica, ma solo su piccole aree. 1

Si tratta di una relazione puramente sperimentale

1.2. FENOMENI SUPERFICIALI

7

Figura 1.5: Tipi di contatti geometrici Per la presenza delle ondulazioni, tali aree sono localizzate in zone definite: il numero dei contatti dipende • dal carico applicato • dalla rugosità delle superfici Nel caso dei contatti diretti fra superfici idealmente combacianti è quindi possibile distinguere più aree di contatto fra i membri solidi accoppiati. In particolare si deve distinguere tra: • Area apparente o geometrica di contatto Ag : è definita dalle dimensioni dei solidi a contatto ed è indipendente dal carico • Area reale di contatto Ar : è la somma di tutte le piccole aree attraverso le quali i solidi si toccano. Per contatti fra superfici di acciaio soggette a pressioni specifiche modeste l’area reale può essere, per esempio, dell’ordine di 1/1000 di quella geometrica. Quando il carico esterno aumenta e la pressione locale supera il carico unitario limite di snervamento σs del materiale più tenero quest’ultimo comincia a deformarsi plasticamente, di solito in punti posti immediatamente al di sotto della superficie. Se il carico aumenta ancora, il materiale attorno a questi punti diventa plastico sinché tutta la regione attorno agli originali punti di contatto è deformata plasticamente e l’estensione della nuova area di contatto è in grado di sopportare il carico. Raggiunto l’equilibrio, la pressione media dei contatti pm , detta pressione di snervamento triassiale, è pari al valore di durezza determinato mediante la prova di Brinell. Quando è raggiunta la completa plasticità, pm è indipendente dal carico esterno. Questo significa che ogni aumento del carico fa aumentare l’area reale di contatto, in modo tale che pm resti costante. L’area reale di contatto può quindi essere calcolata, in prima approssimazione e per carichi statici, mediante la relazione: Fn (1.2) Ar = pm

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CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.6: Definizione dei raggi di curvatura nel punto teorico di contatto In zone sufficientemente lontane dalle asperità a contatto, la deformazione delle superfici è ancora elastica, mentre nelle zone che costituiscono le zone di effettivo contatto tra i membri accoppiati (Fig.1.5) si presentano legami di natura atomico-molecolare, detti comunemente di adesione, la cui intensità varia con la natura e con lo stato delle superfici.

1.2.2

Contatti lineari e puntiformi

All’inizio del contatto due corpi con superfici a diversa curvatura hanno idealmente un solo punto o al più una linea di contatto. Per effetto del carico esterno il punto di contatto si espande fino a diventare una piccola area. Di conseguenza, anche se la forza esterna è modesta, la sollecitazione indotta nella zona di contatto è di solito elevata. Ad esempio, non sono rare nei cuscinetti a rotolamento sollecitazioni di compressione superiori a 1.4 kN/mm2 . Poiché l’area interessata dalle deformazioni aumenta rapidamente, al di sotto della superficie di contatto le sollecitazioni di compressione non si estendono a tutto il corpo e nel complesso i corpi in contatto possono ancora essere considerati rigidi e si possono applicare macroscopicamente le leggi della dinamica dei corpi rigidi. La teoria classica dei contatti superficiali elastici fu stabilita da Hertz. L’analisi di Hertz, valida per contatti puntiformi o lineari, parte dalle seguenti ipotesi: 1. i solidi a contatto sono omogenei e isotropi 2. le deformazioni sono elastiche e contenute entro limiti di elasticità lineare

1.2. FENOMENI SUPERFICIALI

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3. le dimensioni dell’area di contatto sono piccole, rispetto al raggio di curvatura dei corpi non deformati in vicinanza della zona di contatto 4. i raggi di curvatura della zona di contatto sono grandi, se confrontati con le dimensioni dell’area di contatto 5. fra i due solidi non vi sono forze di attrito radente e quindi durante il contatto agisce solo la forza normale: vengono dunque trascurati le sollecitazioni di taglio e gli spostamenti nel piano tangente comune ai corpi a contatto. Per contatti puntuali, il modello hertziano prevede che la forma della zona di contatto sia data da un’ellisse (vedi Fig.1.6), rappresentata dall’equazione: z = Ax21 + By12 + Cx1 y1

(1.3)

rispetto ad un sistema di riferimento con l’origine posta nel punto di contatto P , prima della deformazione, e con assi x1 e y1 giacenti nel piano tangente comune ai corpi a contatto. I coefficienti A e B sono definiti dalle curvature principali r = 1/R delle superfici a contatto secondo le relazioni: 1 1 1 1 + + + R1M R1N R2M R2N √ 2 (B − A) = Γ + Λ

2 (A + B) =

Λ= Γ=2

µ

µ

1 1 − R1M R1N

1 1 − R1M R1N

¶2

¶µ

+

µ

1 1 − R2M R2N

¶2

1 1 cos (2β) − R2M R2N ¶

(1.4) (1.5) (1.6) (1.7)

ove β è l’angolo formato dai due piani contenenti le curvature r1M = 1/R1M e r2M = 1/R2M . In generale i piani contenenti i raggi di curvatura principali delle due superfici a contatto non sono coincidenti. Per semplicità grafica, in (Fig.1.6) essi sono stati disegnati nel caso particolare di β = 0. Indicando con • Fn la forza normale di contatto • a e b i semiassi dell’ellisse che rappresenta l’area deformata di contatto • d l’avvicinamento dei due corpi • D la quantità

1 − ν2 (1.8) E che tiene conto delle caratteristiche meccaniche del materiale (essendo ν il modulo di Poisson, E il modulo di Young) D=

10

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.7: Valori di a∗ , b∗ e d∗ il modello di Hertz giunge a stabilire le dimensioni dell’area deformata e il valore dello schiacciamento, che sono rispettivamente dati da: s

3 Fn (D1 + D2 ) 4 A+B

(1.9)

s

3 Fn (D1 + D2 ) 4 A+B

(1.10)

a = a∗ b = b∗

3

3

s

3 Fn (D1 + D2 )2 (A + B) (1.11) 4 ove i coefficienti a∗ , b∗ , d∗ sono funzioni solo del rapporto (A/B) e sono uguali a uno quando i due corpi in contatto hanno la stessa forma. Nel caso i corpi a contatto abbiano diversa curvatura sono unicamente funzione di d = d∗

3

1− B−A = B+A 1+

A B A B

(1.12)

Alcuni valori di a∗ , b∗ , d∗ sono riportati in (Fig.1.7)). La teoria hertziana permette inoltre di derivare la legge di distribuzione delle pressioni nella zona di contatto mediante la relazione: s

µ ¶2

x 3Fn 1− p= 2πab a

µ ¶2

y − b

s

= pM AX 1 −

µ ¶2

x a

−

µ ¶2

y b

(1.13)

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI

11

Figura 1.8: Distribuzione delle pressioni nella zona deformata di contatto il cui massimo, ottenuto per x = 0, y = 0, vale: 3Fn (1.14) 2πab Le pressioni nei vari punti del’area deformata di contatto hanno quindi una distribuzione semiellissoidale (Fig.1.8). Nel caso di contatti lineari, ad esempio fra corpi cilindrici con assi paralleli di uguale lunghezza l, l’area deformata diventa un rettangolo di larghezza b data da: pM AX =

v u u 2Fn (D1 + D2 ) = (r1M + r1N ) + (r2M + r2N ) b=t

πl (A + B)

(1.15)

e la distribuzione delle pressioni normali ha la forma di un semicilindro, con valore p dato da:

s

µ ¶2

y 2Fn 1− p= πlb b

(1.16)

il cui massimo si ha ovviamente per y = 0.

1.3 1.3.1

Forze agenti negli accoppiamenti Contatto di strisciamento e attrito radente

L’esperienza dimostra che tra due solidi a contatto si sviluppano, anche in assenza di moto relativo, forze di superficie aventi direzione tangenziale tra le superfici a contatto.

12

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Consideriamo dapprima un corpo 1 che viene premuto contro un corpo 2 con una forza N normale alla superficie comune di contatto. Per l’equilibrio, il corpo 2 eserciterà sul corpo 1 un insieme di forze la cui risultante FN sarà uguale ed opposta a N , e avrà la stessa retta d’azione di N , in modo tale che il momento risultante sia nullo. Supponiamo ora di applicare al corpo 1 una piccola forza T parallela alla superficie di contatto: sperimentalmente si osserva che il corpo rimane fermo nella posizione iniziale. Dovrà quindi essere che tra i due corpi, lungo la superficie di contatto, si origina un insieme di forze la cui risultante FT è uguale ed opposta a T . Affinché sussista l’equilibrio statico del corpo 1, la forza FN si sarà spostata lungo la superficie di contatto, in modo tale che la coppia formata da FN e N equilibri quella formata da FT e T (che hanno rette d’azione diverse). La forza FT , esercitata dal corpo 2 sul corpo 1 in condizioni di equilibrio statico, è detta forza di attrito statico o forza di aderenza. Aumentando il valore della forza tangenziale T applicata al corpo 1, si osserva che il corpo continua a rimanere in equilibrio statico: ciò significa che anche l’intensità di FT aumenta di conseguenza sino a raggiungere un valore limite, che rappresenta la massima forza di attrito statico (o aderenza) che si può sviluppare tra le superfici a contatto. Per valori di T superiori a questo valore limite, non sussistono più le condizioni di equilibrio statico, e il corpo 1 si muove strisciando sul corpo 2. Anche in questa situazione di strisciamento sussistono delle forze lungo la superficie di contatto, la cui risultante ha direzione parallela a quella del moto relativo dei due corpi e verso opposto a quello della velocità del corpo 1 relativa al corpo 2. Tale risultante è detta forza di attrito dinamico o forza di attrito cinetico o, qualora non si dia adito ad ambiguità, semplicemente forza di attrito. Nel suo complesso, il fenomeno descritto prende il nome di attrito di strisciamento o attrito radente. Dalla descrizione fatta, si può evincere che la proprietà fondamentale delle forze di attrito è di avere sempre verso tale da opporsi al moto relativo tra i corpi a contatto. Il fenomeno dell’attrito radente può anche essere modellato considerando, oltre alle forze di contatto normale FN e tangenziale FT , anche la loro risultante F , la cui inclinazione rispetto alla normale è data dall’angolo ϕ = arctan

FT FN

(1.17)

come indicato in Fig.1.9. L’angolo ϕ prende il nome di angolo di attrito. Il rapporto tra le componenti tangenziale e normale delle forze di contatto è definito coefficiente (o fattore) di attrito: f=

FT FN

(1.18)

Risulta f = tan ϕ. f è quindi un coefficiente adimensionale. Se vi è movimento relativo tra i corpi a contatto, f è detto coefficiente di attrito dinamico (fd ) o coefficiente di attrito cinetico (fc ), se siamo in situazione di equilibrio statico f prende il nome di coefficiente di attrito statico (fs ) o coefficiente di aderenza (fa ). Si può allora dire che la condizione di equilibrio statico fra due corpi a contatto permane finché il rapporto FT /FN tra i moduli delle componenti tangenziale e normale delle forze

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI

13

Figura 1.9: Risultante delle forze di contatto e cono di attrito di contatto non è superiore al coefficiente di aderenza, ovvero finché FT /FN ≤ fa . Non appena il valore della componente tangenziale supera il valore limite FT = fa FN , si inizia ad avere strisciamento tra i due corpi a contatto, il fenomeno di attrito diventa dinamico ed è governato dall’equazione: FT = fd FN (1.19) Con riferimento alla Fig.1.9, la condizione da soddisfare affinché sussista l’equilibrio statico può essere formulata graficamente, imponendo che l’angolo formato dalla risultante delle forze di contatto con la normale alla superficie sia minore dell’angolo di aderenza in condizioni limite, ovvero ϕ ≤ ϕa = arctan(fa )

(1.20)

In altre parole, in condizioni di equilibrio statico il vettore della risultante può assumere qualunque direzione, purché giacente all’interno del cono (cono di attrito) avente come asse la normale alle superfici a contatto e come generatrice la retta d’azione della risultante in condizioni limite di aderenza (ovvero la retta inclinata dell’angolo ϕa rispetto alla normale). In condizioni di strisciamento, la risultante delle forze scambiate è invece inclinata rispetto alla normale di un angolo pari a ϕ = arctan(fd ). L’attrito tra corpi solidi prende il nome di attrito coulombiano. Secondo Coulomb il fattore di attrito f : • dipende dalla natura dei materiali che si toccano e dallo stato delle superfici a contatto • non dipende dalle forze normali, né dall’estensione del contatto, né dalla forma delle superfici coniugate

14

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.10: Andamento dell’attrito in funzione della velocità • non dipende dalla velocità relativa di strisciamento Il modello coulombiano dell’attrito ha il pregio della semplicità e per questo motivo viene comunemente utilizzato per rappresentare il fenomeno dello strisciamento tra corpi solidi, per quanto esso non risulti, ad una verifica sperimentale, particolarmente preciso. Il fenomeno dell’attrito è infatti estremamente complesso da un punto di vista fisico e rifugge pertanto da una modellazione accurata. Ad esempio, da risultati sperimentali è emerso che il coefficiente d’attrito non è indipendente dalla velocità (come assunto nel modello coulombiano), ma ha piuttosto un andamento del tipo raffigurato in Fig.1.10: dopo una brusca diminuzione passando da velocità nulla (attrito statico) a velocità piccolissime, il coefficiente di attrito subisce un certo aumento al crescere della velocità. Per velocità maggiori di un dato valore, il coefficiente d’attrito rimane dapprima costante, poi tende a decrescere con la velocità. Vediamo ora di capire le motivazioni fisiche del fenomeno dell’attrito. Come abbiamo già avuto modo di sottolineare, il contatto fra due corpi solidi con superfici nominalmente combacianti non si attua sull’intera area geometrica di contatto, ma su una somma di areole (l’area reale di contatto). Non appena la distanza fra le superfici diventa così piccola da rendere operanti le forze intermolecolari, si manifestano fra di esse legami di adesione. Come rappresentato in Fig.1.11, la resistenza al movimento relativo di due superfici a contatto è dovuta ad un complesso di fenomeni, fra loro interagenti. Si ha dunque che la componente tangenziale della forza di contatto è data dalla somma di vari contributi: Ft = Ft1 + Ft2 + Ft3 + Ft4

(1.21)

che sono rispettivamente: • Ft1 : la forza necessaria per vincere i legami di adesione (microgiunzioni) • Ft2 : la forza necessaria per produrre deformazioni viscoelastiche • Ft3 : la forza necessaria per asportare le asperità che interferiscono geometricamente

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI

15

Figura 1.11: Componenti della forza tangenziale tra superfici • Ft4 : la forza necessaria per produrre solcature plastiche

Il valore di ciascuna componente è funzione dei materiali a contatto, delle caratteristiche delle superfici, della presenza o meno di lubrificanti e delle condizioni operative. Il grafico (Fig.1.12) mette in luce la variazione del fattore d’attrito in funzione dei materiali e delle condizioni di lubrificazione. Come si vede, le caratteristiche dei materiali incidono sensibilmente sul fattore d’attrito in assenza di lubrificazione, ma perdono importanza quando il contatto fra i solidi avviene in condizioni di lubrificazione limite. La componente Ft1 è legata al carico unitario di taglio τ del materiale meno duro, secondo la: Fn τ pm Il componente del fattore d’attrito legato a questo fenomeno risulta perciò: Ft1 = Ar τ =

f1 =

Ft1 τ = Fn pm

(1.22)

(1.23)

con i valori di τ e pm che variano a seconda dei materiali. Per molti materiali metallici risulta: τ∼ (1.24) = 0.6σs pm ∼ (1.25) = HB = 3σs essendo σs il carico unitario di snervamento. Perciò il rapporto τ /pm vale all’incirca 0, 2.

1.3.2

Influenza della rugosità delle superfici

I contributi alla forza d’attrito espressi dai due ultimi termini (Ft3 e Ft4 ) della (1.21) sono legati principalmente alla rugosità delle superfici, quali risulta dalle lavorazioni tecnologiche che le hanno prodotte.

16

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.12: Variazione del fattore di attrito in funzione dei materiali e delle condizioni di lubrificazione Come si può vedere dalla Fig. 1.14, nel campo di valori di rugosità di componenti metallici prodotti da ordinarie lavorazioni tecnologiche (Ra = 0.4 − 1.4µm), non si hanno sensibili variazioni del fattore di attrito. In generale, se la rugosità è molto bassa, l’attrito tende ad essere alto perché l’area reale di contatto aumenta notevolmente e sono esaltati i fenomeni di adesione. Anche in presenza di rugosità molto alta l’attrito aumenta per la necessità di sollevare continuamente una superficie al di sopra delle asperità dell’altra. Nel campo intermedio, invece, l’influenza della rugosità sul fattore d’attrito è modesta.

1.3.3

Influenza delle condizioni operative

Prove sperimentali hanno dimostrato che il fattore d’attrito varia anche sensibilmente, a parità di caratterizzazione fisico-chimiche delle superfici, in funzione • del tempo di contatto, • delle velocità di strisciamento, • della pressione media di contatto, • della temperatura dell’interfaccia • delle condizioni di lubrificazione • dell’atmosfera, specie nel caso dei polimeri.

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI

Figura 1.13: Valori medi dei fattori d’attrito per diversi accoppiamenti

17

18

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.14: Variazione del fattore di attrito in funzione delle rugosità superficiali delle superfici a contatto Influenza del tempo di contatto Numerose esperienze hanno mostrato che il fattore d’attrito statico, in assenza di lubrificazione, è funzione del tempo di contatto fra i corpi. Esso varia rapidamente in un brevissimo periodo iniziale del contatto (0.1s), poi cresce più lentamente sino a stabilizzarsi (Fig.1.15).

Influenza della velocità relativa Il fattore di attrito cinetico, fra superfici in moto relativo, è generalmente inferiore al fattore di attrito statico. L’andamento generale del fattore di attrito in funzione della velocità è riportato in Fig.1.10. Risultati sperimentali, condotti su un campo di velocità più ristretto e per varie coppie di materiali a contatto, sono raffigurati nelle Fig.1.16 e 1.17. Influenza della pressione di contatto L’influenza della pressione di contatto va analizzata distinguendo i casi di pressioni normali ed elevate. Queste ultime si hanno quando la pressione specifica si avvicina o supera il carico unitario di snervamento del materiale. In questo caso all’aumentare della pressione (Fig.1.18) il fattore di attrito diminuisce. Influenza della temperatura Nei metalli le variazioni di temperatura dovute ad effetti esterni non provocano, in generale, sensibili variazioni del fattore di attrito, anche perchè i due termini τ e pm risentono nello stesso modo della variazione di temperatura. Solo nel caso di brevi surriscaldamenti dell’in-

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI

19

Figura 1.15: Variazione del fattore di attrito in funzione del tempo di contatto fra i solidi

Figura 1.16: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni metalli

20

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.17: Variazione del fattore di attrito con la velocità per alcuni polimeri

Figura 1.18: Variazione del fattore di attrito in presenza di elevate pressioni

1.3. FORZE AGENTI NEGLI ACCOPPIAMENTI

21

Figura 1.19: Variazione del fattore di attrito di polimeri in funzione della temperatura ambiente terfaccia per effetto di alte velocità di strisciamento, il fattore di attrito diventa più basso, con ogni probabilità perché il carico di taglio τ diminuisce più di pm . I polimeri presentano invece una maggiore variabilità del coefficiente di attrito con la temperatura (Fig.1.19).

22

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Figura 1.20: Contatto di strisciamento. Calcolo del volume del materiale usurato

1.4

Relazioni fondamentali dell’usura

Quando due membri solidi sono animati da moto relativo di strisciamento il volume del materiale asportato per usura ∆V può essere valutato mediante l’equazione proposta da Holm: Fn (1.26) ∆V = k ∆s = kAr ∆s pm essendo • k un fattore adimensionale sperimentale, • Fn la forza normale esterna, • pm la pressione di snervamento superficiale (misurata dalla durezza di Brinell HB ) • ∆s lo spazio percorso. Se A è l’area geometrica di contatto e ∆h l’altezza usurata, si può riscrivere la precedente in funzione della pressione di contatto p nella forma: ∆h =

∆V Fn 1 Fn p =k ∆s = k ∆s = k ∆s A pm A pm A pm

(1.27)

o in quella equivalente che esprime la velocità di usura: ∆h p ∆s p =k =k v ∆t pm ∆t pm

(1.28)

Il fattore k è funzione dei materiali a contatto e dello stato delle loro superfici, della durezza e delle dimensioni delle particelle abrasive. Varia sensibilmente a seconda del meccanismo prevalente di usura (adesiva, abrasiva, ecc.) In ogni caso, va tenuto presente che i risultati sperimentali presentano una limitata ripetibilità, anche per test condotti su componenti identici.

1.4. RELAZIONI FONDAMENTALI DELL’USURA

23

Figura 1.21: Coefficiente di durata per vari tipi di guarnizioni per freni

1.4.1

Coefficiente di durata

Nello studio dei freni il volume di usura è spesso espresso in modo da mettere in luce il rapporto fra lavoro di frenatura L e il volume di usura ∆V . Dalla ∆V = k

Fn ∆s = kAr ∆s pm

(1.29)

si ottiene la relazione che esprime la cosiddetta ipotesi di Reye: il volume del materiale asportato per usura è direttamente proporzionale al lavoro compiuto dalle forze di attrito ∆V = k

Fn k Ft ∆s = k1 L ∆s = pm pm f

(1.30)

sicché l’usura specifica, ∆V /L, può essere espressa dal rapporto, misurato in mm3 /kJ: k1 =

k pm f

(1.31)

detto coefficiente di usura. Dai grafici di figura (Fig.1.21) si nota che il fattore di usura dipende fortemente dal tipo di materiale per guarnizioni da freno e aumenta più del fattore di attrito, passando da un tipo di guarnizione all’altro. Il reciproco dell’usura specifica k2 =

1 pm f = k1 k

(1.32)

è detto coefficiente di durata. Valori tipici di k2 per i freni vanno da 2 a 100 kJ/mm3 .

24

CAPITOLO 1. MECCANICA DELLE SUPERFICI

Capitolo 2 Forze di contatto per le coppie elementari 2.1

Attrito di rotolamento

Il contatto di rotolamento può avvenire soltanto fra coppie rigide e non combacianti; ad esempio fra un cilindro ed un piano, fra due cilindri, fra una sfera ed un piano. In molti casi della pratica non si ha un contatto di puro rotolamento, bensì un contatto con rotolamento e strisciamento sovrapposti (ad esempio, il contatto fra i denti di due ruote dentate). In questi casi, dal punto di vista della distribuzione delle pressioni valgono le considerazioni che svolgeremo nel presente paragrafo, mentre dal punto di vista dell’attrito l’effetto dello strisciamento prevale, di solito, su quello del rotolamento, per cui in molti casi si può prescindere da quest’ultimo contributo.

Figura 2.1: Area di contatto e distribuzione delle pressioni: a) sfera, b) cilindro Nel contatto fra superfici a doppia curvatura la distribuzione delle pressioni può essere trovata, come visto nel capitolo precedente, utilizzando i risultati della teoria di Hertz. A 25

26

CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI

stretto rigore tale teoria è valida per corpi perfettamente elastici caricati entro il limite di proporzionalità; in realtà i suoi risultati sono applicabili con ottima approssimazione ai materiali comunemente impiegati nelle costruzioni meccaniche.

Figura 2.2: Distribuzione delle pressioni di contatto in presenza di rotolamento Ciò premesso, consideriamo un rullo rotolante su di un piano fisso. Se la distribuzione della pressione normale fosse hertziana e mancassero azioni tangenziali, non si avrebbe spesa di energia. Invece l’esperienza dimostra che anche in questo moto di puro rotolamento si ha dissipazione di energia. Cerchiamo di esaminarne le cause. Queste sono molteplici e spesso concomitanti: • imperfetta elasticità del rullo e del corpo fisso; • fenomeni di elasticità ritardata; • urti fra le asperità superficiali dei due corpi; • slittamento fra i due corpi, che si manifesta quando al rullo sia applicata, oltre ad una forza Q normale alla direzione del moto, anche una forza T parallela a questa direzione. Tralasciando le altre cause di dissipazione, che intervengono sensibilmente soltanto in casi particolari, soffermiamoci brevemente sugli effetti dell’imperfetta elasticità (e su quelli dell’elasticità ritardata, con essi strettamente collegati). Se i due corpi non sono perfettamente elastici, parte dell’energia spesa nella deformazione non viene resa nella successiva fase di restituzione, ma viene dissipata per vincere le resistenze di attrito interno del materiale. Può anche accadere che parte dell’energia accumulata nei due corpi come energia potenziale elastica venga restituita con ritardo e che pertanto finisca con essere anch’essa dissipata. Ragionando in termini di forze, invece che in termini di energie, possiamo dire che la distribuzione di pressione nel contatto non è simmetrica rispetto alla direzione della forza Q, poiché la pressione nella zona anteriore risulta mediamente più elevata della pressione nella zona posteriore. II diagramma della pressione dà luogo, pertanto, ad una risultante

2.1. ATTRITO DI ROTOLAMENTO

27

che ha sempre modulo pari alla Q, ma la cui retta di azione è spostata in avanti, nel senso del moto, rispetto alla Q. Chiamiamo parametro dell’attrito volvente tale spostamento, che indichiamo con il simbolo δ. Per mantenere il rullo in rotazione con velocità angolare costante è necessario applicare ad esso una coppia che eguagli il momento dato dal prodotto della forza Q per il braccio δ: (2.1)

Mm = Qδ

Il lavoro speso per spostare in avanti l’asse del rullo di una distanza s è pertanto dato da: L p = Mm

s δ =Q s R R

(2.2)

dove R è il raggio del rullo. Il rapporto Rδ è chiamato coefficiente di attrito volvente. Lo indicheremo con il simbolo fv . In tal modo si avrà: Lp = fv Qs (2.3) che è formalmente analoga alla espressione che dà il lavoro perduto per attrito fra due corpi striscianti l’uno sull’altro, premuti da una forza Q. La forza orizzontale T da applicare al rullo per farlo rotolare a velocità costante è dunque data da: (2.4)

T = fv Q

II valore del coefficiente di attrito volvente può essere determinato soltanto in via sperimentale; ma il suo ordine di grandezza può essere valutato anche con considerazioni teoriche. Ad esempio i risultati della teoria di Hertz permettono di fissare un limite superiore al valore di fv . Soffermiamoci, a questo proposito, sul contatto fra un rullo ed un piano. Dall’espressione della semilarghezza nel caso di due rulli paralleli:

ponendo R2 → ∞ otteniamo:

v u u b = 1.52t

Q E

³

v u u b = 1.52t

1 R1

1 R2

+

´

l

Q E

³

1 R1

´

l

(2.5)

(2.6)

É evidente che deve essere δ < b (spesso δ è dell’ordine di 0.1b) e quindi: v u u fv < 1.52t

Q E

³

1 R1

´

l

(2.7)

Si osserva che fv è di solito molto piccolo (vedasi tabella) e che, pertanto, il consumo di energia nel rotolamento è di ordine di grandezza molto inferiore a quello che si ha nel contatto di strisciamento fra superfici.

28

CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI Cuscinetti radiali orientabili a sfere Cuseinetti assiali a sfere Cuscinetti radiali rigidi a sfere Cuscinetti a rulli cilindrici Cuscinetti orientabili a rulli Cuscinetti a rulli conici Cuscinetti obliqui a sfere Ruota su rotaia (D è il diametro della ruota in mm) Pneumatico su strada (a velocità inferiore a c. 100 km/ora)

0,0010 0,0013 0,0015 0,0011-0,0020 0,0018 0,0018 0,0020-0,0024 √ 0.026/ D 0,01

Tabella 2.1: Valori orientativi del coefficiente di attrito volvente

2.2

Coppia prismatica

Consideriamo una coppia prismatica realizzata con un’asta rigida guidata da due collari A e B; conoscendo i coefficienti di attrito fra l’asta e i due collari, vogliamo determinare l’intensità della forza motrice P (della quale si conoscono la retta d’azione e il verso) necessaria per vincere la forza resistente Q nota.

Figura 2.3: Coppia prismatica con due collari Le reazioni RA e RB dei collari sull’asta hanno ciascuna una componente normale e una componente tangenziale, dovuta all’attrito; per determinare le rette d’azione di RA e RB , occorre innanzitutto stabilire quali sono i versi delle componenti normali. Per fare ciò, basta considerare le condizioni di equilibrio dell’asta alla rotazione attorno ai punti in cui le rette d’azione di RA e RB incontrano la retta d’azione di Q. Per l’equilibrio dei momenti di RB e di P rispetto al punto di incontro delle rette d’azione di RA e di Q, ad esempio, si vede che RB è orientata verso il basso; con un ragionamento analogo, si vede che RA è invece orientata verso l’alto. Le componenti di attrito di RA e RB hanno sempre versi tali da opporsi all’avanzamento dell’asta, per cui si può concludere che le rette d’azione di RA e RB sono quelle riportate in figura. Se le rette d’azione di P e di Q fossero state tali da incontrarsi in un punto compreso fra i due collari, anzichè in un punto esterno ad essi, le forze RA e RB sarebbero state orientate entrambe o verso l’alto o verso il basso.

2.2. COPPIA PRISMATICA

29

Una volta determinate le rette d’azione di RA e RB , il problema è quello di scomporre la forza nota Q in tre forze P , RA e RB aventi rette d’azione assegnate. Il problema si può risolvere con metodi grafici o analitici. Graficamente, si può osservare che se le rette d’azione di tre forze passano tutte per uno stesso punto, esterno alla retta d’azione della forza rimanente, si verifica l’impuntamento dell’asta: in tali condizioni infatti non esiste alcun valore finito dell’intensità della quarta forza che possa fare equilibrio alla risultante delle prime tre. Risolviamo ora il problema con il metodo analitico, applicando cioè all’asta le equazioni di equilibrio statico secondo Newton. Ciò ci permetterà anche di formulare analiticamente la condizione di impuntamento. Con riferimento alla Fig. 2.4, sia P la forza resistente, con retta d’azione passante per l’asse della coppia prismatica, e F la forza di trazione, parallela a P ma con retta d’azione traslata di una quantità pari a e (eccentricità). Nei punti di contatto A e B l’asta è soggetta alle reazioni vincolari della guida, essendo TA e TB le componenti parallele all’asse, NA e NB le componenti perpendicolari.

Figura 2.4: Fenomeno dell’impuntamento Scriviamo le due equazioni di equilibrio alla traslazione dell’asta, e l’equazione di equilibrio alla rotazione prendendo come polo il punto A:

30

CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI

  

F − TB − P − TB = 0 NB − NA = 0   NB h − 2aTB − P a + F (a − e) = 0

(2.8)

Se ora si vuole trovare il valore della forza minima necessaria per muovere l’asta, è sufficiente porsi nelle condizioni limite di aderenza. Tra le componenti tangenziali e normali delle reazioni vincolari sussiste dunque la relazione: (

TA = fa NA TB = fa NB

(2.9)

Sostituendo tali relazioni nel sistema precedente, si ricava che la minima forza necessaria per muovere l’asta è data da: F =

P 1 − 2fha e

(2.10)

Pertanto F è tanto maggiore quanto maggiori sono P , fa ed e, ed è tanto minore quanto maggiore è h. Il caso dell’impuntamento si verifica quando 2fa e/h = 1, perché il denominatore si annulla e F tende ad infinito.

2.3

Coppia rotoidale

Esaminiamo ora l’equilibrio della coppia rotoidale. Supponiamo che il perno rotante sia caricato da due forze esterne non passanti per l’asse della coppia: una forza resistente Q ed una forza motrice P . La forza R12 trasmessa al perno dalla sua sede deve fare equilibrio alla risultante della P e della Q. La forza resistente Q è nota ed è nota la sua linea di azione. Altri elementi noti sono: la linea di azione della P , e l’angolo di attrito ϕ nel contatto fra gli elementi cinematici della coppia rotoidale. Si vuole trovare l’intensità della forza P capace di equilibrare la Q in condizioni di moto uniforme. In Fig. 2.5 è rappresentata una possibile realizzazione della coppia. Sono anche indicate le forze agenti nel piano medio della coppia. Se non ci fossero attriti la reazione R12 sarebbe diretta secondo un raggio del perno e pertanto passerebbe per l’asse della coppia rotoidale. A causa dell’attrito fra perno e sede la R12 risulta inclinata dell’ angolo ϕ rispetto al raggio del perno passante per il punto del contorno in cui la R12 può considerarsi applicata. Ne discende che la R12 è tangente ad una circonferenza di raggio ρ = Rsinϕ (R è il raggio del perno). Tale circonferenza è chiamata circolo di attrito (spesso il raggio del circolo di attrito è espresso, in via approssimata, come prodotto di R per il coefficiente di attrito f . Con i valori usuali di ϕ questa approssimazione è di solito legittima). La R12 deve passare anche per il punto di incontro di Q e P . Le due condizioni, unitamente alla considerazione che la R12 deve dare, rispetto all’asse del perno, momento che si oppone al moto, permettono di individuare la retta di azione della R12 .

2.4. PIANO INCLINATO

31

Figura 2.5: Coppia rotoidale Nota la linea di azione di R12 , la P può essere immediatamente calcolata in via grafica, con la costruzione del triangolo delle forze. Volendo procedere per via analitica conviene esprimere l’equilibrio dei momenti delle forze attorno all’asse del perno. Si ottiene: Qa + R12 ρ b Inoltre, applicando il teorema di Carnot al triangolo delle forze, si può scrivere: R12 =

P =

(2.11)

q

(2.12)

P 2 + Q2 − 2P Q cos θ

Da queste due equazioni si possono calcolare P e la R12 .

2.4

Piano inclinato

Consideriamo infine l’equilibrio di un grave che poggia su di un piano inclinato (Fig. 2.6). Tale sistema può essere considerato una coppia piana. Supponiamo noti, oltre al peso del grave (forza resistente Q), l’inclinazione α del piano di appoggio rispetto ad un piano orizzontale, l’angolo di attrito ϕ e l’angolo θ che la forza motrice P forma con la normale al piano inclinato. Ci proponiamo di calcolare l’intensità della forza P , in condizioni di moto uniforme. Non essendo richiesta la determinazione di R12 , una sola equazione è sufficiente per la soluzione del quesito. Essa può essere scritta considerando l’equilibrio delle forze secondo una direzione ortogonale alla R12 . Proiettando su tale direzione si ottiene: P sin (θ + ϕ) = Q sin (α + ϕ) ⇒ P = Q sin(α+ϕ) sin(θ+ϕ)

(2.13)

32

CAPITOLO 2. FORZE DI CONTATTO PER LE COPPIE ELEMENTARI

Figura 2.6: Piano inclinato

Capitolo 3 Il rendimento Le forze (e le coppie) agenti sulle macchine possono essere classificate secondo diversi punti di vista. Così, per esempio, una classificazione consiste nel distinguere le forze in motrici e resistenti. Una forza • è motrice, se nel movimento della macchina compie lavoro positivo; • è resistente, se compie lavoro negativo. Distingueremo pure le forze in esterne ed interne. • Le forze esterne derivano dall’azione di campi di forze (peso, forze d’inerzia) o di corpi esterni alla macchina, • Le forza interne sono le forze trasmesse fra i membri della macchina. Due corpi a contatto fra loro si trasmettono una forza, nella quale in genere (sempre, se fra i due corpi c’è moto relativo) è presente una componente dovuta all’attrito. Questa componente d’attrito costituisce una resistenza passiva e durante il moto compie lavoro negativo, cioè dissipa energia. Un effetto analogo danno pure resistenze passive di altro genere, come la resistenza che un fluido esercita su un corpo che si muove immerso in esso, gli attriti interni dei fluidi viscosi, e cosi via. Un indice che ben si presta alla valutazione dell’energia spesa per attrito, così in una coppia cinematica come in una macchina nel suo complesso, è il rendimento. Consideriamo una macchina alla quale siano applicate dall’esterno una o più forze (o coppie) resistenti ed una o più forze (o coppie) motrici. Dopo un certo periodo di funzionamento della macchina le forze resistenti esterne abbiano assorbito il lavoro Lr e le forze motrici abbiano erogato il lavoro Lm . Come si è accennato poco sopra, le componenti d’attrito delle forze interne assorbono lavoro. Indichiamo con Lp , questo lavoro perduto per attrito, riferito allo stesso periodo di tempo. Indichiamo con E l’energia cinetica della macchina (somma delle energie cinetiche dei suoi membri) e prendiamo i lavori in valore assoluto. 33

34

CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO

Se le variazioni di energia interna, come ad esempio quella elastica, sono trascurabili, vale il seguente bilancio energetico: Lm − Lr − Lp = ∆E (3.1)

cioè la somma algebrica dei lavori compiuti, in un certo intervallo di tempo, da tutte le forze agenti sulla macchina, è uguale alla variazione subita dall’energia cinetica nello stesso intervallo di tempo. Se il secondo membro dell’equazione si mantiene costantemente uguale a zero per un certo intervallo di tempo del funzionamento della macchina, diciamo che la macchina funziona in condizioni di regime assoluto. In tale situazione vale la relazione: Lm = Lr + Lp

(3.2)

Può accadere che durante il funzionamento di una macchina il secondo membro della (3.1) risulti uguale a zero soltanto al termine di regolari intervalli di tempo. Può cioè accadere che valga ancora l’equazione (3.2), ma a condizione che i lavori vengano valutati per tempi uguali, o multipli interi, di un tempo base, chiamato periodo. Quando si verificano queste circostanze si dice che la macchina funziona in condizioni di regime periodico. É ovvio che le condizioni di regime, sia assoluto sia periodico, sono condizioni particolari, per quanto frequenti, di funzionamento per una macchina. In generale (per esempio all’avviamento, all’arresto, nel passaggio da un regime all’altro) il secondo membro della 3.1 è diverso da zero, potendo essere, a seconda dei casi, positivo (ad esempio all’avviamento) o negativo (ad esempio all’arresto). Di conseguenza, nel primo caso il lavoro motore prevale sulla somma del lavoro resistente e del lavoro perduto; l’opposto accade nel secondo caso. Questa condizione generale è chiamata transitorio meccanico Ciò premesso, consideriamo una macchina che funzioni in condizioni di regime; valga cioè la (3.2), con le limitazioni sopra menzionate per il caso di regime periodico. In tale situazione definiamo rendimento della macchina il rapporto: η=

Lr Lm

(3.3)

É evidente che il rendimento è un numero sempre minore di uno. • In alcuni casi (per certe coppie o per certe macchine strutturalmente semplici, realizzate con cura, funzionanti in condizioni particolarmente favorevoli) il rendimento può assumere valori prossimi ad uno. • In altri casi il suo valore può scendere a valori molto bassi, fino ad annullarsi o addirittura a divenire negativo; caso questo cui corrisponde impossibilità di movimento. Al rendimento può essere data anche un’espressione diversa. Se immaginiamo che la macchina funzioni in condizioni ideali di assenza di attrito, si ha la seguente relazione: Lm0 = Lr

(3.4)

nella quale con Lm0 si è indicato il lavoro motore richiesto in questa situazione puramente ideale.

3.1. RENDIMENTO DELLE MACCHINE POSTE IN SERIE

35

Si può così scrivere:

Lm0 (3.5) Lm ossia il rendimento è anche dato dal rapporto fra il lavoro motore in condizioni ideali ed il lavoro motore in condizioni reali. Tale espressione del rendimento può essere ulteriormente trasformata. Se indichiamo con P la forza motrice, con P0 la forza motrice in condizioni ideali di assenza di attrito, ricordando che il lavoro è uguale al prodotto scalare della forza per il suo spostamento (che è lo stesso sia per P , sia per P0 ), si può scrivere: η=

P0 P Indichiamo con perdita di rendimento la quantità: η=

1−η =

Lp Lm

(3.6)

(3.7)

Nel calcolo e nella determinazione sperimentale del rendimento di una macchina di rendimento elevato, è spesso conveniente fare uso di quest’ultima espressione; conviene, cioè, giungere alla valutazione di η attraverso quella di 1 − η. Per rendersene conto basta osservare che l’uso di tale espressione permette l’introduzione, nel calcolo di Lp e di Lm di espressioni approssimate, spesso preferibili, perchè più maneggevoli, alle espressioni esatte; infatti eventuali errori, percentualmente anche sensibili, commessi nel calcolo di Lp ed Lm incidono poco sul calcolo di 1 − η, se η è prossimo ad uno. Analogamente nella determinazione sperimentale di 1 − η poco incidono, se η è prossimo ad uno, errori percentualmente sensibili compiuti dagli strumenti nella misura di Lp ed Lm .

3.1

Rendimento delle macchine poste in serie

Si consideri la trasmissione meccanica rappresentata in figura. In essa un motore M pone in movimento una macchina operatrice O attraverso un certo numero di dispositivi intermedi (una trasmissione a cinghia ed un riduttore R). Lo schema è un esempio di come si realizza una disposizione di macchine in serie. Tutti i componenti della serie sono interessati, prescindendo dalle perdite per attrito, dall’intera potenza fornita dal motore, la quale viene in definitiva utilizzata sulla macchina operatrice. In generale un sistema di macchine disposte in serie può essere schematizzato come nella figura successiva, dove fra il motore e la macchina operatrice sono stati inseriti n elementi intermedi. Si dimostra facilmente che il rendimento della serie di n componenti è uguale al prodotto degli n rendimenti parziali. A tal fine osserviamo che, se indichiamo ad esempio con Lr1 il lavoro resistente utile compiuto dalla macchina T1 , e con Lm2 il lavoro motore erogato alla macchina T2 , è Lr1 = Lm2 . Analogamente si ottiene Lr2 = Lm3 .... Il rendimento della trasmissione è per definizione: η=

Lrn Lm1

(3.8)

36

CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO

Figura 3.1: Macchine in serie

Figura 3.2: Più macchine in serie. Schema a blocchi. Per quanto si è visto si può anche scrivere: Lr1 Lr2 Lrn Lrn = .. Lm1 Lm1 Lm2 Lmn

(3.9)

η = η1 η2 ..ηn

(3.10)

ossia:

3.2

Rendimento delle macchine poste in parallelo

Si consideri ora un impianto come quello schematizzato in figura, nel quale più macchine operatrici ricevono potenza da uno stesso motore, attraverso differenti trasmissioni. Siamo in presenza di una disposizione di macchine in parallelo; ciascuno dei rami della trasmissione è percorso da una parte della potenza erogata dal motore. In questo caso il rendimento della trasmissione vale η=

Lr Lr1 + Lr2 + .. + Lrn η1 Lm1 + η2 Lm2 + .. + ηn Lmn = = Lm Lm1 + Lm2 + .. + Lmn Lm

(3.11)

Ossia il rendimento del complesso è uguale alla media ponderata del rendimento dei singoli componenti, essendo pesi i lavori motori. Si può concludere che, mentre con la disposizione in serie il rendimento complessivo risente direttamente del rendimento di ciascun componente, nella disposizione in parallelo sul rendimento complessivo influiscono decisamente soltanto i rendimenti dei componenti che assorbono una sensibile aliquota della potenza erogata dal motore.

3.3. MOTO RETROGRADO

37

Figura 3.3: Schema a blocchi di macchine in parallelo Le considerazioni svolte possono essere facilmente estese al calcolo del rendimento di impianti contenenti macchine con disposizioni miste, parte in serie e parte in parallelo.

3.3

Moto retrogrado

Consideriamo le semplicissime macchine rappresentate nelle figure che seguono: una carrucola ruotante attorno ad un asse fisso, sulla quale è avvolta una fune per il sollevamento di un carico ed un piano inclinato sul quale è poggiato un grave. In entrambi i casi si è indicata con Q la forza resistente, con P la forza motrice.

Figura 3.4: Esempio di macchina semplice Supponiamo che, a partire da una condizione di funzionamento a regime, la forza motrice si riduca di intensità. Può accadere che, a seguito di tale riduzione, la macchina si arresti e si metta successivamente in movimento in senso opposto a quello normale, sotto l’azione della forza Q divenuta motrice; come può accadere che il sistema, arrestatosi per la diminuzione di intensità della P , rimanga in quiete, comunque si riduca il valore della P , fino al suo

38

CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO

Figura 3.5: Esempio di macchina semplice annullarsi. É probabile che la carrucola si comporti nel primo modo; mentre è probabile che il piano inclinato si comporti nel secondo modo. La prima situazione si verifica quando il rendimento del sistema nel moto diretto è abbastanza elevato, mentre la seconda situazione si verifica quando il rendimento nel moto diretto è basso. Quando si verifica la prima situazione diciamo che il sistema ammette moto retrogrado. Ciò premesso, passiamo a considerare una macchina che funzioni in condizione di moto retrogrado (cioè che si muova, in senso opposto, a quello di funzionamento diretto, sotto l’azione della forza che nel moto diretto è la forza resistente); e calcoliamone il rendimento nel moto retrogrado. Il rendimento nel moto retrogrado η ′ è per definizione il rapporto fra il lavoro resistente nel moto retrogrado L′r ed il lavoro motore nel moto retrogrado L′m : η′ =

L′r L′m

(3.12)

Tenendo presente che la forza Q, motrice nel moto retrogrado, è la forza resistente nel moto diretto, e che pertanto, per uguali spostamenti nei due movimenti Lr = L′m si può scrivere: L′ η′ = r (3.13) Lr A sua volta la perdita di rendimento nel moto retrogrado vale: L′p 1−η = Lr ′

(3.14)

dove si è indicato con L′p il lavoro perduto per attrito nel moto retrogrado. Cerchiamo adesso una relazione fra η ed η ′ . É comodo passare attraverso la perdita di rendimento. Si ottiene, dividendo membro a membro:

E dopo qualche passaggio:

L′p Lm L′p 1 1 − η′ k = = = 1−η Lp Lr Lp η η η′ =

η (1 + k) − k η

(3.15)

(3.16)

la quale, noto che sia k, permette di trovare η ′ in funzione di η. Dalla precedente risulta, in particolare, che η ′ < 0, ossia che il moto retrogrado è impossibile, se η < k/(1+k). Poichè k

3.3. MOTO RETROGRADO

39

è di norma poco diverso da uno, si giunge alla conclusione che il moto retrogrado è possibile (ossia è η ′ ≥ 0) quando il rendimento nel moto diretto è superiore a 0, 5 circa. Per valori di η inferiori a 0, 5 non si ha moto retrogrado, ma l’arresto del dispositivo.

40

CAPITOLO 3. IL RENDIMENTO

Capitolo 4 Accoppiamento motore-utilizzatore La maggior parte dei sistemi meccanici comprende un motore, il quale sviluppa forze o coppie motrici che compiono lavoro positivo, e un utilizzatore (o carico), che sviluppa forze o coppie resistenti, le quali compiono lavoro negativo. Il motore e l’utilizzatore sono solitamente accoppiati per mezzo di una trasmissione meccanica. Si potrebbero citare numerosissimi esempi di sistemi motore-utilizzatore. Si consideri un ventilatore: il motore compie un lavoro positivo per vincere la resistenza aerodinamica delle pale in movimento (la coppia resistente). Si consideri un argano che solleva un carico: la forza resistente è costituita dal peso del carico sollevato. Se invece il carico si abbassa, in questo caso il peso diventa la forza motrice e il momento frenante sviluppato dall’argano è la coppia resistente. Sia per il motore che per l’utilizzatore, le due grandezze fondamentali sono la coppia C e la velocità (angolare) ω (nel caso di attuatori e utilizzatori in moto rettilineo si parlerà ovviamente di forza e velocità lineare). Normalmente queste due grandezze (il cui prodotto, lo ricordiamo, dà la potenza) sono dipendenti l’una dall’altra, pertanto C = C(ω), sia per il motore che per l’utilizzatore. E’ allora possibile rappresentare graficamente la dipendenza della coppia dalla velocità, ottenendo così la caratteristica meccanica, rispettivamente del motore o dell’utilizzatore.

4.1

Caratteristica del motore

La caratteristica meccanica del motore è dunque una curva nel piano (C, ω). In Fig. 4.1 sono rappresentate, rispettivamente, le caratteristiche dei seguenti motori: a) motore a combustione interna (ciclo Otto) b) motore a combustione interna (ciclo Diesel) c) motore elettrico asincrono d) motore elettrico a corrente continua a eccitazione separata (o a magnete permanente) e) motore elettrico a corrente continua eccitato in serie f) motore idraulico. La velocità di rotazione dipende principalmente da due fattori: 41

42

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.1: Caratteristiche meccaniche di alcuni motori • dalla coppia che è richiesta dal carico; • dal valore dei parametri di regolazione. Quando si parla di velocità di un motore senza far riferimento alle condizioni di carico ci si riferisce normalmente alla velocità nominale, ovvero alla velocità per la quale è stato ottimizzato il progetto del motore, oppure alla velocità di funzionamento a vuoto, ossia alla velocità assunta dal motore in assenza di carico (ricavabile dall’intersezione della caratteristica con l’asse delle ascisse). La relazione coppia-velocità (caratteristica meccanica) può essere valutata per via teorica o per via sperimentale qualora si disponga di un carico con coppia resistente regolabile (ad esempio un freno). Il rilievo sperimentale va effettuato a velocità costante per escludere l’effetto di altri parametri meccanici (inerzia) o elettrici. Questa caratteristica consente di studiare il comportamento del motore in alcune condizioni indipendentemente dalle caratteristiche elettriche sue e di tutto ciò che gli sta a monte.

4.1. CARATTERISTICA DEL MOTORE

43

La curva caratteristica è particolarmente utile per studiare i casi in cui l’azionamento funziona a regime stazionario, ma può dare qualche informazione anche sui transitori.

Figura 4.2: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore asincrono regolato in frequenza (y = f )

Figura 4.3: Esempi di variazione della curva caratteristica. Motore c.c. regolato in tensione (y = V ) Indichiamo con y (variabile di comando) le eventuali condizioni che possono essere mutate a comando dall’esterno. Al variare di y la curva caratteristica del motore varia. Nei casi più semplici y può assumere soltanto una piccola serie di valori prefissati, corrispondenti a situazioni di tipo marcia avanti/indietro/arresto; all’estremo opposto, in presenza di variatori elettronici, essa può essere rappresentata ad esempio dalla tensione di alimentazione (o dalla intensità o dalla frequenza della corrente) e, quindi, può assumere con continuità una serie di valori compresi tra un minimo ed un massimo.

44

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Ovviamente, quando sul rotore (e quindi sull’albero d’uscita del motore) si genera una coppia motrice Cm sullo statore (e, quindi, sulla parte fissa del motore) si genera una coppia uguale e contraria; a causa di questo fenomeno bisogna sempre prevedere l’ancoraggio dello statore sul basamento della macchina. Scelto un verso positivo di rotazione, coppia e velocità assumono il valore positivo se equiverse con esso.

Figura 4.4: Caratteristiche meccaniche dei motori (scala lineare)

Figura 4.5: Caratteristiche meccaniche dei motori (scale entrambe logaritmiche) A scopo didattico è possibile definire tre tipi ideali di caratteristica meccanica del motore: • retta verticale: il motore funziona come un generatore di velocità. Questi motori girano a velocità costante indipendentemente dalla coppia richiesta dal carico (per esempio il motore sincrono alimentato da corrente alternata a frequenza costante, o un motore in corrente continua o brushless retroazionati in velocità).

4.2. FUNZIONAMENTO DA MOTORE, DA FRENO O DA GENERATORE

45

• retta orizzontale: il motore funziona come un generatore di coppia (ad esempio motori in corrente continua o brushless comandati in corrente) • iperbole equilatera: il motore funziona come generatore di potenza (per esempio, un motore in corrente continua con eccitazione in serie o universale approssima questa curva) Solitamente le curve caratteristiche reali dei motori differiscono da quelle indicate, ma alcuni tratti possono approssimarle abbastanza bene.

4.2

Funzionamento da motore, da freno o da generatore

Assegnato un verso positivo per la coppia e la velocità, in generale il motore può trovarsi a dover funzionare con valori positivi o negativi di coppia e/o velocità, ossia in uno qualunque dei quattro quadranti del piano cartesiano < Cm , ωm >. Indicando con Wm = Cm ωm la potenza meccanica generata dal motore, si avrà: • primo e terzo quadrante, Wm > 0: funzionamento da motore • secondo e quarto quadrante, Wm < 0: funzionamento da freno

Figura 4.6: Azionamento di un ascensore: possibilità di funzionamento Il passaggio da un quadrante all’altro può avvenire senza soluzione di continuità (in particolare anche senza variazioni di y), semplicemente al variare del carico resistente, perchè normalmente le curve caratteristiche non sono limitate al primo quadrante. Esse possono passare dal primo al quarto quadrante attraversando l’asse delle wm , nel punto di funzionamento a vuoto, mentre possono passare dal primo al secondo quadrante attraversando l’asse delle Cm nel punto di stallo.

46

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

In altri casi il passaggio avviene variando y (cioè modificando la curva caratteristica) con continuità o meno, a seconda delle possibilità offerte dal tipo di azionamento. Nel primo e nel terzo quadrante il motore funziona dunque come tale, fornendo potenza al carico, mentre nel secondo e nel quarto quadrante il motore funziona da freno, sottraendo potenza al carico. In alcune situazioni tale potenza viene dissipata in calore, in altre invece il motore funziona da generatore (poiché le macchine elettriche sono reversibili) e una parte di essa viene inviata verso la rete, e quindi recuperata, nella misura concessa dai dispositivi interposti tra motore e rete. Si può quindi avere una frenatura dissipativa e una frenatura rigenerativa.

4.3

Campi operativi di un motore

Facendo variare il valore dei parametri per tutti i valori ammissibili, la curva caratteristica si modifica e spazza una porzione del piano < Cm , ωm >. L’area spazzata rappresenta l’insieme dei possibili punti di funzionamento del motore.

Figura 4.7: Campi di lavoro di un motore c.c. Sono indicate anche le zone continuativa e intermittente É necessario precisare che una porzione di ques’area viene definita zona di funzionamento continuativo e rappresenta le condizioni nelle quali il motore può funzionare per tempo indefinito. La restante zona, detta zona di funzionamento intermittente, rappresenta l’insieme dei punti per il quale il motore può funzionare solo per brevi periodi, per evitare un eccessivo surriscaldamento. I limiti di queste zone dipendono da diversi fattori del motore stesso o dei suoi sistemi di regolazione.

4.4. CURVA CARATTERISTICA DEL CARICO

47

Figura 4.8: Campi di lavoro di un motore asincrono alimentato direttamente da rete I motori funzionano prevalentemente nel primo e terzo quadrante e le loro caratteristiche di funzionamento sono generalmente simmetriche rispetto all’origine e, quindi, nei cataloghi vengono spesso rappresentati solo i campi operativi relativi al primo quadrante. Alcuni motori sono sprovvisti di sistemi di regolazione ed i loro campi operativi si riducono a tratti di curve.

4.4

Curva caratteristica del carico

Similmente a quanto visto per il motore, è talvolta possibile o conveniente descrivere il comportamento del carico attraverso la sua caratteristica meccanica, ossia il legame intercorrente tra la sua velocità ωr e la corrispondente coppia Cr richiesta per mantenerlo in movimento. Per la scelta dei segni di Cr e ωr si usa una convenzione opposta rispetto a quella impiegata per i motori: Scelto il verso positivo per la velocità ωr il segno di Cr è positivo quando la coppia esercitata dal carico è resistente, ossia si oppone ad essa; pertanto il carico si comporta effettivamente come tale quando il suo punto di funzionamento si trova nel primo o nel terzo quadrante. Normalmente la coppia Cr richiesta dal carico è la somma di altri due termini, uno costante e uno crescente con la velocità. La componente predominante è generalmente la prima nelle macchine utensili e nelle macchine di sollevamento e trasporto, mentre è la seconda nelle pompe idrauliche, agitatori, mescolatori. La curva caratteristica di un carico puramente passivo ovviamente si troverà solo nel primo e terzo quadrante, passando dall’uno all’altro attraverso l’origine degli assi, punto che rappresenta la tendenza del carico ad arrestarsi in assenza di una coppia motrice applicata ad esso. In presenza di perdite per attrito radente può essere presente una discontinuità nell’origine. La caratteristica per velocità prossime allo zero assume quel valore di coppia (positiva o negativa) che permette di vincere gli attriti di primo distacco e mettere in moto il carico, in un verso o nell’altro.

48

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.9: Funzionamento nei quattro quadranti di un carico Al crescere di ωr , normalmente cresce anche la coppia resistente Cr ; in qualche caso tuttavia, limitatamente alla zona di velocità molto basse, si ha dapprima una diminuzione di Cr , il che può dar luogo ad inconvenienti nel funzionamento. Carichi di tipo non completamente passivo sono ad esempio quelli in cui interviene l’azione di pesi che abbassandosi producono lavoro. In questi casi la curva caratteristica passa dal primo al secondo quadrante in un punto la cui ordinata rappresenta la coppia necessaria a tener fermo il carico e solo in un secondo tempo, per velocità negative sufficientemente elevate, passa dal secondo al terzo quadrante. É chiaro allora che in generale occorre predisporre un freno, che si inserisce o si disinserisce automaticamente quando il motore viene spento o riacceso (motori autofrenanti), o che interviene almeno quando la velocità si è già annullata (freni di stazionamento) Le curve caratteristiche del carico possono variare in funzione delle mutate condizioni di lavoro: ad esempio negli apparecchi di sollevamento possono traslare verticalmente a seconda del peso che viene sollevato, in un tornio possono variare al variare del diametro del pezzo in lavorazione. Pertanto si avranno tante curve caratteristiche del carico in relazioni a diversi valori assunti da una variabile z rappresentativa delle diverse condizioni di lavoro possibili (parametro di carico).

4.5

Luogo dei carichi

Analogamente a quanto visto per il motore, è possibile definire il campo operativo del carico, chiamato comunemente luogo dei carichi. Per luogo dei carichi s’intende dunque l’insieme delle condizioni di possibile funzionamento a regime in cui il carico possa trovarsi. Il luogo dei carichi è rappresentato nel piano < Cr , ωr > da un’area delimitata da linee, che in generale potranno avere un andamento diverso da quello delle curve caratteristiche. Ad esempio, tali linee possono essere del tipo a velocità costante (una per la velocità min-

4.6. ACCOPPIAMENTO DIRETTO MOTORE-UTILIZZATORE

49

Figura 4.10: Curva caratteristica di un carico (a) puramente passivo, (b) non puramente passivo ima, l’altra per la velocità massima), del tipo a coppia costante, del tipo a coppia crescente con la velocità, o del tipo a potenza costante. Il luogo dei carichi è determinato, in generale, dall’insieme dei punti coppia-velocità di regime che si possono determinare nelle diverse situazioni.

4.6

Accoppiamento diretto motore-utilizzatore

In una minoranza di casi il motore è collegato direttamente all’utilizzatore (un esempio classico è dato da un ventilatore). In tal caso, la condizione di funzionamento a regime si può ottenere molto facilmente riportando nello stesso piano le caratteristiche meccaniche del motore e dell’utilizzatore: poiché a regime la coppia motrice deve essere uguale a quella resistente, le coordinate del punto di intersezione tra le due curve sono proprio i valori di coppia e di velocità cercati (Fig. 4.12). Ovviamente a regime, in condizioni di accoppiamento diretto, motore e utilizzatore hanno la stessa velocità. Nel caso si voglia regolare la velocità di regime del sistema, si dovrà agire sulla variabile di regolazione y già menzionata in precedenza, in modo tale che la caratteristica meccanica del motore si sposti finchè il punto di intersezione con la curva del carico sia quello desiderato. La potenza erogata dal motore (che ovviamente coincide con quella assorbita dal carico, essendo il sistema in condizioni di regime), è: Wm = Cm ωm = Cr ωr = Wr

(4.1)

50

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.11: Luogo dei carichi

4.7

Accoppiamento motore-utilizzatore mediante riduttore di velocità

In molti casi è conveniente implementare un sistema in cui motore e utilizzatore hanno velocità angolari diverse (tipicamente ωm > ωr ), tra loro in rapporto costante. Per realizzare ciò, si interpone tra motore e carico un riduttore di velocità, che ha lo scopo di adattare le caratteristiche meccaniche del motore (coppia e velocità) a quelle del carico. Infatti i motori generalmente possono generare velocità molto superiori a quelle richieste dai carichi, mentre le coppie erogabili sono limitate. Supponendo di trascurare le perdite di potenza per attrito all’interno del riduttore (ipotesi spesso non lontana dalla realtà), l’effetto del riduttore consiste nel ridurre la velocità ed amplificare la coppia con lo stesso rapporto: ωr = τ ωm

(4.2)

Cm = τ Cr

(4.3)

dove ωr e ωm sono la velocità del motore e del carico e Cr e Cm le rispettive coppie; τ è detto rapporto di trasmissione e generalmente si ha τ < 1. Le precedenti equazioni si ottengono considerando che, nella situazione ideale di assenza di perdite all’interno del riduttore (η = 1), la potenza erogata dal motore a regime deve essere uguale alla potenza assorbita dall’utilizzatore. Dall’eguaglianza delle potenze (Cm ωm = Cr ωr ) si ottengono allora le equazioni precedenti, che dicono come il rapporto tra le coppie applicate agli alberi di uscita e di ingresso del riduttore sia inversamente proporzionale al rapporto delle rispettive velocità. L’albero più lento è quindi sottoposto ad una coppia più grande, mentre l’albero più veloce è sottoposto ad una coppia più piccola.

4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ51

Figura 4.12: Accoppiamento diretto motore-carico L’ipotesi di riduttore ideale in molti casi non è lontana dalla realtà, in quanto si possono spesso avere rendimenti molto elevati (superiori a 0,96-0,98). Se invece le perdite nel riduttore non sono trascurabili, le precedenti equazioni assumono la forma: η ωm Cm = Cm ωr τ

(4.4)

1 ωm 1 Cm = ∗ Cm ∗ η ωr τη

(4.5)

Cr ωr = ηCm ωm ⇒ Cr = η nel caso di moto diretto, e

Cr ωr η ∗ = Cm ωm ⇒ Cr =

nel caso di moto retrogrado (il motore funziona da freno). η e η ∗ sono i rendimenti di moto diretto e di moto retrogrado. Quanto enunciato rimane valido anche nella situazione, meno frequente, in cui la velocità del motore sia inferiore a quella del carico a cui deve essere accoppiato. L’unica differenza, in questo caso, è che τ > 1: si avrà pertanto un moltiplicatore di velocità.

52

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.13: a) sistema reale; b) sistema ridotto all’asse motore; c) sistema ridotto all’asse utilizzatore

4.7.1

Riduzione all’asse motore e all’asse utilizzatore

Un modo conveniente di rappresentare l’accoppiamento motore-utilizzatore in presenza di riduttore si basa sulla cosiddetta riduzione, che può essere effettuata all’asse motore, oppure all’asse utilizzatore. Nel primo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equivalente, con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωm del motore. Il sistema risulta sottoposto all’azione di una coppia resistente equivalente Cr∗ = τ Cr , che a regime è pari alla coppia Cm erogata dal motore. La Cr∗ è detta coppia resistente ridotta all’asse motore. Nel secondo caso, il sistema viene rappresentato come un accoppiamento diretto equivalente, con motore e utilizzatore che ruotano alla velocità ωr dell’utilizzatore. Il sistema risulta ∗ allora sottoposto all’azione di una coppia motrice equivalente Cm = Cm /τ , che a regime è ∗ pari alla coppia Cr assorbita dall’utilizzatore. La Cm è detta coppia motrice ridotta all’asse utilizzatore. La Fig. 4.13 illustra il concetto di riduzione del sistema. La riduzione del sistema ad un unico asse, sia esso quello motore o quello utilizzatore, consente di determinare in modo agevole il punto di funzionamento. Da un punto di vista grafico, la procedura di riduzione consiste nel riportare le caratteristiche meccaniche del motore e dell’utilizzatore sul medesimo piano (C, ω): il loro punto di intersezione fornirà la velocità angolare del sistema a regime. Si consideri ad esempio la Fig. 4.14, ove sono riportate le caratteristiche meccaniche di un motore e di un carico che devono essere accoppiati tramite un riduttore di rapporto di trasmissione τ , e si supponga di voler ridurre il sistema all’asse utilizzatore. Si tratterà allora di riportare nel piano (Cr , ωr ) la caratteristica meccanica del motore ridotta all’asse ∗ utilizzatore, ovvero il grafico della coppia motrice equivalente Cm = Cm /τ in funzione della velocità dell’utilizzatore ωr = τ ωm . Ciò significa che il grafico originario della Cm si modificherà moltiplicando il valore dell’ascissa di ogni suo punto per τ e dividendo per lo stesso

4.7. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE MEDIANTE RIDUTTORE DI VELOCITÀ53

Figura 4.14: Accoppiamento motore-carico con riduttore: determinazione del punto di funzionamento a regime

Figura 4.15: Riduzione della curva caratteristica del motore nel piano del carico τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.15). L’intersezione della curva così ottenuta con la caratteristica meccanica del carico fornisce il punto di funzionamento a regime nel piano dell’utilizzatore, le cui coordinate daranno pertanto la velocità del carico e la coppia assorbita dallo stesso. Il loro prodotto sarà la potenza assorbita dal carico. Per determinare velocità, coppia e potenza del motore basterà poi usare le equazioni (4.2) e (4.3). Lo stesso risultato può essere ovviamente ottenuto riducendo il sistema all’asse motore anziché all’asse utilizzatore. In questo caso si dovrà riportare la caratteristica del carico nel piano del motore, dividendo per τ il valore dell’ascissa di ogni punto e moltiplicando per lo stesso τ il valore della corrispondente ordinata (vedi Fig. 4.16). La procedura di riduzione qui descritta può essere anche svolta senza ricorrere ai grafici, eguagliando le formulazioni analitiche delle due caratteristiche meccaniche, avendo cura che

54

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.16: Riduzione della curva caratteristica del carico nel piano del motore

Figura 4.17: Curve caratteristiche del motore ridotte al carico rappresentate in diagrammi logaritmici le grandezze (coppia e velocità) che compaiono nell’equazione risultante risultino riferite allo stesso asse. Se le curve sono riportate in diagrammi logaritmici, poichè moltiplicare o dividere per τ equivale ad aggiungere o togliere log τ , queste trasformazioni equivalogono a traslazioni delle curve caratteristiche lungo rette inclinate di 45◦ (vedi Fig. 4.17 e Fig. 4.18).

4.7.2

Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo

I concetti sopra esposti rimangono validi anche nel caso (non infrequente) in cui l’utilizzatore, anziché ruotare, si muove di moto rettilineo. Un esempio classico è costituito da un argano che solleva un carico tramite una fune che si avvolge su di esso (Fig. 4.19). In condizioni di regime, la potenza Wm fornita dal motore è uguale alla potenza Wr assorbita dall’utilizzatore, ovvero:

4.8. FUNZIONAMENTO A REGIME E IN TRANSITORIO

55

Figura 4.18: Curve caratteristiche del carico ridotte al motore rappresentate in diagrammi logaritmici

Cm ωm = Fr vr

(4.6)

Cm = Fr vr /ωm

(4.7)

da cui:

Il rapporto di riduzione τ = vr /ωm in questo caso non è una grandezza adimensionale, ma ha le dimensioni di una lunghezza. Esaminando la Fig. 4.19, si vede come esso coincida con il raggio r del tamburo su cui si avvolge la fune, in quanto la relazione tra velocità periferica e velocità angolare è data da: v = ωr.

4.8

Funzionamento a regime e in transitorio

Come già evidenziato, se il carico viene direttamente collegato al motore (presa diretta) le loro velocità coincidono ωr = ωm = ω ∗ ; inoltre, a regime, deve essere Cr = Cm = C ∗ , ossia il punto di funzionamento del sistema motore-carico è dato dall’intersezione delle due curve caratteristiche, quella del motore e quella del carico. Infatti, se la macchina funzionasse a velocità inferiore alla velocità di regime ω ∗ allora risulterebbe Cr < Cm , il motore ed il carico accelerebbero fino a raggiungere la condizione Cr = Cm . Analogamente, per ω < ω ∗ la condizione Cr > Cm , provocherebbe un rallentamento. La condizione di equilibrio è, dunque, possibile solo per ω = ω ∗ . Il punto di funzionamento può essere cambiato agendo sulla variabile di comando y, che modifica la caratteristica meccanica del motore, tuttavia esso può variare anche se y resta costante a causa delle possibili variazioni della caratteristica meccanica del carico, rappresentate dalla variabile z, che talvolta assume il significato di grandezza di disturbo, in quanto spesso non è modificabile per effettuare il controllo del movimento.

56

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.19: Trasformazione di un moto rotatorio in un moto rettilineo Se y e/o z variano piuttosto lentamente si può ritenere che la velocità angolare ω e la coppia trasmessa varino seguendo istante per istante gli spostamenti del punto d’intersezione delle due curve caratteristiche. In altre parole, per variazioni lente si può ipotizzare che il sistema passi attraverso una sequenza di condizioni di regime. Per variazioni più rapide bisogna invece tale ipotesi non è più valida, ed è necessario studiare il sistema in condizioni di transitorio meccanico. Consideriamo, ad esempio, il caso che in un certo istante motore e carico direttamente accoppiati (ma, come vedremo, quanto segue vale anche per accoppiamento con riduttore qualora si considerino le coppie e le inerzie ridotte ad un medesimo asse) abbiano velocità ω ¯ diversa da quella di regime. Le due coppie Cm e Cr corrispondenti al medesimo valore della velocità ω ¯ differiscono tra di loro della quantità dovuta alle coppie di inerzia del motore e del carico (vedi Fig. 4.20). L’equazione differenziale che governa il transitorio meccanico di un sistema motoreutilizzatore è data da: dω dt Quindi il motore e il carico accelerano con una accelerazione angolare data da: Cm − Cr = (Jm + Jr )

Cm − Cr dω = dt (Jm + Jr )

(4.8)

(4.9)

4.9. STABILITÀ DEL FUNZIONAMENTO A REGIME

57

Figura 4.20: Accoppiamento motore-carico Integrando questa equazione differenziale si ottiene l’andamento della velocità angolare ω durante il transitorio. Si ricordi che, in presenza di rapide variazioni dell’accelerazione, conseguenti a rapide variazioni di y o z, non si possono in generale più trascurare i transitori interni al motore ed al carico, e di conseguenza bisogna schematizzare meglio il motore attraverso equazioni che permettano di evidenziare i transitori elettrici, e schematizzare in modo altrettanto approfondito il carico mediante modelli matematici di ordine più elevato.

4.9

Stabilità del funzionamento a regime

Analizzando il transitorio meccanico nell’intorno di un punto di funzionamento a regime si può valutare se esso sia stabile o meno. Facciamo riferimento alla Fig. 4.21, dove sono tracciate la curva caratteristica di un motore e quelle di tre diversi carichi. I due carichi descritti dalle curve Cr1 e Cr3 hanno un unico punto di funzionamento a regime (intersezione tra Cm e Cr ), che è stabile perché un eventuale aumento della velocità farebbe aumentare la coppia resistente più di quella motrice, mentre una diminuzione produrrebbe l’effetto opposto. Invece, per il carico descritto dalla curva Cr2 si hanno due possibili condizioni di funzionamento a regime, rappresentate rispettivamente dai punti A e B di intersezione delle caratteristiche meccaniche del motore e del carico. É facile verificare che il punto A rappresenta una condizione di funzionamento stabile: difatti se la velocità diminuisce risulta Cm > Cr , l’accelerazione risulta positiva e la velocità torna ad aumentare, viceversa se la velocità aumenta risulta Cm < Cr , l’accelerazione risulta negativa e la velocità torna a diminuire. Invece nel punto B il funzionamento è instabile: basta un piccolo aumento, o una diminuzione, di ω perché le coppie producano una accelerazione che tende ad allontanare ulteriormente la velocità ω dal valore di regime. La condizione di stabilità o di instabilità non dipende esclusivainente dalla caratteristica

58

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.21: Stabilità del funzionamento a regime meccanica del motore: ad esempio il punto B risulterebbe stabile se la curva caratteristica del carico, invece di essere quella indicata con Cr2 fosse quella indicata con Cr3 in figura. La regola che si ricava da quanto esposto è che il punto considerato è stabile se la pendenza della curva Cm (ω) è inferiore a quella della curva Cr (ω), instabile nel caso opposto. Con riferimento alla Fig. 4.21, possiamo anche osservare che il motore si può avviare per gli utilizzatori rappresentati dalle curve Cr1 e Cr3 ma non nel caso della curva Cr2 . Infatti, in questo caso per ω = 0 la coppia resistente supera quella motrice. Tuttavia anche in questo caso, qualora la macchina venga avviata con qualche mezzo esterno in modo che superi il punto B, essa si porterà a funzionare correttamente nel punto A.

4.10

Transitorio e tempo di avviamento

Consideriamo un semplice caso in cui un carico sia destinato a funzionare a velocità costante. Il motore, avviato da fermo all’istante t = 0, impiegherà un certo tempo ta vv a raggiungere la velocità di regime ω ¯ . Per determinare il tempo impiegato a raggiungere tale condizione è necessario studiare il transitorio ed integrare un’equazione differenziale, ottenendo: tavv =

tZavv 0

dt =

Zω¯ 0

ω ¯

Z Jm + Jr 1 dω = dω ω˙ Cm − Cr

(4.10)

0

Sia la coppia motrice che quella resistente possono dipendere dalla velocità rendendo molto difficile o impossibile l’integrazione per via analitica. Quindi l’integrale è spesso calcolato per via numerica. La Fig. 4.22 illustra, come esempio, il caso di un motore asincrono alimentato dalla rete, direttamente collegato ad un carico avente coppia crescente con la velocità (ad esempio una

4.11. IL TRANSITORIO IN UN SISTEMA MOTORE-UTILIZZATORE CON RIDUTTORE DI VELO

Figura 4.22: Calcolo del tempo di avviamento: esempio pompa centrifuga). Motore e carico a regime raggiungono la velocità ω ¯ = ∆ω1 + ∆ω2 + ∆ω3 + ∆ω4 . Si può allora pensare di dividere il tempo di avviamento complessivo in brevi intervalli, durante i quali le variazioni della coppia motrice e della coppia resistente sono piccole: tali coppie possono quindi essere supposte costanti in ogni intervallo, e di conseguenza il tempo ∆ti necessario per ottenere la variazione di velocità ∆ωi può essere calcolato come: Jm + Jr Cm,i − Cr,i Il tempo di avviamento si ottiene sommando la durata di tutti gli intervalli: ∆ti ≈ ∆ωi

tavv ≈

X i

∆ti ≈ (Jm + Jr )

X i

∆ωi Cm,i − Cr,i

(4.11)

(4.12)

Si noti che non è necessario che i vari intervalli ∆ω siano identici. Ovviamente la precisione aumenta con il numero degli intervalli considerati.

4.11

Il transitorio in un sistema motore-utilizzatore con riduttore di velocità

Si voglia ora studiare il transitorio in un sistema in cui motore e utilizzatore sono accoppiati da una trasmissione meccanica comprendente uno o più stadi. All’uopo si consideri l’esempio raffigurato nella Fig. 4.23: il nostro obiettivo è di ottenere l’equazione differenziale che rappresenta la dinamica del sistema, in modo da poter calcolare l’accelerazione del carico, giungendo anche alla importante definizione di inerzia ridotta. Il sistema comprende un motore collegato ad un argano di sollevamento tramite una coppia di ruote di frizione aventi raggi r1 e r2 . Sul tamburo T dell’argano è avvolta una fune che porta ad una estremità la massa m da sollevare.

60

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.23: Analisi delle forze in un sistema motore-utilizzatore durante il transitorio Sia C1 la coppia erogata dal motore, e si supponga che sul tamburo, oltre al momento creato dal peso della massa m, agisca una coppia resistente C2 . Siano J1 e J2 i momenti di inerzia rispettivamente del motore e del tamburo. Propedeutica alla scrittura delle equazioni dinamiche del sistema è la definizione di un verso positivo per gli spostamenti (siano essi traslazioni o rotazioni) dei vari elementi del sistema. Nel nostro caso, fissiamo come positivo il verso della rotazione dell’asse motore, e quindi della velocità ω1 e dell’accelerazione ω˙ 1 della ruota 1. La ruota 2, che ha verso di rotazione discorde, avrà quindi velocità ω2 e accelerazione ω˙ 2 negative. Per quanto riguarda la traslazione della massa m, fissiamo come positivo il verso dal basso in alto. Il rapporto di trasmissione tra l’asse 1 e l’asse 2 può essere facilmente ricavato osservando che nel punto di contatto le due ruote di frizione devono avere in valore assoluto la stessa velocità periferica v = ω1 r1 = ω2 r2 . Pertanto il rapporto di trasmissione vale:

4.11. IL TRANSITORIO IN UN SISTEMA MOTORE-UTILIZZATORE CON RIDUTTORE DI VELO

τ = ω2 /ω1 = r1 /r2

(4.13)

τ risulta essere anche il rapporto tra le accelerazioni angolari: τ = ω˙ 2 /ω˙ 1 = r1 /r2

(4.14)

Il rapporto di trasmissione tra la massa (in moto rettilineo) e il tamburo (in moto rotatorio) è invece dato, come si è visto in precedenza, dal raggio del tamburo, che è pari a D/2. Si ha pertanto: z˙ = ω2

D 2

(4.15)

D (4.16) 2 Considerando per semplicità prive di attrito le reazioni vincolari dei supporti dei due assi, possiamo ora scrivere le equazioni dinamiche del sistema, in particolare le equazioni di equilibrio alle rotazioni per gli assi 1 e 2. L’equazione di equilibrio alle rotazioni secondo Newton per l’asse 1 è data da: z¨ = ω˙ 2

C1 − F r1 − J1 ω˙ 1 = 0

(4.17)

ove C1 è la coppia motrice, F la componente tangenziale della forza di contatto (aderenza) tra le ruote di frizione, −J1 ω˙ 1 la coppia di inerzia. Si noti che le reazioni vincolari nei supporti e la componente normale N della forza di contatto tra le ruote di frizione non danno contributo all’equazione dei momenti, in quanto le loro rette di azione passano per l’asse e dunque il loro braccio è nullo. Si presti inoltre attenzione al segno di ognuno dei termini della equazione (4.17), determinati considerando positivo il verso della coppia C1 e della accelerazione angolare ω˙ 1 , concorde con essa. La coppia d’inerzia −J1 ω˙ 1 ha allora segno negativo per definizione, mentre il momento −F r1 ha il segno negativo perché discorde con C1 . L’equazione di equilibrio alle rotazioni secondo Newton per l’asse 2 è data da: D D + m¨ z =0 (4.18) 2 2 Per determinare il segno dei termini in questa equazione, si consideri il fatto che l’accelerazione angolare ω˙ 2 dell’asse 2 è discorde con ω˙ 1 . La coppia d’inerzia, che ha sempre verso opposto all’accelerazione angolare, sarà allora concorde con ω˙ 1 , pertanto il termine J2 ω˙ 2 si troverà ad avere segno positivo. Lo stesso ragionamento vale per la coppia d’inerzia generata dalla forza peso, ovvero m¨ z D2 . C2 ha verso positivo perché, essendo la coppia resistente, ha verso discorde con ω2 e quindi è concorde con ω1 . Dalla (4.18) ricaviamo F : C2 − F r2 + J2 ω˙ 2 + mg

C2 + J2 ω˙ 2 + mg D2 + m¨ z D2 F = r2 che poi andiamo a sostituire nella (4.17), ottenendo:

(4.19)

62

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

r1 D D z ) − J1 ω˙ 1 = 0 (4.20) (C2 + J2 ω˙ 2 + mg + m¨ r2 2 2 Per impostare la procedura di riduzione all’asse motore, conviene portare al secondo membro i termini che contengono le grandezze cinematiche (in questo caso le accelerazioni ω˙ 1 , ω˙ 2 e z¨), ottenendo: C1 −

r1 D r1 D r1 r1 C2 − mg = J1 ω˙ 1 + J2 ω˙ 2 + m¨ z (4.21) r2 2 r2 r2 2 r2 Effettuiamo ora la riduzione all’asse motore, ovvero esprimiamo tutte le accelerazioni che compaiono al secondo membro in funzione della ω˙ 1 , secondo la (4.14) e la (4.16). Si ottiene: C1 −

D D = (J1 + J2 τ 2 + mτ 2 ( )2 )ω˙ 1 2 2 da cui finalmente l’espressione dell’accelerazione dell’asse motore: C1 − C2 τ − mgτ

ω˙ 1 =

C1 − C2 τ − mgτ D2 Ceq,1 D 2 = 2 2 Jeq,1 J1 + J2 τ + mτ ( 2 )

(4.22)

(4.23)

Si noti che ω˙ 1 può essere ottenuta come il rapporto tra la coppia equivalente ridotta all’asse motore Ceq,1 = C1 − C2 τ − mgτ D2 e l’inerzia equivalente ridotta all’asse motore Jeq,1 = J1 + J2 τ 2 + mτ 2 ( D2 )2 . Ai fini del calcolo dell’accelerazione angolare dell’asse motore, l’intero sistema è pertanto equivalente ad un unico corpo rigido rotante attorno all’asse, soggetto all’azione della coppia equivalente Ceq,1 e avente momento di inerzia equivalente Jeq,1 . Si dice allora che il sistema è stato ridotto all’asse motore. La procedura di riduzione può ovviamente essere effettuata rispetto ad un altro asse del sistema, diverso dall’asse motore. In generale: • la coppia equivalente si ricava sommando algebricamente tutte le coppie e momenti moltiplicati per il rapporto di trasmissione fra il loro asse e l’asse rispetto al quale viene effettuata la riduzione • l’inerzia equivalente si ottiene invece sommando tutti i momenti di inerzia moltiplicati per il quadrato del rapporto di trasmissione fra il loro asse e l’asse rispetto al quale viene effettuata la riduzione. Vediamo infatti che riducendo il sistema dell’esempio all’asse 2, l’accelerazione angolare ω˙ 2 è data da: ω˙ 2 =

C1 τ − C2 τ 2 − mgτ 2 D2 C1 /τ − C2 − mg D2 Ceq,2 = D 2 D 2 = 2 2 2 Jeq,2 J1 + J2 τ + mτ ( 2 ) J1 /τ + J2 + m( 2 )

(4.24)

e quindi può essere ottenuta applicando le regole enunciate sopra, tenuto conto del fatto che il rapporto di trasmissione dell’asse 1 rispetto all’asse 2 è 1/τ . La riduzione può essere effettuata anche rispetto a z, ovvero all’asse verticale di movimento della massa. In questo caso i rapporti di trasmissione degli assi 1 e 2 rispetto a z sono 2/Dτ e 2/D; l’accelerazione lineare z¨ è allora:

4.12. EFFETTI DELLA VARIAZIONE DEL RAPPORTO DI TRASMISSIONE

z¨ =

2 C1 Dτ − C2 D2 − mg Feq,z = 2 2 2 2 meq,z J1 ( Dτ ) + J2 ( D ) + m

63

(4.25)

Ovviamente in questo caso, trattandosi di un’accelerazione lineare, si avrà una forza equivalente e una massa equivalente ridotte all’asse z. Anche il transitorio meccanico può essere studiato riconducendosi al caso di accoppiamento diretto, pur di sostituire ai momenti di inerzia reali i momenti di inerzia ridotti. Tale riduzione, come visto, avviene secondo il quadrato del rapporto di trasmissione. L’equazione di equilibrio dinamico ridotta all’albero motore è dunque data da: Cm − Cr∗ = (Jm + Jr∗ )

dωm dt

(4.26)

´ dω m

(4.27)

dωr dt

(4.28)

ossia ³

Cm − τ Cr = Jm + τ 2 Jr

dt mentre la stessa equazione, ridotta all’albero condotto, diviene: ∗ ∗ Cm − Cr = (Jm + Jr )

ossia

dωr Jm Cm − Cr = (4.29) + J r τ τ2 dt Come considerazione conclusiva, si può osservare che, benché nella maggior parte dei casi il momento di inerzia dell’utilizzatore sia più grande di quello del motore, nell’espressione dell’inerzia equivalente ridotta all’asse motore esso compare moltiplicato per il quadrato del rapporto di trasmissione, quindi per una quantità che può essere molto minore di 1. Ciò comporta che in parecchi casi il contributo del momento di inerzia dell’utilizzatore possa essere trascurato rispetto a quello dell’inerzia del motore.

4.12

µ

¶

Effetti della variazione del rapporto di trasmissione

Si vogliano ora studiare gli effetti di una variazione di τ sul punto di funzionamento a regime di un sistema motore-utilizzatore. Supponiamo di avere effettuato la riduzione all’asse utilizzatore, e consideriamo motori con diverse caratteristiche meccaniche. Motore generatore ideale di velocità In Fig. 4.24 (diagramma logaritmico) è rappresentata una generica curva caratteristica di un ∗ utilizzatore Cr , nonché le curve caratteristiche Cm di un motore generatore ideale di velocità, ridotte all’asse utilizzatore, in corrispondenza di diversi valori di τ . ∗ In questo caso la velocità ωm , del motore è fissa mentre, a seconda del valore di τ , la Cm è data da una serie di segmenti verticali nel piano < Cr , ωr >, corrispondenti ai vari valori di ωr = τ ωm . Si noti che l’ampiezza di tali segmenti diminuisce all’aumentare di τ , essendo ∗ Cm,max = Cm,max /τ .

64

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.24: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di velocità Si vede allora che la velocità di regime del carico aumenta all’aumentare di τ (almeno finché la coppia massima ridotta non scende sotto quella richiesta dal carico: dopodiché non c’è più condizione di regime). In questo caso, quindi, se si vuole modificare la velocità di regime del carico può essere utilizzato un cambio di marce, ovvero un dispositivo che permette di scegliere il rapporto di trasmissione fra un numero finito di valori. Motore generatore ideale di coppia Nel caso rappresentato in Fig. 4.25 la Cr è uguale a quella del caso precedente, ma il motore è un generatore ideale di coppia, con curva caratteristica data da un segmento orizzontale, ∗ di ampiezza crescente all’aumentare di tau (in quanto ωm,max = τ ωm,max ). In questo caso ∗ all’aumentare di τ diminuisce la coppia Cm , per cui la velocità di regime del carico aumenta al diminuire di τ e si diminuisce all’aumentare di τ (almeno finché la velocità del carico non supera la velocità massima erogabile dal motore, dopodiché non c’è più condizione di regime). Anche in questo caso, quindi, se si vuole modificare la velocità di regime del carico si può utilizzare un cambio di marce, con l’avvertenza che per aumentare ω occorre diminuire τ . Motore generatore ideale di potenza Nel caso rappresentato in Fig. 4.26 il motore è un generatore ideale di potenza, con curva ∗ caratteristica inclinata di -45◦ . In questo caso al variare di τ , la curva caratteristica Cm trasla su se stessa, e di conseguenza la velocità di regime del carico ωr non varia (varia solo quella del motore ωm ). In questo caso un cambio di marce è perfettamente inutile. Questo è ciò che accade, ad esempio, nei veicoli azionati con un motore in c.c. eccitato in serie, come i tram, che infatti non hanno cambio di marce.

4.13. CRITERI DI VERIFICA E DI SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE 65

Figura 4.25: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di coppia Motore con caratteristica generica Nel caso generale il motore ha una curva caratteristica complessa. Spesso, tuttavia, è possibile suddividere approssimativamente la curva in varie zone di funzionamento: a coppia costante, a potenza costante e a velocità costante. L’effetto sulla velocità di regime della variazione di τ è allora ricavabile considerando i tre casi visti in precedenza. Con riferimento alla Fig. 4.27, si può osservare come all’aumentare di τ la velocità di regime del carico ωr dapprima aumenti, poi raggiunga un valore massimo e infine diminuisca.

4.13

Criteri di verifica e di scelta del motore e del riduttore

Tra le problematiche di natura ‘pratica’che si incontrano in ambiente industriale, due sono particolarmente importanti: • la verifica della taglia del motore di una macchina funzionante in condizioni specificate; • la scelta del motore e del riduttore di velocità adatti a movimentare una macchina in condizioni prefissate. La prima di queste operazioni (verifica) è più semplice della seconda e può essere svolta in maniera certa ed automatica. Al contrario l’operazione di scelta è più complicata, può richiedere scelte soggettive e talvolta deve venire svolta in forma iterativa eseguendo i seguenti passi: 1. svolgere un’analisi del sistema; 2. in base ai risultati del passo precedente effettuare una scelta del motore e del riduttore; 3. verificare l’ammissibilità della scelta;

66

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.26: Effetto della variazione di τ - motore generatore ideale di potenza 4. se la verifica non è positiva, ritornare al punto 1 o 2 modificando le scelte ed eseguendo nuove verifiche ripetendo queste operazioni finchè esse non siano positive. L’operazione di verifica consiste essenzialmente nel controllare che il campo operativo del motore copra quello del carico, sia per quanto riguarda le condizioni di regime che quelle di transitorio. In particolare, occorre verificare che: • per ogni condizione di funzionamento, il punto coppia-velocità sia all’interno del campo operativo intermittente, • i valori nominali di coppia e velocità stiano all’interno del campo operativo continuativo. Per quanto riguarda la scelta, va innanzitutto osservato che essa riguarda non solo il motore, ma anche il riduttore di velocità. L’operazione di scelta del gruppo motore-riduttore prevede di analizzare la macchina ed ipotizzare una o più soluzioni da verificare. Nei paragrafi seguenti vengono descritti i criteri di scelta del gruppo motore-riduttore a seconda della natura del carico da movimentare. Si possono prevedere i seguenti casi: 1. Carichi a velocità costante 2. Carichi statici In questo caso il carico si muove a velocità quasi costante o variabile con lentezza, cosicché le azioni inerziali non esistono o sono trascurabili rispetto alle altre (ovvero rispetto alle coppie resistenti). 3. Carichi dinamici Le variazioni di velocità sono di frequenza, e soprattutto di intensità tale, che le coppie di inerzia non possono essere trascurate rispetto alle coppie resistenti.

4.14. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI A VELOCITÀ COSTANTE67

Figura 4.27: Effetto della variazione di τ - motore con caratteristica generica

4.14

Scelta del motore e del riduttore per carichi a velocità costante

In molte situazioni il carico funziona a velocità fissa e richiede una coppia costante. Il riduttore migliore è quello che consente di utilizzare il motore di taglia inferiore. La taglia, detta più propriamente potenza nominale, è la potenza che il motore può erogare in maniera continuativa. Nel caso di carichi a velocità costante la scelta più ovvia è quella di scegliere un motore che, almeno approssimativamente, sia un generatore ideale di velocità. La procedura di scelta prevede i seguenti passi: 1) individuata la condizione di funzionamento più gravosa (coppia resistente massima) si identifica il valore di coppia resistente Cr e si calcola la potenza resistente Wr = Cr ωr che deve essere fornita; 2) La taglia del motore si sceglie in maniera che la potenza nominale sia superiore a quella resistente, in modo da tener conto del rendimento del riduttore: Wm ≥ Wr /η

(4.30)

τ = ωr /ωm

(4.31)

3) Il rapporto di riduzione si calcola infine dal rapporto tra la velocità del carico e quella nominale del motore:

. A seconda dei motori e dei riduttori disponibili si possono individuare più gruppi motoreriduttore adatti. La scelta definitiva va fatta con criteri economici o analizzando altri fattori quali, ad esempio, il tempo di avviamento. Quando la velocità del carico lo consente, si può valutare la possibilità di eliminare il riduttore di velocità, assumendo, perciò τ = 1.

68

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE In generale si deve comunque tener conto delle seguenti limitazioni:: • la curva di coppia motrice non è perfettamente verticale • non sempre esisterà in commercio un riduttore il cui valore di τ è quello richiesto.

4.15

Scelta del motore e del riduttore per carichi statici

Definiamo statici quei carichi che funzionano a velocità pressoché costante o lentamente variabile; pertanto le azioni inerziali non esistono o sono di entità trascurabile rispetto alle altre. La scelta del gruppo motore-riduttore si basa sostanzialmente sull’idea che il campo operativo del motore, ridotto all’asse utilizzatore, deve interamente sovrapporre il campo operativo del carico (si fa generalmente riferimento al campo operativo continuativo). Questa idea, descritta in dettaglio nel paragrafo successivo, prende il nome di adattamento statico dei campi operativi.

4.15.1

Adattamento statico dei campi operativi

Come già detto, normalmente tra motore e carico è previsto un riduttore di velocità, dato che normalmente il carico richiede coppie alte e velocità basse rispetto a quanto fornito da motori di pari potenza. Quindi se cercassimo di sovrapporre i campi di lavoro di motore e carico senza interporre un riduttore di velocità ci troveremmo facilmente in una situazione come quella rappresentata in figura 4.28

Figura 4.28: Campi di lavoro di motore e carico a confronto L’utilizzo di un riduttore di velocità comporta, come sappiamo, una trasformazione delle curve caratteristiche nel passaggio dal piano del motore < Cm , ωm > al piano dell’utilizzatore < Cr , ωr > e viceversa.

4.15. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI STATICI

69

Figura 4.29: Adattamento statico del campo operativo del motore per mezzo di riduttore di velocità

Figura 4.30: Necessità di scelta di un motore con potenza esuberante Per quanto riguarda i campi operativi, si deve osservare che, nella procedura di riduzione, le curve che delimitano il campo di funzionamento del motore e il luogo dei carichi subiscono lo stesso tipo di trasformazioni illustrate per le curve caratteristiche. In particolare, nei diagrammi in scala logaritmìca (che vengono usati di preferenza in questa procedura), tali curve traslano nella direzione a −45◦ di una quantità corrispondente al valore di τ . La Fig. 4.29 illustra la procedura di adattamento statico, che può essere schematizzata nei seguenti passi: 1. si calcola la potenza massima richiesta dal carico. Essa sarà data da Wr = Cr ωr,max ; 2. nel piano < C, ω > si traccia la retta inclinata a −45◦ passante per il punto del luogo dei carichi a potenza massima. Tale retta è il luogo dei punti di potenza pari a Wr ; 3. per tener conto del rendimento del riduttore (η < 1), la potenza nominale richiesta al motore sarà data almeno da Wm = ηWr . Si traccia nel piano < C, ω > la retta Wm ;

70

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.31: Ricoprimento del luogo dei carichi usando un cambio di marce MODIFICARE FIGURA!!! 4. si effettua la scelta del motore in modo tale che il punto di potenza massima del suo campo operativo si trovi sulla retta Wm . In tal modo, si è scelto un motore di taglia (potenza nominale) Wm , che in genere non ricoprirà il luogo dei carichi, essendo tipicamente Cm < Cr e ωm,max > ωr,max ; 5. il ricoprimento del luogo dei carichi si effettua traslando il campo operativo del motore lungo la retta Wm . L’entità della traslazione determina il valore di τ del riduttore; 6. la scelta di τ non è univoca, potendo collocarsi fra un valore τmax , corrispondente all’eguaglianza delle velocità massime di motore e carico con un surplus di coppia, e un valore τmin , corrispondente all’eguaglianza delle coppie massime di motore e carico con un surplus di velocità. In formule, dovrà essere: ωm,max ≥

ωr,max ωr,max ⇒ τ ≥ τmin = τ ωm,max

Cm,max ≥ τ Cr,max ⇒ τ ≤ τmax =

Cm,max Cr,max

(4.32) (4.33)

E’ evidente che per un buon adattamento statico, ovvero per avere un buon ricoprimento dei campi operativi senza eccessivi esuberi di potenza, è necessario scegliere un tipo di motore il cui campo di lavoro abbia, almeno approssimativamente, la stessa forma del luogo dei carichi. Non rispettando questa regola si è costretti a scegliere un motore di taglia eccessiva, con un corrispondente aumento dei costi. La Fig. 4.30 illustra quanto affermato: in questo caso il motore ha un campo operativo a coppia costante, mentre il luogo dei carichi è in parte a coppia costante, in parte a potenza costante. Non esiste allora alcun valore di τ che permetta il ricoprimento completo del luogo dei carichi senza esubero di potenza; si dovrà quindi necessariamente utilizzare un motore di

4.16. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI DINAMICI

71

′

coppia nominale Cm1 e velocità nominale ωr,max , con conseguente inutilizzo di buona parte del campo operativo del motore stesso (il triangolo in alto a destra). E’ questo il motivo per cui, ad esempio, nelle macchine utensili gli assi ed il mandrino sono azionati da motori distinti: gli assi hanno infatti un luogo dei carichi a coppia costante, il mandrino a potenza costante.

4.15.2

Cambi di velocità

Per realizzare una buona sovrapposizione dei campi operativi di motore e carico, quando questi abbiano forma diversa, si può impiegare un variatore meccanico di velocità di tipo a gradini, detto brevemente cambio di velocità o cambio di marce. Si veda la Fig. 4.31: il campo di funzionamento del motore è a coppia costante, mentre il luogo dei carichi è prevalentemente a potenza costante. Se viene utilizzato un unico valore di τ , il motore richiesto presenterà avere una notevole esuberanza di potenza (curva tratteggiata in figura). Per ottenere una prima sensibile riduzione della potenza del motore, basterebbe allora un cambio di velocità con due sole marce, che darebbero luogo a due distinti campi operativi, capaci, nel loro insieme, di ricoprire l’intero luogo dei carichi. Ulteriori riduzioni della potenza installata si possono ottenere aumentando il numero di marce, sino ad arrivare, come limite, al caso di un variatore meccanico continuo, che permette di minimizzare la potenza richiesta al motore. Rispetto ad un variatore continuo, i cambi di marcia hanno il difetto di non consentire una variazione continua del rapporto di trasmissione, ma hanno una serie di vantaggi: • semplicità di costruzione • lunga durata • notevole capacità di carico • rendimento elevato • basso costo per cui vengono spesso preferiti ai variatori continui.

4.16

Scelta del motore e del riduttore per carichi dinamici

Un carico è definito dinamico se le sue variazioni di velocità sono tali da generare coppie di inerzia non più trascurabili rispetto alle coppie resistenti. La scelta del gruppo motoreriduttore per un carico dinamico è un argomento vasto e complesso, per il quale si preferisce rimandare il lettore interessato a testi più specialistici, mentre in questa sede saranno solo descritti i principi generali della procedura di scelta. Si osservi innanzitutto che, a differenza di quanto avviene per i carichi statici, per i carichi dinamici gioca un ruolo fondamentale la legge del moto, con i relativi diagrammi di

72

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.32: Legge di velocità trapezoidale velocità ed accelerazione. In certi casi tale legge sarà assegnata, in altri è possibile sceglierla o perlomeno modificarne i parametri, il che consente di adottare un motore di taglia minore. A titolo di esempio, si consideri il caso di un carico costituito da un posizionatore automatico, per il quale è stata definita una legge di velocità trapezoidale (Fig. 4.32). Il valore della pendenza delle rampe del trapezio determina il valore dell’accelerazione e della decelerazione, e di conseguenza le azioni inerziali sul sistema, influendo quindi sulla scelta del gruppo motore-riduttore. Una volta scelta la legge di moto, si dovrà selezionre il motore tra quelli di taglia minima, nonché il riduttore che minimizzi la coppia. Nel caso di carichi dinamici movimentati con cicli di periodo T , assume particolare importanza la definizione della coppia nominale, ovvero la coppia che può essere erogata in maniera continuativa senza provocare surriscaldamenti del motore. Per motori elettrici, il valore di questa coppia (detta anche ‘coppia termica’) è assunto pari alla coppia quadratica media, indicata con RM S (Root Mean Square) e definita da: Crms =

s

1ZT 2 C (t)dt T 0

(4.34)

Le condizioni che devono essere soddisfatte nella scelta del gruppo motore-riduttore per carichi dinamici sono pertanto le seguenti: 1. la massima coppia istantanea erogabile dal motore deve essere maggiore o uguale alla somma della coppia resistente e delle coppie di inerzia, ridotte all’asse motore: ist Cm,max

¯ ¯ ¯ ¯ Jm ¯ + τ Jr )ω˙ r + τ Cr ¯¯ ≥ ¯(

τ

(4.35)

2. la coppia nominale del motore deve essere maggiore o uguale alla coppia RMS del carico, ovviamente ridotta all’asse motore: nom Cm ≥ τ Cr,rms

(4.36)

4.16. SCELTA DEL MOTORE E DEL RIDUTTORE PER CARICHI DINAMICI

73

3. la velocità massima del motore, ridotta al carico, deve essere maggiore o uguale di quella richiesta dal carico: 1 ωm,max ≥ ωr,max (4.37) τ 4. la taglia (potenza nominale) del motore va scelta in modo tale che il prodotto della sua coppia nominale per la velocità massima sia maggiore o uguale alla potenza RMS richiesta dal carico, a seguito dell’azione resistente e delle azioni inerziali: nom Cm ωm,max ≥ (Cr + Jr ω˙ r )rms ωr,max

(4.38)

Il problema è abbastanza complesso, perché alcuni parametri presenti nelle equazioni precedenti (ad esempio Jm ) dipendono dal motore, e quindi non sono noti finché non è stata effettuata una scelta; inoltre, come si è già visto, anche la legge di moto ha la sua influenza; infine la coppia massima del motore dipende in genere dalla velocità. E’ quindi necessario adottare una procedura iterativa di scelta e successiva verifica, secondo i seguenti passi: 1. scegliere, quando possibile, una legge di moto opportuna 2. effettuare una prima scelta del motore e riduttore secondo un certo criterio (di solito l’obiettivo è quello di ridurre la coppia RMS) 3. verificare che la scelta effettuata rispetti tutti i vincoli sopra elencati; in caso contrario, ritornare ai passi precedenti

4.16.1

Adattamento dinamico del motore al carico

L’adattamento dinamico del motore al carico consiste nella scelta del valore del rapporto di trasmissione che consente di ottimizzare il transitorio, nel senso di garantire al sistema le migliori prestazioni dinamiche, ovvero la massima facilità di variazione della velocità del carico. E’ pertanto evidente che il valore ottimo di τ sarà quello che rende massima l’accelerazione del carico. Consideriamo per brevità solamente il caso in cui la coppia resistente sia trascurabile rispetto alla coppia di inerzia, cioè il carico sia puramente inerziale: Cr = 0 (per il caso generale valgono comunque le medesime considerazioni). Dalla equazione dinamica (4.27), che qui riscriviamo per comodità: ³

Cm − τ Cr = Jm + τ 2 Jr

´ dω m

dt riducendo all’asse utilizzatore e ponendo Cr = 0 si ottiene: dωr Jm Cm = + τ Jr τ dt da cui:

¶

µ

dωr = dt

Jm τ

1 Cm + τ Jr

(4.39)

(4.40)

(4.41)

74

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Per una prefissata coppia motrice, Il valore ottimo di τ , che rende massima l’accelerazione del carico, è quello che minimizza la quantità a denominatore del secondo membro. Tale valore si ricava quindi imponendo: d dτ ossia:

µ

Jm + τ Jr = 0 τ

(4.42)

−

Jm + Jr = 0 τ2

(4.43)

¶

da cui: s

Jm (4.44) Jr Si vede quindi che in corrispondenza di questo valore τott l’inerzia del motore ridotta al carico eguaglia quella del carico. Si è così realizzato il cosiddetto adattamento dinamico del motore al carico. La condizione ottima, da un punto di vista dinamico, è dunque quella in cui i momenti d’inerzia del motore e del carico ridotti al medesimo asse sono uguali: le energie cinetiche del motore e del carico sono uguali tra loro, sicchè della potenza motrice metà servirà ad accelerare il motore mentre l’altra metà attraverserà il riduttore e andrà ad accelerare il carico. In tale condizione l’accelerazione assume il suo valore massimo, che risulta: τott =

dωr Cm )max = √ (4.45) dt 2 Jm Jr Nel caso di carichi dinamici, è dunque opportuno scegliere il riduttore in modo che τ abbia un valore abbastanza prossimo a τott , per assicurare al sistema elevate prestazioni dinamiche. Come regola empirica, per applicazoni non troppo spinte si assume che il rapporto tra inerzia motrice e quella del carico ridotta all’albero motore sia compreso tra 4 e 1/4, ottenendo quindi τott /2 < τ < 2τott . Ovviamente nelle applicazioni più spinte, quali il controllo d’assi, è necessario scegliere valori di τ uguali o abbastanza vicini a τott , in modo da assicurare elevate prestazioni dinamiche. (

4.17

Regime periodico

Come già enunciato nel capitolo 3, un sistema puo’ trovarsi, oltre che nella condizione di regime (assoluto) o in quella di transitorio, anche nella condizione di regime periodico, in cui il bilancio energetico del sistema sia nullo non istante per istante, ma per multipli di un determinato intervallo di tempo detto periodo. In questa condizione la coppia motrice e/o quella resistente variano periodicamente nel tempo, il che causa fluttuazioni periodiche della velocità del sistema. Il regime periodico è abbastanza comune nel funzionamento delle macchine; conviene pertanto affrontare il problema con un approccio generale, estendendo i concetti visti in

4.17. REGIME PERIODICO

75

precedenza di inerzia e coppia ridotta all’asse motore al caso più generico di un sistema meccanico a un grado di libertà.

4.17.1

Inerzia e coppia ridotta alla coordinata libera per un sistema meccanico a un grado di libertà

Dato un sistema meccanico, la posizione di un qualunque suo punto viene a dipendere in maniera univoca (a meno di simmetrie) da un certo numero (finito o infinito) di variabili indipendenti, dette coordinate libere. Esse, se sono in numero finito, costituiscono un vettore q = [q1 q2 ...qn ]T , chiamato configurazione del meccanismo. Si può quindi affermare che, detta P = [xP yP zP ]T la posizione di un generico punto P del sistema rispetto ad un sistema di riferimento assoluto, P = P(q). Le coordinate libere vengono anche chiamate gradi di libertà (abbreviato in GDL o DOF, dall’inglese degrees of freedom) del sistema meccanico. Tra i sistemi meccanici, i più importanti sono quelli a un grado di libertà. I sistemi motore-utilizzatore visti finora sono tutti a un grado di libertà, la coordinata libera q del sistema essendo l’angolo di rotazione dell’asse motore. Vediamo ora di studiare la dinamica di un sistema meccanico ad un grado di libertà, generalizzando le equazioni dinamiche di un sistema motore-utilizzatore. Si è visto in precedenza che l’accelerazione angolare ω˙ m dell’asse motore è data dal rapporto tra la coppia equivalente ridotta all’asse motore e l’inerzia equivalente ridotta al medesimo asse, e che la procedura di riduzione si effettua moltiplicando le forze e le coppie per i rapporti di trasmissione τ dei relativi assi, e moltiplicando i momenti di inerzia per il quadrato degli stessi rapporti di trasmissione. Si è visto altresì che l’energia cinetica complessiva T del sistema è data da: 1 2 T = Jeq,m ωm 2

(4.46)

essendo Jeq,m l’inerzia del sistema ridotta all’asse motore. Negli esempi finora visti essa è costante, in quanto i rapporti di trasmissione che compaiono nella sua espressione sono risultati costanti. In generale però i rapporti di trasmissione possono non essere costanti, ma dipendere dalla posizione del sistema e quindi, in ultima istanza, dal valore della coordinata libera q: τ = τ (q). In generale, si può dunque affermare che l’energia cinetica di un sistema varia al variare della coordinata libera, in quanto l’inerzia è dipendente da q. Possiamo allora scrivere l’equazione che dà l’energia cinetica di un sistema meccanico a un grado di libertà: 1 T = A(q)q˙2 2

(4.47)

ove q˙ è la velocità della coordinata libera (quindi del motore) e A(q) è l’inerzia ridotta alla coordinata libera. Come detto, essa dipende da q in quanto si ricava da: A(q) =

X i

Ji τi2 (q) +

X j

mj τj2 (q)

(4.48)

76

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

con i rapporti di trasmissione per le rotazioni τi (q) e per le traslazioni τj (q) che non sono costanti, ma dipendono in generale da q. Analogamente all’inerzia, e possibile definire la coppia ridotta alla coordinata libera come: X

Q(q) =

Ci τi (q) +

i

X

Fj τj (q)

(4.49)

j

ove τi (q) e τj (q) sono i rapporti di trasmissione degli spostamenti associati alle coppie Ci e alle forze Fj agenti sul sistema. In definitiva, A(q) e Q(q) sono l’estensione di Jeq,m e Ceq,m al caso più generale di un sistema meccanico in cui i rapporti di trasmissione non siano costanti, ma dipendano da q.

4.17.2

Grado di irregolarità del moto periodico

Dato un sistema meccanico in regime periodico, la velocità ω = q˙ della coordinata libera subisce delle fluttuazioni che si ripetono con una certa periodicità T . Il periodo T definisce il ciclo del moto periodico. Si definisce grado di irregolarità del moto il rapporto: ωmax − ωmin q˙max − q˙min = (4.50) ωmedia q˙media ovvero il rapporto fra la massima variazione della velocità all’interno del ciclo e la velocità media. Per determinare il grado di irregolarità del moto di un sistema meccanico, si deve calcolare come varia la velocità q˙ in funzione della coordinata libera q: come si vedrà, l’andamento di q(q) ˙ dipende dall’inerzia ridotta del sistema e dalla coppia risultante, ridotta alla coordinata libera. Ricaviamo innanzitutto l’espressione del lavoro compiuto dalle coppie e forze agenti sul sistema nel tempo da 0 a t∗ , a cui corrisponde uno spostamento della ccordinata libera da 0 a q ∗ . Il lavoro è dato da: g=

L(t∗ ) =

t∗

Z

0

X

(

Ci ωi +

i

X

Fj vj )dt

(4.51)

j

Effettuando la riduzione alla coordinata libera dell’espressione precedente, ovvero esprimendo ciascuna delle ωi e delle vj in funzione di q, ˙ si ottiene: ∗

L(t ) =

Z

t∗

Z

q∗

0

L(q ) =

0

Ci τi (q) +

i

e quindi per sostituzione: ∗

X

(

X

(

i

X

Fj τj (q))qdt ˙

(4.52)

j

Ci τi (q) +

X

Fj τj (q))dq

(4.53)

j

Considerando ora che q ∗ è stato scelto arbitrariamente, e ricordando la definizione (4.49) di coppia ridotta alla coordinata libera Q(q), si ottiene l’espressione del lavoro in funzione della variabile q:

4.17. REGIME PERIODICO

77

L(q) =

Z

q

0

(4.54)

Q(r)dr

Il lavoro così ottenuto (preso con il suo segno) coincide con la variazione dell’energia cinetica T del sistema in corrispondenza dello spostamento da 0 a q della coordinata libera: ∆T (q) = T (q) − T (0) = L(q) =

Z

0

q

Q(r)dr

(4.55)

Se L(q) > 0 si avrà dunque un incremento dell’energia cinetica, viceversa se L(q) < 0 si avrà un decremento. E’ ovvio che, trovandoci in regime periodico, il lavoro netto compiuto per un ciclo (o per un numero intero di cicli) sarà nullo: Lciclo =

Z

0

2π

Q(r)dr = 0

(4.56)

Rimane ora da esplicitare q(q), ˙ in modo tale da poter ottenere come varia la velocità all’interno del ciclo. Esprimendo l’energia cinetica del sistema in funzione dell’inerzia ridotta alla coordinata libera, si ottiene:

da cui:

Z q 1 1 T (q) − T (0) = A(q)q˙2 (q) − A(0)q˙2 (0) = Q(r)dr 2 2 0

v u u A(0) q˙2 (0) + q(q) ˙ =t

A(q)

2 Zq Q(r)dr A(q) 0

(4.57)

(4.58)

Questa equazione può essere utilizzata per determinare il grado di irregolarità del moto di un sistema in regime periodico, a partire dalla conoscenza dell’inerzia ridotta e della coppia risultante, ridotta alla coordinata libera.

4.17.3

Progetto del volano

Figura 4.33: Rappresentazione del ciclo nel piano (A, T)

78

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Figura 4.34: Determinazione di Jv Tipicamente, eccessive fluttuazioni della velocità sono indesiderate: è quindi opportuno mantenere il valore del grado di irregolarità g al di sotto di una soglia prefissata, in modo tale da regolarizzare il moto del sistema. Ciò può essere fatto aggiungendo all’albero motore un volano, ovvero un componente (tipicamente un disco) avente momento di inerzia costante Jv . Si tratta ora di calcolare il valore di Jv necessario per portare il sistema ad avere il grado di irregolarità g desiderato: in ciò consiste il progetto (o sintesi) del volano. Risolviamo dapprima il problema nel caso in cui l’inerzia ridotta alla coordinata libera sia costante: A(q) = Jeq,m = cost. La soluzione si ottiene facilmente combinando le seguenti equazioni: • la definizione di grado di irregolarità del moto: g=

ωmax − ωmin ωmedia

(4.59)

• l’espressione approssimata della velocità media (accettabile in quanto g è generalmente piccolo): ωmax + ωmin ωmedia = (4.60) 2 • l’espressione della massima variazione di energia cinetica all’interno del ciclo, coincidente con il lavoro meccanico fornito nella fase di accelerazione: 1 2 2 − ωmin ) ∆T = ∆L = Jeq,m (ωmax 2

(4.61)

Si ottiene allora: g=

∆L 2 Jeq,m ωmedia

(4.62)

e quindi il valore di Jeq,m necessario per ottenere il grado di irregolarità periodica desiderato è dato da:

4.17. REGIME PERIODICO

79

∆L (4.63) 2 gωmedia La procedura appena vista è accettabile in molti casi; tuttavia, se si desidera una maggiore accuratezza, e in ogni caso qualora l’inerzia ridotta del sistema non sia costante, è necessario utilizzare una metodologia più sofisticata, basata su una sintesi grafica. Partendo dalle (4.59) e (4.60), si possono ricavare i valori delle velocità massima e minima durante il ciclo: Jeq,m =

g q˙max = ωmax = (1 + )ωmedia 2

(4.64)

g q˙min = ωmin = (1 − )ωmedia (4.65) 2 La procedura grafica qui illustrata prevede di rappresentare il ciclo del sistema nel piano (A, T ), ovvero in un diagramma avente per ascissa l’inerzia ridotta A e in ordinata l’energia cinetica T . Con riferimento alla Fig. 4.33, il sistema nella generica configurazione q sarà dunque rappresentato da un punto P della curva chiusa; la velocità q˙ in tale configurazione sarà correlata al valore della tangente dell’angolo α che la congiungente il punto P all’origine degli assi (A, T ) forma con l’asse delle ascisse. Infatti, dalla (4.47) si ricava: 1 2 T (q) q˙ = = tanα(q) (4.66) 2 A(q) Ora, volere che la velocità all’interno del ciclo sia compresa tra un valore minimo e uno massimo dati dalle (4.64) e (4.65) equivale a imporre che la curva che rappresenta il ciclo sia compresa tra due rette aventi pendenze tanαmin e αmax date rispettivamente da: 1 2 tanαmin = q˙min 2

(4.67)

1 2 tanαmax = q˙max (4.68) 2 Il ciclo considerato non soddisfa tali condizioni (altrimenti significherebbe che il moto è già regolarizzato senza necessità di volano): è necessario quindi traslare il sistema (A, T ) in modo tale da individuare un nuovo sistema (A′ , T ′ ) la cui origine coincide con il punto di intersezione delle due rette, tangenti al ciclo, aventi pendenze tanαmin e tanαmax (si veda la Fig. 4.34). In tal modo si è sicuri che la congiungente qualsiasi punto del ciclo con l’origine del nuovo sistema di riferimento avrà pendenza compresa tra tanαmin e tanαmax , il che significa che nessun punto all’interno del ciclo avrà velocità superiore a q˙max né inferiore a q˙min . Il moto è stato dunque regolarizzato, e l’entità della traslazione orizzontale degli assi fornisce il valore del momento di inerzia del volano Jv , che va aggiunto all’albero motore in modo tale da aumentare l’inerzia del sistema di una quantità costante: A′ (q) = A(q) + Jv . Il progetto del volano, ovvero il calcolo del momento di inerzia aggiuntivo Jv necessario per ottenere il valore desiderato dell’irregolarità periodica g, può anche essere svolto per via

80

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

numerica, semplicemente ‘traducendo’ il metodo grafico in equazioni di geometria analitica del piano. Pertanto, con riferimento alla Fig. 4.34, la tangente tanβ alla curva è data da: dT tanβ = = dA

dT dq dA dq

=

Q(q) dA dq

= f (q)

(4.69)

ove f (q) una funzione non lineare nota, essendo date sia Q(q) che A(q). L’equazione precedente si risolve sostituendo a β i valori αmin e αmax , in modo da ottenere le soluzioni qmin e qmax , che sono i valori della coordinata libera in corrispondenza dei quali si hanno rispettivamente le velocità minima e massima del ciclo. Tali valori possono essere utilizzati per calcolare le coordinate dei punti del piano (A, T ) corrispondenti alle velocità minima e massima, come segue: Amin = A(qmin ) Amax = A(qmax ) Tmin = T (qmin ) = Tmax = T (qmax ) =

Z

qmin

Z 0qmax 0

(4.70) (4.71)

Q(r)dr

(4.72)

Q(r)dr

(4.73)

Per ricavare la traslazione orizzontale che fornisce il valore del momento di inerzia del volano Jv è ora sufficiente eguagliare l’espressione analitica della retta di pendenza tanαmin , passante per il punto di coordinate (Amin , Tmin ), con la retta di pendenza tanαmax , passante per il punto di coordinate (Amin , Tmin ): Tmin + tanαmin (A − Amin ) = Tmax + tanαmax (A − Amax )

(4.74)

L’equazione così ricavata si risolve nell’incognita A, ottenendo il valore cercato Jv = −A.

4.18

Equilibramento dei rotori

Nei sistemi motore-utilizzatore in cui siano presenti alberi posti in rotazione attorno al proprio asse è fondamentale considerare la questione dell’equilibramento. I rotori, ovvero gli alberi con le masse ad essi solidali, devono essere globalmente equilibrati, in modo tale da minimizzare le vibrazioni e le sollecitazioni dei supporti. Un rotore si dice equilibrato staticamente se il suo baricentro si trova sull’asse di rotazione. In questo caso, essendo nulla la distanza tra baricentro e asse di rotazione, è complessivamente nulla la forza centrifuga agente sul rotore. Al contrario, se il baricentro non giace sull’asse di rotazione, il rotore risulta soggetto ad una forza centrifuga la cui intensità è data da: Fc = mω 2 r

(4.75)

essendo m la massa del rotore, ω la sua velocità angolare e r la distanza del baricentro dall’asse di rotazione.

4.18. EQUILIBRAMENTO DEI ROTORI

81

Figura 4.35: Rotore non equilibrato dinamicamente La suddetta forza centrifuga induce sollecitazioni sui supporti che, essendo legate al quadrato della velocità angolare, possono assumere valori elevati anche a velocità non particolarmente alte. E’ pertanto fondamentale provvedere all’equilibramento statico dei rotori, ad esempio progettando, come sarà illustrato nel seguito, un opportuno contrappeso. Anche nel caso di rotore equilibrato staticamente possono però originarsi delle reazioni vincolari rotanti nei supporti, qualora il rotore stesso non sia equilibrato dinamicamente, ovvero qualora il proprio asse di rotazione non coincida con uno degli assi principali di inerzia, definito come un asse rispetto a cui la matrice di inerzia del corpo sia diagonale. Con riferimento alla Fig. 4.35, si vede che le due metà del rotore hanno baricentri che non si trovano sull’asse di rotazione; pertanto, le forze centrifughe a cui sono soggette le due metà del rotore hanno risultante nulla ma, non avendo la medesima retta di azione, generano una coppia che induce sollecitazioni sui supporti.

4.18.1

Progetto del contrappeso per l’equilibramento statico di un meccanismo

Figura 4.36: Biella rappresentata con il metodo di sostituzione Si consideri il problema di equilibrare staticamente un meccanismo biella-manovella. Tale

82

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

meccanismo, chiamato anche manovellismo di spinta, è costituito da una manovella rotante, collegata tramite coppie rotoidali ad un telaio fisso e ad un corpo di forma allungata (biella), il quale a sua volta è accoppiato ad un pistone che trasla lungo un asse fisso. Se il sistema fosse costituito unicamente dalla manovella, progettare il contrappeso per l’equilibramento statico del sistema risulterebbe molto semplice, basterebbe infatti eguagliare i momenti statici della manovella e del contrappeso, rispetto all’asse di rotazione, per assicurare che il baricentro del sistema si trovi su tale asse: mc d(OGc ) = mm d(OGm )

(4.76)

In questa equazione, mm e mc sono le masse della manovella e del contrappeso, Gm e Gc sono i rispettivi baricentri, O è il centro di rotazione e d è la funzione distanza. Ricordiamo che il ‘momento statico’ di un corpo rispetto ad un polo O (da non confondersi con il ‘momento di inerzia’ né con il ‘momento’ inteso come sinonimo di ‘coppia’ !) è dato dal prodotto della massa del corpo per la distanza tra il suo baricentro e il punto O. La (4.76) fornisce il momento statico del contrappeso che deve essere aggiunto alla manovella per equilibrarla staticamente: ottenuto tale valore, il progettista può scegliere a piacimento i valori di mc e OGc . L’equilibramento dell’intero sistema biella-manovella deve invece tenere conto anche della biella, in quanto essa contribuisce parzialmente a generare la forza centrifuga. Una metodologia usata in casi come questo consiste nel creare un modello in cui la biella è rappresentata da due masse di sostituzione, ovvero due masse concentrate, collocate sugli assi dei due accoppiamenti, che complessivamente producano gli stessi effetti dinamici della biella reale. Il vantaggio legato all’utilizzo delle masse di sostituzione sta nel fatto che risulta semplice separare il contributo dato dalla biella alla dinamica della manovella (schematizzato dalla massa rotante mr collocata nel punto dell’accoppiamento con la manovella) dal contributo dato alla dinamica del pistone (schematizzato dalla massa traslante mt collocata nel punto dell’accoppiamento con il pistone). Affinché le masse di sostituzione siano dinamicamente equivalenti alla biella reale, è necessario che siano soddisfatte le seguenti condizioni: 1. la posizione del baricentro del sistema di sostituzione sia la stessa di quella del sistema reale, per assicurare che le accelerazioni dei baricentri siano le stesse in qualsiasi condizione di funzionamento; 2. la massa totale dei due sistemi sia uguale, affinché la forza d’inerzia risultante sia la stessa; 3. il momento di inerzia rispetto al baricentro sia lo stesso per i due sistemi, in modo tale che la coppia di inerzia risultante sia uguale. La posizione delle masse di sostituzione, collocate nei punti di accoppiamento della biella, non può essere modificata se si vuole calcolare correttamente il contributo dinamico della biella rispettivamente alla manovella e al pistone; rimangono quindi da determinare solamente i valori delle due masse mr e mt . Essendovi solo due incognite, non è possibile soddisfare contemporaneamente le tre condizioni enunciate sopra; si sceglie allora di ricavare i valori di mr e mt imponendo le condizioni

4.18. EQUILIBRAMENTO DEI ROTORI

83

1. e 2., mentre per assicurare il rispetto della condizione 3. si dovrà considerare un momento aggiuntivo dato dalla differenza tra la coppia di inerzia della biella reala e la coppia di inerzia del sistema di sostituzione. Dalle prime due condizioni si ottiene dunque il sistema: mr a = mt b

(4.77)

mr + mt = mb

(4.78)

ove a e b sono le distanze dei punti di accoppiamento dal baricentro della biella (vedi Fig. 4.36), mentre mb è la massa totale della biella. Una volta ricavati i valori delle masse di sostituzione, si calcola la coppia di inerzia da esse prodotta: Csine = −Js αb = −(mr a2 + mt b2 )αb

(4.79)

Cbine = −Jb αb

(4.80)

∆M = Cbine − Csine = −Jb αb + Js αb = −(Jb − mr a2 − mt b2 )αb

(4.81)

mc d(OGc ) = mm d(OGm ) + mr r

(4.82)

essendo αb l’accelerazione angolare della biella. La coppia di inerzia effettivamente agente sulla biella è invece data da:

Pertanto, la coppia d’inerzia ∆M , che deve essere aggiunta nel modello di sostituzione affinché esso rappresenti correttamente la biella reale da un punto di vista dinamico, è data da:

La Fig. 4.36 mostra la biella rappresentata mediante il modello di sostituzione. Una volta calcolate le masse di sostituzione, in particolare la massa rotante mr che dà il suo contributo alla dinamica della manovella, è possibile calcolare il contrappeso necessario per equilibrare staticamente il gruppo manovella più massa rotante, portandone il baricentro sull’asse di rotazione. Eguagliando i momenti statici, si ottiene:

ove r è il raggio di manovella, mentre d(OGc ) e d(OGm ) sono le distanze dall’asse di rotazione dei baricentri del contrappeso e della manovella.

84

CAPITOLO 4. ACCOPPIAMENTO MOTORE-UTILIZZATORE

Capitolo 5 Organi per la trasmissione del moto: gli ingranaggi Nel capitolo precedente si sono studiati i principi generali di accoppiamento fra un motore e un utilizzatore meccanico. In questo e nei capitoli successivi saranno considerati i prinicpali organi meccanici utilizzati per la trasmissione del moto, a cominciare dai sistemi costituiti da ruote dentate tra loro accoppiate. Tali sistemi sono detti ingranaggi. Una ruota dentata è un solido costruito in modo da poter ruotare attorno ad un asse e dotato di sporgenze dette denti in grado di trascinare in movimento i denti di un’altra ruota. Le ruote dentate, siano esse piane o coniche, e qualunque sia il tipo di dentatura con cui siano state costruite, rappresentano insieme alle ruote di frizione la principale soluzione al problema della trasmissione del moto fra una coppia di assi (siano essi paralleli, concorrenti in un punto oppure sghembi) con un rapporto di trasmissione costante. L’uso di ingranaggi per la trasmissione del moto è opportuno quando: • coppia e potenza da trasmettere sono elevate; • il rapporto di trasmissione deve essere mantenuto costante con buona precisione; • si devono ottenere forti riduzioni di velocità con ingombri limitati; • il valore dell’interasse deve essere contenuto. Per poter meglio comprendere i principi di funzionamento delle ruote dentate, premettiamo la descrizione di un altro organo idoneo a trasmettere il moto tra due assi paralleli o concorrenti, quando le coppie e potenze in gioco non siano eccessive: le ruote di frizione, altresì dette ruote di attrito.

5.1

Ruote di frizione

Consideriamo due dischi (A) e (B) di raggi r1 ed r2 (fig.5.1) vincolati rispettivamente alle coppie rotoidali O1 ed O2 , i cui assi sono paralleli. Se nel punto di contatto C sussistono condizioni di aderenza, il moto relativo fra (A) e (B) risulta essere di puro rotolamento senza strisciamento. Il centro del moto è proprio il punto 85

86CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.1: Ruote di frizione C, e le circonferenze, traccia delle due ruote sul piano del moto, sono dette le circonferenze primitive. Un siffatto meccanismo costituisce una coppia di ruote di frizione; la trasmissione del moto è assicurata esclusivamente dalle condizioni di aderenza che debbono verificarsi nel contatto. L’analisi cinematica mostra che, se il moto relativo è di puro rotolamento, la velocità di C deve essere la stessa, che sia considerato appartenente alla ruota 1 oppure alla ruota 2. Pertanto: A

vC = B vC

(5.1)

e quindi, indicando rispettivamente con ω1 e ω2 le velocità angolari della ruota (A) e della ruota (B) sarà: ω1 r1 = ω2 r2 (5.2) Ne segue che il rapporto di trasmissione del meccanismo è: ¯ ¯ ¯ ω2 ¯ r ¯=± 1 ¯

τ = ± ¯¯

ω1

r2

(5.3)

ed è costante. I versi delle velocità angolari di (A) e di (B) sono discordi se le ruote (A) e (B) sono disposte come in Fig. 5.1 e quindi nell’equazione (5.3) vale il segno meno; sono invece concordi, e varrà quindi il segno più, quando le ruote (A) e (B) sono disposte come in Fig. 5.2, che rappresenta il caso in cui una delle due ruote sia interna. Quando la realizzazione di un rapporto di trasmissione costante deve essere realizzato fra due assi concorrenti in un punto, le superfici a contatto sono quelle di due coni a sezione circolare tangenti lungo una generatrice comune (Fig.5.3), i cui assi formano fra loro un angolo α. Indicando rispettivamente con α1 ed α2 le semiaperture dei due coni (la cui somma dà ovviamente l’angolo α), la condizione di rotolamento senza strisciamento nel moto relativo

5.1. RUOTE DI FRIZIONE

87

Figura 5.2: Ruote di frizione interne è che tutti i punti della generatrice di contatto abbiano la stessa velocità tangenziale, sia essa calcolata in funzione di ω1 oppure di ω2 : −−−−−→ −−−−−→ ω ~ 1 × (C − O) = ω ~ 2 × (C − O)

(5.4)

ω1 OC sin α1 = ω2 OC sin α2

(5.5)

e quindi: Pertanto il rapporto di trasmissione è dato da: ¯ ¯ ¯ ω2 ¯ sin α1 τ = ± ¯¯ ¯¯ = ±

ω1

sin α2

(5.6)

ed è anch’esso costante. Ovviamente il segno meno varrà nel caso di ruote esterne, il segno più nel caso di ruote interne (si veda Fig. 5.3). L’effettivo utilizzo delle ruote di frizione come meccanismi atti a realizzare un rapporto di trasmissione costante è confinato al campo della trasmissione di piccole potenze (coppie basse e basse velocità); si comprende che la condizione di strisciamento nullo nel contatto è realizzabile solo in presenza di un adeguato carico normale sufficiente a generare la forza tangenziale d’attrito necessaria al funzionamento: tale carico normale non potrà tuttavia essere troppo elevato per non generare deformazioni locali nel contatto ed elevate perdite per attrito nei perni delle coppie rotoidali. Le deformazioni del contatto d’altra parte renderebbero falsa la condizione che le primitive del moto siano le due circonferenze (nel caso di ruote piane) o i due coni (nel caso di assi concorrenti), che assicuravano il rapporto di trasmissione costante desiderato. In generale, le condizioni limite di aderenza determineranno un limite superiore per le coppie applicabili agli assi delle due ruote, che dovranno quindi risultare:

88CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.3: Ruote di frizione coniche - a) esterne, b) interne

C1 ≤ fa FN r1 C2 ≤ fa FN r2

(5.7) (5.8)

ove fa è il coefficiente di aderenza tra le due ruote e FN il carico normale.

5.2

Ruote dentate piane ad evolvente

Figura 5.4: Profili ad evolvente dei denti di una ruota dentata Quando sono in gioco potenze notevoli è conveniente che la trasmissione del moto sia affidata non all’aderenza, ma all’azione mutua che si scambiano opportune superfici coniugate ricavate sulla periferia di un disco, superfici che costituiscono la sagoma dei denti di una ruota dentata.

5.2. RUOTE DENTATE PIANE AD EVOLVENTE

89

Figura 5.5: Ingranamento fra ruote dentate Il profilo dei denti è dato da una curva detta evolvente di cerchio. L’evolvente è la traiettoria di un punto generico di una retta che rotola senza strisciare su una circonferenza, e può essere generata a partire da una circonferenza fondamentale di raggio rf , con la proprietà che in ogni suo punto la normale all’evolvente è tangente alla circonferenza fondamentale (Fig. 5.4). I due tratti di evolvente che costituiscono la sagoma del dente si svolgono in parte internamente e in parte esternamente alla circonferenza primitiva. Il profilo ad evolvente è presente su entrambi i fianchi del dente, in modo tale da poter trasmettere il moto in entrambi i versi di rotazione. Si faccia riferimento alla Fig. 5.5: i profili ad evolvente e1 ed e2 delle ruote dentate (1) e (2) vengono a contatto nel punto P . Per la proprietà dell’evolvente, la normale comune I1 I2 ai due profili nel punto P deve essere tangente ad entrambe le circonferenze fondamentali cf 1 e cf 2 . In conseguenza della rotazione, il punto di contatto tra i denti si sposta (ad esempio in P ∗ ) mantenendosi però sempre sulla retta I1 I2 , che risulta quindi essere il luogo geometrico dei punti di contatto fra i denti delle due ruote. Tale retta è chiamata retta dei contatti o retta di pressione in quanto, in assenza di attrito, essa rappresenta la direzione della forza mutua che si scambiano i denti in presa. L’angolo ϑ che la retta di pressione forma con la normale alla congiungente gli assi O1 , O2 delle ruote è chiamato angolo di pressione. Il punto C, intersezione della retta di pressione con la congiungente gli assi O1 , O2 , costituisce geometricamente il punto di tangenza di due circonferenze cp1 e cp2 centrate in O1 , O2 e di raggi r1 = O1 C e r2 = O2 C, dette circonferenze primitive. Risulta allora evidente che, da un punto di vista cinematico, una coppia di ruote dentate è equivalente a una coppia di ruote di frizione aventi circonferenze uguali alle primitive. Dalla Fig. 5.5 è facile ricavare la relazione tra le circonferenze fondamentali e le primitive: essendo O1 I1 C e O2 I2 C due triangoli rettangoli, si avrà:

90CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

(5.9)

rf = r cos ϑ

Per l’equivalenza cinematica tra ruote di frizione e circonferenze primitive, il rapporto di trasmissione tra una coppia di ruote dentate sarà dato dalla (5.3): ¯ ¯ ¯ ω2 ¯ r1 τ = ± ¯¯ ¯¯ = ±

(5.10) ω1 r2 Nel caso di un unico ingranaggio, spesso viene trascurata l’indicazione del segno del rapporto di trasmissione. Scriveremo quindi: τ=

ω2 r1 = ω1 r2

(5.11)

τ=

rf 1 ω2 = ω1 rf 2

(5.12)

oppure, per la (5.9):

Figura 5.6: Nomenclatura di una ruota dentata Per le ruote dentate vale la seguente nomenclatura (Fig. 5.6): • la congiungente i centri delle ruote, O1 , O2 prende il nome di retta dei centri ; • la fase in cui i denti si toccano prima dell’attraversamento della retta dei centri si dice fase di accesso; la successiva, fase di recesso; • nelle ruote esterne la parte del profilo del dente interna alla primitiva prende il nome di fianco del dente, la parte esterna prende il nome di costa del dente; nelle ruote interne è il viceversa; • troncature si chiamano la circonferenze ideali secondo le quali è delimitato il dente in altezza; – la troncatura di testa, tt , delimita i denti verso l’esterno,

5.2. RUOTE DENTATE PIANE AD EVOLVENTE

91

– la troncatura di base (o interna), tb , delimita i denti internamente alla primitiva; • la differenza fra i raggi della troncatura di testa e della primitiva prende il nome di addendum; • la differenza fra i raggi della primitiva e della troncatura di base prende il nome di dedendum; • la somma dell’addendum e del dedendum dà l’altezza del dente; • la lunghezza dell’arco di primitiva compreso fra due profili omologhi (o fra due assi di simmetria del dente) successivi prende il nome di passo della dentatura; • la lunghezza dell’arco di primitiva compreso fra i due profili che costituiscono il dente prende il nome di grossezza del dente; • la differenza fra passo e grossezza è l’ampiezza del vano fra due denti; • la lunghezza dell’arco di primitiva corrispondente alla rotazione durante la quale due denti sono in presa prende il nome di arco d’azione (Fig. 5.7); affinché i due denti successivi siano in presa prima che i precedenti si abbandonino, l’arco d’azione deve essere maggiore del passo; • il rapporto tra l’arco d’azione e il passo viene chiamato rapporto di condotta; per assicurare la continuità del moto, il valore del rapporto di condotta dovrà essere sempre maggiore di uno. Affinché due ruote ingranino correttamente, devono avere lo stesso passo p, ed affinché il loro funzionamento sia invertibile i denti devono presentare profili simmetrici rispetto ad un raggio che sarà quindi l’asse del dente. Ovviamente, perché le ruote possano funzionare correttamente per almeno una rotazione completa, il numero dei denti z, deve essere intero. Se p è il passo della dentatura, comune a due ruote ingrananti fra loro, le relazioni che legano il numero dei denti alla lunghezza della circonferenza primitiva di ciascuna di esse saranno: 2πr1 = pz1 2πr2 = pz2 da cui:

p 2r1 2r2 =m= = π z1 z2

(5.13) (5.14)

(5.15)

Il rapporto m = p/π che compare nella (5.15) prende il nome di modulo della dentatura (o anche passo diametrale) e si comprende che se due ruote ingrananti fra loro devono avere lo stesso passo, ciò equivale a dire che dovranno avere anche lo stesso modulo. Dalle (5.15) e (5.11) si ricava che il rapporto di trasmissione di un ingranaggio è esprimibile anche come rapporto fra il numero dei denti delle ruote accoppiate:

92CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.7: Arco d’azione z1 ω2 = (5.16) ω1 z2 Per il modulo, che esprime il rapporto fra il diametro di primitiva di una ruota ed il numero dei suoi denti, si conviene di adottare generalmente numeri interi; solo per dentature piccole si adottano numeri frazionari. A parità di numero di denti, a moduli piccoli corrisponderanno ruote piccole, a moduli grandi ruote grandi. Il valore del modulo (comunemente indicato in mm) ha un ruolo fondamentale nel proporzionamento della ruota (proporzionamento modulare): si pone l’addendum pari ad m ed il dedendum pari a 5m/4; l’altezza del dente risulterà pertanto pari a 9m/4. Adottando un dimensionamento modulare si è certi che l’altezza del dente sia sufficientemente grande per garantire che vi sia sempre almeno una coppia di denti in presa per assicurare la continuità del moto, evitando al contempo fenomeni di interferenza tra le ruote dentate, che si verificherebbero se l’altezza fosse eccessiva. La scelta del valore del modulo per un ingranaggio ha un ulteriore risvolto: fissato il diametro delle primitive, il modulo determina il diametro delle circonferenze di troncatura di testa e di conseguenza, sulla retta g (Fig. 5.7), i punti IA ed IB in cui avverrà il primo contatto in fase di accesso (IA ) e l’ultimo contatto in fase di recesso (IB ). Si comprende allora che tanto più grande è il modulo scelto per la dentatura, tanto più lontano dal centro C si troveranno i punti IA ed IB , e di conseguenza tanto maggiore sarà la velocità di strisciamento (velocità relativa) fra i profili, e quindi la potenza perduta nell’ingranaggio. All’aumentare del raggio primitivo r2 della ruota maggiore, il profilo ad evolvente del τ=

5.3. RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI DIRITTI

93

Figura 5.8: Trasmissione a rocchetto e cremagliera dente tende a diventare sempre più rettilineo e il rapporto di trasmissione diminuisce, fino ad annullarsi per r2 → ∞, in quanto il moto della ruota non sarà più rotatorio, ma traslatorio. Come si vede dalla Fig. 5.8, il profilo del dente risulta allora perfettamente rettilineo e la ruota dentata limite è chiamata dentiera o cremagliera, mentre la ruota minore che ingrana con essa è chiamata rocchetto o pignone (il termine pignone è usato anche per designare la ruota più piccola in un generico ingranaggio).

5.3

Ruote dentate cilindriche a denti diritti

La ruota cilindrica a denti diritti è l’esempio più comune di ruota piana. I denti sono collocati sulla periferia di un cilindro ed sono paralleli all’asse del cilindro. L’attrezzatura richiesta per la produzione di questo tipo di ingranaggi è minima; perciò esso è generalmente il meno costoso di tutti tipi di ingranaggi. Sebbene la forma di dente più comune per le ruote cilindriche sia l’evolvente, anche altre forme di dente sono possibili fintanto che consentono il moto coniugato. Gli angoli di pressione più comunemente utilizzati per gli ingranaggi cilindrici a denti diritti sono 14, 5◦ , 20◦ e 25◦ . In generale, l’angolo di pressione 14, 5◦ non è usato per i nuovi progetti (ed infatti è stato ritirato come forma di dente unificato); tuttavia è ancora utilizzato per progetti particolari e per alcune ruote di ricambio. Angoli di pressione più piccoli hanno il vantaggio di un’azione dei denti più dolce e silenziosa. Inoltre, come avremo modo di vedere, i carichi sui cuscinetti dei supporti risultano minori a causa di una ridotta componente radiale della spinta; la componente tangenziale della spinta invece non varia con l’angolo di pressione. D’altro canto, ingranaggi a piccolo angolo di pressione hanno anche indici di resistenza

94CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.9: Ingranaggio con ruote dentate cilindriche a denti diritti a flessione e di durata superficiale più bassi ed operano con elevate velocità di strisciamento rispetto ai loro concorrenti con angolo di pressione più grande, il che li rende maggiormente soggetti a fenomeni di usura e grippaggio. Angoli di pressione più elevati hanno il vantaggio di migliori prestazioni, rispetto sia alla resistenza che alla durata, nonché velocità di strisciamento più basse; per contro, la rumorosità di tali ingranaggi risulta molto più elevata. In alcuni casi, angoli di pressione molto elevati (28◦ , 30◦ e, in qualche raro caso, anche 45◦ ) sono utilizzati in alcuni particolari ingranaggi lenti con capacità di carico molto elevate, dove la silenziosità non è la caratteristica più importante.

Figura 5.10: Forze scambiate in un ingranaggio Vogliamo ora calcolare le forze scambiate in un ingranaggio: ciò risulta fondamentale per la progettazione e il dimensionamento del sistema. La forza mutua F che si scambiano i denti (Fig. 5.10) ha come retta d’azione, in assenza di attrito, la retta di pressione. Per ciascuna delle ruote, dall’equilibrio dei momenti risulta: C = F rf = F r cos ϑ

(5.17)

5.4. RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI

95

essendo C la coppia agente, rf il raggio della circonferenza fondamentale e r il raggio della circonferenza primitiva. La forza scambiata nell’ingranaggio è dunque: C 2C = (5.18) r cos ϑ mz cos ϑ Si vede quindi che, a parità di coppia motrice e a parità di diametro di primitiva, il valore dell’angolo di pressione influenza direttamente l’entità della forza mutua che si scambiano i denti in presa: maggiore è il valore di ϑ e maggiore sarà il valore di F . Ad un valore elevato dell’angolo di pressione corrisponderebbe inevitabilmente un aggravio del carico sugli assi delle due ruote. Supponendo che la 1 sia la ruota motrice e la 2 la ruota condotta, le coppie motrice e resistente sono pertanto date rispettivamente da: F =

C1 = F rf 1 = F r1 cos ϑ = e

F mz1 cos ϑ 2

(5.19)

F mz2 cos ϑ (5.20) 2 Eliminando F dalle due equazioni, si ottiene la relazione tra la coppia motrice e la coppia resistente: C2 = F rf 2 = F r2 cos ϑ =

z2 (5.21) z1 da cui, essendo z2 /z1 = ω1 /ω2 = 1/τ , si ritrova ovviamente la conservazione della potenza: C2 = C1

W2 = C2 ω2 = C1 ω1 = W1

(5.22)

La forza F scambiata nell’ingranaggio e diretta lungo la retta di pressione può essere scomposta in una componente radiale R e una tangenziale Q, date da: R = F sin ϑ =

C tan ϑ r

(5.23)

C (5.24) r da cui si vede che l’angolo di pressione influenza solo la componente radiale della F . Si noti altresì che nel caso di ruote dentate cilindriche a denti diritti non vi sono componenti assiali della forza scambiata nell’ingranaggio. Q = F cos ϑ =

5.4

Ruote cilindriche a denti elicoidali

Quando i denti della ruota sono tagliati lungo una spirale che avvolge un cilindro, essi sono chiamati elicoidali. I denti elicoidali entrano nella zona di ingranamento progressivamente, pertanto questi ingranaggi hanno un’azione più dolce e sono più silenziosi rispetto a quelli a denti diritti.

96CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.11: Ingranaggio a denti elicoidali

Figura 5.12: Ingranaggio bielicoidale I vantaggi che si ottengono con tali tipi di ruote sono: • come già detto, la dolcezza di movimento, e quindi la maggiore silenziosità, in quanto il contatto e il distacco fra i denti non si realizza più in modo repentino, ma graduale; • la maggiore robustezza dei denti, potendo utilizzare moduli minori senza compromettere la continuità della trasmissione, ed ottenendo quindi denti di altezza minore; • l’utilizzo di un modulo più piccolo fa sì che diminuiscano anche le velocità massime di strisciamento; • il carico trasmesso può essere un po’ più grande, o la durata può essere più lunga con lo stesso carico, rispetto ad un ingranaggio a denti diritti equivalente. Gli svantaggi sono:

5.4. RUOTE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI

97

• il maggior costo di una ruota a denti elicoidali rispetto ad una a denti diritti; • come si vedrà, la forza scambiata tra una coppia di ruote a denti elicoidali ha una componente diretta come l’asse dell’albero (oltre a quelle radiale e tangenziale). E’ quindi necessario utilizzare componenti meccanici opportuni (tipicamente cuscinetti reggispinta) per evitare il disaccoppiamento delle ruote; • un ingranaggio a denti elicoidali ha un rendimento leggermente inferiore rispetto ad un ingranaggio a denti diritti equivalente. Concettualmente, le ruote elicoidali possono essere pensate come delle ruote dentate cilindriche a gradini nelle quali la dimensione del gradino diviene infinitamente piccola. Affinché ruote elicoidali a dentatura esterna possano ingranare è necessario che esse abbiano lo stesso angolo d’elica ma il verso opposto. Il contrario vale per un ingranamento elicoidale interno; cioè, il pignone a dentatura esterna e la ruota dentata interna devono avere lo stesso verso dell’elica. I valori pratici dell’angolo d’elica vanno da pochi gradi fino a circa 45◦ . Al crescere dell’angolo d’elica si hanno in generale una riduzione del livello di rumore ed un aumento della capacità di carico. Per angoli superiori a 15◦ , 20◦ , tuttavia, la resistenza a flessione del dente inizia a diminuire. Ciò è dovuto al fatto che lo spessore trasversale del dente decresce rapidamente. Per ottenere i benefici degli ingranaggi elicoidali senza avere gli svantaggi legati alla presenza della spinta assiale possono venire utilizzati gli ingranaggi bielicoidali o a doppia elica (Fig. 5.12). Per gli ingranaggi elicoidali sono generalmente utilizzati i profili ad evolvente e continuano a valere le stesse considerazioni fatte in precedenza per gli ingranaggi a denti diritti, in particolare la (5.15). Il valore del rapporto di trasmissione è quindi ancora dato da: ω2 r1 z1 = = (5.25) ω1 r2 z2 Per le ruote dentate a denti elicoidali, anziché considerare le grandezze caratteristiche (passo, modulo, angolo di pressione, ecc.) nel piano frontale (perpendicolare all’asse della ruota), si preferisce definire tali grandezze nel cosiddetto piano normale, ovvero nel piano normale alla superficie del dente. L’angolo tra il piano normale ed il piano frontale è ovviamente uguale all’angolo α di inclinazione del dente rispetto al’asse della ruota. Osservando la Fig. 5.13, si ricava: τ=

Y Z = XY tan ϑ Y T = XY tan ϑn Y T = Y Z cos α

(5.26) (5.27) (5.28)

da cui la relazione tra l’angolo di pressione nel piano normale ϑn e quello nel piano frontale ϑ risulta: tan ϑn = tan ϑ cos α

(5.29)

98CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.13: Grandezze caratteristiche di una ruota a denti elicoidali, nel piano normale e nel piano frontale

Figura 5.14: Forza scambiata tra ruote a denti elicoidali Il passo normale pn e quello frontale p sono invece legati da: pn = p cos α

(5.30)

Il modulo normale mn è allora definito, in funzione del modulo frontale m, da: mn = pn /π = m cos α

(5.31)

Pertanto il diametro della circonferenza primitiva di una ruota a denti elicoidali è dato, in funzione del modulo normale, da: mn z (5.32) cos α Vogliamo ora calcolare l’espressione delle forze scambiate nell’accoppiamento di due ruote a denti elicoidali. Con riferimento alla Fig. 5.14, la forza scambiata tra le ruote, che in 2r =

5.5. INGRANAGGI CONICI

99

assenza di attrito è perpendicolare alla superficie del dente, giace nel piano normale e può essere scomposta in una componente radiale R e in una componente H ′′ tangente al cilindro primitivo della ruota dentata. In formule: (5.33) (5.34)

R = F sin ϑn H ′′ = F cos ϑn

A sua volta, la H ′′ può essere scomposta in una componente assiale A e in una tangenziale Q, ottenendo quindi: (5.35) (5.36) (5.37)

Q = F cos ϑn cos α A = F cos ϑn sin α R = F sin ϑn

Di queste tre componenti, l’unica a fornire momento rispetto all’asse delle ruote è la componente tangenziale Q. La coppia C agente sull’asse della ruota dentata è quindi data da: C = Qr = F r cos ϑn cos α

(5.38)

Per sostituzione, è dunque possibile calcolare le tre componenti della forza agente sulla ruota dentata in funzione di C: spinta tangenziale : Q = spinta radiale : R =

C r

C tan ϑn r cos α

(5.39) (5.40)

C tan α (5.41) r Come anticipato, in un ingranaggio a denti elicoidali è dunque presente una componente assiale della forza, che dovrà essere sopportata da adeguati cuscinetti reggispinta, oppure neutralizzata adottando ruote bielicoidali. spinta assiale : A =

5.5

Ingranaggi conici

Si è visto in precedenza che, nel caso di trasmissione del moto fra assi paralleli, le primitive sono costituite da due cilindri; nel caso di trasmissione fra assi concorrenti, le primitive sono invece costituite da due coni aventi il vertice ed una generatrice in comune. Gli ingranaggi conici sono dunque utilizzati per trasmettere il moto tra assi concorrenti. Le ruote dentate coniche (la cui forma reale è ovviamente non un cono intero, ma un tronco di cono) possono avere denti diritti oppure elicoidali: valgono, a tale proposito, le medesime considerazioni fatte per le ruote dentate cilindriche, relativamente alla maggiore silenziosità e dolcezza di funzionamento che caratterizzano la dentatura elicoidale.

100CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI Invece, come si vedrà più avanti, a differenza degli ingranaggi cilindrici, tutti gli ingranaggi conici producono una spinta assiale sui supporti. Ciò è una conseguenza della forma conica della primitiva, indipendentemente dal tipo di dentatura: in altre parole, anche in un accoppiamento di ruote coniche a denti diritti la forza scambiata ha una componente assiale.

Figura 5.15: Ingranaggio conico

Figura 5.16: Coni primitivi di un ingranaggio conico Lo studio cinematico di un ingranaggio conico è immediato, considerato che esso è equivalente ad un accoppiamento fra ruote di frizione coniche aventi dimensioni uguali alle primitive delle ruote dentate. Riferendoci alla Fig. 5.16, e ricordando la (5.6), il rapporto di trasmissione risulta: τ=

ω2 z1 r1 sin ϕ1 = = = ω1 z2 r2 sin ϕ2

(5.42)

Si noti che il rapporto di trasmissione è sempre dato sia dal rapporto tra il numero di denti delle ruote, sia dal rapporto tra i raggi delle primitive, purché ovviamente presi alla medesima distanza dal vertice comune dei due coni (in quanto i denti hanno passo, modulo ed altezza proporzionali alla distanza dal vertice). Per il progetto di un ingranaggio conico, tipicamente sono dati l’angolo ψ tra gli assi da accoppiare e il valore del rapporto di trasmissione desiderato τ , e si vuole trovare il valore delle semiaperture delle due ruote coniche ϕ1 e ϕ2 .

5.5. INGRANAGGI CONICI

101

Dalla (5.42), e considerando che ψ = ϕ1 + ϕ2 , con alcuni passaggi di trigonometria si ottiene: sin ψ + cos ψ sin ψ tan ϕ2 = τ + cos ψ

tan ϕ1 =

1 τ

(5.43) (5.44)

Quando l’angolo di apertura di uno dei due coni primitivi diventa retto, il cono si trasforma in una superficie piana. L’ingranaggio così ottenuto è la ruota dentata piano-conica, altresì detta coppia pignone-corona, che è l’equivalente per gli ingranaggi conici della coppia rocchetto-dentiera per quelli cilindrici. Per questo ingranaggio il rapporto di trasmissione si ottiene ponendo ϕ2 = π/2 nella (5.42): τ=

ω2 = sin ϕ1 ω1

(5.45)

Figura 5.17: Forza scambiata tra i denti di due ruote dentate coniche Calcoliamo ora le componenti della forza F che si scambiano i denti in un ingranaggio conico. Consideriamo (Fig. 5.17) i due coni primitivi e il piano Π normale alla generatrice di contatto. La forza F trasmessa dalla ruota 2 alla ruota 1 è inclinata dell’angolo di pressione ϑ rispetto alla tangente comune delle primitive, e si può scomporre, nel piano Π, in una componente tangenziale Q = F cos ϑ e da una componente F ′ = F sin ϑ normale a Q. La F ′ può essere a sua volta scomposta, in un piano ortogonale a Π, in una componente radiale R1 = F ′ cos ϕ1 = F sin ϑ cos ϕ1 e in una componente assiale A1 = F ′ sin ϕ1 = F sin ϑ sin ϕ1 . Ora, ricordando che le coppie C1 e C2 agenti sule ruote sono equilibrate solo dal momento della componente tangenziale Q della forza scambiata (C1 = Qr1 , C2 = Qr2 ), si possono ricavare le espressioni, in funzione di C1 e C2 , delle componenti della forza trasmessa dalla ruota 2 alla ruota 1, e della forza trasmessa dalla ruota 1 alla ruota 2. Esse risultano rispettivamente:

102CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

spinta tangenziale : Q =

C1 r1

(5.46)

spinta radiale : R1 =

C1 tan ϑ cos ϕ1 r1

(5.47)

spinta assiale : A1 =

C1 tan ϑ sin ϕ1 r1

(5.48)

per la ruota 1, e: C2 r2

(5.49)

C2 tan ϑ cos ϕ2 r2

(5.50)

Q= R2 =

C2 tan ϑ sin ϕ2 (5.51) r2 Si noti che la componente tangenziale Q della forza scambiata è la stessa per le due ruote, mentre le componenti radiale ed assiale sono diverse, essendo funzione della semiapertura della ruota considerata (la loro somma vettoriale ovviamente è la stessa). Come per le ruote cilindriche a denti elicoidali, la presenza di una spinta assiale in un ingranaggio conico richiede l’utilizzo di adeguati supporti per gli alberi (cuscinetti reggispinta assiali). A2 =

5.6

Ingranaggi ad assi sghembi

Gli ingranaggi di questa categoria sono generalmente i più complessi, sia in termini di geometria che di realizzazione. Inoltre, il fatto che gli assi da accoppiare non siano né paralleli né concorrenti crea limitazioni sui carichi massimi sopportabili. Accenneremo brevemente agli ingranaggi elicoidali e ipoidi, per poi concentrare la nostra attenzione sugli ingranaggi a vite, che costituiscono la modalità più importante di accoppiamento fra assi sghembi.

5.6.1

Ingranaggi elicoidali ad assi sghembi

Come negli ingranaggi ad assi paralleli o concorrenti, anche in questo caso le ruote hanno i denti disposti in modo da formare un determinato angolo (angolo d’elica) con l’asse dell’albero. Valori tipici per l’angolo d’elica vanno dai 10◦ ai 30◦ . Gli ingranaggi elicoidali ad assi sghembi sono soddisfacenti per la normale gamma di rapporti utilizzati per ingranaggi elicoidali a singola riduzione. Per riduzioni più alte, gli ingranaggi a vite sono generalmente preferibili. Poiché gli ingranaggi elicoidali ad assi sghembi hanno uno strisciamento rilevante, particolare attenzione deve essere riservata alla scelta dei materiali e dei loro lubrificanti per ridurre al minimo l’attrito ed eliminare ogni possibilità di grippaggio tra le ruote accoppiate.

5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI

103

Figura 5.18: Pignone e ruota dentata elicoidale ad assi sghembi

5.6.2

Ingranaggi ipoidi

Figura 5.19: Ingranaggio ipoide Gli ingranaggi ipoidi sono simili agli ingranaggi conici elicoidali, ma le loro superfici primitive non sono coni, bensì iperboloidi di rivoluzione. Essi sono asimmetrici, nel senso che l’angolo di pressione è diverso tra le due parti del dente. Una condizione che deve essere verificata affinché due ruote ipoidi possano ingranare è che abbiano il medesimo passo normale. Negli ingranaggi ipoidi i numeri di denti della ruota e del pignone non sono direttamente proporzionali ai loro diametri primitivi: ciò rende possibile realizzare pignoni piccoli ed al contempo aumentare le dimensioni della ruota condotta. Nel funzionamento, gli ingranaggi ipoidi sono usualmente più dolci e silenziosi degli ingranaggi conici, a causa del loro rapporto di condotta intrinsecamente più grande. Tuttavia, come in tutti i casi di ingranaggi ad assi sghembi, si verifica uno strisciamento elevato tra le facce dei denti. Il rendimento degli ingranaggi ipoidi è perciò minore di quello di un ingranaggio conico simile, tipicamente 0,90-0,95 a confronto dello 0,97-0,99 raggiungibile dagli ingranaggi conici.

5.6.3

Ingranaggi a vite

Per trasmettere il moto tra assi sghembi, ottenendo riduzioni di velocità molto spinte, vengono comunemente utilizzati gli ingranaggi a vite, detti anche a vite senza fine. La forma più elementare di ingranaggio a vite è una vite cilindrica diritta che ingrana con una normale ruota a denti elicoidali. Ingranaggi di questo tipo possono dare rapporti di

104CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.20: Ingranaggio a vite riduzione considerevolmente più grandi rispetto a ingranaggi elicoidali ad assi sghembi, ma la loro capacità di carico è bassa ed il tasso di usura elevato. Per carichi leggeri, tuttavia, questa configurazione può rappresentare un’alternativa economica. Una migliore capacità di carico può essere ottenuta se la normale ruota a denti elicoidali è modificata in modo da avere una gola per consentire alla vite di adattarsi in profondità nella ruota, per ottenere un’area di contatto tra i denti più estesa e quindi un funzionamento più dolce ed una maggiore capacità di carico.

Figura 5.21: Sezioni di un ingranaggio a vite In Fig. 5.21 sono mostrate le sezioni di un ingranaggio a vite.

5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI

105

In virtù del loro rapporto di condotta intrinsecamente alto, la potenza meccanica massima degli ingranaggi a vite è piuttosto alta; tuttavia, la loro potenza continuativa reale è sostanzialmente più bassa. Ciò è dovuto alla notevole generazione di calore, dovuta allo strisciamento, che può elevare la temperatura del lubrificante a livelli inaccettabili quando il riduttore è fatto funzionare con continuità. Riduttori a vite ventilati sono piuttosto comuni e i carter degli ingranaggi a vite con potenze più alte sono quasi sempre alettati per favorire lo smaltimento del calore. Apparentemente, gli ingranaggi a vite hanno la capacità di sopportare sovraccarichi relativamente alti per breve tempo senza manifestare alcun danno: in realtà la loro idoneità ai sovraccarichi non è particolarmente buona, in quanto le loro limitazioni termiche fanno sì che vengano utilizzati a carichi inferiori ai loro limiti meccanici. Quando sono azionati per brevi periodi di tempo in sovraccarico, essi funzionano in realtà al di sopra del loro limite termico di funzionamento continuo ma sotto il loro limite meccanico (connesso agli sforzi); tuttavia, poiché ci vuole un periodo di tempo apprezzabile affinché la temperatura aumenti, sopportano questi brevi sovraccarichi abbastanza bene. L’avvento di oli sintetici è stato un beneficio per tutti i tipi di ingranaggi a vite, in quanto gli oli sintetici possono lavorare a temperature medie più elevate rispetto agli oli composti a base minerale che erano di solito usati per gli ingranaggi a vite. Inoltre, il coefficiente di attrito associato all’uso di lubrificanti sintetici tende ad essere leggermente più basso di quello associato all’uso di oli composti per ingranaggi a vite; pertanto viene prodotto meno calore. Questi fattori concorrono alla riduzione del margine tra i limiti termico e meccanico dei riduttori a vite di nuova produzione, progettati e calcolati per funzionare con oli sintetici. Il rendimento degli ingranaggi a vite dipende parecchio dalla velocità di funzionamento. Lo stesso ingranaggio può mostrare, ad esempio, un rendimento dello 0,75 ad una velocità bassa e dello 0,85 ad una velocità più alta. Il rapporto di trasmissione, il materiale, la precisione e la geometria sono tutti fattori che influenzano il rendimento dell’ingranaggio a vite. Valori tipici del rendimento sono compresi tra il 35 ed il 90 per cento, con possibilità di valori più alti o più bassi in casi particolari. Un ingranaggio a vite può essere utilizzato dove si desideri l’irreversibilità del moto: si può infatti dimostrare che per bassi valori dell’angolo d’elica il rendimento scende sotto il valore limite del 50 per cento, rendendo con ciò impossibile il moto retrogrado. Si dice allora che la vite è autobloccante. Quando si progetta un ingranaggio a vite autobloccante si deve tuttavia fare attenzione, perché questa caratteristica è una proprietà statica. Le vibrazioni e l’inerzia possono infatti determinare un movimento inverso dell’ingranaggio in condizioni dinamiche. Ad esempio, durante un’interruzione di potenza sotto carico, la ruota, a causa dell’inerzia del carico che funge da motore, può trascinare la vite per un tempo considerevole; oppure, un ingranaggio a vite che da fermo non può essere azionato dall’albero della ruota, può invece essere messo in rotazione se sottoposto a vibrazioni. La proprietà di autobloccaggio o irreversibilità non deve quindi essere considerata in senso assoluto, tanto è vero che in applicazioni critiche si dovrebbe prevedere un freno sulla vite per garantire l’irreversibilità assoluta del sistema. Vogliamo ora studiare un ingranaggio a vite dapprima dal punto di vista cinematico, calcolandone il rapporto di trasmissione, quindi dal punto di vista della statica, calcolando le forze scambiate nell’accoppiamento. Come detto, un ingranaggio a vite è costituito dall’accoppiamento di una vite e da una ruota dentata piana a denti elicoidali, con rapporto di trasmissione costante fra assi sghembi,

106CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.22: Vite a filetto trapezoidale generalmente ortogonali. La vite in genere è a filetto rettangolare oppure trapezoidale (come in Fig. 5.22), e la sua superficie attiva è quella contenuta fra due cilindri di raggio r1 ed r2 . La vite può avere uno o più filetti: si parla in quest’ultimo caso di vite a più princìpi (Fig. 5.23). Se α è l’inclinazione dell’elica media in corrispondenza del raggio medio rm = (r1 + r2 )/2 della vite, in corrispondenza di una rotazione completa 2πrm la vite avanzerà della distanza fra due punti omologhi consecutivi sul medesimo filetto, ovvero del passo elicoidale pe dato da: pe = 2πrm tan α

(5.52)

Si definisce inoltre passo assiale pa , della vite l’ampiezza della traslazione che porta una sezione di un filetto a coincidere con la adiacente, anche appartenente ad un filetto diverso. Il passo assiale può quindi essere diverso dal passo elicoidale se la vite è a più princìpi (come ad esempio la vite a due princìpi in Fig. 5.23). Sarà cioè: pe = z1 pa

(5.53)

ove con z1 si indica il numero dei princìpi della vite. Si definisce infine come modulo assiale il rapporto: ma = pa /π

(5.54)

Il rapporto di trasmissione fra i due membri si può allora ricavare considerando ciò che accade nel piano principale, ossia nel piano normale all’asse della ruota e contenente l’asse di rotazione della vite: in tale piano la vite si presenta come una cremagliera (profilo principale) che ingrana con una ruota piana a denti diritti (Fig. 5.24). Il contatto fra i due membri avviene in corrispondenza del punto C, in cui la primitiva della ruota, di raggio R, è tangente alla retta ǫ, generatrice del cilindro medio della vite, distante rm dall’asse di rotazione della vite. La velocità assoluta del punto C, considerato appartenente al filetto della vite, può

5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI

107

Figura 5.23: Vite a più princìpi essere ricavata osservando che, se la vite ruota con velocità angolare ω1 , essa compirà un giro completo in un certo tempo ∆t: (5.55)

2π = ω1 ∆t

Nello stesso tempo, per effetto del moto elicoidale, il punto C si sarà spostato lungo la retta ǫ, con velocità vc , di una quantità pari al passo elicoidale pe : pe = vC ∆t

(5.56)

pe 2π = ω1 vC

(5.57)

Dalle (5.55) e (5.56) si ricava allora:

da cui z1 pa pe ω1 = ω1 (5.58) 2π 2π La stessa velocità ~vC deve avere il punto C, considerato come appartenente alla primitiva della ruota che gira a velocità angolare ω2 ; deve quindi essere: vC =

(5.59)

vC = ω2 R

Inoltre, affinché vite e ruota ingranino correttamente, il passo della dentatura della ruota deve essere uguale al passo assiale della vite. Se z2 è il numero di denti della ruota, si avrà dunque: z2 pa = 2πR ⇒ R = Sostituendo la (5.60) nella (5.59) si ottiene:

z2 pa 2π

(5.60)

108CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.24: Cinematica di un ingranaggio a vite

vC = ω2

z2 pa 2π

(5.61)

che, eguagliata con la (5.58), fornisce il valore del rapporto di trasmissione: τ=

ω2 z1 = ω1 z2

(5.62)

Essendo z1 in genere piccolo e z2 grande, si capisce come con un ingranaggio a vite sia possibile realizzare rapporti di riduzione estremamente spinti: ad esempio, con una vite a due principi (z1 = 2) ed una ruota elicoidale con 40 denti (z2 = 40), dalla precedente si deduce un rapporto di trasmissione τ = 1/20. Calcoliamo ora le componenti della forza mutua che i due membri si scambiano durante l’accoppiamento (Fig. 5.25). Restando nel piano principale (yz), osserviamo che, in ipotesi di assenza di attrito, la forza trasmessa dalla vite alla ruota sarà inclinata, rispetto alla retta ǫ, dell’angolo di pressione ϑ. Potremo pertanto scrivere: Fy = Fz tan ϑ

(5.63)

Tuttavia né la Fy , né la Fz , producono momento rispetto all’asse di rotazione della vite; per l’equilibrio della vite, dovrà quindi esistere anche una componente Fx data da: Fx = Fz tan α

(5.64)

5.6. INGRANAGGI AD ASSI SGHEMBI

109

Figura 5.25: Forze scambiate in un ingranaggio a vite in quanto la Fxz dovrà essere normale, nel piano (xz), all’elica media che è inclinata di α rispetto all’asse della vite. La Fx è l’unica forza che equilibra la coppia motrice Cm applicata all’asse della vite: Cm = Fx rm

(5.65)

Le tre componenti della forza scambiata tra vite e ruota dentata, in funzione della coppia motrice Cm , risultano quindi essere (nell’ipotesi di trascurare l’attrito): Cm rm

(5.66)

Fz =

Cm 1 rm tan α

(5.67)

Fy =

Cm tan ϑ rm tan α

(5.68)

Fx =

Il modulo della forza F complessivamente trasmessa dalla vite alla ruota dentata risulta allora: F = ovvero: F =

s

1 Cm tan2 ϑ Fx2 + Fy2 + Fz2 = 1+ + 2 rm tan α tan2 α

q

q Cm q 1 + tan2 α + tan2 ϑ = Fz 1 + tan2 α + tan2 ϑ rm tan α

(5.69)

(5.70)

110CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

5.7

Rotismi

Un rotismo, o treno di ingranaggi, è definito come un sistema costituito da più ingranaggi, in cui la rotazione di una ruota determina quella di tutte le altre. I rotismi si suddividono in: • ordinari se tutte le ruote dentate hanno assi fissi • epicicloidali se alcune ruote hanno assi mobili Per le considerazioni cinematiche relative ai rotismi, è importante fissare un verso di rotazione comune per le velocità angolari di tutte le ruote, e considerare di conseguenza il rapporto di trasmissione tra due qualsiasi ruote con il proprio segno (quindi negativo se le ruote girano in verso opposto, positivo se invece i versi di rotazione sono concordi), analogamente a quanto si è fatto per il singolo ingranaggio.

5.7.1

Rotismi ordinari

Figura 5.26: Rotismo ordinario In un rotismo ordinario è sufficiente conoscere la velocità angolare di una sola delle ruote (oltre che, ovviamente, le carettaristiche cinematiche delle stesse) per calcolare la velocità di tutte le altre. Con riferimento alla fig. 5.26, i rapporti di trasmissione dei due ingranaggi, presi singolarmente, valgono: z1 ω2 =− ω1 z2

(5.71)

ω4 ω4 z3 = =− ω3 ω2 z4

(5.72)

τ1,2 = τ3,4 =

da cui è immediato calcolare il rapporto di trasmissione complessivo tra la prima ruota del treno (1), a cui è collegato l’albero motore, e l’ultima (4), a cui è collegato l’albero condotto: esso è dato dal prodotto dei singoli rapporti di trasmissione di ciascun ingranaggio:

5.7. ROTISMI

111

Figura 5.27: Rotismo ordinario con ruota oziosa

τ = τ1,4 =

ω4 ω2 z3 z1 z1 z3 ω4 = = τ3,4 τ1,2 = (− )(− ) = ω1 ω2 ω1 z4 z2 z2 z4

(5.73)

In particolare, se il rotismo contiene una ruota che ingrana contemporaneamente con altre due (fig. 5.27), il rapporto di trasmissione tra la prima e l’ultima è uguale, a meno del segno, a quello che si avrebbe se queste due ruote ingranassero direttamente. Infatti: τ1,2 =

z1 ω2 =− ω1 z2

(5.74)

τ2,3 =

ω3 z2 =− ω2 z3

(5.75)

da cui si ottiene: τ = τ1,3 = τ1,2 τ2,3 =

ω3 z1 = ω1 z3

(5.76)

Si vede quindi che la presenza della ruota intermedia (chiamata ruota oziosa) ha come effetto quello di invertire il segno del rapporto di trasmissione rispetto al caso di ingranaggio diretto. Se il rotismo può essere considerato ideale (η = 1), il rapporto di trasmissione determina anche il rapporto tra le coppie in uscita e in ingresso del treno di ingranaggi. Ad esempio, con riferimento alla fig. 5.26, si ha: ω1 1 C4 = = C1 ω4 τ

(5.77)

L’impiego più comune dei rotismi è come riduttori di velocità (fig. 5.28). Ogni singolo ingranaggio è detto stadio di riduzione: l’uso di più stadi di riduzione in serie (si parla di rotismi a doppia, tripla, quadrupla riduzione) consente di ottenere rapporti di riduzione ben più spinti rispetto al caso di un singolo ingranaggio.

112CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI

Figura 5.28: Riduttori di velocità realizzati con rotismi ordinari

5.7.2

Rotismi epicicloidali

A differenza dei rotismi ordinari, nei rotismi epicicloidali alcuni degli assi delle ruote sono mobili. Un rotismo epicicloidale semplice è costituito da: • due ruote dentate principali, chiamate solari, non ingrananti tra loro, aventi lo stesso asse fisso; • una o più ruote dentate, dette satelliti o planetari, che ingranano con i solari, i cui assi sono portati in giro da un elemento rigido, detto portatreno • il portatreno, che ruota attorno ad un asse fisso coincidente con l’asse dei solari e che, come si è detto, porta in rotazione gli assi dei satelliti. La fig. 5.29 mostra due esempi di rotismi epicicloidali semplici, in cui gli elementi 1 e 2 sono le ruote solari, gli elementi 3 e 4 sono i satelliti, l’elemento P è il portatreno. A differenza di un rotismo ordinario, in cui le ruote dentate possono essere scelte in maniera indipendente l’una dall’altra (badando naturalmente che abbiano lo stesso modulo), in un rotismo epicicloidale sussistono vincoli di carattere geometrico sui parametri cinematici

5.7. ROTISMI

113

Figura 5.29: Esempi di rotismi epicicloidali delle ruote (raggi delle primitive, numero di denti). Ad esempio, nel rotismo di fig. 5.29a deve essere: r1 + r3 = r2 + r4

(5.78)

il che equivale, essendo ovviamente i moduli delle ruote dentate tutti uguali fra loro, alla seguente condizione sul numero di denti delle ruote: z1 + z3 = z2 + z4

(5.79)

Allo stesso modo, per il rotismo di fig. 5.29b sussistono i vincoli: r1 + 2r3 = r2

(5.80)

z1 + 2z3 = z2

(5.81)

Pertanto, in un rotismo epicicloidale i parametri di ogni ruota dentata sono determinati una volta fissati quelli di tutte le altre ruote. Un’altra importante differenza tra i rotismi epicicloidali e quelli ordinari sta nel fatto che, mentre in questi ultimi vi è un albero di ingresso (motore) e uno di uscita (condotto), nei primi vi sono tre diversi alberi, collegati rispettivamente ai due solari e al portatreno. Si possono dunque avere vari casi: due alberi motori e uno condotto, oppure un albero motore e due condotti, oppure (ed è questo il caso più comune) un albero motore, uno condotto e il terzo fermo. Vogliamo ora calcolare il rapporto di trasmissione complessivo τ di un rotismo epicicloidale, definito in modo naturale come il rapporto tra la velocità angolare dell’albero (o di uno degli alberi) di uscita e quella dell’albero (o di uno degli angoli) di entrata. Per poter determinare τ è necessario passare attraverso il calcolo del rapporto di trasmissione del rotismo epicicloidale reso ordinario (cioè ad assi fissi), detto anche tau di Willis τW . Dette ω1 e ω2 le velocità dei solari, e Ω quella del portatreno, per rendere ordinario il rotismo epicicloidale è sufficiente, da un punto di vista concettuale, ‘annullare’ la velocità del portatreno, mettendosi ad esempio in un sistema di riferimento

114CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI solidale con il portatreno stesso, ovvero rotante con velocità angolare Ω. In questo sistema i solari ruotano con velocità ω1 − Ω e ω2 − Ω, mentre il portatreno ha velocità angolare nulla: di conseguenza i satelliti non vengono portati in giro attorno all’asse dei solari, ottenendo quindi un rotismo ad assi fissi. Il rapporto di trasmissione di questo rotismo ordinario, derivato da quello epicicloidale, è dunque dato dalle seguente formula di Willis: ω2 − Ω (5.82) ω1 − Ω Per la determinazione del rapporto di trasmissione complessivo τ di un rotismo epicicloidale si procede allora in questo modo: τW =

• si immagina di ‘bloccare’ il portatreno e si calcola il valore di τW mediante le considerazioni svolte per i rotismi ordinari, ovvero in funzione del numero di denti delle ruote; • nella (5.82) si sostituisce a τW il valore ottenuto; • il valore del rapporto di trasmissione complessivo può allora essere ottenuto, con semplici calcoli, a partire dalla (5.82) e dalla definizione dello stesso τ , che naturalmente dipende da qual è l’albero di uscita e quale l’albero di ingresso nel rotismo epicicloidale in esame. Il rapporto di trasmissione τW del rotismo epicicloidale reso ordinario compare anche nelle relazioni tra le coppie agenti sul rotismo. Siano infatti C1 , C2 e CP le coppie agenti rispettivamente sul solare 1, sul solare 2 e sul portatreno: in condizioni di regime (o comunque quando le inerzie delle ruote dentate siano trascurabili), l’equilibrio alle rotazioni attorno all’asse comune dei tre alberi è espresso da: C1 + C2 + CP = 0

(5.83)

Un’altra equazione è fornita dalla conservazione della potenza (supponendo il rotismo ideale: η = 1): C1 ω1 + C2 ω2 + CP Ω = 0

(5.84)

Dalla 5.83 ricaviamo CP , che poi sostituiamo nella 5.84: CP = −C1 − C2

(5.85)

C1 (ω1 − Ω) + C2 (ω2 − Ω) = 0

(5.86)

C2 ω1 − Ω 1 =− =− C1 ω2 − Ω τW

(5.87)

Da quest’ultima equazione e dalla 5.82 si ottiene:

e parimenti si ricava:

5.7. ROTISMI

115 CP 1 − τW = C1 τW

(5.88)

Le (5.87) e (5.88) ci dicono che un rotismo epicicloidale può essere visto come un partitore di coppia, nel senso che la coppia sul solare 1 si suddivide tra il solare 2 e il portatreno 1 W con quote proporzionali a − τW e 1−τ rispettivamente. Si noti che tali quote, e quindi i τW rapporti tra le coppie, sono indipendenti dalle velocità angolari alle quali ruotano gli assi, dipendendo unicamente dal valore di τW , che come abbiamo visto è funzione del numero di denti delle ruote. Date le loro caratteristiche cinematiche, i rotismi epicicloidali trovano la loro applicazione più comune nei riduttori a forte rapporto di riduzione ed ingombro limitato. Si consideri un qualsiasi rotismo epicicloidale e si supponga ad esempio che il portatreno sia collegato all’albero motore, il solare 1 all’albero condotto e che il solare 2 sia fermo. Il rapporto di trasmissione complessivo τ è allora calcolabile tramite la 5.82 ponendo ω2 = 0: τW = da cui, con facili passaggi: τ=

−Ω ω1 − Ω

ω1 τW − 1 = Ω τW

(5.89)

(5.90)

Se i numeri di denti delle ruote sono scelti in modo tale che il valore di τW sia molto vicino a 1, si possono ottenere valori di τ molto piccoli, sia positivi (per τW di poco maggiore di 1) che negativi (per τW di poco minore di 1). Ciò permette di ottenere rapporti di riduzione molto spinti, con rotazioni concordi oppure discordi degli alberi di uscita e di ingresso.

Figura 5.30: Differenziale di autoveicolo I rotismi epicicloidali possono essere costituiti sia da ingranaggi cilindrici, sia da ingranaggi conici. L’applicazione più importante di questi ultimi è nel differenziale degli autoveicoli,

116CAPITOLO 5. ORGANI PER LA TRASMISSIONE DEL MOTO: GLI INGRANAGGI ovvero in quel dispositivo che consente alle ruote motrici di percorrere traiettorie curvilinee senza avere strisciamento tra le ruote e il terreno. Nel differenziale per autoveicolo rappresentato in fig. 5.30, i solari sono costituiti dalle due ruote coniche identiche 1 e 2, le quali ingranano con i due satelliti uguali 3 e 4, liberi di ruotare attorno ad un perno solidale al portatreno P. Il portatreno, solidale ad una ruota dentata conica che ingrana con un rocchetto conico, il quale a sua volta è posto in movimento dal motore, trascina in rotazione i satelliti. I solari 1 e 2 sono invece accoppiati agli alberi delle ruote del veicolo. In questo rotismo epicicloidale l’ingresso è dunque costituito dal portatreno, mentre le uscite sono date dai due solari. Se si immagina di ‘bloccare’ il portatreno, si vede facilmente che, per la simmetria del sistema, il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario è uguale a: τW = −1. La formula di Willis per il differenziale è dunque: τW = da cui:

ω2 − Ω = −1 ω1 − Ω

(5.91)

ω1 + ω2 (5.92) 2 Si può quindi dire che il differenziale fa sì che la velocità del portatreno sia sempre pari alla media aritmetica delle velocità delle due ruote. In condizioni di moto rettilineo, ω1 = ω2 : i solari ruotano alla stessa velocità angolare (che è anche uguale a quella del portatreno), e di conseguenza i satelliti non ruotano attorno al loro asse. Se invece il veicolo percorre una traiettoria curvilinea, la velocità angolare della ruota più esterna sarà maggiore di quella della ruota più interna: in questo caso i satelliti, oltre ad essere trascinati dal portatreno, si metteranno anche in rotazione attorno al proprio asse, in modo tale da diminuire la velocità del solare collegato alla ruota interna ed aumentare la velocità del solare collegato alla ruota esterna, fermo restando il rispetto della (5.92). Ω=

Capitolo 6 Altri organi di trasmissione del moto In questo capitolo saranno presi in esame altre tipologie di organi di trasmissione del moto, nonché componenti meccanici (freni, cuscinetti) collegati con le problematiche di trasmissione del moto.

6.1

Trasmissione del moto mediante organi flessibili

Importanti organi di trasmissione del moto sono costituiti da componenti meccanici flessibili. Tra essi si annoverano quegli organi costituiti di materiale avente flessibilità intrinseca, come ad esempio le cinghie e le funi, nonché quegli organi (come le catene) costituiti di parti in materiale rigido, collegate tra loro in modo tale da permettere il moto relativo tra le singole parti, conferendo così una flessibilità complessiva al componente.

6.1.1

Cinghie

Le cinghie sono elementi flessibili costituite in genere da un elastomero, spesso opportunamente rinforzato da fibre metalliche. Esse sono ampiamente utilizzate in meccanica come organi di trasmissione del moto tra assi paralleli, soprattutto quando si è in presenza di un interasse non piccolo. La cinghia viene avvolta, in genere con un certo forzamento, su due pulegge, permettendo così la trasmissione della potenza meccanica dalla puleggia motrice a quella condotta, per effetto delle forze di attrito che si sviluppano in direzione tangenziale al contatto fra puleggia e cinghia. Come in tutte le trasmissioni per attrito, la coppia massima trasmissibile mediante cinghie dipende dal coefficiente di attrito e risulta quindi limitata. Vi sono tre principali tipologie di cinghie: • cinghie piane • cinghie trapezoidali • cinghie dentate 117

118

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.1: Trasmissione a cinghia

Figura 6.2: Equilibrio delle forze in un tratto infinitesimo di cinghia Cinghie piane La cinghia piana ha tipicamente sezione rettangolare. Consideriamo il sistema di trasmissione a cinghie illustrato nella Fig. 6.1: nella puleggia motrice (a sinistra) coppia e velocità angolare sono concordi, mentre nella puleggia condotta (a destra) coppia e velocità angolare sono discordi. Come appare evidente anche da un punto di vista intuitivo, la presenza della coppia motrice C1 fa sì che la tensione T1 della cinghia all’ingresso della puleggia sia maggiore della tensione T2 in uscita. Quantitativamente, si può scrivere l’equazione di equilibrio alle rotazioni rispetto all’asse della puleggia motrice: C1 − T1 r1 + T2 r1 = 0

(6.1)

C1 = (T1 − T2 )r1

(6.2)

da cui:

6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI

119

Analogamente, per la puleggia condotta si può scrivere: C2 = (T1 − T2 )r2

(6.3)

C1 r1 = C2 r2

(6.4)

da cui, dividendo membro a membro, si ottiene la relazione tra le coppie alle pulegge:

Supponendo di essere in condizioni ideali (assenza di perdite), il rapporto di trasmissione τ del sistema può allora essere calcolato partendo dall’equazione di conservazione della potenza: C1 ω1 = C2 ω2

(6.5)

da cui si ricava: C1 r1 ω2 = = (6.6) ω1 C2 r2 Nella realtà si verificano tuttavia delle perdite di potenza, dovute principalmente a microslittamenti della cinghia causati dalle differenze di tensione, per cui il rapporto di trasmissione è leggermente inferiore a quello espresso dalla (6.6). Inoltre tale rapporto non è costante, ma presenta piccole oscillazioni, sempre dovute ai microslittamenti. Con riferimento alla puleggia motrice, vogliamo ora studiare come varia la tensione della cinghia, tra il valore minimo T2 e il valore massimo T1 , nel tratto in cui essa è avvolta sulla puleggia (arco di avvolgimento). Siano: τ=

• θ il generico angolo lungo l’arco di avvolgimento, misurato a partire dal punto di uscita della cinghia • T = T (θ) la tensione della cinghia nel generico punto dell’arco di avvolgimento • f il coefficiente di attrito tra cinghia e puleggia • r il raggio della puleggia • q la massa della cinghia per unità di lunghezza • ω la velocità angolare della puleggia • v = ωr la velocità tangenziale della puleggia La Fig. 6.2 mostra un elemento infinitesimo di cinghia di ampiezza dθ, posizionato in corrispondenza di un generico angolo θ; la lunghezza di tale elemento è pertanto: ds = rdθ e la sua massa dm = qds. Le forze agenti sull’elemento sono: • le tensioni trasmesse alle estremità dalle parti rimanenti della cinghia: esse valgono rispettivamente T e T + dT • la forza normale dFN esercitata dalla puleggia sulla cinghia

120

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

• la forza tangenziale, dovuta all’attrito, tra puleggia e cinghia: essa vale dFT = f dFN • la forza di inerzia, la cui componente normale (forza centrifuga) ha modulo pari a 2 dmω 2 r = q vr ds (la componente tangenziale, di modulo dm dv può essere trascurata, in dt quanto molto piccola) Scriviamo allora le equazioni di equilibrio alla traslazione secondo le direzioni normale e tangenziale: −T sin

dθ v2 dθ + q ds + dFN − (T + dT ) sin =0 2 r 2

(6.7)

dθ dθ − dFT + (T + dT ) cos =0 (6.8) 2 2 Ponendo: dFT = f dFN , ds = rdθ, sin dθ ≈ dθ, cos dθ ≈ 1, e trascurando il prodotto dT dθ perché infinitesimo di ordine superiore, la (6.7) si scrive: −T cos

mentre la (6.8) diventa:

dFN = (T − qv 2 )dθ

(6.9)

dT = f dFN

(6.10)

Sostituendo ora la (6.9) nella (6.10) si ottiene: dT = f (T − qv 2 )dθ

(6.11)

T − qv 2 = ef θ T2 − qv 2

(6.12)

T = T2 ef θ

(6.13)

Si tratta di un’equazione differenziale che, una volta integrata tra gli estremi 0 e θ per l’angolo, T2 e T per la tensione (si lascia l’integrazione al lettore come utile esercizio), fornisce finalmente l’equazione fondamentale della trasmissione del moto mediante attrito tra cinghia e puleggia:

che, qualora si possa trascurare il termine qv 2 rispetto a T , diventa:

(Si osservi che (6.13) è stata ottenuta per la puleggia motrice, tuttavia è immediato verificare che la stessa equazione vale anche per la puleggia condotta). La (6.13) ci dice che la variazione della tensione della cinghia lungo l’arco di avvolgimento sulla puleggia varia esponenzialmente con l’angolo θ. Considerando la puleggia motrice, il valore minimo della tensione (T2 ) si ha ovviamente per θ = 0, mentre il valore massimo (T1 ) si ha per un angolo θ∗ ricavabile dalla (6.13): T1 = T2 ef θ θ∗ =

∗

T1 1 log f T2

(6.14) (6.15)

6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI

121

Figura 6.3: Archi di aderenza e di scorrimento L’angolo θ∗ è chiamato arco di scorrimento, in quanto lungo esso si verifica la variazione di tensione della cinghia la quale, essendo deformata per effetto di tale variazione, subisce dei micro-slittamenti rispetto alla puleggia. Con riferimento alla Fig. 6.3, si vede che il valore di θ∗ , determinato dalla (6.15), è normalmente inferiore al valore dell’arco di avvolgimento β1 : l’angolo residuo β1 − θ∗ , detto arco di aderenza, è il tratto lungo il quale la tensione della cinghia rimane costante al valore massimo T1 e sia ha pertanto aderenza tra cinghia e puleggia. Considerazioni analoghe possono essere fatte per la puleggia condotta: anche in questo caso si avranno un arco di scorrimento θ∗ e un arco di aderenza β2 − θ∗ , tuttavia l’arco di scorrimento inizia da T1 anziché da T2 , e lungo l’arco di aderenza la tensione che rimane costante è la T2 . Per ricavare il valore massimo della coppia trasmissibile mediante cinghie, si considerino le (6.2) e (6.3), e si sostituisca in esse la (6.14), ottenendo: ∗

(6.16)

C2 = r2 T2 (ef θ − 1)

∗

(6.17)

C1 = r1 T2 (ef β1 − 1)

(6.18)

C2 = r2 T2 (ef β1 − 1)

(6.19)

C1 = r1 T2 (ef θ − 1)

Da queste equazioni si vede che all’aumentare delle coppie (motrice e resistente) aumenta il valore dell’arco di scorrimento; tuttavia, esso non può essere maggiore del più piccolo fra i due angoli di avvolgimento β1 e β2 . Se ad esempio, come in Fig. 6.3, β1 < β2 , la coppia massima che la puleggia motrice può trasmettere alla cinghia è:

e di conseguenza la coppia massima che la cinghia può trasmettere alla puleggia condotta è:

Come era logico aspettarsi, la coppia massima trasmissibile mediante cinghie ha delle limitazioni dovute al fatto che si tratta di una trasmissione per attrito (tanto è vero che aumentando il valore di f si possono ottenere miglioramenti in questo senso).

122

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Nel caso in cui la coppia applicata alla puleggia motrice sia maggiore del valore dato dalla (6.18), si verificano slittamenti tra cinghia e puleggia. La coppia effettivamente trasmessa rimane quella data dalla (6.18), essendo l’eccesso di coppia equilibrato dall’aumento delle resistenze all’asse della puleggia, nonché dalla coppia di inerzia dovuta all’accelerazione della puleggia stessa. Cinghie trapezoidali

Figura 6.4: Cinghia trapezoidale Per aumentare il valore della coppia massima trasmissibile mediante cinghie si deve aumentare il valore del coefficiente di attrito f , o per mezzo di un’opportuna scelta dei materiali oppure, più frequentemente, agendo sulla geometria del sistema. Anziché cinghie piane (a sezione rettangolare), si possono infatti utilizzare cinghie trapezoidali (Fig. 6.4), che vengono forzate entro pulegge con gole a forma di ‘V’. Le forze tra cinghia e puleggia vengono allora scambiate lungo i lati obliqui del trapezio che costituisce la sezione della cinghia. Detta α l’apertura della gola della puleggia, N la forza normale di pressione sulla cinghia, ′ N le forze trasmesse dalla puleggia alla cinghia, l’equilibrio alla traslazione verticale è espresso da: α =0 2 L’equazione di equilibrio alla traslazione in un piano ortogonale alla Fig. 6.4 è: N − 2N ′ sin

T − 2f N ′ = 0

(6.20)

(6.21)

ove f è il coefficiente di attrito tra cinghia e puleggia, e T la corrispondente forza tangenziale. Da queste due equazioni si ricava la relazione tra T e N : T =

f N sin α2

(6.22)

6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI

123

Si può quindi dire che per le cinghie trapezoidali si ha un coefficiente di attrito equivalente f = sinf α , che è tanto maggiore quanto minore è il valore di α. Ovviamente per α = 180◦ 2 (cinghia piana) si ritrova f = f ′ . ′

Cinghie dentate Un altro modo per aumentare la coppia massima trasmissibile è quello di ricorrere a cinghie dentate, ovvero dotate di denti collocati lungo l’intera superficie della cinghia, i quali vanno ad ingranare in appositi vani ricavati nelle pulegge. Questa soluzione, che ha l’ulteriore vantaggio di impedire lo scorrimento relativo tra cinghia e puleggia, è assimilabile, da un punto di vista cinematico e dinamico, ad una trasmissione a catena, che sarà studiata in un successivo paragrafo. Argani di trazione o cabestani

Figura 6.5: Cabestano I cabestani o argani di trazione (Fig. 6.5) sono macchine costituite da un tamburo di diametro d attorno al quale è avvolta una fune, ai cui estremi sono applicati il carico da trainare P e la forza di trazione T . La minima forza di trazione T da applicare per muovere il carico si può ricavare dall’equazione fondamentale delle cinghie (6.14) in condizioni di scorrimento globale, ovvero ponendo θ∗ = 2nπ, ove n è il numero di giri con cui la fune si avvolge attorno al tamburo: P = T e2nπf ⇒ T = P e−2nπf

(6.23)

Sono quindi sufficienti pochi giri della fune attrorno al tamburo per ridurre considerevolmente la forza richiesta per trainare il carico, che può pertanto essere mosso in maniera più agevole applicando una coppia Cm al tamburo, ricavabile dall’equazione di equilibrio alle rotazioni ripetto all’asse: d d Cm = (P − T ) ≈ P 2 2

(6.24)

124

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

6.1.2

Catene

Figura 6.6: Catena a rulli Le catene sono organi meccanici costituiti da una serie di elementi rigidi: ognuno di essi è collegato ad altri due elementi ed in grado di ruotare liberamente ripetto a questi ultimi. Il tipo di catena più comune, utilizzata per la trasmissione del moto, è la catena a rulli (Fig. 6.6), in cui ogni perno collega un rullo, una boccola e quattro piastrine. Il perno è solidale alle piastrine esterne, mentre la boccola è solidale ripetto alle piastrine interne; inoltre, il rullo è libero di ruotare attorno alla boccola. La catena ingrana con due ruote dentate, solidali agli assi tra cui va trasmesso il moto. La distanza tra gli assi di due perni consecutivi è detta passo della catena. Ad ogni avanzamento di un passo, le ruote dentate (aventi numero di denti z1 e z2 ) ruotano dei due angoli: ψ1 =

2π z1

(6.25)

2π (6.26) z2 Detto ∆t il tempo in cui avviene l’avanzamento di un passo, le velocità angolari delle due ruote sono rispettivamente: ψ2 =

ω1 =

ψ1 ∆t

ψ2 ∆t da cui segue che il rapporto di trasmissione τ è dato da: ω2 =

τ=

ω2 ψ2 z1 = = ω1 ψ1 z2

(6.27) (6.28)

(6.29)

Pertanto il τ di una trasmissione a catena, essendo dato dall’inverso del rapporto tra il numero di denti, è lo stesso che si avrebbe se le ruote dentate ingranassero direttamente.

6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI

125

In realtà il rapporto di trasmissione non è propriamente costante, poiché l’ingranamento dei denti delle ruote negli spazi tra i rulli della catena è un fenomeno intrinsecamente discontinuo; tuttavia questo fenomeno, chiamato effetto poligonale, diventa trascurabile se il numero di denti delle ruote è sufficientemente elevato (maggiore di 15). Rispetto alle cinghie, le catene (il cui funzionamento non è basato sull’attrito), sono in grado di trasmettere coppie e potenze molto più elevate, con un rapporto di trasmissione abbastanza costante (vi sono infatti delle piccole fluttuazioni di τ dovute alla discontinuità costituita dall’ingranamento tra catena e ruote dentate). Il rendimento di una catena a rulli è molto elevato (in genere 98-99%), ed è paragonabile a quello delle più efficienti ruote dentate. L’interasse tra le ruote può variare da pochi centimetri fino a circa 10 m.

6.1.3

Paranchi di sollevamento

Figura 6.7: Argano di sollevamento a due pulegge Oltre all’impiego come dispositivi di trasmissione della potenza tra assi paralleli, un’altra applicazione importante degli organi flessibili è il loro utilizzo come moltiplicatori di sforzo negli organi di sollevamento. Si consideri la Fig. 6.7, in cui una fune o una catena si avvolge su due pulegge, una ad asse mobile (a cui è collegato il carico da sollevare) ed una ad asse fisso, aventi lo stesso diametro d. Chimando ωf e ωm le velocità angolari, rispettivamente della puleggia ad asse fisso e di quella ad asse mobile, valgono le seguenti relazioni, di natura cinematica, che esprimono le velocità lineari della fune nei punti estremi di avvolgimento sulle pulegge: vD = ωf

d = vE 2

(6.30)

126

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

vB = ωm d

(6.31)

d 2

(6.32)

1 ωm = ωf 2

(6.33)

vC = ωm Essendo vD = vB , si avrà:

1 vC = vE (6.34) 2 Per quanto riguarda le forze in gioco, consideriamo la puleggia mobile e scriviamo per essa l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale in condizioni di regime. Supponendo di trovarci in condizioni di idealità (trascurando quindi l’attrito nei perni, la resistenza aerodinamica e l’imperfetta elasticità della fune), le tensioni T all’ingresso e all’uscita della puleggia sono uguali; si ottiene quindi: (6.35)

P = 2T

Il risultato fondamentale ottenuto con questo sistema a due pulegge è pertanto quello di dimezzare la forza necessaria al sollevamento di un carico (in condizioni di idealità). Dalla (6.34) si vede altresì che la velocità di sollevamento del carico è la metà di quella del punto a cui è applicata la forza di trazione T , risultato che peraltro poteva essere ricavato anche imponendo la conservazione della potenza. Se si abbandona l’ipotesi di idealità, ammettendo quindi che vi siano perdite dovute all’attrito nei perni, alla resistenza aerodinamica e alla elasticità non perfetta del flessibile, le tensioni in ingresso Ti e in uscita Tu della puleggia non sono più uguali, dovendo quella in uscita essere maggiore per compensare le forze resistenti. Si può allora scrivere: (6.36)

Tu = (1 + k)Ti

essendo k un coefficiente di perdita che tipicamente vale qualche punto percentuale, a seconda delle condizioni del sistema (lubrificazione, ecc.). Le relazioni tra le velocità, essendo di natura puramente cinematica, non sono invece influenzate dalle condizioni del sistema e pertanto sussistono in ogni caso. Allo scopo di ridurre ulteriormente il rapporto tra la tensione da applicare e il peso del carico da sollevare, è possibile concepire un sistema, chiamato paranco o argano di sollevamento, costituito da varie coppie puleggia fissa - puleggia mobile. Un esempio di tale dispositivo è rappresentato nella Fig. 6.8. L’equazione di equilibrio dell’elemento mobile, in condizioni di regime, è data da: P = T0 + T1 + ... + Tn−1 =

n−1 X

Ti

i=0

essendo n il numero di pulegge del paranco. Per ogni puleggia è possibile scrivere un’equazione del tipo (6.36), ovvero:

(6.37)

6.1. TRASMISSIONE DEL MOTO MEDIANTE ORGANI FLESSIBILI

127

Figura 6.8: Paranco di sollevamento a otto pulegge

Ti = (1 + k)Ti−1

i = 1...n

(6.38)

Da cui, per successive sostituzioni, si ricava la tensione motrice Tn in funzione della tensione T0 nel primo ramo del flessibile: Tn = (1 + k)n T0

(6.39)

Sostituendo poi la (6.39) nella (6.37) si ottiene: P = T0

"n−1 X

(1 + k)

i=0

i

#

(6.40)

da cui finalmente la tensione Tn da applicare per il sollevamento del carico, in funzione del peso P del carico stesso: (1 + k)n Tn = Pn−1 P i i=0 (1 + k)

(6.41)

In condizioni ideali (k = 0) si ha: Tn = P/n, quindi un paranco ideale riduce la forza richiesta per il sollevamento di un carico di tante volte quante sono le pulegge presenti nel dispositivo. In compenso, la velocità di sollevamento del carico vP sarà n volte più piccola della velocità vn con cui si deve muovere il capo libero della fune: 1 vn (6.42) n La (6.42) si ricave facilmente dall’equazione di conservazione della potenza in condizioni ideali: vP =

128

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.9: Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante

Wresistente = P vP = Tn vn = Wmotrice

6.2

(6.43)

Confronto tra organi a rapporto di trasmissione costante

Va subito detto che è difficile stabilire un confronto ‘assoluto’ tra i vari organi di trasmissione del moto, sia perché essi hanno diffrenti campi di utilizzazione, sia perché le caratteristiche di funzionamento (in particolare per le ruote dentate) dipendono fortemente dalla qualità del progetto e della costruzione. Ad ogni modo, la tabella di Fig. 6.9, che fornisce una visione sinottica delle caratteristiche dei vari organi a rapporto di trasmissione costante, può essere utilmente impiegata per la scelta del dispositivo da utilizzare in una determinata situazione. Da un’analisi sommaria della tabella si vede come i tre parametri fondamentali che determinano i campi di utilizzo dei vari organi di trasmissione sono: • potenza • coppia • velocità

6.3. GIUNTI

129

Per quanto riguarda potenza e coppia trasmissibile gli ingranaggi hanno caratteristiche superiori (si tenga comunque presente che i valori massimi di questi tre parametri non sono, in generale, ottenibili contemporaneamente).

Figura 6.10: Caratteristiche degli organi a rapporto di trasmissione costante La Fig. 6.10 mostra la dipendenza della potenza trasmessa dalla velocità. Si noti come gli ingranaggi siano l’unico organo di trasmissione che può trasmettere potenza in maniera indipendente dalla velocità; per contro alcuni tipi di flessibili (cinghie piane e cinghie dentate) possono funzionare ad una velocità superiore rispetto agli ingranaggi. Anche dal punto di vista dell’ingombro gli ingranaggi risultano in vantaggio. In ogni caso, una scelta appropriata della trasmissione va effettuata considerando tutti i parametri riportati nella tabella di Fig. 6.9.

6.3

Giunti

I giunti sono organi per la trasmissione del moto tra alberi coassiali, concorrenti o paralleli, aventi la proprietà di compensare eventuali imperfezioni costruttive e di montaggio, nonché deformazioni elastiche degli alberi e dei supporti.

6.3.1

Giunto di Cardano

Figura 6.11: Giunto di Cardano

130

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.12: Schematizzazione del giunto cardanico Il giunto di Cardano è un organo utilizzato per trasmettere, con rendimento elevato (η ≈ 0, 99), il moto tra due alberi complanari e tipicamente non paralleli, ma formanti tra loro un certo angolo α. Tale giunto è costituito da un elemento a forma di croce (la crociera) collegato per mezzo di coppie rotoidali a due forcelle giacenti in piani ortogonali (Fig. 6.11). Lo studio cinematico del giunto di Cardano riveste un certo interesse: vediamo quindi di ricavare il suo rapporto di trasmissione e di discutere i risultati che saranno ottenuti. Si faccia riferimento alla Fig. 6.12, in cui è schematizzato tridimensionalmente un giunto di Cardano. Siano: • µ il piano hX, Zi contenente gli assi dei due alberi collegati alle forcelle • α l’angolo formato dai due alberi nel piano µ • γ1 l’angolo di rotazione, rispetto alla normale Y al piano µ, della forcella collegata all’albero motore • γ2 l’angolo di rotazione, rispetto al piano µ, della forcella collegata all’albero condotto • ω1 la velocità angolare dell’albero motore • ω2 la velocità angolare dell’albero condotto • l1 il semibraccio della forcella collegata all’albero motore • l2 il semibraccio della forcella collegata all’albero condotto La relazione tra gli angoli γ1 e γ2 può essere ricavata imponendo l’ortogonalità dei bracci della crociera, ovvero eguagliando a zero il prodotto scalare dei vettori che li rappresentano nella terna hX, Y, Zi. Le componenti, lungo i tre assi, dei due semibracci della crociera sono rispettivamente:

6.3. GIUNTI

131

• l1x = 0 • l1y = l1 cos γ1 • l1z = l1 sin γ1 • l2x = −l2 cos γ2 sin α • l2y = l2 sin γ2 • l2z = −l2 cos γ2 cos α L’ortogonalità dei vettori l1 e l2 si scrive: l1 cos γ1 l2 sin γ2 − l1 sin γ1 l2 cos γ2 cos α = 0

(6.44)

tan γ2 = tan γ1 cos α ⇒ γ2 = arctan(tan γ1 cos α)

(6.45)

da cui, dividendo per l1 l2 cos γ1 cos γ2 , si ottiene la relazione cercata tra le posizioni angolari delle forcelle:

Figura 6.13: Differenza tra le posizioni angolari degli alberi nel giunto di Cardano Già da questa formula si nota come la trasmissione del moto tra la forcella motrice e la forcella condotta non sia uniforme. Ogni quarto di giro, infatti, l’angolo γ2 di cui ruota la forcella condotta risulta alternativamente maggiore o minore dell’angolo γ1 di rotazione della forcella motrice. La differenza ∆γ = γ2 − γ1 è una funzione periodica, di periodo π, e di ampiezza tanto maggiore quanto maggiore è il valore di α, come si vede nella Fig. 6.13. L’espressione analitica di ∆γ si ottiene con l’ausilio di qualche formula trigonometrica:

132

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

tan ∆γ = tan(γ2 − γ1 ) =

tan γ2 − tan γ1 1 + tan γ2 tan γ1

(6.46)

da cui, richiamando la (6.45): ∆γ = arctan

tan γ1 (cos α − 1) 1 + tan2 γ1 cos α

(6.47)

Il calcolo del rapporto di trasmissione del giunto di Cardano si effettua derivando la (6.45) rispetto al tempo: (1 + tan2 γ2 )

dγ2 dγ1 = (1 + tan2 γ1 ) cos α dt dt

(6.48)

per cui: τ=

dγ2 /dt cos α (1 + tan2 γ1 ) cos α ω2 = = = 2 ω1 dγ1 /dt 1 + tan γ2 cos2 γ1 (1 + tan2 γ2 )

(6.49)

Sostituendo ora il valore di tan γ2 dato dalla (6.45) si ottiene il valore di τ :

τ=

cos α cos α cos α = ⇒ = 2 2 2 cos2 γ1 (1 + tan γ1 cos2 α) cos2 γ1 + sin γ1 cos2 α cos2 γ1 + sin γ1 − sin2 γ1 sin2 α (6.50) τ=

cos α 1 − sin2 γ1 sin2 α

(6.51)

Il giunto di Cardano è pertanto un giunto non omocinetico, ossia il suo rapporto di trasmissione non è costante, in quanto oscilla, con periodo π, attorno ad un valor medio pari a 1 (irregolarità periodica del giunto di Cardano). Ciò significa che, a seconda delle caratteristiche inerziali degli alberi collegati al giunto, una o entrambe le velocità angolari degli alberi fluttuano attorno allo stesso valor medio. Le maggiori variazioni si avranno ovviamente nella velocità angolare dell’albero le cui masse rotanti hanno un momento di inerzia minore; se l’inerzia di uno dei due alberi è molto minore ripetto a quella dell’altro, si può considerare che quest’ultimo ruoti a velocità angolare costante, mentre la velocità del primo varierà a seconda del valore istantaneo del rapporto di trasmissione. Il valore massimo del rapporto di trasmissione (τmax = cos1 α ) si avrà quando |sin γ1 | = 1, ovvero per γ1 = π2 + kπ, k ∈ Z, mentre Il valore minimo (τmin = cos α) si avrà quando sin γ1 = 0, ovvero per γ1 = kπ, k ∈ Z. L’ampiezza dell’irregolarità periodica del giunto di Cardano è funzione dell’angolo α, e aumenta con esso, fino ad arrivare al caso limite α = π2 , per cui la (6.51) fornisce τ = 0 e il moto risulta così impossibile. Per contro, calcolando il limite della (6.51) per α → 0, si ottiene un risultato prevedibile anche con l’intuizione, ovvero τ ≡ 1: è questo l’unico caso, peraltro di scarsa utilità pratica, in cui il giunto di Cardano risulta omocinetico.

6.3. GIUNTI

133

Figura 6.14: Doppio giunto di Cardano: alberi incidenti

Figura 6.15: Doppio giunto di Cardano: alberi paralleli

6.3.2

Doppio giunto di Cardano e altri giunti omocinetici

L’irregolarità periodica del giunto di Cardano, che come si è visto è funzione dell’angolo di inclinazione tra gli alberi, causa continue fluttuazioni dell’albero a minore inerzia, le quali a loro volta sono fonte di vibrazioni che in certi casi possono risultare inaccettabili. Per evitare queste fluttuazioni di velocità, si può ricorrere ad un doppio giunto di Cardano che, come sarà dimostrato tra un momento, è omocinetico, cioè il suo rapporto di trasmissione è costante e pari a 1, se sono rispettate le seguenti condizioni: • le forcelle dell’albero intermedio devono essere complanari • l’asse dell’albero intermedio deve formare angoli uguali con gli assi degli altri due alberi In tal caso, detto γ l’angolo di rotazione dell’albero intermedio, applicando la (6.45) a entrambi i giunti, si ottiene: tan γ = tan γ1 cos α

(6.52)

tan γ = tan γ2 cos α

(6.53)

da cui segue che in ogni istante si avrà γ2 = γ1 . Vi sono due possibili configurazioni del doppio giunto di Cardano, mostrate in Fig. 6.14 e 6.15, ovvero:

134

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

1. albero motore e albero condotto con assi concorrenti in un punto 2. albero motore e albero condotto con assi paralleli

La omocineticità di questa seconda configurazione deriva dal fatto che cos(−α) = cos α.

Figura 6.16: Giunto omocinetico Bendix-Weiss In certi accoppiamenti in cui sia richiesta l’omocineticità, l’impiego di un doppio giunto di Cardano può risultare sconveniente per ragioni di ingombro eccessivo. Per ovviare a questo inconveniente, sono stati progettati altri giunti omocinetici aventi ingombro limitato. I più diffusi sono il giunto Bendix-Weiss e il giunto Rzeppa: si tratta di giunti in cui l’omocineticità è assicurata dalla simmetria della struttura, che prevede da due forcelle ortogonali distanziate da una serie di sfere alloggiate in apposite gole toroidali. Il giunto Bendix-Weiss è usato per trasmettere coppie non superiori ai 6000 Nm; per coppie più elevate si utilizza il giunto Rzeppa, che può trasmettere fino a 35000 Nm.

6.3. GIUNTI

135

Figura 6.17: Giunto di Cardano, giunto Rzeppa e giunto Bendix-Weiss

Figura 6.18: Giunto di Oldham

6.3.3

Altri giunti

Un altro giunto molto diffuso è il giunto di Oldham (Fig. 6.18). Si tratta di un giunto omocinetico che permette la trasmissione del moto tra due alberi i cui assi siano soggetti ad un leggero disallineamento parallelo. Da un punto di vista cinematico, il giunto di Oldham funziona qualunque sia il valore del disallineamento fra gli alberi, purché ovviamente i dischi abbiano dimensioni sufficienti per mantenere il collegamento. In pratica, se il disallineamento è troppo grande, sorgono numerosi inconvenienti quali: aumento dell’ingombro, aumento delle forze centrifughe sul disco intermedio (il cui centro descrive una circonferenza di diametro pari al disallineamento fra gli alberi), aumento del lavoro perso per l’attrito di strisciamento nelle coppie prismatiche. Vi sono poi numerose altre tipologie di giunti. Ci limitiamo a citare le principali: • giunti a bussola inchiavettata • giunti a flangia

136

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

• giunti a spina • giunti deformabili a soffietto • giunti deformabili a molle elicoidali • giunti deformabili a lamine flessibili

6.4

Sistemi vite-madrevite

Figura 6.19: Accoppiamento vite-madrevite

Figura 6.20: Sviluppo su un piano dell’accoppiamento vite-madrevite I sistemi vite-madrevite (Fig. 6.19) trovano impiego in numerosi sistemi di trasmissione del moto, che trasformano un moto rotatorio in uno traslatorio; una loro applicazione importante è costituita dagli apparecchi di sollevamento (martinetti a vite). Come è ben noto, la parte attiva della vite è data da due superfici elicoidali simmetriche (filetto) che si avvolgono attorno all’asse della vite. La madrevite è invece un cilindro cavo

6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE

137

nel quale sono ricavate delle gole che ospitano il filetto della vite, che risulta quindi essere l’elemento di accoppiamento delle due componenti del sistema. Il filetto della vite (e di conseguenza la gola della madrevite) può avere varie forme; le più comuni sono a filetto rettangolare e a filetto trapezio.

6.4.1

Vite-madrevite a filetto rettangolare

Si consideri dapprima un sistema vite-madrevite a filetto rettangolare, e si vogliano determinare le relazioni tra le grandezze cinematiche, nonché quelle tra le forze e coppie agenti sul sistema. A questo scopo, conviene sviluppare su un piano il cilindro medio (di diametro d). Vite e madrevite appaiono allora come due elementi solidi a forma prismatica accoppiati lungo una retta inclinata dell’angolo α, corrispondente all’inclinazione del filetto rispetto alla normale all’asse della vite. La proiezione di questi prismi su un piano è data dai due trapezi ABCD (vite) e AF ED (madrevite) mostrati nella Fig. 6.20. Giacché questo sviluppo corrisponde ad una rotazione completa della vite, la lunghezza della base dei due trapezi è uguale alla lunghezza πd della circonferenza del cilindro medio, mentre l’incremento di altezza è uguale al passo elicoidale pe = πd tan α della vite. La rotazione della vite e la conseguente la traslazione della madrevite ad essa accoppiata corrispondono, nello sviluppo di Fig. 6.20, rispettivamente alla traslazione orizzontale ∆x del trapezio ABCD e alla traslazione verticale ∆z del trapezio AF ED, il cui rapporto è dato dall’inclinazione tan α del filetto: ∆z = ∆x tan α

(6.54)

D’altronde ∆x è funzione dell’angolo di rotazione ∆θ della vite: d ∆x = ∆θ 2

(6.55)

da cui: pe d tan α∆θ = ∆θ (6.56) 2 2π A questo punto, per ricavare il rapporto di trasmissione del sistema vite-madrevite, è sufficiente derivare la (6.56) rispetto al tempo, ottenendo: ∆z =

vmadrevite =

dz d dθ d pe = tan α = tan α ωvite = ωvite dt 2 dt 2 2π

(6.57)

da cui finalmente: τ=

pe d vmadrevite = tan α = ωvite 2 2π

(6.58)

Lo studio delle relazioni tra forze e coppie agenti in un sistema vite-madrevite porta a risultati interessanti. Si supponga che il sistema sia utilizzato per il sollevamento di un carico, e si voglia quindi trovare il momento Mv che deve essere applicato alla vite (elemento motore) per muovere la madrevite (elemento condotto), alla quale è applicato un carico P . Detto f il coefficiente di attrito fra i due elementi accoppiati, la forza risultante F scambiata

138

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.21: Sollevamento di un carico con un sistema vite madrevite tra vite e madrevite sarà inclinata di un angolo φ = arctan(f ) rispetto alla normale n tra le superfici a contatto, e tale da opporsi al moto relativo fra di esse. Con riferimento alla Fig. 6.21, l’equazione di equilibrio alla traslazione verticale della madrevite si scrive: P = F cos(φ + α)

(6.59)

L’equilibrio alla traslazione orizzontale della vite è invece espresso da: T = F sin(φ + α) = P tan(φ + α)

(6.60)

ove T è data dalla risultante delle componenti tangenziali di tutte le forze che la madrevite esercita sulla vite: nello sviluppo della vite sul piano, tali componenti risultano essere parallele fra loro. Se consideriamo il cilindro originario, anziché il suo sviluppo sul piano, la forza T risulta essere, in valore assoluto, legata al momento Mv applicato alla vite, secondo la relazione: d 2 Il momento da applicare alla vite per sollevare il carico P è pertanto dato da: Mv = T

(6.61)

d tan(φ + α) P (6.62) 2 Dall’equazione precedente e dalla (6.56) è immediato calcolare il rendimento del sistema vite-madrevite: Mv =

η=

Lr tan α P ∆z = = Lm Mv ∆θ tan(φ + α)

(6.63)

Consideriamo adesso il caso di moto retrogrado (Fig. 6.22), ovvero la madrevite sia l’elemento motore e la vite l’elemento condotto (si ha quindi un abbassamento del carico). Le

6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE

139

Figura 6.22: Abbassamento di un carico relazioni cinematiche, in particolare la (6.56), rimangono valide, mentre per quanto riguarda le relazioni tra le forze, la differenza fondamentale è che la forza F scambiata tra le superfici a contatto sarà inclinata sempre di un angolo φ rispetto alla normale n, ma dalla parte opposta rispetto al caso precedente, in quanto si è invertito il verso del moto relativo tra vite e madrevite. Le equazioni di equilibrio, alla traslazione verticale della madrevite e alla traslazione orizzontale della vite, sono ora date da: P = F cos(φ − α)

(6.64)

T = F sin(φ − α) = P tan(φ − α)

(6.65)

mentre il momento Mv da applicare alla vite, in condizioni di regime, per abbassare il carico è: Mv = T

d d = tan(φ − α) P 2 2

(6.66)

Nel caso di moto retrogrado, si possono quindi verificare due possibilità: 1. φ > α Nel caso in cui l’angolo di attrito sia maggiore dell’inclinazione del filetto, il momento ricavato dalla (6.66) è positivo, il che significa che è necessario applicare alla vite una coppia di intensità pari a Mv per muovere il carico. In altre parole, il carico non si abbassa spontaneamente in assenza di una coppia esterna applicata alla vite, e ciò a causa di una preponderanza delle forze di attrito. E’ questo il caso in cui il sistema vite-madrevite costituisce un dispositivo irreversibile, in quanto il moto retrogrado spontaneo è impossibile.

140

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

2. φ < α Nel caso in cui l’angolo di attrito sia minore dell’inclinazione del filetto, la (6.66) fornisce un valore negativo di Mv . Ciò sta a significare che, in assenza di una coppia esterna applicata alla vite, il sistema si abbassa spontaneamente e, per controbilanciare detto abbassamento, ovvero affinché esso avvenga in condizioni di moto uniforme, è necessario applicare alla vite una coppia di intensità Mv e di verso tale da opporsi al moto. In questa situazione, causata dalla preponderanza delle componenti lungo il filetto delle forze dovute al carico, rispetto alle forze di attrito fra vite e madrevite, il sistema costituisce un dispositivo reversibile, essendo il moto retrogrado spontaneamente possibile.

6.4.2

Vite-madrevite a filetto trapezio

Figura 6.23: Vite-madrevite a filetto trapezio Se il dispositivo vite-madrevite ha filetto trapezio anziché rettangolare, le considerazioni svolte nel paragrafo precedente sono ancora valide. In particolare, le relazioni cinematiche rimangono inalterate, mentre per quanto riguarda la relazione tra carico e coppia da applicare alla vite, è sufficiente considerare che l’inclinazione del fianco del filetto dovuta all’angolo θ del trapezio (Fig. 6.23) ha come effetto quello di aumentare, a parità di carico, la forza di attrito lungo le superfici a contatto, rispetto al caso di filetto rettangolare. Ciò può essere modellato, analogamente a quanto si è fatto per le cinghie trapezoidali, introdicendo un coefficiente di attrito equivalente definito da: f cos θ ove f è ovviamente il coefficiente di attrito effettivo tra vite e madrevite. f′ =

(6.67)

6.4. SISTEMI VITE-MADREVITE

6.4.3

141

Vite a circolazione di sfere

Figura 6.24: Vite a circolazione di sfere Si è visto in un paragrafo precedente come il sistema vite-madrevite possa presentare caratteristiche di reversibilità oppure di irreversibilità, a seconda del valore del coefficiente di attrito a parità di inclinazione del filetto. In certe applicazioni dei dispositivi vite-madrevite (ad esempio, negli apparecchi di sollevamento), l’irreversibilità è una caratteristica desiderata, in quanto impedisce che il sistema si muova spontaneamente in assenza di coppia motrice applicata. In altre applicazioni si desidera invece avere un meccanismo reversibile, per cui è necessario abbassare il coeffeiciente di attrito tra gli elementi accoppiati. Ciò può essere realizzato, ad esempio, facendo in moto che tra vite e madrevite non si abbia attrito radente, bensì volvente, come nella vite a circolazione di sfere (Fig. 6.24). In un siffatto dispositivo il filetto è sostituito da gole elicoidali presenti in entrambi gli elementi; in un certo tratto di queste gole trovano alloggio alcune sfere, la cui funzione è quella di sopportare le forze scambiate fra vite e madrevite. All’interno della madrevite è inoltre previsto un condotto di ritorno, che permetta alle sfere (che ovviamente avanzano all’interno della gola durante il movimento del sistema) di circolare, in modo tale da avere un funzionamento continuo del sistema. Le relazioni cinematiche di una vite a circolazione di sfere sono le medesime ricavate per la vite a filetto rettangolare, in particolare il rapporto di trasmissione è sempre dato dalla (6.58). Per quanto riguarda invece le relazioni tra coppia C applicata alla vite e la F forza applicata alla madrevite, è conveniente esprimerle in funzione del rendimento che, per una vite a circolazione di sfere, si attesta tipicamente su valori medi di η ≈ 0, 9. Tali valori, di molto superiori a quelli dei dispositivi vite-madrevite a strisciamento (per i quali η varia tipicamente tra 0,2 e 0,5), fanno della vite a circolazione di sfere un sistema sempre reversibile (si ricordi che un sistema è reversibile se il suo rendimento è maggiore di circa 0,5). Se la vite è l’elemento motore e la madrevite l’elemento condotto (moto diretto), il rendimento del sistema è definito come: F vmadrevite Cωvite per cui la coppia C per muovere il carico, in condizioni di regime, è data da: η=

(6.68)

142

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

C=

F vmadrevite F = τ η ωvite η

(6.69)

Se invece la madrevite è l’elemento motore e la vite l’elemento condotto (moto inverso o retrogrado), il rendimento del sistema è definito come: ηinv =

Cωvite F vmadrevite

(6.70)

per cui la forza F per vincere la coppia resistente C, in condizioni di regime, è data da: F =

ωvite C C 1 = ηinv vmadrevite ηinv τ

(6.71)

Numericamente, i valori di η e ηinv sono pressoché uguali.

6.5

Frizioni

Figura 6.25: Innesto di due alberi Prende il nome di frizione un dispositivo meccanico per l’attivazione (innesto) o disattivazione (disinnesto) di un collegamento fra due alberi rotanti coassiali, in modo tale da realizzare o interrompere, a comando, la trasmissione del moto fra detti alberi. Il funzionamento delle frizioni è basato, come è evidente dal nome, sul fenomeno dell’attrito (in inglese friction), che permette la trasmissione di coppia e potenza tra i due elementi rotanti. Si consideri la Fig. 6.25, in cui sono rappresentati due alberi rotanti a diverse velocità angolari ω1 e ω2 , all’estremità dei quali sono montati due dischi di frizione. Se i dischi vengono messi a contatto, si ha un accoppiamento in cui è presente una coppia di attrito, il cui valore dipende dalla forza normale con cui i dischi sono premuti l’uno contro l’altro, oltre che ovviamente dal coefficiente di attrito (dinamico, in quanto sussiste moto relativo) fra le superfici a contatto. E’ questa la fase di innesto della frizione. Una volta terminata la fase di innesto (il che avviene quando i due alberi arrivano a ruotare alla stessa velocità angolare), non sussiste più strisciamento, bensì aderenza tra le superfici dei due elementi della frizione: il sistema si comporta ora come un unico corpo rigido ruotante ad una determinata velocità angolare. Questa situazione permane fintantoché

6.5. FRIZIONI

143

non viene comandato il disinnesto, oppure finché la coppia trasmessa dall’albero motore a quello condotto non supera un valore limite, determinato dalla condizione di aderenza, che è funzione ovviamente del coefficiente di attrito statico fra le superfici a contatto. Vogliamo ora studiare le fasi di innesto e di aderenza del sistema rappresentato in Fig. 6.25, in cui poniamo che l’elemento 1 della frizione sia collegato all’albero motore e l’elemento 2 all’albero condotto. Siano inoltre: • I1 e I2 i momenti di inerzia dei due alberi e delle masse rotanti ad essi solidali • ω10 e ω20 le velocità angolari dei due alberi prima dell’innesto • ωf la velocità angolare del sistema al termine della fase di innesto • Cm la coppia motrice (albero 1) e e Cr la coppia resistente (albero 2) • θ1 e θ2 le generiche posizioni angolari dei due alberi La variazione dell’energia cinetica complessiva del sistema dT in un tempo dt durante la fase di innesto è data dal lavoro meccanico netto entrante nel sistema nello stesso intervallo di tempo, ovvero: dT = dLm − dLr − dLf = Cm dθ1 − Cr dθ2 − dLf

(6.72)

essendo dLm , dLr e dLf rispettivamente il lavoro motore, il lavoro resistente e il lavoro dissipato per attrito nell’intervallo dt. Integrando la (6.72) per tutta la durata, da t = 0 a t = tf , della fase di innesto, è possibile ricavare il valore dell’energia dissipata durante tale fase: Z tf i Z tf 1h 2 2 I1 ω10 + I2 ω20 − (I1 + I2 )ωf2 + Cm ω1 dt − Cr ω2 dt 2 0 0 (6.73) Se la durata tf della fase di innesto è piccola, i due integrali nella (6.73) sono trascurabili rispetto alla differenza di energia cinetica (si può assimilare l’innesto ad un urto): la (6.73) allora diventa:

Lf = T (0) − T (tf ) + Lm − Lr =

i 1h 2 2 I1 ω10 + I2 ω20 − (I1 + I2 )ωf2 (6.74) 2 Poiché il valore della velocità ωf al termine della fase di innesto non è nota a priori, è necessario ricavarla da qualche altra equazione. Si utilizza in proposito il principio di conservazione del momento angolare, espresso da:

Lf =

I1 ω10 + I2 ω20 = (I1 + I2 )ωf

(6.75)

che consente di ricavare ωf : ωf =

I1 ω10 + I2 ω20 I1 + I2

(6.76)

144

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Sostituendo la (6.76) nella (6.74) si ottiene finalmente il valore dell’energia dissipata nell’innesto in funzione delle velocità iniziali: 1 I1 I2 (ω10 − ω20 )2 (6.77) 2 I1 + I2 La dinamica del sistema durante la fase di innesto è espressa dalle seguenti equazioni di equilibrio dinamico dei due alberi: Lf =

Cm (t) − Cf (t) − I1

dω1 =0 dt

(6.78)

dω2 =0 (6.79) dt ove Cf (t) è la coppia scambiata tra i due elementi della frizione all’istante t. Integrando queste equazioni, si ottiene l’andamento nel tempo delle velocità angolari ω1 (t) e ω2 (t) dei due alberi durante l’innesto. Terminata tale fase, cioè quando si arriva ad avere ω1 = ω2 = ωf , il sistema diventa equivalente ad un unico corpo rigido avente momento di inerzia (I1 + I2 ) e ruotante alla velocità angolare ω(t) il cui andamento temporale è ricavabile integrando l’unica equazione di equilibrio dinamico del sistema complessivo, ovvero: Cf (t) − Cr (t) − I2

Cm (t) − Cr (t) − (I1 + I2 )

dω =0 dt

(6.80)

Figura 6.26: Andamento delle velocità in un innesto La Fig. 6.26 mostra un esempio di grafico delle velocità angolari in funzione del tempo.

6.5.1

Frizioni a disco

Le frizioni a disco (Fig. 6.27) sono il tipo di frizione più comune: si tratta di due o più dischi che possono venire posti a contatto per messo di un movimento assiale. Anche quando sono costituite da più dischi, esse sono comunque modellabili come un’unica coppia di dischi, montati all’estremità dei due alberi da collegare, che vengono premuti l’uno contro l’altro con una forza assiale N . I dischi sono ricoperti di materiale ad alto

6.5. FRIZIONI

145

Figura 6.27: Frizione a disco coefficiente di attrito, del tipo di quello utilizzato nei freni, in modo tale che il contatto tra le superfici generi una coppia di attrito Cf durante e anche dopo la fase di innesto. Il valore di tale coppia di attrito può essere ottenuto con il seguente ragionamento, che porta a ricavare come varia la pressione nell’area interessata dall’attrito di strisciamento. Si considerino due dischi rotanti coassiali, ricoperti di materiale a coefficiente di attrito f , che vengono premuti l’uno contro l’altro (per semplicità, si può ipotizzare che uno dei due dischi sia fermo e l’altro ruoti ad una velocità angolare ω). Inizialmente, la pressione p risulta uniforme su tutta l’area di contatto, il che causa un’usura del materiale più accentuata in corrispondenza della parte esterna dei dischi. Per dimostrare questa affermazione, si consideri l’ipotesi di Reye che, come si ricorderà, stabilisce che il volume del materiale asportato per usura è proporzionale al lavoro compiuto dalle forze di attrito. Ora, il lavoro compiuto in un tempo dt dalle forze di attrito su un’area elementare dA, posta a distanza r dall’asse di rotazione, è dato da: dLf = f p dA v dt = f p ω r dA dt

(6.81)

ove v = ωr è la velocità tangenziale dell’elemento dA. Per l’ipotesi di Reye: dLf = kReye dV = kReye dh dA

(6.82)

ove dh è lo spessore di materiale asportato nel tempo dt e kReye è una costante di proporzionalità. Dalla (6.81) e dalla (6.82) si ricava il tasso di asportazione del materiale in direzione assiale: dh f vp f ωp = = r dt kReye kReye

(6.83)

Petanto, se p è costante, come nella fase iniziale di utilizzo di dischi nuovi, la (6.83) dimostra che il consumo del materiale varia in misura proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione, e quindi la parte esterna dei dischi presenterà un’usura più accentuata. Superata tale fase iniziale, si raggiunge una situazione di equilibrio in cui il tasso di consumo del materiale diventa uniforme in tutta la superficie a contatto. La (6.83) ci fornisce allora l’andamento a regime della pressione:

146

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

kReye (dh/dt) 1 = kp f ωr r

p=

(6.84)

Da cui si vede che la pressione varia radialmente, in maniera inversamente proporzionale rispetto alla diatanza dall’asse di rotazione. Tipicamente, il contatto tra le superfici dei dischi della frizione non avviene sull’intero disco, ma su una corona circolare di raggio interno ri e raggio esterno re . Il coefficiente kp può essere ricavato dall’espressione della forza assiale N , ottenuta integrando la pressione sulla superficie di contatto: N=

Z

re

ri

Z

2π

0

p r dr dθ =

Z

re

ri

Z

2π

0

kp dr dθ = 2πkp (re − ri )

(6.85)

da cui: p = p(r) =

N 2πr(re − ri )

(6.86)

I valori massimo e minimo della pressione nella zona di contatto si avranno allora per r = ri e r = re rispettivamente: pmax =

N 2πri (re − ri )

(6.87)

pmin =

N 2πre (re − ri )

(6.88)

La coppia di attrito Cf può essere calcolata come somma dei singoli contributi delle azioni tangenziali di attrito agenti in ogni punto delle superfici di contatto: Cf =

Z

re

ri

Z

0

2π

f p r2 dr dθ = πf kp (re2 − ri2 )

(6.89)

Sostituendo in questa equazione il valore di kp ricavato dalla (6.85), si ottiene: Cf = f N

re + ri 2

(6.90)

Allo scopo di aumentare il valore della Cf , e quindi essere in grado di trasmettere coppie più elevate, si possono costruire frizioni che siano costituite da numerosi dischi (si arriva anche a parecchie decine), collegati alternativamente con l’elemento motore e l’elemento condotto. La forza assiale di pressione è la stessa per tutti i dischi, ovvero N , e quindi la coppia di attrito trasmessa dalla frizione viene moltiplicata per il numero n di dischi: Cf = nf N

re + ri 2

(6.91)

6.5. FRIZIONI

147

Figura 6.28: Frizione conica

6.5.2

Frizioni coniche

Per aumentare ulteriormente la coppia trasmessa, si possono utilizzare frizioni coniche, in cui le superfici che trasmettono la coppia per attrito hanno la forma di un tronco di cono. Come si può vedere dalla Fig. 6.28, la componente assiale della pressione sviluppata nel generico punto delle superfici di contatto è data da: pa = p sin α + f p cos α

(6.92)

ove p è la forza per unità di superficie, normale alla superficie di contatto, f il coefficiente di attrito e α l’angolo di inclinazione del tronco di cono rispetto all’asse. La (6.86) continua a valere, con l’avvertenza di considerare pa al posto di p, e la componente assiale della forza di compressione Na = N (sin α + f cos α) al posto di N : pa =

Na 2πr(re − ri )

(6.93)

da cui, introducendo il valore di pa dato dalla (6.92), si ottiene l’andamento della pressione in funzione della distanza radiale r dall’asse: p = p(r) =

Na 2πr(re − ri )(sin α + f cos α)

(6.94)

La coppia trasmessa da una frizione conica può essere ricavata direttamente dalla (6.90) Cf = f N

re + ri re + ri = f Na 2 2(sin α + f cos α)

(6.95)

Come ordine di grandezza, la potenza trasmessa da una frizione può arrivare sino a 200300 kW, anche se sono state costruite frizioni con caratteristiche particolari (frizioni a bagno d’olio) che raggiungono anche i 2 MW di potenza trasmessa, seppur con qualche svantaggio (ad esempio, l’impossibilità di disaccoppiare completamente i due alberi).

148

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

6.6

Freni

Sono detti freni quegli organi meccanici che hanno la funzione di diminuire o annullare la velocità di un corpo (o di un sistema), dissipandone l’energia cinetica. Vi sono tre tipi principali di freni: 1. freni ad attrito 2. freni a fluido 3. freni elettromagnetici Le tipologie 2 e 3, che basano il loro funzionamento rispettivamente sull’attrito viscoso o su fenomeni elettromagnetici, possono creare una coppia frenante solo quando il sistema è in movimento, mentre i freni ad attrito funzionano anche quando il sistema da frenare è fermo. Il materiale usato nei freni del tipo 1 ha la proprietà di avere un elevato coefficiente di attrito: viene spesso impiegata una miscela di gomme con un’armatura metallica. Tale materiale è detto ferodo dal nome dell’inventore (Frood, 1909). Le grandezze che caratterizzano un freno sono: • coppia frenante • forza di comando • efficacia, definita come il rapporto tra la forza d’attrito applicata al corpo da frenare e la forza di comando • indice di regolarità, definito come il rapporto tra la variazione percentuale della coppia frenante e la variazione percentuale del fattore di attrito. N.B.: la regolarità di un freno è tanto maggiore, quanto minore è l’indice di regolarità E’ evidente che le caratteristiche desiderate per un freno sono: • modesta forza di comando • elevata efficacia, ma non tanto da provocare brusche variazioni di velocità • notevole regolarità (quindi indice di regolarità basso, tipicamente inferiore a 2), in modo tale da avere costanza di prestazioni e possibilmente assenza di vibrazioni • scarsa necessità di manutenzione • semplicità progettuale e costruttiva • costo non elevato Vi sono tre principali categorie di freni ad attrito: 1. freni a disco

6.6. FRENI

149

Figura 6.29: Freno a disco

Figura 6.30: Freni a ganasce 2. freni a tamburo (o a ceppi, o a ganasce) 3. freni a nastro I freni a disco (Fig. 6.29) sono costituiti da un pattino (o guarnizione), ricoperto di materiale ad alto coefficiente di attrito (gomma, ferodo), che viene accostato ad un disco rotante solidale al sistema da frenare. Essi hanno numerosi vantaggi rispetto agli altri tipo di freno: assicurano un’azione frenante più uniforme e uguale in entrambi i versi di rotazione, e inoltre sono meno sensibili a fattori contaminanti (quali acqua, olio, polveri). Per contro, a parità di dimensioni, generano un momento frenante minore rispetto, ad esempio, ai freni a tamburo; pertanto devono essere azionati da una forza maggiore, e di conseguenza il materiale di cui sono costituiti deve essere in grado di sopportare pressioni elevate. I freni a tamburo, o freni a ceppi, o freni a ganasce (Fig. 6.30), sono costituiti da uno o più ceppi ricoperti di materiale adeguato, i quali vengono premuti contro la superficie, esterna oppure interna (si parla anche, in tal caso, di freni ad espansione, vedi Fig. 6.31), di un tamburo solidale al sistema da frenare. Nei freni a nastro (Fig. 6.32) l’elemento frenante è un nastro su cui è depositato del materiale di attrito, che viene posto in tensione in modo da serrarsi su un tamburo solidale al sistema da frenare. Volendo stabilire un confronto fra i vari freni, è conveniente considerare da un lato i freni a disco, dall’altro gli altri tipi di freno, che possono essere assimilati in quanto sia nei freni a ganasce che in quelli a nastro l’elemento da frenare è un tamburo rotante.

150

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.31: Freni a espansione

Figura 6.32: Freno a nastro I vantaggi dei freni a disco, rispetto alle altre tipologie di freno, sono principalmente: • notevole regolarità di funzionamento, anche in condizioni spinte di esercizio • uguale efficacia nei due versi di rotazione • assenza di surriscaldamento • assenza di distorsioni dell’elemento rotante • carichi modesti sui cuscinetti • usura più uniforme delle guarnizioni e comunque possibilità di aggiustamento automatico dei giochi • peso modesto, a parità di coppia frenante • facilità di sostituzione delle guarnizioni • maggiore capacità di sopportare cicli di funzionamento ad alta frequenza Lo svantaggio principale dei freni a disco è invece legato alla bassa efficacia intrinseca.

6.7. CUSCINETTI

151

Figura 6.33: Caratteristiche medie dei freni

Figura 6.34: Efficacia e regolarità di varie tipologie di freni

6.7

Cuscinetti

I cuscinetti sono componenti meccanici che fungono da supporto per organi rotanti come gli alberi, equilibrando i carichi ad esso applicati da parte degli altri elementi del sistema, ed originando allo stesso tempo coppie resistenti di piccola entità. I cuscinetti si suddividono in due grandi categorie: 1. cuscinetti a strisciamento, altresì detti bronzine, costituiti da una boccola cilindrica, esternamente fissata, al cui interno ruota un albero. Tra albero e cuscinetto è in genere presente uno strato di lubrificante; 2. cuscinetti a rotolamento, o volventi, in cui tra la parte fissa e quella mobile dell’accoppiamento sono interposti opportuni elementi di rotolamento, in modo che l’attrito risulti volvente anziché radente.

152

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.35: Esempi di cuscinetti a rotolamento

Figura 6.36: Nomenclatura dei cuscinetti

6.7. CUSCINETTI

153

Il cuscinetto volvente deve la sua maggiore diffusione ai vantaggi innegabili che esso presenta rispetto ai cuscinetti a strisciamento: • l’attrito di un cuscinetto volvente è circa 1/10 di quello di una bronzina; • mentre per i cuscinetti volventi l’attrito è praticamente costante con la velocità e tende a diminuire con l’aumentare del carico, nelle bronzine è molto variabile con la velocità, con il carico e con la temperatura, e può raggiungere valori elevati, soprattutto a basse velocità; • i cuscinetti a rotolamento hanno un ingombro assiale minore; • i cuscinetti volventi necessitano di minore manutenzione e lubrificazione rispetto alle bronzine. Gli svantaggi dei cuscinetti a rotolamento rispetto a quelli a strisciamento sono sostanzialmente dati da: • maggior ingombro radiale; • maggiore rumorosità; • minore resistenza agli urti; • maggior costo. Nella nostra analisi tratteremo principalmente dei cuscinetti a rotolamento, la cui diffusione è prevalente rispetto a quelli a strisciamento. I principali requisiti di progetto richiesti ad un cuscinetto sono: • sopportare carichi di entità e direzione assegnata, • avere una durata assegnata operando nelle condizioni di progetto, • avere dimensioni e, conseguentemente, ingombro definiti. Per la fabbricazione dei cuscinetti si utilizzano materiali duri, ad alta resistenza, con caratteristiche superiori a quelli degli elementi ai quali vengono accoppiati. I costruttori hanno reso disponibili cuscinetti a rotolamento in una grande varietà di tipologie, dimensioni e caratteristiche di resistenza e le cui caratteristiche di utilizzazione (valori del carico e velocità) sono tabulate in cataloghi. Il compito dell’utilizzatore è quello di effettuare una selezione fra i cuscinetti presenti in commercio. In questa sede ci limiteremo a fornire solo alcune considerazioni di carattere generale relative alla scelta dei cuscinetti. Per approfondimenti si rimanda il lettore a testi specializzati, oppure ai siti internet dei principali produttori (ad esempio: http://www.skf.com). La Fig. 6.36 mostra la nomenclatura di un cuscinetto a sfere con i suoi quattro componenti essenziali: 1. l’anello (o ralla) esterno - outer ring,

154

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.37: Corpi volventi nei cuscinetti a rotolamento: sfere, rulli cilindrici, rullini, rulli a botte, rulli conici 2. l’anello (o ralla) interno - inner ring, 3. i corpi volventi (sfere, rulli o aghi/rullini), - rolling elements 4. il separatore (o gabbia) - guide ring/separator Nei cuscinetti di basso costo il separatore è qualche volta assente, ma esso assolve l’importante funzione di evitare il contatto fra le sfere. Le gabbie sono generalmente realizzate in acciaio, ma talvolta possono essere di ottone o plastica.

6.7.1

Classificazione dei cuscinetti

I tipi di cuscinetti a rotolamento attualmente costruiti sono così numerosi e vari sia per forma, dimensioni e disposizione dei corpi volventi, sia per la natura e la direzione dei carichi che sono chiamati a sopportare, che una classificazione risulterebbe molto complessa e poco pratica. Per semplicità i cuscinetti potrebbero in prima approssimazione essere classificati in base alla forma dei corpi volventi in essi montati (Fig. 6.37): • sfere, • rulli cilindrici, • rullini, • rulli a botte, • rulli conici

Un’ulteriore classificazione potrebbe essere fatta in base all’angolo che la congiungente i punti di contatto tra i corpi volventi e gli anelli forma con l’asse del cuscinetto (Fig. 6.38): • cuscinetti radiali: nei quali tutte le rette passanti per i punti di contatto AA sono normali all’asse del cuscinetto, • cuscinetti obliqui, nei quali la posizione della retta di contatto AA è inclinata rispetto all’asse CC di un angolo α • cuscinetti assiali, nei quali le rette di contatto AA risultano parallele all’asse I cuscinetti radiali, pertanto, possono sopportare solo spinte radiali, i cuscinetti assiali sopportano una spinta assiale (in uno solo, o in entrambi i versi, a seconda del tipo di cuscinetto), i cuscinetti obliqui sopportano spinte miste (combinazioni di assiale e radiale).

6.7. CUSCINETTI

155

Figura 6.38: Cuscinetti radiali, obliqui e assiali

6.7.2

Criteri di selezione dei cuscinetti

La selezione di un cuscinetto viene effettuata determinandone: • tipo • dimensioni • resistenza Il tipo del cuscinetto viene selezionato in base ai seguenti fattori: • la direzione del carico cui il cuscinetto è assoggettato (assiale-radiale-misto), • l’ingombro (che è legato alle dimensioni). Le dimensioni del cuscinetto, in particolare le dimensioni esterne radiale e assiale, dipendono dal tipo di cuscinetto e dalla sua resistenza. La dimensione interna è spesso imposta da un vincolo di progetto. Per resistenza richiesta ad un cuscinetto si intende, come vedremo nel seguito: • carico ammissibile statico • carico ammissibile dinamico • durata • affidabilità • velocità massima ammissibile (dipende dalla temperatura di funzionamento ammissibile). Questi tre parametri si influenzano l’un l’altro per l’ovvia dipendenza tra di loro. Per introdurre i calcoli relativi alla scelta del cuscinetto è necessario premettere qualche considerazione relativa alla durata (o vita) dei cuscinetti.

156

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

Figura 6.39: Funzioni di probabilità di sopravvivenza e cedimento dei cuscinetti. Vita dei cuscinetti Durante il rotolamento degli elementi volventi all’interno delle guide si manifestano delle tensioni hertziane fra gli anelli (esterno ed interno) e l’elemento. Se un cuscinetto è ben lubrificato ed opera al di sotto della temperatura massima ammissibile, la sola causa di rottura è costituita dalla fatica meccanica, che si manifesta a seguito dell’applicazione di un numero elevato di cicli (dell’ordine dei milioni). Si può quindi introdurre come parametro di riferimento la vita del cuscinetto (detta anche vita a fatica o vita utile o durata), definita come il numero totale di rotazioni o il numero di ore di funzionamento a una data velocità angolare (costante) prima che si manifesti un’evidenza di fatica, tipicamente consistente nella comparsa di crateri e vaiolature sulla superficie degli anelli, che porta dopo breve tempo alla rottura del cuscinetto stesso. La comparsa delle prime evidenze di fatica può veriare notevolmente da cuscinetto a cuscinetto, anche fra cuscinetti appartenenti allo stesso lotto di produzione. Per questo motivo la vita di un cuscinetto viene solitamente definita in maniera probabilistica. Si consideri la Fig. 6.39, in cui compaiono tre curve: • la curva tratteggiata rappresenta la densità di probabilità pc (L) di cedimento dei cuscinetti appartenenti ad un lotto prefissato, in funzione del numero di cicli L (da rilevazioni sperimentali, si è visto che essa può venire ben approssimata dalla funzione √ densità di probabilità di Weibull: y(x) = (3/2) xexp(−x3/2 )); • la curva punteggiata rappresenta la distribuzione cumulativa Pc (L) delle probabilità di cedimento, ottenuta integrando pc (L); • la curva continua è la distribuzione cumulativa Pv (L) della probabilità di vita dei cuscinetti del lotto. Essa è ovviamente il complemento a 1 della Pc (L): Pv (L) = 1 − Pc (L). Il numero di cuscinetti che sopravvivono dopo un certo numero di cicli L∗ può essere pertanto ottenuto moltiplicando per 100 il valore della Pv (L∗ ) ricavato dalla curva continua

6.7. CUSCINETTI

157

in Fig. 6.39. In particolare, l’ISO (International Standard Organization) ha definito come parametro di riferimento per i cuscinetti la vita limite o durata nominale L10 , ovvero il numero di milioni di cicli (o, in alternativa, il numero di ore di funzionamento a velocità costante) che il 90% dei cuscinetti di un lotto completa prima che si manifestino evidenze di fatica. Certi costruttori utilizzano come parametro di riferimento la vita media, definita come il numero di milioni di cicli (o, in alternativa, il numero di ore di funzionamento a velocità costante) che il 50% dei cuscinetti di un lotto completa prima che si manifestino evidenze di fatica. Questo parametro non è tuttavia standardizzato. Carico statico e carico dinamico La vita di un cuscinetto dipende, come è logico attendersi, dal carico applicato. Prove sperimentali mostrano che due gruppi di identici cuscinetti testati sotto differenti carichi F1 ed F2 avranno rispettivamente vite limite L1 ed L2 in accordo con la relazione: L1 F2 = L2 F1 dove:

µ

¶a

(6.96)

• L: milioni di rotazioni oppure l = (L · 106 )/(60n) in ore considerando una velocità costante n[giri/min] uguale per i due casi; • a: parametro che dipende dal tipo di cuscinetto. Sperimentalmente si è osservato che a ≈ 3 per i cuscinetti a sfere e a ≈ 10/3 per i cuscinetti a rulli. Tipicamente la durata di riferimento di un cuscinetto è fornita dal costruttore sotto forma di due parametri: 1. carico statico, detto anche carico di catalogo 2. carico dinamico, detto anche coefficiente di carico o carico limite. Il carico statico FR è il massimo carico, espresso in kN , che un cuscinetto può sopportare in condizioni statiche, ovvero da fermo o con rotazioni molto lente. Esso dipende principalmente dal tipo e dalla geometria del cuscinetto. Il carico dinamico è definito come quel carico radiale (assiale) che un gruppo di cuscinetti radiali (assiali) apparentemente identico può sopportare per una vita limite di un milione di rotazioni dell’anello interno, in condizioni di carico costante, anello interno rotante ed anello esterno fisso. Noto il coefficiente di carico C, è possibile calcolare il massimo carico applicabile al cuscinetto in condizioni dinamiche, per una vita limite assegnata L. Usando infatti la (6.96), e ponendo F1 = F , L1 = L10 , F2 = C e L2 = 1, si ottiene: C

(6.97) 1 La In alternativa, se si conosce il carico massimo F applicabile al cuscinetto, è possibile calcolare la vita limite del cuscinetto soggetto a tale carico in condizioni dinamiche: F =

158

CAPITOLO 6. ALTRI ORGANI DI TRASMISSIONE DEL MOTO

C a L= (6.98) F I coefficienti di carico sono determinati per via sperimentale, tuttavia sono state recentemente messe a punto delle formule basate sulla teoria relativa alla vita a fatica che permettono ai costruttori di prevederne il valore, in base alle caratteristiche costruttive del cuscinetto. µ

¶

Capitolo 7 Camme La camma è un organo meccanico atto a realizzare una determinata legge di moto, il cui andamento dipende dalla forma della camma stessa. Esistono anche altri meccanismi con i quali si possono ottenere leggi di moto con determinate caratteristiche, ma nessuno permette di ottenere, in generale, leggi di moto anche complesse con la precisione e la relativa semplicità offerte dai meccanismi con camme. Ciò spiega la gran diffusione di questi ultimi, specialmente nelle macchine automatiche veloci. Di solito, la camma è inserita in un meccanismo che comprende almeno tre membri (movente, cedente e telaio), con due coppie elementari e una coppia superiore. La camma svolge comunemente la funzione di movente. I meccanismi con camme possono essere classificati in base a diversi criteri. Un primo criterio di classificazione è quello di considerare il tipo di moto (rotatorio o traslatorio) della camma e del membro a contatto con essa attraverso la coppia superiore. Il moto rotatorio può essere continuo o alternato, mentre quello traslatorio può essere solo alternato. Nei casi più frequenti, la camma costituisce il movente ed è dotata di moto rotatorio continuo, mentre il cedente è dotato di moto alternato. • Se la camma è traslante, essa prende anche il nome di sagoma; • se il cedente si muove di moto traslatorio, esso si dice punteria, • se il moto del cedente è rotatorio alterno, esso viene detto bilanciere. Le camme si possono poi classificare in base alla loro forma: camme piane o a disco, camme cilindriche, ed altri tipi meno comuni (camme coniche, camme sferiche, camme spaziali o cammoidi, ecc.). Si distinguono poi diversi tipi di cedenti, a seconda della forma che assume l’elemento cinematico a contatto con la camma. Si possono avere • cedenti a spigolo vivo (o meglio, con raggio di curvatura molto piccolo), usati molto raramente e solo se le forze in gioco sono molto modeste; • cedenti a piattello (piano o curvo), impiegati in alcuni casi (motori endotermici alternativi) perché danno luogo a meccanismi compatti e robusti ; 159

160

CAPITOLO 7. CAMME

Figura 7.1: Sagoma traslante con punteria a rotella • cedenti a rotella, molto usati perché il contatto di rotolamento fra camma e cedente riduce l’attrito e l’usura.

7.1

Legge del moto del cedente

Si dice legge di moto del cedente la legge secondo la quale il cedente si sposta, mosso dalla camma, in funzione del tempo. Indicando con y to spostamento (lineare o angolare) del cedente, la legge del moto sarà un’espressione del tipo: y = y(t)

(7.1)

Di solito, però, interessa conoscere la posizione del cedente non tanto in funzione del tempo, quanto, piuttosto, in funzione della posizione angolare della camma (o della posizione lineare, se si tratta di una sagoma). Se, come di solito accade, la velocità angolare della camma (o lineare della sagoma) è costante, i due modi di assegnare la legge del moto sono del tutto equivalenti. Indicando con ω la velocità angolare e con θ l’angolo di rotazione della camma, la legge di moto del cedente sarà un’espressione del tipo: y = y(θ) = y(ωt)

(7.2)

La velocità e l’accelerazione si otterranno derivando la (7.2) rispetto al tempo. Se la velocità angolare è costante si avrà:

7.1. LEGGE DEL MOTO DEL CEDENTE

161

Figura 7.2: Camma piana con punteria a piattello curvo

Figura 7.3: Camma piana con bilancere a piattello piano

y˙ = d2 y y¨ = 2 dθ

dy dθ dy = ω = y ′ (θ)ω dθ dt dθ Ã

dθ dt

!2

=

d2 y 2 ω = y ′′ (θ)ω 2 dθ2

(7.3)

(7.4)

Osserviamo che y(θ), y ′ (θ), y ′′ (θ) dipendono solo dalla forma della camma, mentre y(t), y(t), ˙ y¨(t) dipendono anche dalla sua velocità angolare. Nel caso di una sagoma, al posto dello spostamento angolare θ comparirà quello lineare, che indicheremo con x. La legge di moto del cedente comprende, in generale, quattro fasi: • andata (A),

162

CAPITOLO 7. CAMME

Figura 7.4: Camma piana con punteria a rotella e camma cilindrica con punteria a rotella

Figura 7.5: Cedente a spigolo vivo, a piattello piano e a rotella • sosta (S), • ritorno (R), • sosta (S);

le due fasi di sosta, o una sola di esse, possono mancare. Spesso, per comodità, viene detta legge di moto non la legge relativa a tutti i 360◦ , ma quella relativa ad una delle fasi attive (A o R), e si parla perciò di legge di moto dell’andata e legge di moto del ritorno. Indicheremo con β l’angolo di rotazione della camma corrispondente ad una determinata fase; la somma degli angoli a di tutte le fasi vale, evidentemente, 360◦ . Lo spostamento totale del cedente in una fase attiva (spostamento lineare se si tratta di una punteria, angolare se è un bilanciere) si dice alzata (o salto); nel seguito, lo indicheremo con H. In Fig. 7.6 è rappresentata l’alzata in funzione della rotazione della camma, nelle quattro fasi del moto.

7.2. TRACCIAMENTO DI UNA CAMMA

163

Figura 7.6: Fasi del moto del cedente

7.2

Tracciamento di una camma

Supponiamo assegnata la legge di moto del cedente, nella forma y = y(θ) e proponiamoci di disegnare la camma atta ad imporre al cedente tale legge. Se la camma da disegnare è una sagoma traslante e il cedente è una punteria a spigolo vivo (Fig. 7.7a) il contorno di tale sagoma coinciderà esattamente con la legge di moto del cedente, y = y(x). La forma della sagoma dipenderà quindi: • dalla legge di moto • dalla sua velocità di traslazione (che supporremo costante) • dal tempo richiesto per lo spostamento totale H del cedente. La velocità e il tempo richiesto determinano infatti la lunghezza della sagoma. Osserviamo che quanto maggiore è tale lunghezza, tanto minore è l’inclinazione della sagoma (ovvero l’angolo di pressione). Se si vuole disegnare il contorno di una sagoma che comanda una punteria a rotella (Fig. 7.7b), si procederà come nel caso precedente, ottenendo tuttavia, invece del contorno della sagoma, il luogo dei centri della rotella. Basterà allora disegnare la rotella con il centro nei punti del luogo suddetto, per ottenere il contorno cercato come inviluppo delle circonferenze rappresentanti il contorno della rotella stessa. La sagoma potrebbe anche essere a comando positivo: in questo caso, i due contorni del solco entro cui si impegna la rotella saranno i due inviluppi delle circonferenze che rappresentano il contorno della rotella. Per disegnare una camma cilindrica, è sufficiente disegnare la corrispondente sagoma piana, la quale va poi pensata avvolta sul cilindro. La pista della camma cilindrica avrà in realtà uno spessore radiale, di solito piccolo rispetto al raggio del cilindro; come cilindro di riferimento sul quale considerare avvolta la sagoma (al fine di determinare la lunghezza di questa) si assume di norma il cilindro medio.

164

CAPITOLO 7. CAMME

Se la sagoma di partenza ha una sola pista, la camma che si ottiene è detta anche a bicchiere; se la sagoma ha una doppia pista, si ottiene una camma cilindrica a comando positivo (Fig. 7.8).

Figura 7.7: Tracciamento di una sagoma per punteria a spigolo vivo e per punteria a rotella

Figura 7.8: Tracciamento di una camma cilindrica a comando positivo con punteria a rotella Nel tracciamento del profilo di una sagoma si è fatto uso del procedimento dell’inversione cinematica, che consiste nel disegnare il cedente nelle successive posizioni che esso viene ad assumere rispetto alla camma, considerata fissa (nel meccanismo cinematicamente invertito, pertanto, al telaio viene imposto un moto uguale ed opposto a quello compiuto dalla camma nel meccanismo reale). Tale procedimento, che nel caso delle sagome con punteria non ha bisogno di commenti, permette di disegnare anche i contorni delle camme piane, e può essere esteso ai casi di camme (sagome e camme a disco) con bilanciere. Noi ci limiteremo ad esporlo per i casi di camma piana con punteria a rotella, con punteria a piattello piano e con bilanciere a rotella, essendo priva di difficoltà l’estensione agli altri casi.

7.2. TRACCIAMENTO DI UNA CAMMA

7.2.1

165

Camma piana con punteria centrata a rotella

Figura 7.9: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con punteria centrata e con punteria eccentrica a rotella Consideriamo il caso di una camma piana con punteria a rotella. Supponiamo per il momento che la punteria sia centrata, cioè che il suo asse incontri l’asse della camma (Fig. 7.9a). Noti il raggio base R0 della camma e il raggio r della rotella, si fissi per prima cosa un punto O1 a distanza OO1 = R0 + r dal punto O, intersezione dell’asse della camma con il piano di moto. Assunto quindi OO1 come riferimento, per un generico valore θi di θ si tracci una semiretta formante con OO1 un angolo θi . e su di essa si fissi il punto O1i a una distanza da O pari a: OO1i = R0 + r + y(θi )

(7.5)

Il punto OO1i è quindi la posizione del centro della rotella rispetto alla camma, quando questa ha ruotato dell’angolo θi rispetto alla posizione iniziale. Naturalmente, se la camma ruota in verso orario, l’angolo θi va preso in verso antiorario (e viceversa), in modo che il moto relativo fra la camma e il telaio rimanga lo stesso nel caso effettivo e nel meccanismo cinematicamente invertito. Ripetendo più volte la costruzione, per un sufficiente numero di valori dell’angolo θi , si trova il luogo dei centri della rotella (luogo che coinciderebbe con il contorno della camma, se il cedente fosse a spigolo vivo): tracciando adesso le circonferenze di raggio r con i centri nei punti OO1i trovati, il contorno della camma si ottiene come inviluppo di tali circonferenze. Ovviamente, in corrispondenza delle fasi di sosta il contorno della camma risulta essere un arco di circonferenza di centro O, di raggio R0 , per la sosta inferiore e di raggio R0 + H per la sosta superiore.

166

7.2.2

CAPITOLO 7. CAMME

Camma piana con punteria eccentrica a rotella

Se la punteria è eccentrica, cioè se il suo asse non incontra l’asse della camma, ma si trova ad una distanza e (eccentricità) da esso, la costruzione precedente si modifica leggermente. Si traccia innanzitutto una circonferenza di centro O e raggio e. La distanza base Ra della camma è data da (Fig. 7.9b): Ra =

q

(R0 + r)2 − e2

(7.6)

Per ogni valore dell’angolo θi si tracciano le tangenti alla circonferenza di raggio e e lungo queste, a partire dal punto di tangenza, si riportano le distanze Ra + y(θi ), determinando così i punti OO1i .

7.2.3

Camma piana con punteria a piattello piano

Figura 7.10: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con punteria a piattello piano Se la punteria è a piattello piano (Fig. 7.10), sulle semirette uscenti da O si riportano le distanze R0 +y(θi ), e quindi per i punti così trovati si tracciano dei segmenti, rappresentanti il contorno inferiore del piattello: l’inviluppo di tali segmenti fornisce il contorno della camma.

7.2.4

Camma piana con bilanciere a rotella

Con riferimento alla Fig. 7.11, siano noti: • la distanza d fra l’asse della camma (O) e quello del bilanciere (O2 ); • la lunghezza b del bilanciere; • l’angolo φ che il bilanciere forma con la retta passante O e O2 , nella configurazione iniziale (di sosta) del meccanismo;

7.3. ANALISI CINETOSTATICA

167

Figura 7.11: Determinazione grafica del contorno di una camma piana con bilanciere a rotella • di conseguenza, risulta determinata anche la posizione iniziale O1 del centro della rotella. Applicando il metodo dell’inversione cinematica, si ruoti OO2 , del generico angolo θi . La posizione dell’asse del bilanciere sarà ora O2i , e il bilanciere formerà con OO2 , l’angolo φ + y(θi ) (y è ora uno spostamento angolare). Si può quindi trovare facilmente il luogo delle posizioni O1i occupate dal centro della rotella, dalle quali, per inviluppo, si risale subito al profilo della camma.

7.3

Analisi cinetostatica

Svolgiamo ora alcune considerazioni sulle forze che si trasmettono i membri di un meccanismo con camma, con particolare riguardo al caso della camma a disco con punteria a rotella. Prescindendo dagli attriti, la forza di contatto fra camma e punteria è diretta secondo la normale ai due profili nel punto di contatto. L’angolo α che tale direzione forma con l’asse del moto della punteria, chiamato angolo di pressione o di spinta, deve avere possibilmente valori piccoli in corrispondenza delle intere fasi attive. Si consideri infatti la Fig. 7.12. Si può dimostrare che, se Q è la forza resistente, la forza S12 trasmessa dalla camma alla punteria e le reazioni R32a , R32b della guida prismatica hanno le seguenti espressioni: bQ b cos α − f (b + 2c) sin α

(7.7)

cQ sin α b cos α cos ϕ − (b + 2c) sin α cos ϕ

(7.8)

S12 = R32a =

168

CAPITOLO 7. CAMME

Figura 7.12: Forze agenti sulla punteria

(b + c) Q sin α b cos α cos ϕ − (b + 2c) sin α cos ϕ dove f è il coefficiente d’attrito e c è dato da: R32b =

c = a − (R0 + r + y)

(7.9)

(7.10)

In particolare, se il coefficiente d’attrito f è sufficientemente piccolo, la forza S12 assume l’espressione approssimata: Q (7.11) cos α da cui si desume che è sempre conveniente che α abbia un valore piccolo, al di sotto dei 40◦ circa. Osserviamo poi che occorre evitare (mantenendo un ragionevole margine di sicurezza) che la retta d’azione della forza S12 passi per il punto d’incontro K delle rette d’azione delle reazioni vincolari R32a e R32b . Se ciò avvenisse, una forza S12 comunque grande potrebbe sempre essere equilibrata dalle sole reazioni R32a e R32b : ciò significa che per equilibrare la forza resistente Q occorrerebbe una forza S12 addirittura infinita. Se, poi, la retta d’azione della S12 passasse a sinistra del punto K, l’equilibrio della punteria potrebbe essere assicurato soltanto da una forza Q orientata verso l’alto. In tali condizioni si avrebbe un impuntamento del meccanismo. Per evitare l’impuntamento, l’angolo di pressione deve soddisfare alla seguente disuguaglianza: S∼ =

7.4. LEGGI DEL MOTO ELEMENTARI

tan α <

169

b f (b + 2c)

(7.12)

Questa relazione può essere facilmente ricavata dalla (7.7) trovando il valore di α per il quale il valore di S12 diventa infinito. Net caso della punteria a piattello piano, l’angolo di pressione è nullo, il che costituisce un non trascurabile vantaggio di questa soluzione. Il pericolo di impuntamento può ancora presentarsi, sia pure raramente, se il punto di contatto fra camma e piattello è molto discosto dall’asse delta punteria. Nel caso del bilanciere, la condizione di impuntamento non può praticamente verificarsi. Anche in questo caso, comunque, è opportuno che l’angolo di pressione sia piccolo, affinché le forze trasmesse non raggiungano valori troppo elevati (come si e visto nel caso della punteria).

7.4

Leggi del moto elementari

Una volta scelto il tipo di meccanismo in cui va inserita la camma, occorre scegliere la legge di moto del cedente. In alcuni casi, tale legge è rigorosamente prescritta da motivi funzionali: ad esempio, se si deve guidare il cedente lungo traiettorie prestabilite, o in altri casi simili. Più frequentemente, sono imposti solo l’alzata H e il corrispondente angolo di rotazione β, mentre la vera e propria legge del moto può essere scelta dal progettista secondo propri criteri. Vediamo allora quali sono le leggi che vengono scelte nei casi piu comuni. Una legge molto comoda sarebbe quella a velocità costante (Fig. 7.13a). Essa è però raramente adottabile, in quanto comporterebbe accelerazioni infinite all’inizio e alla fine, e quindi azioni d’inerzia inammissibilmente elevate (teoricamente infinite). La legge di moto forse più ‘classica’ è quella a velocità trapezoidale (Fig. 7.13b). Essa consta di un tratto centrale a velocità costante, preceduto da un tratto ad accelerazione costante positiva, che dà origine ad una rampa lineare di velocità (fase di accelerazione), e seguito da un tratto ad accelerazione costante negativa (fase di decelerazione). In alcuni casi, il tratto centrale a velocità costante viene a mancare: si ha allora una legge del moto ad accelerazione costante, detta anche parabolica (Fig. 7.13c). Questa legge ha il pregio di dare luogo al più piccolo valore possibile dell’accelerazione massima; l’inconveniente più grave, che la rende sconsigliabile quando la velocità non è bassa, è quello di presentare delle discontinuità dell’accelerazione, che corrispondono all’applicazione istantanea di azioni d’inerzia finite; ciò costituisce fonte di vibrazioni (e di rumore), che disturbano il movimento e possono creare problemi strutturali al meccanismo. Lo stesso inconveniente si presenta, ovviamente, nella legge del moto a velocità trapezoidale. Le leggi polinomiali (alle quali appartiene anche la legge parabolica) costituiscono una famiglia di leggi di moto abbastanza diffuse; esse sono spesso impiegate per raccordare fra loro altre leggi, oppure prima e dopo un tratto a velocità costante. Ad esempio, raccordando un tratto centrale a velocità costante con due tratti di polinomiale anziché con due tratti ad accelerazione costante si può evitare l’inconveniente delle discontinuità dell’accelerazione.

170

CAPITOLO 7. CAMME

Altre leggi contengono funzioni trigonometriche dell’angolo di rotazione θ (Fig. 7.13d). Fra le più note leggi trigonometriche citiamo la cicloidale, la cui espressione analitica è: y (θ) =

"Ã !

θ β

#

2πθ 1 sin − H 2π β

(7.13)

Questa legge è una delle migliori per camme veloci e cedenti relativamente leggeri e cedevoli, quando le vibrazioni sono uno dei problemi più importanti. Possiamo quindi dire che alla legge di moto in genere è richiesto: • di non presentare valori troppo alti di velocità; • di non avere valori troppo alti di accelerazione (ai quali corrispondono valori elevati delle azioni d’inerzia, che in molti meccanismi a camme sono le principali forze in gioco); • di non presentare discontinuità nell’accelerazione (a cui corrisponde un possibile innesco di fenomeni vibratori). Per soddisfare a tutte queste esigenze, e ad altre ancora sulle quali non ci soffermiamo, vengono comunemente impiegate molte leggi particolari, adatte ciascuna ad un determinato tipo di applicazione, in relazione alle velocità, alle masse in movimento, alle rigidezze, ecc. Una legge largamente impiegata è la cosiddetta trapezia modificata, la cui accelerazione presenta due tratti di valore costante raccordati da tratti di sinusoide (Fig. 7.13e). L’accelerazione massima è superiore solo del 22% a quella della legge parabolica, e non presenta discontinuità. Quando è opportuno che i massimi positivi e negativi dell’accelerazione abbiano valori assoluti diversi, le leggi del moto possono venire rese ‘asimmetriche’, scegliendo i due tratti (quello ad accelerazione positiva e quello ad accelerazione negativa) non entrambi uguali a β , ma uno più grande e l’altro corrispondentemente più piccolo (Fig. 7.13f). 2 Talvolta, il membro al quale si vuole conferire una determinata legge di moto non è il cedente direttamente a contatto con la camma, ma il membro di uscita di un sistema articolato, del quale il cedente suddetto costituisce l’entrata. In tali casi è necessario, una volta scelta la legge di moto da conferire al membro di uscita, trovare dapprima la corrispondente legge di moto del membro di ingresso del sistema articolato suddetto (cedente della camma), e determinare poi il contorno della camma in base a tale legge. Osserviamo infine che qualche volta può essere opportuno fare in modo che il cedente non entri a contatto con la camma nelle fasi di riposo. Questa condizione viene di solito imposta in meccanismi con contatto di forza; una adatta battuta tiene in posto il cedente senza che esso tocchi la camma. Per svariate ragioni (tolleranze di lavorazione, usure, deformazioni termiche, ecc.) è praticamente impossibile imporre che il contatto fra camma e cedente si ripristini in una posizione prestabilita. E’ allora inevitabile che all’atto del contatto si abbia un urto; questo dovrà, peraltro, essere mantenuto entro limiti molto modesti (le velocità d’urto devono essere di norma dell’ordine di 0,1 m/s).

7.4. LEGGI DEL MOTO ELEMENTARI

Figura 7.13: Spostamenti, velocità e accelerazioni per alcune legge di moto comuni

171

172

CAPITOLO 7. CAMME

Capitolo 8 Meccanica delle vibrazioni In questo capitolo si intendono fornire i principi basilari della modellazione delle vibrazioni meccaniche. I fenomeni vibratori, dovuti all’oscillazione delle parti di un sistema meccanico, sono originati dalla deformabilità dei corpi e quindi dalla loro capacità di immagazzinare e rilasciare energia elastica. La modellazione di un fenomeno vibratorio può rivelarsi notevolmente complessa, soprattutto se il sistema presenta delle non-linearità. Tuttavia, nella maggior parte dei casi un modello lineare risulta sufficientemente fedele nel rappresentare il sistema fisico da studiare.

8.1

Oscillatore semplice

Figura 8.1: Oscillatore semplice Il modello elementare utilizzato nella meccanica delle vibrazioni è detto oscillatore semplice. Tale modello rappresenta le due caratteristiche fondamentali che determinano l’entità e la natura delle vibrazioni, ovvero l’elasticità e lo smorzamento. Come si può vedere dalla Fig. 8.1, l’oscillatore semplice è un sistema ad un grado di libertà (lo spostamento x) costituito da una massa m collegata a telaio tramite una molla ed uno smorzatore lineare. La molla rappresenta l’elasticità del sistema, ovvero quelle forze di richiamo elastico che tendono a riportarlo nella condizione di riposo, qualora se ne sia allontanato. La forza elastica dipende linearmente dallo spostamento secondo una costante k, espressa in N/m, detta appunto costante elastica. 173

174

CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

La modellazione dello smorzamento è notevolmente più complessa. Da un punto di vista fisico, lo smorzamento è dovuto ad azioni dissipative (forze di attrito, resistenza fluidodinamica, isteresi interna dei materiali) che compiono un lavoro negativo e quindi sottraggono energia al sistema, determinando così, in assenza di ingressi di energia dall’esterno, una diminuzione dell’ampiezza delle vibrazioni. Le forze dissipative presenti nei sistemi meccanici sono in genere funzioni non lineari della velocità; tuttavia, nella meccanica delle vibrazioni la dissipazione è normalmente modellata per mezzo di uno smorzatore lineare, ovvero un componente fittizio il quale genera una forza, funzione lineare della velocità relativa ai suoi estremi, che si oppone sempre al moto del sistema. Lo smorzatore lineare approssima una forza resistente fluidodinamica (attrito viscoso), ed è pertanto rappresentato graficamente da un pistoncino che si muove all’interno di un cilindro pieno di fluido. Vediamo ora di determinare l’equazione del moto dell’oscillatore semplice. Sulla massa m agiscono le seguenti forze: • la forzante esterna F (t) • la forza elastica di richiamo • la forza di smorzamento

Fk (t) = −kx(t) Fc (t) = −cx(t) ˙

La dinamica del sistema è allora espressa dalla legge di Newton: F (t) + Fk (t) + Fc (t) = m¨ x(t)

(8.1)

che, riordinando i termini, può essere così riscritta: m¨ x(t) + cx(t) ˙ + kx(t) = F (t)

(8.2)

La (8.2) è un’equazione differenziale: • lineare • ordinaria • a coefficienti costanti E’ noto che la soluzione di una siffatta equazione differenziale si ottiene come somma di due termini: 1. l’integrale generale dell’equazione omogenea associata 2. un integrale particolare della (8.2) Questi due termini hanno un preciso ed importante significato fisico:

8.2. RISPOSTA LIBERA

175

1. il primo termine esprime come il sistema evolve, a partire da prefissate condizioni iniziali, quando nessuna forzante esterna agisce su di esso. Questo termine viene chiamato oscillazione libera o risposta libera del sistema; 2. il secondo termine esprime invece come il sistema si muove in funzione della forza che agisce su di esso. Si parla allora di risposta forzata o (vedremo più avanti perché) di risposta in frequenza.

8.2

Risposta libera

Consideriamo dunque l’equazione omogenea associata della (8.2), ovvero: m¨ x(t) + cx(t) ˙ + kx(t) = 0

(8.3)

Come è noto dalla teoria delle equazioni differenziali lineari, la soluzione generale è del tipo x(t) = eλt , λ ∈ C, per cui sostituendo nella (8.3) si ottiene mλ2 eλt + cλeλt + keλt = 0

(8.4)

Il valore di λ può allora essere ricavato dall’equazione algebrica (polinomio caratteristico): mλ2 + cλ + k = 0

(8.5)

k c λ+ =0 m m

(8.6)

Dividendo per m: λ2 + Definiamo ora: s

k (8.7) m Questo importante parametro caratteristico del sistema è chiamato pulsazione naturale o pulsazione propria dell’oscillatore. Si tratta della pulsazione (espressa in rad/s) con cui oscillerebbe il sistema nell’ipotesi di smorzamento nullo (c = 0). La (8.6) può allora essere riscritta: ωn =

c ωn λ + ωn 2 = 0 λ2 + √ mk Se definiamo lo smorzamento relativo del sistema come

(8.8)

c ξ= √ 2 mk

(8.9)

λ2 + 2ξωn λ + ωn 2 = 0

(8.10)

otteniamo allora:

Le radici della () sono:

176

CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

q

λ1,2 = −ξωn ± ωn ξ 2 − 1

(8.11)

xl (t) = A1 eλ1 t + A2 eλ2 t

(8.12)

e la risposta libera del sistema sarà data da:

con i parametri A1 , A2 che sono determinati dalle condizioni iniziali, ovvero dalla posizione e velocità del sistema all’istante iniziale. Si possono allora presentare due casi, a seconda del valore di ξ: Caso 1: ξ > 1 In questo caso le radici λ1,2 della (8.2) sono reali e negative, pertanto la risposta libera del sistema sarà la combinazione lineare delle funzioni esponenziali decrescenti eλ1 t , eλ2 t . Ciò significa che lo smorzamento è talmente grande che lo spostamento del sistema tende asintoticamente a zero senza oscillare. Questo caso, corrispondente ad un sistema sovrasmorzato, si verifica tuttavia molto raramente nella realtà. La quasi totalità dei sistemi meccanici presenta infatti uno smorzamento relativo molto minore di uno, in parecchi casi addirittura inferiore a 0,1. Caso 2: ξ < 1 Un interesse molto maggiore presenta il caso opposto, corrispondente ad un sistema sottosmorzato. In questo caso le radici della (8.2) sono complesse coniugate: q

(8.13)

λ1,2 = −ξωn ± iωn 1 − ξ 2

per cui la risposta libera del sistema è data da: √ √ 2 2 xl (t) = A1 e−ξωn t eiωn 1−ξ t + A2 e−ξωn t e−iωn 1−ξ t

(8.14)

Ricordando che exp (±iψ) = cos ψ ± i sin ψ, la (8.14) può essere riscritta come: q

q

q

q

xl (t) = A1 e−ξωn t [cos(ωn 1 − ξ 2 )t+i sin(ωn 1 − ξ 2 )t]+A2 e−ξωn t [cos(ωn 1 − ξ 2 )t−i sin(ωn 1 − ξ 2 )t] (8.15) La xl (t) deve necessariamente essere una funzione reale, pertanto i coefficienti A1 , A2 devono essere tali da annullare tutti i termini immaginari della (8.15). Si dimostra facilmente che ciò accade se e solo se A1 e A2 sono complessi coniugati. Ponendo allora:

con facili passaggi si ottiene:

A1 =

B2 B1 −i 2 2

A2 =

B2 B1 +i 2 2

8.3. RISPOSTA IN FREQUENZA

177

q

q

xl (t) = e−ξωn t [B1 cos(ωn 1 − ξ 2 )t + B2 sin(ωn 1 − ξ 2 )t] √ che, con la posizione ωd = ωn 1 − ξ 2 , assume la forma xl (t) = e−ξωn t (B1 cos ωd t + B2 sin ωd t)

(8.16)

(8.17)

Figura 8.2: Risposta libera di sistema sottosmorzato Lo spostamento del sistema sarà allora una funzione periodica di pulsazione ωd inviluppata dalla curva esponenziale e−ξωn t e dalla sua simmetrica rispetto all’asse delle ascisse (vedi Fig. 8.2). Il parametro ωd (espresso in rad/s) è chiamato pulsazione smorzata (in inglese damped ). Per valori piccoli di ξ esso è pressoché uguale alla pulsazone propria ωn . Pertanto, la risposta libera di un sistema sottosmorzato converge a zero oscillando. Il periodo di oscillazione è dato da T = ω2πd , il cui inverso f = T1 = ω2πd è la frequenza di oscillazione. La velocità di convergenza a zero è direttamente proporzionale a ξ e ωn .

8.3

Risposta in frequenza

La risposta in frequenza, altresì detta risposta forzata, non è altro che una soluzione particolare dell’equazione differenziale (8.2). Si parla talvolta di risposta a regime, in quanto essa rappresenta lo spostamento del sistema quando si sia esaurito il transitorio dipendente dalle condizioni iniziali (costituito dalla risposta libera).

178

CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

Tale soluzione particolare dipende ovviamente dal tipo di forza F (t) che agisce sul sistema. Consideriamo dapprima il caso di una forzante sinusoidale di ampiezza F0 e pulsazione ω ¯, ovvero F (t) = F0 cos ω ¯ t. Conviene innanzitutto dividere la (8.2) per m e ricordare le definizioni di ωn (8.7) e di ξ (8.9), così da scrivere l’equazione dinamica del sistema nella forma: F0 cos ω ¯t m Verifichiamo ora che un integrale particolare della (8.18) ha la forma x¨(t) + 2ξωn x(t) ˙ + ωn2 x(t) =

(8.18)

(8.19)

xf (t) = X0 cos(¯ ω t + ϕ) e calcoliamo i valori di X0 e di ϕ. Sostituendo la (8.19) nella (8.18) si ottiene:

−¯ ω 2 X0 cos(¯ ω t + ϕ) − 2ξωn ω ¯ X0 sin(¯ ω t + ϕ) + ωn2 X0 (¯ ω t + ϕ) =

F0 cos ω ¯t m

(8.20)

Ricordando ora le formule di addizione del seno e del coseno cos(¯ ω t + ϕ) = cos ω ¯ t cos ϕ − sin ω ¯ t sin ϕ

(8.21)

sin(¯ ω t + ϕ) = sin ω ¯ t cos ϕ + cos ω ¯ t sin ϕ

(8.22)

la (8.20) diventa: −¯ ω 2 X0 cos ω ¯ t cos ϕ + ω ¯ 2 X0 sin ω ¯ t sin ϕ − 2ξωn ω ¯ X0 sin ω ¯ t cos ϕ − 2ξωn ω ¯ X0 cos ω ¯ t sin ϕ+ F0 cos ω ¯t (8.23) m La relazione (8.23) deve essere valida per ogni valore di t: essendo sin ω ¯ t e cos ω ¯ t due funzioni linearmente indipendenti, i loro coefficienti a primo e secondo membro dovranno essere uguali. Si avrà pertanto: +ωn2 X0 cos ω ¯ t cos ϕ − ωn2 X0 sin ω ¯ t sin ϕ =

−¯ ω 2 X0 cos ϕ − 2ξωn ω ¯ X0 sin ϕ + ωn2 X0 cos ϕ =

F m

ω ¯ 2 X0 sin ϕ − 2ξωn ω ¯ X0 cos ϕ − ωn2 X0 sin ϕ = 0

(8.24) (8.25)

Dalla (8.25), dividendo per sin ϕ, si ottiene: tan ϕ = Ricordando che cos ϕ = √

1 , tan2 ϕ+1

−2ξωn ω ¯ 2 ωn − ω ¯2

sin ϕ = √ tan2ϕ

(8.25). Dopo qualche passaggio, ponendo m =

(8.26) , possiamo sostituire la (8.26) nella

tan ϕ+1 k/ωn2 , si ottiene:

8.3. RISPOSTA IN FREQUENZA

179

F0 q k [1 − (

X0 =

1 ω ¯ 2 2 )] ωn

+ (2ξ ωω¯n )2

(8.27)

La (8.27) esprime pertanto il valore di X0 , ovvero l’ampiezza della risposta forzata xf (t) = X0 cos(¯ ω t + ϕ), in funzione dell’ampiezza F0 della forzante e della sua pulsazione normalizzata ωω¯n . Dalla (8.26) è possibile ricavare il valore della fase ϕ della risposta forzata in funzione della pulsazione normalizzata: −2ξ ωω¯n ϕ = arctan 1 − ( ωω¯n )2

(8.28)

Si vede quindi che sia l’ampiezza che la fase della risposta forzata dipendono sostanzialmente dalla pulsazione di eccitazione. Nelle (8.27) e (8.28) è allora possibile sostituire a ω ¯ la generica pulsazione ω, in modo tale da esprimere i valori di ampiezza e fase come funzioni della pulsazione normalizzata della forzante, ovvero: X0 (

F0 1 ω q )= ω 2 ωn k [1 − ( ) ]2 + (2ξ ω )2 ωn ωn ϕ(

−2ξ ωωn ω ) = arctan ωn 1 − ( ωωn )2

(8.29) (8.30)

E’ questo il motivo per cui la risposta forzata viene anche chiamata risposta in frequenza. Le Fig. 8.3 e 8.4 rappresentano gli andamenti di X0 e di ϕ (rispettivamente ampiezza e fase della risposta in frequenza) in funzione della frequenza normalizzata della forzante, per diversi valori dello smorzamento relativo ξ. Si nota che, per valori di ξ non troppo elevati, la curva dell’ampiezza presenta un massimo, in corrispondenza di un valore di pulsazione ωr della forzante leggermente inferiore alla pulsazione naturale. Tale valore può essere trovato cercando il minimo del denominatore della (8.29), ovvero eguagliando a zero la sua derivata rispetto a ω/ωn . Risulta: q

ωr = ωn 1 − 2ξ 2

(8.31)

La pulsazione ωr è detta pulsazione di risonanza del sistema. Si osserva che, quanto minore è ξ, tanto più il valore di ωr si avvicina a ωn : in sistemi con poco smorzamento si può quindi considerare ωr ≈ ωn . Al diminuire di ξ aumenta inoltre il valore di picco di X0 (e quindi la massima ampiezza di xf (t), fino al caso limite ξ = 0 (sistema non smorzato), per cui l’ampiezza della risposta tende ad infinito. Nei sistemi meccanici la risonanza è in genere un fenomeno indesiderato, perché ha come conseguenza vibrazioni di ampiezza molto elevata. E’ quindi necessario, nella progettazione meccanica, prestare particolare attenzione affinché la risonanza si trovi al di fuori della banda di frequenze con cui si prevede che il sistema venga eccitato. Essendo ωr ≈ ωn , lo spostamento del picco di risonanza può essere effettuato variando, q k per quanto possibile, il valore della pulsazione propria del sistema. Ricordando che ωn = m , un aumento di k sposterà ωn a valori più elevati, mentre un aumento di m produrrà l’effetto opposto.

180

CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

Figura 8.3: Ampiezza della risposta in frequenza Qualora non sia possibile portare la risonanza al di fuori della banda delle frequenze di eccitazione, è necessario aumentare lo smorzamento del sistema in modo da ridurre l’ampiezza del picco. Passando a trattare della fase ϕ, essa rappresenta, in valore assoluto, il ritardo della sinusoide dello spostamento rispetto a quella della forzante. Si osserva che, per valori piccoli della pulsazione di eccitazione, la fase è anch’essa piccola, quindi lo spostamento del sistema è sostanzialmente in fase con la forzante. Al contrario, per valori elevati di ω, la fase tende a −π, il che significa che lo spostamento del sistema sarà in controfase rispetto alla forzante. Se invece il sistema è eccitato ad una pulsazione pari a ωn , la fase è pari a −π/2: si dice allora che lo spostamento è in quadratura rispetto ala forzante.

8.4

Risposta a forzanti non sinusoidali

Vediamo ora di calcolare la risposta di un oscillatore semplice ad una forzante non sinusoidale. Distingueremo tre casi: 1. risposta ad una forzante periodica 2. risposta ad un impulso

8.4. RISPOSTA A FORZANTI NON SINUSOIDALI

181

Figura 8.4: Fase della risposta in frequenza 3. risposta ad una forzante generica La trattazione che segue avrà comunque carattere elementare, riservando ogni approfondimento a testi specialistici.

8.4.1

Risposta ad una forzante periodica

E’ noto che ogni funzione periodica può essere sviluppata mediante una serie di Fourier, ovvero da una serie di funzioni trigonometriche, dette armoniche. Sviluppando in coseni la F (t), supposta periodica di periodo T , si ottiene la seguente serie: F (t) = a0 +

∞ X

an cos(

N X

an cos(

n=1

2πnt + αn ) T

(8.32)

ove i coefficienti an e le fasi αn delle armoniche della serie sono determinabili a partire dalla F (t). Poiché i coefficienti della serie hanno valore decrescente all’aumentare di n, è possibile approssimare senza troppi problemi la funzione con una serie troncata all’indice N : F (t) ≈ a0 +

n=1

2πnt + αn ) T

(8.33)

Abbiamo quindi un numero finito di armoniche, la cui somma ben approssima la forzante periodica. Poichè il sistema è lineare, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti: la risposta in frequenza del sistema alla forzante periodica F (t) è data dalla somma delle risposte in frequenza di ogni singola armonica che appare nella (8.33). Ovviamente tale risposta andrà poi sommata alla risposta libera per ottenere lo spostamento complessivo x(t).

182

CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

8.4.2

Risposta ad un impulso

Un impulso è un’eccitazione (tipicamente un urto) che viene trasmessa al sistema in un tempo molto piccolo, idealmente nullo. L’impulso unitario applicato all’istante t = 0 è rappresentato matematicamente dalla funzione delta di Dirac δ(t), che ha valore nullo su tutto l’asse dei tempi ad eccezione dell’istante di eccitazione, in cui assume un valore (necessariamente infinito) tale che il suo integrale sull’asse dei tempi dia un valore unitario: Z

+∞

δ(t)dt = 1

(8.34)

−∞

Un impulso di valore I sarà dunque rapprsentato dalla funzione Iδ(t). E’ noto dalla Fisica che il valore I dell’impulso è uguale alla quantità di moto acquisita dal sistema dopo l’applicazione dell’impulso stesso: (8.35)

I = mv0

ove v0 è la velocità iniziale del sistema meccanico e m la sua massa. In altre parole, applicare un impulso I ad un sistema meccanico equivale ad imprimergli una velocità iniziale pari a v0 = mI . Nel caso di un oscillatore semplice, la risposta all’impulso sarà quindi costituita dalla risposta libera xl (t) con condizioni iniziali: (8.36)

xl (0) = 0 I m Sappiamo che la xl (t) è data dalla (8.17), che riscriviamo qui per comodità: x˙l (t) = v0 =

xl (t) = e−ξωn t (B1 cos ωd t + B2 sin ωd t)

(8.37)

(8.38)

La sua derivata, ovvero l’espressione della velocità x˙l (t), è: x˙l (t) = −ξωn e−ξωn t (B1 cos ωd t + B2 sin ωd t) + e−ξωn t (−ωd B1 sin ωd t + ωd B2 cos ωd t) (8.39) Per ricavare i valori di B1 e B2 calcoliamo posizione e velocità per t = 0 imponendo le condizioni iniziali (8.36) e (8.37): xl (0) = B1 =⇒ B1 = 0 x˙l (0) = ωd B2 =⇒ B2 =

v0 I = ωd mωd

(8.40) (8.41)

La risposta all’impulso sarà pertanto data da: I −ξωn t e sin ωd t mωd Ovviamente la (8.42) vale per t > 0, mentre per t < 0 si avrà xl (t) ≡ 0. xl (t) =

(8.42)

8.5. VIBRAZIONI TORSIONALI

8.4.3

183

Risposta ad una forzante generica

La trattazione della risposta ad una forzante generica è più complessa. Si può immaginare di considerare la forzante F (t) come una successione continua, lungo l’asse dei tempi, di impulsi di ampiezza variabile a seconda del valore che la F (t) assume ad ogni istante t. Si dimostra che la risposta in frequenza è calcolabile mediante la convoluzione della F (t) con la risposta h(t) all’impulso unitario (I = 1) vista nel paragrafo precedente. Tale convoluzione è espressa dall’integrale: 1 −ξωn (t−τ ) e sin(ωd (t − τ ))F (τ )dτ (8.43) 0 0 mωd Ovviamente, alla xl (t) va sommata la risposta libera per ottenere la legge del moto complessiva del sistema. xl (t) =

8.5

Z

t

h(t − τ )F (τ )dτ =

Z

t

Vibrazioni torsionali

In quanto visto finora si è considerato che lo spostamento del sistema avvenisse lungo una linea retta, a seguito di un’eccitazione costituita da una forza esterna. In meccanica si hanno tuttavia altre tipologie di vibrazioni, tra le quali rivestono particolare importanza le vibrazioni torsionali, che si possono verificare negli organi dotati di movimento rotatorio, come ad esempio gli alberi di trasmissione.

Figura 8.5: Vibrazioni torsionali Si consideri ad esempio (Fig. 8.5) un volano con momento di inerzia I, collegato a telaio per mezzo di un albero di torsione. L’elasticità e lo smorzamento di quest’ultimo possono essere modellati rispettivamente da una molla di rigidezza torsionale kt e da uno smorzatore con coefficiente di smorzamento torsionale ct . Le forze agenti sul volano sono (Fig. 8.6): • la coppia esterna C(t) ¨ • la coppia di inerzia −I ϑ(t) • la coppia di richiamo elastico Ck (t) = −kt ϑ(t) ˙ • la coppia smorzante Cc (t) = −ct ϑ(t)

184

CAPITOLO 8. MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

Figura 8.6: Forze agenti sul volano L’equazione di equilibrio dinamico del volano è dunque: ¨ + Ck (t) + Cc (t) = 0 C(t) − I ϑ(t)

(8.44)

¨ + ct ϑ(t) ˙ + kt ϑ(t) = C(t) I ϑ(t)

(8.45)

che, esplicitata e riordinata, fornisce:

Si vede che la (8.45) è del tutto analoga alla (8.2): pertanto, anche per lo studio delle vibrazioni torsionali si utilizza il modello dell’oscillatore semplice, con l’unica differenza che la variabile spostamento non sarà più lineare ma angolare.